Dioptrica

Propositio I   Quae*) vel ob interpositas lentes, vel ratione distantiae, confuse spectantur, distincta reddi possunt, vel addita lente una juxta oculum, vel opposita ibidem lamina cum foramine minimo; dummodo non in ipso maximae confusionis puncto oculus positus fuerit. Utracunque vero correctio adhibeatur, eadem magnitudine et positu visibile spectabitur.   Si enim ab unoquoque rei visae puncto egressi radij ad oculum ferantur tendantque velut ad punctum post oculum, facile ex supra demonstratis intelligitur cujusmodi cava lente reddantur paralleli [<]. Item si divergentes, ac tanquam ex puncto ante oculum egressi adveniant, quomodo convexa lente ad parallelismum redigantur [<]; utroque vero casu visio efficitur distincta.   *)  La rédaction de cette proposition [... est] postérieure à l'année 1666. On trouvera la rédaction primitive [...] p. 235.

[ 175 ]

[ v ]

Sed hoc idem quoque consequemur opposito ad oculum minimo foramine, quia tunc velut uni tantum radiorum qui a singulis rei visae punctis innumeri alioqui ad pupillam feruntur, transitus datur. Ponantur enim radij ab extremis rei visae punctis profecti, ad oculi pupillam AB accidere tanquam ex punctis F, G, venientes. Et objiciatur ante oculum foramen in lamina exiguum C; nonnisi singulos veluti radios FC, GC admittens, qui occurrant oculi fundo in punctis H et I. Itaque hic pingentur puncta rei visae singula, unde manarunt radij FA, FC, FB; et GA, GC, GB. Et propter exclusos ceteros radios praeter FC, GC, distincta erit pictura eoque et visio.   Rursus ijsdem positis, sed ablatâ lamellâ perforatâ, sit hujus loco lens oculo proxima DE quae distinctam visionem efficiat. Dico eadem qua prius magnitudine eodemque positu spectatum iri visibile. Quia enim per mediam lentem DE, cujus crassitudo tanquam nulla censetur, radij FC, GC, rectis lineis penetrant {* ex propos. XXIII}, manifestum est eos eodem modo intra oculum ferri, atque ante per foramen C transeuntes, atque idcirco oculi fundo in ijsdem punctis H, I occursuros. Cum autem ob interpositam lentem DE distincta visio fieri ponatur, necesse est omnes radios ex G venientes ad unum punctum in fundo oculi convenire, atque ita quoque omnes ex F venientes. Igitur omnes a puncto G egressi convenient in I, et omnes ex F egressi convenient in H. atque idcirco pingentur necessario extrema illa rei visae puncta in H et I. eoque non alia apparebit ejus latitudo objectu lentis DE, ac foraminis minimi; nec non positus quoque idem; quae fuere demonstranda.   Itaque cum in sequentibus apparentem magnitudinem definiemus etiam ijs casibus quibus confusa visio contingit, intelligenda erit ea magnitudo quae cernitur correcta confusione, seu lente seu minimo foramine, ut jam diximus.*)   *)  [ Fin de la rédaction postérieure.] Propositio II   Oculo constituto inter lentem convexam et focum ejus, visibile quodvis per lentem spectatur situ recto, et auctum magnitudine; habetque magnitudo apparens ad veram, si visibile longinquum est, rationem eam quam distantia inter lentem et focum ad distantiam inter focum et oculum;

[ 177 ]

[ v ]

si vero propinquum, rationem compositam ex eadem quae dicta est, et ex ratione distantiae inter oculum et visibile, ad distantiam inter visibile et punctum correspondens [dirigens]; Si vero in foco lentis oculus statuatur, visibilia longinqua in infinitum augentur; propinqua vero secundum rationem quam habet distantia eorum ab oculo ad distantiam oculi a lente.   Esto lens convexa AB, cujus medium punctum seu umbilicus A. focus O. Oculus vero D, in axe lentis AO positus. Visibile vero linea NM, lenti parallela, cujusque medium E sit in eodem axe. Quantum enim linea haec vel ejus pars EN augebitur, trans lentem spectata, tantum quoque aliud quodvis visibile, eo loci positum, secundum diametrum augeri sciemus [necesse est]. Porro duabus DO, DA sit tertia proportionalis DP, eritque P punctum oculo D correspondens. Quia enim radij ex puncto D prodeuntes a lente AB ita inflectuntur ut pergant inde tanquam venientes ex P, per prop. [XX, Lib. I] vicissim quoque qui ad P tendentes incidunt in lentem AB concurrent ad punctum oculi D. Ducatur NP recta secans lentem in B, (secabit enim quia punctum N per eam conspici ponimus) et jungatur BD. Itaque per punctum lentis B cernetur punctum N, quum radius NB refringatur versus punctum oculi D, neque alius quisquam eorum qui ex N promanant. Punctum autem E per medium lentis A apparere manifestum est, quia cum in axe lentis situm sit radius ED irrefractus ad oculum pervenit.   Patet itaque primum, visibile NM conspici situ erecto, quum punctum B sit ad eandem partem axis EAO ac punctum N quod ibi refertur. Liquet etiam BA spatium esse quod in lente occupat imago lineae NE.   *)  [ Les mots entre [ ] sont donnés dans la rédaction postérieure.]

[ 179 ]

At vero ducta ND recta quae secet lente in C, apparet AC fore spatium quod occuparet idem visibile EN in superficie quae refractionis expers esset. Itaque ratio BA ad CA definit proportionem magnitudinis apparentis ad veram. atque apparet quidem BA ipsa CA majorem esse, cum BA ad NE sit ut PA ad PE; CA vero ad eandem NE sicut DA ad DE; ratio autem PA ad PE major quam DA ad DE, quia PA ad AE major quam DA ad AE; est enim PA major quam DA quia D cadit hic necessario inter A et P. Ergo jam et recto situ et auctum magnitudine visibile cerni per haec constat.   Nunc porro ostendendum, cum visibile NM longinquum est, habere BA ad CA rationem eam quam AO ad OD; cum vero propinquum, rationem compositam ex AO ad OD et ex DE ad EP. Prius autem ex posteriori sequitur ac proinde hoc primum demonstrabimus. Ratio BA ad CA componitur ex ratione BA ad NE et NE ad CA; quarum ratio BA ad NE est eadem quae PA ad PE: ratio vero NE ad CA eadem quae ED ad AD. Habet igitur BA ad CA rationem eandem compositae ex rationibus PA ad PE et ED ad AD, hoc est, rationem quam rectangulum PA, ED ad rectangulum PE, AD. Haec autem componitur ex ratione ED ad EP et PA ad AD sive AO ad OD, nam ex constructione cum sit PD ad DA ut AD ad DO, etiam componendo erit PA ad AD ut AO ad OD. Ergo ratio BA ad CA componitur ex ratione AO ad OD et ED ad EP.   Porro cum longinquum intelligitur visibile, ratio ED ad EP est ratio aequalitatis, quae proinde composita cum ratione AO ad OD, eam nec auget nec diminuit. Itaque tum ratio BA ad CA erit eadem quae AO ad OD. Atque haec quidem demonstranda erant oculo inter lentem focumque ejus constituto.   Ponatur autem nunc oculus in ipso foco O, et sit propinquum visibile NM. Ducatur NB parallela axi EA quae occurrat lenti in puncto B, et jungatur BO, itemque NO secans lentem in puncto C. Quia igitur radius NB parallelus est axi lentis AB, eum necesse est refringi versus focum O, ubi oculus ponitur. Quamobrem punctum N spectabitur per solum lentis punctum B. Sed punctum E medium NM spectatur, uti prius, in centro lentis A. Igitur erectum apparet visibile NM; et magnitudo apparens ad veram rursus eam rationem habet quam BA ad CA. Verum ut BA, hoc est, NE ad CA, ita EO ad AO; ergo auctum cernitur secundum rationem EO ad AO.   Quod si vero longinquum fuerit visibile, jam ratio EO ad AO erit tanquam infinitae inaequalitatis majoris, ac proinde infinita continget ampliatio.

[ 181 ]

Est autem animadversione dignum, hoc oculi positu, eadem semper magnitudine cerni visibile NM, quantumcunque a lente recesserit; semper enim punctum N in eodem puncto B percipietur. [ v ] Propositio III   Posito oculo in axe lentis convexae, sed ita ut ultra focum ab ea distet, visibile ad alteram partem lentis situm, sed citra punctum correspondens, erectum et majus spectatur. Ulterius vero quam punctum correspondens a lente remotum, videbitur inversum, et majus vel minus pro diversa ipsius atque oculi a lente distantia. Ratio autem magnitudinis apparentis ad veram se habebit eodem modo atque in Theoremate praecedenti.   Ponatur ut supra lens AB, et focus ejus O. Oculus autem in puncto axis D, distans a lente ultra focum. Et duabus DO, DA ponatur tertia proportionalis DP, secundum prop. [XX, Lib. I]. Erit igitur P punctum oculo correspondens, quum sicuti radij ex D procedentes diriguntur a lente versus punctum P, ita vicissim qui ex P veniunt dirigantur ad oculum D.   Sit jam visibile, ut antea, recta MN, quam mediam dividat axis lentis in E, sitque primo situm inter lentem AB punctumque correspondens P. et ducatur ex P per terminum N recta PNB lenti occurrens in B, et jungatur BD. Ducatur autem et recta ND secans lentem in puncto C. Manifestum itaque est per punctum lentis B appariturum visibilis terminum N, quod conspiceretur in C si radius ND sine refractione transmitteretur; punctum vero E utroque modo per A cerni necesse est, quia radius ex E ad D nullus pervenit praeter EA qui utramque lentis superficiem secat ad rectos angulos, ideoque irrefractus permeat.

[ 183 ]

Constat itaque hic visibile cerni situ erecto quum puncta N et B sint ad easdem partes axis PAD. Rursusque ratio apparentis magnitudinis ad veram erit ea, quae BA ad CA. Quare, cum BA sit major quam CA (nam BA major est quam NE, et NE major quam CA) auctum magnitudine conspicietur visibile NE.   Porro in casu altero sit visibile MN positum ultra punctum correspondens P, et eadem construantur quae prius. Igitur per punctum lentis B rursus aspicietur punctum N, et E per A. Sed si N fuerit reipsa superius puncto E, nunc cernetur inferius, quia ad contrarias partes axis EAD sita sunt puncta E [N] et B. Itaque inversum jam apparebit visibile MN. Ratio autem apparentis incrementi rursus ut in casu priore, erit ea quae BA ad CA; ideoque demonstrandum est rationem hanc, cum visibile propinquum est, componi ex rationibus AO ad OD et ED ad EP. Cum vero longinquum, quod tantum posteriore casu locum habet, eandem esse quae AO ad OD. Quae quidem demonstratio eadem est quae in Theoremate praecedenti. Itaque manifestum est posteriore casu majora cerni visibilia longinqua quando AO major fuerit quam OD, et minora cum minor, cumque aequalis, aequalia. Sed visibili propinquo, ut sciatur quando auctum vel diminutum spectari debeat, videndum utrum major ratio AO ad OD quam EP ad ED, an minor an aequalis. nam prout haec se habuerint, ratio quoque composita ex ratione AO ad OD et ED ad EP, hoc est, ratio BA ad CA erit majoris vel minoris inaequalitatis, vel denique aequalitas ipsa.   Manifestum autem utroque casu, quod quanto propius accedet visibile ad punctum correspondens, manente oculo et lente, tanto major erit ratio apparentis ad veram magnitudinem; crescente nimirum ratione DE ad EP, at ratione AO ad OD eadem manente; adeo ut positum in puncto ipso P, augeri debeat in infinitum.

[ 185 ]

[ v ]

Propositio IV   Posito oculo post lentem cavam, visibilia omnia erecta videntur et vero minora; habetque magnitudo apparens ad veram, si visibile fuerit longinquum, rationem eam quam distantia lentis a puncto dispergente [inter lentem et punctum dispergens] ad distantiam hujus ab oculo. Si vero propinquum, rationem compositam ex illa quae dicta est, et ex ratione distantiae inter oculum et visibile ad distantiam visibilis a puncto ... [directionis].   Esto lens cava AC, cujus axis AO; punctum dispergens O; oculus vero in axe positus sit D. Visibile vero ad alteram partem lentis MEN, ita situm uti in Theor. praecedenti. Et fiat duabus DO, DA tertia proportionalis DP, sumenda in partem eandem ac duae reliquae. Eritque P punctum quo tendentes radij flectuntur a lente AC versus oculum D, quoniam qui veniunt ab D in eandem lentem, ita flectuntur quasi procedant a puncto P {* Prop. I.XX}. Ducatur recta NP secans lentem in B, et jungatur BD; ac denique recta ND secet lentem in C. Percipietur ergo punctum N in puncto B, lineaque NE occupabit in lente intervallum BA, quae occuparet intervallum CA, si loco lentis esset superficies refractionis expers.   Ac primum quidem apparet erectum spectari debere visibile MN, cum punctum ejus N spectetur in lente AC ad eandem partem axis ubi revera situm est; quod quidem necessario fieri liquet eo quod punctum P ulterius quam A distet ab NE.   Quod autem magnitudine diminutum spectabitur sic constabit. Ratio EA ad AP major est quam EA ad AD. Unde et componendo, ratio EP ad PA major ratione ED ad DA. Sicut autem EP ad PA ita est NE ad BA. at sicut ED ad DA ita EN ad CA. Ergo major ratio NE ad BA quam NE ad CA; ideoque BA minor quam CA. Ratio autem apparentis ad veram magnitudinem est ea quae BA ad CA, itaque illam magnitudinem hac minorem esse constat.   Porro quod ratio BA ad CA, cum visibile longinquum est, eadem fiat, quae distantiae lentis a puncto dispersus ad distantiam hujus ab oculo, hoc est, quae AO ad OD; cum vero propinquum, eadem compositae ex jam dicta ratione et ex ratione DE ad EP: haec utraque ijsdem verbis demonstrantur ac in propositione [II].

[ 187 ]

[ v ]

Manifestum vero hinc est, manente oculo et lente cava, quo magis removebitur ab ea visibile, eo magis diminui rationem apparentis ad veram magnitudinem, quippe ratione DE ad EP magis ac magis accedente ad aequalitatem.   Manifestum quoque si oculus D sit lenti C proximus etiam punctum P proximum fieri, adeo ut aeque ratio AO ad OD, ac DE ad EP, tunc habendae sint pro ratione aequalitatis. Quamobrem nec longinqua nec propinqua tunc minora conspicientur quam lente remota. Propositio V   Datis duabus lentibus, et positione earum, tam inter se, quam inter oculum et visibile, invenire qua proportione illud augeant vel imminuant, et utrum situ erecto an everso referant.   Duarum lentium quatuor esse variationes seu differentias constat [sunt conjugationes], nam vel convexa est utraque, vel utraque cava; vel cava quae propior est oculo, altera convexa; vel contra. quarum secunda differentia minuendo visibile tantum idonea est: posterior et augere potest et minuere, sed nullo egregio effectu. Reliquae vero duae in augendis rerum speciebus, seu remotarum seu propinquarum, multo maximi sunt usus, ut pridem experientia cognitum est. Ratio autem omnium hic manifesta fiet. Nam quamvis positiones utiles tantum persequi propositum sit; tamen et reliquas quivis cum his comparare poterit, quia eodem modo in quavis differentia magnitudo apparens definitur.   Sint igitur primum propositae lentes duae, convexa A et concava B, ita ut haec oculo propior consistat. Sit autem oculus ad C, in communi duarum lentium axe constitutus; visibile vero DF sit linea recta eidem axi ad angulos rectos, ab eoque in E bifariam divisa. Et oporteat invenire rationem magnitudinis per utramque lentem conspectae ad eam quae sine lentibus perciperetur.

[ 189 ]

[ v ]

Quia autem datae sunt lentes, datur et convexae focus G, radiorum a parte visibilis advenientium, et concavae punctum dispersus H. Igitur primum inveniatur duabus CH, CB tertia proportionalis CK, versus H sumenda. Deinde duabus KG, KA tertia proportionalis KL, sumenda versus G, nisi contingat punctum K incidere in G, quo casu proportionalis KL omittenda. Dico jam rationem apparentis magnitudinis trans lentes ad eam quae nudo oculo spectaretur, habere rationem compositam ex rationibus HB ad HC, et AG ad GK, et EC ad EL, vel, in casu excepto, ubi deest EL, ex rationibus HB ad HC et EC ad AK.   Ducatur enim recta per L, D, secans lentem A in M, vel in casu quo deest L, agatur DM axi lentium parallela. Porro [Deinde] ducatur MK secans lentem B in N, et jungatur NC. Et tandem ex F ad oculum C protendatur recta FC, secans [eandem] lentem B in O. Quoniam igitur lentis convexae A focus est G, estque KG ad KA ut haec ad KL; sequitur radios qui a puncto K venientes occurrunt lenti A, ita flecti ut pertineant inde ad punctum L. Unde vicissim qui a puncto L exeunt vel ad ipsum feruntur, occurrentes lenti ab altera parte, concurrent ad punctum K. Rursus quia proportionales sunt CH, CB, CK, estque H punctum dispersus lentis B radiorum a parte A venientium; constat radios a C puncto venientes, flecti a lente B ut inde pertineant ad punctum K. Unde vicissim qui ab altera parte occurrunt lenti B tenduntque ad punctum K, ita inflectentur ut concurrant ad punctum C. Patet itaque radium DM, qui per punctum rei visibilis D ducitur ad lentem A, pertinetque ad punctum L, eum esse qui post refractionem in lente utraque primum in M, deinde in N, pervenit ad oculum C; a quo itaque cernetur punctum D in puncto N lentis B, occupabitque recta DE in lente B partem BN. recta autem EF ipsi ED aequalis, si nulla in lentibus refractione cerneretur, occuparet in eadem lente B partem OB, quoniam FOC recta est linea. Itaque ratio magnitudinis apparentis per lentes ad veram est ea quae rectae BN ad BO.

[ 191 ]

[ v ]

Ratio autem BN ad BO componitur ex rationibus BN ad AM et AM ad ED, et ED ad BO. quarum ratio prima BN ad AM est eadem quae BK ad AK. Secunda vero AM ad ED eadem quae AL ad EL; aut, in casu, quo DM est parallela EA, eadem cum ratione aequalitatis. Et denique tertia ratio ED [vel FE] ad BO, eadem quae EC ad BC. Igitur ratio BN ad BO componetur ex rationibus BK ad AK, et AL ad EL, (cujus loco in casu excepto est ratio aequalitatis) et ex ratione EC ad BC. Ratio autem composita ex ratione BK ad AK, et EC ad BC est eadem compositae ex BK ad BC et EC ad AK. Igitur ratio BN ad BO componetur ex rationibus BK ad BC et EC ad AK et AL ad EL; et in casu excepto ex duabus prioribus tantum, cum ratio aequalitatis rationes quibuscum composita est non augeat nec imminuat. Rursus vero ratio composita ex EC ad AK et AL ad EL eadem est compositae ex EC ad EL et AL ad AK. Igitur ratio BN ad BO composita erit ex rationibus BK ad BC et AL ad AK et EC ad EL. quia autem CH ad CB ut CB ad CK, erit quoque CH ad HB ut CB ad BK: et invertendo, ratio HB ad CH eadem quae BK ad BC. Item quia KG ad KA ut KA ad KL, erit et KG ad AG ut KA ad LA; et invertendo, ratio AG ad GK eadem quae AL ad AK. Itaque ratio BN ad BO, apparentis nempe magnitudinis ad veram, componetur ex rationibus HB ad HC et AG ad GK et EC ad EL; et in casu excepto ex rationibus HB ad HC et EC ad AK, quod erat demonstr.   Notandum vero, si lens cava B ita posita sit inter lentem A focumque ejus G, ut distantia BG sit aequalis BH quae est inter lentem B et punctum suum dispersus, quae positio ordinaria est telescopij hujusmodi, ut postea dicetur [qua nempe paralleli ad oculum feruntur radij a singulis rei visae punctis manantes], quod eadem tunc semper erit magnitudo apparens rei longinquae, quocunque loco oculus C post lentem B statuatur: ac ratio ejus ad veram magnitudinem ea quae AG ad GB [vel BH]. Cum enim ostensum sit rationem apparentis magnitudinis ad veram componi ex rationibus HB ad HC, et AG ad GK, et EC ad EL; cumque hic ratio EC ad EL sit aequalitatis, eo quod visibile longinquum ponatur; [eoque punctum E censeatur infinite remotum tam a C quam ab L, cujus hic definita est distantia], componetur ergo ratio apparentis magnitudinis ad veram ex rationibus HB ad HC et AG ad GK. Quia autem ut CH ad CB ita CB ad CK, Erit etiam ut CH ad CB ita HB ad BK, hoc est, ita GB ad BK, quia GB aequalis HB. Itaque et CH ad HB, ut BG ad GK, et convertendo, BH ad HC ut KG ad GB. Itaque [Proinde] ratio apparentis ad veram magnitudinem componitur ex rationibus AG ad GK et GK ad GB, hoc est, erit eadem ac ratio AG ad GB [vel BH].

[ 193 ]

[ v ]

Itaque in telescopio, quod convexo et cavo vitro instructum sit, erit magnitudo apparens [Constat igitur ... esse magnitudinem apparentem] rerum procul dissitarum ad eam quae nudo oculo percipitur, sicut distantia lentis convexae a foco suo, seu puncto concursus parallelorum a parte rei visae venientium, ad distantiam ejusdem foci a lente cava cui oculus admovetur; quod hucusque a nemine fuit demonstratum [sicut foci distantia lentis convexae ad distantiam puncti dispersus a lente cava. Quod etiam in sequentibus (>) ostendetur].   Porro ex sola inspectione schematum ad casus singulos, apparet utrum erectum cerni debeat visibile an eversum. Nempe omnibus casibus erectum appariturum praeterquam in illo casu ubi nimirum focus G lentis A cadit inter ipsam et punctum K, simulque visibile remotum est ultra punctum L [<]. hic enim punctum D spectatur per punctum N lentis B quod ad alteram partem axis EB situm est, ideoque visibile eversum spectari necesse est.

[ 195 ]

[ v ]

[ 197 ]

[ v ]

[ 199 ]

[ v ]

Propositio VI Theorema*)   Si per lentes quotlibet visibile conspiciatur, ijsque manentibus oculus et visibile vicissim loca permutent. Eâdem hoc quâ prius magnitudine apparebit, similique situ.   *)  Ce théorème fut mentionné pour la première fois dans une lettre à Kinner à Löwenthurn du 16 dec. 1653 [<].  [... Cf. Bull. Amer. Math. Soc., 28-4 (1922), p. 213.]

[ 201 ]

[ v ]

Primum esto lens unica A, posita inter oculum in D et visibile in E. dico si oculus transeat in E et visibile in D, lente A non mota, quod eadem sic magnitudine spectabitur, atque cum oculus erat in D et visibile in E.   Sit enim O focus lentis A seu punctum quo pertinent radij paralleli venientes a partibus E. Et duabus DO, DA sit tertia proportionalis DP sumpta versus O. Est igitur punctum P oculo in D conjugatum. Quapropter per propos. [II] aut [III] aut [IV], oculo in D constituto ratio magnitudinis apparentis ad veram visibilis in E erit ea quae componitur ex rationibus AO ad OD et DE ad EP. Per haec eadem, cum oculus ponetur in E et visibile in D, sumptâ Aω aequali AO, et duabus Eω, EA tertia proportionali Eπ, erit ratio magnitudinis apparentis ad veram visibilis in D, composita ex rationibus Aω ad ωE et ED ad Dπ.   Itaque cum utraque positione vera magnitudo sit prorsus eadem, oportet ostendere rationem magnitudinis apparentis ad veram utrobique eandem esse. Hoc est rationem compositam ex rationibus AO ad OD et DE ad EP, quae est ratio rectang.i AO, DE ad rectang.m OD, EP, esse eandem rationi compositae ex rationibus Aω ad ωE et ED ad Dπ, hoc est rationi rectang.i Aω, ED ad rectang. ωE, Dπ. Atqui priores termini rationum sunt aequales, hoc est, rectang. AO, DE aequale rectang. Aω, DE, quoniam AO aequalis Aω, ergo opus tantum est ostendere, quod rectang. OD, EP aequale rectang. ωE, Dπ. Quia ergo DO ad DA ut DA ad DP, erit et DO ad OA ut DA ad AP, et permutando OD ad DA ut OA sive ωA ad AP; quare et OD ad OA ut ωA ad ωP. Rursus cum sit Eω ad EA ut EA ad Eπ erit Eω ad ωA ut EA ad Aπ, et permutando Eω ad EA ut ωA sive OA ad Aπ, quare et Eω ad ωA, ut OA ad Oπ. Erat autem ut ωA ad ωP ita OD ad OA. Ergo ex aequali in perturbata proportione [Eucl. V.23] erit Eω ad ωP ut OD ad Oπ. ideoque et Eω ad EP ut OD ad Dπ. Quare rectang. Eω, Dπ aequale rectang.o EP, OD, quod erat ostendendum.

[ 203 ]

[ v ]

De situ vero, quod similis utrâque positione appareat, id quidem si lens cava sit manifestum est, quoniam omnia per hanc spectanti erecta apparent [<]. In convexa autem ostendetur in hoc modo.   Primum si oculus in D inter A et O situs fuerit, erectum conspicit visibile in E quaecunque fuerit AE distantia per prop. [II]. Et vicissim translato oculo in E, visibili in D, cadet punctum oculo conjugatum π*) ultra D quoniam in continua sunt proportione Eω, EA, Eπ ideoque πA major quam Aω sive AO. Ergo visibile in D ex E spectabitur erectum [<], sicut in E ex D.   Rursus posito oculo in D extra AO, cadet punctum conjugatum P ad alteram lentis partem. Et si quidem visibile in E inversum spectatur ex D, fit hoc quia E situm est ultra P [<]. Tunc vero quia puncto P conjugatum est D, (est enim conjugatio reciproca) et distat punctum E ulterius a lente quam P, cadet punctum ipsi E conjugatum quod est π, citra D. Ideoque ex E videbuntur quae in D sunt situ everso, sicut ex D quae in E. Quod si punctum ipsi D conjugatum ulterius a lente absit quam E, hoc est si visibile in E oculo in D spectatum fuerit erectum, cadet simili ratione punctum π ipsi E conjugatum ultra D, atque idcirco erectum tunc conspicietur visibile in D ex E, sicut et in E positum spectabatur ex D. Quae quidem erant ostendenda.   *)  Ce point manque dans la figure.

[ 205 ]

[ v ]

Propo­nantur nunc lentes duae A et B*), sitque visibile in E specta­tum oculo in C. Dico eâdem magni­tudine specta­tum iri si oculus in E ponatur et visibile in C. Sit enim lentis A focus G et H lentis B et oculo in C conjugatum punctum K, pertinens ad lentem B, ut sint videlicet in continua proportione CH, CB, CK. Item puncto K conjugatum punctum sit L pertinens ad lentem A, ut sint in continua proportione KG, KA, KL. Itaque cum ex C conspicitur visibile in E positum, ratio apparentis ad veram magnitudinem est ea quae componitur ex rationibus HB ad HC, AG ad GK et EC ad EL ut ostensum fuit propos. [V]. Similiter posito oculo in E et visibili in C, et notato γ in foco lentis A, et θ in foco lentis B: et puncto κ ipsi E conjugato ad lentem A ut sint in contin. prop. E γ, EA, Eκ. Et puncto λ conjugato ipsi κ ad lentem B ut sint in contin. prop. κθ, κB, κλ. componetur magnitudinis apparentis ad veram ratio, ex rationibus Aγ ad γE, Bθ ad θκ et CE ad Cλ. Est autem vera magnitudo utraque positione eadem. Igitur ostendendum quod composita ex tribus hisce rationibus eadem est compositae ex tribus illis. Est autem ratio ex prioribus tribus composita quae solidi ex HB, AG, EC ad solidum ex HC, GK, EL. At ratio ex tribus posterioribus, ea quae solidi ex Aγ, Bθ, CE ad solidum ex γE, θκ, Cλ. Estque solidum ex HB, AG, EC aequale solido ex Aγ, Bθ, CE, quum lineae singulae singulis sint aequales, nempe HB ipsi Bθ, et AG ipsi Aγ et CE utrimque eadem. Igitur opus tantum erit ostendere quod solidum ex HC, GK, EL aequale solido ex γE, θκ, Cλ. Id vero sic ostendemus. Quoniam est CH ad CB ut CB ad CK, erit et CH ad CB ut HB sive Bθ ad BK. ideoque ut CH ad HB ita quoque Bθ ad θK. Similiter cum sit κθ ad κB ut κB ad κλ, erit et κθ ad κB ut θB sive BH ad Bλ, ideoque κθ ad Bθ ut BH ad Hλ. Erat autem Bθ ad θK ut CH ad BH. Igitur ex aequo in prop.e perturbata, erit κθ ad θK ut CH ad Hλ. Quare et θκ ad κK ut CH ad Cλ et permutando θκ ad CH ut κK ad Cλ. Rursus quoniam Eγ ad EA ut EA ad Eκ, erit Eγ ad EA ut γA sive AG ad Aκ, ideoque ut Eγ ad γA ita AG ad Gκ. Similiter quia KG ad KA ut KA ad KL, erit KG ad KA ut GA sive γA ad AL, ideoque ut KG ad AG ita γA ad γL: et erat AG ad Gκ ut Eγ ad γA: Ergo ex aequo in perturb. prop. erit KG ad Gκ ut Eγ ad γL. Quare et KG ad Kκ ut Eγ ad EL, et permutando et invertendo Eγ ad KG ut EL ad Kκ. Ratio autem EL ad Cλ componitur ex rationibus EL ad Kκ, et Kκ ad Cλ, quarum EL ad Kκ eadem est quae Eγ ad KG; altera vero Kκ ad Cλ eadem quoque ostensa fuit quae θκ ad CH. Ergo ratio EL ad Cλ componetur ex rationibus Eγ ad KG et θκ ad CH, ac proinde eadem erit quae rectang.i sub Eγ, θκ ad rectang.m sub KG, CH. Ideoque solidum sub EL, KG, CH aequale erit ei quod sub Cλ, Eγ, θκ. quod erat ostendendum.   *)  De ces deux figures la première représente le cas de deux lentilles convexes, la seconde celui où l'une des lentilles est convexe et l'autre concave. Quant à l'annotation sit potius E ultra γ qu'on lit sur la seconde figure, il est à remarquer qu'une troisième figure fut dessinée où la condition indiquée est remplie; mais elle fut biffée depuis.

[ 207 ]

[ v ]

Propositis vero tribus pluribusve lentibus demonstratio ad praecedentium similitudinem conscribi poterit.   Per haec igitur quando de apparente visibilium magnitudine et situ, inquirere volemus, itemque an distincta futura sit visio, haec tria simul cognoscere poterimus, si eodem modo rationem ineamus ac si visibile in oculi loco fuerit constitutum et hic vicissim in illius locum successerit. Omnia enim ex progressu flexuque radiorum facile apparent. Ut ex. gr. in fig. proposit. quum radij ex singulis punctis E visibilis promanantes post refractionem in lente A pertineant ad punctum κ; deinde vero postquam lentem B transierint, ad punctum λ, facile hinc colligetur utrum oculo in C distincta sit futura visio an secus. Propositio VII   Manente oculo et visibili quocunque loco inter utrumque lens convexa statuatur cujus foci distantia major sit quarta parte intervalli quod inter oculum et visibile, erectum hoc conspicietur; et maximum tunc apparebit, cum medio loco inter visibile et oculum lens statuetur. Si vero foci a lente distantia dicti intervalli quarta parte minor fuerit, etiam inversum quandoque visibile conspicietur; eritque inversarum specierum minima, cum lens medium intervalli locum tenebit.   Positus esto oculus in D, visibile in E, et lens convexa quovis loco inter utrumque ut in A, focus autem lentis sit O, et distantia AO primum major quarta parte intervalli DE. Ostendendum est imprimis quod visibile in E erectum conspicietur.

[ 209 ]

[ v ]

Hoc autem uno casu mani­festum est, scilicet si tam propinqua oculo lens collocetur, ut is inter ipsam et focum consistat. per Theorem. [Prop. II]. At cum ulterius ab oculo distabit sic demonstra­bitur. Sit oculo in D punctum conju­gatum P, faciendo nimirum ut duabus DO, DA sit tertia proportio­nalis DP. et sumatur ipsi AO aequalis Aσ. Ergo quoniam DO ad DA ut DA ad DP erit et DO ad DA ut OA sive Aσ ad AP, quare et DO ad OA ut Aσ ad σP; itaque DO et σP simul sunt non minores duabus simul OA, Aσ. Sed hae simul duae majores sunt dimidia DE, cum sint singulae quarta parte majores, ergo additis OD et σP, erit tota DP major quam DE. Ergo punctum oculo conjugatum P cadit ultra visibile in E, ideoque erectum hoc spectari necesse est per theor. [Prop. III].   Porro demonstrandum quod cum locus lentis intervallum DE bifariam dividit maximum apparebit visibile in E. Sit igitur A medium inter D et E, ubi primo lens constituta sit, deinde et alius intelligatur situs ejus in α [alio quovis loco in α posita intelligatur] oculo D propinquior; atque tum focus sit ω punctum. Dico visibile in E majus conspici per lentem in A constitutam quam in α. Sumatur enim αλ aequalis αω*). Et sit oculo in D conjugatum punctum π ad lentem in α pertinens, posita nimirum duabus Dω, Dα tertia proportionalis Dπ. Itaque spectando visibile per lentem in A, ratio apparentis ad veram magnitudinem erit ea quae componitur ex rationibus AO ad OD et DE ad EP, per prop. [II et III] et inspiciendo per lentem in α ratio magnitudinis apparentis ad veram componetur ex rationibus αω ad ωD et DE ad Eπ.   *)  [... propinquior; vel in β tantundem ab oculo remotior. Quod si igitur posita lente in α ostendatur minus apparere visibile quam eadem posita in A; etiam posita in β, minus apparebit ex prop. praec. quia nempe transponenda lente ex α in β idem fit ac si ipsa manente in α, oculus et visibile invicem loca D et E permutent. Horum vero prius istud sic ostendemus. Sit ω punctum focus lentis in α positae, et sumatur αλ aequalis αω, sitque, oculo in D conjugatum ...]

[ 211 ]

[ v ]

Est autem apparens [vera] magnitudo positione utrâque eadem, quoniam oculus et visibile manere dicuntur; Itaque ostendere oportet majorem esse rationem compositam ex rationibus AO ad OD et DE ad EP quae est rectang.i AO, DE ad rectang. OD, EP, quam compositam ex rationibus αω ad ωD et DE ad Eπ, hoc est, quam rationem rectang.i αω, DE ad rectang. ωD, Eπ. Priores autem rationum termini aequales sunt, rectang. scilicet AO, DE, rectang.o αω, DE, quoniam Aω [αω] aequalis AO. Ergo ostendendum quod rectang. OD, EP minus est rectang.o ωD, Eπ. Quoniam igitur AD aequalis AE et AO aequalis Aσ, erit et OD aequalis σE. Item quia AO aequalis αω demtâ vel additâ communi αO erit αA aequalis Oω. Eadem ratione erit λσ ipsi Aα aequalis ac proinde quoque ipsi Oω. Quoniam ergo paulo ante ostensum fuit quod DO ad OA ut Aσ ad σP erit rectang. DO, σP aequale rectang.o OA, Aσ hoc est quadr.o OA. Et est rectang. DO, σE aequale quadr.o OD, quia σE aequalis ostensa est ipsi DO. Itaque excessus rectang.i DO, σP supra rectang. DO, σE hoc est rectang. DO, EP aequale excessui quadr.i AO supra qu.d OD. Etenim manifestum est quod AO excedit OD, quoniam AO major est quarta parte totius ED, ideoque major dimidiâ AD. et manifestum quoque quod rectang. DO, σP excedit rectang. DO, σE, nam si O cadit inter A, D, cadet σ inter AE; et P ante lentem ultraque visibile in E, quoniam erectum conspici ostensum fuit. Rursus cum D inter A, O, etiam E inter Aσ, et P cadit post lentem. Semper ergo his casibus E inter σ et P situm est, unde major σP quam σE, et proinde rectang. OD, σP excedit rectang. OD, σE. Porro quoniam Dω ad Dα ut Dα ad Dπ, etiam Dω ad Dα ut ωα sive αλ ad απ, unde et Dω ad ωα ut ωα ad λπ, Ergo rectang. Dω, λπ aequale qu. ωα. Est autem in primo et secundo casu rectang. ωD, Eπ aequale excessui rectang.li ωD, λπ supra rectang. ωD, λE. Ergo idem rectang. ωD, Eπ aequale excessui quadrati ωα, hoc est qu.i OA supra rectang. ωD, λE.

[ 213 ]

[ v ]

In tertio autem et quarto casu rectang. ωD, Eπ aequale duobus simul rectang.o ωD, λπ et rectang. ωD, λE; Ergo hic idem rectang. ωD, Eπ aequale est rectang. ωD, λE cum qu. ωα hoc est cum qu. OA. Ostensum autem quod rectang. DO, EP aequale excessui quadr.i OA supra qu. OD. Apparet itaque in tertio et quarto casu quod rectangulo ωD, Eπ minus est rectangulum DO, EP, quod erat demonstr. In primo autem et secundo casu separatim idem ostendetur hoc modo. Quoniam in primo est Dω minor quam DO, erit major ratio ωO ad Dω quam ωO ad DO, hoc est quam σλ ad σE. ostensum enim quod DO Eσ. quodque Oω σλ. Itaque componendo major ratio OD ad Dω quam λE ad Eσ. Quare majus erit rectang. OD, Eσ hoc est qu. OD quam rectang. Dω, λE. Unde minor est excessus quad.i AO supra quad. OD, quam ejusdem qu.i AO supra rectang. Dω, λE. Erat autem priori horum excessuum aequale rectang. OD, EP, alteri vero aequale rectang. ωD, Eπ. Ergo illud quam hoc minus est. In secundo autem casu quoniam Dω major est quam DO, erit major ratio Dω ad Oω quam DO ad Oω. hoc est quam σE ad σλ. Proinde per conversionem rationis erit minor ratio ωD ad DO quam σE ad Eλ, ideoque rectang. DO, Eσ hoc est qu. DO majus rectang.o ωD, Eλ: unde reliqua similiter concludemus ut in casu praecedente. nempe quod rectang. OD, EP minus est rectangulo ωD, Eπ. Quod demonstrare oportebat.

[ 215 ]

[ v ]

Quinto autem casu cum O incidit in D, etiam σ cadit in E. Et tum quidem per lentem in A positam inspiciendo apparentis magnit.is ad veram ratio est ea quae ED ad DA per prop. [II] hoc est, dupla. At inspiciendo per eandem transpositam in α, dicta ratio ut ante est ea quae rectang. αω, DE ad rectang. ωD, Eπ. Est autem hic rectang. αω, DE aequale duplo qu. αω, quia DE dupla AO, vel αω. Et est rectang. ωD, Eπ aequale rectang. ωD, λπ una cum rectang. ωD, λE quorum solum rectang. ωD, λπ ostensum fuit aequale qu. αω. Itaque rectangulum αω, DE, minus est quam duplum rectang. ωD, Eπ. Et minor proinde jam ratio apparentis ad veram magnitudinem quam dupla, qualis erat positâ lente in A.   Denique si ω incidat in D, erit ratio augmenti positâ lente in A, ut in praecedentibus ea quae componitur ex rationibus AO ad OD et DE sive ωE ad EP. at lente positâ in α ratio augmenti erit ea, quae Eω ad ωα per prop. [II]. Componitur autem ratio Eω ad ωα ex rationibus Eω ad EP et EP ad ωα, quarum EP ad ωα minor est quam AO ad OD. Nam ostensum fuit in praecedentibus quod Pσ ad σA seu ωα sicut AO ad OD [<]; et est PE minor quam Pσ quia E cadit inter P et σ, ut ostensum itidem est superius [<]. Itaque composita ex rationibus Eω ad EP et EP ad ωα minor est compositâ ex rationibus ωE ad EP et AO ad OD. Hoc est ratio augmenti posita lente in α minor quam cum eadem ponitur in A.   Esto nunc distantia AO quae est inter lentem et focum, minor quarta parte intervalli DE quod inter visibile et oculum. Itaque primum ostendere oportet quod lens eo loco poni potest ut inversum conspiciatur visibile.

[ 217 ]

[ v ]

Quoniam ergo AO minor est quarta parte DE, superabitur rectang. sub AO, DE a 1/4 quadrati DE hoc est a rectang.o DAE certo excessu. Ponatur autem Aα cujus quadr. isto excessu minus sit, et constituatur lens in α. dico inversam exhibitum iri visibilis in E speciem. Sint enim reliqua constructa ut in casibus prioribus. Quia igitur DE bifariam aequaliter secta est in A et inaequaliter in α, erit quadr. Aα aequale excessui rectang.i DAE supra rectang. DαE. Idem vero quadratum Aα minus est excessu rectang.i DAE supra rectang. sub DE, AO ex constr. Itaque hic excessus quam ille major est, ideoque rectang. sub DE, AO minus erit rectang.o DαE. Quare minor ratio DE ad Eα quam αD ad AO seu αω. Et per conversionem rationis major ratio ED ad Dα quam αD ad Dω. Sed est πD ad Dα ut αD ad Dω. Ergo πD minor est quam ED. Est autem π punctum oculo in D conjugatum ad lentem in α. Itaque per prop. [III] inversum apparere necesse est visibile. quod erat ostendendum. Poterit ergo et ultra medium A lens constitui ut inversam speciem exhibeat, tanto quidem intervallo, quanto citerior esse potest; idque constat per [Theor...]*).   At in ipso A medio constitutam inversa quoque visui offerre sic fiet manifestum. Quoniam scilicet in continua sunt proport.e DO, DA, DP, estque DO major dimidiâ DA, quia AO est minor dimidia DA, erit et DA major dimidia DP, ideoque DP minor quam DE. Est autem P punctum oculo conjugatum ad lentem in A. Ergo et hic inversum exhibet visibile in E positum.   Superest ut ostendatur minus spectari visibile per lentem in A medio positam, quam per eandem in α. De quo constabit si contra quam in praecedentibus ostensum fuerit quod rectang. OD, EP majus est rectang. ωD, Eπ. Quum igitur hic cadat P inter σ et E, erit rectang. OD, EP aequale excessui rectang. OD, σE supra rectang. OD, σP, hoc est excessui qu.i OD supra qu. OA; nam rectang. OD, σE superius [<] aequale ostensum fuit qu. OD, et rectang. OD, σP aequale qu. AO. Rectang. vero ωD, Eπ, aequale erit excessui rectang. ωD, λE supra rectang. ωD, λπ; hoc est, excessui rectang. ωD, λE supra qu. AO, nam ostensum quoque fuit, quod rectang. ωD, λπ aequale qu. αω sive AO.   *)  [... App. II]. Ce théorème fait suite dans la leçon primitive à la Prop. VI; mais il fut biffé [...] "Manente oculo et visibili, per lentem quamlibet interpositam spectato, si transferatur lens, ut quantum prius ab oculo remota fuit tantum postea distet a visibili. Eâdem hoc quam prius magnitudine spectatum iri, similique situ."

[ 219 ]

[ v ]

Est autem qu. OD majus rectang.o ωD, λE, nam hoc eodem modo ostenditur quo in casuum praecedentium primo [<]; Ergo excessus qu. OD supra qu. OA, hoc est rectang. OD, EP majus est excessu rectang. ωD, λE supra quadr. OA, hoc est rectangulo ωD, Eπ. quod erat ostendendum. Propositio VIII   Manente oculo et visibili, si lens cava inter utrumque constituatur, quo propinquior erit loco inter oculum et visibile medio, eo minorem hujus speciem efficiet, et minimam omnium cum medium tenebit ipsum.   Esto visibile in E positum, oculus in D, sitque punctum M intervalli DE medium; Et primum lens cava constituatur in A inter M et D, deinde autem in α, inter A, D, ita ut distantia αM major sit quam AM. Oportet ostendere quod minor erit species visibilis in E per lentem in A spectati quam per eandem in α. Sit O punctum dispersus lentis in A. Sed ω cum est in α. Et omnia similiter construantur ac in theorem. praecedenti. Itaque eâdem argumentandi ratione devenietur eo, ut ostendere oporteat rectang. OD, EP majus esse rectang.o ωD, Eπ, cum illic ostensum fuerit minus [<]. Quia ergo DA minor est quam AE, et AO aequalis Aσ; Erit utraque simul DA, AO hoc est DO minor utrâque AE, Aσ, hoc est Eσ. Tres autem hae Aα, Oω, σλ manifesto inter se sunt aequales, sicut et in praecedentibus. Itemque rectang.m DO, σP et rectang. ωD, λπ ut illic singula aequalia qu.o AO. Est autem hic excessus rectang.i OD, σE supra rectang. OD, σP aequalis rectang. OD, EP: et excessus rectang.i ωD, λE supra rectang. ωD, λπ aequalis rectang. ωD, Eπ. Ergo ostendendum est quod excessus ille quam hic major est; quod erit manifestum si ostendatur rectang. OD, σE majus rectang.o ωD, λE. cum rectang.a OD, σP et ωD, λπ inter se aequalia dicta sint. Quia ergo Dω minor est quam DO erit major ratio Oω ad ωD quam Oω ad OD. Sed haec etiam major est quam σλ ad σE; nam dictum est quod σλ aequalis Oω: quodque σE major quam DO. Ergo major ratio Oω ad ωD quam σλ ad σE. Et componendo, major OD ad Dω quam λE ad Eσ. Quamobrem majus quoque rectang. OD, Eσ rectangulo Dω, λE, quod reliquum erat ostendere.

[ 221 ]

[ v ]

Quod si vero ipsi MA intervallo ad alteram partem puncti medij M aequale sumatur, ac in eo lens constituatur. Eâdem magnitudine cernetur visibile atque per lentem in A, ut ostensum est propos... [<]. Proinde constat tanto exilius conspici quanto propior erit lens puncto medio M. Ex quo denique manifestum est, minimum conspici visibile cum in ipso M puncto lens constituitur. Quae fuere demonstranda. Propositio IX Theorema   Manente distantia oculi a lente convexa, si inter lentem et focum oculus situs sit, quo magis visibile removebitur eo minori conspicietur magnitudine. Si vero ultra focum oculus a lente distet, abscedens visibile augebitur, quamdiu erectum apparet; inde vero si porro removeatur decrescet inversa imago. Quod si in foco lentis constitutus fuerit oculus, quacunque visibilis a lente distantia, eadem semper magnitudine cernetur.   Ponantur quae in praecedenti; nempe in quo de augmento unius lentis convexae [<]. Primum itaque quoniam oculo citra focum a lente distante, punctum conjugatum P cadit post lentem et oculum, manifestum est quo magis visibile NN removebitur, eo minorem fore AB; recta enim ducta est NBP, verum DA distantia oculi a lente eadem manere ponitur; ergo minuitur angulus ADB recedente visibili, quapropter minui speciem ejus necese est.

[ 223 ]

[ v ]

Oculo autem ultra focum remoto [<], quoniam punctum P cadit ante lentem, apparet quamdiu visibile NN erectum spectatur, hoc est, quamdiu non ultra P distat; tanto majorem fore AB quanto propius ad P visibile accesserit. Ergo tanto major quoque fiet angulus ADB, quia distantia AD non mutatur. Sed postquam everso situ spectari ceperit, remotum videlicet ultra punctum P, quanto ulterius ibit tanto minor fiet AB, ideoque et angulus ADB.   Posito autem oculo in foco lentis ipso, nullum inveniri punctum conjugatum diximus, sed rectam duci NB axi EA parallelam, igitur quacunque visibilis distantia aeque magna est AB ideoque et angulus ADB. Quare ejusdem ubique magnitudinis visibile conspicietur. Quae fuerant demonstranda. Propositio X Theorema   Manente distantia lentis [convexae] ab aspectabili, si fuerit hoc lenti propius quam focus suus; quo magis oculus a lente distabit, eo minori magnitudine conspicietur. Si vero ultra focum a lente dissitum fuerit aspectabile removendo oculum a lente, augebitur quandiu erectum apparebit. Inde vero si porro recesserit oculus, eversa species diminuetur. Quod si ad focum lentis situm sit, quacunque oculi a lente distantia aequali magnitudine conspicietur.   Cujus demonstratio evidens est, si id quod modo de permutatione loci mutua inter oculum et rem visam dictum fuit [<], applicetur Theoremati.

[ 225 ]

[ v ]

Propositio XI Theorema*)   Si loco conspicilli duarum lentium ejusmodi adaptetur ex solido materiae diaphanae frusto, cujus altera superficies convexa sit altera cava, eâdem proportione visibilia augebit longinqua, atque conspicillum duarum lentium. Scilicit augmenti ratio ea erit, quae distantiae superficiei convexae a foco suo ad distantiam foci a cava, cui oculus admotus est.   Esto talis specilli continui superficies convexa AM, ex sphaera cujus N centrum. Superficies vero BQ cava centro P. Et focus superficiei AM seu concursus parallelorum sit G punctum. at R punctum dispersus superficiei BQ [radiorum parallelorum qui intra solidum feruntur]. Porro visibile longinquum sit DED. Itaque ostendendum cum oculus superficiei B applicabitur ea proportione visibile DED augeri, quam habet AG ad GB.   Ponatur prius oculus in C non adhuc superficiei BQ prope admotus, et tribus hisce CR, CP, CB, ponatur quarta proportionalis CK, secundum prop. [I.XII]. Ergo quoniam radij ex C puncto si egrederentur, refracti in superf. BQ pertinerent ad punctum K, ideo vicissim qui intra diaphani soliditatem ita feruntur ut tendant ad K, pertinebunt post refractionem in superf. B ad punctum C.   *)  Huygens annota plus tard en marge: Omittatur haec vel paucioribus demonstretur. debebat dici BG esse distantiam puncti dispersus parallelorum a parte G venientium ad cavum BQ. estque BG 3/2 BR.

[ 227 ]

eâdem ratione si tribus hisce KG, KN, KA collocetur quarta proportionalis KS, fiet ut radij ad punctum S tendentes refractique in superficie AM tendant ad punctum K. Jungatur DS secans superf. AM in M. deinde MK secans superficiem BQ in Q, et connectatur QC. [Recta vero DC secet superficiem BQ in O.] Itaque radiorum ex puncto visibilis D is qui fertur secundum rectam DM, flectetur ab M versus K, sed iterum refractus in Q perveniet ad oculum in C. Quare constat in puncto Q superficiei BQ spectari punctum D: quod spectaretur in O si loco specilli, una tantum superficies B poneretur refractionis expers. Est igitur ratio magnitudinis apparentis ad veram oculo in C constituto, ea quae QB ad OB. Ratio autem QB ad OB composita est ex rationibus QB ad MA; et MA ad ED; et ED ad OB. quae sunt eaedem rationibus KB ad KA; SA ad SE; et EC ad BC. Et est ratio composita ex rationibus SA ad SE, et EC ad BC, eadem compositae ex rationibus SA ad BC et EC ad SE. Itaque ratio QB ad OB componetur ex rationibus KB ad KA, SA ad BC, et EC ad ES; ratio autem composita ex rat.s KB ad KA et SA ad BC est eadem compositae ex rat. KB ad BC et SA ad KA, reliqua vero EC ad ES est ratio aequalitatis, quoniam visibile DED longinquum ponitur. Ergo ratio QB ad OB composita ex ratione KB ad BC et SA ad KA. Quia vero ex constr. est CR ad CP ut CB ad CK, erit PR ad RC ut KB ad BC. Item quia KG ad KN ut KA ad KS erit NG ad GK ut SA ad AK. Igitur ratio QB ad OB componetur ex rat.s PR ad RC et NG ad GK, oculo adhuc in C constituto. Cum vero superficiei BQ oculus contiguus ponetur cadet C in B, item K in B, [quare tunc] erit ratio PR ad RC seu RB eadem quae est refractionis [I.XI], ac proinde eadem rationi AG ad NG [I.VIII]. Ratio vero NG ad GK erit NG ad GB. Ergo tunc ratio QB ad OB, quae est ratio magnitudinis apparentis ad veram erit composita ex rat.s AG ad NG et NG ad GB hoc est, erit ea quae AG ad GB; quod erat demonstr.   Oportet autem superficiem BQ certa ratione cavam esse si distincta visio requiritur*). Nam alioqui etsi magis minusve cava esset, aut plana aut convexa quoque, idem prorsus contingeret augmentum, si modo oculus prope admotus ponatur. Nam semper eadem demonstratione ostendetur magnitudinis apparentis ad veram, esse rationem eandem, quae AG ad GB.   *)  [...]   BG = 3/2 BR ou, plus généralement, BG = n. BR.

[ 229 ]

[ v ]

Hisce vero nequaquam consentiunt ea quibus Cartesius Telescopij inventum explicare contendit, similem huic tubum proponens solidum. Vult enim cavam superficiem ejusmodi esse ut radios a singulis visibilium punctis procedentes et per superficiem tubi exteriorem transmissos, ita inflectat [ac ad oculum mittat] tanquam si a propioribus punctis advenirent. Et quam rationem habuerit distantia horum punctorum propinquiorum ad distantiam ipsius visibilis, eandem magnitudinis apparentis ad eam quae solis oculis perciperetur definit*). Hoc autem quomodo verum sit, quum senum oculis ea conveniat telescopij constitutio, ut radij convergentes aut certe paralleli ad oculum deferantur, non autem quasi ex puncto aliquo propiori manantes. Et notum est tamen non minus senibus quam qui visu pollent specierum magnitudines multiplicari.   Porro illud quoque in eâdem Cartesij explicatione absurdum, quod eam ob causam majora omnia videri ait, quoniam ex diversis rei visae punctis venientes radij decussentur in exteriori convexa tubi superficie, qui tubo non adhibito ad pupillam oculi decussarentur°); quoniam enim si plana aut concava esset loco convexae superficiei nihilominus decussatio similis ibi contingeret. efficietur aeque etiam inverso tubo majora omnia conspici debere. Quod ijs quae superius demonstrata fuere atque ipsi adeo experientiae adversatur.   *)  Voir le passage, d'ailleurs difficile à comprendre [... Dioptrique, 81] et qui débute comme il suit: Puis de rechef, que ces mesmes rayons [venant d'un même point de l'objectif] en sortant de ce tuyau se plient & se redressent en telle sorte qu'ils puissent entrer dans l'oeil tout de mesme que s'ils n'auoient point du tout esté pliés, mais seulement qu'ils vinssent de quelque lieu qui fust plus proche. Et ensuite, que ceux qui viendront de diuers points, s'estants croisés dés l'entrée de ce tuyau, ne se decroysent point à la sortie, mais qu'ils aillent vers l'oeil en mesme façon que s'ils venaient d'un obiet qui fust plus grand, ou plus proche.   °)  Allusion au passage suivant [... Dioptrique, 79]: Il ne reste plus qu'vn autre moyen pour augmenter la grandeur des images, qui est de faire que les rayons qui viennent de diuers points de l'obiet, se croisent plus loin qu'il se pourra du fonds de l'oeil; mais il est bien, sans comparaison, le plus important & le plus considerable de tous. Car c'est l'vnique qui puisse seruir pour les obiets inaccessibles, aussy bien que pour les accessibles, & dont l'effet n'a pas de bornes: en sorte qu'on peut, en s'en seruant, augmenter les images de plus en plus jusques a vne grandeur indefinie. Comme, par exemple, d'autant que la premiere des trois liqueurs dont l'oeil est rempli, cause a peu près mesme refraction que l'eau commune, si on applique tout contre vn tuyau plein d'eau, comme EF, au bout duquel il y ait vn verre GHI, dont la figure soit toute semblable a celle de la peau BCD qui couure cete liqueur, & ait meme rapport a la distance du fonds de l'oeil, il ne se fera plus aucune refraction a l'entrée de cet oeil; mais celle qui s'y faisoit auparauant, (& qui estoit cause que tous les rayons qui venoient d'vn mesme point de l'obiet commençoient a se courber dés cet endroit là, pour s'aller assembler en vn mesme point sur les extremités du nerf optique, & qu'ensuite tous ceux qui venoyent de diuers points s'y croisoient, pour s'aller rendre sur diuers points de ce nerf), se fera dés l'entrée du tuyau GI: si bien que ces rayons, se croisans dés là, formeront l'image RST beaucoup plus grande que s'ils ne se croisoient que sur la superficie BCD; & ils la formeront de plus en plus grande selon que ce tuyau sera plus long. Et ainsi l'eau EF faisant l'office de l'humeur K; le verre GHI, celuy de la peau BCD; & l'entrée du tuyau GI, celuy de la prunelle; la vision se fera en mesme façon que si la Nature auoit fait l'oeil plus long qu'il n'est de toute la longueur de ce tuyau.

[ 231 ]

[ v ]

Propositio XII   Dispositis*) in linea recta, oculum et visibile jungente lentibus aut superficiebus quotvis et quibuslibet, communem axem habentibus eandem lineam rectam, Percipiet oculus post omnium refractiones aliquam visibilis partem etiamsi veluti ad punctum reductus fuerit dummodo hoc punctum non sit quo post refractionem concurrunt radij a puncto visibilis quod in axe est egressi.   Sit recta FE axis communis in quo oculus ad A punctum, lentes ad B et C. Inveniatur porro ex Theor.... [I.XX] punctum F ad quod pertinentes radij ut GF flectantur refractione lentis B per HA ad punctum oculi A. Itemque inveniatur punctum D, ad quod pertinentes radij ut DG flectantur refractione lentis C in GF; ut pertineant ad punctum F atque ita porro si plures fuerint lentes superficiesve. Potest autem infinite distare puncta F vel D. quibus casibus axi paralleli fiunt radij GF vel DG. Quod si jam visibile ad punctum D positum esset, apparet oculum fore in puncto concursus radiorum e puncto D venientium, eoque unum hoc visibilis punctum tantummodo infinite tunc expansum cerni. Ponimus autem hic oculum esse extra hoc concursus punctum. Ergo punctum D cadit vel ultra vel citra locum rei visibilis, quae nempe sit in E vel K.   Quoniam igitur ita duci potest FHG ut quamlibet exigui fiant anguli singuli GFC, GDC, seu EDN, apparet effici posse ut rectae FHG, GDN non extra lentes B, C aberrent. Harum vero postrema GDN, necessario partem aliquam rectarum EM vel KL axi perpendicularium intercipiet, velut NE vel KO, quas oculus comprehendet angulo BAH. Itaque aliquam visibilis partem cernet, quod erat dem.   Quod si infinite distet punctum D, tunc DG axi parallela intercipiet rursus partem rectarum EM vel KL. Si vero F infinite distat fit FH axi parallela, nec is quicquam in demonstratione mutat.   *)  Cette proposition et la suivante manquent dans la copie de Niquet. Elles doivent donc dater en tout cas d'après 1666, et probablement de beaucoup plus tard.

[ 233 ]

[ v ]

Propositio XIII   Si inter oculum et rem visam quotlibet lentes aut superficies diaphani interjaceant et a puncto rei visae quod sit in omnium axe communi manantes radij, trajectis ijsdem lentibus aut superficiebus paralleli exeant; quocunque intervallo post ipsas oculus statuatur, eadem apparebit rei visae magnitudo; idemque positus.   Sit axis communis quotlibet lentium vel superficierum sphaericarum ABC, res visa linea AF, axi ABC perpendicularis in qua punctum F tam propinquum sit ipsi A, ut oculo in K aut C, quibuslibet nempe duobus axis punctis, collocato et ad punctum redacto, in conspectum venire possit. hoc enim possibile esse ex prop. antecedente constat. Dico utroque oculi positu, eadem magnitudine apparituram lineam AF. Quum enim a puncto A manantes radij, trajectis interpositis diaphanis inter se fiant paralleli, etiam ab F puncto egressi inter se paralleli exibunt {* Per Prop. XXII. Lib. I.}. Quorum DC ad oculum in C positum pergat, LK ad oculum positum in K. Quia igitur inter se paralleli sunt radij DC, LK, aequales erunt anguli BKL, BCD, atqui oculo in K spectatur recta AF angulo BKL, oculo vero in C spectatur eadem AF angulo BCD, Ergo utrobique aequali angulo, ideoque pari magnitudine. Sed et ad eandem axis partem cadere apparet rectas CD, KL, cum ex punctis C, K parallelae exeant. Ergo sive ex C sive ex K idem positus percipietur lineae AF. Quae erant dem. [ Finis secundi libri ]