Hulpstelling   Hoeken niet groter dan 30 graden zijn te beschouwen als evenredig met hun sinus.   Dit is al eerder ook door andere schrijvers over optica aangenomen, omdat het verschil met de werkelijke waarde volstrekt onbetekenend is. Voorstel VI   Als bij een massief glazen hoek BAC, kleiner dan 19 graden, twee stralen in één punt van het glas invallen, zodanig dat van elk de helling kleiner is dan 29 graden aan de kant van punt A afgekeerd, zal het verschil der hellingen van de invallende stralen gelijk zijn aan het verschil der hellingen van de stralen die na de breking uit het glas treden.   Veronderstel dat de hoek BAC tussen de twee vlakken, die de massief glazen hoek begrenzen, kleiner is dan 19°. En verder dat er in het vlak door ABC ook de rechte lijn DBV is, die het vlak AB loodrecht snijdt in B, en dat de stralen EB en GB daarmee een hoek maken, kleiner dan 29°, aan de van A afgekeerde kant. Hiervan loopt de binnenste EB in het doorzichtige lichaam langs BH, en hij komt er uit als HK. Maar GB loopt in het doorzichtige lichaam langs BC, en komt er uit als CL. Ik zeg nu dat aan de hoek EBG van de invallende stralen gelijk gesteld kan worden die hoek, die de uitgetreden stralen HK en CL met elkaar maken; dat is de hoek KHI, als HI evenwijdig is aan CL.   Laat namelijk getrokken worden de normalen MCS en NHR op AC, die DBV snijden in de punten S en R. Nu zijn er vijf gevallen,, want de hoeken BCA en BHA kunnen of beide kleiner zijn dan een rechte hoek, of beide groter, of hoek BCA is groter dan een rechte en BHA kleiner; of BCA is recht, of BHA.

[ 477 ]

In al deze gevallen zal ik eerst aantonen dat elk van de hoeken, gemaakt door de stralen BH en HK, BC en CL met de loodlijnen op AH, kleiner is dan 30°.   Want in het 1e geval, omdat in driehoek BAH hoek A kleiner is dan 19°, en ABH kleiner dan de rechte hoek ABV, zal BHA onvermijdelijk groter zijn dan 71°, die dus, afgetrokken van de rechte hoek AHR, hoek BHR kleiner dan 19° overlaat. En de sinus daarvan, die dus kleiner is dan 32557 delen waarvan de cirkelstraal 100000 is, is tot de sinus van hoek NHK als 2 tot 3, volgens de brekingswet van glas [<]. Dus de sinus van hoek NHK is kleiner dan 48836, en hoek NHK zelf kleiner dan 30° (de sinus hiervan is immers 50000). Met dezelfde redenering is te bewijzen dat ook hoek MCL kleiner is dan 30°.

In het 2e geval, aangezien hoek DBG kleiner is dan 29°, en zijn sinus tot de sinus van hoek VBC is als 3 tot 2, zal hoek VBC volgens de voorgaande hulpstelling kleiner zijn dan 191/3 graden. Maar hoek VBC is gelijk aan de som van de hoeken BSC en BCS. Dus is BCS zeker kleiner dan 191/3 gr. En diens sinus kleiner dan 33107 delen. Zoals nu 2 tot 3 is, zo is de sinus van hoek BCS tot de sinus van hoek MCL. Dus is de sinus van hoek MCL kleiner dan 49662 delen, en hoek MCL zelf daarom kleiner dan 30°. Met dezelfde redenering zal aangetoond worden dat hoek NHL kleiner is dan 30°.   In het 3e geval zal aangetoond worden dat hoek NHK kleiner is dan 30° op dezelfde manier als in het eerste geval; en hoek MCL op dezelfde manier als in het tweede geval.

In het vierde geval wordt het over hoek NHK bewezen op dezelfde manier als in het eerste geval.   Evenzo in het vijfde geval over hoek MCL op dezelfde manier als in het tweede geval.   Nu dit is aangetoond gaat het bewijs verder als volgt. In alle gevallen moet hoek VBC geacht worden gelijk te zijn aan tweederde van hoek DBG, omdat dit de verhouding is van hun sinus; en evenzo hoek VBH aan tweederde van hoek DBE; dus zal ook hoek HBC gesteld worden op tweederde van hoek EBG. Aan de andere kant moet in de eerste drie gevallen hoek SCB gelijk geacht worden aan tweederde van hoek MCL, en evenzo hoek RHB aan tweederde van hoek NHK.

[ 479 ]

Daarom zal ook in het 1e en 2e geval het verschil van de hoeken SCB en RHB gelijk gesteld moeten worden aan tweederde van het verschil der hoeken MCL en NHK, welk verschil de hoek KHI is (want we hebben HI evenwijdig met CL getrokken). Maar in het 3e geval zal de som van de hoeken SCB en RHB gelijk gesteld worden aan tweederde van de som der hoeken MCL en NHK, welke som weer de hoek KHI is. Maar nu blijkt gemakkelijk dat in dit geval deze som gelijk is aan hoek HBC, terwijl in het 1e en 2e geval het verschil van diezelfde hoeken SCB en RHB gelijk is aan deze hoek HBC. Dus is in deze drie gevallen hoek HBC gelijk te stellen aan tweederde van hoek KHI. En dezelfde hoek HBC is gelijk gesteld met twee derde van hoek EBG; dus is hoek KHI gelijk te stellen met hoek EBG. Wat te bewijzen was.   En in het 4e geval, waarin hoek BCA recht is, valt CL op CM, en HI op HN. En daar hoek HBC gelijk te stellen is aan 2/3 van hoek EBG (volgens wat eerder bewezen is), en hoek BHR (die gelijk is aan HBC) gelijk te stellen aan 2/3 van hoek IHK, volgt dat ook hier de hoeken IHK en EBG gelijk te stellen zijn.   Tenslotte in het 5e geval, waarin HK valt op HN, blijkt weer de hoek BCS gelijk te stellen aan tweederde van hoek MCL of KHI; maar deze BCS (of de daaraan gelijke CBH) werd geacht tweederde uit te maken van hoek EBG. Dus weer blijken de hoeken KHI en EBG gelijk gesteld te moeten worden, wat te bewijzen overbleef.     En indien de stralen EB en GB, of daaraan evenwijdige, invallen om zo te zeggen op het hoekpunt A zelf van het doorzichtige lichaam, is duidelijk dat bij dezelfde top twee gelijke hoeken zullen samenkomen, aangegeven met o, gemaakt door telkens twee invallende stralen en telkens twee gebroken stralen.   Verder is gemakkelijk in te zien hoe ditzelfde theorema in overeenstemming gebracht kan worden met een willekeurige brekingsverhouding.   Ook is te weten: wanneer we dit in het volgende zullen gebruiken [>], zullen zowel de hoek BAC als de overige, waarmee invallende en gebroken stralen hellen ten opzichte van de loodlijnen op het brekende oppervlak, gewoonlijk veel kleiner zijn dan die welke we hier bepaald hebben; en eveneens zullen de hoeken EBG van de invallende stralen altijd heel klein zijn; daarom zullen de hoeken of hellingen van de stralen die uit het glas treden des te dichter bij hun volmaakte gelijkheid komen, omdat de verhouding van de hoeken zoveel beter overeenkomt met de sinusverhouding.

[ 481 ]

Voorstel VII   Lensopeningen bepalen in telescopen.   Nu is aangetoond [<] dat de vergrotingsverhouding bij telescopen met twee lenzen gelijk is aan die van de brandpuntsafstand van de buitenste lens tot de brandpuntsverhouding van de oculairlens (of als dit een holle lens zou zijn tot de afstand van het spreidingspunt [<]), willen we bezien of misschien met een telescoop, hoe klein ook, objecten gezien kunnen worden met elke vegroting die men wenst. Maar er zijn twee oorzaken die dit verhinderen. De ene is dat bij een gelijkblijvende opening van de buitenste lens geldt: hoe meer een telescoop objecten vergroot door gebruik van een sterkere lens, des te donkerder hij ze ook zal laten zien. De andere dat hij ze ook minder scherp zal weergeven. Maar als het redmiddel gezocht wordt in het groter maken van de opening, zal de onscherpte des te groter worden. Wat licht en donker betreft [<], dat zal begrepen worden als we letten op de afbeelding van het object die achterin het oog gevormd wordt; hoe groter deze gemaakt wordt — of dat nu gebeurt door de breking van lenzen, of alleen door er dichter naar toe te gaan — des te groter de hoeveelheid stralen die van afzonderlijke punten van het object binnen het oog opgevangen moet worden, opdat de helderheid dezelfde blijft. Want als men met het blote oog kijkend twee keer zo dichtbij naar het object gaat, wordt de afbeelding ervan achterin het oog twee keer zo groot als hij was, volgens de diameter, en vier keer zo groot volgens de oppervlakte. Maar ook gaan vier keer zoveel stralen de pupil in, die vanaf elk punt afzonderlijk ervan weggaan, omdat de hoek van de stralingskegel het dubbele wordt. Daarom wordt op beide afstanden hetzelfde licht voor de afbeelding ontvangen, dat is van nature zo geregeld. Maar als een telescoop verkregen moet worden die objecten tienmaal vergroot in diameter, en die alles even helder weergeeft als wanneer het gezien wordt met het blote oog, zal ook in de buitenste lens de openingsdiameter tienmaal zo groot moeten zijn als de pupildiameter, ook al zou er geen enkel gedeelte van de stralen weggenomen worden, noch door terugkaatsing aan de oppervlakken van beide lenzen, noch door de kleur van het glas. Want zo zal het oppervlak van het object, daar het honderdmaal vergroot wordt, ook aan licht het honderdvoudige krijgen van wat alleen de pupil binnen liet.   Maar een veel kleinere hoeveelheid licht is voldoende voor telescopen. Want die, welke we overdag gebruiken, zijn niet te donker als ze maar een zesde of zevende deel van de helderheid hebben die we gewoon met de ogen waarnemen. En langere, waarmee de Maan en de planeten bekeken worden, hebben nog twee keer zo weinig licht nodig, omdat de ogen in de duisternis door minder licht beïnvloed worden dan overdag.

[ 483 ]

Aldus in een telescoop die 30 voet lang is, en die de planeten honderdnegenmaal vergroot in diameter, en daardoor een openingsbreedte zou vereisen die zich zou verhouden tot die van de pupil als 109 tot 1; dat is, die van bijna 11 duim zou zijn (gesteld namelijk dat de pupilbreedte 1/10 duim is): bevonden wordt dat een opening met een breedte van 3 duim voldoende is. En die verzamelt minder dan een dertiende deel van het licht dat zou intreden bij een opening van 11 duim.   Maar de pupilbreedte heeft niet een vastgestelde waarde, en is niet altijd dezelfde, en ook kan niet nauwkeurig bepaald worden welke helderheid voldoende is. En aan planeten die verder verwijderd en daardoor minder goed zichtbaar zijn moet men een wat grotere helderheid geven, dan aan planeten dichter bij de Zon. Over de reden hiervan zal in het volgende gesproken worden.   Dit echter moet in het algemeen gezocht worden: hoe bij een gegeven telescoop die goed ingericht is (naar de ervaring heeft uitgewezen), en waarbij de brandpuntsafstanden van de twee lenzen gegeven zijn, en met de opening van de buitenste lens zo groot als toelaatbaar is, hoe, zeg ik, hieruit andere mogelijke telescopen af te leiden zijn van welke lengte dan ook [<], zodanig dat ze objecten even helder laten zien, en even scherp. Want hierdoor komt men te weten wat, en hoeveel, het kan helpen als men de telescooplengte vergroot. Eveneens of de glasschijven juist bewerkt en goed gepolijst zijn, of niet.   En om van de scherpte de reden te geven, het is te weten dat deze door twee oorzaken bedorven wordt, waarvan de ene is, dat een bolvormige bolling van de lenzen niet de stralen die uit een punt van het object weggaan naar één punt samenbrengt, maar wat doet afwijken (zoals in het voorgaande aangetoond is [<]). De andere reden is dat een straal die op het oppervlak van een dichter doorzichtig lichaam schuin invalt, en die voor een rechte lijn te houden is, nadat hij gebroken is niet langer langs een lijn loopt, maar zich als het ware uitstrooit in meer stralen, door heel kleine hoeken gescheiden, en met kleuren doortrokken. Zoals wanneer de straal CA op het glasoppervlak AB invalt: als deze gebroken is zal hij zich uitstrooien over de kleine hoek DAE, waarvan de zijde AD, die meer weggaat van de loodlijn GAF, een rode kleur zal dragen, en de andere uiterste AE een donkerviolette kleur; en tussen D en E zullen verschijnen geel, groen en blauw, in dezelfde volgorde als waarin ze gewoonlijk te zien zijn in de regenboog. Dat dit zo is, en wat daaruit volgt, heeft de zeer geleerde heer Isaac Newton enige tijd geleden opgemerkt; en door met een glazen prisma gebroken zonnestralen op te vangen op een donkere plaats heeft hij waargenomen dat deze straalverstrooiing volgens deze regel gebeurt: alsof de brekingen van de verschillend gekleurde stralen verschillend zouden zijn, sommige groter dan andere, en alsof de straal CA ze allemaal zou bevatten. En dat de buitenste in AD en AE zo gebroken worden dat de sinus van hoek GAC wel tot de sinus van hoek FAD zou zijn als 68 tot 44, maar tot de sinus van hoek FAE als 69 tot 44.

Marge:

Zie de Transactions of the Royal Society, feb. 1672. Newton's 'diffusie' (sparsie, divisie, dilatatie)*). Hij neemt te veel. Maar is veel groter dan de andere afwijking.   *)  De kleurschifting heet nu 'dispersie'.

[ 485 ]

En hieruit heeft hij verder opgemaakt dat in een willekeurige glazen lens, zoals AB, met as CD, geldt: als van de buitenste met de as evenwijdige stralen KA en LB, het deel dat het minst gebroken wordt, en dat de rode kleur draagt, met de as samenkomt in D, en het maximaal gebroken en violette deel in E, dat dan ED gelijk is aan 1/50 CD. En daarom, als AE en BE doorgetrokken worden totdat ze in F en G de rechte ontmoeten die door D getrokken is evenwijdig met de lens AB, dat dan GF, de diameter van het afwijkingscirkeltje, gelijk wordt aan het vijftigste deel van de diameter AB*). Dientengevolge zal ook hoek DAF geacht worden 1/50 van hoek ADC uit te maken. De reden daarvan blijkt gemakkelijk, als gesteld wordt dat de lens AB platbol is, met het bolle oppervlak ACB van een bol met halve diameter CN. Want zoals 68 tot 44, zo zal NC tot DC zijn [<], en zoals 69 tot 44 zo NE tot EC. En daarom is NC tot CD als 24 tot 44, en NC tot CE als 25 tot 44, en dus DC tot CE als 25 tot 24. En CD tot DE als 25 tot 1. En wat we over deze platbolle lens hebben aangetoond, past ook bij elke andere, omdat bij even dikke lenzen de brandpuntsafstanden gelijk zijn [<].   Nu is deze afwijking zowel van andere aard als meestal veel groter dan die, welke ten gevolge van de bolvorm optreedt. Want als er bijvoorbeeld een lens AB is, waarvan het ene oppervlak plat is, het andere bol, en als die blootgesteld is aan invallende stralen, en de brandpuntsafstand HD is gelijk aan 1 voet (of 12 duim), de opening AB een halve duim, zoveel ongeveer als aan deze lens gegeven moet worden in een telescoop van een voet; dan wordt de dikte van de lens HC 1/192 duim, waarvan 7/6 deel [<] (dat is 1/164 duim) de totale afwijking DE bepaalt die uit de bolvorm voortkomt. Maar door de afwijking van Newton zal DE zijn 1/50 CD, dat is 12/50 duim. En deze verhoudt zich daarom tot de vorige als 39 tot 1. Maar hoe langer de telescopen, des te groter zal dit verschil van de afwijkingen zijn.   *)  Newton had een ander cirkeltje bedoeld, behorend bij een violette straal en de rode aan de andere kant, zodat de diameter van zijn cirkeltje was: 1/25 AB.

[ 487 ]

Omdat het nu zou kunnen lijken dat door zo'n grote fout bij de breking elk effect van telescopen door en door bedorven zou raken, terwijl we toch ondervinden dat het tegengestelde gebeurt, moet de oorzaak hiervan kort en goed uiteengezet worden. En daarom is te weten: dat gekleurde beeld van de Zon zoals Newton het waargenomen heeft, krijgt verreweg het grootste gedeelte van het licht daar waar de gele kleur schijnt, het dichtst bij het rood. Maar ditzelfde beeld wordt veel donkerder aan de kant waar het naar violet gaat. En het lijdt geen twijfel dat, als de stralen vanaf een andere lichtbron dan de Zon komen, het grootste deel van de afwijkende stralen niet waargenomen kan worden. Zo komt het dat stralen die van afzonderlijke punten van objecten weggaan, door de werking van een bolle lens een vrij scherpe en welomlijnde afbeelding in het brandpunt verschaffen van een voorwerp dat in de verte staat, ook al is het bestrooid met wat licht (als een waas), dat voortkomt uit die afwijking, oftewel de verstrooiing van de afzonderlijke stralen.   Opgemerkt*) kan worden dat voorstel VI [<] kan strekken tot de stralen die in verschillende kleuren verstrooid zijn. Daaruit volgt immers dat dezelfde regel aangehouden wordt bij verstrooide stralen als bij enkelvoudige — b. v. de straal SD zal verstrooid worden in de rode kleur DO en de violette DR; en evenzo de straal ND in de rode DB en de violette DF — volgt, zeg ik, uit dit voorstel VI dat de hoeken BDO, beschreven door de stralen met rode kleur, en FDR door de stralen met violette kleur, elk afzonderlijk gelijk zullen zijn aan de hoek SDN.   Waaruit niet te onpas ook dit afgeleid kan worden bij wijze van Hulpstelling:   De afwijking NDM, voortgebracht door de invallende straal BD, is gelijk aan de afwijking BDF, ontstaan door de breking van ND.   Want omdat van de invallende straal BD de afwijking NDM komt, of wat hetzelfde is, van de invallende SD de afwijking ODR = NDM, en anderzijds uit de invallende straal ND de afwijking BDF ontstaat, zullen de hoeken BDO, beschreven door de rode kleur, en FDR door de violette, afzonderlijk gelijk zijn aan hoek SDN, dus ook onderling gelijk: BDO = FDR; en als daarvan de gemeenschappelijke hoek FDE wordt weggenomen, zal de rest BDF gelijk zijn aan ODR, d.w.z. aan NDM, wat te bewijzen was.   *)  Het volgende stukje is ingelast door de Volder en Fullenius (1703), of door hen ontleend aan een apart blad dat nu ontbreekt.

[ 489 ]

Nu zal ik doorgaan met het bepalen van de openingen van telescopen, en ik zal aantonen:   De diameters van de openingen moeten evenredig gemaakt worden met de wortel uit de brandpuntsafstand van de buitenste lens. En zo ook de brandpuntsafstanden van de oculairlenzen.     Beschouw een telescoop die samengesteld is uit de lenzen AC en DP, AC als buitenste, DP als oculair. De as van de telescoop die door het midden van elk van beide lenzen gaat is CP, die de pupil van het oog snijdt in het punt T, en de achterkant treft in N. De brandpuntsafstand van lens AC is CF, van lens DP is de brandpuntsafstand PF. De halve openingsbreedte is AC. Er wordt wel gesteld dat deze telescoop goed ingericht is wat betreft het licht en een scherp zicht, zodat hij noch een grotere opening in de buitenste lens kan krijgen, noch een sterkere oculairlens. En nu moet een andere gemaakt worden, langer en met een grotere vergroting, waarvan de lens ac de brandpuntsafstand cf moet hebben, in een gegeven verhouding met CF, en hieruit moet gezocht worden de openingsdiameter aa, en eveneens de brandpuntsafstand pf van de oculairlens, waarmee deze telescoop even helder moet worden, en even scherp de objecten vertonen, als die met de lenzen AC en PD.   Laten we aan weerskanten alles aanduiden met letters van dezelfde naam maar verschillende vorm, en met dezelfde constructie.   Laat dan aangenomen worden dat F het punt van samenkomst is van de stralen evenwijdig met de as die de rode kleur dragen, zowel van die van buiten komen naar lens AC, als die op lens PD zouden vallen vanaf de kant van het oog. En dat B het punt van samenkomst is van lens AC, van evenwijdige die de violette kleur vertonen, en G punt van samenkomst van evenwijdige die deze kleur door lens PD voeren. En laat de toestand van het oog zodanig zijn, dat het rode stralen evenwijdig met de as na het opvangen naar één punt van de achterkant brengt. De afwijking die uit de bolvorm ontstaat verwaarlozen we hier, die immers (zoals we gezegd hebben) van geen belang is ten opzichte van die, welke van de kleuren komt. En daarom, als vanaf de uitersten van de opening AA getrokken worden de rechten ABD en AFO, die de lens PD ontmoeten in D en O, geven die de uiterste gekleurde stralen aan, gemaakt door de breking van lens AC uit één met de as evenwijdige straal. Verbind DF, FA, DG, en laat het verlengde van de as CP de pupil van het oog snijden in punt T, en op de achterkant invallen in N. En trek de rechte DE evenwijdig met de as vanaf de oculairlens tot de pupil, en verbind EN. Overigens noemen we de hoek BDF — van de grootte hiervan is de afwijking achterin het oog afhankelijk, naar we hebben aangetoond — de afwijkingshoek.

[ 491 ]

Daar dus een straal met de violette kleur die uit G naar D loopt zal overgaan in DE, evenwijdig met de as, zal een straal ABD met deze kleur niet gebroken kunnen worden als DE, maar volgens het voorstel zal hij meer naar binnen naar de pupil lopen langs DK, zodat de hoeken BDG en EDK gelijk worden [<]. Trek KL evenwijdig met de as; omdat dus de toestand van het oog zodanig is dat evenwijdige rode stralen DE en LK op de achterkant samenkomen in het punt N, zal de straal DK er niet mee samenkomen, ook al is hij rood, en nog minder nu hij violet is, maar hij zal meer naar binnen lopen volgens KM, zodat hoek NKM een bepaalde verhouding heeft met DKL*), of de sinus met de sinus (het is nu niet van belang te weten hoe die is). Maar in beide telescopen moeten de hoeken NKM gelijk zijn, opdat er een even scherp zicht komt; omdat zo ook de afwijking NM achterin het oog in beide gevallen gelijk zal zijn. Want het staat vast dat de rode straal AFO als die door lens PD gegaan is evenwijdig met de as zal zijn, en daarom terecht zal komen in het punt N achterin het oog. Daarom moeten ook de hoeken DKL, of KDE, of BDG, in beide gevallen gelijk zijn. Of ook de hoeken BDF. Want dan zullen ook de hoeken BDG terecht als gelijk te beschouwen zijn, omdat ze in beide gevallen de hoeken FDG (hoewel onderling niet gelijk) heel klein zijn. Zoals immers CF tot FB, zo is PF tot FG, vanwege de aard van deze afwijking; en daaruit volgt door verwisseling: zoals CF tot FP, zo FB tot FG. Maar nu is CF heel veel groter dan FP, daar b.v. in een telescoop van 30 voet hun verhouding die van 109 tot 1 is. Dus zoveel is ook FB groter dan FG, en zo is het ongeveer met hoek BDF en hoek FDG.   *)  De redenering is hier niet geheel exact.

[ 493 ]

Hiermee zetten we de berekening voort als volgt. In de eerste telescoop zij CF = b; FP = c; AC = a: in de tweede cf = d, fp = y; ac = x. En zoals CF tot FP zo maken we het lijnstuk θf tot fp, en dan zal gelden θf = by/c. Omdat dus de vergrotingsverhouding in de eerste telescoop is CF tot FP, of θf tot fp; en in de tweede cf tot fp, zullen de schijnbare diameters in elk zich verhouden als θf tot cf. Dezelfde verhouding moet er zijn van AC tot ac, omdat we willen dat beide telescopen even helder zijn: dit zal gebeuren, als de andere, zoveel meer als hij de objecten vergroot, met een zoveel maal grotere opening de stralen verzamelt, afkomstig van afzonderlijke punten daarvan. Dus is AC tot ac, dat is a tot x, als θf tot cf, dat is volgens het voorgaande, als by/c tot d. Waaruit komt: y of fp = adc/bx. Trek FQ loodrecht op de as, die de rechte DA ontmoet in Q. Omdat dus zoals CB tot BF, zo cb tot bf (want in beide gevallen is BF = 1/50 CB, volgens wat boven uiteengezet is [<]), zal ook CA tot FQ zijn als ca tot fq. En door verwisseling: CA tot ca als FQ tot fq. Omdat verder, zoals gezegd is, de afwijkingshoeken BDF en bdf gelijk moeten zijn, zal DF tot FQ zijn als df tot fq, of PF tot FQ als pf tot fq, daar in beide gevallen PF en DF voor dezelfde gehouden kunnen worden, wegens het zeer kleine verschil. Daarom ook door verwisseling: PF tot pf als FQ tot fq, dat is: als CA tot ca. Nu is PF = c; pf = adc/bx; CA = a. Dus ca of x = aad/bx. En bxx = aad, dat wil zeggen xx tot aa als d tot b. Oftewel: x tot a als de wortel van d tot die van b, wat aangetoond moest worden.   Dat nu ook de brandpuntsafstanden van de lenzen PD en pd zijn zoals de openingsdiameters AA en aa, wordt als volgt hieruit bewezen. Daar gezegd is dat a tot x zoals by/c tot d, zal ook aa tot xx zijn als bbyy/cc tot dd. Verder was aa tot xx als b tot d. Dus bbyy/cc tot dd als b tot d, en daarom byy = ccd. En cc tot yy als b tot d, dat is als aa tot xx; en daarom ook c tot y als a tot x. Dat wil zeggen: de verhouding van de brandpuntsafstanden FP en fp is dezelfde als van de halve openingsdiameters AC en ac.

[ 495 ]

Bij telescopen die zijn samengesteld uit een bolle en een holle lens kan hetzelfde aangetoond worden, met een volkomen gelijkvormig bewijs, behalve dat dan de afstand van het spreidingspunt zal zijn wat hier de brandpuntsafstand van de bolle oculairlens was. Maar van deze holle lenzen maakt men bij de samenstelling nu bijna geen gebruik, wegens de beperktheid van de ruimte, die ze overlaten voor het blikveld in de telescopen [<].   Overigens, om zowel de openingen als de oculairlenzen te vinden die passen bij elke buitenste lens, hebben we, uit wat al gezegd is en voor een eenmaal vastgestelde telescoop van 30 voet, deze regel opgemaakt: Het aantal voet dat de brandpuntsafstand van de buitenste lens bedraagt, dat getal moet vermenigvuldigd worden met 3000; de wortel uit het product is dan de diameter van de gezochte opening in honderdsten van een duim. Dezelfde wortel vermeerderd met zijn tiende deel geeft de brandpuntsafstand van de oculairlens, in dezelfde honderdsten uitgedrukt. En de breedten van het waargenomen object verhouden zich als de openingsdiameters. Dit alles wordt als volgt bewezen.   De ondervinding leert ons dat bij een lens van 30 voet een opening past van 3 duim. Als dus een andere lens overwogen wordt waarvan de brandpuntsafstand het aantal voeten b bevat, zal volgens wat boven uiteengezet is gelden: zoals 30 tot √(30b) (wat de wortel is uit de verhouding van de brandpuntsafstanden), zo is 3 duim van de opening (of 300 honderdste duim) tot de gezochte opening van de lens. Of door verwisseling: zoals 30 tot 300, dat is 1 tot 10, zo is √(30b) tot de opening in honderdste duim, welke dus zal zijn √(3000b), zoals de regel stelt. We hebben ook gevonden dat bij dezelfde lens van 30 voet een oculairlens past, waarvan de brandpuntsafstand is 3 3/10 duim. Verder verhouden de brandpuntsafstanden zich als de openingen. Dus zoals de opening van 3 duim, of 300 honderdsten, tot de opening √(3000b), zo is de brandpuntsafstand van 3 3/10 duim, of 330 honderdsten, tot de gezochte brandpuntsafstand. Of door verwisseling: zoals 300 tot 330, dat is zoals 1 tot 1 1/10, zo is de opening van √(3000b) tot die brandpuntsafstand.   Tenslotte de vergrotingsverhouding, oftewel dat de schijnbare grootten van objecten in telescopen waargenomen, zijn zoals de openingsdiameters; dit zal als volgt duidelijk worden. In elke telescoop is de schijnbare grootte tot de ware (oftewel die met het blote oog wordt waargenomen) zoals de brandpuntsafstand van de buitenste lens tot de brandpuntsafstand van de oculairlens. Dus in de ene telescoop van het voorstel [<] zal deze grootteverhouding zijn die van CF tot FP, of van b tot c. En in de andere die van cf tot fp, dat is die van d tot adc/bx, of bx/a tot c. Maar de ware grootte is in beide gevallen gelijk. Dus zal de schijnbare grootte in de eerste telescoop tot die in de andere zich verhouden als b tot bx/a, dat is als a tot x, oftewel als de openingsdiameters, wat te bewijzen was.

[ 497 ]

Daarom zijn uit de vergroting, die bij de telescoop van 30 voet is als 109 tot 1, alle overige uit de verhouding van de openingen gevonden, en weergegeven in de volgende tabel*).

*)  De tabel is niet geheel volgens wat in de tekst staat. De regel voor de opstelling staat o. a. in een brief aan broer Constantijn (23 april 1685), en is in het manuscript van de Dioptrica als volgt: Als het aantal voet van de brandpuntsafstand die de grootste lens heeft, vermenigvuldigd wordt met 3000, zal de wortel uit het product de openingsdiameter zijn in honderdste duim. De openingsdiameter is gelijk aan de brandpuntsafstand van de oculairlens. Als hetzelfde aantal voet van de brandpuntsafstand van de grootste lens vermenigvuldigd wordt met 480, zal de wortel uit het product de vergrotingsfactor zijn. Bij een brandpuntsafstand van 120 voet zal de diameter van een object vergroot worden volgens de verhouding 240 tot 1.   Voor de kijker van 30 voet, die volgens de tabel een vergroting zou hebben van 120 maal, geeft de tekst 109 maal. Het schijnt dat Huygens begonnen is met 120, en later uitkwam op 109.   De Rijnlandse voet is 3,13946 decimeter, en 1 voet = 12 duim.   [ Het kleinste telescoopje, van 1 voet, heet 'telescopiolum pedale', zie p. 653-4; verder vinden we 'telescopiola' op p. 772.]

[ 499 ]

Onder de tabel staat: De openingen van deze tabel zijn voor Saturnus. Voor helderder objecten moeten ze wat kleiner zijn. Om bij daglicht te kijken moet men de brandpuntsafstand verdubbelen van het oculairglas dat volgens deze tabel past bij de telescopen, om de helderheid te hebben die nodig is. En dan zal hun vergroting de helft zijn van die in de tabel. Vergelijk over dit onderwerp p. 505 hierna. Bovendien vindt men in de marge: Deze tabel is juist, de grondslag van de berekening ervan is niet genomen uit de fout van de bolvorm, maar uit de verstrooiing van de afzonderlijke gebroken stralen die Newton heeft waargenomen. De tabel verving een eerdere [p. 353], die wel was gebaseerd op de sferische aberratie.   [ Astronomie.nl, 2 maart 2023: 'Christiaan Huygens had misschien een bril nodig', over: Alexander G. M. Pietrow, 'Did Christiaan Huygens need glasses? A study of Huygens' telescope equations and tables', Notes and Records: The Royal Society Journal of the History of Science, 1 March, 2023. In het Nederlands: Zenith, november 2023.]

[ 501 ]

Voorstel VIII   Als in twee telescopen, die gelijke buitenste lenzen hebben, de openingsdiameters onderling verschillen, en ook met dezelfde verhouding de brandpuntsafstanden van de oculairlenzen, dan zal daarmee alles even scherp gezien worden. En de schijnbare breedten van objecten zullen het omgekeerde van die verhouding hebben; maar de helderheden de vierde macht van die verhouding.     Laat van de lenzen AA en aa de brandpuntsafstanden CF en cf voor de evenwijdige rode stralen gelijk zijn, en evenzo gelijk CB en cb, de brandpuntsafstanden voor de violette stralen; de openingen echter ongelijk, waarvan de diameters zijn AA en aa. En laat dezelfde verhouding als deze gelden voor de brandpuntsafstanden FP en fp van de oculairlenzen. Als voorts getrokken zijn bij beide (zoals boven [<]), de rechten ABD, AF, FD, FQ, wordt ook Q met P verbonden. Omdat dus zowel CB als BF in beide gevallen gelijk zijn, naar de aard van de afwijking (waarover we handelen [<]), zal FQ tot fq zijn als AA tot aa. Maar zo is ook, volgens de hypothese, FP tot fp. Dus zullen de hoeken FPQ en fpq gelijk zijn, en FDQ en fdq worden geacht daarvan niets te verschillen, omdat verondersteld wordt dat de hoeken PFD zeer klein zijn. En uit deze gelijkheid van de hoeken FDQ en fdq wordt opgemaakt (zoals in het vorige voorstel [<]), dat de afwijking achterin het oog in beide gevallen dezelfde wordt, en dat het beeld van een object even scherp onderscheiden wordt in beide telescopen.   Voorts is het tweede deel van het voorstel duidelijk uit wat boven bewezen is [<], namelijk dat de objectbreedten omgekeerd evenredig zijn met de brandpuntsafstanden van de oculairlenzen, wanneer namelijk de buitenste lenzen in beide gevallen gelijk zijn.   Maar wat gezegd wordt over de helderheidsverhouding kan als volgt bewezen worden. Aangezien de brandpuntsafstanden van de lenzen AA en aa gelijk zijn, zou, als ook de lenzen PD en pd gelijk waren, de schijnbare grootte van een object in beide gevallen dezelfde zijn; maar de ene helderheid zou tot de andere zijn als het kwadraat van AA tot het kwadraat van aa, dat is als de openingscirkels, omdat de hoeveelheid stralen, ontvangen van elk punt van het object, deze verhouding heeft.

[ 503 ]

Maar nu is het beeld achterin het oog bij telescoop CP ten opzichte van dat bij telescoop cp als het kwadraat van fp tot het kwadraat van FP; en daarom zou het omgekeerde van deze verhouding — dat is het kwadraat van FP tot het kwadraat van fp — gelden voor de helderheid van telescoop CP tot de helderheid van telescoop cp, als maar een gelijke hoeveelheid licht in elk van beide zou stromen. Nu echter vangt telescoop CP volgens diezelfde verhouding meer licht op dan cp, wegens de grotere opening. Dus zal de beeldhelderheid, door deze toegelaten, tot de andere zijn in verhouding van de vierde macht van AA tot die van aa. wat nog te bewijzen was.   Als dus bij gelijk gestelde brandpuntsafstanden CF en cf, de openingsdiameter AA dubbel zo groot is als aa, en evenzo de brandpuntsafstand FP het dubbele van fp, zal de helderheid van telescoop CP zestien keer zo groot zijn als die van telescoop cp.   Maar wat bewezen is over de in beide gevallen gelijke gezichtsscherpte, komt zo niet exact overeen met de ondervinding, maar bij een grotere helderheid zal men meer last hebben van neveligheid die voortkomt uit de afwijking, wegens dezelfde oorzaak die we kort geleden aanvoerden toen we waarnemingen overdag vergeleken met nachtelijke [<]. En dit wordt ongetwijfeld zo bevonden als men met elk van beide telescopen, of met eenzelfde bij verschillende openingen, hetzelfde object bekijkt. Maar als men bij objecten van verschillende helderheid dezelfde opening toepast, zal weer door deze oorzaak meer wazigheid ontstaan waar het licht sterker is. En daarom schijnt men aan donkerder planeten een wat grotere opening te moeten geven dan aan de meer heldere. Voorstel IX   Telescopen van de voorgaande tabel voor alle objecten gebruiken, hetzij overdag, hetzij 's nachts.   Het is te weten dat de telescopen die gegeven worden in de bovenstaande tabel [<], worden aangewend voor waarnemingen van de sterrenhemel. Maar kort hiervoor heb ik gezegd dat er meer licht nodig is in die, welke we overdag gebruiken, omdat namelijk, als de ogen eerst door veel daglicht verdoofd zijn en ze daarna bij de telescoop worden gehouden, alles donker wordt gezien wat in het nachtelijk duister helder zou zijn.

[ 505 ]

Zo heb ik, toen ik dezelfde telescopen (die in de tabel beschreven zijn) toepaste voor waarnemingen overdag, proefondervindelijk bevonden dat de oculairlenzen erin vervangen moesten worden door andere, waarvan de brandpuntsafstanden ongeveer het dubbele zijn van de vorige. En zo zal de helderheid het viervoudige worden, omdat met dezelfde verhouding de beeldoppervlakken verkleind zullen worden; want de hoeveelheid stralen zal dezelfde blijven, doordat de opening van de buitenste lens onveranderd is, en dus zullen ze een beperktere ruimte helderder maken. Indien men echter de oculairlens niet verandert en de opening vergroot, zal de helderheid wel toenemen, maar er zal meer neveligheid komen door de grotere lensafwijking, en daarom is deze remedie niet te gebruiken.   Hierbij kan men zich afvragen, aangezien bij het vervangen van de oculairlens door een minder sterke, de lensafwijking die we tot nu toe onderzocht hebben afneemt, waarom niet tegelijk de opening van de buitenste lens zover vergroot kan worden totdat weer dezelfde lensafwijking optreedt die bestond bij een volgens de tabel goed ingerichte telescoop. Want zo zal er meer licht bijkomen, en toch gaat er van de gezichtsscherpte niet iets af (volgens het vorige voorstel [<]). Maar het antwoord moet gezocht worden in wat ik boven al aangestipt heb [<], dat namelijk die neveligheid door de Newtonse afwijking meer stoort indien zich achterin het oog een meer verlicht beeld afschildert; want tegelijk zal ook het nevellicht toenemen. En dit ondervinden we inderdaad: zodra de opening van zulke dagtelescopen toeneemt, begint de wazigheid door de lensafwijking bij lichtere objecten storend te worden. Daarom moet er niets veranderd worden aan de openingen.   Andersom kan men zich afvragen, als een telescoop die geschikt is voor waarnemingen van Saturnus op de Maan gericht wordt, die honderdmaal zo helder is (ik zeg niet helemaal, maar op afzonderlijke gedeelten), tienmaal zo dichtbij de Zon immers, of niet de openingsbreedte met voordeel verminderd kan worden, en tegelijk met dezelfde verhouding de brandpuntsafstand van de oculairlens; zodat de helderheid van de gebieden op de Maan niet groter wordt dan die bij Saturnus was, en de vergroting veel sterker wordt.

[ 507 ]

Bijvoorbeeld bij een telescoop van 30 voet, als de openingsdiameter van 3 duim teruggebracht wordt tot √(9/10) duim, wat weinig minder is dan het derde deel van de vorige, en tegelijk de brandpuntsafstand van de oculairlens met dezelfde verhouding verminderd wordt. Want hier zou voor iemand die naar hetzelfde object zou kijken de helderheidsverhouding de vierde macht zijn van die van 3 tot √(9/10), volgens voorstel VIII [<], dat is die van 100 tot 1; en daar gebieden van de Maan honderdmaal helderder zijn dan van Saturnus, zou dezelfde helderheid blijven bij de Maan die er eerder was bij Saturnus. Maar volgens hetzelfde voorstel zal ook de afwijking achterin het oog in beide gevallen gelijk zijn, en de vergroting bij de Maan zal sterker zijn dan bij Saturnus volgens de verhouding 3 tot √(9/10), meer dan driemaal. Daarom schijnt deze verandering van opening en oculairlens zeer voordelig te zijn. Maar in werkelijkheid is dat niet het geval. Dus moet de oorzaak waarom het zo gaat genoemd worden; en ik zeg dat deze tweevoudig is. Want de eerste is dat alle kleinste delen op de maanschijf beter en nauwkeuriger onderscheiden worden, als al het licht aan de telescoop gegund wordt, dan wanneer het honderdmaal minder wordt, ook al is het niet volgens deze grote verhouding van het verschil. De andere oorzaak is, dat bij een teveel vernauwde opening de keurige omlijning van de beelden verloren gaat, en men moet dit nauwgezet in het oog houden, en weten welke grenzen hier gesteld zijn door de natuur. Het is namelijk zo dat hoe meer de opening beperkt wordt, des te dunner is het cilindertje waarmee stralen het oog treffen die vanaf één willekeurig punt van het object weggaan; in de figuur van voorstel VII [<] is de straal van dit cilindertje PO. Maar indien het dubbele hiervan, oftewel de hele diameter, kleiner is dan 1/5 of 1/6 lijn*) (dat is kleiner dan 1/60 of 1/72 duim), dan gaat die omlijning van de beelden verloren, door een oorzaak die verborgen ligt in de natuurlijke bouw van het oog, te zoeken hetzij in het vaatvlies of in het netvlies, hetzij in het oogvocht zelf. Want ook als we voor het blote oog een plaatje zetten met een gaatje dat kleiner is dan 1/5 of 1/6 deel van een lijn, beginnen de randen van objecten minder scherp te verschijnen, en des te onduidelijker naarmate het gaatje verder verkleind wordt°). En in het gegeven voorbeeld van een echt geval wordt gemakkelijk aangetoond dat de cilinder naar het oog smaller wordt.   *)  De "Rijnlandse lijn" meet 2,18 mm. Huygens geeft dus een limiet van ca. 0,4 mm.   [ °)  Kijken door zo'n 'gaatje' wordt ook genoemd in App. X bij de microscoop.]

[ 509 ]

Want volgens de regel voor de openingen [<] wordt de brandpuntsafstand van de oculairlens 11/10 √(9/10) duim. En zoals de brandpuntsafstand van de buitenste lens tot die van de binnenste, dat is zoals in de figuur bij het voorstel [<] CF tot FP, zo is de openingsdiameter AA tot dubbel PO, of de diameter van dat cilindertje. Dat is: zoals 30 voet (of 360 duim) tot 11/10 √(9/10) van een duim, zo is √(9/10) tot bijna 1/30 van een lijn, zeker veel kleiner dan 1/6. Maar in de vorige en gewone telescoopopstelling gold: zoals 360 duim is tot 3 3/10, zo is 3 duim tot 11/400 duim, of bijna 1/3 lijn voor de cilinderdiameter, die daarom helemaal niet zo smal is dat hij schadelijk kan zijn. Maar de openingsdiameter en tegelijk de brandpuntsafstand van de oculairlens kunnen niet veel meer dan met een derde deel verkleind worden, omdat hierdoor al een breedte naar het oog ontstaat die nauwelijks groter is dan 1/5 lijn*). En dat vindt plaats bij elke telescooplengte, aangezien ze in onze tabel zo zijn ingericht dat die breedte naar het oog in alle dezelfde is, zoals ik even hierna zal bewijzen.   Ook als we dus de telescoop van Saturnus naar Venus willen richten, waarvan de helderheid 225 keer zo groot is, moet toch de opening niet verder beperkt worden dan met een derde deel. Maar als er een teveel aan helderheid overblijft moet dat weggenomen worden met een glas dat lichtjes beroet is.   Want ook om een andere reden is een verkleining van de opening schadelijk, namelijk dat donkere plekken en kleine belletjes die zich in de oculairlens bevinden meer te zien zijn, omdat ze immers de hele breedte onderscheppen van het cilindertje waarover we spraken (of een deel ervan), en daarom ook een stukje van het object.   En wat betreft de breedte van het stralencilindertje dat in het oog valt, waarvan ik gezegd heb dat bij alle telescopen van onze tabel dezelfde bevonden wordt, er is weinig voor nodig om dit aan te tonen. Want in de tekening van het voorstel [<] zijn de halve diameters van zulke cilindertjes in twee telescopen van verschillende lengte PO en po. En daar geldt zoals FC tot CA zo FP tot PO, zal PO = ac/b zijn. En daar evenzo geldt zoals fc tot ca zo fp tot po, en fc = d, ca = x, en daar gevonden is fp = adc/bx [<], zal po = ac/b worden, en daarom gelijk aan PO, wat aangetoond moest worden.   *)  Lees 1/7: zowel openingsdiameter als brandpuntsafstand van oculair worden verkleind tot twee derde, en de cilinderdiameter daarom tot 4/9e deel, dus tot 11/400 x 4/9 x 12 lijn, dat is iets meer dan een zevende lijn.

[ 511 ]

En tenlotte concludeer ik hieruit dat er geen belemmering is, mits we ons houden aan de regels van bovenstaande tabel, om de telescooplengte te vergroten tot zover we willen, en dit met steeds groter effect. Aangezien zowel de helderheid als de scherpte overal hetzelfde blijft, zoals blijkt uit het voorstel [<] waarop de tabel gebaseerd is; en ook dat later genoemde nadeel, van een te smalle stralenbundel naar de pupil, is evenzeer afwezig.   Maar voordat we de telescoop laten voor wat hij is, zal ik aangeven hoe kleine sterretjes waargenomen kunnen worden, en vooral de satellieten van Jupiter en Saturnus, door de opening van de buitenste lens aanmerkelijk en meer dan normaal te vergroten, en tegelijk de brandpuntsafstand van het oculair. Want omdat deze hemellichamen slechts als punten verschijnen, ook al worden ze met de telescoop bekeken, is er geen voordeel als hun diameters vergroot worden, maar men moet ze met zoveel mogelijk licht laten stralen. En dit gebeurt vooral als de openingen vergroot worden. Want als de openingsdiameter verdubbeld wordt, wordt viermaal zoveel licht verzameld dat van het hemellichaam stroomt. Maar als tegelijk de brandpuntsafstand van de oculairlens verdubbeld wordt, zal dezelfde scherpte ontstaan als oorspronkelijk, maar toch zal de helderheid niet zestien keer zo groot worden (zoals uit de bovenstaande berekening volgt [<]), maar die zal het viervoudige blijven. Het beeld van het hemellichaam achterin het oog is nu eenmaal puntvormig, zoals ik al gezegd heb, en daarom moeten we letten op zo'n hoeveelheid licht als daar naartoe geleid is; en hoe groter deze is, des te helderder en gemakkelijker dat hemellichaam gezien wordt. Wat anders is als we met deze telescoop kijken naar de Maan of één der primaire planeten*), waarvan de afzonderlijke gedeelten zestien keer zoveel licht krijgen. Doch we zouden met deze verruiming van de opening de sterkte van een telescoop het meest kunnen vermeerderen bij het opvangen van zeer kleine sterren, of metgezellen van Saturnus°); en misschien met één van 30 voet lengte met een opening dubbel zo groot als de gewone, oftewel 6 duim breed, evenveel verrichten als anders met een telescoop van 120 voet, waaraan in de bovenstaande tabel [<] zo'n openingsbreedte toegekend was.   *)  De satellieten werden ook wel planeten genoemd.   °)  Marge:   Moet eerst geprobeerd worden.