Propositio VIII   In lentibus ejusdem generis, aberrationes radiorum extremorum, axi parallelorum, rationem habent compositam ex ratione quadratorum a diametris aperturae lentium, et ex ea quam habent foci distantiae, contrarie sumta. Diametri vero circellorum aberrationis*) rationem habent compositam ex ratione cuborum a dictis aperturarum diametris, et ex ratione quadratorum a foci distantijs, contrarie sumta.   Lentes duas ejusdem generis esse dicimus cum ambae vel planoconvexae sunt, vel utrinque convexae, vel cava et convexa superficie compositae, ac semidiametri utriusque convexi vel cavi eandem inter se rationem servant. Et hîc quidem similiter positas esse insuper postulamus respectu radiorum parallelorum quos excipiunt, ut nempe utriusque lentis superficies convexior ad illos obversa sit vel ab ijsdem aversa.   *)  C'est ici qu'apparaissent pour la première fois dans l'oeuvre de Huygens ces "cercles d'aberration"; la raison en est qu'il est arrivé à la conclusion que la netteté de la vision dépend du diamètre de ces cercles et non pas de l'aberration sur l'axe, qu'il a considérée exclusivement jusqu'ici. Voici, à ce propos, une annotation [...]: in pictura tabulae [d'une chambre obscure] considerandae OQ non OL. L | Q—O in oculo vero si eadem proportione pictura haec diminuatur, latitudines OQ similiter minuentur. Sed si diminuatur pictura in oculo, jam tanto quoque minuitur OQ. Puta primo tabulam idem esse quod fundum oculi.

[ 317 ]

[ v ]

Sunto igitur duae ejusmodi lentes, quarum alterius apertura AB, foci distantia CD, radij extremi ad axem paralleli refractio BEF, faciens aberrationem ED, semidiametrum vero circelli aberrationis DF. Alterius vero apertura GH, foci distantia KL, radij extremi refractio HMN, faciens aberrationem ML, semidiametrum vero circelli aberrationis LN. Primo itaque ostendendum est aberrationem ED ad ML rationem habere compositam ex ratione quadrati AB ad qu. GH, sive qu. CB ad qu. KH, et ex ratione KL ad CD.   Esto lens tertia OP ejusdem quoque generis, cujus foci distantia QR sit aequalis CD, aperturae vero semidiameter QP ad foci distantiam QR se habeat ut HK ad KL. Refractio autem radij extremi in hac lente sit PST, faciens aberrationem SR, et semidiametrum circelli aberrationis RT.   Quia ergo ratio ED ad ML componitur ex rationibus ED ad SR et SR ad ML; quarum ED ad SR eadem quae quadrati CB ad qu. QP [<]; altera SR ad ML eadem quae QR sive CD ad KL; apparet rationem ED ad ML componi ex rationibus quadrati CB ad qu. QP et rectae CD ad KL. Ratio autem quadrati CB ad qu. QP rursus composita est ex rationibus quadrati CB ad qu. KH, et quadrati KH ad qu. QP, sive quadrati KL ad qu. QR, hoc est, ad qu. CD. At ratio CD ad KL eadem est quae quadrati CD ad rectangulum CD, KL. Itaque ratio ED ad ML jam composita erit ex rationibus quadrati CB ad qu. KH, et quadrati KL ad qu. CD et quadrati CD ad rectangulum CD, KL: quae duae posteriores rationes aequantur rationi quadrati KL ad rectang. CD, KL, sive rationi KL ad CD. Ergo ratio ED ad ML componitur ex ratione quadrati CB ad qu. KH et ex ea quam habet KL ad CD, quod erat primum.   Nunc alterum quoque ostendemus nimirum rationem DF ad LN componi ex ratione cubi CB ad cubum KH et ex ratione quadrati KL ad qu. CD.   Quia enim DF ad LN rationem habet compositam ex rationibus DF ad DE et DE ad ML et ML ad LN, quarum prior DF ad DE eadem est quae CB ad CE sive CD, (nam exigua differentia ED hic nullius momenti est,) posterior vero ML ad LN eadem quae MK seu LK ad KH. Componitur igitur ratio DF ad NL ex rationibus CB ad CD, et KL ad KH et ED ad ML. Harum vero priores duae constituunt rationem rectanguli BC, KL ad rectang. CD, KH, hoc est eandem compositae ex rationibus CB ad KH, et KL ad CD. Itaque ratio FD ad NL composita est ex rationibus CB ad KH, et ED ad ML et KL ad CD. Demonstratum vero fuit rationem ED ad ML componi ex rationibus quadrati CB ad qu. KH et ex ratione KL ad CD. Ergo FD ad NL componetur jam ex rationibus CB ad KH et quadrati CB ad qu. KH; quae simul efficiunt rationem cubi CB ad cubum KH; et ex ratione KL ad CD duplicata. Patet itaque rationem FD ad NL componi ex ratione cubi CB ad cubum KH et quadrati KL ad qu. CD. quod erat alterum eorum quae demonstrando proponebantur.

[ 319 ]

[ v ]

Propositio IX   Ex lentibus sphaericis cavis et convexis telescopia componere hactenus cognitis ejus generis meliora, perfectionemque eorum quae ellipticis hyperbolicisve lentibus constant aemulantia.   Cum in telescopijs, ex convexa et concava lente compositis, requiratur ut radij paralleli, hoc est, a puncto longinquo rei visae venientes, atque opera convexae lentis versus punctum unum contracti, lentis cavae refractione rursus paralleli fiant, atque ita ad oculum perveniant; cumque nec lens sphaerica convexa exacte ad punctum unum radios parallelos flectere possit; neque cava ut jam ad punctum unum tendant, exacte denuo parallelos efficere, creditum est hactenus utraque de causa fieri ut sphaericae superficies minus aptae essent his usibus, nemine suspicante vitium convexarum lentium lentibus cavis tolli posse. Hoc autem fieri licere, eoque telescopia hujus generis praestantiora quam solita sint construi, hic ostendere pergemus.   Quod si perinde convexa lente oculo admota aberratio lentis exterioris corrigi posset (ad sidera enim spectanda ex convexis lentibus telescopia componi necesse est quo amplius spatium intercipiant), nihil in hac arte foret optabilius. Sed certum est in convexis inter se compositis emendationem illam mutuam non reperiri. Imo contra, vitium exterioris lentis a lente oculari augetur semper nonnihil neque id ulla ratione impediri potest.   In compositione autem convexae lentis cum cava haec erit methodus.

[ 321 ]

[ v ]

Data sit lens telescopij magna sive exterior ABCD, foci distantiam habens DE. ac data praeterea ratio multiplicationis, hoc est, secundum quam res visas telescopio construendo augeri cupimus secundum diametrum; quae sit ea quae b ad c, exempli gratia 10 ad 1. Divisa igitur DE in F, ut sit sicut b ad c, vel hic, 10 ad 1, ita DE ad EF; constat lentem cavam ad F constituendam fore, ut fiat dicta multiplicatio {* Prop. I.II.V}. cujus nimirum lentis punctum dispersus radiorum parallelorum a parte E venientium sit in E. Quoniam vero et superficies lentis ABCD datae sunt, dabitur et Aberratio ejus, hoc est, ratio quam habet aberratio radij extremi ad lentis crassitudinem, quae sit ea quae f ad g. Ex. gr. si lens ABCD ponatur omnium optima, quam in praecedentibus definivimus [<], erit ratio f ad g ea quae 15 ad 14, quia aberratio lentis ejusmodi est 15/14 suae crassitudinis. Jam sicut c ad b, (hic 1 ad 10) ita sit f /g (hic 15/14) ad alium numerum qui erit bf /cg (hic 150/14 sive 75/7). Inveniaturque lens cava ad F constituenda, ac puncti dispersus distantiam habens FE, cujus aberratio radij axi paralleli a parte E venientis aequetur crassitudini suae ductae in numerum bf /cg; hoc est, in hoc exemplo, cujus aberratio sit 75/7 suae crassitudinis. Quae quidem lens poterit utrinque cava esse, si bf /cg sit minus quam 9/2 [<]; si vero majus, ut hic, quaerenda est cavoconvexa, meliorque erit cujus superficies convexa ad oculum convertenda erit, quia minus cavam superficiem quam altera requirit.

[ 323 ]

[ v ]

Quia igitur, posita semidiametro convexae superficiei lentis quaesitae a et puncti dispersus distantia EFd; crassitudine vero lentis q; fit secundum regulam supra traditam [<] aberratio radij extremi (27aaq + 24adq + 7ddq) / 6aa , oportet proinde hanc aequari bfq /cg, et in hoc exemplo 75/7 q. Ex qua aequatione invenietur a semidiameter superficiei convexae; quae hic erit proxime 86/100 d. data autem a invenietur et n semidiameter superficiei cavae; quia, ut superius dictum est [<], n ad / (2a + d). fietque hic n 86/272 d, sive 32/100 d. His itaque semidiametris superficiei convexae et concavae formata sit lens GH. Dico radium quemvis axi parallelum atque in lentem AC incidentem ut CC et KK, penetrata illa, ac postea lente GH, rursus axi parallelum evadere. Ut enim de radio CC extremo primum hoc demonstremus, ponamus eum ex lente AC egressum pergere secundum rectam CO, quae secet lentem GH in H, unde agatur HI axi parallela. Sit deinde lens alia planoconvexa PQR, cujus foci distantia, ZS, atque etiam latitudo, eadem sit quae lentis AC. Et sumta ST aequali EF, ponatur in T lens planoconcava YTV, punctum dispersus habens S. Sitque in lente PQR radius extremus axi parallelus RR, qui ab ea fractus incedat secundum rectam RX secantem lentem YTV in V.

[ 325 ]

[ v ]

Quia ergo foci distantia ZS est diameter convexitatis PQR [<], et distantia puncti dispersus TS diameter cavitatis YTV [<]; sicut autem ZS ad ST ita RZ ad VT; (nam puncta X, S, tam parum distant ut ratio ZS ad ST eadem hic quae ZX ad XT censeri possit) erunt arcus similes QR, TV; ideoque et crassitudo QZ ad crassitudinem lentis cavae in V sicut ZS ad ST. Est autem crassitudo lentis AC, nempe BD, aequalis crassitudini QZ lentis PR, propter focorum distantias latitudinesque utriusque aequales {* Prop. III}; eandemque ob rationem lentis cavae GH crassitudo in H aequalis crassitudini lentis YV in V. Erit ergo et crassitudo BD ad crassitudinem lentis GH in H sicut ZS ad ST, sive ut DE ad EF, hoc est ut b ad c. Unde si DB dicatur e, erit crassitudo lentis GH in H aequalis ce /b, atqui aberratio radij IH, refracti in lente GH, retroque producti, aequalis est, ex constructione, crassitudini ejus quam habet in H, ductae in bf /cg. Ergo haec aberratio erit id quod fit ducto ce /b in bf /cg, nempe ef /g. Sed cum crassitudo DB sit e, cumque ipsa sit ad aberrationem radij extremi in lente AC ut g ad f , patet etiam hanc aberrationem esse fe /g. Cum igitur huic aequalis sit aberratio radij IH, ac proinde refractio ejus retro producta pertineat ad punctum O; sequitur et radium CH ad O tendentem ita frangi a lente cava in H ut inde feratur secundum rectam HI axi parallelam.

[ 327 ]

[ v ]

Idem vero et de radio quolibet axi propiore ut KK facile nunc ostendetur. Pergat enim hic, post refractionem in lente AC, secundum rectam KN quae secet lentem GH in L, et conveniat cum axe in N, et sit LM axi parallela. Cum ergo distantia puncti H ab axe sit ad distantiam L ut distantia C ad distantiam K erunt et quadrata earum distantiarum in eadem ratione. Sicut autem quadr. distantiae C ad quadr. distantiae K ita est aberratio radij CC quae est OE ad aberrationem radij KK, quae est NE {* Prop. VII}. Et sicut quadr. distantiae H ad quadr. distantiae L ita est aberratio radij IH, fracti in lente GH, quae aberratio ipsi OE aequalis ostensa est, ad aberrationem radij ML. Itaque aberratio radij ML aequalis quoque erit ipsi NE. Quare cum refractio radij ML retro producta pertineat ad punctum N, etiam radius KL tendens ad N flectetur secundum LM, hoc est, axi parallelus feretur, quod erat ostendendum.   Secundum haec instituto calculo invenimus semidiametros superficierum, sequenti tabella comprehensas, quibus utrumque latus lentis cavoconvexae formari debeat, ad perfecta aliquot hujusmodi telescopia. Ponitur autem in his lens major planoconvexa, superficie sphaerica extrorsum versa, quod parabilior sit haec lens quam optima illa superius descripta rationis sexcuplae [<], aberratioque ejus lente cava aeque ut in altera corrigatur.

[ 329 ]

[ v ]

                                    Semidiam. superficiei  Semidiam. superficiei
Foci distantia      Multiplicatio      convexae lentis        cavae lentis
lentis majoris   Telescopij secundum     ocularis in          ocularis in
planoconvexae.        diametrum.      partibus pollicum.     partibus poll.

pollices  4               5               1564/1000 *)        318/1000 °)
          8               9                788                284

pedes     1              12                619/1000           277/1000
          1 1/2          16                519                270
          2              20                452                258
          2 1/2          24                404                245
          3              27                393                247
          3 1/2          30                380                246
          4              34                350                238
          5              40                331                230
          6              46                313                224
          8              58                283                219
         10              68                272                208
         12              78                261                204
         12             100                175                141
                                           __________________________________
                                           *) Lisez 2614/1000.    °) Lisez 347/1000. 

Usus tabellae manifestus est; ut si habeam lentem planoconvexam cujus foci distantia 3 pedum, cupiamque ex ea telescopium adaptare quod 27ties res visas secundum diametrum multiplicet; docet tabella semidiametrum superficiei convexae lentis ocularis debere sumi 393/1000 sive 2/5 proxime unius pollicis; semidiametrum vero superficiei cavae ejusdem lentis, 247/1000 sive proxime 1/4 pollicis.   Quod si vero eadem lente convexa 3 pedum telescopium parare velim cujus multiplicatio sit quadragecupla, lentemque cavam reperire quae ad hoc requiritur, quoniam tabella hanc multiplicationem dat telescopio pedum 5, cujus cavae lentis semidiametri sunt 331/1000, 230/1000, oportet facere ut longitudo pedum 5 ad longit. pedum 3, ita 331/1000 ad aliud, nempe 199/1000, quae erit semidiameter superficiei convexae lentis ocularis quaesitae, ac rursus ut 5 ad 3 ita 230/1000 ad aliud, nempe 138/1000, quae erit semid. superficiei cavae.

[ 331 ]

[ v ]

Porro convexam lentis ocularis superficiem ad oculum obvertendam ex jam dictis satis patet. cura autem adhibenda est ut axes utriusque lentis in eandem exacte lineam disponantur, atque oculi pupilla ad punctum medium cavae admoveatur, quod quo facilius fiat, tegendae sunt reliquae partes lentis, ac foramen in medio relinquendum ad pupillae magnitudinem, vel etiam minus aliquanto. Nam licet hoc modo angustius fiat spatium quod conspectu telescopij comprehenditur, claritati tamen nihil decedet, quoniam conus radiorum, eo loco ubi lens ocularis consistit, adeo jam in arctum contrahitur ut nec dimidiam nec saepe tertiam partem pupillae latitudinis aequet, ut calculo facile deprehenditur. Si enim ex. gr. in telescopio 12 pedum, cujus multiplicatio centupla, apertura lentis majoris sit 3 pollicum, quae abunde sufficit, ut in sequentibus dicetur [>], hic jam latitudo coni radiosi, quo loco lenti oculari occurrit, centesima tantum pars est pollicum trium, id est, 3/100 pollicis unius, quae latitudo minor est parte tertia pupillae mediocriter apertae.   Utilitas autem ac praestantia hujusmodi perspicillorum, prae ijs quae huc usque ex convexis et cavis lentibus fieri consuerunt, haec primum erit, quod distinctiorem visionem efficient, quoniam radios a singulis rei visae punctis manantes parallelos ad oculum mittunt, sicuti fere figurae ellipticae aut hyperbolicae vitra*); praecipua vero quod, longitudine vulgaribus aequalia, longe magis res visas multiplicare poterunt, eo quod in lente exteriori solito majorem aperturam ferent, quum aberratio ejus lentis a figurae sphaericae proprietate profecta, lente oculari corrigatur. Sed ad haec requiri omnino sciendum ut tam majoris quam ocularis lentis superficies perfectam sphaericae convexitatis figuram accipiant, a qua multum abesse, etiam illas quae exquisitissime elaboratae creduntur, putandum est, ut postea pluribus docebitur°). adeo ut nova industria novisque machinationibus hac in re incumbendum existimem, si quid praeteritis majus consequi cupimus, atque efficere ut cum demonstrationibus effectus consentiant †).   *)  Voir le "Discours Huictiesme" [p. 89-121] de la Dioptrique de Descartes, p. 165-196 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery des "Oeuvres de Descartes".   °)  On n'en trouve rien dans la "Dioptrique".   †)  [...] il croit avoir trouvé mieux dans sa nouvelle invention du 1 février [1669, App. VI]:     Lens composita hyperbolicae aemula.

[ 333 ]

[ v ]

Propositio X Rationem lucis et obscuritatis in perspicillis quibuslibet examinare.   Quandoquidem ratio incrementi secundum quam species rerum augentur in telescopijs, quae duabus convexis lentibus constant, est ea quae foci distantiae lentis exterioris ad foci distantiam interioris, manifestum est adeo exiqui convexi assumi posse lentem hanc interiorem sive ocularem, ut res visae, etiam brevi telescopio, quantumlibet auctae appareant. Eodemque modo se res habet in his quae ex convexa et cava lente componuntur, quum ratio incrementi sit ea quae foci distantiae lentis exterioris ad distantiam puncti dispersus lentis cavae. Cur tamen modus utrobique adhibendus sit duplex causa est: una, quod manente eadem apertura lentis exterioris, quanto magis telescopium res visas dilatat tanto quoque obscuriores videri facit. altera quod et minus distinctas exhibet, cujus consideratio ad sequentia pertinet [App. III]. Obscuritatis autem ratio quomodo estimanda sit ut intelligatur ad picturam illam attendendum est quae in fundo oculi saepe fieri diximus [<], ac tenendum eam tanto lucidiorem aut obscuriorem contingere quanto plures paucioresque radij ad eam formandam ex re visa affluunt. Ut si ex. gr. oculo libero primum rem aliquam intuear, deinde vero trans foramen eandem aspiciam oculo proxime admotum cujus diameter tantum dimidia sit diametri pupillae, ac proinde capacitas quadruplo minor. fiet in fundo oculi imago rei trans foramen spectatae quadruplo etiam obscurior quam dum libero oculo spectabatur; quoniam tantum pars quarta radiorum ab re visa manantium foramen ingreditur, quibus spatium idem quod prius in retina collustrari debeat.

[ 335 ]

[ v ]

Quod si jam telescopium parandum sit, decuplo augens visibilia secundum diametrum, ac postuletur ut aeque clare omnia referat atque cum citra telescopium spectantur, dico et diametrum aperturae lentis exterioris decuplam esse debere ad pupillae diametrum, idque etiamsi neque ex reflexione lentium, neque ex vitri opacitate pars ulla radiorum interciperetur. Sicut enim superficies picturae in retina ejusmodi telescopio centupla existit ejus quae fit nudo oculo spectanti, ita quoque centuplo plus radiorum apertura lentis exterioris quam pupilla oculi comprehendere debebit ut magna haec pictura aeque illustris sit omnibus sui partibus ac prius minor illa fuerat.   Sed enim multo minorem claritatem in telescopijs sufficere sciendum est, adeo ut satis habere existimentur, quibus interdiu utimur, si modo decimam partem aut etiam minorem habeant lucis ejus quam nudus oculus percipit. Majora autem, quibus tantum sidera spectamus, non nisi sexagesimam aut septuagesimam requirant. Ita namque experior in telescopio 22 pedum*), quod res visas centies vicesies quinquies ampliores secundum diametrum reddit, aperturam lentis exterioris esse duorum pollicum cum triente, hoc est, circiter quindecuplo majorem quam sit mediocris pupillae latitudo; cum tamen centies vicesies quinquies eam continere debuerit si lux eadem telescopio atque oculo non armato percipienda sit. Unde sequitur tantum septuagesimam circiter partem ejus quae ad hoc requiritur luminis dicto telescopio adesse: quia areae circulorum, quorum diametri ut 15 ad 125, sive ut 3 ad 25, sunt fere ut 1 ad 70. Causa autem cur tantilla lucis partiuncula hic contenti simus, insignis ille corporum caelestium est splendor, Lunae nimirum ac reliquorum planetarum. qui cum solis radijs illustrentur, tam intensum lumen vibrant ut longe minori opus sit ad ipsa commode ac distincte contemplanda. quemadmodum et diebus nubilis abunde lucis superesse videmus ad rerum omnium facilem perceptionem, etsi lux haec perexigua sit ad eam comparata quam solis radij inferunt. Caeterum aliquid hic etiam conferre sciendum est quod per tenebras multo minori luce oculi quam interdiu moveantur, atque illa conspicere valeant ad quae a diei luce recentes prorsus caecutiunt.   *)  Il s'agit probablement de la lunette avec laquelle les observations sur l'anneau de Saturne furent faites et qu'on trouve décrite dans le "Systema Saturnium" [p. 4] de 1659. D'après cette description elle avait un tube de 23 pieds, une ouverture de 21/3 pouces et multipliait 100 fois; mais avec un oculaire d'une autre façon sa lunette de 22 pieds, bien probablement la même, supportait un grossissement de 127 fois, comme Huygens écrivit à son frère Louis le 5 octobre 1662 (voir la p. 243 du T. IV).

[ 337 ]

[ v ]

Ex his porro quae diximus hactenus manifesto liquet necesse esse ut in telescopijs duobus quorum aequalis futura sit claritas, diametri aperturarum tanto una aliam superet quanto magis telescopium illud altero res visas secundum diametrum amplificat.   Manente vero eadem apertura telescopij, si in locum lentis ocularis aliam substituere velimus, quae duplo majus priori incrementum efficiat; patet quadruplo obscuriora omnia visum iri, eo quod eadem radiorum multitudo spatium in retina prioris quadruplum illustrare jam debeat. atque eadem ratione semper haec obscuritatis proportio dupla erit proportionis aucti incrementi. Quare non temere lens ocularis convexiore vel magis cava mutanda est, sed diligenter expendendum quale incrementum exterioris lentis apertura perferre valeat, ita ut simul non minori luce quam quae requiritur praeditum sit telescopium. Ac sane in tantum vis omnis atque effectus telescopij cujuslibet ex aperturae illius magnitudine pendet, ut hac inspecta, si parva est, etiam exiguae virtutis telescopium esse, certam ferre sententiam possimus, quotcunque etiam lentes aliae et quocunque modo intra tubum aptatae sint. Ut enim insignis habeatur multiplicatio cum sufficienti lumine multos radios colligi necesse est, quod sine magna lentis exterioris apertura nequaquam fieri potest.   Attamen in microscopijs alia ratio est, cum in his exiguo licet lenticulae exterioris foramine, imo pupillâ longe minori, multiplicatio sexagecupla vel centupla aut major etiam secundum diametrum praestari possit, non deficiente luminis claritate. cujus rei causa non alia est quam rei visae a lenticula exigua distantia. quod ut figurâ explicemus, esto visibile microscopio subjectum C, lens ejus infima sive exterior K; cujus aperturae diameter AB. Reliquae vero lentes una vel plures, hoc enim nihil refert, sunto D, L. Oculi autem pupilla EF. ductis jam a visibilis puncto aliquo, ut C, rectis CA, CB, diametrum aperturae AB intercipientibus, ijsdem continuatis usque in G et H, ubi occurrant rectae per pupillam ductae, rectosque angulos cum axe lentium facienti: constat jam aeque magnam radiorum copiam a puncto C venientium apertura circulari AB comprehendi atque oculi pupilla comprehenderet si diametrum lineae GH aequalem haberet. Quamobrem si multiplicatio perspicilli hujus fuerit ea quae GH ad EF pupillae diametrum, aeque illustre apparebit visibile C, atque cum simplici visione absque perspicillo cernitur.

[ 339 ]

[ v ]

Sed cum et hic, ut in telescopijs, parte magna luminis carere possimus, etiam major multo quam pro ratione GH ad EF multiplicatio induci potest. Ut si GH ad EF vigecupla est, facile centuplam multiplicationem secundum diametrum perferet microscopium. Quin imo et obscuritate nimia laboranti remedium adferre licet, validiori luce in rem visam derivata, quod pluribus modis fieri potest [>]. Propositio XI   Aperturarum amplitudines quae lentibus telescopij exterioribus conveniant investigare.   Cum aperturae magnitudo in telescopijs tanti sit momenti, ut efficacia ac bonitas eorum inde praecipue judicetur, cumque apertura illa non pro lubitu constitui possit, quod nimiam faciendo distincta visio radiorum confusione diminuatur; exigua autem obscuritatem pariat. omnino videndum est quaenam in his mensura praescribi possit. quod tamen non tam eo pertinet, ut datae lentis alicujus aperturam maximam hac ratione inquiramus; cum hoc experientia optime docere possit; verum ut unius telescopij cujusdam optimi apertura ac longitudine data, etiam aliarum longiorum aut breviorum aperturae cognoscantur; quantae videlicet in singulis esse debeant; ut pro ratione longitudinis effectus telescopij non minor debito sequatur; idque non tantum in his quae jam arte effecta habemus pedum 20, 30 vel 40, sed et in majoribus multo, puta quae ad 100 vel 200 pedes, aut amplius extendantur: quo simul manifestum fiat quanto plus opis in his ad caelestium contemplationem nobis polliceri possimus, animique addantur ad ulteriora conandum.   Cum autem duo sint telescopiorum genera, alterum convexa et cava lente constans, alterum solis convexis, tantum ad ea quae posterioris generis sunt pertinere sciendum quae de aperturarum rationibus hic dicentur. In illis enim, quae cava et convexa lente componuntur, ostendimus supra [<], qua arte lens cava aberrationem convexae emendare possit; eoque apertura convexae insigniter deduci, adeo ut limites quos hic ponimus multum excedat. Sed cum lens ocularis cava in praelongis tubis tolerari nequeat, quod nimis angustum spatium telescopio tali comprehendatur, nihil eximium ad sidera spectanda nisi ab illis sperare debemus quae solis convexis instructa sunt. Itaque de horum telescopiorum exteriori apertura acturi, inprimis picturam illam considerabimus quae trans lentem convexam [lente convexa] in loco tenebroso, vulgata jam arte, exhiberi solet, quoniam persimilis est ei quae in fundo oculi effingitur.

[ 341 ]

[ v ]

Sit igitur convexae ejusmodi lentis apertura AB, axis CD, focus, seu punctum quo colliguntur radij ad axem paralleli, D. Aberratio autem radij extremi sit DG. et producatur BG refractio ejusdem radij quousque occurrat tabulae, quae per focum D lenti AB parallela intelligenda est, in E. Cum itaque radiorum caeterorum axi parallelorum refractiones, quanto quisque axi propinquior fertur, tanto propius concurrant ad focum D, sequitur extremitates totius seriei parallelorum, sive ab uno aliquo rei visae puncto manantium occupare in tabula circellum cujus semidiam. DE; qui circellus quo minori fuerit magnitudine tanto perfectior erit in tabula rei visae repraesentatio. Sicut autem aeque nitidae ac distinctae a duabus diversis lentibus picturae futurae sunt quando istos aberrationum circulos aequales facient; ita quoque aeque distincta visio diversis continget telescopijs, cum et ab illis in fundo oculi picturae aeque terminatae, hoc est in quibus aberrationum circuli aequali latitudine sint, describentur. Neque enim certius aut evidentius quicquam fundamenti vice hic statui posse existimo. Ut autem minori negotio circellorum istorum in fundo oculi latitudo inquiratur, quoniam lens ocularis difficultatem aliquam adferre videri possit, ostendemus primo,   Circellos aberrationis, in fundo oculi per telescopium spectantis, fere tantum ab aberratione lentis exterioris oriri, lente oculari vix quicquam eorum latitudinem augente, adeo ut lens haec in telescopio tanquam perfecta censeri possit, hoc est, ac si radios a puncto venientes exacte parallelos redderet.   Sit enim lens telescopij exterior AB, ocularis GF, quarum utriusque foci sunt in puncto C. Radius autem extremus axi parallelus MB secet axem in D, faciens aberrationem DC, atque occurrat lenti GF in G; et jungatur CG.   Si jam fingamus radium HG axi parallelum incidere in lentem FG, is non conveniet cum axe in C, foco lentis GF, sed citra punctum C in E, ita ut aberratio CE sit ad aberrationem CD sicut AC ad CF [CF ad AC]. Nam cum AB et FG sint portiones similes lentium ejusdem generis, constat utriusque aberrationes radiorum parallelorum in B et G incidentium esse inter se sicut ipsae lentium foci distantiae. Quamobrem itaque et vice versa radius, ex E incidens secundum EG, flectetur secundum GH axi parallelam. At radius DG ita refringetur in GL, ut angulus HGL fiat aequalis DGE {* [>]}. Itaque lens utraque simul nunc aberrare faciet radium qui axe parallelus esse debuerat hoc angulo HGL ipsi DGE aequali, qui radius tantum aberraret angulo aequali ipsi DGC si lens FG ejusmodi esset ut radios ex foco C egredientes axi parallelos redderet. Tunc enim radio CG refracto in GH, et radio DG, ut ante, in GL, aequaretur angulus LGH angulo DGC.

[ 343 ]

[ v ]

Patet igitur lentem GF augere aberrationem radij BD angulo aequali CGE, qui est ad angulum DGC proxime ut EC ad CD, sive ut FC ad CA. Unde apparet quam exigua sit haec additiuncula ab oculari lente profecta, quamque nullius momenti, praesertim in praelongis telescopijs quae quinquagies vel centies et amplius res visas multiplicant.   Nunc ad rationes aperturarum pergemus ostendemusque:   In telescopijs diversae longitudinis ut aeque lucidas ac distinctas rerum imagines referant, rationem foci distantiarum lentium exteriorum, ejusdem generis [<], sesquitertiam esse debere ejus quae in diametris aperturarum earundem lentium; sive, cubos dictarum foci distantiarum, eandem habituros rationem quadratoquadrata diametrorum aperturae.     Sunto enim duo diversae longitudinis telescopia lentes exteriores ejusdem generis habentia, quorum alterius lens exterior, quatenus adaperta, sit AB, lens ocularis OP, focis utriusque in idem punctum D compositis; ita enim collocari necesse est ut radij ad oculum paralleli perveniant qui a puncto longinquo ad telescopium feruntur. Sit autem pupilla QR, fundus oculi ad X, centraque omnium C, O, Q, X in eadem recta quae est axis telescopij. Intelligatur porro refractio radij extremi in lentem AB incidentis esse BEP, quae occurrat lenti oculari in P, cujusque aberratio sit ED, circelli vero aberrationis semidiameter DF. Et jungatur DP, sitque PS axi parallela.   Quoniam igitur, si in lentem ocularem OP radius incidat DP, ex foco ejus adveniens, is axi parallelus efficitur, ita ut incedat secundum rectam PS; (nam, ut supra fieri licere ostendimus, lentem OP quasi aberrationis expertem hic consideramus;) feretur proinde radius EP secundum PR, ut angulus SPR fiat aequalis DPE. Occurrat ergo pupillae in R et agatur RT axi parallela.

[ 345 ]

Quia ergo oculi ea est dispositio ut radios axi parallelos, qualis TR, cogat ad punctum X, sequitur radium PR interius deflexurum puta ad punctum retinae V, ita XV illic futura sit semidiameter circelli aberrationis; cujus quidem magnitudinem pendere apparet a magnitudine anguli quem refractiones radiorum PR, TR intra pupillam ad punctum R efficiunt. Hic vero angulus certam proportionem habet ad angulum PRT {* [>]}, quae subsesquitertia esset, si corneae refractio eadem quae aquae ponatur; sed quaecunque sit, nihil hic refert.   Porro in telescopio altero eadem omnia posita atque effecta intelligantur, literis minoribus ejusdem nominis atque in priore ad puncta correspondentia adscriptis; Et constat eadem omnia, quae hactenus dicta sunt, etiam illi telescopio convenire. Requiritur itaque, quo aeque distincta utrobique contingat visio, ut XV sit aequalis xu, ac proinde ut angulus TRP sit aequalis trp. Angulo autem TRP sive RPS aequalis est DPF, similiterque angulo trp aequalis dpf. Ergo requiritur ut aequales sint anguli DPF, dpf. Quod ut fiat, debebit esse ut PD ad DF ita pd ad df; et permutando, ut PD ad pd, sive, quae eadem ratio hic censenda est, OD ad od, ita DF ad df.   Sit ut CD ad DO ita cd ad dn. Quod si igitur, ablata lente op, lens alia ocularis ad n poneretur, foci distantiam habens dn, jam eadem esset utriusque telescopij multiplicatio {* Prop. I.II.V}; sed ea quam tunc haberet telescopium abop est ad eam quam praestat posita lente op, sicut od ad dn,

[ 347 ]

[ v ]

Ergo patet et multiplicationem telescopij ABOP ad eam quae est telescopij abop instructi lente op, se habere ut od ad dn. Cum autem aequalis claritas utrinque rebus visis postuletur, oportet ut sit od ad dn hoc est multiplicatio ad multiplicationem sicut CB ad cb, apertura ad aperturam, unde jam porro sic argumentabimur. Ratio OD ad od, componitur ex rationibus OD ad dn et dn ad do; quarum OD ad dn est eadem quae CD ad cd; cum fecerimus CD ad DO ut cd ad dn; altera vero dn ad do eadem quae cb ad CB, ut modo ostendimus; itaque ratio OD ad od componitur ex rationibus CD ad cd et cb ad CB. Atque eadem ratio OD ad od aequalis antea ostensa est rationi DF ad df, quam componi constat ex rationibus cubi CB ad cubum cb et quadrati cb ad qu. CD {* Prop. VIII}. Ergo ratio composita ex CD ad cd et cb ad CB aequabitur compositae ex rationibus cubi CB ad cubum cb et quadrati cd ad qu. CD. Addatur utrinque ratio quadrati CD ad qu. cd. fient igitur aequales inter se, illinc composita ex rationibus cubi CD ad cubum cd et rectae cb ad CB, hinc composita ex rationibus cubi CB ad cubum cb et quadrati cd ad qu. CD et quadrati CD ad qu. cd; hoc est, sola ratio cubi CB ad cubum cb; quia duae posteriores sese mutuo tollunt. Addatur rursus utrinque ratio CB ad cb; fientque rationes aequales, illinc, composita ex rationibus cubi CD ad cubum cd, et rectae cb ad CB et CB ad cb, hoc est sola ratio cubi CD ad cubum cd. Hinc vero composita ex rationibus cubi CB ad cubum cb, et rectae CB ad cb, quae duae rationes constituunt rationem quadratoquadrati BC ad qu.qu. bc. Sicut igitur cubus CD ad cubum cd ita est qu.qu. CB ad qu.qu. cb. quod erat dem.   Hinc sequitur, si ratio foci distantiarum CD ad cd sit ea quae 16 ad 1, rationem diametrorum aperturae BA ad ba futurum quae 8 ad 1. In universum vero, data in uno aliquo telescopio foci distantia lentis exterioris, et maxima quam ferre valet apertura, etiam alij cuivis, ejusdem generis lentem exteriorem habenti, debitam aperturam secundum haec invenimus, et facillime quidem per logarithmos. Si enim dentur numero foci distantia dati telescopij, CD, et diameter aperturae AB, itemque foci distantia alterius construendi telescopij cd, oportet logarithmo numeri AB addere tres quartas logarithmi cd et a summa auferre tres quartas logarithmi CD; fietque logarithmus aperturae ab.

[ 349 ]

[ v ]

Ut si lens, cujus foci distantia pedum 12, ferat aperturam in telescopio suo quae sit pollicum duorum, et quaeratur apertura lentis alius cujus foci distantia pedum 100. Logarithmus 100 est 2,00000 cujus tres quartae 1,50000 additae ad logarithmum 2, qui est 0,30103, faciunt 1,80103. Unde si auferantur 3/4 logarithmi 12, hoc est, 0,80938, reliquum est, 0,99165, logarithmus numeri 981/100, qui designat numerum pollicum diametri aperturae quaesitae; paulo minorem, ut apparet, denario. Et hoc modo composita est sequens tabella, sumtâ, ut jam diximus, aperturâ 2 pollicum in lente pedum 12: quandoquidem bonam lentem eousque aperiri posse re ipsa invenimus, etsi utrimque aequaliter convexam; ut tanto proinde facilius id latura sit planoconvexa, vel illa proportionis sexcuplae, quae praestare caeteris omnibus supra ostensa fuit [<]. Quodsi quae hujusmodi daretur, quamque constaret exactissime formatam, posset ab hac omnium aliarum maxima apertura certo definiri. Nos vero, quid jam nunc ab artificum industria sperare liceat, attendimus. In eadem porro tabella et lentes oculares definivimus quae cuique majori lenti conveniunt; ad quarum foci distantias inveniendas, ponimus eam quae duos pollices habeat recte aptari cum lente magna pedum 12, sicut experientia comprobatum est. Hinc vero et reliquae omnes mensuram suam accipiunt; quandoquidem:   In diversae longitudinis telescopijs, quibus lentes exteriores ejusdem sunt generis, lentium ocularium foci distantiae subquadruplam rationem habere debent ejus quam foci distantiae lentium magnarum.   Quod ex ante demonstratis [<] hoc modo conficitur. Foci distantiae lentium ocularium, OD ad od, in telescopijs ibi propositis, quae res visas aeque clare ac distincte, etsi non aeque amplas, intra oculum depingunt, rationem compositam habere ostensae sunt ex rationibus CD ad cd, et cb ad CB [<]

[ 351 ]

[ v ]

Itaque et ratio quadruplicata OD ad od, componetur ex quadruplicatis rationibus CD ad cd, et cb ad CB. Harum vero CD ad cd quadruplicata componitur ex simplici ratione CD ad cd et ex eadem CD ad cd triplicata. altera vero cb ad CB quadruplicata, eadem ostensa est quae cubi cd ad cubum CB [CD]; Ergo ratio quadruplicata OD ad od jam componetur ex rationibus CD ad cd et ex eadem CD ad cd triplicata et ex triplicata cd ad CD. quae duae posteriores se mutuo tollunt, adeoque superest ratio sola CD ad cd aequalis quadruplicatae OD ad od, quare et contra, ratio OD ad od subquadrupla erit rationis CD ad cd; quod erat ostendendum.   Caeterum alia quoque ratione convexorum ocularium mensurae ex supra dictis haberi possunt. Cum enim ex constituta apertura in lente 12 pedum, aliarum omnium similium aperturae deducantur: Sicuti autem aperturae inter se ita et multiplicationes telescopiorum aequali luce gaudentium: datis proinde aperturis, itemque multiplicatione telescopij 12 pedum, quae est 72 ad 1, cum lens ocularis habeat 2 pollicum foci distantiam, dabitur et multiplicatio alius cujuslibet. Sed cognita multiplicatione et foci distantia lentis majoris, noscetur etiam foci distantia lentis ocularis, cum harum sit ratio eadem inter se quae est multiplicationis telescopij compositi.*)   *)  [...] le 23 avril 1685 (p. 6 du T. IX) il fait connaître à son frère Constantijn les nouvelles règles qui ont servi à construire le tableau qu'on trouvera plus loin, aux p. 497 et 499 de la troisième Partie.

[ 353 ]

[ v ]

Foci distantia   Diameter aperturae   Foci distantia    Multiplicatio
lentis majoris    lentis majoris      lentis ocularis   Telescopij
   Pedes.            Pollices.           Pollices.    secundum diametrum.

      1                31/100            1  9/100            11
      2                52/100            1 33/100            18
      3                70/100            1 44/100            25
      4                88/100            1 55/100            31
      5              1  4/100            1 62/100            37

      6              1 19/100            1 67/100            43
      8              1 48/100            1 81/100            53
     10              1 74/100            1 90/100            63
     12              2                   2                   72
     15              2 36/100            2 11/100            85

     20              2 93/100            2 28/100           105
     25              3 47/100            2 40/100           125
     30              3 98/100            2 51/100           143
     35              4 46/100            2 60/100           161
     40              4 94/100            2 64/100           178

     45              5 39/100            2 77/100           194
     50              5 83/100            2 84/100           210
     60              6 69/100            2 98/100           241
     70              7 51/100            3 11/100           270
     80              8 30/100            3 21/100           299

     90              9  6/100            3 31/100           326
    100              9 81/100            3 49/100           353
    150             13 30/100            3 73/100           479
    200             16 50/100            4  4/100           594
    250             19 51/100            4 27/100           702

    300             22 36/100            4 47/100           805
    400             27 75/100            4 80/100           999
    500             32 80/100            5  7/100          1183
    600             37 61/100            5 32/100          1354