Definitie   Van stralen of gebroken stralen wordt gezegd dat ze in verband staan met dat punt, waarnaar ze gericht zijn, of waar ze vandaan komen, of ten opzichte waarvan ze zich zo gedragen alsof ze er vandaan gekomen waren. Voorstel XII   Gegeven van een doorschijnend lichaam een bolvormig oppervlak, dat bol of hol is, en een punt, waarmee stralen in verband staan die het genoemde oppervlak ontmoeten. En met drie afstanden tot dat punt wordt een vierde evenredige bepaald, op een as die door het middelpunt van het oppervlak gaat, en door het punt zelf. En van deze afstanden is de eerste: van het gegeven punt tot dat, waarmee in verband zouden staan de gebrokenen van stralen, die evenwijdig met de as van de andere kant zouden komen. De tweede: tot het brekende oppervlak. De derde: tot het middelpunt daarvan.

[ 43 ]

Van de vierde afstand zal het eindpunt zijn: het punt waarmee de gebroken stralen in verband staan. En deze vierde afstand moet genomen worden aan de kant van het gegeven punt, waarbij ofwel alle afstanden aan dezelfde kant liggen, ofwel twee aan weerskanten*).   Dit theorema zullen we in acht delen verdelen, want het oppervlak is bol of hol, en bij elk kunnen de stralen van buiten of van binnen komen, en gericht zijn van het gegeven punt af, of er naartoe. En bij de meeste delen zullen er nog verschillende gevallen zijn. Deel 1   Wanneer het oppervlak bol is, en wanneer vanaf het punt komende stralen daarop van buiten terechtkomen.   Stel dat van een doorschijnend lichaam het oppervlak AB bolvormig en bol is, met middelpunt C, en dat D een punt is vanwaar stralen komen die daarop terechtkomen, zoals DB. We trekken een rechte door D en C, en geven daarop een punt aan, zodanig dat CR tot RA de brekingsverhouding heeft. Dan is R het punt van samenkomst van evenwijdige stralen die van de andere kant komen {* voorstel IX}. Nu ligt punt D òf verder òf minder ver van het bolle oppervlak af dan punt R. Want als het in punt R zelf valt, worden de (gebroken) stralen die er vandaan komen voor evenwijdig gehouden, zoals duidelijk is uit voorstel IX; en wel omdat, zoals we gezegd hebben, evenwijdige stralen die van de kant van C komen door oppervlak AB afgebogen worden naar punt R. Laat dus eerst punt D verder zijn dan R, en aangezien DR de eerste is van de genoemde afstanden, DA de tweede, en DC de derde, komt er DR : DA = DC : DS. Ik zeg dat S het punt van samenkomst zal zijn van de stralen die uit D afkomstig zijn. Want ten eerste zullen we inderdaad aantonen dat van geen enkele straal de gebrokene met de as AC samenkomt voorbij het punt S.   *)  Kort gezegd:   (v – f 1)  :  v  =  (v + R)  :  (v + b).

[ 45 ]

Van een of andere straal DB is de gebrokene BL, en CM wordt evenwijdig aan DB getrokken, en verlengd in de richting van C tot waar hij in F het oppervlak AB ontmoet. Aangezien dus FM door het middelpunt van het bolle oppervlak getrokken is, evenwijdig met de straal DB, en de gebrokene hiervan BM is, staat vast dat FM kleiner is dan CR {* voorstel VIII}, en CM is dus kleiner dan AR. Verder is DB groter dan DA. Daarom is de verhouding DB tot CM, dat is DL tot LC, groter dan DA tot AR; en dus (door omzetting van de verhouding) is de verhouding LD tot DC kleiner dan AD tot DR, d.w.z. kleiner dan SD tot DC. Bijgevolg zal DL kleiner zijn dan DS. Het blijkt dus dat van de straal DB de gebrokene BL samenkomt met de as AC vóór punt S, en evenzo ook van alle overige.   Hierna zullen we bewijzen dat die stralen die minder ver van de as AC af liggen, na breking dichter bij punt S komen. Stel dat de straal DP verder van de as is dan DB, en dat zijn gebrokene PK is. CN wordt getrokken evenwijdig aan DP, en ontmoet het oppervlak in E. Hoek ADP, dat is ACE, is dus groter dan ADB of ACF. Maar ook is het gedeelte AP van de omtrek groter dan AB. Dus zal de boog EP zeker groter zijn dan boog FB. En daarom staat vast dat het samenkomen van de gebroken straal DP met de rechte ECN dichter bij het middelpunt C is, dan het samenkomen van de gebroken straal DB met de rechte FM {* voorstel VIII}. Bijgevolg is CN kleiner dan CM. Maar DP is groter dan DB. Dus is de verhouding DP tot CN, dat is DK tot KC, groter dan DB tot CM, dat is groter dan DL tot LC. En door verdeling: DC tot CK is groter dan DC tot CL. Dus is CK kleiner dan CL, wat aangetoond moest worden.   Tenslotte zal hieruit duidelijk zijn dat sommige gebroken stralen met de as AC samenkomen in punten die dichter bij S zijn dan een willekeurig interval. Omdat immers DL tot LC is zoals DB tot CM, en omdat het mogelijk is, door de straal DB tot de as DAC te laten naderen, dat het verschil tussen DB en DA kleiner is dan een willekeurig gegeven waarde, zoals ook het verschil tussen CM en AR (want AR overtreft CM des te minder naarmate boog BF kleiner is); daarom blijkt het mogelijk dat de verhouding DB tot CM, dat is DL tot LC, zo dicht bij die van DA tot AR komt als men wil. En evenzo (door omzetting van de verhouding) dat de verhouding LD tot DC zo dicht als men wil komt bij die van AD tot DR, dat is SD tot DC. En zo wordt DL bij benadering gelijk aan DS, d.w.z. dat het punt L, waar straal DB samenkomt met de as AC, zo dicht als men wil bij punt S ligt. Dientengevolge zal S dus het punt van samenkomst zijn van de stralen die uit D voortkomen.

[ 47 ]

Laat daarentegen nu het punt D tussen A en R gegeven zijn; en zorg er weer voor dat zoals DR tot DA, zo DC tot DS is; doch DS wordt niet in de richting van C genomen, maar in de richting van R. Ik zeg dat stralen uit punt D die op het oppervlak AB invallen na de breking zo afgebogen worden alsof ze kwamen uit punt S, oftewel dat S het spreidingspunt van de gebroken stralen is.   En inderdaad zullen we eerst aantonen dat alle genoemde gebroken stralen, bij verlenging achterwaarts, samenkomen in een punt dat verder van A is dan punt S. Beschouw de invallende straal DB, en zijn gebrokene BM, die na verlenging de as AC ontmoet in L. Nu moet DB kleiner zijn dan tweederde van DC*), opdat de gebrokene BM na verlenging samenkomt met de as AC, want anders zou hij of ermee evenwijdig worden, of hem voorwaarts verlengd ontmoeten (zoals duidelijk is uit wat in voorstel IX bewezen is). Als dan CM evenwijdig met DB getrokken wordt, zal weer, zoals in het voorgaande geval, CM kleiner zijn dan AR; maar DB is groter dan DA, en dus is de verhouding DB tot CM, dat is DL tot LC, groter dan DA tot AR. En door omkering: CL tot LD kleiner dan RA tot AD; en door verdeling: CD tot DL kleiner dan RD tot DA, dat is kleiner dan CD tot DS. En daarom is DL groter dan DS, en dus ligt het punt van samenkomen L verder van A dan punt S. Doch als punt D heel dichtbij R zelf genomen is, zou het kunnen gebeuren dat DB groter wordt dan CM, en dat zo de gebrokene van enkele stralen, die verder van de as gaan, voorbij het punt C samenkomen met de as°).   Verder wordt bewezen dat van stralen dichter bij de as AC de gebrokenen, achterwaarts verlengd, dichter bij punt S samenkomen; op dezelfde manier als in het voorgaande geval, behalve dat hier, wanneer we aangetoond hebben dat de verhouding DK tot KC groter is dan DL tot LC, er uit volgt, door omkering en verdeling, dat de verhouding CD tot DK kleiner is dan CD tot DL, en dat daarom CK groter is dan CL, en dientengevolge DK groter dan DL.   Tenslotte wordt ook op dezelfde manier als in het vorige geval aangetoond dat de gebrokenen van sommige stralen dichter bij punt S samenkomen met de as dan een willekeurig interval. Dus zal S het spreidingspunt zijn van de stralen die uit D voortkomen.   *)  Als de brekingsindex van glas gesteld wordt op 3 : 2 [<].     °)  Als DB > DC / n.

[ 49 ]

Deel 2   Wanneer het oppervlak bol is, en naar een punt gerichte stralen er van buiten op vallen.   Laat het bolle oppervlak AB van een door­schijnend lichaam gegeven zijn, en het punt D, waarop gericht zijn stralen zoals FB en GP, die van buiten invallen op genoemd oppervlak. En het middelpunt van de bolling is C, waardoor de rechte DCA getrokken wordt. DA wordt verlengd, en CR heeft tot RA de brekingsverhouding. Dus zal R het punt van samenkomst zijn van evenwijdige stralen die van de andere kant komen.   Vervolgens wordt bij deze drie: DR, DA en DC, een vierde evenredige DS gevonden. Ik zeg dat S het punt is waarmee in verband staan de gebroken stralen die voor de breking naar D gericht waren.   En de constructie is wel algemeen en heeft betrekking op alle gevallen; maar bij het bewijs moeten drie uitkomsten van een verschil bekeken worden. Want DC heeft tot de straal CH een grotere verhouding dan die van de breking, of een kleinere, of dezelfde. En in dit laatste geval is opmerkenswaardig dat alle stralen zich precies verenigen in één punt S. Zoals ik al lang geleden opgemerkt heb, toen ik aangaf dat één van de ovalen, die Descartes bedacht had om de stralen te verzamelen, in één geval een cirkel werd — wat Frans van Schooten opnam in zijn Commentaren op de Meetkunde van Descartes*).   Om nu wat we genoemd hebben per geval te behandelen, nemen we eerst aan dat het punt D zo geplaatst is, dat de verhouding DC tot CH groter is dan de brekingsverhouding, d.w.z. groter dan die van CR tot RA. En dat S het punt is dat op de aangegeven manier gevonden wordt. Verder dat een willekeurige straal, zoals FB, die gericht is naar punt D, na de breking met de as samenkomt in L.   *)  Frans van Schooten schrijft, na Huygens genoemd te hebben [ed. 1659, p. 270; cf. Glazemaker, p. 367-]: Hij heeft op zich genomen dit duidelijker te zullen bewijzen in een verhandeling over de Dioptrica, waarin hij veel voortreffelijke en door hem scherpzinnig gevonden dingen, die hierop betrekking hebben, binnenkort aan het licht zal brengen, als God het wil.   Dat de cirkel zich kan voordoen als bijzonder geval van de ovalen van Descartes, was één van de eerste vondsten van Huygens in de Dioptrica. Hij noemde deze in een brief van 29 okt. 1652 aan van Schooten.   De bijzonderheid, dat de stralen die corresponderen met één punt precies weer in één punt samenkomen [>], komt ook voor in de onderdelen 3, 5 en 8.  [Zie ook de brief van de Sluse, 4 okt. 1657.]

[ 51 ]

[Fig. 1703]

Dan zal ik eerst aantonen dat punt L valt vóór S. Verbind B met S, en verleng deze rechte, zoals ook BL, en laat elk van beide de rechte CMZ ontmoeten die evenwijdig is met de straal FBD, en wel BS in Z, en BL in M. We nemen nu een punt E op de as, zodanig dat DA : AS = DE : ES.   Omdat dus DC : CH of DC : CA > CR : RA, is door verwisseling ook DC : CR > CA : AR. En door samenstellen, DR : RC > CR : RA. En daarom is de verhouding van de rest DC tot de rest AC groter dan DR tot RC {* 33.5 Elem.*)}. En DR : RC = DA : AS, want omdat DR : DA = DC : DS, geldt door verwisseling en omzetting van de verhouding: DR : RC = DA : AS. Dus is ook DC : CA > DA : AS. Verder is DA : AS = DE : ES, en daarom is de som van DA en DE tot de som van AS en SE, dat is tot AE, als DA tot AS. Dan is dus DC : CA, of DC : CH > ADE : AE. En door verdeling: DH : HC > 2 DE : EA. En als we de tweede en vierde term dubbel nemen: DH : HA > 2 DE : 2 EA, dat is > DE : EA. Het punt E valt dus buiten de cirkel ABH, en daarom, als om EA als diameter een cirkel beschreven wordt, zal deze het punt B omvatten. Verder is DE : ES = DA : AS. Dus is DB : BS > DA : AS {* hulpstelling 5}. En DB : BS = CZ : ZS, en DA : AS = DR : RC, want dit was eerder aangetoond. Dus CZ : ZS > DR : RC. Nu is de verhouding DR : RC samengesteld uit de verhoudingen DR : RA en RA : RC, waarvan DR : RC dezelfde is als DC : CS, omdat we punt S zo genomen hebben dat DR : DA = DC : DS.   *)  Oeuvres XII, 125, n4: "Als er een grotere verhouding is van het ene geheel tot het andere, dan van het ene weggenomene tot het andere: Dan zal ook de verhouding van de ene rest tot de andere, groter zijn dan van het ene geheel tot het andere." (uit de Elementa van Euclides volgens Clavius).

[ 53 ]

Dus is de verhouding CZ : ZS groter dan die, welke is samengesteld uit de verhoudingen DC : CS en RA : RC. En diezelfde verhouding CZ : ZS is samengesteld uit de verhoudingen CZ : ZB en ZB : ZS. Dus het produkt van deze twee is groter dan het produkt van de verhoudingen DC : CS en RA : RC. En daarom, als we beide delen door gelijke*) verhoudingen, resp. DC : CD en BZ : ZS, zal de verhouding CZ : ZB nog groter zijn dan RA : RC. En door omkering: BZ : ZC < CR : RA. Zoals nu CR : RA, dat is de brekingsverhouding, zo is BM : MC {* voorstel II}, aangezien BM de gebrokene is van straal FB, waaraan CM evenwijdig is getrokken. Dus BZ : ZC < BM : MC. En de hoek BCZ is noodzakelijk stomp, aangezien hij gelijk is aan hoek FBC; en hij wordt onderspannen door beide lijnstukken BM en BZ. Dus is CM kleiner dan CZ {* hulpstelling 2}, en bijgevolg is hoek CBM kleiner dan hoek CBZ. En daarom is ook CL kleiner dan CS. Dus blijkt dat van alle stralen die naar D gericht zijn de gebrokenen vóór punt S samenkomen met de as AC.   Nu zullen we verder aantonen dat gebrokenen van stralen dichterbij de as AC, dichter bij punt S samenkomen, en dit op een afstand die kleiner is dan een willekeurig gegeven interval. Want laat een straal GP gericht zijn naar D, die op het oppervlak AB invalt, en gebroken wordt volgens PK. Dus ligt het punt van samenkomst K tussen C en S, volgens wat al bewezen is. Verder nemen we tussen K en S een willekeurig punt L, en we verdelen DL in T zodanig dat DT : TL = DC.AR : LC.CR; wat zeker van een grotere tot een kleinere is. Want DC : CL > DC : CS, dat is > DR : RA (want dat deze gelijk zijn is boven aangetoond) en daarom is DC : CL veel groter dan CR : RA, en dus is DC.AR > CL.CR. Aangezien dus de verhouding DT tot TL is van een grotere tot een kleinere, kan op de lijn DL, verlengd in de richting van L, een punt Q genomen worden, zodanig dat DQ : QL = DT : TL. Naam aan dat dit zo gevonden is, en dat een cirkelomtrek beschreven is op de diameter QT. Deze zal de cirkelomtrek AP snijden tussen A en P, zoals later bewezen zal worden [>]. Stel dat hij deze snijdt in B, en trek de rechte DBF, en verbind B met L, en trek deze lijn door tot hij de rechte CM ontmoet, die getrokken moet worden evenwijdig met DBF zelf. Aangezien dus punt B op de cirkelomtrek ligt waarvan de diameter TQ is, en DT : TL = DQ : QL, zal gelden DB : BL = DT : TL {* hulpstelling 5}, dat is DC.AR : LC.CR. Nu wordt de verhouding DB : BL, dat is CM : ML, samengesteld uit de verhoudingen CM : MB en MB : ML of DC : CL. Maar DC.AR : LC.CR heeft een samengestelde verhouding van DC : CL en AR : RC. Dus is de verhouding die het product is van de verhoudingen CM : MB en DC : CL dezelfde als die welke het product is van de verhoudingen DC : CL en AR : RC.   [ *)  In het trapezium DBCZ verdelen de diagonalen elkaar in evenredige stukken.]

[ 55 ]

En daarom, als gedeeld wordt door de gemeenschappelijke verhouding DC : CL, zal de verhouding CM : MB dezelfde zijn als AR : RC, en door omkering: de verhouding BM : MC is dezelfde als CR : RA, die de brekingsverhouding is. Dus daar CM evenwijdig is met straal FB, zal BLM van deze straal de gebrokene zijn.   Verder is punt L tussen K en S naar keuze genomen. Daarom staat vast dat er een straal is, waarvan de gebrokene op de lijn CS dichter bij punt S komt dan een willekeurig gegeven interval. Maar ook is aangetoond dat een straal waarvan de gebrokene in punt L komt, dichter bij de as AC is, dan een straal waarvan de gebrokene deze in K ontmoet. Dus staat vast dat de gebrokenen die dichter bij punt S komen, behoren bij stralen dichter bij de as AC. En het is duidelijk dat ook het omgekeerde hiervan waar is, namelijk dat van stralen dichter bij de as AC de gebrokenen ermee samenkomen dichterbij punt S. Dus om deze redenen zal S het punt van samenkomst zijn van de stralen die uit D komen.   Wat nu gezegd is [<], dat de cirkelomtrek, beschreven om QT als diameter, de cirkel APH snijdt tussen A en P, is als volgt aan te tonen. Ten eerste, omdat CS > CL, zal gelden AC : CL > AC : CS, en door samenstelling, AL : LC > AS : SC. En de verhouding AD : SC wordt samengesteld uit de verhoudingen AS : SD en SD : SC, waarvan AS : SD dezelfde is als RC : CD, omdat door constructie geldt DR : DC = DA : DS. Eveneens is SD : SC dezelfde als DA : AR. Dus zal de verhouding AL : LC groter zijn dan die, samengesteld uit RC : CD en DA : AR, d.w.z. groter dan die, samengesteld uit CR : RA en DA : DC. En daarom, als beide gedeeld worden door de verhouding DA : DC, zal de samengestelde uit AL : LC en DC : DA, oftewel de samengestelde uit LA : AD en DC : CL, groter zijn dan CR : RA. En als beide weer gedeeld zijn door de verhouding DC : CL, zal LA : AD groter zijn dan die, samengesteld uit de verhoudingen CR : RA en LC : CD.

[ 57 ]

En door omkering: de verhouding DA : AL is kleiner dan die, samengesteld uit de verhoudingen DC : CL en AR : RC, d.w.z. kleiner dan de verhouding van DC.AR tot CL.CR, d.w.z. kleiner dan DQ : QL. En daarom zal ook door verdeling gelden DL : DA < DL : LQ. Waaruit blijkt dat LQ kleiner is dan LA. Verder is DC : CL > DQ : QL, want DC : CL > DC.AR : CL.CR, omdat AR kleiner is dan CR. Dus blijkt punt Q te vallen tussen A en C. Verder verdelen we nu DK in V, zodanig dat DV : VK = DC.AR : KC.CR. En deze is van groot tot klein, daar dit op dezelfde manier is aan te tonen als waarop boven aangetoond is dat DC.AR groter was dan LC.CR. Vervolgens nemen we een punt X zodanig dat DV : VK = DX : XK, en X valt tussen A en C, evenals punt Q, want dit kan ook op dezelfde manier bewezen worden. Nu wordt een cirkelomtrek beschreven om XV als diameter. Deze zal de cirkel AP snijden in het punt P zelf, waar (zoals gezegd is) de straal GP het bolle oppervlak AB ontmoet. Want we verlengen PK, en laten hem CN ontmoeten, die evenwijdig is aan GPD. Dus omdat van PK gesteld is dat hij de gebrokene is van straal GP, waaraan CN evenwijdig getrokken is vanuit het middelpunt, zal PN tot NC de brekingsverhouding hebben. Dus is CN : NP = AR : RC. Waarna we als volgt zullen redeneren. De verhouding CN : NK wordt samengesteld uit de verhoudingen CN : NP en NP : NK of DC : CK, waaruit ook samengesteld is AR. DC : RC.CK. Dus DP : PK = AR.DC : RC.CK. En daarom is DP : PK = DV : VK, en bovendien DP : DK = DX : XK. En daarom zal de cirkelomtrek, waarvan XV de diameter is, door punt P gaan {* hulpstelling 5}, zoals we zeiden.   Omdat nu DT : TL = AR.RC : RC.CL, en DV : VK = AR.DC : RC.CK, zal gelden DT : TL < DV : VK, omdat RC.CL > RC.CK. Dus is DT : TK veel kleiner dan DV : VK, want DK is groter gesteld dan DL. Het blijkt dus dat punt T tussen D en V valt. En ik zeg dat punt Q valt tussen en X. Want maak DQ : QL = DX : XY. Dus omdat XK : XD door constructie gelijk is aan RC.CK : AR.DC, en DX : XY = DQ : QL = AR.DC : RC.CL, zal eveneens gelden XK : XY = RC.CK : RC.CL = CK : CL. En XK : KY = CK : KL. Dus is DY < DL. Nu was DX : XY = DQ : QL, en door omzetting DX : DY = DQ : DL. Dus daar DY < DL, is ook DX < DQ. Waardoor punt Q noodzakelijk valt tussen A en X, want dat het tussen A en C valt is al hiervoor aangetoond. Maar van punt T hebben we aangetoond dat het verder van A afligt dan punt V. Dus is duidelijk dat de cirkelomtrek QBT de cirkel APH snijdt tussen A en P. Wat nog bewezen moest worden.

[ 59 ]

Laat nu de verhouding van DC tot CH kleiner zijn dan de brekings­verhouding, dat is die van CR tot RA, en het punt D hetzij buiten de cirkel ABH, hetzij erbinnen, maar zodanig dat het verder van A af ligt dan het middelpunt C. Want wanneer het tussen A en C geplaatst is, is er nog een bijzonder geval, dat we later zullen bezien. Als dus de straal FB gericht is naar punt D, en gebroken samenkomt met de as AC in punt L, zeg ik dat L verder van A ligt dan punt S. Want verbind B met S, en trek CM evenwijdig met FD, die de verlengden van BS en BL ontmoet in Z en M. En zoals DA tot AS, zo is DE tot ES. Als dan punt D binnen cirkel ABH gesteld wordt, valt ook E noodzakelijk daarbinnen. Maar als D buiten de genoemde cirkel gesteld wordt, valt E toch binnen de cirkel, en dit is als volgt aan te tonen.   Omdat immers de verhouding DC tot CH, of DC tot CA, kleiner is dan CR tot RA, zal door verwisseling ook DC tot CR kleiner zijn dan CA tot AR, en door samenstelling: DR tot RC kleiner dan CR tot RA; en daarom zal de verhouding van de rest DC tot de rest CA kleiner zijn dan DR tot RC, dat is kleiner dan DA tot AS, want dat deze dezelfde zijn wordt aangetoond zoals in het voorgaande geval [<]. Zoals nu DA tot AS, zo is DE tot ES door constructie, dus is ook de som van AD en DE tot de som van AS en SE, dat is tot AE, als DA tot AS. Dus is de verhouding DC tot CA, of DC tot CH, kleiner dan ADE tot AE. En door verdeling: de verhouding DH tot HC is kleiner dan 2 DE tot EA. Als we de tweede en vierde term dubbel nemen: DH : HA < 2 DE : 2 EA, dat is < DE : EA. Dus valt punt E binnen cirkel ABH.   Nu zullen we in elk van beide gevallen als volgt verder redeneren. Aangezien E valt tussen A en H, zal, als om AE als diameter een cirkel beschreven wordt, punt B daarbuiten zijn. Nu is zoals DA tot AS, zo ook DE tot ES. Dus zal DB tot BS een kleinere verhouding zijn dan DA tot AS {* hulpstelling 5}. En zoals DB tot BS, zo is CZ tot ZS, en zoals DA tot AS, zo DR tot RC. Dus de verhouding CZ tot ZS is kleiner dan DR tot RC. Verder wordt de verhouding DR tot RC samengesteld uit de verhoudingen DR tot RA en RA tot RC, waarvan DR tot RA dezelfde is als DC tot CS, omdat DR : DA = DC : DS door constructie. Dus zal de verhouding CZ tot ZS kleiner zijn dan de samengestelde uit de verhoudingen DC tot CS en RA tot RC. En de verhouding CZ tot ZS is dezelfde als de samengestelde uit de verhoudingen CZ tot ZB en ZB tot ZS. Dus als aan weerskanten gedeeld wordt door gelijke verhoudingen, resp. BZ tot ZS, en DC tot CS, zal ook de verhouding van de resten CZ tot ZB kleiner zijn dan RA tot RC.

[ 61 ]

En door omkering: BZ tot ZC is groter dan CR tot RA. Zoals nu CR tot RA (de brekingsverhouding), zo is BM tot MC {* voorstel VIII}, aangezien BLM de gebrokene is van straal FB, waaraan CM ook evenwijdig is getrokken. Dus is de verhouding BZ tot ZC groter dan BM tot MC. En hoek BCM, onderspannen door BM en door BZ, is noodzakelijk stomp, hij is immers gelijk aan hoek FBC. Dus zal CZ kleiner zijn dan CM {* hulpstelling 2}, en dus is hoek CBM groter dan hoek CBZ. En daarom is ook CL groter dan CS; wat te bewijzen was.   Verder kan, met een bijna gelijk bewijs als in het eerste geval [<], aan­getoond worden dat de gebro­kenen van stralen dichter bij de as AC (ik bedoel: die maar een heel klein deel van de cirkelomtrek naar A toe afsnijden) dichterbij punt S samenkomen, en dit op minder dan een willekeurig gegeven interval. Maar we zullen de uitgebreide bewijsvoering hier niet herhalen. Het andere echter, dat er stralen zijn waarvan de gebrokenen samenkomen in punten willekeurig dicht bij punt S, kan op de volgende manier onomstotelijk bewezen worden. Laat het verlengde van MC de omtrek ontmoeten in N. Aangezien dus, wegens de gelijkvormige driehoeken LDB en LCM, geldt: zoals DB tot CM, zo DL tot LC; en gemaakt kan worden, door de straal FB naar de as AC te laten naderen, dat het lengteverschil van de lijnstukken DB en DA kleiner uitkomt dan een willekeurig gegeven verschil, zoals ook dat tussen CM en AR (want dit verschil zal des te kleiner zijn naarmate boog BN kleiner uitvalt, zoals blijkt uit probleem 5, omdat namelijk BM : MC = CR : RA); daarom blijkt hieruit dat de verhouding DB tot CM, dat is DL tot LC, zo dicht als men wil benaderd kan worden met DA tot AR, dat is DS tot SC. En zo komt punt L, waar namelijk de straal FB na breking samenkomt met de as AC, zo dicht als men wil bij punt S.

[ 63 ]

Laat nu het punt D gegeven zijn tussen A en C, en ook hier zal van straal FB de ge­brokene BL tussen D en C vallen. Ik zeg dat het punt van samenkomst L hier weer verder van A af ligt dan punt S. Trek BL door, en laat CM (evenwijdig aan FBD) hem in M ontmoeten. Omdat dus punt D op de diameter ligt tussen A en het middelpunt C, zal DB groter zijn da DA. Maar CM is kleiner dan AR, zoals vaststaat uit voorstel VIII, omdat CM evenwijdig is aan straal FB, waarvan BM de gebrokene is. Dus is de verhouding BD tot CM, dat is DL tot LC, groter dan DA tot AR. En zoals DA tot AR, zo is DS tot SC. Dus de verhouding DL tot LC is groter dan DS tot SC; en door samenstelling, DC tot CL is groter dan DC tot CS. Dus is CL kleiner dan CS. Waaruit voortvloeit dat punt L verder dan S van A af ligt.   En verder is, op dezelfde manier als in het voorgaande geval, aan te tonen dat ook hier van sommige stralen de gebrokenen dichter bij punt S samenkomen dan een willekeurig gegeven afstand. Dus zal S ook hier het punt van samenkomst zijn van de stralen die naar D gericht zijn.   Het laatste geval is nog over om te bewijzen*), waarbij punt D buiten de bol ABH gelegen is, zodanig dat DC tot CH dezelfde verhouding heeft als CR tot RA, d.w.z. de brekings­verhouding. We hebben gezegd [<] dat in dit geval van alle stralen die naar D gericht zijn de gebrokenen precies in punt S verzameld worden, dat namelijk gevonden wordt door te maken dat DR : DA = DC : DS. Als punt D ligt zoals gezegd is, beschouwen we een willekeurige straal FBD die daarop gericht is, en vanaf het punt van samenkomst B trekken we naar punt S de rechte BS. Ik zeg dat de gebrokene van straal FB deze BS zelf is. Want we trekken BS door, tot hij CM ontmoet, die evenwijdig is aan FBD, en we verbinden B met C.   Omdat dus DC tot CH of CA is, zoals CR tot RA, zal ook de hele DR tot RC zijn als CR tot RA. Verder is DR : RC = DA : AS, omdat namelijk door constructie geldt DR : DA = DC : DS. Dus is ook DA : AS = CR : RA, dat is DC : CH. Dus als van DA afgetrokken wordt DC, en van AS wordt afgetrokken CH of CA, zal ook de rest CA, of CH, tot de rest CS dezelfde verhouding hebben als DC tot CH. Verder is CB gelijk aan CH. Dus is ook BC : CS = DC : CB. En daarom zijn de driehoeken DCB en BCS gelijkvormig, aangezien ze ook de hoek bij C gemeenschappelijk hebben, die door de evenredige zijden wordt ingesloten. Dan zal ook de derde zijde DB van de ene driehoek tot de derde zijde BS van de andere, de verhouding hebben van DC tot CB of CH; en hoek SBC zal gelijk zijn aan hoek BDC. Hieruit volgt nu dus dat in de driehoeken DBS en BMC, de hoek MBC gelijk is aan de hoek BDS. Verder is ook hoek BMC gelijk aan hoek DBS, wegens de evenwijdigheid van BD en CM. Dus zullen de genoemde driehoeken DBS en BMC ook gelijkvormig zijn, en daarom is BM tot MC als DB tot BS, d.w.z. als DC tot CH, d.w.z. als CR tot RA. Daarom heeft BM tot MC een verhouding die gelijk is aan de brekingsverhouding. En CM is evenwijdig met de straal FB. Dus is BSM de gebrokene van straal FB {* voorstel II}; wat aangetoond moest worden. Alle stralen dus die naar D gericht zijn, en het bolle oppervlak AB ontmoeten, komen na de breking samen in één enkel punt S.   [ *)  Wat volgt wordt in een brief aan R. F. de Sluse (T. 2, p. 67) genoemd: "een zeer kort bewijs".]

[ 65 ]

En het is duidelijk, als om het middelpunt C twee boloppervlakken bedacht worden met halve diameters CD en CS, en daarop twee willekeurige punten K en P genomen worden, door dezelfde straal CK verbonden, dat alle stralen die naar K gericht zijn, aan het oppervlak ABH van het doorzichtige lichaam zo gebroken worden, dat ze precies samenkomen in punt P. Dit kan echter door geen enkel ander oppervlak gedaan worden dan door een boloppervlak.   Verder zullen we met behulp hiervan, aangezien we nu ook grondige kennis hebben van de breking van glas, en een bolvormig oppervlak makkelijk is te polijsten, lenzen kunnen maken die stralen, die naar een gegeven punt gericht zijn, in een ander gegeven punt laten samenkomen. Evenzo lenzen die stralen, die uit een gegeven punt komen, zo afbuigen alsof ze uit een ander gegeven punt voortkomen. Want stel dat twee punten A en B gegeven worden, en dat we moeten teweegbrengen dat naar A gerichte stralen in B verzameld worden. We verdelen AB in C zodanig, dat AC : CB de brekingsverhouding van glas is, dat is anderhalf. Vervolgens verlengen we AB tot in D zodanig, dat CD : DB = AC : CB. En om D als middelpunt en met DC als straal beschrijven we een cirkelomtrek EFG; en een andere EHG, met middelpunt B, en straal BH, die wat kleiner dan BF is. Deze zal de vorige omtrek noodzakelijk snijden, bijvoorbeeld in de punten E en G: en de vorm van de gevraagde lens, als een doorsnede door het midden, zal geleverd worden door de maansikkel EFGH. Want stralen die naar A gericht zijn en op het oppervlak EFG invallen, zullen, na daar gebroken te zijn, gericht zijn naar punt B, volgens wat kort hiervoor is aangetoond. En ze zullen daar inderdaad aankomen, aangezien ze geen breking meer ondervinden aan het oppervlak EHG, waarvan immers dat punt B het middelpunt is.   En dezelfde lens zal ook teweegbrengen, dat stralen die uit B komen afgebogen worden alsof ze uit A kwamen.

[ 67 ]

Evenzo, als gegeven zijn de punten A en B, en gevonden de cirkel­omtrek EFG (zoals we gezegd hebben), en als een andere cirkel­omtrek LNM beschreven wordt met middelpunt B, maar met een straal BN die wat groter is dan BF: de vorm ELNMGF zal de doorsnede van de andere lens weergeven, die bewerkt dat stralen in de richting van punt B, worden gericht naar A. Want indien het glasoppervlak EFG, als een bol oppervlak, de naar A gerichte stralen doet afbuigen naar B, is het noodzakelijk dat hetzelfde oppervlak, als het hol is zoals hier, de naar B gerichte stralen naar A stuurt (zoals gemakkelijk af te leiden is uit voorstel I). En het oppervlak LNM buigt hier niet door breking de naar B gerichte stralen af, aangezien het B als middelpunt heeft.   En dezelfde holle lens breekt de uit A komende stralen zo, dat ze schijnen voort te komen uit punt B. Deel 3   Wanneer het oppervlak bol is, en van een punt weggaande stralen er van binnen op vallen.   Gegeven het bolle oppervlak AB van een doorschijnend lichaam, en een punt S, waaruit stralen komen die het oppervlak bereiken, zoals SB, en die wel gebroken zullen worden als ze uit het doorschijnende gaan, tenzij S hetzelfde punt is als het middelpunt C van de bolling. Verder zijn er bovendien ook twee gevallen. Want we verbinden S met C, en we trekken de lijn door, en deze snijdt de cirkelomtrek AB in A. Als we nu punt Q zo kiezen dat AQ tot QC gelijk is aan de brekingsverhouding, zal het punt S ofwel dichterbij punt A liggen dan het punt Q, ofwel verder ervan verwijderd. Want als het samenvalt met punt Q, is uit voorstel VIII duidelijk dat stralen na de breking niet samenkomen in een punt, maar als evenwijdig zijn te beschouwen: Q is immers het punt van samenkomst van evenwijdige stralen die van buiten op het oppervlak AB invallen.   Laat dus eerst het punt S verder van A verwijderd zijn dan Q. En neem punt Q zo dat SQ : SA = SC : SD. Ik zeg dat D het punt van samenkomst zal zijn van de gebroken stralen, die vanaf punt S gaan naar het oppervlak AB. Want we stellen AR gelijk aan CQ, zodanig dat A tussen R en C valt. Dus zal ook CR tot RA de brekingsverhouding hebben, evenals AQ tot QC. En bovendien is duidelijk dat punt R valt tussen A en D. Want omdat SQ : SA = SC : SD, zal door verwisseling en verdeling gelden SQ : QC = SA : AD; waaruit volgt, daar SQ kleiner is dan SA, dat ook QC, en dus AR, kleiner zal zijn dan AD. Verder, aangezien SA : AD = SQ : QC of AR, zal ook de rest QA, of CR, tot de rest RD zijn als SA tot AD {* 19.5}.

[ 69 ]

En door samenstelling: CD : DR = SD : DA, en door omkering en verwisseling: DR : DA = DC : DS. En daarom zullen, volgens het voorstel [<], stralen die uit punt D voortvloeien aan het oppervlak AB zo gebroken worden dat ze in de richting van S gaan. Dus ook andersom: stralen die komen uit punt S zullen aan hetzelfde oppervlak zo gebroken worden dat ze in de richting van D gaan. Dan zal D het gevraagde punt van samenkomst zijn. Op dezelfde manier namelijk als het punt S in de voorgaande voorstellen. En inderdaad zullen de stralen hier niet precies in D samenkomen, maar alle ervoor; en dit wordt aangetoond als volgt. Een willekeurige straal die uit D komt, zoals DB, en door oppervlak AB gebroken wordt, komt met de rechte DC samen vóór punt S {* deel 1}, bijvoorbeeld in P. Daarom zal ook andersom van straal PB de gebrokene BD zijn. En dus zal de gebrokene van straal SB, neem aan BN, samenkomen voor punt D; omdat — aangezien de stralen PB en SB gericht zijn naar hetzelfde punt van het oppervlak — er na de breking noodzakelijk een snijpunt moet zijn, zoals gemakkelijk is op te maken uit de eerste eigenschap van de breking.   Laat nu het punt S zo gegeven zijn, dat het minder ver van A af ligt dan het punt Q. Dan zal het ofwel tussen Q en C liggen, ofwel tussen C en A; want wanneer het samenvalt met C zal er zoals gezegd geen breking zijn. Neem eerst aan dat punt S tussen Q en C ligt; en maak weer SQ : SA = SC : SD, met de laatste aan de kant die van het middelpunt C afgekeerd is. Ik zeg dat D het spreidingspunt zal zijn van de gebrokenen van de stralen die uit punt S weggaan. Want neem (zoals hiervoor) AR gelijk aan CQ. Dan zal dus ook CR tot RA de brekingsverhouding zijn, namelijk dezelfde als AQ tot QC. En aangezien SQ : SA = SC : SD, zal ook door samenstelling gelden: QA of RC : AS = CD : DS, en daarom ook is de som van RC en CD, dat is DR, tot de som van AS en DS, dat is tot DA, als DC tot DS. Dus van de stralen die naar D gericht zijn, en die aan het bolle oppervlak AB gebroken worden, zal S het punt van samenkomst zijn {* deel 2}. Daarom zal ook andersom van de stralen die uit punt S op hetzelfde oppervlak AB invallen, maar dan van binnen, het spreidingspunt D zijn. En in één geval zal punt D precies het spreidingspunt zijn, wanneer namelijk de verhouding van AC tot CS dezelfde is als van AQ tot QC, oftewel de brekingsverhouding*). Want neem AQ : QC = AC : CS. Door AC af te trekken van AQ, en CS van QC, zal ook de rest CQ tot de rest QS dezelfde verhouding zijn als AQ tot QC. Omdat verder QA : AS = CD : DS (zoals eerder aangetoond is) zal door omzetting van de verhouding ook gelden: AQ : QS = DC : CS. Maar CS : CA = CQ : AQ, dus zal door gelijken in verstoorde verhouding°) gelden DC : CA (of CH) = CQ : QS, dat is als AQ : QC, wat de brekingsverhouding is.   *)  Huygens voegde later in de marge toe:  "perfect geval in figuur voorstellen". [ Ed. 1703, p. 46: 2 figuren].   °)  Euclides V.23, met DC = a, CS = b, CQ = d, AQ = e, QS = f.

[ 71 ]

Wanneer dan DC tot CH de brekingsverhouding heeft, en DR : DA = DC : DS, zoals we aangetoond hebben dat hier het geval is, staat vast dat alle stralen die naar D gericht zijn, en die aan het bolle oppervlak AB gebroken worden, precies verzameld worden in punt S [<]. Dus ook andersom zullen die, welke uit punt S komen, aan hetzelfde oppervlak zo gebroken worden, dat ze uit punt D schijnen voort te komen. Maar indien de verhouding AC : CS kleiner is dan AQ : QC, zullen de gebrokenen van alle stralen die uit S komen, na verlenging achterwaarts voorbij punt D samenkomen met de as AC; indien evenwel de verhouding AC : CS groter is dan AQ : QC, zullen deze alle vóór punt D samenkomen, zoals gemakkelijk is op te maken uit het voorstel [<].   Dat geval tenslotte waarin punt S tussen A en C gegeven is, wordt op dezelfde manier geconstrueerd als het laatst voorafgaande, en heeft een bewijs dat er op lijkt. Daar namelijk SQ : SA = SC : SD, zal door samenstelling gelden QA (of RC) : AS = CD : DS. En daarom, door CD af te trekken van RC, en DS van AS, zal ook de rest DR tot de rest DA zijn als DC tot DS. Waaruit we op dezelfde manier het overige zullen besluiten. Het punt D zal dan het spreidingspunt zijn, op zo'n manier dat alle gebrokenen, na verlenging achterwaarts, vóór dit punt samenkomen, d.w.z. tussen D en A. Deel 4   Wanneer het oppervlak bol is, en naar een punt gerichte stralen er van binnen op vallen.   Het bolle oppervlak van een doorschijnend lichaam is AB, en het gegeven punt S, waarheen stralen gericht zijn zoals LB, het oppervlak aan de buitenkant ontmoetend, en het bollings­middelpunt is C. We verbinden S met C en deze snijdt het oppervlak in A, en hij wordt verlengd naar Q, zodanig dat AQ tot QC de brekingsverhouding heeft; en SQ : SA = SC : SD. Ik zeg dat D het punt van samenkomst is van de gebrokenen van stralen die naar punt S gaan. Want neem AQ gelijk aan CQ; dan zal ook CR tot RA de brekingsverhouding hebben. En omdat SQ : SA = SC : SD, zal door verdeling gelden QA (of CR) : SA = CD : DS. En daarom, door CD van CR af te trekken, en DS van SA, zal ook de rest DR tot de rest DA zijn als DC tot DS.

[ 73 ]

Dus daar de stralen die uit D op het bolle oppervlak AB invallen, en gebroken worden, het spreidingspunt S hebben {* deel 1}, zullen andersom de stralen die naar S gericht zijn door hetzelfde oppervlak afgebogen worden naar punt D. Niet precies echter; maar omdat van de stralen die uit D komen de gebrokenen, achterwaarts verlengd, niet in dit punt S samenkomen, maar alle verder van A, daarom zullen ook die, welke gericht zijn naar punt S, slechts dichtbij D, tussen A en D, samenkomen in verschillende punten, die des te dichter bij punt D zullen liggen, naarmate de invallende straal dichter bij de as AC is. Deel 5   Wanneer het oppervlak hol is, en van een punt komende stralen er van buiten op vallen.   Het holle bolvormige oppervlak is AB, met middelpunt C, en er vallen stralen op die van het gegeven punt D komen, zoals DB. Verbind D met C, en het verlengde snijdt het oppervlak in A, en CR tot RA heeft de brekings­verhouding. Dan zal R het spreidingspunt zijn van evenwijdige stralen die van de andere kant komen. Verder is DR : DA = DC : DS. Ik zeg dat S het spreidingspunt zal zijn van de stralen die uit D weggaan, nadat ze gebroken zijn aan het oppervlak AB.   Want verbind S met B, en trek deze door naar L, en DB naar N: het staat vast dat van straal NB de gebrokene BS zou zijn, als oppervlak AB bol zou zijn. Dus aangezien het nu hol is, d.w.z. de begrenzing is van een doorschijnend lichaam aan de tegenovergestelde kant, en aangezien NBD en SBL rechte lijnen zijn, zal van straal DB de gebrokene BL zijn {* voorstel I}. Dus zal S het spreidingspunt zijn van stralen die uit D voortkomen.   Nu zijn er drie gevallen. Want punt D is zo gegeven, dat de verhouding DC tot CA groter is dan de verhouding CR tot RA, of kleiner, of gelijk. En wanneer DC : CA gelijk is aan CR : RA, of de brekingsverhouding, zal S het punt zijn waarmee alle gebroken stralen precies zullen corresponderen. Maar als de verhouding DC : CA groter is, zullen alle gebrokenen, achterwaarts verlengd, vóór punt S met de as AC samenkomen. En kleiner, er voorbij. Dit alles is duidelijk uit wat in het tweede deel [<] van dit voorstel behandeld wordt.

[ 75 ]

Deel 6   Wanneer het oppervlak hol is, en naar een punt gerichte stralen er van buiten op vallen.   Het holle bolvormige oppervlak is AB, het middelpunt C; en er vallen stralen op die gericht zijn naar punt D, zoals OB. Er wordt een rechte getrokken langs DC, die het oppervlak in A snijdt, en CR heeft tot RA de brekings­verhouding. En DR : DA = DC : DS. Ik zeg dat in het eerste geval, wanneer R valt tussen A en D, het punt S spreidingspunt zal zijn van de stralen die naar D gericht waren. Maar in het andere geval, wanneer D valt tussen A en R, zal daarentegen de uitkomst zijn dat S hun punt van samenkomst is. En als D hetzelfde is als punt R, worden de stralen die er naartoe gericht zijn, na de breking onderling en met de as AC evenwijdig, zoals opgemerkt is in de voorstellen IX en I.   En de hier voorgelegde gevallen kunnen bewezen worden als SB getrokken is, en verlengd in de richting van L. Want omdat de lijnen SBL en DBO recht zijn, en hierboven in voorstel [<] bewezen is dat van de uit D naar het bolle oppervlak AB komende stralen de gebrokenen naar punt S samenkomen, zodat als DB een invallende straal is, zijn gebrokene BS wordt; daarom is het noodzakelijk dat hier van straal OB in de richting van D, invallend op het holle oppervlak AB, de gebrokene BL is {* voorstel I}. Hoewel toch, om precies te zeggen, de gebrokene van straal OB samenkomt met AC vóór punt S, wanneer S het spreidingspunt is; maar er voorbij, in het geval dat S het punt van samenkomst is.

[ 77 ]

Deel 7   Wanneer het oppervlak hol is, en van een punt komende stralen er van binnen op vallen.   Het holle oppervlak is AB, met middelpunt C; en het punt is S, waar vandaan stralen zoals SB weggegaan zijn die van binnen tegen het oppervlak komen.   Door S en C wordt een rechte getrokken, die het oppervlak snijdt in A, en AQ heeft tot QC de brekingsverhouding. Dus zal Q het punt zijn waarmee van de andere kant komende evenwijdige stralen zouden corresponderen. En daarom maken we SQ : SA = SC : SD. Ik zeg dat D het spreidingspunt zal zijnvan stralen die vanaf S komen: d.w.z. als D met B verbonden wordt, en verlengd naar L, zal BL de gebrokene zijn van de straal SB. Want als ook SB verlengd wordt naar N, staat vast dat van straal NB de gebrokene BD zou zijn, als het oppervlak AB bol gedacht wordt {* deel 4}. Dus hier, nu het doorschijnende aan de andere kant van oppervlak AB gelegen is, zal BL ook de gebrokene van straal SB zijn {* voorstel I}. En daarom is D het spreidingspunt van de stralen die van S komen. Dit is echter zodanig, dat alle gebrokenen vóór D zelf met de as samenkomen, d.w.z. minder ver van oppervlak AB. Deel 8   Wanneer het oppervlak hol is, en naar een punt gerichte stralen er van binnen op vallen.   Het holle oppervlak van het doorschijnend lichaam is AB, het middelpunt ervan C; en het gegeven punt is S, waarop stralen gericht zijn, zoals OB, die van binnen het genoemde oppervlak ontmoeten. We trekken een rechte door C, die het oppervlak snijdt in A. En we geven AQ tot QC de brekings­verhouding. Verder is SQ : SA = SC : SD. Ik zeg dat in het eerste geval, wanneer punt Q tussen A en S valt, D het spreidingspunt zal zijn van de stralen die naar S gericht gericht zijn. Maar in de twee laatste gevallen, waarbij S valt tussen A en Q, zeg ik dat D van deze stralen het punt van samenkomst zal zijn. Verbind D met B en trek de lijn door naar L. Als dus oppervlak AB bol gesteld wordt, zodat het doorschijnende aan de kant van C ligt, staat vast dat van straal SB de gebrokene DB is in het eerste geval, maar in de twee overige gevallen ligt deze op het verlengde van DB, dat is BL {* deel 2}. En hier dus anders, nu het doorschijnende aan de andere kant van het oppervlak ligt, zal van straal OB de gebrokene zijn BL in het eerste geval, en in de andere gevallen BD {* voorstel I}.

[ 79 ]

Omdat namelijk OBS en DBL rechte lijnen zijn. Dus is in het eerste geval D het spreidingspunt van de stralen die naar S gericht zijn, in de twee andere gevallen het punt van samenkomst. Nu kan het gebeuren dat D precies het punt van samenkomst is [<]; en wel als AC tot SC de brekingsverhouding heeft, dat is dezelfde als AQ tot QC. Wanneer evenwel D spreidingspunt is, zullen altijd de achterwaarts verlengden van de gebroken stralen samenkomen met de as vóór punt D.