Chr. Huygens | Oeuvres XVIII

Gelijke trillingstijd

[ 489 ]

I.

Ontdekking van de algemene theorie van de gelijkheid van trilingstijd ('isochronisme')

[1673 of 1674] 1)

boog met C onderaan, balletje in A en in B, evenwijdige lijnen
[Fig. 9]
 
    § 1.  Als de cycloïdale boog AC op de een of andere manier wordt verdeeld in B, zal de zwaarte van het gewicht in A zijn tot de zwaarte ervan in positie B, als boog AC tot boog BC.

    De zwaarte in A is immers tot de zwaarte in B als de zwaarte op het vlak EC tot de zwaarte op het vlak PC, dat is als PC tot OC*), dat is als EC tot PC°), dat is als boog AC tot boog BC 2). Wat te bewijzen was.
    1)  Het stuk, naar we menen van 1673, is ontleend aan p. 411-415 van Manuscript D [HUG 2, 205r]. Op p. 391 staat de datum "laatste van juli 1673". De eerste datum van Manuscript E [HUG 9] is 19 december 1674. We verdelen het stuk in paragrafen.
    [ *)  Te zien is een halve cycloïde en de bijbehorende halve cirkel. EC is evenwijdig aan de raaklijn in A, PC aan die in B. Het gaat om de component van de zwaartekracht langs de raaklijn, neem daarvoor de sinus van de hellingshoek: FC/EC = GC/OC, resp. GC/PC.]
    [ °)  PC² = GC·CD = OC·CE door gelijkvormigheid van driehoeken GCO en ECD.]
    2)  Huygens wist al lang (zie T. XIV, p. 367 van 1659) dat de boog CB [Fig. 9] het dubbele is van de rechte CP evenwijdig aan de raaklijk in B; maar hij schijnt pas na het opstellen van Hor. osc. het hier geformuleerde theorema te hebben opgemerkt, te weten dat de component van de zwaartekracht die de versnelling geeft bij een cycloïde evenredig is met de betreffende boog. Daar hij nu de gelijkheid van trillingstijd had aangetoond voor het geval van de cycloïde, kon hij eruit concluderen — zie § 3 hierna — dat ook in andere gevallen waar de versnellende kracht evenredig is met de uitwijking, de periode onafhankelijk moet zijn van de amplitude.


    § 2.  CB is gelijk aan 2 CA 3).

snaar, recht en met uitwijkingen CA, CB
        [Fig. 10]

    3)  Huygens beschouwt hier een horizontale gewichtloze snaar met in het midden een punt met gewicht A of B dat om punt C cirkelomtrekken beschrijft: de spanning is zo groot dat slechts rekening is te houden met de centrifugale (en centripetale) kracht. Als deze kracht precies evenredig was met de uitwijking, zou er gelijkheid van trillingstijd zijn bij verschillende amplitudes, volgens Prop. I en III over de centrifugale kracht (zie p. 366 hiervoor).

[ 490 ]

Als hij al draaiend in B is, hoeft hij niet meer te doen dan een rondgang te maken in even weinig tijd als wanneer hij in A is, dat wil zeggen dat hij niet de dubbele snelheid nodig heeft, daar een kleiner gewicht dan het dubbele van wat de snaar in A houdt, in staat is hem in B te houden. Dus de grootste rondgangen zijn langzamer dan kleinere. Maar als we zeggen dat de snaren EA en EB gelijk zijn, hebben de rondgangen via B en via A gelijke tijden.

snaar vertikaal, gewicht eraan
[Fig. 11]


    § 3.  Laat het gewicht G gelijkgesteld worden aan K [Fig. 11], dan wordt gevraagd de verhouding van de tijd voor GF tot de tijd van een loodrechte val over FH 1).

bogen, lijnen
[Fig. 12]

    AD 2) = ½ b. Waaruit volgt dat boog AE = FG = b [Fig. 12]. Opdat echter de tijd over de boog EA van de cycloïde gelijk is aan de tijd over GF [Fig. 11] moet gelden: CA staat tot AD als b tot ½ a = ½ GH, want GH wordt geacht gelijk te zijn aan FH omdat FG heel klein is. Nu zal de aandrijving van het gewicht in G 3) tot de aandrijving die het loodrecht dalend zou hebben, zijn als FG tot ½ GH, volgens de wetten van de mechanica.

    Dus ook: AD staat tot AB als b tot ½ a, dat is als ½ b tot ¼ a.
    Maar AD is ½ b. Dus BA = ¼ a.

    Verder is de tijd over EA tot de tijd over BA als de halve cirkelomtrek BDA tot BA. En de tijd over BA tot de tijd over FH als 1 tot 2, omdat gezegd is dat BA ¼ a is, of ¼ FH.
    Dus evenzo is de tijd over EA of over GF tot de tijd over FH, als de halve cirkelomtrek BDA tot tweemaal BA, of als een veirde van de omtrek tot de middellijn BA.

    Dus de tijd van een hele zwaai GL tot de tijd over FH is als de halve cirkelomtrek tot de middellijn.
    Dus de tijd van een hele zwaai GL is gelijk aan de tijd van een halve slingering 4) van een slinger die een lengte heeft van tweemaal FH, dat is aan de tijd van een halve slingering van de slinger SH.


    Laat nu het gewicht K viermaal zo zwaar zijn als eerst, en daarom viermaal het gewicht G.
    Dan zou ook een viermaal zo groot gewicht als tevoren nodig zijn om de snaar gebogen te houden met de hoek SGK.
    Dus het gewicht G wordt nu met een viermaal zo grote kracht als tevoren aangedreven, zowel aan het begin van de lijn GF, als in elk punt ervan naar verhouding.


    1)  De snaar SGH wordt gewichtloos verondersteld; of zo men wil, het is een snaar waarvan het gewicht, dat zeer aanmerkelijk is, in zijn middelste punt geconcentreerd wordt verondersteld. Als de snaar vertikaal is, is de spanning van deel SG groter dan die van deel GH. In § 1 [3] houdt Huygens hier geen rekening mee; hij veronderstelt dat de kracht die op het gewicht G werkt gericht is naar het middelpunt van de beweging F. Maar in § 6 komt hij terug op dit onderwerp om de nodige correctie aan te brengen. Het gewicht beweegt hier, volgens hypothese, langs de rechte GFL.
    2)  De koorde (Fig. 12).
    3)  [Incitatio:] D.w.z. de component van de kracht die werkt op gewicht G in de richting van de beweging [hier: de resultante van de krachten naar S en naar H]. Vergelijk het Voorbericht hiervoor.
    4)  Het gaat om de helft van een enkele slingering.

[ 491 ]

bogen, lijnen; CE nu hoger
[Fig. 13]

    Dus doorloopt het GF in dezelfde tijd als de boog ea [Fig. 13] van een andere cycloïde, gelijk aan die FG, en op het begin van deze boog e wordt het viermaal zo sterk aangedreven als op het begin van boog EA van de vorige cycloïde.
    Dan behoort ac viermaal AC [Fig. 12] te zijn en ad = AD, zo zal immers boog ae gelijk worden aan boog EA, en de aandrijving in e, of langs de rechte da, zal viermaal de aandrijving in E zijn, of langs de rechte DA.
    Verder, aangezien ca, ad, ab evenredig zijn*), blijkt ba te zijn ¼ BA. En daarom wordt boog ea doorlopen in de helft van de tijd waarin boog EA wordt doorlopen.
    Dus ook GF zal, met het gewicht K viermaal het gewicht G, in een tweemaal zo korte tijd worden afgelegd als tevoren, toen gewicht K gelijk was aan G.

    Dus hoe de verhouding van gewicht K tot G ook wordt gesteld, de tijd van een halve slingering van de slinger SH tot de hele zwaai GL zal evenredig zijn met de wortel van gewicht K tot G 5).

    Dus ook, als we andersom willen dat bij hetzelfde gewicht K de trillingen tweemaal zo snel gaan, behoort in G een vierde van het vorige gewicht over te blijven.


    § 4.  Gevraagd wordt de verhouding van de tijd van de cirkelvormige omloop langs een omtrek met


    [ *)  ca : ad = ad : ab.]
    5)  Uit deze berekening volgt dat in het beschouwde geval — als men nog geen rekening houdt met de nodige correctie; zie de noten 1 van p. 490 en 5 van p. 493 — de tijd van een enkele zwaai, van G tot L, gelijk is aan π/2 √l/gG/K, waarin g de versnelling van de zwaartekracht is en l = 2 a de lengte van de snaar. K is de spanning van de snaar, en G zijn gewicht geconcentreerd in zijn middelpunt. Als men — wat Huygens niet doet; vergelijk noot 5 van p. 230 van T. XVI — m de massa van gewicht G noemt, kan men schrijven: t = π/2 √ml/K.

[ 492 ]

de heel kleine diameter GL, tot de tijd van een val langs FH; of liever tot de tijd van een halve slingering van de slinger SH.

    Als de aandrijving van het gewicht in G gelijk was aan de zwaarte van deze G of K, zou de omlooptijd op cirkel GL gelijk moeten zijn aan twee slingeringen van een slinger met lengte FG, volgens ons theorema ... 1) over de centrifugale kracht. Doch nu is de aandrijving in G tot het volledige gewicht G als FG tot ½ GH, dat is als b tot ½ a (want GH wordt geacht gelijk te zijn aan FH). Opdat dus de centrifugale kracht gelijk wordt aan de aandrijving of de druk van de gebogen snaar op het gewicht G, moet het zo zijn dat, zoals b staat tot de middelevenredige tussen b en ½ a, dat is zoals b tot √½ab, zo is de tijd van twee slingeringen van de slinger FG tot de omlooptijd over de cirkel GL.
Laat de tijd van één slingering van slinger FG gelijk zijn aan n. Dan is (2 n √½ab)/b gelijk aan de omlooptijd over cirkel GL.

    Maar zoals b tot √2ab zo is de slingertijd van slinger FG tot de slingertijd van slinger SH. Dus deze tijd zal zijn (n √2ab)/b.

    Nu was de omlooptijd over cirkel GL gelijk aan (2 n √½ab)/b of (n √2ab)/b.
    Dus is deze omlooptijd gelijk aan de slingertijd van slinger SH, en daarom volgens wat op de vorige pagina 2) staat aan tweemaal de trillingstijd GL 3).


    § 5.  Ik had op de vorige pagina 2) de redenering als volgt korter kunnen samenvatten.
    Verder is de tijd over EA gelijk aan de tijd van een halve slingering van een slinger met tweemaal de lengte van BA, dat is de lengte ½ a, want BA is ¼ a. Dus is ook de tijd over GF gelijk aan die halve slingering van slinger 2 BA of ½ a.
    Maar deze halve slingering staat tot de halve slingering van slinger SH als 1 tot 2. Dus de tijd over GF is gelijk aan de helft van de halve slingering van slinger SH. Dus de tijd van de hele zwaai GL is gelijk aan een halve slingering van slinger SH, of aan een slingering van een slinger met de helft van de lengte van FH.


    1)  Zie theorema X op p. 367 hiervoor, of de identieke propositie van 'De vi centrifuga' op p. 291 van T. XVI.
    2)  D.w.z. met § 3.
    3)  Huygens berekent hier de periode van een cirkelvormige trilling slechts voor het geval waarin de spanning K en het gewicht G gelijk zijn. Het is duidelijk dat hij ook even goed het geval had kunnen beschouwen waarin deze gelijkheid niet bestaat en dat hij dan ook tot de conclusie was gekomen dat de tijd van een cirkelvormige trilling — het al in § 2 beschouwde geval — het dubbele is van die van de enkelvoudige trilling in het geval van § 3. Deze periode is dus, volgens het theorema en noot 5 van p. 491, T = 2 t = π √ml/K.

[ 493 ]

    § 6.  4) Als een proef wordt genomen van deze zaak, zal deze niet slagen als de draad SH in de loodrechte stand wordt gehouden, omdat het gewicht G behalve de aandrijving door de spanning die K maakt, ook wordt aangedreven als slinger die is weggetrokken van de loodlijn SF, dat is alsof het zou liggen op een hellend vlak, loodrecht op SG.
    Om dus de proef op te stellen zou SH in horizontale stand moeten liggen, en gewicht G zou bovendien door een andere zeer lange loodrechte draad van boven af tegengehouden moeten worden, zodat het niet beneden de rechte SH kan dalen; en het gewicht K, gelijk aan die G, zou via een katrol aangehangen moeten worden.
    Als men toch de trillingstijd van GL wil weten terwijl SH loodrecht blijft, moet de aandrijving die aan gewicht G toekomt om reden van slinger SG opgeteld worden bij de aandrijving veroorzaakt door de buiging van SGH en door het gewicht K, en zoals deze som staat tot de middelevenredige tussen deze som en de aandrijving door gewicht K, zo zal de hierboven bepaalde trillingstijd van GL zijn tot de ware trillingstijd van GL.

    De onderlinge verhoudingen van de aandrijvingen zijn als volgt samen te vatten. Laat GP loodrecht staan op GS [Fig. 11]. Dan is de aandrijving van gewicht G doordat SG de rol van een slinger vervult, tot het volledige gewicht G als PF tot PG, of als FG tot GS of FS, want deze worden gelijk geacht. Maar de aandrijving door gewicht K was tot het volledige gewicht G als FG tot ½ FH of ½ FS. Dus de aandrijving om reden van de slinger is de helft van de aandrijving door gewicht K.
    Dus de som van de twee aandrijvingen staat tot de aandrijving door gewicht K als 3 tot 2. En de middelevenredige tussen 3 en 2 is √6.
    Dus zoals √6 tot 2, zo is de eerder gevonden trillingstijd van GL tot de ware trillingstijd van GL.
    Maar de eerder gevonden trillingstijd van GL was gelijk aan de slingertijd van een slinger met de helft van de lengte van FH.
    En de slingertijd van deze slinger is tot de slingertijd van een slinger die 2/3 van zijn lengte heeft, of 2/3 FH, zoals √6 tot 2. Dus een slinger met lengte 1/3 FH zal isochrone slingeringen hebben met de ware trillingen van GL 5). Wat geheel met de proeven overeenkomt.


    § 7.  6) Laat de snelheid van een punt met zwaarte A [Fig. 14], wanneer het uit A in B is gekomen, x zijn. En de snelheid


    4)  Zie het eind van noot 1 van p. 490. We beschikken niet over het verslag van de proeven waarvan in deze § sprake is. Vergelijk voor dit soort proeven de eerste alinea van p. 265 van T. XVII.
[ F. Melde, 'Ueber die Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers' (fig.), 2e Abt. (fig.), Ann.Phys. 1860]

    5)  De tijd van een enkelvoudige trilling in geval van Fig. 11, met de gewichten G en K gelijk, is dus niet π/2 √l/g — vergelijk noot 5 van p. 491 — maar π/√6 √l/g.
    6)  Blijkbaar beschouwt Huygens hier een trillende snaar: niet alleen het punt of element A heeft de zwaarte ('gravitas') θ, maar alle andere elementen hebben hetzelfde gewicht, of zo men wil dezelfde massa; het woord 'ketting' geeft dit aan. Zoals in § 3 (p. 490) begint Huygens met het geval waarin (gewicht van de snaar verdeeld in n elementen) gelijk is aan het gewicht p dat de snaar spant.

[ 494 ]

      [Fig. 14]
snaar vertikaal, met gewicht
die wordt verkregen door een val van de hoogte AB zij c. En de lijn AB zij b. AC = a, gewicht E = p, de zwaarte van punt A zij θ. En de ketting SAC wordt veronder­steld te zijn verdeeld in zoveel delen, dat één staat tot alle zoals gewicht θ tot gewicht p.
    Zoals nu het kwadraat cc is tot het kwadraat xx, zo zal AB = b zijn tot bxx/cc, de hoogte tot waar het zal stijgen door de snelheid x. Laat deze bxx/cc gelijk zijn aan BF 1).
    Als nu de kromme SFC zodanig is dat de naastliggende FB en NO zich onderling verhouden als de kwadraten van de naastliggende AB en QO — gesteld wordt nu dat SAQC de parabool is waarvan hij onmerkbaar verschilt 2) — geven alle NO de hoogtes aan tot waar met de verkregen snelheden wordt gestegen door de afzonderlijke punten van de ketting SAC wanneer hij op de rechte SC is.
    Dus als elke NO afzonderlijk wordt vermenigvuldigd met de zwaarte θ, zal de som van alle producten gelijk moeten zijn aan het product van gewicht p met de daling van het gewicht E, en deze daling is gelijk aan 4/3 BD maal twee, dat is 8/3 BD, omdat we de parabool SAC hier op dezelfde manier meten als wanneer het een cirkelboog zou zijn 3).
    1)  Aangezien c = √(2gb) — waarin g de versnelling van de zwaartekracht is — heeft men BF = x²/2g. Evenzo is ON = x'²/2g, als x' de snelheid is waarmee element Q het punt O bereikt.
    2)  Huygens stelt blijkbaar, behalve de hypothese dat de vorm van de trillende snaar in zijn uiterste stand ongeveer een parabool is, dat alle elementen van de snaar harmonische trillingen uitvoeren: de snelheden x, x' enz. waarmee ze de punten B, O, O bereikenverhouden zich dan als AB, QO, QO. Volgens noot 1 is BF : ON = x² : x'²; dus ook geldt BF : ON = AB² : QO².
Daar Huygens geen rekenschap geeft van deze hypotheses, zullen wij ook niet trachten dit te doen. Het is mogelijk dat hij heeft gedacht aan een sinusoïdale vorm van de snaar: zie p. 528 hierna, waar hij zegt dat de "lijn van de sinussen" weinig verschilt van de parabool.

    3)  Dit is, kan men zeggen, een toepassing van de wet van behoud van 'krachten' (vgl. de 2e alinea van p. 471), waarbij het product van 'gewicht' p met het kwadraat van zijn snelheid verwaarloosbaar wordt verondersteld. Het is jammer dat Huygens de berekening niet heeft uitgevoerd die blijkbaar veronderstelt dat de lengten NO niet alleen evenredig met, maar gelijk zijn aan de grootste hoogten die de verschillende elementen van de snaar zouden kunnen bereiken als ze apart omhoog gingen met de snelheden x, x' enz.

    Als hij de berekening had ondernomen, was hij misschien ertoe gebracht de kwestie van eenheden scherp te beschouwen; hij had kunnen zeggen dat bij het vormen van het product van elke NO [evenredig met het kwadraat van de snelheden, volgens noot 2] met de zwaarte θ genomen moet worden ½Σmv² — zie de tweede alinea van noot 6 van p. 359 van T. XVI — waarin m is het gewicht gedeeld door de versnelling g van de zwaartekracht.

    Als t de tijd is van een enkelvoudige trilling, l de lengte en M de massa van de snaar, en u de grootste uitwijking van een element van de snaar uit zijn evenwichtsstand — gelijk aan b voor het midden van de snaar — heeft men v = πu/l, en
formule met integraal
Nu is de waarde van deze integraal voor een parabolische vorm van de snaar 4/15 b²l. De 'vis motus' (bewegingskracht) is dus 4π²/15 Mb²/t². Door dit gelijk te stellen aan de "hoogte maal de zwaarte", d.w.z. maal gewicht p en dit is Mg — aangezien het gewicht dat de spankracht levert hier gelijk is aan dat van de snaar — heeft men 4π²/15 Mb²/t² = Mgh, als h het verschil is tussen de lengte van de trillende snaar in zijn uiterste stand en de lengte van de meetkundige koorde die deze kromme onderspant.
Dit verschil is volgens Huygens 4/3 {√(l² + 4b²) – l} — vgl. p. 107 hiervoor — of 8/3 b²/l, omdat het heel klein wordt verondersteld.
Door in de voorgaande vergelijking in te vullen h = 8/3 b²/l kan men eruit afleiden t = π/√10 √l/g.

    Als we het gewicht dat de snaar spant (of de spankracht) K stellen — we schrijven K in plaats van p om aan te sluiten bij de formules in noot 5 van p. 491 en noot 3 van p. 492 — hoe groot het ook is, hebben we verkregen t = π/√10 √Ml/K, wat zeer goed overeenkomt met de waarde die tegenwoordig als juist wordt beschouwd t = √Ml/K. Vergelijk het eind van noot 10 van p. 485.

    De berekening van de 'bewegingskracht' van het span-gewicht laat zien dat deze inderdaad verwaarloosbaar is als de uitwijking heel klein is in vergelijking met de lengte l.




Home | Huygens | XVIII | Gelijke trillingstijd (top)