Stevin | Meetdaet | Tekenen - a >

Titelblad , Cortbegryp , lijn tekenen , ronden , ellips , kegelsnede , spiraal


[ Afb. ]

T  VV  E  E  D  E

S T V C K   D E R

W I S C O N S T I G H E

G H E D A C H T N I S S E N


V A N D E

M E E T D A E T.

{De praxi Geometriæ.}

Inhoudende t'ghene daer hem in gheoeffent heeft

D E N   D O O R L V C H T I C H S T E N

Hoochgheboren Vorst ende Heere, M A V R I T S  Prince van
Oraengien, Grave van Nassau, Catzenellenbogen, Vianden, Moers &c.
Marckgraef vander Vere, ende Vlissinghen &c. Heere der Stadt Grave,
ende S'landts van Cuyc, St. Vyt, Daesburch &c. Gouverneur van
Gelderlant, Hollant, Zeelant, Westvrieslant, Zutphen,
Vtrecht, Overyssel &c. Opperste Veltheer vande
vereenichde Nederlanden, Admirael
Generael vander Zee &c.


Beschreven deur  S I M O N   S T E V I N  van Brugghe.


Ooievaar, VIGILATE


T O T   L E Y D E N,

By Ian Bouwensz. woonende op de hoogelantsche Kerckgraft.


Anno MDCV



[ 3 ]

C O R T B E G R Y P.

{Argumentum.}

A L S O O  my beieghent was een Meetdaet te beschrijven om sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  hem in te oeffenen (die ick daer na deur hem oock verbetert en vermeerdert vant, als int volghende blijcken sal) Soo heb ick overleyt de ghemeenschap tusschen grootheyt en ghetal sulcx te wesen dat wat men met d'een doet der ghelijck met d'ander oock can ghedaen worden: Hier uyt heb ick my voorghestelt inde selve Meetdaet een oirden te volghen lijckformich mette ghene die ghemeenlick by velen inde Telconst {Arithmetica.} gebruyckt wort: Hoedanich is die? Ten eersten men leerter talletters maken. Ten tweeden haer weerde uytspreken of kennen als dit 7 seven te doen, dat 26 sessentwintich. Ten derden de vier gemeene afcomsten als Vergaren, Aftrecken, Menichvuldighen en Deelen {Species ut Addere, Subtrahere, Multiplicare, Dividere.}. Ten vierden de Reghel der Everedenheyt {Proportionis.}. Ten vijfden de Reghel der everedelicke deeling. Ten sesten de Verkeering der gebrokens tot een gemeen noemer {Communem nominatorem.}, waer deur sy bereyt worden om daer mede te wercken gelijckmen met heele ghetalen doet.

    VVelcke oirden na t'ghemeen oirdeel natuerlick ende bequaem in ghetalen sijnde, waer deurmen een ghemeene gront crijcht, tot afveerdiging van veel Telconstighe verschillen
{Quæstionibus Arithmeticis.} ons dickwils ontmoetende. Soo sullen wy der ghelijcke met grootheyt in dese Meetdaet {Praxi Geometriæ.} volgen, achtende alsoo in weynich gheschrift veel stof te begrijpen ende een ghemeene gront te legghen, waer deur den ghenen die verstaende, veel Meetconstighe verschillen {Quæstiones Mathematicæ.} hem te vooren commende sal connen afveerdigen.
VVy sullen dan eerst beschrijven der grootheden Maecksel of teyckening. Ten tweeden de manier om haer weerde uyt te spreken of kennen, als door meting haer begrijp te vinden. Ten derden de vier ghemeene afcomsten
{Species.} als Vergaren, Aftrecken, Menichvuldighen, en Deelen. Ten vierden de Reghel der Everedenheyt. Ten vijfden de Regel der everedelicke snyding. Ten sesten de verkeering, te weten onghelijcke grootheden tot gelijcke, om daer mede te wercken soomen met gelijcke doet, daer af beschrijvende ses verscheyden boucken.
Ende alsoo de grootheyt drie afcomsten heeft, namelick lini, vlack, en lichaem, soo sal elck bouck drie deelen hebben; T'eerste van linien, Het tweede van vlacken: Het derde van lichamen, ende elck deel sijn noodige voorstellen
{Propositiones.}:
Noch vervoughende daer de gheleghentheyt voordert, beneven de Meetconstighe werckinghen door grootheden, oock haer werckinghen door ghetalen, welcke inde daet
{Praxi.}, hier eens voor al geseyt, sekerder sijn dan de wisconstighe door de grootheden self; Hoe wel nochtans de wisconstighe ghemeenlick gront ende oirsaeck sijn, waer uyt de wercking door ghetalen gheformt wort.

[ 4 ]
Aenden Leser.

A E N G H E S I E N  vvy hier de meetdaet voor hebben, tusschen vvelcke ende de Beginselen {Elementa.} onderscheyt ghemaeckt vvort, ende dat der bepalinghen {Definitionum.} plaets eyghentlicker inde beginselen dient, soo en beschrijven vvy hier der grootheden bepalinghen niet, maer nemen die door de beginselen (als van Euclides of dierghelijcke) voor bekent, ofte aldaer te moeten ghehaelt sijn.

    Ten anderen vvant ettelicke navolghende vverckinghen deur de thiende gedaen sullen vvorden, soo ist noodich dat de ghene diese begheeren te verstaen, kennis vande selve thiende hebben; vvelcke by ons elders beschreven sijnde, en doen daer af hier gheen besonder verclaring. Angaende de lichticheyt daer deur veroirsaeckt, die vvort metter daet sulcx bevonden, als inde voorreden der selve thiende verhaelt is:
Waer af sijn  V
 O R S T E L I C K E  G H E N A D E  (als meer dan na de ghemeene manier daer in ervaren sijnde) oock ghetuyghende, tot verscheyden mael geseyt heeft, daer in sulcke bequaemheyt ende sekerheyt te vinden, dat de vverckinghen by haer daer deur met lichticheyt afgheveerdicht, andersins deur ghebroken ghetalen niet en soude volbrocht vvorden sonder verdrietigen arbeyt, meerder dan oirboir vvaer daer an te besteden.



E   E   R   S   T   E

B O V C K   D E R

M E E T D A E T,


V A N

H E T   T E Y C K E N E N   D E R

G R O O T H E D E N




[ 7 ]

E E R S T E   D E E L   D E S

E E R S T E N   B O V C X   V A N

H E T   T E Y C K E N E N

D E R   L I N I E N.

I   V O O R S T E L.

    Rechte linien te teyckenen.

De rechte linien worden inde daet door verscheyden middelen gheteyckent, elcke na den eysch der omstandighen, waer af de drie voornaemste die my nu te voor commen, ghedaen worden ten eersten met een rechte rije: Ten anderen met een slachtlijn: Ten derden met sichtstralen.

I  Voorbeelt vant teyckenen der rechte lini met een rije.

    T G H E G H E V E N.  Laet A B twee punten sijn.   T B E G H E E R D E.  Wy moeten vant een tottet ander een rechte lini teyckenen met een rije, welcke manier meest dient op papier ende ander cleene effen gronden.

T W E R C K.

    Ick neem een rechte rije als C, legghende d'een cant op de punten A, B, treckende daer langs henen een sienlicke lini AB, met een penne, passer, priem, inckt of crijt, na den eysch vanden grondt, ende heb het begheerde.

rechte lat
2  Voorbeelt vant teyckenen der rechte lini met een slachlijn.

    T G H E G H E V E N.  Laet A B twee punten sijn.   T B E G H E E R D E.  Wy moeten vant een tottet ander een rechte lini trecken met een slachlijn, dat is een dun coordeken met crijt bestreken, t'welck ghespannen staende, ende ghetrocken sijnde soo dattet teghen den gront slaet; teyckent daer met luttel moeyte een seer rechte lini. Welcke manier seer ghebruyckt wort onder anderen by timmerluyden, int teyckenen van haer wercken, oock by saghers, om soo wel door cromme als rechte boomen, rechte sneen te saghen.

T W E R C K.

    Ick neem de voorsz. becrijte slachlijn CD, die mijn tweeder ghespannen stellende over de punten A B, treckse daer na als de peez van een booch, ende crijch de begheerde rechte lini AB.

touw spannen

[ 8 ]

3  Voorbeelt vant teyckenen der rechte linien door sichtstralen.

    T G H E G H E V E N.  Laet A B twee baecken int velt beteyckenen.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van d'een tot d'ander deur t'behulp van sichtstralen een rechte lini teyckenen in d'eerde, te weten een ghegraven veure, ontrent een halve voet diep en breet t'welckmen eyghentlick in Hollandt kielspit noemt, ende t'werck van dien kielspitten, dienende om erven te scheyden, breeden van sloten en graven, formen van bolwercken, sterckten, en dierghelijcke te teyckenen. De linien in dese sichtstralen bedocht, sonder kielspit, worden oock seer inde landtmeting ghebruyckt, ghelijck wy daer af int 2 bouck eyghentlicker segghen sullen.

punten op een lijn

T W E R C K.

    De teyckenaer staende an d'een of d'ander baeck A, B, doet eenich persoon een rechte stock of baeck overeynde steken, tusschen de voorschreven A B, ick neem ter plaets van C, alsoo dat hy teyckenaer de drie stocken of baecken A C B in een selfde sichtstrael siet. De manier om die stock C daer te crijghen is dusdanich: Soose na de rechter of slincker sijde moet gestelt sijn de Teyckenaer doet na de rechter of slincker sijde een teycken metter handt: Of by aldien de baecksteker soo verre vanden teyckenaer waer, dat hy het teycken vande hant niet genouch en soude meughen mercken, soo doet hy teycken met een neusdouck, hoet, of dierghelijcke: De stock C alsoo op haer rechte plaets sijnde, soo slaet hy sijn handt of ander teycken van boven neerwaert, soo veel te segghen als dat den anderen de stock daer vast moet steken, wel recht overeinde; Alle welcke voorschreven teyckenen de baecksteker van te vooren verstaen moet.

    Tghene hier gheseyt is ghedaen te worden door t'behulp van een baecksteker, can byden Teyckenaer alleen, alst de plaets toelaet, lichtelicker gedaen worden, in deser voughen: Hy gaet van B na D, stellende daer een baeck, alsoo dat hy de baecken D B A alle drie in een selve sichtstrael siet.

    Daer is noch een manier om de baeck tusschen A en B t'haerder plaets te crijghen, sonder een ander persoon te moeten gebruycken, te weten sonder de stock C of D te steken, ende dat door t'behulp des Meterscruys, dat een tuych is als de byghevoughde form aenwijst, twelck alsoot inde volghende landtmeting oock ghebesicht sal worden, wy sullen hier met een sijn ghedaente verclaren:
Te weten dattet een stock heeft lanck ontrent vijf voeten, onder met een yser pinne om recht overeinde in d'eerde te steken: Op de selve stock worden an d'een sijde gheteyckent soo veel voeten met duymen, ende op een ander sijde soo veel (I) en (2), alsse begrijpen can, dienende om daer mede te volmeten de langden die op gheen roeden effen uyt en commen: Op de voorschreven stock staet een plate, ghemeenlick van coper, breet ontrent 8 of 10 duym, waer op ghetrocken sijn twee linien, eyndende op de middelpunten vande sijden der plaet, ende malcander opt middelpunt der plaet rechthouckich doorsnyende, sulcx dat die twee linien een recht cruys maken, t'welck de Landtmeters seer ghebruyckende, soo wort dien tuych daer uyt Meterscruys ghenoemt. Op de vier eynden van dese twee linien, worden overeynde gestelt pinnekens met sichtspleetkens daer in, om deur te sien, of sonder sichtspleetkens met haer uyterste cant wijsende, of anders heel dunne met haer eyghen middelt de anwijsing doende,

[ 9 ]
meterskruis op stok die int ghemeen sichtpinnen ghenoemt worden. Sommighe teyckenen oock op de plaet een traprondt met sijn 360 trappen, waer over een sichtrije {Linia fiducialis.} draeyt stellende oock int middel een seylnaelde. Nu om deur dit meterscruys de baeck C t'haerder plaets te crijghen, de teyckenaer steket tusschen de twee baecken A B, dat stellende ende herstellende tot hy door t'middel van beyde de sichtspleten van d'een en d'ander sijde, beyde de baecken siet, want alsdan stadet meterscruys t'sijnder behoorlicke plaets om aldaer een baeck te stellen.
Doch de voorgaende twee eerste wijsen sijn, soo de ervaring leert, de sekerste, Angaende ymant vraghen mocht waerom datmen niet by een manier en blijft die de beste is? Daer wort op gheantwoort datmen elcke wijse ghebruycken mach na gheleghentheyt der omstandighen, want somwijlen en isser gheen bequaem plaets an D, om aldaer een baeck te stellen, deur belet van water, ghestichten, boomen of dierghelijcke, Altemet isser belet tusschen beyden ende niet daer buyten, Elders ghebeuret datmen gheen baecksteker by hem en heeft, ende somwijlen dattet de uyterste rechticheyt niet soo seer noodich en is: Als by voorbeelt om langhe rechte linien opt landt te meten, al is de middelbaeck een voet of twee buyten t'strael, dat en can int meten gheen hinderlick verschil bybrenghen, maer alst is om een driehoucx hanghende te vinden, en die te meten, of om erven te scheyden, soo behoufter meerder sekerheyt toe, ghelijck t'sijnder plaets breeder verclaert sal worden: Sulcx datmen, als boven gheseyt is, soodanighe manier mach volghen, als na gheleghentheyt bequaemst valt.

    Maer alst van A tot B soo verre waer, datmen vant een teecken tottet ander niet sien en conde, doch wel van ontrent het middel (alwaer de boveschreven tweede manier niet int werck ghestelt en mach worden, want canmen van A tot B niet sien veel min tot D) men steeckt dan ontrent dat middel een baeck of baecken, sich daer mede behelpende. Ende om int stellen der middelbaecken, van d'een uyterste baeck d'ander uyterste te meughen sien, soo sentmen een persoon ter plaets van die onsienlicke baeck, alwaer sijn lichaem selfs voor een baeck verstreckt, oft anders neemt hy een lange pertse met een hoet, bondtstroo, mey, oft ander sichtbaer teycken daer op, ende blijft daer soo langhe staende, ofte houdt dat teycken daer soo lang overeynde, tot dat de middelbaken ghestelt sijn.

    Dit verstaen wesende, te weten de baeck C of D aldus int strael van A B sijnde, soo gadet kielspitten van A na B aldus te werck: Men neemt een seer langhe coorde die ick acht te commen van A tot E, Maer om het eynde E int strael van A B te setten soo crijghmen dat, daermen C op B siet overcommen, daer na gekielspit langs de ghespannen coorde, soo is de lini van A tot E ghedaen, ende alsoo voortgaende comtmen tot B, welverstaende dat alsmen de baeck C voorby gheleden is, soo ghebruycktmen de achterste twee baecken C A, om recht na B te commen: Maer sooder een baeck als D ghestelt waer, soo soudemen altijt meughen de twee selve baecken als B D ghebruycken.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan rechte linien gheteyckent na den eysch.

[ 10 ]
M E R C K T.

    Alsoo sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  int dadelick teyckenen der rechte linien opt landt, sach dat inde ghemeene ghebruyck eenighe onvolcommenheden waren, heeft my de verbetering van dien by ghedacht doen stellen als volght.

    Ten eersten ghebeuret dat de baeckhouder sijn baeck niet heel rechthouckich op den sichteinder en stelt, en dattet bovenste eynde wel een voet over d'een of d'ander sijde helt, twelck den teyckenaer opt bovenste eynde mickende dwaling veroirsaken can. Maer want de baeckhouder uyter oogh die baeck soo volcomelick recht niet stellen en can, soo salmen, daer de uyterste volcomenheyt der teyckening vereyscht wort; voor baeck nemen een rechte stang met haer hangloot daer an vervought en die daer me altijt met versekerheyt recht stellen.

    Ten tweeden soo ist ghebeurt dat sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  int legherslaen, begheerde een rechte lini tusschen twee seker teyckens, diemen al warender langhe baken ghestelt van d'een tottet ander niet sien en conde om belet van haghen en bomen tusschen beyden. Maer om de saeck met een by voorbeelt te verclaren laet die twee teyckens sijn A B, en wantmen van A tot B niet sien en can heeft daer toe dese manier veroirdent:

    Men sal gaen van A na B by der gisse, doch soo recht na B alsmen can, en altijt op een rechte lini deur t'behulp van baken diemen soo dickwils steeckt alst de saeck vereyst. Ist dan datmen eyntlick recht op B uyt comt, soo is die ghebaeckte lini de begeerde.
rechthoekige driehoek Maer comtmen op B niet uyt dan daer nevens als neem ick an C, soo meetmen CB mette grootheyt des houcx C ende AC wiert ghemeten int comen van A na C, sulcx dat de driehouck ACB drie bekende palen heeft, waer me ghesocht den houck A, sy wort ghevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken: Twelck soo sijnde men stelt het metercruys an A en daer op dien ghevonden houck, daer na siet den teyckenaer deur t'een paer sichtgaetkens op de eerste baeck die na C streckt, en t'ghene hy dan deur t'ander paer sichtgaetkens siet moet recht na B strecken, daerom dat strael ghevolght men comt op de begheerde B. Of andersins soomen de moeyte niet en wilde doen van weerom tot A te commen, men soude in plaets vanden houck A vinden den houck B stellende t'metercruys met dien ghevonden houck an B siende daer na deur t'een paer sichtgaetkens na C, en t'gene hy deur t'ander paer sichtgaetkens siet moet recht na A strecken. Tis oock te ghedencken dat den houck C recht ghenomen alsmense crijghen can wat lichticheyt int berekenen voorbrengt.

    Ten derden anghesien de bequaemheyt des wercx vereyscht datmen int kielspitten de rugghe vande spa teghen de ghespannen coorde doet ancomen, soo en is t'middel des kielspits de ware begheerde lini niet, maer den cant die de selve coorde gheraeckt, daerom alsmen de uyterste volcomenheyt der teyckening begheert soo moetmen daer op acht nemen. Als by voorbeelt wanneermen tusschen twee kielspitten de breede eens grachts beteyckent, t'is behoorlick datmense alle beyde over de sijde der coorde steeckt die na de toecommende gracht toe light.

[ 11 ]

2   V O O R S T E L.

    Een rechte lini te teyckenen, rechthouckich op een ghegheven rechte lini, ende op een ghegheven punt inde selve.

I  Voorbeelt.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechte lini sijn ende C een punt daer in.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechte lini teyckenen rechthouckich op AB, ende opt punt C.

T W E R C K.

punten en boogjes     Ick teycken eenighe twee punten D E inde lini AB, evewijt van C, ende beschrijf op D als middelpunt eenighen booch FG, ende mette selve langde opt punt E den booch HI, snyende FG in K, treck daer na de rechte lini KC, die ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs gedaen is int 11 voorstel des I boucx van Euclides.

2  Voorbeelt, t'welck te pas can commen daer t'ghegheven punt
opt uyterste der ghegheven lini comt.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechte lini sijn, ende t'punt daer in A.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechte lini teyckenen rechthouckich op AB, ende opt punt A.

T W E R C K.

cirkel trekken     Ick stel des passers beweghelicke voet opt punt A, ende de vaste buyten de lini AB, als neem ick ter plaets van t'punt C, beschrijvende opt selve als middelpunt den booch DAE grooter dan een halfrondt, treck daer na van D deur C, de rechte lini DF, gherakende de booch in F, ende ten laetsten de lini AF die ick segh de begheerde te wesen.

T B E W Y S.

    Den houck DAF in een halfrondt wesende, moet daerom recht sijn, deur het 3 voorstel des 3 boucx van Euclides, en vervolghens AF is rechthouckich op AB.

[ 12 ]
3  Voorbeelt met een winckelhaeck.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechte lini sijn, ende t'punt daer in A.
L-vorm     T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechte lini teyckenen rechthouckich op AB, ende opt punt A.

T W E R C K.

    Ick neem een winckelhaeck als CDE, vervoughende den houck D an t'punt A, ende de sijde DE op de lini AB, treckende langs d'ander sijde DC, de lini AF, die ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de winckelhaeck self ghenomen wort rechthouckich te sijn.


4  Voorbeelt mettet meterscruys.

    De boveschreven voorbeelden sijn om op papier ende ander cleene effen gronden te ghebruycken, maer opt landt worden de rechthouckighe linien mettet meterscruys ghevonden, seer dickwils te vooren commende int landtmeten, teyckeninghen van sterckten, ende meer ander.
    T G H E G H E V E N.  Laet de punten A B twee baecken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden, gekielspit, of alleeenlick bedocht, gelijckt metter daet dickwils toegaet, ende C sy een punt inde selve lini.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechte lini teyckenen van C af, rechthouckich op AB.

T W E R C K.

punten     De teyckenaer stellet meterscruys ter plaets van C, t'selve soo langh keerende ende wendende, tot dat hy door t'een paer sichtpinnen over d'een sijde de baeck A, ende over d'ander sijde de baeck B siet: Daer na siende deur t'ander paer sichtpinnen, hy doet in sijn sichtstrael door een ander persoon een baeck stellen, welcke D sy, daerom gekielspit, of bedocht een rechte lini van C tot D, ick seghse de begheerde te wesen, waer af t'bewijs door t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de sichtstralen self deur sichtpinnen strecken, die ghenomen worden op malcander rechthouckich te sijn.

5  Voorbeelt mettet drie vier vijf ghetal.

    Daer is noch een vijfde manier inde ghebruyck, diemen by ghebreck van meterscruys opt velt te werck stelt, en oock goede sekerheyt hebbende, t'welck aldus toe gaet.
    T G H E G H E V E N.  Laet de punten A, B, twee baken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden, ghekielspit of alleenlick bedocht, en C sy een punt inde selve lini.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechte lini teyckenen van C af rechthouckich op AB.

[ 13 ]
T W E R C K.

3 latten     Men neemt drie rechte houten reghels hoe langher hoe sekerder werck, als CD, DE, CE, te weten CD ghedeelt in drie even deelen, CE doende sulcke vier, ED der selve vijf, dese drie reghels t'saem gheleyt als een driehouck, en soo dattet eynde D comme inde rechte lini CB, soo is CE de begheerde lini rechthouckich op AB.

T B E W Y S.

    T'viercant van CD 3 doende 9, mettet viercant CE 4 doende 16, maken t'samen 25, die even sijnde an t'viercant van ED 5, soo moet den houck C recht sijn, deur het 47 voorstel des I boucx van Euclides, en daerom is EC rechthouckich op CD, en vervolghens op AB.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rechte lini gheteyckent rechthouckich op een ghegheven rechte lini, ende op een ghegheven punt inde selve na den eysch.


3   V O O R S T E L.

    Een rechte lini te teyckenen rechthouckich op een ghegheven oneyndelicke rechte lini, ende van een ghegheven punt buyten de selve.

I  Voorbeelt.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechte oneyndelicke lini sijn, ende C een punt buyten de selve.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'punt C een rechte lini trecken rechthouckich op AB.

T W E R C K.

lijn, punten, bogen     Ick stel de beweeglicke voet des passers op C, de vaste erghens inde lini AB, t'welck valt neem ick op D, beschrijf daer mede de booch CE: Stellende daer na de beweeghlicke voet wederom op C, ende de vaste inde lini AB, maer over d'ander sijde van D, twelck ick neem te vallen in F, beschrijf daer op de booch CG, snyende de booch CE in G, treck daer na de lini CG, snyende AB in H: Twelck soo sijnde, ick segh de lini CH de begheerde te wesen rechthouckich op AB, waer af t'bewijs ghedaen is int 12 voorstel des 6 boucx van Euclides.

2  Voorbeelt met een winckelhaeck.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechte lini sijn, ende C punt daer buyten de selve.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechte lini teyckenen van C rechthouckich op AB.

[ 14 ]
L-vorm op rechte
T W E R C K.

    Ick neem een winckelhaeck als DEF, vervough de sijde EF op de lini AB, die daer langs henen schuyvende tot dat de sijde DE opt punt C comt, t'welck soo sijnde, ick treck een lini langs de sijde DE van t'punt C tot G, inde lini AB, welcke ick segh de begheerde te wesen, waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt den winckelhaeck self ghenomen wort rechthouckich te sijn.


3  Voorbeelt mettet meterscruys.

    T G H E G H E V E N.  Laet de punten A B twee baecken int velt bedien, met een rechte lini tusschen beyden ghekielspit of alleenlick bedocht, ende C een punt buyten de lini AB.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van C een rechte lini teyckenen rechthouckich op AB.

punten

T W E R C K.

    De teyckenaer stelt een baeck int sichtstrael vande twee baecken A, B, tusschen de selve of daer buyten, latet tusschen beyden sijn als D: Brengt daer na sijn meterscruys int sichtstrael BD, als ter plaets van E, sulcx dat hy opt een paer sichtpinnen siet DB met malcander overcommen, ende op t'ander paer sichtpinnen de baeck C passen, daeom ghekielspit of bedocht een rechte lini als van E tot C, ick seghse de begheerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is.

M E R C K T.

    Dat alsmen t'punt E wil vinden door t'meterscruys, sonde de baeck als D te stellen, ghelijck daer of gheseyt is int 3 voorbeelt des I voorstels van desen, soo ist bequaemst het meterscruys altijt eerst te passen op de ghegheven lini AB, eermen over cruys na de baeck C siet, want anders doende, t'brengt groote twijffeling in, om datmen alsoo in beyde de linien t'samen niet en gheraeckt dan met onseker moeylicke tasting.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rechte lini geteyckent, rechthouckich op een ghegheven oneyndelicke rechte lini, ende van een ghegheven punt buyten de selve, na den eysch.


4   V O O R S T E L.

    Tvvee linien te teyckenen die een houck maken even an een ghegheven houck.

I  Voorbeelt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een houck sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten twee linien teyckenen een houck makende even anden houck ABC.

[ 15 ]
2 hoeken
T W E R C K.

    Ick treck de lini DE, ende beschrijf op B als middelpunt eenighen booch FG, tusschen de linien BA, BC, ende mette selve langde BF, beschrijf ick den booch HI, even anden booch FG, treck daer na de lini DI, t'welck soo sijnde ick segh den houck EDI, even te sijn anden houck ABC, waer af t'bewijs openbaer is deur het 33 voorstel des 6 boucx van Euclides.


2  Voorbeelt mettet meterscruys.

    De wercking des I voorbeelts dient om op papier, of ander cleene gronden te teyckenen, maer inde velden gadet door tmeterscruys anders toe, daer af wy nu segghen sullen.
    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een houck sijn begrijpende 50 trappen (hoemen de menichte der trappen eens houcx vindt sal int tweede boeck der meting verclaert worden.)
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten opt velt een houck teyckenen even anden houck ABC.

T W E R C K.

vierkant met cirkel erin, wijzer, lijnen     Ick neem een meterscruys met sijn traprondt daer in, diens middelpunt D, stellende tusschen een cruyslini DE, ende de wijsrije DE [DF] 50 trappen, als de booch van E tot F, doe daer na int sichtstrael door de sichtpinnen E G, een baeck H stellen, sghelijcx een baeck I, int sichtstrael door de sichtpinnen der sichterije KF; Twelck soo sijnde, ick segh den houck begrepen tusschen de ghekielspitte of bedochte linien DH, DI, als den houck HDI, de begheerde te wesen, even anden houck ABC; waer af t'bewijs deur t'ghestelde openbaer is, ghemerckt de sichtstralen self deur de sichtpinnen strecken, diens houck ghenomen wort van 50 trappen te sijn.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan twee linien gheteyckent, die een houck maken even an een ghegheven houck, na den eysch.


5   V O O R S T E L.

    Door een ghegheven punt, tot een ghegheven lini een evevvijdeghe te teyckenen.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechte lini sijn, ende C een punt.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten door t'punt C, mette lini AB een evewijdeghe teyckenen.

[ 16/20 ]
T W E R C K.

rechthoek     Ick treck AC, en BD even met AC, beyde rechthouckich op AB, daer na CD, welcke ick segh evewijdeghe met AB te sijn, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 31 voorstel des I boucx van Euclides.
    Angaende de teyckening van evewijdeghen opt lant deur t'metercruys, anghesien hier vooren verclaert is de teyckening van rechte linien opt velt, ende van rechthouckighe op de selve, soo is die deur t'boveschreven openbaer ghenouch.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan deur een ghegheven punt tot een ghegheven lini, een evewijdeghe gheteyckent na den eysch.


6   V O O R S T E L.

    Omtrecken van ronden te teyckenen.

    Hoemen cleene omtrecken van ronden teyckent met passers, of tweebeenighe tuych, diens een voet opt middelpunt blijft, ende d'ander omdraeyt, is soo gemeen datmender gheen verclaring af en behouft. Angaende seer groote omtrecken, meerder dan deur tweebeenighe tuych, of ghespannen ketens als halfmiddellijnen gheteyckent connen worden, by aldien sulcx te vooren quaem, men soude dat meughen te weghe brenghen door sichtstralen, ende met baken, als punten inden omtreck nevens malcander te stellen, al evewijt vant middelpunt, ende in menichte soo veel, dat de booch tusschen beyden een rechte lini ghelijck ghenouch waer.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan ronden van omtrecken gheteyckent, na den eysch.


7   V O O R S T E L.

    Inden ghegheven omtreck des rondts haer middellijn te teyckenen.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD den omtreck eens rondts sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer in de middellijn teyckenen.

cirkel met lijnen

T W E R C K.

    Ick treck eenighe rechte lini int rondt als DB, ende deur t'middel der selve de lini CA rechthouckich op DB, welcke CA de begheerde middellijn is deur het I voorstel des 3 boucx van Euclides.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan inden ghegheven omtreck des rondts haer middellijn geteyckent na den eysch.

V E R V O L G H.

    Hier uyt is kennelick hoe eens rondts middelpunt ghevonden wort, want nadien AC de middellijn is, soo moet het middel der selve als F, des rondts middelpunt sijn.

[ 17 ]

8   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een deel vanden omtreck des rondts, den heelen omtreck te volteyckenen.

    T G H E G H E V E N.  Laet den booch ABC deel vanden omtreck eens rondts sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten den heelen omtreck volteyckenen.

T W E R C K.

cirkel met lijnen     Ick stel inden ghegheven booch eenighe drie punten, welcke ick neem D, B, E, te wesen, ende treck de rechte lini DB, daer na op haer middel F, de lini FG rechthouckich op DB; Sgelijcx treck ick BE, ende op haer middel H de lini HI, rechthouckich op BE, ende ghenakende FG in I: Twelck soo sijnde, I is middelpunt des begheerden omtrecx, daerom opt selve beschreven den booch CKA, men heeft den heelen begeerden omtreck ABCK, waer af t'bewijs openbaer is deur het 25 voorstel des 3 boucx van Euclides.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een deel vanden omtreck des rondts, wy hebben den heelen omtreck volteyckent na den eysch.

V E R V O L G H.

    Hier uyt is kennelick hoemen door alle drie ghegheven punten die in gheen rechte lini en staen, een ronds omtreck sal schrijven.


9   V O O R S T E L.

    Op de ghegheven grootste ende cleinste middellijn des * lanckrondts sijn omtreck te teyckenen.   {Ellipsis.}

    Het teyckenen van desen omtreck heeft onder anderen sijn gebruyck in Platclootsche tuyghen, als voornaemlick des ghemeenen Platcloots daer Guido Vbaldus af handelt [^], oock int teyckenen der overwelfsels van ghestichten.
    T G H E G H E V E N.  Laet AB de grootste middellijn wesen, ende CD de cleenste, malcander doorsnyende in E.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen.

T W E R C K.

    Ghelijckmen metten passer den omtreck des rondts beschrijft, alsoo den omtreck des lanckrondts metten byghestelden tuych, van deser ghedaente sijnde: FG is een beweghende rye met een spleet int middel, waer in twee stijlkens H, I gheschrouft worden: Ant eynde by F is een punt, daermen den omtreck me teyckent, KL een kruck, oock met een spleet MN.
    Het teyckenen des begheerden omtrecx met desen tuych gaet aldus toe: De punt vant stijlken H, wort soo wijt vanden punt F ghehecht, als van E tot C, ende het stijlken I soo verre vande selve punt F, als van E tot A: Daer na steltmen de pinne F op den punt C, ende het stijlken H, opt punt N, alsoo dat de rye FG opt middel der kruck comt, passende de lini KL op AB; Daer na strijckmen het stijlken H teghen de sijde KL, latende het stijlken I sijn loop

[ 18 ]
ellips tekenen
nemen inde spleet MN: Twelck soo sijnde de pinne F beschrijft den halven begheerden omtreck: Ende doende der ghelijcke over d'ander sijde, men heeft den heelen omtreck.

T B E W Y S.

    Hier af is ghedaen na mijn onthoudt deur Guido Vbaldus in eenich boucxken dat ick verloren heb.
    [ Planisphaeriorum universalium theorica (1579), p. 125. ]


    Ander manier van vvercking.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB de grootste, CD de cleenste middellijn wesen, malcander doorsnyende in E.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen.

[ 19 ]
T W E R C K.

ellips anders     Ick treck CD voorwaert tot F, alsoo dat CF even sy an EA, neem daer na metten passer de langde EF, ende stel d'een voet in EF daert valt, ick neem ant punt G, d'ander in EA welcke daer comt neem ick an t'punt H, treck daer na GH voorwaert tot I, sulcx dat HI even syn an EC; Twelck soo wesende, I is een punt inden omtreck des lanckrondts, vallende, daerom derghelijcke punten alsoo ghenouch gevonden, sulcs datmen van d'een tot d'ander rechte linikens treckende, de selve vanden waren omtreck geen merckelick verschil en hebben, men heeft t'begheerde, als den omtreck AICBD.

T B E W Y S.

    Anghesien dat inde voorgaende eerste manier der wercking, de langde FH des tuychs aldaer beschreven, even was an C, E, ende FI even an AE, ende dat alsdoen t'punt F in des begheerden lanckrondts omtreck was, soo moet in dese tweede manier der wercking t'punt I, oock inden omtreck des begheerden lanckronds wesen, ghemerckt de selve reden der wercking hier ghevolght is, want ghelijck ginder FH even was an haer CE, alsoo hier IH an haer CE, ende ghelijck ginder HI even was an t'verschil tusschen de grootste en cleenste half middellijn, alsoo is hier oock HG, even an t'verschil tusschen de grootste en cleenste halfmiddellijn.


    Derde manier van vvercking.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB de grootste middellijn wesen, CD de cleenste, malcander doorsnyende in E.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen.

T W E R C K.

ellips tekenen met draad     Ick vervough de langde AE van D tot F, oock van D tot G, inde lini AB, teyckenende beyde de uyterste punten F G, neem daer na een draet soo lanck als AB, die echtende met haer uytersten inde punten F G; Ick stel daer na een penne of priem daer toe bereyt, teghen den draet rechthouckich opt plat daer de form in gheteyckent wort, welcke priem ick hier neem te wesen ter plaets van H, alsoo dat de twee deelen des draets GH, HF ghespannen staen, de priem daer na voortghetrocken sijnde van A over C tot B (welverstaende dat den draet GHF altijt soo even stijf ghespannen blijft sonder recken als doenlick is) soo wort daer mede beschreven den halven omtreck ACB.

[ 20 ]
    Ende der gelijcken halven omtreck over d'ander sijde oock beschreven sijnde als BDA, men heeft het begheerde: Dese manier van wercking mettet bewijs meyn ick beschreven ghesien te hebben by Guide Vbaldus int voorseyde verloren boucxken daer hy noch by verclaerde dat hy sulcx ghevonden had in eenighe oude handtschriften.


    Vierde manier van vvercking.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB de grootste middellijn CD de cleynste wesen, malcander deursnyende in E.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer op des lanckrondts omtreck teyckenen.

T W E R C K.

ellips met kwartcirkel     Ick treck BF rechthouckich op AB, ende even an EC, treck oock AB voorwaert tot G, daer op beschrijvende het vierendeelrondts BFG: Deel daer na BG in eenighe even deelen, ick neem in vieren, ter plaetsen van H, I, K, treckende HL, IM, KN evewijdeghe met BF, ende alsoo dat de uytersten L, M, N, commen inden booch FG, deel daer na EB in soo veel even deelen als BG gedeelt wiert, te weten in vieren, ter plaetsen van O, P, Q, treck voort OR even an HL, en PS even an IM, oock QT even an KN, ende alle drie evewijdeghe met EC: Twelck soo sijnde de drie punten R, S, T, commen inden begheerden omtreck, daerom soo men BG en EB in veel meer even deelen ghedeelt had dan vier, sulcx dat de rechte lini tusschen twee punten gheen merckelick verschil van haer booch en had, men soude dan deur drie en drie punten boghen meughen trecken, (na de leering des vervolghs vant 8 voorstel) ende t'vierendeel hebben des begheerden omtrecx: Voleyndende d'ander drie vierendeelen op de selve wijse.

rechthoek met cirkel erin
    T B E R E Y T S E L.  Laet ABCD een seul {Cylind.} wesen diens grondts middellijn sy DC: Dese seul sy deursneen met een plat EF scheefhouckich op de uyterste lini AD, welck plat EF als verclaert wort int eerste bouck van Serenus*) een lanckront is, diens grootste middellijn EF, en cleenste een lini even an CD. Laet andermael de seul gesneen worden met een plat GH evewijdich vande grondt, en sal die sne een rondt wesen, t'welck overcant ghesien de lini GH sy, snyende EF in I, sulcx dat IF doe een vierendeel van EF, en sal die GH oock sijn des selfden rondts middellijn: Op dese middellijn GH sy beschreven het rondt GKHL rechthouckich op de grondt DC, en oock opt lanckrondt EF. Daer na sy MN een plat overcant ghesien streckende deur t'punt I rechthouckich opt rondt GKHL.
    [ *)  Zie Theor. 16 in Commandino's uitgave (bij Apollonius) van Serenus.]

T B E W Y S.

    Want GF evewijdeghe is met EH, soo moet den driehouck GIF ghelijck sijn anden driehouck HIE, en daerom ghelijck FI tot IE, alsoo GI tot IH: Maer FI is een derdendeel van IE, of een vierendeel van FE deur t'bereytsel, daerom GI is oock een derdendeel van IH, of een vierendeel van GH: Voort soo is de lini IL

[ 21 ]
even ande lini int plat des lanckrondts van I tot in des lanckrondts omtreck (want de middellijn GH vast blijvende, en het rondt daer op ghedraeyt tot dattet evewijdich is mette grondt des seuls, soo is dan IL mette voorschreven lini al een selve) daerom alsmen ghelijck int werck ghedaen is, op de lini even ande cleenste middellijn eens lanckrondts een rondt beschrijft, en datmen opt vierendeel der selve een lini rechthouckich treckt tot inden omtreck, en datmen daer na even sulcken lini treckt rechthouckich op de langste middellijn des voorschreven lanckrondts, soo moet het uyterste punt der selve in des lanckrondts omtreck commen. En ghelijck dit hier bewesen is op der middellijn vierendeelen, alsoo ist openbaer de reghel plaets te houden over alle ander haer deelen, waer deur alle punten alsoo ghevonden in des lanckrondts omtreck vallen.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan op de ghegheven grootste ende cleenste middellijn des lanckrondts sijn omtreck gheteyckent na den eysch.

M E R C K T.

    Daer can noch een 5 manier van wercking ghedaen worden, deur de teyckening der keghelsne daer wy int 12 voorstel af segghen sullen.


1 0   V O O R S T E L.

    Inde ghegheven omtreck eens lanckrondts, de grootste en cleenste middellijn te teyckenen.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD den omtreck eens lanckrondts sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer in de grootste en cleynste middellijn teyckenen.

T W E R C K.

    Ick treck inde gegeven omtreck eenige twee evewijdege, die ick neem CE, BF te wesen, ende door haer middelt de rechte lini AD, welcke een middellijn sijnde soo moet haer middel G des lanckrondts middelpunt wesen: cirkel, ellips, lijnen Maer niet nootsakelick en isse de grootste of cleenste middellijn: Om nu die te vinden, ick schrijf opt middelpunt G, mette halfmiddellijn soot valt een rondt HIKL, snyende het lanckrondt inde vier punten H I K L: Treck daer na deur M middel des boochs KL, ende deur N middel des boochs HI, de lini OP, voor begheerde grootste middellijn; Ende QR rechthouckich op OP is de cleenste, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan inde ghegheven omtreck eens lanckrondts, de grootste en cleynste middellijn gheteyckent na den eysch.

V E R V O L G H.

    Tis hier door kennelick hoe t'middelpunt vanden omtreck des lanckrondts ghevonden wort.


1 1   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een deel vanden omtreck des lanckrondts, ende de grootste of cleynste middellijn; De ghebrekende middellijn te teyckenen.

[ 22 ]
    T G H E G H E V E N.  Laet den booch ABC deel vanden omtreck eens lanckrondts wesen, ende de langste middellijn sy DE.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten de cleynste middellijn teyckenen.

T W E R C K.

lijnen, boogje     Ick treck door t'punt F middel van DE, de rechte lini GH rechthouckich op DE, vervoughende daer na de langde DF van eenich punt des ghegheven boochs, ick neem van B tot inde lini FH, welcke langde ick neem te vallen van B tot I, ende treck BI, snyende DF in K; Daer na teycken ick de langde BK inde lini FG, welcke ick neem te vallen van F tot L, stel daer na inde lini FH t'punt M, alsoo dat FM even sy an FL, t'welck soo wesende LM is de begheerde cleynste middellijn waer af t'bewijs volght uyt de tweede manier der wercking des 9 voorstels.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een deel vanden omtreck des lanckrondts ende de grootste middellijn, wy hebben de cleynste middellijn geteyckent, na den eysch.

I   V E R V O L G H.

    Deur verkeerde wech der voorgaende wercking is oock kennelick hoemen de grootste middellijn sal teyckenen van een ghegheven deel des omtrecx, ende de ghegheven cleynste middellijn. Laet by voorbeelt ABC het ghegeven deel ende LM de cleynste middellijn sijn. Om hier deur de grootste middellijn te teyckenen, ick treck door t'punt F middel van LM, de rechte oneyndelicke lini DE rechthouckich op LM, vervoughende daer na de langde LF van eenich punt des ghegheven boochs, ick neem van B, tot inde lini DE, welcke langde ick neem te vallen van B tot K, treck daer na BK voorwaert tot datse LM gheraeckt, t'welck sy in I, Daer na teycken ick de langde BI inde oneyndelicke lini FD, welcke ick neem te vallen van F tot D, stel daer na inde oneyndelicke FE t'punt E, alsoo dat FE even sy an FD, t'welck soo wesende DE is openbaerlick de begheerde grootste middellijn.

2   V E R V O L G H.

    Deur t'voorgaende is kennelick hoemen uyt een ghegheven booch ende grootste of cleynste middellijn den heelen omtreck des lanckrondts volteyckenen sal.


1 2   V O O R S T E L.

    Den omtreck van een * keghelsne te teyckenen. {Conisectione.}

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een keghel bedien, wiens gronts middellijn BC, ende as AD, welcke keghel ghesneen is met een plat EF, rechthouckich opt plat ABC, begrepen tusschen de sijden ende middellijn des grondts vanden keghel.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een keghelsneens omtreck teyckenen, even ende ghelijck mette gene die in dat snyende plat is.

[ 23 ]
cirkels met lijnen, parabool
[ G moet lager ]
T W E R C K.

    Ick schrijf op D als middelpunt, ende met DB als halfmiddellijn, het rondt BGCH, daer in treckende GH deur t'punt F rechthouckich op BC, daer na IK even an EF, ende KL, KM, rechthouckich op IK, ende elck even an FH: Daer na inden driehouck ABC eenighe lini NO, evewijdeghe met BC, ende snyende EF daert valt als in P, ende AD in Q, beschrijvende wederom op Q als middelpunt, ende met QN als halfmiddellijn een rondt NROS, daer in treckende RS deur t'punt P rechthouckich op NO, Voorts teycken ick inde lini IK t'punt T, alsoo dat IT even sy an EP, daer na TV, TX, rechthouckich op IK, ende elck even an PS. Dit soo sijnde, I is des begheerden keghelsneens sop, LM gront, ende de punten V X, inden omtreck, daerom derghelijcke punten alsoo ghenouch ghevonden, sulcx dat de rechte linikens van d'een tot d'ander, vanden waren omtreck gheen merckelick verschil en hebben, men heeft t'begheerde, als den keghelsneens omtreck LVIXM.

T B E W Y S.

    T'ront BGC, is even anden gront des kegels, ende GH even anden gront der keghelsne, alsoo oock is LM met GH duer t'werck; Daerom sijn de twee uyterste punten L M inden omtreck der keghelsne. Nu t'ghene hier bethoont is vande keghel ABC, wort oock alsoo verstaen vande keghel ANO, want haer keghelsneens gront oock even is an RS, ende vervolghens an VX, waer deur V X punten sijn inde keghelsnees omtreck: Ende sal dergelijcke oock bewesen worden van alle punten alsoo ghevonden, uyt welcke punten den omtreck LVIXM bestaende soo isse de begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan den omtreck van een keghelsne gheteyckent na den eysch.

M E R C K T.

    Als de lini EF wijder vande lini AB is, opt eynde F, dan opt eynde E, soo wort die keghelsne gheheeten wassendesne {Hyperbole.}: Maer aldaer nauwer sijnde, soo ist een rondt of lanckrondt {Ellipsis.}. De lini EF evewijdeghe met AB sijnde, soo heet die sne Brantsne {Parabola.}. Doch soo is de wercking van alle sneen lijckformich mette voorgaende: welverstaende dat als de kegelsne een lanckrondt valt, soo vintmen haer

[ 24 ]

driehoek met cirkel erin

langste en cortste middellijn aldus: Laet ABC een keghel sijn, diens as AD, welcke keghel deursneen sy alsoo dat EF de langste middellijn beteyckent: Om nu de cortste te hebben, ick teycken t'punt G middel van EF, en treck daer deur HI evewijdeghe met BC, snyende den as in K, Beschrijf op K als middelpunt, met KH als halfmiddellijn, het rondt HLIM en daer in de rechte lini LGM, evewijdeghe met AD, welcke de langde der cortste middellijn moet sijn, om de redenen int voorgaende bewijs verclaert, daerom alsmen een lanckrondts omtreck teyckent diens grootste middellijn even is an EF, en kleenste even an LM, na de manier des 9 voorstels, men heeft t'begheerde.


1 3   V O O R S T E L.

    Den omtreck van een * clootsche sne van een ghegheven clootsche te teyckenen.   {Sectio sphæroidis.}

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een clootsche sijn, diens grootste as is AC, ende ghesneen met een plat BD rechthouckich opt plat ABCD.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een clootsche snees omtreck teyckenen, even ende ghelijck mette ghene die in dat snyende plat bestaet.

T W E R C K.
ellips met cirkel erin
    Ick teycken t'punt E int middel van BD, treck daer na de lini FG, rechthouckich op AC, eyndende op beyden sijden inden ghegeven omtreck ende snyende AC in H: Beschrijf daer na opt punt H als middelpunt, het rondt FIGK, daer in treckende IK deur t'punt E rechthouckich op FG; Twelck soo sijnde DB is de grootste middellijn, ende IK de cleynste des begheerden omtrecx der clootsche; welcke altijt een rondt, of, als hier in dese form, een lanckront sijnde, soo en rester niet dan op twee middellijnen even an DB, IK een lanckrondt te teyckenen na de manier des 9 voorstels t'welck L sy ende men heeft t'begheerde; waer af t'bewijs ghelijck is ant bewijs des boveschreven 12 voorstels.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan den omtreck van een clootsche sne gheteyckent na den eysch.


1 4   V O O R S T E L.

    Een slangtreck te teyckenen op een ghegheven eerste lini.

    Vitruvius beschrijft int 3 hooftstick sijns 3 boucx, de teyckening eens slangtrecx, doch en is ons mening niet soodanighe hier te volghen, maer na de bepaling van Archimedes: Ende dat om de meetconstighe spieghelinghen die daer in vallen, als tsijnder plaets int volghende blijcken sal.

[ 25 ]
    T G H E G H E V E N.  Laet AB een eerste lini wesen.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een slangtreck teyckenen wiens eerste lini sy AB.

T W E R C K.

    Ick beschrijf opt punt A als middelpunt, eenich rondts omtreck CDEF, deyl t'selve in ettelicke even deelen, Ick neem voorbeeltsche wijse in I2, mette punten C G, H, D, I, K, E, L, M, F, N, O, Treck daer na EC, LG, MH, FD, NI, OK,

spiraal
die malcander al doorsnien int middelpunt A. Voort, in soo veel deelen als den omtreck ghedeelt is, in soo veel deel ick oock de lini AC [AB], te weten in 12, als inde punten P, Q, R, en dierghelijcke: Teycken daer na de langde AP van A tot S inde lini AG, ende de langde AQ vervouch ick van A tot T inde lini AH, sghelijcx stel ick de langde AR van A tot V inde lini AD; Ende derghelijcke doende met d'ander punten tot datmen comt an B, soo staen al de punten A, S, T, V, B, met dier ghelijcke inde begheerde slangtrecx omtreck. Om nu te crijghen het deel des slangtrecx AST, die vant ware weynich verschillen sal, men vindt een punt daermen des passers vaste voet op stelt, sulcx dat de beweeghlicke deur de drie punten A S T, streckt, ende derghelijcke doende met noch drie ander punten, ende dat soo dickmael datmen tot B comt, men heeft den eersten omtreck. Maer wilmen den slangtreck voorder beschrijven, men teyckent van B na C t'punt X, alsoo dat BX even sy an AP, vervoughende daer na de langde AX van A tot Y inde lini AG: Ende derghelijcke met d'ander doende, men
[ 26 ]
maeckt soo veel slangtrecxkeeren alsmen wil. Merckt wijder dat ghelijck het rondt CDEF hier gedeelt is in 12, alsoo machment deel en in 24 of 48, of meer even deelen, ende sal de wercking dan te sekerder vallen. T'bewijs hier af is gegrondt op de bepaling des slangtrecxplat van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een slangtreck op een ghegheven eerste lini gheteyckent na den eysch.


1 5   V O O R S T E L.

    Te teyckenen een lini ghelijck met een ghegheven cromme lini van onbepaelde ghedaente.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDE een cromme lini sijn van ongheschickte form, niet wesende van ghedaente als eenighe der voorgaende, maer onbepaelt; Voort sijn F, G, twee punten lijckstandich mette punten A, E.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van F tot G een lini teyckenen, gelijck mette lini ABCDE.

T W E R C K.

golflijn, klein en groot     Ick neem voor al dat de verborghen of verdochte rechte lini van F tot G, evewijdeghe sy mette verborghen of verdochte van A tot E, want waerse soo niet ghegheven, men soudese soo meughen verstellen. Teycken daer na inde ghegheven lini eenich punt daert valt, latet C sijn, treckende de twee verborghen linien AC, CE, daer na de verborghen oneyndelicke FH evewijdege met AC, en een lini van G evewijdege met EC, ontmoetende die oneyndelicke lini in H; t'welck soo sijnde, H is een punt inde begheerde lini, lijckstandich met C, inde ghegheven. Nu ghelijck hier ghevonden is t'punt H, salmen vinden meer ander punten, en soo veel, tot dat de rechte linikens van d'een tot d'ander ghetrocken, gheen merckelick of hinderlick verschil en hebben vande cromme diese eyghentlick souden wesen; T'welck soo sijnde, men heeft de begheerde lini FHG.

T B E W Y S.

    H lijckstandich punt met C te wesen, blijckt int 18 voorstel des 6 boucx van Euclides, waer deur de rest openbaer is.

[ 27 ]
Ander manier van vverck.

    Sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  heeft hier toe noch verdocht en doen opteyckenen een ander manier van wercking deur trecking van seker linien uyt een punt buyten de form: Om welcke by voorbeelt te verclaren laet andermael ABCDE een cromme lini sijn alsvooren; F, G, twee lijckstandighe punten mette punten A, E, wederom alsoo ghestelt dat de verdochte lini van F tot G, evewijdeghe sy mette verdochte van A tot E.

zelfde golfijnen, projectie
T W E R C K.

    Ick treck deur de twee lijckstandighe punten F, A, een oneyndelicke rechte lini FAH, sghelijcx een ander rechte lini deur de twee lijckstandighe punten G, E, ontmoetende die oneyndelicke in H: Ghenomen nu dat ick inde begeerde lini van F tot G, wil vinden een lijckstandich punt met C, ick treck deur C de oneyndelicke lini HI, daer na AC, en uyt t'pvnt F, een evewijdeghe mette selve AC ontmoetende die oneyndelicke in H [I]: T'welck soo sijnde, I is een punt inde begheerde lini, lijckstandich met C inde ghegheven. Nu ghelijck hier gevonden is t'punt I, salmen vinden meer ander punten, als neem ick K, L, lijckstandighe met B D, en ander dierghelijcke, soo veel tot dat de rechte linikens van d'een tot d'ander, gheen merckelick of hinderlick verschil en hebben vande cromme diese eyghentlick souden wesen, en men heeft t'begheerde. De lichticheyt des wercx hier uyt volghende, is datmen in alle oneyndelicke linien ghetrocken van H deur de ghegheven lini daert valt, altijt heeft een begheert lijckstandich punt, mettet punt der ghemeene sne vande ghegheven cromme lini, en die oneyndelicke, waer af t'bewijs is als t'voorgaende.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan gheteyckent een lini ghelijck met een ghegheven cromme lini van onbepaelde ghedaente na den eysch.




Simon Stevin | Meetdaet | Tekenen - a (top) | Vervolg