Lenzen   Met de breking van de afzonderlijke oppervlakken bekend, uit wat tot hier toe bewezen is, zullen we nu punten van samenkomst of spreidingspunten kunnen vinden van willekeurige lenzen, bolle of holle, of op verschillende manieren samengesteld uit bolle, holle en platte oppervlakken — zowel wanneer de invallende stralen evenwijdig zijn, als wanneer ze vanaf of naar een gegeven punt lopen. En bij deze zaak zal het ook vaak mogelijk zijn een kortere weg te volgen, zoals in het volgende duidelijk zal worden. Voorstel XIII   Gegeven een bol van doorschijnend materiaal; te vinden het punt van samenkomst van evenwijdige stralen die daar op vallen.   Gegeven een bol met middelpunt C en as BA, een doorsnede door het middelpunt is de cirkel BPA. En er vallen stralen op, evenwijdig met de as BA, zoals OP. De halve diameter CA wordt doormidden gedeeld in E, en verlengd; en CD : DE is de brekingsverhouding, namelijk die, welke overeenkomt met het materiaal waarvan de bol gemaakt is. Bijvoorbeeld wanneer het een kristallijnen of glazen bol is, moet de verhouding CD : DE ongeveer anderhalf zijn, en vierderde als het water is. Ik zeg dat D het gevraagde punt van samenkomst zal zijn*).   Want op de aan weerskanten verlengde as geven we de punten S en Q aan, zodanig dat zowel BS : SQ als AQ : QC gelijk is aan de brekingsverhouding (dat is dezelfde als CD : DE): CS en SQ worden onderling gelijk. Dus stralen evenwijdig met de as, zoals OP, worden bij binnenkomst zo gebroken, dat ze in de richting van punt S gaan {* voorstel VIII}. En verder, omdat CD : DE = BS : SC zal ook door verdeling gelden: CE (of (EA) : ED = BC (of CA) : CS.   *)  CD = n/2(n-1) R

[ 81 ]

Vandaar ook EA : AD = CA : AS. Nu is EA de helft van deze CA, dus zal AD ook de helft zijn van deze AS. Maar ook SC is de helft van SQ. Dus SQ : SC = SA : SD, door ook te verwisselen. Verder is Q het punt van samenkomst van evenwijdige stralen die van de andere kant op het oppervlak A invallen. Dus zal D punt van samenkomst zijn van stralen die naar S gericht zijn en die aan hetzelfde oppervlak A gebroken worden {* voorstel XII.4}. En we hebben gezegd dat evenwijdige stralen na de eerste breking aan oppervlak BP gericht zijn naar punt S. Dus het is duidelijk dat ze, als ze de hele bol doorlopen hebben, samenkomen naar punt D. Wat te bewijzen was.   Wel moet men weten dat dit is te verstaan met betrekking tot stralen die heel dicht bij de as BA zijn, zoals hierboven ook meestal gedaan is. En deze stralen hebben juist ook het vermogen om te branden, als de bol aan de zon blootgesteld is. En om afbeeldingen van dingen te maken, op de afstand AD. En deze zal ten naaste bij het vierde deel van de diameter zijn bij een glazen bol, maar in een bol van water de helft. Waaruit nu de reden duidelijk is voor die handige methode, waarmee de brekingsverhouding te onderzoeken is, zoals ik in het begin heb meegedeeld [<]. Aangezien dit bewijs ook van toepassing is op een cilinder, of op elk ander rond vat met een doorsnede loodrecht op de as. Voorstel XIV   Gegeven een lens die het ene oppervlak plat heeft, het andere bol; te vinden het punt van samenkomst van stralen die evenwijdig met de as zijn.   Gegeven een lens met een bol oppervlak ABC, deel van een bol met middelpunt D. En het vlakke oppervlak is AFC. En dit ligt eerst tegenover de evenwijdige stralen. We trekken de rechte DBE, die de as van de lens aangeeft, d.w.z. die het oppervlak AFC snijdt onder een rechte hoek, en we trekken deze door tot E, zodanig dat DE tot EB de brekingsverhouding heeft, die steeds als gegeven wordt beschouwd. Het is duidelijk dat E het gevraagde punt van samenkomst zal zijn*). Want stralen die evenwijdig zijn met de as DF, en die onder rechte hoeken invallen op het platte oppervlak AC, ondervinden daar geen enkele breking, en dus komen ze evenwijdig op het oppervlak ABC; en door de breking daarvan worden ze afgebogen naar punt E, volgens voorstel IX.   Nu zal de afstand BE gelijk zijn aan de bollingsdiameter (of tweemaal DB) als de lens van glas is, omdat de verhouding DE : EB dan anderhalf is.   *)  BE = R / (n–1) [ Isaac Barrow vond iets dergelijks, zie 'Lectiones' (1669/74, p. 97): I-R.R::DK.DY, oftewel n-1 = r/f .]

[ 83 ]

Stel nu dat het bolle oppervlak ABC tegenover de stralen ligt. Als dan de as BD verlengd wordt tot G, zodanig dat BG tot GD de brekingsverhouding heeft, zal G het punt zijn waarnaar de stralen gericht zijn na de eerste breking, aan oppervlak ABC {* voorstel VIII}. En we verdelen GF in H, zodanig dat GF tot FH ook de brekingsverhouding heeft. Ik zeg dat H het punt van samenkomst zal zijn van de evenwijdige stralen, nadat ze door beide lensoppervlakken zijn gegaan*). Want omdat ze na de breking aan oppervlak ABC gericht zijn naar punt G, en ze zo van binnen het platte oppervlak AFC ontmoeten, zal dit ze dan weer leiden naar punt H {* voorstel VII}, aangezien GF : FH de brekingsverhouding is.   Verder is het duidelijk dat de afstand FH maar weinig kleiner is dan de boven gevonden BE, en dat de verhouding tot deze gelijk is aan GF : GB. Waaruit volgt dat, als we de lensdikte FB verwaarlozen, FH gelijk zal zijn aan BE, d.w.z. aan de diameter van de bol waarvan ABC een gedeelte is, als de lens van glas is.   En het zal blijken, als het samenkomen van de stralen, die door deze lens gebroken worden, exact wordt gemeten en nagerekend [>], dat ze iets nauwkeuriger en dichterbij één punt bijeenkomen in deze laatste positie van de lens, wanneer namelijk het bolle oppervlak tegenover de aankomende stralen ligt, dan wanneer het platte oppervlak naar ze toegekeerd wordt.   *)  FH = R/(n–1) – d/n   als d de lensdikte is. Voorstel XV   Gegeven een lens die een hol en een plat oppervlak heeft, te vinden het spreidingspunt van evenwijdige stralen vóór de lens.   Gegeven een dergelijke lens, waarvan het holle oppervlak B is, met hollingsmiddelpunt D, en het vlakke oppervlak is F.

[ 85 ]

Als dan het platte oppervlak naar de aan­komende stralen gekeerd is, verlengen we slechts DB naar E, zodat DE tot EB de ver­houding van de breking is; en E zal het gevraagde spreidingspunt zijn, zoals duidelijk is uit voorstel XI*). Aangezien er geen breking plaats vindt aan het platte oppervlak F, daar gesteld wordt dat de stralen hierop invallen onder rechte hoeken, en ze daarom evenwijdig aankomen op oppervlak B.   Maar als de lens anders gekeerd is, moet BD verlengd worden naar G, zodanig dat BG tot GD de brekingsverhouding is; daarna wordt GF verdeeld in E zodat ook GF tot FE de zelfde brekingsverhouding heeft; en zo zal weer het spreidingspunt E gevonden zijn°). Want evenwijdige stralen, gebroken aan het holle oppervlak B, zullen daarna het spreidingspunt G hebben, volgens voorstel X; uit de richting van G komend vallen ze op het platte oppervlak, ondergaan daar voor de tweede maal een breking, en vervolgens gaan ze verder alsof ze uit punt E kwamen, volgens voorstel VI. E is dus het gevraagde spreidingspunt.   En omdat GF : FE = BG : GD, en GF groter dan BG, zal FE ook groter zijn dan GD, waarvan vaststaat dat BE van het eerste geval eraan gelijk is. Met weglating aan weerskanten van de lensdikte BF, volgt hier uit dat ook de afstand BE in het tweede geval groter zal zijn dan FE in het eerste geval.   *)  EB = R/(n–1) °)  Als BF = d:   FE = R/(n–1) + d/n   Voorstel XVI   Gegeven een bolle lens met gelijke of ongelijke oppervlakken, hetzij aan beide kanten bol, hetzij met een holle kant, maar met minder holling dan bolling; te vinden het punt van samenkomst van evenwijdige stralen.

[ 87 ]

Ge­geven een van deze beide lenzen, met van opper­vlak C het middel­punt A, en B van opper­vlak D. Verbind A met B en verleng de lijn aan weerskanten, en maak het zo dat zowel CE tot EA, als DL tot LB, een verhouding heeft gelijk aan die van de breking. Vervolgens dat EL : ED = EB : EN, en deze EN moet genomen worden aan de kant, die voorstel XII voorschrijft. En N zal het punt van samenkomst zijn van met de as evenwijdige stralen die komen van de kant van C. Want nadat ze eerst gebroken zijn aan het oppervlak C corresponderen ze daarna met punt E, zoals aangetoond is in voorstel VIII. En de stralen die corresponderen met E, worden na breking aan oppervlak D verzameld in punt N, volgens XII.4, en bij de maansikkel volgens XII.8.   Op dezelfde manier, als LE : LC = LA : LO, zal O het punt van samenkomst zijn van evenwijdige stralen die aankomen aan de kant van D. En opgemerkt moet worden dat de afstanden DN en CO ongeveer aan elkaar gelijk zijn, en dat de oorzaak van de ongelijkheid slechts komt van de lensdikte. En indien oppervlak D deel is van een grotere bol dan oppervlak C, d.w.z. indien BD groter is dan AC, zal de afstand CO groter zijn dan DN; wat als volgt aangetoond wordt. Omdat DL : LB = CE : EA, zal ook gelden, door omzetting van de verhouding en omkering, DB : DL = CA : CE. En DB is groter dan CA, dus is ook DL groter dan CE. Als men in het geval van een dubbelbolle lens dan van elk van deze twee aftrekt DC — en als men in het geval van de maansikkel dezelfde DC optelt bij DL, en aftrekt van CE — blijkt in beide gevallen de verhouding LC : DE groter te zijn dan LD : CE, dus groter dan LB : AE. En daarom zal de rechthoek LC.AE groter zijn dan de rechthoek DE.LB.

[ 89 ]

Nu is rechthoek LC.AE gelijk aan rechthoek LE.CO, omdat LE : EA = LC : CO; en rechthoek DE.LB is gelijk aan rechthoek EL.DN, omdat EL : LB = ED : DN. Dus is rechth. LE.CO groter dan rechthoek LE.DN, en daarom is CO groter dan DN.   Maar als we de dikte CD van de lens verwaarlozen, zoals in het volgende bijna altijd zal gebeuren, zeg ik dat de punten van samenkomst der evenwijdige stralen, O en N, even ver van de lens liggen. Want we nemen nu het middelste punt D van de lens, in plaats van beide punten D en C.   Omdat dus LE : LA = LD : LO, is ook LE : EA = LD : DO, waaruit volgt dat rechth. LE.DO gelijk is aan rechthoek EA.LD. En hieraan is gelijk recht. DE.LB, omdat DE : EA = DL : LB, en anderzijds is DE.LB gelijk aan rechth. EL.DN, omdat EL : LB = ED : DN. Dus kan rechth. LE.DO gelijkgesteld worden met rechthoek EL.DN; en dus DO met DN; wat te bewijzen was.   Nu is het mogelijk de punten O en N te vinden op een gemakkelijker manier. En inderdaad behoeft alleen het punt L gevonden te worden zoals eerst, namelijk door te maken dat DL : LB de brekingsverhouding is; en vervolgens dat BA : AD = LB : DN of DO*). Want omdat DL : LB = DE : EA, zal door omzetting van de verhouding gelden LD : DB = ED : DA, en door verwisseling LD : DE = BD : DA. En daarom is ook LE : ED = BA : AD. En zoals BA : AD is, zo hebben we LB : DN gemaakt. Dus LE : ED = LB : DN. en door verwisseling, EL : LB = ED : DN. Vandaar EL : EB = ED : EN, en dus is N het gevraagde punt van samenkomst; want dit is eerder aangetoond. Dus geldt in een glazen lens: zoals de som van de halve bollingsdiameters — maar bij de maansikkel hun verschil — tot één van beide, zo is het dubbele van de andere tot de brandpuntsafstand. Want dan wordt LB tweemaal de straal BD, omdat DL : LB = 3 : 2, wat bij glas de brekingsverhouding is. En in het geval dat beide oppervlakken even bol zijn, blijkt nu de brandpuntsafstand gelijk te zijn aan de halve bollingsdiameter.   *)  Deze constructie geeft de formules f = R1 R2 / (n – 1) (R1 ± R2) Voorstel XVII   Gegeven een holle lens met twee bolvormige oppervlakken, te vinden het spreidingspunt van evenwijdige stralen.

[ 91 ]

De gegeven lens is CD, met beide oppervlakken hol, of met één ervan bol, maar dan als gedeelte van een grotere bol dan het holle oppervlak. De halve middellijnen van de oppervlakken zijn AC en BD, die verlengd worden naar L en E; zodanig dat zowel CE : EA als DL : LB de verhouding heeft waarmee de breking gemeten wordt. En EL : ED = EB : EN. Ik zeg dat N het spreidingspunt zal zijn van stralen die evenwijdig invallen aan de kant van C.   Want de stralen die evenwijdig aankomen worden gebroken aan oppervlak C, en corresponderen onmiddellijk daarna met punt E, volgens voorstel X, omdat CE : CA de brekingsverhouding is. Maar omdat EL : ED = EB : EN, daarom zullen stralen die naar E gaan of uit E komen*) na de breking aan oppervlak D het spreidingspunt N hebben, zoals vaststaat uit voorstel XII.7 en XII.3. Dus N is het spreidingspunt van de evenwijdige stralen na de tweevoudige breking in lens CD. In de bolholle lens is het evenwel nodig, dat de halve diameter AC [BD] tenminste zoveel groter is dan de halve diameter BD [AC], dat punt E [L] verder dan L [E] van de lens verwijderd bevonden wordt. Want anders zullen de stralen die naar E gericht zijn [uit E komen] na breking aan oppervlak D niet uiteen kunnen gaan, zoals vaststaat uit voorstel XII.3.   Verder, als men een punt O kiest zodat LE : LC = LA : LO, zal O het spreidingspunt zijn van de evenwijdige stralen die aankomen van de kant van D. Aangezien de stralen eerst door de breking van oppervlak D zullen corresponderen met punt L (volgens voorstel X en VIII). En omdat LE : LC = LA : LO, daarom zullen ze na de andere breking, aan oppervlak C, uiteengaan alsof ze uit punt O voortkwamen (volgens voorstel XII.7 en 8).   *)  Punt E zal altijd spreidingspunt zijn.

[ 93 ]

Nu zal DO kleiner zijn dan CN, als AC kleiner is dan BD, en andersom. Want omdat BD : AC = DL : CE, en als BD groter gesteld wordt dan AC, zal ook DL groter dan CE zijn. Dus in het geval van de dubbelholle lens, als bij beide de lensdikte DC opgeteld wordt — maar in het geval van de bolholle, als DC van DL afgetrokken wordt, en dezelfde bij CE opgeteld wordt — zal in beide gevallen de verhouding LC : DE kleiner zijn dan LD : CE of LB : AE. Zodat met een dergelijke redenering als boven bij de holle lens, verkregen wordt dat de rechthoek LE.CO kleiner is dan rechthoek LE.DN, en daarom CO kleiner dan DN; maar het verschil is gering, en komt van de lensdikte. Als namelijk de lensdikte verwaarloosd wordt, zodat in plaats van de punten D en C het ene punt D genomen wordt, dan worden DN en DO aan elkaar gelijk,wat op dezelfde manier bewezen wort als bij de bolle lens in het voorgaande voorstel.   Verder zullen hier weer de spreidingspunten O en N vlugger gevonden kunnen worden, door slechts te maken dat DL : LB de brekingsverhouding heeft, zoals eerder; en vervolgens BA : AD = BL : DN of DO; waarvan het bewijs ook hetzelfde is als bij de bolle lens.   En het is duidelijk dat, als beide oppervlakken even hol zijn, d.w.z. als AD = DB, dat DN of DO gelijk zal zijn aan het midden van LB, en bijgevolg, als het een glazen lens is, gelijk aan de halve diameter AD of BD. Om dezelfde reden namelijk als waarmee het bij de bolle lens over het punt van samenkomst is aangetoond.

[ 95 ]

Een lens te vinden waarvan het ene oppervlak bol is en gelijk aan een gegeven oppervlak, en die het punt van samenkomst van evenwijdige stralen op een gegeven afstand heeft.   Stel dat van lens C het ene oppervlak gegeven is, d.w.z. de halve bollingsdiameter AC daarvan, en dat de afstand CO gegeven wordt, en dat gevonden moet worden een ander oppervlak, dat gevoegd bij het eerste een lens maakt, die evenwijdige stralen naar punt O brengt.   Verleng AC tot P, zodanig dat AP : PC de brekingsverhouding is. In het geval dat dan de afstand OC aan deze PC gelijk bevonden wordt, zal het andere oppervlak van de lens plat moeten zijn, zoals duidelijk is uit voorstel XIV. Maar als OC en CP ongelijk zijn, kiezen we een punt B zodanig dat hun verschil PO tot OC wordt als AC tot CB; en deze wordt genomen in de richting van P, als PC > CO, maar naar de andere kant als PC < CO. En in het eerste geval zal het andere lensoppervlak bol zijn met halve diameter BC; doch in het tweede geval hol, zodat we dan de vorm van een maansikkel hebben. En het bewijs is dusdanig. Aangezien AC : CB = PO : OC. zal gelden, door samenstelling in het eerste geval, en in het andere door omzetting van de verhouding, met het verschil in plaats van de som: AB : BC = PC : CO. Nu is AP : PC de brekingsverhouding. Dus zal O het punt van samenkomst zijn van stralen die evenwijdig invallen op de lens C, zoals vaststaat uit voorstel XVI. En zo blijkt de gevraagde lens gevonden te zijn.

[ 97 ]

Bij een gegeven lens met twee ongelijke bolle oppervlakken, of een maansikkelvorm, een andere gelijkwaardige lens te vinden, die een bol en een plat oppervlak heeft, of beide even bol.   De gegeven lens D is zoals we gezegd hebben, of een maansikkel. En de middelpunten van de oppervlakken zijn A en B. We maken BA : AD = BD : DK*). Ik zeg dat DK de halve bollingsdiameter is van een lens die het andere oppervlak plat heeft, en die hetzelfde doet als lens D. Want als DL : LB de brekingsverhouding heeft, en BA : AD = LB : DN, dan zal N een brandpunt van lens D zijn, volgens wat in voorstel XVI bewezen is. Maar zoals BA tot AD zo is ook BD : DK, dus BD : DK = LB : DN. En door verwisseling BD : BL = DK : DN. En door samenstelling zal dan gelden DL : LB = KN : ND, en daarom zal ook KN : ND de brekingsverhouding zijn. Dus als in D een lens wordt opgesteld die het ene oppervlak bol heeft met halve middellijn KD, en het andere aan de kant van K plat, zal het punt N een brandpunt ervan zijn, zoals duidelijk is uit voorstel XIV.   En als KD verdubbeld wordt heeft men de halve bollingsdiameter voor de lens met twee gelijke oppervlakken, zoals blijkt uit voorstel XVI.   *)  Met AD = R1, BD = R2 en R voor de gezochte straal geldt dan:   1/R = 1/R1 ± 1/R2.

[ 99 ]

Gesteld een willekeurige lens, bol of hol, hetzij met beide oppervlakken bolvormig, hetzij met het ene oppervlak plat; en gegeven een punt op de as ervan, vanwaar of waarheen stralen gericht zijn die de lens ontmoeten; Als met twee afstanden tot dit punt een derde evenredige vastgesteld wordt, waarbij de eerste afstand is tot het punt waarmee de evenwijdige stralen corresponderen die van de andere kant op de lens vallen, en de tweede tot de lens zelf; dan zal het eindpunt van de derde afstand, die te nemen is vanaf het gegeven punt naar dezelfde kant als de eerste, het punt van samenkomst zijn, of het spreidingspunt, van de stralen die gericht zijn vanaf het gegeven punt, of naar het gegeven punt*).   De lens is C, waarvan we de dikte hier zullen verwaarlozen, en op de as AC van de lens is het punt D gegeven, vanwaar of waarheen stralen gericht zijn die lens C ontmoeten. En O is het punt waarmee corresponderen de gebrokenen van evenwijdige stralen die van de andere kant invallen.   *)  DO × DP = DC2   of   1/DC + 1/CP = 1/OC   (C: lens, D: voorwerpspunt, O: brandpunt, P: beeldpunt), in onze notatie: (v – f ) (v + b)  = v2   of   1/v  + 1/b  = 1/f .

[ 101 ]

En we stellen bij de twee afstanden DO en DC een derde evenredige DP, zodanig dat DO en DP altijd aan dezelfde kant liggen. Ik zeg dat P zal zijn het punt van samenkomst of het spreidingspunt van stralen die uit D komen of naar D gaan. Maar D mag niet samenvallen met O, omdat stralen die uit D komen dan niet door de breking van de lens naar een punt gebracht worden, maar evenwijdig verder gaan, zoals vaststaat uit voorstel ...*).   Wanneer beide lensoppervlakken bolvormig zijn is het bewijs als volgt.   Neem A als middelpunt van het bolvormige oppervlak dat de invallende stralen het eerst ontmoeten, en B als middelpunt van het andere oppervlak. En er zijn punten E en L te vinden, zodanig dat zowel CE : EA als CL : LB de brekingsverhouding heeft. En neem CR, aan de andere kant van de lens, gelijk aan AE; dan is AR : RC = CE : EA. En zoek bij de drie DR, DC en DA een vierde evenredige DN, te nemen aan die kant waarbij ofwel alle vier vanaf punt D in dezelfde richting liggen, ofwel twee aan weerskanten. Als dan D hetzelfde punt is als A, moet men zich voorstellen dat ook N met deze twee samenvalt. Maar als R in D valt, zal dit geval apart bewezen worden [>]. Nooit echter zal N in L vallen, daar D verschillend is van O, zoals we gezegd hebben dat nodig is.   Omdat dus CE : EA, en eveneens CL : LB de brekingsverhouding is, en O het punt waarmee de gebrokenen van evenwijdige stralen corresponderen, zullen deze vier evenredig zijn LE, LA; LC, LO {* voorstel XVI en XVII}. Daarom is ook LE : EA = LC : CO, en door verwisseling LE : LC = EA (of CR) : CO. Dientengevolge is ook LE : EC = CR : RO. Omdat verder door constructie evenredig zijn DR, DA; DC, DN, is ook DR : RA (of EC) = DC : CN; en door omkering NC : CD = EC : DR.   *)  Over de de mogelijkheid om straal en gebroken straal te verwisselen is er geen voorstel.

[ 103 ]

Daarom is ook NE : RC als EC : DR. Maar zoals RC : RO is, zo hebben we gezegd dat LE : EC is. Dus door gelijken in een verstoorde verhouding*), zal gelden EN : RO = LE : DR. En door verwisseling en omkering LE : EN = DR : RO. Hieruit volgt ook LE : LN = DR : DO, en dus is de rechthoek LE.DO gelijk aan LN.DR. Nu is DO : OC = DO.LE : OC.LE. Dus is DO : OC = LN.DR : OC.LE (of LC.RC). Want eerder was gezegd LE : LC = CR : CO. Verder is DO : OC = DC : CP, omdat door constructie evenredig zijn DO, DC, DP. Dus DC : CP = LN.DR : LC.CR. En rechthoek LC.CR is gelijk aan LB.AR, omdat door constructie CL : LB = AR : RC. Dus DC : CP is dezelfde verhouding als van rechthoek DR.LN : LB.AR, dat is de samengestelde uit de verhoudingen DR : RA en LN : LB. Maar de verhouding DC : CP is ook samen te stellen uit de verhoudingen DC : CN en CN : CP. Dus de verhouding samengesteld uit de verhoudingen DR : RA en LN : LB, is dezelfde als die, samengesteld uit de verhoudingen DC : CN en CN : CP. Nu is de verhouding DC : CN dezelfde als DR : RA, omdat door constructie evenredig zijn DR, DA; DC, DN. Dus is ook de resterende verhouding LN : LB dezelfde als de resterende CN : CP. Dientengevolge zullen ook NL, NB; NC, NP evenredig zijn.   Dus ten eerste, omdat evenredig zijn DR, DA; DC, DN staat vast (uit voorstel XII) dat stralen die van of naar punt D lopen, zo gebroken worden door het oppervlak met middelpunt A, dat ze onmiddellijk daarna corresponderen met punt N. Maar omdat verder ook evenredig zijn NL, NB; NC, NP, zullen de stralen die naar of vanaf N lopen, na breking aan het oppervlak met middelpunt B, corresponderen met punt P (zoals duidelijk is uit hetzelfde voorstel). Dus blijkt P het punt van samenkomst of het spreidingspunt te zijn van stralen die uit punt D voortkomen, of daarnaar gericht zijn. Wat te bewijzen was.   *)  Euclides V.23.

[ 105 ]

Maar wanneer het gebeurt dat de punten D en R samenvallen in één punt, zal, met het andere geconstrueerd zoals eerst, behalve punt N, het bewijs als volgt worden. Omdat gezegd is dat EL : LC = RC : CO, zal natuurlijk gelden RO (of DO) : OC = EC : CL. Verder is DO : OC = DC : CP, en EC : CL = RC : LB, omdat door constructie CE : EA (of CR) = CL : LB. Dus DC : CP = RC (of DC) : LB; en daarom is CP gelijk aan deze LB. En als aan beide toegevoegd wordt BC, zal ook BP gelijk zijn aan LC. Dus is BP : LB (of PC) dezelfde verhouding als CL : LB. En door constructie is dit de brekingsverhouding. Omdat dus ten eerste gesteld is dat AR : RC de brekingsverhouding is, staat vast (uit voorstel XI en IX) dat stralen die corresponderen met R, dat is D, en die gebroken zijn aan het oppervlak met middelpunt A, binnen de lens evenwijdig zullen lopen. En stralen die evenwijdig zijn als ze het oppervlak ontmoeten waarvan het middelpunt B is, zullen van daar af corresponderen met punt P, omdat BP : PC de brekingsverhouding is. Dus is P het punt van samenkomst of het spreidingspunt van stralen die gericht zijn vanaf D of naar D. Wat te bewijzen was.   Maar als van de lensoppervlakken het ene bolvormig is en het andere plat, zal het ene of het andere aan de inkomende stralen blootgesteld zijn. En als het bolvormige oppervlak eraan is blootgesteld, waarvan het middelpunt A is, maken we bij de drie DO, DA en DC een vierde evenredige DN, die genomen wordt aan die kant waarbij ofwel alle vier in dezelfde richting liggen, ofwel twee aan weerskanten. Dan is zowel DO : OA = DC : CN, als door verwisseling DO : DC = OA : CN. Maar ook is DO : DC = OC : CP, omdat door constructie evenredig zijn DO, DC en DP. Dus OA : CN = OC : CP, en door verwisseling AO : OC = NC : CP.

[ 107 ]

Nu is de verhouding AO : OC die van de breking, omdat O het punt is waarmee de gebrokenen van evenwijdige stralen corresponderen {* voorstel XIV en XV}. Dus zal ook NC : CP de brekingsverhouding zijn. Dus omdat we DO, DA en DC, CN evenredig gemaakt hebben, blijkt dat alle stralen die naar D of uit D lopen, zo gebroken worden aan het oppervlak met middelpunt A, dat ze onmiddellijk daarna corresponderen met punt N {* voorstel XII}. Maar omdat NC tot CP een verhouding heeft gelijk aan die van de breking, daarom zullen stralen die corresponderen met punt N, na breking aan het platte lensoppervlak, vandaar corresponderen met punt P {* voorstel VI en VII}. Dus ook hier staat het voorgestelde vast.   Als echter de stralen eerst invallen op het platte lensoppervlak, en als weer het middelpunt van het bolvormige oppervlak A is, maken we dat CE tot EA de brekingsverhouding heeft, en evenzo MC tot CD. Omdat dus O een punt is waarmee evenwijdige stralen corresponderen, zal CO gelijk zijn aan AE {* voorstel XIV en XV}; en daarom is ook CE : CO = CE : EA, dat is gelijk aan MC : CD. Daarom is ook ME : OD = MC : CD. Nu is OD : OC = DC : CP, omdat door constructie evenredig zijn DO, DC, DP. Dus door combinatie is ME : OC (of EA) = MC : CP, en dus ME : MA = MC : MP. Omdat dus gesteld is dat MC : CD gelijk is aan de brekingsverhouding, daarom zullen stralen die van of naar D gericht zijn, na breking aan het platte lensoppervlak, corresponderen met punt M {* voorstel IV en V}. En omdat evenredig zijn ME, MA en MC, MP, staat vast {* voorstel XII} dat stralen die corresponderen met punt M, als ze gebroken zijn aan het oppervlak waarvan het middelpunt A is, verder corresponderen met punt P. Wat nog te bewijzen was.

[ 109 ]

Verder is hieruit duidelijk, met betrekking tot de afstand van de punten van samenkomst of spreiding van stralen die gericht zijn naar of vanaf willekeurige punten, dat het van geen enkel belang is welk van beide oppervlakken van een lens naar de stralen gekeerd is.   Eveneens ook dat lenzen met verschillende oppervlakken, die de punten van samenkomst of spreiding van evenwijdige stralen even ver verwijderd hebben, overigens gelijkwaardig zijn. Omdat immers bij de constructie niet gelet wordt op de middelpunten van de afzonderlijke lensoppervlakken, maar slechts op de punten van samenkomst of spreiding van evenwijdige stralen.