Stevin | Meetdaet | < Meten - b >

Oppervlakte , trapezium , cirkel , ellips , spiraal , bol , land , Volume


[ 73 ]

T W E E D E   D E E L   D E S

T W E E D E N   B O V C X   V A N T

M E T E N   D E R   V L A C K E N.


    Ons voorghenomen meting der vlacken sal sijn van platten die rechtlinich en cromlinich sijn, de cromlinighe als ronden en lanckronden, daer na van clootvlacken.


1 1   V O O R S T E L.

    Een ghegheven rechtlinich plat te meten.

I  Voorbeelt vant meten eens driehoucx.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een driehouck sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten t'begrijp des selfden vinden.

T W E R C K.

driehoek     Ick meet eenighe sijde als BC, bevinde die neem ick van 8, en treck AD hanghende op de selve BC die ick bevinde van 6, welcke gemenichvuldicht deur 4 helft van CB, comt voor t'begheerde plat 24, waer af t'bewijs openbaer is deur het 41 voorstel des I boucx van Euclides.
    Maer die hier af eenighe dadelicke proef begheerde te sien, mach vanden houck B trecken een hanghende op AC, die menichvuldighende deur den helft van haer gront AC, wantmen alsoo siet hoe na die verscheyden werckinghen met malcander overcommen.

M E R C K T

    Dat wy hier boven de hanghende AD ghemenichvuldicht hebben metten helft des gronts CB: Doch machmen oock andersins den helft der hanghende dats 3, menichvuldighen deur den heelen gront 8, en comt oock 24. Oft andersins segghen 6 mael 8 is 48, diens helft alsvooren 24. Ende mach sulcken helft bequamelicxt ghenomen worden van die lini der twee diens ghetal parich is, om wercking int ghebroken te schuwen.

[ 74 ]
stompe driehoek     By aldien de hanghende vanden houck na de gront buyten den driehouck viel, soo machmen dan nemen de hanghende vanden houck op den voortghetrocken gront menichvuldighende de selve deur den helft des gronts. Als by voorbeelt, te meten sijnde den driehouck ABC; wiens hanghende vanden houck A op de voortgetrocken CB sy AD, de langde der selve ghemenichvuldicht deur den helft van CB, gheeft het begrijp des driehoucx ABC.


2  Voorbeelt vant meten eens bijls.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een bijl wesen, diens twee evewijdeghe sijden sijn AB, CD.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten t'begrijp des selfden vinden.

T W E R C K.

trapezium     Men soude de bijl meughen deelen in twee driehoucken met een lini van A tot C, of van B tot D, metende elck van dien na de manier des I voorbeelts, en de somme dier twee driehoucken soude t'begeerde sijn, maer want de meing corter can vallen, soo sullen wy die verclaren als volght: Ick meet de twee evewijdege sijden, bevinde AB van neem ick 3, en CD van 7, maken t'samen 10, diens helft 5 ghemenichvuldicht deur de hanghende AE doende neem ick 4, comt voor t'begheerde plat des bijls ABCD 20.
    T B E R E Y T S E L.  Laet ghetrocken worden BF rechthouckich op DC, daer na sy t'punt G ghestelt int middel van DE, en ghetrocken GH even en evewijdeghe met EA snyende AD in I, daer na HA: S'ghelijcx sy int middel van FC ghestelt het punt K, en ghetrocken KL, even en evewijdeghe met FB snyende BC in M, daer na LB.

T B E W Y S.

    Want den driehouck IAH, even is anden driehouck IDG, en den driehouck MBL, even anden driehouck MKC, soo is den rechthouck HLKG, even anden bijl ABCD, en HL is even anden helft der twee linien DC, AB, daerom den rechthouck begrepen onder AE, of onder HG en den helft der twee evewijdeghe sijden des bijls, is altijt even anden bijl: En daerom is t'plat alsoo int werck ghevonden voor de begheerde grootheyt der bijl ABCD.


3  Voorbeelt vant meten eens rechtlinich plats soot valt, deur
deeling in driehoucken.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDEF een rechtlinich plat sijn, als een seshouck van form soot valt.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten t'begrijp des selfden vinden.

[ 75 ]

T W E R C K.

veelhoek

    Ick treck de drie linien AC, AD, AE, deelende den seshouck in vier driehoucken: Meet daer na elcke driehouck na de leering des I voorbeelts, en de somme der vier driehoucken is t'begheerde. Merckt noch datmen cortheyts halven twee hanghende linien die op een selve gront vallen, t'samen vergaren mach, en daer me den helft des gronts menichvuldighen. Als by voorbeelt om de twee driehoucken AED, AEF beyde t'samen met een menichvulding te vinden, ick mete de hanghende DG, bevinde die van 4 en FH van 3, welcke alsoose beyde vallen op een selve gront AE, ick vergaerse, maken t'samen 7, daer me ghemenichvuldicht den helft des gronts AE doende neem ick 5, comt voor t'begrijp der boveschreven twee driehoucken 35. S'ghelijcx machmen oock doen met d'ander twee driehoucken, vergarende daer na de twee gevonden vierhoucken ADEF, ADCB. Waer af t'bewijs openbaer is.


4  Voorbeelt vant meten eens rechtlinich plats, deur rekening
der platte driehoucken.

    T'ghebeurt int dadelick lantmeten, datmen de langden van ettelicke linien diemen behouft int rekenen na de manier des 3 voorbeelts, niet meten en can, deur belet van water, huysen, of dierghelijcke, doch dat eenighe ander linien wel connen ghemeten worden, maer t'werck moet deur rekening der platte driehoucken afgheveerdicht sijn, daer af wy nu segghen sullen, stellende een voorbeelt dat sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  gheteyckent seer nauwe ghemeten en berekent heeft, als volght.
    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDE een rechtlinich plat sijn, te weten een vijfhouck van form soot valt.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten t'begrijp des selfden vinden.

T W E R C K.

    Ghenomen datmen de inwendighe linien als AC, AD, met hanghende daer op vallende, om eenich belet, opt landt niet meten en can, maer wel de uytwendige sijden, die gevonden sijn gelijck de ghetalen daer op staende anwijsen: Genomen voort dat ick vande baec A, sien can tot d'ander vier baecken B, C, D, E, om daer op te vinden de drie houcken BAC, CAD, DAE, elck van grootheyt ghelijck daer op gheteyckent staet. Dit soo sijnde, den Meter can het inhoudt deses plats berekenen sonder ander kennis daer af te hebben in deser voughen: Voor al om te meten het plat des driehoucx ABC, ick treck BF rechthouckich op AC, en heb inden driehouck ABF drie bekende palen, te weten den houck FAB 47 tr. den houck BFA recht, en de sijde AB van 954 (2).

[ 76 ]

veelhoek
    Hier me ghesocht de sijde BF, wort bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken van 698 (2).
    En FA van650 (2).
    Dit soo sijnde de driehouck BFC heeft drie bekende palen, te weten BC 97 (I), BF 698 (2), en den houck BFC recht: Hier me gesocht de sijde FC, wort bevonden deur het 5 voorstel der platte driehoucken van674 (2).
    Daer toe vergaert 650 (2) tweede in d'oirden, comt voor AC 1324 (2).
    Den helft van dien ghemenichvuldicht deur de hanghende BF 698 (2) eerste in d'oirden, comt voor t'plat des driehoucx ABC4621 (2).
    Om nu te meten het plat des driehoucx ACD, ick treck CG rechthouckich op DA, en heb inden driehouck ACG drie bekende palen, te weten den houck GAC van 37 tr. 20 (I), CGA recht, en de sijde AC 1324 (2) vierde in d'oirden, hier me en mette rest voortghevaren alsmen boven ghedaen heeft metten driehouck ABC, men sal t'plat des driehoucx ACD bevinden van5518 (2).
    En derghelijcke gedaen metten driehouck ADE, sal bevonden worden van 333 (I).
    En vergaert dese drie driehoucken vijfde seste en sevende in d'oirden, te weten 4621 (2), 5518 (2), 333 (I), maken voor begheert plat des vijfhoucx ABCDE 13469 (2).
    Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.
[ 77 ]
I   M E R C K.

    Soot niet gheleghen en waer gheweest datmen vande baeck A hadde connen sien tot d'ander vier baecken B, C, D, E, om te vinden de drie houcken BAC, CAD, DAE, maer datmen wel had connen nemen de grootheyt der vijf uytwendighe houcken A, B, C, D, E, tis kennelick datmen daer me oock deur rekening der platte driehoucken t'begheerde soude ghevonden hebben, want de driehouck ABC soude drie bekende palen hebben, te weten de twee sijden AB, BC, mette sijde AC*), en hanghende BF, waer me ghevonden wort t'plat des driehoucx ABC. Om daer na te vinden t'plat des driehoucx ACD, men treckt den voorschreven ghevonden houck BCA, vanden ghemeten houck BCD, de rest is voor den houck ACD des driehoucx ACD, die dan oock drie bekende palen heeft, te weten totten selven houck ACD, noch de twee sijden CA, CD, waer me voort gevaren alsmen metten driehouck ABC ghedaen heeft, en dierghelijcke oock doende metten driehouck ADE, het heel plat wort bekent alsvooren.


    *)  'Ghedructe fauten' (^): "metten houck ABC, hier deur wort bekent de derde sijde AC".


2   M E R C K.

veelhoek     T'mach ghebeuren datmen niet sien en can van een deser vijf baecken A, B, C, D, E, tot al d'ander, maer wel van eenighe seste baeck ontrent het middel des landts ghestelt: Als neem ick in dees vijfhouck ABCDE sy ghestelt een seste baeck F, van waermen d'ander vijf can sien, en meten de vijf linien FA, FB, FC, FD, FE mette vijf houcken AFB, BFC, CFD, DFE, en EFA, T'welck soo sijnde elcke driehouck heeft drie bekende palen, waer me yders hanghende in elcken driehouck, als DG inden driehouck DFE ghevonden wort alleenelick deur een menichvulding sonder deeling, om dat inde everedenheyts reghel d'eerste der drie palen altijt 100000 doet, welcke hanghende ghevonden sijnde, en ghemenichvuldicht deur den helft des gronts, men heeft het plat van dien driehouck, en sulcke vijf driehoucken t'samen maken het heel begheerde plat.

3   M E R C K.

    In dit 3 en 4 voorbeelt sijn ghemeene reghelen beschreven om alle rechtlinighe platten te meten deur deyling in driehoucken, doch soo vallender op seker afcomsten {Speciebus.} corter weghen, diemen daert te pas comt ghebruycken mach als volght.

[ 78 ]
vierkant, rechthoek
    Ten eersten, het viercant als A wort gevonden menichvuldighende een sijde in sich.


    Ten 2, den rechthouck als ABCD wort ghevonden menichvuldighende langde deur breede, dats AB deur AD.
ruit, parallelogrammen
    Ten 3, de ruyt en scheefruyt, als ABCD, worden ghevonden menichvuldighende den gront DC, deur een hanghende daer op als AE.
vijfhoek, zeshoek     Ten 4, de gheschickte veelhoucken als A, worden ghevonden menichvuldighende de lini AB, vant middelpunt des forms A tot int middel van een der sijden als CD, deur den halven omtreck, of den heelen omtreck deur den helft van AB. Maer hoe men de lini AB in yder gheschickte form deur de bekende CD vindt, is int 7 voorstel van desen verclaert.


5  Voorbeelt vant meten eens rechtlinich plats soot valt deur
deeling in bijlen.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDEFG een rechtlinich plat sijn, t'welckmen wil meten deur deeling in bijlen met linien evewijdich streckende vande lini HI.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten deur sulcke manier van meting het inhoudt des ghegheven plats vinden.

T W E R C K.

veelhoek     Ick treck evewijdeghe linien met HI, uyt al de houcken daer linien uyt commen connen die t'plat snyen als GK, BL, FM, CN, EO, die de ghegheven form deelen in vier bijlen en twee driehoucken, daerom die twee driehoucken ghemeten na de manier des I voorbeelts, en de bijlen na de manier des 2 voorbeelts, de somme van als is openbaerlick t'begheerde plat, sulcx dat daer af gheen bewijs en behouft.
    Dese deyling in bijlen comt dickwils te pas om landen in seker cavels te deelen, diemen met evewijdeghe linien begheert te scheyden. Maer hoemen die cavels alsoo elck van begheerde grootheyt crijcht, sal t'sijnder plaets int 11 [14] voorstel des 5 boucx vande Everedentlicke snyding der grootheden verclaert worden.

[ 79 ]
    Ymant mocht nu segghen dat onder de bijlen daer t'rechtlinich in ghedeelt wort, formen mochten vallen gheen bijlen sijnde, maer byghevalle viercanten, ruyten, of scheefruyten: T'welck ghebeurende, de voorgaende reghel der bijlen is daer af ghemeen: Want den helft van twee evewijdeghe sijden die even sijn, is een der selve evewijdeghen, welcke ghemenichvuldicht deur de hanghende, gheeft ghelijck inde bijl het inhoudt des plats.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rechtlinich plat ghemeten na den eysch.


1 2   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven de middellijn eens rondts: Het plat te vinden.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een rondt sijn diens middelpunt E is, en de middellijn BD doet 12.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten de grootheyt des plats vinden.

T W E R C K.

cirkel     Ick vinde den omtreck deur het 8 voorstel des 2 boucx van 37 5/7 (want segghende 7 gheeft 22 wat 12 ? comt alsboven 37 5/7) den helft van dien als 18 6/7 ghemenichvuldicht deur de hakfmiddellijn 6, comt voor begheert plat des rondts 113 1/7. T'bewijs daer af is openbaer deur het I voorstel der rondtmeting van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven rondt ghemeten, na den eysch.


1 3   V O O R S T E L.

    Een ghegheven halfmiddellijndeel des rondts te meten.

    Daer gheschien int rondt twee besonder vermaerde sneen, d'eene met twee halfmiddellijnen, wiens deel ick halfmiddellijndeel noem, d'ander met een peez ick peezdeel heete: Tis waer datmen daer voor int Latijn seght sector en sectio, dat snijder en sne bediet, maer het onderscheyt en dunckt my niet eyghen ghenouch, welverstaende voor den ghenen die in een beter tael de saken eerst namen gheeft, want anders is de ghewoonte veel toe te laten. Angaende de meting des halfmiddellijndeels, die verclaren wy in dit voorstel, ende des peezdeels sullen wy int volghende beschrijven.
    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een halfmiddellijndeel sijn diens halfmiddellijn AB doet 6, ende den booch BC 8.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten t'plat vinden.

T W E R C K.

cirkelsector     Ick menigvuldighe den helft des boochs CB als 4, deur AB 6, comt voor begheert plat 24, waer af t'bewijs openbaer is deur dien dat het heel rondt even is anden uytbreng der halfmiddellijn ende des halven omtrecx, deur t'boveschreven bewijs van Archimedes, ende dat boven dien ghelijck des rondts booch totten heelen omtreck, alsoo het middellijndeel tottet heel rondt.

[ 80 ]
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven halfmiddellijndeel des rondts ghemeten, na den eysch.

M E R C K T.

    Ghelijck ghemeten wort dit halfmiddellijndeel ACB cleender dant halfrondt, alsoo wort oock ghemeten het grooter deel ACDB, want den helft des boochs CDB, ghemenichvuldicht deur de halfmiddellijn, gheeft het begeerde halfmiddellijndeel.


1 4   V O O R S T E L.

    Een ghegheven peezdeel des rondts te meten.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een peezdeel sijn diens booch ABC lanck is 6 6608/15120, ende de peez AC 6.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten t'plat des peezdeels ABC vinden.

T W E R C K.

cirkelsegment     Ick vinde des heelen rondts middelpunt D, daer na de langde der halfmiddellijn AD, die deur het 8 voorstel sijn sal van 5, ende de hanghende DE (om dat des rechthouckighen driehoucx DEA twee sijden AD 5, AE 3 bekent sijn) van 4. Dit soo sijnde, het halfmiddellijndeel DABC doet deur het 13 voorstel 16 5/54: Daer af ghetrocken den driehouck DAC doende deur het 11 voorstel van desen 12, blijft voor het begeerde peezdeel 4 5/54: Waer af t'bewijs deur t'werc openbaer is.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven peezdeel des rondts ghemeten, na den eysch.

I   V E R V O L G H.

    T'voorbeelt hier boven is vant peezdeel ABC cleender dant halfrondt, waer deur het peezdeel AFC grooter dant halfrondt openbaer is, want tottet halfmiddellijndeel DAFC, vergaert den driehouck ADC, men heeft t'begheerde.

2   V E R V O L G H.

segment met driehoek     Sooder te meten waer een deel des rondts, als hier nevens het stuck ABC, men sal meten het peezdeel CB na de leering deses voorstels, daer toe vergarende den rechtlinigen driehouck CBA, ende men sal t'begheerde hebben.

3   V E R V O L G H.

2 ringen     Om te meten een rinck als A, te weten het plat begrepen tusschen de twee omtrecken, men meet eerst het grootste rondt: Daer afghetrocken het cleenste, t'is kennelick de rest den begheerden rinck te wesen.

[ 81 ]

1 5   V O O R S T E L.

    Een ghegheven lanckrondt te meten.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een lanckrondt sijn, diens grootste middellijn AC doet 12, ende de cleenste DB 6.
    T B E G E E R D E.  Wy moeten het plat vinden.
ellips

T W E R C K.

    Ick vinde t'plat eens rondts diens middellijn AC 12, t'welck doet deur het 12 voorstel van desen 113 1/7: Segh daer na AC 12, gheeft DB 6, wat 113 1/7 ? Comt voor begheert plat des lanckrondts 56 4/7.
    Andersins machmen oock mette cleenste middellijn DB beginnen aldus: Ick vinde t'plat eens rondts diens middellijn DB 6, t'welck doet 28 2/7. Segh daer na DB 6, gheeft AC 12, wat 28 2/7 ? Comt voor begheert plat des lanckrondts als boven 56 4/7. T'bewijs daer af is openbaer deur het 6 voorstel vant bouck der kegelsche ende clootsche van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een lanckrondt ghemeten na den eysch.


1 6   V O O R S T E L.

    Een ghegheven brantsnees plat te meten.

driehoek in parabool     T G H E G H E V E N.  Laet ABC een brantsne sijn, diens sop A, en gront BC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten het plat vinden.

T W E R C K.

    Ick treck AB, AC, meet daer na den driehouck ABC, die bevindende neem ick van 20, daer toe by ghemeene regel sijn helft {1/3} als 10 {6 2/3}, maeckt voor t'begheerde plat des brantsnees 30 {26 2/3}; waer af t'bewijs openbaer is deur het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven brantsnees plat ghemeten na den eysch.


1 7   V O O R S T E L.

    Te meten een ghegheven * slangtreckplat, bestaende uyt een of meer heele keeren.   {Planum spirale.}

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een slangtrecx eersten omkeer sijn, diens eerste lini AC, en t'plat daer in begrepen sy D,
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten t'selve plat D vinden.

[ 82 ]

spiraal
T W E R C K.

    Ick meet d'eerste lini AC, die bevindende neem ick van 21, de selve aenghesien voor halfmiddellijn eens rondts ick souck hoe groot dat soude sijn het plat des rondts daer me beschreven, wort bevonden deur het 12 voorstel 1386; Daer af altijt het derdendeel, comt voor begheert plat D 462.
    Maer by aldiender meer keeren te meten waren, soo is te weten dattet tweede slangtrecxplat 6 mael soo groot is alst eerste: En het derde 12 mael soo groot als t'eerste: Het vierde 18 mael soo groot als t'eerste, en alsoo int oneyndelick van d'ander, altijt met 6 vermeerderende voor yder keer, waer me elck plat bekent wort.
    Laet by voorbeelt CE de tweede lini wesen, En den tweeden keer des omtrecx sy CFE, En het tweede plat datter begrepen is tusschen den eersten en tweeden omkeer sy G. Nu volghende de boveschreven ghemeene reghel, soo doet het plat G sesmael soo veel als t'plat D, dats ses mael 462, die doen voor het tweede plat 2772: Daer toe vergaert het eerste plat D 462, maken t'samen voor het heel plat 3234.
    Maer waerder een derde keer, die soude volghende de voorgaende reghel doen 12 mael 462 dats 5544, daer toe d'ander twee keeren doende alsvooren 3234, souden t'samen maken voor t'gheheel 8778, en soo voort met d'ander: Waer af t'bewijs ghedaen is int 27 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan ghemeten een ghegheven slangtreck, bestaende uyt een of meer keeren na den eysch.


1 8   V O O R S T E L.

    Een ghegheven clootvlack te meten.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn, diens as BD doet 12,
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten sijn vlack vinden.

[ 83 ]

bol

T W E R C K.

    Ick menichvuldighe BD 12, metten omtreck ABCD, die deur het 8 voorstel van desen doen sal 37 5/7, comt voor begheert clootvlack 452 4/7, waer af t'bewijs openbaer is deur het 30 voorstel des I boucx vande cloot en seul van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven clootvlack ghemeten na den eysch.


1 9   V O O R S T E L.

    Te meten het bultich vlack eens clootdeels, dat met een plat vanden heelen cloot ghesneen is.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot wesen, diens middelpunt E sy, en den as BD doet 12. Vanden selven cloot sy gesneen met een plat AC, rechthouckich op den as BD, het clootdeel ACD: En het asstick daer in bestaende als FD, sy lanck 3.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten het clootvlack des clootdeels ACD vinden.

bol met lijnen
T W E R C K.

    Ick treck of bedenck de lini AD, en die metende, bevindse neem ick van 6 voeten: Sie daer na hoe groot een rondt is diens halfmiddellijn 6 voeten, en wort bevonden deur het 12 voorstel van 112 1/7 [113 1/7]. En so groot is t'begheerde bultich vlack des clootdeels ACD.   T B E W Y S  daer af is ghedaen int 40 en 41 voorstel vant bouck des cloots en seuls van Archimedes.

I   V E R V O L G H.

    Tis deur t'voorgaende kennelick, dat soomen wilde hebben het clootvlack des grootsten deels ABC, datmen dan den heelen omtreck 37 5/7 soude moeten menichvuldighen deur het asdeel daer in bestaende als FB 9, want den uytbreng als 339 3/7 is t'begheerde.

2   V E R V O L G H.

    Soo den cloot doorsneen waer met twee evewijdeghe platten, het clootdeels clootvlack tusschen beyden is oock bekent. Laet by voorbeelt GH een plat sijn snyende des as BD deur t'middelpunt E, ende evewijdich mettet plat AC: Om nu te vinden het clootvlack GHCA, Men menichvuldicht den omtreck des grootsten rondts, deur het asdeel daer in bestaende, als deur EF 3, comt 113 1/7, sulcx dat de riem GHCA, ende het clootvlackdeel in dit voorbeelt ADC evegroot sijn.

3   V E R V O L G H.

    Maer soo de twee snyende platten onevewijdich waren, als IK onevewijdich met AC, men vindt eerst het clootvlack des grootsten deels IADCK na de ghemeene reghel: Daer af ghetrocken het clootvlack des cleensten deels ADC, de rest is t'begheerde.

[ 84 ]
4   V E R V O L G H.

    Men soude hier noch meughen voorstellen beschrijven, van t'meten der bultighe vlacken van seulen en keghels, maer anghesien t'bultichseulvlack ghemeten wort als een platte rechthouck, diens langde is des seuls hooghde, ende de breede des gronts omtreck, soo laten wy dat cortheyts halven daer by blijven. Derghelijcke is oock te verstaen vant bultich keghelvlack, t'welck ghemeten wort als een rondts halfmiddellijndeel, na de leering des 13 voorstels van desen, want een keghelvlack plat ontvouwen of uytghespreyt sijnde, wort van soodanighe form: Daerom ghemenichvuldicht den halven omtreck van des keghels gront, deur de lini van t'sop totten selven omtreck, den uytbreng is t'begheerde.
    Oft anders soomen int meten des bultich seulvlacks, en bultich keghelvlacks, wilde volghen de vondt van Archimedes int 32 voorstel des I boucx vande cloot en seul men sal aldus doen: Om te meten het bultich seul vlack, men sal vinden de middeleveredenighe lini tusschen des seuls hooghde en haer grondts middellijn, metende daer na hoe groot het rondt is beschreven met die middeleveredenighe als halfmiddellijn, wantmen daer me oock de grootheydt van des seuls bultich vlack heeft. Maer om des keghels bultich vlack te meten na Archimedes voorschreven vondt, men sal vinden de middeleveredenighe tusschen de keghels sijde en haer gronts middellijn, metende daer na hoe groot het rondt is beschreven met die middeleveredenighe als halfmiddellijn, wantmen daer me oock de grootheyt van des keghels bultich vlack heeft. Maer om des ghecorte keghels bultich vlack te meten na de vondt van Archimedes, men sal vinden de middeleveredenighe tusschen de ghecorte keghels sijde, en een lini even ande halfmiddellijn des gronts, met de halfmiddellijn des decksels, metende daer na hoe groot het rondt is beschreven met die middeleveredenighe als halfmiddellijn, wantmen daer me oock heeft de grootheyt des gecorte keghels bultich vlacx.


2 0   V O O R S T E L.

    Een stuck landts Lantmetersche vvijse te meten.

    Wy hebben tot hier toe beschreven het meten der vlacken, dienende int ghemeen tot vlacken van alle stoffen, maer want het meten des landts, een der voornamelicke metinghen is die de menschen inde daet {Praxi.} ontmoeten daer in sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  hem dadelick heeft willen oeffenen, soo sullen wy daer af noch wat int besonder segghen.
    T G H E G H E V E N.  Laet ABC drie punten of teycken opt landt sijn, tusschen welcke verdocht worden drie rechte linien van t'een tottet ander.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vinden de grootheyt des landts tusschen de voorschreven rechte linien begrepen.

T W E R C K.

    Men sal om te stellen de drie baken an A, B, C, voort om int meten recht te gaen, met ander omstandighen daer by noodich, oversien en volghen t'ghene gheseyt is int 3 voorbeelt des I voorstels vant I bouck: En doen de meting van een der drie sijden, ick neem BC, na de wijse vant 2 voorbeelt des I voorstels vant 2 bouck,

[ 85 ]
en dien volgende, soo wort BC bevonden, neem ick, van 1267 (I): Voort om te vinden t'punt D, van t'welck de verdochte lini tot A, rechthouckich valt op BC, men sal oversien t'ghene van dies gheseyt is int 4 voorbeelt des 2 voorstels vant I bouck, en die metende alsvooren, wort bevonden, neem ick, van 536 (I); deur den helft der selve dats 268 (I), ghemenichvuldicht de boveschreven 1267 (I),
punten
comt 3395 roen 5 (I) 6 (2): Nu gherekent na de hollantsche wijse 600 roen op de morghen, soo is dien driehouck groot 5 morgen 395 roen. 5 (I) 6 (2). Maer soomen de 5 (I) 6 (2) deur voeten en duymen wilde uytspreken na landts ghebruyck, men siet op de roe wat daer me overcomt, en moet sijn 6 voet 8 16/25 duym. En sghelijcx sal den voortganck sijn van alle driehoucken daer de rechtlinighe platten in ghedeelt worden.
    Doch staet hier te mercken dat de boveschreven 6 voeten 8 16/25 duym, niet en sijn 6 viercante voeten, en 8 viercante duymen, maer tis een rijem landts lanck een roe, breet 6 voet 8 16/25 duym, want nadien de heele viercante roe lanck sijnde 12 voet, doet 144 viercante voeten, soo moet sulcken halve roe van 6 voeten, doen 72 viercante voeten: En hierom ist dat de Lantmeters onderscheyt maken tusschen rijem voeten en viercante voeten.


Ander voorbeelt van sticken landts in ongheschickte cromme
linien omvanghen.

willekeurige vorm     Om landen te meten begrepen in ongheschickte cromme linien, ghelijck inde lantmeting dickwils te vooren commen, men stelt soo veel baecken inden omtreck, tot dat de cromte tusschen twee baecken begrepen, gheen hinderlick verschil by en brengt, daer na meetmen die form als een rechtlinich plat met soo veel houcken alsser baecken staen: Als by voorbeelt inde form ABCDEF te sien is: Soo de saeck nauwer rekening vereyschte, men mochter meer baecken stellen, vereyschtse soo nauwe niet, men macher minder steken:
kromme benaderd met rechte Want hier staet te bedencken, dat ettelicke dingen van cleen belanck inde lantmeting by der gisse moghen toegaen. Om t'welck by voorbeelt noch wat breeder te verclaren, te meten sijnde een vierhouck ABCD, waer af een sijde CEFD niet recht en is, maer ghetrocken of bedocht sijnde een rechte lini CD, soo heeft die cromme lini een bocht an E binnewaert streckende, en wederom een bocht an F buytewaert streckende,

[ 86 ]
doch soo dattet landt tusschen E G seer cleen sijnde, en deur gissing by t'oogh, soo groot als t'landt tusschen F H, inder voughen dat soo veelmen op d'een sijde verliest, soo veel wort op d'ander gewonnen: In sulcken ghevalle wort de rechte lini CD als voor derde sijde ghenomen des driehoucx ACD, en den selven driehouck ACD daer op ghemeten; want anders heel volcommelick te willen doen, t'soude dickwils meerder moeyte behouven, dant oirboir waer daer an te besteden. Doch soo t'landt tusschen de voorschreven E G, F H begrepen te groot waer, en meerder sekerheyt vereyschte dan om uytet oogh alsoo gedaen te worden, men stelt verscheyden baecken inde cromme lini alsvooren, soo veel noodich is.


3  Voorbeelt vant meten der berghachtighe Landen.
raster in vorm

    Laet ABCD beteyckenen den omtreck des voets of gronts van een berch: Nu want het verheven bultich vlack des selven berchs op dien grondt staende, een ander en grooter is dan t'plat begrepen in een omtreck als ABCD, soo moet hier een ander meting toe gebruyckt worden, t'welck geschien mach met op den berch te steken verscheyden baken, welcke hier beteyckent worden mette tippelinghen daer in vervanghen, diemen soo na of verre van malcander stelt als de saeck vereyscht, te weten soo na tot dat elck bultich vlack tusschen vier palen begrepen, geen hinderlick verschil en heeft van een plat, Want alsdan elck dier vierhoucken en ander ghedeelten ghemeten ghelijck platten, en die t'samen vergaert, men heeft t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een stuck landts landtmetersche wijse ghemeten, na den eysch.

M E R C K T   T E N   I.

    Wanttet lichtelick ghebeuren can, datmen int meten met groote moeyte seer nau gaslaet, dinghen die soo grooten sekerheyt niet en behouven: En weerom verkeert, datmen ettelicke dinghen niet seer nau en meet, die nochtans nauwer maet vereysschen, soo sullen wy daer af wat verclaring doen als volght.
    Al en valt int metens eens driehoucx opt landt, de hanghende, als neem ick de verdochte AD, int eerste voorbeelt deses voorstels, niet heel rechthouckich op de gront BC, t'is cleen verlanck, midts datse inde lini BC eyndt. Laet by voorbeelt AD de ware hanghende sijn, en AE een weynich daer buyten, doch inde lini BC: Men siet dat de langde AE vande langde AD gheen verschil van belanck en heeft, En om daer af by voorbeelt te spreken, soomen AD neemt op 100 roen, al waer DE dan van een heele roe (ick laet een voet of twee varen) soo en sal AE gheen duym langher sijn als AD, want deur des driehoucx ADE twee rechthoucksijden AD, DE, ghesocht de schoensche AE, wort bevonden seer na van 100 roen 20716/28801 duym daerom datmen dit opt lant tottet alder uyterste heel nauwe en moeylick passen wil, ten is niet noodich: Maer het metercruys, ofte het punt als E niet even inde lini BC sijnde, ghelijck dan de ghedwaelde hanghende totte ware hanghende, alsoo t'ghedwaelde vlack tottet ware, deur het I voorstel des 6 boucx van Euclides: Daerom moetmen toesien t'metercruys wel puntelick inde voorschreven grontlini BC te passen, t'welck met groote sekerheyt licht om doen is, deur t'behulp eens baecx als F, ghestelt inde lini BC, also van dergelijcke breeder geseyt is int 3 voorbeelt des 3 voorstels vant I bouc.

[ 87 ]
    Ten anderen soo ist int meten van seer langhe smalle landen, betamelick int meten der cortste sijde, scherper toe te sien dan int meten der langste sijde, want een voet daer ghefeylt, grooter missing int plat veroirsaeckt, dan een voet op de langhe sijde ghefeylt. Om t'welck by voorbeelt te verclaren, laet een rechtlinich stuck lants sijn lanck 800 voeten, en breet alleenelick 10 voeten, het plat sal sijn van 8000 viercante voeten: Ghenomen nu datter op de langste sijde, die eyghentlick van 800 voeten is, int meten een voet ghemist wierde, en gheseyt te wesen van 799 voeten, die ghemenichvuldicht deur de breede 10 voet, comt het plat 7690 [7990] voet, t'welck eyghentlick moetende sijn 8000, soo isser alleenelick 10 voeten feyls. Maer sooder op de cortste sijde die eyghentlick van 10 voeten is, int meten een voet ghemist wierde, en gheseyt te wesen van 9 voeten, die ghemenichvuldicht deur de langde 800 voet, comt plat 7200 voeten, t'welck eyghentlick moetende sijn 8000 voet, soo isser 800 voet feyls: Een voet dan op de langste sijde, veroirsaeckt missing int plat alleenelick van 10 voeten, maer een voet op de cortste sijde ghemist, veroirsaeckt missing int plat van 800 voeten. En daerom ist betamelick ghelijck wy gheseyt hebben, int meten der cortste sijde van seer langhe smalle landen, scherpst toe te sien. Deur dit voorbeelt van een vierhouckighe rechthouck, is te verstaen datmen int meten des driehoucx, scherpst toe moet sien int meten der cortste lini van tween, te weten de hanghende en de grondt, want deur haer menichvulding het plat des driehoucx oock ghevonden wort.

M E R C K T   T E N   2.

    Men mach t'begrijp des landts noch vinden sonder landt te meten, of immer deur t'meten van alleenelick een lini, treckende de form des landts tusschen seker palen begrepen op papier, na de manier des 4 voorbeelts vant 16 voorstel des I boucx.
Die afteyckening daer na op de cleene maet ghemeten sijnde, men seght ten laetsten deur ghemeene reghel daer toe by sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  verdocht: T'viercant van een sijde, gheeft dat ghevonden plat op papier, wat t'viercant vant haer lijckstandighe sijde opt landt ghemeten, en t'gene daer uyt comt is t'begheerde.
    Om dit by voorbeelt wat opentlicker te verclaren. Laet ABCDEF een stuck lants sijn datmen meten moet: Hier af sy int cleen op papier gheteyckent het plat GHIKLM, ghelijc met ABCDEF, en dat deur de manier vant 16 voorstel des I boucx,

grote en kleine zeshoek

[ 88 ]

    Dese form op papier GHIKLM ghemeten sijnde na de manier des 11 voorstels van desen, wort bevonden neem ick van 423567 (2).
    Dit soo sijnde ick verkies eenighe sijde als neem ick GH, en bevinde die van, neem ick, 546 (I), diens viercante 298116 (2).
    Ick meet daer na opt landt de lijckstandighe sijde met GH, dats AB, die bevindende, neem ick, van 142 roen 7 (I) 5 (2), diens viercant 2037756 (2).
    Segh daer na, t'viercant van GH 298116 (2) tweede in d'oirden, gheeft t'viercant van AB 2037756 derde in d'oirden, wat 423567 (2) eerste in d'oirden ? comt voor t'begheert plat van ABCDEF 2895270 (2).
    dats 28952 roen 7 (I), dats 48 morghen 152 roen 8 2/3 riemvoeten.

T B E W Y S.

    Ghelijcke platten sijn in ghedobbelde reden van haer lijckstandighe sijden {Homologorum.} deur het 20 voorstel des 6 boucx van Euclides. Maer de twee viercanten der twee sijden AB, GH ghelijck wesende, sijn in ghedobbelde reden der selve sijden: En ghelijck tot malcander die twee viercanten, alsoo deur t'werck de twee platten, waer deur die twee platten hebben ghedobbelde reden haerder lijckstandighe sijden. En daerom t'plat GHIKLM wel ghemeten wesende, soo moetet plat ABCDEF oock wel ghemeten sijn.
    Tis wel waer dat sulcke wercking meerder sekerheyt heeft uyt het groot int cleen, dan uyt het cleen int groot, als hier, doch de form opt papier ten grootsten ghenomen datse bequamelick vallen mach, en int werck met goe reetschap wel nauwe toeghesien, men souder hem somwijlen me connen behelpen.



D E R D E   D E E L   D E S

T W E E D E N   B O V C X   V A N T

M E T E N   D E R   L I C H A M E N.


    Ons voorghenomen meting der lichamen sal sijn van pylaren, naelden, plattighe lichamen int ghemeen, ende vande clootsche.


2 1   V O O R S T E L.

    Een ghegheven pylaer te meten.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDEFGH een viercante pylaer sijn, diens gront ABCD doe 9, ende hooghde BF 8.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten sijn inhoudt vinden.
recht blok, scheef blok

T W E R C K.

Ick menichvuldighe den gront ABCD 9, deur de hooghde BF 8, comt voor t'begheerde inhoudt des pylaers 72.

M E R C K T.

    T'ghene hier gheseyt is vanden pylaer diens gront een viercant is, salmen oock alsoo verstaen van allen: Want den gront een driehouck, veelhouck, rondt, gheschickte, of ongheschickte form wesende

[ 89 ]
(diens platten deur het 2 deel van desen 2 bouck bekent worden) men menichvuldichtse altijt deur de hooghde. Een dijck of wal wiens meting inde bedijckte landen en sterckten genouch te vooren comt, wort int meten aengesien voor een liggende pylaer, diens gront een bijl is, waer deur haer meting de gemeene reghel volght. Laet by voorbeelt ABCDE een dijck sijn, welcke anghesien voor een ligghende pylaer, soo sal de bijl ABCD, des pylaers gront beteeckenen, ende FB rechthouckich op DC, sy de hooghde des dijcx, BE de langde: Nu ghenomen dat DC 36 voeten doet, AB 12, ende FB 15, BE 100, soo sal de bijl groot sijn 360 voeten deur het 2 voorbeelt des 11 voorstels van desen, de selve ghemenichvuldicht mette langde BE 100, comt voor t'begheerde 36000 teerlincksche voeten, waer af t'bewijs openbaer is.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven pylaer ghemeten na den eysch.
liggend blok

2 2   V O O R S T E L.

    Een ghegheven naelde te meten.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDE een naelde sijn, diens gront BCDE een viercant is, doende 9, ende de hooghde FA 8.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer inhoudt vinden.
2 piramides

T W E R C K.

Ick menichvuldige de gront BCDE 9, deur de hoochde FA 8, comt 72, diens derdendeel 24 is voor t'begheerde inhoudt der naelde.

M E R C K T.

    T'ghene hier gheseyt is van een naelde diens gront een viercant, sal hem oock alsoo verstaen van allen anderen, want den gront een driehouck, veelhouck, rondt, gheschickte, of ongheschickte form wesende (diens begrijp deur het 2 deel deses 2 boucx bekent wort) men menichvuldichtse altijt deur de hooghde, of hangende, nemende vanden uytbreng het derdendeel, waer af t'bewijs openbaer is deur t'vervolgh van het 7 voorstel des 12 boucx van Euclides.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven naelde ghemeten na den eysch.

V E R V O L G H.

    Tis kennelick dat ghemenichvuldicht de gront eens keghels deur de hooghde, en vande uytbreng het derdendeel genomen, datmen sal hebben den inhout des keghels ghelijck vande naelde.

[ 90 ]

2 3   V O O R S T E L.

    Een ghegheven plattich lichaem van form soot valt te meten.

I  Voorbeelt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ten eersten AB een teerlinck wesen diens ses viercanten sijn ACDE, DBFE, FBGH, GHAC, CGBD, AHFE, waer af elcke sijde doet 3.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten het inhoudt des teerlincx vinden, na de ghemeene reghel der meting van alle plattighe lichamen.

T W E R C K.

    Het is te weten dat ghelijck een veelhouckich rechtlinich plat, ghedeelt wort deur linien uyt een houck tot d'ander houcken commende, in so veel driehoucken alsser sijden sijn, min soo veel sijden als daer dien eenen houck af gemaeckt is: Alsoo wort een plattich lichaem ghedeelt deur linien uyt een lichamelicken houck tot al d'ander lichamelicke houcken commende, in soo veel naelden alsser platten sijn, min de platten daer dien eenen houck af ghemaeckt is.
kubus Laet ons by voorbeelt inden teerlinck den lichamelicken houck C, nemen voor ghemeen sop der naelden, ende noch vier linien trecken of bedencken, als CE, CH, CB, CF mette selve is den teerlinck ghedeelt in drie naelden, als CEDBF, CAEFH, CHFBG diens ghemeen sop C: Daerom ghelijck wy boven gheseyt hebben, dit plattich lichaem is hier mede in soo veel naelden gedeelt alsser platten sijn, min soo veel platten als daer dien lichamelicken houck C af ghemaeckt is, te weten drie, namelick CAHG, CGBD, CDEA, welcke getrocken vande ses platten, blijven noch drie platten voor gronden der drie naelden, als EDBF, AEFH, HFBG. Nu dan dit lichaem aldus ghedeelt wesende in sijn drie naelden, men sal elcke meten na de leering des 22 voorstels in deser voughen: Eerst om te meten de naelde CEDBF, ick menichvuldighe ED 3 in sich, comt voor den gront EDBF 9, die ghemenichvuldicht met haer hooghde DC 3, comt 27, diens derdendeel voor de naelde CEDBF 9. S'ghelijcx doende mette naelde CAEFH, menichvuldighende den gront AEFH, deur haer hooghde CA, ende den gront HFBG, der naelde CHBG, oock deur haer hooghde CG, men sal elcke naelde als d'ander van 9 bevinden, welcke drie naelden maken t'samen 27 voor t'begheerde.
    T B E W Y S  daer af is dat al de deelen even moeten sijn an haer gheheel: Ende de proef dat den ghegheven teerlinck ghemeten als pylaer (gelijckt oock een afcomst {Species.} des selfden is) na de leering des 21 voorstels men bevintse oock van 27.
    Nu t'voorbeelt dat wy hier claerheytshalven ghestelt hebben van een gheschickt lichaem, verstaet hem alsoo op alle plattighe lichamen hoe sy sijn, wantse ghelijck vooren gheseyt is, connen ghedeelt worden in soo veel naelden alsser platten sijn, min soo veel platten als daer dien eenen houck af ghemaeckt is,

[ 91 ]
welcke naelden al t'samen een ghemeen sop hebben, uytghenomen eenighe form daer afwy int eynde van dit voorstel segghen sullen.


2  Voorbeelt.

    Int I voorbeelt was de hangende oft hooghde der naelden licht om vinden, ja deur t'ghegheven bekent: Maer wantse in ongheschickte lichamen soo wel buyten als binnen t'lichaem vallen, soo sullen wy van t'vinden der selve wat verclaring doen.
kruis met staaf erop     Men sal hebben van stof daer toe bequaem, een cruys als ABCD ende een rije EF rechthouckich opt selve cruys, sulcx dattet op een platte vloer gheleyt wesende, soo staet die rije EF opt selve plat rechthouckich. Om nu hier mede alsulcke hanghende of hooghden der naelden te vinden, soo is voor al te weten dattet meetbaer lichaem, of beweeghlick is, te weten datment keeren en wenden mach, enden sulcken gront onder brengen alsmen wil: Oft onbeweeghlick, moetende op den gront blijven daert op rust. Soot beweeghlick is, men salt op een effen tafel of platte vloer legghen, metten gront neerwaert, diens naelde men begeert te meten:
lichaam met rechte vlakken Soo dan de hanghende buyten t'lichaem valt, men sal den voorschreven tuych op de selve tafel stellen daert lichaem op rust, ende ant ghemeen sop vervoughen, als in dese form te sien is, daer na de langde als GH ghemeten sijnde, men heeft die naeldens ghesochte hooghde welcke alsoo ghevonden wesende, men sal t'lichaem op een ander naeldensgront keeren, ende meten alsdan haer hanghende alsvooren.
    Maer soo de ghesochte hanghende int lichaem viel, als hier onder IK, hangende des lichaems LMKNO, mettet plat LO op de platte tafel of vloer PQ, men sal nemen een rechte platte rije RS, die legghende opt punt K alsoo dat de linien TP, ende VX (die verstaen worden beyde rechthouckich op de platten te wesen) even lanck sijn, want de langde der selve is oock de langde der ghesochte IK.
lijnen Sulcx dan soo dickwils doende als t'lichaem meetbaer naeldensgronden heeft (dat sijn als boven gheseyt is, al de uytwendighe platten, uytghenomen die den houck des ghemeenen soppunts helpen maken, want daer op gheen naelden vallen en connen) men vindt al de begheerde hanghende.
    Maer soo t'lichaem onbeweeghlick waer, ende op sijn gront moest blijven ligghen, men sal teghen d'ander naeldensgronden een plat bart legghen, die gebruyckende als voor de boveschreven tafel of vloer daer t'lichaem op light, vindende daer op de naeldens hanghende ofte hooghde als boven.

[ 92 ]
    Wijder valter noch dit te bedencken, soomen de naeldensgront moest meten daer een onbeweeghlick lichaem op rust, alwaermen niet sien en can de linien die t'plat om ghemeten te worden in sijn driehoucken deelt: De manier om tot kennis der selve te commen mach onder anderen dusdanich wesen.
Laet ABCD een sulcken onsienlicken gront sijn, daer een lichaem op rust, alwaermen de langde der lini AC begheert:
lijnen Om hier toe te commen, ick treck op de tafel van t'punt A af de lini AE, ende CF, daer mede evewijdich: Neem daer na metten passer eenighe langde inde lini AE, als AG, stellende alsulcke langde oock inde lini CF, die valt, neem ick, van C tot H, ende trecke GH, welcke even moet sijn met AC, om datse mette selve AC evewijdeghe is tusschen twee evewijdeghe: Daerom GH ghemeten sijnde, men heeft oock de begheerde langde AC.
    Maer om int meten niet te dolen, te weten datmen t'ghemeen soppunt altijt kenne, ende t'een voor t'ander niet en neem, oock datmen de meetbaer ende onmeetbaer platten wel onderscheyde, soo salmen ten eersten t'ghemeene soppunt een teycken gheven, met crijt of inckt, na gheleghentheyt: Sien daer na wat vlacken, ende hoe veel vlacken den lichamelicken houck des ghemeenen soppunts maken, ende gheven de selve oock een teycken, als een cruysken of dierghelijcke: T'welck soo sijnde, al de platten die gheen teycken en hebben verstrecken voor meetbaer naeldensgronden: Daerom een dier platten ghemeten sijnde, men sal haer inhoudt daer op teyckenen, ende voort haer naelde meten, want daer by salmen altijt mercken welcke platten datter ghedaen of noch te doen sijn.
    In dese manier der meting van ongheschickte plattighe lichamen, die ick meen nieu te wesen, heeft sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  metter daet heur gheoeffent, ende bequaem bevonden. D'oirsaeck heur daer toe bewegende was datse siende datter een ghemeene reghel vande meting der rechtlinighe platten is, achte daer uyt datter oock een der plattighe lichamen moest sijn: Om van welcke nateurlicke voortganck den wech te openen, soo hebben wy daer af dit boveschreven voorstel ghemaeckt.
lijnen     Hier vooren is gheseyt dattet plattich lichaem ghedeelt wort in naelden, die al t'samen een ghemeen sop hebben, doch datter eenighe formen connen vallen daer in de reghel uytneming lijdt: Om t'welck eerst by gelijcknis deur een rechtlinich plat te verclaren, soo laet ABCDEFGH een achtsijdich plat sijn, waer in men siet dat vant punt A, totte drie houcken C, D, E, linien connen ghetrocken worden, die in t'ghegeven plat ettelicke driehoucken afteyckenen, maer van A totte twee houcken F, G, en canmen sulcke linien niet trecken, deur diense buyten de gegheven form souden loopen, ende driehoucken veroirsaken die gheen deel des ghegeven plats en souden wesen. T'ghene wy hier gheseyt hebben vanden houck A, derghelijcke sietmen an al d'ander ghebeuren te weten onmeughelick te sijn datmen van een houck tot al d'ander houcken, linien soude trecken sonder buyten de ghegheven form te loopen:
[ 93 ]
Daerom die sulcken plat in sijn driehoucken wilde deelen, soude ten minsten moeten twee ghemeene houcken stellen. Hier mede willen wy verclaren dat derghelijcke inde plattighe lichamen ghebeurende, soo salmen meer als een ghemeen soppunt der naelden moeten nemen.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven plattich lichaem van form soot valt ghemeten, na den eysch.


2 4   V O O R S T E L.

    Een ghegheven cloot te meten.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn, diens as AC doet 12.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten sijn grootheyt vinden.

T W E R C K.

bol     Ick vinde het clootvlack deur het 18 voorstel deses 2 boucx van 452 4/7, t'selve ghemenichvuldicht metten halven as 6, comt 2715 3/7 diens derdendeel by ghemeene reghel 905 1/7 voor t'begheerde: Waer af t'bewijs openbaer is deur het 32 voorstel des I boucx vande cloot en seul van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven cloot ghemeten na den eysch.


2 5   V O O R S T E L.

    Een ghegheven halfmiddellijnsne des cloots te meten.

    Halfmiddellijnsne des cloots noemen wy datter begrenst is metten omganck des halven as vast int middelpunt, ende int clootvlack een rondt beschrijvende.
    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn, diens middelpunt E, ende as AC ende EDCB sy de halfmiddellijnsne sulcx dat den booch DCB doet 120 tr. ofte 1/3 des grootsten rondts.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten des halfmiddellijndeels EDCB grootheyt vinden.

T W E R C K.

bolsector     Is int deel ghelijck int heel aldus: Ick vinde het clootvlack DCB na de leering des 18 voorstels deses 2 boucx van 113 1/7, t'selve ghemenichvuldicht met 6 der halfmiddellijn comt 678 6/7, diens derdendeel voor t'begheerde 226 2/7. Waer af t'bewijs openbaer is deur het 42 voorstel van het I bouck des cloots en seuls van Archimedes.


2 6   V O O R S T E L.

    Te meten een clootdeel dat met een plat vanden heelen cloot ghesneen is.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn, wiens middelpunt E, en as AC doende 12, vande selve cloot sy ghesneen met een plat rechthouckich op den as AC, het deel BCD, snyende den as AC in F, soo dat FC doet 3.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten de grootheyt des deels BCD vinden.

[ 94 ]
T W E R C K.

bolsegment     Anghesien AC doet I2, en FC 3, soo doet EA 6, en FA 9, daerom segghende AF 9, gheeft FA met AE t'samen 15, wat de keghel DCB 594/7 ? (de rekening van die keghel sullen wy hier onder int corte verhalen) comt voor begheert clootdeel 141 3/7, waer af t'bewijs gedaen is int 2 voorstel des 2 boucx vande cloot en seul van Archimedes.
    De rekening des boveschreven keghels is aldus: Ghemerckt des rechthouckigen driehoucx EFD twee sijden DE 6, EF 3 bekent sijn, soo wort daer deur de derde DF bekent, en bevonden van wrtl27: Maer DF so veel doende als halfmiddellijn vanden gront des keghels CDB, diens hooghde CF 3, soo doet de selve keghel deur het vervolgh des 22 voorstels van desen 594/7 alsvooren.
    Maer om beneven t'boveschreven bewijs van Archimedes, noch proef te doen deur ander ghemeene manier van wercking, doch wat langher dan de voorgaende, men doet als volght. Ick vinde de grootheyt van des cloots halfmiddellijnsne EDCB deur het 25 voorstel van 226 2/7. Daer af ghetrocken de keghel EDB, doende alsvooren 594/7, blijft voort begheert clootdeel als in d'eerste wercking 141 3/7.

V E R V O L G H.

boldeel tussen 2 vlakken     Sooder te meten waer een clootdeel tusschen twee platten als tusschen de platten GH, IK, men vindt eerst de grootheyt des meesten peezdeels GILKH, daer af ghetrocken de grootheyt des minsten peezdeels ILK, de rest is t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven peezdeel des cloots ghemeten, na den eysch.


2 7   V O O R S T E L.

    Een ghegheven * clootsche te meten.     {Sphæroides.}

ellipsoide     T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een clootsche sijn diens grootste middellijn AC doet 12, ende DB 6.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten sijn grootheyt vinden.

T W E R C K.

    Ick treck de rechte linien AD, AB, ende vinde de grootheyt des keghels ADB deur het vervolgh des 22 voorstels deses 2 boucx van 56 4/7, diens dobbel 113 1/7 is voor den helft des clootschen ADB, daerom t'gheheel begheerde clootich lichaem doet 226 2/7. T'bewijs daer af is ghedaen int 24 voorstel der keghelsne en clootsche {De conoidibus & sphæroidibus.} van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven clootsche ghemeten na den eysch.

[ 95 ]

2 8   V O O R S T E L.

    Te meten een langclootdeel dat met een plat vanden heelen cloot ghesneen is.

ellipsoide     T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een langcloot sijn diens middelpunt E, waer af gesneen is met een plat het deel DCB, diens as CF doet 3, welcken as totten eynde toe voortghetrocken sy CA doende 12: Ende DB middellijn vanden gront des langclootdeels doet 5.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten de grootheyt des langclootdeels DCB vinden.

T W E R C K.

    Anghesien AC doet 12, ende FC 3, soo doet EA 6 ende FA 9, daerom segh ick: AF 9, gheeft FA met AE t'samen 15, wat de keghel DCB 19 9/14 ? (soo veel doetse deur het vervolgh des 22 voorstel van desen) comt voor t'begheerde langclootdeel DCB 32 31/42: Waer af t'bewijs openbaer is deur het 31 voorstel der keghelsche en clootsche van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan ghemeten een langclootdeel dat met een plat vanden heelen langcloot ghesneen is, na den eysch.

V E R V O L G H.

    Soo de sne DB niet en waer rechthouckich op den grootsten as als hier boven, maer dat den cleender as deur haer middelpunt streckte, tis kennelick dat de voorschreven reghel daer oock in plaets houdt.


2 9   V O O R S T E L.

    Te meten een ghegheven keghelsche eens rechthouckighe keghels.

conoide     T G H E G H E V E N.  Laet ABC de keghelsche [<] eens rechthouckighen kegels sijn, diens gronts middellijn BC doet 10, ende de hooghde AD 6.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer grootheyt vinden.

T W E R C K.

    Ick trec AB, AC, ende meet den kegel ABC deur het vervolgh des 22 voorstels deses 2 boucx die bevindende van 157 1/7, daer toe altijt den helft van dien als 78 4/7, comt voor begheerde grootheyt der keghelsche ABC 235 5/7. Waer af t'bewijs openbaer is deur het 23 voorstel des boucx der kegelsche ende clootsche van Archimedes.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan ghemeten een ghegheven keghelsche eens rechthouckighen keghels na den eysch.


D E S   T W E E D E N   B O V C X

E Y N D E.



Simon Stevin | Meetdaet | Meten - b (top) | Vervolg