Stevin | < Weeghconst >

5: Pilaer , 6: vastpunt boven Z , 7: in Z , 8: onder Z , 9: hanthaef , 10: evenwicht? , 11: vastpunt? , 12: scheef



S . S T E V I N S       I.   B O V C K       V A N D E   B E G H I N S E L E N   D E R   W E E G C O N S T.

[ 20 ]

...

I I I I.   E Y S C H.                     V.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen een pilaer: te vinden een ghewicht in ghestelde reden tot des pilaers ghewicht.


    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD een pilaer wesen, diens as EF, ende haer middelpunt {Centrum.} G, ende de ghestelde reden sy van 2 tot 3.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten een ghewicht vinden in sulcken reden tot den pilaer, als van 2 tot 3, dat is euen an sijn 2/3.
hangende balk met gewicht     M E R C K T.   Ghelijck de Meetconstighe ende Telconstighe voorstellen {Geometrica & Arithmetica propositiones.} verscheyden werckinghen hebben, alsoo oock de Weegconst, want men soude vanden pilaer een stuck connen snien in sulcken reden tot den heelen pilaer, als van 2 tot 3. Oft andersins om den pilaer heel te laten, men mocht hem teghen ander stof weghen, daer af nemende de 2/3, maer wy willent Weegconstlicker doen in deser voughen.
    T W E R C K.   Men sal van tmiddelpunt G af, naer F, teeckenen eenighe vijf punten (te weten 5 voor de somme der ghegheuen palen 2. 3) als H, I, K, L, M, van malcanderen euewyt;

[ 21 ]
Ende van het tweede punt I (van het tweede om dat 2 het ander der ghegeuen ghetalen is) salmen den pilaer ophangen byde swaerheyts, middellini IN; Daer naer salmen an tvijfde punt M een ghewicht hanghen als O, euen so swaer dat alles in euestaltwichticheyt sy, twelck soo wesende, ick seg dat tghewicht van O, in sulcken reden is tot tghewicht des pilaers, als 2 tot 3, ofte dat O euen is ande 2/3 des pilaers.
    T B E W Y S.   G is swaerheydts middelpunt {Centrum grauitatis.} des pilaers ABCD, ende MP swaerheyts middellini van O, daerom ghelijck den erm IG tot den erm IM, alsoo O tot den pilaer door het Ie voorstel, maer IG heeft sulcken reden tot IM, als 2 tot 3, daerom O heeft sulcken reden tot den pilaer, als 2 tot 3, twelck wy bewysen moesten.
    T B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen een pilaer, wy hebben gheuonden een ghewicht in ghestelde reden tot des pilaers ghewicht, naer den eysch.
    M E R C K T.   Wy souden oock mueghen voorbeelden stellen met Redenen van onmetelicke palen {Incommensurabilium terminorum.}, maer sulcx is openbaer ghenouch door tvoorgaende, metgaders tghene wy vande onmetelicke grootheden elders ghescreuen hebben.



I I   V E R T O O C H.                     V I   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  een hanghende pilaer ghesneen door sijn swaerheydts middelpunt, met een plat euewydich vanden gront, ende wesende tvastpunt in dat plat bouen het swaerheyts middelpunt: Den as des pilaers blijft euewydich vanden sichteinder.   {Horizon.}
hangende balk


    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD een pilaer sijn, ghesneen door sijn swaerheydts middelpunt met een plat FG, euewydich vanden grondt AD, ende laet H vastpunt inde swaerheydts middellini IG wesen, bouen het swaerheyts middelpunt E, ende KL sy as, ende MN sichteinder.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat den as KL euewydich blijft vanden sichteinder. MN.
    T B E W Y S.   Laet KL soot mueghelijck waer, oneuewydich sijn vanden sichteinder MN,

[ 22 ]
als in dees tweede form, ende laet IH voortghetrocken worden tot in O, sniende AB in P, ende laet het stuck des pilaers POCB alsoo euewichtich blijuen hanghen teghen PODA,
scheef hangende balk maer dat is grooter ende swaerder dan dit (want FGDA, is euen an FGCB, ende minder is den driehouck FHI ghesneen van FGCB, dan de driehouck OHG ghesneen van FGDA, daerom, &c.) het swaerder dan sal euewichtich sijn an een lichter twelck ongheschict is, KL dan blijft euewydich vanden sichteinder MN, als in d'eerste form.
    Tis oock te anmercken als voor ghemeenen Weegconstighen Reghel, dat
    Alle swaerheyts middelpunt eens hanghenden lichaems is in siin swaerheydts middellini.
    Maer tswaerheydts middelpunt hier bouen E en is inde tweede form niet in sijn swaerheydts middellini IO, tis dan een onmueghelicke ghestalt.
    T B E S L V Y T.   Wesende dan een pilaer ghesneen, &c.



I I I   V E R T O O C H.                     V I I   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  tvastpunt het swaerheydts middelpunt des hanghenden pilaers, hy houdt alle gestalt diemen hem gheeft.

hangende balk
    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD een pilaer wesen, diens swaerheydts middelpunt E vast sy, daer by hanghende ande lini EF, ende den as GH sy euewydich vanden sichteinder IK.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat den pilaer ABCD alle ghestalt houdt diemen hem gheeft.
    T B E W Y S.   Laet ons den ghegheuen pilaer (tpunt E vast blijuende) een ander ghestalt gheuen dan d'eerste,

[ 23 ]
balk scheef als in dees tweede form, ende laet FE voortghetrocken worden tot in L, sniende AB in M, ende en laet den pilaer soot mueghelick waer niet in die ghestalt blijuen, dan het stick MLDA, ofte MLCB neervallen; Maer dees twee deelen sijn ghelijck euegroot, ende daerom oock eueswaer, het eene dan van euewichtighe sal swaerder sijn dan t'ander, twelc ongheschickt is:
Den pilaer dan blijft in die ghestalt, ende sghelijcx in allen anderen diemen hem soude mueghen gheuen.
    T B E S L V Y T.   Wesende dan tvastpunt het swaerheydts middelpunt des pilaers, hy houdt alle ghestalt diemen hem gheeft, twelck wy bewysen moesten.



I I I I   V E R T O O C H.                     V I I I   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  den pilaer ghesneen door sijn swaerheyts middelpunt, met een plat euewydich vanden gront, ende wesende tvastpunt in dat plat beneden het swaerheydts middelpunt: Den pilaer (natuerlick verstaen) keert om tot dat sijn swaerheydts middelpunt is in sijn swaerheydts middellini.


balk op piramide     T G H E G H E V E N.   Laet ABCD een pilaer wesen, ghesneen door sijn swaerheyts middelpunt E, met een plat {Plano.} FG euewydich vanden grondt AD, ende laet G vastpunt sijn, beneden tswaerheydts middelpunt E, met welck punt G den pilaer ligt ofte rust op tpunt des pins H, ende IK sy as, euewydich vanden sichteinder {Horizonte.} LM.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat den pilaer omkeeren sal, tot dat sijn swaerheydts middelpunt is in sijn swaerheyts middellini. maer dit natuerlick verstaen, want Wisconstelick {Mathematice.} ghenomen soo can sy daer op rusten.

[ 24 ]
T B E W Y S.
  A.     Al dat ligt moet grondt hebben daert op rust,
  E.     Dees pilaer en heeft gheen grondt daer hy op rust,
  E.     Dees pilaer dan en can soo niet ligghen.
    D E S  Bewysredens {Syllogismi.} tweede voorstel is daer uyt openbaer, dat het punt gheen grootheyt en is, ende veruolghens gheen grondt: wel is waer dat wy dickmael nemen door tghestelde een lichaem alsoo te rusten, maer metter daet en connen wy dat niet te weeg brenghen. Inder voughen dat hoewel den as IK euewydich ghestelt is vanden sichteinder LM, soo sal nochtans den pilaer (tpunt G vast blyuende) omkeeren ouer die sijde daer hy eerst beghint. Maer dat hy solang keeren sal tot dat sijn swaerheydts middelpunt inde swaerheydts middellini is, is door het 6e voorstel openbaer.
    T B E S L V Y T.   Wesende dan den pilaer ghesneen, &c.



Ie M E R C K.

    Y E M A N T mocht hier noch de verclaring begheeren des verschils tusschen hanghen en ligghen, waer op d'antwoort is dat wy een lichaem voor hanghende houden, als siin swaerheyts middelpunt is onder, oft int tghenaecsel daert op rust; Maer tswaerheyts middelpunt daer bouen siinde, alsdan houden wijt voor ligghen, staen, oft sitten; Ligghen, als de langste siide des lichaems haer strect langs den sichteinder: Staen, als sy daer op rechthouckich is; daerom ist oock dat wy den teerlinck (ouermits siin siiden al euen lanck siin) soo eyghentlick segghen te staen als te ligghen, ende te ligghen als te staen. Sitten is wat tusschen ligghen en staen.


I Ie M E R C K.

    S O O yemant thinhondt [t inhoudt] der voorgaende drie voorstellen door eenighe eruaring wilde sien, hy mocht nemen een reghel van houdt ofte ander stof eenvaerdigher dickte ende swaerheyt, als ABCD, teeckenende de punten E, F, G, H, inde middelen der linien AB, BC, CD, DA, treckende EG, ende HF, malcander sniende in I,maeckende daer naer een seer cleen gaetken en I, ende daer bouen een gaetken als K, ende onder I een gaetken als L.
balk Ende stekende een naelde door tgatken K, die vrielick daerin drayen mach, d'eruaring sal bethoonen dat HF altijdt euewydich sal blijuen vanden sichteinder. Maer de naelde in I stekende, de reghel sal daerop alle ghestalt houden diemen haer gheeft. Ende de naelde in L ghesteken, alles sal omkeeren ouer die syde daert eerst beghint, tot dat I is in haer swaerheyts middellini, waer af d'oirsaeck inde voornoemde 6e, 7e, 8e, voorstellen Wisconstlick
{Mathematicè.} blijckt.
[ 25 ]

V.   V E R T O O C H.                     I X.   V O O R S T E L.

    D' H A N T H A E F  oneindelick voortghetrocken, deelt alle balcken tweer swaerheden in haer ermen.


    T G H E G H E V E N.   Laet A B twee swaerheden sijn ende haer middellinien CD, EF, ende haer balck CE, ende d'hanthaef GH, inder voughen dat CG is tot GE, als de swaerheydt B tot A, Laet IK noch een balck wesen, oneuewydich van CE, ende laet GH oneindelick voortghetrocken worden naer L, sniende den balck IK in M.
2 voorwerpen, lijnen     T B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat IM ende MK, oock de ermen sijn der swaerheden A B; dat is ghelijck B tot A, alsoo MI tot MK.
    T B E R E Y T S E L.   Laet ghetrocken worden CN, euewydich van IK, sniende HL in O.
    T B E W Y S.   Ghelijck CG tot GE, also CO tot ON {2 v 6 B. E.}, Maer CO is euen an IM, ende ON an MK {34 v. I B. E.}, daerom ghelijck CG tot GE, alsoo IM tot MK,
maer ghelijck B tot A, also CG tot GE, door tghegheuen, daerom ghelijck B tot A, also MI tot MK,
tselfde sal also bewesen worden van allen balcken tusschen CD ende EF, als PQ, doorsneen in R, ende allen anderen diemen soude mueghen trecken.
    T B E S L V Y T.   D'handthaef dan oneindelick voortghetrocken, deelt alle balcken tweer swaerheden in haer ermen, twelck wy bewysen moesten.


I.   V E R V O L G H.

    H I E R  uyt blijct datmen om te vinden de swaerheydts middellini tweer swaerheden, niet nootsaeckelick en moet nemen een euewydighe {Parallela} vanden sichteinder {Horizonte.}, maer alsulcke alsmen wil, ende alst best te pas comt.


I I   V E R V O L G H.

    A N G H E S I E N  alle swaerheydts middelpunt inde swaerheyts middellini is, soo volght dat alle rechte lini begrepen tusschen twee swaerheydts middelpunten, oock dier swaerheden balck is, ende het onderscheydt der ermen diens balcx, oock het swaerheydts middelpunt te wesen der twee swaerheden.
[ 26 ]

5.   E Y S C H.                     I 0.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen een vastpunt des bekenden pilaers, ende bekende euestaltwichtighe swaerheden an hem hanghende: Te vinden of den as euewydich sal blijuen vanden sichteinder {Horizonte.} , oft alle ghestalt houden diemen hem gheeft, ofte omkeeren tot dat sijn swaerheydts middelpunt is in sijn swaerheyts middellini.

schuine balk met 2 gewichten
    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD een pilaer sijn weghende 4 lb, ende ghesneen door sijn swaerheydts middelpunt E, met een plat FG euewydich vanden grondt AD, ende laet H vastpunt wesen beneden tmiddelpunt E int middel van EG; Ende anden pilaer twee ghewichten hanghen als I, K, elck weghende 4 lb, welcker middellinien vastpunten sijn D, C, ende laet LM den as, ende NO sichteinder wesen.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten vinden of den as LM euewydich sal connen blijuen vanden sichteinder NO; ofte alle gestalt houden diemen haer gheeft; Ofte ommekeeren tot dat haer swaerheydts middelpunt E is inde swaerheyts middellini door H, welcke verscheydenheden vallen connen naer de reden der swaerheyt des pilaers, tot de ghewichten dieder anhangen.
    T W E R C K.   Men sal trecken door E de swaerheyts middellini PQ des pilaers, daer naer door G de swaerheyts middellini RS der ghewichten I, K, ende EG sal balck sijn, daer naer salmen sien door het 2e voorstel waer tvastpunt der hanthaef valt: want commet onder H, soo keert LM tot sy euewydich blijft vanden sichteinder NO; Maer commet in H, sy houdt alle ghestalt die men haer gheeft; Commet bouen H, alles keert om.

[ 27 ]
Maer den pilaer weeght 4 lb, ende I, K, elck 4 lb, tsamen 8 lb door tghegheuen, daerom ghedeelt EG in T, alsoo dat ET, sulcken reden heb tot TG, als 8 tot 4: Ick seg dat LM keeren sal (ouermits T onder H comt) tot sy euewydich is vanden sichteinder.
    Laet nu den pilaer weghen 4 lb, ende I en K elck 2 lb, tsamen 4 lb, daerom ghedeelt EG in H (welcke H tmiddel van EG is door tghegheuen) alsoo dat EH sulcken reden heb tot HG, als 4 tot 4: ick seg dat LM (ouermits het in H viel) alle ghestalt sal houden diemen haer gheeft.
    Laet nu den pilaer weghen 4 lb, ende I, K elck 1 lb, tsamen 2 lb, daerom ghedeelt EG inV, also dat EV sulcken reden hebbe tot VG, als 2 tot 4, Ick seg dat den pilaer met al de rest omkeeren sal (ouermitds V bouen H comt) tot dat H is in haer swaerheydts middellini.
    T B E W Y S.   Ten eersten I en K elck 4 lb weghende, dat dan LM keert tot sy euewydich is vanden sichteinder, blijct aldus: De hanghende door T ghelijck TX, is swaerheyts middellini des heels, daerom die latende, ende hanghende tgheheel ande hanghende {Perpendicularem.} door H, als HY (welcke H ons ghegheuen vastpunt is) so sal de sijde naer BCK, swaerder sijn dan naer ADI, daerom oock sal de sijde BCK neerdalen, tot dat H inde swaerheydts middellini is des heels, ende dan sal LM euewydich sijn vanden sichteinder NO.
    Ten tweeden I, K, elck 2 lb weghende, dat dan LM alle ghestalt houdt, wordt aldus bethoont: Laet ons achten dat I ende K opgheschorst sijn, alsoo dat D tswaerheydts middelpunt sy van I, ende C van K, ende door de 3e begheerte sy en sullen anden pilaer gheen oirsaeck van verandering der swaerheydt wesen; Twelck soo sijnde, H is tswaerheyts middelpunt van soodanighen lichaem vergaert uyt den pilaer ende de twee ghewichten I K, ende door de 4 bepaling tsal daer op alle ghestalt houden diemen hem gheeft, tselfde sal also bewesen worden in alle ghestalten daermen LM in soude connen stellen.
    Ten laetsten I, K, elck 1 lb weghende, dat dan alles omkeert, wort aldus bethoont: De hanghende door V ghelijck VZ, is swaerheyts middellini des heels, daerom die latende, ende hanghende tgheheel ande hanghende HY door H ghegheuen vastpunt, so sal de sijde naer ADI, swaerder sijn dan naer BCK, daerom oock sal de sijde ADI neerdalen, tot dat H inde swaerheyts middellini is des heels, ende ofmen schoon LM (alles op tvastpunt H draeyende) euewydich stelde vanden sichteinder NO, sy en can so niet blyuen door het 8 voorstel, maer alles sal omkeeren, twelck wy bewysen moesten.
[ 28 ]
    T B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen een vastpunt des bekenden pilaers, &c.

    Uyt het voorgaende is ghenouch blijckelick den ghemeenen voortganck in allen anderen, als van pilaren welcker vastpunt is buyten de lini als FG, ende der ghewichten vastpunten op ander plaetsen dan D C; Maer ouermits wy hier voornamelick trachten de oirsaecken vande ghedaenten des waegs grondelick te openbaren (daer af inde Weeghdaet breeder sal gheseyt worden) so en gheuen wy van sulcke ongheschicte ghestaltheden gheen besonder voorbeelden.


6.   E Y S C H.                     I I.   V O O R S T E L.


    W E S E N D E  ghegheuen een bekende pilaer, ende bekende swaerheden daer an hanghende: Te vinden het vastpunt daer op hy alle ghestalt houdt diemen hem gheeft.

2 voorwerpen hangend aan balk

Ie   M E R C K.

    S O O  tweer euewychten als A, B, vastpunten C, D, waren in des pilaers as, euewyt van tmiddelpunt E, als in dees form, tis kennelick door het tweede deel des bewys van het I0e voorstel, dat E tbegheerde punt soude siin, maer wy sullen tvoorbeelt van ongheschicter ghestalt gheuen.

I Ie   M E R C K.

    T I S  openbaer dat wesende de twee vastpunten der ghewichten als C D, ende tvastpunt des handthaefs als E, alle drie in een rechte lini als hier bouen, ende an C D euen ghewichten ghehanghen, soo groot ofte cleen alst valt: E sal altijt tvastpunt blijuen, daer sy alle ghestalt op houden diemen haer gheeft. Maer soo die drie punten als C E D in een rechte lini wesende C ende D niet euewyt en waren van E, ende datmen an haer ghewichten hinghe euerednich  {Proportionales.}  met de ermen, dat E noch altijt tvastpunt sal blijuen daer sy alle ghestalt op houden diemen haer gheeft.


    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD een pilaer sijn, weghende 10 lb, diens swaerheydts middelpunt E, ende laet de ghewichten daer an hanghende wesen F 1 lb, diens vastpunt G, ende H 4 lb, wiens vastpunt I.

[ 29 ]
hangende balk met 2 gewichten     T B E G H E E R D E.   Wy moeten het vastpunt vinden daerop sy alle ghestalt houden diemen haer gheeft.

    T W E R C K.   Men sal trecken GI balck der ghewichten F H, daer naer salmen vinden haer ermen door het 2e voorstel, dat is ghelijck F 1 lb, tot H 4 lb, also den erm KI, tot KG, daer naer salmen trecken EK balck des pilaers ter eender, ende der ghewichten F H ter ander sijden, de selue EK ghedeelt in L, also dat den erm EL sulcken reden hebbe tot LK, als 5 lb van F H, tot 10 lb des pilaers, L sal tbegheerde punt sijn op twelck sy alle ghestalt sullen houden diemen haer gheeft, waer af tbewys openbaer is door het 7e voorstel.



V I I.   E Y S C H.                     X I I.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen een bekende pilaer, met sijn vastpunt ende bekende ghewichten daer an hanghende die den as euewydich houden vanden sichteinder: {Horizonte.}
hangende balk met 2 gewichten aan uiteinden Te vinden een ghewicht hanghende ter begheerder plaets des pilaers, dat den as in ghegheuen ghestalt houde.

I.   V O O R B E E L T.

    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD een pilaer sijn weghende 6 lb, diens vastpunt E, ende handthaef EF, ende twee ghewichten G, H, elck 3 lb weghende, welcker vastpunten C, D; ende IK, sy as, euewydich vanden sichteinder LM, ende D sy tpunt voor de begheerde plaets.

[ 30 ]
scheve stand Daer naer wort den as IK (alles draeyende op E) verheuen als inde tweede form.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten een ghewicht an D vinden, dat den as IK in die ghestalt houde.
    T W E R C K.   Men sal vinden door het IIe voorstel, tvastpunt daer op den as alle ghestalt houde diemen haer gheeft twelck N sy: Daer naer salmen trecken DN, ende de hanghende {Perpendicularem.} EO, sniende ND in O, daer naer salmen sien wat reden NO heeft tot OD, ick neme als van 1 tot 2, daerom hanghe ick an D een ghewicht P van 6 lb, te weten in sulcken reden tot den pilaer met de twee ghewichten G, I, al tsamen 12 lb, als van 1 tot 2; Ick seg P 6 lb, te wesen het begheerde ghewicht.
    T B E W Y S.   Tswaerste ghewicht 12 lb des erms ON, heeft sulcken reden tot het lichtste 6 lb des erms OD, ghelijck den langsten erm OD, tot den cortsten ON; Daerom hanghet al euestaltwichtich ande handthaef EF door het Ie voorstel. Ende veruolghens den as IK blijft in haer ghegheuen ghestalt.


I I.   V O O R B E E L T.

    L A E T  ABCD een pilaer sijn weghende 6 lb, diens vastpunt E, ende handthaef EF, ende G een ghewicht van 2 lb, diens vastpunt H, ende I een ghewicht van 1 lb, diens vastpunt K, ende den as LM sy euewydich vanden sichteinder {Horizonte.} NO, ende P sy een punt inden pilaer voor de begheerde plaets.

[ 31 ]
balk, 2 gewichten Daer naer werdt den as LM (alles draeyende op E) verheuen, als in de tweede form.


T B E G H E R D E.

    Wy moeten een ghewicht an P vinden, dat den as LM in die ghestalt houde.


T W E R C K.

Men sal vindendoor het IIe voorstel tvastpunt daerop tghegheuen alle ghestalt houdt diemen hem gheeft, twelck Q sy, daer naer salmen trecken PQ, ende de hanghende {Perpendicularem.} ER, sniende PQ in R: siende daer naer wat reden RQ heeft tot RP, ick neem als van 1 tot 2, so hang ick an P een ghewicht van 4 1/2 lb, te weten in sulcken reden tot den pilaer met de twee ghewichten G, I, al tsamen 9 lb, als van 1 tot 2; Ick seg S 4 1/2 lb te wesen het begheerde ghewicht.


balk scheef, 3 gewichten

T B E W Y S.

    Tswaerste ghewicht 9 lb des erms RQ, heeft sulcken reden tot het lichtste ghewicht 4 1/2 lb des erms RP, ghelijck den langsten erm RP, tot den cortsten RQ, daerom hanghet al euestaltwichtich ande handthaef EF door het Ie voorstel, ende veruolghens den as LM blijft in haer ghegheuen ghestalt, twelck wy bewysen moesten.


T B E S L V Y T.

    Wesende dan ghegheuen een bekenden pilaer met sijn vastpunt, &c.




Simon Stevin | Weeghconst | Voorstel 5 - 12 (top) | 13 - 18