Dioptrica

Sur la première feuille du manuscrit [...]: Dioptrice mea, ubi quaedam tollenda, quaedam addenda. Figurarum maximam partem ligno incisam habeo. Addetur de Causis Halonum et Pareliorum [>]. Item Libella Telescopica, qualis edita in diario Eruditorum Parisiensi.   Ces figures xylographiques furent utilisées par de Volder et Fullenius dans leur édition de 1703 [...] mais le plus grand nombre manquait. [...] les deux articles de Huygens sur le niveau à lunette avaient paru dans le Journal des Sçavans du "Lundy 29 janvier", et du "Lundy 26 Fevrier" 1680. De Refractione Radiorum   Radios*) lucis in aquam aut alia pellucida corpora incidentes, inflecti cum superficiem eorum attigerint et a via recta detorqueri, jam antiquis temporibus animadversum fuit. Est enim inter Aristotelis Problemata in quo de remorum apparenti curvitate quaeritur°).   *)  Toute la partie [... jusqu'à: "si liquida diaphani materia data sit" (>)] a été écrite au moins après 1666 [copie de Niquet], si non encore beaucoup plus tard. [...] ce manuscrit commence par la page 5, où on lit en haut:   paginas 1, 2, 3, 4 rejeci.   [>]   °)  Huygens désigne ici les "Problematum sectiones duae de quadraginta"; mais il semble qu'il se trompe [...].   Du reste, l'illusion optique qui se produit lorsqu'un bâton est en partie sous l'eau est fréquemment mentionnée par les auteurs anciens. .. Platon (Rép. X, 5) .. Plutarque (De plac. phil. 3,5) .. Ptolemée (Opt. II) .. Lucrèce (De rer. nat. 4, vs. 439 sq.) .. Vitruve (De Archit. VI, 2.2).

[ 5 ]

[ v ]

Itemque Archimedis libellus extitisse fertur de annulo sub aquis viso*), in quo procul dubio de flexu isto radiorum agebatur, nataque inde visus fallacia. Leges vero, quas ita affecti radij sequuntur, serius, ac nostro demum aevo repertae sunt. Quas hoc modo sese habere experientia docuit.     Sit liquidi vel solidi diaphani corporis versus K existentis superficies plana, quae ab alio plano, in quo figura haec descripta intelligitur, secetur secundum rectam AB. In hanc incidat radius obliquus DC, qui ad rectam ECK, superficiei propositae perpendicularem, faciat angulum DCE; is in aqua vitrove perget secundum CF minori angulo ad CK inclinatam, quam sit angulus DCE. atque ea lege ut sinus utriusque anguli, hoc est perpendiculares eorum DE, FK ex circumferentia circuli centro C descripti in rectam EK demissae certam, eandemque semper inter se rationem servent.   Haec autem refractionum mensura, non sinuum, sed angulorum ipsorum proportione ab Alhaseno Arabe et Vitellione°) olim definita fuerat, et experimentis quibusdam utcunque confirmata. Sed cum in majoribus radiorum inclinationibus a vero discrepare proportio illa reperiretur, diligentius sibi eandem rem recentiores investigandam existimarunt.   *)  La Catoptrique d'Archimède est mentionnée par Théon d'Alexandrie [... e.a.]. [...] dans la Catoptrique dite d'Euclide, où on lit: "Si un objet est jetée dans un vase et que la distance est choisie de telle manière qu'on ne l'aperçoit plus, alors, lorsque de l'eau est versée dans le vase et que la distance reste la même, l'objet jeté dans le vase sera vu".   °)  [...] Alhazen, dans l'"Opticae Thesaurus" [1572, p. 232] décrit les instruments nécessaires pour mesurer les angles d'incidence et de réfraction [...]. Vitellio (Opera [1572] X, 8) a donné des tables pour les angles de réfraction pour trois combinaisons de milieux différents, savoir air-eau, air-verre et eau-verre. [...] l'Optique de Ptolemée, ouvrage inconnu à Huygens et ses contemporains.

[ 7 ]

[ v ]

In quibus Keplerus, plurimis frustra tentatis {* Vide Paralipom. ad Vitellionem [1604, p. 85, 111]}, ipsam quidem rei veritatem non est assecutus; conjecturis tamen suis, varijsque molitionibus non parum sequentium studia adjuvit. Post eum vero Willebrordus Snellius, cum jam majus operae pretium appareret, quippe exorto telescopij invento, multo labore multisque experimentis eo pervenit ut veras quidem refractionum mensuras teneret, nec tamen quod invenerat satis intelligeret. Nam positâ, ex. gratia, aquae superficie AB, visibili vero sub aqua in D, quod oculo in F posito appareat quasi in recta FC, continuabat hanc FC, donec in G puncto occurreret rectae DA, ad superficiem aquae perpendiculari; hisque ita descriptis, statuebat imaginem rei visae apparere in G, rectaeque CD ad CG certam esse rationem, veluti in aqua sesquitertiam. Quae rectarum inter se ratio vera est, ac convenit prorsus cum ea quam paulo ante explicuimus refractionis lege; quia CD est ad CG, ex doctrina triangulorum, ut sinus anguli DGC, vel AGC, seu HCF, ad sinum ang. CDG, sive DCE. Verum ad hanc sinuum proportionem nequaquam attendit Snellius et usque adeo ab apparente imagine rem omnem pendere existimavit, ut etiam in radio perpendiculari qualis HC, effectum refractionis, seu, ut falso opinatur, decurtationem radij visorij agnoscat*). deceptus eo quod etiam recta desuper in vas aqua plenum inspicienti, fundus omni parte attolli videtur. Cujus rei vera causa ex radijs ad utrumque oculum tendentibus petenda est.   *)  Le manuscrit de Snellius est perdu [cf. L. de Wreede, Diss. (2007), p. 102]; mais le passage dont il s'agit a probablement été reproduit textuellement par Golius dans une lettre du 1er novembre 1632 [...]:     Esto medii densioris terminus AB, visibile V, radius incidentiae VR, refractus in rariore medio RO, oculi situs in puncto O. Videbitur itaque imago rei visibilis in concursu radii refracti OR continuati et perpendicularis incidentiae; qua sit VP et punctum concursus I. In eodem itaque medio, sc. hic densiore, radius incidentiae verus erit VR, suusque apparens RI. Docent observata quae ratio est VR ad RI, semper obtinere eandem inter quoscumque radios similes; ut U'R' et R'I', quin in ipso radio perpendiculari et irrefracto UA ubi incidentis ipsius pars est radius apparens; neque enim res visibilis U spectata perpendiculariter suo apparet loco, sed superiore in J: atque ut UA ad AJ, ita VR se habet ad RI. Unius itaque radii obliquatione, aut perpendicularis contractione cognita, quod modis pluribus facile fieri potest, cognoscetur ratio caeterorum incidentium et apparentium omnium, quae, exempli gratia, in aqua ut 4 ad 3, in vitro ut 3 ad 2, quando sc. utrobique oculus consistit in aere.   Il est presque superflu de remarquer que la réfraction d'un étroit faisceau de lumière issu du point U dans la direction UA donne lieu à une image virtuelle qui se trouve précisément au lieu J indiqué par Snellius.

[ 9 ]

[ v ]

Haec autem omnia quae de refractionis inquisitione volumine integro Snellius exposuerat inedita mansere, quae et nos vidimus aliquando*) et Cartesium quoque vidisse accepimus, ut hinc fortasse mensuram illam quae in sinibus consistit, elicuerit; qua in explicanda Iride & vitrorum figuris investigandis felicissime est usus. Cujusmodi vero sit illa Refractionis in sinibus proportio cum radius ex aere in aquam, vitrumve, aut alia corpora diaphana defertur, id vel prismate [<], ut Cartesius praecipit inquiri potest, vel alijs modis; quos qui praecedentia intellexerit, non difficulter inveniet. Nobis hi, quos jam docebo, caeteris faciliores visi sunt. nam°) si liquida diaphani materia data sit, ea vitreum vas impleatur, quod vel cylindri formam habeat, vel ejusmodi solum quae circa axem rotunda sit; quo autem capacius erit, quoque tenuiori vitri, eo melius. Esto illud ABDC, atque ita collocetur, ut axem habeat solaribus radijs, vel ab lumine longinquo venientibus, directe oppositum. Hi igitur radij si cadant in latus DC, concurrent ex parte altera vasis, postquam et vitrum et aquam eo contentam transierint, et, si cylindraceum vas fuerit, lineam quandam lucidam signabunt ut KL in plana superficie vasis lateri parallela. Ea ubi perfectissima contigerit linea minimaeque latitudinis, circino capiatur distantia GF qua planum a vase abest, eaque distantia in chartam annotetur; atque apponatur deinde semidiameter vasis FE a centro ad extimam superficiem, quae bifariam secetur in H.   *)  Probablement vers 1662 ou 1663. Jusqu'en 1662 [...] Huygens n'a jamais mentionné, en connection avec la loi de réfraction, que le seul nom de Descartes. ['La Dioptrique', 1637, p. 21-. Pierre Herigone, déjà en 1637: Cursus Mathematicus, V, p. 132.] [... les droits de Snellius à l'invention furent] revendiqués publiquement pour la première fois en 1662 par Isaac Vossius dans son ouvrage "De lucis natura et proprietate", où il dit que le fils de Snellius lui avait montré le manuscrit de son père. [Cf. C. de Pater, 'Experimental physics', in Leiden University in the seventeenth century (Leiden 1975), 309-. Cf. Isaac Beeckman, 1628, sur Descartes.]   °)  [...] A partir d'ici, il y a concordance entre le manuscrit principal et la copie de Niquet [ca. 1666 ...].

[ 11 ]

[ v ]

Jam proportio refractionis aquae, vel quicunque liquor fuerit, habebitur ea quae est EG ad GH, quae nempe eadem semper in sinibus existet ut superius exposui. Accuratius autem radij post vitrum colligentur si tantum eos transire sinamus qui circa medium cylindrum penetrant, lateribus utrinque aliquousque contectis. Ac demonstratio quidem hujus in sequentibus invenietur, libri primi propos. [XIII]. nec refractiones quae in vitro hic accidunt quicquam obesse, quo minus cylindrus ABCD velut totus aqueus censeatur, patebit ex ijs, quae dicentur lib. [I] propos. [XXV].   Quod si vitri aut crystalli refractiones simili compendio inquirere libeat, lentem ex ea materia formatam accipe, superficie altera plana, altera convexa, qualis hic est lens ABC. Superficiem planam soli oppone vel lucernae procul positae ut radij incidant ad rectos angulos: post lentem vero adhibe planum aliquod, ac tantum remove, ut in eo radij coeuntes imaginem solis aut flammae quam nitidissimam depingant: Esto in E. Tum distantiam hujus imaginis ab lentis convexa superficie metire EB, et quam rationem habet semidiameter convexitatis ABC puta DB una cum inventa longitudine BE, hoc est, tota DE ad hanc ipsam BE, eandem scito esse refractionis vitri vel crystalli propositae. hoc enim demonstrabitur lib. I. prop. [IX]. Lentem vero circa latera aliquatenus texisse proderit, ut imaginem lucidi eo nitidiorem referat. Alios modos adjungere his possem operosiores, quibus proportio eadem refractionis subtilius colligatur, sed cum non multum intersit scrupulose eam definiri et in diversi generis vitris aquisve, ut jam dixi*), diversa aliquantum deprehenditur, operae pretium non videtur plura de his praecipere. Aquae tamen pluviae refractio, ut hoc addam, accurate dimensa reperta est ut 250 ad 187, paulo scilicet major sesquitertia; idque ex Iridis amplitudine Cartesius subtiliter sane collegit°). Similique ratione, adhibita sphaerula vitrea solida, inventaque ex observatione semidiametro iridis in pluvia vitrea, si qua talis caderet, grad. 21.45';   *)  C'est à dire dans la rédaction primitive [... p. 144]: Nec accurate ea definiri in universum potest, cum nec in vitro omni, nec in omni aqua, praecise eadem sit.   °)  [.. p.153 n4 ..] il calcule ce diamètre en partant du rapport 187 à 250 [...].

[ 13 ]

[ v ]

proportionem refractionis vitri inde calculo*) subduximus, [cujus ratio in ijs, quae de Pareliis, explicabitur°),] comperimusque majorem quam 114 ad 76, sive quam 3 ad 2, minorem vero quam 115 ad 76. ut sesquialteram usurpare absque errore liceat. Caeterum non ad hanc magis quam ad aliam quamlibet in sequentibus theorematis respeximus quaeque ijs definiemus omnia eodem modo se habitura sciendum est, quaecunque demum fuerit refractionis proportio.   Porro ex lege refractionum modo explicata tria haec Theoremata facile deducuntur, quorum in caeteris frequens usus erit.   *)  Consultez sur ce calcul l'Appendice II. On y trouve la règle suivant laquelle il doit être exécuté et l'application au cas de l'eau, où le demi-diamètre de l'arc-en-ciel est supposé être égal à 41° 30'; voir les p. 151-153 du Tome présent.   °)  De cette phrase, ajoutée après 1666 [...] il résulte que Huygens avait alors l'intention de joindre le contenu de l'Appendice II à l'ouvrage projeté "De Coronis et Parheliis" [>] qui n'a paru qu'après son décès et qui ne contient rien de semblable. [...] Propositio I   Si fuerit superficies quaelibet AB, terminans diaphanum versus C existens, sitque radij DA extrinsecus in illam incidentis refractio AC, et producatur DA versus F, et CA versus E. Et intelligatur deinde diaphanum ita transponi ut eadem superficie AB terminetur, sed existat ad partem ejus contrariam, ubi nempe est E. Dico jam radij FA refractionem fore AE.   Sit enim recta HAG quae penetret superficiem AB ad angulos rectos in A. Sunt ergo in eodem plano per HG ducto tum DA tum refractio ejus AC. Quia vero radius DA ad perpendicularem HG existente diaphano versus G eodem angulo inclinatur, quo radius FA, existente diaphano versus H, est enim DAF, ex hypothesi, linea recta, etiam refractiones utriusque cum ipsa HG angulos aequales constituent.

[ 15 ]

[ v ]

Radij autem DA refractio AC facit angulum CAG, ergo huic aequalem angulum efficiet refractio radij FA cum ipsa HA, hoc est aequalem angulo HAE, est enim CAE linea recta. Sed et in eodem plano, per rectam HG ducto, sunt FA et AE, quum sint in directum ipsis DA, CA. Ergo patet radij FA refractionem fore ipsam AE quando diaphanum est a parte H. quod erat dem. Propositio II   Si fuerit diaphani superficies quaelibet AB, in quam extrinsecus cadat obliquus radius DC, qui refringatur secundum CG; sitque recta ECP secans diaphani superficiem ad angulos rectos, et sumatur in ea intra diaphanum punctum quodvis F, unde ducatur FG parallela radio DC. dico hanc occurrere refractioni CG, et habere CG ad GF rationem eam quae est refractionis.   Quia enim propter refractionem angulus FCG minor est quam DCE, idem quoque minor erit quam PFG, ideoque CG, FG necessario concurrent. Porro quia secundum refractionum legem superius expositam, sinus anguli DCE ad sinum anguli FCG rationem habeat eam, quae est refractionis. Sinus autem anguli DCE idem est qui anguli DCF seu CFG. Ergo in triangulo CFG habebit sinus anguli CFG ad sinum anguli FCG rationem refractionis. Quare eandem quoque habebit latus CG ad latus GF. Quia nempe in omni triangulo, latera inter se eandem proportionem servant, quam sinus angulorum, quibus illa subtenduntur.   Patet autem et conversae hujus veritas. Nempe si FG parallela existente radio DC, rectaeque CG occurrente, fuerit CG ad GF ratio eadem quae est refractionis, tunc CG fore refractionem radij DC.

[ 17 ]

[ v ]

Propositio III   Si fuerit diaphani superficies quaecunque AB, terminans diaphanum versus L [E] existens: radius autem intra diaphanum sit DC, qui in C egrediens, refringatur in CH. Et ducta ECP, quae superficiem secet ad angulos rectos, sumatur in ea punctum quodvis L, unde ducatur LH parallela radio DC. dico hanc ocurrere refractioni CH, atque esse LH ad HC rationem eam quae est refractionis.   Quia enim radius DC refractus exit a diaphano, erit angulus PCH major angulo LCD, hoc est, angulo CLH. Unde manifestum est rectas CH, LH concurrere.   Porro autem, quia secundum legem refractionis, sinus anguli PCH ad sinum anguli LCD sive CLH, proportionem refractionis habet, sinus autem anguli PCH idem est qui sinus anguli LCH, habebit itaque in triangulo LHC, sinus anguli LCH ad sinum anguli CLH proportionem refractionis. Quare eandem quoque habebit latus LH ad latus HC. quod erat probandum.   Rursus autem et conversa propositionis hujus manifesta est. Nempe si LH parallela existente radio DC, rectaeque CH occurrente, fuerit LH ad HC ratio ea quae refractionis, etiam CH fore refractionem radij DC.   Nunc quomodo puncta ea inveniantur, ad quae radij, postquam in superficie aliqua plana convexa aut cava refracti fuerint, colliguntur, vel ad quae dispersi respiciunt, deinceps exponemus; quae quidem puncta concursus vel dispersus vocabimus. Quoniam vero hoc nomine etiam illa puncta designabimus ad quae tamen radios omnes refractos non accurate pertinere ostensum fuerit, id quomodo tunc intelligendum sit paucis declarandum est. Ergo si radios parallelos in lentem ABC incidentes omnes post refractionem convenire ostendatur cum axe DBE citra punctum quoddam E, vel omnes ultra idem punctum, verum hoc pacto ut quo quisque radius axi propinquior fertur eo refractus concurrat propius ad punctum E, idque ad distantiam tandem quavis data minorem, tum quoque punctum E concursus punctum dicetur.

[ 19 ]

[ v ]

Similiterque in lente cava KFG, si parallelos radios a parte H venientes post refractionem ita spargi ostenderimus, ut retrorsum producti conveniant cum axe FH omnes citra punctum quoddam H, vel omnes ultra, ijsdemque etiam conditionibus quas in convexa posuimus, tum punctum H dicetur punctum dispersus. Quin etiam haec puncta plerumque sic accipiemus, tanquam concursum aut dispersum radiorum exacte determinarent; medias videlicet lentium aut superficierum partes respicientes, quarum satis exigua sit proportio ad convexitatis vel cavitatis diametros, ut quantum ad sensum oculorum attinet perfectum videatur quod geometrica ratione est imperfectum. Ita enim sese habere lentium latitudines certum est, tum earum quibus in tenebris picturam representari videmus rerum quae foris a Sole illuminantur, tum quibus perspicilla seu telescopia constant; neque enim alioqui tam insignes earum effectus cernerentur. Propositio IV Problema 1   Data diaphani superficie plana, et puncto, ad quod radij tendentes in superficiem extrinsecus impingant; Invenire punctum concursus refractorum.   Sit diaphani superficies plana AE, hoc est, in qua est linea recta AE, sitque datum punctum D, ad quod tendentes radij ut LF, OE, superficiei dictae extrinsecus occurrant. Sit autem DA eidem ad angulos rectos, omnesque lineae quae in schemate apparent intelligantur in plano per AD ducto. Producatur AD et habeat TA ad AD rationem eam quae est refractionis.

[ 21 ]

[ v ]

Dico T fore punctum concursus quaesitum. Et primo quidem ostendam nullius radij refractionem concurrere cum AD citra punctum T. Sit enim FC refractio radij LF; et perficiatur parallelogrammum CDFP. Erit igitur FP superficiei AE ad angulos rectos, et PC parallela radio LF, ejusque refractioni occurrens in C. Quare FC ad CP habebit proportionem quae est refractionis {* Prop. II}. Est autem FD aequalis CP. Ergo etiam CF ad FD proportionem refractionis habebit, hoc est, eam quam TA ad AD. Ergo et quadratum CF ad quadr. DF, ut quadr. TA ad quadr. AD. Ergo ratio quadrati CF ad quadr. DF est majoris ad minus. Quare auferendo utrinque quadratum AF, erit ratio quadrati CA ad quadr. AD major quam quadrati CF ad quadr. DF, hoc est quam quadrati TA ad quadr. AD. Itaque quadratum CA majus erit quadrato TA, et CA linea major quam TA: unde apparet refractionem FC convenire cum axe AD ultra punctum T.   Secundo loco ostendendum est radiorum rectae AD propinquiorum refractiones propius concurrere ad punctum T quam remotiorum. Sit enim radius OE remotior radio LF, et refractio ejus sit EG: et jungatur EC. Quadratum igitur CE excedit quadr. ED, quantum CF quadratum excedit quadr. DF, quia utrorumque differentia est aequalis quadrato CD et duplo rectangulo CDA {* prop. 12 l. 2. Eucl.}. Est autem quadratum CE majus quadrato CF. Ergo minor est ratio quadrati CE ad quadr. ED, quam quadrati CF ad quadratum FD. Quare et lineae CE ad ED minor ratio quam CF ad FD. Ut autem CF ad FD ita est GE ad ED. Nam sicut de lineis CF, FD ostensum fuit, ostendi etiam potest de lineis GE, ED, habere eas rationem quae est refractionis, quia scilicet EG statuitur esse refractio radij OE tendentis ad D. Igitur minor erit ratio CE ad ED quam GE ad ED: ac proinde GE major quam CE. Unde facile perspicitur AG quoque majorem esse quam CA; adeoque concursum refracti radij OE longius abesse a puncto T quam radij LF.   Denique ostendere oportet aliquos radios refractos convenire cum AD producta in puncto quod dato quolibet intervallo minus distet a puncto T. Sumatur punctum C, dato intervallo propius situm puncto T et ulterius distans ab A quam ipsum T; et sicut differentia quadratorum TA, AD ad quadr. AD, ita sit differentia quadratorum CA, AD ad quadr. DS. Ergo quia differentia prior minus est posteriore, erit et quadratum AD minus quam quadratum DS: Et linea DA minor quam DS.

[ 23 ]

[ v ]

Ideoque si centro D intervallo DS, circumferentia describatur, ea secabit rectam AF. Secet in F, et jungatur CF, itemque DF, quae producatur versus L. Quoniam igitur differentia quadratorum TA, AD est ad quadr. AD ut differentia quadratorum CA, AD ad quadratum DS vel DF; erit, componendo, quadratum TA ad quadr. AD ut differentia quadratorum CA, AD una cum quadrato DF ad quadratum DF. Est autem differentia quadratorum CA, AD, hoc est, quadr. CD cum duplo rectangulo CDA, addita quadrato DF aequalis quadrato CF. Ergo sicut quadr. TA ad quadr. AD, ita quadr. CF ad quadr. DF. Et linea CF ad DF ut TA ad AD. Est autem ratio TA ad AD ea quae refractionis. Ergo in triangulo CFD habet latus CF ad FD proportionem refractionis; ac proinde eandem quoque habebit sinus anguli CDF vel ADF, ad sinum anguli FCD. Est autem angulus ADF quo radius incidens LF inclinatur ad perpendicularem, et angulus FCD quo ad eandem perpendicularem inclinatur linea FC. Ergo constat radij LF refractionem esse FC. Atque ita ostensum est alicujus radij refractionem quolibet intervallo propius concurrere ad punctum T cum axe AD. Erit igitur propter haec T punctum concursus quaesitum. Propositio V Problema 2   Data diaphani superficie plana, et puncto, a quo venientes radij in illam extrinsecus incidant; invenire punctum dispersus refractorum.   Diaphani superficies plana sit AE et punctum datum D, ex quo radij in diaphanum procedant ut DF. Sit linea DA superficiei AE ad rectos angulos, et producatur, habeatque TA ad AD proportionem refractionis.

[ 25 ]

[ v ]

Dico T fore punctum dispersus quaesitum: Hoc est radiorum ex D procedentium refractiones, sicut FN est radij DF, intra diaphanum ita ferri, quasi venirent ex puncto T.   Producatur enim DF versus L, et jungatur FT. Igitur si superficiem AE, contra quam hîc positum est, terminare imaginemur diaphanum versus D existens, manifestum est per praeced. radiorum ad D tendentium refractiones concurrere ad punctum T: ita ut radij LF refractio futura sit FT. Est autem FD in directum ipsi LF, et FN in directum ipsi TF. Ergo et FN erit hic refractio radij DF {* Prop. I}. Itaque radius DF refractus ita fertur quasi ex puncto T manaret, ideoque erit T punctum dispersus quaesitum. Patet autem ejusmodi esse, ut radiorum refractiones retro productae ultra ipsum T, cum recta AD conveniant.

Propositio VI Problema 3   Data diaphani plana superficie et puncto ex quo manantes radij intrinsecus in eam deferantur; invenire punctum dispersus refractorum.     Sit plana superficies diaphani AE et punctum T datum, ex quo radij ad superficiem AE ferantur ut TF. Sit TA recta ad superficiem AE perpendicularis, eaque dividatur in D ita ut TA ad DA habeat proportionem refractionis. Dico D fore punctum dispersus quaesitum: ut nempe FL refractio radij TF feratur quasi ex puncto D procederet. Jungatur enim FD. Si igitur LF esset radius incidens in superficiem AE, tendensque ad punctum D, ejus refractio foret FT, ut ex probl. 1 est manifestum; quia nimirum TA ad DA est proportio refractionis.

[ 27 ]

[ v ]

Igitur vicissim radij TF refractio erit FL; haec enim refractionum lex est ut supra fuit expositum [<]. Igitur D est punctum dispersus quaesitum. Erit autem ejusmodi ut radiorum refractiones omnes citra D concurrant, hoc est ut concursus earum minus distet a superficie A quam punctum D. Quod facile probari potest ex iis quae habentur in Probl. 1.

Propositio VII Problema 4   Data diaphani superficie plana, et puncto extra diaphanum ad quod tendentes radij intrinsecus in superficiem ejus incidant, invenire punctum concursus refractorum.   Superficies diaphani plana sit AE, et punctum extra datum T, quo tendentes radij ut LF, occurrant superficiei AE intrinsecus. Sit TA superficiei ad angulos rectos, eaque secetur in D, ut TA ad AD sit proportio refractionis. Dico D esse punctum concursus quaesitum. Constat enim ex probl 2 si DF sit radius incidens, ejus refractionem fore FL, quoniam FL est in directum ipsi TF, ratio autem TA ad AD eadem quae refractionis. Igitur vicissim hic erit FD refractio radij LF; ac proinde D punctum concursus radiorum tendentium ad T. Nullus autem radius concurret ultra D. Lemma 1   Sit triangulum BAC angulum A obtusum habens, et ducatur ex B quae occurrat AC, versus C productae in D. Dico minorem esse rationem BD ad DA quam BC ad CA.

[ Marge: ]

haec 4 lemmata possunt omitti.

[ 29 ]

[ v ]

Sit enim ducta CE parallela DB. Quoniam ergo angulus A obtusus est; angulus autem BEC aequalis utrisque simul, angulo A et ECA: Erit et BEC angulus obtusus, ideoque in triangulo BEC latus BC major latere EC. quare minor ratio erit EC ad CA quam BC ad CA. ut autem EC ad CA ita BD ad DA. Ergo minor quoque ratio BD ad DA quam BC ad CA. Quod erat propositum. Lemma 2   Contra autem, posito ut ante, triangulo BAC, angulum A obtusum habente, si ducatur BD eidem obtuso angulo subtensa, occurensque rectae per AC, ita ut minor sit ratio BD ad DA, quam BC ad CA; dico DA majorem esse quam CA.   Si enim DA minor dicatur quam CA, erit per praeced. lemma major ratio BD ad DA quam BC ad CA. Ponitur autem minor esse. Ergo DA non erit minor quam CA, sed nec aequalis potest esse. Ergo superest ut DA sit major quam CA. quod erat propositum. Lemma 3   Sit triangulum ABC angulum B obtusum habens, et ducatur ex B quae productae AC versus C occurrat in D. Dico minorem fore rationem AD ad DB quam AC ad CB.   Sit enim CE parallela DB. Quoniam ergo trianguli CBE obtusus est angulus B, Erit latus CE majus latere CB: ac proinde minor ratio AC ad CE quam AC ad CB. Ut autem AC ad CE ita est AD ad DB. Ergo minor quoque ratio AD ad DB quam AC ad CB. quod erat propositum. Lemma 4   Sit denuo triangulum ABC angulo B obtuso, et ducatur BD occurrens rectae per AC in D, ita ut et angulus ABD existat obtusus, sitque ratio AD ad DB minor ratione AC ad CB. Dico AD majorem esse quam AC.

[ 31 ]

[ v ]

Si enim AD minor dicatur quam AC, sequetur ex lemmate praecedenti, rationem AC ad CB minorem esse quam AD ad DB. hic autem ratio AD ad DB minor ponitur quam AC ad CB. Non est igitur AD minor quam AC. Sed nec aequalis, cum BC, BD diversae ponantur. Ergo major est quam AC, quod erat propos. Lemma 5   Esto linea recta AB divisa in C, ut AC sit major quam CB. Et producatur versus B, habeatque AD ad DB rationem eandem quam AC ad CB: Et describatur circa CD diametrum circulus CED. Si ad quodvis circumferentiae punctum ut E ducantur rectae AE, BE. Dico esse AE ad EB ut AC ad CB.

Demonstratum hoc est ab Eutocio in comm. ad Conica Apoll. Et melius a Clariss. Viro Fr. Schotenio, in locis planis Apollonij a se restitutis*). Quod si vero extra descriptum circulum sumatur punctum ut H, ad quod rectae inflectantur a punctis A, B; dico AH ad HB minorem rationem habere quam AC ad CB.   Ducatur enim AK ad intersectionem circumferentiae et rectae BH. Est igitur AK ad KB ut AC ad CB: ideoque AK major quam KB. Quare addita utrique KH, erit AKH ad HB minor ratio quam AK ad KB. Sed HA minor est quam HKA vel ipsi aequalis, si H sumtum fuerit in linea CD versus D prolongata. Ergo et AH ad HB minorem rationem habebit quam AK ad KB, hoc est, quam AC ad CB. quod erat propositum.   Rursus si intra circulum sumatur punctum ut L ad quod rectae inflectantur e punctis A et B. Dico AL ad LB rationem majorem esse quam AC ad CB.   Producta enim BL occurrat circumferentiae in M, et jungatur AM. Est ergo AM ad MB ut AC ad CB, ideoque AM major quam MB. Sed ALM major est quam AM, vel eidem aequalis, si punctum L sumtum fuerit in linea BD. Ergo ALM quoque major erit quam MB.   *)  Il s'agit de l'ouvrage: Exercitationum Mathematicarum, Lib. III. Continens Apollonii Pergaei Loca plana restituta. Lugd. Batav. Ex Officina Johannis Elsevirii. Academiae Typographi. MDCLVI. On y trouve à la p. 261 une construction et démonstration du lieu géometrique en question, qui sont bien plus simples que celles d'Eutocius; toutefois, comme la construction de van Schooten est fondée sur la détermination du centre du cercle CED, elle est un peu plus compliquée que celle donnée ici par Huygens.

[ 33 ]

[ v ]

Quare si utrinque auferatur LM, fiet major ratio reliquae AL ad reliquam LB quam ALM ad MB. Ratio autem ALM ad MB major est vel eadem cum ratione AM ad MB. Ergo ratio AL ad LB major utique erit quam AM ad MB. quare constat propositum.   Patet autem et conversum utriusque horum. Nempe si AH ad HB minorem rationem habeat quam AC ad CB, punctum H cadere extra circulum CED dicto modo descriptum. Si autem AL ad LB majorem habeat rationem quam AC ad CB, punctum L intra eundem circulum cadere. Propositio VIII Problema 5   Data diaphani superficie sphaerica convexa, in quam radij paralleli extrinsecus incidant, invenire punctum concursus refractorum*).   Esto superficies convexa diaphani ABP cujus centrum C, in quam incidant radij ut OB, NP, paralleli rectae AC quae per centrum ducta est. Producatur AC usque in Q, ut AQ ad QC habeat rationem eam quae est refractionis. Dico Q fore punctum concursus quaesitum.   Ac primo quidem demonstrabitur nullius radij refractionem cum producta AC concurrere ultra punctum Q. Sit enim radij OB refractio BL, (quae necessario conveniet cum AC ultra punctum C) et jungatur CB. Quia igitur CB in superficiem AB perpendicularis est, BL autem refractio radij OB, cui radio parallela est CL, habebit BL ad LC rationem eam quae est refractionis {* Prop. II}, hoc est eam quam AQ ad QC. Sed AL major est quam BL, quoniam illa per centrum circuli AB ducta est. Itaque major ratio AL ad LC quam BL ad LC, hoc est, quam AQ ad QC. Et dividendo, major proinde ratio AC ad CL quam AC ad CQ: ideoque CL minor quam CQ. Ergo refractio radij OB non concurrit cum AC ultra punctum Q.   *)  Les propositions VIII - XI contiennent la déduction de la relation f = n/(n–1) R   [...].

[ 35 ]

[ v ]

Secundo loco ostendetur radiorum axi AC propiorum refractiones propius accedere ad punctum Q quam remotiorum. Sit enim radius OB dictae AC propior quam radius NP, atque hujus refractio sit PK. Et jungantur CP, KB. Eadem igitur ratione qua modo, et BL ad LC et PK ad KC habebit proportiionem refractionis {* Prop. II}. Est autem BK major quam PK. Ergo major ratio BK ad KC quam PK ad KC, hoc est, quam BL ad LC. Angulus autem BCL necessario est obtusus, cui utraque linearum BL, BK subtenditur. Ergo major erit CL quam CK {* Lem. 2}. Atque ita apparet, refractionem radij OB propius concurrere ad punctum Q quam refractionem radij NP.

Denique ostendemus aliquos radios refractos convenire cum AC ad punctum quolibet dato intervallo minus distans a puncto Q. Sit enim primo quilibet radius parallelus incidens NP, et refractio ejus PK, et sumatur inter K et Q punctum L dato intervallo propinquius puncto Q. Quam autem rationem habet CQ ad QA, eam habeat CL ad LT, et jungatur PL. Quoniam igitur angulus PCL obtusus est, et CL major quam CK, erit minor ratio PL ad LC quam PK ad KC {* Lem. 1}. Est autem ratio PK ad KC eadem quae refractionis, quia PK ponitur esse refractio radij NP. Ergo cum ratio PL ad LC sit minor quam PK ad KC, eadem quoque minor erit ratione TL ad LC, nam per constr. est TL ad LC ut AQ ad QC, hoc est, ut PK ad KC. Igitur PL minor quam TL. Sed TL minor est quam AL; est enim CT minor quam CA, quia CL minor quam CQ. Ergo circumferentia descripta centro L, radio LT, necesse est ut secet circumferentiam AP inter A et P. Secet ergo in B, et ducatur BO parallela AC, jungantur BL, CB. Quia igitur CB ad superficiem AB perpendicularis est, habetque BL hoc est TL ad LC proportionem refractionis, erit BL refractio radij OB, rectae AC paralleli. Itaque patet et hujus radij, et omnium qui ab axe AC minus distabunt refractiones concurrere ad puncta dato intervallo minus remota a puncto Q. Et ob haec quidem erit Q punctum concursus radiorum refractorum, quod invenire oportebat.

[ 37 ]

[ v ]

Propositio IX Problema 6   Data diaphani superficie sphaerica convexa cui paralleli radij intrinsecus occurrant, invenire punctum concursus refractorum.   Sit superficies convexa AB, centro C, per quod ducta sit CA radijs inciden­tibus parallela. Producatur ea ad R, et habeat CR ad RA pro­portionem re­fractionis. Dico R esse punctum concursus quaesitum.   Primum ergo demonstrabimus nullius refractionem radij convenire cum producta CA ultra punctum R. Sit enim radij OB ipsi CA paralleli refractio BL, et jungatur BC. Ergo cum CB ad superficiem AB perpendicularis sit, et CL parallela radio OB, habebit CL ad LB proportionem refractionis {* Prop. III}, hoc est, eam quam CR ad RA. Sed LA minor est quam LB. Igitur CL ad LA majorem habebit rationem quam ad LB, hoc est quam CR ad RA: Et dividendo CA ad AL majorem quam CA ad AR. Ergo AL minor quam AR. patetque radij OB refractionem concurrere citra punctum R.   Porro ostendendum est radiorum rectae CA propinquiorum refractiones propius pervenire ad punctum R. Sit itaque radius OB quam NP propior CA, et refractio radij NP sit PK; et jungantur BK, CP. Habebit igitur CK ad KP refractionis proportionem {* Prop. III} aeque ac CL ad LB. quia autem KB minor est quam KP, erit major ratio CK ad KB quam CK ad KP, hoc est, quam CL ad LB. Suntque anguli CBL, CBK uterque necessario obtusi. Ergo major erit CL quam CK, ex quo propositum patet.   Denique est ostendendum, alicujus radij refractionem occurrere CA productae in puncto, quod dato quolibet propius sit puncto R. Sit aliquis e parallelis radijs NP, cujus refractio PK: Et sumatur punctum L inter K et R, dato intervallo propius puncto R, et habeat CL ad LT rationem refractionis, eandem nempe quam CR ad RA. Quia ergo AL minor est quam AR, erit CA ad AL ratio major quam CA ad AR. Et componendo major ratio CL ad LA quam CR ad RA, hoc est quam CL ad LT. Quare LT major erit quam LA. Jungatur LP. Itaque quia angulus CPK est obtusus, et ponitur CL major quam CK, erit quoque obtusus angulus CPL: ac proinde major ratio CK ad KP quam CL ad LP {* Lem. 3}. Ut autem CK ad KP ita est CL ad LT, nam utraque est ratio eadem quam refractionis. Ergo major ratio CL ad LT quam CL ad LP, ac proinde LT minor quam LP.

[ 39 ]

[ v ]

Sed eadem LT major est ostensa quam LA. Ergo si centro L, semidiametro LT circumferentia describatur, ea secabit circumferentiam AP inter A et P. Secet in B puncto, et sit BO parallela AC, et jungantur LB, BC. Quia ergo CL ad LT, hoc est, ad LB habet proportionem refractionis, estque CB ad superficiem AB perpendicularis, erit BL refractio radij OB {* Prop. III}. Quare ostensum est alicujus radij rectae CA paralleli refractionem concurrere cum eadem AC producta, in puncto quod dato quolibet intervallo minus absit a puncto R. Atque ob haec erit R punctum concursus quaesitum. Propositio X   Data diaphani superficie sphaerica cava in quam radij paralleli extrinsecus incidant, invenire punctum dispersus refractorum.   Sit superficies cava AB ex sphaera cujus centrum C, incidantque in eam radij rectae CA paralleli ut OB. Producatur AC, et habeat AQ ad QC proportionem eam quae est refractionis. Dico Q esse punctum dispersus quaesitum: hoc est, radios ita refractione inflecti ut pergant tanquam ex puncto Q promanantes.   Jungatur enim QB et producatur versus L, et radius OB versus N. Itaque sicut superficie AB convexa existente, id est, diaphano ad partem ubi est C collocato, radij NB refractio est BQ {* Prop. VIII}: ita hîc ubi diaphanum ad contrariam partem situm est, erit radij OB refractio BL {* Prop. I}, quia BO est in directum ipsi NB, et BL ipsi BQ. Sciendum tamen refractionem BL atque omnes alias retro productas non ad ipsum punctum Q concurrere, sed paulo citra, quoniam etiam radij NB in convexam superficiem incidentis refractio citra punctum Q cum axe AC concurrit {* Prop. VIII}. Verum exiguum discrimen pro nullo hîc habemus, sicut supra jam admonui [<]; quia videlicet illos radios praecipue respicimus qui proximi sunt axi AC.

[ 41 ]

[ v ]

Manifestum autem est ex propositione hac, radios tendentes ad punctum Q, ut LB, incidentesque intrinsecus in superficiem cavam AB, refractione facta, evadere parallelos axi AC. Nam si radij OB refractio est BL, erit et radij LB refractio BO.

Propositio XI   Data diaphani superficie sphaerica cava, in quam radij paralleli intrinsecus incidant, invenire punctum dispersus refractorum.   Ad superficiem cavam AB cujus centrum C, accidant radij paralleli rectae AC, ut OB. Producatur CA, et habeat CR ad RA proportionem refractionis. Dico R esse punctum dispersus quaesitum.   Jungatur enim RB et producatur versus L, itemque OB versus N. Si igitur superficies AB esset convexa, radius NB refringeretur in BR {* Prop. IX}. Itaque eadem cava existente, erit quoque radij OB refractio BL {* Prop. I}, quandoquidem OBN, RBL sunt lineae rectae.   Hinc vero manifestum est radios ad R tendentes ut LB, ita refringi ad eandem cavam superficiem AB, ut postea fiant rectae AC paralleli. Nempe quia BL est refractio radij OB, etiam BO erit refractio radij LB.