Dioptrica 1

Voorstel I   Wat*) wazig wordt gezien, hetzij door tussengeplaatste lenzen, hetzij ten gevolge van de afstand, kan scherp gemaakt worden, hetzij door een enkele lens aan te brengen dicht bij het oog, hetzij door daar een plaatje met een heel kleine opening te houden; zolang het oog maar niet geplaatst is in het punt van grootste wazigheid. Welke van beide correcties ook gebruikt wordt, het object zal gezien worden met dezelfde grootte en plaatsing.   Als immers stralen, die weggegaan zijn uit een of ander punt van een zichtbaar object, naar het oog lopen en gericht zijn bijvoorbeeld naar een punt achter het oog, wordt gemakkelijk uit het hierboven bewezene begrepen met welke soort holle lens ze evenwijdig gemaakt kunnen worden [<]. Evenzo als ze divergent zijn, en aankomen zoals wanneer ze uit een punt voor het oog weggegaan zijn, hoe ze met een bolle lens tot evenwijdigheid gebracht worden [<]; en in beide gevallen wordt het zicht scherp gemaakt.   *)  Deze formulering van het voorstel is van na 1666. Oorspronkelijke versie: p. 235.

[ 175 ]

Maar ditzelfde zullen we ook bereiken door een kleine opening voor het oog te plaatsen, omdat dan als het ware maar aan één van de stralen, die van afzonderlijke punten van het object anders in onnoemelijk aantal naar de pupil lopen, doorgang verleend wordt. Want stel dat stralen die van de uiterste punten van het object vertrokken zijn, op de oogpupil AB vallen, zoals die, komend uit de punten F en G. En dat voor het oog een nauwe opening C in een plaatje gezet wordt, die slechts als het ware afzonderlijke stralen FC en GC toelaat, die dan de achterkant van het oog ontmoeten in de punten H en I. Dan zullen hier de afzonderlijke punten van het object afgetekend worden, waaruit de stralen FA, FC, FB, en GA, GC, GB voortgekomen zijn. En wegens het weren van alle stralen behalve FC en GC zal de afbeelding scherp zijn, en daardoor ook het zicht.   Anderzijds, met hetzelfde gestelde, maar met weglating van het doorboorde plaatje, zetten we in plaats daarvan een lens DE heel dichtbij het oog, die een scherp zicht zal geven. Ik zeg dat het object gezien zal gaan worden met dezelfde grootte als eerst, en met dezelfde plaatsing. Want omdat door het midden van de lens — waarvan de dikte verwaarloosd wordt — de stralen FC en FG langs rechte lijnen doorgaan {* volgens voorstel XXIII}, is het duidelijk dat ze binnen het oog op dezelfde manier lopen, als toen ze hiervoor door de opening C gingen, en dat ze daarom de achterkant van het oog in dezelfde punten H en I zullen ontmoeten. Doch aangezien gesteld wordt dat door de tussengeplaatste lens DE een scherp zicht ontstaat, is het nodig dat alle stralen die uit G komen, in één punt achterin het oog samenkomen, en zo ook alle stralen die uit F komen. Dus zullen alle van punt G weggegane samenkomen in I, en alle uit F weggegane zullen samenkomen in H; en daarom zullen noodzakelijk die uiterste punten van het object afgetekend worden in H en I. En zo zal de breedte ervan niet anders verschijnen, of men nu voor het oog de lens DE zet, of een heel kleine opening; en ook de plaatsing is dezelfde. Welke dingen bewezen moesten worden.   Dus wanneer we in het volgende de schijnbare grootte ook zullen bepalen in die gevallen waarin een wazig zicht optreedt, zal daaronder verstaan moeten worden die grootte, die onderscheiden wordt na correctie van de wazigheid, hetzij met een lens, hetzij met een heel kleine opening, zoals we al gezegd hebben.*)   *)  Eind van de latere versie. Voorstel II   Met het oog opgesteld tussen een bolle lens en het brandpunt ervan, wordt een object door de lens rechtopstaand gezien, en vergroot; en als het object ver weg is heeft de schijnbare tot de ware grootte de verhouding van de afstand tussen lens en brandpunt, tot de afstand tussen brandpunt en oog;

[ 177 ]

maar als het dichtbij is, de verhouding die samengesteld is uit de genoemde, en uit de verhouding van de afstand tussen oog en object, tot de afstand tussen object en het met het oog corresponderende punt. Als het oog echter geplaatst wordt in het brandpunt van de lens, worden objecten in de verte oneindig vergroot; maar als ze dichtbij zijn volgens de verhouding van hun afstand vanaf het oog, tot de afstand tussen oog en lens.   Gegeven een bolle lens AB, waarvan het middelste punt of 'navel' A is, brandpunt O. En het oog D, op de as AO van de lens geplaatst. En als zichtbaar object het lijnstuk NM, evenwijdig met de lens, waarvan het midden E op dezelfde as is. Want als we weten hoeveel dit lijnstuk, of het gedeelte EN ervan, vergroot wordt als het door de lens bekeken wordt, zal ook een willekeurig ander object, dat op die plaats gezet is, zoveel vergroot worden in lengte. Verder, als we bij de twee DO en DA de derde evenredige DP nemen, zal P het punt zijn dat correspondeert met het oog D. Want omdat stralen die uit punt P voortkomen door lens AB zo gebogen worden, dat ze vandaar doorgaan alsof ze uit P kwamen (volgens voorstel I.XX), is het andersom ook zo dat stralen die naar P gericht op lens AB invallen, zullen samenkomen in het oogpunt D. We trekken de rechte NP, die de lens snijdt in B (hij zal deze immers snijden, omdat we stellen dat punt N daar door gezien wordt), en verbinden B met D. Dus zal door punt B van de lens het punt N onderscheiden worden, daar de straal NB gebroken wordt in de richting van het oogpunt D, en geen enkele andere van de stralen die uit N voortkomen. En het is duidelijk dat punt E door het midden A van de lens zichtbaar is, omdat, daar het immers op de as van de lens ligt, de straal ED ongebroken bij het oog aankomt.   Dus blijkt ten eerste dat het object NM rechtopstaand gezien wordt, daar punt B aan dezelfde kant van de as EAO is als punt N dat daarmee samenhangt. Het is ook duidelijk dat BA de ruimte is die het beeld van lijnstuk NE op de lens inneemt,

[ 179 ]

Maar als de rechte ND getrokken wordt die de lens snijdt in C, blijkt AC de ruimte te zijn die hetzelfde object EN zou innemen op een oppervlak dat geen breking zou vertonen. Dus bepaalt BA : CA de verhouding van de schijnbare tot de ware grootte. En het blijkt wel dat BA groter is dan CA, aangezien BA : NE = PA : PE; maar CA is tot dezelfde NE als DA tot DE; nu is de verhouding PA : PE groter dan DA : DE, omdat PA : AE > DA : AE; want PA is groter dan DA, omdat D hier noodzakelijk valt tussen A en P. Dus nu staat hierdoor ook vast dat het object rechtopstaand en vergroot gezien wordt.   Nu moet verder aangetoond worden dat, wanneer het object NM ver weg is, BA tot CA dezelfde verhouding heeft als AO tot OD; maar wanneer het dichtbij is, de verhouding samengesteld uit AO : OD en uit DE : EP. Maar het eerste volgt uit het laatste, en daarom zullen we dit eerst bewijzen. De verhouding BA : CA is samen te stellen uit BA : NE en NE : CA, waarvan de verhouding BA : NE dezelfde is als PA : PE, en de verhouding NE : CA is dezelfde als ED : AD. Dus heeft BA : CA dezelfde verhouding als die, samengesteld uit de verhoudingen PA : PE en ED : AD, dat is de verhouding van rechthoek PA.ED tot rechthoek PE.AD. En deze wordt samengesteld uit verhouding ED : EP en PA : AD of AO : OD, want aangezien door constructie geldt PD : DA = AD : DO, zal ook door samenstelling gelden PA : AD = AO : OD. Dus wordt de verhouding BA : CA samengesteld uit verhouding AO : OD en ED : EP.   Verder, wanneer het object ver weg verondersteld wordt, is de verhouding ED tot EP de gelijkheidsverhouding, die daarom bij samenstelling met de verhouding AO : OD deze noch vergroot noch verkleint. Dus zal dan de verhouding BA : CA dezelfde zijn als AO : OD. En juist deze dingen waren te bewijzen, bij een opstelling van het oog tussen de lens en het brandpunt ervan.   Laat nu het oog in het brandpunt O zelf geplaatst worden, met het object NM dichtbij. We trekken NB evenwijdig aan de as EA, die de lens ontmoet in punt B, en verbinden B met O, en we trekken eveneens NO, die de lens snijdt in punt C. Omdat dus de straal NB evenwijdig is met de as van de lens AB, is het noodzakelijk dat deze gebroken wordt in de richting van brandpunt O, waar het oog geplaatst wordt. En daarom zal punt N alleen door het punt B van de lens gezien worden. Maar punt E, het midden van NM, wordt (zoals eerst) in het middelpunt A van de lens gezien. Dus verschijnt het object NM rechtopstaand; en de schijnbare grootte heeft weer de verhouding BA : CA tot de ware grootte. Maar zoals BA, dat is NE, tot CA, zo is EO tot AO; dus wordt het vergroot gezien volgens de verhouding EO : AO.   Maar als nu het object ver weg is, zal de verhouding EO : AO om zo te zeggen van een oneindig grote ongelijkheid zijn, en dus zal de vergroting naar oneindig gaan.

[ 181 ]

Verder is het opmerkenswaardig dat het object NM bij deze positie van het oog altijd met dezelfde grootte gezien wordt, hoe ver het ook van de lens af is; want altijd zal punt N in hetzelfde punt B waargenomen worden. Voorstel III   Als het oog geplaatst wordt op de as van een bolle lens, maar zodanig dat het verder dan het brandpunt er vanaf is, wordt een object dat aan de andere kant van de lens is, maar vóór het corresponderend punt, rechtopstaand en groter gezien. Maar als het verder van de lens verwijderd is dan het corresponderend punt, zal het omgekeerd gezien worden, en groter of kleiner afhankelijk van het verschil van zijn afstand tot de lens en die van het oog. En de verhouding van schijnbare tot ware grootte zal zich op dezelfde manier gedragen als in het voorgaande theorema.   Gegeven als boven de lens AB, en het brandpunt O ervan. Het oog evenwel in punt D van de as, verder dan het brandpunt van de lens af. En bij de twee DO en DA wordt gesteld de derde evenredige DP, volgens voorstel I.XX. Dan zal P het punt zijn dat met het oog correspondeert, want zoals stralen die uit D voortkomen, door de lens in de richting van punt P gericht worden, zo worden andersom stralen die uit P komen gericht naar het oog D.   We nemen nu als object, zoals eerder, de rechte MN, die in E middendoor gedeeld wordt door de as van de lens, eerst geplaatst tussen de lens AB en het corresponderend punt P. En we trekken uit P door het uiteinde N de rechte PNB, die de lens ontmoet in B, en verbinden B met D. Ook trekken we de rechte ND, die de lens snijdt in punt C. Het is dus duidelijk dat door het punt B van de lens het uiteinde N van het object zichtbaar zal worden, dat in C gezien zou worden als de straal ND zonder breking doorgelaten werd; maar het is noodzakelijk dat punt E op beide manieren gezien wordt door A, omdat behalve EA geen enkele straal uit E in D aankomt, en EA snijdt beide oppervlakken van de lens onder rechte hoeken, en gaat er daarom ongebroken door.

[ 183 ]

Het staat dus vast dat het object hier rechtopstaand gezien wordt, daar de punten N en B aan dezelfde kant zijn van de as PAD. En weer zal de verhouding van de schijnbare tot de ware grootte gelijk zijn aan BA : CA. En daarom, omdat BA groter is dan CA (want BA > NE, en NE > CA) zal het object NE vergroot gezien worden.   Laat verder in het andere geval het object MN geplaatst zijn voorbij het corresponderend punt P, en maak dezelfde construcies als eerst. Dan zal weer door punt B van de lens het punt N gezien worden, en E door A. Maar als N in werkelijkheid boven punt E is, zal het nu eronder gezien worden, omdat de punten N en B aan tegengestelde kanten van de as EAD liggen. Dus nu zal het object MN omgekeerd verschijnen. En de verhouding van de schijnbare vergroting zal weer, zoals in het vorige geval, zijn die van BA tot CA; en daarom moet bewezen worden dat deze verhouding, wanneer het object dichtbij is, samengesteld wordt uit de verhoudingen AO : OD en ED : EP. Maar wanneer het ver weg is, wat alleen in het laatste geval plaats heeft, dezelfde als AO : OD. Dit bewijs is echter hetzelfde als dat in het voorgaande theorema. Dus is duidelijk dat in het laatste geval objecten in de verte groter gezien worden wanneer AO groter is dan OD, en kleiner wanneer AO < OD, en gelijk wanneer AO = OD. Maar om bij een nabij object te weten wanneer het vergroot of verkleind gezien moet worden, is te bezien of de verhouding AO : OD groter is dan EP : ED, of kleiner, of gelijk. Want naargelang dit zo is, zal ook de verhouding die samengesteld is uit AO : OD en ED : EP, dat is de verhouding BA : CA, een ongelijkheid zijn van groot tot klein, of andersom, of tenslotte juist een gelijkheid.   En in beide gevallen is het duidelijk, dat hoe dichter het object komt bij het corresponderend punt (als oog en lens zo blijven), des te groter de verhouding zal zijn van schijnbare tot ware grootte — dan groeit natuurlijk de verhouding DE : EP, terwijl de verhouding AO : OD dezelfde blijft — zodat het, als het in punt P zelf geplaatst is, tot in het oneindige vergroot moet worden.

[ 185 ]

Voorstel IV   Met het oog geplaatst achter een holle lens, worden alle objecten rechtopstaand gezien, en kleiner dan ze zijn. En als een object ver weg is heeft de schijnbare tot de ware grootte de verhouding van de afstand tussen lens en spreidingspunt, tot de afstand tussen lens en oog. Maar als het dichtbij is, de verhouding die samengesteld is uit de genoemde, en uit de verhouding van de afstand tussen oog en object, tot de afstand tussen object en richtpunt [corresponderend met het oog].   Gegeven een holle lens AC, waarvan de as AO is, en een spreidingspunt O; en het oog is in D op de as geplaatst. En een object MEN aan de andere kant van de lens, zo gelegen als in het vorige theorema. En bij de twee DO en DA wordt een derde evenredige DP gezocht, te nemen aan dezelfde kant als de twee overige. En P is het punt waarnaar stralen gericht zijn die door lens AC afgebogen worden in de richting van het oog D, aangezien stralen die vanaf D naar dezelfde lens komen, zodanig afgebogen worden alsof ze uit P voortkomen {* voorstel I.XX}. We trekken de rechte NP, die de lens snijdt in B, en verbinden B met D; en tenslotte zal ND de lens snijden in C. Het punt N zal dus waargenomen worden in punt B, en het lijnstuk NE zal op de lens het interval BA innemen, en het zou het interval CA innemen, als er in plaats van de lens een oppervlak zonder breking zou zijn.   En ten eerste blijkt wel dat het object MN rechtopstaand gezien moet worden, daar immers punt N ervan in de lens AC gezien wordt aan dezelfde kant van de as als waar het in werkelijkheid ligt; en dat dit wel noodzakelijk moet gebeuren is duidelijk doordat het punt P verder van NE af ligt dan A.   En dat het verkleind gezien zal worden is vast te stellen als volgt. De verhouding EA : AP is groter dan EA : AD. Waaruit door samenstelling ook volgt dat de verhouding EP : PA groter is dan de verhouding ED : DA. Zoals nu EP : PA is, zo is ook NE : BA, en zoals ED : DA zo is EN : CA. Dus is de verhouding NE : BA groter dan NE : CA, en daarom is BA kleiner dan CA. En de verhouding van schijnbare tot ware grootte is die van BA tot CA, dus staat vast dat de eerste kleiner is dan de tweede.   Dat verder de verhouding BA : CA, wanneer het object ver weg is, dezelfde wordt als die van de afstand tussen lens en spreidingspunt, tot de afstand tussen dit laatste en het oog, dat is van AO tot OD; maar wanneer het dichtbij is, dezelfde als die, samengesteld uit de genoemde verhouding en uit de verhouding van DE tot EP: dit wordt allebei bewezen in dezelfde bewoordingen als in voorstel II.

[ 187 ]

En hieruit is duidelijk dat, bij gelijkblijvende positie van oog en holle lens, hoe meer het object ervan verwijderd wordt, des te meer de verhouding van schijnbare tot ware grootte verkleind wordt, daar immers de verhouding DE : EP meer en meer nadert tot een gelijkheid.   Duidelijk is ook dat, als het oog D heel dicht bij de lens C is, ook het punt P heel dichtbij komt, zodanig dat zowel de verhouding AO : OD, als DE : EP, dan te beschouwen zijn als een gelijkheidsverhouding. En daarom zal dan noch wat ver is, noch wat nabij is, kleiner gezien worden dan zonder lens. Voorstel V   Gegeven twee lenzen, en hun positie, zowel onderling, als tussen het oog en een object; te vinden met welke verhouding ze dit vergroten of verkleinen, en of ze het rechtopstaand dan wel omgekeerd weergeven.   Van twee lenzen staat vast dat er vier variaties of verschillende soorten zijn, want ze kunnen beide bol zijn, of beide hol; of de lens het dichtst bij het oog is hol en de andere bol; of andersom. Daarvan is de tweede soort alleen geschikt om een object te verkleinen: de laatste kan zowel vergroten als verkleinen, maar niet bijzonder goed. Maar de overige twee hebben verreweg de grootste bruikbaarheid om dingen die men ziet te vergroten, of ze nu ver weg zijn of dichtbij, zoals men al lang geleden door ondervinding te weten is gekomen. Doch hier zal de theorie van allevier duidelijk worden. Want hoewel in het voorgestelde alleen de bruikbare posities behandeld worden, toch zal iedereen ook de overige hiermee kunnen vergelijken, omdat de schijnbare grootte bij elke combinatie op dezelfde manier bepaald wordt.   Laat dan eerst gegeven zijn twee lenzen, een bolle A en een holle B, zodanig dat deze laatste dichter bij het oog staat. Verder is het oog in C, op de gemeenschappelijke as van de twee lenzen; en het object DF is een recht lijnstuk, loodrecht op die as, en erdoor in tweeën gedeeld in E. En gevonden moet worden de verhouding van de grootte, gezien door beide lenzen, tot die welke zonder lenzen zou worden waargenomen.

[ 189 ]

Omdat nu de lenzen gegeven zijn, wordt ook het brandpunt G van de bolle lens gegeven, van stralen die aankomen van de kant van het object, en het spreidingspunt H van de holle lens. Dan wordt eerst bij de twee CH en CB een derde evenredige CK gevonden, te nemen in de richting van H. Vervolgens bij de twee KG en KA een derde evenredige KL, te nemen in de richting van G, tenzij punt K samenvalt met G, in welk geval de evenredige KL weggelaten kan worden. Ik zeg nu dat de verhouding van de schijnbare grootte, gezien door de lenzen, tot die welke met het blote oog gezien zou worden, een verhouding heeft die samengesteld is uit HB : HC, en AG : GK, en EC : EL, of, in het uitzonderingsgeval waarin EL ontbreekt, uit de verhoudingen HB : HC en EC : AK.   Want we trekken de rechte door L en D, die lens A snijdt in M, of in het geval waarin L ontbreekt trekken we DM evenwijdig met de as van de lenzen. Verder wordt getrokken MK, die lens B snijdt in N, en we verbinden N met C. En tenslotte loopt van F naar het oog C de rechte FC, die lens B snijdt in O. Aangezien dus van de bolle lens A het brandpunt G is, en KG tot KA is als deze tot KL, volgt dat stralen die van punt K komend de lens A ontmoeten, zo afgebogen worden dat ze van daar af betrekking hebben op L. Dientengevolge zullen andersom stralen die van punt L weggaan of er naar toe lopen, de lens van de andere kant ontmoetend, samenkomen in punt K. Anderzijds, omdat evenredig zijn CH, CB, CK, en omdat H spreidingspunt is van lens B voor stralen die van de kant van A komen, daarom staat vast dat stralen die van punt C komen, door lens B zo afgebogen worden dat ze van daar af betrekking hebben op punt K. Waaruit volgt dat andersom stralen die vanaf de andere kant lens B ontmoeten en naar punt K gericht zijn, zo afgebogen worden dat ze samenkomen in punt C. Het blijkt dus dat straal DM, die door punt D van het object gaat naar lens A, en die betrekking heeft op punt L, de straal is die na breking in beide lenzen (eerst in M, dan in N) aankomt bij het oog C. En door dit oog zal dus punt D gezien worden in punt N van lens B, en de rechte DE zal op lens B het gedeelte BN beslaan. Maar de rechte EF, die gelijk is aan deze ED, zou, als deze gezien zou worden zonder enige breking in de lenzen, op dezelfde lens B het gedeelte OB beslaan, aangezien FOC een rechte lijn is. Dus is de verhouding van de schijnbare grootte, door de lenzen gezien, tot de ware grootte, gelijk aan die van de rechte BN tot BO.

[ 191 ]

Verder wordt de verhouding BN : BO samengesteld uit de verhoudingen BN : AM en AM : ED, en ED : BO. Waarvan de eerste BN : AM dezelfde is als BK : AK. En de tweede AM : ED is dezelfde als AL : EL, of, in het geval waarin DM evenwijdig is met EA, de gelijkheidsverhouding. En tenslotte is de derde verhouding ED : BO dezelfde als EC : BC. Dus de verhouding BN : BO kan samengesteld worden uit de verhoudingen BK : AK, en AL : EL (in plaats hiervan komt in het uitzonderingsgeval de gelijkheidsverhouding), en uit de verhouding EC : BC. Verder is de verhouding samengesteld uit BK : AK en EC : BC dezelfde als de samengestelde uit BK : BC en EC : AK. Dus kan de verhouding BN : BO samengesteld worden uit de verhoudingen BK : BC en EC : AK en AL : EL; en in het uitzonderingsgeval alleen uit de twee eerste, daar immers de gelijkheidsverhouding de verhoudingen waarmee ze samengesteld wordt niet verandert. Maar anderzijds is de verhouding, samengesteld uit EC : AK en AL : EL, dezelfde als die, samengesteld uit EC : EL en AL : AK. Dus kan de verhouding BN : BO samengesteld worden uit de verhoudingen BK : BC en AL : AK en EC : EL. Omdat nu CH : CB = CB : CK, zal ook gelden CH : HB = CB : BK, en door omkering HB : CH = BK : BC. Evenzo, omdat KG : KA = KA : KL, zal ook gelden KG : AG = KA : LA, en door omkering AG : GK = AL : AK. Dus de verhouding BN : BO, namelijk van de schijnbare tot de ware grootte, kan samengesteld worden uit de verhoudingen HB : HC en AG : GK en EC : EL, en in het uitzonderingsgeval uit de verhoudingen HB : HC en EC : AK, wat te bewijzen was.   En er valt op te merken: als de holle lens B zo geplaatst is tussen lens A en diens brandpunt G, dat de afstand BG gelijk is aan BH, dat is de afstand tussen lens B en zijn spreidingspunt — wat de gewone positie is in een telescoop van deze soort, zoals later gezegd zal worden [zodat namelijk stralen, die van afzonderlijke punten van het object voortkomen, evenwijdig naar het oog lopen] — dat dan de schijnbare grootte van iets in de verte altijd dezelfde zal zijn, op welke plaats oog C ook gehouden wordt achter lens B. En de verhouding ervan tot de ware grootte is die van AG : GB [of BH]. Aangezien immers aangetoond is dat de verhouding van de schijnbare grootte tot de ware, samengesteld wordt uit de verhoudingen HB : HC, en AG : GK, en EC : EL; en aangezien hier de verhouding EC : EL die van een gelijkheid is, doordat het object ver weg gesteld wordt; kan dus de verhouding van schijnbare tot ware grootte samengesteld worden uit de verhoudingen HB : HC en AG : GK. Omdat nu CH : CB = CB : CK, zal ook gelden CH : CB = HB : BK, dat is gelijk aan GB : BK, omdat GB gelijk is aan HB. Dus is ook CH : HB = BG : GK, en door omzetting BH : HC = KG : GB. Dus de verhouding van schijnbare tot ware grootte wordt samengesteld uit de verhoudingen AG : GK en GK : GB, d.w.z. zal dezelfde zijn als AG : GB [of BH].

[ 193 ]

Dus in een telescoop die voorzien is van een bolle en een holle lens, zal de schijnbare grootte van in de verte gelegen dingen zijn tot die welke met het blote oog waargenomen wordt, zoals de afstand van de bolle lens tot zijn brandpunt (of het punt van samenkomst van evenwijdige stralen die van een gedeelte van het object komen) tot de afstand van dit brandpunt vanaf de holle lens waarbij het oog gehouden wordt; wat tot zover door niemand bewezen is. [... zoals de brandpuntsafstand van de bolle lens tot de afstand van het spreidingspunt vanaf de holle lens. Wat ook aangetoond zal worden in het vervolg (>)].   Verder blijkt, als men de tekeningen van de afzonderlijke gevallen bekijkt, of het object rechtopstaand of omgekeerd gezien wordt. Namelijk dat het in alle gevallen rechtop zal verschijnen, behalve dan in dat geval waarin het brandpunt G van lens A valt tussen de lens en het punt K, en tegelijk het object verder verwijderd is dan punt L [<]. Want hier wordt punt D gezien door punt N van lens B, dat aan de andere kant van de as EB ligt, en daarom is het noodzakelijk dat het object omgekeerd gezien wordt.

[ 195 ]

[ 197 ]

[ 199 ]

Voorstel VI Theorema*)   Als door een willekeurig aantal lenzen een object bekeken wordt, en oog en object verwisselen van plaats terwijl de lenzen zo blijven, zal het object verschijnen met dezelfde grootte als eerst, en in dezelfde stand.   *)  Genoemd in een brief, 16 dec. 1653 [<].  [Over het belang zie b.v. Bull. Amer. Math. Soc., 28-4 (1922), p. 213.]

[ 201 ]

Laat er eerst een enkele lens A zijn, geplaatst tussen het oog in D, en het object in E. Ik zeg dat, als het oog gaat naar E en het object naar D, zonder dat lens A bewogen wordt, het object zo met dezelfde grootte gezien zal worden, als toen het oog in D was en het object in E.   We nemen namelijk O als brandpunt van lens A, oftewel het punt waarmee stralen corresponderen die evenwijdig van de kant van E komen. En bij de twee DO en DA nemen we als derde evenredige DP, in de richting van O. Dan correspondeert punt P met het oog in D. En daarom zal (volgens voorstel II of III of IV), als het oog opgesteld is in D, de verhouding van schijnbare tot ware grootte van het object in E samengesteld zijn uit de verhoudingen AO : OD en DE : EP. Om dezelfde reden, wanneer het oog geplaatst wordt in E en het object in D, en genomen Aω gelijk aan AO, en bij de twee Eω en EA als derde evenredige Eπ, zal de verhouding van schijnbare tot ware grootte van het object in D zijn samengesteld uit de verhoudingen Aω : ωE en ED : Dπ.   Daarom, aangezien in beide posities de ware grootte volstrekt gelijk is, moet aangetoond worden dat de verhouding van schijnbare tot ware grootte in beide gevallen dezelfde is. Dat wil zeggen dat de verhouding, samengesteld uit de verhoudingen AO : OD en DE : EP (die gelijk is aan de verhouding van rechthoek AO.DE tot rechthoek OD.EP), dezelfde is als de verhouding, samengesteld uit de verhoudingen Aω : ωE en ED : Dπ (dat is de verhouding van rechthoek Aω.ED tot rechthoek ωE.Dπ). Maar nu de eerste termen van de verhouding gelijk zijn, d.w.z. rechthoek AO.DE is gelijk aan rechthoek Aω.DE (aangezien AO gelijk is aan Aω), is het dus slechts nodig aan te tonen dat rechthoek OD.EP gelijk is aan rechthoek ωE.Dπ. Omdat dus DO : DA = DA : DP, zal ook gelden DO : OA = DA : AP, en door verwisseling OD : DA = OA (of ωA) : AP, en daarom is ook OD : OA = ωA : ωP. Anderzijds, daar immers Eω : EA = EA : Eπ is Eω : ωA = EA : Aπ, en door verwisseling Eω : EA = ωA (of OA) : Aπ, en daarom is ook Eω : ωA = OA : Oπ. Nu gold ωA : ωP = OD : OA. Dus volgens de regel van verstoorde verhouding [Eucl. V.23] zal gelden Eω : ωP = OD : Oπ. En daarom ook Eω : EP = OD : Dπ. En derhalve is rechthoek Eω.Dπ gelijk aan rechthoek EP.OD, wat aangetoond moest worden.

[ 203 ]

En wat betreft de stand, die in beide posities gelijk verschijnt: dat is wel duidelijk als de lens hol is, aangezien voor iemand die hierdoor kijkt alles rechtopstaand verschijnt [<]. Verder is het bij de bolle lens als volgt aan te tonen.   Ten eerste, als het oog in D zich bevindt tussen A en O, zal het een object in E rechtopstaand zien, welke afstand AE er ook is (volgens voorstel II). En aan de andere kant, als het oog verplaatst is naar E, en het object naar D, zal het met het oog corresponderende punt π*) vallen voorbij D, aangezien er een continue evenredigheid is van Eω, EA en Eπ, zodat πA groter is dan Aω of AO. Dus zal het object in D vanuit E rechtopstaand gezien worden [<], evenals in E vanuit D.   Ten tweede, met het oog geplaatst in D buiten AO, zal het corresponderend punt P aan de andere kant van de lens vallen. En als dan het object in E omgekeerd gezien wordt vanuit D, gebeurt dit omdat E gelegen is voorbij P [<]. En dan, omdat D met het punt P correspondeert (want de correspondentie is wederkerig), en punt E verder van de lens af staat dan P, zal het punt π dat met E correspondeert nog voor D vallen. En daarom zal vanuit E dat wat in D is in omgekeerde stand gezien worden, zoals vanuit D dat wat in E is. Maar als het punt dat met D correspondeert verder van de lens af is dan E, dat is als het object in E door het oog in D rechtop gezien wordt, zal om dezelfde reden het punt π, dat met E correspondeert, voorbij D vallen, en daarom zal dan het object in D rechtop gezien worden vanuit E, zoals ook het in E geplaatste gezien werd vanuit D. En dit was inderdaad wat aangetoond moest worden.   *)  Dit punt ontbreekt in de figuur.

[ 205 ]

Laat nu de twee lenzen A en B gegeven zijn*), en laat een object in E gezien worden door het oog in C. Ik zeg dat het met dezelfde grootte gezien zal worden indien het oog ge­plaatst wordt in E, en het object in C. Want we nemen G als brandpunt van lens A, en H van lens B. En met het oog in C correspondeert het punt K met betrekking tot lens B, zodat namelijk CH, CB en CK een continue evenredigheid vormen. Evenzo is met punt K een punt L verbonden met betrekking tot lens A, zodat KG, KA en KL een continue evenredigheid vormen. Daarom, als vanuit C het object gezien wordt dat in E geplaatst is, is de verhouding van schijnbare tot ware grootte die, welke wordt samengesteld uit de verhoudingen HB : HC, AG : GK en EC : EL (zoals aangetoond is in voorstel V). Evenzo als het oog geplaatst is in E en het object in C, en met γ als brandpunt van lens A, en θ als brandpunt van lens B; en het punt κ verbonden met E m.b.t. lens A, zodat in continue evenredigheid zijn E γ, EA en Eκ. En met punt λ verbonden met κ m.b.t. lens B, zodat in continue evenredigheid zijn κθ, κB en κλ. Dan zal de verhouding van schijnbare tot ware grootte samengesteld worden uit de verhoudingen Aγ : γE, Bθ : θκ en CE : Cλ. Nu is de ware grootte in beide posities dezelfde. Dus moet aangetoond worden dat de samengestelde uit deze drie verhoudingen dezelfde is als die, welke samengesteld wordt uit de eerste drie. Nu is de uit de eerste drie samengestelde verhouding die van lichaam HB.AG.EC tot lichaam HC.GK.EL. Maar de verhouding uit de laatste drie is die van lichaam Aγ.Bθ.CE tot lichaam γE.θκ.Cλ. En lichaam HB.AG.EC is gelijk aan lichaam Aγ.Bθ.CE, omdat de afzonderlijke lijnstukken aan elkaar gelijk zijn, namelijk HB aan Bθ, en AG aan Aγ en CE in beide gevallen dezelfde. Dus is het alleen nodig aan te tonen dat lichaam HC.GK.EL gelijk is aan lichaam γE.θκ.Cλ. En dit zullen we aantonen als volgt. Aangezien CH : CB = CB : CK, zal ook gelden CH : CB = HB (of Bθ) : BK. En daarom CH : HB = Bθ : θK. Evenzo omdat κθ : κB = κB : κλ, is ook κθ : κB = θB (of BH) : Bλ, en daarom κθ : Bθ = BH : Hλ. Verder was Bθ : θK = CH : BH. Dus volgens de regel van verstoorde verhouding zal gelden κθ : θK = CH : Hλ. Daarom is ook θκ : κK = CH : Cλ, en door verwisseling θκ : CH = κK : Cλ. Anderzijds, aangezien Eγ : EA = EA : Eκ, is Eγ : EA = γA (of AG) : Aκ, en daarom Eγ : γA = AG : Gκ. Evenzo, omdat KG : KA = KA : KL, is KG : KA = GA (of γA) : AL, en daarom KG : AG = γA : γL. En er gold AG : Gκ = Eγ : γA: Dus volgens de regel van verstoorde verhouding is KG : Gκ = Eγ : γL. En daarom ook KG : Kκ = Eγ : EL, en door verwisseling en omkering Eγ : KG = EL : Kκ. Verder wordt de verhouding EL : Cλ samengesteld uit de verhoudingen EL : Kκ en Kκ : Cλ, waarvan EL : Kκ dezelfde is als Eγ : KG; en de andere Kκ : Cλ is ook dezelfde (zoals aangetoond is) als θκ : CH. Dus de verhouding EL : Cλ is samen te stellen uit de verhoudingen Eγ : KG en θκ : CH, en derhalve dezelfde als van rechthoek Eγ.θκ tot rechthoek KG.CH. En dus zal lichaam EL.KG.CH gelijk zijn aan lichaam Cλ.Eγ.θκ. Wat aangetoond moest worden.   *)  Bijschrift:   beter E voorbij γ (een derde figuur waarin dit gedaan is werd geschrapt).

[ 207 ]

En wanneer drie of meer lenzen gegeven zijn zal een bewijs opgesteld kunnen worden overeenkomstig aan het voorgaande.   Wanneer we dus de schijnbare grootte en stand van objecten willen onderzoeken, en eveneens of er scherp zicht zal zijn, kunnen we door dit alles deze drie tegelijk te weten komen, als we op dezelfde manier redeneren als wanneer het object op de plaats van het oog opgesteld zou worden, en dit andersom de plaats van het object zou innemen. Want alles blijkt gemakkelijk uit de voortgang en het breken van de stralen. Zoals bijvoorbeeld in de voorgestelde figuren: daar stralen, die uit afzonderlijke punten van het object E voortkomen, na de breking in lens A corresponderen met punt κ, en vervolgens, nadat ze door lens B gegaan zijn, met punt λ, is hieruit gemakkelijk af te leiden of er voor het oog in C scherp zicht zal zijn, of niet. Voorstel VII   Als oog en object zo blijven, en op een willekeurige plaats ertussen wordt een bolle lens gezet, waarvan de brandpuntsafstand groter is dan een vierde deel van het interval tussen oog en object, dan zal het object rechtopstaand gezien worden; en het beeld zal het grootst zijn wanneer de lens midden tussen object en oog gezet wordt. Maar als de brandpuntsafstand kleiner is dan een vierde van het genoemde interval, zal het beeld soms ook omgekeerd zijn; en het kleinste van de omgekeerde beelden is er wanneer de lens in het midden van het interval staat.   Laat het oog geplaatst zijn in D, een object in E, en een bolle lens op een willekeurige plaats tussen beide, zoals in A; verder is O een brandpunt van de lens, en de afstand AO is eerst groter dan een vierde deel van het interval DE. In de eerste plaats moet aangetoond worden dat het object in E rechtop gezien wordt.

[ 209 ]

Dit nu is in één geval duidelijk, namelijk als de lens zo dicht bij het oog geplaatst wordt, dat dit tussen de lens en het brandpunt blijft (volgens voorstel II). Maar als de lens verder van het oog af staat is het als volgt te bewijzen. Aan het oog in D voegen we het punt P toe, en wel door bij DO en DA een derde evenredige DP te maken. en met AO nemen we gelijk Aσ. Aangezien dan DO : DA = DA : DP is, zal ook gelden DO : DA = OA (of Aσ) : AP, en daarom ook DO : OA = Aσ : σP; dus zijn DO en σP samen niet kleiner dan de som van OA en Aσ. Maar deze som is groter dan de helft van DE, daar ze immers afzonderlijk groter zijn dan een vierde deel, dus als OD en σP erbij opgeteld worden, zal de totale afstand DP groter zijn dan DE. Dus het met het oog corresponderende punt P valt voorbij het object in E, en daarom is het noodzakelijk dat dit rechtop gezien wordt (volgens voorstel III).   Verder moet bewezen worden dat, wanneer de plaats van de lens het interval DE doormidden deelt, het object in E het grootste beeld zal geven. Dus A ligt midden tussen D en E, en daar wordt de lens eerst opgesteld; vervolgens wordt ook een andere opstelling verondersteld in een willekeurig punt α, dichter bij het oog D; en dan nemen we het punt ω als brandpunt. Ik zeg dat het object in E groter gezien wordt door de lens als deze in A is opgesteld, dan in α. Want neem αλ gelijk aan αω*). En het met het oog in D corresponderende punt π met betrekking tot de lens in α, door namelijk bij de twee Dω en Dα de derde evenredige Dπ te stellen. Bij het bekijken van het object door de lens in A, zal dus de verhouding van schijnbare tot ware grootte die zijn, welke samengesteld wordt uit AO : OD en DE : EP (volgens voorstel II en III), en bij kijken door de lens in α wordt de verhouding van de schijnbare grootte tot de ware samengesteld uit de verhoudingen αω : ωD en DE : Eπ.   *)  [... dichter bij oog D; of in β evenveel verder van het oog. Maar als dan, met de lens geplaatst in α, aangetoond wordt dat het object kleiner verschijnt dan met de lens in A geplaatst, zal het ook met de lens in β kleiner verschijnen (volgens het voorgaande voorstel). Door namelijk de lens te verschuiven van α naar β gebeurt hetzelfde als wanneer deze in α blijft, en het oog en het object in D en E van plaats verwisselen. Hiervan zullen we dat eerste aantonen als volgt. We nemen het punt ω als brandpunt van de lens als deze in α geplaatst is, en αλ gelijk aan αω ...]

[ 211 ]

Nu is de ware grootte in beide posities dezelfde, aangezien gezegd wordt dat oog en object blijven staan. Dus moeten we aantonen dat de verhouding, samengesteld uit de verhoudingen AO : OD en DE : EP (dat is rechthoek AO.DE tot rechthoek OD.EP) groter is dan die, samengesteld uit de verhoudingen αω : ωD en DE : Eπ (d.w.z. dan rechthoek αω.DE tot rechthoek ωD.Eπ). En de eerste termen van de verhoudingen zijn gelijk, namelijk rechthoek AO.DE en rechthoek αω.DE, aangezien αω gelijk is aan AO. Dus moet worden aangetoond dat rechthoek OD.EP kleiner is dan rechthoek ωD.Eπ. Aangezien dus AD gelijk is aan AE, en AO gelijk aan Aσ, zal ook OD gelijk zijn aan σE. Evenzo, omdat AO gelijk is aan αω, zal (als de gemeenschappelijke αO er afgehaald wordt, of erbij gedaan) αA gelijk zijn aan Oω. Op dezelfde manier zal λσ gelijk zijn aan Aα, en daarom ook aan Oω. Aangezien dus even eerder is aangetoond dat DO : OA = Aσ : σP is, zal rechthoek DO.σP gelijk zijn aan rechthoek OA.Aσ, dat is het vierkant van OA. En rechthoek DO.σE is gelijk aan vierkant OD, omdat aangetoond is dat σE gelijk is aan deze DO. Dus is het overschot van rechthoek DO.σP boven rechthoek DO.σE (dat is rechthoek DO.EP) gelijk aan het overschot van vierkant AO boven vierkant OD. En inderdaad is duidelijk dat AO groter is dan OD, aangezien AO groter is dan een vierde deel van de hele ED, en daarom groter dan de helft van AD. En het is ook duidelijk dat rechthoek DO.σP groter is dan rechthoek DO.σE, want als O valt tussen A en D, zal σ vallen tussen A en E; en P voor de lens en voorbij het object in E (aangezien aangetoond is dat dit rechtop gezien wordt). Wanneer daarentegen D tussen A en O is, is ook E tussen A en σ, en P valt achter de lens. Dus in deze gevallen is E altijd gelegen tussen σ en P, waaruit volgt dat σP groter is dan σE, en dus is rechthoek OD.σP groter dan rechthoek OD.σE. Verder, aangezien Dω : Dα = Dα : Dπ, is ook Dω : Dα = ωα (of αλ) : απ, en bijgevolg ook Dω : ωα = ωα : λπ. Dus rechthoek Dω.λπ is gelijk aan vierkant ωα. Nu is in het eerste en tweede geval rechthoek ωD.Eπ gelijk aan het overschot van rechthoek ωD.λπ boven rechthoek ωD.λE. Dus dezelfde rechthoek ωD.Eπ is gelijk aan het overschot van vierkant ωα (d.w.z. van vierkant OA) boven rechthoek ωD.λE.

[ 213 ]

Maar in het derde en vierde geval is rechthoek ωD.Eπ gelijk aan de som van rechthoek ωD.λπ en rechthoek ωD.λE. Dus hier is dezelfde rechthoek ωD.Eπ gelijk aan rechthoek ωD.λE met vierkant ωα, d.w.z. met vierkant OA. Verder is aangetoond dat rechthoek DO.EP gelijk is aan het overschot van vierkant OA boven vierkant OD. Dus het blijkt in het derde en vierde geval dat rechthoek DO.EP kleiner is dan rechthoek ωD.Eπ, wat bewezen moest worden. Maar in het eerste en tweede geval is hetzelfde afzonderlijk te bewijzen, op de volgende manier. Aangezien in het eerste geval Dω kleiner is dan DO, zal de verhouding ωO : Dω groter zijn dan ωO : DO, d.w.z. dan σλ : σE (want aangetoond is dat DO = Eσ, en dat Oω = σλ). Dus bij samenstelling is OD : Dω groter dan λE : Eσ. En daarom zal rechthoek OD.Eσ, d.w.z. vierkant OD, groter zijn dan rechthoek Dω.λE. Bijgevolg is het overschot van vierkant AO boven vierkant OD kleiner dan dat van hetzelfde vierkant AO boven rechthoek Dω.λE. Nu was aan het eerste van deze overschotten gelijk rechthoek OD.EP, en aan het andere was gelijk rechthoek ωD.Eπ. Dus is de eerste rechthoek kleiner dan de laatste. En in het tweede geval, aangezien Dω groter is dan DO, zal de verhouding Dω : Oω groter zijn dan DO : Oω, d.w.z. groter dan σE : σλ. Derhalve, door omkering van de verhouding, zal de verhouding ωD : DO kleiner zijn dan σE : Eλ, en daarom is rechthoek DO.Eσ (dat is vierkant DO) groter dan rechthoek ωD.Eλ. En hieruit kunnen we het overige op dezelfde manier concluderen als in het vorige geval, namelijk dat rechthoek OD.EP kleiner is dan rechthoek ωD.Eπ. Wat bewezen moest worden.

[ 215 ]

En in het vijfde geval, wanneer O samenvalt met D, valt ook σ in E. En dan is wel voor iemand die door de lens kijkt, als deze in A geplaatst is, de verhouding van schijnbare tot ware grootte die van ED : DA (volgens voorstel II), d.w.z. twee. Maar voor iemand die door dezelfde lens kijkt als deze verplaatst is naar α, is de genoemde verhouding (zoals eerst) die van rechthoek αω.DE tot rechthoek ωD.Eπ. En hier is rechthoek αω.DE gelijk aan het dubbele van vierkant αω, omdat DE dubbel zo groot is als AO, of αω. En rechthoek ωD.Eπ is gelijk aan rechthoek ωD.λπ samen met rechthoek ωD.λE, waarvan rechthoek ωD.λπ op zichzelf gelijk is aan αω, zoals aangetoond. Dus rechthoek αω.DE is kleiner dan tweemaal rechthoek ωD, Eπ. En derhalve is nu de verhouding van schijnbare tot ware grootte kleiner dan twee, wat deze was toen de lens in A geplaatst was.   Tenslotte, als ω samenvalt met D, zal de vergrotingsverhouding, met de lens in A geplaatst, zoals in het voorgaande die zijn welke samengesteld wordt uit de verhoudingen AO : OD en DE (of ωE) : EP. Maar met de lens geplaatst in α zal de vergrotingsverhouding zijn die van Eω : ωα (volgens voorstel II). Nu is de verhouding Eω : ωα samen te stellen uit de verhoudingen Eω : EP en EP : ωα, waarvan EP : ωα kleiner is dan AO : OD. Want in het voorgaande is aangetoond dat Pσ : σA (of ωα) = AO : OD [<]; en PE is kleiner dan Pσ, omdat E valt tussen P en σ, zoals eveneens boven is aangetoond [<]. Dus de samengestelde uit de verhoudingen Eω : EP en EP : ωα is kleiner dan de samengestelde uit de verhoudingen ωE : EP en AO : OD. Dat wil zeggen: de vergrotingsverhouding met de lens in α geplaatst is kleiner dan wanneer dezelfde lens in A geplaatst wordt.   Laat nu de afstand AO, die er is tussen lens en brandpunt, kleiner zijn dan een vierde deel van het interval DE, dat er is tussen object en oog. We moeten dus eerst aantonen dat de lens op een zodanige plaats gezet kan worden dat het object omgekeerd gezien wordt.

[ 217 ]

Aangezien dus AO kleiner is dan een vierde van DE, zal de rechthoek AO.DE overtroffen worden door 1/4 van het vierkant DE, d.w.z. door rechthoek DAE, met een zeker overschot. Neem nu Aα, waarvan het kwadraat kleiner is dan dat overschot, en plaats de lens in α. Ik zeg dat het beeld van het object in E omgekeerd gezien zal worden. Want laat het overige geconstrueerd zijn zoals in de voorgaande gevallen. Omdat DE dus door A in twee gelijke delen verdeeld is, en door α in ongelijke delen, zal vierkant Aα gelijk zijn aan het overschot van rechthoek DAE boven rechthoek DαE. En hetzelfde vierkant Aα is kleiner dan het overschot van rechthoek DAE boven rechthoek DE.AO (door constructie). Dus is dit laatste overschot groter dan het eerste, en daarom zal rechthoek DE.AO kleiner zijn dan rechthoek DαE. Zodat de verhouding DE : Eα kleiner is dan αD : AO (of αω). En bij omzetting van de verhouding blijkt de verhouding ED : Dα groter dan αD : Dω. Maar er geldt πD : Dα = αD : Dω. Dus πD is kleiner dan ED. Verder is π het punt dat correspondeert met het oog in D ten opzichte van de lens in α. Dus (door voorstel III) is het noodzakelijk dat het object omgekeerd gezien wordt. Wat aangetoond moest worden. Dus zal de lens ook voorbij het midden A opgesteld kunnen worden zodat hij een omgekeerd beeld vertoont, maar wel met zo'n interval als waarmee hij dichterbij kan zijn; en dit staat vast door [Theor...]*).   Maar dat de lens ook een omgekeerd beeld geeft als hij opgesteld is in het midden A, wordt als volgt duidelijk. Aangezien namelijk DO, DA en DP een continue evenredigheid vormen, en DO groter is dan de helft van DA (omdat AO kleiner is dan de helft van DA), zal ook DA groter zijn dan de helft van DP, en daarom DP kleiner dan DE. Verder is P het punt dat correspondeert met het oog t.o.v. de lens in A. Dus ook hier vertoont de lens een object dat in E geplaatst is omgekeerd.   Als laatste is aan te tonen dat het object kleiner gezien wordt door de lens als deze geplaatst is in het midden A, dan door dezelfde lens in α. Dit zal vaststaan als (tegengesteld aan wat in het voorgaande is aangetoond) rechthoek OD.EP groter is dan rechthoek ωD.Eπ. Daar dus P hier tussen σ en E valt, zal rechthoek OD.EP gelijk zijn aan het overschot van rechthoek OD, σE boven rechthoek OD.σP, d.w.z. aan het overschot van vierkant OD boven vierkant OA; want boven [<] is aangetoond dat rechthoek OD.σE gelijk was aan vierkant OD, en rechthoek OD.σP gelijk aan vierkant AO. Maar rechthoek ωD.Eπ zal gelijk zijn aan het overschot van rechthoek ωD.λE boven rechthoek ωD.λπ; d.w.z. aan het overschot van rechthoek ωD.λE boven vierkant AO, want aangetoond is ook dat rechthoek ωD.λπ gelijk is aan vierkant αω of AO.   *)  Een theorema dat geschrapt werd, volgend op voorstel VI: "Bij gelijkblijvende positie van oog en object, bekeken door een willekeurige lens die er tussen gezet wordt, geldt: wanneer de lens zodanig verplaatst wordt dat hij daarna even ver van het object staat als hij eerst van het oog verwijderd was, zal het object met dezelfde grootte als eerst gezien worden, en in dezelfde stand."

[ 219 ]

Nu is vierkant OD groter dan rechthoek ωD.λE, want dit wordt op dezelfde manier aangetoond als in het eerste van de voorgaande gevallen [<]. Dus is het overschot van vierkant OD boven vierkant OA, dat is rechthoek OD.EP, groter dan het overschot van rechthoek ωD.λE boven vierkant OA, dat is rechthoek ωD.Eπ. Wat aangetoond moest worden. Voorstel VIII   Als bij gelijkblijvende positie van oog en object tussen beide een holle lens opgesteld wordt: hoe dichter deze is bij het midden tussen oog en object, des te kleiner beeld hij hiervan zal maken, en het kleinst van alle wanneer hij in het midden zelf staat.   Laat het object geplaatst zijn in E, het oog in D, en M zij het midden van het interval DE. En eerst wordt de holle lens opgesteld in A tussen M en D, daarna evenwel in α, tussen A en D, zodanig dat de afstand αM groter is dan AM. We moeten aantonen dat het beeld van het object in E, bekeken door de lens in A, kleiner is dan bekeken door dezelfde lens in α. Laat O spreidingspunt zijn van de lens in A, maar ω wanneer deze in α is. En laat alles op dezelfde wijze geconstrueerd worden als in het voorgaande theorema. Met dezelfde manier van redeneren komt het er dus op neer, dat we moeten aantonen dat rechthoek OD.EP groter is dan rechthoek ωD.Eπ, terwijl daar aangetoond is dat hij kleiner was [<]. Omdat dus DA kleiner is dan AE, en AO gelijk aan Aσ, zal de som van DA en AO, dat is DO, kleiner zijn dan de som van AE en Aσ, dat is Eσ. Verder zijn deze drie Aα, Oω en σλ duidelijk onderling gelijk, zoals ook in het voorgaande. En evenzo zijn rechthoek DO.σP en rechthoek ωD.λπ (zoals daar) elk afzonderlijk gelijk aan vierkant AO. Maar hier is het overschot van rechthoek OD.σE boven rechthoek OD.σP gelijk aan rechthoek OD.EP; en het overschot van rechthoek ωD.λE boven rechthoek ωD.λπ is gelijk aan rechthoek ωD.Eπ. Dus moet aangetoond worden dat het eerste overschot groter is dan het laatste; wat duidelijk zal zijn als rechthoek OD.σE groter is dan rechthoek ωD.λE, daar gezegd is dat de rechthoeken OD.σP en ωD.λπ onderling gelijk zijn. Omdat dus Dω kleiner is dan DO zal de verhouding Oω : ωD groter zijn dan Oω : OD. Maar deze is ook groter dan σλ : σE, want er is gezegd dat σλ gelijk is aan Oω, en dat σE groter is dan DO. Dus is de verhouding Oω : ωD groter dan σλ : σE. En door samenstelling, OD : Dω groter dan λE : Eσ. En daarom is ook rechthoek OD.Eσ groter dan rechthoek Dω.λE, wat nog aangetoond moest worden.

[ 221 ]

Maar als een aan MA gelijk interval aan de andere kant van het middelste punt M genomen wordt, en als daarop de lens wordt opgesteld, zal het object met dezelfde grootte gezien worden als door de lens in A, zoals aangetoond is in voorstel ... [<]. Dus staat vast dat het des te kleiner gezien wordt, naarmate de lens dichter bij het middelste punt M is. Waaruit tenslotte duidelijk is, dat het object het kleinst gezien wordt wanneer de lens in punt M zelf wordt opgesteld. Wat te bewijzen was. Voorstel IX Theorema   Bij gelijkblijvende afstand van het oog tot een bolle lens, als het oog zich bevindt tussen lens en brandpunt: hoe verder een object verwijderd wordt, des te kleiner het gezien zal worden. Maar wanneer het oog verder dan het brandpunt van de lens af is, zal een zich verwijderend object meer vergroot worden, zolang het rechtop verschijnt; maar als het van daaraf nog verder weg gezet wordt, zal het omgekeerde beeld kleiner worden. En wanneer het oog in het brandpunt van de lens opgesteld is, zal het object steeds met dezelfde grootte gezien worden, welke afstand er ook is tot de lens.   Laat genomen worden wat in het voorgaande staat, namelijk waar het ging over de vergroting van één bolle lens [<]. Ten eerste dus, aangezien met het oog binnen het brandpunt van de lens het geconjugeerde punt P valt achter de lens en het oog, is duidelijk dat hoe verder het object MN verwijderd wordt, des te kleiner AB zal zijn; want getrokken is de rechte NBP, maar gesteld wordt dat de afstand DA (van oog tot lens) dezelfde blijft; dus wordt de hoek ADB verkleind als het object verder weg gaat, en derhalve is het noodzakelijk dat het beeld ervan verkleind wordt.

[ 223 ]

Maar met het oog verder dan het brandpunt [<], aangezien het punt P valt voor de lens, blijkt dat zolang het object MN rechtop gezien wordt (d.w.z. zolang het niet verder dan P van de lens af staat) AB des te groter wordt, naarmate het object dichter bij P komt. Dus zal hoek ADB ook des te groter worden, omdat de afstand AD niet verandert. Maar zodra het in omgekeerde stand gezien wordt (namelijk wanneer het verder is dan punt P) zal AB des te kleiner worden naarmate het verder weg gaat, en dus ook hoek ADB.   Maar met het oog geplaatst in het brandpunt zelf van de lens wordt er helemaal geen geconjugeerd punt gevonden (zoals we gezegd hebben), maar dan wordt de rechte NB evenwijdig aan de as EA getrokken, dus bij elke afstand van het object is AB even groot, en dus ook de hoek ADB. En daarom zal het object overal met dezelfde grootte gezien worden. Wat te bewijzen was. Voorstel X Theorema   Bij gelijkblijvende afstand van een bolle lens tot een object, als dit dichter bij deze lens is dan het brandpunt ervan: hoe verder het oog van de lens is, des te kleiner het gezien wordt. Maar als het object zich verder dan het brandpunt van de lens bevindt, zal het groter worden als het oog verder van de lens af gaat, zolang het rechtop verschijnt. Maar als het oog van daaraf nog verder weg gaat zal het omgekeerde beeld kleiner worden. En als het zich in het brandpunt van de lens bevindt, zal het met gelijke grootte gezien worden, welke afstand er ook is van oog tot lens.   Het bewijs hiervan is duidelijk, wanneer op de stelling toegepast wordt wat kort hiervoor gezegd is over het onderling verwisselen van plaats tussen oog en object [<].

[ 225 ]

Voorstel XI Theorema*)   Als in plaats van een kijker met twee lenzen [bol en hol] iets dergelijks gemaakt wordt uit een massief stuk van een doorschijnende stof, waarvan het ene oppervlak bol is en het andere hol, zal dit objecten in de verte met dezelfde verhouding vergroten als de kijker met twee lenzen. De vergrotingsverhouding zal namelijk zijn die van de afstand tussen het bolle oppervlak en het brandpunt ervan, tot de afstand tussen het brandpunt en het holle oppervlak, waarbij het oog wordt gebracht.   Laat van zo'n samenhangende kijker het bolle oppervlak AM zijn, een gedeelte van een bol met middelpunt N. En het holle oppervlak BQ, met middelpunt P. En het brandpunt van oppervlak AM (oftewel het punt van samenkomst van evenwijdige stralen) is het punt G, terwijl R spreidingspunt is van oppervlak BQ [van evenwijdige stralen die binnen het massieve lichaam lopen]. Verder is het object in de verte DED. Aangetoond moet dus worden dat, wanneer het oog tegen het oppervlak B gehouden wordt, het object DED vergroot wordt met de verhouding AG : GB.   Eerst wordt het oog in C geplaatst, en nog niet dichtbij het oppervlak BQ gebracht; en bij deze drie CR, CP, CB, wordt een vierde evenredige CK gesteld (volgens voorstel I.XII). Aangezien dus stralen die uit punt C zouden weggaan na breking aan het oppervlak BQ zouden corresponderen met punt K, daarom zullen andersom stralen die binnen het massieve doorschijnende lichaam zo lopen dat ze naar K gericht zijn, na de breking aan het oppervlak B corresponderen met punt C.   *)  Huygens noteerde later in de marge: Dit kan weggelaten, of met minder bewezen worden. Gezegd had moeten worden dat BG de afstand is van het spreidingspunt van evenwijdige stralen die van de kant van G komen tot de holle lens BQ. En BG = 3/2 BR.

[ 227 ]

Op dezelfde manier, als bij deze drie KG, KN, KA een vierde evenredige KS geconstrueerd wordt, zal het gebeuren dat stralen die naar punt S gericht zijn, en die gebroken worden aan oppervlak AM, in de richting van punt K lopen. We trekken DS, die oppervlak AM snijdt in M, en vervolgens MK, die oppervlak BQ snijdt in Q, et verbinden Q met C. [En de rechte DC snijdt oppervlak BQ in O.] Van de stralen uit punt D van het object zal dus die, welke langs de rechte DM loopt, van M afgebogen worden in de richting van K, maar hij wordt weer gebroken in Q en komt aan bij het oog in C. Waardoor vast staat dat het punt D gezien wordt in punt Q van oppervlak BQ; en het zou in O gezien worden als in plaats van de kijker slechts een enkel oppervlak B gesteld werd, vrij van enige breking. Dus is de verhouding van schijnbare tot ware grootte, met het oog opgesteld in C, die van QB : OB. En de verhouding QB : OB wordt samengesteld uit de verhoudingen QB : MA, en MA : ED, en ED : OB. En deze zijn dezelfde als de verhoudingen KB : KA, SA : SE, en EC : BC. En de verhouding, samengesteld uit de verhoudingen SA : SE, en EC : BC, is dezelfde als die, samengesteld uit de verhoudingen SA : BC en EC : SE. Dus is de verhouding QB : OB samen te stellen uit de verhoudingen KB : KA, SA : BC, en EC : ES; maar de verhouding, samengesteld uit de verh.n KB : KA en SA : BC is dezelfde als die samengesteld uit de verh. KB : BC en SA : KA, en de andere EC : ES is de gelijkheidsverhouding, aangezien gesteld wordt dat het object DED ver weg is. Dus de verhouding QB : OB is samengesteld uit de verhouding KB : BC en SA : KA. En omdat door constructie CR : CP = CB : CK, zal gelden PR : RC = KB : BC. Evenzo omdat KG : KN = KA : KS, is NG : GK = SA : AK. Dus is de verhouding QB : OB samen te stellen uit de verh.n PR : RC en NG : GK, als het oog nog in C opgesteld is. Maar wanneer het oog aansluitend aan het oppervlak BQ geplaats wordt, valt C in B, en evenzo K in B, omdat dan de verhouding PR : RC (of RB) dezelfde zal zijn als die van de breking [I.XI], en daarom dezelfde als de verhouding AG : NG [I.VIII]. En de verhouding NG : GK zal zijn NG : GB. Dus dan zal de verhouding QB : OB, dat is de verhouding van schijnbare tot ware grootte, samengesteld zijn uit de verh.n AG : NG en NG : GB, d.w.z. deze zal zijn die van AG : GB. Wat te bewijzen was.   Verder is het nodig dat oppervlak BQ op een bepaalde manier hol is, als een scherp zicht verlangd wordt*). Want overigens, ook al zou het meer of minder hol zijn, of plat, of ook bol, zou de vergroting volstrekt dezelfde zijn, als het oog maar dichtbij gebracht wordt. Want altijd is met hetzelfde bewijs aan te tonen dat de verhouding van de schijnbare grootte tot de ware dezelfde verhouding is als die van AG : GB.   *)  BG = 3/2 BR, of algemener: BG = n. BR.

[ 229 ]

Maar hiermee stemt in het geheel niet overeen datgene waarmee Descartes zich inspant om de uitvinding van de telescoop te verklaren, waarbij hij zo'n massieve buis als deze voorstelt. Want hij wil dat het holle oppervlak zodanig is, dat het stralen die komen van afzonderlijke punten van het object, en die door het buitenste oppervlak van de buis doorgelaten zijn, zo afbuigt [en naar het oog stuurt] alsof ze kwamen van punten die dichterbij zijn. En hij gebruikt de verhouding die de afstand van deze dichterbij gelegen punten zou hebben tot de afstand van het object zelf, om daarmee te bepalen de verhouding van de schijnbare grootte tot die waarmee het met het blote oog waargenomen zou worden*). Maar hoe kan dit waar zijn, daar voor de ogen van oude mensen die instelling van een telescoop geschikt is, waarbij de stralen convergerend, of ten minste evenwijdig, naar het oog lopen, en niet alsof ze uit een dichterbij gelegen punt komen. En het is bekend dat de vergrotingsverhouding toch niet kleiner is voor oude mensen, dan voor wie goed kunnen zien.   Verder is het in dezelfde uitleg van Descartes ook absurd, dat hij zegt dat alles om die reden groter gezien wordt, dat stralen die uit verschillende punten van het object komen elkaar kruisen op het buitenste bolle oppervlak van de buis, terwijl ze zonder de buis elkaar op de pupil van het oog zouden kruisen°). Aangezien daar immers, als het oppervlak plat of hol was in plaats van bol, niettemin een dergelijke kruising zou plaatsvinden; er is uit op te maken dat ook met een omgekeerde buis alles evenveel groter gezien zou moeten worden. En dat is in strijd met wat hierboven bewezen is, en, wat meer is, met de ervaring zelf.   *)  Zie de passage, die trouwens moeilijk te begrijpen is, en die begint als volgt [Dioptrique, 81; Glazemaker, Verregezichtkunde, 128]: En ten tweede, dat deze zelfde stralen [komend van eenzelfde punt van het objectief] bij het verlaten van de buis zich zodanig buigen en van richting veranderen, dat ze in het oog kunnen komen evenals wanneer ze in het geheel niet afgebogen waren, maar alleen kwamen van een plaats die dichterbij was. En vervolgens, dat stralen die uit verschillende punten komen, na elkaar gekruist te hebben bij het binnenkomen van deze buis, elkaar niet kruisen bij het eruit gaan, maar dat ze naar het oog gaan op dezelfde manier als wanneer ze kwamen van een object dat groter was, of dichterbij.   °)  Zie de volgende passage [Dioptrique, 79; Glazemaker 126]: Rest slechts nog een ander middel om grotere beelden te maken, en dat is door er voor te zorgen dat stralen die van verschillende punten van het object komen, elkaar zo ver mogelijk van het oog kruisen; maar het is wel onvergelijkbaar, het belangrijkste & meest in aanmerking komende van alle middelen. Want het is het enige dat kan dienen voor ontoegankelijke objecten, even goed als voor toegankelijke, & waarvan de werking geen grenzen kent: zodat men door het toe te passen de beelden steeds groter kan maken, tot in het oneindige. Zoals bijvoorbeeld, aangezien het eerste van de drie vloeistoffen waarmee het oog gevuld is ongeveer dezelfde breking veroorzaakt als gewoon water, wanneer men het oog dicht tegen een buis drukt die vol met water is, zoals EF, aan het eind waarvan een glas GHI is, waarvan de vorm geheel overeenkomt met die van het vlies BCD dat deze vloeistof bedekt, & hetzelfde verband heeft met de afstand tot de achterkant van het oog, zal er geen enkele breking meer zijn bij de ingang van dit oog; maar die welke er eerst was (& die er de oorzaak van was dat alle stralen die kwamen van eenzelfde punt van het object begonnen af te buigen vanaf die plek, om zich te verzamelen in eenzelfde punt op de uiteinden van de gezichtszenuw, & vervolgens dat alle stralen die van verschillende punten kwamen elkaar daar kruisten, om zich te begeven naar verschillende punten van deze zenuw), zal nu al bij de ingang GI van de buis plaatsvinden: en wel zo, dat deze stralen, elkaar daar reeds kruisend, een veel groter beeld RST zullen vormen dan wanneer ze elkaar pas zouden kruisen op het oppervlak BCD; & ze zullen het des te groter maken naarmate de buis langer is. En zo, terwijl het water EF de functie vervult van de vloeistof K, het glas GHI die van het vlies BCD, & de ingang GI van de buis die van de pupil, zal het zien op dezelfde manier gebeuren als wanneer de Natuur het oog langer gemaakt had dan het is, zoveel als de hele lengte van deze buis bedraagt.

[ 231 ]

Voorstel XII   Wanneer*) op een rechte lijn, die oog en object verbindt, lenzen of oppervlakken geplaatst worden, in willekeurig aantal en van welke soort dan ook, met als gemeenschappelijke as dezelfde rechte lijn, dan zal het oog na alle brekingen daarin een zeker gedeelte van het object zien, ook al is het gereduceerd tot een punt als het ware, zolang dit punt niet het punt is waarin na de breking de stralen samenkomen die weggegaan zijn van het punt van het object dat op de as ligt.   Laat de rechte FE de gemeen­schappelijke as zijn waarop het oog komt in punt A, en lenzen in B en C. Verder wordt met stelling I.XX gevonden het punt F, waarmee stralen zoals GF corresponderen die door de breking van lens B langs HA naar het oogpunt A afgebogen worden. En evenzo wordt punt D gevonden, waarmee stralen zoals DG corresponderen die door de breking van lens C afgebogen worden tot GF, zodat ze corresponderen met punt F; en zo verder als er meer lenzen of oppervlakken zijn. Nu is het mogelijk dat de punten F of D oneindig ver weg liggen, in welke gevallen de stralen GF of DG evenwijdig met de as worden. Maar als nu het object in punt D geplaatst zou zijn, blijkt dat het oog zou zijn in het punt van samenkomst van stralen die uit punt D komen, en dat dan slechts dit ene punt van het object daar oneindig uitgebreid gezien zou worden. Doch we stellen hier dat het oog buiten dit punt van samenkomst is. Dus valt punt D ofwel voorbij, ofwel voor de plaats van het object, dat namelijk kan zijn in E of K.   Aangezien dus FHG zo getrokken kan worden, dat de hoeken GFC en GDC (of EDN) elk willekeurig klein worden, blijkt het zo te kunnen zijn dat FHG en GDN niet buiten de lenzen B en C lopen. En de laatste ervan, GDN, zal noodzakelijk een zeker gedeelte afsnijden van de rechten EM of KL, die loodrecht op de as zijn, zoals NE of KO, die het oog waarneemt onder de hoek BAH. Dus onderscheidt het een zeker gedeelte van het object; wat te bewijzen was.   Maar als punt D oneindig ver weg ligt, dan zal DG evenwijdig zijn met de as, en opnieuw een gedeelte van de rechten EM of KL afsnijden. En als F oneindig ver weg ligt, wordt FH evenwijdig met de as, en ook dit zal niets veranderen aan het bewijs.   *)  Dit voorstel en het volgende dateren van na 1666, en waarschijnlijk van veel later.

[ 233 ]

Voorstel XIII   Als tussen oog en object een willekeurig aantal lenzen of oppervlakken van een doorschijnend lichaam gelegen zijn, en als stralen, voortkomend uit het objectpunt dat ligt op de gemeenschappelijke as van alle, na het gaan door deze lenzen of oppervlakken, evenwijdig uittreden, dan zal, op welke afstand ook het oog er achter opgesteld wordt, dezelfde grootte van het object verschijnen, en dezelfde stand.   Gegeven de gemeen­schappelijke as ABC van een willekeurig aantal lenzen of bol­oppervlakken, en het lijnstuk AF als object, loodrecht op de as ABC, waarop het punt F zo dichtbij A is, dat het gezien kan worden door het oog in K of C (twee willekeurige punten van de as) geplaatst, en tot een punt teruggebracht; want dat dit mogelijk is staat vast door het vorige voorstel. Ik zeg dat lijnstuk AF in beide posities van het oog met dezelfde grootte zal verschijnen. Daar immers de uit punt A voortkomende stralen, na het doorlopen van de tussengeplaatste doorschijnende lichamen, onderling evenwijdig worden, zullen ook de uit punt F vertrokken stralen onderling evenwijdig uittreden {* volgens voorstel I.XXII}. Daarvan gaat DC door naar het oog als het in C geplaatst is, en LK naar het oog als het in K is. Omdat dus de stralen DC en LK onderling evenwijdig zijn, zullen de hoeken BKL en BCD gelijk zijn. Maar nu wordt door het oog in K de rechte AF gezien onder de hoek BKL, door het oog in C echter wordt dezelfde rechte AF gezien onder de hoek BCD; in beide gevallen dus onder dezelfde hoek, en daarom met gelijke grootte. Maar het blijkt ook dat de rechten CD en KL aan dezelfde kant van de as vallen, daar ze immers evenwijdig uit de punten C en K weggaan. Dus of men nu kijkt vanuit C of vanuit K, men zal van het lijnstuk AF dezelfde stand waarnemen. Wat te bewijzen was. [ Einde van het tweede boek ]