Stevin | Meetdaet | < Vier afcomsten >

Gelijkvormig , Lijnen , kromme , Vlakken , vorstelijke vondst , Lichamen


[ Afb. ]

D   E   R   D   E

B O V C K   D E R

M E E T D A E T,


V A N D E

V I E R   A F C O M S T E N

Als Vergaring, Aftrecking,

Menichvulding, en deeling

der grootheden.



[ 98 ]
O N S  voorghenomen vier afcomsten in dit 3 bouck, en verstaen sich niet dan op ghegheven ghelijcke grootheden, waer af de begheerde mette ghegheven oock ghelijcke sijn: Belanghende de onghelijcke, die ons metter daet oock veel ontmoeten, haer verkeering tot ghelijcke sal gheleert worden int 6 bouck, waer deur de reghel ghemeen sal sijn over allen: Ghelijck oock inde Telconst met ghetalen, alwaer de ghebrokens deur verkeering tot een ghemeene noemer gebrocht worden, om daer mede te wercken als mette heele.
    Maer eer wy de sake beginnen, sullen wat waerschouwing doen van eenich twijfel datmen mocht voorwenden: Te weten datmen verscheyden grootheden die hier op papier sullen ghegeven worden, niet eyghentlick soo en vergaert dat de somme bestae uyt de selve gegeven grootheden, gelijck nochtans de voorstellen schijnen te vereysschen: Daer by noch vougende dat
Euclides met ander vermaerde VVisconstenaers sulcke wijse van spreken niet ghebruyct en hebben: Hier op wort geantwoort dat der ghelijcke inde Telconst diens oirden wy volghen ghemeen is: Als by voorbeelt, ymant sich voorstellende te willen vergaren 4 en 3, seght datse t'samen 7 maken, welcke 7 nochtans niet en bestaet uyt de wesentlicke ghegheven 4 en 3, angesien de selve 4 en 3 t'haerder plaets bleven sijn: Daerom wanneermen hier t'eenemael eyghentlick spreken wilde, men soude niet moeten seggen vande vergaring der ghegeven getalen, maer na Euclides manier, vande vinding eens getals even ande gegheven ghetalen. Doch want sulcke al te groote eyghenheyt inde Telconst seer moeylick soude vallen, so wel in d'ander drie restende afcomsten als inde vergaring, soo wort die manier hoewelse wat oneyghentlicker is, met goede reden toeghelaten inde voorschreven Telconst, om de lichticheyt daer uyt volgende: Ende sghelijcx is hier te verstaen inde meetconst, te meer dat ettelicke VVisconstnaers sulcke manier van spreken gebruycken, self inde grootheden, als segghende (int out verschil) vande * dobbeling des teerlincx, t'welck niet anders en is dan een teerlinck te vinden dobbel an een ghegheven teerlinck. VVelcke waerschouwing wy voorghenomen hadden te verclaren.

  *  {De duplicatione cubi.}

[ 99 ]

E E R S T E   D E E L   D E S

D E R D E N   B O V C X   V A N D E

vier afcomsten als vergaring, aftrecking,

menichvulding, en deeling der linien.



I   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven vergaerlicke ghelijcke linien haer somme te vinden in een haers ghelijcke lini.

M E R C K T.

W A N T  ons inde Telconst de vier afcomsten int heel ende ghebroken ontmoeten, soo sullen wy der ghelijcke met grootheden navolghen, stellende daer af in yder voorstel verscheyden voorbeelden.


I  Voorbeelt van rechte linien int gheheel.

lijnstukjes     T G H E G H E V E N.  Laet A, B, C, drie vergaerlicke rechte linien sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer somme in een rechte lini vinden.

T W E R C K.

    Ick trecke de oneyndelicke DE, ende neem op den passer de langde der lini A, die vervoughende inde lini DE, van D tot F: daer na de langde B van F tot G, ende de langde C van G tot H, t'welck soo sijnde, de lini DH is de begheerde somme, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet A, bevinde die neem ick van 11 voeten, B van 7, C van 9; De selve vergaert maken 27: Daerom ghetrocken een lini als DH lanck 27 voeten, men heeft t'begheerde.


2  Voorbeelt van rechte linien int ghebroken.
lijnstukjes

    Laet begheert worden de somme vanden 2/3 der lini A, mette 3/4 der lini B.

T W E R C K.

Ick meet A, bevinde die neem ick van 11 voeten, diens 2/3 doen733 (2).
Ende B van 7 voeten, diens 3/4 doen520 (2).
Somme1253 (2).
[ 100 ]
    Daerom een lini soo lanck ghetrocken, die ick neem I te wesen, men heeft t'begheerde, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

M E R C K T.

    De vraghe mocht wesen of alle rechte linien ghelijcke mueghen geseyt worden soose hier boven ghenoemt sijn? Mijn reden sulcx toestaende is dusdanich: Boghen even houcken begrijpende, worden ghelijcke linien gheseyt, maer ghelijcke boghen connen uytghereckt worden oncrommer ende oncrommer, soo dat haer verschil van rechte linien, cleender sy dan eenighe ghestelde lini, nochtans boghen ende ghelijcke linien blijvende: T'welck soo sijnde waerom soude d'alder laetste uytrecking in een rechte lini de naem van ghelijckheyt doen verliesen? De reden en schijnet niet te willen.


3  Voorbeelt van cromme linien.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB, CD, twee rondens omtrecken sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer somme in een rondts omtreck vinden.
3 cirkels

T W E R C K.

    Ick teycken inde ghegeven omtrecken twee lijckstandige rechte linien, als haer middellijnen: Die van AB sy EF, ende van CD sy GH: Treck daer na IK even an EF met GH, beschrijf op de selve als middellijn den omtreck ILKM, die ick segh de begheerde somme te sijn.

T B E W Y S.

    Ghelijck de middellijn EF, totten omtreck EAFB, alsoo GH, tot GCHD, alsoo oock IK, tot ILKM: Ende deur versaemde reden, ghelijck EF met GH, tot EAFB met GCHD, alsoo IK, tot ILKM: Maer EF met GH, sijn t'samen even an IK deur t'werck, daerom EAFB, ende GCHD, sijn t'samen even an ILKM, ende vervolghens soo is den omtreck ILKM de begheerde somme van d'ander twee.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet EF, die bevindende, neem ick, van II voeten, ende GH van 7, maken t'samen I8, daerom ghetrocken een lini lanck I8 voeten als IK, ende daer op als middellijn een omtreck ILKM beschreven, sy is de begheerde somme, waer af t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is.

V E R V O L G H.

    De formen des voorstels sijn hier gestelt als linien in een plat, doch ist openbaer de reghel ghemeen te wesen op alle ghelijcke linien hoedanich die sijn, soo wel in cromme vlacken als in platten beschreven: T'welck hem oock alsoo verstaet inde drie eerstvolghende voorstellen.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven vergaerlicke ghelijcke linien, wy hebben haer somme gevonden in een haers ghelijcke lini, na den eysch.

[ 101 ]

2   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een lini met haers ghelijcke aftreckelicke: De rest te vinden in een derghelijcke lini.

I  Voorbeelt van rechte linien int gheheel.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechte lini wesen, ende C de aftreckelicke.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer rest in een rechte lini vinden.

linstukjes

T W E R C K.

    Ick neem op den passer de langde van C, vervough die inde lini AB van A tot D: T'welck soo sijnde DB is de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet AB, bevinde die, neem ick, van 11 voeten, en C van 7 voeten, die ghetrocken van 11, rest 4, daerom ghetrocken een lini lanck 4 voeten als DB, men heeft t'begheerde.


2  Voorbeelt van rechte linien int ghebroken.

    Laet te trecken sijn de 2/5 der lini C, vande 3/4 der lini AB.

T W E R C K.

Ick meet AB, bevinde die neem ick van 11 voeten, diens 3/4 doen825 (2).
Daer na C van 7 voeten, diens 2/5 doen 280 (2).
Welcke ghetrocken van t'eerste in d'oirden blijft545 (2).
    Daerom een lini soo lanck gheteyckent men heeft de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.


3  Voorbeelt van cromme linien.

    T G H E G H E V E N.  Laet den omtreck des ronts AB een cromme lini sijn, ende den omtreck CD de aftreckelicke.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer rest in eens rondts omtreck vinden.

T W E R C K.
cirkels

    Ick teycken inde ghegheven omtrecken twee lijckstandighe rechte linien, als neem ick haer middellijnen: Die van AB sy EF, ende van CD sy GH: Treck daer na IK even ant overschot van EF boven GH, beschrijf op de selve als middellijn den omtrec ILKM, die ick segh de begheerde rest te sijn.

T B E W Y S.

    Ghelijck de middellijn EF, totten omtreck EAFB, alsoo GH tot GCHD, alsoo oock IK tot ILKM: ende deur ghescheyden reden, ghelijck EF min GH,

[ 102 ]
tot EAFB min GCHD, alsoo IK tot ILKM: Maer EF min GH is even an IK deur t'werck, daerom EAFB min GCHD is even an ILKM, ende vervolghens ILKM is de begheerde rest.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet EF die bevindende neem ick van 11 voeten, ende GH van 7, die ghetrocken vande 11 rest 4, daerom ghetrocken een lini lanck 4 voeten als IK, ende daer op als middellijn een omtreck ILKM beschreven, sy is de begheerde rest, waer af t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een lini met haers ghelijcke aftreckelicke, wy hebben de rest in een derghelijcke lini ghevonden na den eysch.


3   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een menichvuldelicke lini, ende een ghetal menichvulder, den uytbreng te vinden in een lini ghelijck mette ghegheven.

    Menichvulder niet dan ghetal te connen wesen, is bethoont int 6 probleme de la premiere partie de nostre Pratique d'Arithmetique t'welck hem oock alsoo verstaet inde deeling metten mael {Quotiente.} die oock altijt ghetal is.

I  Voorbeelt van rechte linien int gheheel.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een menichvuldelicke lini sijn, ende 213 den menichvulder.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten den uytbreng in een rechte lini vinden.

M E R C K T.

    Ghelijck de menichvuldighing en deeling der ghetalen gheseyt worden vercortinghen der vergaring en aftrecking, alsoo ontmoet ons hier der ghelijcke in grootheden, want soo ymant wilde vergaren 213 linien even an AB na de manier des I voorstels deses 3 boucx, hy soude t'begheerde hebben, maer de volghende wercking is corter, t'welck hem oock alsoo verstaen sal op de nabeschreven menichvuldighing en deeling der vlacken ende lichamen.

T W E R C K.

    Ick treck de oneyndelicke lini CD, ende neem op den passer de langde AB, stel die thienmael inde lini CD, t'welck comt neem ick van C tot E: Ick open daer na den passer vande selve C tot E, ende stel die thienmael inde lini CD, t'welck comt tot F, neem daer na op den passer de langde CF, die vervoughende van F tot G, sulcx dat CG doet 200. Om nu noch 13 te hebben, soo beteyckent HE 10, daerom ghenomen van E na C noch 3 deelen, als van E tot I, ende de passer dan gheopent van H tot I, ende de selve langde vervought van G tot K, soo is de lini CK de begheerde, te weten 213 mael soo lanck als AB, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

lijn met verdeling

    [ C is het linker uiteinde.]

[ 103 ]

    Vyt de boveschreven thienvoudighe vermeerdering, is kennelick den ghemeenen voortganck van allen, want om duysenden te hebben soudemen den passer openen op thien hondert, ende soo voort mette volghende.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet AB, bevinde die neem ick van 3 voeten, de selve gemenichvuldicht met 213 comt 639, daerom ghetrocken een lini lanck 639 voeten men heeft den begheerden uytbreng.


2  Voorbeelt van rechte linien int ghebroken.

    Laet te menichvuldighen sijn de 3/4 der lini AB deur 5/6.

T W E R C K.

    Ick meet AB, bevinde die neem ick van 3 voeten, diens 3/4 doen 9/4, de selve gemenichvuldicht met 5/6 comt 1875 (2), daerom een lini soo lanck getrocken men heeft den begheerden uytbreng, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.


3  Voorbeelt van cromme linien.

    T G H E G H E V E N.  Laet den omtreck des rondts AB een cromme lini sijn, ende den menichvulder 6.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer uytbreng vinden.

T W E R C K.

cirkels     Ick teycken inden ghegheven omtreck eenighe rechte lini als neem ick de middellijn CD, menichvuldigende de selve met 6 na de manier des I voorbeelts deses voorstels, waer af den uytbreng sy de rechte lini EF, ende beschrijf op de selve als middellijn den omtreck EGFH, die ick segh den begheerden uytbreng te wesen.

T B E W Y S.

    Ghelijck de middellijn EF, totten omtreck EGFH, alsoo de middellijn CD, totten omtreck CADB, ende deur overanderde reden ghelijck EF tot CD, alsoo EGFH tot CADB, maer EF is sesmale soo lanck als CD deur t'werck, daerom den omtreck EGFH is sesmael soo lanck als den omtreck CADB.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ghenomen CD lanck te sijn 7 voeten, die 6 mael doen 42, daerom ghetrocken een lini als EF van 42 voeten, ende daer op als middellijn beschreven den omtreck EGFH, men heeft den begheerden uytbreng, waer af t'bewijs deur t'voorgaende bewijs openbaer is.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een menichvuldelicke lini, ende een ghetal menichvulder, wy hebben den uytbreng ghevonden na den eysch.

[ 104 ]

4   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een deelelicke lini, ende een lini deelder, haer mael te vinden.

I  Voorbeelt van rechte linien int gheheel.

    T G H E G H E V E N.  Laet CK int I voorbeelt des 3 voorstels van desen 3 bouck een deelelicke lini sijn, ende de lini AB deelder.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten den mael vinden.

T W E R C K.

    Ick neem op den passer de langde AB, stel die thienmael inde lini CK, t'welck comt neem ick van C tot E, open daer na den passer vande selve C tot E, ende stel die thienmael inde lini CK, t'welck comt tot F, neem daer na op de passer de langde CF, die vervoughende van F tot G, sulcx dat CG doet 200, daerom den mael doet voor al 200: Maer om nu te weten hoe veel datter van weghen GK noch toe moet commen, ick neem op den passer de langde der selve GK, bevinde die neem ick te commen van H tot I doende 13, die mette boveschreven 200 maken 213 voor den begeerden mael, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet CK, bevinde die neem ick van 639 voeten, ende AB van 3 voeten, daer deur ghedeelt de 639 comt 213, ende soo menichmael is een lini als AB inde lini CK.


2  Voorbeelt van rechte linien int ghebroken.

    Laet te deelen sijn de 2/3 der lini CK int I voorbeelt vant 3 voorstel deses 3 boucx, deur de 3/5 der lini AB.

T W E R C K.

    Ick meet CK, bevinde die neem ick van 213 voeten, diens 2/3 doet 142. Ick meet daer nae AB, die bevindende van 3 voet, diens 3/5 doen 9/5. Deur de selve ghedeelt de boveschreven 142, comt voor begheerden mael 78 8/9. Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.


3  Voorbeelt van cromme linien.

    T G H E G H E V E N.  Laet den omtreck EGFH int 3 voorbeelt vant 3 voorstel deses 3 boucx, te deelen sijn deur den omtreck CADB als deeler.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer mael vinden.

T W E R C K.

    Ick treck inde ghegheven omtrecken twee lijckstandighe rechte linien als de middellijnen EF, CD, ende deelende EF deur CD na de manier des I voorbeelts deses voorstels, vinde voor mael neem ick 6, die ick segh den begheerden mael der omtrecken te wesen, waer af t'bewijs deur t'verkeerde bewijs der menichvuldiging openbaer is.

[ 105 ]
Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet de rechte lini EF, bevinde die neem ick van 42 voeten, ende CD van 7, deur de selve ghedeelt de 42, comt voor begheerde mael 6, waer af t'bewijs deur t'voorgaende openbaer is,
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een deelelicke lini, ende een lini deelder, wy hebben haer mael ghevonden na den eysch.



T W E E D E   D E E L   D E S

D E R D E N   B O V C X   V A N D E

vier afcomsten als vergaring, aftrecking,

menichvulding, en deeling der vlacken.


M E R C K T

    Voor al dat wy de formen der vlacken inde vier eerstvolgende voorstellen cortheytshalven alleenlick van rechtlinighe platten sullen teyckenen, waer by men verstaen sal de reghel ghemeen te sijn van alle ghelijcke vlacken, sulcx sy sijn, soo wel cromlinich ende bultich, als rechtlinich ende plat.


5   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven vergaerlicke ghelijcke vlacken: Haer somme te vinden in haers ghelijcke vlack.

I  Voorbeelt int gheheel.

    T G H E G H E V E N.  Laet A B C drie ghelijcke vlacken wesen vande welcke lijckstandighe linien sijn DE, FG, HI.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer somme vinden, in een vlack ghelijck met A.
vijfhoeken

T W E R C K.

    Ick treck KL even met DE, ende LM rechthouckich op KL ende even met FG, voorts KM, ende daer op rechthouckich MN even met HI, treck oock KN: Daer na OP even met KN als lijckstandige met DE, op welcke beschreven het vlack Q ghelijck met A na de leering des 16 voorstels vant I bouck: Ick segh t'selve vlack Q de begheerde somme te sijn, te weten even ande drie A B C, waer af t'bewijs openbaer is deur het 31 voorstel des 6 boucx van Euclides.

[ 106 ]
Ander wercking deur ghetalen.

Ick meet de drie lijckstandighe sijden, bevindende DE neem ick van 5, diens viercant25.
FG van 4 diens viercant16.
HI van 3 diens viercant9.
Somme 50.
Diens viercantssijde doet707 (2).
    Daerom ghetrocken een lini lanck 707 (2) als OP lijckstandige met DE, ende daer op gheteyckent een vlack als Q ghelijck met A, men heeft t'begheerde.


2  Voorbeelt int ghebroken, ghetrocken uyt de vondt van sijn
V
 O R S T E L I C K E  G H E N A D E  int volghende 8 voorstel.

    Laet begheert worden de somme der 2/5 van t'plat A, mettet 1/2 van B, ende 1/3 van C.

T W E R C K.

Ick meet de drie lijckstandighe sijden bevindende DE neem ick van 5 voeten, diens viercant 25, daer af de 2/5 maken10.
FG van 4, diens viercant 16, daer af het 1/2 doet8.
HI van 3, diens viercant 9, daer af het 1/3 is 3.
Somme 21.
Diens viercantssijde 458 (2).
    Daerom ghetrocken een lini lanck 458 (2) voeten als lijckstandige met DE, ende daer op gheteyckent een vlack ghelijck met A men heeft t'begheerde, waer af t'bewijs ter boveschreven plaets te weten int 8 voorstel blijcken sal.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven vergaerlicke ghelijcke vlacken, wy hebben haer somme ghevonden in haers ghelijcke vlack, na den eysch.


6   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een vlack met sijns ghelijcke aftreckelick vlack: De rest te vinden in derghelijcke vlack.

I  Voorbeelt int gheheel.

vijfhoeken     T G H E G H E V E N.  Laet A een vlack sijn, ende B een derghelijcke aftreckelick vlack, van welcke lijckstandighe sijden sijn CD, EF.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten de rest vinden in een vlack ghelijck met A.

T W E R C K.

    Ick treck de oneyndelicke GH, voort GI daer op rechthouckich ende even met EF, neem daer na op den passer de langde CD, stellende d'een voet an t'punt I, d'ander inde lini GH die ick neem te vallen ant punt K, treck daer na

[ 107 ]
de lini LM even met KG als lijckstandighe met CD, daer op beschrijvende t'vlack N ghelijck met A, t'welck ick segh de begeerde rest te wesen: Waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 31 voorstel des 6 boucx van Euclides.

Ander wercking deur ghetalen.

Ick meet de twee lijckstandighe sijden, bevindende CD neem ick van 5 voeten diens viercant25.
Ende EF van 4, diens viercant 16.
T'welck ghetrocken vant eerste in d'oirden blijft9.
Diens viercantsijde 3.
    Daerom ghetrocken een lini lanck 3 voet als LM lijckstandighe met CD, ende daer op gheteyckent een vlack als N ghelijck met A, men heeft de begheerde rest.


2  Voorbeelt int ghebroken, ghetrocken uyt de vondt van sijn
V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  int volghende 8 voorstel.

    Laet vande 2/5 des vlacx A, te trecken sijn 1/2 van B.

T W E R C K.

Ick meet de twee lijckstandighe sijden, bevindende CD neem ick van 5 voeten, diens viercant 25, daer af de 2/5 doen10.
Ende EF 4, diens viercant 16, daer af den helft8.
Welcke ghetrocken vant eerste in d'oirden blijft2.
Diens viercantsijde141 (2).
    Daerom ghetrocken een lini lanck 141 (2) voeten als lijckstandighe met CD, ende daer op gheteyckent een vlack ghelijck met A, men heeft de begheerde rest, waer af t'bewijs ter boveschreven plaets te weten int 8 voorstel blijcken sal.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een vlack, met sijn gelijcke aftreckelick vlack: Wy hebben in derghelijcke vlack de rest ghevonden na den eysch.


7   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een menichvuldelick vlack, ende een ghetal menichvulder: Haer * uytbreng te vinden in een vlack ghelijck mettet ghegheuen.   {Productum.}

I  Voorbeelt int gheheel.
vijfhoeken, lijnstuk

    T G H E G H E V E N.  Laet A een menichvuldelick vlack sijn, ende menichvulder 10.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer uytbreng vinden, dat is een vlack thienmael soo groot als t'vlack A, ende ghelijck mettet selve.

T W E R C K.

    Ick treck de lini BC thienmael soo lanck als een der sijden des ghegheven vlacx

[ 108 ]
by voorbeelt de sijde DE: Vinde daer na de middeleverednighe lini tusschen DE ende BC deur het 3 voorstel des 4 boucx, welcke sy FG, op de selve als lijckstandighe met DE teycken ick t'vlack H ghelijck met A, t'welck ick segh den begheerden uytbreng te sijn, te weten thienmael soo groot als t'vlack A. T'bewijs daer af wort ghetrocken uyt het 20 voorstel des 6 boucx van Euclides.

M E R C K T.

    Tis wel waer dat alle teghenwoordighe voorstellen bequamelicker deur voorgaende dan volghende leering verclaert worden: Doch heeft dit hier ende in eenighe volghende voorstellen deses boucx wat anders willen vallen mettet vinden der everednige linien: Tis wel soo dat hadden wy het vierde bouck voor het derde ghestelt, men soude sulcx daer mede gheschuwet hebben, maer alsdan niet de voorschreven ghemeene Telconstighe oirden ghevolght, daer wy besloten hadden by te blijven.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet de lini DE, die bevindende neem ick van 3 voeten, welcke 10 mael doen 30 voeten: Tusschen de selve 30 ende 3 vinde ick een middeleverednich ghetal t'welck is 949 (2), daerom ghetrocken een lini van dier langde als FG, ende daer op gheteyckent een vlack H ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng.

Ander wercking deur ghetalen, ghegront op de voorschreven
vondt van sijn
  V
 O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

Laet de lini DE andermael doen 3 voet haer viercant is9.
Dat 10 mael comt90.
Diens viercantsijde949 (2).
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als FG lijckstandighe met DE, en daer op gheteyckent een vlack H ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng.


2  Voorbeelt int ghebroken.

    Laet de 2/3 des vlacx A, te menichvuldighen sijn met 10 1/2.

T W E R C K.

    Ick meet DE, bevinde die neem ick van 3 voeten, de 2/3 der selve als 2, ghemenichvuldicht deur 10 1/2 doen 21: Tusschen die 21 en de voorschreven 3, vinde ick een middeleverednich ghetal t'welck is 794 (2): Daerom ghetrocken een lini soo lanck, ende daer op gheteyckent een vlack gelijck met A men heeft den begheerden uytbreng.

Ander wercking int ghebroken, ghegront op de voorschreven
vondt van sijn
 
V O R S T E L I C K E  G H E N A D E

    Laet de 2/3 des vlacx A, andermael te menichvuldighen sijn met I0 I/2.

[ 109 ]
T W E R C K.

Ick meet DE, bevinde die neem ick van 3 voet, diens viercant 9 voet, daer af de 2/3 doen 6.
Die ghemenichvuldicht met 10 1/2 comt63.
Diens viercantsijde794 (2).
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als lijckstandighe met DE, en daer op gheteyckent een vlack ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng.

V E R V O L G H.

    Wanneermen inde Telconst eenich deel begheert van een ghebroken ghetal, als by voorbeelt de 21/2 van 2/3, men menichvuldicht 21/2 met 2/3, ende den uytbreng is t'begeerde: Also oock wanneermen inde Meetconst eenich deel begeert vant stick eens ghegheven vlacx, sulcx dattet selve stick ghelijck sy mettet heel, by voorbeelt de 21/2 vande 2/3 des vlacx A, tis kennelick datmen sal menichvuldigen na de manier des boveschreven 2 voorbeelts, ende dat den uytbreng t'begeerde sal wesen. Derghelijcke vervolgh sal hem oock alsoo verstaen op de menichvuldighing der lichamen int nabeschreven 11 voorstel.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een menichvuldelick vlack, ende een ghetal menichvulder, wy hebben haer uytbreng ghevonden in een vlack ghelijck mettet ghegheven, na den eysch.


8   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een deelelick vlack, ende een derghelijcke vlack deelder: Den * mael te vinden.   {Quotientem.}

I  Voorbeelt int gheheel.

    T G H E G H E V E N.  Laet A een deelelick vlack wesen, ende t'vlack B gelijck met A sy deelder, diens sijde CD lijckstandighe is met EF.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer mael vinden, dat is hoe menichmael een vlack als B begrepen wort int vlack A.

T W E R C K.

vijfhoeken     Ick vinde deur het I voorstel des 4 boucx de derde everednighe der twee EF, CD, welcke sy G. Sie daer na hoe menichmael G in EF is, ende wort bevonden neem ick 3 mael: T'welck soo sijnde ick seg 3 den begheerden mael te wesen, namelick dat een vlack als B, driemael begrepen is int vlack A. T'bewijs daer af wort getrocken uyt het 20 voorstel des 6 boucx van Euclides.

[ 110 ]
Ander wercking deur ghetalen na de manier der voorgaende
VVisconstighe wercking.

Ick meet de twee lijckstandighe sijden bevindende EF neem ick van18.
Ende CD van6.
Segh daer na 18 eerste in d'oirden, gheeft 6 tweede in d'oirden, wat de selve 6 ? Comt2.
Daer deur ghedeelt 18 eerste in d'oirden, comt voor begheerde mael9.

Ander wercking na de vondt van sijn  V O R S T E L I C K E
  G H E N A D E.

    Men sal de viercanten van lijckstandighe sijden d'een deur d'ander deelen, want den mael gheeft oock t'begheerde, By voorbeelt 324 (viercant van EF 18) deur 36 (viercant van CD 6) comt als boven 9.

Oirspronck deser wercking.

    Sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  ansiende dat ghelijcke vlacken tot malcander in sulcken reden sijn als de viercanten van haer lijckstandighe sijden, besloot daer uyt dat den mael der viercanten van twee lijckstandighe sijden, oock den mael der vlacken moet wesen.
    Welcke reghel alsoo hy die merckte seer ghemeen te sijn, heeft daer deur afgheveerdicht veel werckinghen met besonder lichticheyt, ghelijckse hier na elck t'haerder plaets beschreven sullen worden.


2  Voorbeelt int ghebroken, waer in de boveschreven vondt
van sijn
  V
 O R S T E L I C K E  G H E N A D E  reghel houdt.

    Laet de 2/3 des vlacx A, te deelen sijn deur de 3/4 des vlacx B.

T W E R C K.

Ick meet twee lijckstandighe sijden, bevindende EF neem ick van 18, diens viercant 324, waer af de 2/3 doen216.
Ende CD 6 diens viercant 36, daer af de 3/4 doen27.
Daer deur ghedeelt de 216, comt voor begheerde mael8.
    Waer af t'bewijs uyt den boveschreven oirspronck te verstaen is.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een deelelick vlack, ende een derghelijcke vlack deelder, wy hebben den mael ghevonden, na den eysch.

[ 111 ]

D E R D E   D E E L   D E S

D E R D E N   B O V C X   V A N D E

vier afcomsten als vergaring, aftrecking,

menichvulding, en deeling der lichamen.


WY sullen de formen der lichamen inde volghende vier voorstellen cortheytshalven alleenlick plattich setten, waer by men verstaen sal de reghel ghemeen te sijn van alle ghelijcke lichamen sulcx sy sijn, soo wel hol en bultich als plattich.


9   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven vergaerlicke ghelijcke lichamen: Haer somme te vinden in een haers ghelijcke lichaem.

I  Voorbeelt int gheheel.

    T G H E G H E V E N.  Laet A B twee vergaerlicke ghelijcke lichamen wesen, diens lijckstandighe linien sijn C D.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten haer somme vinden in een lichaem ghelijck met A.

blokken
T W E R C K.

    Ick vinde de vierde everednighe lini E der twee C, D, deur het 2 voorstel des 4 boucx: Daer na twee middeleverednighe tusschen de lini C ende de lini even an C met E deur het 4 voorstel des 4 boucx welcker twee middellinien eerste sy F: Op de selve als lijckstandighe met C teycken ick het lichaem G ghelijck met A, t'welck ick segh de begheerde somme te wesen, namelick even ande twee A, B.

T B E W Y S.

I   L I D T.

    De lini C tot E, heeft een ghedrievoudichde reden der lini C tot D deur t'werck, daerom ghelijck de lini C tot E, soo t'lichaem A, tottet lichaem B, ende deur versaemde reden ghelijck de twee linien C, E, totte lini C, alsoo de twee lichamen A en B tottet lichaem A.

[ 112 ]
2   L I D T.

    De lini C heeft totte lini even an C met E een ghedrievoudighde reden der lini C tot F deur t'werck, daerom ghelijck de lini C, tot met E, soo t'lichaem A, tottet lichaem G: Ende deur verkeerde reden gelijck de twee linien C, E, totte lini C, alsoo t'lichaem G, tottet lichaem A. Maer int I lidt is bethoont de selve reden oock te wesen der twee lichamen A en B t'samen, tottet selve lichaem A, daerom (want diens redens tot een selve even sijn moeten met malcander even wesen) t'lichaem G is even mette twee lichamen A, B.

Ander wercking deur ghetalen, na de manier der voorgaende
wisconstighe wercking.

Ick meet twee lijckstandige sijden, als neem ick C en D, bevinde C van 4.
Ende D van 2.
Het vierde everednich ghetal van 4 eerste in d'oirden en 2 tweede in d'oirden is 1/2.
T'selve met 4 eerste in d'oirden maeckt 4  1/2.
Ick souck daer na t'eerste der twee middeleverednige getalen tusschen 4 eerste in d'oirden, ende 4 1/2 vierde in d'oirden t'selve is teerlincksche sijde van 72.
Die doet 416 (2).
    Daerom van dier langde ghetrocken een lini als F lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem G ghelijck met A, men heeft de begheerde somme.

Ander wercking deur ghetalen, na de vondt van sijn
V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

Ick meet twee lijckstandige sijden, als neem ick C en D, bevinde C van 4 voet, diens teerlinck 64.
Ende D van 2, diens teerlinck 8.
Welcke vergaert tot d'ander comt 72.
Diens teerlincx sijde 416 (2).
    Daerom van dier langde ghetrocken een lini als F lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem G ghelijck met A, men heeft de begheerde somme.


2  Voorbeelt int ghebroken waer in de vondt van sijn
V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  reghel houdt.

    Laet begheert sijn de somme vande 3/8 des lichaems A, mettet 1/4 des lichaems B.
Ick meet twee lijckstandige sijden, als neem ick C en D, bevinde C van 4 voeten, diens teerlinck 64, daer af de 3/8 doen 24.
Ende D van 2, diens teerlinck 8, daer af het 1/4 doet 2.
Somme 26.
Diens teerlincxsijde.296 (2).

[ 113 ]
    Daerom van dier langde ghetrocken een lini als lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft de begheerde somme, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt den oirspronck des 8 voorstels van desen.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven vergaerlicke ghelijcke lichamen, wy hebben haer somme ghevonden in haers ghelijcke lichaem, nae den eysch.


1 0   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een lichaem, met sijns ghelijcke aftreckelick lichaem: De rest in een derghelijcke lichaem te vinden.

I  Voorbeelt int gheheel.

    T G H E G H E V E N.  Laet A een lichaem sijn, ende B een derghelijcke aftreckelick lichaem, diens lijckstandighe linien C, D.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten de rest vinden in een lichaem ghelijck met A.

blokken
T W E R C K.

    Ick vinde de vierde everednighe E der twee C D, daer na twee middeleverednighe tusschen de lini C ende de lini C min E, welcker twee middellinien eerste sy F: Op de selve als lijckstandighe met C teycken ick het lichaem G ghelijck met A, t'welck ick segh de begheerde rest te wesen.

T B E W Y S.

I   L I D T.

    De lini C, heeft totte lini E een ghedrievoudichde reden der lini C tot D deur t'werck, daerom ghelijck de lini C totte lini E, alsoo t'lichaem A tottet lichaem B, ende deur ghescheyden reden ghelijck de lini C min de lini E, totte lini C, alsoo t'lichaem A min t'lichaem B tottet lichaem A.

2   L I D T.

    De lini C, heeft totte lini C min de lini E een ghedrievoudichde reden der lini C tot F deur t'werck, daerom ghelijck de lini C totte lini C min de lini E, alsoo het lichaem A tottet lichaem G, ende deur verkeerde reden gelijck de lini C

[ 114 ]
min de lini E totte lini C, alsoo t'lichaem G, tottet lichaem A: maer int I lidt is bethoont de selve reden oock te wesen des twee lichaems A min t'lichaem B tottet selve lichaem A: Daerom (want diens redens tot een selve even sijn, moeten met malcander even wesen) t'lichaem G is even mettet lichaem A min t'lichaem B, dat is ghetrocken t'lichaem B van A, de rest is een lichaem als G.

Ander wercking deur ghetalen, na de manier der voorgaende
wisconstighe wercking.

Ick meet twee lijckstandige sijden, als neem ick C en D, bevindende C van 4.
Ende D van 2.
Het vierde everednich ghetal van 4 eerste in d'oirden ende 2 tweede in d'oirden is 1/2.
T'selve ghetrocken van 4 eerste in d'oirden, blijft 3 1/2.
Ick souck daer na t'eerste der twee middeleverednighe ghetalen tusschen 4 eerste in d'oirden, ende 3 1/2 vierde in d'oirden t'selve is teerlincksche sijde van 56.
Die doet 383 (2).
    Daerom van dier langde een lini ghetrocken, als F lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem G ghelijck met A, men heeft de begheerde rest.

Ander wercking deur ghetalen, na de vondt van sijn
V
 O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

Ick meet twee lijckstandige sijden, als neem ick C en D, bevinde C van 4 voeten, diens teerlinck64.
Ende D van 2 voet diens teerlinck8.
Welcke ghetrocken van d'ander blijft56.
Diens teerlincxsijde 383 (2).
Daerom van dier langde een lini ghetrocken als F lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft de begheerde rest.


2  Voorbeelt int ghebroken waer in de vondt van sijn
V
 O R S T E L I C K E  G H E N A D E  reghel houdt.

    Laet vande 3/8 des lichaems A, te trecken sijn 1/4 des lichaems B.

T W E R C K.

Ick meet de twee lijckstandige sijden als neem ick C en D, bevindende C van 4 voeten, diens teerlinck 64, daer af de 3/8 doen 24.
Ende D van 2, diens teerlinck 8, daer af het 1/4 doet 2.
Welcke ghetrocken vande 24 eerste in d'oirden, blijft 22.
Diens teerlincxsijde.28 (I).
    Daerom van dier langde ghetrocken een lini als lijckstandighe met C, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A men heeft de begheerde rest: Waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt den oirspronck des 8 voorstels van desen.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een lichaem met sijns ghelijcke aftreckelick lichaem wy hebben de rest in een derghelijcke lichaem ghevonden na den eysch.


[ 115 ]

1 1   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een menichvuldelick lichaem, ende een ghetal menichvulder: Den uytbreng te vinden in een lichaem ghelijck mettet ghegheven.

blokken, lijnstuk
I  Voorbeelt int gheheel.

    T G H E G H E V E N.  Laet A het menichvuldelick lichaem sijn, met eenighe rechte lini daerin als B, ende menichvulder 8.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten den uytbreng vinden in een lichaem ghelijck met A, ende 8 mael soo groot.

T W E R C K.

    Ick treck de lini C 8 mael soo lanck als de lini B, om dat den gheheven menichvulder 8 is: Vinde daer na twee middeleverednighe linien deur het 4 voorstel des 4 boucx, welcker eerste sy D, waer op als lijckstandighe met B gheteyckent het lichaem E ghelijck met A, ick segh t'selve den begheerden uytbreng te wesen, dat is 8 mael soo groot als t'lichaem A.

T B E W Y S.

    De lini B tot C, heeft een ghedrievoudichde reden der lini B tot D deur t'werck, daerom ghelijck de lini B tot C, alsoo het lichaem A tot E: Ende deur verkeerde reden ghelijck de lini C tot B, alsoo t'lichaem E tot A: Maer de lini C is achtmael soo groot als B, daerom t'lichaem E is achtmael so groot als t'lichaem A, twelck den begheerden uytbreng is.

Ander wercking deur ghetalen na de manier der voorgaende wisconstige wercking.

Ick meet de lini B, die bevindende neem ick van 2.
De selve ghemenichvuldicht met 8 comt   16.
Vinde daer na t'eerste der twee middeleverednighe ghetalen tusschen 2 en 16, t'welck is 4.
Daerom ghetrocken een lini van dier langde als D lijckstandighe met B, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng.

[ 116 ]
Ander wercking deur ghetalen, gegront op de voorschreven vondt van sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

Laet de lini B andermael doen 2 voet, haer teerlinck is 8.
Die 8 mael comt   64.
Diens teerlincksijde 4.
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als D lijckstandighe met B, en daer op gheteyckent een lichaem E ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng.


2  Voorbeelt int ghebroken.

    Laet 2/3 des lichaems A, te menichvuldighen sijn met 3/4.

T W E R C K.

Ick meet de lini B, die bevindende neem ick van 2.
Diens 2/3 doen 4/3.
De selve ghemenichvuldicht metten ghegeven menichvulder 3/4 comt I.
Vinde daer na t'eerste der twee middeleverednighe ghetalen tusschen 2 eerste in d'oirden, ende I derde in d'oirden, t'welck is teerlincxsijde van 4.
Die doet 159 (2).
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als lijckstandighe met B, ende daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft den begheerden uytbreng, waer af t'bewijs deur t'voorgaende openbaer is.

Ander wercking int ghebroken, ghegront op de voorschreven vondt van sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    Laet de 2/3 des lichaems A, andermael te menichvuldighen sijn met 3/4.

T W E R C K.

Ick meet de lini B, die bevindende neem ick van 2, diens teerlinck 8 voet, daer af de 2/3 doen 16/3.
Die 3/4 mael comt 4.
Diens teerlincksijde 159 (2).
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als lijckstandighe met B, en daer op gheteyckent een lichaem ghelijck met A, men heeft den begeerden uytbreng.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan gegeven een menichvuldelick lichaem, ende een ghetal menichvulder, wy hebben den uytbreng ghevonden in een lichaem ghelijck mettet ghegheven, na den eysch.


1 2   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een deelelick lichaem, ende een derghelijck lichaem deelder: Den mael te vinden.

    T G H E G H E V E N.  Laet A het deelelick lichaem sijn, met een lini daer in als B, ende t'lichaem C ghelijck an A sy deelder, met een lini daer in als D lijckstandighe met B.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten den mael vinden, dat is hoe menichmael een lichaem als A [C], begrepen is int lichaem E [A].

[ 117 ]
T W E R C K.

blokken, lijnstukje     Ick vinde der twee linien D, B, een vierde everednighe deur het 4 voorstel des 4 boucx welcke sy E: Meet daer na hoe menichmael de lini E in B is, ende bevinde neem ick 8 mael, waer uyt ick besluyt 8 den begheerden mael te wesen: Dat is een lichaem als C achtmael int lichaem A begrepen te sijn.

T B E W Y S.

    De lini B heeft tot E een ghedrievoudichde reden der lini B tot D deur t'werck, daerom ghelijck de lini B tot E, alsoo t'lichaem A tot C: Maer de lini B is 8 mael soo groot als E, daerom t'lichaem A is 8 mael soo groot als t'lichaem C, ende vervolghens een lichaem als C is achtmael int lichaem A, daerom 8 is de begheerde mael.

Ander wercking deur ghetalen, na de manier der voorgaende wisconstighe wercking.

Ick meet de lini B, die bevindende neem ick van 4.
Ende D van 2.
Vinde daer na t'vierde everednighe ghetal der twee 4 en 2 t'welck is   1/2.
Deur t'selve ghedeelt 4 eerste in d'oirden, comt voor begheerde mael 8.

Ander wercking na de vondt van sijn  V O R S T E L I C K E
  G H E N A D E.

Ick meet twee lijckstandighe sijden als neem ick B en D, bevindende B van 4 voeten, diens teerlinck doet 64.
Ende D van 2, diens teerlinck doet 8.
Deur de selve ghedeelt de 64 comt voor begheerde mael 8.


2  Voorbeelt int ghebroken, waer in de vondt van sijn V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  reghel houdt.

    Laet de 2/3 des lichaems A, te deelen sijn deur de 3/4 des lichaems C.

T W E R C K.

Ick meet twee lijckstandige sijden als neem ick B en D, bevindende B van 4 voeten, diens teerlinck 64, daer af de 2/3 doen 42 2/3.
Ende D van 2, diens teerlinck 8, waer af de 3/4 doen 6.
Deur de selve ghedeelt de 42 2/3, comt voor begheerde mael 7 1/9.

[ 118 ]
    Den oirspronck is hier af als int 8 voorstel vande vlacken: Want ghelijcke lichamen sijn tot malcander in sulcken reden, als de teerlinghen van haer lijckstandighe sijden, waer uyt volght dat den mael der teerlinghen van twee lijckstandighe sijden, oock den mael der lichamen moet sijn.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan gegeven een deelelick lichaem, ende een derghelijcke lichaem deeler, wy hebben den mael ghevonden, na den eysch.


M E R C K T.

    Men soude hier noch meughen begheeren voorbeelden vande vier afcomsten in onmetelicke grootheden, maer want wy daer af elders een besonder handel gheschreven hebben die tot dese vier afcomsten can vervought worden, soo laten wijt daer by blijven.



D E S   D E R D E N   B O V C X

E Y N D E.



decoratie




Simon Stevin | Meetdaet | Vier afcomsten (top) | Vervolg