Stevin | Meetdaet | < Snyding >

Lijnen , gulden snede , rond , Vlakken , punt in omtrek , er buiten , evenwijdig , Lichamen


[ Afb. ]

V   Y   F   D   E

B O V C K   D E R

M E E T D A E T,


V A N D E

E  V  E  R  E  D  E  L  I  C  K  E

S N Y D I N G   D E R   G R O O T-

H E D E N.



[ 135 ]

E E R S T E   D E E L   D E S

V Y F D E N   B O V C X   V A N D E

E V E R E D E L I C K E   S N Y D I N G

D E R   L I N I E N.


I   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven rechte lini een begheert deel te snyen.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een lini sijn.
    T B E G H E E R D E.  Men wilder haer twee vijfdedeelen afghesneen hebben.

T W E R C K.

lijnen     Ick treck een oneyndelicke lini CD evewijdeghe met AB, neem metten passer eenighe langde als van C tot E, teycken die vijfmael inde lini CD als inde punten E, F, G, H, I: Treck daer na de linien van C deur A, ende van D [I] deur B, tot datse malcander gheraken in K: Nu want vande lini AB begheert sijn twee vijfdedeelen der lini CI [?], daerom treck ick de lini FK snyende AB in L: T'welck soo sijnde ick seg AL de begheerde twee vijfdedeelen der lini AB te wesen, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 9 voorstel des 6 boucx van Euclides.

V E R V O L G H.

    Soomen de lini AB wilde snyen in 5 even deelen, tis kennelick datmen niet en soude te doen hebben dan trecken de linien van t'punt K totte punten E, F, G, H, want haer sneen in AB gheven de begheerde deelen.

M E R C K T.

    Men soude de lini als CI hebben meughen minder nemen dan de lini AB, ende soude spieghelingsche wijse {Theoricè.} al een selve daer af bewesen worden, maer in tuychwerckelicken handel ist sekerder die grooter te trecken.
    De sake is hier boven ghenomen dat de linien CA, IB, oneyndelick voortgetrocken vergaren in K: Doch soo de selve linien nerghens t'samen en quamen maer evewijdeghe bleven, tis kennelick dat de begheerde gedeelten van AB, by luck dan even souden vallen ande ghenomen ghedeelten van CI. Ende sal derghelijcke vermaen oock meughen verstaen worden opt volghende 2 voorstel.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ick meet AB, bevinde die neem ick van 4 voeten, waer af de 2/5 doen 8/5, dat sijn 516 (2), daerom soo gemeten van A na B t'welck valt neem ick in L, men heeft de begheerde 2/5, waer af de proef openbaer is.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegeven rechte lini een begheert deel ghesneen na den eysch.

[ 136 ]
M E R C K T.

    Men soude hier noch meughen begheeren deelen der ghegheven lini die uytghesproken worden deur wortelige getalen mette ghemeene onmetelick sijnde, maer want wy daer af elders een besonder handel beschreven hebben, soo laten wy t'selve hier tot voorbeelt verstrecken.


2   V O O R S T E L.

    Een ghegheven onghesneen rechte lini te snyen ghelijck een ghegheven rechte lini ghesneen is.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een ongesneen rechte lini sijn, ende CD een ghesneen inde punten E en F, welcke CD ick neem evewijdich ghestelt te sijn van AB.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten AB snyen ghelijck CD ghesneen is, te weten in deelen everedenich mette deelen der selve CD.

T W E R C K.

    Ick treck CA ende DB voorwaert tot datse malcander ontmoeten t'welck sy in G, treck daer na GE, GF, snyende AB in H, I. Dit soo sijnde ick segh de lini AB ghesneen te sijn inde punten H, I, ghelijck CD inde punten E, F, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 10 voorstel des 6 boucx van Euclides.

Ander wercking deur ghetalen.

lijnen     Ick meet AB, die bevindende neem ick van 4 voet, ende CE 2, EF 3, FD 4: Daerom ghedeelt 4 in drie deelen tot malcander in sulcken reden als 2, 3, 4, comt (deur het 15 voorstel des 2 boucx van onse fransche Arith.) 8/9, 12/9, 16/9, die doen in thiende talen 89 (2), 133 (2), 178 (2): Daer na ghemeten van A na B 89 (2), die vallen neem ick tot H, voort 133 (2) van H tot I, soo is de lini AB ghedeelt ghelijck CD, waer af de proef openbaer is.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven onghesneen rechte lini, gesneen ghelijck een ghegheven rechte lini ghesneen is, na den eysch.


3   V O O R S T E L.

    Een ghegheven rechte lini deur * uyterste en middel reden te snyen.   {Extremâ & mediâ ratione.}

lijn en loodlijn     T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechte lini sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moetense deur uyterste en middel reden snyen: Dat is alsoo dat de heele sulcken reden hebbe tottet grootste deel, ghelijck t'grootste tottet cleenste.

T W E R C K.

    Ick treck BC even an AB ende op de selve rechthouckich: Daer na CB oneyndelick voorwaert als CD, deyl BC int middel ant punt E, ende teycken de langde EA van E tot F inde lini CD, daer na de langde

[ 137 ]
BF van B tot G inde lini AB: T'welck soo sijnde ick segh AB int punt G gesneen te sijn deur uyterste en middelreden: Te weten dat ghelijck de heele AB, tottet grootste deel GB, alsoo GB, tottet cleenste deel GA, waer af t'bewijs ghedaen is int 30 voorstel des 6 boucx van Euclides.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AB die bevindende neem ick van 2 voeten, den helft van dien voor EB doet I voet: Maer doende AB 2 ende EB 1, de bedochte lini van E tot A doet wrtl5, daer af getrocken EB 1, blijft voor BF wrtl5 – 1 daerom soo veel van B na A ghemeten, t'welck comt neem ick tot G men heeft t'begheerde.
    Ander manier van wercking can oock ghedaen worden deur de stelreghel aldus:
Het meeste deel sy 1 (I).
Daerom het minste 2 – 1 (I).
T'welck soo wesende 2, 1 (I), 2 – 1 (I), sijn in ghedeurighe everedenheyt, daerom den uytbreng der middelste pael in sich als 1 (2).
Is even anden uytbreng der twee uyterste palen 4 – 2 (I).
    Welcke verkeert 1 (2) is even met – 2 (I) + 4, ende deur het 68 Probl. van ons Arith.  1 (I) dats d'eerste ghestelde doet voor t'meeste begheert deel BG alsvooren wrtl5 – 1.
    P R O E F.  Getrocken BG wrtl5 – 1, van AB 2, blijft voor AG cleenste deel 3 - wrtl5 : Ende ghelijck 2, tot wrtl5 – 1, alsoo de selve wrtl5 – 1, tot 3 – wrtl5. Die de boveschreven tweenamighe tot thiendetalen brengt, bevint BG van 124 (2), ende AG 76 (2).
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een ghegheven rechte lini deur uyterste en middel reden ghesneen, na den eysch.


4   V O O R S T E L.

    Eens rondts omtreck * tuychwerckelick in begheerde deelen te snyen.   {Mechanicè.}

    Den omtreck des rondts mach wisconstelick ghedeelt worden in al de even deelen die int maecksel vande tafelen der houckmaten voor gront verstrecken, als in drien, vieren, ende vijven, met al de boghen die uyt haer vergaring, aftrecking, halving en dobbeling spruyten tot int oneyndelick: Doch want daer af eyghentlick int houckmaetmaecksel gehandelt wort soo laten wy die deyling hier ongheroert, en sullen vande tuychwerckelicke segghen als volght.
    De ghene die cleyne uyrwercxkens maken, moeten haer raeyerkens in seer even ghedeelten teyckenen, maer want de tandekens malcander seer na commen, soo en soude sulcx mette passer niet bequamelick te doen sijn. Hier toe heb ick by eenighe uyrwerckmakers dese manier sien gebruycken: Men neemt een ronde coper plaet als ABCD diens middelpunt E, ende de middellijn AC is van ontrent 12 of 14 duym: Byden uytersten cant der selve plaet worden verscheyden ronden ghetrocken als F, G, H, ende meer ander dier ghelijcke, die elck ghedeelt worden in soo veel even ghedeelten, als den uyrwerckmaker in sijn werck dickwils ende meest te vooren commen. Ick neem dan dattet rondt F ghedeelt sy in 30 even deelen mette punten I, K, L, ende ander dierghelijcke.
    Om nu tot voorbeelt te commen, laet M een raeyken sijn dat oock in 30 gedeelt moet worden: Om t'selve op corter tijt seer seker te doen, men hechtet met hart peck of cyment op de plaet, alsoo dat haer beyde middelpunten op malcander

[ 138 ]

wijzerplaat met wijzer

passen, slaende een naelde deur beyde de selve middelpunten, op welcke noch te draeten comt een ryeken EN, t'welc met sijn uyterste eynde N gheleyt sijnde opt punt F, men treckt langs het selve ryeken met een stale pinsoen of spaensche naelde een schreefken opt raeyken M, als ter plaets van O: Derghelijcke oock doende op de punten I, K, L, met al d'ander, het raeyken wort inde 30 begheerde deelen ghedeelt, ende dat als gheseyt is met groote sekerheyt, want ghenomen dat inde deeling des groot rondts F, I, K, L, wat gemist waer, als FI een haerken langer of corter te sijn dan na t'behooren, sulcx en can opt cleen raeyken M soo veel niet bedraghen.
    Dese deeling des rondts die wy gheseyt hebben by de cleen uyrwercmaeckers gebruyckt te wesen mach oock te werck gestelt worden inde teyckeninghen der trappen van veel wisconstuyghen, als platclooten, vierendeelen rondts, Sonwijsers, en dierghelijcke.

M E R C K T.

    By dit eerste deel des 5 boucx vande deeling der linien, soude noch meughen ghevoucht worden de deeling der Sanglijn {Monochordæ.}: Maer want mijn ghevoelen daer af niet en overcomt mette verscheyden raminghen der Griecken van malcander seer verschillende, en dat die stof haer eyghen beschrijving vereyscht soo sullen wy daer af inde spiegheling der Singconst {Theoria musica.} handelen.



T W E E D E   D E E L   D E S

V Y F D E N   B O V C X   V A N D E

E V E R E D E L I C K E   S N Y D I N G

D E R   V L A C K E N.


DE volghende snyding der vlacken (die inde daet haer merckelick ghebruyck heeft, als onder anderen om landen in begeerde cavels of sticken te deelen) sal sijn van rechtlinighe platten, ende van t'clootvlack: De snyding der rechtlinighe platten gheschiet deur rechte linien op driederley wijse:

[ 139 ]
D'eene met linien commende uyt een ghestelt punt inden omtreck: d'ander daer buyten: de derde evewijdeghe met eenighe getoonde lini, welcke verscheydenheden wy met onderscheyt beschrijven sullen, ende eerst


V A N D E    S N Y D I N G    D E R    R E C H T-

L I N I G H E   P L A T T E N   M E T   E E N   L I N I

commende uyt een ghestelt punt inden omtreck.


5   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt een ghetoonden houck.


I  Voorbeelt.

driehoek, lijn     T G H E G H E V E N.  Laet ABC een driehouck sijn, ende DE een lini ghesneen in F.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten uyt den houck A een lini trecken, die vanden driehouck een deel snye na den oirt C, in sulcken reden tottet ander deel, als DF tot FE.

T W E R C K.

    Ick deel de sijde teghenover den houck daer de snyende lini uyt commen moet als de sijde CB in G deur het 2 voorstel van desen, sulcx dat ghelijck DF tot FE, alsoo CG tot GB: Twelck soo sijnde ick segh dat ghelijck DF tot FE, alsoo het deel AGC tottet deel AGB, waer af t'bewijs openbaer is deur het I voorstel des 6 boucx van Euclides.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet DF, bevinde die neem ick van 4 voeten, FE 6, BC 5, die ghedeelt in twee deelen tot malcander in sulcken reden als 4 tot 6, comt 2 en 3, daerom van C tot G ghemeten 2 voeten, ende ghetrocken AG men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Laet de hanghende AH ghemeten sijnde, bevonden worden van 8 voeten, t'welck soo wesende de driehouck ABC doet 20, AGC 8, ende AGB 12, alwaer blijckt dat 8 en 12 de 20 maken des heelen driehoucx ABC, ende ghelijck DF 4, tot FE 6, alsoo AGC 8, tot AGB 12.


2  Voorbeelt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC des I voorbeelts een driehouck sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer af na den oirt C een plat snyen (minder welverstaende dan t'begrijp des heelen onbekenden driehoucx) ick neem van 8 voeten, met een lini van A tot inde sijde BC.

T W E R C K.

Ick meet de hanghende AH die bevindende neem ick van 8.
Het dobbel van t'begheerde deel is 16.
T'selve ghedeelt deur 8 eerste in d'oirden comt 2.

[ 140 ]
    Daerom ghemeten van C na B 2 voeten als van C tot G, ende ghetrocken AG men heeft t'begheerde, waer af de proef is dattet deel AGC 8 voeten doet deur het 13 [11] voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een gegheven driehouck een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt een ghetoonden houck, na den eysch.


6   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini getrocken uyt een ghestelt punt inde sijde des driehoucx.


I  Voorbeelt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een driehouck sijn met een punt D inde sijde AC, ende EF sy een lini ghesneen in G.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'punt D een lini trecken, die vanden driehouck ABC een deel snye na den oirt C, in sulcken reden tottet ander deel als EG tot GF.

T W E R C K.
lijnen

    Ick treck DH rechthouckich op CB, ende DI rechthouckich op AB, souck daer na deur het 2 voorstel des 4 boucx de vierde everedenige der drie DH, DI, AB, welcke sy BK: Deel daer na deur het 2 voorstel van desen CK in L, inder voughen dat ghelijck EG tot GF, alsoo CL tot LK, welcke L ick neem te vallen tusschen C B: Treck daer na DL: Dit soo sijnde ick segh dat gelijck EG tot GF alsoo het deel DLC tottet deel DLBA.
    T B E R E Y T S E L.  Laet getrocken worden de rechte DB en DK.

T B E W Y S.

    Anghesien BK gront des driehoucx DBK, vierde everedenighe is der drie welcker eerste DH hooghde des driehoucx DBK, de twdede DI hooghde des driehoucx DBA, ende AB haer gront, soo is den driehouck DBK even anden driehouck DBA: Ende tot elcke vergaert den ghemeenen driehouck DLB, soo is den driehouck DLK, even anden vierhouck DLBA, daerom ghelijck den driehouck DLC, totten driehouck DLK, alsoo den selven driehouck DLC, totten vierhouck DLBA: Maer ghelijck den driehouck DLC, totten driehouck DLK, also de lini CL, tot LK, daerom ghelijck CL, tot LK,

[ 141 ]
alsoo den driehouck DLC, totten vierhouck DLBA: Maer ghelijck CL, tot LK, alsoo EG, tot GF deur t'werck, daerom ghelijck den driehouck DLC, totten vierhouck DLBA, alsoo EG tot GF.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

Ick meet de nabeschreven linien met voeten, die bevindende neem ick als volght:  DH 4, DI 3, AB 8, CB 7, EG 1, GF 3.
Segh daer na DH 4, gheeft DI 3, wat AB 8 ? comt als voor BK 6.
Daer toe vergaert CB 7, comt CK 13.
De selve an tween gedeelt gelijck EG 1,tot GF 3, comt voor t'eerste deel 3 1/4.
    Daerom soo veel voeten ghemeten van C tot L, ende ghetrocken DL men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Doende DH 4, ende CL 3 1/4, soo doet den driehouck DCL 6 1/2. T'welck soo sijnde den vierhouck DLBA sal moeten 3 mael soo veel doen, te weten 19 1/2, daerom den selven vierhouck van soo veel bevindende, t'voornemen is beproeft: Om daer toe te commen ick seggh: CL is hier boven bevonden van 3 1/4, die ghetrocken van CB 7, rest 3 3/4 voor LB gront des driehoucx DLB, ende haer hooghde DH doet 4, daerom de driehouck DLB doet 7 1/2. Daer toe vergaert den driehouck DAB 12 (soo veel begrijptse om dat haer gront AB 8 doet ende haer hooghde D 13 [DI 3]) comt voor den vierhouck DLBA na t'behooren 19 1/2.

Ander manier van wercking deur ghetalen.

    Ghenomen de maten der linien te sijn als boven soo bevinde ick den driehouck DBC van 14, DBA 12, t'samen voor den heelen driehouck ABC 26, de selve in tween ghedeelt ghelijck EG 1, tot GF 3, comt voor t'eerste deel 6 1/2. Daerom vande driehouck DBC 14, ghesneen 6 1/2 na de leering des 5 voorstels van desen, men bevint dat CL lanck moet vallen 3 1/4 als boven, Daerom soo veel ghemeten van C na K als tot L, ende ghetrocken DL men heeft t'begheerde, waer af de proef boven ghedaen is.

V E R V O L G H.

    By aldien den driehouck DBC te cleen waer gheweest om daer af te trecken 6 1/2, soo soude de snyende lini ghelijck DL nootsakelick ghevallen hebben van D in AB. Daerom als sulcx ghebeurt men sal uyt het voorgestelde aldus besluyten: Anghesien datter begheert is een deel na den oirt C, in sulcken reden tottet ander deel, als EG to GF, soo isser oock begheert een deel na den oirt A, in sulcken reden tottet ander deel, als FG to GE: Daerom volghende daer mede de wercking als boven (die alsdan sulcx na de slinckersijde valt, als de voorgaende na de rechtersijde; soo wel inde meetconstighe wercking als in die deur ghetalen) men comt tottet begheerde.
    Maer soo den driehouck DBC byghevalle even waer gheweest ande boveschreven 5 3/8 [6 1/2] die van t'gheheel moeten ghesneen sijn, tis kennelick dat DB dan de begheerde snyende lini soude wesen.


2  Voorbeelt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC des I voorbeelts een driehouck sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer af na den oirt C een deel snyen (minder welverstaende dan t'begrijp des heelen onbekenden driehoucx) ick neem van 6 I/2 voeten, met een lini uyt D ghetrocken.

[ 142 ]
T W E R C K.

Ick meet de hanghende DH op de sijde BC, die bevindende neem ick van 4.
Segh daer na, het dobbel des begheerden deels 6 1/2 doet 13.
Die ghedeelt deur 4 eerste in d'oirden comt 3 1/4.
    Daerom soo veel voeten ghemeten van C tot L, ende ghetrocken DL, men heeft t'begheerde, want alsdan doet den driehouck DLC 6 1/2.

V E R V O L G H.

    By aldien t'begheerde deel meerder waer gheweest dan den driehouck DBC, men soude soo veel snyen vanden driehouck DBA na den oirt B alsser ghebrake, ende t'begheerde hebben.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven driehouck een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt met een lini ghetrocken uyt een ghestelt punt inde sijde des driehoucx na den eysch.


7   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel te snyen na een begheerden oirt, met een lini getrocken uyt een ghegheven punt in des plats omtreck, snyende het plat in tvveen.

    Merckt eer wy totte saeck commen, datter eyghentlick acht te nemen is op des voorstels laetste woorden aldus luydende: snyende het plat in tween, waer by te verstaen is eyghentlick twee stucken, en niet meer, ghelijck an sommighe rechtlinighe platten gebeuren can.

lijnen
Laet by voorbeelt ABCDEF een rechtlinich plat sijn, met een inwendighen houck ABC, en van t'punt G inde lini AF comme een rechte lini GHIK, snyende t'ghegheven plat na eenighe begheerde rede niet in tween, maer in drien, te weten de twee verscheyden driehoucken AGH, CIK, t'samen in begheerde reden tottet derde stuck: Welcke manier van snyen inden wijsentijt bekent mach gheweest sijn, maer nu, mijns wetens niet. En mach derghelijcke oock verstaen worden op ettelicke volgende voorstellen daer sulcx ghebeuren can.
    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDEF een rechtlinich plat sijn, ende G een punt inde sijde AB, ende HI een lini ghesneen in K.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'punt G een lini trecken die van t'ghegeven plat na den oirt A een deel snye, in sulcken reden tottet ander deel, als HK tot KI.

T W E R C K.

    Ick treck de vier linien GF, GE, GD, GC, deelende t'ghegeven plat inde vijf driehoucken GAF, GFE, GED, GDC, GCB, Daer na eenighe vijf linien LM, MN, NO, OP, PQ al in een rechte lini, ende tot malcander oirdentlick in sulcken reden als de boveschreven vijf driehoucken deur het 8 voorstel des 4 boucx:

[ 143 ]

zeshoek met lijnen

Deel daer na LQ in R, sulcx dat ghelijck HK tot KI, alsoo LR tot RQ, ende valt de voorschreven R neem ick tusschen O en P, welcke OP wesende lijckstandighe pael metten driehouck GDC, soo deel ick de sijde DC int punt S, sulcx dat ghelijck OR tot RP, alsoo DS tot SC, ende trec GS die ick segh de begheerde te wesen, snyende den seshouck alsoo dattet deel GSDEFA, sulcken reden heeft tottet deel GSCB, als HK, tot KI, waer af t'bewijs deur t'voorgaende openbaer is.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet de voorgaende linien en driehoucken met voeten, die vindende neem ick als volght:

  HK                 40.
  KI                 10.
                   ______

  GAF                38.
  GFE               364.
  GED               390.
  GDC               666.
  GBC                85.
                   ______

    Comt in als voor den heelen seshouck ABCDEF. 1543.

    De selve 1543 ghedeelt ghelijck HK 40, tot KI 10, comt voor t'begheerde deel na A dat wy afsnyen moeten 1234 2/5: Hier toe maken de drie driehoucken GAF 38, GFE 364, GED 390, t'samen voor den vijfhouck GDEFA 792. Maer wy moetender als gheseyt is 1234 2/5 hebben, daer ghebreeckter dan noch 442 2/5, die afghesneen vanden driehouck GDC na de leering des 5 voorstels van desen mette lini GS, sulcx dat den driehouck GSD begrijpe de selve 442 2/5, soo sal het deel na A, als den seshouck GBDEFA doen 1234 2/5, t'ander deel als den vierhouck GSCB 308 3/5, welcke tot malcander openbaerlick in sulcken reden sijn als 4 tot 1.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel ghesneen na een begheerden oirt, met een lini ghetrocken uyt een ghegheven punt in des plats omtreck, na den eysch.

[ 144 ]

N V   V A N D E   S N Y D I N G   D E R

R E C H T L I N I G H E   P L A T T E N

met een lini commende uyt een ghestelt
punt buyten den omtreck.


DE vier voorstellen deser ghedaente seer spitsvoudich sijnde, en merck ick niet by de Griecken bekent gheweest te hebben, dan vermoedese in eenighe overbleven schriften des wijsentijts weerom te voorschijn gherocht te wesen, uyt welcke sy ghecommen meughen sijn onder anderen ter handt van Ioannes Baptista Benedictus (uyt wiens schriften*) vertoochse wijse {Theorematicè.} ghestelt, wy de form der wercking en bewijsing deser voorstellen ghetrocken en veroirdent hebben:)  Oock ter handt van Nicolas Tartaglia, die ick daer na bevonden heb dat daer af gheschreven had in Il libro della quarte parte°): Mijn reden van sulck vermoeden is dusdanigh: Ymant die sich voorstelt oirdentlick te willen vervolghen de beschrijving vant snyen der platten, hem comt int ghedacht daer in te behooren de snijding deur een punt soo wel ghegheven buyten den omtreck, als daer binnen, te meer dattet in deeling van landen somwijlen dadelick vereyscht wort: Maer sulcx soodaniger menschen ghedachten te wesen, blijckt noch deur diender veel verscheyden dit verschil malcander voorghestelt hebben, als den boveschreven Benedictus wiens schrift een brief van antwoort was op sulcken vraghe. Ten anderen Cardanus met Ludovicus Ferrarus hebben sulcx voorghehouden an Tartaglia, t'welck hy Tartaglia daer te vooren, soo hy self schrijft, in sijn openbaer redenstrijt {Publicâ disputatione.} voorghestelt had. My sijnder oock ander bekent die daer me, eer dese voorstellen t'haerder handt ghecommen waren, doende gheweest hebben, onder welcke ick een was.#)
    Maer t'ghene hier af de menschen nu ter tijt ontmoet, derghelijcke ist billich toe te laten ontmoet te hebben de Vinders der seltsame wetenschappen daer af ons soo seecker teyckens ghebleven sijn, t'welck waren, soo inde bepaling van dies t'sijnder plaets verclaert is, de menschen des wijsentijts, daerom gevet groot vermoeden, datse sulcken vermaert vindlick deel der Meetconst niet onghevonden ghelaten hebben.


    *)  PW II, 123, 767: Giov. Batt. Benedetti , Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum Liber (Turijn 1585), 304-7.
    °)  Nic. Tartaglia, General trattato di numeri, et misure, vol. 3: La terza .. sesta parte (1560); PW II, 123: La quinta parte, fol. 23v-44r (fol. 31r: Cardano & Ferrari, "nostra publica disputa").
    #)  Zie: Liesbeth de Wreede, Willebrord Snellius ... (2007), h 6.
Vgl. W. Snellius, 'Peri logou apotomès kai peri chôriou apotomès' resuscitata geometria (1607), p. 15-16 (in de opdrachtbrief van het 2e deel, aan Stevin).  [>]


8   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een rechte lini commende uyt een punt ghegheven buyten den driehouck.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een driehouck sijn, en een punt daer buyten D, voort sy EF een lini ghesneen in G.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'punt D een rechte lini trecken, snyende den driehouck in tween, soo dattet deel nae A, in sulcken reden sy tottet ander, als EG [FG] tot EG.

T W E R C K.

I   L I D T.

    Ick treck CA of CB voorwaert: Maer om hier wat breeder verclaring te doen welcke het wesen moet, ick segh aldus: By aldienmen deur de ghelegentheyt

[ 145 ]
[ HD evenwijdig met AB, zie p. 149 ]
driehoek, lijnen
des gheghevens uyter ooch mercken can dat de begheerde lini diemen uyt D trecken moet, vallen sal in CA, men treckt de selve CA voorwaert, merckmense in CB te willen vallen, men treckt CB voorwaert. Maer sulcx by der oogh niet merckelick sijnde, men sal trecken een lini van D tot sulcken houck des ghegheven driehoucx ABC, daer den selven driehouck in tween deur can ghedeelt worden mette voorschreven lini of haer verlangde, welcke hier is DC, snyende AB teghenoversijde des houcx C in X. Soo nu de lini AX by ghevalle in sulcken reden bevonden wierde tot XB, ghelijck GF tot GE, t'welck deur het 2 voorstel des 4 boucx bekent wort, tis openbaer dat DC de begheerde lini soude sijn, deelende den driehouck ABC inde begheerde reden, om dat ghelijck AX tot XB, alsoo den driehouck ACX totten driehouck XCB. Maer soo de reden van AX tot XB grooter bevonden wierde dan van FG tot GE, men sal CA voorttrecken, en cleender bevonden wesende, alsdan treckmen CB voorwaert. Laet dan de selve reden grooter bevonden sijn: Dit soo ghenomen ick moet CA ghenouch voorwaert trecken, t'welck sy tot H.*)
    *)  'Ghedructe fauten' (^): "t'welck sy tot H, te weten soo verre tot dat DH evewijdeghe valt met BA."


2   L I D T.

    Ick segh daer na EF gheeft FG, wat BA ? comt AI, die ick teycken inde voortghetrocken BA.

3   L I D T.

    DH gheeft AI, wat CA ? comt AK, die ick teycken inde lini van A na C.

4   L I D T.

    Ick deel AK int middel an t'punt L.

5   L I D T.

    Ick souck deur het 3 voorstel des 4 boucx de middeleveredenighe lini tusschen AL, en een lini even an AL met het dobbel van AH, welcke middeleveredenighe sy LM.
    Merckt*) nu dat by aldien LM langer viel dan LC, of dat DM niet en gheraeckt AB, sulcx dattet afghesneen deel na A niet en waer een driehouck, soo en soudemen int I lidt des wercx niet CA voortghetrocken hebben, maer CB, en dan t'boveschreven werck over die sijde doen.


    *)  'Ghedructe fauten' (^): "In de selve sijde meughen de vier laetste linien uyt blijven, want het is deur het 1 lidt onmeughelick anders te commen."
[ 146 ]
6   L I D T.

    Ick treck de rechte lini DM snyende AB in N: T'welck soo wesende ick segh den driehouck ABC in tween ghesneen te sijn mette lini DM, alsoo dattet deel ANM, in sulcken reden is tottet ander MNBC, als FG tot EG.

T B E W Y S.

    Want dit bewijs hoe wel van een cort werck lanck sal vallen, soo sullen wijt om alles bescheydentlick te doen in 5 leden deylen, en op dattet vervolgh der selve leden en de maniere vant bewijs int gemeen opentlicker verstaen werde, soo sullen wy hier t'voornaemste inhoudt dier leden eerst int corte verhalen als volght.
    Int I lidt sal bewesen worden dat ghelijck den rechthouck onder AC, AB, totten rechthouck onder AM, AN, Alsoo den driehouck ABC, totten driehouck ANM.
    Int 2 lidt, dat ghelijck EF tot FG, alsoo den rechthouck onder AB, AC, totten rechthouck onder AC, AI.
    Int 3 lidt, dat den rechthouck onder HD, AK, even is anden rechthouck onder AC, AI.
    Int 4 lidt, dat den rechthouck onder MA, AK, even is anden rechthouck KA, AH.
    Int 5 lidt, dat den rechthouck onder MA, AN, even is anden rechthouck onder HD, AK, en daerom oock even metten rechthouck onder AC, AI, deur het 3 lidt: Maer int 2 lidt is gheseyt dat ghelijck EF tot FG, alsoo den rechthouck onder AB, en AC, totten rechthouck onder AC en AI: En daerom ghelijck EF tot FG, alsoo den rechthouck onder AB, AC, totten rechthouck onder MA, AN: Maer de twee driehoucken ABC, ANM, sijn oock inde selve reden deur het I lidt, daerom ghelijck EF, tot FG, alsoo den driehouck ABC, totten driehouck ANM: Ende deur ghescheyden reden, ghelijck EF min FG dats EG, tot FG, alsoo den driehouck ABC min den driehouck ANM dats den vierhouck MNBC, totten driehouck ANM, na den eysch.
    Dit aldus int ghemeen gheseyt wesende, wy sullen totte eyghentlijcke beschrijving der voornoemde vijf leden commen.

I   L I D T.

    Ghelijck den rechthouck onder AC, AB, totten rechthouck onder AM, AN, alsoo den driehouck ABC, totten driehouc ANM, t'welc aldus bewesen wort:

driehoeken
Laet om de ghegheven form deur veel linien niet te verduysteren andermael geteyckent worden den driehouck OPQ, en gelijck metten driehouck ABC, en daer in sy ghetrocken de lini RS, even met MN, en in sulck gestalt in dees form, als MN in die, daer na sy ghetrocken QT even en evewijdeghe met OP, en RV even en evewijdeghe met OS, daer na TP en VS: dit soo sijnde, ick segh dat ghelijck den evewijdeghen vierhouck QOPT onder QO, OP, tot haer heeft [helft] den driehouck OPQ, alsoo den evewijdegen vierhouck ROSV onder RO, OS, tot haer helft den driehouck OSR:
[ 147 ]
Maer ghelijck den evesijdighen vierhouck onder QO, OP, totten evesijdigen vierhouck onder RO, OS, alsoo den rechthouck onder QO, OP, totten rechthouck onder RO, OS: Daerom ghelijck den rechthouck onder QO, OP, totten rechthouck onder RO, OS, alsoo den driehouck OPQ, totten driehouck OSR, Maer den rechthouck onder AC, AB, is even metten rechthouck onder OQ, OP, Ende den rechthouck onder AM, AN, is even anden rechthouck onder OR, OS, en den driehouck ABC even anden driehouck OPQ, en den driehouck ANM even den driehouck OSR, daerom ghelijck den rechthouck begrepen onder AC, AB, totten rechthouck begrepen onder AM, AN, alsoo den driehouck ABC, totten driehouck ANM.

2   L I D T.

    Sooder ghemaeckt waren twee rechthoucken d'een onder AB en AC, d'ander onder AI, en de selve AC tis kennelick dat die twee rechthoucken wesende van een selve hooghde, souden sijn inde reden haerder gronden BA, AI: Maer ghelijck BA tot AI, alsoo EF tot FG deur des wercx 2 lidt, daerom ghelijck den rechthouck onder AB, AC, totten rechthouck onder AI, AC, alsoo EF tot FG.

3   L I D T.

    Vande drie linien HD, AI, CA, is AK de vierde everedenighe deur des wercx derde lidt, daerom den rechthouck onder d'uyterste palen HD, AK, is even anden rechthouck onder de middelste AI, CA.

4   L I D T.

    Doen t'werck dus verre ghecommen was, soo moesten wy vinden een lini als AM, sulcx dat den rechthouck begrepen onder de selve AM en MK, even waer anden rechthouck begrepen onder AH, AK, de naeste wech om dat te doen die my int beschrijven van desen te vooren quam, was een meetconstighe wercking ghetrocken uyt een stelreghelsche wercking {Geometrica operatio sumpta ex Algebraicâ operatione.} in deser vougen: Ick heb de ghegheven form ghetalen toegheeyghent, en ghenomen AB te doen 4, AC 3, AH 4, HD 8, EF 9, FG 4, waer me KA volghende de boveschreven wercking des 2 en 3 lidts bevonden wort van 2/3 (want segghende EF 9 gheeft FG 4 wat AB 4 ? comt AI 16/9 daer na HD 8 gheeft AI 16/9, wat AC 3 ? comt alsvooren AK 2/3)  En daerom is MK van 2/3 minder dan MA. Nu dan moetende vinden de selve MA, sulcx dat den rechthouck begrepen onder haer en MK, (die als wy gheseyt hebben 2/3 minder is dan MA) even sy anden rechthouck begrepen onder AH 4, en AK 2/3, doende dien rechthouck 8/3: Soo stel ick my in ghetalen dit voor.

Te vinden twee ghetalen, teen 3/2 cleender als t'ander, die t'sa-
men ghemenichvuldicht uytbrenghen 8/3.

    Nu dan voort onbekent begheert ghetal van MA ghestelt 1 (I), ende stelreghelsche wercking gevolght, nemende voor het tweede getal 1 (I) - 2/3, haer uytbreng doet 1 (2) - 2/3 (I), die even sijn met 8/3. En tot elck deel ghedaen + 2/3 (I), comt 1 (2) even met 2/3 (I) + 8/3. Om nu te vinden de weerde der eerstghestelde 1 (I), dats voor MA: Ick segh 1 (2), gheeft 2/3 (I) + 8/3, wat 1 (I) ? waer af de wercking deur het 68 probleme van ons fransche Telconst dusdanich is.

[ 148 ]
Den helft van 2/3 (der 2/3 (I)) is 1/3.
Sijn viercant 1/9.
Daer toe t'ghegheven ghetal 8/3.
Gheeft somme 25/9.
Diens viercantsijde 5/3.
Daer toe vergaert 1/3 eerste in d'oirden, comt de ghesochte waerde van 1 (I) dats voor AM 2.
    Want soomen neemt een tweede ghetal dat 2/3 cleender is, te weten 4/3 voor KM, en dat ghemenichvuldicht met AM 2, comt na t'behooren 8/3.
    Nu soo canmen uyt dese stelreghelsche wercking, ghelijck oock uyt alle stelreghelsche werckinghen, trecken een ghemeene reghel die gheen stelreghel en is, midts in te sien de ghedaente der ghetalen vande wercking int soucken der weerde van 1 (I), t'welck is datmen neemt den helft van KA,
dats LA doende 1/3.
Diens viercant 1/9.
Daer toe ghedaen den rechthouck begrepen onder AH 4 en AK 2/3, doende 8/3.
Comt 25/9.
Daer af een viercant ghemaeckt, de sijde is van 5/3.
Daer toe vergaert AL 1/3 eerste in d'oirden, comt AM 2.
En daerom KM 4/3.
    D'oirsaeck waerom wy in des wercx 5 lidt, dese stelreghelsche manier niet heel int lang en volghden, maeckende van LA een viercant, en daer toe vergarende een rechthouck even anden rechthouck onder AH, AK, en die twee t'samen in een viercant verkeerende om de sijde te vinden, en tot die sijde noch AL te vergaren, dat is om cortheytswille gheschiet:
Want anghesien de hoochde AK van t'een deser twee platten, altijt dobbel is ande hoochde AL vant ander, soo is den rechthouck onder AL en het dobbel van AH, altijt even an die twee platten t'samen, en daer toe noch vergaert het viercant van AL, soo moet dan de middeleveredenighe tusschen de twee sijden dien rechthouck begrijpende (welcker sijden een is AL, d'ander een lini even an AL mettet dobbel van AH, ghelijck int wercx 4 lidt) de selve AM voortbrengen, maer deur een corter wech:
Sulcx dat ghelijck in dit 4 lidt voorghenomen was te bewijsen, den rechthouck begrepen onder MA en MK, even is anden rechthouck onder AK, AH. Nu alsoo dese stelreghelsche wercking t'sijnder plaets haer wisconstich bewijs heeft, soo is oock de voorgaende meetconstighe wercking in dit deel wisconstich deur kennis der oirsaecken.

5   L I D T.

    Na dien dese twee rechthoucken onder MA, MK, en onder AK, AH even sijn, soo moeten haer sijden overhandt everedenich wesen, dat is

    Ghelijck AH tot MA, alsoo MK tot AK,

En deur versaemde reden,

[ 149 ]
    Ghelijck AH met AM dats MH,
    Tot MA,
    Alsoo MK met KA dats AM,
    Tot KA,

    Ende want HD en AN evewijdeghe sijn inden driehouck HDM, soo segh ick:

    Ghelijck MH tot MA, alsoo DH tot NA:

    Maer elcke reden der twee DH, AN, en AM, KA met een selve MH everedenich sijnde, soo volght daer uyt dat

    Ghelijck MA tot KA, alsoo DN tot AN,

    En daerom is den rechthouck begrepen onder de buytenste palen, even anden rechthouck begrepen onder de binnenste namelick:
    Den rechthouck onder MA, AN, is even anden rechthouck onder KA, DH.
    Maer den rechthouck onder KA, DH, is even anden rechthouck onder AC, AI, deur het 3 lidt, Daerom den rechthouck onder MA, AN, is even anden rechthouck onder AC, AI.

    Maer ghelijck EF,
    Tot FG,
    Alsoo den rechthouck onder AC, AB,
    Totten rechthouck onder AC, AI,

    Door het 2 lidt, en daerom

    Ghelijck EF,
    Tot FG,
    Alsoo den rechthouck onder AC, AB,
    Totten rechthouck onder MA, AN,

    Maer ghelijck den rechthouck onder AC, AB, totten rechthouck onder MA, AN, alsoo den driehouck ABC, totten driehouck ANM deur het I lidt, daerom

    Ghelijck EF,
    Tot GF,
    Alsoo den driehouck ABC,
    Totten driehouck ANM.

    En deur ghescheyden reden,
    Ghelijck EF min GF dat[s] EG tot FG, alsoo den driehouck ABC min den driehouck ANM dats den vierhouck MNBC, totten driehouck ANM: T'welck wy bewijsen moesten.


2  Voorbeelt deur ghetalen.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC int eerste voorbeelt andermael den ghegeven driehouck sijn, D een punt daer buyten, en de reden sy van EG tot FG, welverstaende dat AB doet 3, AC 3, EG 5, FG 4: En CA voortgetrocken wesende na H, en DH evewijdeghe met BA, ontmoetende CH in A [H], soo doet AH 4, en DH 6.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vinden hoe verre van A inde linie AC sal vallen een punt als M, sulcx dat ghetrocken DM, het deel als MNBC, sy in sulcken reden tot ANM, als 5 van EF, tot 4 van FG.

[ 150 ]
T W E R C K.

EF 9 somme van 5 en 4, gheeft FG 4 wat BA 4 ? comt 16/9.
DH 8 gheeft 16/9 eerste in d'oirden, wat CA 3 ? comt 2/3.
Diens helft 1/3.
Daer toe het dobbel van AH 4 doende 8.
Comt    8 1/3.
Die ghemenichvuldicht deur 1/3 derde in d'oirden comt 25/9.
Diens viercantsijde 5/3.
Hier toe 1/3 derde in d'oirden comt 2.
    Daerom segh ick, ghemeten van A na C als tot M, soo dat AM doet 2, en ghetrocken DM snyende AB in N, men heeft t'begheerde, waer af t'bewijs openbaer is deur t'bewijs vant I voorbeelt.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven driehouck een begheert deel ghesneen, na een ghetoonden oirt, met een rechte lini commende uyt een punt ghegheven buyten den driehouck na den eysch.


9   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen (meughelick sijnde afghesneen te vvorden) na een ghetoonden oirt, met een lini streckende deur een punt ghegheven binnen den driehouck.

    Om te verclaren d'oirsaeck waerom int voorstel geseyt wort meughelick sijnde, soo is te weten datmen als het ghegheven punt binnen t'plat is, begheeren can een cleender of grooter deel vant plat ghesneen te worden dan meughelick is: Als by voorbeelt soo t'ghegheven plat waer een viercant, en t'ghegheven punt sijn middelpunt, en datmen daer deur begheerde een lini ghetrocken te worden dieder een derdendeel afsne, Men seght dat onmeughelick te wesen, om dat alle lini deur t'selve middelpunt ghetrocken het viercant in twee even stucken deelt: Wederom en canmen deur een driehoucx swaerheyts middelpunt gheen lini trecken daer af een cleender deel snyende dan in sulcken reden totten heelen driehouck, als van 4 tot 9, ende gheen grooter dan als van 5 tot 9, en soo voort met oneyndelicke andere: En daerom moetet begheerde meughelick sijn ghelijck t'voorstel inhout.
    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een driehouck sijn, en den [een] punt daer in D, voort sy EF een lini ghesneen in G.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten deur t'punt D een rechte lini trecken den driehouck in tween snyende, soo dattet deel na A, in sulcke reden sy tottet ander soot meughelick is, als FG tot EG.

T W E R C K.

    Men treckt ghelijck int 8 voorstel, van D tot in CA de lini DH, evewijdich met BA, en voort en verschilt de rest der wercking vande voorgaende des 8 voorstel anders niet, dan datmen hier int vijfde lidt sal segghen min het dobbel in plaets daermen inde voorgaende wercking seght met het dobbel. Als by voorbeelt int boveschreven 5 lidt staet aldus: Ick souck de middeleveredenighe lini tusschen AL, en een lini even an AL met het dobbel van AH: Maer hier salmen aldus segghen: Ick souck de middeleveredenighe lini tusschen AL, en een lini even an AL min het dobbel van AH. D'oirsaeck daer af blijckt inde stelreghelsche wercking ghedaen na den eysch van dit voorbeelt, alwaer wy vinden 1 (2) even met (I) - (0), daer wy in d'ander creghen 1 (2) even met (I) + (0):

[ 151 ]
Sulcx dat daer af gheen voorder verclaring des wercx, noch bewijs soo wel in ghetalen als meetconstich noodich en schijnt, te meer dat de letters der wercking inde form t'haerder plaets vervought, van sulcke beteyckeninghe sijn als int I voorbeelt.
driehoek, lijnen
    Noch valter dit te bedencken:
    Ten eersten dat de langde van LM die boven geteyckent is van L na C, noch boven dien mach gheteyckent worden van L na A, welcke langde in LA vallende, en dat dan de lini van dat punt ghetrocken deur D, comt te gheraecken AB, soo sijnder tottet begheerde twee besluyten:
Om van t'welck by voorbeelt te spreecken, laet de volghende ABC een driehouck sijn, en t'ghegheven punt D, waer in de langde van L tot M eerst ghestelt is van L na C, daer na van L na A, vallende niet buyten LA, maer daer in tot O, sulcx dat daer na ghetrocken de rechte lini van O deur D tot P, soo wel de sijde AB gheraeckt, als d'ander lini MDN de selve AB gheraeckt. T'welck soo wesende elck afghesneen deel is een driehouck, te weten ANM, APO, die even moeten sijn, en den driehouck ODM is oock even an NDP: Sulcx datter soo wy gheseyt hebben twee besluyten sijn, ten waermen int begheerde verclaert had welcke lini der twee datmen hebben wil, waer af d'oirsaeck openbaer is deur het dobbel besluyt dat de stelreghelsche wercking mebrengt in des bewijs 4 lidt.
driehoek, lijnen
    Ten anderen anghesien datter in AC maer twee punten en sijn als M, O, en in AB gheen ander dan N, P, deur welcke de begheerde linien ghetrocken meugen werden: Soo volght daer uyt dat de lini ghetrocken van O deur D niet gheraeckende AB, datter dan het tweede besluyt niet sijn en sal: Noch oock het eerste als t'punt N der voortghetrocken MD, niet en valt in AB: Waer uyt wijder te verstaen is, dat de wercking begost hebbende met te trecken de lini DH evewijdeghe met BA (als in des eerste voorbeelts I lidt [)], en daer uyt de punten N noch P in AB niet vallende, alsdan niet noodich te sijn sulcx andermael te versoucken met te trecken DH evewijdeghe met AC, ghelijckmen int boveschreven eerste voorbeelts I lidt doen mocht, want dat op d'een sijde onmeugelijck valt moet op d'ander oock onmeugelijck wesen: En de linien met meughelijck besluyt diemen op d'een sijde vindt, de selve vindtmen oock op d'ander.
[ 152 ]
    Men soude hier noch meughen by voughen een voorbeelt deur ghetalen, maer anghesien t'werck gheen ander verschil en heeft dan wy gheseyt hebben int 5 lidt te wesen, soo schijnet onnoodich, wy sullen dan totten vierhouck commen.


1 0   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven vierhouck een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt of deur een punt ghegheven buyten den omtreck.

I  Voorbeelt van een evewijdeghe vierhouck waer af de snyende lini strecken sal deur twee evewijdeghe sijden.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een evewijdeghe vierhouck sijn, E een punt daer buyten, voort sy FG een lini ghesneen in H.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'punt E een rechte lini trecken, snyende den vierhouck in tween, soo dattet deel na B, in sulcken reden sy tottet ander, als GH tot FH.

T W E R C K.

    Ick teycken t'punt I int middel van AD, en K int middel van BC, treck IK: Segh daer na FG gheeft GH, wat IK ? Comt KL, die ick teycken in KI: Treck daer na van E deur L de lini EMLN, snyende neem ick de twee evewijdeghen AB, DC in M en N, maer soo N ghevallen hadde in BC men soude dan volghen het nabeschreven 4 voorbeelt. Dit soo sijnde, ick segh het deel, te weten den vierhouck MBCN, in sulcken reden te wesen tottet anderdeel AMND, als GH tot FH.
    T B E R E Y T S E L.  Laet ghetrocken werden deur L de lini OP even en evewijdeghe met BC.

T B E W Y S.
vierhoek, lijnen
    Anghesien IK in sulcken reden is tot KL, als FG tot GH deur t'werck, soo is deur ghescheyden reden IL in sulcken reden tot LK, als FH tot GH: Ende inde selve reden moet oock sijn DP tot PC, gelijck oock moeten dier gronden vierhoucken, dats AOPD tot OBCP: Maer den driehouck LOM, is even anden driehouck LPN, daerom LOM ghetrocken van AOPD, en LPN daer toe ghedaen, soo moetet deel AMND, even sijn mettet deel AOPD, en vervolghens AMND is in sulcken reden totte rest MBCN, als FH tot GH, t'welck wy bewijsen moesten.
[ 153 ]
    Maer soo t'ghegheven punt waer binnen den vierhouck, als ter plaets van Q, hier ghestelt inde lini MN, t'werck soude sijn ghelijck t'voorgaende, want deur Q en L ghetrocken de lini MQLN, men heeft openbaerlick t'begheerde.


2  Voorbeelt deur ghetalen.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD andermael de ghegheven vierhouck sijn, E een punt daer buyten, voort sy FG een lini ghesneen in H, welverstaende dat AB doet 6, AD 2, FH 2, GH 1. Maer om nu de ghestalt des punts E te verclaren, ick segh dat ghetrocken wesende EI evewijdeghe met AD, en gherakende AB in I, soo doet EI 2, en IA 1.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten deur ghetalen vinden hoe verre van D inde lini DC, sal vallen een punt als K, en hoe verre van A inde lini AB, sal vallen een punt als L, sulcx dat ghetrocken de rechte lini als ELK, het deel als ALKD, sy in sulcken reden tot LBCK, als 2 van FG, tot 1 van GH.

vierhoek, lijnen
T W E R C K.

    Ick teycken t'punt M int middel van AB, en N int middel van BC, treck MN, die ghelijck AB doen moet 6, en AM 1, als helft van AD 2, en treck E[I] voorwaert tot O, snyende MN in P: Segh daer na FG 3, gheeft GH 1, wat MN 6 ?
Comt NQ 2.
Segh daer na EP 3, gheeft PQ 3, wat EO 4 ? comt OK 4.
Daer toe DO even an AI doende deur t'ghegheven 1.
Comt voor de begheerde langde van DK 5.

[ 154 ]
    En s'ghelijcx sal AM [AL] bevonden worden van 3, want segghende EP 3, gheeft PQ 3, wat EI 2 ?
Comt IL 2.
Daer toe IL [IA] 1.
Comt als gheseyt is voor de begheerde langde van AL. 4 [3].
    Waer af t'bewijs deur het 4 [I] voorbeelt openbaer is.
    En sghelijcx sal oock sijn het werck deur ghetalen als t'punt E binnen het plat ghegheven is.


3  Voorbeelt van een vierhouck soot valt, waer af de snyende lini strecken sal deur twee teghenoversijden.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een vierhouck sijn soot valt, E een punt daer buyten, en de reden sy van FG tot GH.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'punt E een rechte lini trecken die den vierhouck in tween snijt, soo dattet deel na A, tottet ander sy inde reden van FG tot GH.

T W E R C K.

    Ick treck twee sijden voorwaert die versamen connen, als AB, DC, versamende in I: Segh daer na den vierhouck ABCD, gheeft den driehouck BCI, wat FH ? comt deur het 8 voorstel des 4 boucx HK: driehoek, lijnen Ick deel daer na den driehouck ADI deur het 8 voorstel van desen met een lini getrocken uyt E, soo dattet deel na I in sulcken reden sy tottet ander als KG tot GF, welcke lini sy ELM, streckende neem ick deur twee evewijdeghe sijden AB, C: Soose ghestreckt hadde deur twee malcander raeckende sijden, men soude dan volghen het 4 voorbeelt. Dit aldus sijnde, ick segh de lini ELM soo te wesen, dattet deel ALMD, in sulcken reden is tottet deel LBCM, als FG tot GH.

T B E W Y S.

    Anghesien ABCD in sulcken reden is tot IBC, als FH tot HK, en ALMD tot ILM, als FG tot GK deur t'werck, soo moet deur ghescheyden reden ALMD, in sulcken reden sijn tot LBCM, als FG tot GH, t'welck wy bewijsen moesten.

M E R C K T.

    Soo t'ghegheven punt waer gheweest binnen den vierhouck ABCD, of deur het voorttrecken van twee sijden ghevallen hadde binnen den driehouck daer af veroirsaeckt, tis kennelick datmen daer af deur het 8 of 9 voorstel van desen de begheerde soude ghevonden hebben.


4  Voorbeelt van een vierhouck soot valt, waer af de snyende lini strecken sal deur twee malcander rakende sijden.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een vierhouck sijn soot valt, E een punt daer buyten, en de reden sy van FG tot GH.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'punt E een rechte lini trecken die den driehouck in tween snijt, soo dattet deel na A, sy tottet ander inde reden van FG tot GH.

[ 155 ]
T W E R C K.

    Soomen uyter oogh conde sien, of soomen deur het 3 voorstel [voorbeelt] bevonden heeft, dat de snyende lini deur gheen twee teghenoversijden en streckt men mach aldus doen,

vierhoek, lijnen
ick treck DB, en segh, den vierhouck ABCD, geeft den driehouck ABD, wat FH ? wiens vierde everedenighe pael ghevonden deur het 8 voorstel des 4 boucx is neem ick FI: Ick souck daer na een lini ghetrocken uyt E, die vande driehouck ABD een deel snye na A toe, in sulcken reden tottet ander deel des selfden driehoucx, als FG tot GI, welcke lini ghevonden deur het 8 voorstel sy EKL snyende AB in K, en AD in L. Dit aldus sijnde ick segh de lini EKL het ghegheven plat soo te snyen, dattet deel AKL, in sulcken reden is tottet deel KBCD, als FG tot GH.

T B E W Y S.

    Ghelijck FI tot IH, alsoo deur t'werck ABD tot BCD, voort ghelijck FG tot GI, alsoo deur t'werck AKL tot KBDL, en deur versaemde reden ghelijck FG tot GI met IH, alsoo ALK tot KBDL met BCD, dat is ghelijck FG tot GH, alsoo AKL tot KBCDL, T'welck wy bewijsen moesten.

M E R C K T.

    Soo t'ghegheven punt had gheweest binnen den vierhouck ABCD, tis kennelick datmen daer af deur het 9 voorstel de begheerde snyende lini soude ghevonden hebben.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven vierhouck een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt of deur een punt buyten den omtreck, na den eysch.


1 1   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini commende uyt of deur een punt buyten den omtreck, snyende het plat in tvveen.

M E R C K T.

    Eer wy totte saeck commen, soo is te ghedencken datmen met des voorstels woorden snyende het plat in tween, sulcx verstaen sal als int merck des 7 voorstels van derghelijcke gheseyt is.
    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDEFGH een rechtlinich plat sijn soot valt, I een punt daer buyten, en de reden des afghesneen deels totte rest, sy van KL tot LM.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'punt I een lini trecken die den vierhouck in tween snijt, soo dattet deel na A tottet ander, sy inde reden van KL tot LM.

[ 156 ]
T W E R C K.

    Men sal voor al mercken deur wat twee sijden sal vallen de snyende lini ghetrocken uyt I, canment uyter oogh niet sien, men macher deur ghewisse wercking in handelen alsoo van derghelijcke int voorgaende ghenouch verclaring ghedaen is. lijnen Ghenomen dan dat ick weet de snyende lini te sullen vallen deur BC en HG, dit soo sijnde, ick treck de twee linien BH CG, waer me t'ghegheven plat ghedeelt is in drie stucken, te weten den driehouck ABH, en den vierhouck BCGH, den vijfhouck CDEFG, En in sulcke reden als tot malcander sijn dese drie deelen des ghegheven plats, inde selve deel ick deur het 8 voorstel des 4 boucx de lini KM inde punten, N, O, te weten ghelijck tot malcander sijn ABH, BCGH, CDEFG, alsoo oirdentlick vervolghende KN, NO, OM, sulcx dat NO wesende lijckstandige pael metten vierhouck BCGH, en in haer hebbende t'ghegheven punt L, ick deel de selve BCGH deur het I0 voorstel met een lini ghetrocken uyt I, welcke sy IPQ, snyende BC in P, en HG in Q, sulcx dat ghelijck NL tot LO, alsoo BPQH tot PCGQ: T'welck soo sijnde ick segh het deel ABPQH, in sulcken reden te wesen tottet deel PCDEFGQ, als KL, tot LM, na den eysch, waer af t'bewijs openbaer ghenouch schijnt deur derghelijcke vant 3 voorbeelt des 10 voorstels.

M E R C K T.

    Soo t'ghegheven punt I waer gheweest binnen het rechtlinich plat, tis kennelick datmen deur t'voorgaende daer af t'begheerde soude ghevonden hebben.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel ghesneen na den ghetoonden oirt, met een lini commende uyt of deur een punt buyten den omtreck, snyende het plat in tween, na den eysch.



N V   V A N D E   S N Y D I N G   D E R

P L A T T E N   M E T   E E N   L I N I

evewijdich an een ghestelde.


1 2   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven driehouck een begheert deel te snyen na een getoonden oirt, met een lini evevvijdich van een ghetoonde sijde.

I  Voorbeelt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een driehouck sijn, ende DE een lini ghesneen in F.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vanden driehouck ABC een deel snyen na den houck A toe, in sulcken reden tottet ander deel, ghelijck DF tot FE, ende dat met een evewijdeghe lini van CB.

[ 157 ]
T W E R C K.

    Ick vinde de vierde everedenighe der drie DE, DF, AB welck sy G: driehoek, lijnen Daer na de middeleveredenighe tusschen AB en G als AH, die ick teycken in AB, ende treck HI evewijdeghe met BC: welcke HI ick segh den driehouck ABC soo te snyen, dat ghelijck DF tot FE, also het deel AHI tottet deel HICB.

T B E W Y S.

    Anghesien G derde everedenighe is der twee AB, AH deur t'werck, soo heeft AB tot G een ghedobbelde reden van AB tot AH, daerom ghelijck AB tot G, alsoo den driehouck ABC tot haers ghelijcke driehouck AHI. Maer ghelijck AB tot G, alsoo DE tot DF deur t'werck, daerom ghelijck DE tot DF, alsoo ABC tot AHI: Ende deur verkeerde reden gelijck DF tot DE, alsoo AHI tot ABC, ende deur ghescheyden reden ghelijck DF tot DE min DF dats tot FE, alsoo AHI tot ABC min AHI dats tot HICB.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet de nabeschreven linien met voeten, die bevindende neem ick als volght: DE 4, DF 1, AB 8. Segh daer na DE 4, gheeft DF 1, wat AB 8 ?
comt 2.
Het middeleveredenich ghetal tusschen die 2 ende AB 8 is 4.
    Daerom ghemeten van A na B vier voeten als van A tot H, ende ghetrocken HI evewijdeghe met BC men heeft t'begheerde.
    T B E R E Y T S E L.  Laet getrocken worden de hanghende van A op BC, als AK snyende HI in L, ende de selve AK sy lanck bevonden neem ick 7 voeten, ende BC 6.
    P R O E F.  Angesien AK doet 7 voeten, ende BC 6 deur t'bereytsel, soo doet den driehouck ABC 21: Voort anghesien AH doet 4, HB 4, ende BC 6, soo is AL van 3 1/2, ende HI van 3, ende vervolghens den driehouck AHI 5 1/4, welcke ghetrocken vande voorschreven ABC 21, blijft voor de bijl HICB 15 3/4, tot welcke 5 1/4 in sulcken reden is, als DF 1 tot FE 3.

Ander wercking deur ghetalen ghevonden van sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    De twee viercanten van AB en AH, moeten tot malcander in sulcken reden sijn als ED 4, tot FD 1: Daerom segh ick, 4 gheeft 1, wat t'viercant van AB 64 ? Comt 16 voor t'viercant van AH, diens sijde AH doet 4, daerom gemeten van A na B 4, die vallen neem ick in H, en ghetrocken HI evewijdeghe met BC men heeft t'begheerde.

Ander wercking deur ghetalen ghebroken uyt * stelreghelsche wercking.   {Algebraicâ operatione.}

    Laet begheert sijn vanden driehouck ABC ghesneen te worden een vierendeel des selfden na A toe, welck vierendeel ick neem dat bevonden wort van 5 1/4.

[ 158 ]
Om de selve af te snyen na den eysch, ick meet den gront BC, die bevindende neem ick van 6, en de hanghende daer op AK van 7, dese 6 en 7 stel ick als ghebroken aldus 6/7 daer deur deel ick het dobbel van t'begheerde deel 5 1/4, dats 10 1/2, comt den mael {Productus.} 49/4, diens viercantsijde 3 1/2, de selve ghemeten van A na K valt neem ick in L, daerom deur L ghetrocken HI evewijdeghe met BC men heeft t'begheerde.
    Den oirspronck deses wercx is dusdanich: Ick sie dat den helft des uytbrengs der menichvulding van AL deur HI moet maken 5 1/4, voor t'plat des driehoucx AHI. Maer AL is tot HI, inde reden van AK tot BC, dats van 7 tot 6, daerom stel ick my selven dusdanighen werckstuck voor.

Vindt twee ghetalen tot malcander inde reden van 7 tot 6, diens uytbreng doet 10 1/2.

    En die sulcken werckstuck deur de stelreghel afveerdicht, sal daer in mercken den oirspronck deser voorgaende wercking.


I   V E R V O L G H.

    Soo t'begheerde deel waer gheweest deur meetconstighe wercking na de sijde BC toe, als neem ick t'selve deel te moeten sijn in sulcken reden tottet ander deel na den houck A, als FE tot FD, men sal inde wercking sich voorstellen datter begheert is een deel afghesneen te moeten worden na den houck A, in sulcken reden tottet ander deel, als FD tot FE ende volghen daer mede de reghel als boven.

2   V E R V O L G H.

    Soo t'begheerde deel waer gheweest deur telconstighe wercking na den oirt BC, men soude den heelen driehouck ABC meten, daer af treckende t'begeerde deel, doch inde wercking sich voorstellen die rest t'begheerde deel na den oirt A te wesen, ende volghen daer me de reghel als boven. By voorbeelt daer wort begheert vanden driehouck ABC ghesneen te worden 15 3/4 voeten: Ick meet den heelen driehouck die bevindende van 21, daer af ghetrocken 15 3/4, blijft 5 1/4: Daerom my selven voorstellende datter begheert is een deel afghesneen te worden van 5 1/4 na den oirt A, ick volgh de wercking als boven ende crijgh t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven driehouck een begheert deel ghesneen na een getoonden oirt, met een lini evewijdich van een ghetoonde sijde, na den eysch.


1 3   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven bijl een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini evevvijdich vande evevvijdighe des bijls.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een bijl sijn, diens twee evewijdeghe AB, DC, ende EF een lini ghesneen in G.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vanden bijl ABCD een deel snyen na AB toe, in sulcken reden tottet ander deel als EG tot GF, ende dat met een lini evewijdich van AB.

[ 159 ]
T W E R C K.
driehoek, lijnen

    Ick treck de onevewijdeghe DA, CB voorwaert tot datse vergaren int punt H, ende vinde de derde everedenighe der twee HD, HA, welcke sy HI geteyckent in HD: Daer na de vierde everedenighe der drie DI, IH, FE, welcke sy EK: Daer na deur het 6 voorstel deses 5 boucx vanden driehouck HDC een deel gesneen na den houck A toe, in sulcken reden tottet ander deel, ghelijck KG tot GF, ende dat met een evewijdeghe van AB, als LM, men heeft t'begheerde, te weten het deel LMBA, in sulcken reden tottet ander deel LMCD, als EG tot GF.

T B E W Y S.

    Anghesien HI derde everedenighe is der twee HD, HA deur t'werck, soo heeft den driehouck HDC, sulcken reden tot haers ghelijcke driehouck HAB, als HD tot HI: Ende deur ghescheyden reden ghelijck HDC min HAB dats de bijl ABCD, tot HAB, alsoo HD min HI dats DI, tot HI: Maer ghelijck DI tot HI, alsoo FE tot EK deur t'werck, daerom ghelijck FE tot EK, alsoo de bijl ABCD, totten driehouck HAB: Maer ghelijck de heele lini KF ghedeelt is in G, alsoo oock den heelen driehouck HDC mette lini LM, sulcx dat ghelijck KG tot GF alsoo HLM tot LMCD deur t'werck, daerom de drie deelen des heelen driehoucx als HAB, LMBA, LMCD, sijn oirdentlick tot malcander in sulcken reden als de drie deelen der heele lini KE, EG, GF, ende vervolghens LMBA, LMCD, sijn tot malcander in sulcken reden, als haer lijckstandighe palen EG, GF.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet de nabeschreven linien met voeten, die bevindende neem ick als volght.

  HD            24.
  HA            12.
  AB            12.
  EF            27.
  EG            16.
  GF            11.

Segh daer na HD 24, gheeft HA 12, wat HA 12 ? comt voor HI 6.
Die ghetrocken van HD 24, blijft DI 18.
Voort DI 18, gheeft IH 6, wat EF 27 ? comt voor EK 9.
Daer toe EG I6 comt voor KG 25.
Souck daer na deur het 12 voorstel van desen hoe lanck de lini HL moet sijn, om vanden driehouck HDC een deel te snyen na den houck H, in sulcken reden tottet ander deel, als KG 25, tot GF 11, ende dat met een evewijdeghe van AB als LM, ende wort bevonden voor de boveschreven HL 20.

[ 160 ]
    Daerom ghemeten van H tot L 20 voeten, of (om datmen sonder ghetalen den driehouck AHB niet en behouft te teyckenen) van D tot L 4 voeten, ende ghetrocken LM evewijdeghe met AB, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Laet ghetrocken worden HN rechthouckich op DC, ende snyende AB in O, ende LM in P, welcke HN ghemeten sijnde, wort bevonden neem ick van 18 voeten: Daerom NO doet 9, OP 6, PN 3. Want ghelijck DH 24, DA 12, AL 8, LD 4, tot malcander, alsoo oirdentlick NH 18, NO 9, OP 6, PN 3, voort doet LM 20, DC 24, want ghelijck HA 12, tot AB 12, alsoo HL 20, tot LM 20, alsoo oock HD 24, tot DC 24. T'welck soo sijnde het deel LMBA doet 96, ende LMCD 66 deur het 11 voorstel des 2 boucx, die tot malcander in sulcken reden sijn als EG 16 tot GF 11.

Ander wercking deur ghetalen.

Ick meet de volghende linien met voeten, die bevindende neem ick als volght AB 12, DC 24, ON 9: Daerom doet den ghegeven bijl deur het 11 voorstel des 2 boucx 162.
De selve ghedeelt ghelijck EG 16 tot GF 11, comt voor t'bovenste deel dat wy af moeten snyen 96.
Daer toe vergaert des bijls vervullende driehouck HAB, welcke deur het 3 vervolgh vant 6 voorstel des 2 boucx (alwaer t'vinden der hanghende HO gheleert wort) sijn sal van 54.
Maken t'samen 150.
Daerom soo veel ghesneen vanden driehouck HDC na de leering des 12 voorstels van desen, men bevint dat HP lanck moet sijn 15.
    Sulcx dat deur t'punt P ghetrocken LM evewijdege met AB, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Van HN 18 ghetrocken HP 15, blijft voor PN 3, die getrocken van NO 9, blijft voor OP 6: T'welck soo sijnde, LMBA doet 96, LMCD 66, die tot malcander in sulcken reden sijn als EG 16, tot GF 11.

I   V E R V O L G H.

    Soo t'begheerde deel waer gheweest na de sijde DC toe, als neem ick t'selve deel te moeten sijn in sulcken reden tottet ander deel na AB, als EG tot GF. Men sal inde wercking sich voorstellen datter begheert is een deel afghesneen te moeten worden na den houck A, in sulcken reden tottet ander deel, als FG tot GE, ende volghen daer me de reghel als boven.

2   V E R V O L G H.

    Soo t'begheerde deel waer vanden bijl gesneen te worden een menichte van voeten (doch minder dan t'begrijp des ghegeven bijls) men sal den heelen bijl meten, ende daer af treckende t'begheerde deel, soo heeft het selve begheerde deel tot die rest de behoirlicke reden daer de bijl in moet ghedeelt sijn, daerom volghende mette selve de voorgaende wercking men comt tottet begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven bijl een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een lini evewijdich vande evewijdeghe des bijls na den eysch.

[ 161 ]

1 4   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een lini evevvijdich van een ghestelde lini.

    T G H E G H E V E N.  Laet den seshouck ABCDEF een rechtlinich plat sijn, GH een ghestelde lini, ende IK een lini ghesneen in L.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vanden seshouck een deel snyen na F toe, in sulcken reden tottet ander deel, als IL, tot LK, ende dat met een lini evewijdich van GH.

T W E R C K.

lijnen     Ick treck snyende linien uyt al de houcken daer snyende linien ende evewijdeghe met GH uyt vallen connen, als uyt de houcken, A, B, D, E, ghelijck de linien AM, BN, DO, EP, Vyt welcke snydinghen de deelen des ghegheven seshoucx, vallen connen driehoucken, bijlen, of evewijdeghe vierhoucken, ende gheen ander. Vinde daer na deur het 8 voorstel des 4 boucx eenighe vijf linien QR, RS, ST, TV, VX tot malcander in sulcken reden als oirdentlick de vijf platten AFM, AMEP, PEDO, ODNB, BNC: Snye daer na QX in Y, sulcx dat ghelijck IL tot LK, alsoo QY tot YX, ende valt de selve Y neem ick tusschen T en V, welcke TV lijckstandighe pael sijnde mette bijl ODNB, ick deel de selve bijl deur het 13 voorstel van desen mette lini Za evewijdeghe van GH, in twee deelen, tot malcander in sulcken reden als TY tot YV: T'welck soo sijnde, ick segh dat ghelijck IL tot LK, alsoo het deel ZaDEFA tottet deel ZaCB, waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is.
    Angaende wercking deur ghetalen, ghemerckt datse deur t'voorgaende kennelick ghenouch schijnt en sullen die hier niet stellen.

V E R V O L G H.

    Deur dese deyling des landts ABCDEF mette lini Za, is kennelick ghenouch alle deeling des selven lants in verscheyden begeerde cavels, of evegroot, of van verscheyden grootheden, want ghelijck t'punt Y hier viel tusschen T en V, alsoo sal t'punt van een ander deel vallen tot een ander plaets der linien, en daerom haer lijckstandighe pael der platten inde selve reden ghedeelt, men heeft overal t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinich plat een begheert deel ghesneen na een getoonden oirt met een lini evewijdich van een ghestelde lini na den eysch.

[ 162 ]

1 5   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven clootvlack een begheert deel te snyen, met een plat na een ghetoonden oirt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een clootvlack sijn, diens as AC, ende EF een lini ghesneen in G.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten van t'selve clootvlack een deel snyen met een plat na den oirt C, in sulcken reden tottet ander deel, ghelijck EG tot GF.

T W E R C K.
cirkel, lijnen
    Ick deel AC in H deur het 2 voorstel van desen sulcx dat ghelijck EG tot GF, alsoo CH tot HA, treck voort deur t'punt H het plat IK rechthouckich op den as AC: T'welck soo sijnde ick seg dattet deel des clootvlacx ICK na den oirt C, in sulcken reden is tottet ander deel IAK, als EG tot GF.

T B E W Y S.

    De bultighe clootvlacken der coordsneen eens selfden cloots sijn inde reden van haer assen als ghetrocken wort uyt het bouck des cloots en seuls van Archimedes.
    Daerom ghelijck CH tot HA, alsoo het bultich clootvlack ICK tottet bultich clootvlack IAK: Maer gelijck CH tot HA, alsoo EG tot GF deur t'werck, daerom ghelijck EG tot GF, alsoo t'bultichvlack ICK tottet bultich vlack IAK.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet den as AC, die bevindende neem ick van 12 voeten, EG van 2, GF van 4, inder voughen dattet een afghesneen deel sulcken reden moet hebben tottet ander als 2 tot 4.
    Om hier toe te commen ick deel AC 12 in twee sticken, tot malcander in sulcke reden ghelijck EG 2 tot GF 4, comt voor t'eerste deel 4: Daerom ghemeten van C na A 4 voeten, welcke commen neem ick tot H, ende deur t'punt H een plat ghetrocken rechthouckich op den as AC, soo is t'bultich vlack ICK t'begheerde.
    P R O E F.  Het heel clootvlack doet 452 4/7 deur het 18 voorstel des 2 boucx: Ende het clootvlack ICK 150 6/7, t'selve getrocken vant heel clootvlack 452 4/7, rest voor het clootvlack IAK 301 5/7, tottet welck ICK 150 6/7, sulcken reden heeft als EG 2, tot GF 4.

V E R V O L G H.

    Sooder begheert waer een deel des bultich clootvlacx van een coordsne, die is deur het voorgaende bekent: Als by voorbeelt om te hebben het vijfdendeel des clootvlacx IAK, men vindt het vijfdendeel vanden as AH daer in bestaende, welck vijfdendeel sy AL, want deur t'punt L ghetrocken t'plat MN rechthouckich op den as, soo is t'bultich clootvlack MAN t'begheerde.

[ 163 ]
    Andersins mochtmen het vijfdendeel van AH oock meten van H tot O, treckende deur t'punt O t'plat PQ rechthouckich op den as, want den bultighen riem {Zona.} begrepen tusschen PQKI is openbaerlick het begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven clootvlack een begeert deel ghesneen, met een plat na een ghetoonden oirt, na den eysch.

M E R C K T.

    Sooder begheert waer een seker deel van een ongheschickt bultich vlack, ghelijck ghemeenelick sijn de vlacken van berghachtighe landen, daer in en can gheen lini ghetrocken worden evewijdich met een ghegheven rechte lini, ghemerckt de linien in sulcke vlacken crom sijn: Doch wy sullen hier wat segghen van t'ghene in sulcke bedeeling der landen dadelick ghebruyckt wort, te weten datmen in ste van een rechte lini, neemt de ghemeene sne des bultich vlacx en eens plats rechthouckich op den sichteinder, welcke ghemeene sne opt landt gevonden wort met te steken verscheyden baecken in een selve sichtstrael, en daer na van baeck tot baeck te kielspitten, of ander teyckens te stellen. onregelmatige vorm, lijnen Laet tot voorbeelt ABCD sulcken berchachtich lant sijn, waer af na den oirt A, ghesneen moet worden een vierendeel des selfden, met een plat rechthouckich op den sichteinder, en evewijdich vande lini E: Om nu tottet werck te commen, men meet het heel landt in sijn verscheyden stucken na de manier vant 3 voorbeelt des 11 voorstels vant 2 bouck, wort bevonden neem ick van 100 morghen, waer af het begheert vierendeel doet 25 morghen, die afghesneen moeten sijn na den oirt A. Om daer toe te commen, ick vergaer soo veel der voorschreven ghemeten stucken na den oirt A, alsser ten naesten by tot die begheerde 25 morghen behouven, teyckenende met baken een lini als neem ick BD, die ten naesten by de selve 25 morghen na A schijnt te sullen afsnyen: Daer na het vlack BDA hermeten sijnde, ist datment van 25 morghen bevint men heeft t'begheerde: Dies niet maer datter te luttel of te veel is, ick neem te luttel een morghen, soo moeter nevens BD een ander lini ghetrocken worden als FG mette selve BD evewijdich: Of anders gheseyt alsoo dattet plat deur FG rechthouckich op den sichteinder, evewijdich sy mettet plat deur BD oock rechthouckich op den sichteinder: Voort dattet vlack of den riem FGDB doe een morghen. Om nu te weten hoe breet den selven riem daer toe sal moeten wesen, ick meet haer langde BD die bevindende neem ick van 300 roen, daer deur ghedeelt de 600 roen van een morghen, comt 2 roen voor de breede, waer me den riem FGDB na ghenouch een morghen sal meughen doen,

[ 164 ]
en FGA het begheert deel sijn van 25 morghen: Doch soo de saeck noch nauwer rekening vereyschte, men mocht die morghen hermeten en soo veel daer af of toe doen deur een ander ghetrocken lini dan FG, als de saeck vereyschte.
    Maer sooder begheert waer een seker deel afghesneen met een plat rechthouckich op den sichteinder en deur een ghegheven punt inden omtreck, als neem ick andermael een vierendeel des vlacx ABCD, met een plat afghesneen deur t'punt F, men soude deur F ten naesten by t'selve vierendeel afsnyen alsvooren, met een verdochte lini van F tot neem ick D, welck vlack hermeten sijnde en te cleen bevonden van neem ick 1/2 morghen, men sal een ander lini trecken als FG soo dat den driehouck FDG de selve halve morghen begrijp: Om die te vinden men deelt het dobbel van 1/2 morghen dats 1 morghen of 600 roen, deur FD 300 roen, en t'ghene daer uyt comt is voor de verheyt tusschen de linien van D totte begheerde FG.



D E R D E   D E E L   D E S

V Y F D E N   B O V C X   V A N D E

E V E R E D E L I C K E   S N Y D I N G

D E R   L I C H A M E N.


1 6   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven rechtlinighe pylaer een begheert deel te snyen na een getoonden oirt, met een plat evevvijdich vanden as, diens plats ende des gronts ghemeene sne evevvijdeghe sy van een ghestelde lini.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een pylaer sijn diens grondt BCDE een rechtlinich plat is, ende F een lini GH een ander lini ghesneen in I.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vanden pylaer AB na den oirt D een deel snyen in sulcken reden tottet ander, als GI tit IH, met een plat evewijdich vanden as, diens plats ende des gronts ghemeene sne evewijdeghe sy met F.

T W E R C K.
scheef blok, lijnen
    Ick deel deur het I4 voorstel van desen den gront BCDE mette lini KL evewijdeghe van F, inder voughen dat ghelijck GI, tot IH, alsoo het deel KLDE, tottet deel KLCB: Deursnye daer na den pylaer mettet plat MNLK evewijdich vanden as, ofte dattet selve is van AD. T'welck so sijnde ick seg dattet deel KLNMEDA, sulcken reden heeft tottet deel KLNMBC, gelijck GI tot IH.

T B E W Y S.

    Anghesien die twee deelen pylaren sijn van even hooghden, soo sijnde [sijnse] inde reden haerder gronden: Maer de gronden sijn inde reden van GI tot IH deur t'werck, daerom de deelen sijn oock inde selve reden.

[ 165 ]
Angaende de wercking van dies deur ghetalen, alsoose deur t'voorgaende openbaer ghenouch is, wy en stellender gheen besonder voorbeelt af.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinighe pylaer een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een plat evewijdich vanden as, diens plats ende des gronts ghemeene sne evewijdeghe is van een gestelde lini na den eysch.


1 7   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven pylaer een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een plat evevvijdich vanden gront.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een pylaer wesen, diens gront van form sy soot valt, ende EF een lini ghesneen in G.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vanden pylaer een deel snyen na den oirt AB, met een plat evewijdich vanden gront DC, inder voughen dattet deel na AB toe, sulcken reden hebbe tottet ander deel, als EG tot GF.

T W E R C K.

    Ick deel de sijde AD in H, sulcx dat ghelijck EG tot GF, alsoo AH tot HD: parallelogram, lijnen Treck daer na deur t'punt H het plat HI evewijdich metten gront DC: T'welck soo sijnde ick segh dat gelijck EG tot GF, alsoo het deel HIBA tottet deel HICD.

T B E W Y S.

    Ghelijck AH tot HD, alsoo het deel HIBA, tottet deel HICD, want pylaren met even gronden wesende, soo moetense inde reden haerder hooghden sijn: Maer ghelijck HA tot HD, alsoo EG tot GF deur t'werck, daerom ghelijck EG tot GF, alsoo het deel HIBA tottet deel HICD.
    Angaende de wercking van dies deur ghetalen, alsoose deur t'voorgaende openbaer ghenouch is, wy en stellender gheen besonder voorbeelt af.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegeven pylaer een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een plat evewijdich vanden gront, na den eysch.


1 8   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven rechtlinighe naelde een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een t'plat deur t'soppunt diens ende des gronts ghemeene sne evevvijdeghe sy van een ghestelde lini.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDE een naelde sijn, diens sop A is, ende den gront BCDE een rechtlinich plat, F een lini, ende GH een ander lini ghesneen in I.

[ 166 ]
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vande naelde na den oirt D een deel snyen, in sulcken reden tottet ander deel, als GI tot IH, ende dat met een plat deur t'soppunt A, welck plats ende des gronts gemeene sne evewijdege sy met F.

T W E R C K.

    Ick deel deur het 14 voorstel van desen den gront BCDE mette lini KL evewijdeghe van F, inder voughen dat gelijck GI tot IH, alsoo het deel KLDE tottet deel KLCB.

piramide, lijnen
Deursnye daer na de naelde mette plat AKL: Twelck soo sijnde ick segh dattet deel AKLDE, sulcken reden heeft tottet deel AKLCB, ghelijck GI tot IH.

T B E W Y S.

    Anghesien die twee deelen naelden sijn van even hooghden, soo sijnse inde reden haerder gronden: Maer de gronden sijn inde reden van GI tot IH deur t'werck, daerom de deelen sijn oock inde selve reden. Angaende wercking van dies deur ghetalen, alsoose deur t'voorgaende openbaer ghenouch is, wy en stellender gheen besonder voorbeelt af.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven rechtlinighe naelde een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een plat deur t'soppunt, diens ende des gronts ghemeene sne evewijdeghe is van een gestelde lini, na den eysch.


1 9   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven naelde een begheert deel te snyen na een ghetoonden oirt, met een plat evevvijdich vanden gront.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een naelde sijn diens gront van form is soot valt, ende DE een lini ghesneen in F.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vande naelde ABC een deel snyen na den oirt A toe, in sulcken reden tottet ander deel, ghelijck DF tot FE, ende dat met een plat evewijdich vanden gront BC.

T W E R C K.

driehoek, lijnen     Ick vinde de vierde everedenighe der drie DE, DF, AB, welcke sy G: Daer na d'eerste der twee middeleveredenighe tusschen AB en G als AH, die ick teycken in AB, ende treck deur t'punt H t'plat HI evewijdich metten gront BC, welck plat HI ick segh de naelde ABC soo te snyen, dat ghelijck DF tot FE, alsoo het deel AHI, tottet deel HICB.

T B E W Y S.

    Anghesien G vierde everedenighe is der twee AB, AH, deur t'werck, soo heeft AB tot G een gedrievoudichde reden van AB tot AH.

[ 167 ]
Daerom ghelijck AB tot G, alsoo de naelde ABC tot haers ghelijcke naelde AHI: Maer ghelijck AB tot G, alsoo DE tot DF deur t'werck, daerom ghelijck DE tot DF, alsoo ABC tot AHI: Ende deur verkeerde reden ghelijck DF tot DE, alsoo AHI tot ABC, ende deur ghescheyden reden ghelijck DF, tot DE min DF dats tot FE, alsoo AHI, tot ABC min AHI dats tot HICB.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

Ick meet de nabeschreven linien met voeten die bevindende neem ick als volght:

  DE           8.
  DF           1.
  AB           5.

Segh daer na 8 eerste in d'oirden, geeft 1 tweede in d'oirden, wat 5 derde in d'oirden ? Comt als voor G 5/8.
Het eerste der twee middeleveredenighe ghetalen tusschen het derde ende vierde in d'oirden, dats tusschen 5 en 5/8, is 2 1/2.
    Daerom ghemeten van A na B 2 1/2 voeten, als van A tot H, ende ghetrocken het plat HI evewijdich metten gront BC, men heeft t'begheerde.
    T B E R E Y T S E L.  Laet ghetrocken worden den hanghende van A op de gront B[C] als AK, snyende HI in L, ende de selve AK sy lanck bevonden neem ick 4 voeten: Laet oock de gront een viercant sijn diens sijde BC doet neem ick 6.
    P R O E F.  Anghesien AK doet 4, ende BC 6 deur t'bereytsel, soo doet den viercanten gront der ghegheven naelde 36, ende de naelde self 48: Voort angesien AH doet 2 1/2 ende HB 2 1/2, ende BC 6, soo is AL van 2, ende HI van 3, diens viercant 9 voor den gront der naelde AHI, ende de naelde self doet 6, welcke getrocken vande voorschreven 48 van ABC, blijft voor het deel HICB 42, tottet welck 6, in sulcken reden is, als DF 1, tot FE 7.

Ander wercking deur ghetalen ghevonden van sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    De twee teerlinghen van AB, AH, moeten tot malcander in sulcken reden sijn als ED 8, tot FD 1: Daerom segh ick 8 gheeft 1, wat den teerlinck van AB 125 ? comt 15 5/8 voor den teerlinck van AH, diens sijde AH doet 2 1/2. Daerom gemeten van A na B 2 1/2, die vallen neem ick in H, en ghetrocken een plat HI evewijdich metten gront der naelde BC, men heeft t'begheerde.

I   V E R V O L G H.

    Sooder begheert waer een menichte van voeten afghesneen te worden na den oirt A, sonder verclaring der reden die de deelen tot malcander hebben moeten, men sal de heele naelde meten, daer af treckende t'begheerde deel, ende houden de reden van t'selve begheerde deel totte rest als voor ghegheven reden, ende daer me werckende als boven.

2   V E R V O L G H.

    Soo t'begheerde deel waer gheweest na de sijde BC toe, als neem ick t'selve deel te moeten sijn in sulcken reden tottet ander deel na den houck A, ghelijck DF tot FE: Men sal inde wercking sich voorstellen datter begheert is een deel afgesneen te moeten worden na den houck A, in sulcken reden tottet ander deel, als EF tot FD, ende volghen daer me de regel als boven.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven naelde een begheert deel ghesneen na een ghetoonden oirt, met een plat evewijdich vanden grondt na den eysch.

[ 168 ]

2 0   V O O R S T E L.

    Van een ghegheven cloot een begheerde halfmiddellijnsne te snyen.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn diens as AC, ende middelpunt E, voort sy FG een lini ghesneen in H.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten vanden cloot een halfmiddellijnsne snyen, in sulcken reden tottet restende deel, ghelijck FH tot HG.

T W E R C K.

cirkel, lijnen     Ick deel den as AC in I, sulcx dat ghelijck FH tot HG, alsoo AI tot IC, en treck deur t'punt I een lini rechthouckich op AC eyndende inden omtreck welcke sy DB: Daer na de twee halfmiddellijnen ED, EB. Dit soo sijnde de halfmiddellijnsne beteyckent met EDAB is de begheerde, te weten in sulcken reden totte restende halfmiddellijnsne EDCB, als FH tot HG.

T B E W Y S.

    Ghelijck AI tot IC, alsoo FH tot HG deur t'werck: Maer ghelijck AI tot IC, alsoo t'clootvlack DAB tottet clootvlack DCB, daerom gelijck FH tot HG, alsoo t'clootvlack DAB tottet clootvlack DCB: Maer ghelijck t'clootvlack DAB tottet clootvlack DCB, alsoo de halfmiddellijnsne EDAB, totte halfmiddellijnsne EDCB: Daerom ghelijck FH tot HG, alsoo de halfmiddellijnsne EDAB totte rest EDCB.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AC met voeten, die bevindende neem ick van 12, FH 2, HG 6: Deel daer na 12 van AC in twee getalen tot malcander in sulcken reden als 2 van FH tot 6 van HG, comt voor t'eerste 3: Daerom gemeten van A na C 3 voeten, die vallen neem ick van A tot I, ick treck deur t'punt I de lini DB rechthouckich op AC, daer na ED, EB, ende de halfmiddellijnsne EDAB is de begheerde.
    P R O E F.  Den heelen cloot doet 905 1/7 deur het 24 voorstel des 2 boucx het deel DEBA 226 2/7, t'welck getrocken vande 905 1/7 des heelen cloots, blijft voor t'restende deel EDCB 678 6/7, tottet welcke 226 2/7, in sulcken reden is als FH 2, tot HG 6.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan van een ghegheven cloot een begheerde halfmiddellijnsne ghesneen, na den eysch.

M E R C K T.

    Sooder van een ongheschickt lichaem, te snyen waer met een plat evewijdich van een ghegheven plat, een deel van begheerde grootheydt, men soude daer in meughen volghen de manier vant snyen des berghich vlacx int merck vant 16 [15] voorstel deses 5 boucx, te weten daer af snyen een deel ten naesten by even an t'begheerde, en dat deel dan ghemeten sijnde, en te groot of te cleen bevonden wesende, men soude dien met een ander plat evewijdich vant eerste, soo veel meer of min afsnyen als de saeck vereyschte.



D E S   V Y F D E N   B O V C X

E Y N D E.



Simon Stevin | Meetdaet | Snyding (top) | Vervolg