Christiaan Huygens aan D. Rembrandtz van Nierop.9 april 1659.De brief is gepubliceerd in de Mathematische Liefhebberye, deel 4 1) Gezien hebbende UE. 10e Vraagstuk 2) aangaande de Weegkonst 3) voorgestelt door Tade Philips 4), ende het zelve aanmerkens waardig achtende, zoo heb ik de solutie daar van gesogt ende gevonden als volgt. 1) Mathematische Liefhebberije met het Nieuws der Fransche en Duytsche Scholen in Nederland. te Purmerende, Bij P. Jordaan, Boekverkooper. in-8o. gepubliceerd door J. Oostwoud in 11 delen, van 1754 tot 1765, en voortgezet door L. Schut tot 1769, delen 12-17. 2) Dit vraagstuk luidt als volgt (zie de figuur hierna):
3) Mathematische calculatie, dat is, Wiskonstige rekening ... (1659). |
[ VI, 570 ]
Maakt een Driehoek waar de syden tot malkanderen de selve reden hebben, als de gewigten over de selven D, F, G, hangende, al sulke driehoeks hoek haar Complement tot 180 Graden genomen, zoo zullen dese Complementen zyn de hoeken GBF, GBD, DBF, in voegen dat de kleynste hoek tegen over het swaarste gewigt gevalt, waar door dan het punt B ligtelyk gevonden wort, als men maar alleenlyk op 2 zyden des driehoeks DBG [DFG] Cirkelbogen beschryft, die de gevonden hoeken tot de zyden behoorende begrypen, want de doorsnyding van sulke twee bogen is het punt B; den Triangel DFG gelykzydig zynde, zoo moet het getal van 't swaarste gewigt gequadrateert zynde niet grooter zyn als de 2 quadraaten van de kleynder gewigten met te zamen het product van haar multiplicatie.
 My is in dese selve materie dit Vraagstuk 5) in den sin gekomen, zynde niet swaarder als het voorgaande en wenste wel te zien hoe UE. het zelve ontbinden zoude. ABCD is een doorgaande touw, glyende over de schyven A, B in midden van welke hangt het gewigt C, en regt daar onder het swaarder gewigt D; als nu CL, dat is van de knop C tot de regte AB, is 1, en LD 7, BC of AC 4, de vrage is wat rede de swaarte D heeft tegen die van C. Hier op by gelegenheyd een letter tot antwoord verwagtende, blyf ik
UE. Dienstwillige en toegenegen Vriend den 9 April 1659. 5) Zie voor de oplossing No. 612 [II, 395]. [ Er was al eerder contact tussen Huygens en van Nierop, gezien het vervolg op vraagstuk 7 (p. 159) in Mathematische calculatie: "Dese selfde uytkomst is oock over gesonden uyt de naem van een Ioncker Christianus van 's Graven-hage ..."; p. 160: "Doch op wat maniere dit by de voorghenoemde Ioncker Christianus bewesen wordt/is my onbekent".] |
[ 391 ]
Dirck Rembrandtsz van Nierop aan Christiaan Huygens.3 mei 1659.
Ick hebbe uwe schrijven van den 9 April 1) wel ontfangen, en daer in enige woorden aldus luijden. waer door dan het punt B lichtelijk gevonden wort, als men alleenlijk op 2 sijden des driehoeks DFG circelboogen beschrijft die de gevonden hoeken tot de sijden behoorende begrijpen. want de doorsnijding van sulke 2 boogen is het punt B.
Om dit te ondersoeken hebbe ick gemaeckt dese figuer, alwaer op de zijde DF (tegen over het kleijnste gewicht G, maekende den grootsten hoek DBF) is beschreven met de grootste half midlijn CF, de kleijnste booge DBF 104 — 15 2) de helft is 52 — 7½ diens hoekmaet 3) is voor EF 78935 welke gestelt wort op 600 roeden.
Om nu ook de lenkte CF in de zelfde deelen te vinden men zette
Van gelijken is beschreven op de zijde GF (tegen over het grootste gewicht D) maekende den minsten hoek GBF 143 — 8 de helft is 71 — 34 diens hoekmaet is voor HF 94870 die ook gestelt is op 600 roeden, ende voort om AF te vinden men zette
Vergaert nu de hoeken als hier boven 1) De brief werd niet gevonden [later wel: No. 606a in VI, Supplement]. 2) De tekens voor graden en minuten ontbreken. 3) Hoekmaet wil zeggen: sinus. [ *) Evenredigheid ('regel van drie'): 78935 : 600 = 100000 : x . ] |
[ 392 ]
Om dit nu voort met een proeve t ondersoeken heb ick gemaekt dese figuer, alwaer DH evenwijdich getrocken is met BF, also dat de zijden des driehoeks DBH evenredich zijn met de gewichten, waer door dan de hoeken gevonden worden, als FBG 104 — 15 FBD 143 — 8 GBD 112 — 137 dese GBD trekt van 180 blijft 67 — 23 voor beijde hoeken als BDG en BGD dit van 120 graden blijft 52 — 37 voor beijde hoeken BDF en BGF. De lenkte van BF nu hier voor gevonden zijnde 727 ick zette dan, gelijk DF 1200 tot hoekmaet van zijn over staende hoek DBF 59995, also de sijde BF 727 tot hoekmaet BDF 36347 diens booge is 21 — 19, ende gelijk FG 1200 tot hoekmaet FBG 96923 also BF 727 tot hoekmaet boge BGF 35 — 57, dese twe hoeken vergaert moeste komen 52 — 37 en komt nu 57 — 16. Also dat het op dese manier niet kan goet gemaekt worden 4), of ten waer dat ick uwe schrijven niet wel en verstonde: gelijk ook de volgende woorden van ue schrijven, die ick niet kan verstaen, aldus luijdende:
Den triangel DFG gelijksijdich zijnde, zo moet het getal van t swaerste gewicht gequadrateert sijnde, niet grooter zijn, als de 2 quadraten van de kleijnder gewichten met te saemen het produckt van haer multiplicatie. Ick wenschte wel breder bescheijt hier van te sien bij gelegener tyt.
Van gelijken heeft de linie DI tot DA gelijk het gewicht D tot het gewicht hangende onder A dat is alhier als 14 tegen 8, want DI is dubbelt van DL dat is 14. Ende het quadraet CL 1 trekt van 't quadraet CA 16 blijft voor AL \/ 15 hier toe het quadraet LD 49 komt 64 diens wortel is 8 voor DA. Also a) dat het gewicht C [D] tegen 't gewicht onder A hangende is als 14 tegen 8 ofte 4) De tegenstrijdigheid komt van een fout in de in het begin gegeven getallen: bij de door Huygens gegeven gewichten (65, 100, 105, zie Aanhangsel No. 611) is boog DBF gelijk aan 73° 44', en boog GBF 151° 30'. 5) [<], zie ook Aanhangsel II, No. 612 [>]. a) gedaen den 27 april [D. Rembrandtsz.] |
[ 393 ]
|
7 tegen 4, ende t gewicht C tegen t gewicht onder A hangende als 2 tegen 4: daerom t gewicht D tegen t gewicht C als 7 tegen 2 voor t begeerde. Hier op enich schrijven verwachtende, hoop ick ue wel-vaert en goede kennisse te verstaen.
Bij mij Ue seer toegedaene vrient den derden maij 1659.
|
| [ 394 ] | [ vertaling ] |
La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens.
Δ STV est aequilaterum. in angulis STV pendent super trochleis pondera data inaequalia, connexa funiculis coeuntibus in C. quaeritur quomodo inveniatur punctum C ubi nodus consistet.
Responsum. fiat Δ PQR cujus latera eandem inter se proportionem habeant quam pondera data. Hujus Δi angulorum complementa ad duos rectos sunt ipsi anguli qui fient ad nodum C. ita ut minimum complementum comprehendatur à filis ad minima duo pondera ligatis; maximum complementum comprehendatur à filis ad maxima duo pondera ligatis: Ergo super duo trianguli STV latera descriptis arcubus dictorum complementorum capacibus, eorum intersectio punctum quaesitum ostendet Z.
|
| [ 395 ] | [ v ] |
| [ 396 ] | [ v ] |
|
Jam quia triangula rectangula sunt CQS, OPD, quorum bases CQ, OP inter se aequales, habebit proinde sese CS ad OD ut secans anguli SCQ sive LCB ad secantem anguli DOP sive LDB. Quod si hoc situ pondera mansura sunt, oportet descensum DO ad ascensum CS eam rationem habere quam pondus ex C pendens ad pondus ex D.
Sit angulus LCF
Hîc fit BD |
[ VI, 571 ]
Christiaan Huygens aan D. Rembrandtz van Nierop.10 mei 1659.De brief is gepubliceerd in de Mathematische Liefhebberije, deel 4.
De verkeerde uytkomst uyt UE. Rekeninge ontstaan, is alleen uyt oorsaak dat gy niet wel verstaan en hebt het geene ik wilde beteykenen door Cirkelbogen die de gevonden hoeken, tot de zyden behoorende, begrypen. 
Want dit is niet te zeggen, gelyk gy meynde, dat de booge DBF moeste zyn van 104 — 15, maar zoodanig dat den hoek DBF of DSF, of eenige die men daar in konde beschryven, gelyk sy aan den grootsten der gevondene hoeken, dat is alhier van 143 — 8. In 't Latyn zegt men Arcus Capax Anguli 143 — 8. Het welke ik niet anders heb weten over te setten als door het woord van begrypen, het welk evenwel in der daat dubbel mening is. Nu geloof ik dat gy geen swarigheyd meer hier in vinden zult, want het ligt is op de Linie DF den boog DBF te beschryven, zodanig, dat de hoeken daar in gevallende zyn gelyk aan den gegeven hoek van 143 — 8 door de 33 Propositie van 't 3 Boek Euclidis en van gelyken op de zyde GF den boog GBF, alzoo dat de hoeken daar in als GBF zyn van 104 — 15. De doorsnyding van deze twee boogen B zeg ik te zyn het gezogte Punt: ende komt als dan naar myn Rekening FB zeer na 673¼ Roeden. Voorders tot verklaringe van myne woorden den Triangel gelykzydig zynde zoo moet het getal van het swaarste gewigt &c. sal dit dienen; Het getal van het swaarste gewigt is 1050, de getallen van de twee andere 1000 en 650; ik zeg dan dat het Quadraat van 1050 te weten 1102500, niet grooter mag zyn als de twee Quadraaten van 1000 en van 650, zijnde 1000000 en 422500 met nog daar by het product van 1000 gemultipliceerd met 650 zynde 650000
|
[ VI, 572 ]
De reden waarom dat dit aldus moet wezen, is, om dat, indien het Contrarie gesteld wierde, zoo zoude den hoek FBG kleynder komen als van 60 Graaden, en daarom niet konnen binnen den Triangel vallen, want genomen dat het gewigt in D hangende waar gesteld 8 Pond, dat van F 5 Pond, en van G 4 Pond, zoo zal den Driehoek die ik gezegt heb te moeten gemaakt worden (te weten, wiens zyden geproportioneerd syn als de gewigten) een hoek hebben tegen over de grootste zyde, als hier den hoek N grooter als van 120 Graaden, en dienvolgens syn Complement MNO tot 2 regte hoeken kleynder als 60 graaden; om het welk in 't generaal te bewysen, zoo zy LN verlangt, ende MO daarop regthoekig getogen.
Ik zegge dan indien het vierkant op LM grooter is als de twee vierkanten op LN en NM, met te zamen den Regthoek gemaakt van LN en NM, dat dan den hoek tegen over LM grooter is als van 120 Graaden, want dewyl het Quadraat LM door den 12 Propositie van 't 2de Boek Euclidis even is aan beyde Quadraaten LN en NM met te zamen den dubbelen Regthoek LN, NO. Zoo volgt dan door het gestelde dat dezen dubbelen Regthoek LM, NO, grooter moet wezen als den Regthoek LN, NM; daarom zal dan NO grooter zyn als de helft van NM. Den hoek O nu is regt, zoo is dan noodzakelyk den hoek ONM kleynder als 60 Graaden, want hy zoude van 60 Graaden zyn by aldien NO de helft was van NM, daarom is ook den hoek LNM grooter als van 120 Graaden, het welk te bewysen was. Ik hebbe gezegt, den Triangel DFG gelykzydig zynde, want anders en zoude deze voor verhaalde bepaling daar op niet sluiten: doch zoude als dan ook uit de gestalte van den gegeven Triangel de bepaaling lichtelyk te vinden zyn.
1) Lees: 20. |
[ VI, 573 ]
|
Want dit zeg ik in 't generaal, ende is aanmerkenswaardig, dat indien den Triangel DFG niet gelykzydig en was, maar zoodanig, als men wilde, dat evenwel de hoeken der touwen aan de knoop B de zelfde zouden zyn als te voren, indien alleen de gewigten dezelfde bleven, waar van de reden licht te begrypen is. UE Solutie van de door my voorgestelde is regt, doch om de reden daar van te verstaan, is noodig aan te merken dat een zelfde gewigt onder A hangende 2) magtig is het een of het ander der gewigten C D, in een gegeven stant te houden, en dat door dien zy, te weten C en D, malkander dan konnen ophouden, was heel anders. Ik hoop UE alles wel zal verstaan hebben, waar op eenig antwoord verwagtende, blyf ik
UE Dienstwillige Vriend, den 10 May, 1659. 2) Zie de tweede figuur in brief No. 606a [<].
|
Wat voort aengaet de ontbindinge van ue voorgestelde vrage 5), hier toe heb ick dese figuer AK evenwijdich getrocken met CB, en AI met DB, als ook de hangende IKLCD. Als nu heeft de linie CK tot CA gelijk het gewicht C tot het gewicht hangende onder A dat is alhier als 2 tegen 4. 
A et B sunt trochleae, funis continuus ACBDA, AC 
CB. AD 
CB, DL ad