Stevin | Meetdaet | < Verkeeren

Verkeering , Lijnen en bogen , Vlakken , Lichamen


[ Afb. ]

S   E   S   T   E

B O V C K   D E R

M E E T D A E T,


V A N

T  V  E  R  K  E  E  R  E  N    D  E  R

G R O O T H E D E N   I N

A N D E R   F O R M E N.



[ 170 ]

A L S V L C K E  waerschuwing als wy ghedaen hebben int begin des 3 boucx vande vier afcomsten der grootheden, soodanighe sal sich hier oock verstaen op haer verkeering, want ghelijckmen in ghetalen de ghebrokens van verscheyden noemers seght verkeert te worden in ghebrokens met een selve noemer, t'welck nochtans eyghentlick niet anders en is dan te vinden ander ghebrokens even ande ghegheven ende met even noemers: Alsoo en worden de ghegheven grootheden self niet verkeert, maer men maeckt ander formighe grootheden met haer even, t'welck wy hier verkeering heeten: Ghelijck oock inde ghebruyck is te segghen vande viercanting des rondts, brantsnees, slangtreckplats, of maens, daer by verstaen wort een viercant te maken even an een ghegheven rondt, brantsne, slangtreckplat, of maen.


[ 171 ]

E E R S T E   D E E L   D E S

S E S T E N   B O V C X   V A N

T' V E R K E E R E N   D E R

L I N I E N.



I   V O O R S T E L.

    Een rechte lini te trecken even anden omtreck eens gegheven rondts.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC den omtreck eens rondts sijn, diens middelpunt D. ende halfmiddellijn DB.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechte lini trecken even anden selven omtreck.

T W E R C K.
spiraal, lijnen
    Ick beschrijf op de halfmiddellijn DB den eersten omganck eens slangtrecx DEFB, ende treck de oneyndelicke DG rechthouckich op DB, daer na HB ghenakende den slangtreck int punt B, ende t'uyterste H inde lini DG; T'welck soo sijnde ick segh de lini DH de begheerde te wesen, even anden omtreck ABC, waer af t'bewijs ghedaen is int 18 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes.

M E R C K T.

    Hoewel dit werck in spiegheling bestaet die dadelick gheen ghenoechsaem sekerheyt en heeft, nochtans om int corte Archimedes vondt te verclaren, hebben wy hier dit voorbeelt beschreven met der ghelijcke volgende int 2 voorstel.

Ander wercking deur ghetalen.

    Ghenomen dat de ghemeene reden van 22 tot 7 na genouch waer tottet gene men daer mede voor heeft, soo salmen trecken een lini in sulcken reden totte middellijn des ghegheven rondts als 22 tot 7, ende men sal t'begheerde hebben, waer af de proef deur t'werck openbaer is.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rechte lini ghetrocken even anden omtreck eens ghegheven rondts, na den eysch.

V E R V O L G H.

    Deur t'verkeerde deses voorstels is kennelick hoemen den omtreck eens rondts sal teyckenen even an een ghegheven rechte lini.

[ 172 ]

2   V O O R S T E L.

    Een rechte lini te trecken even an een ghegeven booch.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een booch wesen, diens middelpunt daerse op beschreven is D sy, ende de halfmiddellijn DA.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechte lini trecken even anden selven booch ABC.

T W E R C K.
spiraal, lijnen
    Ick volmaeck het rondt des ghegheven booch, ABC, daer in beschrijvende den eersten omganck haers slangtrecx DEA, ende treck DC snyende de slangtreck in E, beschrijf daer na opt middelpunt D met DE als halfmiddellijn den booch EFG, wesende t'punt G inde lini DA, ende treck de oneyndelicke DH rechthouckich op DE, daer nae EI ghenakende den slangtreck int punt E, ende t'uyterste I inde lini DH, daer na CK evewijdeghe met EI, alsoo dat K is inde lini DH: Dit aldus sijnde ick segh DK de begheerde rechte lini te wesen even anden booch ABC.

T B E W Y S.

    Ghelijck DE tot DC, alsoo den booch GFE totten booch ABC. Voort ghelijck DE tot DC, alsoo DI tot DK, daerom ghelijck DI tot DK, alsoo den booch GFE totten booch ABC: Maer DI is even anden booch GFE deur het 21 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes, daerom DK is even anden booch ABC.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rechte lini getrocken even an een ghegheven booch, na den eysch.

V E R V O L G H.

    Deur t'verkeerde deses voorstels is kennelick hoemen een begeerden booch sal beschrijven even an een ghegheven rechte lini.


3   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een booch in bekende reden tot haer heelen omtreck, ende een lini: Mette lini als halfmiddellini te beschrijven een booch of soo veel omtrecx als de ghegheven booch lanck is.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een booch sijn doende 90 trappen, diens halfmiddellijn is CA: Voort sy CD (die gheteyckent is in CA) een lini.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten mette lini CD als halfmiddellijn een booch of soo veel omtrecx beschrijven als de booch AB lanck is.

[ 173 ]
T W E R C K.

    Ick vinde de vierde pael der drie, segghende CD gheeft CA, wat 90 tr. van AB ? Comt neem ick 120 tr. daerom mette lini CD als halfmiddellijn beschreven een booch lanck 120 tr. als neem ick DE: Ick segh de booch DE de begheerde te sijn te weten even anden booch AB.

T B E W Y S.

cirkelbogen     Genomen dat DE, CB malcander doorsnyen in F: T'welck soo sijnde ick segh aldus: na dien den houck ACB en DCF een selfden houck is, soo moet de booch DF sulcken ghedeelte haers heelen omtrecx sijn als de booch AB van haer heele omtreck is, te weten elck een vierendeel, om dat AB 90 tr. doet: Sulck dat ABC ghelijck is met DFC, waer deur haer lijckstandighe linien als CA, CD, met AB, DF everedenich sijn: Daerom oock is DA verschil tusschen CA en CD in sulcken reden tot CD als t'verschil tusschen AB en DF tot DF: Maer ghelijck DA tot CD, also EF tot DF deur t'werck (want daer is gheseyt ghelijck CD tot CA alsoo 90 tr. tot 120, maer DF doet 90 tr. ende DE 120 tr. daerom ghelijck CD tot CA alsoo DF tot DE, ende deur ghescheyden reden, ghelijck CA min CD dats DA tot CD alsoo DE min DF dats EF tot DE) daerom EF is even an t'verschil tusschen AB en DF, soo moet EF met DF dats de booch DE even sijn anden booch AB.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet CD die bevindende neem ick van 3 voeten, ende CA 4, daerom seg ick CD 3 geeft CA 4 wat 90 tr. van AB ? Comt 120 tr. Daerom mette lini CD als halfmiddellijn beschreven een booch lanck 120 tr. als neem ick DE, men heeft t'begheerde.
    Angaende proef deur ghetalen die en can niet volcommelick geschien overmidts de reden der halfmiddellijnen totte boghen alsnoch onbekent is, doch is daerentusschen ghemeen wisconstich bewijs hier boven ghedaen.

V E R V O L G H.

    Als de ghegheven lini soo cleen waer datmen mette langde des boochs AB niet alleen een booch, maer eenighen heelen omtreck of omtrecken conde beschrijven, tis kennelick dat de boveschreven reghel daer in plaets soude houden. Als by voorbeelt: Waer CA van 10 gheweest ende CD 1 men soude int werck gheseyt hebben, CD 1 gheeft CA 10 wat AB 90 tr? Comt 900 tr. waer in twee heele omtrecken ende noch 180 tr. sijnde, soo soudemen mette halfmiddellijnen als CD eerst twee heele omtrecken beschrijven daer na een booch van 180 tr. na de voorgaende leering, welcke twee heele omtrecken metten booch, t'samen even souden sijn anden booch AB.
    Ende deur verkeerde wech van dies is oock kennelick hoemen met een ghegheven halfmiddellijn beschrijven sal een booch even an twee omtrecken met noch een booch van 180 tr: Met ander dierghelijcke daer uyt volghende.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een booch in bekende reden tot haer heele omtreck ende een lini; wy hebben mette lini als halfmiddellijn beschreven een booch of soo veel omtrecx als de booch lanck is na den eysch.

[ 174 ]

4   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven tvvee onghelijcke boghen in bekende reden tot haer heele omtrecken: Te teyckenen een derde booch even an d'een ende ghelijck met d'ander.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een booch sijn, van 120 tr. ende CD van 90 tr. diens beyder middelpunt daer sy op beschreven sijn is E ende de halfmiddellijn van d'een sy EA van d'ander EC die gheteyckent is in EA.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een derde booch teyckenen even an CD ende ghelijck met AB dat is sulcken ghedeelte haers heelen omtrecx te wesen als AB van haer omtreck is.

T W E R C K.

    Ick treck EB segh daer na 120 tr. van AB gheven 90 tr. van CD wat EC? cirkelbogen Comt neem ick EF: beschrijf daer na met EF als halfmiddellijn opt punt E den booch FG, welverstaende dattet punt G comt inde lini EB. T'welck soo sijnde ick segh de booch FG de begheerde te sijn, te weten even anden booch CD, ende ghelijck anden booch AB.

T B E W Y S.

    Want den houck GEF ende BEA, een selfden houck is, soo moet de booch FG sulcken deel haers heelen omtrecx sijn als de booch AB van haer heelen omtreck is sulcx datse ghelijck sijn. Ten tweeden want EF sulcken reden heeft tot EC als de 90 tr. van CD totte 120 tr. van FG deur t'werck, soo is den booch FG even anden booch CD deur het bewijs des 3 voorstels van desen.
    Angaende de wercking deur ghetalen, die is deur der ghelijcke wercking des 3 voorstels openbaer ghenouch.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven twee onghelijcke boghen in bekende reden tot haer heele omtrecken: Wy hebben een derde booch gheteyckent even an d'een ende ghelijck met d'ander na den eysch.

[ 175 ]

T W E E D E   D E E L   D E S

S E S T E N   B O V C X   V A N

T' V E R K E E R E N   D E R

V L A C K E N.



5   V O O R S T E L.

    Een vierhouckich rechthouck te teyckenen van begheerde langde, ende even an een ghegheven rechthouck.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een rechthouck sijn, ende EF een lini.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechthouck teyckenen even met ABCD ende diens langde sy EF.

T W E R C K.
vierkant, rechthoek

    Ick vinde de vierde everedenighe der drie EF AB, AD welcke sy FG: Mette selve ende met EF gheteyckent den rechthouck EFGH, ick segh hem den begeerden te wesen; waer af t'bewijs ghedaen in int 14 voorstel des 6 boucx van Euclides.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet met voeten EF die bevindende neem ick van 6, AB van 3, AD van 4: Segh daer na EF 6 gheeft AB 3 wat AD 4 ? Comt 2: Daerom ghetrocken FG van 2 voeten rechthouckich op EF, ende daer mede volmaeckt den rechthouck EFGH ick segh hem den begheerden te wesen.
    P R O E F.  Elcke rechthouck doet 12 deur het 11 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een vierhouckich rechthouck gheteyckent van begheerde langde ende even an een ghegheven rechthouck na den eysch.

Hier by heeft sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E noch dit doen vervoughen.

    ABCD doende 12 mach sijn een vlack bultich of plat en van form soot valt, wanneermen die 12 deelt deur EF 6 datter uyt comt als 2 is voor de sijde EH om den rechthouck EHGF even te hebben mettet ander vlack.


6   V O O R S T E L.

    Een viercant te teyckenen even an een ghegeven rechthouck.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een rechthouck sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een viercant teyckenen even anden selven rechthouck.

[ 176 ]
T W E R C K.
rechthoek, vierkant

    Ick vinde deur het 3 voorstel des 4 boucx de middeleveredenighe tusschen AB en AD welcke sy EF, uyt de selve beschreven het viercant EFGH ick segh t'selve t'begheerde te wesen; waer af t'bewijs openbaer is deur het 14 voorstel des 2 boucx van Euclides.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AB bevinde die neem ick van 4 voeten, AD van 9, ende neem tusschen die twee ghetalen een middeleveredenich t'welck is 6. Daerom ghetrocken een lini als EF lanck 6 voeten, ende daer mede volmaeckt het viercant EFGH, ick segh t'selve t'begeerde te wesen.
    P R O E F.  ABCD ende EFGH doen elck 36 voeten deur het 11 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een viercant gheteyckent even an een ghegheven rechthouck na den eysch.


7   V O O R S T E L.

    Een rechthouckich vierhouck te teyckenen van begheerde langde ende even an een ghegeven driehouck.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een driehouck sijn ende DE een lini.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechthouckich vierhouck teyckenen even anden driehouck ABC ende soo lanck als DE.

T W E R C K.
driehoek, rechthoek

    Ick treck de hanghende van eenighen houck op haer teghenoversijde als AF op BC, vinde daer na de vierde everedenighe der drie als DE, den helft van CB, ende AF, welcke vierde sy EG, vande selve ende ED beschreven sijnde den rechthouck DEGH, ick seghse t'begheerde te wesen waer af t'bewijs ghedaen is int 44 voorstel des I boucx van Euclides.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet DE die bevindende neem ick van 8 voeten, den helft van CB 2, ende AF 12, segh daer na DE 8, gheeft den helft van CB 2, wat AF 12 ? Comt 3: Daerom ghetrocken EG 3 voeten rechthouckich op DE, ende daer mede voltrocken den rechthouck DEGH, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  De driehouck ende vierhouck doen elck 24 voeten deur het 11 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rechthouckich vierhouck gheteyckent van begheerde langde ende even an een ghegeven driehouck.

[ 177 ]

8   V O O R S T E L.

    Een rechthouckich vierhouck te teyckenen van begheerde langde, ende even an een ghegeven rechtlinich plat.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een rechtlinich plat sijn ende EF een lini.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rechthouckich vierhouck teyckenen even met ABCD, ende soo lanck als EF.

T W E R C K.
vierhoek, rechthoek
    Ick deyl eerst de ghegheven vierhouck mette lini DB in twee driehoucken ABD, BCD: Daer mede teycken ick op de lini EF deur het 7 voorstel van desen den rechthouck EFGH, even anden driehouck BDC: S'ghelijcx op de lini HG den rechthouck HGIK even anden driehouck ABD: T'welck soo sijnde ick segh dat den rechthouckighen vierhouck EFIK even is ant rechtlinich plat ABCD, waer af t'bewijs ghedaen is int 45 voorstel des I boucx van Euclides.
    Angaende wercking met ghetalen die is deur de wercking des 7 voorstels van desen kennelick ghenouch.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rechthouckich vierhouck gheteyckent van begheerde langde, ende even an een ghegeven rechtlinich plat, na den eysch.

V E R V O L G H.

    Vyt het voorgaende is kennelick hoemen vinden sal de reden in rechte linien van ghegheven rechtlinighe platten. Als by voorbeelt om te vinden de reden in rechte linien vanden driehouck ABD, totten driehouck BCD, want die verkeert sijnde in rechthoucken alsvooren, ick segh dat ghelijck de rechte lini FG tot GI, alsoo den driehouck BCD totten driehouck ABD. Maer sooder begheert waer de reden des vierhoucx ABCD tot eenich ander veelsijdich rechtlinich plat, men soude t'selve rechtlinich plat oock verkeeren in een rechthouck onder de selve hooghde EF, en segghen daer na dat ghelijck FI tot dien anderen gront des verkeerden rechthoucx, alsoo den vierhouck ABCD tot dat ander veelsijdich plat.


9   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven tvvee onghelijcke rechtlinighe platten: Een plat te teyckenen even ant een, ende ghelijck mettet ander.

    T G H E G H E V E N.  Laet A en B twee onghelijcke rechtlinighe platten sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een derde plat teyckenen even an A, ende ghelijck met B.

[ 178 ]

T W E R C K.

veelhoeken

    Ick maeck twee rechthoucken deur het 8 voorstel d'een even an A, d'ander an B en onder een selve hooghde: Segh voort, den gront vanden rechthouck even mettet naformelick plat B, gheeft den gront van d'ander rechthouck, wat eenighe sijde van B, ick neem EF ? Comt neem ick (deur het 2 voorstel des 4 boucx) CD. Vinde daer na een middeleveredenighe tusschen EF ende CD, welcke sy GH: Op de selve als lijckstandighe met EF, gheteyckent t'plat I ghelijck met B men heeft t'begeerde.

T B E W Y S.

    Want GH middeleveredenige is tusschen EF en CD deur t'werck, so sijn de drie linien EF, GH, CD in ghedeurighe everedenheyt: daerom ghelijck EF tot CD, alsoo t'plat op EF gheteyckent, te weten t'plat B, tot sijns ghelijcke plat op GH, te weten t'plat I: Maer ghelijck EF tot CD, alsoo t'plat B tottet plat A deur t'werck: Daerom t'plat B heeft tottet t'plat A ende I een selve reden, waer deur A ende I even sijn.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

Ick meet het plat B met voeten, dat bevindende neem ick van 368.
Daer na t'plat A 170.
Ende eenige sijde des na formelicken plats B, als neem ick de sijde EF 11.
Segh daer na 368 eerste in d'oirden, gheeft 170 tweede in d'oirden, wat 11 derde in d'oirden ? comt 15/184.
Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 11 derde in d'oirden en 5 15/184 vierde in d'oirden, t'welck is wrtl55 165/184.
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als GH, ende daer op als lijckstandighe met EF gheteyckent het plat I ghelijck met B, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Anghesien ghelijcke platten tot malcander sulcken reden hebben als de viercanten van haer lijckstandighe sijden, ick segh 121 viercant van EF, gheeft 55 165/184 viercant van GH, wat het plat B 368 ? Comt voor t'plat I 170 even an t'plat A.

De selve wercking deur de thiende.

Ick meet het plat B met voeten, dat bevindende neem ick van 368.
Daer na t'plat A 170.
Ende eenighe sijde des naformelicken plats B, als de sijde EF 11.
Segh daer na 368 eerste in d'oirden, gheeft 170 tweede in d'oirden, wat 11 derde in d'oirden ? Comt 508 (2).
Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 11 derde in d'oirden, ende 508 (2) vierde in d'oirden, t'welck is 748 (2).

[ 179 ]
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als GH, ende daer op als lijckstandighe met EF gheteyckent het plat I, men heeft t'begeerde.
    P R O E F.  Anghesien ghelijcke platten tot malcander sulcken reden hebben als de viercanten van haer lijckstandighe sijden, ick segh 121 viercant van EF, gheeft 559504 (4) viercant van GH, wat het plat B 368 ? Comt voor t'plat van I 170 voeten en 16 (2) welcke doen 170 4/25 voet: Ende soude moeten sijn 170 sulcx datter alleenlick 4/25 voets te veel comt: Diet inde daet naerder begheert mach met (3) of (4) rekenen ghelijck wy boven maer tot (2) ghecommen en sijn.

Ander corter wercking deur ghetalen ghevonden en berekent deur sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    B 368, gheeft het viercant van EF 121, wat A 170 ? Comt viercant 558967 (4), diens sijde 748 (2): Daerom ghetrocken een lini van dier langde als GH, en daer op als lijckstandighe met EF gheteyckent het plat I ghelijck met B, men heeft t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven twee ongelijcke rechtlinighe platten, wy hebben een plat gheteyckent even ant een, ende ghelijck mettet ander.


1 0   V O O R S T E L.

    Een driehouck te teyckenen even an een ghegheven rondt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een rondt sijn, diens middelpunt E, ende middellijn AC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een driehouck teyckenen even ant selve rondt.

T W E R C K.
cirkel, lijnen

    Ick treck de lini CF rechthouckich op EC ende even anden omtreck ABCD deur het I voorstel deses 6 boucx. Daer na EF: T'welck soo sijnde ick segh, den driehouck EFC even te sijn ant rondt ABCD, waer af t'bewijs ghedaen is int I voorstel des boucx der rondtsmeting van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet EC die bevindende neem ick van 7 voeten, volghende t'welck den omtreck ABCD doet (deur het 8 voorstel des 2 boucx) 44; Daerom treck ick CF van 44 voeten rechthouckich op CE, daer na EF, ende heb den begheerden driehouck EFC.
    P R O E F.  T'ront ABCD, ende den driehouck EFC, doen elck 154 voeten deur het 12 ende 11 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een driehouck gheteyckent even an een ghegheven rondt na den eysch.

[ 180 ]
V E R V O L G H.

    Tis deur t'verkeerde deses voorstels openbaer hoemen een rondt sal teyckenen even an een ghegheven driehouck: Want gheteyckent een driehouck ghelijck met ECF ende even anden ghegheven driehouck deur het 9 voorstel van desen, ende met dien driehoucx cortste sijde als halfmiddellijn een rondt beschreven, men heeft t'begheerde.

Ander voorbeelt verbonden an een ghegeven form ghevonden en berekent van sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    T G H E G H E V E N.  Laet beneven t'voorgaende rondt ABCD noch ghestelt sijn dit rechtlinich plat, soot valt GHIKL groot neem ick van 60, en doende eenighe sijde als GH 7.
vijfhoeken     T B E G H E E R D E.  Wy moeten een plat teyckenen ghelijck met GHIKL, en even ant rondt ABCD.

T W E R C K.

    T'plat GHIKL 60, gheeft het viercant van GH 49, wat het plat ABCD 154 ? Comt viercant 1257667 (4), diens sijde 1121 (2): Daerom ghetrocken van dier langde een lini als MN, en daer op als lijckstandighe met GH gheteyckent het plat MNOPQ, men heeft t'begeerde.


1 1   V O O R S T E L.

    Een viercant te teyckenen even an een ghegheven rondt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een rondt sijn, diens middelpunt E, ende middellijn AC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een viercant teyckenen even an t'selve rondt.

T W E R C K.
cirkel, vierkant, lijn

Ick vinde de lini F, even anden helft des omtrecx ABCD, daer na de middeleveredenighe tusschen F en EC, welcke sy GH, waer mede beschreven het viercant GHIK, ick segh t'selve t'begheerde te wesen.

T B E W Y S.

    Na dien t'rondt ABCD even is anden rechthouckighen driehouck diens hooghde de halfmiddellijn ende den grondt even anden omtreck, soo is t'selve rondt even anden rechthouckigen vierhouck, diens hooghde de halfmiddellijn is ende den gront even anden helft des omtrecx, daerom t'viercant beschreven uyt de middeleveredenighe van die twee is t'begheerde.

[ 181 ]
Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AC die bevindende neem ick van 14 voeten, t'welck soo sijnde den omtreck ABCD doet 44, diens helft 22, tusschen de selve ende EC 7 ghesocht het middeleveredenich ghetal, wort bevonden van wrtl154: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als GH, ende daer op beschreven t'viercant GHIK, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Het rondt ende viercant doen elck 154 voeten, deur het 12 ende 11 voorstel des 2 boucx.

Opt selve ander wercking ende lichter.

    Ick meet het rondt ABCD, dat bevindende van 154, diens viercantssijde doet 1241 (2), daerom een lini van dier langde ghetrocken als GH, ende daer mede beschreven het viercant GHIK men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Het rondt ende viercant worden elck van 154 bevonden als boven.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een viercant gheteyckent even an een ghegheven rondt na den eysch.

V E R V O L G H.

    Tis deur t'verkeerde deses voorstels openbaer hoemen een rondt sal teyckenen even an een ghegheven viercant, want deelende t'ghetal des plats vant viercant altijt deur 22 [/7], datter uyt comt is de halfmiddellijn [s viercant].


1 2   V O O R S T E L.

    Een rondt te teyckenen even an een ghegheven lanckrondt.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een lanckrondt sijn, diens langste middellijn AC, ende cortste DB.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rondt teyckenen even an t'ghegheven lanckrondt.

T W E R C K.
ellips, cirkel

    Ick vinde de middeleveredenighe tusschen AC en DB welcke sy EF, daer op als middellijn een rondt gheteyckent, ick segh t'selve t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is deur het 6 voorstel der kegelsche en clootsche van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur
ghetalen.

    Ick meet AC die bevindende neem ick van 30 voeten, DB 10, tusschen de selve 30 en 10 vind ick het middeleveredenich ghetal doende wrtl300, oft anders 1732 (2): Daerom een lini van dier langde ghetrocken als EF, ende daer op als middellijn een rondt gheteyckent, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  T'een en t'ander doet 23572 (2) deur het 12 ende 15 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rondt gheteyckent even an een ghegheven lanckrondt.

[ 182 ]

1 3   V O O R S T E L.

    Op een ghegheven grootste of cleynste middellijn een lanckrondt te teyckenen even an een ghegheven lanckrondt.

ellipsen

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een lanckrondt sijn, diens grootste middellijn AC, ende cleynste DB, ende de grootste of cleenste middellijn eens begheerden scheefrondts even mettet scheefrondt ABCD sy EF.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten daer op een scheefront maken even ant scheefront ABCD.

T W E R C K.

    Ick vinde de vierde everedenighe lini van EF, AC, DB deur het 2 voorstel des 4 boucx, welcke sy GH, de selve vervought als cleenste middellijn op EF, ende het scheefrondt daer op geteyckent als EHFG, is t'begheerde, waer af t'bewijs openbaer is deur het 15 voorstel des 2 boucx.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet EF die bevindende neem ick van 56 voeten, AC 28, DB 14; Segh daer na 56 geeft 28 wat 14 ? Comt 7: Daerom getrocken een lini van dier langde welcke sy GH, en de selve vervought als cleenste middellijn op de grootste EF, ende het scheefront daer op gheteyckent als EHFG is t'begheerde.
    P R O E F.  Elck lanckront doet 308 voeten deur het 15 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan op een ghegheven grootste of cleenste middellijn een lanckrondt gheteyckent even an een ghegheven lanckrondt na den eysch.

V E R V O L G H.

    Waer het ghegheven ABCD in plaets des lanckrondts gheweest een ront, t'is kennelick dat de voortganck soude sijn als boven, want de twee middellijnen AC, DB, souden alsdan even vallen, waer mede men alsvooren segghen soude EF gheeft AC, wat DB ? commende met die vierde tottet begheeren: Oft andersins mochtmen vinden de derde everdenighe van EF, ende de middellijn des rondts, waer af een selfde soude uytcommen.

[ 183 ]

1 4   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven tvvee onghelijcke lanckronden: Een derde te teyckenen, even mettet een ende ghelijck mettet ander.

ellipsen, cirkels, lijnen
    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD, EFGH twee onghelijcke lanckronden sijn, diens grootste middellijn AC, EG, ende cleynste DB, HF.
    T B E G E E R D E.  Wy moeten een derde lanckrondt teyckenen, even an ABCD, ende ghelijck met EFGH.

T W E R C K.

    Ick verkeer deur het 12 voorstel van desen het lancront ABCD in een rondt IKLM, diens middellijn IL ende t'lancront EFGH in een rondt NOPQ, diens middellijn NP.
Segh daer na NP geeft IL wat IL ? Comt neem ick R.
Voorts NP geeft R, wat EG ? Comt neem ick S:
Vinde daer na de middeleveredenighe lini tusschen S en EG welcke sy TV: Op de selve als lijckstandighe met EF gheteyckent het lanckrondt TXVY, gelijck met EFGH, men heeft t'begheerde: Waer af t'bewijs te verstaen is deur het 9 voorstel deses 6 boucx.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

Ick meet AC met voeten die bevindende neem ick van 56, ende DB 7 waer tusschen het middeleveredenich ghetal voor IL doet 198 (I).
Bevinde daer na EG van 14, en HF 7 waer tusschen het middeleveredenich ghetal voor NP doet 99 (I).
Segh daer na 99 (I) tweede in d'oirden, gheeft 198 (I) eerste in d'oirden, wat de selve 198 (I) ? Comt voor R 396 (I).
Voorts 99 (I) tweede in d'oirden, gheeft 396 (I) derde in d'oirden, wat EG 14 ? Comt voor S 56.
Vinde daer na t'middeleveredenich ghetal tusschen 56 vierde in d'oirden, ende EG 14, Comt 28.

[ 184 ]
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als TV, ende daer op als lijckstandighe met EG gheteyckent het lanckrondt TXVY, men heeft t'begeerde.
    P R O E F.  T'lanckrondt ABCD ende TXVY, worden elck bevonden van 308 voeten deur het 15 voorstel des 2 boucx.

Ander lichter wercking deur ghetalen ghevonden en berekent deur sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    Het lanckront ABCD gemeten sijnde wort bevonden deur het 15 voorstel des 2 boucx van 308, en EFGH van 77: Hier me segh ick aldus EFGH 77, geeft het viercant van EG 196, wat ABCD 308 ? Comt viercant 784; diens sijde 28: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als TV, en daer op als lijckstandighe met EG gheteyckent het lanckrondt TXVY, ghelijck met EFGH, men heeft t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven twee ongelijcke lanckronden, wy hebben een derde gheteyckent even mettet een ende ghelijck mettet ander.

V E R V O L G H.

    Soo het een der ghegheven een rondt waer, t'is kennelick dat de wercking soude sijn als vooren, doende mette twee even middellijnen des rondts sulcx als boven mette oneven des scheefrondts ghedaen is.


1 5   V O O R S T E L.

    Een driehouck te teyckenen even an een ghegheven brantsne.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een brantsne sijn, diens sop B, ende gront AC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een driehouck teyckenen even ande brantsne ABC.

parabool, driehoek
T W E R C K.

    Ick treck AC voorwaert tot D, also dat CD even sy anden helft [1/3] van AC, daer na de twee linien BA, BD:
T'welc soo sijnde, ick segh den driehouck ABD even te wesen ande brantsne ABC.

[ 185 ]
T B E W Y S.

    Ghetrocken sijnde de lini BC, soo is de brantsne ABC in sulcken reden totten driehouck ABC, als 3 tot 2 [4 tot 3] deur het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimedes. maer den driehouck ABD is oock in sulcken reden totten selven driehouck ABC als 3 tot 2, daerom de brantsne ABC is even anden driehouck ABD.

Ander voorbeelt verbonden an een ghegeven form, ghevonden en berekent deur sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    T G H E G H E V E N.  Laet de voorgaende brantsne ABC ghemeten wesende, deur het 16 voorstel des 2 boucx, bevonden sijn van 180. Hier benevens sy noch ghestelt dit rechtlinich plat EFGHI, groot neem ick van 20, en doende eenighe sijde als EF 4.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een plat teyckenen gelijck met EFGHI, en even mette brantsne ABC.

vijfhoeken
T W E R C K.

    Het plat EFGHI 20, gheeft het viercant van EF 16, wat de brantsne ABC 180 ? Comt viercant 144, diens sijde 12. Daerom getrocken van dier langde een lini als KL, en daer op als lijckstandighe met EF geteyckent het plat KLMNO, men heeft t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een driehouck gheteyckent, even an een ghegheven brantsne, na den eysch.



1 6   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven een slangtrecxplat bestaende in een of meer volcommen keeren: Een rondt te teyckenen even an t'ghegheven slangtrecxplat.

spiraalstuk, cirkel     T G H E G H E V E N.  Laet ABC een eerste slangtrecxplat sijn, diens eerste lini AC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rondt teyckenen even ant plat ABC.

T W E R C K.

    Ick vinde tusschen AC ende haer derdendeel een middeleveredenige DF, daer mede als halfmiddellijn beschrijvende t'ront DFG, t'welck ick segh t'begheerde te sijn, even an t'ghegheven slangtrecxplat.

[ 186 ]
T B E W Y S.

    By aldienmen met AC als halfmiddellijn beschrijft een eerste rondt, soo sal het eerste slangtrecxplat ABC even sijn ant derdendeel van dat eerste rondt, deur het 25 voorstel des boucx der slangtrecken van Archimedes: Maer t'rondt DFG is oock even an dat derdendeel deur t'werck; daerom t'rondt DFG is even ant slangtrecxplat ABC.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AC die bevindende neem ick van 7 voeten, de selve ghemenichvuldicht met haer derdendeel 2 1/3, doen 16 1/3, diens viercantssijde wrtl16 1/3, of 404 (2): Daerom ghetrocken een lini van dier langde als DE, ende daer me als halfmiddellijn een ront beschrijvende, men heeft t'begeerde.
    P R O E F.  Het rondt doet 5131 (2), ende het slangtrecxplat doet het 1/3 van 154, dats 5133 (2), die na genouch schijnen: Doch die volcommen proef begheert sal die bevinden nemende DE te doen wrtl16 1/3.
    Angaende het teyckenen eens rondts even ant slangtrecxplat van twee of meer heele keeren: Ghemerckt de everedenheyt der selve deur Archimedes bewesen is, als gheseyt is int 17 voorstel des 2 boucx, namelick dattet tweede slangtrecxplat 6 mael soo groot is alst eerste, ende het derde 12 mael soo groot alst eerste, ende het vierde 18 mael soo groot alst eerste, ende alsoo int oneyndelick, van d'ander altijt met 6 vermeerderende, voor yder keer, soo is daer uyt de reden van yder slangtrecxplats keer tot haer rondt bekent, ende vervolghens de ghemeenheyt van dit voorstel.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven een slangtreck plat bestaende in een of meer volcommen keeren: Wy hebben een rondt gheteyckent even an t'ghegheven slangtrecxplat na den eysch.


1 7   V O O R S T E L.

    Een rondt te teyckenen even ant vlack eens ghegheven cloots.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn, diens as AC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rondt teyckenen even ant vlack des cloots.

T W E R C K.
cirkels

    Ick beschrijf mette langde AC als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begheeerde te wesen: Waer af t'bewijs ghedaen is int 31 voorstel vant eerste bouck des cloots ende seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AC die bevindende neem ick van 14 voeten, beschrijf daer mede als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begheerde te wesen.
    P R O E F.  Het clootvlack ABCD, ende het rondt E doen elck 616 voeten, deur het 18 ende 12 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant vlack eens ghegheven cloots na den eysch.

[ 187 ]

1 8   V O O R S T E L.

    Een rondt te teyckenen even ant ghegheven bultich vlack der coordsne eens cloots.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC eens cloots coordsne sijn, diens as BD, ende sop B, ende middellijn des gronts AC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich vlack des ghegheven coordsnees.
bol stuk, cirkel

T W E R C K.

    Ick beschrijf mette langde AB als halfmiddellijn het rondt E, t'welck ick segh t'begeerde te wesen; waer af t'bewijs ghedaen is int 40 ende 41 voorstel vant bouck des cloots ende seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AB die bevindende neem ick van 7 voeten, beschrijf daer me t'begheerde rondt E.
    P R O E F.  Het ghegheven bultich vlack ABC, ende het rondt E, doen elck 154 deur het 19 ende 12 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rondt gheteyckent, even ant ghegheven bultich vlack der coordsne eens cloots, na den eysch.


1 9   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheuen tvvee onghelijcke clootscoordsneen: Een derde coordsne te teyckenen, diens bultich vlack even sy ant bultich vlack van d'een, ende ghelijck mettet bultich vlack van d'ander.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een clootscoordsne sijn, diens sop D, as DB, ende middellijn des gronts AC: D'ander clootscoordsne EFGH, diens sop H, as HF, ende middellijn des gronts EG.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een clootscoordsne teyckenen, diens bultich vlack even sy an t'bultich vlack van ABCD, ende ghelijck mettet bultich vlack van EFGH.

T W E R C K.

    Ick vinde den heelen as HI, des coordsnees EFGH, treckende CD, ende HG: Vinde daer na de vierde everedenige der drie GH, DC, HI welcke sy KL: Op de selve als middellijn beschrijf ick een rondt, daer in vervoughende KM, even an DC, treck daer na MN rechthouckich op KL, ende van daer voort tot O inden omtreck:

[ 188 ]

bol stuk, cirkels

T'welck soo sijnde ick segh het bultich vlack van ONMK even te sijn an t'bultich vlac van ABCD, ende gelijck mettet bultich vlack van EFGH; waer af t'bewijs ghedaen is int 6 voorstel vant 2 bouck des cloots en seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet GH die bevindende neem ick van 20 voeten, DC van 10, HI 25, ende vinde haer vierde everedenich ghetal 12 1/2: Daerom ghetrocken een lini KL van 12 1/2 voeten, ende daer op als lijckstandighe met HI gheteyckent een clootcoordsne ONMK, gelijck met EFGH, men heeft t'begeerde.
    P R O E F.  Anghesien KL lijckstandige is met HI, ende KM met HG, soo segh ick HI 25, gheeft GH 20, wat KL 12 1/2 ? Comt voor KM 10: Maer doende KM 10 soo doet het bultich vlack ONMK 314 2/7: Ende soo veel doet oock het bultich vlack van ABCD deur het 19 voorstel des 2 boucx.

Ander wercking deur ghetalen hier by ghevought deur sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    Anghesien GH doet 20, en DC 10, soo doet het bultich vlack EHG 1257 1/7, en t'bultich vlack ADC 314 2/7, deur het 19 voorstel des 2 boucx: Daerom segh ick t'bultich vlack EHG 1257 1/7, gheeft het viercant van HG 400, wat het bultich vlack ADC 314 2/7 ? comt viercant 100, diens sijde 10. Daerom ghetrocken KM 10, en daer op als lijckstandighe met HG gheteyckent het clootvlack OKM, ghelijck met EHG, men heeft t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven twee onghelijcke clootscoordsneen, wy hebben een derde clootscoordsne gheteyckent, diens bultich vlack even is ant bultich vlack van d'een, ende ghelijck mettet bultich vlack van d'ander.


2 0   V O O R S T E L.

    Een seul te teyckenen, diens bultich vlack even sy ant vlack eens ghegheven cloots.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn, diens middellijn AC.
cirkels, vierkant
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een seul teyckenen: diens bultich vlack even sy ant clootvlack ABCD.

T W E R C K.

    Men sal teyckenen een seul EFGH, diens hooghde EH, ende oock de middellijn des gronts EF, even sy an AC. T'welck soo wesende, ick segh het bultich vlack des seuls EFGH, even te sijn ant clootvlack ABCD.
    T B E R E Y T S E L.  Laet I een rondt sijn, diens halfmiddellijn even is an AC, of dattet selve is an HE.

[ 189 ]
T B E W Y S.

    T'clootvlack ABCD is even ant rondt I, ende het bultich seulsvlack van EFGH is oock even an t'rondt I, deur het 13 voorstel vant I bouck des cloots ende seuls van Archimedes, daerom t'bultich seulsvlack EFGH, is even ant clootvlack ABCD.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AC, die bevindende neem ick van 14 voeten, teycken daer na een seul diens hooghde ende grondts middellijn elck oock 14 als de seul EFGH: T'welck soo sijnde ick segh t'bultich vlack des selfden even te sijnt ant ghegheven clootvlack.
    P R O E F.  Het bultich seulsvlack plat ontvouden sijnde, is een rechthouck soo breet als EF 14, ende soo lanck als den omtreck des grondts 44, daerom doet de selve rechthouck 616: Ende soo veel doet oock het clootvlack ABCD, deur het 18 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een seul gheteyckent diens bultich vlack even is ant vlack eens ghegeven cloots, na den eysch.


2 1   V O O R S T E L.

    Een rondt te teyckenen even ant bultich vlack eens ghegheven seuls.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC een seul sijn, diens hooghde AB, ende gronts middellijn BC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich seulvlack.
cilinder, cirkel

T W E R C K.

    Ick vinde de middeleveredenighe tusschen AB en BC, welck sy DE, daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, t'welck ick segh t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 13 voorstel vant I bouck des cloots en seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AB, die bevindende neem ick van 28 voeten, ende BC 7: T'welck so sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen 28 en 7, t'selve is 14. Daerom ghetrocken een lini lanck 14 voeten als DE, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Het bultich seulvlack plat ontvouden sijnde, is een rechthouck, soo lanck als AB 28, ende soo breet als den omtreck des ronts BC, dats 22, daerom doet de selve rechthouck 616, ende vervolghens t'bultich seulvlack doet 616: Maer soo veel doet oock het rondt beschreven vande halfmiddellijn 14 deur het 12 voorstel des 2 boucx sy sijn dan even.

[ 190 ]
Hier by heeft sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  noch dit doen vervoughen.

    Hoe wel de voorgaende reghel corter is als de volghende, nochtans dese ghemeen sijnde op alle ghegheven vlack van form soot valt. Ten anderen op dat sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  te meer voorbeelden hebbe van t'ghemeen ghebruyck sijns reghels, en deur t'bedencken van welcke onnoodich is t'ghedacht met veel verscheyden reghelen te beswaren, heeft dit hier by laten voughen als volght: Ick neem deur t'ghedacht eenich rondt, als diens halfmiddellijn 7 en sie wat reden datter is van t'plat tottet viercant, der selve halfmiddellijn bevinde van 154 tot 49. Hier me segh ick aldus, ABC doende 616 mach sijn even vlack van form soot valt, wanneermen seght 154 gheeft viercant 49, wat 616 ? comt 196, diens sijde 14 voor DE.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant bultich vlack eens ghegeven seuls na den eysch.


2 2   V O O R S T E L.

    Een rondt te teyckenen even an een ghegheven bultich keghelvlack.

kegel, cirkel     T G H E G H E V E N.  Laet ABC een keghel sijn, diens sijde is AB, ende gronts middelpunt D, ende grondts halfmiddellijn BD.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich keghelvlack.

T W E R C K.

    Ick vinde de middeleveredenighe tusschen AB en BD, welcke sy EF, mette selve als halfmiddellijn beschrijf ick een rondt, dat ick segh t'begeerde te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 14 voorstel vant I bouck des cloots en seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AB, die bevindende neem ick van 28 voeten, ende BD van 7; T'welck soo sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen 28 en 7, t'selve is 14, daerom ghetrocken een lini lanck 14 voeten, als EF, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Het bultich keghelvlack ontvouwen sijnde is de middellijnsne eens rondts, diens halfmiddellijn AB 28 doet, ende de booch is soo lanck als den omtreck des ronts BC 44, daerom doet de selve middellijnsne ende vervolgens t'bultich keghelvlack 616: Maer soo veel doet oock het rondt beschreven vande halfmiddellijn EF 14, sy sijn dan even.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rondt gheteyckent even an een ghegeven bultich keghelvlack, na den eysch.

[ 191 ]

2 3   V O O R S T E L.

    Een rondt te teyckenen even ant bultich vlack van een ghegheven corte keghel.

kegel, cirkel     T G H E G H E V E N.  Laet ABCDEF een corte keghel sijn, diens sijde is CD, ende de halfmiddellijn des gronts FE, ende halfmiddellijn des decsels AC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een rondt teyckenen even ant bultich vlack des ghegheven corten keghels.

T W E R C K.

    Ick vinde de middeleveredenighe tusschen AF ende een lini even an AB met FE, welcke middeleveredenighe sy GH, mette selve als halfmiddellijn beschrijf ick een rondt, dat ick segh t'begheerde te wesen, waer af t'bewijs gedaen is int 16 voorstel vant 2 [1] bouc des cloots ende seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AF, die bevindende neem ick van 84 voeten, AB 7, EF 14: Twelck soo sijnde, ick souck het middeleveredenich ghetal tusschen AF 84 ende 21, wesende de selve 21 de somme van AB 7 ende EF 14: T'selve middeleveredenich ghetal is 42: Daerom ghetrocken een lini van 42 voeten als GH, ende daer mede als halfmiddellijn een rondt beschrijvende, men heeft tbegheerde.
    T B E R E Y T S E L   D E R  P R O E F :  Laet FA en DC beyde voortgetrocken worden tot datse vergaren in I, sulcx dat IFD ghenomen wort voor den volcommen keghel.
    P R O E F.  Het bultich vlack des corten keghels plat ontvouden sijnde, is de middellijnsne eens ronts, diens halfmiddellijn IF doet 168, deur het 6 voorstel des 2 boucx, ende de booch soo lanck als den omtreck des rondts FD 88, min de halfmiddellijnsne eens rondts, diens halfmiddellijn IA 84, ende booch soo lanck als den omtreck des rondts AC 44: Maer die eerste middellijnsne doet 7392, daer af ghetrocken d'ander middellijnsne, doende 1848, blijft voor t'begheerde bultich vlack 5544: Maer soo veel doet oock het ront beschreven vande halfmiddellijn GH 42, sy sijn dan even.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een rondt gheteyckent even ant bultich vlack van een ghegeven corte keghel na den eysch.

[ 192 ]

D E R D E   D E E L   D E S

S E S T E N   B O V C X   V A N

T' V E R K E E R E N   D E R

L I C H A M E N.



2 4   V O O R S T E L.

    Een plattighe pylaer te teyckenen, op een ghegheven rechtlinighe grondt, even an een ghegheven plattighe pylaer.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDE een plattighe pylaer sijn, diens hooghde AB, ende de gront een rechtlinich plat soot valt, als BCDE, voort sy FGH een rechtlinighe gront.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten op den gront FGH een pylaer teyckenen, even anden pylaer ABCDE.

lijnen, blok, prisma

T W E R C K.

    Ick vinde de reden der twee gronden FGH, BCDE in linien deurt vervolgh vant 8 voorstel deses 6 boucx, welcke sy als van I tot K, vinde daer na de vierde everedenighe van I, K, AB, welcke sy GL: Daerom op den grondt FGH, ende onder de hooghde GL, gheteyckent den pylaer LGHF, ick seghse de begeerde te wesen, waer af t'bewijs openbaer is deur het 34 voorstel des 11 boucx van Euclides, deur dien hooghden en gronden in overhandtsche everedenheyt sijn.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet den gront FGH, die bevindende neem ick van 16 voeten, ende den gront BCDE van 4, ende hooghde AB 8. Dit soo sijnde, ick segh, 16 gheven 4, wat 8 ? Comt 2: Daerom ghetrocken GL lanck 2 voet, ende op den gront FGH onder de hooghde GL, een pylaer gheteyckent, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  D'een en d'ander pylaer doet 32 voet, deur het 21 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een plattighe pylaer gheteyckent op een ghegheven rechtlinighe gront, even an een ghegeven platte pylaer, na den eysch.

I   V E R V O L G H.

    Soo een plattighe pylaer te teyckenen waer onder een ghegheven hooghde, even an een ghegheven plattighe pylaer, tis kennelick datmen soude moeten vinden een gront in sulcken reden totten gront des ghegheven pylaers, ghelijck haer hooghde totte ghegheven hooghde.

[ 193 ]
2   V E R V O L G H.

    Soo de ghegheven ende begheerde form naelden waren, t'is kennelick dat de wercking daer in soude sijn als de voorgaende.

Hier by heeft sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  noch dit doen vervoughen.

    Bekent sijnde de grootheyt des lichaems als ABCDE, mette gront als EGH [FGH]: Hebbe het lichaem een form soot valt, en de platte gront sy rechtlinich of cromlinich, alsmen t'ghetal des lichaems deelt deur t'ghetal des gronts, t'ghene daer uyt comt is altijt openbaerlick de hooghde des begheerden pylaers om even te sijn mettet ander lichaem. Maer soo de hooghde ghegheven waer, alsdan deur t'ghetal der selve ghedeelt t'ghetal des lichaems t'ghene daer uyt comt is altijt openbaerlick voor den gront des begheerden pylaers.


2 5   V O O R S T E L.

    Een teerlinck te teyckenen even an een ghegheven plattich pylaer.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCDE een plattighe pylaer sijn, diens hooghde AB, ende den gront die viercant is sy BCDE.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een teerlinck teyckenen, even anden ghegheven pylaer.

T W E R C K.

blok, kubus     Soo den ghegeven gront BCDE geen viercant en waer, men soudese daer in verkeeren deur het 9 voorstel van desen. Ick vinde dan twee middeleveredenige tusschen een sijde des viercants als BE, (die altijt voorgaet) ende AB, welcke eerste sy FG, mette selve beschreven den teerlinck FGH, ick segse de begheerde te wesen.

T B E W Y S.

    Als vier linien in gheduerighe everedenheyt sijn, gelijck het viercant van d'eerste tottet viercant der tweede, alsoo de tweede totte vierde: Hier is dan tusschen dees twee pylaren overhandtsche everedenheyt der gronden en sijden, ende vervolghens soo sijnse even deur het 24 voorstel des II boucx van Euclides.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet BE, die bevindende neem ick van 3 voeten, AB 24, ende vinde tusschen de selve 3 en 24 twee middeleveredenighe ghetalen, welcke sijn 6 en 12, t'eerste van dien als 6 is voor een sijde des begeerden teerlincx: Daerom getrocken een lini lanck 6 voeten als FG, ende daer op gheteyckent een teerlinck als FGH, ick seghse de begheerde te wesen.

[ 194 ]
    P R O E F.  Het een en t'ander lichaem doet 216 voet deur het 23 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een teerlinck gheteyckent, even an een ghegeven plattighe pylaer, na den eysch.

Hier by heeft sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  noch dit
doen vervoughen.

    Bekent sijnde de grootheyt des lichaems als ABCDE, en wesende van form soot valt: De teerlincksijde van t'ghetal sijnder grootheyt, is altijt openbaerlick de langde der sijde daermen den begheerden teerlinck me maken moet.



2 6   V O O R S T E L.

    Op een ghegheven rechtlinighe grondt een pylaer te teyckenen even an een ghegheven plattighe naelde.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een rechtlinige gront sijn, ende EFGHI een plattighe naelde, diens gront is FGHI, ende hanghende EK.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten op den gront ABCD een pylaer teyckenen, even ande naelde EFGHI.

T W E R C K.

blok, piramide     Ick vinde deur t'vervolgh vant 8 voorstel deses boucx, twee linien L, M inde reden der ghegheven gronden, te weten ghelijck ABCD tot FGHI, alsoo L tot M. Segh daer na, L gheeft M, wat het derdendeel van EK ? comt neem ick AN, voor hooghde des begheerden pylaers: Daerom op den grondt ABCD, ende onder de hooghde AN, gheteyckent den pylaer NC, men heeft t'begheerde.

T B E W Y S.

    Een pylaer diens hooghde sulcken reden heeft tottet derdendeel der hooghde eender naelde, als des naeldens gront tot des pylaers gront, die pylaer ende naelde sijn even: Maer soodanighe sijn dese pylaer ende naelde deur t'werck, sy sijn dan even.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet den gront ABCD, die bevindende neem ick van 4 voeten, ende FGHI van 16, ende EK 6: Segh daer na, 4 gheeft 16, wat 2, wesende derdendeel van EK ? Comt 8: Daerom ghetrocken AN 8 voeten, als hooghde: Voorts onder de selve hooghde, ende op den gront ABCD, geteyckent den pylaer NC, men heeft t'begheerde.

[ 195 ]
    P R O E F.  De naelde doet 32, alsoo oock doet den pylaer deur het 22 ende 21 voorstel des 2 boucx.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan op een ghegheven rechtlinighe grondt een pylaer gheteyckent, even an een ghegeven plattighe naelde, na den eysch.


2 7   V O O R S T E L.

    Op een ghegheven rechtlinige gront een pylaer te teyckenen, even an een ghegheven plattich lichaem.

    T G H E G H E V E N.  Laet AB een rechtlinighe platte gront beteyckenen, ende C een plattich lichaem.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten op den gront AB een pylaer teyckenen even ant plattich lichaem C.

T W E R C K.

rechthoek met lijnen, vijfhoek     Ick deel het plattich lichaem C in sijn naelden, na de manier des 23 voorstels vant 2 bouck, te weten in soo veel naelden, alsser platten sijn min de platten daer den houck des ghemeenen soppunts af ghemaeckt wort: Teycken daer na op den gegeven gront AB, een pylaer even an een dier naelden, na de manier des 26 voorstels van desen, welcke pylaer sy ABDE: Teycken daer na alsoo op den gront ED een ander pylaer EDFG, even an een ander naelde, ende alsoo voortgaende ende beschrijvende soo veel pylaren d'een op d'ander alsser naelden sijn, soo moet de pylaer van al die vergaerden pylaren die ick neem ABHI te wesen, even sijn an al die vergaerde naelden te weten ant lichaem C: Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. Telconstighe wercking van desen, is oock kennelick deur de voorgaende des 26 voorstels.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan op een ghegheven rechtlinighe grondt, een pylaer gheteyckent, even an een ghegeven plattich lichaem, na den eysch.

V E R V O L G H.

    Vyt het voorgaende is kennelick hoemen vinden sal de reden in rechte linien van ghegheven plattighe lichamen. Als by voorbeelt om te vinden de reden in rechte linien van twee naelden daer het lichaem C in ghedeelt wort, want die twee naelden verkeert sijnde in twee pylaren ABDE, EDFG, ick segh dat ghelijck de rechte lini AE, tot EG, alsoo d'een naelde tot d'ander. Maer sooder begheert waer de reden des plattich lichaems C, tot eenich ander veelplattich lichaem, men soude t'selve ander veelplattich lichaem oock verkeeren in een pylaer, diens gront even an den gront AB, en segghen daer na dat ghelijck AI totte hooghde van dien anderen pylaer, alsoo het lichaem C tot dat ander veelplattich lichaem.

[ 196 ]

2 8   V O O R S T E L.

    Wesende ghegheven tvvee onghelijcke plattighe lichamen: Een plattich lichaem te teyckenen even ant een ende ghelijck mettet ander.

    T G H E G H E V E N.  Laet A en B twee onghelijcke plattighe lichamen sijn.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een derden lichaem teyckenen even an A, ende ghelijck met B.

vijfhoeken, zeshoek
T W E R C K.

    Ick segh, t'naformelick lichaem B, gheeft het lichaem A, wat eenighe sijde van B, ick neem EF ? Comt neem ick (deur het vervolgh des 27 voorstels deses 6 boucx) CD, vinde daer na d'eerste der twee middeleveredenige linien tusschen EF ende CD, welcke sy GH: Op de selve als lijckstandighe met EF geteyckent het lichaem I, ghelijck met B, men heeft t'begheerde.

T B E W Y S.

    Want GH d'eerste der twee middeleveredenige is, tusschen EF en CD deur t'werck, soo is EF in sulcken reden tot CD, als t'lichaem op EF gheteyckent, te weten t'lichaem B, tot sijns ghelijcke lichaem op GH, te weten t'lichaem I: Maer ghelijck EF tot CD, alsoo t'lichaem B tottet lichaem A, deur t'werck: Daerom t'lichaem B, heeft tottet lichaem A ende I een selve reden, waer deur A ende I even sijn.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

Ick meet het lichaem B, dat bevindende neem ick van 1600.
Daer na t'lichaem A 200.
Ende eenighe sijde des na formlicken lichaems B, als, neem ick, de sijde EF 16.
Segh daer na 1600 eerste in d'oirden, geeft 200 tweede in d'oirden, wat 16 derde in d'oirden ? Comt 2.
Vinde daer na t'eerste der twee middeleveredenighe ghetalen tusschen 16 derde in d'oirden, ende 2 vierde in d'oirden, t'welck is 8.
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als GH, ende daer op als lijckstandighe met EF gheteyckent het lichaem I, ghelijck met B, men heeft t'begheerde.

[ 197 ]
    P R O E F.  Anghesien ghelijcke lichamen tot malcander sulcke reden hebben als de teerlinghen van haer lijckstandighe sijden, ick segh 4096 teerlinck van EF 16, gheeft 512 teerlinck van GH 8, wat het lichaem B 1600 ? Comt voor I 200, even ant lichaem A.

Ander corter wercking deur ghetalen, ghevonden deur sijn 
V
 O R S T E L I C K E  G H E N A D E.

    B 1600, gheeft den teerlinck van EF 4096, wat A 200 ? comt teerlinck 512, diens sijde 8: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als GH, en daer op als lijckstandighe met EF gheteyckent het lichaem I, ghelijck met B, men heeft t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan ghegheven twee onghelijcke plattighe lichamen: Wy hebben een plattich lichaem gheteyckent even ant een ende ghelijck mettet ander, na den eysch.


2 9   V O O R S T E L.

    Een seul te teyckenen even an een ghegheven cloot.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn, diens as AC.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een seul teyckenen even an dien cloot.

T W E R C K.

cirkel, cilinder     Ick teycken het rondt EFGH, even ant grootste rondt des cloots ABCD: Treck daer na HI even ande 2/3 van AC, ende rechthouckich opt ront EFGH, teyckenende op den selven gront ende onder de hooghde HI de seul EFGHI, die ick segh even te sijn anden cloot ABCD, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt het 32 voorstel vant I bouck des cloots ende seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AC die bevindende neem ick van 14 voeten, daer af de twee derdendeelen doen 9 1/3: Daerom gheteyckent een seul diens grondt EFGH even is ant rondt ABCD, ende hooghde HI 9 1/3 voet, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Die cloot ghemeten na de leering des 24 voorstels vant 2 bouck, en de seul menichvuldighende de grondt met de hooghde, worden evegroot bevonden, te weten elck van 1437 1/3 voeten.


3 0   V O O R S T E L.

    Op een ghegheven rondt een seul te teyckenen, even an een ghegheven cloot.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een cloot sijn, diens as AC, ende den grondt sy t'rondt EFGH.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten op den grondt EFGH, een seul teyckenen even anden cloot.

[ 198 ]
T W E R C K.

cirkel, cilinder, lijn     Ick vinde de vierde everedenighe der twee HF, AC, welcke sy I: Treck daer na HK even ande 2/3 van I, ende rechthouckich opt rondt EFGH: Teycken daer na opt selve rondt als grondt, ende onder de hooghde HK de seul EFGHK, die ick segh even te sijn anden cloot ABCD, waer af t'bewijs ghetrocken wort uyt t'verkeerde des I voorstels vant 2 bouck des cloots ende seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet HF die bevinde neem ick van 7 voet, AC 14, souck daer na het vierde everedenich ghetal der selve 7 en 14, t'welck is 56: De 2/3 van dien doen 37 1/3: Daerom ghetrocken een lini van dier langde als HK, rechthouckich op den grondt EFGH, voort op de selve ende onder de hooghde HK ghetrocken de seul EFGHK, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  Die cloot ghemeten na de leering des 24 voorstels vant 2 bouck, en de seul menichvuldighende de gront met de hooghde, worden evegroot bevonden, te weten elck van 1437 1/3.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan op een ghegheven rondt een seul gheteyckent even an een ghegeven cloot na den eysch.

Hier by heeft sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  noch dit doen vervoughen.

    ABCD doende 1437 1/3 mach sijn een lichaem van form soot valt, wanneermen de 1437 1/3 deelt deur 38 1/2 des ghegheven rondts EFGH, datter uyt comt als 37 1/3, is voor de hooghde HK, om de seul even te hebben mettet ander lichaem.

I   V E R V O L G H.

    Sooder op een ghegheven rondt een keghel te teyckenen waer even an een ghegheven cloot, t'is kennelick datmen de lini KH soude vinden als boven, want onder de hooghde driemael soo lanck KH, ende op den gront EFGH, een keghel gheteyckent, men soude t'begheerde hebben.

2   V E R V O L G H.

    Deur t'verkeerde van dit voorstel is kennelick hoemen een cloot sal teyckenen even an een ghegheven seul: Als by voorbeelt ghegheven sijnde de seul EFGHK, men soude trecken een lini in sulcken reden tot HK, ghelijck 3 tot 2, als I, vindende daer na d'eerste middeleveredenighe der twee tusschen HF en I, want op de selve als as een cloot gheteyckent, men heeft t'begheerde.

3   V E R V O L G H.

    Sooder op een ghegheven hooghde een seul te teyckenen waer, even an een ghegheven cloot, t'is deur verkeering der voorgaende everedenheydt openbaer hoemen daer mede toe soude gaen,

[ 199 ]
want ghegheven sijnde de hooghde HK, men soude vinden de middeleveredenige tusschen de 3/2 van HK, ende AC, daer na de derde everedenighe van die gevonden, ende AC, want de selve derde soude voor middellijn des gronts verstrecken om de begeerde seul op te teyckenen.


3 1   V O O R S T E L.

    Een keghel te teyckenen even an een ghegheven keghelsche eens rechthouckighen keghels.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABC de keghelsche sijn eens rechthouckighen keghels, diens gronts middellijn BC, ende as AD is.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een keghel teyckenen even an die keghelsche.

driehoeken, parabool

T W E R C K.

    Ick treck DA opwaert, alsoo dat DE sulcken reden heeft tot DA, als 3 tot 2, daer na teycken ick op den grondt BC ende hooghde DE de keghel EBC, die ick segh de begheerde te wesen.
    T B E R E Y T S E L.  Laet ghetrocken worden AB, AC.

T B E W Y S.

    De keghelsche ABC is in sulcken reden totten inschreven keghel ABC, als 3 tot 2, deur het 23 voorstel vant bouck der keghelsche ende clootsche van Archimedes. Ende de keghel EBC, is oock in sulcken reden tot den keghel ABC, als 3 tot 2 deur t'werck. Daerom de keghelsche ABC ende de keghel EBC sijn even.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AD die bevindende neem ick van 6 voeten, daer toe altijt den helft van dien maeckt 9: Daerom ghetrocken DA opwaert tot E, sulcx dat DE doet 9 voeten, voort onder de hooghde DE, ende op den gront BC, gheteyckent den keghel EBC, men heeft t'begeerde.
    P R O E F.  BC als middellijn des gronts ghemeten sijnde wort bevonden, neem ick van 10 voeten: T'welck soo wesende de keghelsche ABC sal doen 235 5/7 voeten, deur het 27 [29] voorstel des 2 boucx, en de keghel sal oock soo veel bevonden worden, na de manier der meting vande naelde int 22 voorstel des 2 boucx, menichvuldighende den grondt deur het derdendeel der hooghde.

[ 200 ]
Hier by heeft sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  noch dit
doen voughen, dienende int ghemeen soo wel voor het vol-
ghende 32, 33, en 34 voorstel, als voor dit 31.

    Ghedeelt t'ghetal der ghegheven lichamelicke grootheyt, deur t'ghetal des gronts, daermen de keghel op wil teyckenen, en den mael deur 3 ghemenichvuldicht, t'ghene daer uyt comt is voor de hooghde des begheerden keghels.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een keghel gheteyckent, even an een ghegeven keghelsche eens rechthouckighen keghels, na den eysch.


3 2   V O O R S T E L.

    Een keghel te teyckenen even an een ghegheven corte keghel.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een corte keghel sijn, diens gronts middellijn DC, ende decksels middellijn AB.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een keghel teyckenen even ande selve corte keghel.

T W E R C K.

driehoeken     Ick vinde de vierde everedenighe van DC, AB welcke sy CE, die ick teycken in CD, treck daer na DA en CB voorwaert, tot datse vergaren in F: Treck oock de hanghende FG: Segh daer na CE gheeft ED, wat FG ? Comt neem ick GH, die ick teycken in GF, ofte in haer voortghetrocken. Daer na onder de hooghde GH, ende op den gront AB, gheteyckent de keghel HAB, ick segse de begheerde te sijn.

T B E W Y S.

    Anghesien AB, CD, lijckstandige linien sijn in twee ghelijcke keghels FAB, FDC, ende dat CE vierde everedenige is der selve twee DC, AB deur t'werck, soo heeft de keghel FAB sulcken reden totte keghel FDC, als CE tot DC: ende deur ghescheyden reden gelijck CE tot DC min CE, dats DE, alsoo de keghel FAB totte keghel FDC min FAB, dats totte corte keghel ABCD: Maer gelijck EC tot DE, alsoo ock GF tot GH, ende ghelijck GF tot GH, alsoo de keghel FAB totte kegel HAB: Daerom de keghel FAB heeft totte corte keghel ABCD ende totte kegel HAB een selve reden: Daerom de keghel HAB is even ande corte keghel ABCD.

[ 201 ]
Derghelijcke wercking deur ghetalen.

FG voorwaert ghetrocken sijnde tot I op de lini DC, soo meet ick GI met voeten ende bevindese neem ick van 24.
DC 56.
AB 28.
Vinde daer na het vierde everedenich ghetal der twee 56 tweede in d'oirden, ende 28 derde in d'oirden, t'welck is als voor CE 7.
Die ghetrocken van 56 tweede in d'oirden, blijft voor DE 49.
Maer doende AB, DC, en GI als boven, soo doet FG deur het 3 vervolgh van het 6 voorstel des 2 boucx 24.
Segh daer na 7 vierde in d'oirden, gheeft 49 vijfde in d'oirden, wat 24 seste in d'oirden ? Comt 168.
    Daerom gheteyckent een keghel diens hooghde 168 voeten, op den grondt diens middellijn AB, als de keghel HAB, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  De keghel HAB ghemeten na de manier der naelde int 22 voorstel des 2 boucx doet 34496, ende soo veel wort oock bevonden de ghecorte keghel ABC, treckende de keghel FBA, vande keghel FCD.

Ander wercking deur ghetalen die corter is.

    Ghemeten hebbende GI, DC, AB, ende die bevonden als boven, Ick vinde oock alsvooren GF te doen 24. T'welck soo sijnde de heele keghel FDC doet 39424: daer af ghetrocken de keghel FAB, doende 4928, blijft voor de corte keghel als boven 34496, daerom een keghel van dier grootheyt ghemaeckt, men heeft t'begheerde.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een keghel gheteyckent, even an een ghegeven corte keghel, na den eysch.


3 3   V O O R S T E L.

    Een keghel te teyckenen even an een ghegheven clootsche.

    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een clootsche sijn, diens grootste middellijn AC, ende d'ander daer op rechthouckich DB, ende t'middelpunt sy E.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een keghel teyckenen even ande clootsche.

T W E R C K.

ellips, raaklijnen     Ick treck de lini EA voorwaert tot F, alsoo dat EF dobbel sy an AC; daer na FB, FD: T'welck soo wesende ick segh de keghel FDB even te sijn ande clootsche ABCD, waer af t'bewijs ghedaen is int 29 ende 30 voorstel vant bouck der keghelsche ende clootsche van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

    Ick meet AC, die bevindende neem ick van 28 voeten, ende BD van 14: Segh daer na het dobbel van AC 28 doet 56: Daerom gheteyckent een keghel diens hoogde 56, ende gronts middellijn 14, als de keghel FDB, men heeft t'begheerde.
    P R O E F.  De keghel ghemeten na de manier der naelde, int 22 voorstel des 2 boucx, en de clootsche als int 27 voorstel der selven 2 boucx, worden elck bevonden van 2874 2/3.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een keghel gheteyckent even an een ghegeven clootsche na den eysch.

[ 202 ]
V E R V O L G H.

    Ghemerckt dat alle cloot oock clootsche is, soo houdt dese reghel oock plaets inde clooten, want de keghel gheteyckent op een gront even an des cloots grootste rondt, ende onder de hooghde dobbel an des cloots as, de selve keghel is even met dien cloot.


3 4   V O O R S T E L.

    Een keghel te teyckenen even an de ghegheven coordsne der clootsche.
ellips, lijnen
    T G H E G H E V E N.  Laet ABCD een clootsche sijn, diens middelpunt E, ende langsten as AC, van welcke clootsche gesneen is de coordsne DBA, ende het asdeel daer in bestaende AF.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten een keghel teyckenen even ande coordsne ADB.

T W E R C K.

    Ick treck CA oneyndelick voorwaert na G: Vinde daer na de vierde everedenighe lini der drie diens eerste CF, de tweede CF met CE, de derde FA, welcke vierde sy FH, gheteyckent inde oneyndelicke FG. Daer na opt rondt diens middellijn DB, ende onder de hooghde FH, geteyckent de kegel HDB, ick seghse de begheerde te wesen, waer af t'bewijs ghedaen is int 2 voorstel vant 2 bouck des cloots en seuls van Archimedes.

Derghelijcke wercking deur ghetalen.

Ick meet CF met voeten die bevindende neem ick van 46.
CE 28.
FA 10.
Segh daer na 46 eerste in d'oirden gheeft 74 somme van 46 en 28 eerste en tweede in d'oirden, wat 10 derde in d'oirden ? Comt 16 2/23.
    Daerom ghetrocken een lini van dier langde als FH, voort onder die hooghde ende op den grondt diens middellijn DB gheteyckent een keghel als HDB, ick seghse de begheerde te wesen.
    P R O E F.  Laet DB, middellijn vande grondt des keghels HDB ghemeten sijnde bevonden worden van neem ick 21 voeten: T'welck soo sijnde de keghel HDB ghemeten na de manier der naelde int 22 voorstel des 2 boucx, en de coordsne ADB als int 28 voorstel des selven 2 boucx, worden elck bevonden van 1858 1/23.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan een keghel gheteyckent, even ande ghegeven coordsne der clootsche, na den eysch.

M E R C K T.

    Men soude hier noch meughen verscheyden voorstellen beschrijven, maer alsoose uyt het voorgaende openbaer ghenouch schijnen, soo sullen wy die cortheytshalven als vervolghen stellen.

[ 203 ]
I   V E R V O L G H.

    Soomen wilde teyckenen een keghel even ande clootschens middellijnsne DEBA, men soude inde lini HG teyckenen t'punt I; alsoo dat HI even waer an FE, en de keghel IDB soude de begheerde wesen. Want alsoo de twee keghels HDB, EDB, op een selve gront DB sijn, en dat des keghels IDB hoogde IF, even is an d'ander twee hooghden t'samen, soo moet dese keghel IDB, even sijn an d'ander twee; En vervolghens ande middellijnsne ABED.

2   V E R V O L G H.

    Ghelijck de middellijnsne DEBA, bestaet uyt de coordsne DBA, en noch daer toe de keghel EDB, alsoo bestaet de middellijnsne DEBC uyt de coordsne DBC, min de keghel EDB: Daerom alsmen een kegel wil teyckenen even ande middellijnsne DEBC, t'is kennelick datmen vande keghel even ande coordsne DCB, die ick neem DKB te wesen, sal moeten trecken de keghel DEB, dat is datmen sal teyckenen de langde EF van K na F, als van K neem ick tot L, want de keghel daer op ghemaeckt als LDB, is even ande middellijnsne DEBC.

3   V E R V O L G H.

    Anghesien de langcloot en cloot, afcomsten {Species.} sijn, diens gheslacht {Genus.} clootsche, soo is alle cloot oock clootsche, daerom t'ghene inde twee boveschreven vervolghen int ghemeen vande clootsche gheseyt is, houdt oock plaets inden cloot. Doch can des cloots middellijnsne deur een corter wech dan boven in een keghel verkeert worden, want teyckenende deur het 18 voorstel deses 6 boucx, een rondt even ant bultich vlack der coordsne, voort opt selve rondt als grondt, en onder de hooghde even anden as des heelen cloots een keghel geteyckent, men heeft alsoo oock t'begheerde.

4   V E R V O L G H.

    Clooten, Clootsche, Seulen, Keghels, Ghecorte keghels, en keghelsche van rechte keghels, connen deur t'voorgaende al verkeert worden in keghels, en de keghel weerom in elck van d'ander, waer deur oock openbaer is dat elck der boveschreven verkeert can worden in elck van d'ander, van welcke men seer veel verscheyden voorstellen soude meughen beschrijven, maer sy schijnen deur t'voorgaende openbaer ghenouch.

5   V E R V O L G H.

    Wy hebben inde formen der boveschreven voorstellen deses sesten boucx ghenomen sticken van lanckronden, keghelsneen, keghels, naelden, Pylaren, Seulen, en Sticken van clootsche diens assen op haer gront rechthouckich commen: Doch ist kennelick de reghel ghemeen te wesen oock over de ghene die op haer gronden scheefhouckich commen.



D E R   M E E T D A E T S

E Y N D E.



Simon Stevin | Meetdaet | Verkeeren (top)