Stevin | Weeghconst | Anhang - Noten

Bij H I: Bewijsreden , bij H II: Valproef , Zinken



Bij Anhang H I: Bewijsreden, strijdreden

Het woord 'reden' heeft bij Stevin ook wel eens de betekenis 'redenering':
T'welck wy ontkennen ende reden daer af aldus gheven:
E.   Dat stil hangt en beschrijft gheen rondt;
A.   Twee evestaltwichtighe hanghen stil;
E.   Twee evestaltwichtighe dan en beschrijven gheen rondt.
Dit lijkt een ingewikkelde manier om iets te zeggen dat toch al zo klaar als een klontje was: het hangt stil, dus het beweegt niet. Maar er zit achter dat Stevin het verkeerd vindt om de hefboomwet af te leiden met de rondjes die de uiteinden van de armen kunnen beschrijven. Bij evenstaltwichtigheid zijn er helemaal geen rondjes om van uit te gaan!
Hoe belangrijk dit voor Stevin was blijkt uit het voorwoord waarin hij de Weeghconst opdraagt aan Keizer Rudolf II:
Wel is waer dat inde Rechtwichten duer ervaring bemerckt is, twee evestaltwichtighe met haer ermen everednich te wesen. Doch sy hebben ghemeent * soodanighe everedenheyt te schuylen onder de ronden beschreven op t'vastpunt duer d'uytersten der ermen; Uyt het welck, na den ghemeenen aert der dwaling, gheen kennis der oirsaken en volghde.
* Als Aristoteles in Mechanicis met siin navolghers.
    [ Zie bv: Henri de Monantheuil, Aristotelis mechanica (1599), p. 45, 60.]

Een jaar voor de Weeghconst was in 1585 Stevins 'Dialectike ofte Bewysconst' gepubliceerd, waarin de kunst/kunde van het redeneren werd uitgelegd "int Neerduytsch".
De dialecticus moet:

uytspraecken, ofte gheschriften, om een Gemeente tot dit ofte dat te beweghen [...] blooten van alle haer toerustinghen als bedriechlicke cieraet, ende verduysterende veelheydt, niet Arithmetelick tellende de menichte der woorden, maer Dialecktikelick weghende de cracht der eenvoudige argumenten.
Bij het wegen van argumenten gaat het om de 'Bewijsreden' {Syllogisme}: een sluitende redenering. Zo'n sluitrede is een redeneerschema waaruit een conclusie voortkomt. Een voorbeeld uit de klassieke logica is:
  • Alle mensen zijn sterfelijk;
  • Socrates is een mens;
  • Socrates is dus sterfelijk.
Volgens de regels zijn er drie termen: Socrates ('kleine' term), sterfelijk ('grote' term, meer omvattend), mens (middenterm).
En er zijn drie stellingen: twee premissen (gegeven major, gegeven minor), en een conclusie. De middenterm komt in de laatste niet voor.

De stellingen worden onderscheiden in soorten, aangeduid met een letter:
A - algemeen bevestigend (tweede in Stevins 'reden', eerste in het klassieke voorbeeld),
E - algemeen ontkennend (eerste en derde bij Stevin),
I - bijzonder bevestigend (bijzonder: Socrates, sommige, vele, e.d.),
O - bijzonder ontkennend.

Er zijn vele regels van de bewijskunst opgesteld. Ze worden vaak overtreden, en niet altijd is de conclusie dan zo duidelijk onjuist als bij het volgende voorbeeld:

  • Alle dieren zijn sterfelijk;
  • Socrates is geen dier;
  • Socrates is dus niet sterfelijk.
Dit is een "cromme" bewijsreden (kromme redenering).
Nog een voorbeeld van een "rechte" bewijsreden bij Stevin (Weeghconst, blz 24):
A.   Al dat ligt moet grondt hebben daert op rust,
E.   Dees pilaer en heeft gheen grondt daer hy op rust,
E.   Dees pilaer dan en can soo niet ligghen.
Zie ook: blz 56, en Boek II, steeds over het "oneindelick naerderen": blz 68, 79, 85, 87, 89, 92.
Verder: Waterwicht blz 26, 31, 62.


Een redenering met vier stellingen en een foute conclusie vinden we in de 'Wysentijt':

T'gaet hier me [...] als met eenen varende langs de cant vant onbekende Zuytlandt {Terra incognita Australis.}, en siende de mont van een groote rivier daer uyt aldus beslote:
  • Langs groote rivieren sijn vruchtbaer landen:
  • In vruchtbaer landen langs groote rivieren verkiesen veel menschen haer wooning:
  • Daer veel menschen woonen geraken goede Steden:
  • Daerom an die rivier legghen groote welvarende Steden.
En of hy voort op sulck ghestelde (deur een ghesien deel vant heel besluytende) sulcke Landen en Steden in caerte teyckende, denckt eens wat sekerheyt of ghelijckheyt die mette Landen soude hebben, en hoe sulcke caerten en schriften souden overcommen mettet ghene men daer na dadelick sage [...].
Zie verder:
Syllogisme, Aristotle's Logic (achtergronden). En natuurlijk Stevins Bewysconst.




Bij Anhang H II: Valproef

Vaak wordt beweerd dat Galileï een valproef gedaan zou hebben zoals die van Stevin en de Groot met de "twee loyen clooten", enkele jaren later in Pisa; maar dit is waarschijnlijk niet waar. Hooykaas schrijft in zijn Geschiedenis der natuurwetenschappen:
Niet Galilei, maar zijn Aristoteliaanse tegenstander Giorgio Coresio deed (1612) een valproef vanaf de toren van Pisa. Hij zei gevonden te hebben, dat van twee lichamen van verschillende grootte maar dezelfde materie, de grootste sneller viel, in overeenstemming met de opvatting van Aristoteles.
    [ In: Operetta intorno al galleggiare de corpi solidi (Firenze 1612), p. 52.]
Zie ook Science News Online (18/12/99) over Coresio en o.a. Mazzoni (1597).
Calder zegt in John Dee Studied as an English Neoplatonist (Londen, 1952, note 250):
The legend has been examined, and ascertainable facts brought to light by Lane Cooper: Galileo and the tower of Pisa (... 1935) and A. Koyré, Galileo et l'expérience de Pisa (... 1937).
Maar Galileï heeft vast wel valproeven gedaan omstreeks 1590, zie 'On Motion' bij het Galileo Project.

Stevin liet al in 1586 zien dat je het kunt krijgen zoals je het hebben wilt: twee loden kogels komen tegelijk op de grond, ook al is de ene tienmaal zo zwaar als de andere; maar een enkel haartje katoen ("boomwol") blijft bij een val veel "langher op wech" dan een heel pakje katoen. Zijn verklaring met het "beletsel" is juist.

Galileï gaf een mooie verheldering van het probleem, in zijn Discorsi (1638):

Salviati : Als we dan twee lichamen nemen die [bij het vallen] een verschillende natuurlijke snelheid hebben, zal duidelijk zijn dat als we er één geheel van maken de snelste wat geremd zal worden door de langzaamste, en de langzaamste zal wat versneld worden door de snelste. Ben je het in dit opzicht met me eens?
Simplicio : Je hebt onbetwistbaar gelijk.
Salviati : Maar als dit waar is, en als een grote steen beweegt met een snelheid van, zeg, acht terwijl een kleinere beweegt met een snelheid van vier, dan zal als ze verbonden worden het systeem bewegen met een snelheid van minder dan acht; maar de twee stenen maken samen een steen die groter is dan degene die eerst bewoog met een snelheid van acht. Daarom beweegt het zwaardere lichaam met minder snelheid dan het lichtere; een uitkomst die strijdig is met jouw veronderstelling. Dus je ziet: uit je aanname, dat het zwaardere lichaam sneller beweegt dan het lichtere, leid ik af dat het zwaardere lichaam langzamer beweegt.
(Vertaald uit het Engels van de Dover-uitgave, p. 63.)
Dus: verbind twee stenen met een touwtje, ze gaan dan niet sneller of langzamer vallen. Een mooi gedachtenexperiment, dat je niet echt hoeft uit te voeren (maar pas op: leg een papiersnipper onder, of op, een horizontaal muntstuk, en laat vallen; dan ...?).
Ook hier was Galileï niet de eerste: al in 1553 was een dergelijke verklaring gegeven door Giovanni Battista Benedetti (zie Dijksterhuis, 'Mechanisering', p. 295).
Even verderop laat Galileï Salviati nog iets moois zeggen:
Je voelt altijd de druk op je schouder als je de beweging van een last tegenhoudt; maar als je zelf even snel omlaag gaat als de last zou vallen, hoe kan die nog zwaar zijn en op je drukken? Zie je niet dat dit hetzelfde zou zijn als te proberen iemand te treffen met een lans als die van je wegloopt met een snelheid die gelijk is aan, of zelfs groter dan, die waarmee je hem achterna gaat? Je moet daarom concluderen dat, gedurende een vrije en natuurlijke val, de kleine steen niet drukt op de grotere, en dus niet zijn gewicht vergroot zoals hij doet in een toestand van rust.
Juist met deze toestand van rust hield Stevin zich bezig, in de Statica en Hydrostatica liggen zijn grote verdiensten voor de natuurkunde. Zijn valproef mag opmerkelijk genoemd worden, maar was niet de eerste weerlegging van Aristoteles op dit punt. Al in de zesde eeuw had Philoponos de proef gedaan, en gevonden dat een lichaam niet des te sneller valt naarmate het zwaarder is. En Stevins weerlegging van wat Taisnier schrijft over 'gelijke tijden' is wel heel mooi bedacht — met zijn 'enkel kort haartje' en zijn 'luchtbellen' (p. 66) — maar Benedetti (van wie Taisnier het geplagieerd had) stelde zich de val in het luchtledige voor.
Over deze Jean Taisnier van Henegouwen, en over diens bron Benedetti, is meer te vinden in:
C.S. Maffioli & L.C. Palm (ed.), Italian scientists in the Low Countries in the XVIIth and XVIIIth centuries (Amsterdam 1989), 79-99, het stuk van Carlo Maccagni. Zie ook de daar aangehaalde Tomasini (1630), p. 161-4.
Jean Taisnier, Opusculum ... de natura magnetis ... De motu ..., 1562 (met portret).
Van Benedetti had Taisnier de 'Demonstratio proportionum motuum localium, contra Aristotelem & omnes Philosophos', p. 16-40 (val in het luchtledige: p. 29-30).
Benedetti had dit gepubliceerd in 1554, en 1555 (MDLIIII idibus Februarii), herdruk 1985. Een ander werk van hem, zijn 'magnum opus', werd door Isack Beeckman gelezen en zeer gewaardeerd ('Journal' III, 273-84). Het is:
G. B. Benedetti, Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum Liber (Turijn 1585), met o.a. 'De mechanicis', p. 141-167, en 'Disputationes de quibusdam placitis Aristotelis', 168- (cap. 1: val volgens Ar.).

Beeckman schreef in 1625 (II, 330): "Een groot gewicht nu valt in vacuüm niet sneller dan een klein. Of de deeltjes immers aan elkaar vastzitten of tegen elkaar, ze gaan op dezelfde manier omlaag, elk volgens de eigen neiging. Dus wat ernaast is, maakt de snelheid van het andere niet groter; en wat boven is, drukt niet op het onderste. Er is immers geen reden waarom het bovenste atoom sneller omlaag zou gaan dan het onderste".

Zie ook: D. Bertoloni Meli, 'Mazzoni, Stevin, and Galileo' in Thinking with objects, 2006.

Voor praktische problemen zie bij natuurkunde.nl: Zware en lichte voorwerpen in valbeweging. Met filmpje: kerstbal eerder beneden dan marmeren bal.




Bij Anhang H II: Zinken

Soms is de bewijskunst goed, maar de formulering niet helder. Zelfs bij Stevin.
Om t'welck te bewysen so laet twee lichamen sijn, A t'swaerste, B t'lichste, die beyde int water sincken, ende tusschen hun besta de voornomde everedenheyt.
Het bewijs dat volgt is vernuftig, maar de eerste lezing strandt. Dijksterhuis legt uit:
Het is duidelijk dat "swaerder" en "lichter" slaan op het soortelijk gewicht. Verondersteld is dat A en B eenzelfde gewicht hebben. Stevin bekijkt een reeks lichamen met dit zelfde gewicht G met een geleidelijk afnemend soortelijk gewicht S. Als de weerstand R van het water evenredig was met het volume, dan zou R omgekeerd evenredig zijn met S, en dus zou S [omgekeerd] evenredig zijn met de tijd voor de beweging over een gegeven afstand. Als S nadert tot het soortelijk gewicht S1 van water, dan gaat de tijd naar een zekere grenswaarde, terwijl er bij S = S1 helemaal geen beweging is.
    (Vertaald uit het Engels: Principal Works I, 513, n1)
Dus bijvoorbeeld: een kleine loden kogel zinkt sneller dan een grotere steen die even zwaar is. Zou de zinktijd in water dan evenredig zijn met het volume?
Stel dat er veel andere steensoorten zijn, met soortelijk gewicht steeds dichter bij dat van water, dan zullen stenen van die soorten steeds groter zijn, en steeds langzamer zinken. Maar als de eerste steen S = 2 had, en water heeft S1 = 1 , dan kan geen van de stenen er meer dan 2 x zo lang over doen als de eerste. En toch zou het steeds langer moeten duren, want bij S = S1 zou de steen zweven in water.

Tegenwoordig zouden we meteen denken aan het verschil in soortelijk gewicht (dichtheid) van steen en water. Dat is evenredig met de resulterende kracht vlak na het loslaten, als de wrijving te verwaarlozen is. Bij zinken met gelijkblijvende snelheid is de wrijvingskracht toegenomen tot die waarde. En voor dit 'beletsel' geldt, in water zowel als in lucht:

  1. als de stroming om een bolletje gelaagd is {laminair}, dan geldt:
    wrijvingskracht evenredig met straal, viscositeit, en snelheid;
  2. bij wervelende {turbulente} stroming is van belang de stroomlijn, uitgedrukt in de zogenaamde 'cw-waarde' (die is 1 bij een vlakke plaat); en nu geldt:
    wrijvingskracht evenredig met cw , oppervlak, dichtheid medium, en kwadraat van snelheid.
Stevin had gelijk met zijn bewering dat er geen evenredigheid is tussen "gheroerde" en "beletsel": de zinktijd is niet evenredig met volume, oppervlak of straal. Maar er zijn wel evenredigheden waarmee we dit soort problemen kunnen oplossen.

NB: Het zinken van even zware voorwerpen ("duerlijders van evener cracht") is een twistpunt in de Tsamespraeck tussen Ian en Pieter, in de 'Bewysconst': laat een steen vallen door water, en dan door dik 'jupen' bier van gelijke diepte; en ook: laat een stuk lood vallen door water en probeer het dan met lood door kwik (nu drijft het).


Ook Taisnier/Benedetti heeft het over valtijden bij zinken, zie bovengenoemd 'Opusculum', p. 23-27 (fig: p. 25).



Simon Stevin | Weeghconst | Anhang - Noten (top)