Stevin | Eertclootschrift | 4: Zeylstreken | Woordenlijst

Overzicht , Inleiding , bepalingen , berekenen , tekenen , tabellen , werk , Anhang , Noten


Stevins Zeylstreken

Wisconstighe Ghedachtenissen
I. Vant Weereltschrift (1608)
2. Vant Eertclootschrift:
  1. Vande Zeylstreken



Introduction in Principal Works (^) III, 479-501:
§ 1.  The contents of the treatise devoted to the "Zeylstreken"
§ 2.  Stevin's predecessors: Apian, Nunes, Mercator, and Wright
§ 3.  Conclusion


Inleiding

Nieuwe vondsten in verband met de zeevaart werden aan prins Maurits getoond, en uitvinders vroegen om erkenning. Voor een goede beoordeling bleek kennis van de wiskunde nodig:
Want de menichvuldighe wyde zeylagen deser landen verscheyden souckers veroirsaeckt hebben, van vonden streckende tot voordering der groote zeevaerden, die elck verthoonde an sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  als Admiral, om daer me tot hun voordeel te gheraken: Soo is de stof des Zeeschrifts een der besonder oirsaken gheweest, die hem track totte begheerte en oeffening der Wisconsten:
Met name de navigatie was een punt van aandacht: er was een grote behoefte aan nieuwe methoden en instrumenten.  1

Op de grote vaart kon de 'Stierman' het volgende doen:
    - volg je koers met het kompas, op een der "32 ghemeene streken, of winden",
    - meet je snelheid t.o.v. het water,
    - ga na hoe lang je die snelheid houdt, met de zandloper.
Dan weet je de afgelegde afstand, en de richting.
Maar dat werkt alleen goed voor een kort stuk, dus je moet regelmatig je plaats bepalen:
    - houd bij welke dag het is,
    - meet de hoogte van de Zon midden op de dag, van de Poolster s'nachts,
    - ???
Hoe ver het schip noord of zuid gekomen is kun je wel vinden: de breedtegraad. Maar niet hoe ver west of oost: de lengtegraad.

Havenvinding was dus nog een groot probleem (in het boekje met deze titel gaf Stevin het voorbeeld van een schip dat ettelijke weken lang het eiland Sint-Helena zocht). De zekerste manier van navigeren was dan ook:
    - ga naar de breedtegraad van je bestemming,
    - vaar oost of west.
Dat is natuurlijk een omweg, en bovendien geeft varen met een vaste koers meestal ook niet de kortste weg. Maar voor zeilvaarders, gewend aan laveren, was een kortste weg toch al een luxe. Het voornaamste was: varen tot er land in zicht komt is lang niet altijd veilig.

De wetenschap was al verder gevorderd: Gemma Frisius had in 1530 het lengte-probleem in theorie opgelost (een goede klok was nodig), en de Portugese geleerde Pedro Nunez (Nonius) had in 1537 de grondslag gelegd voor het berekenen van afstanden op de globe. Een Nederlandse verhandeling over navigatie was meer dan welkom. En wie zou deze ingewikkelde materie beter kunnen uitleggen dan Simon Stevin?


Bepalingen

Eerst komen weer de definities, toegelicht met een duidelijke tekening:
  1. Zeylstreken sijn de linien die seylende schepen beschrijven.
    [In de Havenvinding: Rumbi wordense byde Portugesen ghenoemt.]

  2. Rechte streec noemen wy des Eertcloots cortste booch tusschen twee punten.

    [...] dat dese rechtheyt geseyt wort int ansien datse noch ter rechter noch ter slincker sijde en wijcken, gelijck wel doen de cromme streken, diens bepaling volght.

  3. Een schip buyten t'middelront en middachront so seylende, dat de booch ghetrocken vande kiellini totten aspunt, altijt op de kiellini een selven houck maeckt: De lini die t'schip dan gheseylt heeft noemen wy Cromstreeck.
    [Middelront: evenaar,  middachront: meridiaan,  aspunt: pool.]

    [...] Nu ghenomen dat den houck FED recht sy, soo sal het schip altijt recht oost of recht west anghevaren hebben, en de booch AE sal deel eens kleenronts sijn: En dattet gheduerlick soo voortseylde, het soude weerom commen ter plaets van A daert begost, volschrijvende het rondt. Hier uyt canmen verstaen dat de rechte oost streeck AB, en de cromme AE, veel verschillen:

Globe
Merckt noch dat hoe wel B recht oost light van A, nochtans so en ligt A niet recht west van B, t'welck op groote boghen veel verschillen can.

[...] op cromstreken heeft het weerkeeren altijt de naem des teghenoverwint vant wechvaren [...]

Tot hier toe is gheseyt vande cromstreeck recht oost en west angheseylt, die altijt een ront is, maer d'ander (uytghenomen inde middachronden en int middelront {Meridiano circulo & æquatore.}) sijn altemael slangtrecken {Spirales.}

  1. Eerste cromstreeck noemtmen die in yder vierendeel des sichteinders naest het middachront is, d'ander volghende heet de tweede, en soo oirdentlick voort totte achtste, die altijt een evewijdich ront is {Circulus parallelus.}.

    Als by voorbeelt int vierendeel des sichteinders van noort tot oost, de cromstreeck naest het middachront, of anders geseyt naest het noorden, diemen oock heet noort ten oosten, wort d'eerste cromstreeck ghenoemt, noortnoortoost de tweede, noortoost ten noorden de derde, en so voort

    [...] de streec van noort ten oosten, noort ten westen, zuyt ten oosten, en zuyt ten westen, in form malcander heel gelijck, en van grootheyt heel even [...] ghemeene naem [...] eerste, als haer gheslacht, om niet elcke mael vier winden t'samen te moeten noemen, of maer een ghenoemt sijnde, dat d'ander niet vergheten en schijnen.

De bepalingen zijn voor ons wat misleidend. Uit de toelichting blijkt: een zeilstreek is niet gewoon een stuk van een lijn, cirkel of spiraal. De richting is het belangrijkste, het zijn windstreken.

De 'kromstreek' heet nu loxodroom (G: loxos - schuin, Willebrord Snellius 2 bedacht het woord). Het is een lijn op het aardoppervlak die de meridianen steeds snijdt onder een zelfde hoek. Kromstreken worden recht getrokken op een kaart met de Mercator-projectie (Edward Wright: ballon opblazen in glazen cilinder [^]).
De meridianen zelf, en de evenaar, zijn geen loxodromen. Deze gaan nooit door een pool (zie Loxodrome I en II: houtsnedes van M. C. Escher):
de slangtreck soude oneyndelick daer rontom loopen en altijt naerderen sonder gheraken

Berekenen

In elf voorstellen wordt uitgelegd hoe navigatieberekeningen kunnen worden gedaan. Het eerste is niet van Stevin zelf:
Alsoo sijn V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  int lesen van Cosmographia Petri Appiani & Gemmæ Frisij, ghecommen was tot Cap. 13 [..., 7 ...], Alwaer stont de manier om deur ghetalen te vinden op wat streeck d'een plaets van d'ander light, heeft het selve alsdoen overgheslaghen, om twee redenen, d'eene dat den gront [...] daer niet by en stont, ten anderen dat hy doen noch niet ervaren en was inden handel der platte en clootsche driehoucken:
Maer hem daer na inde selve gheoeffent hebbende [...] heeft in die plaets ten selven eynde ander manier van wercking ghedaen deur kennis der oirsaken, en dat niet alleen op de vinding der streeck van d'een plaets tot d'ander, maer oock op al d'onbekende palen dieder vallen in sulck voorstel, t'welck hier vervought is als volght.
Het voorstel van prins Maurits houdt in: als van twee plaatsen op Aarde drie gegevens bekend zijn, kunnen drie andere berekend worden. De zes gegevens zijn: rechte streek van de ene naar de andere plaats, en andersom, het verschil van lengte, de breedte van beide, en de afstand.

De rechte streek is hier: de hoek met de meridiaan in het beginpunt. Daarom is een streek van A naar B meestal een andere dan die van B naar A.

Voorstel 2 luidt kort en krachtig: "Op rechte streken te seylen."

Nadien sijn V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  grondelick verstaen hadde den handel der seyling op cromstreken die hier na beschreven sal worden, en daer by verlijckende de rechte streken datse de cortste wech gheven, soo heeft hem behoirlick gedocht, en d'oirden te vereysschen, reghelen beschreven te worden hoemen die cortste streken soomen wilde seylen soude:
[...] twee voorbeelden, t'eerste tuychwerckelick {Mechanicè.}, t'ander wisconstich.
Het eerste voorbeeld is met een "verborgen oft uytvaghelicke" grote cirkel op de globe van de tekening hierboven. Je gaat van A naar B door steeds te gissen: eerst 3 of 4 graden, dan een nieuwe cirkel en nog een stukje, enzovoorts.
Merckt noch datter vant werck dusdanighe proef can genomen worden: Het schip ghecommen wesende tot neem ick H, en datmen dan deur dadelicke ervaring mette Son of sterren d'eertcloots breede bevint t'overcommen mette breede die H op den ghebootsten eertcloot anwijst, dat geeft met reden vermoeden het schip de rechte streeck wel gheseylt te hebben
Wisconstich is het wat moeilijker. Veel berekeningen zijn nodig, steeds voor een klein stuk, maar het principe staat helder uitgelegd, met verwijzing naar een voorstel in het eerste deel van het Weereltschrift: Driehouckhandel - Vande clootsche driehoecken. Er staat ook de tip: als de afwijking zo klein is "dattet met een seylende schip niet gageslagen en can worden" kun je het volgende stuk groter nemen.
Aan het eind staat triomfantelijk:
T B E S L V Y T.  Wy hebben dan op rechte streken gheseylt na den eysch.

Tekenen

Bij de kromstreken is het handig om tekenmallen te hebben:
De dadelicke Eertclootmakers ghebruycken verscheyden middelen en reetschappen totte teyckening der cromstreken elck dat hem best bevalt: Een van dien sullen wy hier verclaren, niet om inde daet naghevolght te worden, maer om dattet wel uytdruckt den gront van t'ghene begheert is [...]

ick maeck een coper clootsche scheefhouck op den cloot passende, en hebbende de scheefheyt van een streeck

Koperen kromstreken
Blz 140:
Dese coper cromstreeck [efg ] wort oock verstaen te hebben een clootsche hollicheyt, sulcx datse op den cloot gheleyt die overal gheraeckt.

Voort ghelijck hier gemaeckt is dese coper noortooststreeck, oock dienende voor zuytweststreeck, alsoo salmen maken d'ander ses, t'samen seven: En noch sulcke seven ander, van verkeerde ghestalt der voorgaende, als by voorbeelt de form k [...], dienende totte noortweststreeck, en oock totte zuytooststreeck.

Noch machmen dese coper cromstreken teyckenen met ghetalen, d'eerste met I, de tweede met 2, en soo voort, om daer deur met een opsien te weten de hoemenichste elck is.


Tabellen

Zonder rekenmachine gebruik je tabellen, als die er al zijn. Gelukkig waren er mensen die van rekenen hielden:
Anghesien het maken van volcommen tafels na de voorgaende eerste wijse, langher soude vallen dan my den tijt toelaet, soo sullen wy een ander stellen, beschreven en onlancx uytghegheven deur Edward Wright;
want hoewelse eenige onvolcommenheyt hebben daer wy inden Anhang der cromstreken breeder af segghen sullen, nochtans connense tot verclaring des voornemens dienen.

Tottet maken vande volgende tafels der cromstreken wort eerst beschreven als bereytsel een tafel der versaemde snylijnen van 10 (I) tot 10 (I)

De 'snylijn' van een hoek is de secans (Driehouckhandel 1, bepaling 8), dat is het omgekeerde van de cosinus. 10 (I) is 10', dus 1/6 graad. Deze tabel beslaat zes bladzijden.
Edward Wright had zijn "tables of Rumbes" gepubliceerd in 'The Correction of Certain Errors in Navigation' (1599, het jaar waarin ook 'The Haven-Finding Art' uitkwam).

Stevin legt uit hoe de tabellen berekend worden  3 . Dan komen er dertig bladzijden lang voor de zeven streken vier maal drie kolommen: per lengtegraad de breedte en de afstand. Maar voor de laatste is:

open plaets ghelaten om die te meughen volmaeckt worden, by de ghene dieder lust en gheleghentheyt toe mochten hebben.

Aldus dan inde voorgaende tafel beschreven sijnde der seven cromstreken breeden in yder middachbooch die van trap tot trap getrocken sijn, so ist openbaer hoemen daer me met groote sekerheyt op een Eertcloot de cromstreken sal meughen teyckenen, want de punten der breede ghestelt na t'behooren, en van d'een tot d'ander linikens ghetrocken, men comt tottet begheerde.
Oock dienen de selve tafelen om te sien of cromstreken op Eertclooten of platte caerten wel gheteyckent sijn.

Voor de achtste kromstreek zijn er nog twee bladzijden met voor elke breedte (om de halve graad) de afstand per graad lengteverschil. Deze tabel komt uit de Cosmographia (eerste uitgave: 1524) van de eerder genoemde Petrus Apianus (Bienewitz).


Werk

Nu begint pas het echte werk, de kromstreken gebruiken om twee plaatsen op Aarde met elkaar te verbinden. Bij voorstel 5:
Wy sullen in elck der volghende voorstellen drie werckinghen beschrijven, d'eerste mette coper cromstreeck, de tweede mette gecromstreeckten Eertcloot, die beyde tuychwerckelick {Mechanicè.} sijn, de derde wisconstich {Mathematicè.} deur ghetalen [...]

men sal den passer so nau openen, dat de rechte lini tusschen de twee voeten verdocht, gheen hinderlick verschil en hebbe vande cromme des ronts diemen meten moet [...]

De vraech mocht nu sijn hoe veel mijlen de boveschreven 27 tr. 24 (I) maken, maer insiende de verscheydenheyt der mijlen in verscheyden landen, so en canmen daer af int ghemeen niet sekers segghen. Sulcx dat wy [...] de verheyt alleenlick deur tr. en (I) beschrijven, die elck verkeeren mach in sulcke mijlen alst hem belieft.
Den trap wort van velen gheacht lanck te wesen ontrent 18 uyren gaens eens ghemeenen gancx: Een dier uyren wort ghenomen op 8000 stappen, oock op 1500 Rijnlantsche roeden, dat comt den stap op 2 1/4 Rijnlantsche voeten. Doch t'waer te wenschen dat Stierlien int gemeen trappen en (I) ghebruyckten, om malcander int ghemeen te verstaen.

Iedereen gebruikte de eenheden die hij geleerd had, die waren de beste.  4
Na voorstel 11:
Wy hebben hier vooren gheseyt vant seylen op rechte en cromme seylstreken, maer wantter in groote zeevaerden, noch ghebruyckt wort daert de gheleghentheyt toelaet een wijse van seyling ghemengt van beyden, te weten een achtste streeck met een middachront, soo sullen wy daer af hier wat vermaen doen. [...]

datmen met meerder sekerheyt [...] op een selve breede can blijven, dan [...] op een selve langde [...]
Ia sulcx, datmen somwijlen als D een cleen Eylant waer, niet weten en soude (ghelijckt metter daet dickwils ghebeurt) ofmen daer af oost of west waer [...]

blijvende int seylen nae D altijt op de behoirlicke breede, men moet D ontmoeten.

Tot dese wijse van seyling [...] en behouftmen gheen rekeninghen als de voorgaende van rechte en cromme seylstreken, maer ten is soo corten wech niet


Anhang

De Anhang heeft vijf hoofdstukken:
  1. Verhael op de oirden der cromstreken.

    Sommige als Robert Hues, nemen de cromstreken te beginnen vant middachront af na t'middelront toe, noemende die van noort ten oosten d'eerste, noort noortoost de tweede, en soo voorts. Ander als Edward Wright, tellen van t'middelront af na t'middachront [...]

    de natuerlicke oirden schijnt te vereysschen datmen t'middachront neme voor begin

  2. Van Petrus Nonius feyl, angaende de ghetalen der cromstreken.

    Nadien de Portuguijsen en Spaengnaerden eerst ernstelick de groote zeevaerden anghevanghen hadden, soo viel by hun anmercking op de gedaente en eyghenschappen der cromstreken:
    Waer af den vermaerden Wisconstnaer Petrus Nonius handelende, heeft gheschreven vande ghetalen dienende tottet formen der selve, maer sy en wierden by hem niet recht ghenouch getroffen, t'welck ick niet en segh tot sijn verachting, want den gront daer hy op boude, hadde uyterlick soo vasten ansien, dat d'alder ervarenste voor t'eerste lichtelick souden ghemeent hebben de saeck soo te wesen, en by aldien hem sulcke oirsaeck van prouf ontmoet hadde, als anderen na hem wel bejeghende, hy soude soo wel als anderen t'ghebreck bemerckt hebben.
        Tis dan te weten dat hy int 23 Hooftstick sijns 2 boucx de Reg. & instr. besluyt de houckmaten der boghen vanden aspunt totte cromstreeck in gheduerighe everedenheyt te wesen; ...
        [ Pedro Nunes, De arte atque ratione navigandi (1573), lib. II 'De regulis & instrumentis...', p. 107.]

  3. Vant feyl inde tafels der cromstreken deur Edvvart VVright.  3

    Na de Portuguysen en Spaengnaerden sijn in groote zeevaerden de Enghelschen ghevolght, welcke op dese ghedaente der cromstreken oock acht nemende, hebben t'feyl van Nonius bemerckt, en tot verbetering van dien soo sijnder onlancx uytghegheven tafelen der cromstreken deur Edwart Wright, als die des 4 voorstels van desen, welcke de saeck naerder commen:

  4. Hoe t'maecksel van ghewisse tafels der cromstreken soude meughen gheschien na t'ghevoelen des Schrijvers.

    [...]   M E R C K T  nu noch dat deur t'nemen van cleender boghen der langde, sekerder werck valt dan deur grooter, om bekende oirsaken: [...]
    hoe wel de wercking moeylick soude vallen, doch eens wel ghedaen wesende, men soude hem daer op meughen betrouwen. Maer sooder middeler tijt deur ymant ander lichter wercking met ghenouchsaem bewesen sekerheyt ghevonden wierde, t'waer billich die te aenvaerden.

  5. Hoemen scherper opt Zeecompas soude connen seylen dan na t'ghemeen ghebruyck.

    Het zeecompas placht eertijts ghedeelt te sijn in 8 streken, t'welck daer nae doen de wijder zeevaerden nauwer toesicht vereyschten, ghecommen is tot 32. En hoewel eenige die halven, voorder commende tot 64 streken, doch houden ander dese laetste deeling voor onnoodich, achtende s'menschen gesicht in een varende schip op soo cleene ghedeelten des ronts gheen seker oirdeel te connen hebben.
    Maer sijn V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  desen handel der scherpseyling grondelick overdenckende, heeft daer af middel voorgewent, om smenschen oirdeel seker te connen sijn niet alleen op 64 streken, maer op streken van trap tot trap der 360 daermen de ronden in deelt, ja tot op ghedeelten eens traps, sulcx dat verscheyden menschen op een varende schip t'samen in het zeecompas siende, sullen al ghelijckelick uyt eenen mont noemen een selve trap, ja helft of vierendeel van dien, na dat den tuych groot en sorchvuldelick mocht ghemaeckt sijn. [...]

    I  Voorbeelt deur een zeecompas mette lely op stijf papier.
Kompas 1

2  Voorbeelt deur een zeecompas met een seylnaelde.

Maer want de punt van een seylnaelde alleen draeyende sonder stijf papier, scherper en sekerder verthoont de naeldens natuerlicke wijsing, dan twee cromme bestreken yserkens diemen ghemeenelick ruytwijs teghen t'papier plackt, soo can sulcx deur soodanighen bloote seylnaelde met noch meerder sekerheyt gedaen worden [...]
men sal inden binnecant der casse [...], teyckenen de 360 tr. [...]

Kompas 2
an B, t'welck na de ghemeene wijse west soude sijn, salmen oost stellen [...]
Maer soomen vreesde dat dese verkeerde stelling van oost en west, om d'onghewoonte wille dwaling mocht veroirsaken, voor de bootsghesellen die te roer staen: De Stierman soude in plaets vande namen der vier winden, meugen ghebruycken de vier letters A, B, C, D [...]
de cassens punt E te stellen op sulcken trap als de afwijcking mebrengt, makende int middelpunt van sulcken ront een pinneken, om de casse met haer bodems middelpunt (een putken daer in gheboort sijnde) op te draeyen.
Deze draaibare opstelling is dus voor correctie van de magnetische declinatie of 'variatie', het onderwerp van de Havenvinding (daar wil Stevin de naald vastmaken op het papier). Hoe groot zo'n kompas zou moeten zijn staat er niet bij.
Joh. Phocylides Holwarda, Friesche sterre-konst (Harl. 1652), 2-3, h. 2: 'Van 't Compas der Schippers', p. 250:
... men seyt dat Prins Maurits te syner tijt een Compas gebruyckt heeft/ 't welck in driehondert ende sestich gedeelten/ dat is/ in effen soo veel streecken ende graden/ als een geheele Circkel by de Astronomos afgedeelt wort/ soude gedivideert zijn geweest. Dit wierde eertijts voor wat particuliers ende besonders gehouden/ maer ten huydighen dage is het seer gemeen ...
Vanaf p. 239 gedetailleerde informatie over het maken van een kompas.
Over 'zeylstreken': p. 355 van 2-3, h. 6 (tabel ontbreekt).





Noten

  1. Neptune's Realm geeft mooi een indruk van oude navigatie-instrumenten. De uitvinder van de daar genoemde 'back-staff', John Davis, zette zijn praktische kennis uiteen in Seamans Secrets (1595, 1607), ed. 1657:
    The Instruments neccessary for a skilful Seaman, are a Sea Compass, a Cros-staff, a Quadrant, an Astrolaby, a Chart, an Instrument Magnetical for the finding of the variation of the Compass, an Horizontal plain Sphere, a Globe, and a Paraboral Compass. [...]
    But the Sea Compass, Chart and Cros-staff, are instruments sufficient for the Seamans use: the Astrolaby and Quadrant being Instruments very uncertain for Sea- Observations.
    Veel gegevens en afbeeldingen zijn te vinden bij Epact: Scientific Instruments of Medieval and Renaissance Europe.   «

  2. Willebrord Snellius gebruikte het woord 'loxodroom' in 1605 als Grieks woord in zijn vertaling van het werk van Stevin: Hypomnemata mathematica, p. 87; en in 1624 als Latijns woord in Tiphys Batavus (^).
    Het woord 'kromstreeck' is te vinden in: W. J. Blaeu, Tweevoudigh onderwijs van de hemelsche en aerdsche globen, deel 1, 156.   «

  3. Over de uitleg bij de kromstreek-tabellen zegt Ernst Crone in zijn uitvoerige Introduction in Principal Works III (p. 487):
    Stevin's text in some places is incoherent. He understood the operation imperfectly [...]. When we consider this mistake in connection with the imperfections in Wright's text, it becomes evident how difficult it was to attain to the right understanding, although in our eyes it is quite simple.
    (Dit laatste durf ik niet te beamen.)
    Daar is ook te lezen dat Edward Wright (die de Havenvinding vertaald had) een beetje boos was over Stevins kritiek ("feyl", zie Anhang). Bijgestaan door twee rekenaars verfijnde hij zijn tabellen, en hij vond "a greater fault in his fault-finding".   «

  4. Eenheden volgens John Davis in Seamans Secrets (zie n. 1):
    Every Degree applied to measure, doth contain 60 minutes, and every minute 60 seconds, and every second 60 thirds etc. and every degree of a great Circle so applied containeth 20 leagues, which is 60 miles, so that every minute standeth for a Time in the accompt of measures,
    and a mile is limited to be 1000 paces, every pace 5 foot, every foot 10 inches, and every inch 3 barley corns dry and round, after our English accompt, which for the use of Navigation is the only best of all other
    Zijn mijlen waren natuurlijk zeemijlen: 60 per graad van een grote cirkel.   «



Simon Stevin | Eertclootschrift | 4: Zeylstreken (top) | Tekst