No 2705. Christiaan Huygens aan H. Basnage de Beauval. [oktober 1691.] De brief is gepubliceerd in Histoire des Ouvrages des Sçavans 1). Brief van de Heer Huygens aan de Auteur betreffende de Harmonische Cyclus.   Ik zend u een nieuwe opmerking over Muziek. Ze betreft de voornaamste fundamenten van deze wetenschap, dat wil zeggen de bepaling van de tonen die men waarneemt in gezang, & in de bouw van Instrumenten. Zij die dit gedeelte van de Theorie enigszins hebben bestudeerd [^] weten wat het is, dat men noemt de Temperatuur die deze tonen modereert, & hoe noodzakelijk ze is in de samenklank*) van Orgelpijpen of Klavecimbelsnaren. De bekendste schrijvers, zoals Zarlino 2) & Salinas 3), spreken erover als een van de mooiste & nuttigste zaken die men in de Muziek kon vinden, & twisten erover aan wie van beiden de eer toekomt haar als eerste te hebben onderzocht, & aan regels onderworpen volgens verhouding en wiskundig bewijs; want vóór hen hadden ondervinding & noodzaak haar al min of meer ingevoerd; echter zonder dat men er de juiste maat of methode van wist. Het is de uitvinding van deze Temperatuur die terecht alle verdelingen van Tetrachorden & van het Octaaf der Ouden links laat liggen, voor het merendeel absurd en van geen nut voor meerstemmig componeren; & door deze uitvinding is het dat ons Systeem van tonen rijker is aan consonanten, & meer volgens de natuur van het zingen dan die van hen waren. Ik veronderstel hier dat men de verhoudingen kent, waaruit de volmaakte consonanten bestaan; te weten dat de Kwint te horen is wanneer men, na de hele snaar te hebben laten klinken, vervolgens het tweederde ervan aanslaat; ofwel dat de verhouding die deze consonant voortbrengt die van 3 tot 2 is. Die van de Kwart van 4 tot 3; van de grote Terts van 5 tot 4; van de kleine Terts van 6 tot 5; van de grote Sext van 5 tot 3; van de kleine Sext van 8 tot 5. En wat de Temperatuur aangaat, dezelfde Schrijvers die ik zojuist heb aangehaald leren ons dat, om haar toe te passen op instrumenten, de consonant Kwint moet worden verminderd met wat men noemt een kwart Komma, wat zo weinig is dat het oor deze vermindering nauwelijks waarneemt, en er in het geheel niet door   1)  In de aflevering van oktober 1691, zie p. 78 e.v.  [2e ed., Savans i.p.v. Sçavans;  Lat. in Opera varia (1724) 2, p. 747: 'Novus cyclus harmonicus'.  Zie ook het Voorbericht in T. XX.]   [ *)  Fr. 'accord', Lat. 'harmonia'; andere vertaling: 'stemming'.]   2)  Giuseppe Zarlino, in 1517 geboren te Chioggia, vervolgens kapelmeester in de San Marco te Venetië. Hij publiceerde: Le istitutioni harmoniche, Dimontrationi harmoniche en enkele andere werken, verzameld in De tutte l'opere ..., Venetië 1589, 4 vol. in folio. Hij overleed op 4 februari 1590.   3)  Zie over Francisco de Salinas [1513-1590] en zijn werk [De musica libri septem, Salamanca 1577]: brief No. 2591 [Ned.], noot 3. [ Frans van Schooten jr bezat een exemplaar sinds 1637 (nu in HAB), Constantijn Huygens had dit geleend (tot 1645), en bestelde in 1672 een exemplaar bij Chièze, die het in 1674 kon leveren; zie Rudolf Rasch, 'Music in Spain in the 1670s through the eyes of Sébastien Chièze and Constantijn Huygens', in Anuario musical, No. 62 (2007) 97-124.]

[ 170 ]

wordt gehinderd; daar het hele Komma de verhouding is van de tonen van de hele snaar tegen zichzelf verkort met slechts 1/81. Daaruit volgt, dat de Kwart met dat zelfde kleine bedrag wordt vermeerderd. De kleine Terts wordt er eveneens verminderd met ¼ Komma, en dientengevolge de grote Sext evenveel vermeerderd; maar de grote Terts blijft er volmaakt; en dientengevolge ook de kleine Sext.   Volgens deze maten van de consonanten is het, dat men alle tonen van de instrumenten vaststelt, zowel de Diatonische als de Chromatische, die men eraan heeft toegevoegd, & zelfs de Enharmonische tonen, als men ze plaatst om de registers meer volledig te maken.   Wat ik nu heb opgemerkt is, dat als men het Octaaf verdeelt in 31 gelijke intervallen, wat gedaan wordt door 30 middelevenredige lengten te zoeken tussen een hele snaar (die men als Harmonische liniaal neemt) en de helft ervan; dat men dan in de tonen die deze verschillende lengten voortbrengen een Systeem zal vinden, zo dichtbij dat wat voortkomt uit de Temperatuur die ik zojuist heb uitgelegd, dat het geheel onmogelijk is dat het meest onderscheidende oor er enig verschil in vindt. En dat toch dit zelfde nieuwe Systeem van een heel andere aard zal zijn dan het andere, en nieuwe voordelen zal brengen zowel voor de Theorie als voor de Praktijk.   Salinas maakt melding van deze uitvinding het Octaaf te verdelen in 31 gelijke delen, maar slechts om haar te veroordelen; & na hem verwerpt pater Mersenne haar eveneens, zodat men mij wel zal kunnen geloven als ik zeg, dat ik haar niet van deze Schrijvers heb overgenomen. Maar als dat zo zou zijn, zou ik denken genoeg te hebben gedaan door de voortreffelijkheid van deze verdeling te hebben aangetoond met de principes van de Meetkunde, & haar te hebben verdedigd tegen het onjuiste vonnis uitgesproken door deze twee bekende Schrijvers.   In het 3e boek over Muziek van Salinas staat een heel hoofdstuk [27] over dit onderwerp 4), waarvan het opschrift is: Over de verkeerde inrichting van een instrument, waarvan de vervaardiging in Italië meer dan veertig jaar geleden is begonnen, waarin gevonden wordt dat elke toon in vijf delen is verdeeld. Hij zegt dat dit instrument Archicymbalum werd genoemd, dat het van een onbekende ontwerper was; dat bepaalde erg bekwame Musici het zeer waardeerden; & in het bijzonder het feit dat het alle intervallen had, & alle consonanten (naar ze geloven, zegt hij) naar boven & naar beneden, & dat men er na een bepaalde kringloop terugkwam op hetzelfde geluid, of gelijkwaardig, waar men van was uitgegaan. Dat het Octaaf er was verdeeld in 31 gelijke delen, die ze Diëzen noemden, waarvan de toon er 5 moest bevatten; de grote halve toon 3; de kleine 2; de grote Terts 10; de kleine Terts 8; de Kwart 13; de Kwint 18; de kleine Sext 21; de grote Sext 23. Maar hij voegt er aan toe, dat na te hebben geprobeerd een instrument van deze bouwwijze te stemmen, het een erg onaangenaam geluid heeft gegeven, dat de oren van alle aanwezigen buitengewoon veel pijn deed. Zodat hij concludeert dat een dergelijke stemming zich verwijdert van   4)  In boek G [HUG 7, 92r] van de Adversaria heeft Huygens enkele passages van het boek van Salinas overgeschreven [ook uit h. 15: tria genera Temperamenti] en er enkele opmerkingen aan toegevoegd die hier zijn terug te vinden. [Zie T. XX, p. 111 e.v.]

[ 171 ]

elke Harmonische verhouding, of men haar nu onderzoekt op het punt van juiste consonanten, of van de Temperatuur. Behalve zijn proef haalt hij nog een bepaald argument aan, ontleend aan de manier die men (naar hij zegt) gebruikte om deze verdeling te maken; & pater Mersenne denkt eveneens hem goed te hebben weerlegd. Waarin ze zich allebei hebben vergist, doordat ze het Octaaf niet in die 31 gelijke delen konden verdelen, wat de uitvinders blijkbaar ook niet hebben gekund; omdat daartoe nodig was het begrip van Logaritmen, die nog niet waren uitgevonden in hun tijd, en ook niet in die van Salinas. Om kort te gaan, deze nieuwe Temperatuur, die zij zo sterk afwijzen, kan de meest voortreffelijke van alle worden genoemd, omdat ze alle voordelen heeft die men eraan toekende; vooral die eenvoud, die ze aanbrengt in de Theorie van de tonen; & omdat ze zo weinig verschilt van de door allen gebruikte, dat het oor ze niet zou kunnen onderscheiden; zoals ik door berekening ga bewijzen.   Ik zeg dan ten eerste, dat de Kwinten van deze verdeling die van de Temperatuur overtreffen met slechts 1/110 Komma, een verschil dat het gehoor in het geheel niet zou kunnen waarnemen; maar dat deze consonant anders des te dichter bij volmaaktheid zou brengen.   De Kwarten worden dientengevolge door die van de Gewone Temperatuur met slechts dit 1/110 Komma overtroffen, & ze neigen ook des te meer naar volmaaktheid.   De kleine Tertsen zijn 3/110 of ongeveer 1/37 Komma kleiner dan die van de Temperatuur; & de grote Sexten gaan de grote Sexten van de Temperatuur evenveel te boven; allebei verwijderen ze zich inderdaad van de volmaakte verhouding; maar men ziet dat dit verschil van 1/37 Komma niet waarneembaar zou kunnen zijn, en niet merkbaar ¼ Komma vergroten, waarmee deze consonanten bij de Temperatuur al afweken van van de ware.   De grote Tertsen tenslotte overtreffen die van de Temperatuur, die volmaakt zijn, met 4/110, of ongeveer 1/28 Komma, wat zo weinig is, dat men ze nooit anders dan voor volmaakt zal kunnen houden, ondanks deze kleine vermeerdering. Want wat kan 1/28 alleen uitmaken, aangezien een ¼ zo gemakkelijk te verdragen is.   Uit de kleinheid van al deze verschillen kan men concluderen, dat als een Orgelregister, of een Klavecimbel gestemd is volgens de gewone Temperatuur, het dit ook zal zijn volgens de nieuwe verdeling, voorzover het oor kan onderscheiden. Maar als men daarover toch helemaal voldaan wil zijn, & een instrument wil stemmen volgens de 31 gelijke delen van het Octaaf, moet men slechts een monochord verdelen volgens de getallen die men ziet in de Tabel die ik geef; & met de hele snaar gelijkgestemd met de C van het Klavecimbel of van het Orgel, eveneens de andere snaren of pijpen stemmen met de geluiden die deze verdeling eraan toekent, & die men hoort als men de kam plaatst volgens wat ze aanwijst. Wat betreft het Archicymbalum waarover Salinas spreekt, ik twijfel erover of het niet 31 toetsen voor elk Octaaf heeft gehad; maar omdat men een dergelijk klavier niet zou kunnen gebruiken, zonder de weg kwijt te raken in de veelheid van toetsen en tussentoetsen, zou mijns inziens het beste zijn: 31 gewone

[ 172 ]

snaren voor elk Octaaf zetten, wat zonder veel moeilijkheid kan, & na de stokken die de dokjes*) oplichten alle van gelijke lengte, hoogte & breedte te hebben gemaakt — welke breedte een vijfde uitmaakt van die van een gewone toets — een beweegbaar klavier erop plaatsen, met onderaan alle toetsen punten°) vastgemaakt; die als ze eenmaal goed zijn afgesteld, om de snaren te laten klinken die men in elk Octaaf gebruikt, het eveneens zullen zijn voor alle Transposities. Zodat men ze zonder enige moeite zal kunnen uitvoeren, over tonen, halve tonen, & tot aan vijfden van tonen; terwijl men er zeker van is, dat alle tonen en akkoorden overal even juist zijn; wat erg nuttig zal zijn, & genoegen zal geven. Ik heb eertijds in Parijs zulke beweegbare klavieren laten maken, om ze op gewone klavieren van Klavecimbels te plaatsen, & hiermee verscheidene Transposities te maken, hoewel niet alle compleet; & deze uitvinding werd door grote meesters goedgekeurd & nagemaakt.   [ *)  Fr. 'sautereaux', Lat. 'subsilia'; dokjes in Rasch 1986; niet in WNT, wel: 'dokken' - stoten.]  [^]   [ °)  Zie de stippen in de figuur van T. XX, p. 164 (daar is ook te zien: niet precies "een vijfde", maar 7/31); vgl. de 'instruction' op p. 160-161.]   Opdat men zich nu kan vergewissen van de waarheid van wat hierboven gezegd is, kan men deze Tabel bekijken, waarvan ik de inhoud en het gebruik uitleg.     Bron: TFM   De 2e Kolom bevat de getallen die de lengten uitdrukken van de snaren die de 31 gelijke intervallen maken volgens de nieuwe verdeling; verondersteld is dat de hele snaar van 100000 delen is, & dientengevolge zijn helft, die het Octaaf ermee maakt, van 50000. Ernaast in de 3e Kolom staan de lettergrepen die men gebruikt bij het zingen, & * voor enkele Enharmonische snaren, waarvan die dichtbij Sol* het meest nodig is. In de 4e Kolom staan de letters, die gewoonlijk dienen om de tonen aan te duiden. De getallen van de 2e Kolom zijn gevonden met die van de 1e, die hun bijbehorende logaritmen zijn. En om de laatste te krijgen heb ik de logaritme van 2, die 0,30102999566 is, gedeeld door 31; waaruit kwam het getal N, 97106450, dat ik voortdurend opgeteld heb bij de logaritme van 50000, die 4,6989700043 is; & uit deze optellingen zijn voortgekomen alle logaritmen van de Kolom tot aan de grootste 4,9999999993, die zo weinig verschilt van 5,0000000000 (wat ervoor in de plaatst kan worden gezet) dat te zien is dat de berekening goed is uitgevoerd. Degenen die logaritmen begrijpen, weten dat zo moest worden te werk gegaan, om de 30 evenredige getallen tussen 100000 & 50000 te krijgen.   De 5e Kolom bevat in getallen de snaarlengten volgens de gewone Temperatuur, & in de 6e Kolom staan de logaritmen van deze getallen.   Ik zou kunnen laten zien hoe ik ze heb berekend, & zelfs hoe deze Temperatuur te vinden zou zijn als het nog niet gebeurd was. Maar dat zou te lang worden, & het zal voldoende zijn dat ik hier laat zien de manier om te onderzoeken, & de juistheid van deze getallen, & alles wat is gezegd aangaande de nieuwe verdeling, & over het verband dat ze heeft met de Temperatuur.

[ 173 ]

[ Tabel, met noot 5 bij kol. 2, 3e getal: 52278 - lees 52287.] [ Huygens corrigeerde nog 3 foutjes in de 6e kolom in een brief aan Leibniz (4 febr. 1692), zie p. 240.]

[ 174 ]

Laten we aannemen dat men wil weten, of de Kwint Ut, Sol, van de Gewone Temperatuur, ¼ Komma minder is dan de ware Kwint, die de verhouding 3 tot 2 maakt. Van de log. van Ut die 5,0000000000 is, haal ik die van Sol af, die 4,8252574989 is; de rest 0,1747425011 stelt voor de grootte van de Kwint van de Temperatuur. Evenzo: het verschil van de logaritmen van 3 & van 2, dat in logaritmetafels wordt aangegeven als 1760912594, stelt voor de grootte van de volmaakte Kwint. Hiervan trek ik de gevonden Kwint van de Temperatuur af, & er resteert 13487583. Wat de logaritme moet uitmaken van ¼ Komma. En dat is waar; want de logaritme van het hele Komma, dat wil zeggen het verschil van de logaritmen van 81 & van 80, is 53950319 waarvan een kwart 13487580 is.   En als men wil zien, of er een kwint is van de nieuwe verdeling zoals Re, La, die verschilt van de ware met ¼ – 1/110 Komma, moet alleen van de logar. van Re, die 4,9514467743 is, afgehaald worden de logar. van La, die 4,7766551643 is, resteert 1747916100, wat ik afhaal van de logaritme van de ware Kwint, die 1760912594 was, resteert 12996494, wat minder is dan de log. van een kwart Komma, te weten 13487580; waarvan ik het dus afhaal, & er resteert 491086. Nu moet bekeken worden welk deel dit uitmaakt van het Komma. Daarom deel ik de log. van het Komma, te weten 53950319 door 491086, komt heel dichtbij 1/110. Zodat blijkt dat onze Kwint niet met een kwart Komma wordt overtroffen door de volmaakte Kwint, maar dat het 1/110 Komma scheelt. Op dezelfde manier kan men alles onderzoeken wat die Temperaturen aangaat; en voor deze berekeningen in de Muziek komt niets zo van pas als logaritmen.   [ Zie ook het Voorbericht in T. XX, met op p. 146 een moderne tabel met intervallen in 'centen', waarvan er 1200 in een octaaf gaan.]   [ Correspondentie met Leibniz: p. 224, 225, 229, 239, 240, 298.]   [ De harmonische cyclus en 31 tonen in een octaaf worden genoemd in Chr. Huygens, Kosmotheôros (1698), p. 77, in het Nederlands De Wereldbeschouwer (1699 .. 1989), p. 103-111: "een zekere tot haar zelf wederkeerende Zangkring".]   [ J. van de Craats, 'Christiaan Huygens en de muziek', in De zeventiende eeuw, 7 (1991) 7-16.]