Definitio   Pertinere ad punctum illud radij vel radiorum refractiones dicuntur, ad quod tendunt, vel a quo exeunt, vel ad quod eo modo se habent, ac si inde prodijssent. Propositio XII   Data diaphani sphaerica superficie convexa, vel cava, et puncto, ad quod pertinentes radij superficiei dictae occurrant; si tribus ab illo puncto distantijs quarta proportionalis constituatur, in axe qui per centrum superficiei et punctum ipsum transit; quarum distantiarum prima sit a puncto dato ad illud quo pertinerent refractiones radiorum axi parallelorum a contraria parte advenientium; secunda ad superficiem refringentem, tertia ad centrum illius;

[ 43 ]

[ v ]

terminus quartae distantiae erit punctum quo pertinebunt radij refracti. Haec autem quarta distantia in eam dati puncti partem sumenda est, ut vel omnes eodem versus habeantur, vel binae utrimque*).   Hoc Theorema in partes octo distribuemus, nam superficies sphaerica vel convexa est vel cava, et utrique vel extrinsecus, vel intrinsecus radij occurrunt, et vel a dato, vel ad datum punctum tendentes. Partes vero pleraeque suos casus habebunt. Pars 1   Cum superficies est convexa, et a puncto venientes radij extrinsecus in eam deferuntur.   Esto diaphani superficies sphaerica convexa AB, cujus centrum C, et punctum D a quo venientes radij in illam deferantur ut DB. Agatur recta per DC, inque ea signetur punctum R, ita ut CR ad RA habeat proportionem refractionis. Est igitur R punctum concursus radiorum parallelorum a contraria parte venientium {* Prop. IX}. Punctum autem D aut magis aut minus a convexo distabit quam punctum R; nam si in ipsum R incidit, radij ab illo venientes pro parallelis habentur, ut ex prop. [IX] manifestum est; quia nempe uti diximus paralleli ex parte C venientes a superficie AB detorquentur ad punctum R. Primo igitur sit punctum D remotius quam R, et quandoquidem DR est prima dictarum distantiarum, DA secunda, DC tertia, fiat ut DR ad DA ita DC ad DS. Dico S fore punctum concursus radiorum ex D procedentium. Nam primum quidem, nullius radij refractionem cum axe AC ultra punctum S convenire, sic ostendemus. *)  [...] d'après la proposition présente: (d1 – f 1)  :  d1  =  (d1 + R)  :  (d1 + d2)

[ 45 ]

Sit radij cujusvis DB refractio BL, et ducatur CM parallela DB, et producatur versus C quousque occurrat superficiei AB in F. Cum igitur FM per centrum convexi ducta sit parallela radio DB, sitque refractio hujus BM, constat FM minorem fore quam CR {* Prop. VIII}, et CM proinde minorem quam AR. DB autem major est quam DA. Itaque major ratio DB ad CM, hoc est, DL ad LC, quam DA ad AR; ideoque per conversionem rationis minor ratio LD ad DC quam AD ad DR, hoc est, quam SD ad DC. Ergo DL minor erit quam DS. Patet igitur radij DB refractionem BL convenire cum axe AC citra punctum S, ac proinde reliquorum quoque omnium.   Deinceps demonstrabimus radios eos qui minus distant ab axe AC, refractos propius accedere ad punctum S. Esto radius DP remotior quam DB, et refractio illius sit PK. Ducatur CN parallela DP, et occurrat superficiei in E. Angulus itaque ADP, hoc est ACE major est quam ADB sive ACF. Sed et circumferentiae pars AP major est quam AB. Itaque arcus EP major omnino erit arcu FB. Quare constat concursum radij DP refracti cum recta ECN propiorem esse centro C quam concursum radij DB refracti cum recta FM {* Prop. VIII}. Ergo CN minor quam CM. Sed DP major est quam DB. Ergo major ratio DP ad CN, hoc est, DK ad KC quam DB ad CM, hoc est, quam DL ad LC. Et dividendo, major DC ad CK, quam DC ad CL. Ergo CK minor quam CL, quod ostendere oportebat.   Denique aliquos radios refractos cum axe AC concurrere ad puncta quolibet intervallo propiora puncto S hinc erit manifestum. Etenim quia DL est ad LC ut DB ad CM, potestque fieri appropinquando radium DB ad axem DAC ut differentia inter DB et DA sit qualibet data minor, ut et ea quae est inter CM et AR; nam excessus AR super CM eo minor erit quo minor fuerit arcus BF; apparet fieri posse ut ratio DB ad CM, hoc est DL ad LC quamlibet proxime eadem evadat quae DA ad AR; ac proinde per conversionem rationis ratio LD ad DC quamlibet proxime eadem quae AD ad DR, hoc est quam SD ad DC. Atque ita DL proxime aequalis DS. hoc est ut punctum L ubi radius DB convenit cum axe AC quamlibet propinquum fiat puncto S. Propter haec igitur erit S punctum concursus radiorum ex D manantium.

[ 47 ]

[ v ]

Esto autem nunc punctum D inter A et R datum; et fiat rursus ut DR ad DA ita DC ad DS; accipiatur autem DS non versus C sed versus R. Dico radios ex puncto D in superficiem AB incidentes post refractionem ita inflecti quasi venirent ex puncto S, sive S fore punctum dispersus radiorum refractorum.   Etenim primo ostendemus omnes dictas refractiones retro productas concurrere longius ab A quam sit punctum S. Sit radius incidens DB, ejusque refractio BM, quae producta retro occurrat axi AC in L. Oportet autem DB minorem esse duabus tertiis DC*), ut refractio BM retro producta conveniat cum axe AC, nam alioqui vel parallela illi fieret, vel occurrere prorsum producta, ut manifestum est ex demonstratis prop. [IX]. Ducta igitur CM parallela DB, erit rursus, sicut in casu praecedenti CM minor quam AR; at DB major quam DA; ideoque major ratio DB ad CM, hoc est, DL ad LC, quam DA ad AR; Et invertendo minor CL ad LD quam RA ad AD; et dividendo minor CD ad DL quam RD ad DA, hoc est, quam CD ad DS. Quare DL major quam DS. ideoque occursus L ulterius distat ab A quam punctum S. Sumpto autem puncto D valde propinquo ipsi R posset fieri DB major quam CM, et sic refractio radiorum quorundam ab axe remotiorum concurrere simul cum axe ultra punctum C°).   Porro quod radiorum axi AC propiorum refractiones retro productae propius concurrunt ad punctum S, demonstratur quemadmodum in casu praecedenti; nisi quod hîc, ubi ostenderimus majorem esse rationem DK ad KC quam DL ad LC, inde sequatur, invertendo et dividendo, rationem CD ad DK minorem esse quam CD ad DL, ideoque CK majorem esse quam CL, unde DK major quam DL.   Denique aliquorum radiorum refractiones quolibet intervallo propius concurrere ad punctum S eodem quoque modo ostenditur atque in casu priori. Erit igitur S punctum dispersus radiorum ex D promanantium.   *)  C'est à dire, en supposant l'indice de réfraction du verre égal à 3 : 2. [<]   °)  [...] dès que DB > DC / n.

[ 49 ]

[ v ]

Pars 2   Cum superficies convexa est, et ad punctum tendentes radij extrinsecus illi occurrunt.   Esto data convexa diaphani superficies AB, et punctum D, quo tendentes radij ut FB, GP, exterius incidant in dictam super­ficiem. Centrum autem convexi­tatis sit C, per quod ducta sit recta DCA. Producatur DA, et habeat CR ad RA proportionem refractionis. Erit ergo R concursus parallelorum a contraria parte venientium.   Deinde tribus hisce DR, DA, DC, inveniatur quarta proportionalis DS. Dico punctum S esse quo pertinent radij refracti ad D tendentes.   Et constructio quidem universalis est ad omnes casus pertinens; in demonstratione autem triplex spectanda est differentia. Nam DC ad radium CH vel majorem rationem habet quam sit refractionis ratio, vel minorem, vel eandem. Atque hoc ultimo casu radij omnes perfecte coeunt ad punctum unum S, ut postea videbimus [ut jam olim adverteram cum Ovalem quandam ex ijs quas Cartesius excogitaverat ad colligendos radios uno casu circulum fieri admonui; quod suis in Cartesij geometriam commentarijs Franc. Schotenius inseruit*)].   [Ut autem res quos diximus casus ordine persequamur,] sit primo punctum D ita positum, ut major sit ratio DC ad CH, ratione refractionis, hoc est quam CR habet ad RA. Sitque S punctum repertum eo modo quo diximus. Radius autem quilibet ut FB tendens ad punctum D, refractus conveniat cum axe AC in L.   *)  [Tous les mots entre [ ] manquent dans la rédaction primitive. ... ] Après avoir mentionné l'invention de Huygens, van Schooten ajoute [ed. 1659, p. 270; vgl. Glazemaker, p. 367-] Quod se apertius in tractatu de Dioptricis demonstraturum suscepit, in quo multa egregia ac ingeniose a se inventa, quae huc spectant, brevi, si volet Deus, est exhibiturus.   Ajoutons que cette découverte: que le cercle peut se présenter comme cas particulier des ovales de Descartes, fut une des premières faites par Huygens dans la science de la dioptrique. Il la communiqua à van Schooten dans la lettre du 29 octobre 1652 (Voir la p. 186 du T. I).   D'ailleurs la circonstance particulière, que les rayons correspondant à un point donné se réunissent exactement dans un autre [>], ne se rencontre pas seulement dans la "Partie" présente, elle va revenir dans la 3me, la 5me et la 8me "Partie".  [Cf. la lettre de R. F. de Sluse, 4 oct. 1657.]

[ 51 ]

[Fig. 1703]   [ v ]

Ostendam igitur primo punctum L cadere citra S. Jungatur BS, et producatur, ut et BL, et occurrat utraque rectae CMZ radio FBD parallelae, nempe BS in Z, BL in M. Sicut autem DA ad AS ita sit DE ad ES.   Quia ergo ratio DC ad CH sive ad CA major quam CR ad RA; et permutando major erit DC ad CR quam CA ad AR. Et componendo DR ad RC major quam CR ad RA. Quare reliquae DC ad reliquam AC major ratio quam DR ad RC {* 33.5 Elem.*)}. Ut autem DR ad RC ita est DA ad AS. nam quia ut DR ad DA ita DC ad DS, erit permutando et per conversionem rationis DR ad RC ut DA ad AS. Itaque ratio DC ad CA major quoque quam DA ad AS. Ut autem DA ad AS ita DE ad ES, ideoque duae simul DA, DE ad duas AS, SE, hoc est ad AE, ut DA ad AS. Igitur major ratio DC ad CA, sive ad CH, quam ADE ad AE: Et dividendo major ratio DH ad HC quam duplae DE ad EA. Et sumtis consequentium duplis; major DH ad HA, quam duplae DE ad duplam EA, hoc est quam DE ad EA. Itaque punctum E cadit extra circulum ABH, ideoque si circa EA diametrum circulus describatur, is intra se complectetur punctum B. Est autem DE ad ES ut DA ad AS. Itaque major erit ratio DB ad BS quam DA ad AS {* Lem. 5}. Ut autem DB ad BS ita est CZ ad ZS, et ut DA ad AS ita DR ad RC, fuit enim hoc antea ostensum. Major itaque erit ratio CZ ad ZS quam DR ad RC. Componitur autem ratio DR ad RC ex rationibus DR ad RA et RA ad RC, quarum DR ad RA est eadem quae DC ad CS, quia fecimus ut DR ad DA ita DC ad DS.   *)  [T. XII, 125, n. 4] "Si fuerit major proportio totius ad totum, quam ablati ad ablatum: Erit & reliqui ad reliquum major proportio, quam totius ad totum." [...] "Elementa" d'Euclide, par Clavius.

[ 53 ]

[ v ]

Ergo ratio CZ ad ZS major quam quae componitur ex rationibus DC ad CS et RA ad RC. Ratio autem CZ ad ZS eadem est compositae ex rationibus CZ ad ZB et ZB ad ZS. Ergo quae ex duabus hisce componitur ratio major erit composita ex rationibus DC ad CS et RA ad RC. quare ablatis utrinque rationibus aequalibus, hinc DC ad CS, inde BZ ad ZS, major adhuc erit ratio CZ ad ZB quam RA ad RC. Et invertendo ratio BZ ad ZC minor quam CR ad RA. Sicut autem CR ad RA, quae est ratio refractionis, ita est BM ad MC {* Prop. II}, quoniam BM est refractio radij FB, cui parallela ducta est CM. Igitur minor est ratio BZ ad ZC quam BM ad MC. Angulus autem BCZ, quoniam aequalis est angulo FBC, necessario est obtusus; eique utraque linearum BM, BZ subtensa est. Ergo CM minor erit quam CZ {* Lem. 2}, et angulus proinde CBM minor angulo CBZ. Quare et CL minor quam CS. Itaque apparet omnium radiorum ad D tendentium refractiones cum axe AC convenire citra punctum S.   Nunc porro ostendemus refractiones radiorum axi AC propinquiorum concurrere propius ad punctum S, idque ad intervallum minus quolibet dato. Sit enim radius aliquis GP tendens ad D, inque superficiem AB incidens, qui refringatur in PK. Est igitur concursus K inter C et S, ex jam demonstratis. Porro inter K et S quodvis punctum sumatur L: et dividatur DL in T, ut DT ad TL habeat rationem eam quam rectangulum DC, AR, ad rectangulum LC, CR; quae quidem erit majoris ad minus. Major enim est ratio DC ad CL quam DC ad CS, hoc est, quam DR ad RA (nam has easdem esse supra ostensum est) ideoque multo major ratio DC ad CL quam CR ad RA, ac proinde rectangulum DC, AR majus rectangulo CL, CR. Quoniam igitur ratio DT ad TL est majoris ad minus, potest in linea DL continuata versus L, sumi punctum Q, ita ut DQ ad QL habeat eandem rationem quam DT ad TL. Esto itaque inventum, sitque ad diametrum QT descripta circuli circumferentia. Ea secabit circumferentiam AP inter A et P, ut postea demonstrabitur [>]. Secet ergo in B, et ducatur recta DBF, et jungatur BL, eaque producatur, et occurrat rectae CM, quae ducenda est ipsi DBF aequidistans. Quoniam igitur punctum B est ad circuli circumferentiam cujus diameter TQ, estque DT ad TL ut DQ ad QL; erit ratio DB ad BL eadem quae DT ad TL {* Lem. 5}, hoc est, quae rectanguli DC, AR ad rectangulum LC, CR. Ratio autem DB ad BL, hoc est, CM ad ML componitur ex ratione CM ad MB et MB ad ML, hoc est, et DC ad CL. Rectangulum vero DC, AR ad rectangulum LC, CR compositam habet rationem ex DC ad CL et AR ad RC. Ergo eadem est ratio quae componitur ex rationibus CM ad MB et DC ad CL, compositae ex rationibus DC ad CL et AR ad RC.

[ 55 ]

[ v ]

Quare ablata communi ratione DC ad CL, erit eadem ratio CM ad MB quae AR ad RC, et invertendo BM ad MC eadem quae CR ad RA, quae est ratio refractionis. Ergo cum CM sit parallela radio FB, erit BLM ejusdem radij refractio.   Sumtum autem fuit punctum L pro arbitrio inter K et S. Itaque constat alicujus radij refractionem quolibet dato intervallo propius accedere ad punctum S, in linea CS. Sed et ostensum est radium, cujus refractio pervenit ad punctum L, propiorem esse axi AC, quam cujus refractio ad punctum K concurrit. Ergo constat eas refractiones, quae propius conveniunt ad punctum S, pertinere ad radios axi AC propiores. Cujus conversum quoque verum esse liquet, nimirum radiorum axi AC propinquiorum refractiones propius concurrere ad punctum S. Ergo ob haec erit S punctum concursus radiorum ex D venientium.   Quod autem dictum est [<] circumferentiam circa QT diametrum descriptam secare circulum APH inter A et P, sic ostendetur. Primo quia CS major quam CL, erit major ratio AC ad CL quam AC ad CS, et componendo, major AL ad LC quam AS ad SC. Ratio autem AS ad SC componitur ex rationibus AS ad SD et SD ad SC; quarum AS ad SD eadem est quae RC ad CD, quia ex constr. est DR ad DC ut DA ad DS. Item ratio SD ad SC est eadem quae DA ad AR. Major itaque erit ratio AL ad LC quam composita ex ratione RC ad CD et DA ad AR: hoc est, quam composita ex ratione CR ad RA et DA ad DC. Quare ablata utrinque ratione DA ad DC, erit composita ex ratione AL ad LC et DC ad DA, sive composita ex LA ad AD et DC ad CL major quam CR ad RA. Ablataque rursus utrinque ratione DC ad CL, erit LA ad AD major quam composita ex rationibus CR ad RA et LC ad CD.

[ 57 ]

[ v ]

Et invertendo ratio DA ad AL minor compositâ ex rationibus DC ad CL et AR ad RC; hoc est, ratione rectanguli DC, AR ad rectangulum CL, CR, hoc est, ratione DQ ad QL. Quare et dividendo ratio DL ad LA minor erit ratione DL ad LQ. Unde patet LQ minorem esse quam LA. Est autem ratio DC ad CL major quam DQ ad QL, nam DC ad CL ratio major est quam rectanguli DC, AR, ad rectangulum CL, CR, quia AR minor est quam CR. Itaque patet punctum Q cadere inter A et C. Jam porro dividatur DK in V, ut habeat DV ad VK rationem eam quam rectangulum DC, AR ad rectangulum KC, CR. Haec autem est majoris ad minus, siquidem hoc eadem ratione ostenditur qua supra ostensum fuit rectangulum DC, AR majus esse rectangulo LC, CR. Deinde fiat ut DV ad VK ita DX ad XK, cadetque punctum X inter A et C, aeque ac punctum Q, nam hoc similiter quoque demonstrari potest. Sit autem circuli cirumferentia circa XV diametrum descripta. Ea secabit circulum AP in ipso puncto P ubi radius GP convexo AB occurrere dictus est. Producatur enim PK, et occurrat ei CN parallela GPD. Ergo quia PK posita est esse refractio radij GP, cui parallela ex centro ducta est CN, habebit PN ad NC rationem refractionis. Est igitur CN ad NP ut AR ad RC. Unde sic porro argumentabimur. Ratio CN ad NK componitur ex rationibus CN ad NP et NP ad NK, hoc est, et DC ad CK; igitur ratio CN ad NK, hoc est, DP ad PK, componitur ex rationibus AR ad RC et DC ad CK, ex quibus componitur quoque ratio rectanguli AR, DC ad rectangulum RC, CK. Igitur DP ad PK erit ut rectangulum AR, DC ad rectangulum RC, CK. ac proinde etiam sicut DV ad VK, nec non ut DX ad XK. Quare circumferentia cujus diameter XV, transibit per punctum P {* Lem. 5}, ut dicebamus.   Jam quia ratio DT ad TL est eadem quae rectanguli AR, DC ad rectangulum RC, CL; ratio vero DV ad VK eadem quae rectanguli AR, DC ad rectangulum RC, CK; minor erit ratio DT ad TL quam DV ad VK, quia rectang. RC, CL majus est rectangulo RC, CK. Itaque multo minor ratio DT ad TK quam DV ad VK; nam DK major est posita quam DL. Apparet igitur punctum T cadere inter D et V. Punctum vero Q dico cadere inter A et X. Sit enim ut DQ ad QL ita DX ad XY. Ergo quia XK ad XD per constr. ut rectang. RC, CK ad rectangulum AR, DC; DX autem ad XY ut DQ ad QL, hoc est ut rectang. AR, DC ad rectangulum RC, CL: erit ex aequo XK ad XY ut rectang. RC, CK ad rectang. RC, CL, hoc est, ut CK ad CL. Et XK ad KY ut CK ad KL. Est autem XK major quam CK, ut superius dictum fuit. Ergo KY major quoque quam KL, ideoque DY minor quam DL. Erat autem DX ad XY ut DQ ad QL, et per conversionem rationis DX ad DY ut DQ ad DL. Ergo quum DY sit minor quam DL, erit et DX minor quam DQ. Unde necessario punctum Q cadet inter A et X, nam quod inter A et C cadat jam ante ostensum fuit. Sed punctum T ostendimus distare ab A ultra punctum V. Ergo manifestum est circumferentiam QBT secare circulum APH inter A et P. Quod demonstrandum supererat.

[ 59 ]

[ v ]

Sit nunc ratio DC ad CH minor ratione refractionis, hoc est ratione CR ad RA, sitque punctum D vel extra circulum ABH vel intra, ita tamen ut ultra centrum C distet ab A. Nam cum inter A et C positum est adhuc singularis est casus, quem mox videbimus. Radio igitur existente FB, qui tendat ad punctum D, conveniatque refractus cum axe AC in puncto L: dico L distare ab A ulterius quam punctum S. Jungatur enim BS, et ducatur CM parallela FD, quae occurrat productis BS, BL in Z et M; Et sicut DA ad AS ita sit DE ad ES. Si igitur punctum D intra circulum ABH ponatur, cadet necessario et E intra eundem. Si vero D extra dictum circulum ponatur, tamen E punctum intra circulum cadere sic ostenditur.   Quia enim minor ratio DC ad CH, vel DC ad CA quam CR ad RA, permutando quoque minor erit DC ad CR quam CA ad AR, et componendo, minor DR ad RC quam CR ad RA; quare reliquae DC ad reliquam CA minor erit ratio quam DR ad RC, hoc est, quam DA ad AS, namque has easdem esse sicut in casu praecedenti [<] ostenditur. Ut autem DA ad AS ita est DE ad ES ex constr. ideoque et duae simul AD, DE ad duas simul AS, SE, hoc est ad AE, ut DA ad AS. Igitur minor ratio DC ad CA, vel DC ad CH, quam ADE ad AE: Et dividendo minor ratio DH ad HC quam duplae DE ad EA. Sumtisque consequentium duplis, minor DH ad HA quam duplae DE ad duplam EA, hoc est, quam DE ad EA. Ergo punctum E cadet intra circulum ABH.   Jam utroque casu sic porro argumentabimur. Quoniam E cadit inter A, H, si circa AE diametrum circulus describatur, extra eum erit punctum B. Est autem ut DA ad AS ita DE ad ES. Ergo erit DB ad BS minor ratio quam DA ad AS {* Lem. 5}. Ut autem DB ad BS ita est CZ ad ZS; et ut DA ad AS ita DR ad RC. Ergo minor est ratio CZ ad ZS quam DR ad RC. Ratio autem DR ad RC componitur ex rationibus DR ad RA et RA ad RC, quarum DR ad RA est eadem quae DC ad CS, quia ut DR ad DA ita DC ad DS ex constr. Ergo ratio CZ ad ZS minor erit compositâ ex rationibus DC ad CS et RA ad RC. Ratio autem CZ ad ZS eadem est compositae ex rationibus CZ ad ZB et ZB ad ZS. Itaque ablatis utrinque rationibus aequalibus, hinc BZ ad ZS, inde DC ad CS, minor quoque erit reliqua ratio CZ ad ZB quam RA ad RC:

[ 61 ]

[ v ]

Et invertendo, major BZ ad ZC quam CR ad RA. Sicut autem CR ad RA quae est ratio refractionis ita est BM ad MC {* Prop. VIII}, quoniam BLM est refractio radij FB, cui parallela ducta est et CM. Igitur major est ratio BZ ad ZC quam BM ad MC. Angulus autem BCM, cui utraque BM, BZ subtenditur, necessario est obtusus, quippe aequalis angulo FBC. Ergo CZ minor erit quam CM {* Lem. 2}, atque angulus proinde CBM major angulo CBZ. Quare et CL major quam CS; quod erat probandum.     Porro simile fere demonstratione, atque in casu primo [<], ostendi potest refractiones radiorum axi AC propinquiorum (intelligo autem propinquiores qui minimam circumferentiae partem versus A abscindunt) propius coire ad punctum S, idque ad intervallum quolibet dato minus. Sed prolixam argumentationem hîc non repetemus. Illud tamen, quod ad puncta quamlibet proxima puncto S, radiorum aliquorum refractiones concurrunt, hoc modo evinci potest. Producta MC occurrat circumferentiae in N. Quoniam ergo propter triangula similia LDB, LCM, sicut DB ad CM, ita DL ad LC; potestque fieri appropinquando radium FB ad axem AC, ut differentia longitudinis linearum DB, DA evadat qualibet data minor, ut et ea quae est inter CM et AR; (haec enim differentia eo minor erit quo minor continget arcus BN, ut patet ex problemate 5, quia nempe ratio BM ad MC est eadem quae CR ad RA) apparet hinc fieri posse ut ratio DB ad CM, hoc est, DL ad LC, quamlibet proxime eadem efficiatur quae DA ad AR, hoc est, quae DS ad SC. atque sic punctum L, quo nempe radius FB refractus cum axe AC convenit, quamlibet propinquum fiat puncto S.

[ 63 ]

[ v ]

Sit jam punctum D inter A et C datum, cadet autem et hîc radij FB refractio BL inter D et C. Dico concursum L rursus hic distare longius ab A quam punctum S. Producatur BL, et occurrat ei CM parallela FDB in M. Quia itaque punctum D est in diametro inter A et centrum C, erit DB major quam DA. Sed CM minor est quam AR ut constat ex propos. VIII, quia CM parallela est radio FB cujus refractio est BM. Ergo major est ratio BD ad CM, hoc est, DL ad LC, quam DA ad AR. Sicut autem DA ad AR ita est DS ad SC. Ergo major ratio DL ad LC quam DS ad SC; et componendo, major DC ad CL quam DC ad CS. Ergo CL minor quam CS. Unde liquet punctum L ulterius quam S distare ab A.   Porro autem, eodem modo quo in casu praecedenti, ostenditur hîc quoque radiorum aliquorum refractiones propius concurrere ad punctum S, qualibet data distantia. Erit igitur et hîc S punctum concursus radiorum ad D tendentium.   Ultimus casus demon­strandus restat, cum punctum D extra circulum [sphaeram] ABH sic collocatum est, ut DC ad CH habeat rationem eandem quam CR ad RA, hoc est, rationem refractionis. Quo casu diximus [<] omnium radiorum ad D tendentium refractiones accurate colligi in puncto S: quod nempe invenitur faciendo ut sicut DR ad DA ita sit DC ad DS. Puncto igitur D sicut dictum est posito, sit quilibet radius illuc tendens FBD et ab occursu B ducatur ad punctum S recta BS. Dico radij FB refractionem esse ipsam BS. Producatur enim BS et occurrat ei CM parallela FBD, et jungatur BC.   Quia igitur DC ad CH sive CA, ut CR ad RA, erit quoque tota DR ad RC ut CR ad RA. Ut autem DR ad RC ita est DA ad AS, quia videlicet ex constr. est ut DR ad DA ita DC ad DS. Itaque et DA ad AS ut CR ad RA, hoc est ut DC ad CH. Ergo si a DA auferatur DC et ab AS auferatur CH sive CA, habebit et reliqua CA, seu CH, ad reliquam CS eandem rationem quam DC ad CH. Est autem CB aequalis CH. Ergo et BC ad CS ut DC ad CB: ideoque trianguli DCB, BCS similes, quoniam et angulum ad C communem habent qui a lateribus proportionalibus comprehenditur. Igitur et latus illius reliquum DB erit ad hujus trianguli latus reliquum BS ut DC ad CB sive CH, et angulus SBC erit aequalis angulo BDC. Hinc jam igitur in triangulis DBS, BMC, angulus MBC aequabitur angulo BDS. Est autem et angulus BMC aequalis angulo DBS, propter parallelas BD, CM. Igitur dicti trianguli DBS, BMC similes quoque erunt, ac proinde BM ad MC ut DB ad BS, hoc est, ut DC ad CH, hoc est, ut CR ad RA. Itaque BM ad MC rationem eam habet quae est refractionis; estque CM radio FB parallela. Ergo BSM est refractio radij FB {* Prop. II}. quod erat ostendendum. Omnes igitur radij ad D tendentes atque occurrentes superficiei convexae AB, refracti concurrunt ad punctum unicum S.

[ 65 ]

[ v ]

Manifestum autem est, si circa centrum C duae sphericae superficies intelligantur semidiametris CD, CS. atque in illis duo quaepiam puncta sumantur K, P, radio eodem CK connexa, omnes radios ad K tendentes refringi in diaphani superficie ABH, ut exacte concurrant ad punctum P: quod quidem nulla alia quam sphaerica superficies praestare queat.   Poterimus porro per haec, cum et re­fractionem vitri penitus cognitam habeamus, sitque sphaerica superficies expolitu facilis, lentes conficere quae radios ad datum punctum tendentes ad datum aliud punctum concurrere faciant. Item quae venientes ex dato puncto ita inflectant quasi ex alio puncto dato promanant. Dentur enim puncta A, B, oporteatque efficere ut radij tendentes versus A colligantur in B. Dividatur AB in C ut habeat AC ad CB rationem quae est refractionis vitri, hoc est, sesquialteram. Deinde producatur AB usque in D, ut sit CD ad DB sicut AC ad CB, et centro D radio autem DC describatur circumferentia EFG; et alia EHG, centro B, radio BH, paulo minori quam est BF. Haec autem priorem circumferentiam necessario secabit, velut in punctis E, G: et meniscus EFGH figuram quaesitae lentis per medium sectae exhibebit. Radij enim tendentes ad A et in superficiem EFG incidentes ibique refracti vergent ad punctum B, secundum ea quae modo ostensa fuerunt, atque eo quidem pervenient cum nullam amplius patiantur refractionem in superficie EHG, quippe cujus centrum est ipsum B punctum.   Eadem vero lens efficiet etiam, ut radij ex B venientes inflectantur quasi ex A venirent.

[ 67 ]

Similiter datis punctis A B, inventaque circum­ferentia EFG sicuti diximus, si centro B, intervallo autem BN paulo majori quam BF alia circum­ferentia describatur LNM: figura ELNMGF sectionem alterius lentis referet, quae efficiet ut radij tendentes ad punctum B dirigantur versus A. Si enim convexa existens vitri superficies EFG radios ad A tendentes deflectere facit ad B, necesse est ut eadem superficies cava existens ut hîc, radios ad B tendentes mittat versus A: ut facile colligere est ex propos. I. Superficies autem LNM nulla refractione hîc radios inflexit ad B tendentes, quoniam hoc centrum habet.   Eadem vero lens cava radios ex A venientes ita franget ut videantur procedere ex puncto B. Pars 3   Cum convexa est superficies, et a puncto egredientes radij intrinsecus illi occurrunt.   Sit convexa diaphani superficies AB et punctum S, ex quo in illam perveniant radij ut SB, qui quidem egredientes diaphanum refringentur, nisi S sit idem cum convexi centro C. Est autem praeterea quoque duplex casus. Junctâ enim SC, eademque productâ, ac circumferentiam AB secante in A, si fecerimus ut AQ ad QC habeat rationem quae est refractionis, erit punctum S vel propius puncto A quam punctum Q, vel ulterius remotum. Nam si convenit cum puncto Q, perspicuum est ex propos. VIII radios post refractionem non concurrere ad punctum aliquod, sed pro parallelis haberi: est enim Q punctum concursus radiorum parallelorum extrinsecus in superficiem AB incidentium.   Sit igitur primo punctum S ulterius distans ab A quam punctum Q. Et fiat ut SQ ad SA ita SC ad SD. Dico D fore punctum concursus radiorum refractorum qui a puncto S procedunt ad superficiem AB. Ponatur enim AR aequalis CQ, ita ut A inter R et C cadat. Ergo et CR ad RA proportionem refractionis habebit aeque ac AQ ad QC. Et praeterea manifestum est punctum R cadere inter A et D. Nam quia ut SQ ad SA ita SC ad SD, erit permutando et dividendo, ut SQ ad QC ita SA ad AD; unde, cum SQ sit minor SA, erit et QC, hoc est, AR minor quam AD. Porro quoniam est SA ad AD ut SQ ad QC, hoc est AR, erit et reliqua QA, hoc est, CR ad reliquam RD ut SA ad AD {* 19.5}.

[ 69 ]

[ v ]

Et componendo CD ad DR ut SD ad DA, et invertendo et permutando DR ad DA ut DC ad DS. Quare per propos. [<] radij ex puncto D fluentes in superficie AB ita refringentur ut tendant ad S. Ideoque et vice versa, qui veniunt ab S puncto, ad eandem superficiem ita refringentur ut tendant ad D. Igitur D erit punctum concursus quaesitum. Ea nempe ratione qua punctum S in propositionibus antecedentibus. Etenim non perfecte ad D radij hîc concurrent sed omnes citra; quod sic ostenditur. Radius quilibet ex D veniens ut DB atque a superficie AB refractus, convenit cum recta DC citra punctum S {* Pars 1}, velut in P. Quare et vicissim radij PB refractio erit BD; Ideoque radij SB refractio puta BN, concurret citra punctum D. quia cum ad idem superficiei punctum tendant radij PB, SB, necesse est ut post refractionem fiat intersectio, ut facile colligitur ex prima refractionum proprietate.   Sit nunc punctum S datum, ut minus distet ab A quam punctum Q. Erit autem vel inter Q et C vel inter C et A. nam cum in C incidit nullam fieri refractionem jam diximus. Sit primo inter Q et C punctum S; et fiat rursus ut SQ ad SA ita SC ad SD quae sumatur in partem a centro C aversam. Dico D fore punctum dispersus radiorum refractorum qui ab S puncto egrediuntur. Sumatur enim, ut ante, AR aequalis CQ. Erit ergo et CR ad RA proportio refractionis, eadem nempe quae AQ ad QC. Et quoniam SQ ad SA ut SC ad SD, erit et componendo QA, hoc est, RC ad AS ut CD ad DS. quare et utraque simul RC, CD hoc est DR ad utramque simul AS, DS, hoc est ad DA ut DC ad DS. Ergo radiorum ad D tendentium et in convexa superficie AB refractorum punctum concursus erit S {* Pars 2}. Quare et vicissim radiorum ex puncto S in superficiem eandem AB, sed intrinsecus, incidentium, punctum dispersus erit D. Erit autem D punctum dispersus accurate uno casu, cum nempe ratio AC ad CS erit eadem quae AQ ad QC, sive quae refractionis*). Si enim ut AQ ad QC ita AC ad CS; auferendo AC ab AQ et CS ab QC erit et reliquae CQ ad reliquam QS eadem ratio quae AQ ad QC. Quia porro QA ad AS ut CD ad DS, uti antea ostensum est, erit et per conversionem rationis AQ ad QS ut DC ad CS. Sed CS ad CA ut CQ ad AQ; ergo erit ex aequo in proportione perturbata°) DC ad CA sive CH ut CQ ad QS, hoc est, ut AQ ad QC, quae est proportio refractionis.   *)  Huygens a ajouté plus tard en marge  "casus perfectus figura representetur". [ Ed. 1703, p. 46: 2 figures].   °)  [... Euclides V.23]  on doit poser, après avoir changé l'ordre des rapports dans l'avant-dernière proportion, DC = a, CS = b, CQ = d, AQ = e, QS = f.

[ 71 ]

[ v ]

Cum autem DC ad CH habet proportionem refractionis, estque DR ad DA ut DC ad DS, ut hic esse ostendimus, constat radios omnes ad punctum D tendentes, atque ad superficiem convexam AB refractos, colligi exacte ad punctum S [<]. Ergo et vicissim qui veniunt ex puncto S, ad eandem superficiem ita refringentur, ut a puncto D procedere videantur. Quod si vero minor ratio fuerit AC ad CS quam AQ ad QC, omnium radiorum ex S venientium refractiones retro productae ultra punctum D concurrent cum axe AC; si autem ratio AC ad CS major fuerit quam AQ ad QC, eaedem omnes citra punctum D concurrent, ut ex propos. [<] facile colligitur.   Casus denique is quo punctum S inter A et C datum est, eodem modo construitur quo novissime praecedens nec dissimilem demonstrationem habet. Nempe cum sit SQ ad SA ut SC ad SD, erit componendo, QA, hoc est RC ad AS ut CD ad DS. Quare auferendo CD ab RC, et DS ab AS, erit et reliqua DR ad reliquam DA ut DC ad DS. Unde reliqua eodem modo concludemus. Erit autem D punctum dispersus ejusmodi, ut refractiones omnes retro productae citra ipsum concurrant, hoc est inter D et A. Pars 4   Cum superficies convexa est, et ad punctum tendentes radij intrinsecus superficiei occurrunt.   Esto diaphani convexa superficies AB, et datum punctum S, quo tendant radij, ut LB intrinsecus superficiei occurrentes, centrum vero convexi sit C. Jungatur SC secetque superficiem in A, et producatur ad Q, ut AQ ad QC habeat proportionem refractionis; et ut SQ ad SA ita sit SC ad SD. Dico D esse punctum concursus radiorum refractorum qui ad S punctum pergunt. Sit enim AR aequalis CQ; ergo et CR ad RA habebit proportionem refractionis. Et quia SQ ad SA ut SC ad SD, erit dividendo, QA, hoc est, CR ad SA ut CD ad DS. Quare auferendo CD a CR, et DS ab SA, erit et reliqua DR ad reliquam DA ut DC ad DS.

[ 73 ]

Ergo quum radij ex D in convexum AB incidentes refractique habeant punctum dispersus S {* Pars 1}; vicissim qui ad S tendunt ab eadem superficie inflectentur versus punctum D. Non tamen accurate; sed quia ex D veniunt refracti, retroque producti, non in ipsum punctum S concurrunt, sed omnes ulterius ab A, idcirco et ij qui tendunt ad punctum S, tantum prope D inter A, D, concurrent ad puncta diversa, quae eo propiora erunt puncto D, quo radius incidens propior fuerit axi CA. Pars 5   Cum superficies cava est, et radij a puncto venientes extrinsecus ei occurrunt.   Sit superficies sphaerica cava AB cujus centrum C, incidantque in eam radij a puncto dato D procedentes, ut DB. Jungatur DC, et producta secet superficiem in A, et habeat CR ad RA proportionem refractionis. Erit ergo R punctum dispersus radiorum parallelorum ab opposita parte venientium. Jam sicut DR ad DA ita sit DC ad DS. Dico S fore punctum dispersus radiorum ex D egredientium postquam in superficie AB refracti fuerint.   Juncta enim SB, productaque versus L, et DB versus N: constat radij NB refractionem fore BS, si superficies AB convexa esset. Ergo cum cava nunc sit, hoc est, diaphanum ab contraria parte positum terminet, cumque NBD, SBL sint lineae rectae, erit radij DB refractio BL {* Prop. I}. Itaque erit S punctum dispersus radiorum ex D manantium.   Sunt autem casus tres. Nam punctum D ita datum est, ut ratio DC ad CA sit major ratione CR ad RA, vel minor, vel aequalis. Et si quidem eadem est ratio DC ad CA quae CR ad RA, sive quae refractionis, erit S punctum quo exacte omnes radij refracti pertinebunt. Si vero ratio DC ad CA major, refractiones omnes retro productae citra S punctum cum axe AC convenient. Si minor, ultra. Quae omnia ex ijs quae propositionis hujus parte secunda [<] habentur manifesta sunt.

[ 75 ]

[ v ]

Pars 6   Cum superficies cava est, et radij ad punctum tendentes extrinsecus illi occurrunt.   Sit superficies sphaerica cava AB, centro C; incidantque in eam radij ad punctum datum D tendentes, ut OB. Agatur recta per DC, secans superficiem in A, et habeat CR ad RA proportionem refractionis. Et ut DR ad DA ita sit DC ad DS. Dico priore casu, cum R cadit inter A, D, punctum S fore punctum dispersus radiorum qui ad D tendebant. Altero vero casu, cum D cadit inter A, R, eventurum contra ut S sit punctum eorum concursus. Si autem D fuerit idem quod punctum R, radij eo tendentes, post refractionem fient inter se et axi AC paralleli, ut in propos. [IX et I] annotatum fuit.   Casus autem hic propositi demonstrabuntur ducta SB, eademque versus L extensa. Quia enim rectae sunt lineae SBL, DBO, estque superius demonstratum, propos. [XII.1] radiorum ex D venientium ad superficiem AB convexam refractiones concurrere ad S punctum, ita ut si DB sit radius incidens refractio ejus fiat BS; necesse est hic radij OB ad D tendentis atque in cavam superficiem AB incidentis refractionem esse BL {* Prop. I}. Quamquam exacta ratione tamen radij OB refractio concurret cum AC citra punctum S, quando S est punctum dispersus. Sed ultra, quando contingit S esse punctum concursus.

[ 77 ]

[ v ]

Pars 7   Cum superficies cava est et radij a puncto venientes intrinsecus illi occurrunt.   Sit superficies cava AB, cujus centrum C; et punctum S, unde digressi radij ut SB intrinsecus in superficiem ferantur.   Ducatur recta per SC, secans superficiem in A, et habeat AQ ad QC proportionem refractionis. Erit igitur punctum Q quo pertinerent radij paralleli a parte contraria advenientes. Quare ut SQ ad SA ita sit SC ad SD. Dico D fore punctum dispersus radiorum ab S manantium: hoc est, si jungatur DB et producatur versus L, futuram BL refractionem radij SB. Si enim et SB producatur versus N, constat radij NB refractionem esse BD, si superficies AB convexa intelligatur {* pars 4}. Itaque hic, cum diaphanum ad alteram partem superficiei AB positum sit, erit et BL refractio radij SB {* Prop. I}. Ideoque D punctum dispersus radiorum ab S venientium. Est autem ejusmodi ut refractiones omnes citra ipsum cum axe conveniant, hoc est minus longe [procul] a superficie AB. Pars 8   Cum superficies cava est, et radij ad punctum tendentes intrinsecus illi occurrunt.   Sit diaphani cava superficies AB; centrum ejus C; et punctum datum sit S quo tendentes radij ut OB, intrinsecus dictae superficiei occurrant. Ducatur recta per C, secans superficiem in A, habeatque AQ ad QC proportionem refractionis. Porro ut SQ ad SA ita sit SC ad SD. Dico priore casu, cum punctum Q cadit inter A et S, futurum D punctum dispersus radiorum ad S tendentium. Posterioribus vero duobus quibus S cadit inter A, Q, dico D fore eorundem radiorum punctum concursus. Jungatur DB et versus L producatur. Itaque si superficies AB convexa ponatur, ut diaphanum sit versus C, constat radij SB refractionem esse DB priori casu, duobus vero reliquis in producta DB, hoc est BL {* pars 2}. Quare e diverso hic, ubi diaphanum a parte altera superficiei collocatum est, erit radij OB refractio BL in casu primo, in reliquis vero BD {* Prop. I}.

[ 79 ]

[ v ]

Quia videlicet OBS, DBL sunt rectae lineae. Est igitur priori casu D punctum dispersus radiorum ad S tendentium, reliquis duobus punctum concursus. Potest autem fieri ut fiat D punctum concursus accurate [<]; nempe si AC ad CS habeat rationem eam quae est refractionis, hoc est eandem quam AQ ad QC. Quandocunque autem D sit punctum dispersus semper radij refracti retro producti convenient cum axe citra punctum D.