[ Lentes ]   Cognita singularum superficierum refractione ex his quae hactenus demonstrata sunt, poterimus jam lentium quarumlibet convexarum vel cavarum vel quae ex convexis, cavis, planisque superficiebus diversimode componuntur, puncta concursus vel dispersus invenire, aeque cum paralleli radij incidunt, atque cum ex dato vel ad datum punctum feruntur: Qua in re saepe etiam compendia quaedam sequi licebit, ut in sequentibus manifestum fiet. Propositio XIII   Sphaera data quae sit ex materia diaphana, invenire punctum concursus radiorum parallelorum in illam incidentium.   Esto sphaera cujus centrum C axis BA, sectio per centrum circulus BPA. Incidant autem radij paralleli axi BA, ut OP. Dividatur semidiameter CA bifariam in E, et producatur, et habeat CD ad DE proportionem refractionis, eam nempe quae convenit materiae ex qua sphaera componitur. Veluti si crystallina aut vitrea sphaera proponatur oportet rationem CD ad DE esse sequialteram proxime, si vero ex aqua, sesquitertiam. Dico D fore punctum concursus quaesitum*).   Signentur enim in axe AB utrinque producto puncta S et Q, ut tam BS ad SC quam AQ ad QC habeat proportionem refractionis, hoc est, eandem quam CD ad DE: fientque inter se aequales CS, CQ. Radij igitur axi BA paralleli, ut OP, in ingressu ita frangentur, ut tendant ad punctum S {* Prop. VIII}. Porro autem quia CD ad DE ut BS ad SC, erit et dividendo CE sive EA ad ED, ut BC sive CA ad CS.   *)  [...]   CD = n/2(n–1) R

[ 81 ]

[ v ]

Unde et EA ad AD ut CA ad AS. Est autem EA dimidia ipsius CA, ergo et AD dimidia erit ipsius AS. Sed et SC est dimidia ipsius SQ. Ergo ut SQ ad SC ita SA ad SD, et permutando. Est autem Q punctum concursus radiorum parallelorum a parte contraria in superficiem A incidentium. Itaque erit D punctum concursus radiorum ad S tendentium atque ad superficiem eandem A refractorum {* Prop. XII.4}. Diximus autem radios parallelos post primam refractionem in superficie BP tendere ad punctum S. Ergo totâ sphaerâ penetratâ liquet eos concurrere ad punctum D. quod erat demonstrandum.   Sciendum autem est de radijs axi BA proximis haec intelligenda, ut superius quoque plerumque factum est. Qui quidem radij et comburendi facultatem habent, sphaerâ soli expositâ; Et rerum imagines pingendi ad distantiam AD. Haec autem erit proxime quarta pars diametri in sphaera vitrea, in sphaera aquea vero semissis. Hinc autem et methodi [Unde jam artificij] ejus ratio manifesta est, quo proportionem refractionis initio inquirere docui [<]. Quoniam haec demonstratio ad cylindrum quoque pertinet, vel ad aliud omne vas rotundum cujus sectio ad axem recta sit. Propositio XIV   Data lente quae superficiem unam planam habeat, alteram convexam, invenire punctum concursus radiorum axi parallelorum.   Sit data lens cujus superficies convexa ABC, ex sphaere quae centrum habeat D. Plana autem superficies sit AFC. Atque haec primo radijs parallelis opposita sit. Ducta igitur DBE recta, quae axem lentis referat, hoc est, quae superficiem AFC secet ad angulos rectos, eaque producta ad E, ita ut DE ad EB habeat proportionem refractionis, quae semper data intelligitur: manifestum est E fore punctum concursus quaesitum*). Radij enim axi DF paralleli, cum in superficiem planam AC incidant ad rectos angulos, nullam refractionem ibi patientur, ac proinde paralleli venient ad superficiem ABC. cujus refractione ad E punctum flectentur per [prop. IX].   Erit autem BE distantia diametro convexi sive duplae DB aequalis si lens vitrea fuerit quia ratio DE ad EB est sesquialtera.   *)  [...]   BE = R / (n–1) [ Cf. Isaac Barrow, 'Lectiones' (1669/74, p. 97): I-R.R::DK.DY, ou bien n-1 = r/f .]

[ 83 ]

[ v ]

Sit nunc superficies convexa ABC radijs opposita. Si igitur axis BD producatur ad G, ut BG ad GD habeat proportionem refractionis, erit punctum G quo tendent radij post primam refractionem in superficie ABC {* Prop. VIII}. Dividatur autem GF in H, ita ut GF ad FH habeat quoque refractionis proportionem. Dico H fore punctum concursus radiorum parallelorum postquam utramque superficiem lentis transierint*). Quia enim post refractionem in superficie ABC tendunt ad punctum G, atque ita occurrunt intrinsecus superficiei planae AFC, haec eos diriget porro ad punctum H {* Prop. VII}, quoniam GF ad FH proportio est refractionis.   Manifestum autem est distantiam FH paulo tantum minorem esse quam BE supra inventam, rationemque ad eam habere quam GF ad GB. Unde, si crassitudo lentis FB pro nulla habeatur, erit FH ipsi BE aequalis, hoc est, diametro sphaerae cujus portio est ABC si lens vitrea fuerit.   Patebit autem, si concursus radiorum ab hac lente refractorum exacte expendatur atque ad calculos revocetur [>], accuratius aliquanto eos propiusque ad unum punctum convenire hoc posterore lentis situ, nempe cum superficies convexa venientibus opposita est radijs, quam si plana ad illos convertatur.   *)  Si nous posons e pour l'épaisseur de la lentille la construction de Huygens amène facilement   FH = R/(n–1) – e/n. Propositio XV   Data lente quae cavam et planam superficiem habeat, invenire ante ipsam punctum dispersus radiorum parallelorum.   Esto lens ejusmodi cujus cava superficies sit B, centrum cavitatis habens D, plana autem F.

[ 85 ]

[ v ]

Quod si ergo superficies plana radijs adveni­entibus obversa est, producatur tantum DB in E, ut DE ad EB sit proportio ea quae est refractionis; eritque E punctum dispersus quaesitum, uti manifestum est ex prop. [XI]*). Nulla siquidem contingit refractio in superficie plana F quum radij ad angulos rectos in hanc incidere ponantur, ideoque paralleli perveniant in superficiem B.   Si vero aliter conversa fuerit lens, producenda est BD ad G, ita ut BG ad GD sit proportio refractionis; deinde dividenda GF in E ut et GF ad FE proportionem refractionis habeat eandem; atque ita rursus inventum erit dispersus punctum E°). Radij enim paralleli refracti in superficie cava B, habebunt inde punctum dispersus G, per [Prop. X]. qui vero ex G venientes incidunt in superficiem planam, secundo ibi refractionem subeunt, perguntque deinceps quasi ex puncto E procederent, per [Prop. VI]. Itaque E est punctum dispersus quaesitum.   Quia vero GF ad FE ut BG ad GD, estque GF major quam BG, erit et FE major quam GD, cui aequalem esse constat BE in casu priori. Unde ablata utrinque BF crassitudine lentis, etiam distantia BE in posteriori casu major erit quam FE in priori.   *)  [...]   EB = R/(n–1) °)  [... BF = e]   FE = R/(n–1) + e/n   Propositio XVI   Data lente convexa parium vel disparium superficierum, sive utraque convexa sit, sive altera cava; sed cavitas sit convexitate minor; invenire punctum concursus parallelorum.

[ 87 ]

[ v ]

Sit lens utravis harum CD, et super­ficiei C centrum A, B vero super­ficiei D. Jungatur AB et pro­ducatur utrim­que et fiat ut tam CE ad EA, quam DL ad LB rationem habeant quae est re­fractionis. Deinde sicut EL ad ED ita sit EB ad EN, haec autem EN in partem eam sumenda est, quam praecipit prop. [XII]. Eritque N centrum concursus radiorum axi parallelorum qui veniunt a parte C. Refracti enim primo in superficie C pertinent inde ad punctum E, ut ostensum est Prop. [VIII]. qui autem ad E pertinent refracti in superficie D colliguntur in puncto N [XII.4] et in menisco per [XII.8].   Eadem ratione si fiat ut LE ad LC ita LA ad LO, erit O punctum concursus parallelorum qui adveniunt a parte D. Et notandum quod distantiae DN et CO proxime inter se sunt aequales, causamque inaequalitatis oriri tantum a crassitudine lentis. Et si quidem superficies D sit ex majori sphaera quam superficies C, hoc est, si BD sit major quam AC, erit CO distantia major quam DN; quod sic ostenditur. Quia ut DL ad LB ita CE ad EA, erit et per conversionem rationis et invertendo ut DB ad DL ita CA ad CE. Estque DB major quam CA, ergo et DL major quam CE. In casu igitur lentis utrinque convexae, si ab utraque harum auferatur DC; in menisco autem si eadem DC addatur ad DL, auferatur vero a CE; patet utrobique majorem fieri rationem LC ad DE, quam sit LD ad CE, hoc est, quam LB ad AE. quamobrem rectangulum LC, AE majus erit rectangulo DE, LB.

[ 89 ]

[ v ]

Rectangulum autem LC, AE aequale est rectangulo LE, CO, quia ut LE ad EA ita LC ad CO; et rectangulum DE, LB aequale est rectangulo EL, DN, quia ut EL ad LB ita ED ad DN. Ergo majus est rectang. LE, CO rectangulo LE, DN, ideoque CO major quam DN.   At si crassitudinem lentis CD pro nulla habeamus, uti fere semper in sequentibus fiet, dico puncta concursus parallelorum O et N aequaliter a lente remota esse. Sit enim nunc punctum medium lentis D pro utrisque D et C.   Quia ergo LE ad LA ut LD ad LO, erit et LE ad EA ut LD ad DO, unde rectang. LE, DO aequale rectangulo EA, LD. huic autem aequale est rectang. DE, LB, quia DE ad EA ut DL ad LB, et rursus rectangulo DE, LB aequale rectang. EL, DN, quia ut EL ad LB ita ED ad DN. Ergo rectang. LE, DO aequabitur rectangulo EL, DN; ac proinde DO ipsi DN; quod erat probandum.   Puncta autem O vel N faciliori ratione nunc invenire licebit. Etenim solum inveniendum est punctum L sicut antea, faciendo nimirum ut DL ad LB sit proportio ea quae est refractionis; ac deinde ut BA ad AD ita LB ad DN vel DO*). Quia enim DL ad LB ut DE ad EA, erit per conversionem rationis LD ad DB ut ED ad DA, et permutando LD ad DE ut BD ad DA. Unde et LE ad ED ut BA ad AD. Ut autem BA ad AD ita fecimus LB ad DN. Igitur LE ad ED ut LB ad DN. et permutando, EL ad LB ut ED ad DN. Unde et EL ad EB ut ED ad EN, ideoque N punctum concursus quaesitum; nam hoc antea fuit ostensum. Itaque, in lente vitrea, sicut duae simul convexitatum semidiametri; in menisco autem ut earum differentia, ad alterutram ipsarum, ita reliqua bis erit ad foci distantiam. fit enim tunc LB dupla radij BD, quia DL ad LB ut 3 ad 2 quae in vitro est proportio refractionis. Quod si autem superficies utraque fuerit aequaliter convexa, apparet jam foci distantiam semidiametro convexitatis aequalem fore.   *)  La construction conduit aux formules f = R1 R2 / (n – 1) (R1 ± R2) Propositio XVII   Data lente cava duarum superficierum sphaericarum, punctum dispersus radiorum parallelorum invenire.

[ 91 ]

[ v ]

Sit data lens CD quae superficiem utramque cavam habeat, vel alteram earum convexam, sed quae majoris sit sphaerae quam cava. Sint autem semidiametri superficierum AC, BD, quae producantur ad L et E; ut tam CE ad EA quam DL ad LB habeat proportionem quae refractionem metitur. Et ut EL ad ED ita sit EB ad EN. Dico N fore punctum dispersus radiorum qui paralleli incident a parte C.   Qui enim paralleli advenientes refringuntur in superficie C, exinde pertinent ad punctum E, per [prop. X]; quia CE ad EA est proportio refractionis. Sed quia ut EL ad ED ita EB ad EN, ideo qui ad E, vel qui ex E veniunt*), refracti a superficie D, habebunt punctum dispersus N, ut constat ex prop. [XII.7 et XII.3]. Igitur punctum N est punctum dispersus radiorum parallelorum post geminam in lente CD refractionem. Oportet autem in lente cavoconvexa, ut semidiameter AC [BD] tanto saltem major sit semidiametro BD [AC], ut punctum E [L] ulterius quam L [E] a lente remotum inveniatur. Nam alioqui radij qui ad E tendunt [ex E veniunt], refracti in superficie D non poterunt dispergi, ut constat ex prop. [XII.3].   Porro si fiat ut LE ad LC ita LA ad LO, erit O punctum dispersus parallelorum qui adveniunt a parte D. Primum siquidem per refractionem superficiei D, pertinebunt radij ad punctum L, per [prop. X et VIII]. Et quia LE ad LC ut LA ad LO, ideo post alteram refractionem in superficie C, dispergentur quasi procederent e puncto O, per [prop. XII.7 et 8].   *)  [...] E sera toujours un point de dispersion.

[ 93 ]

[ v ]

Erit autem jam DO minor quam CN, si AC fuerit minor quam BD, et contra. Quia enim BD ad AC ut DL ad CE, poniturque BD major quam AC, erit et DL major quam CE. Itaque in casu lentis utrimque cavae si addatur utrisque DC lentis crassitudo, in casu vero cavoconvexae, si auferatur DC a DL, eadem vero addatur ad CE, fiet utrobique minor ratio LC ad DE quam LD ad CE, hoc est, quam LB ad AE. Unde simili argumentatione ac supra in lente convexa efficietur rectangulum LE, CO minus esse rectangulo LE, DN, ideoque CO minorem quam DN; differentia vero est exigua, quae oritur ex crassitudine lentis. Namque si pro nulla habeatur lentis crassitudo, ita ut pro punctis D et C sit unum D, jam distantiae DN, DO inter se aequales fient, quod eodem modo demonstratur atque superiori propositione in lente convexa.   Poterunt autem hic rursus puncta dispersus O vel N brevius nunc inveniri, faciendo tantum ut DL ad LB habeat refractionis proportionem, sicut prius; ac deinde sicut BA ad AD ita BL ad DN vel DO; cujus eadem quoque est demonstratio quae fuit in lente convexa.   Liquet autem, si utraque superficies fuerit aequaliter concava, hoc est, si AD aequalis DB, quod DN vel DO erit aequalis dimidiae LB: ac proinde, si lens vitrea fuerit, aequalis ipsi AD vel BD semidiametro. Eadem scilicet ratione qua id in lente convexa de concursus puncto ostensum fuit.

[ 95 ]

[ v ]

Propositio XVIII   Lentem invenire cujus superficies altera convexa sit eadem datae, quaeque punctum concursus parallelorum habeat ad datam distantiam.   Sit lentis C superficies altera data, hoc est semidiameter ejus convexitatis AC, deturque distantia CO, oporteatque invenire superficiem alteram quae juncta priori, lentem efficiat quae radios parallelos cogat ad punctum O.   Producatur AC usque in P, ut sit AP ad PC proportio refractionis. Tum si quidem distantia OC ipsi CP aequalis inveniatur, debebit altera lentis superficies plana esse, ut ex [prop. XIV] manifestum est. Si vero OC, CP inaequales fuerint, fiat sicut differentia earum PO ad OC, ita AC ad CB; quae accipiatur versus P, si PC major fuerit quam CO; at versus partem alteram si minor PC quam CO. Eritque priore casu superficies lentis altera convexa a semidiametro BC; posteriore autem cava, adeo ut tunc meniscus habeatur. Demonstratio autem est hujusmodi. Quoniam est AC ad CB ut PO ad OC, erit componendo in priore casu, in altero vero per conversionem rationis contrariam ut AB ad BC ita PC ad CO. Est autem AP ad PC proportio refractionis. Igitur erit O punctum concursus radiorum qui paralleli incidunt in lentem C, ut constat ex prop. [XVI]. Patetque lentem, qualis requirebatur, esse inventam.

[ 97 ]

[ v ]

Datae lenti inaequaliter convexae vel menisco, lentem aliam aequivalentem invenire, quae convexam et planam superficiem habeat vel utramque convexam aequliter.   Sit data lens D qualem diximus vel meniscus. Et centra superficierum sint A et B. Fiat ut BA ad AD ita BD ad DK*). Dico DK esse semidiametrum convexi, lentis quae alteram superficiem planam habeat, quaeque paria faciat cum lente D. Habeat enim DL ad LB proportionem quae est refractionis, et ut BA ad AD ita sit LB ad DN. Erit ergo N focus lentis D, per ea quae in prop. [XVI] demonstrata sunt. Verum ut BA ad AD ita quoque est BD ad DK; ergo BD ad DK ut LB ad DN. Et permutando BD ad BL ut DK ad DN. Et componendo igitur erit ut DL ad LB ita KN ad ND. quare et KN ad ND erit refractionis proportio. Itaque si in D lens constituatur quae superficiem alteram convexam habeat semidiametro KD, alteram vero versus K planam, ejus erit focus punctum N, ut ex prop. [XIV] manifestum est.   Si vero KD duplicetur, habebitur semidiameter convexitatis ad lentem duarum aequalium superficierum, ut patet ex prop. [XVI].   *)  Posant AD = R1, BD = R2 et R pour le rayon cherché [...]:   1/R = 1/R1 ± 1/R2.

[ 99 ]

[ v ]

Posita quavis lente convexa vel cava, sive utraque superficie sphaerica constet, sive altera plana; datoque in axe ejus puncto, a quo vel ad quod radij tendentes lenti occurrant: Si duabus ab eo puncto distantijs tertia proportionalis statuatur, quarum distantiarum prima sit ad punctum quo pertinent refractiones parallelorum a contraria parte incidentium, secunda ad lentem ipsam; erit terminus tertiae distantiae, sumendae a puncto dato in partem eandem cum prima, punctum concursus vel dispersus radiorum a dato puncto vel ad datum tendentium*).   Sit lens C, cujus quidem crassitudinem tanquam si nulla esset hic considerabimus, in axe autem lentis AC datum sit punctum D, a quo vel ad quod incidentes radij lenti C occurrant. Sitque O punctum quo pertinent refractiones radiorum parallelorum a contraria parte incidentium.   *)  [...]   DO × DP = DC2   [...] ou bien   1/DC + 1/CP = 1/OC

[ 101 ]

[ v ]

Et ponatur duabus DO, DC tertia proportionalis DP, ita ut DO, DP semper sint versus partem eandem. Dico P fore punctum concursus vel dispersus radiorum ex D vel ad D procedentium. Debet autem D non incidere in O, quia tunc radij ex D venientes refractione lentis non cogentur ad punctum, sed paralleli evadent, ut constat ex prop. ...*).   Demonstratio autem, quando utraque lentis superficies sphaerica est, erit hujusmodi.   Sit A centrum sphaericae superficiei cui primum incidentes radij occurrunt; B vero centrum reliquae. Et inveniantur puncta E et L, ut tam CE ad EA quam CL ad LB habeat proportionem refractionis. Et ponatur ipsi AE aequalis CR ad partem lentis alteram; unde AR erit ad RC sicut CE ad EA. fiat quoque tribus hisce DR, DC, DA quarta proportionalis DN, sumenda in eam partem ut vel quatuor omnes a puncto D eodem versus habeantur vel binae utrimque. Quod si D sit idem quod A punctum, etiam N cum hisce coincidere cogitandum est. Si vero R cadat in D, is casus seorsim demonstrabitur [>]. Nunquam vero N cadet in L, cum D diversum sit ab O, uti diximus esse debere.   Quia igitur CE ad EA, item CL ad LB est proportio refractionis, punctumque O quo pertinent refractiones parallelorum; erunt proportionales hae quatuor LE, LA; LC, LO {* Prop. XVI et XVII}. quare et LE ad EA ut LC ad CO, et permutando LE ad LC ut EA sive CR ad CO. Unde et LE erit ad EC ut CR ad RO. Quia porro ex constructione proportionales sunt DR, DA; DC, DN, erit et DR ad RA seu EC ut DC ad CN; et invertendo NC ad CD ut EC ad DR.   *)  La circonstance évidente qu'on peut intervertir le sens dans lequel un rayon et son réfracté sont parcourus par la lumière, n'a pas été formulée par Huygens dans une proposition.

[ 103 ]

[ v ]

Quare et NE ad RC ut EC ad DR. Sed ut RC ad RO ita diximus esse LE ad EC. Ergo ex aequali in ratione perturbata*), erit ut EN ad RO ita LE, DR. Et permutando et invertendo, ut LE ad EN ita DR ad RO. Hinc vero et LE ad LN ut DR ad DO, ac proinde rectang. LE, DO aequale LN, DR. Est autem sicut DO ad OC ita rectang. DO, LE ad OC, LE. Ergo erit DO ad OC ut rectang. LN, DR ad OC, LE, hoc est ad rectang. LC, RC. Dictum enim fuit antea quod LE ad LC sicut CR ad CO. Est autem ut DO ad OC ita DC ad CP, quia ex constr. proportionales sunt DO, DC, DP. Ergo DC ad CP sicut rectang. LN, DR ad LC, CR. Rectangulum autem LC, CR aequale est LB, AR, quia CL ad LB ex constr. ut AR ad RC. Ergo DC ad CP rationem habet quam rectang. DR, LN ad LB, AR, hoc est, compositam ex rationibus DR ad RA et LN ad LB. Ratio autem DC ad CP componitur quoque ex rationibus DC ad CN et CN ad CP. Ergo eadem est ratio composita ex rationibus DR ad RA et LN ad LB, compositae ex rationibus DC ad CN et CN ad CP. Ratio autem DC ad CN est eadem quae DR ad RA, quia ex constr. proportionales sunt DR, DA; DC, DN. Ergo et reliqua ratio LN ad LB eadem est reliquae CN ad CP. Unde proportionales quoque erunt NL, NB; NC, NP.   Primum itaque quia proportionales sunt DR, DA; DC, DN constat ex prop. [XII] radios qui ex puncto D vel ad D feruntur, refringi a superficie cujus centrum A, ut exinde pertineant ad punctum N. At quia porro proportionales quoque sunt NL, NB; NC, NP; ideo qui ad N vel ex N feruntur, refracti in superficie altera cujus centrum B, pertinebunt ad punctum P, ut ex eadem prop. manifestum est. Itaque patet P esse punctum concursus vel dispersus radiorum qui ex D puncto promanant, vel eo tendunt; quod erat demonstrandum.   [ *)  Euclides V.23.]

[ 105 ]

[ v ]

Cum vero contingit puncta D et R in unum coire, constructis caeteris ut prius, praeter punctum N, demonstratio erit hujusmodi. Nimirum quia dictum fuit esse EL ad LC ut RC ad CO, erit RO seu DO ad OC ut EC ad CL. Sicut autem DO ad OC ita est DC ad CP, et ut EC ad CL ita RC ad LB, quia ex constr. est CE ad EA sive CR ut CL ad LB. Itaque DC ad CP ut RC seu DC ad LB. ac proinde CP ipsi LB aequalis. Et addita utrique BC, erit quoque BP aequalis LC. Ergo eadem ratio BP ad LB seu PC quae CL ad LB. Haec autem est ratio refractionis ex constructione. Quia itaque primum AR ad RC posita est refractionis proportio, constat ex prop. [XI et IX] quod radij ad R, hoc est, ad D pertinentes, atque in superficie cujus centrum A refracti, paralleli intra lentem incedent. Qui autem paralleli occurrunt superficiei cujus B centrum est, pertinebunt deinceps ad punctum P, quia BP ad PC est proportio refractionis. Itaque P est punctum concursus vel dispersus radiorum ex D vel ad D tendentium; quod erat dem.   Quod si vero superficierum lentis altera sphaerica fuerit altera plana, erit vel haec vel illa radijs venientibus exposita, ac si quidem sphaerica ijs exponatur, cujus centrum A, fiat tribus DO, DA, DC quarta proportionalis DN, quae accipiatur in eam partem ut vel omnes quatuor eodem versus habeantur vel binae utrimque. Erit igitur et DO ad OA ut DC ad CN, et permutando DO ad DC ut OA ad CN. Sed et DO ad DC est sicut OC ad CP, quia ex constr. proportionales sunt DO, DC, DP. Itaque OA ad CN ut OC ad CP; et permutando AO ad OC ut NC ad CP.

[ 107 ]

[ v ]

Ratio autem AO ad OC est ea quae refractionis, quia O est punctum quo pertinent refractiones radiorum parallelorum {* Prop. XIV et XV}. Igitur et NC ad CP erit refractionis proportio. Quia itaque fecimus proportionales DO, DA; DC, CN; apparet radios omnes qui ad D vel ex D feruntur, refringi in superficie cujus centrum A, ut exinde pertineant ad punctum N {* Prop. XII}. Sed quia NC ad CP rationem habet quae est refractionis, ideo qui ad punctum N pertinent, refracti in plana lentis superficie, pertinebunt inde ad punctum P {* Prop. VI et VII}. Ergo et hic constat propositum.   Si vero in planam lentis superficiem primum radij incidant, rursusque centrum superficiei sphaericae sit A; fiat ut CE ad EA proportionem refractionis habeat, atque item MC ad CD. Quia igitur O punctum est quo pertinent refractiones parallelorum, erit CO aequalis AE {* Prop. XIV et XV}; ideoque et CE ad CO ut CE ad EA, hoc est, ut MC ad CD. Quare et ME ad OD erit ut MC ad CD. Est autem ut OD ad OC ita DC ad CP, quia ex constr. proportionales sunt DO, DC, DP. Igitur ex aequo, ut ME ad OC sive EA ita MC ad CP; ac proinde ut ME ad MA ita MC ad MP. Quia igitur posita est ratio MC ad CD eadem quae refractionis, ideo radij ex D vel ad D tendentes, post refractionem in superficie lentis plana, pertinebunt ad punctum M {* Prop. IV et V}. Et quia proportionales sunt ME, MA; MC, MP, constat {* Prop. XII} radios qui ad M punctum pertinent, refractos in superficie, cujus centrum A, pertinere porro ad punctum P. Quod demonstrandum supererat.

[ 109 ]

[ v ]

Manifestum autem ex his est, quantum ad distantiam punctorum concursus vel dispersus radiorum, a quibusvis vel ad quaelibet puncta tendentium, nihil interesse utra lentis alicujus superficies radijs incidentibus obvertatur.   Item diversarum superficierum lentes, quae puncta concursus vel dispersus parallelorum aeque remota habeant, etiam ad caetera aequivalentes esse. Nempe quia in constructione non attenduntur centra singularum lentis superficierum, sed tantummodo punctum concursus vel dispersus radiorum parallelorum.