Stevin | < Weeghconst >

7, 8: Trapezium , 9: twee delen van veelhoek , 10-13: parabool



S . S T E V I N S       I I.   B O V C K       V A N D E   B E G H I N S E L E N   D E R   W E E G C O N S T.

[ 74 ]

...

V.   V E R T O O C H.                     V I I.   V O O R S T E L.

    H E T  swaerheyts middelpunt des vierhoucx met twee euewydighe {Parallelis.}  sijden, is inde lini tusschen dier sijden middelpunten.

hand met hangende driehoek     T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een vierhouck sijn, diens twee euewydighe sijden AB ende DC, ende de lini uyt E middel van AB, tot F middel van DC, sy EF.
    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx ABCD inde lini EF is.
    T' B E R E Y T S E L.   Laet de drie linien DA, FE, CB, voortghetrocken worden, welcke om de eueredenheyt {Proportionem.} der linien AE, EB, DF, FC, vergaren sullen in een selfde punt t'welck G sy.
    T' B E W Y S.   Laet ons den driehouck GDC ophanghen byde lini GF, ende het deel GFC sal euestaltwichtich sijn, teghen GFD door het 2e voorstel, waer deur oock t'swaerheyts middelpunt des driehoucx GDC inde lini GF is.

[ 75 ]
Maer den driehouck GEB, is oock euestaltwichtich teghen den driehouck GEA, daerom van euestaltwychtighe ghetrocken euestaltwichtighe, de resten als de vierhoucken EFDA, EFCB, sullen noch euestaltwichtich blijuen, ende haer swaerheyts middelpunt noch inde lini GF, maer niet uyt de form in EG; Nootsaecklick dan in EF.
    T' B E S L V Y T.   Het swaerheydts middelpunt dan des vierhoucx met twee euewydighe sijden, is inde lini tusschen dier sijden middelpunten, t'welck wy bewysen moesten.



V I.   V E R T O O C H.                     V I I I.   V O O R S T E L.

    H E T  swaerheyts middelpunt des vierhoucx met twee euewydighe sijden, deelt de lini tusschen dier euewydighens middelpunten also, dat het stick naer de minste sijde, tot het ander, sulcken reden heeft, als tweemaal de meeste sijde met eenmael de minste, tot tweemael de minste met eenmael de meeste.


    T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een vierhouck wesen met twee euewydighe sijden AB, DC, ende de lini tusschen haer middelpunten sy EF, ende t'swaerheydts middelpunt sy G.
    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat ghelijck tweemael DC met eenmael AB, tot tweemael AB met eenmael DC. also GE tot GF.
trapezium, lijnen     T' B E R E Y T S E L.   Laet ghetrocken worden DB, ende ghedeelt in drie euen deelen met de punten H, I, ende door de selue ghetrocken worden KL, ende MN, euewydich van DC, sniende EF in O en P. Daer naer de lini DE, sniende MI in Q, Ende BF sniende KL in R, Ende ten laetsten RQ.
    T' B E W Y S.   Anghesien het swaerheydts middelpunt des driehoucx BDC, is in BF, duer het 2e voorstel, ende oock in HL duer het 5e voorstel, soo is R, sijn swaerheyts middelpunt, ende om de selue reden is Q swaerheyts middelpunt des driehoucx ABD, ende QR is dier driehoucken balck, inden welcken haer beyder, dat is des vierhoucx ABCD, swaerheyts middelpunt is,

[ 76 ]
t'selue is oock in EF duer het 7e voorstel, daerom G is t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx ABCD. Maer want de twee driehoucken CDB ende ABD sijn tusschen twee euewydighe AB ende DC, so sijn sy inde reden van haer gronden {I. v. 6. B. E.}, dat is ghelijck den driehouck CDB tot ABD, alsoo DC tot AB:
Maer ghelijck den driehouck CDB tot ADB, also den erm GQ tot GR duer het Ie voorstel des Ien boucx, ghelijck dan DC tot AB, alsoo GQ tot GR; maer ghelijck GQ tot GR, alsoo PG tot GO (want sy tusschen de euewydeghe MN, KL sijn) ghelijck dan DC tot AB, alsoo GP tot PO [GO], daerom oock ghelijck tweemael DC met eenmael AB, tot tweemael AB met eenmael DC, also tweemael GP met eenmael GO, tot tweemael GO met eenmael GP.
Maer GE is euen an tweemael GP met eenmael GO, ende GF is euen an tweemael GO met eenmael GP, daerom ghelijck tweemael DC met eenmael AB, tot tweemael AB met eenmael DC, alsoo GE tot GF.
    T' B E S L V Y T.   Het swaerheyts middelpunt dan des vierhoucx met twee, &c.



I I I.   E Y S C H.                     I X.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen t'swaerheyts middelpunt eens plats ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: Het swaerheyts middelpunt van t'ander deel te vinden.


I.   V O O R B E E L T.

    T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een rechtlinich plat wesen, diens swaerheyts middelpunt E, ende BDA deel des plats, wiens swaerheyts middelpunt F.
    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten t'swaerheyts middelpunt vinden des ander deels BDC.
    T' W E R C K.   Men sal trecken FE tot in G, alsoo dat FE sulcken reden hebbe tot EG, als t'stick BDC tottet stick BDA: Ick seg dat G t'begheerde swaerheyts middelpunt is des ander deels BDC.
veelhoek, lijnen     T' B E W Y S.   Anghesien t'swaerheyts middelpunt van BDA is F, ende des heels ABCD is E, soo moet t'swaerheyts middelpunt des ander deels BDC sijn in de rechte FE oneindelick voortghetrocken. Want soot mueghelick waer, latet daer buyten wesen als H, ende laet ons trecken FH, het swaerheyts middelpunt dan des heels sal in FH sijn, maer dat is teghen t'ghestelde {Hypothesin.}, wantet E is;
Ten is dan niet buyten FE oneindelick voortghetrocken maer daer in.

[ 77 ]
Latet nu wesen (soot mueghelick waer) tusschen de punten E G als I; Maer den langsten erm EF sal dan meerder reden hebben tot den cortsten EI, dan de swaerste swaerheyt BDC tot de lichtste BDA, twelck teghen het Ie voorstel des Ien boucx waer. Ten is dan tusschen E G niet: Sghelijcx salmen oock bethoonen dattet bouen G niet en is. Tis dan nootsaecklick G, t'welck wy bewysen moesten.


I I.   V O O R B E E L T.

    T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een rondt wesen, diens halfmiddellini {Semidiameter.} EA, ende swaerheyts middelpunt E sy, ende trondt AFGH, deel des rondts ABCD, ende sijn swaerheyts middelpunt I, ende middellini {Diameter.} AG.
    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten het swaerheyts middelpunt vinden des ander deels, dat is der maen ABCDHGF.

cirkel, 2 cirkels erin, lijnen
    T' W E R C K.   Men sal IE voorttrecken tot in K, also dat IE sulcken reden hebbe tot EK, als de maen ABCDHGF tot het rondt AFGH, ende K sal t'begheerde swaerheydts middelpunt wesen. Daer af t'bewys ghelijck sal sijn an tvoorgaende.
Maer om de reden dier maen tot dat rondt te vinden, men sal trecken CL euen met AG, daernaer AL, vindende {II. v. 6. B. E,} de derde everednighe welcker eerste AL, de tweede LC, ende de derde sy M, Ende AL tot M, sal de reden sijn der maen tot het rondt AFGH.
Want ouermits ALC rechthouck is (reden dat sy int half rondt staet {31. v. 3. B. E,}) het ront diens middellini AL, sal euen sijn ande maen, ende AL tot M is de ghedobbelde reden {Duplicata ratio.} van AL tot LC, dat is van AL tot AG, daerom &c.
[ 78 ]
    Sghelijcx soudemen voortvaren dat int rondt ABCD meer ronden ghebraken; by voorbeelt het rondt NO, wiens middelpunt P. Want PK voortghetrocken tot in Q, alsoo dat PK sulcken reden hadde tot KQ, als het restende tot het rondt NO, so soude Q t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn. Ende alsoo met allen anderen formen welcker deelen reden kennelick is.
    T' B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen de swaerheyts middelpunten eens plats ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: wy hebben het swaerheyts middelpunt gheuonden des ander deels naer den eysch.



V I I.   V E R T O O C H.                     X.   V O O R S T E L.

    Y D E R  brantsnees {Parabola.}  swaerheyts middelpunt is in haer middellini.


    T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een brantsne sijn diens middellini AD.
    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat t'swaerheyts middelpunt inde lini AD is.
    T' B E R E Y T S E L.   Laet ons trecken de linien EF, GH, IK, euewydighe van BC, ende sniende AD in L, M, N, daer naer EO, GP, IQ, KR, HS, FT, euewydighe van AD.
hand, hangend paraboolstuk met lijnen     T' B E W Y S.   Ouermidts EF euewydighe is van BC, ende EO, FT, van LD, soo sal EFTO euewydich vierhouck sijn, wiens EL euen is met LF, oock met OD ende DT, waer duer t'swaerheyts middelpunt van EFTO, in DL is duer het Ie voorstel, Ende om de selue reden sal t'swaerheyts middelpunt des euewydich vierhoucx GHSP in LM wesen, ende van IKRQ in MN, ende veruolghens t'swaerheyts middelpunt der form IKRHSFTOEPGQ, ghemaeckt vande voornoemde drie vierhoucken sal inde lini ND oft AD sijn.
Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer gheschreuen worden, hoe dattet verschil des brandtsnees ABC, ende der binnenschreuen form van die vierhoucken vergaert, minder is, wy connen dan door dat oneindelick naerderen sulck een form binnen de brandtsne stellen, dattet verschil tusschen haer ende de brantsne, minder sy dan eenich ghegheuen plat hoe cleen het sy, waer uyt volght, dat stellende AD als swaerheyts middellini, so sal t'staltwicht des deels ADC, min verschillen van t'staltwicht des deels ADB,

[ 79 ]
dan eenich plat datmen soude connen gheuen, hoe cleen het sy, waer uyt ick aldus strije:
A.   Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil ;
O.   Neuen dese staltswaerheden ADC ende ADB, en can gheen swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil ;
O.   Dese staltswaerheden dan ADC ende ADB en verschillen niet.
    Daerom AD is swaerheyts middellini, ende veruolghens het swaerheyts middelpunt des branders ABC is in haer.
    T' B E S L V Y T.   Yder brandtsnees swaerheyts middelpunt dan, is in haer middellini, t'welck wy bewysen moesten.



V I I I.   V E R T O O C H.                     X I.   V O O R S T E L.

    A L L E R  brantsneens middellinien worden van het swaerheyts middelpunt eueredelick {Proportionaliter.}  ghedeelt.


    T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD ende abcd  twee onghelijcke brantsneen sijn, diens middellinien AD, ende ad , ende swaerheyts middelpunten E, ende e.
    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat ghelijck AE tot ED, also ae  tot ed .
    T' B E R E Y T S E L.   Laet ons trecken de linien AB, AC, die deelende in haer middelen F, G, ende trecken FG sniende AD in H, daer naer FI ende GK euewydighe van AD, ende daer naer IA, IB, KA, KC, ende laet ons stellen L in IF, alsoo dat IL dobbel sy an LF, sghelijcx M, alsoo dat KM dobbel sy an MG, ende laet ons trecken LM, sniende AD in N, ende IK, sniende AD in O, ende laet ons stellen P, alsoo dat AP dobbel sy an PD, ende laet ons IF voorttrecken tot Q inden grondt BC.

scheve en rechte parabool met lijnen
Nu anghesien AP dobbel is an PD, so is P t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC, ende omme de selue reden L, M, swaerheyts middelpunten der twee driehoucken ABI, ende ACK, ende veruolghens, want sy euen sijn, soo is N haer beyde swaerheyts middelpunt.
[ 80 ]
NP dan is balck, de selue ghedeelt in R, alsoo dat den erm NR sy tot RP, als den driehouck ABC tot de twee driehoucken ABI, ACK, dat is, als 4 tot 1 (want alle brantsne is tot den driehouck als ABC ghelijck 4 tot 3, duer het 24 voorstel der viercanting des brantsnees van Archim. daerom, &c.) Laet ons nu derghelijcke linien ende punten oock beschrijuen inde brantsne abc .
    T' B E W Y S.   Ghelijck AD tot AO, also het viercant van DB tottet viercant van OI {20. v. I. B. Appol.}; Maer DQ is euen an OI, ende DQ is den helft van DB (want F is t'middel van AB, ende FQ is euewydich van AD) daerom het viercant van DB, is viervoudich an t'viercant van DQ, ofte van OI, ende veruolghens AD is viervoudich tot AO, daerom AO is 1/4 van AD, ende OH oock 1/4 (want AH is den helft van AD, ouermits FG ghetrocken is uyt de middelen van AB, AC) daerom doet NH 1/12 van AD, daer toe ghedaen HD 1/2, comt voor ND 7/12, daer af ghetrocken PD 1/3, rest voor PN 1/4: Maer NR is viervoudich tot RP, daerom RP doet 1/20, daer toe PD 1/3, doet voor RD 23/60, daerom RA de reste der lini, doet 37/60, Ghelijck dan 37 tot 23, also AR tot RD, ende met de selue reden is bethoont dat ar  tot rd , oock is als 37 tot 23.
Dese twee rechtsideghe formen dan ghelijckelick beschreuen in verscheyden brandtsneen, hebben het swaerheyts middelpunt in haer middellinien, also dat de deelen onder malcanderen euerednich {Proportionales.} sijn. Ende so wy inde brandtsnekens BI, IA, AK, KC, driehoucken beschreuen, soo ghedaen is inde brantsneen ABI, ACK, vindende daer naer t'swaerheyts middelpunt des heels binnescreuen rechtlinich plats, t'welck ick neem dat hier S soude wesen, ende daer , wy souden inder seluer voughen als vooren bethoonen, dat ghelijck AS tot SR, also as  tot sr .
Maer wy connen duer sulck oneindelick inschriuen der rechtlinighe formen oneindelick naerderen nae E, ende , ende ghelijcksideghe platten sullen altijt der middelliniens AD twee sticken euerednich ghedeelt hebben duer haer swaerheyts middelpunt, ende veruolghens de heele brantsneen ABC, abc , sullen die deelen euerednich hebben.
Want laet (soot mueghelick waer) T t'swaerheyts middelpunt sijn des brantsnees ABC, ende van abc , ende laet ons teeckenen , dat ghelijck ET tot TS, alsoo et  tot ts . Nu alsmen duer t'inschrijuen veelsidegher formen in abc , sal ghecommen sijn tot , men sal met ghelijcke veelsideghe formen in ABC, ghecomen sijn tot T, daerom T sal t'swaerheyts middelpunt sijn der binneschreuen form, ende oock des heelen brantsneens ABC, t'welck ongheschickt is.
    T' B E S L V Y T.   Aller brantsneens middellinien dan, worden van het swaerheyts middelpunt eueredelick ghedeelt, t'welck wy bewysen moesten.
[ 81 ]

I I I I.   E Y S C H.                     X I I.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen een brantsne {Parabola.} : Huer swaerheyts middelpunt te vinden


    T' G H E G H E V E N.   Laet ABC een brantsne sijn, diens middellini AD.
    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden.
    T' W E R C K.   Men sal de middellini AD, deelen in E, alsoo dat AE tot ED de reden hebbe van 3 tot 2: Ick seg dat E t'begheerde swaerheyts middelpunt is.
    T' B E R E Y T S E L.   Laet ghetrocken worden de rechte linien AB, ende AC, ende de selue ghedeelt in haer middelen, F, G, ende ghetrocken worden FG sniende AD in H, daer naer FI ende GK euewydighe van AD, ende laet ghestelt worden t'punt L in IF, inder voughen dat IL sy tot LF, als AE tot ED: Laet oock ghestelt worden t'punt M in KG, alsoo dat MG euen sy an LF, ende laet ghetrocken worden LM sniende AD in N, ende IK sniende AD in O, ende laet IF voortghetrocken worden tot Q, inden grondt BC, ende laet ghestelt worden t'punt P, alsoo dat AP dobbel sy an PD, ende P sal swaerheyts middelpunt sijn des driehoucx ABC, ende want L, M, als swaerheyts middelpunten ghestelt sijn der brantsnekens ABI, ende ACK, soo sal N swaerheyts middelpunt sijn dier twee brandtsnekens,
scheve parabool, lijnen daerom ghedeelt den balck PN, also dat d'een erm sulcken reden hebbe tot d'ander, als den driehouck ABC tot die twee brantsnekens, wy sullen t'begheerde hebben; maar de heel brantsne heeft sulcken reden tot den driehouck ABC als 4 tot 3 (duer het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimed.) daerom den driehouck ABC heeft sulcken reden tot de twee brantsnekens, als 3 tot 1; Ghedeelt dan PN alsoo dat het opperste stick, drievoudich sy tot het onderste, wy sullen t'swaerheyts middelpunt des heels hebben. Ist dan dat wy bethoonen t'selue, te vallen in E (welcke E duer t'werck soo staet dat AE is tot ED inde reden van 3 tot 2) so is E het ware swaerheyts middelpunt.
    T' B E W Y S.   AO ende OH soo wy verclaert hebben int IIe voorstel, sijn elck 1/4 van AD, Maer ghelijck 3 tot 2, alsoo AE tot ED, ende IL tot LF, ende ON tot NH, daerom ghedeelt OH 1/4, in sulcken reden als 3 tot 2, so sal t'stick NH doen 1/10 van AD,

[ 82 ]
daer toeghedaen 1/2 voor HD, doet voor ND 3/5, daer af ghetrocken PD 1/3 rest voor NP 4/15, de selue is duer t'bereytsel ghedeelt in E, alsoo dat NE is tot EP, als 3 tot 1, daerom EP doet 1/15, daer toe ghedaen PD 1/3, comt voor ED 2/5 van AD: Maer wesende ED 2/5, so sal EA doen 3/5, daerom AE heeft sulcken reden tot ED, als 3 tot 2, ende veruolghens E is t'swaerheyts middelpunt des brantsnees ABC, t'welck wy bewysen moesten.
    T' B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen een brantsne: Wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.


M E R C K T.

    H E T  schijnt dat Archimedes ter kennis deses voorstels ghecommen is, duer een deser twee manieren: D'eerste dat hy lichamelicke brantsneen makende, tot het formen siinder brandtspieghels, ofte om andersins hem daer in te oefnen, beuandt duer de daet, dit deel tot dat te wesen, als 3 tot 2, souckende daer naer de sekerheyt van dien in deser voughen: Anghesien BAI ende BAC beyde brandtsneen siin, soo worden haer middellinien IF ende AD eueredelick  {Proportionaliter.} ghedeelt van haer swaerheyts middelpunten (soo int IIe voorstel bewesen is) daerom moet IL tot LF siin, als AE tot ED, maer ON is euen an IL, ende NH an LF, daerom moet ON sulcken reden hebben tot NH, als AE tot ED. Maer als N swaerheyts middelpunt waer der twee brantsnekens, ende P des driehoucx ABC, so moet (ouermits desen driehouck drievoudich is tot die twee brantsnekens) den erm NE drievoudich siin anden erm EP, waer uyt sulcken voorstel rijst: 
Te vinden twee punten als N, E, alsoo dat de lini ON sulcken reden hebbe tot NH, als AE tot ED.
Stellende daer naer AE te doen 3/5 van AD, ende ED de 2/5 ende versouckende alsoo watter uyt volghen soude, heeft beuonden naer de maniere als bouen, sulcx waerachtelick te ouercommen mettet begheerde.
Ofte soo hy dit aldus niet ghesocht en heeft al tastende, duer de voornoemde reden van 3 tot 2, maer duer lauter cracht der const, soo schijnet dat hy hem t'voornoemde in ghetalen voorghestelt heeft in deser voughen:

Het sijn twee ghetalen OH 1/4 ende HP 1/6; deelt elck alsoo, dat het minste van OH, met het meeste van HP, drievoudich sy an t'minste van HP, ende dat t'meeste van OH sulcken reden hebbe tot sijn minste, als t'meeste van HP + 1/2 tot t'minste van HP + 1/3.



V.   E Y S C H.                     X I I I.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  ghegheuen een ghecorte brantsne: Huer swaerheyts middelpunt te vinden


    T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een ghecorte brantsne sijn (welverstaende dat AB euewydighe sy met DC) wiens middellini EF.
    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden.

[ 83 ]
scheve parabool     T' W E R C K.   Men sal de ghecorte brantsne volmaken, daer an stellende t'ghebrekende ABG, daer naer salmen teekenen H, alsoo dat GH sy tot HE, als 3 tot 2: Insghelijcx I, alsoo dat GI sy tot IF, als 3 tot 2, daer naer K, alsoo dat IH sulcken reden hebbe tot IK, ghelijck de ghecorte brandtsne ABCD, tot de brantsne ABG; Ick seg dat K t'begheerde swaerheyts middelpunt is.
    T' B E W Y S.   I is swaerheyts middelpunt des heels, ende H des deels, ende ghelijck t'ander deel tot dit, alsoo HI tot IK, daerom K, duer het 9e voorstel, is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten.
    T' B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen een ghecorte brantsne, wy hebben huer swaerheyts middelpunt gheuonden naer den eysch.



Simon Stevin | Weeghconst | II: Voorstel 7 - 13 (top) | 14 - 24