Dioptrica

Sur la marge de la première feuille de la partie du manuscrit à laquelle nous empruntons cette "Pars secunda" on lit de la main de Huygens les phrases suivantes écrites à une époque inconnue après 1672: Haec quae paginis hisce 38 continentur non edenda sunt; quia aliunde quam a figura spherica imperfectus radiorum concursus oritur, nempe ex principio illo dispersionis a Newtono observato.   Or, plus tard, Huygens, ayant reconnu sans doute l'exagération de ce jugement, a biffé ces phrases, et des 38 pages numerotées il a admis les 20 premières dans sa "Dioptrique" projetée. Il en a rejeté seulement les 18 dernières, qui se trouvent dans une couverture portant le titre: "Rejecta ex dioptricis nostris". [...] Propositio I   In minimis circuli ejusdem segmentis, altitudines seu diametri segmentorum eandem inter se rationem habere censendae quam quadrata basium.     Sint ejusdem circuli exigua segmenta CAD, EAF, quae utraque diameter circuli AB bifariam secet, sintque segmentorum altitudines AG, AH, dico rationem AG ad AH proxime eandem esse, quae quadrati baseos CD ad quadr. baseos EF. Quia enim rectangulum BGA aequale quadrato GD: et rectangulum BHA aequale quadrato FH; apparet esse sicut quadratum GD ad qu. HF, sive ut qu. CD ad qu. EF ita rectangulum BGA ad rectangulum BHA; sicut autem rectangulum BGA ad rectangulum BG, HA, quod pauxillo minus est rectangulo BHA, ita est AG ad AH. Ergo et AG ad AH exiguo majorem rationem habet quam quadratum CD ad qu. EF.   Sit AB diameter partium 20000000; arcus CAD 1/36 circumferentiae sive 10 graduum. fit DG partium 871557, cujus si FH dimidia ponatur erit ea 435778.

[ 275 ]

[ v ]

At AG est 38053; cujus quarta pars 9513, cui si aequalis esset AH, jam esset eadem ratio AG ad AH quae quadrati CD ad qu. EF. Nunc autem invenitur AH partium 9500, adeo ut differentia tantum sit 13/9500 sive 1/731 ipsius AH, ac tantum 13/20000000 diametri AB.   Superficies vero convexae aut concavae lentium quas in sequentibus considerabimus plerumque tantum 1/100 vel 1/200 partem circumferentiae complectuntur ut postea dicetur, in quibus proinde multo minus fallit dicta basium altitudinumque proportio. Propositio II   In minimis circulorum inaequalium segmentis, aequales vel easdem bases habentibus, altitudines segmentorum, diametris ipsorum circulorum, contraria ratione respondere censendae sunt.     Sint segmenta exigua inaequalium circulorum, ABC, ADC, eandem basin AC habentia, ac bifariam divisa recta DE; in qua diametri circulorum, BF quidem ejus ex quo segmentum ABC, DG vero minoris ex quo segmentum ADC. Dico sicut BF ad DG ita proxime esse altitudinem DE ad BE. Cum enim rectangula FEB, GED inter se aequalia sint, quippe quae singula aequentur quadrato EC, Erit proinde ut FE ad GE ita DE ad EB. Sed ut FE ad GE, ita est proxime diameter FB ad diametrum GD, cum partes EB, ED minimae ponantur totarum diametrorum respectu. Ergo etiam ut diameter FB ad diam. GD ita est proxime DE ad altitudinem BE.   Sit arcus ADC rursus 1/36 circumferentiae sive 10 gr. et diameter DG partium 20000000; Erit ED partium 38053. Jam si diameter BF diametri DG dupla statuatur, hoc est, partium 40000000, invenietur EB partium 19074 [19000], quae debebat esse dimidia ED, hoc est partium 19026.

[ 277 ]

[ v ]

Itaque differentia tantum est 48/19074 sive 1/397 [26/19000 sive 1/731], ipsius EB, nec nisi 48/40000000 [26/40000000] diametri BF. Et sumto minore arcu ADC tanto exactius quadrabit dicta altitudinum ac diametrorum contraria proportio. Definitiones   Crassitudo lentis convexae   dicatur intervallum quo inter se distant puncta media utriusque superficiei, lateribus coeuntibus. Ita lentis ABCD cujus latera in unum circulum AC conveniunt, crassitudo est BD, distantia nempe punctorum mediorum utriusque superficiei.   Crassitudo autem lentis cavae   dicatur distantia circumferentiarum utriusque superficiei, coeuntibus earum punctis medijs. Ita lentis DEFGH, cujus puncta media in E sese contingunt, crassitudo est DH vel FG, latus nimirum cylindri utramque superficiem comprehendentis.   Hoc modo enim in sequentibus lentes considerabimus. Et quamvis convexae lentes plerumque crassitudinem aliquam in ambitu habeant, cavae vero aliquam semper in medio. Eam tamen censebimus tantum omnium esse crassitudinem, quae superesset superficiebus se mutuo vel in ambitu vel in medio contingentibus. Propositio III   Lentes convexae eandem foci distantiam habentes, cavae vero eandem distantiam puncti dispersus si et latitudinem aequalem habuerint, etiam aequali erunt crassitudine.

[ 279 ]

[ v ]

Sit primo lentium altera AB planoconvexa, sitque superficiei ACB semidiam. convexitatis DC. crassitudo lentis CE, foci distantia CF, quae erit dupla CD [<]. Lens autem altera utrimque convexa sit GH, cujus latitudo eadem quae lentis AB, et foci distantia MP aequalis CF. Dico igitur et crassitudinem KM lentis GH aequalem esse EC crassitudini lentis AB.   Sit enim in lente GH superficiei GKH semidiameter convexitatis LK; superficiei vero GMH semidiam. convexitatis MN. rectaque GH secet crassitudinem lentis KM in O.   Quia igitur ut duae simul LK, NM ad NM ita dupla LK ad foci distantiam MP {* Propos. I.XVI}. quae aequalis ponitur CF. Erit proinde ut duae simul LK, NM ad NM ita dupla LK ad CF, sive ita LK ad dimidiam CF hoc est ad DC. Quia autem ut LK ad NM ita MO ad OK {* Propos. II}. erit et componendo ut duae simul LK, NM ad NM ita MK ad KO. Itaque et MK ad KO ut LK ad DC. Sed ut LK ad DC ita quoque est CE ad KO {* per eadem}, quia scilicet subtensa GH aequalis AB; Ergo MK ad KO ut CE ad KO; ac proinde MK aequalis CE: quod erat ostendendum.   Sit jam pro lente GH meniscus, cujus superficies cava GMH; crassitudo autem menisci KM erit id quo KO superat MO. Posita itaque caeteris ut prius; quia ut excessus NM supra LK ad NM ita dupla LK ad foci distantiam MP {* Propos. I.XVI}, quae aequalis ponitur CF, Erit proinde ut dictus excessus duarum NM, LK ad NM ita dupla LK ad CF, sive ita LK ad dimidiam CF, hoc est, ad DC. Quia autem ut NM ad LK ita OK ad OM erit etiam ut excessus NM supra LK ad NM ita KM ad KO. Itaque et KM ad KO, ut LK ad DC. Unde porro sicut prius in lente utrinque convexa ostendetur quod MK aequalis CE.   Cum igitur quaevis lens utrimque convexa vel meniscus, aequalem foci distantiam eandemque latitudinem habens atque lens planoconvexa AB, etiam crassitudinem ei aequalem habeat, sequitur et omnes utrimque convexas atque omnes meniscos qui foci distantiam latitudinemque inter se aequalem habuerint, etiam pari crassitudine futuros.

[ 281 ]

[ v ]

Sit jam etiam lens planocava ACBba superficie utraque contigua in C; sitque rursus superficiei ACB centrum D, et CF distantia puncti dispersus, quae est dupla CD [<]; crassitudo autem sit Aa vel CE. Lens autem altera, vel utrimque cava vel cavoconvexa [convexo­concava] sit GKHhMg aequalem ipsi AB latitudinem habens, punctique dispersus distantiam PM aequalem FC. Harum autem lentium superficies utraeque sese in puncto medio contingere ponuntur, ita ut puncta K et M in unum conveniant, ac crassitudo lentis sit, vel summa duarum KO, Mo, quae altitudines utriusque sphaericae superficiei referunt, vel earum differentia. Quae crassitudo ut aequalis ostendatur crassitudini CE lentis ACBba, repetenda tantum est utraque praecedens demonstratio, quarum prior convenit lenti utrimque cavae, posterior cavoconvexae [convexoconcavae], ubi observandum tamen ut pro foci distantia semper legatur distantia puncti dispersus, et animadvertendum summam aut differentiam duarum KO, Mo, hic esse Oo, cum illic fuerit KM.   Ex his vero rursus sequitur, veram quoque esse propositionem in quibusvis lentibus utrimque cavis vel cavoconvexis [convexoconcavis]. Propositio IV   Quaenam lens sphaerica convexa melius radios parallelos colligat investigare. [ Quomodo in lentibus aberrationes radiorum quae ex figura superficierum sphaerica oriuntur compendio inveniuntur.]*)   *)  [ Mots entre [ ]: rédaction postérieure.]

[ 283 ]

[ v ]

Lentis sphaericae convexae nomine omnes eas intelligimus quae radios parallelos concurrere faciunt, sive duabus convexis superficiebus constent, sive convexa et plana, sive convexa et concava, harum vero aequales foci distantias habentium aliae alijs perfectius radios parallelos versus punctum illud quod focus dicitur inclinant, sumptis nimirum latitudinibus seu aperturis lentium aequalibus. cumque quae caeteris hac in re praestant ad telescopiorum usum omnino praeferenda sint, operae praetium erit omnes earum differentias pervestigare, ac definire denique quaenam sit omnium optima, quod hactenus cognitum non fuit. Cui simile examen deinde et in cavis lentibus instituemus. [ quod licet in telescopiorum rationibus parum referat, propter aliam aberrationem longe majorem atque alterius naturae, de qua, ubi eo ventum erit, dicemus [>], habet tamen in microscopiorum examine alibi utilitatem haec cognitio, eoque non est praetereunda.] Proportionem refractionis vitri sesquialteram in his ubique usurpabimus, quae quam proxime ejusmodi invenitur ut in praecedentibus dictum fuit [<].   Incipiendo itaque a planoconvexa lente atque ea illius positione qua superficies plana radijs parallelis exposita est, ubi calculi ratio omnium facillima est; Sit lens ejusmodi, cujus sectio per axem segmentum circuli KBC, cujus circuli atque item superficiei convexae centrum sit A, axis vero lentis ABD, secans bifarium arcum KC in B et subtensam KC in G, conveniatque superficies convexa KBC cum plana KC in lentis margine, et propositum sit examinare refractionem radij HC axi lentis paralleli atque ab eo remotissimi, quae refractio ponatur esse CD, et constat quidem in hac lente tantum unam fieri in superficie convexa CBK. Focus autem lentis E erit ultra punctum D ut ostensum est prop. [I.IX] invenieturque sumendo AE triplam AB ita enim AE ad EB habebit rationem sesquialteram, quae hic est proportio refractionis. Inveniendum itaque est spatium DE, intra quod radiorum omnium parallelorum refractiones cum axe lentis conveniunt; etenim tanto quaeque propius convenit quanto vicinior radius fuerit axi AB, ut ostensum propos. [I.IX]. Jungatur AC, sitque haec sive AB a, CG b, quarum utraque data est. AD vero sit x. Quia itaque AD ad DC habet rationem quae refractiones metitur [<], erit DC 2/3 x. Et ablato quadrato GC a quadrato CD, fiet quadratum GD 4/9 xx – bb, et GD √(4/9 xx – bb).

[ 285 ]

[ v ]

Rursus ablato eodem quadrato CG a quadrato AC, fiet quadratum GA aa – bb et AG √(aa – bb). qua addita ad GD √(4/9 xx – bb) fiet tota AD sive x √(4/9 xx – bb) + √(aa – bb). Unde invenitur x 3/5 √(9 aa – 9 bb) + 3/5 √(4 aa – 9 bb). Secundum quae si AB ponatur pedum 6 sive pollicum 72 et GC pollicis 1, invenitur x sive AD paulo major quam 215 968747/1000000, qua ablata ab AE 216, reliqua fit DE paulo minor quam 31253/1000000 unius pollicis. Itaque in lente hujusmodi cujus foci distantia BE est 12 pedum, apertura vero KC duorum pollicum, radij omnes intra spatium DE cum axe conveniunt.   Dicatur autem intervallum istud DE, quo nempe radij extremi, in quavis lente, concursus distat a foco lentis: Aberratio radij extremi.   Hanc porro, in proposita lente, alia quoque faciliori ratione reperiri sciendum est; quandoquidem: In omni lente planoconvexa cujus plana superficies exterior est, aberratio radij extremi est quadrupla sesquialtera sive 9/2 crassitudinis lentis; Exigua quidem differentiola, sed quae in illa lentium latitudine quae telescopiorum usibus idonea est, nullius sit momenti. Ita, in proposita lente, si sumatur DE 9/2 GB, inveniemus eam 31252/1000000 unius pollicis proxime, cum ex priori calculo habuerimus 31253/1000000.   In lente eadem inversa, ut superficies convexa primum radios inflectat, multo melior radiorum collectio invenietur [<]. Est autem calculi ratio hujusmodi. Primo sumitur BR tripla semidiametri BA, ut fiat R focus superficiei convexae KBC, deinde ponitur GE aequalis duabus tertijs GR; tumque erit E focus lentis KBC, ut constat ex [Propos. I.XIV] ex qua apparet insuper foci distantiam GE proxime eandem esse quae fuit superiori lentis positu. Radius autem extremus HC axi parallelus a superficie convexa KBC primum flectitur versus P, ita ut CP ad PA habeat rationem quae est refractionis, nempe 3 ad 2 {* Propos. I.II}; deinde ex superficie plana KC egrediens refringitur versus D, ut PC ad CD rursus habeat rationem quae est refractionis {* Propos. I.III}, ita ut CD proinde aequalis sit AP.

[ 287 ]

Ad inveniendam vero AP, positis ut ante AB a; CG b, AP vero x; erit PC 3/2 x. a cujus quadrato 9/4 xx, si auferantur quadrata PA xx et CA aa, quod restat 5/4 xx – aa aequabitur duplo rectangulo PAG hoc est 2 x √(aa – bb). Ex qua aequatione fit x 4/5 √(aa – bb) + 4/5 √(9/4 aa – bb). Itaque investigata secundum haec AP, cui aequalem diximus CD, aufertur deinde ab hujus quadrato quadratum CG; unde relinquitur quadr. GD. ablata autem GD a GE, restat DE aberratio radij extremi.   Eadem vero DE absque tanto calculi labore haberi potest, quia In lente planoconvexa cujus convexa superficies radios parallelos excipit, aberratio radij extremi est 7/6 crassitudinis lentis. Atque eo tantum supputandi methodos describimus ut has regulas veras esse quivis per numeros examinare possit. Et in hac quidem lente posita AB ut ante pollicum 72; CG pollicis 1, invenitur praedicto calculo DE 81021/10000000 unius pollicis proxime. Secundum regulam vero, hoc est, sumta DE 7/6 crassitudinis BG, fit ipsa proxime 81022/10000000.   Patet autem hinc quanto minor aberratio sit in eadem lente planoconvexa hoc modo collocata, quam si plana ejus superficies radios parallelos excipiat. sicut enim 7/6 ad 9/2 ita 7 ad 27, adeo ut aberratio fere quadruplo minor sit.   Potest etiam solius superficiei convexae KBC aberratio considerari, ut hic PR, cum R sit focus illius superficiei: Estque PR semper aequalis 4/3 BG sive altitudinis convexi.

[ 289 ]

[ v ]

Esto jam proposita lens utrinque convexa IC, sitque superficiei IBC, quae radios parallelos excipit, centrum A; superficiei vero IMC centrum N, per quae transiens axis lentis NA utrimque productus sit. datas autem ponimus semi­diametros AB, NM, et semidiametrum lentis GC. Jam si E ponatur focus esse lentis IC et sumatur BR tripla BA et MX tripla MN, debebit esse ut RX ad RN ita RM ad RE [<]. Dantur autem tres istae priores RX, RN, RM, nam quia AB seu AC data est itemque CG, dabitur et AG. similiterque propter datas NC, CG dabitur NG. sed et AR datur, quippe dupla AB, et NX dupla NM. Ergo tota RX data erit nec non RN et RM. Quare et quarta proportionalis RE data erit.   Ponamus jam porro radium extremum, axi parallelum, HC, post refractionem primam in superficie IBC ita ferri, ut cum axe concursurus sit in P, altera deinde refractione in superficie CMI flecti secundum rectam CD quae axi occurrat in D. Aberratio itaque radij HC est DE, quae hoc modo invenietur.   Sit NZ parallela CP, atque ei occurrat producta CD in Z. Sit etiam CV perpendicularis ad NZ, et NF perpendicularis in PC productam. Primum itaque ex datis AB, CG invenitur AP sicut paulo ante in lente planoconvexa [<]. Est autem AP ad PC ut 2 ad 3 ergo et PC data erit. Ex datis autem AP et AR, datur PR; qua ablata ab RN, quam datam ostendimus, relinquitur PN. sicut porro PC ad CG ita PN ad NF sive CV, itaque et haec dabitur.   Jam consideranda est NZ tanquam axis superficiei convexae CYI, quae radium axi parallelum FC ita flectit versus Z, ut NZ ad ZC habeat rationem quae est refractionis, hoc est, 3 ad 2; unde ex datis NC et CV invenietur NZ, eodem modo atque superius in prima positione lentis planoconvexae [<]. Jam vero propter triangula similia ZND, CPD, erit ZN ad CP ut ND ad DP; et componendo, ZN una cum CP ad CP ut NP ad PD. datas autem ostendimus ZN, CP, NP: ergo et PD hinc data erit. datur autem et PR. Ergo et DR. a qua si auferatur RE jam ante inventa, relinquetur DE aberratio radij HC quaesita. Et haec quidem methodus ad exactam supputationem adhibenda esset.

[ 291 ]

[ v ]

Invenimus autem et hic Regulam compendiosam qua, absque labore illo, lineam DE, sicut in praecedenti lente planoconvexa, atque aeque accurate definire licet. Repertis enim tantummodo BG, GM, ex datis AB, NM, CG; ponendoque totam BM, hoc est, lentis crassitudinem q. semidiametrum AB a; NM n. Erit DE (27aaq + 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a + n) , hoc est, sicut sexcuplum quadratum lineae aequalis duabus AB, NM, ad vigintiseptuplum quadratum AB, plus sexcuplo rectangulo AB, NM, plus septuplo quadrato NM, ita erit crassitudo lentis BM ad aberrationem radij extremi DE. Quae regula ut et sequentes quas dabimus inventa est neglectis minimis, sed necessario cum delectu.   Si itaque, exempli gratia, lens IC fuerit aequaliter utrinque convexa, hoc est, si a n, fiet DE 5/3 crassitudinis BM. Unde patet lentem utrimque aequaliter convexam, latitudine et foci distantia ijsdem, cum lente planoconvexa, cujus convexum exterius situm sit, non aeque bene atque illam radios parallelos colligere: talium enim lentium aequalis cum sit crassitudo, ut ostensum propos. [III], convenient radij in planoconvexa intra 7/6 suae crassitudinis; at in hac aequaliter convexa intra 5/3 suae, hoc est, ejusdem crassitudinis. quorum intervallorum proportio est ea quae 7 ad 10.   Quod si semidiameter AB ad NM ponatur ut 2 ad 5; hoc est, a partium 2, et n partium 5; fiet ex hac regula DE aequalis 7/6 q sive crassitudinis lentis. adeo ut hujusmodi lens aequiparanda sit dictae planoconvexae. atque ita facile in quibuslibet inaequalium convexorum lentibus investigari potest quanto quaeque melior sit.   Quaesita vero minimi determinatione, hoc est, quaenam forma lentis faciat aberrationem DE reliquis minorem, invenio*) debere esse AB ad NM ut 1 ad 6; ac tum quidem fit DE aequalis 15/14 crassitudinis. adeo ut haec lens optima omnium censenda sit. quanquam planoconvexa non multum ei cedat.   *)  [...] l'heurèka du 6 août 1665. Ajoutons encore, que le résultat ici énoncé fit partie des anagrammes envoyés en septembre 1669 au secrétaire de la Société Royale de Londres (voir les p. 486-487 du T. VI).

[ 293 ]

[ v ]

Notandum autem semidiametrum AB semper sumi ad eam superficiem pertinere quae radios parallelos primum excipit. Nam haec eadem lens optima, si invertatur, multo deterior fit, facitque aberrationem DE aequalem 145/42 crassitudinis suae.   Porro si ex data lentis foci distantia, ac semidiametro convexi exterioris invenienda sit aberratio DE radij extremi; ex praecedente regula habebitur alia hoc modo. Nempe si foci distantia sit d, et sicut prius ABa, NMn, crassitudo lentisq. quoniam d est 2an / (a + n), ut patet ex propos. [I.XVI], erit n ad / (2a – d). quo ubique subrogato in locum n in Regula priori (27aaq + 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a + n) ED , fiet (27aaq – 24adq + 7ddq) / 6aa ED.   In menisco eadem ratio est supputandi, quae in lente utrimque convexa, sive convexa superficies radios parallelos excipiat, sive cava; cujus utriusque casus figuram hic ad­scripsimus; illud tamen ob­servandum non summam sed differentiam duarum NZ, CP esse hic ad CP ut NP ad PD.   Positis vero literarum significationibus ijsdem, quae prius, ut nempe semidiam. AB superficiei exterioris IBC sit a, superficiei IMC semidiam. NM n, et BM crassitudo lentis q. Regula ad inveniendam ED (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(n – a). Posteriori vero, ubi a major quam n, fit ED (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a – n).

[ 295 ]

[ v ]

Secundum quae et menisci quilibet inter se et cum lentibus utrimque convexis comparari possunt. Ut si, exempli gratia, in priore casu, ponatur superficiei cavae semidiameter NM tripla semidiametri AB, hoc est, a 1, n 3. fiet ED 3q, hoc est, tripla crassitudinis BM. At in lente optima supra definita [<], cujus foci distantia ac latitudo eadem esset quae menisci IBCM, ac proinde eadem quoque crassitudo {* Propos. [III]}, aberratio DE tantum 15/14 haberet crassitudinis suae, itaque apparet meniscum hujusmodi fere triplo deterius radios parallelos colligere quam lens illa omnium optima.   Sed nec ullus meniscus tantum praestat quantum lens planoconvexa, cujus sphaerica superficies extrorsum collocatur. et tanto quisque pejor est quanto magis cavam superficiem alteram habuerit, eâdem scilicet manente foci distantia ac latitudine. quod in priore quidem casu sic fiet manifestum. Sit rursus foci distantia d. Ergo quia haec aequalis est 2an / (n – a) ut patet ex propos. [I.XVI] erit a dn / (2n + d), quo substituto ubique in locum a in Regula harum priori, fiet DE (7ddq + 4dnq + 7nnq) / 6nn sive 7ddq/6nn + 2dq/3n + 7q/6. Ubi facile perspicitur quo minor sumetur n hoc est semidiameter NM, eo majorem fore DE. Et quantumlibet magna sumetur n, semper DE majorem fore quam 7q/6.   Secundo casu, cum nempe cava superficies menisci extrorsum conversa est, quia foci distantia d 2an / (a – n), erit n ad / (2a + d); quo ubique substituto in locum n in posteriori regula fit DE (27aaq + 24adq + 7ddq) / 6aa sive 9q/2 + 4dq/a + 7ddq/6aa. Ubi manifestum est, quo minor sumetur a, hoc est semidiameter superficiei cavae, eo majorem fieri DE. Et quantumvis magna sumetur a, semper DE majorem fore quam 27q/6 sive 9q/2. adeo ut lens planoconvexa, licet plana superficies extrorsum collocetur, semper tamen melior sit menisco cujus cavitas itidem extrorsum conversa sit, ostensum enim est eam lentem facere aberrationem DE 9/2 crassitudinis suae [<].

[ 297 ]

[ v ]

Propositio V   Concavarum lentium quaenam melius radios parallelos dispergant investigare.   Concavarum nomine omnes eas lentes intelligimus quae radios parallelos dispergere aptae sunt, etsi alteram superficierum planam, aut etiam convexam habeant. Earum vero tanto melius quaeque dispergere radios dicenda est, quanto propius ita eos inclinat ut tanquam ab uno puncto manare videantur, sive ut refractiones eorum retro productae intra minimum spatium cum axe lentis conveniant.   Sit primum lens planoconcava KBCOI, superficie plana OI radios parallelos excipiente, centrum vero superficiei concavae sit A, axis lentis ABE; radius autem axi parallelus extremus sit HO, qui planam quidem superficiem irrefractus transibit. ex cava autem egrediens ita frangatur ut pergat secundum CL, quae retro producta conveniat cum axe in D. Punctum autem dispersus lentis sit E, quod invenitur ponendo BE duplam BA, ut constat ex propos. [I.XI].   Ex qua etiam apparet, radios omnes parallelos qui minus ab axe distant quam HO, propius concurrere ad punctum E quam LCD, si nempe similiter refractiones eorum retro producantur. Est itaque lentis hujus aberratio DE, quae ut inveniatur eadem est calculi ratio atque in lente planoconvexa. Producta enim HC versus Q, factaque CG perpendiculari ad AB, junctaque CA, si putemus lentem planoconvexam esse KBCG, in quam cadat radius axi parallelus QC, necesse est eum ita refringi in C, puncto superficiei KBC, ut refractio ejus sit in directum refractioni CL radij HC {* Prop. I.I}. itaque incedet secundum CD. cujus proinde concursus cum axe AE, eodem calculo quo supra in lente planoconvexa investigabitur [<]. Quemadmodum igitur illic ita et hic erit aberratio ED aequalis 9/2 crassitudinis lentis OC, sive BG. quae crassitudo invenitur ut illic ex datis AB, CG.

[ 299 ]

[ v ]

At in eadem lente contrario modo collocata, ut nempe superficies cava KBC radios parallelos excipiat, duae sunt radiorum refractiones, radius enim HC primum in C frangitur, ferturque inde secundum Cκ, quae retro producta cum axe convenit in P, ac rursus ex plana superficie egrediens in κ pergit secundum κL, quae retro producta convenit cum axe citra punctum P, puta in D. Est autem distantia BE puncti dispersus lentis sic positae dupla rursus BA: Inveniturque aberratio radij extremi ED hoc pacto.   Primum refractio radij HC facta in superficie cava KBC nempe Cκ in eandem rectam convenit cum refractione radij OC axi lentis paralleli si superficies CBK convexa foret, adeoque invenietur AP intervallum quo distat concursus productae Cκ, a centro A, eodem modo atque supra in lente planoconvexa [<]; estque hic rursus AP ad PC ut 2 ad 3. Ergo et PC dabitur. Sicut autem GP ad PC ita BP ad Pκ. Ergo et haec data erit, et ex eadem triangulorum similitudine dabitur et Bκ. Jam vero cum secunda refractione radius Cκ ita inflectatur in κL, ut, concurrente ea cum axe in D, ratio Pκ ad κD sit eadem quae refractiones vitri metitur, nempe quae 3 ad 2; dataque sit Pκ. etiam κD dabitur, a cujus quadrato auferendo quadr. Bκ, habebitur quadr. BD, unde et ipsa BD, ac proinde et DE.   Est autem sicut in lente planoconvexa, cujus sphaerica superficies exterior ponitur, ita et in hac lentis concavoplanae positione, aberratio ED proxime 7/6 crassitudinis CO sive GB.   Adeo ut hoc modo longe melius radios parallelos haec lens cava dispergere dicenda sit quam cum superficie plana illos primum excipit.   Esto autem jam lens utrinque cava IBCKBι. Sitque superficiei IBC, quae parallelos radios excipit, centrum A alterius vero superficiei ιBK centrum N. per quae transiens axis lentis NA utrimque productus intelligatur. datis igitur semidiametris AB, NM, dabitur et BE distantia puncti dispersus radiorum parallelorum. factis enim BR tripla BA, et MX tripla MN, constat esse ut RX ad RN ita RB ad RE {* Prop. I.I}; unde RE, ac proinde et EB, datum esse liquet.   Ponamus porro radium extremum HC, axi parallelum, post refractionem primam in superficie IBC, ita ferri secundum Cκ, ut, retro productus, conveniat cum axe in P. Altera vero refractione, in superficie ιMK, flecti eum secundum κL, quae retro producta conveniat cum axe in D. Aberratio itaque radij extremi HC est DE, quam paulo alia ratione hic inveniri ostendemus quam in lente utrinque convexa [<]. Sed prius animadvertendum est, licet superficies ιMK ad κ producta intelligatur, atque ita paulo amplius pateat quam superficies IBC, crassitudinem tamen lentis eam hic statui Gγ quae est aequalis CK parti nimirum rectae HC inter superficiem utramque interceptae. sicut et apertura lentis dupla CG censenda est, non vero distantia dupla ab axe puncti κ.   Sit jam NZ parallela CP; atque ei occurrat producta κD in Z. ducatur deinde κV perpendicularis ad NZ, et NF ad Pκ productam.

[ 301 ]

[ v ]

Primum itaque ex datis AB, CG, inveniuntur AP, PC, ut modo in lente planoconcava. Ex datis autem AP, AR datur PR, qua ablata ab RN quae data est, relinquitur PN. Porro sicut PC ad CG quae datae sunt ita PN ad NF, cujus quadrato subtracto a quadr. Nκ, reliquum erit quadratum κF. Sicut autem PC ad PG, (quae data est, propter datas AP, AG) ita PN ad PF, a qua si auferatur inventa κF, supererit Pκ. Consideratâ jam rursus NZ tanquam axe superficiei cavae κYι, quae radium Cκ ita flectit, ut producta κL ad Z, sit NZ ad Zκ ut 3 ad 2, invenietur ex data semidiametro NY et Vκ, quae aequalis est inventae NF, distantia NZ, eodem modo atque supra in lente planoconvexa ac positione ejus prima [<]. Propter triangula autem similia DPκ, DNZ, erit ut NZ ad Pκ ita ND ad DP, et componendo ut utraque simul NZ, Pκ ad Pκ ita NP ad PD. qua addita ad datam PR, et ablata utrisque RE, supererit ED quae requirebatur. Et haec quidem calculi ratio exacta.   Verum eadem ED, regulâ prorsus simili atque in lente utrinque convexa [<], invenitur absque illo calculi labore. Nam posita ut illic AB a; NMn, et crassitudine lentis quae hic est CK sive Gγ, q, fit semper ED (27aaq + 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a + n) : tam prope nimirum ut nullius momenti sit differentia respectu ipsius ED.

[ 303 ]

[ v ]

Secundum haec omnes lentes utrimque cavae inter se comparari possunt, ac quanto quaeque melius radios dispergat reperiri. Optima autem ex minimi determi­natione invenietur, quae hic necessario eadem est atque in lente utrimque convexa; ut nempe ratio a ad n, hoc est semi­diametri AB ad NM sit ea quae 1 ad 6. Adeo ut hujusmodi lens ad corrigendam myopum visionem [<] omnium optima censeri debeat. nec non ad radios, qui ad unum aliquod punctum feruntur parallelos efficiendos.   Sed quoniam in telescopijs lens anterior convexa non perfecte ad punctum unum radios inflectit, hinc fit ut si cava quaeratur quae optime ad parallelismum eos reducat, atque ita ad oculum transmittat, nequaquam illa quam diximus rationis sexcuplae deligenda sit, sed aliae minus perfectae, quarum nempe vitijs compensantur ac corriguntur vitia lentis convexae, ut idem pene, quod de Ellipticae ac hyperbolicae figurae vitris speratur, hac arte consequi liceat. Qua de re paulo post pluribus agetur [>].   Sunt autem ista imperfectiora sed usu meliora quibus superficies altera convexa, altera ex minori sphaera concava, in quibus calculi methodus eadem plane quae in lente utrimque cava. duplex autem casus, quia vel cava superficies radijs parallelis obvertitur, vel convexa, ut in adjectis schematis videre est. In quibus observandum, non summam sed differentiam duarum ZN, κP esse ad κP sicut NP ad PD.   Positis vero literarum significationibus ijsdem quae in lente utrimque cava, ut nempe semidiameter AB, superficiei quae primum radios accipit, sit a, semidiameter superficiei alterius NM sit n; crassitudo lentis CK sive Gγ dicatur q;

[ 305 ]

[ v ]

Regula ad inveniendam aberrationem radij extremi ED, priori casu erit ista, ED (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(n – a). Posteriori vero, ubi a major quam n, erit haec, ED (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a – n). Quas apparet plane easdem esse quas ante in meniscis dedimus [<]. Poterimus autem secundum has comparationem instituere lentium hujusmodi cavarum, et quanto quaeque majorem aberrationem faciat definire. In universum vero ostendi potest lentem eandem convexoconcavam, ita collocatam ut in casu horum posteriore, ut nempe superficies convexa radios parallelos accipiat, minus bene eos dispergere, quam si aliter inversa sit. Si enim in schemate horum utroque lens eadem sed diverso positu intelligatur, sitque proinde NM casu posteriore aequalis AB in priore, ac utraque dicatur a: item AB in posteriore aequalis NM in priori, atque utraque dicatur n: manifestum est, posteriore casu fore jam ED (27nnq – 6anq + 7aaq) / 6 qu.(n – a). At priore erat ED (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(n – a). Ergo cum n sit major quam a ideoque 27nn + 7aa major quam 27aa + 7nn, apparet ED posteriore casu semper majorem fore quam priori. Atque idem in menisco diversimode collocato obtinere perspicuum est.   Qua porro ratione meniscus quisque tanto pejus radios colligere ostensus fuit [<], quanto magis cavam superficiem alteram habuerit, manente eadem foci distantia ac latitudine lentis, eâdem poterit et hic de lente convexoconcava ostendi, tanto pejus eam radios parallelos dispergere, quanto magis convexam alteram superficiem habuerit. Etenim cum hic, priore casu, sit puncti dispersus distantia ME, quae dicitur d, aequalis 2an / (n – a) : ideoque a dn / (2n + d), fiet ex priore regula, substituto ubique dn / (2n + d) in locum a, DE (7ddq + 4dnq + 7nnq) / 6nn   sive  7ddq/6nn + 2dq/3n + 7q/6. ubi patet, quanto minor sumetur n tanto majorem fore DE, ac semper majorem fore quam 7/6 q.

[ 307 ]

[ v ]

Rursus secundo casu, cum sit d 2an / (a – n), erit n ad / (2a + d), quo ubique reposito in locum n in posteriore regula, fit DE (27aaq + 24adq + 7ddq) / 6aa   sive  9q/2 + 4dq/a + 7ddq/6aa. Ubi apparet, quo minor sumetur a, eo majorem iterum fieri DE: Eamque semper majorem fore quam 9/2q. Et haec quidem ad examinandam cujusque convexae aut cavae lentis in colligendis aut dispergendis radijs facultatem ac praestantiam, quorum antequam utilitatem ostendamus, theoremata duo sequentia praemittenda sunt. Propositio VI   In lentibus diversarum latitudinum, convexis aut concavis, quae tam anteriores quam posteriores superficies ex ijsdem sphaeris habent, vel alteras planas, [ quae superficies radijs expositas ex eadem sphaera habuerint, itemque adversas superficies ex eadem sphaera licet a priori diversa, vel quae alteram harum superficierum planam habuerint,] aberrationes radiorum extremorum axi parallelorum sunt inter se sicut lentium crassitudines, sive etiam ut latitudinum quadrata.   Crassitudines lentium hujusmodi esse inter se sicut quadrata latitudinum, facile ostenditur ex demonstratis propos. [I]. Si namque sint utrimque convexae, ut primum par hic depictarum, ACBD, FHGK, quarum crassitudines seu axes CD, HK. hic ergo ductis AB, FG rectis quae latitudines lentium definiant, secentque CD, HK in E et L; constat, quia segmenta ACBE, FHGL sunt aequalium circulorum, fore eorum altitudines CE ad HL ut quadr. AB ad quadr. FG {* Prop. I}; tam prope nimirum in exiguis hujusmodi circulorum portionibus ut nullius momenti sit differentia. Eadem ratione et DE erit ad KL ut quadr. AB ad FG. ac proinde et tota CD ad HK ut quadr. AB ad qu. FG.   In meniscis autem, qui secundo loco hic ponuntur, concludemus et differentiam duarum CE, DE, esse ad differentiam duarum HL, KL, hoc est, crassitudinem CD ad HK, ut quadr. AB ad FG.

[ 309 ]

[ v ]

In lentibus utrimque cavis, quarum superficies ACB, aDb sese contingere ponuntur, itemque FKG, fKg; quarumque crassitudines Ee et Ll, eadem est demonstratio, quae in utrinque convexis. Et in cavoconvexis [convexoconcavis], eadem quae in meniscis. Quod si vero vel convexarum vel cavarum lentium altera superficies plana fuerit, manifesta ex his quae dicta sunt est demonstratio.   Superest ut ostendamus aberrationes radiorum extremorum in unoquoque pari esse inter se ut lentium crassitudines. quod in planoconvexis et planoconcavis quidem ita se habere manifestum est, cum in his aberratio radij extremi ex supra scriptis [<] sit vel 9/2 crassitudinis lentium, si nempe plana superficies radios parallelos excipiat, vel 7/6 ejusdem crassitudinis, si sphaerica superficies radijs dictis exponatur. At in lentibus reliquis mixtis, quum ex Regulis supra traditis appareat manentibus ijsdem semidiametris utriusque superficiei*) eandem etiam manere rationem crassitudinis lentis ad aberrationem radij extremi, ED; sequitur eadem proportione aberrationem hanc imminui qua decrescit lentis crassitudo; hoc est, secundum rationem quam habent latitudinum quadrata °). Exempli gratia, cum in lente utrimque convexa dixerimus [<] esse sicut sexcuplum quadratum compositae ex semidiametris utriusque convexitatis ad vigintiseptuplum quadratum AB, plus septuplo quadrato NM, plus sexcuplo rectangulo AB, NM, ita crassitudinem lentis ad aberrationem ED. apparet rationem quae est inter has eandem manere, manentibus semidiametris AB, NM ijsdem†), ac proinde sicut crassitudines lentium talibus convexis praeditarum, ita esse inter se earum aberrationes.   *)  La leçon primitive et la copie de Niquet intercalent:   "vel tantum manente eadem proportione semidiametrorum".   °)  Aux lieux cités on trouve au lieu des mots en italiques:   "manentibus nempe superficierum convexitatibus vel cavitatibus ijsdem: imo etiam manente tantum eadem semidiametrorum proportione".   †)  Aux lieux cités on trouve intercalée la phrase:   "vel ut eandem inter se rationem servent". Propositio VII   In lente quavis convexa aut cava aberrationes radiorum axi parallelorum sunt inter se sicut quadrata distantiarum eorundem radiorum ab axe.

[ 311 ]

[ v ]

In cavis lentibus facilior hujus rei est demonstratio pendetque a proxime praecedenti. Sit enim lens cava ACBDCF cujus axis CE: punctum dispersus E. Radiusque axi parallelus in B punctum incidens ita dispergatur ut retro productus conveniat cum axe in G. alius vero radius parallelus axi, sed propinquior incidens in H punctum dispergatur, ita ut productus retro conveniat cum axe in K. Ut igitur appareat aberrationem EG esse ad EK sicut quadr. distantiae puncti B ab axe, ad quadr. distantiae puncti H, considerandum est ita se rem habere ac si sint lentes duae diversae DBA, NHF, quarum dimidiae latitudines sint dictae distantiae punctorum B et H ab axe. Cumque sphaericae superficies utrique lenti sint eaedem, patet ex prop. praecedenti crassitudines earum BD, HN, ita esse inter se sicut quadrata illarum dimidiarum latitudinum. Sicut autem crassitudines BD, HN, ita sunt inter se et aberrationes EG, EK. Ergo et harum ratio eadem est quae quadratorum a distantijs punctorum B et H ab axe.   Non absimile quoque demonstratio est in lente planoconvexa, cum plana superficies radijs parallelis opposita est. Si enim sit lens hujusmodi ACB, axem habens DE, focum E, in qua refringantur radij paralleli qui incidunt in puncta B et H, superficiei convexae, postquam planam AB irrefracti transierint: occurrant autem axi in G et K. Hic igitur ducta HN perpendiculari ad axem DC, rursus tanquam duae lentes planoconvexae considerandae sunt, quarum crassitudines DC et NC. sicut autem quadratum BD ad quadratum HN ita est DC ad NC; et sicut DC ad NC ita aberratio EG ad EK, cum EG aequetur 9/2 DC [<], et EK 9/2 NC. Ergo sicut quadr. BD ad quadr. NH ita quoque aberratio EG ad EK.   Sit autem nunc eadem lens contraria ratione disposita, ut nempe radij paralleli incidant primum in superficiem convexam ACB, cujus semidiameter sit IC. Focus ergo E invenitur sumta primum CR tripla CI, ac deinde posita DE aequali 2/3 DR [<].

[ 313 ]

[ v ]

Ponatur radius extremus axi parallelus incidens in B, convenire cum axe in G, adeo ut aberratio ejus sit EG, radius vero parallelus incidens in punctum H, feratur inde secundum rectam HP quae secet superficiem AB in S, ubi facta altera refractione, conveniat cum axe in K, adeo ut aberratio radij hujus sit EK. Ostendendum est igitur, quod sicut quadr. BD ad quadr. HN ita aberratio EG ad EK. Ducatur HQ parallela SK; atque occurrat axi in Q. Sit etiam HT parallela axi CD, quae superficiei AB occurrat in T; ac denique producta KS occurrat ipsi HT in V.   Quod si jam consideretur tanquam lens alia planoconvexa HCFN, ejus focus O invenietur sumendo NO aequalem 2/3 NR. Radius autem ejus extremus axi parallelus qui incidit in H, primaque refractione in superficie BCA flectitur versus punctum P, is necessario post secundam refractionem in superficie plana HN feretur secundum HQ, quia haec parallela est SK, secundum quam incedit refractus a superficie BD. Esset itaque QO aberratio radij extremi lentis HCFN; quam constat esse ad aberrationem GE radij extremi lentis ACB, sicut quadr. HN ad quadr. BD {* Prop. praec.}. Quare si ostendatur aberrationem EK radij HH, trans lentem ACB missi, aequalem esse aberrationi OQ; patebit etiam esse quemadmodum quadr. BD ad qu. HN ita aberrationem EG ad EK. Illud vero sic ostenditur. quum PS ad SK habeat eandem proxime rationem quam PD ad DK; ratio autem PS ad SK sit ut 3 ad 2 {* Prop. I.III}, erit et PD ad DK ut 3 ad 2 proxime. Sicut autem PD ad DK ita est HT ad TV, propter similitudinem triangulorum SPD, SHT, et SKD, SVT. Ergo et HT ad TV proxime ut 3 ad 2; ac proinde HV proxime pars tertia HT. Sed HV aequalis est QK. Ergo et QK similiter pars tertia HT vel ND. Cum vero ex constructione sit RE pars tertia RD; et RO pars tertia RN; erit et differentia duarum RE, RO, nempe OE, pars tertia differentiae duarum RD, RN, quae est DN. Itaque apparet OE aequalem esse QK. quare si utrique addatur OK, vel utrinque auferatur (nam et hoc contingere potest) erit et KE aequalis QO; quod ostendendum supererat. Haec autem intelligenda sunt ita se habere neglectis minimis differentijs quae respectu ipsarum KE, QO nullius momenti sunt. Qua ratione theorema in caeteris quoque omnibus convexis cavisque lentibus verum erit, ut calculo analytico comperimus [App.II].