Stevin | < Zeylstreken >

Cortbegryp , Bepalingen , Voorstellen , rechte streken , cromstreken , tabel


[   ]

V I E R D E

B O V C K   D E S

E E R T C L O O T S C H R I F T S,


V A N D E

Z E Y L S T R E K E N.



[   ]

C O R T B E G R Y P

{Argumentum.}

D E R   Z E Y L S T R E K E N.


WAnt de menichvuldighe wyde zeylagen deser landen verscheyden souckers veroirsaeckt hebben, van vonden streckende tot voordering der groote zeevaerden, die elck verthoonde an sijn  V O R S T E L I C K E   G H E N A D E  als Admiral, om daer me tot hun voordeel te gheraken: Soo is de stof des Zeeschrifts {Hydrographiæ.} een der besonder oirsaken gheweest, die hem track totte begheerte en oeffening der Wisconsten {Mathematicarum artium.}: Sulcx dat hy deursien heeft al het oirboirste en diepsinnichste dat van die stof mijns wetens ghehandelt wort.
Van t'selve Zeeschrift nemen wy voor ons hier te beschrijven dit vierde bouck vande Zeylstreken, waer achter noch volghen sal den handel vande Havenvinding, en oock van Ebbenvloet, overmits wy daer in wat besonders hebben, dat in dese wisconstighe ghedachtnissen sijn plaets vereyscht. Angaende de rest des Zeeschrifts, daer toe verstrecken hem tot ghedachtnis verscheyden boucken van die stof handelende, en door hem oversien.

    Dese beschrijving der Zeylstreken, sal na vier noodighe bepalinghen {Definitiones.} der eyghen woorden, begrijpen 11 voorstellen, welcker twee eerste sijn van rechte Zeylstreken, d'ander van cromme. Waer achter noch volgen sal een Anhang der Cromstreken.


[ 87 ]

B E P A L I N G H E N.


I   B E P A L I N G.

    Zeylstreken sijn de linien die seylende schepen beschrijven.

    Als een schip seylende van oost na west, de verdochte lini of streeck diet int varen beschreven heeft, heet int ghemeen zeylstreeck: Int besonder oostenwest streeck, en van ander winden of oirten crijchtse ander namen.


2   B E P A L I N G.

    Rechte streec noemen wy des Eertcloots cortste booch tusschen twee punten.

    Laet op den Eertcloot ABC, tusschen de twee punten A en B, ghetrocken sijn de booch AB, wesende de cortste neem ick die daer tusschen ghetrocken can worden, t'welck sijn moet de booch eens grootste rondts:

globe met schip
[ 88 ]
Soodanighe streken worden nu ter tijt beteyckent inde zeecompassen mette 32 linien daer in beschreven, welcke deur t'ghedacht vanden doender {Efficiente.} af langs t'vlack des eertcloots voortghetrocken tot inden sichteinder, of anders opde ghebootste eertclooten alsoo gheteyckent, bedien de 32 ghemeene streken, of winden.

    Angaende ymant dencken mocht hoe dat cromme boghen eyghentlick ghenouch rechte streken ghenoemt worden, die sal weten dat dese rechtheyt geseyt wort int ansien datse noch ter rechter noch ter slincker sijde en wijcken, gelijck wel doen de cromme streken, diens bepaling volght.


3   B E P A L I N G.

    Een schip buyten t'middelront en middachront so seylende, dat de booch ghetrocken vande kiellini totten aspunt, altijt op de kiellini een selven houck maeckt: De lini die t'schip dan gheseylt heeft noemen wy Cromstreeck. [<]

    Laet inde form der 2 bepaling D des eertcloots aspunt sijn, E een schip, t'welck gheseylt hebbe van A tot E, soo dat de booch ED, getrocken vande kiellini FG als van E totten aspunt D, altijt op de kiellini FG maecke een selven houck als FED, t'welck soo ghebeuren soude als t'schip altijt op een selve streeck seylde die t'zeecompas anwijst, en dat de leli altijt recht noort wese. Dit soo sijnde, de lini of booch AFE die t'schip gheseylt heeft heet cromstreeck. Nu ghenomen dat den houck FED recht sy, soo sal het schip altijt recht oost of recht west anghevaren hebben, en de booch AE sal deel eens kleenronts sijn: En dattet gheduerlick soo voortseylde, het soude weerom commen ter plaets van A daert begost, volschrijvende het rondt. Hier uyt canmen verstaen dat de rechte oost streeck AB, en de cromme AE, veel verschillen:
Om van t'welck breeder verclaring te doen, soo laet C beteyckenen het recht oostpunt, wesende de gemeene sne des sichteinders en middelronts, en t'punt A sy onder het sop, en t'punt B inde booch AC, en de booch AFE sy even met AB. Dit soo sijnde, ghenomen dat een schip seylde van A na C altijt op de booch AC, het sal int ansien des gheens die an A is, altijt recht oostwaert anseylen, maer niet int ansien des gheens die int schip is, welcke geduerlick grooter en grooter verschil sal vinden, ja ten eynde soo groot, dat genomen t'punt A te liggen op de breede van 50 tr. soo sal den seylder ontrent C commende, hem bevinden te seylen oock ontrent de 50 tr. van oosten na zuyden. Wederom, hoe wel B recht oogst light van A, nochtans een schip seylende van A af altijt recht oost an int ansien des seylders, en sal niet geraken tot B, maer verre van daer tot E, welverstaende dat de booch AE even ghenomen wort met AB alsvooren.

    Merckt noch dat hoe wel B recht oost light van A, nochtans so en ligt A niet recht west van B, t'welck op groote boghen veel verschillen can. Laet by voorbeelt van een plaets diens breede 45 tr. ghenomen worden een booch van 90 tr. recht oostwaert: De rechte streeck van die oostersche plaets na d'ander, en sal niet sijn recht west, maer so veel noorderlicker als de breede bedraecht, te weten 45 tr. dats recht noortwest. Sulcx datmen om vande westlicker plaets te seylen na de oostelicke, beginnen moet recht oost an, maer vande oostelicke na d'ander (om op een rechte streeck te seylen, want op cromstreken heeft het weerkeeren altijt de naem des teghenoverwint vant wechvaren) noortwest an: En waer de plaetsens breede van 57 tr. sulck verschil sou dan oock van 57 tr. sijn, dats over de vijf ghemeene streken.

[ 89 ]
    En hoemen naerder den aspunt seylt, hoemen sulck verschil op groote seylagen merckelicker bevint, en dat om bekende redenen, die op een Eertcloot met haer behoirlicke reetschappen openbaer sijn. Inder voughen dat Stierluyden die daer ontrent varen en landen soucken, noodich is van dese saeck goe kennis te hebben, want t'ghebeurt den onverdochten wel, datse haer schip op een ander plaets vindende dan hun gissing me brengt, sulcx ten eersten wijten onbemerckelicke afleydende stroomen, daer af nochtans d'oirsaeck mach sijn het boveschreven niet gagheslaghen te hebben na t'behooren.

    Tot hier toe is gheseyt vande cromstreeck recht oost en west angheseylt, die altijt een ront is, maer d'ander (uytghenomen inde middachronden en int middelront {Meridiano circulo & æquatore.}) sijn altemael slangtrecken {Spirales.}, wiens form en ghedaente deur de volghende voorstellen openbaer sal worden.


4   B E P A L I N G.

    Eerste cromstreeck noemtmen die in yder vierendeel des sichteinders naest het middachront is, d'ander volghende heet de tweede, en soo oirdentlick voort totte achtste, die altijt een evewijdich ront is. {Circulus parallelus.}

    Als by voorbeelt int vierendeel des sichteinders van noort tot oost, de cromstreeck naest het middachront, of anders geseyt naest het noorden, diemen oock heet noort ten oosten, wort d'eerste cromstreeck ghenoemt, noortnoortoost de tweede, noortoost ten noorden de derde, en so voort met d'ander totte achtste, dat is d'oostcromstreeck die altijt een ront is evewijdich mettet middelront: En soodanich is oock d'oirden in d'ander drie vierendeelen des sichteinders.

    De reden waerom de cromstreken benevens de naem die sy hebben na de winden, noch geseyt worden eerste, tweede, derde, &c. is dusdanich: Anghesien vier lijckstandige {Homologa.} streken, als by voorbeelt de streec van noort ten oosten, noort ten westen, zuyt ten oosten, en zuyt ten westen, in form malcander heel gelijck, en van grootheyt heel even sijn, sulcx dat deur de leering van een, de ghedaente over alle vier verstaen wort, soo vallet oirboir om oirdentlick van dese stof te handelen, datmen die als afcomst {Species.} een ghemeene naem gheeft, te weten eerste, als haer gheslacht {Genus.}, om niet elcke mael vier winden t'samen te moeten noemen, of maer een ghenoemt sijnde, dat d'ander niet vergheten en schijnen.



N V   D E

V O O R S T E L L E N.


ALsoo sijn V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  int lesen van Cosmographia Petri Appiani & Gemmæ Frisij, ghecommen was tot Cap. 13 primæ partis: Daer na tot 7 Cap. in libello de locorum scribendorum ratione, Alwaer stont de manier om deur ghetalen te vinden op wat streeck d'een plaets van d'ander light, heeft het selve alsdoen overgheslaghen, om twee redenen, d'eene dat den gront uyt welcke de wercking ghetrocken was daer niet by en stont,
[ 90 ]
ten anderen dat hy doen noch niet ervaren en was inden handel der platte en clootsche driehoucken: Maer hem daer na inde selve gheoeffent hebbende, en ghedachtich sijnde t'gene inde boveschreven hooftsticken overgheslaghen was, heeft in die plaets ten selven eynde ander manier van wercking ghedaen deur kennis der oirsaken, en dat niet alleen op de vinding der streeck van d'een plaets tot d'ander, maer oock op al d'onbekende palen dieder vallen in sulck voorstel, t'welck hier vervought is als volght.


I   V O O R S T E L.

    Wesende van twee plaetsen ghegheven drie palen deser ses: Rechte streeck van d'eerste plaets totte tweede: Rechte streeck vande tweede plaets tot d'eerste: langdeschil: Schilbooch der breede van d'eerste plaets: Schilbooch der breede vande tweede plaets: En verheyt der plaetsen: Te vinden d'ander drie onbekende palen.

    T G E G H E V E N.  Laet ABCD den eertcloot sijn diens middelront BD, des selfden begin D, aspunt A, eerste plaets t'punt E, tweede plaets t'punt F, tusschen welcke getrocken is een grootste ronts booch EF, als verheyt: Deur de selve twee plaetsen E, F, sijn getrocken de twee vierdeelenronts AEG, AFH, en des punts E breede EG sy van I0 tr. en sal sijn schilbooch AE doen 80 tr. Voort des punts F breede sy FH van 30 tr. en sal sijn schilbooch AF doen 60 tr. De langde van E sy DG 20 tr. en de langde van F sy DH 60 tr. sulcx dattet verschil der langde vande twee plaetsen E F is GH doende 40 tr. Inder voughen dat hier vande ses palen, ghegheven of bekent sijn de drie, te weten AE, en AF, schilboghen der breede, en GH langdeschil.
bol met bogen     T B E G H E E R D E.  Wy moeten de drie onbekende palen vinden, te weten de rechte streeck EF, dat is op wat rechte streeck datmen van E na F moet seylen, of anders de grootheyt des houcx AEF: Ten anderen de streeck FE, dat is de grootheyt des houcx AFE: Ten derden de verheydt, te weten de langde des boochs EF.

    Merckt noch tot breeder verclaring der saeck dat de ses palen int voorstel verhaelt, sijn de ses ghemeene palen eens clootschen driehoucx, te weten drie houcken en drie sijden, welcke in dese stof sulcke namen hebben.

T W E R C K.

    Anghesien de booch GH 40 tr. is, voor de grootheyt des houcx EAF, soo heeft de driehouck AEF drie bekende palen,

[ 91 ]
te weten den selven houck EAF 40 tr. Voort de sijde AE 80 tr. en AF 60 tr. deur t'ghegheven: Hier me ghesocht d'ander drie onbekende palen, worden bevonden deur het 40 voorstel der clootsche driehoeken voor t'begheerde, te weten den houck AEF voor de streeck EF 55 tr. 51 ( I ), wijckende so verre vant noorden na t'oosten: Ende den houck AFE voor de streeck FE 109 tr. 44 ( I ), wijckende soo verre vant noorden over t'westen na het zuyden: Of anders gheseyt van westen na zuyden 19 tr. 44 ( I ). Ende de verheyt EF 42 tr. 15 ( I ).

V E R V O L G H.

    Tis openbaer hoemen deur elcke drie ghegheven bekende palen, d'ander drie onbekende vinden sal, sulcx dattet niet noodich en is besonder voorbeelden te beschrijven van die verscheydenheden in menichte seer veel vallende, te weten se op elcke begheerde pael der ses palen.
    T B E S L V Y T.  Wesende dan van twee plaetsen ghegheven drie palen deser ses: Rechte streeck van d'eerste plaets totte tweede: Rechte streeck vande tweede plaets tot d'eerste: langdeschil: Schilbooch der breede van d'eerste plaets: Schilbooch der breede vande tweede plaets: verheyt der plaetsen: Wy hebben ghevonden d'ander drie onbekende palen, na den eysch.


2   V O O R S T E L.

    Op rechte streken te seylen.

    Nadien sijn V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  grondelick verstaen hadde den handel der seyling op cromstreken die hier na beschreven sal worden, en daer by verlijckende de rechte streken datse de cortste wech gheven, soo heeft hem behoirlick gedocht, en d'oirden te vereysschen, reghelen beschreven te worden hoemen die cortste streken soomen wilde seylen soude: T'welck oirsaeck was dat wy daer op letten, en t'gene ons van dies ontmoete by ghedachtenis stelden, daer af beschrijvende twee voorbeelden, t'eerste tuychwerckelick {Mechanicè.}, t'ander wisconstich.


I  Voorbeelt tuychwerckelick.

    T G E G H E V E N.  Laet inde form der I bepaling A en B twee plaetsen op den eertcloot beteyckenen, A daer t'schip af vaert, B daert sijn moet.
    T B E G H E E R D E.  Men wil een rechte streeck seylen vande plaets beteyckent met A, totte plaets beteyckent met B.

T W E R C K.

    Men sal van A tot B trecken een verborgen oft uytvaghelicke grootsteronts booch, beteyckenende de rechte streeck die t'schip seylen moet, daer na t'punt A ghestelt sijnde onder het soppunt {Puncto verticuli.}, en dan de sopbooch gheleyt over B, sy wijst inden sichteinder, neem ick, dat B recht west van A light. Dit soo sijnde, men sal van A na B seylen recht westwaert an, by gissing drie of vier trappen {Grados.} verre, die commen, neem ick, van A tot H: Alwaer t'punt H gheteyckent sijnde, men salt brenghen int middachront onder het toppunt, den aspunt soo veel verleeghende als de saeck vereyscht, daer na de sopbooch andermael geleyt over t'punt B

[ 92 ]
sy wijst inden sichteinder dat B van H light neem ick 3 tr. van westen nae zuyden, en daerom salmen op sulcken streec van H na B seylen weerom by gissing eenighe 4 of 5 tr. verre, t'welck sy neem ick tot I, alwaer t'schip ghecommen sijnde, men sal daer weerom doen sulcx alsmen an H dede, alwaermen oock bevinden sal datmen dan noch zuydelicker an nae B sal moeten seylen danmen van H dede: En s'ghelijcx doende soo dickwils tot datmen ter plaets B comt, men sal de begheerde rechte streeck AB gheseylt hebben: Mits welverstaende dat de stucken als AH, HI, en dierghelijcke cleen genouch genomen sijn, Want hoe wel in plaets van AH wesende een grootste ronts stuck, gheseylt wiert een cromme streec wesende cleenronts deel wat noordelicker uytcommende, voort dat in plaets van d'ander stucken des boochs AB, gheseylt wierden ander cromme streken wesende slangtrecxdeelen, doch met sulcke stucken cleen genouch te nemen, canmen maken dat soodanich verschil van gheender acht en is.

    Merckt noch datter vant werck dusdanighe proef can genomen worden: Het schip ghecommen wesende tot neem ick H, en datmen dan deur dadelicke ervaring mette Son of sterren d'eertcloots breede bevint t'overcommen mette breede die H op den ghebotsten eertcloot anwijst, dat geeft met reden vermoeden het schip de rechte streeck wel gheseylt te hebben, t'welck volghen moet alsmen wel ghegist heeft.

V E R V O L G H.

    Soo de vaert moest ghedaen sijn opt middelront, t'is kennelick datmen altijt soude moeten varen recht oost of west; Maer moetende op een middachront gheschien, datmen dan altijt recht zuyt of recht noort soude moeten varen.

2  Voorbeelt wisconstich.

boldriehoek
    T G E G H E V E N.  Laet A en B twee plaetsen op den eertcloot beteyckenen, A daer t'schip af vaert, B daert sijn moet, C den aspunt, DE het middelront, de breede van A is EA 50 tr. en van B is FB 5 tr. en t'verschil haerder langden is FE 83 tr.
    T B E G H E E R D E.  Men wil een rechte streeck seylen vande plaets beteyckent met A, totte plaets beteyckent met B, en dat wisconstelick vinden, te weten deur rekening der clootsche driehoucken.

Bereytsel van t'eerste deel des wercx.

    Ick treck van A tot B een grootste rondts booch beteyckenende de rechte streeck die t'schip seylen moet: Daer nae de selve AB voorwaert tot datse het middelront ontmoet, t'welck sy in D: Daer nae de booch EA voorwaert

[ 93 ]
tot datse den aspunt C ontmoet, en sal AC doen 40 tr. want van EC 90 tr. ghetrocken EA 50 tr. blijft voor AC 40 tr. S'ghelijcx treck ick FB voorwaert tot datse den aspunt C ontmoet, en sal BC doen 85 tr. want van FC 90 tr. ghetrocken FB 5 tr. blijft voor BC 85 tr. en den houck BCA, diens grootheyt megebrocht wort van FE 83 tr. doet als de selve oock 83 tr.

I  Deel des wercx.

    Om eerst te vinden op wat streeck men sal beginnen te seylen van A na B, so moet ick weten de grootheyt des houcx CAB, want soo veel salmen moeten seylen van noorden na westen. Om daer toe te commen, soo heeft den selven driehouck CAB drie bekende palen, deur t'bereytsel, te weten den houck BCA 83 tr. de sijde AC 40 tr. en BC 85 tr. Hier me ghesocht de drie onbekende palen, worden bevonden deur het 40 voorstel der clootsche driehoucken, te weten den houck CAB 92 tr. 8 ( I ), de langde AB van d'een plaets tot d'ander 81 tr. 41 ( I ), en den houck CBA 39 tr. 45 ( I ). Nu soo veel als doet den voorschreven houck CAB, te weten 92 tr. 8 ( I ), soo veel salmen van A af moeten beginnen te seylen van noorden over westen na zuyden, dat is 87 tr. 52 ( I ) van zuyden na westen, welcke seyling gheduert neem ick 4 tr. verre tot G toe, sulcx dat AG doet de selve 4 tr.

2  Bereytsel dienende tottet 2 deel des wercx.

    Anghesien dat de vinding der onbekende palen eens driehoucx sonder ghegheven rechthouck als de voorgaende, moeyelicker valt dan met een ghegeven rechthouck, so sullen wy een bereytsel stellen om int volgende te wercken deur driehoucken met een ghegheven rechthouck, aldus: De driehouck BFD heeft drie bekende palen, te weten den houck BFD recht, mette sijde FB 5 tr. deur t'ghegheven, en den houck DBF even sijnde metten houck CBA, doet deur t'eerste deel des wercx 39 tr. 45 ( I ): Hier me ghesocht den houck D, en de sijde DB, worden bevonden deur het 34 voorstel der clootsche driehoucken, te weten den houck D 50 tr. 26 ( I ), en de sijde BD 6 tr. 27 ( I ), die vergaert tot AB 81 tr. 41 ( I ), comt voor AD 88 tr. 8 ( I ).

2  Deel des wercx.

    Om te vinden op wat streeck men sal beginnen te seylen van G na B, ick treck van C deur G tot int middelront EF de booch CGH als middachront, waer me GHD een rechthouckich driehouck is, hebbende drie bekende palen, te weten den houck GHD recht, den houck D 50 tr. 26 ( I ) deur het 2 bereytsel, en de sijde GD 84 tr. 8 ( I ), want AD doet 88 tr. 8 ( I ) deur het 2 bereytsel, daer af ghetrocken AG doende 4 tr. deur t'eerste deel des wercx, blijft alsboven voor GD 84 tr. 4 ( I ): Hier me ghesocht den houck HGD, wort bevonden deur het 34 voorstel der clootsche driehoucken van 87 tr. 45 ( I ): En op sulcken streeck van zuyden na westen moetmen van G seylen na B, t'welck 7 ( I ) zuydelicker is danmen van A tot G seylde, want ghetrocken 87 tr. 45 ( I ), van 87 tr. 52 ( I ), blijft de selve 7 ( I ). Nu dan van G aldus gheseylt hebbende soo verre men oirboir verstaet, men sal om voorder te seylen daer weerom doen als an G gedaen wiert, en derghelijcke tot ander plaetsen soo lang datmen tot B comt.

    M E R C K T  ten I dat hoewel de boveschreven 7 ( I ) zuydelicker te seylen so weynich is, dattet met een seylende schip niet gageslagen en can worden, doch verstaetmen daer deur datmen de volghende booch van G voortwaert grooter mach nemen dan 4 tr.

[ 94 ]
Maer soo d'eerste booch te groot had genomen geweest, sulcx datmen op een minder met sekerheyt seylen can, tis kennelic datmen dan de rekening op een minder booch behoort te maken. Noch staet te gedencken datter in dit voorbeelt op even boghen meerder verandering valt by t'punt B, dan verder daer af, want by B commende, men sal moeten van zuyden na westen seylen alleenelick 39 tr. 45 ( I ), (deur dien den houck DBF soo groot is) t'welck 48 tr. 7 ( I ) zuydelicker is dan doenmen an A begost, alwaer den houck BAE bevonden wiert van 87 tr. 52 ( I ).
    M E R C K T  ten 2 dat soomen begeerde te weten de breede van t'punt G, om t'ondersoucken ofse deur dadelicke ervaring soo bevonden wort, als van dergelicke int I tuychwerckelick voorbeelt gheseyt is, men soude hier boven benevens den houck DGH des driehoucx DGH, noch vinden de sijde GH, wantse de begheerde breede anwijst.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan op rechte streken gheseylt na den eysch.



3   V O O R S T E L.

    Cromstreken tuychwerckelick te teyckenen.

    De dadelicke Eertclootmakers ghebruycken verscheyden middelen en reetschappen totte teyckening der cromstreken elck dat hem best bevalt: Een van dien sullen wy hier verclaren,

cirkel in 32 delen
[ 95 ]
niet om inde daet naghevolght te worden, maer om dattet wel uytdruckt den gront van t'ghene begheert is, en daer na beter gedaen moet sijn. Laet AB een cloot sijn, hier op beschrijf ick eenich cleender rondt CDEF, diens middelpunt G, welck ront ick deel in 32 even deelen, treckende van daer tottet middelpunt G 32 boghen, die my de 32 ghemeene streken beteyckenen. Hier in ansien ick CGE voor de booch van noort na zuyt, en FGD daer op rechthouckich voor de booch van west na oost. Dit soo sijnde ick maeck een coper clootsche scheefhouck op den cloot passende, en hebbende de scheefheyt van een streeck, want soo veel doet den houck FGH.
Nu ghelijck hier ghemaeckt is de clootsche scheefhouck van een streeck, alsoo salmender meer maken tot seven toe, te weten voor elcke streeck een die tusschen FC commen. Dese seven clootsche scheefhoucken bereyt sijnde, men sal nemen een ander cloot LMNO vande selve grootheyt als AB, alwaer LN het middelront beteyckent, M den noortschen aspunt, O den zuytschen, tusschen dese twee aspunten sijn middachronden ghetrocken als MPO, MQO, MRO, snyende het middelront van trap tot trap inde punten P, Q, R. Hier op teycken ick de cromstreecken als volght:
bol, meridianen, koperen mal
[ 96 ]
Ghenomen dat ick eerst wil hebben de cromme noortooststreeck, soo neem ick uyt de boveschreven seven coperen clootsche scheefhoucken dien welcke de noortooststreeck beteyckent, de selve sy RSTV, diens sijde TV vervought is op een der middachronden, als op MRO, soo dat den houck des coperen cloothoucx past op R ghemeene sne des middachronts en middelronts LN, en treck van R langs RS een liniken tottet naeste middachront als tot X: vervough daer na den coperen scheefhouck opt middachront MQO, en also dattet houckpunt R dan comme an X: Treck daer na van X langs de voorschreven scheefhoucx sijde het liniken XY. En alsoo voortgaende na Z tot datmen den aspunt na ghenouch is, of gheraeckt, men sal de cromme noortooststreeck op den Eertcloot gheteyckent hebben:
Wy segghen hier boven tot datmen den aspunt na ghenouch is, of gheraeckt, doch wisconstelick ghesproken en can niet gherocht worden, want de slangtreck soude oneyndelick daer rontom loopen en altijt naerderen sonder gheraken; Maer tuychwerckelick {Mechanicè.} can een sichtbaer aspunt gherocht worden.

    Deur t'ghene wy tot hier toe gheseyt hebben vande teyckening der noortooststreeck, is openbaer de teyckening van al d'ander cromstreken, en kennelick hoemen tot alle plaetsen eens Eertcloots de cromme seylstreken teyckenen sal na sijn wille.
    T B E S L V Y T.  Wy hebben dan cromstreken tuychwerckelick gheteyckent, na den eysch.


Vande onsekerheyt inde voorgaende wijse van teyckening.

    Want deur de gheduerighe en menichvuldighe versetting van desen coperen scheefhouck RSTV onsekerheyt int werck can volghen, alsoo om der gelijcke redenen oock can in meer ander tuych tot sulcken eynde ghemaeckt, of alwaerder sekerheyt in dat sulcx onbewesen blijft: Soo ist te weten dat wy die manier alleenlick hier ghestelt hebben, eensdeels op datmen daer deur verstae de onsekerheyt dieder is inde cromstreken alsoo op Eertclooten gheteyckent. Ten anderen om dattet wel verclaert de gront en eyghenschappen der cromstreken, daermen op bouwen mach wisconstighe wercking, deur welcke de tuychwerckelicke meerder sekerheyt can crijghen, als blijcken sal, eerst beschreven sijnde de tafels als volght.



4   V O O R S T E L.

    Tafel der cromstreken te maken.

    De somme deses voorstels is, dat wy moeten vinden in ghetalen, hoe lanck dat sijn de boghen als inde form des 3 voorstels QX, PY, en dergelijcke, want die ghetalen bekent wesende, en na den eysch van dien punten gheteyckent als X, Y, a, b, Z, en van t'een punt tottet ander linikens ghetrocken, men crijcht de begheerde cromstreeck. Het vinden deser boghen soude meugen aldus toegaen:


E E R S T E   M A E C K S E L   V A N D E

T A F E L S   D E R   C R O M S T R E K E N.

    Laet RZ noch eens de vierde cromstreeck beteyckenen, daer af wy vinden willen de boghen QX, PY: Tot desen eynde segh ick dat de driehouck XQR drie bekende palen heeft, te weten den houck XRQ 45 tr. den houck XQR recht, en de sijde RQ I tr. Hier me ghesocht de sijde QX, wort bevonden deur het 36 voorstel der clootsche driehoucken van 59 ( I ) 59 ( 2 ).

[ 97 ]
Om nu te vinden de lini PY, ick treck de booch Xc evewijdich met QP, en sal Pc dan oock doen 59 (I) 59 (2), gelijck QX: Sulcx datter vanden driehouck YcX, gevonden moet worden de sijde cY, om die te vergaren tot Pc, en dan te hebben de booch PY: Hier toe heeft den selven driehouck YcX drie bekende palen, te weten den houc YXc 45 tr. den houck YcX recht, en de sijde Xc 59 (I) 58 (2), want so veel doet dien langdetrap buyten t'middelront deur de ghemeene tafel diemen daer af maeckt, en hier na oock volghen sal; daer me ghesocht de sijde cY, wort bevonden deur het 36 voorstel der clootsche driehoucken van 59 (I) 57 (2), die vergaert tot Pc 59 (I) 59 (2), comt voor PY I tr. 59 (I) 56 (2), en soo voort met dan d'ander.


T W E E D E   M A E C K S E L   V A N D E

T A F E L S   D E R   C R O M S T R E K E N.

    Anghesien het maken van volcommen tafels na de voorgaende eerste wijse, langher soude vallen dan my den tijt toelaet, soo sullen wy een ander stellen, beschreven en onlancx uytghegheven deur Edward Wright;  want hoewelse eenige onvolcommenheyt hebben daer wy inden Anhang der cromstreken breeder af segghen sullen, nochtans connense tot verclaring des voornemens dienen.

    Tottet maken vande volgende tafels der cromstreken wort eerst beschreven als bereytsel een tafel der versaemde snylijnen van 10 (I) tot 10 (I) aldus:

De snylijn van 10 (I) doet.                            10000042.
Daer toe de snylijn van 20 (I) doende 10000168 comt    20000210.
Daer toe de snylijn van 30 (I) doende 10000381 comt    30000591.

    En so voort; maer eyntlick salmen overal de vijf laetste letters afsnyen, en sal een tafel sijn als volght:
[ 98 ]
T A F E L S   D E R   V E R S A E M D E   S N Y L I N E N.

tr.  (I)  snijlinen.       tr.  (I)  snijlinen.       tr.  (I)  snijlinen.

 0    10      100            5    10     31             10    10     6132
 0    20      200            5    20     3205           10    20     6234
 0    30      300            5    30     3305           10    30     6335

    [...]                       [...]                       [...]

20     0    12251           25     0    15500           30     0    18884

    [...]                       [...]                       [...]

50     0    34746           55     0    39682           60     0    45277

    [...]                       [...]                       [...]

79    40    82639           84    40   105471           89    40   201513
79    50    83201           84    50   106565           89    50   226223
80     0    83773           85     0   107696           90     0   000000
[ 104 ]
    Dit bereytsel vande tafel der versaemde snijlinen aldus ghedaen sijnde, en om nu tottet maken vande tafels der cromstreken te commen, soo laet inde voorgaende form RZ beteyckenen d'eerste cromstreeck, sulcx dat den houck XRQ des driehoucx XRQ nu doe 78 tr. 45 (I). Om te vinden de booch QX, ick aensie de driehouck XRQ voor plat, om de cleenheyt der sijden, en segh datse drie bekende palen heeft, te weten den houck XQR recht, XRQ 78 tr. 45 (I), de sijde QR I tr. Hier me ghesocht de sijde QX wort bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken van 5 tr. I (I), die ick inde volghende tafel van d'eerste Cromstreeck stel byde breeden nevens I tr. der langde.
Om nu al de volghende breeden deses tafels met cortheyt te vinden, ick sie inde voorgaende tafel der versaemde snijlinen wat ghetal datter overcomt mette boveschreven 5 tr. I (I), en bevinde 3014, want de 5 tr. hebben 3004, en noch 10 sijn het everedelic deel voor de I (I). Dit ghetal van 30I4 dient my int gemeen tottet vinden der ghetalen van PY, da, en al d'ander dierghelicke, t'welck aldus toegaet: Totte 3014, vergaert ander 3014, comt 6028, daer op vinde ick t'overcommen inde voorgaende tafel der versaemde snijlinen 10 tr: De selve stel ick inde volghende tafel van d'eerste cromstreeck byde breeden nevens den 2 tr. der langde, als voor PY. Daer na vergaer ick totte 6028, andermael 3014, comt 9042, daer op vinde ick t'overcommen inde voorgaende tafel 14 tr. 54 (I), de selve stel ick inde volgende tafel nevens den 3 tr. der langde, als voor da; En so voort mette rest der seven Cromstreken.

    M E R C K T  dat ick totte voorgaende langden en breeden der cromstreken, noch vervoughe haer verheden, dat sijn de langden der bogen RX, RY, Ra, en dierghelijcke om deur t'behulp der selve sonder eertcloot of platte caert, maer alleenelick deur ghetalen, te beantwoorden de voorstellen die vanden handel der cromstreken omgaen, en int volghende beschreven sullen sijn. Dese verheden worden aldus bekent.
Om ten eersten te vinden de verheyt RX, ick segh den driehouck XQR te hebben drie bekende palen, te weten den houck XQR recht, den houck XRQ 78 tr. 45 (I), en de sijde QX van 5 tr. I (I). Hier me ghesocht de sijde RX, wort bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken van 5 tr. 6 (I) 54 (2), die ick stel in d'eerste tafel by de verheden nevens I tr. der langde. Ten anderen om te vinden de verheyt RY, ick segh den driehouck YcX te hebben drie bekende palen, te weten den houck YcX recht, YXc 78 tr. 45 (I), en de sijde cY 4 tr. 59 (I), als blijct deur de tafel; want treckende Pc 5 tr. I (I), als even sijnde met QX, van PY 10 tr. blijft voor cY alsvooren 4 tr. 59 (I): Met dese drie bekende palen dan, ghesocht de sijde XY, wort bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken van 5 tr. 12 (I) 54 (2), die vergaert tot RX 5 tr. 6 (I) 54 (2), comt voor RY 10 tr. 19 (I) 48 (2), die ick stel in d'eerste cromstreeck byde verheden nevens 2 tr. der langde. En alsoo sal ghevonden worden de verheyt van Ra, met al d'ander.

    Merckt dat wy dese verheden niet overal berekent noch ghestelt en hebben, maer alleenelick soo veel als tot ons volghende voorbeelden noodich sijn, eensdeels dat de tafelen self gheen ghenouchsaem volcommenheyt en schijnen te hebben, ghelijck inden Anhang breeder gheseyt sal worden, als oock dat belet van ander saken ons t'selve niet toe en laet: Sulcx dat hier alleenelick de wijse ghetoont is, en open plaets ghelaten om die te meughen volmaeckt worden, by de ghene dieder lust en gheleghentheyt toe mochten hebben.

[ 105 ]

T A F E L S

D E R

C R O M S T R E K E N.

[ 106 ]

Eerste cromstreeck.                                                  Tweede Cromstreec.

lang. Breede verheden  lang. Breede verheden  lang. Breede verheden  lang. Breede verheden 
 tr.  tr.(I)  tr.(I)    tr.  tr.(I)  tr.(I)    tr.  tr.(I)  tr.(I)    tr.  tr.(I)  tr.(I)   

  I    5  I    5. 7.    31   82 27             61   89 27              I    2 24
  2   10  0   10 20.    32   83  5             62   89 29              2    4 49
  3   14 54             33   83 39             63   89 32              3    7 13

[...]                  [...]                  [...]                  [...]

 30   81 46             60   89 24            114   89 59             30   58 26

[ 107 ]

lang. Breede verheden  lang. Breede verheden  lang. Breede verheden  lang. Breede verheden 
 tr.  tr.(I)  tr.(I)    tr.  tr.(I)  tr.(I)    tr.  tr.(I)  tr.(I)    tr.  tr.(I)  tr.(I)   

 31   59 41    5. 7.    61   81 14             91   87 31            121   89 17
 32   60 53   10 20.    62   81 36             92   87 37            122   89 19
 33   62  2             63   81 56             93   87 43            123   89 21

[...]                  [...]                  [...]                  [...]

[ 136 ]
    Tot hier toe sijn beschreven de seven tafels der seven cromstreken. Angaende de achtste die is altijt een ront evewijdich vant middelront, sulcx dattet in breede gheen verandering crijghende, soo en valter van sijn breedeschil niet te segghen, maer alleenlick van sijn verheyden, tot welcx eynde de volghende tafel dient.


V A N T   M A E C K S E L   D E S

tafels der achtste cromstreeck.

    Om eerst deur een form te verclaren den sin des volghenden tafels, soo laet ABCD een cloot sijn diens middelront ABCD, en aspunt E, waer op beschreven is een cleender rondt FGH, voort sy de booch CD van I tr. als langdeschil tusschen C en D, en ghetrocken de twee vierendeelen ronts ED, EC sniende het cleender rondt in F en G, soo doet GD neem ick 10 tr. als breedeschil tusschen D en G.
2 cirkels met 2 bogen uit het middelpunt Dit soo sijnde de booch FG doet I tr. der langde, en dat I0 tr. verre buyten t'middelront, welcke booch openbaerlick cleender moet sijn dan DC I tr. des middelronts. Nu is t'voornemen hier te vinden hoe veel I tr. FG langhdeschil buyten t'middelront (te weten op 10 tr. der breede DG) doet in (I) en (2) des middelronts: Dat is, de langde FG vervought sijnde opt middelront, van hoe veel (I) en (2) die daer bevonden sal worden. Dit verstaen wesende wy sullen tottet voorbeelt commen.

    T G E G H E V E N.  Het sy I tr. langdeschil buyten t'middelront op 10 tr. der breede.
    T B E G H E E R D E.  Wy moeten sijn grootheyt vinden in (I) en (2) des middelronts.

T W E R C K.
Rechthoucx houckmaet                                       10000000.
Gheeft schilhoucx houckmaet vande ghegheven 10 tr. doende   9848078.
Wat I tr. des middelronts doende.                            60 (I)?
Comt voor t'begheerde.                                  59 (I) 5 (2).

    Ghelijck inde volghende tafel staet, en alsoo met allen anderen.

T B E W Y S.

Ghelijck de halfmiddellijn van een cloots grootste ront, als t'middelront;
Totte halfmiddellijn van haer cleender rondt, als het evewijdich rondt op de
        10 tr. der breede;
Alsoo de booch eens traps des grootste of middelronts;
Totte booch eens traps des cleender ronts op de 10 tr. der breede.
    Maer de halfmiddellijn eens middachronts, is even ande halfmiddellijn des middelronts, die ghenomen wort op 10000000, als rechthouckmaet: En de halfmiddellijn des rondts beschreven op de breede van I0 tr. is int middachrondt houckmaet des schilboochs van 10 tr. dats houckmaet van 80 tr. doende 9848078: Daerom

[ 137 ]
Ghelijck     10000000.
Tot           9848078:
Alsoo de booch eens traps des grootste of middelronts,
Totte booch eens traps des cleender ronts op de 10 tr. der breede.

    Maer 10000000 ghevende 9848078, soo sal 60 (I) gheven 59 (I) 5 (2) deur t'werck, daerom 59 (I) 5 (2) is t'begheerde, t'welck wy bewijsen moesten.

M E R C K T.

    Alsoo sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  t'voorgaende besluyt ghelesen hadde en ghesien volcommen te wesen, seyde daer op hem ghedachtich te sijn dat hy voormael derghelijcke grootheyt eens boochs als van F tot G, ghesocht hadde deur rekening der clootsche driehoucken, om datse als van clootsche stof volcommender is dan rekening ghelijck de voorgaende: Maer overdenckende de reden van dit verschil, seyde met onderscheyt d'een wijse te dienen tot besluyt op een vraegh van cromstreken, d'ander van rechtstreken. Als by voorbeelt begeert sijnde hoe lanck de wech vallen sal om te varen van F tot G op een cromstreeck, dats hier de booch eens cleender ronts, de volcommen wercking sal ghedaen worden alsvooren: Maer sulcken langde begheert wesende van F tot G op een rechtstreeck, dats de booch eens grootste ronts, de volcommen wercking bestaet dan in rekening der clootsche driehoucken.
T'welck ick hier heb willen anteyckenen, eensdeels tot ghedachtnis: Ten anderen op dat de ghene dien sulcx duysterder ontmoeten mocht, hier me verlicht sy.

    T'maecksel des tafels dan aldus verclaert sijnde, wy sullen de tafel beschrijven, ghetrocken uyt Cosmographia Petri Apiani parte prima cap. 13. als volght.

[   ]
A C H T S T E   C R O M S T R E E C K,   T' W E L C K
is een tafel van t'ghene I tr. langdeschil buyten t'mid-
delront, doet in (I) en (2) des middelronts.

Op dese   Doet I tr.      Op dese   Doet I tr.      Op dese   Doet I tr.   
breeden.  langdeschil     breeden.  langdeschil     breeden.  langdeschil   
          dese verhe.               dese verhe.               dese verhe.   
 tr. (I)  (I) (2)          tr. (I)  (I) (2)          tr. (I)  (I) (2) 
      
  0  30    59  59          16   0    57  40          31   0    51  25
  I   0    59  59    0     16  30    57  31    9     31  30    51   9   16
  I  30    59  58    I     17   0    57  22    9     32   0    50  52   17
  2   0    59  57    I     17  30    57  13    9     32  30    50  36   17

       [...]                     [...]                     [...]

 14  30    58   5    8     30   0    51  57   16     45   0    42  25   22

       [...]                     [...]                     [...]

 59  30    30  27   27     74  30    16   2   30     89  30     0  31   31
 60   0    30   0   27     75   0    15  31   30     90   0     0   0   31
 60  30    29  32   27     75  30    15   I   30
[ 140 ]
    Aldus dan inde voorgaende tafel beschreven sijnde der seven cromstreken breeden in yder middachbooch die van trap tot trap getrocken sijn, so ist openbaer hoemen daer me met groote sekerheyt op een Eertcloot de cromstreken sal meughen teyckenen, want de punten der breede ghestelt na t'behooren, en van d'een tot d'ander linikens ghetrocken, men comt tottet begheerde. Oock dienen de selve tafelen om te sien of cromstreken op Eertclooten of platte caerten wel gheteyckent sijn.


V A N T   M A E C K S E L   D E R

C O P E R   C R O M S T R E K E N.

    Maer wanttet tot verclaring der nabeschreven voorstellen bequamer soude vallen, en oock tottet ghebruyck in veel voorbeelden mijns bedunckens niet ongerievich, datmen de seven cromstreken van coper maecte, om die te leggen op yder punt des cloots daermen wil, en alsoo ten eersten t'begheerde te sien, sonder noodich te wesen de cromstreken op een Eertcloot te teyckenen: Of geteyckent sijnde sonder te moeten doen de moeylicker wercking daer uyt volghende, soo sullen wy daer af wat breeder uytlegging doen als volght:




Simon Stevin | Zeylstreken - a (top) , b