VI. DE (NIEUWE) HARMONISCHE CYCLUS.

[ 141 ]

Voorbericht.   De studie over de Harmonische Cyclus is al gedrukt in T. X 1) in de vorm die Huygens er in 1691 aan gaf, vrij lang na de berekeningen te hebben gemaakt 2), te weten de vorm van een brief aan de uitgever 3) van de Histoire des Ouvrages des Sçavans 4). De Latijnse vertaling van deze publicatie van 1691 in de Opera Varia 5) van 1724 draagt de naam 'Novus Cyclus Harmonicus'.   In regel 19 van p. 168 van het Stuk dat Aanhangsel I vormt, spreekt Huygens zelf over "getallen van de nieuwe temperatuur. het octaaf in 31 gelijke delen" (cursivering van ons). En verderop in hetzelfde Stuk schrijft hij:   "Dat ongetwijfeld de verdelingen van 3 tot 2, 4 tot 3, 5 tot 4, 6 tot 5 de beste consonanten geven die er kunnen zijn. tegen Stevin" (deze eerste zin zullen we verderop beschouwen). "Het octaaf in 31 delen dat Mersenne geeft in prop. 10 van Genres   1)  P. 169-174.  [Ned.]   2)  Het Stuk A dat volgt moet dateren van 1661; inderdaad schreef Huygens op 1 augustus 1661 (p. 12 hiervoor) te hebben gevonden dat in de muziek "logaritmen van groot nut zijn", wat niet slaat op de Stukken van 1661 over de Verdeling van het Monochord waarin hij geen gebruik heeft gemaakt van logaritmen.   3)  Basnage de Beauval.   4)  Zie over dit tijdschrift noot 11 van p. 83 van T. IX, die ook een nieuwe uitgave van 1721 noemt.   5)  P. 747-754.

[ 142 ]

de Musique is niet het onze. en zijn delen zijn helemaal niet gelijk" (cursivering toegevoegd). Bij het schrijven van deze pagina, het programma van Stuk E, heeft hij dus heel goed de verdeling in 31 gelijke delen als nieuw kunnen beschouwen.   In het vervolg spreekt hij anders over Mersenne. In § 2 van Stuk E schrijft hij: "ik wil hier tegemoetkomen aan wat degenen zouden kunnen tegenwerpen die de boeken van Salinas of van pater Mersenne hebben gelezen, te weten dat er heel uitdrukkelijk wordt gesproken van deze zelfde verdeling van het octaaf in 31 gelijke delen. Wat waar is en ik beken het gaarne" (cursivering van ons).   De getallen nu die Mersenne geeft op de aangehaalde plaats van Harmonie Universelle van 1636, na de raadselachtige woorden "Ik geef niettemin [d.w.z. zonder ze goed te keuren] het systeem dat de gebreken aanvult van dat van Salinas, opdat men alles heeft wat over dit onderwerp te wensen is: er zijn dan 32 noten, of 31 intervallen, waarvan men de redenen uitgedrukt ziet met de getallen die hiernaast staan tegenover elke noot, maar het is zo gemakkelijk op te merken wat hij meer heeft dan de anderen dat het niet nodig is het uit te leggen, daarbij komt dat we uitgebreider erover spreken in het livre des Orgues", die getallen, zeggen we, zijn de volgende: 14000[0]*) 138240 135000 129600 ........... ...........   72000 32 getallen, zie daarover Aanhangsel II op p. 171 hierna.   De verhouding tussen de twee eerste getallen is 1,0127 [1,0417]; die van het tweede en derde 1,0240; die van het derde en vierde 1,0417 enz. Huygens had dus volkomen gelijk toen hij schreef dat de intervallen van Mersenne helemaal niet gelijk zijn en hij heeft ongelijk als hij even later het tegendeel bekent. We voegen eraan toe dat de verschillen in de verhoudingen veel te groot lijken om te kunnen geloven dat Mersenne op zijn minst de bedoeling heeft gehad ze gelijk te maken. Wat Salinas betreft (van wie Mersenne zegt de gebreken te corrigeren) hij schrijft o.a. 6): "we loochenen niet, dat de Toon en ook elk   [ *)  144000 in origineel: 'Genres' en 'Livre des Orgues', p. 339 en ook 357 (klavier), Lat. 1636: p. 128, 1648: p. 128.]   6)  Musica, boek III, cap. 27.

[ 143 ]

interval Meetkundig in vijf delen, & meer even evenredige, kan worden verdeeld, maar we ontkennen volstrekt dat dit Diëzen zijn". Zie p. 112 hiervoor, met noot 5. Bij Salinas is er dus duidelijk sprake van gelijke intervallen, maar alleen om ze af te keuren, zoals Huygens opmerkt.   In Stuk F nu, d.w.z. in de 'Cycle Harmonique' van 1691, schrijft Huygens [<], zoals tevoren in Stuk E: "Salinas maakt melding van deze uitvinding het Octaaf te verdelen in 31 gelijke delen, maar slechts om haar te veroordelen; & na hem verwerpt pater Mersenne haar eveneens, zodat men mij wel zal kunnen geloven als ik zeg, dat ik haar niet van deze Schrijvers heb overgenomen". In beide Stukken spreekt Huygens van zijn "nieuwe systeem".   De door Huygens opgegeven reden om ons te laten geloven, dat hij de verdeling in 31 intervallen "niet van deze Schrijvers" heeft overgenomen, lijkt ons zwak. Wat naar onze mening volkomen geloofwaardig is — en zo kan de werkelijke betekenis van zijn zinsnede zijn — is dat het niet deze schrijvers alleen zijn die hem het idee van zijn 'perikuklôsis' (kringloop) hebben gegeven. Inderdaad noemt hij in het Stuk dat ons Aanhangsel I vormt ook Stevin; we hebben hierboven de alinea geciteerd die deze naam bevat, die onmiddellijk wordt gevolgd door die waar Huygens zegt dat de 31 intervallen van Mersenne helemaal niet gelijk zijn. Anderzijds, we hebben het uiteengezet in noot 9 van p. 32, wist Mersenne even goed als Huygens dat het bij Stevin gaat om twaalf gelijke intervallen, en de verhouding van de dertien getallen van Beaugrand gegeven door Mersenne om ze uit te drukken zijn inderdaad (op zeer weinig na) gelijk; deze omstandigheid geeft nog meer reliëf aan de ongelijkheid van de 31 verhoudingen waarvan hierboven sprake is. We hebben gezien (p. 27) dat Huygens, evenals Descartes, Stevins verdeling in 12 afkeurt, die trouwens bij deze schrijver niet een temperatuur is, maar geacht wordt overeen te komen met de natuur der dingen. Is er dus, alles welbeschouwd, geen aanleiding te vermoeden dat de temperatuur van Huygens, zijn nieuwe [woord van Huygens] harmonische cyclus, voortkomt uit de oude cyclus van Stevin, die hij ongetwijfeld sedert zijn jeugd kende, verbeterd door vergroting van het aantal intervallen? Op deze wijze bleef het voordeel van de kringloop behouden, zonder dat de afwijkingen van de tonen met die van de gewone temperatuur (die van de middentoonstemming, die Huygens de ware temperatuur noemt 7)) te groot waren.   7)  Zie regel 1 van p. 116 hiervoor.

[ 144 ]

Iedereen weet, en we hebben het al hierboven gezegd, dat het systeem van Stevin (of van Aristoxenos) de overhand heeft behaald, althans tegenwoordig 8). Maar dat van Huygens is zonder twijfel exacter.   We voegen er nog als historische opmerking aan toe dat al bij Vicentino 9), die Huygens niet noemt, te vinden is het voorstel om het octaaf te verdelen in 31 gelijke intervallen, waarvan vijf een hele toon zouden vormen en drie een grote halve toon. Anderzijds is de verdeling van een toon in vijf 'diëzen' al te vinden bij Marchetto van Padua 10).   Over een manuscript dat ons onbekend is gebleven en dat een zekere invloed op Huygens kan hebben gehad is te raadplegen noot 11 van p. 46 hiervoor.   Zie ook het eind van noot 21 van p. 160 hierna.   Bij Huygens krijgt het systeem een nieuw voorkomen in twee opzichten. Ten eerste is hij in staat zeer nauwkeurig de lengten van de snaren aan te geven die corresponderen met de verschillende tonen,   8)  Hier overdrijven we enigszins. "Iedereen" weet dat het systeem van de getempereerde toonladder, met 12 gelijke intervallen, de overhand heeft behaald; maar het is niet algemeen bekend dat Stevin aan het begin van de 17e eeuw het systeem met 12 gelijke intervallen heeft aangeprezen en dat Mersenne in de Harmonie Universelle het in de eerste plaats aan hem toeschrijft (p. 33 hiervoor). James Jeans (Science and Music, 1938, p. 175) schrijft: "All semitones are now equal and ... each represents precisely the same frequency ratio 1,0587 ... these frequency ratios had been correctly calculated by the French mathematician Mersenne [maar zie wat we op p. 34 hiervoor zeggen over Beaugrand, Boulliau en Gallé] in his Harmonie Universelle as far back as 1636". J.P.N. Land schrijft ('Het toonstelsel van Chr. Huygens', 1891, p. 198): "Met name wilde de praktijk, dat men de toonladder, zonder op een instrument met vaste tonen (klavier of orgel) al te veel toetsen in te voegen, op elk harer eigene trappen zou kunnen transponeren. Sedert J. Seb. Bach is dit, naar men weet, bereikt door de verdeeling der octaaf in twaalf gelijke halve tonen, waarvoor men de berekening heeft gemaakt".   9)  Nicola Vicentino, geboren in 1511 te Vicenza, overleden te Rome in 1572, componist en theoreticus, trachtte de chromatische en enharmonische systemen der Ouden te doen herleven. Hij behandelt dit onderwerp in zijn werk L'antica musica ridotta alla moderna prattica, Rome 1555 [2e ex.; Lib. 5, fig.]. Vergelijk K.W.J.H. Riemann, Geschichte der Musiktheorie im IX-XIX Jahrhundert, Leipzig 1898, p. 358.  [Zie: Archicembalo.]   10)  Marchetto van Padua, theoreticus, leefde omstreeks 1300. Vergelijk Riemann [noot 9] p. 136. [ Joe Monzo, 'Speculations on Marchetto of Padus's "Fifth-Tones"', in Encyclopedia of microtonal music theory.]

[ 145 ]

aangezien hij, als eerste naar het schijnt, een berekening met logaritmen gebruikt 11); voortaan wordt de ware maat van een interval de logaritme van de overeenkomstige verhouding: vergelijk het eerst Voorbericht van dit Deel en de brief van Huygens aan Moray van 1661 12). In de tweede plaats toont hij aan dat het stelsel van de 31 zo gedefinieerde tonen zó weinig verschilt van het middentoonstelsel dat de twee als vrijwel identiek kunnen worden beschouwd: bijgevolg krijgt het middentoonstelsel om zo te zeggen een wiskundig fundament.   We publiceren hier (Stuk D) een onuitgegeven fragment van een concept-brief aan Basnage de Beauval 13); (Stuk E) een Franse redactie van de 'Cycle Harmonique' — overigens ook fragmentarisch: aan het eind staat een onafgemaakte zin — vroeger dan zoals die (Stuk F) in oktober 1691 verscheen; (Stuk A) de 'Verdeling van het octaaf in 31 gelijke intervallen' [Latijn] die zonder twijfel al van 1661 dateert aangezien de achterkant van het blad de nieuwe methode 14) van dat jaar bevat ter berekening van logaritmen (waarvan Huygens in 1666 of 1667 mededeling deed aan de Académie des Sciences van Parijs, zie verderop in dit Deel [p. 225]); tenslotte een tabel (Stuk B) genoemd en deels gereproduceerd in het artikel van 1891 'Het toonstelsel van Christiaan Huygens' van Land 15); een commentaar op een andere tabel (Stuk C), enkele notities (Stuk G) en het belangrijke Aanhangsel I hierboven genoemd. Zie over Aanhangsel II p. 142 hierboven.   Laten we nog optekenen dat de beweegbare klavieren die Huygens in Parijs liet maken, schijnen te zijn van 1669: zie noot 22 van p. 161. Over een beweegbaar klavier waarover Huygens in 1663 hoorde spreken is de tweede alinea van noot 2 van p. 154 te raadplegen.  ['Journal', Londen, zie T. XXII, p. 602: Senti.]   Om te eindigen geven we hier een tabel van de intervallen die met de tonica C de verschillende tonen vormen van de chromatische toonladder, respectievelijk volgens het stelsel van Huygens, volgens dat van de middentoon en volgens dat van de gelijkmatige temperatuur of verdeling van de toonladder in 12 gelijke intervallen.   11)  Zie de noten 4, 5 en 6 van p. 171 en 172 hierna [zie over Gallé: Bull. Inst. Arch. L. 1881, p. 502].   12)  P 7 en 12 [brief (Ned.): T. III, p. 307]. F. J. Fétis, Biographie universelle des musiciens (2e ed. Parijs 1864, T. VI s.v. 'Neidhardt') [p. 297], uitte de hypothese dat J. G. Neidhardt in zijn werk Sectio canonis harmonici, zur voelligen Richtigkeit der Generum modulandi, Königsberg, 1724, de eerste zou zijn geweest die logaritmen toepaste in de muziektheorie. Riemann, Musik-Lexicon, 9e ed. Berlijn, 1919 [1905, p. 783] (evenzo Riemann-Einstein, 11e ed. Berlijn 1929 s.v. 'Logarithmen') kent geen toepassing van logaritmen in de muziek van voor Euler [Tentamen novae theoriae musicae, 1739]. Vergelijk p. 7 hiervoor (noot 10).   13)  Vergelijk noot 3 van p. 141 hierboven.   14)  Vergelijk het eind van Stuk II op p. 12 hiervoor.   15)  Genoemd in noot 4 van p. 44 hiervoor [en in noot 8 van p. 144 hierboven].

[ 146 ]

We drukken de intervallen uit in Centen 16) en bovendien in 'diëzen' in het geval van het stelsel van Huygens. De verschillen in grootte tussen de intervallen van het stelsel van Huygens en die van het middentoonstelsel zijn aangegeven in Centen en ook in gedeelten van het syntonisch komma [81/80].

16)  Het aantal Cent dat overeenkomt met het interval van twee tonen gegeven door snaren met lengten resp. m en n (waarbij we m < n veronderstellen), m.a.w. dat van twee tonen waarvan de trillinsfrequenties in de verhouding m : n zijn, is de logaritme van de breuk n/m met als grondtal 1200√2. Men berekent dus het aantal Cent volgens de formule 1200 log (n/m) / log 2. Het octaaf bedraagt natuurlijk 1200 Cent; de diëze [verhoging] van Huygens bevat er 1200 / 31 = 38,71; en het syntonisch komma 21,5.   17)  De berekening is uitgevoerd door toepassing van de formule van noot 16 op de waarden van de door Huygens opgestelde tabel in de '(Nieuwe) Harmonische Cyclus'.   [ P. 164: tekening van Huygens, 'indeling van beweegbare toetsen met het octaaf verdeeld in 31 gelijke intervallen'.

De aanslagpunten liggen 2/31 of 3/31 octaaf van elkaar, de letters eronder geven de namen van p. 167: "Ut it re ma mi fa fe sol sel la ça ci ut", met de U als V en R* i.p.v. 'ma' en L* i.p.v. 'ça'. De tekening zal dus zijn van 1681 of eerder, zie p. 129 bij Quirinus van Blankenburg. (Rasch 1986 veronderstelt, zie p. 77 en 84, Fol. 64: aug. 1661.) In een brief van 28 aug. 1669 (T. VI, p. 484) aan broer Lodewijk schreef Huygens: "Ik heb aan Vader o.a. een nauwkeurige en vrij lange beschrijving van de uitvinding van mijn beweegbare klavier gezonden, die hij me had gevraagd". Zie ook T. XX, p. 160 § 4.]     [ Aeneas Veldcamps, Onderrichtinge ... wegens eenige perioden tegens hem ... (1727/1985) bevat een 'Meetkonstige Scala', met 31 delen per octaaf (figuur uit: Jaap den Hertog, Anthoni van Noordt, 2013, p. 135). Zie daarover: Ibo Ortgies, Die Praxis der Orgelstimmung (Göteborg 2004), p. 144. Vergelijk de 'transporteur' van Quirinus van Blankenburg, in zijn Elementa musica van 1739, met op p. 118: "Den grooten Huygens, daar ik verscheide malen over dit drievoudig tiental dat op 31 uitkomt mee heb gezeten ...".]  [<] Bronnen en literatuur Nicola Vicentino, L'antica musica ridotta alla moderna prattica, Rome 1555. Gioseffo Zarlino, Le istitutioni harmoniche, Ven. 1558, Dimostrationi harmoniche, Ven. 1571, Sopplementi musicali, Ven. 1588; De tutte l'opere, Ven. 1589. Francisco de Salinas, De musica libri septem, Salamanca 1577. Marin Mersenne, Harmonie universelle, Paris 1636-7. Joannes van der Elst, Den ouden ende nieuwen grondt vande musiicke, Gent 1662. Lemme Rossi, Sistema musico, Perugia 1666.   Rasch 1986, p. 101: "The first explicit description of the 31-tone scale ... p. 85-88". Het is de 'divisione di D. Nicola' (Vicentino), die "si fa con le tavole de' Logaritmi". Christiaan Huygens, 'Lettre de Mr. Huygens à l'Auteur touchant le Cycle Harmonique', in Histoire des ouvrages des sçavans, 1691, 2e ed. p. 78-88.   In T. X, p. 169-174; als tekstbestand bij Stichting Huygens-Fokker en bij TMF en bij DBNL. 'Novus Cyclus Harmonicus', in Christiani Hugenii ... Opera varia (1724), Vol. 2, Tom. 4, p. 747-754. Andreas Werckmeister, Musicalische Temperatur, 1691 (p. 77; zie Huygens' commentaar in T. XX, p. 133-5).  [^] Joseph Sauveur, 'Système general des intervalles des Sons', in Histoire de l'Académie royale des sciences, 1701, p. 299-366.   P. 351-: fig. boventonen.  Vgl. Huygens in T. XIX, p. 366, notitie van 1675.) Quirinus van Blankenburg, Elementa musica of niew licht tot het welverstaan van de musiec en de bas-continuo, 1739.  [<] Leonhard Euler, Tentamen novae theoriae musicae, Petropoli 1739. Robert Smith, Harmonics, or The philosophy of musical sounds, Cambridge 1749 (tabel bij p. 238). Adriaan Daniël Fokker, 'Harmonische muziek', Archives du Musée Teyler, Ser. III, 9 (1941), p. 449-506. Idem, 'Het muzikale toonstelsel van Christiaan Huygens, de normale diëzenstemming', in De Gids, 106 (1942) 164;  e.a. Idem, Rekenkundige bespiegeling der muziek, J. Noorduyn, Gorinchem, 1944.   Bespreking: E.J. Dijksterhuis, 'Adriaan Fokker: Rekenkundige bespiegeling der muziek', in Mens en Melodie, 1 (1946) 59-62. Stichting Huygens-Fokker: Fokker-orgel (1950).   'Orgel in de stemming van Huygens', Mens en Melodie (1948).   A. D. Fokker, 'Over de bouw van het 31-toonsorgel'. H. F. Cohen, Quantifying music : The science of music at the first stage of the scientific revolution 1580-1650, Reidel 1984. Rudolf Rasch (ed.) Christiaan Huygens, Le cycle harmonique (Rotterdam 1691); Novus Cyclus Harmonicus (Leiden 1724) with Dutch and English Translations, Utrecht 1986.   Bespreking: H. F. Cohen, in 'Tijdschrift van de Vereniging voor Nederlandse Muziekgeschiedenis', 39 (1989) 93-97. J. van de Craats, 'Christiaan Huygens en de muziek', in De zeventiende eeuw, 7 (1991) 7-16. Hier een andere vertaling van 'Le cycle harmonique' in het Nederlands (2013).