Chr. Huygens | Oeuvres XIV | Logaritmen

Regel , kwadratuur , wet van Boyle , atmosfeer , kromme


Logaritmen

(1661-2)


[ 431 ]

Voorbericht

    Onderzoekingen van 1661 en 1662 over de berekening van logaritmen en over de kwadratuur van de hyperbool met logaritmen.
Toepassing op het bepalen van de hoogte boven de zeespiegel die overeenkomt met een gegeven luchtdruk en andersom.

Regel om logaritmen te vinden.

    In 1868 ontdekte Joseph Bertrand 1) in het 'Registre des Procès verbaux de l'Académie des Sciences' een "regel om logaritmen te vinden", door Huygens meegedeeld aan deze vergadering, in 1666, in één van haar eerste bijeenkomsten. Bertrand vond deze regel "opmerkelijk en elegant op zich en het bewijs dat Huygens niet geeft" leek hem "moeilijk te geven zonder gebruikmaking van de logaritmische reeks van Mercator 2), pas gepubliceerd in 1668 3) en in dat jaar door Huygens zelf besproken in een van de zittingen van de Academie 4)".


    1)  Vergelijk p. 565-567 van T. 66 van de Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences.
    2)  De bekende reeks:  ln (1 + x) = x – 1/2 x² + 1/3 x³ – ... [Zie: The number e.]
    3)  In Logarithmo-Technia van Nic. Mercator, aangehaald in noot 5 van p. 276 van T. VI.
[P. 32 van het boek, zie Wallis in Phil.Trans, aug. 1668, p. 754.]

    4)  In de zitting van 17 oktober 1668 [Registre, p. 138].
    [ Overzicht en geschiedenis van de logaritme: Wikipedia, 'Logaritmetafel'.]

[ 432 ]

    Nu geeft het stuk No. 1 (p. 451-457), gedateerd augustus 1661, ons de oplossing van dit raadsel. Het laat ons de methode kennen die Huygens volgde om zijn regel te vinden; een methode die inderdaad niets te maken heeft met de reeks van Mercator, aangezien ze berust op een benaderde kwadratuur van de hyperbool, door Huygens afgeleid van een theorema dat hij in 1651 had gepubliceerd in zijn Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro.

hyperbool, segment, middellijn uit centrum

Met dit theorema 1) kan men het oppervlak berekenen van een hyperbolisch segment HPERH 2) mits de plaats van het zwaartepunt V op de middellijn PR bekend is.

    Als men dan, in eerste benadering, het hyperbolisch segment vervangt door een parabolisch segment op dezelfde middellijn PR en op dezelfde basis HE, is gemakkelijk een benaderde waarde te vinden voor het oppervlak van segment HPE (en vervolgens ook voor dat van de figuur HKDEPH 3) onder de hyperbool), daar men weet dat in een parabolisch segment het zwaartepunt de middellijn PR verdeelt in de verhouding van 3 tot 2.

    We beschouwen nu de volgende figuur, die overeenkomt met die van p. 451 van de volgende tekst. Uit een theorema van Gregorius van St. Vincent 4) wist Huygens dat de oppervlakken van de figuren onder de hyperbool ABDEA en FGDEF


    1)  Zie noot 6 van p. 453 [p. 305 van T. XI, theorema VI; Ned.].
    2)  Deze figuur is ontleend aan die van p. 453, zonder de lijnen die hier niet nodig zijn.
    3)  Vergelijk p. 453-455.         4)  Zie noot 3 van p. 452 [prop. CXXIX. p. 596 van Opus geometricum, 1647].

[ 433 ]

hyperbool, loodlijnen op horizontal as

evenredig zijn met de logaritmen van de verhoudingen der buitenste ordinaten. Als men dus stelt DE = 1, AB = 10, FG = β, heeft men:

log β = opp. FGDEF / opp. ABDEA.

    Als Huygens zijn benaderde kwadratuur rechtstreeks had toegepast op de oppervlakken FGDEF en ABDEA, zou het resultaat weinig bevredigend zijn geweest 5), maar de benadering wordt duidelijk beter naarmate men de uiterste ordinaten AB en FG dichter bij DE brengt zonder de verhouding van de oppervlakken te veranderen. Om van deze omstandigheid gebruik te maken verdeelt Huygens het oppervlak ABDE in twee gelijke delen met de ordinaat NO, middelevenredige tussen AB en DE, en hij doet hetzelfde met oppervlak FGDE. Deze bewerkingen vijfmaal herhalend verkrijgt hij figuren, aan de rechterkant begrensd door de ordinaat DE, waarvan de oppervlakken het tweeëndertigste deel zijn van resp. de oppervlakken ABDE en FGDE. En op deze figuren past hij zijn methode toe.

    Om vervolgens de goede uitwerking van zijn regel te verifiëren, gebruikt hij hem ter berekening van log 2, met als resultaat dat hij vindt "10 ware tekens en het elfde dat het ware overtreft met de eenheid" 6).

    Geheel tevreden met dit resultaat kondigt hij op 1 augustus 1661 aan Moray zijn ontdekking aan met de volgende woorden 7): "Ik heb me enkele dagen beziggehouden met muziekstudie, en de verdeling van het monochord, waarop ik met succes algebra heb toegepast 8). Ik heb ook gevonden dat logaritmen daarbij zeer van pas komen, en zo ben ik deze wonderbare getallen gaan beschouwen


    5)  In het geval van β = 2 vindt men log 2 = 0,3029 in plaats van 0,3010.
    6)  Vergelijk noot 1 van p. 456.         7)  Zie p. 307-308 van T. III.
    8)  Zie op p. 169-174 van T. X de 'Brief ... betreffende de Harmonische Cyclus', en p. 100 van T. V.

[ 434 ]

en de ijver en het geduld bewonderen van degenen die ze ons hebben gegeven. En als de moeite nog niet genomen zou zijn, ik heb een regel om ze met veel gemak te vinden, en met nog niet een twintigste van het werk dat ze hebben gekost."

    Zoals we hebben gezien deelde Huygens zijn regel in 1666 mee aan de Académie des Sciences. In november 1667 noemt hij hem in een brief aan prins Leopoldo de Medicis 1) onder de werken dij hij in reserve houdt omdat hij er nog niet de laatste hand aan heeft gelegd. Tenslotte zinspeelt hij op zijn Regel in het Journal des scavans van 2 juli 1668 2) door op te merken, naar aanleiding van wat in een boek van Gregory is gezegd over het verband tussen logaritmen en de afmeting van de hyperbool "dat de heren van de Vergadering niet nieuw zouden kunnen vinden, aangezien ze zich zouden kunnen herinneren dat hetzelfde hun al is voorgelegd, & dat de regel die hij heeft gegeven om Logaritmen te vinden lang geleden in hun Register is ingevoegd".



Kwadratuur van de hyperbool met logaritmen.

    Elf maanden na de ontdekking van zijn regel zag Huygens dat de benaderde kwadratuur van de hyperbool, die hij had toegepast, nog geschikt was voor een andere toepassing, die niet minder belangrijk was.

hyperbool, loodlijnen op horizontale as

Het gaat om de kwadratuur van de hyperbool met logaritmen 3). Uit het theorema van Gregorius van St. Vincent, dat we hierboven hebben aangehaald 4), volgt dat de verhouding van de hyperbolische ruimte TVDE 5) tot het karakteristieke vierkant AC evenredig is met het verschil der logaritmen van TV en van ED. Men heeft dus:
    1)  Zie p. 162 van T. VI.
    2)  Zie noot 1 van p. 231 van T. VI [J.d.Sc. p. 55].
    3)  Zie stuk No. III (p. 474-482), gedateerd 16 juli 1662.
    4)  Zie de laatste alinea van p. 432.
    5)  De figuur is identiek met die van Huygens op p. 474.

[ 435 ]

(1)         log (TVDE / q²) = log (log TV – log ED) + C,

waarin q de zijde AB voorstelt van het karakteristieke vierkant, en waarin C een constante is.

    Om een makkelijke formule te krijgen ter berekening van het oppervlak van een hyperbolische ruimte zoals TVDE, is het dus voldoende voor eens en vooral de waarde van de constante C te bepalen. Daartoe past Huygens zijn benaderde kwadratuur toe op de ruimte HKDE, waarbij
HK / DE = 32√ (AB/DE) = 32√ 10.
Gebruik makend van de berekeningen die hij al in 1661 had gedaan, vindt hij voor deze ruimte 719557838,5 6), te weten door te stellen DE = 104; en AB = q = 105. Daaruit volgt:

log (719557838,5 : 1010) = – log 32 + C.

wat de waarde van C laat berekenen, waarvoor Huygens, zich bedienend van de tabellen van Vlacq met tiencijferige mantisse 7), vindt 0,3622156868; een getal dat hij later vervangen heeft door 0,3622156887 8) als gevolg van een nieuwe berekening die we niet kennen.

    Nu weet men uit de moderne analyse dat geldt:

TVDE / q² = ln TV – ln ED = 1/M (log TV – log ED),

waarin M de modulus is van het gewone systeem van logaritmen. Daaruit volgt:
C = – log M = – log log e = 0,362215688699..., wat de nauwkeurigheid van Huygens' berekeningen bewijst en vooral van de laatste berekening waarvan de details ons onbekend zijn.

    Na zo de regel*) te hebben gevonden voor de kwadratuur van de hyperbool met logaritmen, past hij hem eerst toe op enkele getalvoorbeelden 9) en vervolgens laat hij zien hoe die kan dienen voor berekening van het oppervlak van een willekeurig hyperbolisch segment 10) en voor rectificatie van de parabool 11), die hij had leren herleiden tot de kwadratuur van de hyperbool, vijf jaar eerder 12).


    6)  Zie p. 475.         7)  Zie over deze tabellen noot 1 van p. 478.
    8)  Zie de derde alinea van noot 2 van p. 476 [op p. 477].         [ *)  Zie p. 486 (Ned.), noot 2.]
    9)  Zie p. 477-480.         10)  Zie p. 480-481.         11)  Zie p. 481-482.         12)  Zie p. 234-235.

[ 436 ]

Vervolgens, de dag na het opstellen van stuk No. III dat we zojuist hebben geanalyseerd, deed zich een toepassing aan hem voor die op een heel andere manier belangwekkend was 1).

Hoogte van de atmosfeer.

    Enkele maanden eerder, in maart 1662 2), had Moray hem op de hoogte gebracht van het eenvoudige verband, kort daarvoor door Boyle ontdekt, waarin het volume van een gegeven hoeveelheid lucht omgekeerd evenredig is met de druk waaraan men deze onderwerpt. Aan de beknopte beschrijving van één van de experimenten van Boyle had Moray de wat raadselachtige zin toegevoegd: "Ik geloof dat u uit deze korte beschrijving wel zult begrijpen dat dit slaat op de Atmosfeer, maar hoe dan ook, ik heb teveel andere bezigheden om er langer bij stil te staan". In zijn antwoord 3) vroeg Huygens inlichtingen over een belangrijk punt dat voor hem onzeker was gebleven; overigens zag hij nog niet dat het heel gemakkelijk was uit de experimenten van Boyle de hoogte van de atmosfeer af te leiden; hij geloofde dat daarvoor nog andere experimenten nodig waren, zoals die welke in Frankrijk waren gedaan op de bergen van Auvergne 4).
Echter, voordat hij de gevraagde opheldering had gekregen 5), ontving Huygens op 12 juli het werk van Boyle 6) waarin deze tot in detail de resultaten geeft van twee reeksen experimenten aangaande verdichting en verdunning van lucht. Toen hij had kennis genomen van deze resultaten, die zoals hij zich uitdrukt 7) "deze opmerkelijke eigenschap [van lucht] duidelijk genoeg bewijzen, te weten dat zijn veerkracht gaat volgens de omgekeerde verhouding van de ruimte waarin hij gebracht wordt", betwijfelde Huygens niet meer dat de wet van Boyle bij benadering 8) juist is. Enkele dagen later 9) zette hij zich aan het werk om het verband te vinden dat moest bestaan tussen de hoogte boven de zeespiegel


    1)  Zie de data op p. 474 en 483.         2)  13 maart, zie T. IV, p. 84-85.         3)  9 juni 1662, T. IV, p. 150.
    4)  Zie de 'Lettre de Monsier Perier', genoemd in noot 4 van p. 492 [in Recit de la grande experience, 1648, p. 9-16].
    5)  Moray gaf hem deze in een stuk [tabel] bij zijn brief van 17 juli 1662, zie p. 176-178 van T. IV.
    6)  Zie T. IV, p. 171, n. 2: A defence of the doctrine touching the spring and weight of the air.
    7)  Brief van 14 juli 1662, p. 171 van T. IV.
    8)  Zie op p. 485 het voorbehoud bij zeer lage druk.         9)  Zie op p. 483 de datum van stuk No. IV.

[ 437 ]

en de hoogte van de barometrische kolom, met de hypothese dat de vermindering van de druk in de verschillende lagen van de atmosfeer geheel overeenstemt met de pas ontdekte wet 10).

    Inderdaad vindt Huygens, met een subtiele redenering waarvoor we naar de tekst van het stuk No. IV 11) verwijzen, een verband dat gelijkwaardig is met de formule, in moderne notatie:

(2) formule 2, met integraal

waarin h0 voorstelt de denkbeeldige hoogte waartoe de atmosfeer zich zou uitstrekken als de dichtheid ervan overal gelijk was aan die van de luchtlaag op zeeniveau, waarin h aangeeft de hoogte van de plaats, v het volume van een deeltje lucht op die hoogte, p de druk waaraan dit is onderworpen, en tenslotte v0 het volume van ditzelfde deeltje gebracht naar zeeniveau waar de druk p0 is.

    Aangezien nu volgens de wet van Boyle geldt  v = v0 p0 / p , is duidelijk dat de bepaling van de integraal neerkomt op de kwadratuur van een hyperbolische ruimte waarop de formule (1) van p. 435 toepasbaar is als men q² vervangt door p0v0. Op deze manier vindt men:

(3)         log (log p0 – log p) + C = log h – log h0 ,

waarin C voorstelt de constante van Huygens die we gelijk bevonden hebben aan – log log e.

    Dit is, afgezien van een kleine complicatie waaraan we nu voorbijgaan 12), de formule die overeenkomt met de berekening op p. 486 van de tekst; maar aangezien h0 een constante is (als tenminste de eenheid van lengte gegeven is, die men gebruikt om hoogten te meten), kan men schrijven:

(4)         log (log p0 – log p) + C1 = log h
waarin
             C1 = C + log h0 .


    10)  Huygens schijnt niet de invloed te hebben vermoed van een lagere temperatuur op grotere hoogte. Hij zegt er niets over, noch in het stuk, noch elders. [De grafiek bij 15° C zou een rechte geven in de standaardgrafiek.]
    11)  Zie p. 484-485.
    12)  In werkelijkheid komen deze berekeningen overeen met de formule:
log h = log (log p0 – log p) + log v0p0 + C – (log v0p0 – log h0),  waarin v0p0 gesteld wordt op 100000.

[ 438 ]

    Om de waarde van h0 te schatten moest Huygens de hoogte kennen van de barometrische kolom op zeeniveau, die hij gelijkstelt aan 30 Engelse duim 1), en de verhouding van het soortelijk gewicht van kwik tot dat van lucht 2).

    Hij vindt op deze manier 32640 Engelse voet voor de denkbeeldige hoogte h0 van de homogeen veronderstelde atmosfeer, een getal dat hij vervangt door het ronde getal 33000. Met behulp van dit gegeven vindt men C1 = 4,88073; maar als gevolg van de genoemde complicatie zijn de verkorte berekeningen die Huygens laat volgen 3) beter weer te geven met de formule:

(5)         (log (log p0 – log p) + 5 – 0,11927 = log h,

waarin 0,11927 het constante getal is, dat in alle berekeningen voorkomt ('numerus perpetuus').

    Nadat hij de regel die hij zo had verkregen had toegepast op verscheidene voorbeelden 3), deelt hij de resultaten van twee daarvan 4) mee aan zijn broer Lodewijk, op 17 augustus, hem verzoekend ze te doen toekomen aan de hertog van Roannez 5), een van zijn Parijse vrienden. De volgende dag zette hij zijn regel uiteen, toegepast op drie voorbeelden, aan Moray 6), echter zonder kennis te geven van het bewijs.



    Huygens bespreekt fictieve voorbeelden in het stuk No. IV, waarmee we ons tot hiertoe hebben beziggehouden, maar in het Aanhangsel I (p. 491-494), van onbekende datum, dat we aan dit stuk hebben toegevoegd, bespreekt hij de beroemde experimenten gedaan door Perier op de Puy de Dôme in Auvergne, op aansporing van Pascal.

    Daartoe moest hij eerst het constante getal veranderen om het aan te passen aan het gebruik van de Parijse voet, die de Engelse voet van de voorgaande berekeningen vervangt 7); vervolgens past hij zijn regel toe op de gegevens die door Perier zijn geleverd, om er


    1)  Zie de eerste regels van p. 483.         2)  Zie p. 483, vooral noot 4.
    3)  Zie p. 486-490.         4)  Zie p. 198 van T. IV.
    5)  Zie over Artus Gouffier, hertog van Roannez, i.v.m. Huygens: T. III, p. 238 en T. IV, p. 7, 33, 53, 71 en 180.
    6)  Zie T. IV, p. 202 en 205-206. Het antwoord van Moray (ibid. p. 217) vermeldt dat "al onze heren" (van de Royal Society) "zeer voldaan zijn over uw regel".
    7)  Zie p. 494 en vooral noot 3 daarvan.

[ 439 ]

onder andere uit af te leiden de hoogte van de top van de Puy de Dôme. Hij vindt voor deze hoogte een waarde die, zelfs na de aanzienlijke correctie die we erin hebben aangebracht 8), veel te groot is; een noodzakelijk gevolg van de hypothese waarvan hij uitgaat 9).

    Tenslotte heeft Huygens zich veel later, in 1673, nog een laatste keer beziggehouden met hetzelfde onderwerp naar aanleiding van een experiment van Cassini, gedaan op een berg bij Toulon 10).


    8)  Zie p. 493 noot 9 en p. 494 n. 1.         9)  Zie p. 493, n. 12.         10)  Zie Aanhangsel II, p. 495-497.




De logaritmische kromme.

    Er is reden zich erover te verwonderen dat de onderzoekingen over de logaritmische kromme die te vinden zijn in stuk No. II (p. 460-471) (hoewel ze er nog niet met deze naam wordt aangeduid) een zo oude datum hebben als die van september 1661. Inderdaad noemt Huygens deze onderzoekingen noch in zijn brief aan Leopoldo de Medicis 11), van 19 november 1667, waarin hij zijn nog onuitgegeven werken opsomt, noch in de rest van zijn correspondentie vóór zijn brief aan Leibniz van 23 februari 1692 12), noch in Horologium oscillatorium van 1673, waarin hij zoveel samenvattingen geeft van zijn nog niet gepubliceerde wiskundige werken 13).

    Toch staat de genoemde datum bovenaan in het stuk No. II, op een heel duidelijke manier, geen twijfel toelatend. Hieruit volgt dat de resultaten betreffende een kromme lijn die hij "lang tevoren onderzocht" had en die hij voorstelde te noemen 'Logaritmische' of 'Logistieke' kromme, toen ze eindelijk werden gepubliceerd (zonder hun afleidingen) in zijn Discours de la cause de la pesanteur 14), voor het overgrote deel bekend waren geweest aan Huygens, en de belangrijkste al bijna dertig jaar.

    De afleidingen die in dit Discours ontbreken zijn voor het merendeel te vinden in stuk II°). Laten we beginnen met de opmerking dat bij de 'Logaritmische kromme'


    11)  Zie p. 160-163 van T. VI.         12)  Zie p. 21 van T. X ["la ligne logarithmique"].
    13)  Zie p. 192, 195, 198, 206 en 207 van dit deel, en ook p. 347 noot 2 en p. 476 noot 2.
[ Daarin genoemd: ed. 1673, p. 69, 73-81, 90. Zie (in het Ned.) T. XVIII, p. 205, 213, 221 en 241 n.3.]

    14)  Zie p. 169 van de oorspronkelijke uitgave.  [T. XXI, 478, Ned.]
    [ °)  P. 473 noemt:  Guido Grandi, Geometrica demonstratio theorematum Hugenianorum circa logisticam, 1701, herdrukt in Christiani Hugenii ... Opera reliqua, 1728.]

[ 440 ]

de abscissen, zoals AD 1), evenredig zijn met de logaritmen van de ordinaten HD, mits men als lengte-eenheid voor de ordinaten AK neemt. Deze kromme kan dus dienen om grafisch alle bewerkingen uit te voeren waarvoor logaritmen worden gebruikt 2).

logaritmische kromme

Opmerkelijk is dat men de logaritmische kromme met punten kan construeren zonder gebruik te maken van een logaritmentafel. Daartoe brengt Huygens op de X-as achtereenvolgens aan de gelijke lijnstukken AB, BC, CD enz. en bij het uiteinde van zo'n lijnstuk neemt hij elke keer de ordinaat gelijk aan het dubbele van die van het vorige verdelingspunt; zodat geldt BF = 2 AK, GC = 4 AK, HD = 8 AK, enz. Om vervolgens andere punten te interpoleren tussen de punten K, F, G, H enz., is het
    1)  De figuur is identiek met die van p. 460 van de tekst.
    2)  Vergelijk p. 461. Huygens beperkt er zich tot het probleem: tussen twee gegeven segmenten een willekeurig aantal continu evenredige segmenten te interpoleren; dit n.a.v. zijn onderzoek over de 'Harmonische cyclus'; zie noot 8 van p. 432 [433].

[ 441 ]

voldoende om elk lijnstuk te verdelen in twee gelijke delen met de punten L, N, enz., daar ordinaten op te richten die de middelevenredigen zijn tussen de buitenste punten van het lijnstuk, en deze bewerking te herhalen op nieuwe lijnstukken, die steeds kleiner worden, zo vaak als men wenst 3).

    Deze constructie gebruikt Huygens om de definitie van de kromme te formuleren 4). Hij concludeert er eerst uit dat de abscissen beschouwd kunnen worden als de logaritmen van de ordinaten en dat twee ordinaten waarvan de afstand tot elkaar gegeven is, overal dezelfde verhouding hebben 5). Uitgaande van deze laatste eigenschap kan hij er langs meetkundige weg verscheidene andere uit afleiden, waarvan we aanduiden het onveranderlijk zijn van de subtangens 6), waarvan de verhouding tot de afstand tussen twee ordinaten waarvan de ene het dubbele is van de andere, gelijk bevonden wordt aan die van 0,434294481903251804 7) tot log 2. Langs dezelfde weg vindt hij de kwadratuur van de ruimte tussen twee ordinaten 8), de ligging van het zwaartepunt van de ruimte tussen de kromme en de asymptoot, die zich tot in het oneindige uitstrekt vanaf een gegeven ordinaat 9), en dan de kubaturen van de lichamen ontstaan door omwenteling van zo'n ruimte respectievelijk om de asymptoot 10) en om de


logaritmische kromme
BF is subtangens
 
    3)  In Discours ... [p. 441, n. 14] wordt deze constructie gegeneraliseerd ... De constructie staat al in een manuscript van Torricelli (in 1647 overleden), gepubliceerd door G. Loria in Bibliotheca mathematica, 3-1 (1900), p. 80-89. Torricelli noemt de kromme 'halve hyperbool' ... 'logaritmische of Neperiaanse lijn'. Hij bewijst het constant zijn van de subtangens en geeft bovendien de kwadratuur en de kubatuur ...
    4)  Zie p. 461, 1e alinea.         5)  Zie p. 461, 2e alinea.
    6)  Zie p. 463.
    7)  Dit getal, log e, staat precies zo in H. Briggs, Arithmetica logarithmica, [1624, p. 11], zie p. 465, n. 3.
    8)  Zie p. 462-463 en 466.         9)  Zie p. 467-470 en algemener p. 471.
    10)  Zie p. 467.

[ 442 ]

ordinaat 1). Tenslotte voegt Huygens er zonder bewijs twee theorema's aan toe die de ligging van het zwaartepunt doen kennen in het ene en in het andere van deze lichamen 2).

    Het stuk dat we zojuist hebben geanalyseerd is zeker één van de mooiste voorbeelden van wat de beste meetkundigen van de zeventiende eeuw tot stand konden brengen vóór de uitvinding van het algoritme van de differentiaal- en integraalrekening.


    1)  Zie p. 471, 1e alinea.
    2)  Zie p. 471. In Manuscript G [Hug 7, 17v] staat een bewijs van het 1e theorema, van veel latere datum dan stuk No. II; zie het Aanhangsel, p. 472-473. Van het andere is het bewijs niet gevonden in de manuscripten, maar zie noot 7 van p. 470.




Bepaling van de raaklijn aan een algebraïsche kromme.


[...]



Home | Huygens | T. XIV | Logaritmen (top) | Atmosfeer