Stevin | < Weeghconst >

1: Reden , 2: handthaef , 3: onbekende swaerheydt , 4: anderen erm



S . S T E V I N S       I.   B O V C K       V A N D E   B E G H I N S E L E N   D E R   W E E G C O N S T.

[ 11 ]

H E T   A N D E R   D E E L

V A N D E   V O O R S T E L L E N



I.   V E R T O O C H.   {Theorema.}             I.   V O O R S T E L.   {Propositio.}

    W E S E N D E  twee euestaltwichtighe swaerheden, de swaerste heeft sulcken reden tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten.

Ie   V O O R B E E L T.

T G H E G H E V E N. {Datum.}   Laet ABCD een pilaer sijn weghende 6 lb. welcke ghedeelt sy in 6 euen deelen, door platten {Plana parallela.} euewydich van sijn grondt AD, als EF, GH, IK, LM, NO, sniende den as PQ in R, S, T, V, X:
balk hangend aan hand, verdeling 6 bij 2 Laet ons nu nemen LMDA voor de swaerste swaerheydt, wiens swaerheyts middelpunt is S, ende LMCB voor de lichtste swaerheydt, wiens swaerheyts middelpunt is X, ende SX is dier deelen balck door de 7e bepaling, ende T is t'swaerheyts middelpunt des heelen pilaers, ende TI d'hanthaef, waer an LMDA ende LMCB evestaltwichtich hangen, ende TX is den langsten erm, ende TS den cortsten door de 8e bepaling.
T B E G H E E R D E. {Qæsitum.}   wy moeten bewysen dat ghelijck de swaerste swaerheydt LMDA, tot de lichtste LMCB, also den langsten erm TX, tot den cortsten TS.
T B E W I I S. {Demonstratio.}   De swaerste swaerheydt LMDA weeght 4 lb, ende de lichtste LMCB 2 lb, ende den langsten erm TX heeft sulcken reden tot de cortste TS, ghelijck 2 tot 1 door t'ghegheven: Maer ghelijck 4 tot 2, alsoo 2 tot 1, ghelijck dan de swaerste swaerheydt LMDA, tot de lichtste LMCB, also den langsten erm TX, tot den cortsten TS.

M A E R  op datmen niet en dencke dit daer also by gheualle ghesciedt te sijne, wy sullender Wisconstich bewys {Mathematicam demonstrationem.} af doen aldus:

[ 12 ]
I Ie   V O O R B E E L T.

    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD wederom een pilaer sijn, ghedeelt met een plat euewydich van AD, als EF, sniende den as GH, waert sy in I, ende het swaerheyts middelpunt van het deel EFDA sy K, int middel van GI, ende van het deel EFCB, sy L int middel van IH, balk ende des heels ABCD sy M int middel van GH, ende MN sal der deelen EFDA ende EFCB handthaef sijn, daer an sy euestaltwichtich hanghen.

{I. Ghestalt.}

    T B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat ghelijck het lichaem ofte de swaerheydt (twelck hier een selfde is om haer eueredenheydt {Proportionem.}, want ghelijck tlichaem EFDA, tot tlichaem EFCB, alsoo diens swaerheyt tot desens, ouermits den pilaer door tghestelde oueral eenuaerdigher swaerheyt is) van EFDA, tot EFCB, alsoo den langsten erm ML, tot den cortsten MK.
    T B E W Y S,   Ie   L I D T.   MH is euen an MG door tghegheuen, laet tot elck doen KM, soo sal dan KH euen sijn an MG met KM; daer naer van d'eene ghetrocken GK, ende van d'ander KI (welcke GK ende KI euen sijn door tghegheuen) soo sal KM met KM euen blijuen an IH; Ende haer helften als KM ende IL sullen oock euen sijn.
    I Ie   L I D T.   Laet tot elck (te weten KM ende IL) doen MI, Ende ML sal euen sijn an IK.
    I I Ie   L I D T.   Ghelijck GI tot haer helft KI, also IH tot haer helft IL, ende door oueranderde eueredenheyt {Alternam proportionem} ghelijck GI tot IH, also KI tot IL, maer KI is euen an ML door het 2e lidt, ende IL an MK door het Ie lidt, daerom ghelijck GI tot IH, alsoo ML tot MK; Maer ghelijck GI tot IH, also het lichaem ofte de swaerheyt EFDA, tot EFCB. Ghelijck dan de swaerste swaerheyt EFDA, tot de lichtste EFCB, also den langsten erm ML, tot den cortsten MK.

N V  mocht yemant segghen, ghy hebt dat voorstel wel bewesen in deelen die tsamen een heel pilaer maken eenvaerdigher swaerheyt, maer wie weet of dat also plaets sal houden in allen anderen verscheyden deelen van ongheschicter form, ende oneueswaerder stof, daerom sullen wy de ghemeenheydt des voorstels aldus bethoonen:
Laet ons achten dat den balck KL der Ie ghestalt hier bouen, in haer plaets bliue, ende dat het stick EFDA neerghetrocken wordt, ende dat het blyue hanghende met een lini uyt sijn swaerheydts middelpunt an tpunt K, ende dat insghelijcx oock neerghetrocken sy het ander stick EFCB, ende dat het blijue hanghende by sijn swaerheydts middelpunt an tpunt L,

[ 13 ]
2 hangende balkstukken

{2. Ghestalt.}

ende dat EFCB*) niet en ghenake an EFDA, ende haer ghestalt sy dan soo dees form uytwyst. Nu doen het lichaem in d'eerste ghestalt hinck ande hanthaef MN, alsdoen was EFDA euestaltwichtich met EFCB; Maer tghewicht EFDA in dees tweede ghestalt neerghetrocken synde, en brengt an KL gheen meerder noch minder swaerheyt dan in d'eerste ghestalt door de 3e begheerte. Sghelijcx en brengt tghewicht EFCB der tweede ghestalt, an LK gheen meerder swaerheydt dan in d'eerste ghestalt, daerom de ghewichten der tweede ghestalt sijn an KL de selfde die sy in d'eerste waren, daerom oock de balck KL blijft noch inde selue eerste ghestalt, waer duer EFDA noch euestaltwichtich blijft met EFCB. De sticken dan des pilaers blijuen soo wel euestaltwichtich verscheyden, als doen sy an malcanderen waren, ende de ermen oock inde selue reden.
    [ *)  Feil: inde eerste form voor D stelt, C.]

2 voorwerpen aan staafje, hangend aan hand

{3. Ghestalt.}

    D I T  so synde, laet ons de lichamen EFDA ende EFCB der tweede ghestalt ander formen gheuen, die also duwende (neemt dat de stof sy van was, cleye, ofte yet soodanich t'welck sulcx lijde) dat EFDA der tweede ghestalt, sy EFDA deser derde ghestalt, ende dat EFCB der tweede ghestalt, sy EFCB deser derde ghestalt;
Ende is openbaer dat KL noch in haer selue ghestalt sal blyuen, ende de ermen ML, MK, inde selue reden, ende veruolgens EFDA noch euestaltwichtich met EFCB, want dees verandering der form (al de stof bliuende) en veroirsaect gheen verandering des ghewichts.
[ 14 ]
2 hangende voorwerpen

{4. Ghestalt.}

    L A E T  ons ten laetsten weeren EFDA der derde ghestalt ende hanghen in diens plaets een lichaem van loot des selfden ghewichts, ende inde plaets van EFCB een hauten lichaem des seluen ghewichts, wiens vierde ghestalt alsdan sy als hier neuens.
Ende is kennelick dat KL noch inde selue ghestalt sal blyuen, ende veruolghens EFDA noch euestaltwichtich met EFCB, ende de ermen noch inde selue reden.


hangende balk

I I I.   V O O R B E E L T.

    M E N  can tvoorgaende oock bethoonen, blyuende de twee swaerheden hanghende an eenen lichamelicken balck, in deser voughen: Laet den pilaer ABCD ghesneen sijn in twee deelen, met een plat door den as EF, ende den as des ondersten deels EC sy GH, ende EC sy doorsneen met een plat IK euewydich vanden grondt ED, sniende den as GH in L, ende het swaerheydts middelpunt van het deel IKDE sy M int middel van GL, ende van het deel IKCF sy N int middel van LH, ende des heels ABCD sy O in middel van EF, ende OP sy swaerheydts middellini des heels ABCD, ende MQ van IKDE, ende NR van IKCF.
Dit soo sijnde tis kennelick dat des heels pilaers rechter sijde, euewichtich is teghen haer slincker.
balk horizontaal verdeeld
    L A E T  ons nu het onderste deel EFCD neertrecken, also dat het blyue hanghende ande linien ML [MQ] ende NR, als hier neuens. Ende is openbaer dat den lichamelicken balc ABFE noch in haer eerste ghestalt sal blyuen. Laet ons nu achten dat het deel IKDE, ghesneen sy van IKCF, ende dat elck deel vallen mach daert wil, maer sy hanghen an haer swaerheyts middelpunten M, N, sy houden dan haer eerste ghegheuen ghestalt door de 4e bepaling, daerom ABFE blijft oock noch in sijn eerste ghedaente.

[ 15 ]
Maer IKDE, sulcken reden te hebben tot IKCF, als den erm OR, tot den erm OQ, is vooren beprouft; Inder voughen dat tghene eerst betoocht was anden weegconstighen balck (dat is een lini) sulcx hebben wy hier verclaert an een lichamelicken.
    T B E S L V Y T. {Conclusio.}   Wesende dan twee euestaltwichtighe swaerheden, de swaerste heeft sulcken reden tot de lichtste (van wat stof ofte form oock de lichamen sijn) als den langsten erm tot den cortsten, twelck wy bewysen moesten.


V E R V O L G H.

    V Y T  het verkeerde des voorgaenden voorstels volcht, dat hebbende de swaerste swaerheydt sulcken reden tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten, dat die twee swaerheden euestaltwichtich sijn.



I.   E Y S C H.   {Problema.}             I I.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen bekende swaerheden, haer handthaef te vinden.

Ie   V O O R B E E L T.

2 hangende voorwerpen     T G H E G H E V E N.   Laet d'een swaerheyt A sijn weghende 3 lb, hanghende an C, d'ander B van 1 lb hanghende an D; ende CD si balck.
    T B E G H E E R D E   Wy moeten haer hanthaef vinden.
    T W E R C K.   Men sal CD also deelen, dat haer meeste stick naest de swaerheydts middellini van de minste swaerheydt, sulcken reden hebbe tot het minste stick, ghelijck de meeste swaerheyt tot de minste, twelck sy in E, te weten dat ED sulcken reden hebbe tot EC, als 3 lb van A, tot 1 lb van B.
Ick seg dat de hanghende door E, als EF, d'hanthaef is.


I I   V O O R B E E L T.

    T G H E G H E V E N.   Laet d'een swaerheydt sijn den pilaer ABCD weghende 6 lb, ghedeelt als den pilaer int beghin des eersten voorstels; Ende an Q hanghe een ghewicht Y van 12 lb.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten d'handthaef vinden.

[ 16 ]
balk, verdeling in 2 bij 6, gewicht aan uiteinde     T W E R C K.   De swaerheydts middellini des pilaers is IT, ende van tghewicht Y is BQ, ende TQ is balck, de selue salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 12 lb van Y, tot 6 lb vanden pilaer, weluerstaende tcortste stick naer de swaerheydts middellini vande swaerste swaerheydt Y, twelck vallen sal in X, inder voughen dat NX de begheerde hanthaef is.


I I I.   V O O R B E E L T.

    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende nu Y 6 lb an X.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten d'handthaef vinden.
balk, anders hangend     T W E R C K.   De swaerheydts middellini des pilaers is IT, ende van Y is NX, ende TX is balck: de selue salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 6 lb van Y, tot 6 lb des pilaers, twelck vallen sal in V, indervoughen dat VL de begheerde handthaef sijn sal.

T V O O R N O E M D E   W E R C K

O P   E E N   A N D E R   M A N I E R.

D E  swaerheydts middellini van MLBCY, is NX, ende van MLAD is SG, ende SX is balck, de selue salmen in tween deelen, also dat de stucken de reden hebben als 8 lb van MLBCY, tot 4 lb van MLAD: welverstaende tcortste stick naer de swaerheyts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in V, inder voughen dat VL wederom de begheerde handhaef sijn sal als vooren.

[ 17 ]
I I I I.   V O O R B E E L T.

    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende Y 6 lb an X, ende Z 24 lb an R.
blak met 2 gewichten     T B E G H E E R D E.   Wy moeten d'handthaef vinden.
    T W E R C K.   De swaerheydts middellini van ABCDY, is LV door het 3e voorbeelt, ende van Z is RE, daerom is RV balck: de selue salmen in tween deelen, alsoo dat de stucken de reden hebben als 12 lb van ABCDY, tot 24 lb van Z: wel verstaende tcortste stic naer de swaerheyts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in S, inder voughen dat SG de begheerde handthaef sijn sal.

T V O O R N O E M D E   W E R C K   O P

E E N   A N D E R   M A N I E R.

D E  swaerheydts middellini van ABCDZ is ÆW door het 3e voorbeelt, alsoo dat SÆ doet 2/5 van SR, ende de swaerheydts middellini van Y is XN, ende ÆX is balck, de selue salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 30 lb van ABCDZ, tot 6 lb van Y: welverstaende tcortste stick naer de swaerheydts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in S, inder voughen dat SG wederom de begheerde handthaef is als vooren.


T V O O R N O E M D E   W E R C K

O P   E E N   A N D E R   M A N I E R.

D E  swaerheydts middellini van YZ, is (door het eerste voorbeelt) phidelta, alsoo dat Sphi doet 1/5 van SR, ende de swaerheydts middellini vande pilaer is TI, ende Tphi is balck: de selue salmen in tween deelen, also dat de sticken de reden hebben als 30 lb van Y met Z, tot 6 lb vande pilaer, te weten tcortste stick naer de swaerheydts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in S, inder voughen dat SG wederom de begheerde handthaef is als vooren.


Ve   V O O R B E E L T.

    T G H E G H E V E N.   Laet ABCD wederom den pilaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende Y 6 lb an X, ende Z 24 lb an R, ende Æ 12 lb an Q.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten d'handthaef vinden.

[ 18 ]
balk met 3 gewichten     T W E R C K.   De swaerheydts middellini van ABCDYZ is SG door het 4e voorbeelt, ende van Æ is QB, ende SQ is balck: de selue salmen in tween deelen, also dat de sticken de reden hebben als 36 lb vanden pilaer met Y ende Z, tot 12 lb van Æ, te weten tcortste stick naer de swaerheydts middellini van tswaerste deel, twelck vallen sal in T, inder voughen dat TI de begheerde handthaef sal sijn.
    Ende soomen noch hinghe an P 24 lb, d'handthaef soude SG sijn, ende so voorts met allen anderen swaerheden diemen anden pilaer soude mueghen hanghen.

    T B E W Y S.   De swaerste swaerheydt A int eerste voorbeelt, heeft sulcken reden tot de lichtste B, als den langsten erm ED, tot den cortsten EC, daerom EF door de 9e bepaling is d'hanthaef. Sghelijcx sal oock tbewys sijn van al dander voorbeelden, twelck wy om de cortheydt achterlaten.
    T B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen bekende swaerheden, wy hebben haer handthaef gheuonden naer den eysch.


M E R C K T.

    S O O M E N  tghewicht Y des 2en voorbeelts verswaerde van 1 lb, ende datmen an V hinghe 1 lb, inder voughen dat haer ghestalt dan waer als hier onder,
balk met 3 gewichten, anders Tis kennelick uyt het voorgaende dat XN noch handthaef blijft, ende alles an haer euestaltwichtich hangt.
Tselue sal XN oock blijuen, soomen Z 1 lb hangt an T, ende dat Y doe 14 lb, ofte Z 1 lb an S, ende dat Y doe 15 lb, ofte Z 1 lb an R, ende dat Y doe 16 lb, ofte Z 1 lb an P, ende dat Y doe 17 lb, ende soo oirdentlick voort by aldien den pilaer langher waer;
te weten, verswarende Y altijt van 1 lb, voor elcke langde als XV, daermen Z voorder an verschuyft. Waer uyt de Ghedaenten { Qualitates. } des Onsels bekent siin, als inde Weegdaet breeder daer af sal ghehandelt worden.


I I.   E Y S C H.                       I I I.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen twee euestaltwichtighe swaerheden, d'een bekent dander onbekent, ende d'hanthaef: Die onbekende bekent te maken.

[ 19 ]
2 hangende voorwerpen
I.   V O O R B E E L T.

    T G H E G H E V E N.   Laet A ende B twee euestaltwichtighe swaerheden sijn, welcker A hanghende an C weeght 3 lb, maer B hanghende an D is onbekent, ende EF sy d'handthaef.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten tghewicht van B bekent maken.
    T W E R C K.   Men sal ondersoucken wat reden den erm ED heeft, tot den erm EC, wort beuonden, neem ick, als van 3 tot 1, daerom seg ick, ED 3, gheeft EC 1, wat A 3 lb ? comt voor B 1 lb.


I I.   V O O R B E E L T.

    T G H E G H E V E N.   Laet inde form des 2en voorbeelts van het 2e voorstel den pilaer ABCD voor d'een swaerheyt weghen 6 lb, ende dander onbekende swaerheyt sy tghewicht daer an hanghende Y, ende d'hanthaef sy XN.
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten tghewicht van Y bekent maken.
    [ Figuur ingevoegd ]
balk met gewicht aan uiteinde     T W E R C K.   Anghesien TI swaerheydts middellini is des pilaers, ende QB van Y, so sal TQ balck sijn, diens cortsten erm XQ, ende langsten XT; Daerom salmen ondersoucken wat reden den erm XQ, heeft tot XT, wort beuonden neem ick, als van 1 tot 2. Ich seg dan, XQ 1, gheeft XT 2, wat den pilaer 6 lb ? comt voor Y 12 lb.
Der ghelijcke voorbeelden mochten wy hier stellen op dander formen des 2en voorstels, ten waer die door de voorgaende kennelick ghenouch sijn.
    T B E W Y S.   Laet B int eerste voorbeelt, soot mueghelick waer, swaerder sijn dan 1 lb, de swaerste swaerheydt dan en sal niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten; twelck teghen het Ie voorstel is; B dan en is niet swaerder dan 1 lb. Sghelijcx salmen oock bethoonen dat sy niet lichter en is, sy weeght dan effen 1 lb, twelck wy bewysen moesten.
    T B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen twee euestaltwichtighe swaerheden, d'een bekent dander onbekent, ende d'hanthaef: Wy hebben die onbekende bekent ghemaect, naer den eysch.



I I I.   E Y S C H.                     I I I I.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen twee bekende euestaltwichtighe swaerheden met de langde van d'eenen erm: de langde des anderen erms te vinden.


    T G H E G H E V E N.   Laet A ende B twee euestaltwichtighe swaerheden sijn, welcker A hanghende an C weeght 3 lb, ende B hanghende an D 1 lb, ende de langde des erms DE sy 6 voeten.

[ 20 ]
    T B E G H E E R D E.   Wy moeten de langde des anderen erms vinden.
2 hangende voorwerpem     T W E R C K.   Men sal segghen A 3 lb, gheeft B 1 lb, wat DE 6 voeten ? comt voor EC 2 voeten. Ende der ghelijcke voorbeelden mochten wy stellen op de formen der voorbeelden des 2e voorstels, ten waer die duer tvoorgaende kennelick ghenouch sijn.
    T B E W Y S.   Laet EC, soot mueghelick waer, langher sijn dan 2 voeten; den langsten erm sal dan minder reden hebben tot den corsten, dan de swaerste swaerheyt tot de lichtste, twelck teghen het eerste voorstel is, EC dan en is niet langher dan 2 voeten; Sghelijcx salmense oock bewysen niet corter te sijn, sy is dan effen van twee voeten, twelck wy bewysen moesten.
    T B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen twee euestaltwichtighe swaerheden met de langde van d'eenen erm, wy hebben de langde des anderen erms gheuonden, naer den eysch.



Simon Stevin | Weeghconst | Voorstel 1 - 4 (top) | 5 - 12