Dioptrica 2

Op de marge, in de hand van Huygens, na 1672: Het volgende dat in deze 38 pagina's staat moet niet uitgegeven worden; omdat het niet volmaakt samenkomen van de stralen ergens anders vandaan komt dan van de bolvorm, en wel uit dat principe van de kleurschifting, dat door Newton is opgemerkt.   Later heeft Huygens dit doorgestreept, ongetwijfeld van mening dat het oordeel overdreven was, en van de 38 genummerde pagina's heeft hij de eerste 20 bestemd voor zijn Dioptrica. De 18 laatste heeft hij afgekeurd, en ze hebben een omslag met de titel: "Rejecta ex dioptricis nostris". Voorstel I   In zeer kleine segmenten van eenzelfde cirkel wordt de verhouding van de hoogten (of diameters van de segmenten) geacht dezelfde te zijn als die van de kwadraten van de bases.     Gegeven van eenzelfde cirkel de kleine segmenten CAD en EAF, die beide de cirkeldiameter AB doormidden snijden, en van de segmenten zijn de hoogten AG en AH. Ik zeg dat de verhouding AG : AH bij benadering dezelfde is als die van de kwadraten van de basis CD tot de kwadraten van de basis EF. Want omdat de rechthoek BGA [BG.GA] gelijk is aan het vierkant [kwadraat van] GD, en de rechthoek BHA gelijk aan het vierkant FH, blijkt te gelden: zoals vierkant GD tot vierkant HF (of: zoals vierkant CD tot vierkant EF), zo is rechthoek BGA tot rechthoek BHA. Verder, zoals rechthoek BGA tot rechthoek BG.HA, die ietsje kleiner is dan rechthoek BHA, zo is AG tot AH. Dus heeft ook AG tot AH een wat grotere verhouding dan vierkant CD tot vierkant EF.   Stel dat de diameter AB een lengte van 20000000 delen heeft; en dat boog CAD 1/36 van de omtrek is, oftewel 10 graden. Dat maakt DG van 871557 delen, en als we aan de helft daarvan FH gelijk stellen, zal deze zijn 435778.

[ 275 ]

Maar AG is 38053; waarvan het vierde deel is 9513, en als AH daaraan gelijk zou zijn, dan zou de verhouding AG : AH dezelfde zijn als van vierkant CD tot vierkant EF. Nu wordt evenwel gevonden dat AH 9500 is, zodat het verschil slechts is 13/9500 of 1/731 van AH zelf, en slechts 13/20000000 van de diameter AB.   Maar de bolle of holle oppervlakken van de lenzen die we in het vervolg zullen beschouwen, omvatten maar een 1/100 of 1/200 deel van de omtrek (zoals later gezegd zal worden), en daarbij is er dus een veel kleinere fout in de genoemde verhouding van bases en hoogten. Voorstel II   Als zeer kleine segmenten van ongelijke cirkels een gelijke of dezelfde bases hebben, worden de hoogten van de segmenten, en de diameters van die cirkels, geacht aan de omgekeerde verhouding te beantwoorden.     Gegeven de kleine segmenten ABC en ADC, van ongelijke cirkels, met dezelfde basis AC, en doormidden gedeeld door de rechte DE; op deze rechte liggen ook de middellijnen van de cirkels, te weten BF van die waarvan ABC een segment is, en DG van de kleinere cirkel waarvan ADC een segment is. Ik zeg dat zoals BF tot DG is, zo ook bij benadering de hoogte DE tot BE. Want aangezien de rechthoeken FEB en GED onderling gelijk zijn (ze zijn immers elk gelijk aan vierkant EC), zal dus gelden FE : GE = DE : EB. Maar zoals FE : GE, zo is bij benadering diameter FB tot diameter GD, aangezien de gedeelten EB en ED zeer klein gesteld worden ten opzichte van hun hele diameters. Dus ook: zoals diameter FB tot diam. GD zo is bij benadering DE tot hoogte BE.   Stel dat boog ADC weer 1/36 van de omtrek is, of 10 graden, en diameter DG van 20000000 delen. Dan zal ED van 38053 delen zijn. En als nu diameter BF gesteld wordt op tweemaal diameter DG, dat is van 40000000 delen, zal EB bevonden worden van 19000 delen, en deze moest zijn de helft van ED, dat is van 19026 delen.

[ 277 ]

Dus het verschil is maar 26/19000 of 1/731 gedeelte van EB, en maar 26/40000000 van diameter BF. En als boog ADC kleiner genomen wordt, zal de genoemde omgekeerde verhouding van hoogten en diameters des te nauwkeuriger uitkomen. Definities   Dikte van een bolle lens   wordt genoemd het interval dat er is tussen de middelste punten van beide oppervlakken, als de randen samenvallen. Zo is van lens ABCD, waarvan de randen samenkomen in één cirkel AC, de dikte BD, de afstand namelijk van de middelste punten van beide oppervlakken.   En dikte van een holle lens   wordt genoemd de afstand van de omtrekken van beide oppervlakken, als hun middelste punten samenvallen. Zo is van lens DEFGH, waarvan de middelste punten elkaar aanraken in E, de dikte DH of FG, te weten de zijde van de cilinder die beide oppervlakken omvat.   Want op deze manier zullen we lenzen in het vervolg beschouwen. En ofschoon bolle lenzen meestal enige dikte hebben aan de rand, en holle lenzen altijd enige dikte in het midden, zullen we toch van alle slechts dat als dikte rekenen, wat over zou blijven als de oppervlakken elkaar aan de rand of in het midden zouden raken. Voorstel III   Bolle lenzen met dezelfde brandpuntsafstand, en holle lenzen met dezelfde afstand van het spreidingspunt, zullen ook van dezelfde dikte zijn als ze de breedte gelijk hebben.

[ 279 ]

Stel ten eerste dat van de lenzen de ene AB platbol is, waarbij oppervlak ACB de halve bollingsdiameter DC heeft. De lensdikte is CE, en de brandpuntsafstand CF, die het dubbele van CD zal zijn [<]. En de andere lens GH is aan beide kanten bol, met dezelfde breedte als lens AB, en de brandpuntsafstand MP is gelijk aan CF. Ik zeg dat dan ook de dikte KM van lens GH gelijk is aan EC, de dikte van lens AB.   Want laat bij lens GH het oppervlak GKH de halve bollingsdiameter LK hebben; en oppervlak GMH de halve bollingsdiameter MN. En laat de rechte GH de dikte KM van de lens snijden in O.   Omdat dan zoals de som van LK en NM is tot NM, zo ook het dubbele van LK tot de brandpuntsafstand MP {* voorstel I.XVI} — die gelijk gesteld wordt aan CF — zal daarom gelden: zoals de som van LK en NM tot NM, zo is het dubbele van LK tot CF, of: zo is LK tot de helft van CF (d.w.z. tot DC). Omdat nu LK : NM = MO : OK {* voorstel II}. zal ook door samenstelling gelden: zoals de som van LK en NM tot NM, zo is MK tot KO. Dus ook MK : KO = LK : DC. Maar zoals LK : DC zo is ook CE : KO {* zelfde voorstel}, omdat namelijk de koorde GH gelijk is aan AB. Dus MK : KO = CE : KO, en daarom is MK gelijk aan CE. Wat aangetoond moest worden.   Laat nu voor de lens GH een maansikkelvorm genomen worden, waarvan het holle oppervlak GMH is; en de dikte van de maansikkel KM zal zoveel zijn als KO groter is dan MO. Het overige wordt dus gesteld zoals hiervoor. Omdat geldt: zoals het overschot van NM boven LK is tot NM, zo is het dubbele van LK tot brandpuntsafstand MP {* voorstel I.XVI} — die gelijk gesteld wordt aan CF — daarom zal gelden: zoals het genoemde overschot van de twee NM en LK tot NM, zo is ook het dubbele van LK tot CF, of LK tot de helft van CF (d.w.z. tot DC). Omdat nu NM : LK = OK : OM zal ook het overschot van NM boven LK zijn tot NM als KM : KO. Dus ook KM : KO = LK : DC. Hieruit is verder, op de manier zoals eerder bij de dubbelbolle lens, aan te tonen dat MK gelijk is aan CE.   Aangezien dus een willekeurige dubbelbolle of maansikkelvormige lens, die dezelfde brandpuntsafstand en dezelfde breedte heeft als de platbolle lens AB, ook de dikte met deze gelijk heeft, volgt dat tevens alle dubbelbolle en alle maansikkelvormige lenzen die de brandpuntsafstand en de breedte onderling gelijk hebben, ook even dik zullen zijn.

[ 281 ]

Laat er nu ook een platholle lens ACBba zijn, met beide oppervlakken aangrenzend in C; en van oppervlak ACB is het middelpunt weer D, en CF is de afstand van het spreidingspunt, die het dubbele is van CD [<]; en de dikte is Aa of CE. En de andere lens, òf dubbelhol òf bolhol, is GKHhMg, met een breedte gelijk aan die van AB, en een afstand van het spreidingspunt PM gelijk aan FC. En er wordt gesteld dat de beide oppervlakken van deze lenzen elkaar raken in het midden, zodat de punten K en M samenvallen, en zodat de lensdikte is òf de som van KO en Mo (die de hoogten van bolvormige oppervlakken aangeven), òf hun verschil. Om aan te tonen dat deze dikte gelijk is aan de dikte CE van lens ACBba, zijn slechts beide voorgaande bewijzen te herhalen, waarvan het eerste van toepassing is op de dubbelholle, het tweede op de bolholle lens. Daarbij moet wel in acht genomen worden dat voor 'brandpuntsafstand' steeds gelezen wordt 'afstand van het spreidingspunt', en gelet worden op het feit dat de som of het verschil van de twee KO en Mo, bij de laatste is Oo, terwijl het bij de eerste KM was.   Hieruit volgt dan weer dat het voorstel ook waar is bij willekeurige dubbelholle of bolholle lenzen. Voorstel IV   Onderzoeken welke bolvormige bolle lens evenwijdige stralen beter verzamelt. [ Hoe bij lenzen de stralenaberraties die ontstaan door de bolvorm van de oppervlakken, langs de kortste weg gevonden worden.]*)   *)  [ Woorden tussen [ ] zijn van later datum.]

[ 283 ]

Met 'bolvormige bolle lens' bedoelen we al die lenzen die evenwijdige stralen doen samenkomen, of ze nu bestaan uit twee bolle oppervlakken, of een bol en een plat, of een bol en een hol oppervlak. Maar bij die daarvan, die gelijke brandpuntsafstanden hebben, buigen sommige volmaakter dan andere evenwijdige stralen naar dat punt, dat brandpunt genoemd wordt; wel te verstaan als de breedten of openingen van de lenzen gelijk genomen worden. En daar deze, die de andere op dit punt overtreffen, voor het gebruik in telescopen volstrekt te prefereren zijn, zal het de moeite waard zijn al hun verschillen op te sporen, en tenslotte te bepalen welke van alle de beste is (wat tot nog toe niet bekend is). Een dergelijk onderzoek zullen we vervolgens ook instellen bij holle lenzen. [ En al is dit bij de inrichting van telescopen van weinig belang — wegens een andere aberratie, die veel groter is en van andere aard, waarover we zullen spreken als we aan het onderwerp toe zijn [>] — toch heeft deze kennis bij het onderzoek van microscopen in ander opzicht nut, en daarom moet er niet aan voorbij gegaan worden.] Voor de brekingsverhouding van glas zullen we hier overal anderhalf gebruiken, de beste benadering van wat gevonden wordt, zoals in het voorgaande gezegd is [<].   Om dus te beginnen met de platbolle lens, en met die stand ervan waarbij het platte oppervlak aan de evenwijdige stralen blootgesteld is (hier is de berekening van alle het gemakkelijkst): we nemen een dergelijke lens, waarvan de doorsnede door de as het segment KBC van een cirkel is; van deze cirkel, en tevens van het bolle oppervlak, is A het middelpunt. De as van de lens is ABD, die de boog KC doormidden snijdt in B, en de koorde KC in G; en het bolle oppervlak KBC komt op de rand van de lens samen met het platte oppervlak KC. Voorgesteld wordt de breking te onderzoeken van de straal HC, evenwijdig met de as en zo ver mogelijk er vandaan, en gesteld wordt dat de gebrokene CD is; het staat wel vast dat er in deze lens maar één breking voorkomt, aan het bolle oppervlak CBK. Nu zal het brandpunt E van de lens voorbij het punt D liggen (zoals is aangetoond in voorstel I.IX), en het wordt gevonden door AE driemaal AB te nemen, want zo zal AE tot EB de verhouding anderhalf hebben, wat hier de brekingsverhouding is. Gevonden moet dus worden het stuk DE, waarbinnen de gebrokenen van alle evenwijdige stralen samenkomen met de as van de lens; en wel komt elke gebrokene des te dichter bij het brandpunt samen met de as, naarmate de straal meer nabij de as AB is (zoals aangetoond in genoemd voorstel). We trekken AC, en we noemen deze (of AB) a, en CG = b, die beide gegeven zijn; en AD = x. Omdat dus AD : DC gelijk is aan de verhouding die de breking bepaalt [<], zal gelden DC = 2/3 x. En als we vierkant GC aftrekken van vierkant CD, wordt vierkant GD = 4/9 xx – bb, en GD = √(4/9 xx – bb).

[ 285 ]

Als weer hetzelfde vierkant CG wordt afgetrokken van vierkant AC, wordt vierkant GA = aa – bb, en AG = √(aa – bb). En als deze opgeteld wordt bij GD = √(4/9 xx – bb) wordt de hele AD of x = √(4/9 xx – bb) + √(aa – bb). Waaruit gevonden wordt x = 3/5 √(9 aa – 9 bb) + 3/5 √(4 aa – 9 bb). En wanneer AB gesteld wordt op 6 voet, of 72 duim, en GC op 1 duim, wordt volgens deze formule gevonden dat x of AD iets groter is dan 215 968747/1000000, en als dit afgetrokken wordt van AE = 216, wordt de rest DE iets kleiner dan 31253/1000000 van een duim. Dus in een dergelijke lens, met brandpuntsafstand BE = 12 voet, en opening KC = 2 duim, komen alle stralen binnen het stuk DE samen met de as.   En we noemen dit interval DE, waarmee namelijk bij een willekeurige lens het punt van samenkomst van de uiterste straal verwijderd is van het brandpunt van de lens: Aberratie van de uiterste straal.   Verder is te weten dat deze in de voorgestelde lens ook op een andere, gemakkelijkere manier te vinden is, aangezien: In elke platbolle lens waarvan het platte oppervlak het buitenste is, is de aberratie van de uiterste straal vier-en-een-half of 9/2 maal de lensdikte. Er is wel een klein verschilletje, maar dat is bij die lensbreedte die geschikt is voor gebruik in telescopen van geen belang. Zo zullen we in de voorgestelde lens, als genomen wordt DE = 9/2 GB, vinden dat deze is 31252/1000000 van een duim ongeveer, terwijl we met de vorige berekening verkregen 31253/1000000.   Als deze zelfde lens omgekeerd wordt, zodat het bolle oppervlak eerst de stralen afbuigt, wordt het bijeenbrengen van de stralen veel beter bevonden [<]. En de methode van berekenen is als volgt. Ten eerste wordt BR driemaal de halve diameter BA genomen, zodat R brandpunt wordt van het bolle oppervlak KBC. Vervolgens wordt GE gelijk gesteld aan tweederde van GR; en dan zal E brandpunt zijn van lens KBC, zoals vast staat uit voorstel I.XIV, waaruit bovendien blijkt dat de brandpuntsafstand GE vrijwel dezelfde is als bij de vorige stand van de lens. Nu wordt de uiterste met de as evenwijdige straal HC door het bolle oppervlak eerst afgebogen in de richting van P, zodat CP : PA gelijk is aan de brekingsverhouding, namelijk 3 : 2 {* voorstel I.II}; vervolgens wordt hij bij het uittreden uit het platte oppervlak KC gebroken in de richting van D, zodat PC : CD weer gelijk is aan de brekingsverhouding {* voorstel I.III}, zodat CD dus gelijk is aan AP.

[ 287 ]

En om AP te vinden: stel zoals eerst AB = a; CG = b, en AP = x; dan zal gelden PC = 3/2 x. en als van het vierkant 9/4 xx hiervan, worden afgetrokken vierkant PA = xx en vierkant CA = aa, zal de rest 5/4 xx – aa gelijk zijn aan tweemaal rechthoek PAG, dat is 2 x √(aa – bb). Uit welke gelijkheid komt x = 4/5 √(aa – bb) + 4/5 √(9/4 aa – bb). Als hiermee dus AP opgespoord is, waaraan (naar we gezegd hebben) CD gelijk is, wordt vervolgens van het vierkant ervan afgetrokken vierkant CG; waarbij overblijft vierkant GD. En als GD van GE afgetrokken wordt resteert DE, de aberratie van de uiterste straal.   Maar dezelfde DE kan zonder zoveel rekenwerk verkregen worden, omdat geldt: Bij een platbolle lens waarvan het bolle oppervlak de evenwijdige stralen opvangt, is de aberratie van de uiterste straal 7/6 maal de lensdikte. En we zullen de rekenmethoden slechts daarom beschrijven, opdat iedereen met getallen kan onderzoeken dat deze regels waar zijn. En althans bij deze lens, wanneer AB zoals eerder gesteld wordt op 72 duim, en CG op 1 duim, wordt met de aangegeven berekening gevonden DE = 81021/10000000 van een duim ongeveer. Maar volgens de regel, dat is als genomen wordt DE = 7/6 maal de lensdikte BG, wordt deze ongeveer 81022/10000000.   Verder blijkt hieruit hoeveel de aberratie kleiner is bij dezelfde platbolle lens, op deze manier geplaatst, dan wanneer het platte oppervlak ervan de evenwijdige stralen opvangt. Want 7/6 : 9/2 = 7 : 27, zodat de aberratie bijna viermaal zo klein is.   Men kan ook de aberratie van alleen het bolle oppervlak KBC beschouwen, zoals hier PR, daar R brandpunt is van dat oppervlak: PR is altijd gelijk aan 4/3 BG, waarbij BG de hoogte van het bolle gedeelte is.

[ 289 ]

We beschouwen nu een lens IC die aan beide kanten bol is, en van het oppervlak IBC, dat de evenwijdige stralen opvangt, is het middelpunt A, terwijl van oppervlak IMC het middelpunt N is; en door beide gaat de as NA van de lens, die aan weerskanten verlengd wordt. Verder stellen we dat gegeven zijn de halve diameters AB en NM, en de halve lensdiameter GC. Als nu gesteld wordt dat E brandpunt is van lens IC, en als genomen wordt BR = 3 BA en MX = 3 MN, zal moeten gelden RX : RN = RM : RE [<]. Nu zijn hiervan de eerste drie RX, RN en RM gegeven, want omdat AB of AC gegeven is en eveneens CG, zal ook AG bekend zijn. en evenzo, omdat gegeven zijn NC en CG, zal NG bekend zijn. Maar ook AR is bekend, want hij is immers tweemaal AB, en NX tweemaal NM. Dus zal de hele RX bekend zijn, evenals RN en RM. En daarom is ook de vierde evenredige RE bekend.   We stellen nu verder dat de uiterste met de as evenwijdige straal HC na de eerste breking aan oppervlak IBC loopt in de richting die met de as zal samenkomen in P, en dat hij vervolgens door de andere breking aan oppervlak CMI afgebogen wordt langs de rechte CD, die de as ontmoet in D. De aberratie van straal HC is dus DE, die te vinden is op de volgende manier.   Laat NZ evenwijdig zijn met CP, en laat het verlengde van CD hem in Z ontmoeten. Neem ook CV loodrecht op NZ, en NF loodrecht op het verlengde van PC. Uit de gegeven AB en CG wordt dus ten eerste gevonden AP, zoals even eerder bij de platbolle lens [<]. Verder is AP : PC = 2 : 3, dus ook PC is bekend. En uit de gegeven AP en AR volgt PR; welke, afgetrokken van RN (waarvan we aangetoond hebben dat hij bekend is), PN overlaat. Verder is PC : CG = PN : NF (of CV), dus is ook de laatste bekend.   We moeten nu NZ beschouwen als as van het bolle oppervlak CYI, dat de met de as evenwijdige straal FC zo afbuigt in de richting van Z, dat NZ : ZC gelijk is aan de brekingsverhouding, dat is 3 : 2; zodat uit de gegeven NC en CV gevonden wordt NZ, op dezelfde manier als boven bij de eerste stand van de platbolle lens [<]. En nu zal wegens de gelijkvormigheid van de driehoeken ZND en CPD gelden ZN : CP = ND : DP, en door samenstelling: ZN samen met CP is tot CP als NP tot PD. Verder hebben we aangetoond dat ZN, CP en NP bekend zijn: dus is ook PD hiermee bekend. En ook PR is bekend, dus ook DR. En als hiervan afgetrokken wordt RE (die al eerder gevonden is), blijft over DE, de gezochte aberratie van straal HC. En deze methode moest wel toegepast worden voor een exacte berekening.

[ 291 ]

Doch we hebben ook hier een tijdbesparende Regel gevonden, waarmee zonder dat moeizame werk het lijnstuk DE te bepalen is, zoals bij de voorgaande platbolle lens en even nauwkeurig. Want als slechts BG en GM gevonden zijn, uit de gegeven AB, NM en CG; en de hele BM (dat is de lensdikte) = q gesteld wordt, de halve diameter AB = a, en NM = n, zal gelden: DE = (27aaq + 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a + n), d.w.z. zoals zesmaal het vierkant van het lijnstuk dat gelijk is aan de som van AB en NM, tot zevenentwintig maal vierkant AB, plus zesmaal rechthoek AB.NM, plus zevenmaal vierkant NM, zo zal de lensdikte BM zijn tot de aberratie DE van de uiterste straal. Deze regel is, evenals ook de volgende regels die we zullen geven, gevonden met verwaarlozing van het kleinste, maar met het noodzakelijke onderscheid.   Als dus bijvoorbeeld de lens IC aan weerskanten even bol is, d.w.z. als a = n, zal gelden DE = 5/3 maal de dikte BM. Waaruit blijkt dat een lens die aan weerskanten even bol is, met de breedte en de brandpuntsafstand dezelfde als een platbolle lens, waarvan het bolle oppervlak aan de buitenkant gelegen is, de evenwijdige stralen niet even goed verzamelt als die. Aangezien immers van zulke lenzen de dikte gelijk is (zoals aangetoond in voorstel III), zullen de stralen bij de platbolle lens samenkomen binnen 7/6 maal de dikte ervan; maar in deze symmetrisch bolle lens binnen 5/3 van de dikte (die dezelfde is). En van deze intervallen is de verhouding gelijk aan 7 : 10.   Maar als de verhouding van halve diameter AB tot NM gesteld wordt op 2 : 5 (d.w.z.als a van 2 delen is, en n van 5 delen) zal volgens deze regel DE gelijk worden aan 7/6 q, waarin q de lensdikte is. Zodat een dergelijke lens vergelijkbaar is met de genoemde platbolle. En zo kan gemakkelijk bij willekeurige lenzen met ongelijke bolle oppervlakken nagegaan worden hoeveel beter de ene is dan de andere.   En als gevraagd wordt naar een bepaling van het minimum, m.a.w. welke lensvorm de aberratie DE kleiner maakt dan de overige: ik bevind dat moet gelden AB : NM = 1 : 6; en het is te weten dat dan DE gelijk wordt aan 15/14 maal de dikte*). Zodat deze lens voor de beste van alle te houden is; hoewel de platbolle er niet veel voor onder doet.   *)  'Heurèka' schreef Huygens bij zijn berekening van de beste lens, op 6 augustus 1665 (zie p. 367 en Avertissement p. VI, n. 6). In september 1669 stuurde hij het resultaat als anagram naar de secretaris van de Royal Society te Londen.

[ 293 ]

Doch opgemerkt moet worden dat de halve diameter AB altijd zo genomen wordt dat hij betrekking heeft op dat oppervlak, dat de evenwijdige stralen het eerst opvangt. Want als deze zelfde beste lens omgekeerd wordt, wordt hij veel slechter, en maakt hij de aberratie DE gelijk aan 145/42 maal de dikte ervan.   Verder, als de aberratie DE van de uiterste straal gevonden moet worden uit de gegeven brandpuntsafstand van de lens, en de halve diameter van het buitenste bolle oppervlak, is uit de voorgaande regel een andere te verkrijgen, als volgt. Als namelijk de brandpuntsafstand = d is, en zoals eerst AB = a, NM = n, lensdikte = q: aangezien d = 2an / (a + n), zoals blijkt uit voorstel I.XVI, zal gelden n = ad / (2a – d). En als deze overal in de plaats gezet wordt van n in de vorige Regel (27aaq + 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a + n) = ED, komt er (27aaq – 24adq + 7ddq) / 6aa = ED.   Bij de lens in de vorm van een maansikkel is de methode van berekening dezelfde als bij de dubbelbolle lens, of nu het bolle oppervlak de evenwijdige stralen opvangt, of het holle; van beide gevallen hebben we hier een figuur toegevoegd. Er moet echter op gelet worden dat niet de som, maar het verschil van de twee NZ en CP hier tot CP is als NP tot PD.   En met dezelfde betekenissen van de letters als eerst, zodat namelijk AB, de halve diameter van het buitenste oppervlak IBC, a is, van oppervlak IMC is de halve diameter NM = n, en de lensdikte BM = q, wordt de regel om ED te vinden: ED = (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(n – a). Maar in het laatste geval, waarin a groter is dan n, komt er: ED = (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a – n).

[ 295 ]

Daarmee kunnen ook de maansikkel­vormige lenzen onderling, en met dubbelbolle lenzen, vergeleken worden. Zoals wanneer bijvoorbeeld in het vorige geval gesteld wordt dat de halve diameter van het holle oppervlak driemaal AB is, dus a = 1, n = 3, dan wordt ED = 3q, dus driemaal de dikte BM. Maar bij de beste lens (hierboven gedefinieerd [<]), waarvan de brandpuntsafstand en de breedte dezelfde zou zijn als van de maansikkel IBCM, en daarom ook de dikte {* voorstel III}, zou de aberratie DE maar 15/14 van zijn dikte zijn. Dus blijkt een dergelijke maansikkellens evenwijdige stralen bijna driemaal slechter te verzamelen dan die allerbeste lens.   Maar er is ook geen enkele maansikkellens die zo goed is als een platbolle lens waarvan het bolvormige oppervlak aan de buitenkant geplaatst is. En deze vorm is des te slechter, naarmate het holle oppervlak holler is, wel te verstaan bij gelijkblijvende brandpuntsafstand en breedte. Wat althans in het eerste geval als volgt duidelijk zal worden. We geven weer de brandpuntsafstand aan met d. Dus omdat deze gelijk is aan 2an / (n – a), zoals volgt uit voorstel I.XVI, zal gelden a = dn / (2n + d), en als dit overal op de plaats van a ingevuld wordt in de eerste Regel, komt er: DE = (7ddq + 4dnq + 7nnq) / 6nn ,  of:   7ddq/6nn + 2dq/3n + 7q/6. Waarbij gemakkelijk ingezien wordt dat naarmate n (de halve diameter NM) kleiner genomen wordt, DE des te groter zal zijn. En dat hoe klein n ook genomen wordt, DE altijd groter zal zijn dan 7q/6.   In het tweede geval, namelijk wanneer het holle oppervlak van de maansikkel naar buiten gekeerd is: omdat de brandpuntsafstand d = 2an / (a – n), zal gelden n = ad / (2a + d); en als dit overal op de plaats van n ingevuld wordt in de laatste regel, komt er: DE = (27aaq + 24adq + 7ddq) / 6aa ,  of:   9q/2 + 4dq/a + 7ddq/6aa. Waarin duidelijk is, dat naarmate a (de halve diameter van het holle oppervlak) kleiner genomen wordt, DE des te groter wordt. En dat hoe groot a ook genomen wordt, DE altijd groter zal zijn dan 27q/6 of 9q/2. Zodat de platbolle lens, zelfs met het platte oppervlak naar buiten gekeerd, nog altijd beter is dan de maansikkel waarvan het holle oppervlak eveneens naar buiten gekeerd is; want aangetoond is dat de eerste lens een aberratie DE geeft die gelijk is aan 9/2 maal de dikte ervan [<].

[ 297 ]

Voorstel V   Bij holle lenzen onderzoeken welke de evenwijdige stralen het beste spreidt.   Met 'holle lenzen' bedoelen we al die lenzen die geschikt zijn om evenwijdige stralen uit te spreiden, ook al hebben ze één van de oppervlakken plat, of zelfs bol. En daarvan is te zeggen dat een lens de stralen des te beter spreidt, naarmate het minder scheelt dat hij ze zó richt, dat ze schijnen te komen uit één punt, oftewel dat hun gebrokenen, naar achteren verlengd, binnen de kleinst mogelijke ruimte met de as samenkomen.   We beschouwen eerst de platholle lens KBCOI, waarbij het platte oppervlak OI de evenwijdige stralen opvangt; en het middelpunt van het holle oppervlak is A, de as van de lens ABE. Verder is de uiterste met de as evenwijdige straal HO, die natuurlijk ongebroken door het platte oppervlak gaat. Doch als hij uit het holle oppervlak treedt, wordt hij zo gebroken dat hij doorgaat langs CL, die achterwaarts verlengd samenkomt met de as in D. En het spreidingspunt van de lens is E, dat gevonden wordt door BE tweemaal zo groot als BA te nemen, zoals vast staat volgens voorstel I.XI.   Uit dat voorstel blijkt ook, dat alle evenwijdige stralen die minder ver verwijderd zijn van de as dan HO, dichter bij punt E samenkomen dan LCD, als namelijk op dezelfde manier hun gebrokenen achterwaarts verlengd worden. Dus is van deze lens de aberratie DE, en de berekeningsmethode om deze te vinden is dezelfde als bij de platbolle lens. Want we verlengen HC in de richting van Q, en trekken CG loodrecht op AB, en verbinden C met A; als we ons nu voorstellen dat KBCG platbol is, waarop de met de as evenwijdige straal QC invalt, is het noodzakelijk dat deze in C, een punt van het oppervlak KBC, zo gebroken wordt dat de gebrokene ervan op het verlengde is van CL, de gebrokene van straal HC {* voorstel I.I}; dus hij zal verder gaan langs CD, waarvan derhalve de samenkomst met de as AE is op te sporen met dezelfde berekening als hierboven bij de platbolle lens [<]. Evenals daar zal dus ook hier de aberratie ED gelijk zijn aan 9/2 maal de lensdikte OC (of BG); welke dikte zoals daar gevonden wordt uit AB en CG, die gegeven zijn.

[ 299 ]

Maar bij dezelfde lens, andersom geplaatst (zodat namelijk het holle oppervlak KBC de evenwijdige stralen opvangt), zijn er twee brekingen. Want straal HC wordt eerst gebroken in C, en loopt vandaar langs Cκ, die achterwaarts verlengd met de as samenkomt in P, en weer uit het platte oppervlak komend in κ gaat hij verder langs κL, die achterwaarts verlengd met de as samenkomt voor P, neem aan in D. Nu is de afstand BE van het spreidingspunt bij de lens in deze stand weer het dubbele van BA. En de aberratie ED van de uiterste straal wordt gevonden op de volgende manier.   Ten eerste valt de gebrokene van straal HC die behoort bij het holle oppervlak KBC (en wel Cκ) op dezelfde rechte als de gebrokene van de met de as evenwijdige straal OC, wanneer het oppervlak CBK bol zou zijn. Zodat het interval AP — waarmee het punt van samenkomst van de verlengde Cκ verwijderd is van het middelpunt A — gevonden wordt op dezelfde manier als boven bij de platbolle lens [<]; en hier is weer AP : PC = 2 : 3. Dus is ook PC bekend. Verder geldt GP : PC = BP : Pκ. Dus is ook deze bekend, en uit dezelfde gelijkvormigheid van driehoeken is ook Bκ te geven. En daar nu bij de tweede breking de straal Cκ zo afgebogen wordt tot κL, dat, als deze met de as samenkomt in D, de verhouding Pκ : κD gelijk is aan die welke de breking bepaalt (namelijk 3 : 2), en daar Pκ bekend is, is ook κD te geven. En als van het kwadraat ervan afgetrokken wordt het kwadraat van Bκ, wordt het kwadraat van BD verkregen, en daaruit ook BD zelf, en derhalve ook DE.   Nu is evenals bij de platbolle lens, waarvan het bolvormige oppervlak als buitenste genomen wordt, zo ook bij deze stand van de platholle lens, de aberratie ED vrijwel 7/6 maal de dikte CO (of GB).   Zodat gezegd moet worden dat deze holle lens op deze manier de evenwijdige stralen veel beter spreidt dan wanneer hij die eerst opvangt met het platte oppervlak.   We beschouwen nu de dubbelholle lens IBCKBι. Van oppervlak IBC, dat de evenwijdige stralen opvangt, is het middelpunt A, en van het andere oppervlak ιBK is het middelpunt N. Door deze punten gaat de as NA van de lens, aan weerskanten verlengd veronder­steld. Als dan gegeven zijn de halve diameters AB en NM, is ook BE te geven, de afstand van het spreidingspunt der evenwijdige stralen. Want met BR driemaal BA, en MX driemaal MN, staat vast dat RX : RN = RB : RE {* voorstel I.I}; waarmee duidelijk is dat RE, en daarom ook EB, bekend is.   We stellen verder dat de uiterste straal HC, die evenwijdig is met de as, na de eerste breking aan oppervlak IBC zo langs Cκ loopt, dat deze, achterwaarts verlengd, met de as samenkomt in P. En dat hij door de andere breking, aan oppervlak ιMK, gebroken wordt volgens κL, die achterwaarts verlengd met de as samenkomt in D. De aberratie van de uiterste straal HC is dus DE, waarvan we zullen aantonen dat hij met een iets andere methode gevonden wordt dan bij de dubbelbolle lens [<]. Maar eerst moet opgemerkt worden dat, ook al wordt verondersteld dat oppervlak ιMK verlengd is naar κ, zodat het wat breder is dan oppervlak IBC, hier toch de dikte van de lens gesteld wordt op die Gγ die gelijk is aan CK, te weten het gedeelte van de rechte HC dat tussen de beide oppervlakken onderschept is. Zoals ook de opening van de lens geacht moet worden te zijn tweemaal CG, en niet tweemaal de afstand van punt κ tot de as.   Laat nu NZ evenwijdig zijn met CP, en laat het verlengde van κD hem in Z ontmoeten. We trekken vervolgens κV loodrecht op NZ, en NF op het verlengde van Pκ.

[ 301 ]

Ten eerste worden dan uit de gegeven AB en CG, gevonden AP en PC, zoals even eerder bij de platholle lens. Als nu AP en AR gegeven zijn is PR te geven, en als deze afgetrokken wordt van RN (die bekend is), blijft PN over. Verder, zoals PC tot CG (die bekend zijn) zo is PN tot NF, en als het kwadraat hiervan wordt afgetrokken van het kadraat van Nκ, zal overblijven het kwadraat van κF. Zoals nu PC tot PG (die bekend is uit AP en AG), zo is PN tot PF, en als hiervan de bekende κF afgehaald wordt, blijft Pκ over. We beschouwen nu weer NZ als as van het holle oppervlak κYι, dat de straal Cκ zo afbuigt, dat na verlenging van κL naar Z geldt NZ : Zκ = 3 : 2. Dan zal uit de gegeven halve diameter NY en Vκ (die gelijk is aan de gevonden NF), te vinden zijn de afstand NZ, op dezelfde manier als boven bij de platbolle lens in de eerste stand [<]. En wegens de gelijkvormige driehoeken DPκ en DNZ zal gelden NZ : Pκ = ND : DP, en door samenstelling: zoals de som van NZ en Pκ tot Pκ zo is NP tot PD. Als deze opgeteld wordt bij de bekende PR, en als dan RE wordt afgetrokken van deze som, zal overblijven ED, die gevraagd werd. En dit is dan de exacte berekeningsmethode.   Maar dezelfde ED is te vinden zonder dat rekenwerk, met een regel die geheel gelijk is aan die bij de dubbelbolle lens [<]. Want wanneer we zoals daar stellen AB = a, NM= n, en de lensdikte, die hier CK is, of Gγ = q, komt er nog altijd ED = (27aaq + 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a + n), en wel in zo'n goede benadering, dat het verschil ten opzichte van ED zelf te verwaarlozen is.

[ 303 ]

Met deze formule kunnen alle dubbelholle lenzen onderling vergeleken worden, en kan men vinden hoeveel beter de ene de stralen uitspreidt dan de andere. En de beste is te vinden uit de bepaling van het minimum, en deze is hier noodzakelijk dezelfde als bij de dubbelbolle lens [<]; zodat namelijk de verhouding a : n (dat is van halve diameter AB tot NM) die van 1 : 6 is. Zodanig dat een lens van dit type voor gezichts­correctie van bijzienden [<] de beste van alle geacht moet worden; en ook om stralen die naar één punt lopen evenwijdig te maken.   Maar aangezien bij telescopen de voorste bolle lens de stralen niet precies naar één punt afbuigt, volgt hieruit dat wanneer een holle verlangd wordt die ze het best weer tot evenwijdigheid brengt, en ze zo naar het oog stuurt, in geen geval die genoemde lens met het zesvoudige verband uitgekozen moet worden, maar andere lenzen die minder perfect zijn. Door de afwijkingen daarvan worden namelijk de afwijkingen van de bolle lens gecompenseerd en gecorrigeerd; zodat met deze kunstgreep bijna bereikt kan worden wat men hoopt te bereiken met glazen van elliptische en hyperbolische vorm. Over deze zaak zal even verderop gehandeld worden [>].   Nu zijn die lenzen minder perfect maar beter te gebruiken, die het ene oppervlak bol hebben, en het andere hol (een gedeelte van een kleinere bol); waarbij de methode van berekening geheel en al dezelfde is als bij de dubbelholle lens. Maar er zijn twee gevallen, omdat ofwel het holle oppervlak naar de evenwijdige stralen toegekeerd is, ofwel het bolle, zoals in de bijgevoegde figuren te zien is. Daarbij moer erop gelet worden dat niet de som, maar het verschil van de twee ZN en κP zich verhoudt tot κP als NP tot PD.   Als we dan aan de letters dezelfde betekenissen toekennen als bij de dubbelholle lens, zodat namelijk de halve diameter AB (van het oppervlak dat de stralen het eerst opvangt) a is, de halve diameter NM van het andere oppervlak n; en de lensdikte CK of Gγ wordt q genoemd;

[ 305 ]

zal de Regel om de aberratie ED van de uiterste straal te vinden, in het eerste geval deze zijn: ED = (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(n – a). En in het laatste geval, waarin a groter is dan n, komt er: ED = (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(a – n). Deze blijken geheel en al dezelfde te zijn als we hiervoor gegeven hebben bij de maansikkelvorm [<]. We zullen hiermee dan een vergelijking kunnen geven van holle lenzen van dit type, en bepalen hoeveel groter de aberratie is die de ene maakt, vergeleken met de andere. In het algemeen echter kan aangetoond worden dat dezelfde bolholle lens, zo opgesteld als in het laatste van deze gevallen, namelijk zodat het bolle oppervlak de evenwijdige stralen opvangt, ze minder goed uitspreidt dan wanneer de lens andersom staat. Want als in elk van deze figuren dezelfde lens verondersteld wordt, maar in verschillende stand, en als daarom NM in het laatste geval gelijk is aan AB in het eerste geval, en beide worden a genoemd; en evenzo AB in het laatste geval gelijk aan NM in het eerste, en beide worden n genoemd; dan is duidelijk dat in het laatste geval zal gelden: ED = (27nnq – 6anq + 7aaq) / 6 qu.(n – a). Maar in het eerste geval was het: ED = (27aaq – 6anq + 7nnq) / 6 qu.(n – a). Dus daar n groter is dan a en daarom 27nn + 7aa groter dan 27aa + 7nn, blijkt ED in het laatste geval altijd groter te zullen zijn dan in het eerste. En het is klaarblijkelijk dat hetzelfde verkregen wordt bij de maansikkellens als deze verschillend wordt opgesteld.   Verder, op de manier waarop is aangetoond [<] dat een maansikkellens des te slechter de stralen verzamelt, naarmate hij het holle oppervlak holler heeft (bij gelijkblijvende brandpuntsafstand en breedte van de lens), op dezelfde manier zal ook hier over de bolholle lens aangetoond kunnen worden, dat deze de evenwijdige stralen des te slechter spreidt, naarmate hij het bolle oppervlak boller heeft. Daar hier immers in het eerste geval de afstand van het spreidingspunt ME, die genoemd wordt d, gelijk is aan 2an / (n – a), en daar dus a = dn / (2n + d), komt er uit de eerste regel, als overal dn / (2n + d) ingevuld wordt in plaats van a: DE = (7ddq + 4dnq + 7nnq) / 6nn   of:  7ddq/6nn + 2dq/3n + 7q/6. Waaruit blijkt: hoe kleiner n genomen wordt, des te groter DE zal zijn, en: deze zal altijd groter zijn dan 7/6 q.

[ 307 ]

En in het tweede geval, daar d = 2an / (a – n), zal gelden n = ad / (2a + d), en als dit overal gezet wordt in de plaats van n in de laatste regel, komt er: DE = (27aaq + 24adq + 7ddq) / 6aa   of:  9q/2 + 4dq/a + 7ddq/6aa. Waaruit blijkt: hoe kleiner a genomen wordt, des te groter wordt weer DE; en deze zal altijd groter zijn dan 9/2 q. En bij het onderzoeken van dit vermogen (en hoe goed het is) van elke bolle of holle lens om de stralen te verzamelen of te spreiden — waarvan we eerder het nut hebben aangetoond — moeten de volgende twee stellingen vooropgesteld worden. Voorstel VI   Bij lenzen van verschillende breedte, bol of hol, die zowel het voorste als het achterste oppervlak als gedeelte van een eenzelfde bol hebben, of één van beide plat, verhouden de aberraties van de uiterste met de as evenwijdige stralen zich tot elkaar als de lensdikten, of ook als de kwadraten van de breedten.   Dat de dikten van dergelijke lenzen zich tot elkaar verhouden als de kwadraten van de breedten, wordt gemakkelijk aangetoond uit wat bewezen is in voorstel I. Als ze namelijk dubbelbol zijn, zoals het eerste paar van de hier afgebeelde, ACBD en FHGK, waarvan de dikten of assen zijn CD en HK, en waarbij hier dus de getrokken rechten AB en FG de breedten van de lenzen bepalen, en CD en HK snijden in E en L; dan staat vast, omdat ACBE en FHGL segmenten van gelijke cirkels zijn, dat de verhouding van hun hoogten CE tot HL zal zijn als het kwadraat van AB tot het kwadraat van FG {* voorstel I}; en wel in zo goede benadering bij zulke kleine gedeelten van cirkels, dat het verschil van geen belang is. Om dezelfde reden zal ook DE tot KL zijn als het kwadraat van AB tot dat van FG; en daarom is ook de hele CD tot HK als het kwadraat van AB tot dat van FG.   En bij lenzen met de vorm van maansikkel, die hier op de tweede plaats gesteld worden, zullen we besluiten dat ook het verschil van de twee CE en DE, tot het verschil van de twee HL en KL, dat is dikte CD tot dikte HK, is als het kwadraat van AB tot dat van FG.

[ 309 ]

Bij dubbelholle lenzen, waarvan de oppervlakken ACB en aDb verondersteld worden elkaar te raken, en evenzo FKG en fKg; en waarvan de dikten zijn Ee en Ll, is het bewijs hetzelfde als bij de dubbelbolle lenzen. En bij bolholle hetzelfde als bij de maansikkellenzen. Als echter één van de oppervlakken van bolle of holle lenzen plat is, is het bewijs duidelijk uit wat hier gezegd is.   Rest ons nog om te aan te tonen dat de aberraties van de uiterste stralen bij elk paar zich tot elkaar verhouden als de lensdikten. En dat dit bij platbolle en platholle het geval is, is wel duidelijk, aangezien hierbij de aberratie van de uiterste straal volgens wat boven geschreven is [<] ofwel gelijk is aan 9/2 maal de lensdikte, als namelijk het platte oppervlak de evenwijdige stralen opvangt, ofwel aan 7/6 maal die dikte, als het bolvormige oppervlak blootgesteld is aan de genoemde stralen. Maar bij de overige, samengestelde lenzen: daar uit de boven gegeven Regels blijkt, dat bij gelijkblijvende halve diameters van beide oppervlakken*) ook de verhouding van lensdikte tot aberratie ED van de uiterste straal dezelfde blijft, volgt dat deze aberratie in dezelfde verhouding vermindert als waarmee de lensdikte afneemt, d.w.z. volgens de verhouding die de kwadraten van de breedten hebben °). Bij voorbeeld, daar we immers bij de dubbelbolle lens gezegd hebben [<]: zoals zesmaal het vierkant van de samengestelde uit de halve diameters van beide bollingen, tot zevenentwintig maal vierkant AB, plus zevenmaal vierkant NM, plus zesmaal rechthoek AB.NM, zo is de lensdikte tot de aberratie ED, blijkt dat de verhouding tussen deze dezelfde blijft bij gelijkblijvende halve diameters AB en NM†), en daarom dat bij lenzen die zulke bolle oppervlakken hebben de aberraties zich verhouden zoals hun dikten.   *)  In de oorspronkelijke versie, en in de kopie van Niquet staat hier nog:   "of als alleen de verhouding van de halve diameters dezelfde blijft".   °)  Op de genoemde plaatsen vindt men, in plaats van het gecursiveerde:   "als namelijk de bollingen of hollingen van de oppervlakken dezelfde blijven; zelfs ook als alleen de verhouding van de halve diameters dezelfde blijft".   †)  L.c. ook nog:   "of zo, dat ze tot elkaar dezelfde verhouding houden". Voorstel VII   In een willekeurige lens, bol of hol, verhouden de aberraties van stralen evenwijdig met de as zich tot elkaar als de kwadraten van de afstanden van deze stralen tot de as.

[ 311 ]

Bij holle lenzen is het bewijs van deze zaak gemakkelijker, en het hangt af van het naast voorgaande. Want laat gegeven zijn de holle lens ACBDCF, waarvan de as CE is, en het spreidingspunt E. En een met de as evenwijdige straal die in het punt B invalt, wordt zo afgebogen dat hij achterwaarts verlengd samenkomt met de as in G. En een andere straal die evenwijdig is met de as, maar er dichterbij invalt in het punt H, wordt zo afgebogen dat hij achterwaarts verlengd samenkomt met de as in K. Opdat dan blijkt dat de aberratie EG zich verhoudt tot EK zoals het kwadraat van de afstand van punt B vanaf de as, tot het kwadraat van de afstand van punt H, moeten we de zaak zo beschouwen alsof er twee verschillende lenzen zijn, DBA en NHF, waarvan de halve breedten de genoemde afstanden zijn van de punten B en H vanaf de as. En aangezien de bolvormige oppervlakken voor beide lenzen dezelfde zijn, blijkt uit het voorgaande voorstel dat hun dikten BD en HN zich tot elkaar verhouden als de kwadraten van hun halve breedten. En zoals de dikten BD en HN, zo verhouden zich de aberraties EG en EK tot elkaar. Dus is ook hun verhouding dezelfde als die van de kwadraten van de afstanden van de punten B en H vanaf de as.   Niet ongelijk hieraan is ook het bewijs bij de platbolle lens, wanneer het platte oppervlak in de evenwijdige stralen wordt gehouden. Want we beschouwen een dergelijke lens ACB, met de as DE, en brandpunt E, waarin evenwijdige stralen gebroken worden die invallen in de punten B en H van het bolle oppervlak, nadat ze ongebroken door het platte oppervlak AB zijn gegaan; ze ontmoeten de as in G en K. Als hier dus de loodlijn HN op de as DC getrokken is, zijn weer om zo te zeggen twee platbolle lenzen te beschouwen, waarvan de dikten DC en NC zijn. Zoals nu het kwadraat van BD tot het kwadraat van HN, zo is DC tot NC; en zoals DC tot NC, zo is de aberratie EG tot EK, wanneer EG gelijk gesteld wordt aan 9/2 DC [<], en EK 9/2 NC. Dus zoals het kwadraat van BD tot het kwadr. van NH, zo is ook de aberratie EG tot EK.   Laat dan nu dezelfde lens op de omgekeerde manier opgesteld zijn, namelijk zodat de evenwijdige stralen eerst vallen op het bolle oppervlak ACB, waarvan de halve diameter IC is. Het brandpunt E wordt dus gevonden door eerst CR driemaal CI te nemen, en vervolgens DE gelijk te stellen aan 2/3 DR [<].

[ 313 ]

We stellen dat de uiterste met de as evenwijdige straal, die in B invalt, samenkomt met de as in G, zodat de aberratie ervan EG is. En dat een evenwijdige straal die invalt in punt H, vandaar langs de rechte HP loopt, die het oppervlak AB snijdt in S, en nadat daar de tweede breking heeft plaats gevonden komt hij met de as samen in K, zodat de aberratie van deze straal EK is. Aangetoond moet dus worden dat zoals het kwadraat van BD is tot het kwadraat van HN, zo ook de aberratie EG tot EK. We trekken HQ evenwijdig aan SK, en deze ontmoet de as in Q. En ook is HT evenwijdig met de as CD, en hij ontmoet het oppervlak AB in T; en tenslotte ontmoet het verlengde van KS deze HT in V.   Als we nu om zo te zeggen een andere platbolle lens HCFN beschouwen, zal het brandpunt O ervan gevonden worden door NO gelijk te nemen aan 2/3 NR. En de uiterste met de as evenwijdige straal ervan, die in H invalt, en die bij de eerste breking aan oppervlak BCA afgebogen wordt naar punt P, deze zal noodzakelijk na de tweede breking aan het platte oppervlak HN langs HQ lopen, omdat deze evenwijdig is aan SK, waarlangs de aan oppervlak BD gebrokene voortgaat. Dus zou QO de aberratie zijn van de uiterste straal van lens HCFN; waarvan vast staat dat hij zich verhoudt tot de aberratie GE van de uiterste straal van lens ACB, als het kwadraat van HN tot dat van BD {* vorig voorstel}. Daarom, als aangetoond wordt dat de aberratie EK van straal HH, door lens ACB doorgelaten, gelijk is aan de aberratie OQ; zal ook duidelijk zijn dat geldt: zoals het kwadraat van BD tot dat van HN, zo is de aberratie EG tot EK. En dat wordt aangetoond als volgt. Daar PS tot SK bij benadering dezelfde verhouding heeft als PD tot DK, en verder PS : SK = 3 : 2 {* voorstel I.III}, zal ook bij benadering gelden PD : DK = 3 : 2. En PD : DK = HT : TV, wegens gelijkvormigheid van de driehoeken SPD, SHT, en SKD, SVT. Dus geldt bij benadering ook HT : TV = 3 : 2; en daarom is HV bij benadering een derde deel van HT. Maar HV is gelijk aan QK. Dus is ook QK evenzo een derde deel van HT of ND. En aangezien door constructie geldt dat RE een derde van RD is, en RO een derde van RN, zal ook het verschil van de twee RE en RO, namelijk OE, een derde zijn van het verschil van de twee RD en RN, dat DN is. Dus blijkt OE gelijk te zijn aan QK. En als daarom OK bij beide opgeteld wordt, of van beide afgetrokken (want ook dit kan voorkomen), zal ook KE gelijk zijn aan QO; wat nog aangetoond moest worden. Doch is wel te verstaan dat dit zo is met verwaarlozing van zeer kleine verschillen, die ten opzichte van KE en QO van geen belang zijn. En in deze zin zal de stelling ook waar zijn bij alle overige bolle en holle lenzen, zoals we door een analytische berekening gevonden hebben [App.II].