Dioptrica 1

Op het eerste blad (later): Mijn Dioptrica, waar enige dingen uit weggenomen en enige aan toegevoegd moeten worden. Van de figuren heb ik het grootste deel, in hout gesneden. Toegevoegd zal worden 'Over de oorzaken van kringen en bijzonnen' [>]. Eveneens 'Telescopisch waterpas', zoals uitgegeven in het Parijse Journal des Sçavans [1680].   De in hout gesneden figuren zijn gebruikt door de Volder en Fullenius in hun uitgave van 1703, maar het grootste deel ontbrak.   Waterpas ('niveau'): Journal des Sçavans van maandag 29 jan. en 26 febr. 1680. Over straalbreking   Dat*) lichtstralen die op water of andere doorzichtige lichamen invallen, van richting veranderen wanneer ze hun oppervlak bereikt hebben, en van de rechte weg afgeleid worden, was al opgemerkt in de Oudheid. Want onder de Problemen van Aristoteles is er één waarin gevraagd wordt naar het schijnbaar geknikt zijn van roeiriemen°).   *)  Het eerste deel (tot aan "Want als ..." [>]) is later geschreven, zeker na 1666 (toen Niquet een kopie maakte), en misschien nog veel later. Het manuscript begint met pagina 5, waar bovenaan te lezen is:   pagina's 1, 2, 3, 4 heb ik afgekeurd.   [>]   *)  Huygens schijnt zich hier te vergissen, maar het schijnbaar breken van stokken werd vaak genoemd, b.v. door Plato (Rep. X, 5), Lucretius (4, 439) en Vitruvius (Archit. VI, 2.2).

[  5 ]

En eveneens wordt vermeld dat er een geschrift van Archimedes bestaan heeft over een ring die onder water gezien werd*), waarin hij ongetwijfeld over deze richtingverandering van stralen handelde, en over het daardoor ontstane gezichtsbedrog. Maar de wetten, die de zo beïnvloede stralen volgen, zijn later gevonden, en pas in onze tijd. De ondervinding heeft geleerd dat ze zijn als volgt:     Laat van een doorschijnend vloeibaar of vast lichaam, dat zich in de richting van K uitstrekt, het oppervlak plat zijn, en gesneden worden door een ander vlak (waarin deze figuur getekend is) volgens de rechte AB. Laat daarop een schuine straal DC invallen, die met de rechte ECK (loodrecht op het gestelde oppervlak) de hoek DCE maakt; deze gaat in het water of het glas door volgens CF, onder een kleinere hoek met CK, dan de hoek DCE is. En volgens deze wet, dat de sinussen van beide hoeken — d.w.z. hun loodlijnen DE en FK, vanuit de omtrek van een cirkel die om het middelpunt C beschreven is, op de rechte EK neergelaten — een bepaalde en steeds dezelfde verhouding hebben.   Deze brekingsmaat nu, niet met de verhouding van de sinussen maar die van de hoeken zelf, was eertijds bepaald door de Arabier Alhazen en door Vitellio°), en op de een of andere manier met enkele proeven bevestigd. Maar aangezien deze verhouding bij grotere hellingen van de stralen bevonden werd te verschillen van de ware, heeft men korter geleden gemeend deze zelfde zaak zorgvuldiger te moeten onderzoeken.   *)  De Catoptrica van Archimedes wordt genoemd door Theon van Alexandrië e.a. In de aan Euclides toegeschreven Catoptrica: "Als een voorwerp in een vaas gedaan wordt, en als de afstand zo gekozen wordt dat men het niet meer ziet, dan zal, wanneer er water in de vaas gegoten wordt, en de afstand hetzelfde blijft, het voorwerp dat in de vaas is gedaan gezien worden". [Vgl. de 'penninck' van Simon Stevin.]   °)  Alhazen beschreef de meting van hoeken van inval en van breking in de Opticae Thesaurus [1572, p. 232]. Witelo gaf tabellen met getalwaarden voor lucht-water, lucht-glas en water-glas (Opera [1572] X, 8). De Optica van Ptolemaeus was in Huygens' tijd onbekend.

[  7 ]

Onder hen heeft Kepler, na tevergeefs verscheidene dingen onderzocht te hebben {* Zie Ad Vitellionem Paralipomena [1604, p. 85, 111]}, van deze zaak de waarheid zelf weliswaar niet achterhaald; maar toch heeft hij door zijn gissingen en veelsoortige ondernemingen de studies van volgende onderzoekers niet weinig geholpen. En na hem, toen het nog meer de moeite waard leek — de uitvinding van de telescoop had immers plaats gevonden — is Willebrord Snellius met veel moeite en veel proefnemingen zo ver gekomen, dat hij wel de juiste metingen van brekingen in handen had, maar dat hij toch niet voldoende begreep wat hij gevonden had. Want met bijvoorbeeld een wateroppervlak AB, en een zichtbaar object onder water in D, dat voor een in F geplaatst oog verschijnt alsof het op de rechte FC was, trok hij deze FC door totdat deze in het punt G de rechte DA ontmoette, die loodrecht staat op het wateroppervlak. Na dit zo afgebakend te hebben stelde hij vast dat het beeld van het object in G verscheen, en dat er een bepaalde verhouding was van de rechte CD tot CG, zoals b.v. in water die van vierderde. Deze onderlinge verhouding van de rechten is juist, en komt geheel overeen met die brekingswet die we even eerder uiteengezet hebben; omdat (volgens de theorie van driehoeken) CD tot CG is als de sinus van hoek DGC, of AGC, ofwel HCF, tot de sinus van hoek CDG, of DCE. Maar op deze verhouding van sinussen heeft Snellius helemaal niet gelet, en hij was zozeer van mening dat de hele zaak afhing van het verschijnende beeld, dat hij ook bij een loodrechte straal (zoals HC) een brekingseffect meende te herkennen — of, zoals hij ten onrechte dacht, de verkorting van de zichtstraal*). Hij was misleid door het feit dat ook voor iemand die recht van boven in een vat vol met water kijkt, de bodem aan alle kanten opgetild schijnt te worden. De ware oorzaak hiervan moet gezocht worden in de stralen die naar elk van beide ogen lopen.   *)  Het manuscript van Snellius [† 1626] is verloren gegaan [cf. L. de Wreede, Diss. (2007), p. 102]; maar de passage waarom het gaat is waarschijnlijk letterlijk overgenomen door Golius in een brief van 1 nov. 1632 [aan Constantijn Huygens]:     Laat de begrenzing van het dichtere medium zijn AB, het zichtbare object V, de invallende straal VR, de gebroken straal in het ijlere medium RO, de plaats van het oog in punt O. Dan zal dus een beeld van het object gezien worden in het snijpunt van de gebroken straal OR (als deze doorgetrokken wordt) en de invallende loodrechte straal; deze zij VP en het snijpunt I. In hetzelfde medium dus, namelijk dit dichtere, zal de ware invallende straal zijn VR, en zijn schijnbare RI. Waarnemingen leren dat de verhouding van VR tot RI altijd dezelfde waarde behoudt, tussen willekeurige dergelijke stralen (zoals U'R' en R'I'); ja zelfs in de loodrechte en ongebroken straal UA, waarbij de schijnbare straal een deel is van de invallende zelf. Want een object U dat loodrecht bekeken wordt verschijnt ook niet op zijn eigen plaats, maar hoger in J; en zoals UA tot AJ, zo verhoudt VR zich tot RI. Wanneer dus van één straal de richtingverandering bekend is, of van de loodrechte de verkorting, wat op verscheidene manieren gemakkelijk gedaan kan worden, zal de verhouding van alle overige invallende en schijnbare stralen bekend zijn. Deze is bijvoorbeeld in water zoals van 4 tot 3, in glas zoals van 3 tot 2, namelijk wanneer het oog aan weerskanten zich in lucht bevindt.   (Een lichtbundeltje uit U langs UA geeft wel degelijk een virtueel beeld ter plaatse van J, zoals Snellius aangaf.)

[  9 ]

En dit alles, wat Snellius over het onderzoek van de breking uiteengezet had in een heel boek, is onuitgegeven gebleven. En wij hebben dit een keer gezien*) en we hebben vernomen dat Descartes het ook gezien heeft, zodat hij hieruit misschien die brekingsmaat heeft afgeleid die uit de sinussen bestaat; welke hij zeer vruchtbaar gebruikt heeft bij het uitleggen van de regenboog en het onderzoeken van de lensvorm. En hoe die brekingsverhouding van sinussen is, wanneer een straal vanuit de lucht in water, of glas, of andere doorschijnende lichamen loopt, dat kan ofwel met een prisma [<] onderzocht worden, zoals Descartes voorschrijft, ofwel op andere manieren, die niet moeilijk te vinden zijn voor wie het voorgaande begrepen heeft. Ons zijn deze, welke ik nu zal aangeven, gemakkelijker toegeschenen dan de overige. Want°) als een doorschijnende vloeibare stof gegeven is, is daarmee een glazen vat te vullen, dat ofwel de vorm van een cilinder heeft, ofwel alleen rond is om een as; maar hoe ruimer het is, en met hoe dunner glas, des te beter. Dat zij ABCD, en zo geplaatst dat het de as direct blootgesteld heeft aan de zonnestralen, of aan stralen die komen van een ver verwijderde lichtbron. Als deze stralen vallen op de zijde DC, zullen ze samenkomen aan de andere kant van het vat, nadat ze zowel het glas als het water dat daarin zit doorlopen hebben, en als het een cilindrisch vat is zullen ze een lichte streep geven zoals KL, op een plat oppervlak dat evenwijdig is met de zijkant van het vat. Daar waar die streep het volmaaktst voorkomt en met de kleinste breedte, moet tussen de passer worden genomen de afstand GF waarmee het vlak van het vat af staat, en deze afstand wordt op een papier aangegeven. En vervolgens wordt erbij gezet de halve diameter FE vanaf het middelpunt tot het buitenste oppervlak, die doormidden gedeeld wordt in H.   *)  Waarschijnlijk ca. 1662-3. Tot 1662 heeft Huygens i.v.m. de brekingswet alleen Descartes genoemd. ['La Dioptrique', 1637, p. 21- (Ned. 1659, p. 71-). Pierre Herigone gaf de wet ook al in 1637: Cursus Mathematicus, V, p. 132.] Snellius kreeg de eer die hem toekwam in 1662, van Isaac Vossius in De lucis natura et proprietate (Snellius' zoon had hem het manuscript van zijn vader laten zien). [Zie ook: C. de Pater, 'Experimental physics', in Leiden University in the seventeenth century (Leiden 1975), 309-. Vgl. wat Isaac Beeckman in 1628 schreef over Descartes.]   °)  Tot zover het stuk van 1666 of later; het vervolg is van 1653.

[ 11 ]

Nu zal de brekingsverhouding van water, of welke vloeistof het ook is, verkregen worden als die van EG tot GH, die immers steeds hetzelfde zal zijn als die van de sinussen zoals ik hierboven heb uiteengezet. Maar de stralen zullen voorbij het glas zorgvuldiger verzameld worden als we alleen die laten doorgaan welke de cilinder bij het midden binnendringen, met aan weerskanten de zijden voor een gedeelte bedekt. En het bewijs hiervan zal nog in het volgende gevonden worden, in voorstel XIII van het eerste boek. En dat de brekingen die hier in het glas voorkomen geenszins verhinderen dat de cilinder ABCD beschouwd wordt als helemaal van water, zal blijken uit wat gezegd zal worden in voorstel XXV van dit boek.     En als men de brekingen van glas of kristal op een dergelijke snelle manier wil onderzoeken, moet men een van die stof gevormde lens nemen, met het ene oppervlak plat en het andere bol, zoals hier de lens ABC is. Zet de platte kant in het zonlicht of het licht van een op grote afstand geplaatste lamp, zodat de stralen onder rechte hoeken invallen. En houd achter de lens iets dat vlak is, en zo ver er vandaan dat de samenkomende stralen daarop een zo scherp mogelijk beeld aftekenen van de zon of de vlam. Laat het in E zijn. Meet dan de afstand EB van dit beeld tot het bolle oppervlak van de lens, en weet dat de verhouding die de halve bollingsdiameter van ABC (neem aan DB) samen met de gevonden lengte BE (dat is de hele DE) heeft tot deze BE zelf, dezelfde is als die van de breking van het gebruikte glas of kristal. Want dit zal bewezen worden in voorstel IX van boek I. Maar het zal helpen als de lens rondom de randen tot een zekere afstand bedekt is, zodat hij het beeld van de lichtbron des te scherper weergeeft. Andere methoden zou ik hier aan toe kunnen voegen die bewerkelijker zijn, waarmee dezelfde brekingsverhouding nauwkeuriger verkregen wordt, maar aangezien het niet van veel belang is dat deze haarfijn bepaald wordt, en ze bij verschillende soorten glas of water wat verschillend bevonden wordt, zoals ik al gezegd heb*), lijkt het niet de moeite waard hierover meer voorschriften te geven. Toch voeg ik er dit aan toe, dat de breking van regenwater (zorgvuldig gemeten) gevonden is als van 250 tot 187, dat is iets groter dan vierderde; en dat heeft Descartes inderdaad nauwkeurig afgeleid uit de omvang van de regenboog°). Op gelijke manier, met behulp van een vast glazen bolletje, en na uit de waarneming gevonden te hebben de halve diameter van een regenboog in glasregen (als er op een of andere manier zulke regen zou vallen): 21° 45';   *)  In de oorspronkelijke versie [>] is gezegd: En deze [verhouding] kan niet nauwkeurig bepaald worden in het algemeen, omdat ze niet in elk glas (en ook niet in elk water) precies dezelfde is.   °)  Descartes berekende juist de diameter van de regenboog uit de verhouding 187 : 250.

[ 13 ]

daaruit hebben we de brekingsverhouding van glas door berekening*) afgeleid (waarvan de manier uitgelegd zal worden in het stuk over de bijzonnen°)), en we hebben deze groter bevonden dan 114 tot 76 (of dan 3 tot 2), maar kleiner dan 115 tot 76; zodat we zonder grote fout de waarde anderhalf kunnen gebruiken. Overigens hebben we in de volgende theorema's met deze waarde niet meer rekening gehouden dan met welke andere dan ook, en het is te weten dat alles wat we daarin zullen vaststellen evenzo staande zal blijven, welke brekingsverhouding er ook is.   Verder worden uit de brekingswet, zoals die uitgelegd is, de volgende drie theorema's gemakkelijk afgeleid, en in de overige zal er vaak gebruik van gemaakt worden.   *)  Deze berekening, in Appendix II (p. 151-3) bevat een regel, en de toepassing op water, waarbij de straal van de regenboog gesteld wordt op 41° 30'.   °)  Deze mededeling is toegevoegd na 1666; het schijnt dat Huygens toen de inhoud van Appendix II wilde opnemen in De Coronis et Parheliis [>], maar daar staat niet iets dergelijks. Voorstel I   Gegeven een willekeurig oppervlak AB, als begrenzing van een doorschijnend lichaam dat zich uitstrekt in de richting van C; en van de straal DA die van buiten daarop invalt is AC de gebroken straal, en DA wordt doorgetrokken naar F, en CA naar E. En vervolgens wordt aangenomen dat het doorschijnend lichaam zo verplaatst wordt, dat het door hetzelfde oppervlak AB begrensd wordt, maar dat het aan de tegenovergestelde kant ligt, namelijk waar E is. Ik zeg dat nu van straal FA de gebroken straal zal zijn AE.   Want laat HAG de rechte zijn die oppervlak AB doorsnijdt in A onder rechte hoeken. Dan liggen dus zowel DA als zijn gebroken straal AC in eenzelfde vlak dat door HG getrokken wordt. En omdat, als het doorschijnend lichaam in de richting van G ligt, de straal DA met de loodlijn HG dezelfde hoek maakt als de straal FA, wanneer het doorschijnend lichaam in de richting van H ligt — want DAF is volgens het gestelde een rechte lijn — zullen ook de gebroken stralen van beide gelijke hoeken maken met deze HG.

[ 15 ]

Van straal DA nu maakt de gebrokene AC de hoek CAG, dus een aan deze gelijke hoek zal de gebrokene van straal FA met HA maken, dat is gelijk aan hoek HAE (want CAE is een rechte lijn). Maar in hetzelfde vlak, door de rechte HG getrokken, liggen ook FA en AE, daar ze in het verlengde zijn van hun DA en CA. Dus blijkt de gebrokene van straal FA deze AE te worden wanneer het doorschijnend lichaam aan de kant van H ligt. Wat te bewijzen was. Voorstel II   Gegeven een willekeurig oppervlak AB van een door­schijnend lichaam, waarop van buiten schuin valt een straal DC, die gebroken wordt volgens CG; en de rechte ECP snijdt het oppervlak van het doorschijnend lichaam onder rechte hoeken, en daarop wordt binnen het doorschijnende een willekeurig punt F genomen, vanwaar getrokken wordt FG evenwijdig aan straal DC. Ik zeg dat deze de gebroken straal CG ontmoet, en dat de verhouding van CG tot GF dezelfde is als die van de breking.   Want omdat de hoek FCG door de breking kleiner is dan DCE, zal hij ook kleiner zijn dan PFG, en daarom zullen CG en FG noodzakelijk samenkomen. En verder omdat volgens de brekinswet (die boven uiteengezet is) de sinus van hoek DCE tot de sinus van hoek FCG die verhouding heeft, die de brekingsverhouding is. Nu is de sinus van hoek DCE dezelfde als van hoek DCF of CFG. Dus zal in driehoek CFG de sinus van hoek CFG tot de sinus van hoek FCG de brekingsverhouding hebben. En daarom zal ook de zijde CG tot de zijde GF diezelfde verhouding hebben; omdat immers in elke driehoek de zijden dezelfde verhouding tot elkaar hebben als de sinussen van de overstaande hoeken*).   Verder blijkt ook het omgekeerde waar. Namelijk, als — met FG evenwijdig aan straal DC, en de rechte CG ontmoetend — de verhouding CG tot GF dezelfde is als die van de breking, dat dan CG de gebrokene zal zijn van straal DC.   [ *)  Dit kan Huygens geleerd hebben van Simon Stevin, zie Driehouckhandel, v. 1.]

[ 17 ]

Voorstel III   Gegeven van een door­schijnend lichaam een willekeurig oppervlak AB, het doorschijnende begrenzend, dat in de richting van E ligt. En een straal binnen het doorschijnende is DC, die in C uittreedt en gebroken wordt volgens CH. En als ECP getrokken is, die het oppervlak snijdt onder rechte hoeken, wordt daarop een willekeurig punt L genomen, vanwaar LH getrokken wordt evenwijdig aan de straal DC. Ik zeg dat deze de gebroken straal CH ontmoet, en dat de verhouding van LH tot HC dezelfde is als die van de breking.   Want omdat de straal DC gebroken uit het doorschijnende gaat, zal de hoek PCH groter zijn dan hoek LCD, dat is, groter dan hoek CLH. Waaruit duidelijk is dat de rechten CH en LH samenkomen.   En verder, omdat volgens de brekingswet de sinus van hoek PCH tot de sinus van hoek LCD, of CLH, de brekingsverhouding heeft, en de sinus van hoek PCH dezelfde is als de sinus van hoek LCH, zal dus in driehoek LHC de sinus van hoek LCH tot de sinus van hoek CLH de brekingsverhouding hebben. En daarom zal ook de zijde LH tot de zijde HC diezelfde verhouding hebben. Wat te bewijzen was.   En weer is ook het omgekeerde van dit voorstel duidelijk. Namelijk, als — met LH evenwijdig aan straal DC, en de rechte CH ontmoetend — de verhouding LH tot HC dezelfde is als die van de breking, dat dan CH ook de gebrokene zal zijn van straal DC.   Nu zullen we achter­eenvolgens uiteen­zetten hoe de punten worden gevonden, waarnaar de stralen zich verzamelen, of waaruit ze schijnen te komen als ze uiteengaan, nadat ze gebroken zijn aan een plat, bol of hol oppervlak. En deze punten zullen we wel noemen punten van samenkomst, resp. spreidingspunten. Maar aangezien we met deze naam ook die punten zullen aanduiden waarnaar toch niet alle gebroken stralen zich precies uitstrekken (zoals aangetoond wordt), moet even duidelijk gemaakt worden hoe dit dan begrepen moet worden. Als dus aangetoond wordt dat stralen die evenwijdig op lens ABC invallen, na de breking alle samenkomen met de as DBE vóór een zeker punt E, of alle voorbij ditzelfde punt, maar op deze manier dat hoe dichter elke straal bij de as loopt, des te dichterbij punt E de gebrokene samenkomt, en dat op een afstand die wel kleiner is dan een gegeven afstand, dan zal punt E ook punt van samenkomst genoemd worden.

[ 19 ]

En evenzo bij een holle lens KFG: als we aangetoond hebben dat evenwijdige stralen, die van de kant van H komen, na de breking zo uiteengeworpen worden, dat hun achterwaarts verlengden alle samenkomen met de as FH vóór een zeker punt H, of alle er voorbij, en ook onder dezelfde voorwaarden die we bij de bolle lens gesteld hebben, dan zal punt H het spreidingspunt genoemd worden. Zelfs ook zullen we deze punten meestal zo opvatten, alsof ze de samenkomst of spreiding van stralen volkomen zouden bepalen; te weten door te letten op de middenste delen van de lenzen of oppervlakken, voldoende klein in verhouding tot de bollings- of hollingsdiameters, zodat voor wat betreft de waarneming met de ogen volmaakt lijkt wat meetkundig gezien onvolmaakt is. Want het is zeker dat het met de breedte van lenzen zo gesteld is, zowel van die waarmee we zien dat in het donker een afbeelding voor ogen gesteld wordt van dingen die buiten door de Zon verlicht worden, als waaruit kijkers of telescopen bestaan. Anders zouden ze immers niet bekend staan om hun zo vermaarde effecten. Voorstel IV Probleem 1   Gegeven een plat oppervlak van een doorschijnend lichaam, en een punt, waarnaar stralen gericht zijn die van buiten op het oppervlak invallen. Te vinden het punt van samenkomst van de gebroken stralen.   Het platte oppervlak van het doorschijnend lichaam zij AE (d.w.z. de rechte lijn AE is daarin), en het gegeven punt zij D, waarnaar stralen als LF en OE gericht zijn als ze van buiten het genoemde oppervlak ontmoeten. Verder heeft DA rechte hoeken daarmee, en alle lijnen die in de figuur verschijnen worden geacht te liggen in een vlak dat door AD getrokken is. We trekken AD door, en TA heeft tot AD een verhouding die gelijk is aan de brekingsverhouding.

[ 21 ]

Ik zeg dat T het gevraagde punt van samenkomst zal zijn. En ten eerste is wel aan te tonen dat van geen enkele straal de gebroken straal met AD samenkomt voor het punt T. Want als FC de gebrokene is van straal LF, en een parallelogram CDFP gemaakt wordt, zal FP dus loodrecht staan op het oppervlak AE, en zal PC evenwijdig zijn met straal LF, en diens gebrokene ontmoeten in C. En daarom zal de verhouding van FC tot CP gelijk zijn aan die van de breking {* Voorstel II}. Verder is FD gelijk aan CP. Dus zal ook CF tot FD de brekingsverhouding hebben, dat is die van TA tot AD. Dus is ook het kwadraat van CF tot het kwadraat van DF, als het kwadraat van TA tot het kwadraat van AD. Dus de verhouding van het kwadraat van CF tot het kwadraat van DF is van een grotere tot een kleinere. En daarom, door aan weerskanten af te trekken het kwadraat van AF, zal de verhouding van het kwadraat van CA tot het kwadraat van AD groter zijn dan het kwadraat van CF tot het kwadraat van DF, dat is dan het kwadraat van TA tot het kwadraat van AD. Derhalve zal het kwadraat van CA groter zijn dan het kwadraat van TA, en de lijn CA groter dan TA. Waaruit blijkt dat de gebrokene FC samenkomt met de as AD voorbij het punt T.   In de tweede plaats moet aangetoond worden dat van de stralen dichterbij AD de gebrokenen dichter bij punt T samenkomen dan van de verder van AD verwijderde. Want laat de straal OE verder weg zijn dan straal LF, en zijn gebrokene EG, dan trekken we EC. Het kwadraat van CE overtreft dan het kwadraat van ED met evenveel als het kwadraat van CF dat van DF, omdat in beide gevallen het verschil gelijk is aan het kwadraat van CD en tweemaal de rechthoek CDA [CD x DA] {* prop. 12 in boek 2 van Euclides}. Verder is het kwadraat van CE groter dan dat van CF. Dus is de verhouding van het kwadraat van CE tot dat van ED kleiner dan die van het kwadraat van CF tot dat van FD. En daarom is er ook een kleinere verhouding van de lijn CE tot ED, dan van CF tot FD. Zoals nu CF tot FD, zo is ook GE tot ED. Want zoals over de lijnen CF en FD aangetoond is, kan ook over de lijnen GE en ED aangetoond worden dat deze de brekingsverhouding hebben, omdat namelijk gesteld is dat EG de gebrokene is van straal OE, die naar D gericht is. Dan zal de verhouding CE tot ED kleiner zijn dan GE tot ED, en daarom is GE groter dan CE. Waaruit gemakkelijk ingezien wordt dat AG ook groter is dan CA; en dat het samenkomen van de gebroken straal OE met de as verder van punt T is dan bij de straal LF.   Tenslotte moeten we aantonen dat sommige gebroken stralen met het verlengde van AD samenkomen in een punt dat minder dan een gegeven willekeurig interval van punt T af ligt. We nemen aan dat het punt C dichterbij punt T ligt dan het gegeven interval, en verder van A af dan T zelf; en dat zoals het verschil van de kwadraten van TA en AD is tot het kwadraat van AD, aldus het verschil is van de kwadraten van CA en AD tot het kwadraat van DS. Dus omdat het eerste verschil kleiner is dan het laatste, zal ook het kwadraat van AD kleiner zijn dan dat van DS. En het lijnstuk DA kleiner dan DS.

[ 23 ]

En daarom, als om D als middelpunt met de afstand DS een omtrek beschreven wordt, zal deze de rechte AF snijden. Laat dit zijn in F, en verbind C met F, en evenzo D met F, en verleng deze in de richting van L. Aangezien dan het verschil van de kwadraten van TA en AD tot het kwadraat van AD is als het verschil van de kwadraten van CA en AD tot het kwadraat van DS of DF, zal (door samenstellen) het kwadraat van TA tot dat van AD zijn als het verschil van de kwadraten van CA en AD samen met het kwadraat van DF, tot het kwadraat van DF. Nu is CA2 - AD2, dat is CD2 + 2 CD.DA, opgeteld bij DF2 gelijk aan CF2. Dus zoals TA2 tot AD2, zo is CF2 tot DF2. En het lijnstuk CF tot DF als TA tot AD. Nu is de verhouding TA tot AD de brekingsverhouding. Dus in driehoek CFD heeft zijde CF tot FD de brekingsverhouding; en daarom zal de sinus van hoek CDF, of ADF, tot de sinus van hoek FCD ook diezelfde verhouding hebben. Nu is hoek ADF de hoek die de invallende straal LF maakt met de loodlijn, en hoek FCD de hoek die de lijn FC maakt met diezelfde loodlijn. Dus staat vast dat FC de gebroken straal is van LF. En zo is aangetoond dat er een straal is waarvan de gebrokene met de as samenkomt in een punt dat dichterbij punt T ligt dan een willekeurig interval. Daarom zal T het gevraagde punt van samenkomst zijn. Voorstel V Probleem 2   Gegeven van een doorschijnend lichaam een plat oppervlak, en een punt, vanwaar stralen komen die daarop van buiten invallen. Te vinden het spreidingspunt van de gebroken stralen.   Het platte oppervlak ven het door­schijnend lichaam zij AE, en het gegeven punt D, vanwaar stralen gaan naar het door­schijnende, zoals DF. De lijn DA staat loodrecht op oppervlak AE, en het verlengde TA heeft tot AD een verhouding gelijk aan die van de breking.

[ 25 ]

Ik zeg dat T het gevraagde spreidingspunt zal zijn. Dat wil zeggen dat van stralen die uit D komen de gebrokenen (zoals FN van straal DF is) binnen het doorschijnende zo lopen, dat het is alsof ze komen uit punt T.   Want verleng DF in de richting van L, en verbind F met T. Als we ons dan voorstellen dat het oppervlak AE, anders dan wat hier gesteld is, een doorschijnend lichaam begrenst dat in de richting van D ligt, is uit het voorgaande duidelijk dat van stralen die naar D gericht zijn de gebrokenen samenkomen bij punt T, zodat van straal LF de gebrokene zal zijn FT. Verder is FD in de richting van die LF, en FN in de richting van die TF. Dus zal ook FN hier de gebrokene zijn van DF {* voorstel I}. Daarom loopt DF na breking alsof hij uit punt T zou voortkomen, en dus zal T het gevraagde spreidingspunt zijn. Verder blijkt het zo te zijn, dat de gebroken stralen bij achterwaartse verlenging voorbij dat punt T met de rechte AD samenkomen.

Voorstel VI Probleem 3   Gegeven van een doorschijnend lichaam een plat oppervlak, en een punt, vanwaar stralen komen die daarop van binnen terechtkomenen. Te vinden het spreidingspunt van de gebroken stralen.     Het platte oppervlak van het doorschijnende zij AE, en het gegeven punt T, vanwaar stralen naar het oppervlak AE lopen, zoals TF. De rechte TA staat loodrecht op oppervlak AE, en wordt in D zo verdeeld dat de verhouding van TA tot DA gelijk is aan die van de breking. Ik zeg dat D het gevraagde spreidingspunt zal zijn, namelijk zodat de gebroken straal FL van straal TF loopt alsof hij uit punt D zou komen. Want verbind F met D; als dan LF een invallende straal zou zijn op het oppervlak AE, en gericht naar punt D, zou zijn gebrokene zijn FT, zoals uit probleem 1 duidelijk is: omdat namelijk TA tot DA de brekingsverhouding is.

[ 27 ]

Dus zal andersom van straal TF de gebrokene zijn FL; dit is immers de brekingswet zoals hierboven uiteengezet is [<]. Dus zal D het gevraagde spreidingspunt zijn. Verder zal het zo zijn dat alle gebroken stralen vóór D samenkomen, d.w.z. dat hun punt van samenkomst minder ver van het oppervlak A ligt dan punt D. Wat gemakkelijk bewezen kan worden uit wat in probleem 1 behandeld wordt.

Voorstel VII Probleem 4   Gegeven van een doorschijnend lichaam een plat oppervlak, en een punt buiten het doorschijnende, waarnaar stralen gericht zijn die van binnen op het oppervlak ervan invallen. Te vinden het punt van samenkomst van de gebroken stralen.   Het platte oppervlak van het doorschijnende zij AE, en het gegeven punt erbuiten T, waarheen stralen gericht zijn zoals LF, die van binnen tegen oppervlak AE komen. TA staat loodrecht op het oppervlak, en dit wordt gesneden in D, zodat TA tot AD de brekingsverhouding is. Ik zeg dat D het gevraagde punt van samenkomst is. Want uit probleem 2 staat vast dat, als DF een invallende straal is, zijn gebrokene zal zijn FL, aangezien FL in de richting van die TF is, en de verhouding TA tot AD dezelfde is als die van de breking. Dus andersom zal hier FD de gebrokene zijn van straal LF; en daarom is D het punt van samenkomst van stralen die naar T gericht zijn. Verder komen er geen stralen samen voorbij D. Hulpstelling 1   Bij een driehoek BAC, die hoek A stomp heeft, wordt uit B een rechte getrokken die het verlengde van AC (in de richting van C) snijdt in D. Ik zeg dat de verhouding BD tot DA kleiner is dan BC tot CA.

[ Marge: ]

deze 4 hulpstellingen kunnen weggelaten worden.

[ 29 ]

Want als CE evenwijdig aan DB getrokken is: aangezien dus hoek A stomp is, en hoek BEC gelijk aan de som van de hoeken A en ECA, zal ook hoek BEC stomp zijn, en daarom zal in driehoek BEC de zijde BC groter zijn dan de zijde EC. En daarom zal de verhouding EC tot CA kleiner zijn dan BC tot CA. En zoals EC tot CA, zo is BD tot DA. Dus is ook de verhouding BD tot DA kleiner dan BC tot CA. Wat het voorgestelde was. Hulpstelling 2   En andersom, gesteld (zoals hiervoor) dat driehoek BAC de hoek A stomp heeft, als getrokken wordt BD die deze stompe hoek onderspant, en die de rechte langs AC zo ontmoet dat de verhouding BD tot DA kleiner is dan BC tot CA; dan zeg ik dat DA groter is dan CA.   Want als gezegd wordt dat DA kleiner is dan CA, zal volgens de voorgaande hulpstelling de verhouding BD tot DA groter zijn dan BC tot CA. Gesteld wordt echter dat hij kleiner is. Dus zal DA niet kleiner zijn dan CA, maar hij kan ook niet gelijk zijn. Dus blijft over dat DA groter is dan CA. Wat het voorgestelde was. Hulpstelling 3   Bij een driehoek ABC, die hoek B stomp heeft, wordt uit B een rechte getrokken die het verlengde van AC (in de richting van C) ontmoet in D. Ik zeg dat de verhouding AD tot DB kleiner zal zijn dan AC tot CB.   Want als CE evenwijdig is aan DB: aangezien dus in driehoek CBE de hoek B stomp is, zal de zijde CE groter zijn dan CB. En daarom is de verhouding AC tot CE kleiner dan AC tot CB. En zoals AC tot CE, zo is AD tot DB. Dus is ook de verhouding AD tot DB kleiner dan AC tot CB. Wat het voorgestelde was. Hulpstelling 4   Bij een driehoek ABC, opnieuw met hoek B stomp, wordt getrokken BD die de rechte AC ontmoet in D, zó dat hoek ABD ook stomp is, en dat de verhouding AD tot DB kleiner is dan de verhouding AC tot CB. Ik zeg dat AD groter is dan AC.

[ 31 ]

Want als gezegd wordt dat AD kleiner is dan AC, zal uit de voorgaande hulpstelling volgen dat de verhouding AC tot CB kleiner is dan AD tot DB. Hier echter wordt de verhouding AD tot DB kleiner gesteld dan AC tot CB. Dus is AD niet kleiner dan AC. Maar ook niet gelijk, aangezien BC en BD verschillend gesteld worden. Dus is hij groter dan AC, wat het voorgestelde was. Hulpstelling 5   Een rechte lijn AB is verdeeld in C, zo dat AC groter is dan CB. En hij wordt doorgetrokken in de rchting van B, en AD heeft tot DB dezelfde verhouding als AC tot CB. En om CD als diameter wordt een cirkel CED beschreven. Als naar een willekeurig punt van de cirkelomtrek, zoals E, de rechten AE en BE getrokken worden, zeg ik dat AE tot EB is als AC tot CB.

Dit is bewezen door Eutocius in zijn commentaar op de Conica van Apollonius. En beter door de Zeergeleerde Heer Frans van Schooten, in Loca plana van Apollonius, door hem hersteld*). Maar als buiten de beschreven cirkel een punt genomen wordt, zoals H, dat door rechte lijnen verbonden wordt met A en B, zeg ik dat de verhouding AH tot HB kleiner is dan AC tot CB.   Want we trekken AK naar het snijpunt van de omtrek en de rechte BH. Dan is AK tot KB als AC tot CB, en dus is AK groter dan KB. Daarom, als aan beide KH toegevoegd wordt, zal AK + KH tot HB een kleinere verhouding zijn dan AK tot KB. Maar HA is kleiner dan HK + KA, of daaraan gelijk (als H genomen is op het verlengde van de lijn CD in de richting van D). Dus heeft ook AH tot HB een kleinere verhouding dan AK tot KB, d.w.z. dan AC tot CB. Wat het voorgestelde was.   Andersom, als binnen de cirkel een punt L genomen wordt, dat door rechte lijnen verbonden wordt met A en B, zeg ik dat de verhouding AL tot LB groter is dan AC tot CB.   Want laat het verlengde van BL de omtrek ontmoeten in M, en verbind A met M. Dan is dus AM tot MB als AC tot CB, en daarom is AM groter dan MB. Maar AL + LM is groter dan AM, of daaraan gelijk (als punt L genomen is op de lijn BD). Dus zal AL + LM ook groter zijn dan MB.   *)  Exercitationum Mathematicarum, Lib. III. Continens Apollonii Pergaei Loca plana restituta (Leiden 1656). Van Schooten geeft op p. 261 een eenvoudiger bewijs dan Eutocius, maar dat van Huygens is nog eenvoudiger.

[ 33 ]

En daarom, als van beide LM afgetrokken wordt, zal de verhouding van de rest AL tot de rest LB groter worden dan van AL + LM tot MB. Nu is de verhouding AL + LM tot MB groter dan of gelijk aan de verhouding van AM tot MB. Dus zal de verhouding van AL tot LB in elk geval groter zijn dan AM tot MB. En daarom staat het voorgestelde vast.   Ook het omgekeerde van elk van beide stellingen blijkt waar. Namelijk: als AH tot HB een kleinere verhouding heeft dan AC tot CB, valt punt H buiten de cirkel CED (beschreven op de genoemde manier). En als AL tot LB een grotere verhouding heeft dan AC tot CB, valt punt L binnen dezelfde cirkel. Voorstel VIII Probleem 5   Gegeven van een doorschijnend lichaam een bolvormig oppervlak dat bol is, waarop van buiten evenwijdige stralen invallen; te vinden het punt van samenkomst der gebroken stralen*).     Laat het bolle oppervlak van het doorschijnende zijn ABP, met midelpunt C, waarop stralen invallen zoals OB en NP, evenwijdig met de rechte AC die door het middelpunt getrokken is. We verlengen AC tot in Q, zó dat de verhouding AQ tot QC die van de breking is. Ik zeg dat Q het gevraagde punt van samenkomst zal zijn.   En wel ten eerste zal bewezen worden dat van geen enkele straal de gebrokene samenkomt met het verlengde van AC voorbij punt Q. Want beschouw van straal OB de gebrokene BL (die noodzakelijk samenkomt met AC voorbij het punt C), en verbind C met B. Omdat dus CB loodrecht op het oppervlak AB is, en BL de gebrokene van straal OB, met welke straal CL evenwijdig is, zal BL tot LC de brekingsverhouding hebben {* voorstel II}, dat is die van AQ tot QC. Maar AL is groter dan BL, aangezien hij door het middelpunt van cirkel AB getrokken is. Daarom is de verhouding AL tot LC groter dan BL tot LC, d.w.z. dan AQ tot QC. En door deling: de verhouding AC tot CL is dus groter dan AC tot CQ; en daarom is CL kleiner dan CQ. Dus komt de gebrokene van straal OB niet voorbij punt Q samen met AC.   *)  De voorstellen VIII - XI geven: f = n/(n–1) R .

[ 35 ]

In de tweede plaats zal aangetoond worden dat van de stralen die dichter bij de as AC zijn, de gebrokenen dichter naar punt Q toekomen dan van de verder verwijderde. Want laat de genoemde straal OB dichterbij AC zijn dan de straal NP, en de gebrokene van de laatste zij PK. En verbind C met P, en K met B. Om dezelfde reden als zoëven zal zowel BL tot LC, als PK tot KC, de brekingsverhouding hebben {* voorstel II}. Verder is BK groter dan PK. Dus de verhouding BK tot KC is groter dan PK tot KC, d.w.z. dan BL tot LC. En de hoek BCL is noodzakelijk stomp, waarop elk van de lijnstukken BL en BK onderspannen wordt. Dus zal CL groter zijn dan CK {* hulpstelling 2}. En zo blijkt dat de gebrokene van straal OB dichterbij het punt Q samenkomt met de as dan de gebrokene van straal NP.

Tenslotte zullen we aantonen dat sommige gebroken stralen samenkomen met AC in een punt dat minder ver afligt van punt Q dan een willekeurig gegeven interval. Want laat ten eerste een of andere evenwijdig invallende straal zijn NP, en zijn gebrokene PK, en neem tussen K en Q een punt L dat dichterbij punt Q ligt dan het gegeven interval. De verhouding dan die CQ tot QA heeft, die geven we ook aan CL tot LT; en we verbinden P met L. Aangezien dus hoek PCL stomp is, en CL groter dan CK, zal de verhouding PL tot LC kleiner zijn dan PK tot KC {* hulpstelling 1}. Nu is de verhouding PK tot KC die van de breking, omdat PK gesteld wordt de gebrokene te zijn van straal NP. Dus daar de verhouding PL tot LC kleiner is dan PK tot KC, zal dezelfde ook kleiner zijn dan de verhouding TL tot LC, want door constructie is TL tot LC als AQ tot QC, dat is als PK tot KC. Dus is PL kleiner dan TL. Maar TL is kleiner dan AL; want CT is kleiner dan CA, omdat CL kleiner is dan CQ. Dus moet de omtrek, beschreven met L als middelpunt en LT als straal, noodzakelijk de omtrek AP snijden tussen A en P. Laat hem deze dan snijden in B, en trek BO evenwijdig aan AC; en verbind B met L, en C met B. Omdat dus CB loodrecht is op oppervlak AB, en BL of TL tot LC de brekingsverhouding heeft, zal BL de gebrokene zijn van straal OB, die evenwijdig is met de rechte AC. Daarom blijkt dat zowel van deze straal, als van alle die minder van de as AC af liggen, de gebrokenen samenkomen in punten die minder ver van punt Q liggen dan het gegeven interval. En dientengevolge zal Q inderdaad zijn het punt van samenkomst van de gebroken stralen, wat gevonden moest worden.

[ 37 ]

Voorstel IX Probleem 6   Gegeven van een doorschijnend lichaam een bolvormig oppervlak dat bol is, waarop van binnen evenwijdige stralen invallen; te vinden het punt van samenkomst der gebroken stralen.   Laat het bolle oppervlak zijn AB, om middelpunt C, waardoor getrokken is CA, evenwijdig met invallende stralen. Deze wordt door­getrokken naar R, waarbij CR tot RA de brekingsverhouding heeft. Ik zeg dat R het gevraagde punt van samenkomst is.   Eerst zullen we dus bewijzen dat geen enkele gebrokene van een straal samenkomt met het verlengde van CA voorbij het punt R. Want laat van de straal OB, die evenwijdig is aan CA zelf, de gebrokene zijn BL, en verbind B met C. Daar dus CB loodrecht is op het oppervlak AB, en CL evenwijdig met straal OB, zal CL tot LB de brekingsverhouding hebben {* voorstel III}, dat is die van CR tot RA. Maar LA is kleiner dan LB. Dus zal CL tot LA een grotere verhouding hebben dan tot LB, dat is dan CR tot RA. En door deling: CA tot AL is groter dan CA tot AR. Dus is AL kleiner dan AR; en het blijkt dat van straal OB de gebrokene samenkomt met de as vóór punt R.   Verder moet worden aangetoond dat van stralen dichter bij de rechte CA de gebrokenen dichter tot punt R komen. Laat daarom de straal OB dichterbij CA zijn dan NP, en de gebrokene van straal NP zij PK; en we verbinden B met K, en C met P. Dus zal CK tot KP de brekingsverhouding hebben {* voorstel III}, evenals CL tot LB. En omdat KB kleiner is dan KP, zal de verhouding CK tot KB groter zijn dan CK tot KP, d.w.z. dan CL tot LB. En de hoeken CBL en CBK zijn beide noodzakelijk stomp. Dus zal CL groter zijn dan CK, waaruit het voorgestelde blijkt.   Tenslotte moet aangetoond worden dat er een straal is, waarvan de gebrokene samenkomt met het verlengde van CA in een punt, dat dichter bij punt R is dan een willekeurig gegeven interval. Laat een of andere van de evenwijdige stralen zijn NP, waarvan de gebrokene PK is. En neem een punt L tussen K en R, dichter bij punt R dan het gegeven interval, waarbij CL tot LT de brekingsverhouding heeft, namelijk dezelfde als CA tot AR. Omdat dus AL kleiner is dan AR, zal de verhouding CA tot AL groter zijn dan CA tot AR. En door samenstelling: de verhouding CL tot LA is groter dan CR tot RA, d.w.z. dan CL tot LT. En daarom zal LT groter zijn dan LA. Verbind L met P. Dus omdat hoek CPK stomp is, en gesteld wordt dat CL groter is dan CK, zal ook hoek CPL stomp zijn; en daarom is de verhouding CK tot KP groter dan CL tot LP {* hulpstelling 3}. Zoals nu CK tot KP, zo is CL tot LT, want elk van beide verhoudingen is dezelfde als die van de breking. Dus is de verhouding CL tot LT groter dan CL tot LP, en daarom LT kleiner dan LP.

[ 39 ]

Maar aangetoond is dat dezelfde LT groter is dan LA. Dus als om L als middelpunt, en LT als halve diameter, een omtrek beschreven wordt, zal deze de omtrek AP snijden tussen A en P. Laat hem deze snijden in het punt B, en laat BO evenwijdig zijn aan AC, en verbind L met B, en B met C. Omdat dus CL tot LT, d.w.z. tot LB, de brekingsverhouding heeft, en CB loodrecht is op oppervlak AB, zal BL de gebrokene zijn van straal OB {* voorstel III}. En daarom is aangetoond dat er een straal is, evenwijdig met de rechte CA, waarvan de gebrokenen samenkomt met het verlengde van dezelfde AC, in een punt dat minder dan een willekeurig gegeven interval afligt van punt R. En dientengevolge zal R het gevraagde punt van samenkomst zijn. Voorstel X   Gegeven van een doorschijnend lichaam een bolvormig oppervlak dat hol is, waarop van buiten evenwijdige stralen invallen; te vinden het spreidingspunt van de gebroken stralen.   Beschouw het holle oppervlak AB van een bol met middelpunt C, waarop stralen evenwijdig met de rechte CA invallen, zoals OB. Verleng AC, en kies een punt Q zo, dat de verhouding AQ tot QC gelijk is aan die van de breking. Ik zeg dat Q het gevraagde spreidingspunt is, d.w.z. dat de stralen door de breking zo afgebogen worden dat ze doorgaan alsof ze uit het punt Q voortkomen.   Want verbind Q met B en trek deze lijn door in de richting van L, en straal OB in de richting van N. Zoals dus wanneer het oppervlak AB bol is — d.w.z. als het doorschijnende ligt aan de kant waar C is — van straal NB de gebrokene BQ is {* Prop. VIII}, zo zal hier, terwijl het doorschijnende aan de andere kant gelegen is, van straal OB de gebrokene BL zijn {* Prop. I}, omdat BO in de richting van NB zelf is, en BL in de richting van BQ zelf. Toch is te weten dat de gebrokene BL, en alle andere achterwaarts verlengden, niet bij het punt Q zelf samenkomen, maar iets ervoor, aangezien ook van straal NB, als hij op het bolle oppervlak invalt, de gebrokene voor punt Q met de as AC samenkomt {* Prop. VIII}. Maar de kleine tussenruimte verwaarlozen we hier, zoals ik hierboven al aangegeven heb [<]: omdat we namelijk vooral letten op die stralen die het dichtst bij de as AC zijn.

[ 41 ]

Verder is uit dit voorstel duidelijk, dat stralen die in de richting van punt Q lopen, zoals LB, en van binnen op het holle oppervlak AB invallen, na de breking evenwijdig aan de as AC naar buiten komen. Want als van straal OB de gebrokene BL is, zal ook van straal LB de gebrokene BO zijn.

Voorstel XI   Gegeven van een doorschijnend lichaam een bolvormig oppervlak dat hol is, waarop van binnen evenwijdige stralen invallen; te vinden het spreidingspunt van de gebroken stralen.   Laat op het holle oppervlak AB, waarvan het middelpunt C is, stralen evenwijdig met de rechte AC invallen, zoals OB. Verleng CA, en kies een punt R zo, dat de verhouding CR tot RA die van de breking is. Ik zeg dat R het gevraagde spreidingspunt is.   Want verbind R met B, en trek de lijn door in de richting van L, en evenzo OB in de richting van N. Als dus het oppervlak AB bol zou zijn, zou de straal NB gebroken worden tot BR {* Prop. IX}. Daarom zal, als dit oppervlak hol is, van straal OB de gebrokene ook BL zijn {* Prop. I}, aangezien OBN en RBL rechte lijnen zijn.   En hieruit is duidelijk dat stralen die naar R gericht zijn, zoals LB, zo gebroken worden aan hetzelfde holle oppervlak AB, dat ze daarna evenwijdig worden met de rechte AC. Immers, omdat BL de gebrokene is van straal OB, zal BO ook de gebrokene van straal LB zijn.