H E T   S L I N G E R - U U R W E R K V I E R D E   D E E L. Over het middelpunt van slingering. HEt onderzoek van middelpunten van slingering, of van schommeling, is lang geleden door de zeergeleerde Mersenne 1) voorgesteld aan mij, toen ik nog bijna een kind was, en aan vele anderen; het was een veel besproken probleem onder meetkundigen van die tijd, voor zover ik kan opmaken uit brieven van hem aan mij, en bovendien uit die van Descartes, niet lang geleden uitgegeven, waarin hierover een antwoord op die van Mersenne staat. En hij verlangde dat ik die middelpunten zou vinden bij cirkelsectoren, zowel opgehangen aan het hoekpunt als aan het midden van de boog, en dan zijwaarts slingerend; eveneens bij cirkelsegmenten, en bij driehoeken, eerst aan de top hangend en dan aan het midden van de basis. Wat erop neerkomt dat moet worden gevonden een enkelvoudige slinger (dat is een gewicht dat aan een draad hangt) van zo'n lengte, dat hij slingeringen maakt met dezelfde tijden als die figuren, wanneer ze zijn opgehangen zoals gezegd is. En tegelijk loofde hij een zeer grote en benijdenswaardige prijs*) uit voor het werk, als ik soms aan het gevraagde zou voldoen. Maar van niemand verkreeg hij toen wat hij wenste. Want wat mij aangaat, aangezien ik niets vond waarmee een eerste toegang tot die beschouwing wel open zou gaan, heb ik me toen onthouden van een langer onderzoek, als het ware door de eerste drempel afgeweerd. En degenen die hoopten dat zij de zaak ten einde hadden gebracht, uitstekende mannen als Descartes 2), Honoré Fabri 3) en anderen 4) bereikten geenszins het doel, behalve in sommige makkelijkere gevallen, maar daarvan hebben ze mijns inziens toch geen deugdelijk bewijs geleverd. En dit zal door vergelijking met wat wij hier zullen geven duidelijk worden, hoop ik, als iemand misschien dat wat door hen is gegeven met dit van ons vergelijkt; het is tenminste zowel met meer betrouwbare principes bewezen, naar ik meen, als geheel en al in overeenstemming met experimenten, naar ik heb bevonden. De gelegenheid nu om dit opnieuw te proberen, is geboden door een manier om de slingers van onze automaat af te stellen, omdat ik daar, behalve het gewicht dat onderaan hangt, een beweegbaar gewicht aan toevoeg, zoals in de beschrijving van het uurwerk is uitgelegd [<]. Vandaar dat ik, na onder betere auspiciën en ook vanaf de eerste oorsprong de zaak te hebban aangepakt, tenslotte alle moeilijkheden te boven ben gekomen, en niet alleen een oplossing van de Mersenniaanse problemen, maar ook andere   1)  Zie p. 349 e.v. van T. XVI. [Mersenne, 1646: T. I, p. 21, 23, 28, 45 — Ned.]   [ *)  Te "worden gezien als de 1e meetkundige van Europa", zoals Mersenne schreef op 8 jan. 1647 (T. I, p. 51), waarbij Chr. Huygens later aantekende: "Ik heb dit alles gevonden in 1664, en wel meer."]   2)  Zie over de foute regel van 1646 van Descartes om het schommelmiddelpunt te vinden p. 352 van T. XVI.   3)  Zie p. 52 van het Voorbericht hiervoor.   4)  Zie over Roberval p. 352 en 490 van T. XVI, over lord Brouncker p. 375 van T. XVI en p. 306 (noot 1) die volgt [p. 57-58].  C. de Waard schrijft (p. XLVIII van zijn 'Note sur la Vie de Mersenne'): "het is met Mersenne dat Roberval en Cavendish zich kort daarna [1642] toeleggen op onderzoek van het stootmiddelpunt van verschillende voorwerpen".

[ 245 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 92}

heb gevonden die nog moeilijker zijn, en eindelijk een weg waarlangs het mogelijk zou zijn dat middelpunt op te sporen met een betrouwbare methode bij lijnen, oppervlakken en vaste lichamen 1). Waaruit ik, behalve het genot om te vinden wat door anderen zeer gezocht was, en in deze zaken wetten en principes van de natuur te leren kennen, juist ook dat voordeel heb behaald, waartoe ik in de eerste plaats mijn aandacht hierop had gericht: gevonden is een manier om het uurwerk af te stellen op een makkelijke en vlotte manier. En hierbij komt ook het volgende, dat naar ik meen nog hoger geschat moet worden, dat ik hiermee een heel volmaakte bepaling kan geven van een zekere, en voor alle eeuwen blijvende lengtemaat; zoals die te vinden is als toevoeging aan het eind hiervan.   1)  Zie over de methoden die Huygens achtereenvolgens gebruikt heeft p. 361-373 van T. XVI. Definities. I. SLinger wordt genoemd elke mogelijke figuur met zwaarte begiftigd, of het nu een lijn is, of een oppervlak, of een lichaam, zodanig opgehangen dat ze door de kracht van haar zwaarte een beweging heen en weer kan voortzetten om een of ander punt, of liever om een as, die evenwijdig met het vlak van de horizon wordt gedacht. II. Die as, evenwijdig met het horizonvlak, waarom de beweging van de slinger wordt gedacht te gebeuren, wordt genoemd Slingeras. III. Enkelvoudige slinger wordt genoemd een slinger die gedacht wordt te bestaan uit een draad of ongbuigzame lijn, zonder zwaarte, die onderaan een eraan vastgemaakt gewicht draagt; en de zwaarte van dit gewicht wordt beschouwd als in een punt samengepakt. IV. Samengestelde slinger daarentegen wordt genoemd een slinger bestaande uit meer gewichten, die onveranderlijke afstanden aanhouden zowel tot elkaar, als tot de slingeras. Vandaar dat een willekeurige opgehangen figuur, met zwaarte, een samengestelde slinger kan worden genoemd, daar ze in gedachten is te verdelen in een willekeurig aantal delen. V. Isochrone slingers worden genoemd slingers waarvan de slingeringen over gelijkvormige bogen in gelijke tijden worden uitgevoerd.   {p. 93} VI. Slingervlak wordt genoemd het vlak dat getrokken kan worden gedacht door het zwaartepunt van de opgehangen figuur, recht op de slingeras.

[ 247 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

VII. Middelpuntslijn, de rechte die door het zwaartepunt van de figuur wordt getrokken, loodrecht op de slingeras. VIII. Loodrechte lijn, de rechte in het slingervlak, getrokken vanaf de slingeras loodrecht op een horizonvlak. IX. Slingermiddelpunt of schommelmiddelpunt van een willekeurige figuur, wordt genoemd het punt op de middelpuntslijn dat even ver van de slingeras ligt, als de lengte is van een enkelvoudige slinger die isochroon is met de figuur. X. Zwaarte-as, een willekeurige rechte lijn die door het zwaartepunt van de figuur gaat. XI. Een vlakke figuur, of een lijn gelegen in een vlak, wordt gezegd dwars op het vlak te schommelen, wanneer de slingeras in hetzelfde vlak ligt als de figuur of lijn. XII. En ze worden gezegd zijwaarts te schommelen, wanneer de slingeras recht staat op het vlak van de figuur of lijn. XIII. Wanneer gezegd wordt dat gewichten worden vermenigvuldigd met rechte lijnen, moet dit zo begrepen worden alsof getallen of lijnen, die de grootten van de gewichten uitdrukken, en de onderlinge verhouding ervan, zo vermenigvuldigd worden.  1) Hypothesen. I. ALs een willekeurig aantal gewichten begint te bewegen door de kracht van hun zwaarte, kan het daaruit samengestelde zwaartepunt niet hoger stijgen, dan waar het zich bevond toen de beweging begon. 2)   1)  Vergelijk p. 342 van T. XVI. [Zie ook de (toegevoegde) noot op p. 253 hierna.]   2)  Vergelijk over Hyp. I en II p. 357 van T. XVI en p. 38-39 van het Voorbericht hiervoor.

[ 249 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.  {p. 94}

De hoogte nu wordt hierbij beschouwd als de afstand tot een horizontaal vlak, en gesteld wordt dat voorwerpen met zwaarte proberen te dalen naar dit vlak volgens rechten die loodrecht daarop staan. Ditzelfde wordt door allen die over het zwaartepunt hebben gehandeld, of expliciet gesteld, of het moet worden aangevuld door de lezer, daar een beschouwing van het zwaartepunt niet mogelijk is zonder dit gestelde.   En opdat onze hypothese zelf geen twijfel wekt, zullen we aantonen dat ze niets anders beweert, dan wat niemand ooit heeft ontkend: dat zware dingen niet omhoog gaan. Want ten eerste, als we ons één zwaar lichaam voorstellen, welk dan ook, is het buiten twijfel dat het door de kracht van zijn zwaarte niet kan stijgen; onder stijgen wordt dan namelijk verstaan: wanneer zijn zwaartepunt stijgt. Maar het moet ook noodzakelijk worden toegegeven voor een willekeurig aantal gewichten, die onderling met onbuigzame lijnen aaneengevoegd zijn, aangezien niets ons verbiedt die als één ding te beschouwen. Daarom zal ook hun gemeenschappelijk zwaartepunt niet vanzelf kunnen stijgen.   Maar als we nu een willekeurig aantal gewichten stellen, niet met elkaar verbonden, dan weten we dat er ook daarvan een of ander gemeenschappelijk zwaartepunt is. En van dit punt zal de hoogte zo groot zijn, als ik zeg dat ook de hoogte beschouwd moet worden van de uit alle samengestelde zwaarte; daar toch alle tot die zelfde hoogte van het zwaartepunt gebracht kunnen worden, zonder dat er een andere macht wordt bijgehaald dan die in de gewichten zelf zit, maar alleen door ze met onbuigzame lijnen naar willekeur aaneen te voegen, en ze zo rondom het zwaartepunt te bewegen; daarvoor is geen bepaalde kracht of macht nodig. En daarom, zoals het niet kan gebeuren dat enige gewichten, in eenzelfde horizontaal vlak geplaatst, allemaal even hoog boven dat vlak worden opgetild door de kracht van hun zwaarte; zo zal ook niet het zwaartepunt van willekeurige gewichten, hoe ook opgesteld, naar een grotere hoogte kunnen komen dan het heeft. Wat we nu gezegd hebben, dat willekeurige gewichten, zonder dat er een kracht wordt aangewend, gebracht kunnen worden naar het horizontale vlak dat door het gemeenschappelijk zwaartepunt gaat, zal als volgt bewezen worden.   [Fig. 76.]   Laat de gewichten A, B en C een gegeven positie hebben, waarvan het gemeenschappelijk zwaartepunt D is; hierdoor wordt een horizontaal vlak getrokken, waarvan de doorsnede de rechte EF is. Laat er nu onbuigzame lijnen DA, DB en DC zijn, die de gewichten onveranderlijk met elkaar verbinden; laat ze verder bewegen, totdat A in het vlak EF is bij E. En met alle staven over gelijke hoeken verplaatst, zal nu B in G zijn, en C in H.   En weer, nu worden B en C verbonden gedacht met de staaf HG, die het vlak EF snijdt in F; waar noodzakelijkerwijze ook het zwaartepunt zal zijn

[ 251 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 95}

van deze twee verbonden gewichten, daar het zwaartepunt van de drie in E, G en H geplaatste gewichten D is, en van dat in E is het zwaartepunt ook in vlak EDF. Dan bewegen weer de gewichten H en G om het punt F als as, zonder enige kracht, en zo worden beide tegelijk naar het vlak EF gebracht, zodat blijkt dat nu de drie die eerst in A, B en C waren, tot juist de hoogte van hun zwaartepunt D zijn overgebracht door hun eigen evenwicht. Wat te bewijzen was. En voor een willekeurig aantal andere is het bewijs hetzelfde.   En deze hypothese van ons is ook geldig voor vloeibare lichamen, en bovendien kan niet alleen alles ermee worden bewezen, wat Archimedes over drijvende voorwerpen heeft, maar ook zeer veel andere theorema's uit de Mechanica. En werkelijk, als bouwers van nieuwe werktuigen die met vergeefse pogingen zich inspannen om een eeuwige beweging te maken, dit zouden weten te gebruiken, zouden ze gemakkelijk hun eigen fouten ontdekken, en begrijpen dat deze zaak op een mechanische manier volstrekt niet mogelijk is 1). II. Als de lucht en elk ander duidelijk beletsel is verwijderd, zoals we willen dat bij de volgende bewijzen wordt gedacht, doorloopt het zwaartepunt van een in beweging gezette slinger gelijke bogen bij dalen en ook bij stijgen. 2)   Voor de enkelvoudige slinger is dit bewezen in propositie 9 van 'Over het dalen van wat zwaarte heeft'. En dat hetzelfde is aan te houden voor de samengestelde slinger maakt de ondervinding duidelijk; aangezien een slinger, welke vorm hij ook heeft, even geschikt bevonden wordt om de beweging voort te zetten, behalve voorzover hij wordt belemmerd door meer of minder lucht die in de weg zit.   {p. 96}   1)  Vergelijk p. 243 (m. n. noot 7) van T. XVII. Zie ook in dit deel [p. 467-477] het stuk 'Behoud van krachten'.   2)  Zie noot 2 van p. 247 hiervoor. Propositie I. ALs bij een willekeurig aantal gewichten, zich bevindend aan dezelfde kant van een vlak, vanaf de zwaartepunten van elk afzonderlijk loodlijnen op dat vlak worden neergelaten, en deze worden elk vermenigvuldigd met hun gewichten, zullen ze samen evenveel geven als de loodlijn, die vanaf het zwaartepunt van alle gewichten op hetzelfde vlak valt, vermenigvuldigd met alle gewichten.   Gegeven de gewichten A, B en C [Fig.77], geplaatst aan dezelfde kant van een vlak, waarvan de doorsnede de rechte DF is, en hierop worden vanaf de afzonderlijke gewichten getrokken de loodlijnen AD, BE en CF. Laat verder het zwaartepunt van alle gewichten A, B en C het punt G zijn, vanwaar getrokken wordt de loodlijn GH op hetzelfde vlak. Ik zeg dat de som van de producten van elk gewicht met zijn loodlijn, gelijk is aan het product van rechte GH met alle gewichten A, B en C.

[ 253 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

[Fig. 77.]   Laat namelijk aangenomen worden dat de loodlijnen, getrokken vanaf de afzonderlijke gewichten, worden voortgezet aan de andere kant van het vlak DF, en dat DK, EL en FM afzonderlijk gelijk zijn aan HG. En stel dat alle lijnen onbuigzame staven weergeven, evenwijdig met de horizon; en laat in K, L en M voorwerpen met zwaarte worden geplaatst zodanig, dat ze elk met hun tegenovergestelde A, B en C evenwicht maken ten opzichte van het vlak DEF. Alle K, L en M samen zullen dan evenwicht maken met alle A, B en C samen. En zoals de lengte van AD tot DK is, zo zal gewicht K tot gewicht A zijn, en ook zal daarom DA vermenigvuldigd met de grootheid*) A gelijk zijn aan DK, of GH, vermenigvuldigd met K.   {p. 97} Evenzo zal EB maal B gelijk zijn aan EL, of GH, maal L; en FC maal C zal gelijk zijn aan FM, of GH, maal M. Dus de som van de producten van AD met A, van BE met B en van CF met F, zal gelijk zijn aan de som van de producten van GH met alle K, L en M samen. Aangezien nu K, L en M evenwicht maken met A, B en C, zullen ze ook evenwicht maken met dezelfde A, B en C als deze aan hun zwaartepunt G zijn opgehangen. Dientengevolge, daar de afstand GH gelijk is aan DK, EL en FM elk afzonderlijk, is het noodzakelijk dat de grootheden A, B en C samen genomen, gelijk zijn aan die van K, L en M. Dus zal ook de som van de producten van GH met alle A, B en C samen gelijk zijn aan de producten van DA met A, EB met B en FC met C. Wat te bewijzen was.   En ook al zijn in het bewijs de rechten AK, BL en CM evenwijdig met de horizon gesteld, en het vlak loodrecht op de horizon; als alles tegelijk naar een andere willekeurige positie wordt verplaatst, blijkt er een zelfde gelijkheid van producten te blijven, daar alle rechten dezelfde zijn als tevoren. Waarmee het voorgestelde vaststaat. Propositie II. MEt hetzelfde gestelde als eerst, als alle gewichten A, B, C, gelijk zijn, zeg ik dat de som van alle loodlijnen AD, BE, CF, gelijk is aan het veelvoud volgens het aantal gewichten van de loodlijn GH, getrokken vanuit het zwaartepunt.   Aangezien namelijk de som van de producten van de afzonderlijke gewichten met hun loodlijnen, gelijk is aan het product van GH met alle gewichten; en hier, wegens de gelijkheid van de gewichten, die som van producten gelijk is aan het product van één gewicht met de som van alle loodlijnen; en evenzo het product van GH met alle gewichten hetzelfde als het product van één gewicht met het veelvoud van GH volgens het aantal gewichten; blijkt dat de som van de loodlijnen nu noodzakelijkerwijze gelijk is aan het veelvoud van GH volgens het aantal gewichten. Wat te bewijzen was.   [ *)  Lat. 'magnitudo' (i.p.v. 'pondus') voor gewicht bij vermenigvuldiging met een lengte, zie Definitie XIII. Vergelijk in 'De motu corporum ex percussione' (<): 'grootte' van botsende voorwerpen, vermenigvuldigd met snelheid of het kwadraat ervan (T. XVI, p. 341). Hierna wordt 'magnitudo' ook gebruikt voor het ding zelf (zie Prop. III en p. 277, 295), dus past hier niet 'grootte', maar wel 'grootheid' met de bijgedachte 'gewicht'.] [ Behalve onderaan op deze pagina gebruikt Huygens nog wel eens 'pondus' bij een vermenigvuldiging: p. 259, maar dan heeft hij 'magnitudo' nodig in de betekenis 'grootte'.]

[ 255 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Propositie III. ALs enige grootheden allemaal dalen, of stijgen, ook al is het met ongelijke intervallen, zullen de hoogten van dalen of stijgen van elk, vermenigvuldigd met de grootheid zelf, een som van producten geven gelijk aan die, welke ontstaat uit de hoogte van dalen of stijgen van het zwaartepunt van alle grootheden, vermenigvuldigd met alle grootheden.   {p. 98}     [Fig. 78.]   Gegeven de grootheden A, B en C, die vanuit A, B en C dalen naar D, E en F; of vanuit D, E en F stijgen naar A, B en C. En het zwaartepunt van alle is, wanneer ze in A, B en C zijn, op dezelfde hoogte als het punt G; en wanneer ze in D, E en F zijn, op dezelfde hoogte als het punt H. Ik zeg dat de som van de producten van de hoogte AD met A, van BE met B, en van CF met F, gelijk is aan het product van GH met alle A, B en C.   We stellen ons namelijk een horizontaal vlak voor, waarvan de doorsnede is de rechte MP, en daarop vallen dan de verlengden van AD, BE, CF en GH, in M, N, O en P.   Omdat dan de som van de producten van AM met A, BN met B en CO met C, gelijk is aan die gemaakt door GP met alle A, B en C {Prop. 1.}; en evenzo de som van de producten van DM met A, EN met B en FO met C, gelijk is aan die gemaakt door HP met alle A, B en C; volgt dat ook het overschot van de eerste producten boven de laatste, gelijk is aan die gemaakt door GH met alle grootheden A, B en C. En het is duidelijk dat het genoemde overschot gelijk is aan de producten van AD met A, BE met B en CF met C. Dus deze samen zullen ook gelijk zijn aan het product van GH met alle A, B en C. Wat te bewijzen was. Propositie IV. ALs een uit meer gewichten samengestelde slinger, en wel uit rust losgelaten, een of ander deel van een hele slingering heeft gemaakt, en nu stelt men zich verder voor dat daarop de afzonderlijke gewichten ervan, bij verbreking van de gemeenschappelijke verbinding, de verkregen snelheden omkeren naar omhoog, en ook stijgen tot zover ze kunnen; dan zal als dit gebeurd is, het uit alle samengestelde zwaartepunt tot dezelfde hoogte zijn teruggekeerd, als die het had gekregen voordat de slingering begon.   {p. 99}   Laat een slinger [Fig. 79] zijn samengesteld uit een willekeurig aantal gewichten A, B en C, die aan een gewichtloze staaf of gewichtloos oppervlak vastzitten. En hij is opgehangen aan de as door het punt D getrokken, die loodrecht gedacht wordt op het vlak dat hier wordt bekeken. In ditzelfde vlak is ook het zwaartepunt E van de gewichten A, B en C gelegen; en laat de middelpuntslijn DE hellen ten opzichte van de loodrechte lijn DF met de hoek EDF; namelijk met de slinger daar naartoe getrokken.

[ 257 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

[Fig. 79.]

[ 259 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Dus is het zwaartepunt P niet lager dan E. Maar het was ook niet hoger. Dan is het noodzakelijk dat het even hoog is. Wat te bewijzen was. Propositie V. GEgeven een slinger die uit een willekeurig aantal gewichten is samengesteld, als ze afzonderlijk worden vermenigvuldigd met de kwadraten van hun afstanden tot de slingeras, en de som van de producten wordt gedeeld door de uitkomst van de vermenigvuldiging van de som der gewichten met de afstand tot dezelfde slingeras van het gemeenschappelijk zwaartepunt van alle; dan zal er uitkomen de lengte van een enkelvoudige slinger die isochroon is met de samengestelde, ofwel de afstand tussen de as en het slingermiddelpunt van die samengestelde slinger. 1)   Laat de gewichten die de slinger samenstellen [Fig. 80] (waarvan noch de vorm, nog de grootte, maar alleen de zwaarte wordt beschouwd) A, B en C zijn, opgehangen aan een as, die door het punt D gedacht wordt recht op het vlak dat bekeken wordt. In dit vlak is ook hun gemeenschappelijk zwaartepunt E; want het maakt niets uit als de gewichten in verschillende vlakken zijn. De afstand van punt E tot de as, namelijk de rechte ED, wordt genoemd d. Evenzo: de afstand van gewicht A, AD, e; BD, f; CD, g. Door dus de afzonderlijke gewichten te vermenigvuldigen met de kwadraten van hun afstanden, zal de som van de producten zijn aee + bff + cgg.   {p. 101} En aan de andere kant, door de som van de gewichten te vermenigvuldigen met de afstand van het zwaartepunt van alle, zal het product gelijk zijn aan ad + bd + cd [Prop. 1.]. Waaruit, door het eerste product te delen door dit laatste, verkregen zal worden     (aee + bff + cgg) / (ad + bd + cd). En als aan deze lengte gelijk wordt gesteld de lengte van de enkelvoudige slinger FG, die ook x wordt genoemd, zeg ik dat deze isochroon is met die samengestelde.   Gesteld wordt namelijk dat zowel de slinger FG als de middelpuntslijn DE onder gelijke hoeken verwijderd zijn van de loodrechte lijn, de eerste van FH, de laatste van DK, en dat ze ook daarvandaan losgelaten hun zwaai maken; en op de rechte   1)  Vergelijk over de basisformule van Prop. V en VI p. 33 van het Voorbericht hiervoor, en de vierde alinea van p. 471 van T. XVI.

[ 261 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

[Fig. 80.]

[ 263 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

hun gewichten, dat de som van de producten groter zal zijn dan (aeey + bffy + cggy) / xx, die daarom ook bewezen wordt groter te zijn dan (ady + bdy + cdy) / x.     Want omdat gesteld is [<] dat lengte x gelijk is aan (aee + bff + cgg) / (ad + bd + cd),     zal gelden dat adx + bdx + cdx gelijk is aan aee + bff + cgg.     En als alle worden vermenigvuldigd met y, en als gedeeld wordt door xx,     zal (ady + bdy + cdy) / x gelijk zijn aan (aeey + bffy + cggy) / xx.     Waaruit volgt wat gezegd is. Nu is deze som van producten gelijk aan die welke ontstaat door de hoogte waarover het gemeenschappelijk zwaartepunt van de gewichten A, B en C stijgt, te vermenigvuldigen met de som van deze gewichten, a + b + c; namelijk als ze elk afzonderlijk bewegen tot zover ze kunnen. En de maat (ady + bdy + cdy) / x komt voort uit vermenigvuldiging van de daling van het zwaartepunt van dezelfde gewichten (welke daling RQ is, of dy/x, zoals hierboven is gevonden), ook met dezelfde som der gewichten a + b + c. Dus omdat is aangetoond dat het eerste product groter is dan dit andere, volgt dat de stijging van het zwaartepunt van de gewichten A, B en C — als ze, na de slinger te hebben verlaten bij het aankomen in T, V en X, afzonderlijk de verkregen snelheden omkeren naar omhoog — groter zal zijn dan de daling van hetzelfde zwaartepunt, terwijl ze uit A, B en C bewegen naar T, V en X. Wat absurd is, aangezien de genoemde stijging gelijk moet zijn aan de daling, volgens de voorafgaande propositie.   Op dezelfde manier, als gezegd wordt dat de snelheid van punt L, zodra het in P is aangekomen, kleiner is dan de snelheid van gewicht G wanneer het in O is aangekomen, kunnen we aantonen dat de mogelijke stijging van het zwaartepunt der gewichten A, B en C kleiner is dan de daling, wat met dezelfde voorafgaande propositie in strijd is. En daarom blijft over dat de snelheid van punt L, als het naar P is gegaan, dezelfde is als die van gewicht G in O. Waaruit volgt, zoals hierboven is gezegd, dat de enkelvoudige slinger FG isochroon is met de uit A, B en C samengestelde slinger. Propositie VI. GEgeven een slinger, samengesteld uit een aantal gelijke gewichten; als de som van de kwadraten van de afstanden van elk gewicht tot de slingeras wordt gedeeld door de afstand van het gemeenschappelijke zwaartepunt tot dezelfde slingeras maal het aantal van die gewichten, zal er uitkomen de lengte van een enkelvoudige slinger die isochroon is met de samengestelde. 1)   Laat hetzelfde gesteld zijn als eerst, maar met alle gewichten aan elkaar gelijk gedacht, en   1)  Zie noot 1 van p. 259 hiervoor.

[ 265 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 103}

afzonderlijk a genoemd. En weer wordt geen grootte ervan beschouwd, maar ze worden voor heel klein gehouden, wat hun uitgebreidheid betreft.   Dus de lengte van de isochrone slinger zal volgens de voorgaande propositie zijn (aee + aff + agg) / (ad + ad + ad). Of, omdat deler en deeltal beide door a deelbaar zijn, wordt dezelfde lengte nu (ee + ff + gg) / 3d. Waardoor wordt aangeduid de som van de kwadraten van de afstanden der gewichten tot de slingeras, gedeeld door de afstand van het zwaartepunt van alle tot dezelfde slingeras, maal het aantal van die gewichten, dat hier 3 is. Gemakkelijk is immers in te zien dat dit aantal, waarmee de afstand d wordt vermenigvuldigd, noodzakelijk overeenkomt met het aantal gewichten. En daarom staat het voorgestelde vast.   En als gelijke gewichten op één rechte lijn zijn samengevoegd, en ook aan het bovenste uiteinde daarvan opgehangen; staat vast dat de afstand van het uit alle samengestelde zwaartepunt tot de slingeras, maal het aantal gewichten, gelijk is aan de som van de afstanden van alle gewichten tot dezelfde slingeras {Prop. 2.}; en zo zal dus in dit geval de lengte van de enkelvoudige slinger die isochroon is met de samengestelde, ook verkregen worden als de som van de kwadraten van de afstanden der afzonderlijke gewichten tot de slingeras, wordt gedeeld door de som van de afstanden van die alle. Definitie XIV. ALs er in hetzelfde vlak zijn een of andere figuur, en een rechte lijn die deze aan de buitenkant raakt; en als langs de omtrek van de figuur een andere rechte, loodrecht op het vlak ervan, rondgevoerd wordt en een of ander oppervlak beschrijft, dat daarna gesneden wordt door een vlak getrokken door de genoemde raaklijn, en hellend op het genoemde vlak van de figuur; dan wordt het lichaam, omvat door deze twee vlakken en door het tussen beide vlakken onderschepte deel van het beschreven oppervlak, genoemd een Wig 1) afgesneden op die figuur als basis. [Fig. 81.]   In de bijgevoegde tekening is ABEC de gegeven figuur; de rechte die er aan raakt is MD; de rechte die langs de omtrek wordt rondgevoerd is EF; en de wig is de ruimtelijke figuur omvat door de vlakken ABEC, MFC en een deel van het oppervlak door de rechte EF beschreven.   1)  Zie noot 3 van p. 499 van T. XVI.

[ 267 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 104}

Definitie XV. DE afstand tussen de rechte waarlangs de wig is afgesneden, en het punt van de basis waarop de loodlijn valt vanuit het zwaartepun van de wig, wordt genoemd de Subcentrische lijn van de wig.   Namelijk in dezelfde figuur, als K het zwaartepunt is van de wig, en de rechte KI loodrecht getrokken is op de basis ABEC ervan, en IM weer loodrecht op MD; dan zal IM de lijn zijn die we de subcentrische noemen. Propositie VII. EEn wig, afgesneden op een willekeurige vlakke figuur, door een vlak dat helt over een halve rechte hoek, is gelijk aan het lichaam dat ontstaat door dezelfde figuur te vermenigvuldigen met een hoogte, die gelijk is aan de afstand van het zwaartepunt van de figuur tot de rechte waarlangs de wig is afgesneden. 1) [Fig. 82.]   Laat op de vlakke figuur ACB de wig ABD zijn afgesneden door een vlak dat helt over een halve rechte hoek, en dat ook door EE gaat, de rechte die de figuur ACB raakt, en in het vlak ervan is gelegen. Het zwaartepunt van de figuur is F, vanwaar de loodlijn FA is getrokken op de rechte EE. Ik zeg dat de wig gelijk is aan het lichaam dat ontstaat door de figuur ACB te vermenigvuldigen met een hoogte die gelijk is aan FA.   {p. 105}   Laat namelijk aangenomen worden dat de figuur ACB wordt verdeeld in zeer kleine gelijke deeltjes waarvan G er een is. Dus staat vast, als elk van deze wordt vermenigvuldigd met zijn afstand tot de rechte EE, dat de som van de producten gelijk zal zijn aan die welke er komt door de rechte AF te vermenigvuldigen met alle deeltjes {Prop. 1.}, dat is, aan die welke er komt door de figuur ACB zelf te vermenigvuldigen met een hoogte gelijk aan AF. Maar nu is het zo dat de afzonderlijke deeltjes, zoals G, vermenigvuldigd met hun afstanden GH, gelijk zijn aan zeer kleine parallelepipeda, of prisma's, daarop opgericht, en wel eindigend op het schuine oppervlak AD, zoals GK is; omdat de hoogten hiervan gelijk zijn aan die afstanden GH, wegens de halfrechte hellingshoek tussen de vlakken AD en ACB. En het blijkt dat uit deze parallelepipeda de hele wig ABD is samengesteld. Dus zal ook de wig zelf gelijk zijn aan het lichaam op de basis ACB, dat de hoogte gelijk heeft aan de rechte FA. Wat te bewijzen was. Propositie VIII. ALs een rechte een vlakke figuur raakt, en de figuur wordt in gedachten verdeeld in   1)  Vergelijk de wat algemenere propositie (met willekeurige hellingshoek, hier 45°) van p. 499 van T. XVI.

[ 269 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

zeer kleine gelijke deeltjes, en als er ook van elk een loodlijn naar die rechte is getrokken; dan zullen de kwadraten van al deze loodlijnen, samen genomen, gelijk zijn aan een bepaalde rechthoek maal het aantal van die deeltjes; de rechthoek onstaat namelijk uit de afstand van het zwaartepunt van de figuur tot dezelfde rechte, en de subcentrische lijn van de wig, die erdoor op de figuur wordt afgesneden. 1)   Laat namelijk, bij al het overige gestelde van de voorgaande constructie, LA [Fig. 82] de subcentrische lijn van wig ABD zijn naar rechte EE. Dan moet worden aangetoond dat de som van alle kwadraten van de afstanden der deeltjes van figuur ACB gelijk is aan de rechthoek op FA en LA, maal het aantal deeltjes.   {p. 106} [Fig. 82.]   En het staat wel vast uit het voorgaande bewijs, dat de hoogten van de afzonderlijke parallelepipeda, zoals GK, gelijk zijn aan de afstanden van de deeltjes, die de bases ervan zijn, zoals G, tot de rechte AE. En daarom, als we nu het parallelepipedum GK vermenigvuldigen met de afstand GH, is het evenzo alsof het deeltje G wordt vermenigvuldigd met het kwadraat van afstand GH. En op dezelfde wijze is het gesteld met alle overige. Maar nu is het zo alle producten van de parallelepipeda met hun afstanden tot de rechte AE, samen gelijk zijn aan het product van de wig ABD met de afstand LA {Prop. 1.}, omdat de wig zwaar is op punt L. Dus ook de som van de producten van de afzonderlijke deeltjes G met de kwadraten van hun afstanden tot de rechte AE, zal gelijk zijn aan het product van wig ABD met rechte LA, dat is, aan het product van figuur ACB met de rechthoek op FA en LA. Want wig ABD is gelijk aan het product van figuur ACB met rechte FA {Prop. 7.}. Aan de andere kant, omdat figuur ACB gelijk is aan het product van één deeltje G met het aantal van die deeltjes, volgt dat het genoemde product van figuur ACB met de rechthoek op FA en LA, gelijk is aan het product van deeltje G met de rechthoek op FA en LA, maal het aantal deeltjes G. En hieraan zal dus ook gelijk zijn de genoemde som van producten van de afzonderlijke deeltjes G met de kwadraten van hun afstanden tot rechte AE, of van één deeltje G met de som van al deze kwadraten. En daarom, als de vermenigvuldiging met deeltje G aan beide kanten wordt weggelaten, is het noodzakelijk dat dezelfde som van kwadraten gelijk is aan de rechthoek op FA en LA, maal het aantal deeltjes waarin de figuur ACB in gedachten verdeeld is. Wat te bewijzen was.   1)  Het bewijs dat volgt laat zien dat Huygens een wig bedoelt die begrensd wordt door een vlak dat 45° helt, hoewel de subcentrische lijn van een wig (of van een tronk) onafhankelijk is van deze hellingshoek; vergelijk de voorlaatste alinea van noot 2 van p. 458-459 van T. XVI.  Prop. VIII is een bijzonder geval van het Lemma van p. 503 van T. XVI, te weten dat waarin de rechte DEK van Fig. 65 van deze pagina de kromme ABC raakt, zodat de tronk een wig wordt.

[ 271 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Propositie IX. GEgeven een vlakke figuur en in hetzelfde vlak een rechte lijn, die ofwel de figuur snijdt of niet, waarop loodlijnen vallen vanaf afzonderlijke zeer kleine en gelijke deeltjes, waarin de figuur in gedachten is verdeeld; te vinden de som van de kwadraten van al deze loodlijnen, of een vlak waarvan het veelvoud volgens het aantal deeltjes gelijk is aan de genoemde som van kwadraten. 1)   Laat gegeven zijn de vlakke figuur ABC [Fig. 83], en in hetzelfde vlak de rechte ED; en als de figuur in gedachten is verdeeld in zeer kleine gelijke deeltjes, stellen we ons voor dat vanaf elk ervan loodlijnen zijn getrokken op de rechte ED, zoals vanaf het deeltje F getrokken is FK. En gevonden moet worden de som van de kwadraten van al deze loodlijnen.   {p. 107}

[Fig. 83.]

Laat aan de gegeven ED evenwijdig zijn de rechte AL, die de figuur raakt, en geheel erbuiten is gelegen. Nu kan deze de figuur ofwel aan dezelfde kant raken als waar ED is, of aan de tegenovergestelde kant. En laat de afstand van het zwaartepunt van de figuur tot de rechte AL zijn de rechte GA, die ED snijdt in E; en de subcentrische lijn van een wig die op de figuur is afgesneden langs de rechte AL zij HA. Ik zeg dat de gevraagde som van kwadraten gelijk is aan de rechthoek AGH [op AG en GH], samen met het vierkant van EG, beide vermenigvuldigd met het aantal der deeltjes, waarin de figuur verdeeld is gedacht.   Laat namelijk FK, zo nodig verlengd, de raaklijn AL ontmoeten in het punt L. Ten eerste dus, in het geval dat de rechte ED van de figuur af ligt, en de raaklijn AL aan dezelfde kant van de figuur is getrokken, is het voorgestelde te bewijzen als volgt. De som van alle kwadraten van FK is gelijk aan evenveel kwadraten van KL, samen met tweemaal zoveel rechthoeken KLF, en nog evenveel kwadraten van LF. Maar de kwadraten van KL zijn gelijk aan evenveel kwadraten van EA. En het staat vast dat de rechthoeken KLF gelijk zijn aan evenveel rechthoeken EAG, omdat alle FL gelijk zijn aan evenveel GA {Prop. 2.}. En tenslotte zijn de kwadraten van LF gelijk aan evenveel rechthoeken HAG {Prop. 8.}, dat is, aan evenveel kwadraten   1)  Zie noot 1 van p. 546 van T. XVI.

[ 273 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

van AG, met evenveel rechthoeken AGH. Dus de kwadraten van alle FK zullen gelijk zijn aan evenveel kwadraten van EA, met evenveel dubbele rechthoeken EAG, en nog bovendien evenveel kwadraten van AG met evenveel rechthoeken AGH. Maar nu maken deze drie, namelijk het kwadraat van EA met tweemaal de rechthoek EAG en het kwadraat van AG, het kwadraat van EG. Dus blijkt dat alle kwadraten van FK gelijk zijn aan evenveel kwadraten van EG, samen met evenveel rechthoeken AGH. Wat te bewijzen was.

[Fig. 84.]

Verder zijn in alle overige gevallen alle kwadraten van FK [Fig. 84] gelijk aan evenveel kwadraten van KL, min tweemaal zoveel rechthoeken KLF, plus evenveel kwadraten van LF; dat is, aan evenveel kwadraten van EA, min evenveel dubbele rechthoeken EAG, plus evenveel kwadraten van AG, met evenveel rechthoeken AGH. Maar nu wordt in al deze gevallen het kwadraat van EA, plus het kwadraat van AG, min de dubbele rechthoek EAG, gelijk aan het kwadraat van EG. Dus weer zullen alle kwadraten van FK gelijk zijn aan evenveel kwadraten van EG, samen met evenveel rechthoeken AGH. Waarmee het voorgestelde vaststaat.   {p. 108}   Hieruit volgt dat de rechthoek AGH van dezelfde grootte is, van welk van beide wiggen AH ook de subcentrische lijn is; dat is, of de wig nu langs de ene of langs de andere van de evenwijdoge raaklijnen AL is afgesneden. Dus AG van het ene geval staat tot AG van het andere, zoals HG van het laatste tot HG van het eerste. En zoals de rechten AG zich onderling verhouden, zo ook in elk van beide gevallen de wiggen, langs AL afgesneden, zoals is op te maken uit prop. 7 hierboven. Dus zo ook andersom GH tot GH.   Het blijkt ook dat, gegeven het zwaartepunt G van de vlakke figuur, en de subcentrische lijn van de wig, die langs een van beide evenwijdige raaklijnen AL is afgesneden, eveneens wordt gegeven de subcentrische lijn van de wig die langs de andere raaklijn AL is afgesneden. Propositie X.   [Fig. 85.] MEt het in de voorgaande propositie gestelde; als een gegeven rechte ED gaat door G, het zwaartepunt van een figuur ABC; dan zal de som van de kwadraten der afstanden van deeltjes, waarin de figuur verdeeld wordt gedacht, tot de rechte ED, gelijk zijn aan alleen de rechthoek AGH, vermenigvuldigd met het aantal van die deeltjes. 1)

[ 275 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 109}

Dit is immers duidelijk, aangezien het kwadraat van EG dan nul is. Propositie XI.   [Fig. 86.] MEt weer het overige gesteld zoals in de voorgaande propositie; als DE de as is van de vlakke figuur ABC, die haar in twee gelijke gelijke en gelijkvormige gedeelten verdeelt, en als bovendien VG de afstand is van het zwaartepunt van de halve figuur DAD tot de rechte ED, en van de wig die daarop wordt afgesneden langs die ED is de subcentrische lijn GX; dan zal de rechthoek XGV gelijk zijn aan de rechthoek AGH. 2)   De rechthoek XGV, vermenigvuldigd met het aantal deeltjes van figuur DAD, is namelijk gelijk aan alle kwadraten van de loodlijnen die vanaf de deeltjes van dezelfde halve figuur op de rechte ED vallen {Prop. 8.}. En zo zal dus dezelfde rechthoek XGV, vermenigvuldigd met het aantal deeltjes van de hele figuur ABC, gelijk zijn aan de kwadraten van de loodlijnen, die vanaf alle deeltjes van deze figuur op de rechte ED worden neergelaten; dat is, aan rechthoek AGH vermenigvuldigd met hetzelfde aantal deeltjes, zoals vaststaat uit de voorgaande propositie. Waaruit volgt dat de rechthoeken XGV en AGH onderling gelijk zijn. Wat te bewijzen was.   1)  Zie de noten 5 en 6 van p. 547 van T. XVI.       2)  Zie noot 2 van p. 549 van T. XVI. Propositie XII. GEgeven een willekeurig aantal punten in een vlak; als om het zwaartepunt ervan een willekeurige cirkel wordt beschreven; en getrokken worden rechte lijnen vanuit alle gegeven punten, naar een of ander punt op de omtrek

[ 277 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 110}

van die cirkel; dan zal de som van de kwadraten van alle steeds gelijk zijn aan datzelfde vlak. 1)   Laat de gegeven punten zijn ABCD [Fig. 87]; en het zwaartepunt daarvan, of van gelijke grootheden eraan opgehangen, zij E; en om E als middelpunt wordt beschreven een willekeurige cirkel Ff, op de omtrek waarvan een of ander punt wordt genomen, zoals F, en daar naartoe worden vanuit de gegeven punten getrokken de rechten AF, BF, CF en DF. Ik zeg dat de kwadraten van die alle, samengenomen, gelijk zijn aan een bepaald gegeven vlak, en altijd aan hetzelfde, waar het punt F ook op de omtrek is genomen.

  [Fig. 87.]

Laat namelijk getrokken worden de rechten GH en GK, die een rechte hoek maken, en voor elk waarvan alle gegeven punten aan dezelfde kant liggen. En vanuit elk punt worden als loodlijnen op elk van deze twee rechten getrokken AK en AL, BM en BO, CN en CP, DH en DQ. Verder vanuit het zwaartepunt E, en punt F, op een van de twee, GH of GK, de loodlijnen ER en FS. En evenzo vanuit de gegeven punten de loodlijnen op FS: AV, BX, CY en DZ. En FT is de loodlijn op ER. Laat nu verder zijn AL = a AK = e straal EF = z BM = b BO = f GS = x CN = c CP = g DH = d DQ = h *) Omdat nu E het zwaartepunt is van de punten A, B, C en D: als bijeengenomen worden de loodlijnen AL, BM, CN en DH, en als het uit alle samengestelde wordt gedeeld in zoveel delen als er gegeven punten zijn; zal aan één van deze delen gelijk zijn ER {Prop. 2.}. En evenzo, als in evenzoveel delen wordt gedeeld de som van de loodlijnen AK, BO, CP en DQ, zal aan één van deze gelijk zijn de loodlijn, getrokken uit E op de rechte GK, oftewel RG {Prop. 2.}. Daarom, als de som van alle AL, BM, CN en DH, of a + b + c + d genoemd wordt l; en de som van alle AK, BO, CP en DQ, of e + f + g + h genoemd wordt m; en het getal dat het aantal gegeven punten uitdrukt genoemd wordt θ, dan zal gelden ER = l/θ, en RG = m/θ. En omdat GS is x   1)  Zie over deze propositie, die te vinden is bij Pappus, p. 34 van het Voorbericht hiervoor.   [ *)  Het gelijkteken '=' staat hier in plaats van het door Huygens gebruikte .]

[ 279 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 111}

zal gelden RS of FT = x – m/θ, of m/θ – x, als GR groter is dan GS; en steeds is FT kwadraat = xx – 2 xm/θ + mm/θθ. dit afgetrokken van FE kwadraat = zz, zal overblijven TE kwadraat = zz – xx + 2 xm/θ – mm/θθ. En daarom TE = √(zz – xx + 2 xm/θ – mm/θθ). Nu was ER = l/θ. Dus TR = l/θ + of – √(zz – xx + 2 xm/θ – mm/θθ). Deze TR wordt kortheidshalve y genoemd. Laten we nu verder de som van de kwadraten van alle FA, FB, FC en FD bijeenbrengen. AF kwadraat is gelijk aan de kwadraten van AV en VF. Verder is AV gelijk aan het verschil van de twee VK en AK, of van de twee SG en AK; en zo is dus AV = x – e of e – x; en kw. AV = xx – 2 ex + ee. VF dan is gelijk aan het verschil van de twee FS en VS of van de twee FS en AL; en zo is dus VF = y – a of a – y; en kw. VF = yy – 2 ay + aa. En bij optellen van de kwadraten van AV en VF komt er FA kwadraat = xx – 2 ex + ee + yy – 2 ay + aa. En op dezelfde manier zijn de kwadraten te vinden van de overige FB, FC en FD; en dan zal alles gerangschikt zijn als volgt: kw. FA  =  xx – 2 ex + ee + yy – 2 ay + aa. kw. FB  =  xx – 2 fx + ff + yy – 2 by + bb. kw. FC  =  xx – 2 gx + gg + yy – 2 cy + cc. kw. FD  =  xx – 2 hx + hh + yy – 2 dy + dd. En de som hiervan, als we stellen de kwadraten ee + ff + gg + hh = nn; en de kwadraten aa + bb + cc + dd = kk; zal deze zijn θxx – 2 mx + nn + θyy – 2 ly + kk. Aangezien θ het aantal gegeven punten was en daarom ook het aantal kwadraten, en gesteld was e + f + g + h = m, en a + b + c + d = l.   En als in deze som in de termen  θyy  en  2 ly  voor  y  wordt gezet datgene waarvan deze de plaats innam, namelijk  l/θ +  of  – √(zz – xx + 2 xm/θ – mm/θθ)  komt er: + θyy  =  ll/θ + 2 l √(zz – xx + 2 xm/θ – mm/θθ) + θzz – θxx + 2 xm – mm/θ. en  – 2 ly  =  – 2 ll/θ – 2 l √(zz – xx + 2 xm/θ – mm/θθ).  of: + θyy  =  ll/θ – 2 l √(zz – xx + 2 xm/θ – mm/θθ) + θzz – θxx + 2 xm – mm/θ. en  – 2 ly  =  – 2 ll/θ + 2 l √(zz – xx + 2 xm/θ – mm/θθ).   [Fig. 87.] AL = a AK = e straal EF = z BM = b BO = f GS = x CN = c CP = g DH = d DQ = h

[ 281 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 112}

En dus wordt in beide gevallen voor θyy – 2 ly verkregen – ll/θ + θzz – θxx + 2 xm – mm/θ. En als daarbij gezet worden de overige hoeveelheden in de genoemde som bevat, θxx – 2 xm + nn + kk, zal de hele som, namelijk van de kwadraten van FA, FB, FC en FD, worden = θzz + nn + kk – (mm – ll)/θ. En het blijkt dat dit een gegeven vlak is, aangezien al deze hoeveelheden gegeven zijn; en dat altijd hetzelfde vlak wordt gevonden, waar dan ook het punt F op de omtrek is genomen. Wat te bewijzen was.   Maar als wordt gesteld dat de gegeven punten verschillende zwaartes hebben, die onderling meetbaar zijn, zoals wanneer het punt A zou wegen bijvoorbeeld 2, B 3, C 4, D 7, en nadat hun zwaartepunt is gevonden, er weer een cirkel wordt beschreven, met op de omtrek ervan een punt waarnaar vanuit de gegeven punten rechten worden getrokken, en ook van elk de kwadraten genomen, vermenigvuldigd met het gewichtsgetal van het punt ervan — zoals het kwadraat van AF tweemaal, van BF driemaal, CF viermaal, DF zevenmaal — dan zeg ik dat weer de som van alle gelijk zal zijn aan een gegeven ruimte, en altijd dezelfde, waar dan ook op de omtrek het punt ligt. Dit blijkt namelijk uit het voorgaande bewijs, als we ons voorstellen dat die punten worden vermenigvuldigd met de getallen van de aan elk toegekende zwaarte; het is namelijk alsof in A twee punten zijn samengevoegd, in B drie, in C vier, in D zeven, en die ook alle even zwaar. Propositie XIII. ALs een vlakke figuur, of een lijn die in een vlak ligt, steeds anders wordt opgehangen in punten die, in hetzelfde vlak opgenomen, even ver van het zwaartepunt van de figuur liggen; dan is bij een zijwaartse schommeling de figuur met zichzelf isochroon. 1)   Gegeven de vlakke figuur [Fig. 88], of lijn die in een vlak ligt ABC, waarvan het zwaartepunt D is; en om dit punt als middelpunt wordt een cirkelomtrek ECF in hetzelfde vlak beschreven. Ik zeg dat als de figuur is opgehangen in een willekeurig punt daarop, zoals E, C of G, en zijwaarts aan het schommelen wordt gebracht; dat de figuur isochroon is met zichzelf, of met dezelfde enkelvoudige slinger.   [Fig. 88.]     Laat de eerste ophanging zijn in het punt E, en wanneer het buiten de figuur ligt, zoals hier, moet worden aangenomen dat de lijn EH, waaraan de figuur hangt, stijf is en ook onbeweeglijk daaraan vastgemaakt.   We stellen ons voor dat de figuur ABC wordt verdeeld in zeer kleine gelijke deeltjes, en dat vanuit al hun zwaartepunten rechten worden getrokken naar het punt E; en het is wel duidelijk dat die,   1)  Zie de derde alinea van p. 373 van T. XVI en noot 1 van p. 277 hiervoor.

[ 283 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

aangezien de figuur beweegt met een zijwaartse beweging, loodrecht op de schommelas staan. Dus de kwadraten van al deze loodlijnen, gedeeld door de rechte ED maal het aantal deeltjes waarin de figuur is verdeeld, maken de lengte van de enkelvoudige slinger die isochroon is met de figuur {Prop. 6.}, welke lengte KL is.   {p. 113} Als dan de figuur wordt opgehangen in het punt G, wordt weer de lengte van de isochrone enkelvoudige slinger gevonden, door alle kwadraten van de lijnen, die van de deeltjes van de figuur worden getrokken naar punt G, te delen door de rechte GD maal het aantal van die deeltjes {Prop. 6.}. Aangezien dus de punten G en E liggen op de omtrek beschreven om het middelpunt D, dat het zwaartepunt is van figuur ABC, of het zwaartepunt van alle punten die middelpunten zijn van gelijke deeltjes van de figuur; zal dus de som van kwadraten van de lijnen, die van de genoemde punten naar punt G worden getrokken, gelijk zijn aan de som van kwadraten van de lijnen die van dezelfde deeltjes naar punt E worden getrokken {Prop. 12.}. En deze sommen van kwadraten, bij beide ophangingen, worden gedeeld door gelijke grootheden, en wel bij de ophanging in E door de rechte ED maal het aantal van alle deeltjes; en bij de ophanging in G door de rechte DG maal hetzelfde aantal deeltjes. Dus blijkt uit deze laatste deling, wanneer namelijk de ophanging in G is, dat de lengte van de isochrone slinger dezelfde wordt als bij de vorige deling, dat is, dezelfde als KL.   Op dezelfde manier is te bewijzen dat de figuur, opgehangen in C, of in een ander willekeurig punt van de omtrek ECF, isochroon is met dezelfde slinger KL. Dus staat het voorgestelde vast.   {p. 114} Propositie XIV. GEgeven een ruimtelijke figuur, en een oneindige rechte lijn, die ofwel buiten de figuur valt, of er doorheen gaat; en als de figuur in gedachten verdeeld wordt in gelijke deeltjes, en uit alle worden loodlijnen getrokken naar de gegeven rechte; te vinden de som van alle kwadraten daarvan, of een vlak waarvan het veelvoud volgens het aantal deeltjes gelijk is aan de genoemde som van kwadraten. 1)   Laat gegeven zijn de ruimtelijke figuur ABCD [Fig. 89], en een rechte lijn die door het punt E gaat en loodrecht op het vlak van deze pagina gedacht wordt; en die ofwel de figuur snijdt, of geheel erbuiten valt. En we stellen ons voor dat vanuit afzonderlijke zeer kleine gelijke deeltjes, die het lichaam ABCD samenstellen, zoals F, rechten worden getrokken loodrecht op de gegeven rechte door E, zoals hier FE; nu moet de som van alle kwadraten zoals van FE worden gevonden.   Laat de figuur gesneden worden door het vlak EAC, getrokken door de genoemde lijn en door het zwaartepunt van de figuur. Evenzo stellen we ons een ander vlak voor door dezelfde gegeven lijn, en door EG, die daar loodrecht op staat.   Nu staat vast dat het kwadraat van iedere lijn, die vanaf één van de genoemde deeltjes loodrecht getrokken wordt op de gegeven lijn door E, zoals FE, gelijk is aan de kwadraten van de twee FG en FH,   1)  Vergelijk de berekening van p. 473-474 van T. XVI, van de lengte van de isochrone slinger bij een ellipsoïde opgehangen aan een punt op het verlengde van de as: hulpfiguren analoog aan die van Prop. XIV.

[ 285 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 115}

[Fig. 89, 1e ged.]

die vanaf hetzelfde deeltje loodrecht op de hiervoor genoemde vlakken door EG en EC worden getrokken {Eucl. lib. 1. 47.}. En daarom, als we te weten kunnen komen de som van de kwadraten, die komen van alle loodlijnen die vanaf alle deeltjes op de genoemde vlakken door EG en EC vallen; dan zullen we ook hebben de aan deze gelijke som van de kwadraten van de loodlijnen die vanaf al die zelfde deeltjes vallen op de gegeven rechte door het punt E.   En die eerste som van kwadraten is bijeen te brengen op de volgende manier. Laat eerst gesteld worden dat een vlakke figuur OQP gegeven is, terzijde van de ruimtelijke figuur ABCD, met dezelfde hoogte als deze, en die zodanig is dat bij snijding met de rechte lijnen QQ en RR, die overeenkomen met de snijvlakken MM en NN van de ruimtelijke figuur ABCD, en ermee evenwijdig zijn; dat dan de verhouding hetzelfde is van de genoemde lijnen onderling, alsook van deze vlakken, als ze namelijk in beide gevallen worden genomen in de volgorde waarin ze met elkaar overeenkomen. Zoals wanneer de lijn RR is tot QQ zoals het vlak NN tot MM. En als dus wordt aangenomen dat de vlakke figuur OQP verdeeld wordt in evenveel zeer kleine gelijke deeltjes als aangenomen worden in de ruimtelijke figuur ABCD, zullen er ook in elk segment van de vlakke figuur, zoals QQRR, zoveel deeltjes zijn als er zijn in het ermee overeenkomende segment MMNN van de ruimtelijke figuur; en zo dus zal ook de som van kwadraten, van de loodlijnen van alle deeltjes van de figuur OQP op het vlak EG, gelijk zijn aan de som van kwadraten, van de loodlijnen van alle deeltjes van de ruimtelijke figuur, op hetzelfde vlak EG neergelaten. Nu zal de eerste som van kwadraten gegeven zijn, als in figuur OQP, en de wig

[ 287 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

ervan, gegeven is wat wordt gevraagd in propositie 9 hierboven, zoals we gezegd hebben. Dus daar dit gegeven is zal ook te geven zijn de som van de kwadraten van de loodlijnen die van alle deeltjes van de ruimtelijke figuur ABCD worden getrokken op het vlak EG.

[Fig. 89.]

Laat nu evenzo gesteld worden een andere vlakke figuur SYTZ, met dezelfde breedte als het lichaam ABCD, dat is, ingesloten door de vlakken BY en DZ die het lichaam raken, en ook evenwijdig zijn met het vlak EAC, en die figuur moet zodanig zijn dat, bij snijding met de rechten VV, XX, enz. die overeenkomen met de snijvlakken KK en LL van de figuur ABCD, en ermee evenwijdig zijn; dat er dan dezelfde verhouding komt van deze lijnen onderling als van die vlakken, als ze worden genomen zoals ze wederzijds met elkaar overeenkomen. Dus weer zullen alle kwadraten samen van de loodlijnen, die vanuit de deeltjes van de figuur SYTZ op de rechte ST vallen, gelijk zijn aan alle kwadraten van de loodlijnen die vanuit de deeltjes van lichaam ABCD worden getrokken op het vlak AC. En de som van die eerste kwadraten zal gegeven zijn, als gegeven wordt de afstand van het zwaartepunt van figuur SYTZ tot de rechte BY of DZ; en ook de afstand tot dezelfde rechte van het zwaartepunt van de wig ervan, afgesneden door een vlak door dezelfde rechte {Prop. 9.}. Of, daar de figuur SYTZ symmetrisch is, zo dat ST de as ervan is, dezelfde som van kwadraten zal worden gegeven, als gegeven wordt de afstand van het zwaartepunt van de halve figuur SZT tot de as ST, en evenzo van het zwaartepunt van de wig, op dezelfde halve figuur afgesneden door een vlak getrokken door de as {Prop. 11.}. Dus, daar dit gegeven is, zal ook te geven zijn de som van de kwadraten van de loodlijnen, die van alle deeltjes van het lichaam ABCD op het vlak EAC getrokken worden gedacht.

[ 289 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 116}

Verder hebben we ook gevonden de som van de kwadraten van alle loodlijnen op het vlak door EG getrokken. Dus zal ook het totaal van deze sommen verkregen worden, dat is, volgens wat hierboven is aangetoond, de som van de kwadraten van de loodlijnen die van alle deeltjes van het lichaam ABCD vallen op de gegeven rechte die door E gaat, en die loodrecht is opgericht op de pagina hiervan. Wat te bewijzen was. Propositie XV. MEt hetzelfde gestelde, als het lichaam ABCD zodanig is, dat de vlakke figuur SYTZ [Fig. 89], die ermee evenredig is, niet een bekende afstand heeft van het zwaartepunt tot de raaklijnen BY of DZ, of dat de subcentrische lijn van de wig daarop afgesneden met een vlak door dezelfde BY of DZ onbekend is; maar als in de evenredige figuur, die ernaast is, OQP, wordt gegeven een afstand ΦP [Fig. 90], waarover het zwaartepunt van de halve figuur OPV van de as OP af ligt, zal het mogelijk zijn hieruit te vinden de som van de kwadraten van de afstanden der deeltjes van lichaam ABCD tot het vlak EC. Maar het is nodig dat alle snijvlakken NN en MM gelijkvormige vlakken zijn; en dat het vlak EC gaat door de zwaartepunten van alle; zoals het geval is bij een prisma, piramide, kegel, conoïden, en vele andere figuren. En ook is het noodzakelijk dat van die vlakken de afstanden gegeven zijn van het zwaartepunt, tot raaklijnen evenwijdig met de slingeras; zoals ook de subcentrische lijnen van de wiggen, die daarop worden afgesneden met vlakken, getrokken door dezelfde raaklijnen. 1)   1)  Al in 1665 gebruikte Huygens, bij de berekening van de lengte van een isochrone slinger bij een hyperboloïde-segment, deze Propositie, of liever de bijzondere vorm ervan als het een omwentelingslichaam is. Zie p. 371-373 en 554-555 van T. XVI.

[ 291 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Bijvoorbeeld, als de grootste van de genoemde snijvlakken BD is, en op B wordt een rechte gedacht evenwijdig met de as E, dat is, opgericht op het vlak dat hier bekeken wordt, moet gegeven zijn de afstand van het zwaartepunt van snijvlak BD tot de genoemde lijn op B, die BC genoemd wordt, en eveneens de subcentrische lijn van de wig op het snijvlak BD afgesneden met een vlak door dezelfde lijn op B, en deze subcentrische lijn wordt BK genoemd.   {p. 117}

[Fig. 90.]

[ 293 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

door omwenteling waarvan ze worden voortgebracht, dat is, uit de verhouding van vlak OPV tot rechthoek PΩ, en uit de verhouding van de afstanden waarover de zwaartepunten van deze vlakken verwijderd zijn van de as OP; dat is, en uit de verhouding van PΦ tot PΔ. En de eerste van deze verhoudingen, namelijk van vlak OPV tot rechthoek PΩ, is dezelfde als die van lichaam ABCD tot cilinder of prisma BDSS, dat is, dezelfde als die van het aantal deeltjes van lichaam ABCD, tot het aantal deeltjes van cilinder of prisma BDSS. De andere verhouding, namelijk van PΦ tot PΔ, is dezelfde, door constructie, als van oppervlak Z tot rechthoek BCK.

[Fig. 90.]

[ 295 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 119}

Opgemerkt moet nog worden dat, wanneer het lichaam ABD rond is om de as AC, de rechthoek BCK altijd gelijk wordt aan een vierde deel van kwadraat BC; aangezien de subcentrische lijn van de wig, afgesneden op de cirkel BD met een vlak door de raaklijn in B, namelijk de rechte BK, gelijk is aan 5/4 maal straal BC 1). Waaruit volgt, als PV wordt gelijkgesteld met BC, dat door te maken dat zoals PΔ tot PΦ, zo rechthoek BCK, dat is 1/4 van kwadraat BC, dat is, kw. PΔ tot een ander vlak Z, dat dit vlak gelijk zal zijn aan de rechthoek ΔPΦ. En zo dus dat dan deze rechthoek ΔPΦ maal het aantal deeltjes van lichaam ABD, gelijk zal zijn aan de gevraagde som van kwadraten van alle loodlijnen, die van die deeltjes op vlak EC vallen. Propositie XVI. EEn willekeurige figuur, of het nu een lijn is, een oppervlak, of een lichaam, die steeds anders wordt opgehangen en tot schommelen gebracht om onderling evenwijdige assen, die even ver afliggen van het zwaartepunt van de figuur, is met zichzelf isochroon. 2)   Laat voorgesteld worden een willekeurige grootheid [Fig. 91], waarvan het zwaartepunt het punt E is, en laat deze eerst zijn opgehangen aan een as die door F wordt gedacht, loodrecht op het vlak van deze pagina. Dus zal ditzelfde vlak ook het slingervlak zijn. En als hierin om E als middelpunt en met EF als straal de cirkelomtrek FHG wordt beschreven, en daarop een willekeurig punt wordt genomen, zoals H, kan aangenomen worden dat de grootheid ten tweede wordt opgehangen aan een as die in dit punt is ingestoken, en ook schommelt, terwijl het slingervlak hetzelfde blijft. Ik zeg dat ze dan isochroon zal zijn met zichzelf bij schommeling om de as in F.   {p. 120}     [Fig. 91.]   Laat namelijk aangenomen worden dat de voorgestelde grootheid is verdeeld in zeer kleine gelijke deeltjes. Dus, omdat bij elk van die beide ophangingen het slingervlak hetzelfde blijft, ten opzichte van de deeltjes van de grootheid; is duidelijk dat, als vanuit alle deeltjes waarin de grootheid is verdeeld loodlijnen worden gedacht te vallen op genoemd slingervlak, ze bij elk van beide ophangingen dit vlak in dezelfde punten ontmoeten. En laat het deze punten zijn die te zien zijn in de ruimte ABCD.   Daar dus E het zwaartepunt is van de voorgestelde grootheid, en deze derhalve om de as, die door punt E is opgericht op het vlak ABCD, in elke mogelijke stand in evenwicht blijft; is gemakkelijk in te zien dat, als een gelijke zwaarte wordt toegekend aan alle hiervoor genoemde punten, die in de ruimte ABCD worden aangeduid, ook het zwaartepunt van die alle het punt E zal zijn. En als, zoals kan gebeuren, in enkele punten meer loodlijnen samenvallen, moet worden aangenomen dat die punten even dikwijls herhaald zijn, en van de zwaarte moet dan het overeenkomstige veelvoud worden genomen. En ook van zo beschouwde punten blijkt weer het punt E het zwaartepunt te zijn.   1)  Zie p. 510-513 van T. XVI.       2)  Vergelijk p. 461 van T. XVI en ook p. 34 van het Voorbericht.

[ 297 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Verder blijkt de som van kwadraten van de rechten, die getrokken worden van alle genoemde punten naar punt F, dezelfde te zijn als de som van kwadraten van die rechten, die van de afzonderlijke deeltjes van de voorgestelde grootheid loodrecht worden getrokken op de slingeras die door F gaat; omdat immers de lijnen waarvan de kwadraten worden beschouwd, aan beide kanten dezelfde lengte hebben. Evenzo ook, wanneer de ophanging is aan de as door H, blijkt de som van kwadraten van de rechten, die vanaf alle punten, aangeduid in de ruimte ABCD, naar punt H worden getrokken, dezelfde te zijn als de som van kwadraten van de loodlijnen, die vanuit alle deeltjes van de voorgestelde grootheid neergelaten worden op de slingeras die door H gaat. Dus in elk van beide gevallen, als de som van kwadraten van de rechten die vanaf alle genoemde punten worden getrokken naar de punten F of H, gedeeld wordt door de rechten EF of EH maal het aantal deeltjes waarin de voorgestelde grootheid verdeeld wordt gedacht, zal uit deze deling komen de lengte van de enkelvoudige slinger, die isochroon is met de grootheid opgehangen in F of H. Nu is de som van kwadraten in beide gevallen gelijk {Prop. 12.}; en ook de rechten EF en EH zijn onderling gelijk; en het aantal deeltjes is hetzelfde. Dus, omdat zowel de noemers als de tellers van beide delingen gelijk zijn, zullen ook de lengten die uit de delingen komen gelijk zijn, dat is, de lengten van slingers die isochroon zijn met de voorgestelde grootheid opgehangen in F of in H. Wat te bewijzen was.   {p. 121} Propositie XVII.   [Fig. 92.] GEgeven een vlak, waarvan het veelvoud volgens het aantal deeltjes waarin een opgehangen figuur verdeeld wordt gedacht, gelijk is aan de kwadraten van alle afstanden tot de slingeras; als dat vlak wordt gedeeld door een rechte, gelijk aan de afstand tussen de slingeras en het zwaartepunt van de opgehangen grootheid, komt er de lengte van de enkelvoudige slinger die hiermee isochroon is.   Laat de figuur ABC, met zwaartepunt E, opgehangen zijn aan de as die door het punt F loodrecht staat op het vlak dat bekeken wordt. En door te stellen dat de figuur is verdeeld in zeer kleine gelijke deeltjes, en aan te nemen dat vanuit alle deeltjes loodlijnen vallen op de genoemde as; moet met het hierboven aangetoonde worden gevonden het vlak H, waarvan het veelvoud volgens het aantal van de genoemde deeltjes, gelijk is aan alle kwadraten van de genoemde loodlijnen. En als vlak H gedeeld wordt door de rechte FE, komt er de lengte FG. Ik zeg dat deze laatste de lengte is van de enkelvoudige slinger, die isochrone slingeringen heeft met de grootheid ABC, schommelend om de as door F.

[ 299 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Omdat namelijk de som van kwadraten van de afstanden tot de as F, gedeeld door de afstand FE maal het aantal deeltjes, de lengte geeft van de isochrone enkelvoudige slinger {Prop. 6.}. En aan deze som van kwadraten wordt gelijkgesteld het vlak H maal hetzelfde aantal deeltjes. Dus ook voor vlak H maal hetzelfde aantal deeltjes, geldt dat, als het gedeeld wordt door de afstand FE maal het aantal deeltjes; of met weglating van het gemeenschppelijke aantal, als vlak H gedeeld wordt door de afstand FE; zal er ook uitkomen de lengte van de isochrone enkelvoudige slinger. Het staat dus vast dat deze lengte FG is. Wat te bewijzen was.  {p. 122} Propositie XVIII. ALs een vlakke ruimte, waarvan het veelvoud volgens het aantal deeltjes van een opgehangen grootheid, gelijk is aan de kwadraten van de afstanden tot de zwaarte-as, evenwijdig met de slingeras; als, zeg ik, deze ruimte gedeeld wordt door een rechte, gelijk aan de afstand tussen beide genoemde assen, komt er een rechte gelijk aan het interval waarover het slingermiddelpunt lager is dan het zwaartepunt van dezelfde grootheid. 1)   Laat ABCD [Fig. 93] een grootheid zijn, met zwaartepunt E; en die, opgehangen aan de as die gedacht wordt door het punt F recht op het vlak van deze pagina, het slingermiddelpunt G heeft. Verder wordt evenwijdig aan de as door F aangenomen een andere as, die gaat door het zwaartepunt E. En als de grootheid in gedachten is verdeeld in zeer kleine gelijke deeltjes, laat dan aan de kwadraten van de afstanden tot de genoemde as door E, gelijk zijn het vlak I maal het aantal van de genoemde deeltjes; en als vlak I wordt gedeeld door de afstand FE, komt er een bepaalde rechte. Ik zeg dat die rechte gelijk is aan het interval EG, waarover het slingermiddelpunt lager ligt dan het zwaartepunt van grootheid ABCD.   Opdat we het voorgestelde met een algemeen bewijs aanvatten:   1)  Deze Prop. is nog niet te vinden in werk van 1664-65 (T. XVI), en ook niet in de anagrammen, naar Londen gestuurd in 1669 (T. VI, p. 487-489). De afstand van zwaartepunt tot slingermiddelpunt is wel van belang bij de berekeningen van 1664-65; zie p. 472, 474, 477, 508 en 551 van T. XVI, waar deze afstand is genoemd 'λ trunci' of 'λ cunei'. We weten niet of Huygens deze Prop. al in 1664 had kunnen formuleren; hij kende misschien Prop. XIX (die volgt) slechts voor bijzondere gevallen (zie noot 1 van p. 303).

[ 301 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

  [Fig. 93.]

laat aangenomen worden een vlakke figuur, analoog aan de grootheid ABCD, ernaast gezet, OQP; die namelijk, gesneden door dezelfde horizontale vlakken als grootheid ABCD, tussen elke twee vlakken onderschepte segmenten heeft, in dezelfde onderlinge verhouding als de genoemde segmenten van de grootheid, die ermee overeenkomen; en laat de afzonderlijke segmenten van de figuur OQP verdeeld zijn in zoveel gelijke deeltjes, als er zijn in de ermee overeenkomende segmenten in figuur ABCD.   {p. 123} En van deze dingen kan worden aangenomen dat ze zo zijn, hoedanig ook de grootheid ABCD is, of het nu een lijn is, of een oppervlak, of een lichaam. En het is duidelijk dat het zwaartepunt van figuur OQP, dat T wordt genoemd, steeds op dezelfde hoogte is met het zwaartepunt van de grootheid ABCD; en daarom, als een horizontaal vlak, door F getrokken, de middelpuntslijn 1) van figuur OQP snijdt, zoals hier in S, dat de afstanden ST en FE gelijk zijn.   En verder staat vast dat de kwadraten van de afstanden tot de slingeras F, gedeeld door de afstand FE maal het aantal deeltjes, de lengte van de isochrone slinger geeft {Prop. 6.}; welke lengte FG gesteld was. En het is duidelijk dat de som van deze kwadraten gelijk is aan de kwadraten der afstanden tot een horizontaal vlak, getrokken door F, samen met de kwadraten der afstanden tot het vertikale vlak FE, getrokken door de as F en het zwaartepunt E. {Eucl. lib. 1. Prop. 47.} Maar nu zijn de kwadraten van de afstanden van de grootheid ABCD tot het horizontale vlak door F, gelijk aan de kwadraten van de afstanden van figuur OQP tot de rechte SF. En deze kwadraten (als O het bovenste punt is van figuur OQP, en OH de subcentrische lijn van de wig daarop afgesneden met een vlak door de rechte OV, evenwijdig met SF) zijn gelijk aan rechthoek OTH en kwadraat ST maal het aantal deeltjes van de genoemde figuur {Prop. 9.}, of van de grootheid ABCD. En de kwadraten der afstanden van grootheid ABCD tot vlak FE zijn altijd dezelfde, hoe ver ook de slingeras F verwijderd is van het zwaartepunt E; en daarom nemen we aan dat ze gelijk zijn aan een ruimte Z maal het aantal deeltjes van grootheid ABCD.   Dus aangezien de kwadraten van de afstanden van grootheid ABCD tot de slingeras F, gelijk zijn aan deze, namelijk kwadraat ST, rechthoek OTH, en vlak Z, maal het aantal deeltjes van dezelfde grootheid; als deze alle worden gedeeld door de afstand FE of ST, komt er de lengte FG van de isochrone slinger voor grootheid ABCD {Prop. 6.}. Maar uit deling van kwadraat ST door zijn zijde ST, komt ST zelf, of FE. Dus wat over is, EG, is wat komt uit deling van rechthoek OTH, en vlak Z door dezelfde ST of FE.   Daarom blijft over dat we bewijzen dat rechthoek OTH, met vlak Z, gelijk is aan vlak I. Dan zal namelijk vaststaan dat ook vlak I, gedeeld door afstand FE, een lengte geeft die gelijk is aan die EG. En dat is als volgt aan te tonen. Rechthoek OTH maal het aantal deeltjes van figuur OQP, of van grootheid ABCD, is gelijk aan de kwadraten der afstanden van de figuur tot de rechte XT {Prop. 10.}, die door het zwaartepunt T wordt getrokken   1)  Zie voor 'middelpuntslijn' Definitie VII van p. 247. Het is niet noodzakelijk dat figuur OQP symmetrisch is; Huygens geeft niet aan dat de figuur een symmetrie-as moet hebben, zoals hem wordt verweten door Heckscher en V. Oettingen in noot 120 van hun vertaling Die Pendeluhr [p 238].

[ 303 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 124}

  [Fig. 93.]

evenwijdig met SF; en dus ook aan de kwadraten der afstanden van grootheid ABCD, tot het horizontale vlak KK, getrokken door het zwaartepunt E; daar de afstanden in beide gevallen dezelfde zijn. Maar vlak Z, evenzo een veelvoud, is gelijkgesteld met de kwadraten der afstanden van grootheid ABCD tot het vertikale vlak FE. En ook blijkt zeker dat deze kwadraten van afstanden tot vlak FE, samen met de genoemde kwadraten der afstanden tot het horizontale vlak door E, gelijk zijn aan de kwadraten der afstanden tot de zwaarte-as door E, die evenwijdig is met de as F {Eucl. lib. 1. Prop. 47.}. Dus zullen rechthoek OTH samen met vlak Z, maal het aantal deeltjes van grootheid ABCD, gelijk zijn aan de kwadraten der afstanden van dezelfde grootheid tot de genoemde as door E. Maar ook vlak I maal hetzelfde aantal deeltjes, is gelijkgesteld met dezelfde kwadraten van afstanden. Dus is vlak I gelijk aan rechthoek OTH en vlak Z samen. Wat te bewijzen was overgebleven.   Hier wordt weer duidelijk, wat door propositie 16 is bewezen; namelijk dat een willekeurige grootheid, die steeds anders wordt opgehangen en ook aan het schommelen gebracht, aan evenwijdige assen die even ver verwijderd zijn van het zwaartepunt, met zichzelf isochroon is.   Immers, of de grootheid ABCD nu wordt opgehangen aan de as F, of aan de as L die daarmee evenwijdig is; het blijkt dat er in beide gevallen dezelfde kwadraten zijn van afstanden tot de as door E, die evenwijdig is aan de assen F of L. Waaruit volgt dat ook vlak I, waarvan het veelvoud volgens het aantal deeltjes gelijk is aan de som van kwadraten, in elk van beide gevallen hetzelfde zal zijn. En dit vlak, gedeeld door de afstand van het zwaartepunt tot de slingeras, die dezelfde wordt gesteld in beide gevallen, geeft de afstand waarover het slingermidelpunt lager ligt dan het zwaartepunt. Dus ook deze afstand zal in beide gevallen dezelfde zijn. Bijvoorbeeld als, met de ophanging gemaakt aan L, de genoemde afstand EY is, zal deze gelijk zijn aan EG; en de hele YL gelijk aan GF; zodat er bij elk van beide ophangingen dezelfde isochrone slinger is voor de grootheid ABCD. Propositie XIX. ALs eenzelfde grootheid schommelt met eerst een korte en dan een lange ophanging, zal gelden: zoals de afstanden van de slingerassen tot het zwaartepunt zich onderling verhouden, zo zullen zich omgekeerd verhouden de afstanden van de slingermiddelpunten tot hetzelfde zwaartepunt. 1)   [Fig. 94.]   Laat de grootheid, waarvan het zwaartepunt A is, eerst aan een as in B opgehangen worden en aan het schommelen gebracht, en dan aan een as in C; en laat bij de eerste ophanging het slingermiddelpunt D zijn, en bij de laatste ophanging het slingermiddelpunt E. Ik zeg dat geldt: zoals BA tot CA, zo EA tot DA.   {p. 125}   Daar namelijk bij de ophanging in B de afstand AD, waarover het slingermiddelpunt lager ligt dan het zwaartepunt, tot stand komt na deling door de afstand BA van een bepaalde ruimte, waarvan het veelvoud volgens het aantal   1)  Het is de Prop. van noot 2 van p. 528 van T. XVI, waar ze alleen wordt geformuleerd voor vlakke figuren die slingeren in hun vlak. Op p. 509 van T. XVI is deze prop. expliciet te vinden (noot 1) in het geval van een vlakke figuur die slingert loodrecht op haar vlak; vergelijk de 7e alinea van p. 472 van T. XVI. De anagrammen van 1669 (no. 11 op p. 489 van T. VI) spreken expliciet over het constant zijn van de 'Rechthoek van afstanden' [hier: BA.AD, resp. CA.AE]. Vergelijk de 2e alinea van p. 373 van T. XVI en noot 1 van p. 299 hiervoor.

[ 305 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

zeer kleine gelijke deeltjes waarin de grootheid verdeeld wordt gedacht, gelijk is aan de kwadraten van de afstanden tot de as door A, evenwijdig met de as in B {Prop. 18.}; daarom zal rechthoek BAD gelijk zijn aan de genoemde ruimte. Evenzo bij de ophanging in C, daar de afstand AE ontstaat door dezelfde genoemde ruimte te delen door de afstand CA; zal ook rechthoek CAE gelijk zijn aan dezelfde ruimte. Dus zijn de rechthoeken BAD en CAE aan elkaar gelijk; en zo is dus de verhouding van BA tot CA dezelfde als die van AE tot AD. Wat te bewijzen was.   Hieruit blijkt dat bij een gegeven enkelvoudige slinger, die isochroon is met een opgehangen grootheid bij de ene ophanging, en bij gegeven zwaartepunt hiervan; ook bij elke andere ophanging, langer of korter, als het slingervlak maar hetzelfde blijft, de lengte van de isochrone slinger gegeven is. Propositie XX. HEt slingermiddelpunt en het ophangpunt zijn onderling verwisselbaar. 1)   In de figuur hierboven [Fig. 94], omdat als de ophanging gesteld wordt in B te zijn, het slingermiddelpunt D is; zal ook door alles om te keren en te stellen dat de ophanging in D is, het slingermiddelpunt dan B zijn. Dit is immers duidelijk uit de voorgaande propositie zelf.   {p. 126} Propositie XXI. HOe slingermiddelpunten te vinden zijn bij vlakke figuren. 2)   Als begrepen is wat tot dusver is bewezen, zal het nu gemakkelijk zijn bij de meeste figuren die in de Meetkunde gewoonlijk beschouwd worden, de slingermiddelpunten te bepalen. En om eerst te spreken over vlakke figuren, daarbij hebben we hierboven een dubbele slingerbeweging gedefinieerd; namelijk of om een as die in hetzelfde vlak ligt als de figuur, of om een as die loodrecht op het vlak van de figuur staat. Waarvan we de eerste hebben genoemd een schommeling dwars op het vlak, de andere een zijwaartse schommeling.   En als de schommeling is op de eerste manier, namelijk om een as die in hetzelfde vlak ligt, zoals   1)  Zoals gezegd op p. 373-374 van T. XVI, is deze Prop. nog niet te vinden in werk van voor 1666. De anagrammen van 1669 (vorige noot) noemen haar niet, zodat ze van latere datum kan zijn.  [Toepassing: Kater's pendulum.]   2)  Zelfs als we geen werken van voor 1666 hadden gehad, zou gemakkelijk voorstelbaar zijn dat het onderzoek van de slingermiddelpunten in bijzondere gevallen vooraf moest gaan aan de opstelling van de algemene theorie.

[ 307 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

figuur BCD om as EF [Fig. 95]; wordt een wig op de figuur afgesneden gedacht met een vlak dat het vlak van de figuur zo snijdt, dat de snijlijn, hier DD, evenwijdig is aan de slingeras; en gegeven wordt de afstand van het zwaartepunt van de figuur tot deze snijlijn, zoals hier AD; en eveneens de subcentrische lijn, hier DH, van de genoemde wig op dezelfde snijlijn.

  [Fig. 95.]

[ 309 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

En als de figuur een driehoek is met de top omhoog gekeerd, moet DH 3/4 van de middellijn zijn. En met de top omlaag 1/2 middellijn.   Nu is te weten dat wat is bewezen in propositie 16, als volgt betrekking heeft op de beweging van zo'n vlakke figuur. Namelijk, als we de figuur BCD [Fig. 95] steeds een andere stand geven, door haar te draaien om de as BAC, zodat ze of in een vlak evenwijdig met de horizon ligt, of schuin hellend, met gelijkblijvende schommelas FE, ook dan zal de lengte van de isochrone slinger FK dezelfde blijven. Dit is immers duidelijk uit die propositie.   Verder, wanneer een vlakke figuur schommelt om een as die loodrecht op het vlak van de figuur staat; wat we noemen een zijwaartse schommeling; zoals wanneer de figuur BCD [Fig. 96] beweegt om een as die gedacht wordt loodrecht te staan op het vlak DBC; dan is hier 1) behalve de wig op de figuur afgesneden met een vlak door lijn DD, die de figuur in het bovenste punt raakt, ook een andere wig te beschouwen die wordt afgesneden met een vlak door lijn BD, die de figuur aan een zijkant raakt, en die loodrecht staat op raaklijn DD. En gegeven moet worden 1), behalve het zwaartepunt A van de figuur, en de subcentrische lijn HD van de eerste wig, ook de subcentrische lijn LB van de laatste wig. Zo zullen immers bekend zijn de rechthoeken DAH en BAL, die hier samen genomen de ruimte geven die gedeeld moet worden, en die voortaan ook de 'Rechthoek van slingering' genoemd zal worden. Omdat deze namelijk bij deling door de afstand FA, de afstand AK zal geven, waarover het slingermiddelpunt lager ligt dan het zwaartepunt A.

  [Fig. 96.]

[ 311 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 128}

Maar als FA de as is van de figuur BCD [Fig. 96, I], kan in plaats van de wig afgesneden langs BD op de hele figuur, toegepast worden een wig op de halve figuur DBM afgesneden met een vlak door DM. Want als de subcentrische lijn op DM van deze wig OA is, en de afstand van het zwaartepunt van de vlakke figuur DBM tot dezelfde DM is NA, staat vast dat rechthoek OAN gelijk is aan rechthoek BAL {Prop. 11.}. Daarom zal rechthoek OAN, toegevoegd aan rechthoek DAH, ook de ruimte tot stand brengen die moet worden gedeeld door FA, zodat er komt de afstand AK.   En van deze dingen is het bewijs wel duidelijk uit het voorgaande, daar immers de rechthoeken DAH en BAL, of DAH en OAN, maal het aantal deeltjes van de figuur, gelijk zijn aan de kwadraten der afstanden tot het zwaartepunt A; of, wat hier hetzelfde is, tot de zwaarte-as die evenwijdig is met de slingeras; en zo dus kunnen de genoemde rechthoeken, gedeeld door de afstand FA, de lengte van het interval AK geven {Prop. 18.}. Slingermiddelpunt van een Cirkel.   En het is wel duidelijk dat bij een cirkel de rechthoeken DAH en BAL aan elkaar gelijk zijn, en dat ze samen de helft geven van het kwadraat van de halve diameter. Dientengevolge, als geldt dat zoals FA tot de halve middellijn is, zo deze laatste tot een andere, zal de helft hiervan zijn de afstand AK van het zwaartepunt tot het slingermiddelpunt. Als dus de cirkel schommelt aan as D, op de omtrek genomen, zal DK gelijk zijn aan drie vierde van de middellijn DM.   Op deze wijze 1) hebben we ook bij de volgende vlakke figuren slingermiddelpunten gezocht, en het zal voldoende zijn die zonder meer op te schrijven. Namelijk:   {p. 129} Slingermiddelpunt van een Rechthoek.   [Fig. 97.]   Bij elke rechthoek, zoals CB, wordt de te delen ruimte, of Rechthoek van slingering, gelijk bevonden aan een derde deel van het kwadraat van de halve diagonaal AC. Waaruit volgt, als de rechthoek aan een van de hoeken wordt opgehangen, en met deze zijwaartse beweging schommelt, dat de ermee isochrone slinger is 2/3 van de hele diagonaal 2). Slingermiddelpunt van een Gelijkbenige Driehoek.   Bij een gelijkbenige driehoek, zoals CBD {Fig. 98], is de te delen ruimte gelijk aan een achttiende deel van het kwadraat van de middellijn BE, en een vierentwintigste deel van het kwadraat van de basis CD.   1)  In werkelijkheid is de lengte van de isochrone slinger voor dit geval (een cirkel opgehangen in een punt van de omtrek) heel anders gevonden; zie p. 455 van T. XVI. Vergelijk de derde alinea van p. 322 [323] hierna.   2)  Zie over de rechthoek die zijwaarts slingert p. 456, 463-469 en 521-523 van T. XVI. In zijjn brief van 10 okt. 1664 aan Moray (T. V, p. 120) spreekt Huygens over "rechthoeken opgehangen aan een der hoeken of aan het midden van de zijden". We kennen geen berekening van voor 1666 over de rechthoek opgehangen aan een hoek.

[ 313 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

  [Fig. 98.]

[ 315 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

ten eerste van die op de hele sector afgesneden, met een vlak getrokken door BK evenwijdig aan de koorde CD, en de subcentrische lijn op BK van deze wig hebben we gevonden als 3/8 r – 3/8 a + 3pr / 8b, waarin a de sinus versus EF is; ten tweede van die op de halve sector BCF afgesneden met een vlak door BF, en de subcentrische lijn op BF van deze wig hebben we gevonden als 3/8 b – 3br / 8a + 3pr / 8a 1).   Maar ook langs een andere weg is het slingermiddelpunt van de sector te vinden, en gemakkelijker, die als volgt is.   [Fig. 100.] Laat aangenomen worden een zeer klein deel van sector BCD, de sector BCP, die voor een driehoek gehouden kan worden. De kwadraten nu, van de afstanden der deeltjes ervan tot het punt B, zijn gelijk aan de kwadraten van de afstanden tot de rechte BR, die de sector doormidden deelt, samen met de kwadraten van afstanden tot de rechte BQ, die loodrecht op BR staat. Maar de verhouding van deze laatste kwadraten tot de vorige, is groter dan een willekeurige gegeven verhouding, aangezien hoek CBP zeer klein is; en daarom zijn die vorige te houden voor nul.   {p. 131}   En gesteld wordt dat BO tweederde van BR is, dat is, dat O het zwaartepunt is van driehoek BCP; en BN is drievierde van BR; zodat namelijk N het zwaartepunt is van de wig, op driehoek BCP afgesneden met een vlak door BQ. Met dit gestelde staat vast dat de kwadraten van de afstanden der deeltjes van driehoek BCP tot de rechte BQ, gelijk zijn aan de rechthoek NBO maal het aantal deeltjes van dezelfde driehoek. Dus de rechthoek NBO, zoveel maal, is gelijk te stellen met de kwadraten van de afstanden tot punt B van de deeltjes van driehoek BCP. Verder zijn de kwadraten van deze afstanden, tot de kwadraten van de afstanden van de hele sector BCD, zoals sector BCP tot sector BCD, dat is, zoals het aantal deeltjes van sector BCP, tot het aantal deeltjes van sector BCD; dit is immers gemakkelijk in te zien, omdat sector BCD te verdelen is in sectoren zoals BCP. Dus rechthoek NBO maal het aantal deeltjes van sector BCD, zal gelijk zijn aan de kwadraten van de afstanden der deeltjes daarvan tot punt B. En daarom zal rechthoek NBO, gedeeld door BA (de afstand tussen het ophangpunt en het zwaartepunt van de sector), de lengte van de isochrone slinger geven, wanneer de sector wordt opgehangen aan B {Prop. 17.}. Nu is rechthoek NBO = ½ rr, en de afstand BA, zoals we al eerder zeiden, = 2br / 3p. Waaruit bij de deling komt 3pr / 4b als lengte van de isochrone slinger, zoals ook eerder gevonden is.   1)  Vergelijk de berekening van p. 487-489 en 524-529 van T. XVI. Een andere berekening over de cirkelsector op p, 489-490 van T. XVI.

[ 317 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Slingermiddelpunt van een Cirkel, anders dan hierboven. [Fig. 101.]   Op dezelfde manier kan ook heel eenvoudig het slingermiddelpunt bij een cirkel worden gevonden. Laat namelijk de cirkel GCF zijn, met middelpunt B; en laat een zeer kleine sector BCP erop worden aangenomen, zoals hiervoor in sector BCD.   {p. 132}   Aangezien dus, volgens wat zojuist is uiteengezet, de kwadraten van de afstanden tot middelpunt B, der deeltjes van sector BCP gelijk zijn aan rechthoek NBO, dat is, aan het halve kwadraat van de straal maal het aantal deeltjes van deze sector; en de cirkel wordt samengesteld uit zulke sectoren; zullen dus de kwadraten van de afstanden tot het middelpunt B der deeltjes van de hele cirkel, gelijk zijn aan het halve kwadraat van de cirkelstraal maal het aantal van deze deeltjes van de cirkel.   Nu is B het zwaartepunt van de cirkel. Dus het genoemde halve kwadraat van de straal zal hier zijn de ruimte die gedeeld moet worden door de afstand tussen het ophangpunt en middelpunt B, opdat verkregen wordt het interval, waarover het slingermiddelpunt lager ligt dan dit middelpunt B {Prop. 18.}. En dat dit zo is hebben we ook hierboven aangetoond. Slingermiddelpunt van een Cirkelomtrek. [Fig. 102.]   Ook het slingermiddelpunt van de cirkelomtrek wordt op deze wijze makkelijker gevonden.   {p. 133} Laat namelijk een omtrek beschreven zijn rondom B, met straal BR. Dan is het kwadraat van BR maal het aantal deeltjes waarin de omtrek verdeeld wordt gedacht, gelijk aan de kwadraten van de afstanden tot middelpunt B van al die deeltjes. En daarom zal het kwadraat van BR hier de te delen ruimte zijn {Prop. 18.}. Hieruit blijkt dat, als de ophanging is aan G, een punt van de omtrek, de lengte van de isochrone slinger gelijk is aan de middellijn GF 1).   1)  Zie over de berekeningsmethode die in 1664 de lengte van de isochrone slinger heeft doen kennen bij de cirkelomtrek opgehangen in een van zijn punten en schommelend in zijn vlak p. 455 van T. XVI en 152 van T. XVII. Deze methode wordt overigens genoemd in de laatste alinea van p. 319. Slingermiddelpunt van Regelmatige veelhoeken. [Fig. 103.]   Niet veel anders ook wordt voor een willekeurige regelmatige veelhoek, zoals ABC, de isochrone slinger gevonden. De te delen ruimte wordt namelijk gelijk aan het halve kwadraat van de loodlijn vanuit het middelpunt naar de zijde van de veelhoek, samen met een vierentwintigste deel van het kwadraat van de zijde. Maar als de isochrone slinger gezocht wordt bij de omtrek van een veelhoek, wordt de te delen ruimte gelijk aan het kwadraat van de loodlijn vanuit het middelpunt naar de zijde, met een twaalfde deel van het kwadraat van de zijde 1).   1)  Zie over de heel wat bewerkelijkere methode die in 1664 diende om de lengte van de isochrone slinger te berekenen voor een regelmatige zeshoek die schommelt in zijn vlak p. 495-496 van T. XVI. We hebben er al opgemerkt dat het 12e anagram van 1669 [T. VI, p. 489] de corresponderende formule geeft voor een regelmatige veelhoek met een willekeurig aantal zijden.

[ 319 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Gebruik van vlakke en ruimtelijke meetkundige plaats in deze Theorie.   Bovendien is ook beschouwing van meetkundige plaatsen hierbij niet onaangenaam. Zoals wanneer voorgesteld is bij gegeven ophangpunt A, en lengte AB [Fig. 104], te vinden de plaats van twee gelijke gewichten C en D, even ver van A en van de loodlijn AB verwijderd, die in schommeling gebracht om een as in A, loodrecht op het vlak door ACD, isochroon zijn met een enkelvoudige slinger met lengte AB.     [Fig. 104.]   Stel AB = a, en als CD is getrokken, die AB loodrecht snijdt in E, stel de onbekende AE = x; EC of ED = y. Dan is AC kwadraat = xx + yy. En dit maal het aantal deeltjes van de gewichten C en D, die hier zeer klein worden verondersteld, is gelijk aan de kwadraten van de afstanden van dezelfde deeltjes tot de ophangingsas A.   {p. 134} Dus AC kwadraat, of xx + yy, gedeeld door de afstand AE, die namelijk ligt tussen de ophangingsas en het zwaartepunt van de gewichten C en D, zal geven (xx + yy) / x, de lengte van de isochrone slinger {Prop. 17.}; die daarom gelijk moet zijn aan AB of a. Dus (xx + yy) / x = a. En yy = ax – xx. Waaruit blijkt dat de meetkundige plaats van de punten C en D de omtrek is van de cirkel, waarvan het middelpunt F is, waar AB doormidden wordt gedeeld, en de straal = ½ a, of FA. Dus waar dan ook op de cirkelomtrek ACBD twee gelijke gewichten, even ver van A af, worden gesteld, ze zullen schommelend om A isochroon zijn met de slinger die een lengte heeft gelijk aan de middellijn AB 2).   En verder is hieruit ook duidelijk, dat ook de cirkelomtrek ACBD, als er zwaarte aan wordt toegekend,   2)  Vergelijk p. 447 van T. XVI en 152 van T. XVII.

[ 321 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

en ook een willekeurig gedeelte ervan, dat in A of B gelijk wordt verdeeld, en aan de as door A is opgehangen, met dezelfde slinger AB isochroon is 1).   Een voorbeeld van een ruimtelijke meetkundige plaats kan zijn als volgt. Laat AN [Fig. 105] een onbuigzame lijn zijn zonder gewicht. En laat het voorgestelde zijn om op een punt dat daarop is aangenomen, zoals M, eraan vast te maken onder rechte hoeken een lijn, of staaf OML, met gewicht, bij M doormidden gedeeld, waarvan de zijwaarts uitgevoerde slingeringen om ophangpunt A isochroon zijn met een enkelvoudige slinger van de lengte AN.

    [Fig. 105.]

[ 323 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.  {p. 136}

[Fig. 106.]   Laat de staaf AB, zonder gewicht, opgehangen zijn aan A [Fig. 106]; en bij een daarop gegeven punt B moeten twee gelijke driehoeken worden vastgemaakt, die onder gelijke hoeken van de as AB weggaan, waarvan de hoeken bij B zeer klein zijn, oftewel voor oneindig klein gehouden moeten worden, en die, zo opgehangen aan A, isochrone slingeringen maken met de enkelvoudige slinger van gegeven lengte AL 1).   Hier, als is getrokken CG loodrecht op BG, en gesteld AB = a; AL = b; BG = x; CG = y, wordt gevonden de vergelijking y = √(2 ab – 2 aa – 8/3 ax + 4/3 bx – xx), waaruit blijkt dat de bases van de driehoeken C en D, welke bases hier als punten worden beschouwd, liggen op een cirkelomtrek; omdat namelijk er namelijk de enkelvoudige term – xx in zit.   Verder kan hier worden opgemerkt, dat als a gelijk is aan nul, dat is, als het punt waarin de driehoeken BC en BD worden vastgemaakt hetzelfde is als punt A [Fig. 107]; dat dan de vergelijking zal worden y = √(4/3 bx – xx). En zo dus in dit geval, als genomen wordt AO = 2/3 b, dat is, = 2/3 AL, en als met middelpunt O om A een cirkel ADN wordt beschreven; dan zullen de bases van de driehoeken AC en AD op de omtrek hiervan liggen. Aangezien dus twee willekeurige zeer scherpe driehoeken, die vanuit A naar de cirkelomtrek ACND worden opgesteld, in grootte en stand met elkaar overeenkomend, als slingermiddelpunt hebben het punt L, met AL = 3/4 van de middellijn AN; en aangezien de hele cirkel is samen te stellen uit zulke paren driehoeken — zoals ook een willekeurig gedeelte ervan zoals ACND dat gelijke zijden AC en AD heeft — is duidelijk dat zowel van de hele cirkel, als van een gedeelte zoals we zeiden, het slingermiddelpunt in L zal liggen.

[Fig. 107.]	[Fig. 108.]

Als daarentegen in de gevonden vergelijking wordt gesteld 8/3 a = 4/3 b, of 2 a = b; dat is, als wordt aangenomen dat de driehoeken zijn vastgemaakt in B, die de lengte AL doormidden snijdt [Fig. 108], zal gelden y = √(2 aa – xx). Deze vergelijking leert, dat als een cirkel wordt beschreven met middelpunt B en een straal waarvan het kwadraat het dubbele is van dat van BA, deze de meetkundige plaats zal zijn van de bases van zeer scherpe driehoeken BC en BD, waarvan namelijk het slingermiddelpunt, als ze in A zijn opgehangen, zal zijn het punt L. En aangezien zowel de hele cirkel, als een willekeurige sector ervan die de as op de rechte AL heeft, uit zulke paren driehoeken is samen te stellen, is duidelijk dat ook daarvan, als ze in A zijn opgehangen, het slingermiddelpunt zal zijn het punt L.   1)  Vergelijk over dit probleem en alles wat ermee samenhangt p. 448, 491-493 en 532-541 van T. XVI.

[ 325 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 137}

En bijgevolg zal een willekeurige cirkelsector, opgehangen in een punt dat van het middelpunt van zijn cirkel verwijderd is de halve zijde van een in de cirkel ingeschreven vierkant, een isochrone slinger hebben gelijk aan die hele zijde. En zo is ook, in dit ene geval, zonder dat de afmeting van de boog is gesteld, de isochrone slinger te vinden voor een sector.   Verder, voor de algemene constructie van de eerste vergelijking, y = √(2 ab – 2 aa – 8/3 ax + 4/3 bx – xx) ,  wordt AL doormidden gedeeld in E [Fig. 109], en aan BE wordt toegevoegd zijn derde deel EF; en F zal het middelpunt zijn van een te beschrijven cirkel; en de straal FO moet zo genomen worden dat het kwadraat ervan gelijk is aan tweemaal het verschil van de kwadraten van AE en EF.

[Fig. 109.]

Als dus vanuit punt B naar de beschreven cirkelomtrek twee gelijke zeer scherpe driehoeken worden opgesteld, zoals BC en BD, zal hun slingermiddelpunt, als ze in A zijn opgehangen, L zijn. En daarom staat vast: ook van een willekeurig gedeelte van de beschreven cirkel, van welk gedeelte de top in B is, en de as op de rechte AL (zoals beide CBD zijn), met de ophanging in A; zal het slingermiddelpunt L zijn. En zo ook van de cirkelsegmenten KON en KMN, die de rechte KBN maakt die loodrecht op AB staat.   {p. 138}   En hiermee is wel voldoende opgemerkt over de zijwaartse beweging van vlakken, en ook lijnen.     [Fig. 110.] Waaraan we slechts dit toevoegen: als de slingermiddelpunten gevonden zijn van rechte figuren, oftewel van figuren die symmetrisch zijn ten opzichte van de as, zoals gelijkbenige driehoeken, of rechte paraboolsneden; dan zijn ook de slingermiddelpunten te verkrijgen van scheve figuren, die als het ware door ontwrichting van de eerste tot stand komen, zoals ongelijkzijdige driehoeken en niet-rechte parabolen. Zoals wanneer bijvoorbeeld wordt aangenomen dat de gelijkbenige driehoek BAC, waarvan de as AD is, in het punt E is opgehangen; en laat er ook een andere driehoek FAG zijn, die dezelfde as AD heeft, en de basis FG gelijk aan basis BC; ik zeg dat ook deze driehoek, in E opgehangen, isochroon is met de vorige BAC.   Omdat immers een staaf, of lijn met zwaarte, FG, in D vastgemaakt aan een staaf zonder gewicht ED, in

[ 327 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

schuine stand, en opgehangen in E, isochroon is met de staaf BC, eveneens in D vastgemaakt {Prop. 16.}; en omdat hetzelfde gebeurt bij de overige staven van beide driehoeken, die de as AD in dezelfde punten snijden, en ook onderling gelijk zijn; is het noodzakelijk dat de hele driehoeken, die samengesteld kunnen worden gedacht uit dezelfde lijnen of staven, isochroon zijn 1). Bij andere figuren is het bewijs gelijk.   {p. 139}   1)  Deze redenering is heel plausibel, maar toch geen echt bewijs. Volgens de genoemde Prop. XVI slingert de basislijn van driehoek AFG met dezelfde periode als die van ABC; dat de driehoeken zelf isochroon zijn is rigoureus te bewijzen volgens de 'methode van drie vierde' (T. XVI, p. 362-367): de met beide driehoeken isochrone slinger zal gelijk zijn aan het product van 3/4 met de lengte van de met zo'n baasislijn isochrone slinger. Dit bewijs is evenwel niet toepasbaar op een recht paraboolsegment. Zie hierover ook p. 50 van het Voorbericht. Propositie XXII. HOe slingermiddelpunten te vinden zijn bij ruimtelijke figuren. [Fig. 111.]   Ook bij ruimtelijke figuren zal, volgens het eerder bewezene, het slingermiddelpunt gemakkelijk te vinden zijn. Als er namelijk een lichaam ABC is, opgehangen aan een as die, door het punt E, loodrecht op het vlak van deze pagina gedacht wordt; en het zwaartepunt is F; en als nu door F de vlakken EFD en GFH zijn getrokken, waarvan het laatste evenwijdig met de horizon is, en het andere door de as E gaat; en als met propositie 14 gevonden zijn de sommen van kwadraten van de afstanden der deeltjes van lichaam ABC tot vlak GFH, en evenzo tot vlak EFD; dat is, als gevonden zijn beide rechthoeken die, vermenigvuldigd met het aantal genoemde deeltjes, gelijk zijn aan de genoemde sommen van kwadraten; dan zullen deze rechthoeken gedeeld door de afstand EF — waarover namelijk de ophangas verwijderd is van het zwaartepunt — het interval FK geven, waarover het schommelmiddelpunt K lager ligt dan het zwaartepunt F. Dit blijkt immers uit propositie 18. We zullen nu ook hiervan enige voorbeelden geven. Het slingermiddelpunt bij een Piramide.   Laat ABC eerst een piramide zijn {Fig. 112], die A als top heeft, AD als as, en als basis een vierkant, waarvan de zijde BC is. En gesteld wordt dat ze schommelt om een as door de top A, die loodrecht staat op het vlak van deze pagina.

[ 329 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Hier zal de vlakke evenredige figuur OVV, die ernaast gezet moet worden volgens propositie 14, bestaan uit parabolische resten OPV, die namelijk overblijven, wanneer uit de rechthoeken ΩP weggehaald worden de halve parabolen OVΩ, die O als top hebben.   {p. 140}   Zoals namelijk de sneden van de piramide BC en NN tot elkaar zijn, zo ook de rechten VV en RR, die in de vlakke figuur daarmee overeenkomen. En zo ver als het zwaartepunt E afligt van de top van de piramide, drie vierde van de as AD, zo zal ook het zwaartepunt F van figuur OVV drie vierde van de middellijn OP van de top afliggen.

    [Fig. 112.]

Als verder een horizontaal vlak NE is aangenomen, door het zwaartepunt van piramide ABC, dat de figuur OVV zal snijden volgens RE; en als gevonden is de subcentrische lijn van de wig op figuur OVV afgesneden met een vlak door OΩ, welke subcentrische lijn is OG (en deze is 4/5 van de middellijn OP); dan zal de rechthoek OFG maal het aantal deeltjes van figuur OVV, gelijk zijn aan de kwadraten van de afstanden tot de rechte RF {Prop. 10.} en zo dus ook aan de kwadraten van de afstanden tot vlak NE, van de deeltjes van lichaam ABC. En rechthoek OFG wordt gelijk aan 3/80 van het kwadraat van OP, of van het kwadraat van AD.   Vervolgens, om te vinden de som van kwadraten van de afstanden tot vlak AD, moet eerst bekend worden de subcentrische lijn van de wig, op het basisvierkant van de piramide BC afgesneden, met een vlak door een rechte die in B evenwijdig met de as A gedacht wordt; laat deze subcentrische lijn BK zijn; en ze is 2/3 BC. Evenens moet bekend worden de afstand van het zwaartepunt van de halve figuur OPV tot OP; laat deze ΦP zijn; en hij is 3/10 PV. Daarom, met PV doormidden gedeeld in Δ, als geldt dat zoals ΔP tot PΦ, dat is, zoals 5 tot 3, zo rechthoek BDK, die 1/12 van het kwadraat van BC is, tot een andere ruimte Z; dan zal deze laatste maal het aantal deeltjes van lichaam ABC, gelijk zijn aan de kwadraten van de afstanden der deeltjes tot vlak AD {Prop. 15.}. En de ruimte Z blijkt gelijk te worden aan 1/20 van het kwadraat van BC.   Dus de hele te delen ruimte is hier gelijk aan 3/80 van het kwadraat van AD, met 1/20 van het kwadraat van BC. Dientengevolge, als de ophanging, zoals hier, is gesteld in A, de top van de piramide, en daarom de afstand waardoor gedeeld moet worden, AE gelijk aan 3/4 AD; zal hierdoor ES, het interval waarover het schommelmiddelpunt lager ligt dan het zwaartepunt, gelijk worden aan 1/20 AD, en nog bovendien 1/15 van de derde evenredige bij de twee AD en BC [BC²/AD]. Oftewel: de hele AS is gelijk aan 4/5 AD, plus de genoemde 1/15 van de derde evenredige.

[ 331 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 141}

    [Fig. 112.]

Maar als ABC [Fig. 112] een kegel is, zal alles op dezelfde manier gaan, behalve dat de ruimte Z hier gelijk is aan de rechthoek ΔPΦ {Prop. 15.}, dat is aan 3/20 van het kwadraat van PV of BD, of 3/80 van het kwadraat van BC. En daarom zal de hele te delen ruimte bij de kegel zijn 3/80 van het kwadraat van AD, samen met 3/80 van het kwadraat van BC. En zo dus, gesteld dat de ophanging in de top A is, wordt ES, waarover het schommelmiddelpunt lager ligt dan het zwaartepunt, gelijk aan 1/20 van AD, en 1/20 van de derde evenredige bij de twee AD en BC. Oftewel de hele AS gelijk aan 4/5 AD, samen met 1/5 van de derde evenredige bij de twee AD en DB 1). En hieruit is ook duidelijk dat, als AD en DB gelijk zijn, dat is, als de kegel ABC rechthoekig is, AS gelijk zal worden aan de as AD.   Verder volgt ook uit propositie 20, dat deze rechthoekige kegel, als hij in het midden van de basis D wordt opgehangen, isochroon zal zijn met zichzelf, opgehangen aan de top A, zoals hierboven ook over de rechthoekige driehoek is aangetoond [<].   1)  Vergelijk over dit resultaat p. 368 van T. XVI.  [Derde evenredige: DB2/AD.] Het slingermiddelpunt van een Bol.   Als ABC een bol is [Fig. 113] zal de vlakke evenredige figuur, die ernaast geplaatst moet worden, OVH, uit parabolen zijn samengesteld, waarvan de gemeenschappelijke basis is OH, gelijk aan de middellijn van de bol AD. En als de bol gesneden is met vlakken door het middelpunt E, waarvan BC evenwijdig is met de horizon, en AD vertikaal: opdat gevonden wordt de som van kwadraten van de afstanden tot vlak AD, moet bekend worden de afstand van het zwaartepunt van een parabool OVH tot OH, laat die ΦP zijn, en hij is 2/5 VP. Verder, als PV doormidden is gedeeld in Δ, staat vast dat de rechthoek ΔPΦ maal het aantal deeltjes van de bol ABC, gelijk is aan de kwadraten van de afstanden tot vlak AD {Prop. 15.}. En rechthoek ΔPΦ is gelijk aan 1/5 van het kwadraat van PV, of van het kwadraat van BE.

[Fig. 113.]

[ 333 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Maar nu is duidelijk dat de kwadraten van de afstanden tot vlak BC gelijk zijn aan de kwadraten der afstanden tot vlak AD, en zo dus aan die rechthoek ΔPΦ maal het genoemde aantal deeltjes. Dus de te delen ruimte zal bij de bol ABC het dubbele zijn van rechthoek ΔPΦ; en daarom gelijk aan 2/5 van het kwadraat van straal EB.   {p. 142}   Dus als de bol is opgehangen in het punt A op zijn oppervlak, zal ES, van het middelpunt van de bol E tot het schommelmiddelpunt S, gelijk zijn aan 2/5 van de halve middellijn AE. En de hele AS gelijk aan 7/10 van de middellijn AD. En als de bol in een ander punt is opgehangen, zoals L, zal ES gelijk zijn aan 2/5 van de derde evenredige bij de twee LE en EB 1).   1)  Zie over andere methoden om bij een bol de plaats van het slingermiddelpunt te berekenen p. 470-472 en 473-475 van T. XVI.  [Derde evenredige: EB2/LE.] Het slingermiddelpunt van een Cilinder.   Bij een cilinder hebben we gevonden dat de te delen ruimte gelijk is aan 1/12 van het kwadraat van de hoogte, samen met 1/4 van het kwadraat van de halve middellijn van de basis. Dientengevolge, als een cilinder wordt opgehangen aan het middelpunt van de bovenste basis, wordt de lengte van de isochrone slinger gelijk aan 2/3 van de hoogte, samen met de helft van de lengte die zicht verhoudt tot de halve middellijn van de basis, zoals deze tot de hoogte. Het slingermiddelpunt van een Parabolische Conoïde.   Bij de parabolische conoïde is de rechthoek van slingering 1/18 van het kwadraat van de hoogte, met 1/6 van het kwadraat van de halve middellijn van de basis. Dientengevolge, als hij aan het toppunt is opgehangen wordt de lengte van de isochrone slinger 3/4 van de as, met 1/4 van de lengte die zich verhoudt tot de halve middellijn van de basis, zoals deze tot de as, dat is, samen met 1/4 van het latus rectum van de genererende parabool 2).   2)  Vergelijk p. 483-486 van T. XVI. Het slingermiddelpunt van een Hyperbolische Conoïde.   Ook bij een hyperbolische conoïde kan het slingermiddelpunt worden gevonden. Als er namelijk bijvoorbeeld een conoïde is [Fig. 114] waarvan een doorsnede langs de as de hyperbool BAB is, met as AD en latus transversum AF*): dan zal de vlakke figuur die ermee evenredig is BKAKB zijn, omvat door de basis BB, en gelijke gedeelten van een parabolische lijn AKB, welke parabolen door de top A gaan, en GE als as hebben, die het latus transversum AF doormidden deelt, en evenwijdig is met de basis BB.   {p. 143}

[Fig. 114.]

En van juist deze figuur BKAKB ligt het zwaartepunt L even ver van de top A, als het zwaartepunt van de conoïde ABB; en de as AD verhoudt zich tot AL, zoals driemaal FA met tweemaal AD, tot tweemaal FA met anderhalfmaal AD. Verder kan ook gevonden worden de afstand van het zwaartepunt van de halve figuur ADBK tot AD, en ook de subcentrische lijn van de wig op figuur BKAKB, afgesneden met een vlak door AP, evenwijdig met BB; van deze wig zeg ik, kan de subcentrische lijn op AP ook gevonden worden; en hieruit bijgevolg ook het schommelmiddelpunt van de conoïde, bij welke ophanging dan ook; als maar de as   [ *)  Het 'latus trandsverum' van een hyperbool is de afstand tussen de twee toppen.]

[ 335 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

waarom hij beweegt, evenwijdig is met de basis van de conoïde. En wel vind ik, als de as AD gelijk gesteld wordt aan het latus transversum AF, dat de te delen ruimte gelijk is aan 1/20 van het kwadraat van AB, met 31/200 van het kwadraat van DB. En AL is dan 7/10 AD.   Daaruit volgt: als zo'n conoïde aan de top A wordt opgehangen, wordt gevonden dat de lengte van de isochrone slinger, AS, gelijk is aan 27/35 AD, met 31/140 van de derde evenredige bij de twee AD en DB 1).   1)  Vergelijk p. 550-555 van T. XVI.  [Derde evenredige: DB2/AD.] Het slingermiddelpunt van een Kegelhelft.   Tenslotte zal het ook mogelijk zijn het schommelmiddelpunt te vinden bij sommige gehalveerde lichamen, die ontstaan door een snijding langs de as. Zoals wanneer er een gehalveerde kegel ABC is [Fig. 115], die A als top heeft, en BC als middellijn van de halve basiscirkel; het zwaartepunt D ervan is wel bekend, aangezien AD is 3/4 van de rechte AE, die BC zo verdeelt in E, dat geldt: zoals een vierde van de cirkelomtrek tot de straal is, zo is 2/3 CB tot BE. Dan is namelijk E het zwaartepunt van de halve basiscirkel [<], en daarom liggen op AE de zwaartepunten van alle segmenten van de halve kegel ABD, die evenwijdig zijn met de basis.   {p. 144}

[Fig. 115.]

[ 337 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Maar om de kwadraten van de afstanden tot het vertikale vlak MDO bijeen te brengen, moet er ook een andere evenredige figuur SYZ bijgehaald worden, zoals hierboven bij propos. 14, waarvan namelijk vertikale sneden lijnen leveren die evenredig zijn met de overeenkomstige sneden in de halve kegel ABC. En van deze figuur moet onderzocht worden de afstand van het zwaartepunt F tot SY, waarvan vaststaat dat hij gelijk is aan de afstand DN, van het zwaartepunt van de halve kegel tot het vlak van de driehoek AB. En als gesteld is HG als subcentrische lijn van de wig afgesneden op figuur SZY, met een vlak getrokken door SY, moet bekend worden de rechthoek GFH, waarvan namelijk het veelvoud volgens het aantal deeltjes van de halve kegel ABC, gelijk zal zijn aan de kwadraten van de afstanden van de halve kegel tot vlak MDO. En het zal mogelijk zijn die rechthoek GFH te leren kennen, ook al is de lengte van de subcentrische lijn HG niet bekend, op de volgende wijze.   {p. 145}

[Fig. 115.]

[ 339 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Verder kunnen ook de schommelmiddelpunten worden gevonden van een halve cilinder, en van een halve parabolische conoïde 1), en bovendien ook van andere halve lichamen; het opsporen daarvan laten we aan anderen over.     [Fig. 110.]   En zoals bij vlakke figuren, zo is ook hier bij ruimelijke figuren van belang, wat we daar gezegd hebben over schommelmiddelpunten van scheve figuren, die als het ware door ontwrichting van rechte tot stand komen, en waarvan de slingermiddelpunten niet verschillen van de slingermiddelpunten van rechte figuren. Bijvoorbeeld als er twee kegels zijn, ABC en AFG, de ene recht, de andere ongelijkzijdig; waarvan zowel de middellijnen als de bases gelijk zijn; zullen deze isochroon zijn, als ze aan de top zijn opgehangen, of aan welke assen dan ook die even ver van hun zwaartepunten verwijderd zijn; als maar de as waaraan de ongelijkzijdige kegel is opgehangen, loodrecht staat op het vlak van een driehoek langs de middellijn, welk vlak rechte hoeken maakt met de basis 2).   {p. 146}   1)  Zie deel C van Aanhangsel II bij deel 4.   2)  Vergelijk noot 1 van p. 327 hiervoor en p. 367-368 ('methode van vier vijfde') van T. XVI. Propositie XXIII. DE beweging van uurwerken regelen, door toevoeging van een klein secundair gewicht, dat omhoog en omlaag kan worden bewogen op de slingerstaaf, die op een bepaalde manier is verdeeld. 3)   [Fig. 116.]   Om dit te doen moeten we eerst vinden het slingermiddelpunt van de slinger zelf, samengesteld uit een staaf, die zwaarte heeft, en aan de onderkant waarvan een gewicht hangt.   Laat de staaf, met het aangehangen gewicht, zijn AC, waarvan de lengte genoemd wordt a. En aangenomen wordt dat zowel de staaf zelf, als het aangehangen gewicht C, is verdeeld in zeer kleine gelijke deeltjes, en laat de staaf een aantal b van die deeltjes hebben, en het gewicht C een aantal c, door namelijk te stellen: b staat tot c, zoals de zwaarte van de staaf tot de zwaarte van het aangehangen gewicht. Dus de lengte van de enkelvoudige slinger, die isochroon is met de gegeven slinger, zal verkregen worden als de som van kwadraten van de afstanden van alle deeltjes tot het ophangpunt A, wordt gedeeld door de som van diezelfde afstanden {Prop. 6, eind.}. Laat AC in M doormidden gesneden worden; en dan in T zo, dat AT het dubbele is van TC.   3)  Zie p. 353-354 en 425-433 van T.XVI, en ook p. 28 (noot 2), 105-111 en 150-151 van T. XVII.

[ 341 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Omdat dan M het zwaartepunt is van de lijn AC, en AT de subcentrische lijn is van de wig daarop afgesneden met een vlak door AD, die loodrecht op AC staat — welke wig hier in werkelijkheid een driehoek is — zal de som van kwadraten van de afstanden der deeltjes van de staaf tot punt A, gelijk zijn aan de rechthoek AMT, samen met het kwadraat van AM; dat is, aan de rechthoek TAM, maal het aantal deeltjes b; dat is 1/3 aab; omdat MA is 1/2 a, en TA is 2/3 a, en zo is dus rechthoek TAM = 1/3 aa.   {p. 147} En de som van kwadraten van de afstanden der deeltjes van het gewicht C tot hetzelfde punt A, zal gelijk zijn aan het kwadraat van AC, maal het aantal deeltjes van dit gewicht; dat is, aac. Zodat dus de som van alle kwadraten, zowel van de afstanden der deeltjes van de staaf, als van het gewicht C, zal zijn 1/3 aab + aac.   Verder zijn alle afstanden der deeltjes van staaf AC tot punt A, gelijk aan 1/2 ba; namelijk aan de lengte van de staaf zelf, die a is, maal de helft van het aantal van de deeltjes die hij bevat. En alle afstanden der deeltjes van gewicht C, tot hetzelfde punt A, zijn ac. Zodat de som van beide groepen afstanden is 1/2 ab + ac. En door de eerder gevonden som van kwadraten, 1/3 aab + aac, hierdoor te delen, komt er (1/3 aab + aac) / (1/2 ab + ac), of: (1/3 ab + ac) / (1/2 b + c), de lengte van de isochrone slinger. Die dus verkregen zal worden als gemaakt wordt: zoals de halve zwaarte van de staaf, samen met de zwaarte van het er aangehangen gewicht, is tot een derde van de zwaarte van de staaf, samen met de zwaarte van hetzelfde aangehangen gewicht, zo is de lengte AC tot een andere. En de lengte AC moet genomen worden van het ophangpunt tot het zwaartepunt van het gewicht C; aangezien hier geen rekening wordt gehouden met de grootte van gewicht C, en dus wordt het als zeer klein beschouwd.   [Fig. 117.]   En nu wordt aangenomen dat er, behalve het gewicht C, bovendien een ander gewicht D aan de staaf vastzit, waarvan de zwaarte, of het aantal deeltjes, d is; en de afstand tot AD is f. Om de enkelvoudige slinger te vinden die met deze zo samengestelde slinger isochroon is, moeten bij de bovengenoemde som van kwadraten worden opgeteld de kwadraten van de afstanden der deeltjes van gewicht D tot punt A, en het blijkt dat deze kwadraten zijn dff. Zodat nu de som van alle zal worden 1/3 aab + aac + ffd. Evenzo moeten bij de som van de afstanden opgeteld worden de afstanden der deeltjes van gewicht D, die zijn df. En zo zal dus de som van alle afstanden zijn 1/2 ba + ca + df; waardoor de andere som van kwadraten moet worden gedeeld, en er komt: (1/3 aab + aac + ffd) / (1/2 ab + ac + fd), de lengte van de isochrone slinger.   En als dan verlangd wordt dat deze lengte van de isochrone slinger gelijk is aan een gegeven lengte, die p is, en al het overige zoals eerder gegeven is, behalve de afstand AD of f, die de plaats van het gewicht D bepaalt; en als deze afstand gevonden moet worden, zal dit op de volgende manier gebeuren.

[ 343 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 148}

Aangezien namelijk verlangd wordt dat (1/3 aab + aac + ffd) / (1/2 ab + ac + fd) gelijk is aan p, ontstaat uit deze vergelijking: ff = pf + (1/2 abp + cap – 1/3 aab – aac) / d. En: f = 1/2 p + of – √ [ 1/4 pp + (1/2 abp + cap – 1/3 aab – aac) / d ]. Waarbij is op te merken dat er twee ware wortels zijn, als 1/2 abp + cap kleiner is dan 1/3 aab + aac; dat is, als de lengte p kleiner is dan (1/3 ab + ac) / (1/2 b + c), wat hiervoor is gevonden voor de lengte van de isochrone slinger, of de afstand van het slingermiddelpunt tot het ophangpunt, bij de slinger samengesteld uit de staaf AC en het gewicht C.   Waaruit blijkt dat, als we willen teweegbrengen dat de beweging van de slinger versneld wordt door het aangebrachte gewicht D, dit op twee plaatsen tussen A en C kan worden opgesteld, waarvan door elk van beide aan de slinger dezelfde snelheid wordt verschaft; zoals in D of E. En deze plaatsen zullen even ver afliggen van het punt N, dat van A verwijderd is over de helft van de lengte p, dat is, de helft van de enkelvoudige slinger, waarmee deze samengestelde slinger isochroon werd verlangd. En het blijkt, wanneer deze lengte p slechts weinig kleiner dan AC wordt gesteld, dat ook punt N weinig hoger ligt dan het middelste punt van staaf AC 1).   Verder wordt uit bovenstaande vergelijking f = 1/2 p + of – √ [ 1/4 pp + (1/2 abp + acp – 1/3 aab – aac) / d ] verkregen de bepaling van de lengte p. Het blijkt namelijk dat 1/4 pp + (1/2 abp + acp) / d niet kleiner mag zijn dan (1/3 aab + aac) / d.  2) Dientengevolge zal het niet kleiner mogen zijn dan a/d √(4/3 bd + 4 cd + bb + 4 bc + 4 cc) – (ab + 2 ac) / d. En als p gelijk is aan deze grootheid, dat is, als 1/4 pp + (1/2 abp + acp) / d gelijk is aan (1/3 aab + aac) / d, dan zal in de bovenstaande vergelijking nu gelden f = 1/2 p, dat is, a/2d √(4/3 bd + 4 cd + bb + 4 bc + 4 cc) – (ab + 2 ac) / 2d.   1)  Vergelijk noot 9 van p. 109 van T. XVII.   2)  De oorspronkelijke uitgave en die van 's Gravesande hebben bij vergissing het teken – i.p.v. +.

[ 345 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

Waardoor bepaald wordt de afstand van het gewicht D tot punt A, waarbij het de beweging van de slinger het allermeest versnelt.   Nu wordt dit voor gebruik bij uurwerken verder als volgt toegepast. Laat er bijvoorbeeld een uurwerkslinger zijn, die met enkele slingeringen de seconden aangeeft. En laat de zwaarte van de staaf zijn 1/50 van de zwaarte van het gewicht dat onderaan de slinger is gehangen; en laat er behalve dit gewicht een ander klein gewicht zijn dat beweegbaar is langs de lengte van de staaf, waarvan de zwaarte hetzelfde wordt gesteld als die van de staaf.   {p. 149} Nu wordt gevraagd op welke plaats dit op de staaf moet worden gezet, opdat de beweging van het uurwerk versneld wordt met één minuut, in een tijd van 24 uur. Evenzo, waar het geplaatst moet worden opdat de versnelling is van twee minuten; evenzo van drie, vier enzovoorts.   Door vierentwintig uur te vermenigvuldigen met zestig, komt er 1440, namelijk hoeveel minuten door één dag worden bevat. Haal van deze één eraf, wanneer een versnelling van een minuut wordt gevraagd: 1439 blijven er over. En de kwadratische verhouding van 1440 tot 1439 is zeer dichtbij die van 1440 tot 1438. Dus als van een enkelvoudige slinger, die de seconden aangeeft, wordt aangenomen dat de lengte verdeeld is in 1440 gelijke delen, en hiervan worden er 1438 toegekend aan een andere slinger, zal deze op die andere voorlopen met een minuut in 24 uur. Zodat p hier 1438 delen betekent.   En omdat de uurwerkslinger, samengesteld uit een metalen staaf en een aangehangen gewicht, isochroon wordt gesteld met een enkelvoudige slinger van 1440 delen 1), moet eerst gevonden worden de lengte van die staaf, uit de bovenstaande vergelijking. (1/3 ab + ac) / (1/2 b + c) was immers gelijk aan de lengte van de enkelvoudige slinger die isochroon is met de slinger die is samengesteld uit een staaf met lengte a, zwaarte b, en uit een aangehangen gewicht waarvan de zwaarte c is. Dus als de lengte van de isochrone enkelvoudige slinger s wordt genoemd, zal gelden: (1/2 bs + cs) / (1/3 b + c) = a, en als gesteld is, zoals hier, c = 50; b =1; s = 1440; komt er a = 1444 4/5, de lengte van de staaf.   Nu, omdat gold f = 1/2 p + of – √ [ 1/4 pp + (1/2 abp + acp – 1/3 aab – aac) / d ], komt er f = 1/2 p + of – √(1/4 pp + 72962 p – 105061210). Waaruit verder wordt gevonden, als p zoals gezegd 1438 delen heeft, f = 1331½, delen namelijk waarvan s, of de enkelvoudige slinger die met slingeringen seconden aanduidt, er 1440 bevat. En als deze lengte wordt gesteld van drie voeten, die we uurvoeten hebben genoemd, zal f hebben 33 duim en 3 twaalfden van een duim, die men lijnen noemt. Of, door deze lengte f af te trekken van de hele lengte van drie voet, zullen overblijven twee duim, 9 lijn, die vanaf het slingermiddelpunt van de samengestelde slinger omhoog zijn te nemen, om de plaats van het gewicht D te verkrijgen, die één minuut   1)  Vergelijk noot 7 van p. 111 van T. XVII.

[ 347 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 150}

versnelling geeft in een tijd van 24 uur. Op dezelfde manier hebben we door berekening de overige afstanden opgespoord, waarin de staaf verdeeld moet worden, door de lengte p steeds anders te nemen; en die tonen we in het tabelletje hieronder, volgens welke getallen ook de staaf is verdeeld, die in de Beschrijving van het Uurwerk hierboven is getoond [<]. De dagelijkse versnellingen gaan, zoals we daar al hebben opgemerkt, per 15 seconden, of kwart-minuten. B.v. als het beweegbare gewicht D hangt bij het deel 73,4, en gevonden wordt dat het uurwerk te langzaam loopt met een verschil van 15 seconden in 24 uur; dan moet men om dit te corrigeren het gewicht D omhoogbrengen tot het getal 85,6. Versnelling van het uurwerk in 24 uur. Min., sec. Te nemen delen vanaf het slingermiddelpunt omhoog. Lijnen en tiende lijnen van de uurvoet. 0,15 - 7,0   0,30 - 15,2 0,45 - 23,7 1,0 - 32,6 1,15 - 41,9 1,30 - 51,7 1,45 - 62,2 2,0 - 73,4 2,15 - 85,6 2,30 - 99,0 2,45 - 114,1 3,0 - 131,8 3,15 - 154,3 3,30 - 192,6   Het slingermiddelpunt is 1,4 delen hoger dan het zwaartepunt C. Propositie XXIV. BErekening van het slingermiddelpunt kan niet gedaan worden bij slingers die tussen Cycloïden hangen 1); en hoe de hierdoor ontstane moeilijkheid is op te heffen.   Als iemand door nauwkeurig onderzoek vergelijkt wat we in het bovenstaande hebben bewezen over de slinger die is opgehangen tussen cycloïden, met deze dingen die op het slingermiddelpunt betrekking hebben, zal hem toeschijnen dat er iets ontbreekt aan die volmaakte gelijkheid van de slingeringen, die we voor ogen stellen. En wel in de eerste plaats zal hij twijfelen, of voor het vinden van de genererende cirkel van de cycloïde, de slingerlengte genomen moet worden vanaf het ophangpunt tot het zwaartepunt van het aangehangen lood,   1)  Vergelijk de tweede alinea van noot 2 van p. 101 van T. XVII.

[ 349 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.   {p. 151}

of tot het slingermiddelpunt; dat dikwijls over een waarneembaar interval van dat eerste verwijderd is en ook des te meer, naarmate de loden bol of lens groter is. Hoe zal het immers zijn als de middellijn van de bol gelijk is aan een vierde of een derde deel van de slingerlengte? En als we zeggen dat die lengte tot het slingermiddelpunt moet worden genomen, zal het niet de moeilijkheid wegnemen hoe dat, wat is aangetoond over het slingermiddelpunt, past bij een slinger die voortdurend zijn lengte verandert, zoals die welke tussen cycloïden beweegt. Het zou immers kunnen lijken dat ook het slingermiddelpunt verandert, bij elke verschillende lengte; wat echter niet op deze manier moet worden begrepen. De zaak is inderdaad zeer moeilijk uit te leggen, als we volledige nauwkeurigheid nastreven. Want in het bewijs van de gelijke tijden bij de cycloïde, hebben we het bewegende voorwerp, dat daarlangs gaat, beschouwd als een punt dat zwaarte heeft. Maar als we naar het effect kijken, is deze moeilijkheid niet zo belangrijk; aangezien van het gewicht, waarmee de slinger blijft doorgaan, niet een zodanige grootte vereist wordt (ofschoon hoe groter hoe beter) dat het verschil van zwaartepunt en slingermiddelpunt hier enigszins kan storen. En als we toch geheel willen ontkomen aan deze kleinigheden, zullen we dit zo bereiken: als we de bol of lens van de slinger beweegbaar maken om zijn horizontale as, door de uiteinden van de as aan weerskanten onderin de slingerstaaf te steken, die daartoe aan deze kant in tweeën verdeeld moet zijn. Op deze manier wordt het namelijk volgens de aard van de beweging zo, dat de bol van de slinger voortdurend dezelfde stand houdt ten opzichte van het horizontale vlak, en ook dat willekeurige punten ervan, evenals het middelpunt zelf, dezelfde cycloïden doorlopen. Dientengevolge is hier een beschouwing van het slingermiddelpunt nu niet van toepassing; en zo'n slinger bereikt niet minder een volmaakte gelijkheid van tijden, dan wanneer al zijn zwaarte in een enkel punt zou zijn bevat. Propositie XXV. OVer een manier om een universele en onveranderlijke maat vast te stellen. 1)   Een zekere en blijvende lengtemaat, die niet afhankelijk is van toevalligheden, en die niet door de tand des tijds, of door lengte van tijd, kan worden vernietigd of onbruikbaar gemaakt, is een zaak die zowel zeer nuttig is, als al lange tijd door velen gezocht. En als deze in de oudheid was gevonden, zouden er nu niet zulke verwarde debatten zijn over de maat van de oude Romeinse, Griekse en Hebreeuwse voeten.   {p. 152} Nu kan deze lengtemaat met behulp van ons uurwerk gemakkelijk vastgesteld worden; terwijl die in het geheel niet, of zeer moeilijk, verkregen kan worden zonder dit uurwerk. Ook al is dit namelijk door sommigen geprobeerd met het eenvoudig slingeren van slingers, door de heen-en-weergangen te tellen die met een hele omwenteling van de hemel overeenkomen, of met een deel ervan dat bekend is door de afstanden van vaste sterren, volgens de rechte klimming*);   1)  Zie over dit onderwerp p. 120 en 121 (noot 8) van T. XVII. Opmerking: in de eerste regel van p. 121 is te lezen "demonstraturi" i.p.v. "demonstrari".   [ *)  Zie Wikipedia, bij 'Sterrentijd'.]

[ 351 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

maar op deze manier is er niet dezelfde zekerheid als bij het gebruik van uurwerken, en het werk is langdurig en heel lastig en heel vervelend, wegens de zorgvuldigheid van het tellen 1). En omdat aan een zeer precies onderzoek van deze maat, behalve uurwerken, ook bekendheid met het slingermiddelpunt iets bijdraagt; daarom voegen we, na de behandeling ervan, pas hier deze bepaling toe.   Zeer geschikt voor deze zaak zijn uurwerken waarvan enkele slingeringen de seconden aanduiden, of de helft ervan, en die ook voorzien zijn van wijzers om ze te laten zien. Nadat namelijk zo'n uurwerk naar de lengte van de middelbare dagen is ingericht — door waarnemingen aan vaste sterren, volgens de methode die we hebben uiteengezet in de Beschrijving van het uurwerk [<] — moet ernaast worden opgehangen een andere, enkelvoudige slinger, dat is een bol van lood, of bestaande uit een ander zwaar materiaal, vastgebonden aan een dunne draad, en deze moet met een klein zetje in beweging worden gebracht; en dan moet de draad zolang worden verlengd of verkort, totdat de heen-en-weergangen ervan gedurende een kwartier, of een half uur, gelijk opgaan met het heen en weer bewegen van de slinger die aan het uurwerk is bevestigd. En ik zei dat de slinger met een klein zetje in beweging moet worden gebracht, omdat kleine slingeringen, bijvoorbeeld van 5 of 6 graden, voldoend gelijke tijden hebben, maar grote niet zo. Dan, als een meting is gedaan van de afstand vanaf het ophangpunt tot het slingermiddelpunt van de enkelvoudige slinger; en als deze, wanneer elke zwaai een seconde duurt, in drie delen wordt verdeeld; zullen deze elk een lengte maken van de voet, die we hierboven de UURVOET hebben genoemd 2); en die op deze manier niet alleen overal op de wereld kan worden vastgesteld, maar ook in een komende eeuw hernieuwd. Zodat ook de maten van alle andere voeten, als ze eenmaal in een verhouding met deze zijn uitgedrukt, met zekerheid ook voor de toekomst bekend kunnen zijn. Zoals we hierboven al hebben gezegd dat de Parijse voet tot deze uurvoet is, als 864 tot 881; wat hetzelfde is als wanneer we zeggen, uitgaande van de eerder vastgestelde Parijse voet, dat door drie van deze voeten, met acht en een halve lijn, een enkelvoudige slinger wordt bepaald, waarvan de slingeringen zullen overeenkomen met seconden. En de Parijse voet verhoudt zich tot de Rijnlandse voet, die men in ons vaderland gebruikt, als 144 tot 139; dat is, met vijf van zijn lijnen verminderd, laat hij de andere over. En zo krijgen ook zowel deze laatste voet, als elke andere, maten die voortdurend zullen blijven bestaan.   {p. 153}   Hoe nu het slingermiddelpunt wordt gevonden bij een bol, opgehangen aan welke lengte dan ook, is in het bovenstaande uiteengezet [<]. Te weten: als het zo is dat, zoals de afstand tussen het ophangpunt en het middelpunt van de bol is tot de halve middellijn ervan, zo deze laatste tot een andere; dat dan twee vijfde hiervan, vanaf het middelpunt omlaag genomen, eindigt in het gezochte slingermiddelpunt. Verder blijkt gemakkelijk waarom een beschouwing van dit middelpunt noodzakelijk is voor een zorgvuldige vaststelling van de Uurvoet. Want als de afstand vanaf het ophangpunt tot het middelpunt van de bol wordt genomen, maar de grootte van de bol niet wordt bepaald in verhouding tot de lengte van de draad, zal het niet   1)  Vergelijk p. 4 en 54-55 van T. XVII.   2)  Zie p. 97 hiervoor.  ['Uurvoet' bij J.H. van Swinden, Verhandeling over volmaakte maaten en gewigten (1802), p. 99. "Uuren-schoen of voet" in Volkomen wiskundig woordenboek (1740, vertaald uit het Duits), p. 483.]

[ 353 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

een betrouwbare maat zijn van de slinger waarvan de heen-en-weergangen de seconden afmeten; maar hoe groter de bol ervan is, des te kleiner die maat zal worden gevonden, als die tussen het middelpunt van de bol en het slingermiddelpunt is onderschept. Omdat bij isochrone slingers de slingermiddelpunten wel even ver van de ophangpunten liggen, maar het slingermiddelpunt verder daalt onder het middelpunt van een grote bol, dan van een kleine.   Om deze reden was het nodig voor degenen die, vóór deze bepaling van het slingermiddelpunt, zijn begonnen aan een berekening om een universele maat vast te stellen — wat die nobele Engelse Royal Society al sinds de eerste uitvinding van ons Uurwerk zich als taak stelde 1), en recenter de zeergeleerde sterrenkundige te Lyon, Gabriel Mouton 2) — voor hen, zeg ik, was het nodig de middellijn van het opgehangen bolletje aan te geven, hetzij met een zekere verhouding tot de draadlengte, bijvoorbeeld gelijk aan een dertigste of een ander deel ervan, hetzij met een bepaalde bekende maat, zoals de vinger of de duim. Maar op deze laatste manier wordt al iets zeker gesteld, dat juist zelf hetgene is dat gevraagd wordt; ook al weet ik dat de fout nauwelijks waarneembaar zal zijn, zolang de bollen deze grootte die ik net noemde niet veel te boven gaan. Op de eerste manier zou de zaak wel op een of andere wijze ontward kunnen worden; maar zo, dat men de moeite van het tellen van slingeringen moet doorstaan, en ook rekenwerk moet doen. Daarom is het beter een betrouwbare methode te volgen, door slingermiddelpunten te gebruiken, en niet zonder noodzaak aan voorschriften gebonden te zijn. En ook zijn hier nu beter grotere bollen te gebruiken, dan kleine, omdat de eerste door het tegenkomen van lucht minder worden belemmerd.   Overigens zijn niet alleen aan een draad hangende bollen geschikt voor het opsporen van deze maat, maar ook kegels, cilinders, en alle andere lichamen en vlakken, waarvan we het slingermiddelpunt hierboven hebben gegeven; aangezien het interval vanaf het ophangpunt tot het slingermiddelpunt vast is, en voor alle isochrone slingers hetzelfde. En ook kunnen we hiervoor niet alleen gebruiken die uurwerken die seconden of halve seconden met een enkele zwaai van de slinger aanduiden; maar het voorgestelde zal ook verkregen worden met uurwerken die zijn ingericht met welke andere slingerlengte dan ook, als maar uit de verhoudingen van de raderen, of het aantal tanden, bekend is het aantal slingeringen dat in een bepaalde tijd wordt uitgevoerd.   {p. 154} Als immers een enkelvoudige slinger is gevonden, waarvan enkele zwaaien overeenkomen met enkele, of twee, of drie gangen van het uurwerk, zal hierdoor al vaststaan hoe vaak deze slinger omkeert in de tijd van een uur. En als het aantal daarvan wordt gekwadrateerd, zal gelden: zoals het kwadraat van 3600, het aantal seconden dat een uur maakt, is tot het kwadraat van dat getal, zo is de lengte van de gevonden enkelvoudige slinger (welke lengte altijd vanaf ophangpunt tot slingerpunt is te nemen) tot de lengte van die slinger van drie uurvoet, die we genoemd hebben. Dit staat namelijk vast uit het feit, dat de lengten van twee willekeurige slingers zich tot elkaar verhouden als de kwadraten van de tijden waarin ze enkele slingeringen afleggen; en daarom hebben ze een omgekeerde verhouding van de kwadraten van de getallen, gegeven door de slingeringen   1)  Zie over dit onderwerp p. 354-356 van T. XVI en 120-121 van T. XVII.  [Sprat (1667): 247, 314; Birch (1756): 53, 54, 70.]   2)  In zijn werk van 1670 Observationes diametrorum Solis et Lunae apparentium [p. 433-441], dat we ook genoemd hebben op p. 59 van het Voorbericht.

[ 355 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

die in gelijke tijdsintervallen worden uitgevoerd. Want terwijl tot nu toe dat theorema over de lengten van slingers alleen door ondervinding is bevestigd; namelijk dat ze een kwadratische verhouding hebben met de tijden waarin enkele slingeringen worden uitgevoerd; is nu het bewijs ervan duidelijk uit wat hierboven is geleerd. Aangezien we immers hebben aangetoond dat enkele gangen van een slinger, die tussen cycloïden is opgehangen, een bepaalde verhouding hebben tot de loodrechte val vanuit de halve lengte van de slinger; te weten die van de cirkelomtrek tot zijn middellijn [<]; is hieruit gemakkelijk op te maken dat de slingertijden bij twee slingers zich tot elkaar verhouden als de tijden van een loodrechte val vanuit de halve hoogten ervan. Daar deze halve hoogten, of ook de hele, een kwadratische verhouding hebben met de tijden waarin ze bij een loodrechte val worden doorlopen {Deel 2, Prop. 3.}, zullen ze ook de kwadratische verhouding hebben van de tijden die enkele slingeringen afmeten. En van heel kleine slingeringen van een slinger die tussen cycloïden hangt, verschillen niet merkbaar heel kleine slingeringen van de enkelvoudige slinger waarvan de lengte hetzelfde is. Daarom zullen ook de lengten van enkelvoudige slingers de kwadratische verhouding hebben van de tijden waarin heel kleine slingeringen worden volbracht 1).   Maar als iemand de moeite niet schuwt van het tellen van slingeringen die in de tijd van een uur of een half uur verlopen, en als een uurwerk beschikbaar is waarvan een wijzer de seconden aanwijst: welke lengte van de enkelvoudige slinger ook wordt genomen, op deze manier zal het aantal slingeringen worden waargenomen dat in een uur bevat is; en daaruit zal ook de lengte van de secondenslinger van drie voet, zoals tevoren, door berekening te voorschijn komen.   {p. 155} Propositie XXVI. 2) DE afstand bepalen die zware voorwerpen loodrecht vallend in een gegeven tijd doorlopen.   Allen die tot dusver deze lengte hebben onderzocht, hebben het noodzakelijk geacht experimenten te raadplegen; waarmee, voorzover ze tot dusver zijn opgezet, niet gemakkelijk tot een exacte bepaling gekomen wordt, wegens de snelheid van de vallende voorwerpen die aan het eind van de beweging is verworven. Maar volgens onze prop. 25 van 'Over het dalen van wat zwaarte heeft' en als bekend is de lengte van de secondenslinger, kunnen we de zaak in orde brengen zonder experiment, met zeker gevolg. En wel ten eerste zullen we trachten te weten te komen de afstand, waarlangs een voorwerp met zwaarte valt in de tijd van één seconde; waardoor het mogelijk zal zijn daarna willekeurige andere te berekenen. Omdat dus zoals gezegd de lengte van de secondenslinger 3 Uurvoet is, en de tijd van één zeer kleine slingering zich verhoudt tot de tijd van een loodrechte val vanaf de halve slingerhoogte, als de cirkelomtrek tot de middellijn, dat is, als 355 tot 113: als gemaakt wordt dat zoals het eerste van deze getallen is tot het tweede, zo de tijd van een seconde, of van zestig derden, tot een andere, dan komt er 19"' 1/10 als valtijd over de halve slingerhoogte,   1)  De evenredigheid van de lengten met de kwadraten van de perioden, als de amplituden gelijk zijn (een voorwaarde die alleen overbodig is bij slingeringen tussen cycloïdale bogen) kan overigens algemener worden bewezen; zie noot 5 van p. 18 van T. XVII.   2)  De oorspronkelijke uitgave heeft bij vergissing Prop. XXV.

[ 357 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

wat neerkomt op 18 duimen van een voet. En zoals de kwadraten van de tijden, zo zijn de afstanden die in deze tijden zijn afgelegd, zoals in de vorige propositie is aangetoond. Dus als gemaakt wodt dat zoals het kwadraat van 19"' 1/10 tot het kwadraat van 60"', dat is, zoals 36481 tot 36000, zo 18 duim tot een andere, dan komt er 14 voet, 9 duim, 6 lijn, als loodrechte valhoogte in de tijd van één seconde. Daar nu de Uurvoet is tot de Parijse voet als 881 tot 854, zal dezelfde hoogte, herleid tot deze maat, zeer dichtbij 15 voet en een duim liggen 1). En dit komt ook geheel overeen met onze zeer zorgvuldige experimenten; waarbij dat tijdstip, waarop de val eindigt, niet met een beslissing van oren of oog wordt onderscheiden; waarvan geen van beide hier veilig genoeg is; maar de bij het dalen afgelegde afstand wordt waargenomen, zonder enige fout, op een andere manier die we hier zullen proberen uiteen te zetten.   Van een slinger, opgehangen tegen de wand of een rechtop gezette plank, maakt een halve slingering de tijdsduur bekend, die bij het vallen wordt gebruikt. En opdat het bolletje daarvan op hetzelfde moment wordt losgelaten als het lood dat voor de val is bestemd, worden beide verbonden gehouden met een dunne draad, die wordt gebroken door er vuur bij te houden. Maar eerst wordt aan het lood dat gaat vallen een ander touwtje vastgeknoopt, van een zodanige lengte dat, wanneer het helemaal is uitgestrekt na meegesleept te zijn door het lood, de slinger nog niet tegen de wand wordt geslagen.   {p. 156} Het andere uiteinde van dit touwtje zit vast aan een strook van papier, of van dun membraan gemaakt, zo tegen de wand of plank aangebracht dat hij het trekkende touw makkelijk kan volgen, en in rechte lijn volgens zijn lengte kan dalen; voorbij die plaats komend, waar de bol van de slinger de plank treft. Nadat dus het hele touwtje is gebruikt, wordt door het vallende lood bovendien een deel van de strook omlaag getrokken, voordat de slinger de plank bereikt. En hoe groot dit deel is wordt aangeduid door de bol, die wat beroet is en de voorbijglijdende strook van een merkteken voorziet. En als hierbij wordt gevoegd de lengte van het touwtje, zal men de afstand die bij het vallen is afgelegd met zekerheid bepaald hebben.*)   Nu nemen we hierbij aan dat de luchtweerstand zo goed als nul is, opdat de hiervoor vastgelegde maat voor vallende lichamen exact overeenstemt met experimenten. En die is inderdaad niet zo groot, dat hij een waarneembaar onderscheid kan aanbrengen bij deze hoogten tot waar men kan stijgen; als maar vaste lichamen van metaal worden genomen, of als ze uit een lichter materiaal bestaan in een vrij grote massa. De lichtheid namelijk van het materiaal bij voorwerpen die al vallend de lucht doorklieven, wordt zo afgewogen tegen de grootte van het lichaam, dat een houten bol, of ook een van kurk gevormde, hetzelfde doet als een loden bol,   1)  15 voet en een duim, maat van Parijs, komt overeen met 15 voet en 7½ duim Rijnlands. Zoals elders gezegd (T. XVII, p. 100, noot 1 en p. 246) kende Huygens deze waarde sinds eind 1659. We citeren nog de volgende passage van p. 88 van Manuscript C [Hug 3, 44v], geschreven in 1666 kort voor het vertrek naar Parijs: "AC [lengte van de enkelvoudig veronderstelde slinger] is 38 duim Rijnlands. Daling CD of een halve slingering van slinger AF wordt 30"' of een halve seconde, en de tijd van deze halve slingering is tot de tijd van een loodrechte val over BC of ½ AC als de halve cirkelomtrek BCE tot middellijn BC. Hieruit wordt de loodrechte daalafstand in een tijd van een seconde 15 duim 7½." Op p. 160 van Manuscript D [Hug 2] (februari of maart 1669) vindt Huygens 15 voet 1 duim door direct de Franse voet te gebruiken: de lengte van de secondenslinger wordt geschat op 36 duim 8 lijn. Op p. 369 van hetzelfde Manuscript wordt deze laatste lengte gecorrigeerd in 36 duim 8½ lijn, en de bijbehorende 'daalafstand' wordt 15 voet 1 duim 1 lijn; voor de waarde in Rijnlandse voeten vindt Huygens vervolgens opnieuw 15 voet 7½ duim.   [ *)  Zie T. XVII, p. 278-284: tekeningen, o.a. de figuur hierboven (van 1659); p. 283: papierstrook.]

[ 359 ]   OVER  HET  SLINGERMIDDELPUNT.

en wel wanneer de middellijn ervan tot de middellijn van de loden bol die verhouding heeft, die de eigen zwaarte van lood heeft tot de zwaarte van hout of kurk. Dan zullen immers de zwaarten van de bollen zich tot elkaar verhouden als hun oppervlakten 1). Niettemin, opdat lichamen die veel verschillen in intrinsieke zwaarte neervallen met gelijke snelheid, voorzover met de zintuigen kan worden waargenomen, is het geenszins nodig dat die verhouding van de middellijnen wordt aangehouden. Ze kunnen namelijk aan elkaar gelijk zijn, als beide maar groot genoeg zijn; of als ze maar van niet te grote hoogte neervallen. En zeker moet hier ook opgemerkt worden, dat of de hoogte zo groot kan zijn, of ook bij een matige hoogte de lichtheid van een neergeworpen lichaam zo groot, dat door de luchtweerstand de versnelling van de beweging tenslotte zeer veel zal afwijken van de verhouding, die we hierboven hebben bewezen. Want in het algemeen behoort er bij een willekeurig lichaam, dat door lucht of een andere vloeibare stof valt, een bepaalde snelheidsgrootte, in verhouding tot zijn gewicht en oppervlak, die het nooit kan overschrijden, of liever nooit kan bereiken*). Deze snelheid is namelijk die, welke de lucht of die vloeistof bij omhoog bewegen zou moeten hebben, om dat hangende en er in drijvende lichaam te kunnen dragen. Maar een andere keer zal er misschien gelegenheid zijn dit uitgebreider te behandelen 2).   1)  Zie p. 384-385 van T. XVI.   [ *)  Isack Beeckman beschreef al in 1618 een proef om te bepalen vanaf waar de valsnelheid niet meer toeneemt.]   2)  Er bestaan berekeningen van Huygens over de invloed van de weerstand van gassen en vloeistoffen op beweging, die hij niet heeft gepubliceerd. Zie hiervoor een van de volgende delen [T. XIX, p. 102 e.v.; zie ook T. XXII, p. 325 e.v.].

---

Deel 5