Stevin | < Weeghconst >

19: Hellend vlak , Vervolg 1, 2: twee ongelijke bollen , 3: katrol ,
4: Pilaer , 5: hefwicht , 6: elke hoek , elk voorwerp , 7-12: elk punt



S . S T E V I N S       I.   B O V C K       V A N D E   B E G H I N S E L E N   D E R   W E E G H C O N S T.

[ 40 ]
...
T O T   H I E R   T O E   S I I N

D E   G H E D A E N T E N   D E R   R E C H T-

W I C H T E N   V E R C L A E R T:   I N T

volghende sullen de eyghenschappen der scheefwichten
bescreuen worden, wiens ghemeene grondt dit
volghende vertooch begrijpt.


X I.   V E R T O O C H.                     X I X.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  een driehouc wiens plat {Planum.} rechthouckich op den sichteinder {Horizontem.} is, met sijn grondt daer af euewidich, ende op elck der ander sijden een rollende cloot met malcanderen euewichtich:


[Figuur
ingevoegd]

[ 41 ]

Ghelijck des driehoucx rechter sijde tot de slincker, also t'staltwicht des cloots op de slincker sijde, tottet staltwicht des cloots op de rechter sijde.


    T G H E G H E V E N.   Laet ABC een driehouck wesen diens plat sy rechthouckich op den sichteinder, ende den grondt AC euewydich vanden sichteinder, ende op de sijde AB, die dobbel sy an BC, ligghe een cloot D, ende op de sijde BC een cloot E, euewichtich ende euegroot met den cloot D.

    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat ghelijck de sijde AB 2, tot BC I, alsoo t'staltwicht des cloots E, tottet staltwicht des cloots D.

    T' B E R E Y T S E L.   Laet ons maecken rondtom den driehouck ABC eenen crans van veerthien clooten, euegroot, euewichtich, ende euewijt van malcanderen, als E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, D, al ghesnoert an een lini, streckende door haer middelpunten {Centra.}, also dat sy op die middelpunten drayen mueghen;
Datter oock twee clooten passen op de sijde BC, ende vier op BA, dat is ghelijck lini tot lini, also clooten tot clooten; laet oock an S, T, V, drie vastpunten staen, ouer welcke de lini ofte t'snoer der clooten slieren mach, also dat de twee deelen des snoers die bouen den driehouck staen, euewydich {Parallela.} sijn vande sijden AB, BC; Inder voughen dat alsmen den crans an d'een ofte d'ander sijde neertrect, soo rollen de clooten op de linien AB, BC.

    T' B E W Y S.   Soo t'staltwicht der vier clooten D, R, Q, P, niet euen en waer met het staltwicht der twee clooten E, F, t'een of t'ander sal swaerder sijn, latet wesen (soot mueghelick waer) der vier D, R, Q. P; Maer de vier clooten O, N, M, L, sijn euewichtich met de vier clooten G, H, I, K, de sijde dan der acht clooten D, R, Q, P, O, N, M, L, is swaerder na de ghestalt dan de sijde der ses clooten E, F, G, H, I, K: maer want het swaerste altijdt het lichtste ouerweeght, de acht clooten sullen neerwaert rollen, ende d'ander ses rijsen:

[ 42 ]
Latet soo wesen, ende D sy gheuallen daer nu O is, ende E, F, G, H, sullen sijn daer nu P, Q, R, D, ende I, K, daer nu E, F, sijn. Maer dit soo wesende, den crans der clooten sal alsulcken ghestalt hebben als sy te vooren dede, ende sullen om de selue redenen de acht clooten ter slincker sijde wederom staltwichtigher sijn dan de ses clooten ter rechter, waer duer de acht clooten wederom neer sullen rollen, ende d'ander ses rijsen, welcke valling ter eender, ende rijsing ter ander, om dat de reden altijdt de selue is, altijdt ghedueren sal, ende de clooten sullen uyt haer seluen een eeuwich roersel maken, t'welck valsch is.

Het deel dan des crans D, R, Q, P, O, N, M, L, is euestaltwichtich met het deel E, F, G, H, I, K: Maer van sulke euewichtighe ghetrocken euewichtighe, de resten sijn euewichtich, laet ons dan van dat deel trecken de vier clooten O, N, M, L, ende van dit de vier clooten G, H, I, K, (welcke euen sijn ande voornoemde O, N, M, L,) de resten D, R, Q, P, ende E, F, sullen euestaltwichtich sijn, Maer wesende dese twee euestaltwichtich met die vier, E sal tweemael staltswaerder sijn als D.
Ghelijck dan de lini BA 2, tot de lini BC I, also t'staltwicht des cloots E, tottet staltwicht des cloots D.

    T' B E S L V Y T.   Wesende dan een driehouck wiens plat, &c.


I.   V E R V O L G H.
L A E T  ABC een driehouck sijn als vooren, wiens sijde AB dobbel sy an BC, ende laet op AB ligghen een cloot D, ende op de sijde BC een cloot E euewichtich anden helft van D, ende an F sy een vastpunt daer ouer de lini DFE. (te weten uyt het middelpunt {Centro.} des cloots D
ouer F tot int middelpunt des cloots E) slieren mach, alsoo dat DF euewydich blijue van AB, ende FE van BC. Dit also sijnde, anghesien de vier clooten P, Q, R, D, hier vooren, euestaltwichtich waren met de twee clooten E, F, so sal desen cloot D, euestaltwichtich sijn teghen de cloot E: want ghelijck die P, Q, R, D, tot E, F, also dese D tot E:
Daerom ghelijck de lini AB, tot BC, alsoo den cloot D tot den cloot E.


I I   V E R V O L G H.
L A E T  ons nu d'een sijde des driehouckx als BC (ande welcke AB dobbel is) rechthouckich stellen op AC als hier neuen;
Ende den cloot D die dobbel is an E, sal noch met E euestaltwichtich sijn, want ghelijck AB tot BC, also den cloot D tot den cloot E.
[ 43 ]
I I I.   V E R V O L G H.
L A E T  ons nu inde plaets van t'punt F, stellen een caterol als hier neuen, also dat de scheefheflini van D naer F euewydich blijue van AB, ende inde plaets vanden cloot E sy eenich wicht van form soot valt, maer euewichtich anden cloot E: t'selue is noch euestaltwichtich met D,
Daerom ghelijck AB tot BC, alsoo noch den cloot D tottet ghewicht E.


I I I I   V E R V O L G H.
A N G H E S I E N  den cloot des 3en veruolgs naect de lini AB, in t'punt G, als vastpunt, soo sal den as GH rechthouckich sijn op AB {18.v.3.B E.};
Daerom laet ons weren den cloot, ende stellen in die plaets den pilaer D euewichtich met den cloot, alsoo dat den as GH (diens vastpunt G) rechthouckich sy op AB, ende de scheefheflini tusschen DF noch euewydich van AB, ende sniende de sijde des pilaers in I, Als hier neuens.
Ende is openbaer dat ghelijck AB tot BC, (dat is dobbel als vooren) also den pilaer D tottet t'ghewicht E.


V.   V E R V O L G H.

L A E T  ons trecken de hanghende lini uyt het middelpunt {Centro.} des pilaers D als DK, sniende de sijde des pilaers in L,
t'welck soo sijnde, den driehouck LDI is ghelijck an den driehouck ABC, want de houcken ACB ende LID sijn recht, ende LD is euewydich van BC ende DI van AB:
Daerom ghelijck AB tot BC, alsoo LD tot DI;

[ 44 ]
Maer ghelijck AB tot BC, alsoo den Pilaer tot t'ghewicht E door het 4e veruolg,
daerom ghelijck LD tot DI, also den pilaer tot E.
Laet ons nu ande lini KD voughen t rechthefwicht M met den pilaer euestaltwichtig, t'selue ghewicht M sal met den pilaer euewichtich sijn door het 14e voorstel:
Daerom ghelijck LD tot DI, also M tot E.


V I.   V E R V O L G H.

L A E T  ons trecken BN, sniende de voortghetrocken AC in N: Insghelijcx DO, sniende de voortghetrocken LI dat is de sijde des pilaers in O, ende also dat den houck IDO, euen sy anden houck CBN. Laet ons oock voughen an DO t'scheefhefwicht P, dat den pilaer (de ghewichten M, E gheweert sijnde) in die standthaude.
Nu anghesien DL, des driehouckx DLI, lijckstandighe {Homologa.} is met BA des driehouckx BAC, ende DI met BC, men besluyt daer uyt aldus: Ghelijck BA tot BC, also t'staltwicht van BA tottet staltwicht van BC (door het 2e vervolg) Ende oock ghelijck DL tot DI also t'staltwicht van DL tot t'staltwicht van DI, dat is alsoo M tot E.
Maer de lijckstandighe linien van dese ghelijcke driehoucken ABN, LDO, sijn BA met DL, ende BN met DO, Daerom segghen wy als vooren, Ghelijck BA tot BN, alsoo het staltwicht van BA tot het staltwicht van BN (door het Ie vervolgh) Ende oock ghelijck DL tot DO, also het staltwicht van DL tot het staltwicht van DO, dat is also M tot P.
Maer by aldien de lini BN, ghetrocken waer van B af ouer d'ander sijde van BC, so soude de lini DO, dan oock vallen van D ouer d'ander sijde van DI, dat is, daer DO nu valt onder DI, sy souder dan bouen vallen, ende t'voorgaende bewys soude oock dienen tot sulcke ghestalt, te weten, dat wy noch segghen souden, ghelijck BA tot BN, alsoo t'staltwicht van BA, tottet staltwicht van BN; Ende ghelijck DL tot DO, alsoo t'staltwicht van DL, tottet staltwicht van DO, dat is, also M tot P. Inder voughen dat dese eueredenheydt {Proportio.} niet alleen en bestaet inde voorbeelden, alwaer de heflini als DI rechthouckich is op den as, maer op allen houcken.

T' V O O R G A E N D E  mach oock verstaen worden van een cloot ligghende op een lini AB als hier neuens, alwaer wy segghen als vooren, gelijck LD tot DO, alsoo M tot P (welverstaende

[ 45 ]
dat CL rechthouckich ghetrocken is op AB, dat is euewydich met den as GH des cloots D) maer t'ghewicht M is euen an den cloot D, daerom segghen wy ghelijck LD tot DO, also t'ghewicht des cloots, tot P.
Maer want LD ende DO binnen t'lichaem des cloots niet bequamelick en connen beschreuen worden, so laet ons trecken de hangende CE, ende sullen dan hebben buyten t'lichaem een driehouck CEO, ghelijck anden driehouck LDO, welcker lijckstandighe {Homologa.} sijden sijn LD met CE, ende DO met EO, daerom ghelijck LD tot DO, alsoo CE tot EO, ende veruolghens ghelijck CE tot EO, alsoo t'ghewicht des cloots, tot P.


L A E T  ons nu tot meerder claerheydt dit alleen stellen sonder d'ander linien als hier neuen, alwaer wy segghen ghelijck CE tot EO, also t'ghewicht des cloots D, tot P.



E N D E  dit niet alleen van clooten maer van ander lichamen slierende, ofte rollende, op punten ofte linien als hier onder


(daerwy eyghentlicker af handelen sullen inde Weegdaet) alwaer wy noch segghen ghelijck CE tot EO, also t'ghewicht des lichaems D tottet ghewicht P.

[ 46 ]
W A E R  uyt oock blijckt, dat wesende de lini AB euewydich vanden sichteinder {Horizonte.} als hier neuens, dat CE ende CO dan in een selfde lini sullen vallen, waer duer tusschen E en O gheen langde en sal sijn, ende veruolghens CE en sal tot EO gheen reden hebben, daermen by verstaen sal dat een swaerheydt inde plaets van P hoe cleen sy mocht wesen, en sal niet euestaltwichtich connen sijn teghen t'lichaem D, maer salt (wisconstelick {Mathematicè.} verstaende) voorttrecken hoe swaer het sy:
Waer uyt volght, dat alle swaerheden voortghetrocken langs den sichteinder, als schepen int water, waghens langs t'platte landt, &c. en behouuen gheen vlieghesterctens macht tot haer verroersel, meer dan de omstaende verhindernissen en veroirsaecken, als Water, Locht, Naecsel der assen, teghen de bussen, naecsel der rayers teghen de straet, ende dierghelijcke.


M A E R  anghesien den driehouck ABN int 6e veruolg, tot dese eueredenheyt {Proportionem} niet en gheeft noch en neemt, laet ons hem weeren, ansiende G voor vastpunt des pilaers rustende op een pin als hier neuen, ende sullen noch segghen ghelijck LD tot DO, also M tot P.


V I I.   V E R V O L G H.

M A E R  op dat nu blijcke dese eueredenheydt {Proportionem.} niet alleen also te bestaen inde pilaren alwaer de rechtheflini als DL, comt uyt t'middelpunt des pilaers, ende diens vastpunt is des assens uyterste, als hier vooren G int 6e vervolg; Soo laet ABC een driehouck sijn, wiens sijde AB dobbel is an BC, ende BC sy hanghende {Perpendicularis.} op AC: Ende laet DE een pilaer sijn diens as FG rechthouckich op AB, ende sniende AB in t'punt H, ende I sy eenich ander punt inden seluen as;

[ 47 ]
Laet oock KL een ander pilaer sijn, euen ende ghelijck anden pilaer DE, wiens as MN, ende O een punt des as naeckende BC, ende van ghelijcke ghestalt in sijn pilaer, als H inden pilaer DE; Laet oock P een ander punt sijn van sulcker ghestalt inden pilaer KL, als I inden pilaer DE; Ende laet Q een vastpunt sijn daer ouer de lini IQP slieren mach, alsoo dat de lini IQ euewydich {Parallela.} sy van AB, ende QP euewydich van BC.
Ende om de redenen die int 19e voorstel vande 14 clooten verclaert sijn (t'welck wy hier duer soodanighe veel slierende pilaren oock souden connen bewysen, maer want sulcx uyt t'voorgaende kennelick is, wy slaent ouer) het staltwicht des pilaers KL, sal dobbel sijn an t'staltwicht des pilaers DE.


V I I I.   V E R V O L G H.

L  A E T ons nu an I des 7e veruolgs voughen trechthefwicht R euestaltwichtich met den pilaer, diens rechtheflini sy IS, sniende de sijde des pilaers in T, ende IQ snie de sijde des pilaers in V, ende laet an de lini PQ hanghen een ghewicht X, inde plaets vanden pilaer KL, t'welck euen sy anden helft van t'staltwicht des selfden pilaers KL, Laet ons oock weeren den driehouck ABC, ende den pilaer DE doen rusten op t'punt H als hier neuen.
Ende om de redenen als vooren, ghelijck TI tot IV, alsoo R tot X. Ende dit niet alleen als IV rechthouckich is op den as FG, maer cromhouckich soot valt, waeraf men besondet bethooch soude mueghen doen, maer tis openbaer ghenouch door het 6e veruolgh.


I X.   V E R V O L G H.

W Y  hebben int 8e vervolgh dese eueredenheut {Proportionem.} verclaert, alwaer t'roerende punt I, hoogher was dan t'vastpunt H, ende alwaer de scheefheflini IV helde naer de sijde des vastpunts H; Wy moeten nu betooghen de selue eueredenheyt oock te bestaen in d'ander ghestalten, ende eerst alwaer troerende punt leegher sy dan t'vastpunt, ende alwaer de scheefheflini afwyct vande sijde des vastpunts in deser voughen:

[ 48 ]
    Laet AB een pilaer sijn, diens as CD, ende vastpunt E, ende t'verroerlick punt F, ende t'scheefhefwicht dat hem in die ghestalt houdt sy G, diens scheefheflini FH, ende FI sy rechtheflini, diens rechthefwicht K. Laet LM oock een pilaer sijn, euen ende ghelijck an den pilaer AB, wiens as sy NO, ende vastpunt E, ende verroerlick punt P, also dat EN euen sy an ED, ende EF an EP, ende t'scheefhefwicht Q sy euen an G, ende sijn scheefheflini sy PR, euewydich {Parallela.} van FH, ende trechthefwicht S sy euen an K, ende sijn rechtheflini sy PT.
Dit soo sijnde laet ons vergaren de twee pilaren AB ende LM, ansiende AM voor een heel pilaer, wiens swaerheyts middelpunt {Centrum grauitatis.} ende vastpunt sal E sijn door t'ghestelde. Laet ons nu weeren de ghewichten K, G, S, Q, ende den pilaer AM sal op E alle ghestalt houden diemen hem gheeft door het 7e voorstel, hy sal dan soo blijuen, ende den pilaer AB sal alsoo euewichtich blijuen teghen den pilaer LM. Laet ons nu de ghewichten Q G weder andoen, hanghende euewichtighe van ghelijcke ghestalt, an euewichtighe, ende door het 13e voorstel, Q sal anden pilaer AM euen sulcken macht doen als G: Ende veruolghens Q doet sulcken macht an huer pilaer LM, als G an huer pilaer AB; maer de macht van G is AB in die ghestalt te houden door het 6 vervolg, de macht dan van Q is oock LM in die ghestalt te houden. Insghelijcx soo is oock de macht van K, den pilaer AB in die ghestalt te houden, daerom oock is de macht van S den pilaer LM in die ghestalt te houden; Nu ghelijck IF tot FH, also K tot G door het 8e veruolg, Maer TP. is euen an IF, ende PR an FH, ende S an K, ende Q an G, ghelijck dan TP tot PR, alsoo S tot Q.
Dese eueredenheydt dan, als wy gheseyt hebben, is so wel inde voorbeelden alwaer t'roerende punt P leegher is dan t'vastpunt E, ende alwaer de scheefheflini PR afwyct vande sijde des vastpunts E, als daert hoogher is, ende daer de scheefheflini helde naer t'vastpunt.
[ 49 ]
X.   V E R V O L G H.

L A E T  ons stellen een form ghelijck an die des 9 veruolghs, alleen daer in verschillende dat dese FH wyct ouer d'ander sijde van FI, ende dat den houck HFC, euen sy anden houck RPO, waer duer G anden pilaer AM euen soo grooten ghewelt doet als Q, ende om de redenen des 9e veruolgs (die wy om cortheyt ouerslaen) G doet euen sulcken ghewelt anden pilaer AB, als Q anden pilaer LM;
Nu ghelijck TP tot PR, alsoo S tot Q door het 9e vervolgh, maer IF is euen an TP, ende FH an PR, ende K an S, ende G an Q, daerom ghelijck IF tot FH, also K tot G.


X I.   V E R V O L G H.

L A E T  ons stellen een form ghelijck an die des I0 veruolgs, alleen daer in verschillende dat dese PR wyckt ouer d'ander sijde van PT, ende dat PR euewydich sy met FH, waer duer Q anden pilaer AM, euen soo grooten ghewelt doet als G, ende om de redenen des 9e veruolghs, Q doet euen sulcken gheweldt anden pilaer LM, als G anden pilaer AB;
Nu ghelijck IF tot FH, also K tot G door het 6 veruolgh: Maer TP is euen an IF, ende PR an FH, ende S an K, ende Q an G, daerom ghelijck TP tot PR, also S tot Q.
Ende inder seluer voughen salmen vanden anderen ghestalten door haer contrarien altijt dese eueredenheyt bewysen.

[ 50 ]
X I I.   V E R V O L G H.

M A E R  dat dese eueredenheydt {Proportio.} oock bestaet inde ghestalt daer den as euewydich is vanden sichteinder {Horizonte.}, wort aldus bethoont: Laet AB een pilaer sijn, diens as CD euewydich {Parallela.} sy vande sichteinder, ende t'vastpunt daer in E, ende t'roerlick punt F, ende G t'scheefhefwicht dat den pilaer in die ghestalt houdt, wiens scheefheflini FH, ende I trechthefwicht dat den pilaer oock in die ghestalt houdt, wiens rechtheflini FK; T'welck soo sijnde, Laet KF tot FH een ander reden hebben (soot mueghelick waer) dan I tot G, By voorbeelt KF sy tot FH, als 1 tot 2, maer I tot G, als 3 tot 7.

Dit so ghenomen, laet ons den pilaer der eerste form neerduwen, ofte der tweeder form oplichten, tot dat KF sulcken reden hebbe tot FH, als 3 tot 7, ende alsdan sal G oock euestaltwichtich sijn teghen den pilaer door de voorgaende vervolghen; Inder voughen dat den pilaer hoogher ende leegher verheuen, sal teghen G euestaltwichtich blijuen, t'welck openbaer onmueghelick is, als oock wisconstlick {Mathematicè.} sal blijcken door t'volghende 22 voorstel. KF dan en heeft tot FH gheen ander reden dan I tot G.

    U Y T  dese voorgaende bescrijuen wy een vertooch soodanich.



X I I.   V E R T O O C H.             X X.   V O O R S T E L.

    W E S E N D E  inden as des pilaers een vastpunt, ende een roerlick, daer an hy door een rechthefwicht ende scheefhefwicht in seker standt ghehouden wort: Ghelijck rechtheflini tot scheefheflini, also rechthefwicht tot scheefhefwicht.



Simon Stevin | Weeghconst | Voorstel 19 (top) | 20 - 28