Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.Aanhangsel bij No. 56. [20 juni 1648]
Als in driehoek ABC gegeven zijn de punten D en E op zijn twee zijden AB en AC: te vinden een punt F op zijn derde zijde BC, zodanig dat bij het trekken van DF en EF de hoeken BDF en CEF gelijk zijn.
[ Zie over dit probleem de pagina van H. Hietbrink, 'Huygens: Huiswerk brief 57'.] |
[ 102 ]
Gegeven de diameter AC van een vierhoek, de twee tegenovergestelde hoeken BCD en BAD, waarin deze diameter AC uitkomt, en verder gegeven de 2 hoeken BCA en DCA, en de verhouding van BC tot CD. Te vinden de vierhoek ABCD. Met hetzelfde gesteld en gegeven, behalve dat de verhouding van BA tot AD gegeven is (in plaats van die van BC tot CD), de vierhoek te vinden.
Gegeven een cirkel BDC, zijn verlengde diameter CBA, een raaklijn AD. Te vinden op de verlengde diameter een punt als E, zodanig dat na het trekken van de raaklijn EG uit dit punt aan de cirkel, en het oprichten van een loodlijn EF in dit punt tot aan de eerste raaklijn AD, geldt dat EG met EF in een gegeven verhouding is.
[ Vgl. de meetkundeproblemen van 1645.] [ Zie over Frans van Schooten: Jantien Dopper, A life of learning in Leiden : The mathematician Frans van Schooten (1615-1660), 2014.] |
[ 130 ]
Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.27 september 1650.
Dat ik niet sneller heb geantwoord op uw brief 1), wegens enige bezigheden, die mij tot nu toe zeer bezet hielden, zult u mij vergeven naar ik hoop. Ik had de eerste twee boeken 2) al bekeken, en daaruit heb ik voldoende begrepen — zoals men aan de klauw de leeuw herkent — dat het overige van u niet op dezelfde manier zo haastig gelezen moet worden, daar dat immers door u tevoren scherpzinnig is bedacht, en voldoende doorzien en nauwkeurig afgewogen, ook al verklaart u dat die dingen inderhaast zijn opgeschreven; toch maken ze heel duidelijk wat door u is gepresteerd in een zo moeilijke materie. Onder het lezen had ik hier en daar bij sommige dingen wat kanttekeningen gezet, als zijnde door u niet voldoende doorzien, en door mij nader 1) Niet in de collectie. [ *) Zeer voortreffelijke heer.] 2) Uit brief No. 89 [Ned.] volgt dat het gaat om 'De iis quae liquido supernatant' [Over dingen die drijven] ... [vgl. No. 100 (p. 151-2, okt. 1651) en No. 101 en 102 — dit in T. XI, p. 91, n18]. |
[ 131 ]
|
te onderzoeken, maar bij het nauwkeurig afwegen ervan heb ik daarna kennis genomen van uw zorgvuldigheid, en dat die dingen door mij te schielijk waren afgekeurd: zodat ik meende dat het overige op dezelfde manier zal standhouden. Ik erken dat de stellingen duidelijk en kort door u worden voorgelegd, en dat de bewijzen kort en elegant zijn. En deze gaven er dus aanleiding toe me voor te nemen alles met meer oplettendheid te lezen, ook al aarzelde ik niet in het minst om te onderschrijven wat ik niet had gezien. In het eerste boek heb ik enkele dingen aangemerkt als enigszins duister of twijfelachtig, waarvan ik oordeelde dat ze veranderd moeten worden om een moeilijkheid of duisterheid weg te nemen, en ik zal ze u aanduiden als we elkaar spreken. Overigens heb ik uw voorbeelden*) gezien tegen de principes van Cavalieri 3), die zeker de mening van Torricelli (die zoveel opheeft met het bewijs door het ondeelbare 4), dat hij in vergelijking daarmee dat van de oude meetkunde erbarmelijk vindt) niet zodanig bevestigen, dat het niet onwenselijk is dat de genoemde principes — vooral die waarop Torricelli zijn bewijzen heeft gebouwd — tot zover worden afgebakend, dat er niet iets op kan worden gebouwd dat niet geheel en al onbetwijfelbaar is. Maar toch, daar alle bewijzen die ik van Cavalieri heb gezien, gemakkelijk kunnen worden omgezet in die welke met het absurde gedaan worden, en daar ik verder niet aan andere de voorkeur durf te geven boven deze, heb ik gemeend dat men geenszins moet vrezen op zijn principes iets te bouwen, als ze maar in die zin worden aangenomen waarin ze door hem gesteld zijn. Mersenne schrijft in het boek dat hij na zijn Cogitata physico-mathematica [ *) Zie No. 86 en 87 (hierna) en ook T. XI, p. 158: "niet in de plaats van een echt bewijs (in werkelijkheid laat hij immers slechts zien op welke manier iets bewezen kan worden) ...". Het kan zijn dat Cavalieri vaker genoemd was in de vier oorspronkelijke 'boeken' over drijven — in okt. 1651 waren het er drie.] 3) Bonaventura Cavalieri ... introduceerde in de meetkunde een methode die berust op gebruik van het oneindig kleine, uiteengezet in 1635 , in een werk dat na zijn dood werd herdrukt: Geometria indivisibilibus continuorum ..., Bonon. 1653. In 1647 publiceerde hij nog: Exercitationes geometricae sex ... 4) De sphaera et solidis sphaeralibus libri duo ... Archimedis doctrina ..., Flor. 1644. [ T. VIII, 626, erratum over noot 4: laatste regel schrappen.] |
[ 132 ]
|
heeft uitgegeven onder de titel Reflectiones physico-mathematicae 5), waar hij de Quadratura circuli van pater Vincentius vermeldt, onder andere dit:
En deze woorden lijken (naar ik meen) te komen van Roberval 6), daar hij het hem voorgelegd zal hebben, dat Vincentius zijn vondsten niet heeft kunnen doen zonder de methode van het ondeelbare, alsof zonder deze voor hem niets was mogelijk geweest, wat tenminste, naar ik weet, de mening is van Roberval zelf, die — zoals de heer Descartes mij eens vertelde*) — deze zo hoog schat, dat hij denkt dat hij het nu met open ogen ziet, en gelooft dat de geheimen van de meetkunde nu voor hem open liggen.
5) Novae observationes physico-mathematicae, Paris 1647 [Novarum observationum ... Tomus III, p. 72]. [ Vgl. F. van Schooten aan Descartes, 10 maart 1649, in Brieven (vert. Glasemaaker), dl. 3, 1684, p. 373; orig. in Lettres, T. 3, 1667, p. 614. En A. Tacquet aan Huygens, 2 dec. 1652, p. 194.] 6) Gilles Personne de Roberval (1602-1675) ... had zijn methoden niet gepubliceerd. [F. van Schooten had een college van hem bijgewoond, zie Briefwisseling van Constantijn Huygens, deel 4, p. 317.] [ *) Misschien toen Descartes voor het eerst het werk van Cavalieri zag, bij van Schooten; zie Descartes aan Mersenne, 20 april 1646, Ned., Fr.] | |||||||
[ 561 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.[september 1650.] (Concept)
Zojuist werd me uw brief ter hand gesteld. Ik heb niet geaarzeld, zeer geleerde Schotenius, uw uitstel van een antwoord toe te schrijven aan een minder gunstige gezondheidstoestand, totdat uw brief mij van dwaling en ongerustheid tegelijk bevrijdde. Zeer verheugd was ik dan ook toen ik begreep, dat alleen bezigheden u hebben belemmerd. Welkom was ook dit, dat ik zie dat u niet ontevreden was over ons werkje 1) voorzover het is ingezien, en ik hoop vast en zeker dat de twee laatste boeken u nog veel meer zullen bevallen; daar ook mij lijkt dat ze de andere overtreffen. Want ofschoon ik me niet wil beroemen op eigen vondsten, onderscheid ik toch vrij gelukkig de dingen die minder slecht zijn dan de rest. De bewijsmethode met het ondeelbare zal ik verder niet bestrijden, nu ik zie dat ze voor u aannemelijk is; hoewel ik haar altijd ver zal achterstellen bij de bewijzen volgens Archimedes, zowel om de zekerheid als ook om de elegantie; ik ben nu eenmaal zo dat ik in de Meetkunde de vindingen zelf iets minder waardeer dan de manier en duidelijkheid van bewijzen. Maar hierover zal ik een andere keer langer uitweiden, wanneer ik u wellicht ook tot mijn mening zal overhalen; nu heb ik u niets anders aan te bevelen dan uw welzijn. Het ga u goed. [ *) S. D. - Salutem dicit, groet.] 1) Het niet uitgegeven werk 'De iis quae liquido supernatant', zie noot 2 van brief No. 85. |
[ 132b ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.[september 1650]. (Concept)
Ik geloof dat u het zo hebt beslist, dat u me niet eerder op de hoogte stelde. |
[ 133 ]
[ 134 ]
|
samenvatten en bepalen wat dat principe van hem en Cavalieri is, want nu lijkt het mij zo algemeen en afwijkend dat ook onware dingen voor waar zullen invallen, niet zonder grote schade voor de meetkunde; en opdat het niet lijkt dat ik dit zonder reden vrees, zal ik er geen spijt van hebben als ik de zaak met een voorbeeld bevestig. Torricelli 2) heeft een bewijs van een stelling van Archimedes, dat hij afhandelt met zo'n figuur als ik hier heb bijgezet, genomen uit zijn boek 3).
Als u het eens bent met dit bewijs, beziet u dan eens of ook dit volgende geloofd moet worden dat ik er nu mee ga verbinden:
1) Dit stuk staat op hetzelfde blad als het concept van No. 86. [Daarin: parabolen i.p.v. halve cirkels.] 2) Zie zijn 'De dimensione Parabolae' p. 95. 3) In de figuur hebben we volgens de figuur van Torricelli de letters bijgeschreven die Huygens had weggelaten.
|
Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.26 februari 1651.
De Euclides waarover u me schrijft is mijns inziens de bijgaande, daar ik in de catalogus*) geen andere heb kunnen vinden, die in het Grieks en in het Latijn was uitgegeven. Aangezien deze naar ik meen dezelfde is, die in de catalogus vermeld staat op een achterpagina van de wiskundeboeken, en die door Uw Heerschap wordt verlangd. Het is namelijk een uitgave in 4 to, in 1625 te Parijs gedrukt in Grieks en Latijn 1), en ik ken geen andere Euclides-uitgave van Claude Hardy 2). Deze kunt u houden als u hem gezien hebt, aangezien ik gemakkelijk wel eens een andere kan aanschaffen. Ik ben blij te begrijpen dat Uw Heerschap meer en meer voortgaat in het beoefenen en bevorderen van onze studies, en dat u die steeds met grote genegenheid omarmt, en met zeer veel genoegen vervolgt, en waarvan we de resultaten, waarmee u allen gelukkig kunt maken, elke dag van u verwachten. |
[ 139 ]
|
daar ik anders niet had nagelaten exemplaren te zenden aan uw vader en broer, die door mij zeer vereerd worden, en steeds met alle eerbied bejegend, uit dankbaarheid voor de aanvaarde vriendschap en de welwillendheid. Het ga u goed. Inderhaast.
[ *) Misschien de Catalogus bibliothecae publicae lugduno-batavae van 1640. Mathematici staan op p. 78-82 en op p. 116-118. Van Euclides worden vermeld, op p. 78 en p. 80:] | ||||||
|
|
|
Eukleidou Stoicheiôn bib. ie. ek tôn Theônos sunousiôn. Item Procli Commentarius in lib. 1. Bas. apud Iohannem Hervagium. Anno 1533 [ed. Grynaeus]. [ Op p. 82 nog: Euclidis Elementum decimum cum demonstratione Florimondi Puteani. Paris. 1612.] 1) [Eukleidou dedomena ...] Euclidis Data ... Claudius Hardy ... Parijs 1625 [niet in de catalogus]. 2) Claude Hardy (1598-1678) was een groot vriend van Descartes en van Mydorge. Met deze laatste was hij scheidsrechter in de polemiek tussen Descartes en Fermat over 'De maximis' van de laatste. 3) Francisci à Schooten Principia matheseos univeralis, seu Introductio ad Geometriae methodum Renati Des Cartes, edita ab Er. Bartholino ..., Leiden 1651. 4) Marcus Meibom (1630-1711), was in 1668-69 hoogleraar geschiedenis en filologie in Amsterdam.
|
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.13 mei 1651.
Die meetkundige plaats bij de cirkelomtrek waarover u enige dagen geleden twijfel uitte, menend dat deze niet vlak maar ruimtelijk is, als u het zich herinnert, was als volgt. |
|
Gegeven in positie het punt A en de lijn BD en daarop het punt C, te vinden een punt E waarbij, als getrokken wordt EA naar het gegeven punt, en ED naar de in positie gegeven lijn met de gegeven hoek EDB, de rechthoek [het product] van het lijnstuk DC en een andere gegeven lijn N gelijk is aan het vierkant [kwadraat] van AE. Maar ik meen dat u in plaats van het kwadraat van AE gedacht hebt aan het kwadraat van ED, want anders is het probleem zoals u het hier ziet voorgesteld geheel duidelijk. Nu heeft Pappus het zo voorgesteld dat het punt A gegeven wordt op een andere in positie gegeven lijn, wat ons niet behoeft te beïnvloeden, daar het alleen om die reden is gedaan dat hij drie gevallen van dit probleem tegelijk zou omvatten; waarvan het eerste is, wanneer alleen het punt A gegeven wordt op een in positie gegeven lijn, waarvan u mij een heel kort en elegant bewijs hebt laten zien. Het tweede, wanneer de punten A en C gegeven worden op dezelfde in positie gegeven lijn. En van het derde heb ik hier zelf een figuur getekend. Maar ik zal niet aarzelen mijn berekening er ook bij te schrijven, opdat u, als u nog enige verdenking hebt van iets ruimtelijks, meteen kunt zien dat ik me niet vergis als ik het tegendeel beweer. |
| Ik trek ten eerste AB loodrecht op DB, zoals ook EG; evenzo EF loodrecht op AB. Laat dus gegeven zijn AB die ik a noem, en BC die ik b noem, en de lijn n, en gezocht worden AF die x is, en FE die y is. Ook is gegeven de verhouding van EG tot GD, aangezien de hoek bij D wordt gegeven, die is als van n tot m. |
[ 142 ]
|
1) Het teken  stelt voor: ± [en het teken  staat voor =.]
|
|
Het probleem wordt samengesteld op de volgende manier. De loodlijn AB wordt verlengd totdat AH ½ m, en opgericht wordt de loodlijn HK ½ n; en er wordt een cirkel beschreven met als middelpunt K, en halve middellijn KE waarvan het kwadraat gelijk moet zijn aan dat van KA +  AB, m; – BC, n; en de omtrek van deze cirkel zal de meetkundige plaats zijn van het punt E. Want als uit een willekeurig punt E ervan getrokken wordt de lijn EA naar het gegeven punt, en ED naar de lijn DB, zodat hoek D gelijk is aan R, wordt altijd gevonden dat de rechthoek op DC en n gelijk is aan het kwadraat van EA. |
[ 143 ]
| Hier blijft niet over dan dat u uw bewijs erbij zet, wat u niet lang onbekend zal kunnen blijven, daar u nu al een geval dat hiermee verwant is hebt opgelost. |
|
Een grotere moeilijkheid, naar ik meen, zullen geven de verschillende wijzen waarop dit en andere dergelijke problemen kunnen worden gesteld, waarvan bij elk afzonderlijk een verschillende constructie nodig is; die zal immers een andere zijn wanneer wordt gegeven dat hoek R of D scherp is zoals hier 2), dan wanneer hij stomp is, of wanneer hij recht is; een andere wanneer de lijn CD wordt afgesneden boven punt C, dan wanneer eronder; ook een andere wanneer punt E gevraagd wordt aan de andere kant van lijn DB. Voor wie in onze kunst bedreven is zou één geval voor alle kunnen staan, maar als u ook andere studenten in de Meetkunde wilt tevreden stellen, zou ik heel graag willen weten hoe u zult beslissen dit te ontwarren. Het ga u goed. 13 Maij. 1651.
2) Onder de laatste figuur, die maar een constructieschets is, vindt men van de hand van Huygens berekeningen om het meetkundig gemiddelde te vinden tussen 170 (het getal dat in de figuur voor n wordt genomen) en de getallen en de getallen 76, 56, 37, 26, 157, 113 en 196. Vervolgens met potlood enkele berekeningen aangaande de lijn FE, raaklijn aan de cirkel. [ *) Fr. van Schooten had pas een huis gekocht (Dopper 2014, 47: tegenwoordig Herensteeg 21), zie het begin van de volgende brief.]
| ||||||
[ 144 ]
Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.30 juni 1651.Fr. à Schooten, Nobili ac rarae eruditionis Juveni-Viro, D. Christiano Hugenio S.P.D.*) U zult mij misschien beschuldigen van onachtzaamheid, zeer uitnemende Heer, voortreffelijkste onder de jongeren, daar ik immers op uw brief van 13 mei na het verstrijken van deze lange tijd, nog niets ten antwoord heb gegeven. Maar u zult het rechtvaardigen, hoop ik, wanneer u weet dat ik door de verhuizing van de mijnen heel wat terzijde heb moeten leggen, dat als het ware verloren zolang bij mij verborgen is geweest, totdat mijn aandacht van alle zorgen en bezigheden bevrijd zou zijn. Nadat ik mij weer heb klaargemaakt voor de studie, is het terstond bij me opgekomen te ondernemen om wat ik over deze meetkundige plaats — waarvan ik eerder had gedacht dat ze ontegenzeglijk ruimtelijk was (door de berekening misleid natuurlijk) — niet duidelijk genoeg had geformuleerd, om dat nauwkeuriger te onderzoeken en met uw brief te vergelijken. Dat die plaats dus vlak is zal wel niemand twijfelachtig lijken, die zowel uw Analyse geheel begrijpt, als het volgende bewijs van mij, dat ik hier bijvoeg. |
|
Gegeven in positie het punt A, en de lijn BD, en daarop het punt C; te vinden een punt E waarbij, als getrokken wordt EA naar het gegeven punt A, en ED naar de in positie gegeven lijn BD onder een hoek D die gelijk is aan de gegeven AFB, de rechthoek op lijnstuk DC en een andere gegeven AG gelijk is aan het vierkant van AE. Constructie. Als getrokken is AG evenwijdig aan BD, wordt vanuit C evenwijdig aan AF getrokken CI, totdat deze wordt gesneden door AG, die wordt verlengd naar I, en gevonden moet worden tussen IA en AG de middelevenredige AL. Vervolgens, als volgens 33. 3 1) beschreven is op AG het cirkelsegment AHG, dat een hoek AHG beslaat gelijk aan de gegeven AFB, wordt vanuit het middelpunt hiervan beschreven de cirkel MELP, die door punt L gaat. Ik zeg dat als op de omtrek daarvan een willekeurig punt E wordt genomen, [ *) Juvenis-Vir - Jonkheer (zie noot * bij p. 91 van T. II hierna); D. - Dominus, Heer; S. P. D. - Salutem plurimam dicit.] 1) Deze getallen verwijzen naar propositie 33 van boek 3 van de Elementen van Euclides. De volgende aanhalingen hebben een analoge betekenis. |
[ 145 ]
|
en vandaar naar het gegeven punt A wordt getrokken EA, en ED naar de in positie gegeven DB onder de gegeven hoek D of F (dat is, evenwijdig aan AF), dat dan de rechthoek op het lijnstuk CD en de gegeven AG gelijk is aan het vierkant van AE.
Bewijs. Verlengd worden namelijk FA en EA naar de omtrek in M en P, en IG naar de rechte ED in N, en uit K wordt op HA neergelaten de loodlijn KO, en H wordt met G verbonden. Aangezien dan van de driehoeken AHG en ANE de hoeken bij H en N gelijk zijn, en de hoek bij A aan beide gemeenschappelijk is; zal ook de derde bij G gelijk zijn aan de derde bij E, en driehoek AHG gelijkvormig met driehoek ANE. Daarom zal volgens 4. 6 gelden dat zoals AH tot AG is, zo is NA tot AE, en derhalve zal volgens 16. 6 de rechthoek EAH [EA.AH] gelijk zijn aan de rechthoek NAG. Op ongeveer dezelfde manier kunnen de overige gevallen in navolging hiervan worden geconstrueerd en bewezen, maar voor U zal het voldoende zijn dit te hebben aangetoond. Het ga u goed.
| |||||||||
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.[oktober 1651.] (Concept)
Ik was blij mijn boekje*) te ontvangen, dat door u is bekeken en teruggestuurd, blij zowel door de lof waarmee u me genoeg hebt overladen — want voor wie is het niet zeer welkom als hij geprezen wordt door iemand die zelf wordt geprezen — als door uw zorgvuldige aanmerkingen bij enkele plaatsen, in het bijzonder omdat u enkele dingen over het opstellen en afronden van een bewijsmethode°) terecht in herinnering hebt gebracht, en zo hebt u bewerkt dat ik in het vervolg daarmee voorzichtiger zal omgaan. Inderdaad, als dit eens gedrukt zou zijn zoals het was, dan denk ik dat ik deze twee fouten tegen een hoge prijs had willen afkopen, ook al zouden ze geen aanwijzing zijn geweest van een ongerijmde redenering #) maar slechts van zorgeloosheid, en ook al lijken ze u zo gering dat u ze zelfs geen fouten hebt willen noemen. Overigens zal ik erop toezien dat deze Theoremata in het licht gegeven worden zodra het gelegen komt, aangezien ze u zozeer volmaakt en Archimedisch lijken. Over pater Gregorius heb ik u onlangs gezegd dat ik iets aan het verzinnen ben, [ *) Manuscript van Theoremata de Quadratura.] [ °) Lat.: "de compositione et conversione rationis"; andere vertaling (zoals in XI, 275): over opstelling en omzetting van verhoudingen. Maar van Schooten zegt in No, 95 alleen: "hier of daer een woort uijt te laten, by te doen, ofte te veranderen, waer door den sin mij klaerder gescheenen heeft".] [ #) Lat.: "ineptae ratiocinationis" zal niet slaan op berekeningen.] |
[ 149 ]
|
waarmee ik diens Cirkelmeting ga omstoten; ik heb die al met twee weerleggingen tot in het absurde doorgetrokken, en besloten hem een brief*) te sturen om te weten of hij nog bij zijn mening blijft, dat vond namelijk ook mijn vader, en verder of hij door mijn aanwijzing liever een herroeping wil uitgeven of afwachten tot ik publiceer wat ik heb gevonden. Ik zal zien wat hij op deze bezinksels ten antwoord zal geven, en ondertussen blijf ik me op de strijd voorbereiden, zo zorgvuldig als ik kan; want ik denk dat die ongetwijfeld nodig is. Wat uw geschil aangaat, namelijk de uittreksels en het afschrift van de kwitantie van uw vader die u vroeg, daarvoor heb ik al gezorgd en ik heb ze bij mij, en wanneer ze door Buysero 1) ondertekend zijn zullen ze terstond aan uw zaakgelastigde worden gezonden. Het ga u goed. [ *) Brief No. 96 (6 okt. 1651). — N.B.: No. 90 is niet van 1651 maar van 1652, zie corr. V, 619.] 1) Laurentius Buysero overleed op 29 maart 1674. Hij was griffier van prins Frederik Hendrik. Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.Aanhangsel bij No. 97. (Concept)
Gregorius van St. Vincent levert deze methode om de cirkel te kwadrateren. [^] Eindstelling 53 van de Kwadratuur van de cirkel heeft niets dat in twijfel kan worden getrokken, behalve dit ene, dat hij zegt dat de verhouding bekend is van segment LMNK tot segment EGHF. Ik ontken dat hij deze bekend heeft gemaakt, of dat ze bekend kan zijn uit wat hij eraan vooraf heeft laten gaan, en zo is de gehele onderneming vergeefs en vruchteloos. En dat deze verhouding van segmenten bekend is tracht hij te bewijzen in stelling 52, waarin slechts het volgende te onderzoeken is, dat hij zegt dat aangetoond is dat lichamen die aan deze cilindrische delen gelijk zijn, onderling een bekende verhouding hebben, dat wil zeggen dat er een bekende verhouding is van het lichaam opgetrokken*) uit vlak EHIM op vlak HPFI tot het lichaam opgetrokken uit vlak NKLO op vlak KQRL. En dit acht hij bewezen door stelling 44, waarin deze onwaarheid staat die hij waar noemt. [ *) Opus geometricum, p. 704: "Ductum plani in planum voco ...": Met het optrekken van een vlak op een vlak bedoel ik het vormen van een lichaam uit twee oppervlakken met dezelfde of gelijke basis. B.v.: een vierkant op zichzelf geeft een kubus, een driehoek op een rechthoek geeft een prisma.]
|
[ 156 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.11 november 1651.
Die figuren die ik om te maken aan Sichem 1) heb uitbesteed verwacht ik nu, en wanneer ze komen zal ik bespoedigen dat mijn tweelingverhandeling aan de drukpers wordt toevertrouwd. De ene hebt u onlangs gelezen, en voor dat lezen zal ik u altijd dank verschuldigd zijn. De andere zend ik u nu om, alstublieft, oppervlakkig door te nemen, vooral om over mijn argumenten te oordelen, of u denkt dat ze door deskundigen wel voldoende begrepen gaan worden. Mij althans is nu niets duidelijker, en dat pater Gregorius in zijn kwadratuur gedwaald heeft betwijfel ik niet méér, dan dat ik enige stelling van de Elementen van Euclides kan betwijfelen. Nadat ik enkele theorema's van mij aan hem had geschreven, van die met betrekking tot drijvende lichamen, heb ik gemerkt dat hij vriendelijker heeft teruggeschreven dan hij in de eerste brief had gedaan; doch we zullen zien wat zijn gezindheid zal zijn zodra hij de weerlegging van zijn vondsten onderzocht heeft. Ik denk dat niemand die beter zou inzien (en dat zou ook niet verbazen), zodat ik hoop en geheel van mening ben dat hij er niets op te zeggen zal hebben. Niets zal u voorkomen als moeilijk te begrijpen, meen ik, aangezien u al lang 1) Christoffel van Sichem, de jonge (1582 [ca. 1581] - 1658) was graveur zoals zijn vader en zijn zoon. Ze hadden dezelfde voornaam, die ook enkele andere graveurs in de familie hadden. |
[ 157 ]
[ 158 ]
|
die bewijst naar ik meen. En misschien kunt u dit gemakkelijk bereiken op bijna dezelfde manier als waarop de zijne (volgens mij) moeten gaan. Overigens zult u in de kantlijn vinden wat door mij bij het lezen is aangetekend. Het ga u goed. Die 13 Novembris 1651.
| ||||||
[ 162 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.[28 december 1651]. (Concept) 1)
1) Met een exemplaar van zijn Exetasis (Adversaria van Christiaan Huygens). [Exetasis - onderzoek; onderdeel van Theoremata de Quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro; Ned.] [ *) Zie p. 28 (Ned.): "En opdat nu de bewijsmethode zelf ook bekend wordt, deze is als volgt." en p. 30: "Doch ik keer terug tot het gestelde ..."] 2) Gerard van Gutschoven (1615-1668) was leerling en assistent van Descartes, maar keerde in 1635 terug naar zijn geboorteplaats Leuven, waar hij in 1646 [^], als opvolger van Sturmius, professor in de wiskunde werd; hij legde zich echter ook toe op de geneeskunde. Na de dood van zijn vrouw Anna Leroy (1652) ging hij het klooster in, en in 1659 werd hij professor in de anatomie, chirurgie en plantkunde. Naast enkele geschriften liet hij een militaire kaart van Leuven na, hij had opdracht gekregen de bolwerken te herstellen. 3) Lodewijk Huygens, die op 20 december 1651 naar Londen was vertrokken, in het gevolg van de gezanten Jacob Cats, Gerard Schaap Pietersz. en Paulus van der Perre en hun secretaris Allart Pieter Jongestall (Dagboek). [Zie brief No. 114, 19 januari 1652.] [ Meer personen die het boek ontvingen worden genoemd in T. 11, p. 275.]
|
[ 163 ]
Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.2 januari 1652.
Na de allerhoogste dank betuigd te hebben voor uw prachtige boek, kan ik u verder niets schitterenders toewensen, dan dat u ons blijft verrijken met uw zeer edele werken. Wat namelijk uw zorgvuldigheid betreft, die wordt zeker aangegeven zowel door de figuren zelf, als door de druk; iedereen — of hij nu dit boek slechts oppervlakkig heeft bekeken, en afgewogen hoe op zo weinig bladzijden iets kan worden omvat dat in een zo moeilijke materie ook alle geleerdste mannen ontging, of dat ze, als ze ertoe zijn overgegaan het uit te denken, toch hun pogingen door u zien stranden — moet in elk geval oordelen dat van u nog grote dingen zijn te verwachten. Dus om dit te kunnen hopen bid ik God van harte dat hij u een lang en gezond leven schenkt, en met uitvindingen begunstigt, opdat u ze ook bekend kunt maken tot nut en voordeel van de goegemeente. Laat ik daarom besluiten met mijn heilwens voor een gelukkig begin van het nieuwe jaar voor u en de uwen en ik zeg u tegelijk dank voor de gift, die mij kostbaar zal zijn, zoals ook de overige bewijzen van uw werkzaamheid. Het ga u goed. Leydae 2 Januarij 1652. |
[ 164 ]
|
De heer van Gutschoven woont in Leuven, waar hij professor in de Wiskunde is, en Doctor in de Medicijnen.
| ||||||
[ XXII, 61 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.1652 [juli]. (Concept) 1)Uw boek over vlakke plaatsen dat ik al lang verlang door te nemen: als het uitkomt zou ik willen dat u het me nu stuurt 2), of als u tijd hebt voor een uitstapje hierheen dat u het zelf brengt; er zijn namelijk enige zaken die ik u op mijn beurt persoonlijk wil laten zien van mijn vondsten en ik heb niet weinig te vertellen over de reis naar Gent vanwaar ik eerst nu terug ben. Lang heb ik met pater Gregorius 3) gepraat, wiens kwadratuur — zij het dat ik hem niet voldoende een bekentenis heb kunnen afdwingen [exprimere] — van Gutschoven 4) veroordeelde, die zei dat ze door mijn werk geheel en al omver was geworpen. Zo deelde ook de heer Edelheer, vertegenwoordiger van de Antwerpenaren 5), het ons mee. Het ga u goed.
1) Zoals gezegd op p. 99 van T. XVI hebben we hier te maken met het concept van de brief aan van Schooten waarop deze antwoordde op 28 juli 1652 (T. I, p. 183). [Handschrift: p. *1, ondersteboven]. |
| librum tuum de locis planis ... | |
| |
|
2) In zijn antwoord zegt van Schooten dat hij zijn verhandeling 'de Locis Planis Apollonij' stuurt. 3) Gregorius van St. Vincent (T. I, p. 53, noot 5). 4) G. van Gutschoven. Zie p. 162 van T. I, evenals de brief die Huygens hem schreef op 4 november 1652 (T. I, p. 190). 5) Zie over hem p. 190 van T. I. |
[ 183 ]
Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.28 juli 1652.
Nadat uw brief 1) mij ervan op de hoogte had gesteld dat u na afloop van uw reis naar Gent 2) in den Haag was teruggekomen kon ik niet nalaten u geluk te wensen met uw aankomst, en mijn verhandeling |
[ 184 ]
|
over de Vlakke plaatsen van Apollonius over te zenden, met de vraag of u de moeite wilt nemen deze door te nemen 3), en alles wat u vindt dat minder juist is, of weinig bevalt, meteen aan te geven. Er gaat voor mij namelijk niets boven uw verstand. Want daar dit voor mij door en door bekend is, vertrouw ik erop dat het zo is dat, nadat u alles afzonderlijk hebt afgewogen, er niet gemakkelijk iets te vinden zal zijn dat pijlen van anderen heeft te vrezen. Ik begrijp dat u met pater Gregorius lang hebt gesproken, en dat u ondertussen toch niet behoorlijk genoeg diens bekentenis over zijn kwadratuur voor mij kunt uitdrukken [exprimere]. Daarover zullen we het dus hebben wanneer ik tijd heb een uitstapje te maken. Het ga u goed. Lugd. Bat. 28 Julij 1652.
1) Deze brief ontbreekt. [Zie het afschrift hierboven, uit T. XXII.] 2) Op 9 juli 1652 was Chr. Huygens met zijn vader naar Vlaanderen vertrokken, op de 13e ging hij langs Gent, waar hij pater Gregorius van St. Vincent bezocht en vanwaar hij op de 15e naar Antwerpen vertrok; de 18e was hij terug in den Haag. (Dagboek). Zie brief No. 134 [No. 135]. 3) Dit werk werd later gepubliceerd in de Exercitationes Mathematicae van Fr. van Schooten: ... Lib. III, continens Apollonii Pergaei Loca plana restituta, Leiden 1656. [Ned. 1660.] Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.13 augustus 1652.
Voor uw boek dat ik heb gelezen ben ik u dankbaar; en zeker heb ik zeer veel genot gehaald uit die bewijzen, niets is scherper of eleganter. Doch zoals deze niet vlug worden opgeschreven, zo worden ze zelfs niet anders dan langzaam en voorzichtig gelezen, wat me als enige zou kunnen vrijspreken als u zich zou willen beklagen over het uitstel. En toch zou ik uw geschrift al veel eerder aan u hebben teruggestuurd, als het mij mogelijk was geweest meer nauwgezet te zijn. Ik word namelijk gekweld door hoofdpijn, wel niet voortdurend, maar het meest dàn ongelegen komend, wanneer ik ben begonnen iets met meer oplettendheid te behandelen, vooral als dat iets een Meetkundige zaak is; zozeer dat ik, als niet geestelijk genot deze last zou compenseren, bijna altijd gedwongen zou worden van dit soort studie af te zien. Ik wens u geluk dat u niet door zoiets wordt gehinderd, zodat u al uw uren nuttig kunt besteden. U zult zich zeer verdienstelijk maken bij onze Meetkundigen, als u zo spoedig mogelijk uw problemen | ||||
[ 185 ]
|
in de volkstaal laat drukken. Zij zullen dan immers iets hebben om na de boeken van Euclides te lezen en ook om te wedijveren, zoals u terecht daarvoor een maatregel hebt genomen, tot nu toe is immers in het geheel niets in de volkstaal geschreven, dat deed denken aan de subtiliteit van de ouden. Als ik bij u zou zijn, zou ik u over deze boeken van Apollonius de volgende vragen willen stellen: Hoe heeft hij in niet minder dan honderd en 47 theorema's datgene kunnen omvatten, wat u allemaal met de bewijzen zo beknopt hebt gegeven? Welke manier van bewijzen zal hij zich hebben voorgesteld? Of hij werkelijk alle gevallen heeft behandeld? Of hij ook steeds heeft aangetoond, dat er buiten de meetkundige plaats niet elders een punt kan zijn? En meer dergelijke vragen, die u niet ontgaan, denk ik, nadat ik heel die materie zo duidelijk heb gezien. Mijn aantekeningen, ofschoon het er zeer weinig zijn, deze kunt u toch ook zo u wilt wegvegen met vers brood. Het ga u goed. 13 Aug. 1652. Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.29 oktober 1652.
Gisteren ontving ik uit Antwerpen een brief met drie exemplaren van elk van deze thesisprenten 1) waarvan de heer Tacquet ons deelachtig heeft willen maken, van wie ik ook een brief 2) zend. Over wat hij zegt dat uit iets onwaars rechtstreeks iets waars te voorschijn kan worden gehaald 3), daarvan zou ik van u willen weten wat dat is, of welke voorbeelden u denkt dat in deze zaak kunnen worden aangevoerd. In de statica is iets dat ik vrij zeker heb besloten aan de auteur zelf te vragen; ik vat namelijk ook niet wat hij beweert over een vast lichaam dat in een vloeistof is ondergedompeld.
1) Waarschijnlijk: - Theses Mathematicae ex Geometria, Arithmetica, Architectura Militari, Cosmographica, Statica, Optica, Musica, ... Praesidi R.P. Andrea Tacquet ... Theodorus d'Imerselle ..., Leuven 1652, in-folio. [ Figuur uit J. Mertens, 'De thesisprent van Theodoor van Immerseel uit 1652', in Straet & Vaert, 2003.] - Positiones Physico-Mathematicae ex Optica, Statica, Bellica, ... Praeside R.P. Andrea Tacquet ... Philippus Eugenius ..., Leuven 1651, in-4o. [ - Dissertatio physico-mathematica de motu circuli et sphaerae ... Tacquet ... Ph. Eugenius ... Leuven 1650. Zie: H. Bosmans, 'Le Jésuite mathématicien Anversois André Tacquet (1612-1660)', in De Gulden Passer, 1925, p. 71-.] 2) Deze brief is niet gevonden. 3) Zie over dit onderwerp het antwoord van van Schooten (brief No. 131); en de brieven No. 137 en 139, waarin Tacquet en Huygens hetzelfde behandelen. |
[ 186 ]
|
U weet dat ik dit onderwerp vroeger heb behandeld. Doch nu zit ik geheel in de optica*), en zeer onlangs viel me een mooie uitvinding ten deel, en ik meen dat ik met behulp daarvan een telescoop kan bouwen, veel voortreffelijker dan andere, als ik maar een ervaren vakman kan vinden. En die uitvinding is dat ik heb bewezen dat lichtstralen, gericht naar één punt, met behulp van een bolvormig oppervlak naar een ander punt (dichterbij of verder weg) kunnen worden gebracht, en wel precies [XIII, 49]. En bijgevolg dat stralen, komend uit één punt, met een dergelijk oppervlak zijn af te buigen alsof ze kwamen uit een punt dichterbij of verder weg. En Descartes heeft dit kunstig ondernomen met gebogen oppervlakken die voordien onbekend waren, maar die op geen enkele manier zouden kunnen worden geslepen. Als u de door hem gegeven bewegingswetten°) nog verdedigt, wilt u mij dan dit ene geval ontwarren, ik weet niet waarom hij het wegliet. 
Lichaam A gaat in de richting van B, en tegelijk B in de richting van A. En B is tweemaal zo groot als A, maar A beweegt tweemaal zo snel als B. Wat zal er gebeuren na de botsing in C? Ik zeg dat elk van beide terug gaat met dezelfde snelheid als waarmee het aankomt. En als dit u ook lijkt, beziet u dan hoe het met het overige overeenstemt. Descartes beweert immers dat lichaam A op geen enkele manier B kan doen bewegen als dit groter is en in rust. Hoe zal dit dan terugstoten wat ertegen botst? want dit lijkt inderdaad veel moeilijker. Ik hoop dat u er geen spijt van zult hebben hierover uw mening te vormen, en het ga u goed. Hagae 29 Octob. 1652.
[ *) Op 4 nov. vroeg Huygens informatie over het slijpen van lenzen aan Gerard van Gutschoven.] [ °) Vgl. de kritiek in de eerste brief aan van Gutschoven (17 jan. 1652). De wetten staan in 'Principia' (1644), 60; zie samenvatting. ] Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.4 november 1652.
Na ontvangst van uw brief, samen met die welke de eerwaarde pater Tacquet voor mij had gegeven, en tegelijk met de thesisprenten — waarvoor ik zowel u als hem zeer veel dank heb te betuigen, wegens uw moeite immers bij het zenden daarvan, en die van hem voor de welwillendheid bij het schenken ervan — kon ik niet nalaten te antwoorden op wat u van mij vraagt. Voor wat dus betreft datgene, waar hij zegt dat uit iets onwaars rechtstreeks iets waars te voorschijn kan worden gehaald, denk ik zeker dat u het aan de hand van de hier aangevoerde voorbeelden gemakkelijk zult inzien. Als namelijk iemand zo redeneert: [ *) Zie Simon Stevin, Bewysconst (1585), p. 32: 'bewysreden' voor syllogisme, op p. 36: vier soorten, en op p. 123: 'barbara'.] |
[ 187 ]
|
vereiste voorwaarden erin gevonden worden. Doch uit twee ware premissen in een goede vorm een onware conclusie te voorschijn halen is onmogelijk, omdat het anders altijd een Sofisme is. [ Stevin geeft op p. 128 voor de 'Syllogismus Contentiosus' of Sophisticus het voorbeeld: Wat ik ben, ben jij niet / Ik ben een mens / Dan ben jij geen mens.] Doch nog helderder zult u begrijpen dat uit duidelijk onware dingen iets waars te voorschijn wordt gehaald, als u slechts de Regula Falsi bekijkt, waarin openlijk wordt geleerd het gezochte of ware te vinden uit een of twee onware of willekeurig gekozen getallen. Ik weet niet of ik zal zeggen of de gehele Algebra ook niet iets dergelijks leert, daar er uit een willekeurige of veronderstelde grootheid de ware en gezochte altijd volgens zekere regels of rechtstreeks wordt gevonden. Ik zie geen ander verschil met de Regula Falsi dan dat in de Algebra die grootheid slechts onecht is, en daarom niet klaarblijkelijk onwaar of strijdig met het gezochte, en dat die daarna dus door zekere regels zo wordt beperkt, dat ze zodanig wordt als vereist. Maar welke tegenwerping u zult maken bij de Regula Falsi zie ik niet, daar die veronderstelde getallen geheel en al fout zijn, waaruit toch vervolgens op een bepaalde manier, en wel rechtstreeks, het juiste getal te voorschijn wordt gehaald. Waarbij we op elegante wijze (mijns inziens) de aard van beide kunnen onderscheiden, als we overwegen dat in de Algebra die onechte grootheid altijd zo wordt beperkt, dat ze voldoet aan alle voorwaarden van de vraag en dus het gevraagde wordt. Maar bij de Regula Falsi blijkt op welke manieren uit geheel en al foute veronderstellingen het ware te voorschijn wordt gehaald; en dat het zelfs makkelijker is uit zo'n eenvoudige onechte grootheid tot de ware te komen, dan uit geheel en al foute de ware op te diepen; aangezien deze niet kan worden gevonden, als niet tevoren bekend is op welke manier ze strijdig zijn met het gevraagde, wat althans bij de eerste niet nodig is. Overigens weet u dat Astronomen, als verschillende Hypothesen zijn verondersteld, niettemin overeenkomen in berekening van Eclipsen, en dat het daarom voor een Astronoom voldoende is dat hij een berekening levert overeenkomstig met de waarnemingen, zodat het niet noodzakelijk is dat die Hypothesen waar zijn. Daar immers verscheidene Hypothesen zich aanbieden,*)
Voeg hieraan toe, dat Copernicus in zijn boeken van de Omwentelingen der Hemellichamen schrijft°):
Waaruit dus vaststaat dat, ook al is de Hypothese van Ptolemaeus strijdig met veel verschijnselen, en al kan ze daarom niet waar zijn, toch zal de berekening die erop wordt gebouwd overeenkomen met de berekening van andere Hypothesen. [ *) Uit het voorwoord 'Ad Lectorem' bij Copernicus, De revolutionibus orbium coelestium: ".. hypotheses .. Astronomus eam potissimum arripiet ... nisi divinitus illi revelatum fuerit", zie ed. 1543, onderaan 1e blz.] [ °) Volgens Galilei, Systema Cosmicum, 1635, p. 333 (Engl.; Ital.) door van Schooten letterlijk overgenomen — op 3 uitzonderingen na: "proportione inter se" i.p.v. "inter se proportione", "quantumlibet" i.p.v. "quantumvis" en "sibi satisfieri" i.p.v. "satisfieri sibi" — hij had het citaat misschien van Daniel Lipstorp, die Systema Cosmicum vaak noemt in Specimina Philosophiae Cartesianae (1653), zie App. p. 212.] [ Copernicus zegt in de 'Praefatio Authoris', p. iiiv: "ac si quis e diversis locis, manus, pedes, caput, aliaque membra, optime quidem, sed non unius corporis comparatione, depicta sumeret, nullatenus invicem sibi respondentibus, ut monstrum potius quam homo ex illis componeretur." — alsof iemand van verschillende plaatsen handen, voeten, een hoofd en andere lichaamsdelen zou halen, wel heel goed geschilderd, maar niet met de verhouding van één lichaam, die helemaal niet met elkaar corresponderen, zodat daaruit eerder een monster dan een mens samengesteld zou worden.] |
[ 188 ]
|
Wat ik meen over de beweging, wanneer A gaat in de richting van B, en tegelijk B in de richting van A. En B is tweemaal zo groot als A, maar A beweegt tweemaal zo snel als B. Ik zeg dat lichaam B als het tegen A botst in C moet doorgaan naar links, en wel zó dat het geen gedeelte van zijn beweging verliest, en ook geen nieuwe beweging krijgt; maar dat A terugspringt en, met behoud van zijn snelheid, terug gaat. De reden is omdat B, ofschoon verondersteld wordt dat hij tweemaal zo langzaam beweegt als A, toch een gelijke hoeveelheid beweging heeft als A (aangezien een tweemaal zo groot lichaam, met dezelfde snelheid bewegend als het kleinere, tweemaal zoveel beweging heeft); en daarom, omdat B groter is moet A terugketsen. Doch B mag geen deel van zijn beweging aan die A meedelen, omdat er dezelfde bewegingskracht is in A als in B; en nog veel minder kan A enige beweging overdragen aan die B, daar hij naar de tegengestelde kant terugketst, en slechts zijn bewegingsrichting, waarmee hij van A naar B toe kwam, veranderd wordt. Tenslotte wat u schrijft dat u zeer onlangs hebt gevonden, namelijk hoe stralen die naar één punt zijn gericht met behulp van een bolvormig oppervlak afgedraaid kunnen worden, zodat ze precies samenkomen in een ander punt, dichterbij of verderweg enz. waarvan Descartes aantoont dat het allereenvoudigst kan worden gedaan met vlakke en hyperbolische oppervlakken, of met bolvormige en elliptische, terwijl u dit met alleen bolvormige oppervlakken gedaan wilt hebben, ik weet niet of u voldoende zorgvuldig hebt onderzocht wat hij over de Brekingswetten heeft meegedeeld. Ik heb immers zijn manier van denken zo grondig leren kennen, en deze steeds zo heel scherpzinnig bevonden, dat ik er geheel op vertrouw dat niet gemakkelijk iemand vastelt dat door hem iets is misdreven of niet voldoende doorzien, maar dat datzelfde in alle opzichten moet vaststaan, en wel de waarheid zelf schijnt te zijn. Maar opdat ik niet langer doorga dan behoorlijk is, en daar ik binnenkort met u, naar ik hoop en zo God wil, over deze zaak persoonlijk zal spreken, zal ik dit schrijven beëindigen. Ondertussen ga het u goed, en blijf mij genegen zijn. Ik verzoek u zo vriendelijk te willen zijn de begeleidende brief tegelijk met de uwe aan de heer Tacquet te zenden. Nogmaals vaarwel. Lugd. Bat. 4 Novembris 1652.
| ||||||
[ III, 454 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.5 november 1652. (Concept) 1) a)Ten eerste, in de Algebra althans wordt het ware niet te voorschijn gebracht uit onware dingen, deze is immers niets zonder dit soort bewijsvoering. Bij voorbeeld een getal dat ik zoek moet 6 geven door vermenigvuldiging met 2; dus als 6 door 2 wordt gedeeld ontstaat mijn gezochte getal. Doch hier wordt niets onwaars gesteld, want het teken dat ik neerzet wordt geschreven in de plaats van een woord (getal) maar er wordt niet verondersteld dat dit teken het gezochte getal is. Evenmin bij de regula falsi. Neem de regula falsi met twee gestelden; wat hier voor onwaars wordt gesteld, te weten een of ander getal, noem je in plaats van het gezochte getal, en het is niet het ware. Ja wat heeft het nu voor zin te stellen dat een getal dat het niet is, het gezochte getal is. Mij lijkt hier niets anders te gebeuren dan dat eenvoudig twee getallen gesteld worden die zo moeten worden vermenigvuldigd en gedeeld enz. zoals voorgeschreven wordt voor het gezocht getal. Vervolgens wordt uit enige gevonden overschotten en tekorten met een vaste regel het gezochte getal te voorschijn gebracht. Doch het is niet nodig dat je die twee voor het gezochte getal houdt, echt niet meer dan het teken in de algebra, waarover ik het net had. Voordat ik antwoord op het syllogisme: bezien moet worden wat dat is, uit onware dingen rechtstreeks het ware te voorschijn brengen. Het lijkt mij als volgt te moeten worden begrepen. Dat uit onware dingen het ware te voorschijn wordt gebracht wanneer met stelling van een of andere onware hypothese alsof ze waar was, iets door aanhouden ervan zo wordt bewezen waar te zijn, dat dit bewijs ons overtuigt dat dat waar is,
1) Dit stuk heeft betrekking op brief No. 131 van van Schooten en is te beschouwen als een aanzet voor brief No. 135 b. [Handschrift: UB Leiden, 'Facetten van een genie', 3.4.] |
[ III, 455 ]
|
ook al houden we de hypothese zelf voor onwaar. Zoals we zien dat het gedaan is in Archimedes' kwadratuur van de parabool enz. Want als iemand een hypothese als deze gebruikt: Dat elke kromlijnige figuur die aan dezelfde kanten hol is, als ze basis en hoogte gelijk heeft met een rechthoek, van deze rechthoek het tweederde deel is; en als hij dan door aanhouden ervan aantoont dat een parabool het vierderde deel is van de ingeschreven driehoek, lijkt mij niet dat hij in de Meetkunde uit onware dingen het ware heeft te voorschijn gebracht. Zo lang ik namelijk deze hypothese voor onwaar houd, zal ik niet overtuigd zijn door het bewijs van die persoon dat de parabool inderdaad het vierderde deel is van de ingeschreven driehoek. En daarom lijkt mij zeker niets waars door hem te zijn voortgebracht. En op dezelfde manier gaat het in het syllogisme dat u voorstelt, namelijk: elke steen is een levend wezen; elk mens is een steen. Dus elk mens is een levend wezen. Maar bij Archimedes zou het kunnen lijken dat hij uit iets onwaars iets waars heeft te voorschijn gebracht. Hij stelt immers dat alle dingen met zwaarte langs evenwijdige lijnen omlaag bewegen, wat onwaar is, en toch bewijst hij zo de kwadratuur van de parabool, die geheel en al waar is. Velen hebben gemeend dat Archimedes een fout heeft gemaakt, onder wie ook Luca Valerio 2) die evenwel later 3) zijn mening veranderde, en probeerde Archimedes te verdedigen. Doch mij kan het bewijs van Archimedes geen vertrouwen geven zolang ik zijn hypothese als onwaar beschouw, maar ik beschouw deze van die aard, alsof hij vaststelt dat dit niet werkelijk het geval is op aarde, wat hij stelt, maar hij vormt slechts als voorstelling een idee van een plaats waar zware voorwerpen loodrecht naar eenzelfde vlak trachten omlaag te gaan, en dan maakt hij met zijn bewijsvoering voor mij geheel aannemelijk dat een parabool vierderde is van de ingescheven driehoek; want wat over de grootte ervan ergens waar is, is het tevens overal. Nu lijkt dit niet meer een onware hypothese maar een denkbeeldige.
2) Luca Valerio (ca. 1552-1618) was hoogleraar wiskunde en physica en lid van de Academia dei Lincei, waar hij in 1616 werd uitgezet wegens het onderwijzen van de leer van Copernicus [maar volgens Freedberg (zie MacTutor): "for having betrayed his oath of loyalty"]. In 1606 publiceerde hij: Quadratura parabolae per simplex falsum ... [In 1604 De centro gravitatis solidorum.] [ Op p. 6 van Quadratura: "omnia gravia ad medium terrestris globi tendere", alle zware dingen gaan naar het middelpunt van de aardbol; vgl. Stevin, Weeghconst (1586), p. 9: "alle hanghende linien voor evewydighe ghehouden te worden"]. [ Dat Huygens dit werk (1606) van Valerio kende — het komt niet voor in Cat. 1695 (het andere wel: 4o-70, p. 7) — blijkt ook uit notitie nr. 20 in T. XXII, p. 169: anders dan noot 23 zegt citeert hij de wiskundige, zie Quadratura parabolae, p. 5, r.21.] 3) Zie het postume werk: Subtilium indagationum liber primus, Rome 1632 [? 1582]. a) Ad Schotenij epistolam 4) [Chr. Huygens]. 4) Zie brief No. 131. |
[ III, 456 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.7 november 1652. (Concept)Schotenio. Uw brief 1) aan Tacquet heb ik op de dag nadat ik deze had ontvangen naar Antwerpen gestuurd aan pater Seghers van wie de Theses 2) naar mij waren gekomen. Ik ben blij dat u die voldoende hebt kunnen lezen; want het zou waarachtig mijn schuld zijn geweest als u dit niet had kunnen doen. Ik heb namelijk later gezien, dat ik vergeten was een ander exemplaar ervan, dat zonder figuren en met grotere letter is gedrukt, bij het vorige te doen. Maar nu lijkt het er meer op dat uw komst hier te wachten staat aangezien u mij hoop erop hebt gegeven. Zelf heb ik ook een brief 3) voor Tacquet afgegeven, evenwel niet met die vraag over in vloeistof ondergedompelde dingen waarover ik het had. Ik heb namelijk daarna bevonden dat het uit Galilei was genomen. Maar met dezelfde vraag die ik aan u had voorgelegd, over het opdiepen van het ware uit het onware, waarop u zeker zorgvuldig hebt geantwoord. Toch maakt u voor mij de waarheid van zijn standpunt niet zo aannemelijk, maar bij alles wat u als voorbeeld aanvoert vind ik iets dat tegengesproken kan worden. Want om bij het makkelijkste te beginnen: wat u namelijk over de Algebra veronderstelde, daarmee maakt u haar niet schuldig. Wat is ze namelijk anders dan een redenering van deze soort? Een getal bijvoorbeeld dat ik zoek moet driemaal genomen 6 geven. Dus 6 gedeeld door 3 moet daaraan gelijk zijn. Doch dat een of ander teken de plaats inneemt van het gezochte getal, dat is om de kortheid, opdat niet een woord ('getal') dikwijls weer opgeschreven moet worden. Zodat ik hier niets gesteld zie worden dat onwaar is. Ja zelfs ook niet bij de Regula falsi, waarvan u meende dat die het meest met het voorgestelde heeft te maken. Omdat namelijk een willekeurig gekozen fout getal gesteld wordt in de plaats van het ware. Doch mij lijkt dit volstrekt niet hierop te slaan. Want wat betekent deze regel anders, dan dat gewoon tweemaal een of ander getal wordt genomen en dan wordt dit zo langs alles gevoerd dat is voorgesteld, als is voorgeschreven over het vinden van het getal; en dat vervolgens uit enige tekorten en overschotten met de verhoudingsregel het gezochte getal te voorschijn wordt gebracht? Doch het is helemaal niet nodig deze aangenomen getallen te houden voor het gezochte, evenmin als het teken in de Algebra dat ik net noemde. En er moet niet gelet worden op de benoeming 'onwaar', maar liever gekeken naar wat gedaan wordt dan wat gezegd wordt. Over het Syllogisme dat u als eerste hebt voorgesteld: voordat ik antwoord geef moeten we bepalen wat dat is, uit het onware het ware rechtstreeks te voorschijn brengen. Als iemand immers een onware hypothese als deze gebruikt: Dat elke vlakke figuur die aan dezelfde kanten
1) Zie brief No. 133. 2) Zie het werk beschreven in brief No. 130, noot 1. 3) Zie brief No. 133. |
[ III, 457 ]
|
hol is, en basis en hoogte gelijk heeft met een rechthoekig parallelogram, het tweederde deel is van dit parallelogram; en dan verder zo bewijst dat een parabool het vierderde deel is van de ingeschreven driehoek; lijkt hij u dan uit het onware het ware te voorschijn te hebben gebracht, en denkt u dat Tacquet dit bedoelt? Zeker niet, want anders zal zijn these tamelijk dwaas zijn, en het zal geen kunst zijn wel duizend voorbeelden achtereen aan te tonen. Zoals wanneer je stelt dat elke lijn incommensurabel is met een andere lijn, waarmee ze een grotere verhouding heeft dan vierderde, en zo bewijst dat de diagonaal van een vierkant incommensurabel is met de zijde. Doch ik denk volstrekt niet dat Tacquet dergelijke dingen als voorbeelden wil slikken. Maar dat uit het onware het ware te voorschijn wordt gebracht moet dàn worden gezegd, wanneer met stelling van iets onwaars alsof het waar was, iets waars zo wordt bewezen dat dit bewijs ons overtuigt dat het waar is, ook al erkennen we nog steeds dat het gestelde onwaar is. En dat dit niet zo is in uw Syllogisme merkt u gemakkelijk op: Elke steen is een levend wezen. Elk mens is een steen. Dus elk mens is een levend wezen. Door dit te zeggen zal ik er immers niet van overtuigd worden dat een mens een levend wezen is, als ik het daarvoor niet wist. Doch het zou kunnen schijnen dat Archimedes uit iets onwaars het ware heeft te voorschijn gebracht. Hij stelt immers ten onrechte dat alle zware dingen langs evenwijdige lijnen omlaag gaan (want zonder dit houdt propositie 6 geen stand), en daaruit brengt hij de kwadratuur van de parabool te voorschijn die zeer juist is. Maar ook dit meen ik te kunnen afzwakken, ook al is er een vrij lange bespreking nodig, zoals ook wat u over de verschillende hypothesen van de Astronologen [sic] hebt aangevoerd. Doch ik zal wachten tot u naar ons komt, opdat de brief niet te uitvoerig wordt.
Over de beweging, volgens wat u antwoordt: het lijkt me dat u weerhouden wordt en aan het ongerijmde niet ontsnappen kunt. Want als lichaam B, het dubbele van die A zoals we stelden, naar C gaat; en A met dubbele snelheid bewegend ertegen botst, neemt deze (zoals u zegt) niet iets weg van de snelheid van lichaam B. U zult ook erkennen dat, als A minder snel tegen die B botst, die beweegt zoals tevoren, hij nog veel minder de snelheid van B kan verminderen. Maar als u dit toegeeft, zoals billijk is, wat zal er dan gebeuren als we stellen dat A met maar de halve eenheid van snelheid gaat, en B zoals eerst met één eenheid? Want B zal niets van zijn snelheid afgeven bij de botsing; dan blijft hij naar A gaan met een snelheid van één. Dus A zal terugketsen, maar met welke snelheid? Zeker groter dan een half, waarmee hij kwam, want anders zou er doordringing van lichamen zijn. Maar bij een grotere heeft hij nu meer beweging dan tevoren. En B heeft zoveel als hij had vanaf het begin. Dan zal er, tegen het beginsel van Descartes, meer beweging zijn na de botsing van twee lichamen dan ervoor. Ik verlang er sterk naar te horen wat u nog zult antwoorden. Dat u me geen geloof hebt willen schenken toen ik u in kennis stelde van mijn nieuwe vondst bij het samenbrengen van lichtstralen in één punt als ze gericht waren naar een ander, heeft me zeer verheugd, zowel omdat me de ontdekking van des te groter belang scheen, als omdat ik althans één gelegenheid gekregen heb waarbij ik dat verderfelijke vooroordeel bij u kan verjagen, waardoor u niet aarzelt bij de woorden van Descartes te zweren. Hoewel ik diens goddelijk talent steeds bewonder, stel ik het niet zo hoog dat ik het niet nuttig acht om wat hij gewoonlijk vaak zonder bewijs verzekert, te onderzoeken met het richtsnoer van de waarheid. Dat ik dit nu met succes zal hebben gedaan
[ Handschrift (laatste deel): UB Leiden, 'Facetten van een genie', 3.4.] |
[ III, 458 ]
|
zal mijn bewijs duidelijk maken dat ik u zal laten zien wanneer u hier bent. Doch weet dat ik hetzelfde principe gebruik in de dioptrica dat hij over breking zeer gelukkig heeft gevonden. Het ga u goed, en zorgt u ervoor dat ik u zo spoedig mogelijk zie. 7 Nov. do 4). 1652.
4) Donderdag. |
[ 208 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.december 1652. (Concept)Schotenio. De koorts heeft me nog niet geheel en al verlaten; zodat ik nog altijd gedwongen ben af te zien van het schrijven van Theorema's. Van het lezen echter van geschriften van Meetkundigen onthoud ik me niet, daar het niet mogelijk lijkt dat iets de gezondheid schaadt dat zo buitengewoon veel genoegen doet. U zult mij dus zeer dankbaar maken als u de brief van de Professor te Oxford 1) waarover we het onlangs hadden, stuurt om te bestuderen, en wat voor nieuws u verder nog bent tegengekomen. Het ga u goed.
1) John Wallis (1616-1703) was een der oprichters van Gresham College, een wetenschappelijk gezelschap waaruit de Royal Society of London voortkwam. In 1649 werd hij Savillian Professor of Geometry te Oxford. Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.26 december 1652.Clarissimo Viro Domino Francisco à Schoten Christianus Hugenius S. Hierbij zend ik u de brief van de heer Wallis terug die u mij eergisteren met me mee hebt laten nemen, om het Probleem dat hij over de Kromme Lijn 1) heeft voorgesteld nauwkeuriger af te wegen. Ik heb het 1) Deze kromme is te vinden in een briefwisseling met Wallis van 1655. [>] |
[ 209 ]
inderdaad zorgvuldig gedaan, en het blijkt als volgt te kunnen worden beantwoord. Namelijk dat er geen kromme lijnen van willekeurige gesteldheid voorkomen, en dat deze die hij verzint volkomen onmogelijk is; wat gemakkelijk is aan te tonen.
Aangezien hij de kromme lijn AC stelt die de eigenschap heeft, dat als een aantal gelijke delen genomen wordt op de rechte AT die van het uiteinde van de as AX loodrecht weggaat, en als volgens de aangenomen delen lijnen worden getrokken evenwijdig aan as AX en eindigend op de voorgestelde kromme, dat dan, zeg ik, die welke vanaf de as de eerste is van 1 deel is, waarvan de derde van 6 is [>], de vijfde 30, de zevende 140, de negende 630, en de andere achtereenvolgens van zoveel delen als er komen uit de reeks die hij heeft gesteld. Als deze lijn dus van zodanige aard is, zouden diezelfde verhoudingen van lijnen ook optreden als in het begin grotere delen op de loodlijn AT waren genomen, zoals vaststaat dat dit het geval is bij de parabool en veel andere krommen. Neem aan dat deze delen driemaal groter worden genomen; dat wil zeggen, in plaats van de eerste van de evenwijdige lijnen wordt degene genomen die de derde was, en bijgevolg in plaats van de derde die de negende was, en in plaats van de vijfde die de vijftiende was. Omdat dus de eerste nu van 6 delen is, zal de derde van 36 delen moeten zijn, om de verhouding te krijgen van 1, 6, 30, 140 enz. Maar de derde die eerst de negende was is van 630 delen. Dus is 630 gelijk aan 36. Wat absurd is. En daarom blijkt er geen lijn met deze eigenschap te zijn. Omdat als iemand in het begin niet een kromme lijn stelt, maar bij het trekken van lijnen op gelijke afstanden, zoals eerst, de eerste van één deel maakt, de derde van 6, de vijfde van 30 enz. en door de uiteinden hiervan een of andere kromme trekt vanaf de top A, en vraagt naar de lengten van de 2e, 4e, 6e enz., dan moet gezegd worden dat die onbepaald zijn, omdat er verschillende kromme lijnen door deze punten kunnen worden getrokken, ook die bij dezelfde delen hol zijn. Verder, daar de heer Wallis dit probleem rekenkundig heeft voorgesteld en bij de reeks van de toenemende getallen 1, 6, 30, 140, 630 enz. vraagt naar de tussenliggende getallen tussen elke twee, had erbij moeten worden gevoegd onder welke voorwaarde hij ze ertussen wil hebben. Want als hij eenvoudig tussenliggende vraagt, kunnen het willekeurige getallen ertussen zijn, als ze maar groter dan de vorige en kleiner dan de volgende worden genomen, zoals 3, 16, 50 enz. of 2, 8, 100, 300. Maar als zodanige tussenliggende getallen worden gevraagd, dat het met de eerste, 3e, 5e en 7e zo is gesteld als met 1, 6, 30, 140 enz., wat hij inderdaad eist naar ik meen a), dan komen we weer bij het onmogelijke uit. Want daar de eerste van de tussenliggende kleiner moet zijn dan 6, zal de derde van de tussenliggende kleiner zijn dan 36, de vijfde kleiner dan 180, maar de vijfde van de tussenliggende getallen is er een dat valt tussen 630 en 2772. Dus zal de reeks van
a) Bekijk de figuur in de Brief van de heer Wallis (Chr. Huygens). 1) 1) De figuur is gekopieerd van het concept; in de brief zelf wordt er alleen naar verwezen. Het is een voorstelling van de Logaritmische kromme, niet van de kromme waarvan sprake is (zie de figuur op p. 217) en waarvan de ordinaten voor x = 1, 3, 5, 7 zijn: 1 , 6/1 , 6/1 × 10/2 , 6/1 × 10/2 × 14/3. |
[ 210 ]
|
toenemende getallen verstoord zijn. En zo blijkt de erbij gedane voorwaarde onmogelijk te zijn geweest; wat ook op die manier had kunnen worden aangetoond, die we even eerder bij de kromme lijn hebben gebruikt. Dit is wat bij mij opkomt, en ik denk dat u het ermee eens zult zijn. Het ga u goed. Hagae 26 Dec. 1652. |
[ 216 ]
|
Ik heb uw mening gezien, weledele heer, over de kromme die door de heer Wallis is voorgesteld, zoals die dus door u wordt beschouwd: namelijk dat de punten ervan niet onverschillig zijn ten opzichte van de punten van een of andere rechte, wat u zeker vernuftig aantoont. Waardoor het komt dat ook ik die, nog minder dan tevoren, onder de Meetkundige te rekenen acht, dat wil zeggen, waarin de relatie van alle punten ervan tot punten van een rechte lijn niet wordt uitgedrukt door enige vergelijking, zoals dit door de heer Descartes in het begin van het 2e boek wordt uitgelegd. Maar toch zou ik haar daarom niet ongeordend of onregelmatig noemen, evenmin als de Trochoïde of de Spiraal enz. waarvan zeker tamelijk veel en niet onelegante eigenschappen vaststaan. Zoals die, welke over hun oppervlak en raaklijnen door Archimedes, Descartes en Torricelli zijn aangetoond; ook al lijken ze hierin, dat hun punten niet altijd een zelfde relatie hebben met punten van een rechte lijn, ongeordend, en niet onder de Algebra vallend. Vandaar dat, als iemand stelt dat het er zo een is als de hier genoemde, ik zou geloven dat de bovengenoemde het zou zijn. Overigens, aangezien ik was vergeten u het boekje 1) mee te delen van de heer Nonancourt 2), waarover we spraken, om deze reden stuur ik u dit nu tegelijk, opdat u zich erop toelegt te begrijpen wat hij heeft gedaan, aangezien het mij zeer duister lijkt, en ik het nog niet heb bestudeerd, bij gebrek aan tijd. Ik stuur tegelijk ook de ring, in onze haard toendertijd verloren, en daarna door mijn echtgenote weer gevonden, met zeker niet geringe of matige blijdschap, ook al was die niet zo groot (daarvan ben ik overtuigd) als die waarmee de ring door de heer Tacquet [^] is gevonden. Daarom vraag ik u hem aan te nemen als teken van zijn vriendschap, maar genoeg scherts nu, ik weet immers dat u serieuze dingen doet,
[ *) Salutem plurimam (dicit); D. - Dominus, Heer.] 1) Franciscus de Nonancourt, Euclides Logisticus, Leuven 1652, in-12o. 2) Over deze schrijver is alleen bekend, uit een brief van 20 sept. 1669 [No. 1762], dat hij in Holland is geweest in gezelschap van Gerard van Gutschoven. |
[ 217 ]
|
en om die te vervolmaken vraag ik dat God u goedgunstig is, en dat dit jaar alles voor u naar wens zal slagen. Het ga u goed en blijf mij genegen. Dabam Lugd. Bat. 13 Januarij, 1653.
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.17 januari 1653. (Concept)Schotenio. Ik zie dat ik onlangs niet helder genoeg heb uitgelegd wat ik meende over de Kromme lijn van de Professor te Oxford, aangezien ik u er niet van heb kunnen overtuigen dat deze geheel onregelmatig en ongeordend is, en dat zo onkundig door hem wordt geëist, dat uit wat hij voorstelt de 2e, 4e, 6e enz. loodlijnen worden opgericht, en hoe die kromme lijn is. Daarom vraag ik u te willen afwegen wat ik opnieuw ga zeggen. 
Ik heb vrij duidelijk aangetoond, en u schrijft ook dat u dit inziet, dat er niet zo'n soort lijn bestaat in de natuur der dingen dat, als men op de grenslijn A7 de gelijke delen A1, 1.2, 2.3 enz. neemt van willekeurige grootte, en loodlijnen trekt tot de kromme uit de punten 1, 2, 3, 4, 5 enz., dat dan de eerste van één deel is, de derde van 6, de vijfde van 30 enz. Dit wordt dus voor vast en ontwijfelbaar gehouden. Maar is er nu verder nog iets om ons voor te stellen hoe die lijn van hem is? Inderdaad dit ene, dat, na in het begin de gelijke delen A.1, 1.2, 2.3, 3.4 enz. te hebben genomen, men in punt 1 een loodlijn opricht van één deel, in punt 3 van 6 delen, in 5 van 30 enz. en door de uiteinden van deze loodlijnen een kromme lijn trekt, A.1.6.30.140 enz. En zeker, als door A en de genoemde uiteinden der loodlijnen slechts één kromme lijn getrokken zou kunnen worden, zou hij inderdaad niet ten onrechte vragen hoe groot de loodlijn zou zijn die getrokken wordt vanuit punt 2, evenzo uit 4 en 6 enz. Maar daar er talloze zijn, blijkt dat noch deze loodlijnen bepaald zijn, namelijk de 2e, 4e, 6e enz., noch
| ||||||
[ 218 ]
|
enige punten van deze lijn een zekere plaats hebben behalve die 1, 6, 30, 140 enz. Geloof daarom maar dat een vraag is voorgelegd die volkomen van deze aard is: Gegeven vier of vijf of meer punten waar een of andere kromme doorgaat, te zeggen welke lijn dat is, en andere punten ervan aan te wijzen. Waarvan u zeker gemakkelijk begrijpt dat het een vraag is die zowel de bepaling als de manier geheel mist. Verder, denk niet dat de Trochoïde en de Spiraal iets met deze chimaera's gemeenschappelijk hebben, daarop krijgen immers alle punten een zekere en eenduidige plaats, ook al kunnen ze niet met een meetkundige verhouding worden gevonden; zodanig dat als op een spiraal het begin van één omwenteling en twee andere punten worden gegeven, de gehele spiraal hierdoor bepaald is. En laat dit wat nu al gezegd is voldoende zijn. Overigens, nu de Trochoïde is genoemd schiet mij te binnen u te vragen, of u in uw Commentaren bij Descartes, waar u een bewijs geeft van de raaklijn aan deze lijn, met de schrijver (in de marge is immers geschreven: Woorden van de schrijver 1)) Descartes zelf bedoelt, en of hij ooit een Meetkundig bewijs van deze raaklijn aan u heeft laten zien. Ik zou dit erg graag willen zien, en ik zou nauwelijks geloven dat het kortheidshalve is weggelaten als het toch bewezen is. Het lijkt mij dat Descartes veel bedrevener was in Meetkundige berekening dan in bewijsvoering, of in het vinden van samenstelling, in welke twee u boven anderen uitsteekt. En dit heb ik ook zeer onlangs opgemerkt bij dat optica-probleem waarin hij leert de brekingsverhouding te vinden met een straal die door de zijden van een prisma gaat. Toen ik namelijk afwoog van welke aard dit bewijs kon zijn, waarvan u zei dat het door van Gutschoven was gevonden en later door u korter gemaakt, heb ik gevonden dat die door Descartes opgegeven constructie weinig verfijnd was en ik heb deze uit wat ik over deze stof had opgeschreven op de volgende manier samengevat en bewezen. 
Als de driehoek BPI op papier is gezet, zoals Descartes voorschrijft*), moet alleen PX loodrecht op PB worden getrokken, en PI tot IX zal de gevraagde brekingsverhouding zijn. Als namelijk PB naar R is verlengd zal EBK deze loodrecht snijden, en laat BL evenwijdig aan IP worden getrokken. Dan geeft LB de straal aan die, na ongebroken door het oppervlak RQ te zijn gegaan, in B wordt gebroken en naar I gaat. En omdat EBK in punt B oppervlak RP loodrecht snijdt, staat vast dat de brekingsverhouding die is, welke de sinus van hoek KBX heeft tot de sinus van hoek EBL. Nu is hoek KBX gelijk aan hoek BXP, en aan hoek EBL is gelijk hoek XPI, omdat als aan beide een rechte hoek wordt toegevoegd ze de gelijke hoeken LBP en BPI vormen. Dus heeft ook de sinus van hoek BXP tot de sinus van hoek XPI die verhouding
1) Het staat op p. 227 van Geometria, à Renato Des Cartes Anno 1637. Gallicè edita ..., Leiden 1649. 
[ *) In La dioptrique (1637), p. 138; Ned. (1659) p. 182. Huygens stuurde zijn vondst ook aan van Gutschoven, 5 maart 1653, zie p. 226. Van Schooten gaf wellicht een kopie aan Lipstorp: p. 229.] [ Huygens' methode staat vermeld in Specimina philosophiae, Amst. Elzeviers 1656, p. 142 marge, en apart op p. 247 (met figuur, zie hiernaast) — niet in de uitgave van Janssonius jr, 1656, zie p. 169.] [ Zie ook: J. Bosscha, 'Note relative à la remarque de Huygens ...', in Archives Néerlandaises, 1908, p. VIII-XV.] |
[ 219 ]
|
die de brekingsverhouding is. Maar in driehoek PIX heeft zijde PI tot zijde IX die verhouding van de sinus van hoek PXI (dat is de sinus van hoek PXB) tot de sinus van hoek XPI. Dus blijkt dat PI tot IX de brekingsverhouding heeft, wat te bewijzen was. Ik zend u het boekje van Nonancourt terug dat ik aandachtig heb bestudeerd; maar werkelijk, als hij bij het overige niet met een betere uitkomst filosofeert, lijkt hij me goede uren slecht te besteden*). Ergens brengt hij iets naar voren dat lijkt op de dingen die pater Gregorius van St. Vincent beredeneert over Evenredigheden en die hem naar de grootste fouten hebben meegesleept. Maar misschien zal ik dit niet ongestraft zeggen, aangezien de al lang voorbereide weerlegging van mijn Exetasis uit Antwerpen wordt gemeld, met als schrijver pater Ignatius ab Ainscom 2), leerling van pater Gregorius. Bovendien stuurde een ander, een of andere Boheemse edelman 3), onlangs uit Praag een brief 4) naar me, wel zeer vriendelijk, maar waarin hij de zaak van mijn Tegenstander trachtte te verdedigen. Ik heb echter getracht hem op betere gedachten te brengen. Zeer verlang ik ernaar te weten te komen hoe de zeergeleerde van Gutschoven zijn mening zal geven, die onlangs in een korte brief 5) mij een andere en langere beloofde, zowel over deze dingen als over enige andere zaken die ik begeerd had van hem te leren. Doch het schijnt dat de goede man buitengewoon druk bezet is met bezigheden. Maar ook u mist de uwe niet, en laat ik daarom nu afscheid van u nemen. Bedank uw beste echtgenote namens mij zeer, dat ze zich heeft verwaardigd de moeite te nemen mijn ring te zoeken, die ik inderdaad heb bekeken zodra ik uw brief had geopend; ik leek niet minder geluk te hebben dan Polycrates van Samos, van wie men verhaalt dat zijn ring die in zee was gegooid uit een gevangen vis is gesneden en aan hem teruggegeven. Maar nu vaarwel, en laat mij vaker brieven van u krijgen. 17 Jan. 1653.
[ *) Brontekst: "bonas horas male collocare", naar Martialis, Epigrammata, 113.] [^] 2) François Xavier Aynscom, die het werk publiceerde in 1656. 3) G. A. Kinner a Löwenthurn. 4) Zie brief No. 136. 5) Zie brief No. 140. |
[ 228 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.7 april 1653. (Concept)Schotenio. Ook al zou u mij noch tevoren in een gesprek, noch nu per brief de lof hebben verkondigd voor de zeer voortreffelijke Lipstorp 1), die zich onderscheidt door geleerdheid en elk talent, dan zou hij zich toch genoeg hebben aanbevolen en bekend gemaakt door dat specimen dat mij gebracht is samen met uw brief 2) en de zijne 3); het geeft immers volkomen het beeld van de schrijver ervan, en het toont niet alleen dat hij is gevormd door veelzijdige theorie en begaafd met een werkelijk filosofische aanleg, maar het heeft ook het zeer oprechte karakter van zijn vriendelijkheid en van het aangename van zijn manieren. Ik ben u bij uitstek dank verschuldigd dat u mij met zo'n man in verbinding hebt gebracht, wie ik nu zo genegen ben dat mijn hoogste wens is hem te ontmoeten en aan te spreken. Hoewel ik één ding vrees: dat hij mij, als hij me beter kent, niet vindt lijken op die Huygens die u hem hebt beschreven. Want dat hij ons zo uitstekend vindt en dat we in elk van beide boeken meer dan eens in verband worden gebracht met de voornaamste Grieken*), dat komt denk ik niet zozeer door mijn verdienste als wel door het gezag van uw aanbeveling; maar hoe het ook zij, ik heb gemerkt dat ik zeker niet weinig opgewonden was over zo'n eervolle vermelding van mij, zodanig dat ik, die me om gezondheidsredenen al enige tijd aan niets doen had overgegeven, weer met nieuwe aandrift de onderbroken studie heb hernomen en daarop moet nu de aandacht voortdurend gevestigd blijven opdat eindelijk de verhandeling over breking wordt voltooid, waarvan ik zie°) dat de publicatie zelfs tegen mijn zin al is beloofd. Doch van u zijn enige boeken al geheel gerijpt en u moet ze de studerenden in de Meetkunde niet langer onthouden. Doch wie is die niet onelegante man die door Lipstorp wordt aangeduid als degene die zich de vondst van uw eenvoudige Problemen wil toeëigenen #). Ik ben inderdaad blij dat hij heeft bewerkstelligd, wie het dan ook is, dat we die vrij spoedig zullen zien. Maar is niet hetzelfde voor u te vrezen ten aanzien van de Vlakke plaatsen? Ik zou inderdaad willen dat die met een dergelijke dwang aan u werden onttrokken, als u ze nu niet uit eigen beweging in druk uitgeeft; wees ervan overtuigd dat u niet veel zal ontbreken aan de bijnaam van grote Meetkundige, wanneer u bekend maakt dat we deze problemen te danken hebben aan het feit dat ze door uw talent zijn opgediept. Het ga u goed. Ik zou graag willen dat u ervoor zorgt dat de 5 boeken [>] waarvan u het lijstje hier bijgevoegd ziet gekocht worden op de veiling die deze maand bij de Elzeviers 4) zal worden gehouden.
1) In brief No. 92 [Ned.], 31 maart 1651, aan Chr. Huygens spreekt van Schooten lovend over Lipstorp. [Zie over hem Rienk Vermij, The Calvinist Copernicans (2002), p. 142-146 — 6 Disput. 1652] 2) Deze brief is niet teruggevonden. 3) Op deze brief, die ontbreekt, moet brief No. 154 het antwoord zijn [7 april, dank en lof voor Specimina]. [ *) Zie Specimina philosophiae Cartesianae, Praefatio, p. 13-15 en Copernicus redivivus, p. 8, 11. Het is wel waar dat Lipstorp heel veel namen noemt, hij was 21 jaar en zeer belezen.] [ °) Op p. 15: "we verlangen eindelijk ter beschikking te hebben wat hij al tot stand heeft gebracht, naar ons is aangekondigd, over dingen die op vloeistof drijven. En over zwaartepunten; zoals ook over de Brekingswetten."] [ #) Zie Copernicus redivivus, p. 9-10:]
4) Catalogus variorum & insignium in quavis facultate, materia, & lingua, librorum Bonaventurae & Abrahami Elsevir. Quorum auctio habebitur Lugduni Batavorum in officina defunctorum. Ad diem 16 aprillis, stilo novo, & sequentibus, 1653. |
[ 233 ]
Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.5 juni 1653.Clarissimo Viro, Domino Christiano Hugenio S.P.D. Illustere heer, nadat ik eerst van onze Lipstorp heb begrepen dat u aan koorts lijdt, en dat het toen daarom wegens een hevige aanval hem niet was veroorloofd met u te spreken, heb ik zowel uw lot betreurd, als ook de liefde van het publiek. Doch het deed meer leed toen hij nu om dezelfde reden naar den Haag ging, om vriendschap met u te sluiten, en mij meldde dat u er nog niet van bevrijd bent, maar nog om de andere dag gekweld gaat worden. Ik wens mezelf geluk, dat de Allerhoogste God mij na de 15 dagen, waarin ik aan de derdedaagse koorts had geleden, tot de voormalige gezondheid heeft teruggebracht. Over het kopen van de boeken die u voor mij had opgeschreven: dat ik de taak hierbij aan Lipstorp had toevertrouwd, vergeef me alstublieft dat ik het niet zelf heb gedaan. Daar ik omtstreeks die tijd door de vele bezigheden nauwelijks een uur of twee per dag vrij had, waarin ik het had kunnen doen, hoe graag ik het ook wilde. Daarom heb ik het, nadat hij had besloten verscheidene boeken voor zich te kopen, gemakkelijk hem erbij laten doen, zonder enige tijdsbesteding of ongemak voor hem; vooral toen hij had aangegeven, dat het hem zeer aangenaam zou zijn, en dat hij op deze manier ook meer gelegenheid zou vinden met u over de studie te spreken. Nadat ik was hersteld heb ik een dezer dagen gesproken met de heer le Maire 1), boekhandelaar, aan wie ik onder andere heb verteld dat de heer van Gutschoven tegenwoordig de Dioptrica van Descartes in het Latijn heeft vertaald en met commentaren toegelicht 2). En inderdaad, over dit werk, samen met uw verhandeling over Brekingen, zodra ik ze hem zoveel mogelijk had aanbevolen zoals ze verdienen, en verzekerd dat ze samen een uitstekend werk over Dioptrica en een boek van de meest gewenste dikte zouden verschaffen, toonde hij zich allerminst afkerig van het drukken ervan. En hij begreep dat het liever aan hem zou worden toevertrouwd dan aan een ander, doordat de figuren die op de Dioptrica betrekking hebben niet alleen al waren gesneden*), maar bovendien veel verzorgder dan de overige; zodat voor hem alleen die figuren zouden overblijven, die voor uw verhandeling, of de genoemde commentaren vereist zouden worden. Daarom vroeg hij mij zowel u als de heer van Gutschoven in te lichten, opdat u het daarna onderling eens zou worden. Dit heb ik dan op me genomen allerminst na te laten, zowel om uw wens te vervullen, als om u aan te sporen bij herstel van de gezondheid, wat ik u |
[ 234 ]
|
van harte toewens, de genoemde verhandeling te voltooien. Het ga u goed. Leydae, 5 Juni, 1653.
1) Johannes Maire [1603-1657] was boekhandelaar te Leiden. 2) Waarschijnlijk: Specimina Philosophiae ..., Amst., Janssonius jr, 1656 [ook Elzeviers, 1656 (met opm. Fr. van Schooten: p. 244-7); eerder 1644]. [>] [ Zie Corinna Lucia Vermeulen, René Descartes, Specimina philosophiae. Introduction and Critical Edition, 2007, p. 71-72: "Van Gutschoven's translation has disappeared"; Lipstorp had diens commentaren genoemd: 1653, p. 16.] [ *) De figuren waren door Fr. van Schooten jr getekend voor de uitgave van 1637, zie Vermeulen (vorige noot), p. 20-21 en 64-66. Vgl. b.v. de ton: 1637, p. 6 en 1644 p. 75.] Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.8 juni 1653. (Concept)Zeer wens ik u geluk en van harte, met het herstel van uw gezondheid; ik heb me nu al vanaf het Paasfeest slecht gevoeld en ben er nog niet geheel van bevrijd, maar ik hoop toch dat de koorts morgen niet zal terugkomen, daar ik gisteren een zeer matige heb ondervonden. Over het delegeren van de aankoop van de boeken: wat wilt u dat ik u vergeef? Ik heb zeker niets anders bedoeld van u te vragen dan dat u hetzij een boekhandelaar, hetzij iemand het anders zou laten doen. Doch ik heb zelf per brief*) aan de heer Lipstorp vergiffenis gevraagd, omdat ik geloofde dat ik hem met een alledaagse zaak had lastig gevallen, terwijl ik hem toen alleen in een eerste brief had aangesproken. Overigens, als hij de brief met het geld heeft ontvangen die ik aan u had geschreven, is alles weer goed; doch hiervan zou ik graag op de hoogte gesteld worden, want ik weet niet hoe het komt dat toen hij aanwezig was er over die boeken geen woord is gevallen. Wat mijn verhandeling over de breking betreft, dezelfde heer Lipstorp zei dat vaststond dat de Elzeviers niet ongaarne de uitgave ervan op zich zouden nemen. Maar als de heer le Maire heeft besloten te drukken wat u noemt over dezelfde stof, zal ik het mijne ook graag aanbieden, aangezien u vindt dat dit er ook bij moet, en tegelijk is het voor mij eervol in het openbaar te verschijnen vergezeld door de halfgod Descartes en door van Gutschoven. Mijn tekeningen lijken het boekformaat folio te vereisen, omdat de meeste zich zo in de lengte uitstrekken; als de drukker daar echter te afkerig van is, zal ik zien dat ik ze aanpas aan het dichtstbijzijnde kleinere formaat, dat ze in-4to noemen maar wel vrij groot. Over de voorwaarden denk ik dat we het zonder moeilijkheid onderling eens zullen worden; zo lang hij maar niet eist dat ik het werk en bovendien geld aanbied, naar hem zal slechts de winst gaan. Intussen zal ik trachten zo snel mogelijk af te werken en te voltooien wat ik op schrift heb; en ik ben u dankbaar dat u niet bang was voor het risico, het nog niet geziene aan te bevelen. Ik verbaas me erover dat van Gutschoven mij niets heeft laten weten over zijn commentaren, terwijl het in onze brieven toch herhaaldelijk en voornamelijk over de optica ging [<]. Het ga u goed. 8 Jun. 1653.
[ *) No. 157, 15 mei.] | ||||||
[ 242 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.20 september 1653. (Concept)Schotenio. Mijn vader is onlangs begonnen het Buitenleven te bestuderen, en zoekt verschillende schrijvers daarover, hij heeft ook per brief aan de heer Vorstius 1) verzocht voor hem degenen te willen opsommen die dit onderwerp hebben behandeld. Overigens, omdat hij nog geen antwoord heeft gekregen, wilde hij dat ik aan u zou schrijven, of u wanneer u hem ziet melding wilt maken van die brief, om te kunnen vernemen wat de oorzaak is van het uitstel. Als het maar niet ziekte is, wat hij zeker vreest, aangezien hij hem anders steeds heeft ervaren als een vriend en tot dit soort diensten bereid. Met het overbrengen van dit verzoek naar u had ik de heer van Berckel 2) kunnen belasten, die gisteren bij me was. Maar aan niets heb ik toen minder gedacht dan aan het Buitenleven. Deze zal u denk ik vertellen over de nieuwe vorm van telescoop die hij bij mij vond, waarvan ik zou wensen dat u die ook ziet. Maar hij zal misschien vergeten zijn wat ik heb gezegd over het probleem, dat betwijfeld kan worden of het ruimtelijk is of vlak. Het probleem is: Uit een gegeven punt buiten een parabool of erbinnen een lijn te trekken die haar loodrecht snijdt; waarvan
1) Adolphus Vorstius (1597-1663) was hellenist, oriëntalist en botanicus, reisde veel, en werd in 1624 hoogleraar plantkunde in plaats van zijn vader Aelius Everardus Vorstius. 2) Abraham van Berckel (1630-1688) [1639-1686; nog genoemd op p. 246 hierna en p. 274, en in T. XII, p. 80], eerst botanicus, legde zich weldra toe op de klassieke talen. Hij werd rector van het college te Delft, en later ordende hij de bibliotheek van Leiden. Hij heeft verscheiden werken nagelaten. [Zie C.W. Schoneveld, Intertraffic of the mind (1983), p. 130-131: als 15-jarige ingeschreven aan Univ. Leiden; vertaalde later Religio medici van Thomas Browne, 1665.] |
[ 243 ]
|
ik een constructie heb gevonden, en u zult die gemakkelijk vinden, zodanig dat het niet nodig is een kegelsnede te gebruiken, behalve die gegeven parabool. Anderson 3) ontgaat deze manier van construeren, en daarom heeft hij, toen hij een derdegraadsvergelijking had opgemerkt, gezegd dat het een ruimtelijk probleem was. Maar de ouden schijnen die te hebben gekend, tenminste als Apollonius in dit geval van samenstellen door Pappus is berispt 4) in propositie 30*) van boek 4, wat deze Anderson meent. Wat zullen we besluiten, zeer scherpzinnige van Schooten, de zaak is immers onbeslist, en er is toch voor beide kanten iets te zeggen. Het ga u goed. 20 Sept. 1653.
3) Alexander Anderson (1582-) [c.1592-c.1620] woonde te Parijs en was vriend van Vieta (1603). Na 1619, het jaar waarin verscheen Exercitationum Mathematicarum Decas Prima, is over hem niets bekend. 4) Pappus zegt (volgens Anderson) [p. 14-15]: "dat het zonder overgang naar het ruimtelijke niet kan worden bepaald". [ *) Federici Commandini Commentaria in octo mathematicarum collectionum Pappi Alexandrini, ed. 1602, p. 61r, laatste alinea: "niet weinig gezondigd bij de Meetkundigen ... een vlak probleem met kegelsneden ... zoals in boek 5 der kegelsneden van Apollonius het probleem bij de parabool ...". Dit 5e boek verscheen pas in 1661 in het Latijn, ed. Borelli.] Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.oktober 1653. 1) (Concept) Dit [>] is de algemene Constructie van het Probleem. Maar als AQ kleiner dan AG is, moet een cirkel worden beschreven om A als middelpunt en AG als straal en daarin wordt GK gelijk gesteld aan tweemaal EG die gevonden is zoals eerder. En na verdeling van de overgebleven boog GHK in drie gelijke delen wordt GM gelijk gesteld aan de koorde GH van één deel, en MC wordt evenwijdig aan AB getrokken. Bovendien als AQ ook groter is dan AG, echter zo dat het kwadraat van AQ niet groter is dan tweemaal het kwadraat van AG. Het verschil met het overige volgens deze manier samengestelde zal alleen zijn, dat het nodig is boog KP, die de rest van de halve omtrek is, in drieën te snijden waarvan één deel PH is, en aan de koorde GH gelijk te stellen GM. En het is duidelijk, dat als AQ aan AG gelijk
1) Het begin (hier weggelaten) is hetzelfde als van brief No. 165 [over de conchoïde; het werd Probl. VIII bij De circuli magnitudine inventa (1654), zie T. XII, 113-]. Voor het "andere probleem" (3e alinea) zie No. 166. |
[ 244 ]
is, E in G zal vallen. En GM zal alleen gelijk te nemen zijn aan de zijde van de in cirkel GHP beschreven gelijkzijdige driehoek. Evenzo als AQ tweemaal zoveel vermag als die AG 2), dat dan GM alleen gelijk aan tweemaal GA is te nemen. Tenslotte zal het probleem in al die gevallen vlak zijn, waarin boog KP of KPG van die aard is, dat ze met een Vlakke Constructie in drieën kan worden gesneden. Dat zijn er oneindig veel. Welke overweging ik heb gebruikt voor de Oplossing heb ik, meen ik, aangeduid toen u hier aanwezig was. Die zal ik dus niet herhalen. Maar ik zal de Constructie van een ander Probleem voor u opschrijven, over het inpassen van een lijn van gegeven grootte binnen een hoek van een ruit, die u zei te verlangen. En ik heb dezer dagen pas een nieuw en heel goed bewijs erbij gevonden. 
Als in plaats van de ruit een vierkant gegeven zou zijn, is de Constructie van Pappus bij een buitenhoek bekend*). Maar bij een binnenhoek zal de volgende zeer geschikt zijn. Aan de kwadraten uit O en CG 3) wordt gelijk gesteld het kwadraat van CD, en op AD wordt een halve cirkel beschreven, en getrokken worden FK en fk, zoals in de ruit is gedaan. Doch hiervan zal het bewijs korter zijn, want als verbonden zijn K met D, en F met D, en FL loodrecht op AD is getrokken, aangezien dan de driehoeken ACK en FLD gelijkvormig zijn, en FL  AC, zal ook FD gelijk zijn aan KA. Doch volgens de constructie is het kwadraat van CD gelijk aan de kwadraten van O en CA. Dus als aan beide kanten het kwadraat van CK wordt opgeteld zullen de kwadraten van KC en CD, dat is het kwadraat van KD, dat is de kwadraten van KF en FD, samen gelijk zijn aan de kwadraten van O en KA. En als aan beide kanten gelijke delen
2) Dat wil zeggen: als AQ2 = 2 AG2. [Zie begin van de alinea, op p. 243.] [ *) F. Commandino, Commentaria, 1602, p. 206v, prop. 72.] 3) Zie de figuur van de volgende blz. De laatste van deze blz stelt de constructie van Pappus voor. |
[ 245 ]
|
hiervan worden afgetrokken, van de laatste het kwadraat van KA en ven de eerste het kwadraat van FD, zal gelden: het kwadraat van KF het kwadraat van O. En dus is de lijn KF gelijk aan de gegeven lijn O. Want ten eerste, dat de halve cirkel op AD de rechte GF zal snijden wordt als volgt aangetoond. Omdat immers O groter gesteld wordt dan tweemaal de diameter [diagonaal] van het vierkant AG, zal het kwadraat van O groter zijn dan achtmaal het kwadraat van AC, dus het kwadraat van CD groter dan negen maal het kwadraat van AC. En verder is CD groter dan driemaal CA; dus de helft van AD, dat is de straal van de halve cirkel AfFD is groter dan AC, dat is dan AH, en daarom zal hij de lijn GF noodzakelijk snijden. Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.23 oktober 1653.Christianus Hugenius Francisco Schotenio Viro Clarissimo S.D. Voor de nauwgezetheid in het aanschaffen van de Nederduitse Astronomie 1) bedank ik u. Ducquius 2) gaf het me, en tegelijk leverde hij twee constructies voor het vinden van de
1) Dirck Rembrantsz van Nierop, Nederduytsche Astronomia, Harlingen 1653 (2e ed. Amst. 1658). 2) Adriaan Duyck (1628-), genoemd Paradijs, werd in maart 1646 student in Leiden. Later werd hij luitenant-kolonel in het leger. |
[ 246 ]
|
raaklijn aan de eenvoudigste Conchoïde, die u zeker vernuftig hebt bedacht, met de ene uit de andere afgeleid. Want ik heb niet kunnen opmerken dat u een andere berekening hebt gebruikt dan ik. Bij de andere Conchoïde, die we de eerste noemen, wordt het buigpunt op de volgende wijze gevonden. Gegeven de Conchoïde QCN, beschreven met pool G en asymptoot AB; deze wordt loodrecht gesneden door GAQ. GR is evenwijdig aan AB, en gelijk aan tweemaal GA. En met R als top en RG als as wordt de parabool RO beschreven waarvan de latus rectum gelijk is aan die GA. Neem verder bij de twee AG en AQ als derde evenredige AE, stel GF gelijk aan GE, en beschrijf met middelpunt F en straal FR een omtrek, die de parabool snijdt in O. En de van hieruit getrokken OC, evenwijdig aan AB, zal op de conchoïde het buigpunt C geven. En als daarin de raaklijn LCZ wordt getrokken zal deze de conchoïde op dezelfde plaats ook snijden 3). Dit is de algemene constructie. Maar wanneer AQ niet groter is dan dat hij tweemaal zoveel vermag als AG 4), kan het met driedeling van de hoek worden uitgevoerd. En wel een driedeling van de hoek met behulp van de Conchoïde zelf die voorgesteld is. Zodat dan het Probleem in zekere zin vlak wordt. En het is geheel vlak in een oneindig aantal gevallen, waarvan ik er twee zal aangeven. Namelijk wanneer het vermogen van AQ tweemaal dat van AG is 4), is alleen AM gelijk aan AG te nemen, en MC evenwijdig aan AB te trekken. Wanneer daarentegen AG gelijk is aan AQ moet GM gelijk genomen worden aan de zijde van gelijkzijdige driehoek in een cirkel met straal AG. Welke overweging ik heb gebruikt toen ik dit Probleem oploste heb ik, meen ik, aangeduid toen u hier aanwezig was. Die zal ik dus niet herhalen, maar ik zal de Constructie van een ander Probleem voor u opschrijven 5), over het inpassen van een lijn binnen een hoek van een ruit, die u zei te verlangen. En ik heb dezer dagen pas een nieuw en heel goed bewijs erbij gevonden. Het ga u goed. Wilt u de heer van Berckel groeten namens mij en dit als u het gelezen hebt aan hem geven. Hagae, 23 Oct. 1653.
3) Vanaf hier verschilt het concept van de vorige brief (No. 164) van deze brief. 4) Dat wil zeggen: AQ2 = 2 AG2. 5) Zie de brieven No. 164 en 166. | ||||
[ 247 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.Aanhangsel bij No. 165.23 Oct. 1653. Deel 1. Als gegeven is een ruit, met één zijde verlengd, over een buitenhoek een lijn aan te passen van gegeven grootte die gericht is naar de overstaande hoek. |
|
De gegeven Ruit is AHGC, waarvan de verlengde zijde HG is; en de gegeven lijn is O. En voorgesteld wordt de lijn AKF zo te trekken, dat het afgesneden deel KF gelijk is aan de gegeven O. Trek de diagonaal AG, verleng zo nodig de zijde AC, en maak GD, waarvan het kwadraat gelijk is aan de kwadraten van O en van AG. En beschrijf op AD een omtrek die een hoek inneemt, gelijk aan de hoek van de ruit AHG. Deze zal het verlengde van zijde HG snijden. Dus naar het snijpunt F wordt AF getrokken. Ik zeg dat het afgesneden deel KF hiervan gelijk is aan de gegeven O. Dat nu de beschreven omtrek de verlengde zijde HG snijdt wordt als volgt duidelijk. Trek GN zo, dat hoek AGN gelijk is aan hoek AHG. Dus is driehoek AGN gelijkvormig aan driehoek AHG of ACG, want ze hebben ook de hoek bij A gemeenschappelijk. Dus is driehoek AGN gelijkbenig, en daarom als op AN een omtrek zou worden beschreven die hoek AHG inneemt, dat is hoek AGN, zou deze de lijn HF raken in punt G. Maar AD is groter dan AN; want het kwadraat van GD is groter dan het kwadraat van GN, daar het gelijk is aan de kwadraten van GN of GA en van O; daarom is GD groter dan GN, en derhalve valt GD buiten driehoek AGN. Dus is duidelijk dat de omtrek op AD beschreven die de hoek AHG inneemt, dat is AGN, het verlengde van de lijn HG snijdt. Trek uit A naar het andere snijpunt de rechte AM, en verbind F met D; laat uit G als loodlijn op AD vallen de rechte GB. Omdat dus het kwadraat van GD gelijk is aan de kwadraten van O en AG, en hetzelfde kwadraat van GD gelijk is aan de kwadraten van AG, en van AD min tweemaal de rechthoek DAB*), dat is min de rechthoek DAN; als er is afgenomen het gemeenschappelijke kwadraat van AG, zal het kwadraat van O gelijk zijn aan het kwadraat van AD min de rechthoek DAN, dat is aan de rechthoek ADN. En zoals AD tot AC is, zo is de rechthoek ADN tot wat wordt omvat door AC en DN. Dus zoals AD tot AC zo is ook
[ *) Omdat: GD2 = GB2 + BD2 = AG2 – AB2 + BD2 en: BD2 = AD2 – AB2 – 2 AB.BD. ] |
[ 248 ]
|
het kwadraat van O tot wat wordt omvat door DN en AC, dat is tot het overschot van rechthoek DAC boven rechthoek NAC. Nu is aan rechthoek DAC gelijk de rechthoek FAK, aangezien DA tot AF is als KA tot AC, wegens de gelijkvormige driehoeken DAF en KAC; ze hebben immers de hoek bij A gemeenschappelijk en hoek C is gelijk aan hoek F. Evenzo is aan rechthoek NAC gelijk het kwadraat van AG, omdat wegens gelijkvormige driehoeken geldt dat NA tot AG is als AG tot AC. Dus aan het overschot van rechthoek DAC boven rechthoek NAC is gelijk het overschot van rechthoek FAK boven het kwadraat van AG. En daarom zal gelden: zoals AD tot AC is, zo is het kwadraat van O tot het overschot van rechthoek FAK boven het kwadraat van AG. Maar aan dit overschot is gelijk de rechthoek KG.GF; wat als volgt wordt aangetoond. Omdat namelijk de vierhoek FDAM in een cirkel zit, zijn de hoeken FDA en AMF samen gelijk aan twee rechte hoeken, dat is aan de twee CKA en GKA samen. En hoek CKA is gelijk aan FDA, wegens de gelijkvormigheid van de driehoeken DAF en KAC. Dus is ook de hoek GKA gelijk aan AMF. Dus de driehoeken AGM en AGK hebben de hoeken M en K gelijk; maar ook de hoeken bij G en de zijde AG gemeenschappelijk. Dus zijn de genoemde driehoeken gelijkvormig en gelijk. En daarom is GM gelijk aan GK, en MA gelijk aan AK; en hoek KAG gelijk aan MAG. In driehoek FAM wordt dus hoek A in twee gelijke delen verdeeld door de rechte AG, en daarom is rechthoek FAM min het kwadraat van AG gelijk aan rechthoek MGF [^] . Maar rechthoek FAM is rechthoek FAK; en rechthoek MGF is rechthoek KGF. Dus is rechthoek FAK min het kwadraat van AG gelijk aan rechthoek KGF, zoals gezegd is. Dan geldt dus: zoals DA tot AC is, zo is het kwadraat van O tot de rechthoek KGF. Maar zoals DA tot AC is, zo is rechthoek DAC, dat is rechthoek FAK, tot het kwadraat van AC. Dus ook, zoals rechthoek FAK is tot het kwadraat van AC, zo is het kwadraat van O tot rechthoek KGF. Nu is de verhouding van rechthoek FAK tot het kwadraat van AC samengesteld uit de verhouding van KA tot AC, dat is van KF tot FG, en de verhouding van FA tot AC of AH, dat is de verhouding van FK tot KG. Maar hieruit wordt ook samengesteld de verhouding van het kwadraat van KF tot rechthoek KGF. Dus zal het kwadraat van O tot de rechthoek KGF zijn als het kwadraat van KF tot dezelfde rechthoek KGF; en daarom zal het kwadraat van O gelijk zijn aan het kwadraat van KF, en KF gelijk aan de gegeven lijn O. Wat te bewijzen was. Bij een gegeven Ruit, met twee aanliggende zijden verlengd, over de binnenhoek een lijn aan te passen, gelijk aan een gegeven lijn, die door het tegenoverliggende hoekpunt gaat. Dan moet de gegeven lijn niet kleiner zijn dan tweemaal de diagonaal die de overige twee hoeken verbindt. Gegeven de Ruit ACGH waarvan verlengd zijn de zijden GH en GC. En de gegeven lijn is O. Dan moet getrokken worden de rechte FAK die daaraan gelijk is. Trek de diagonaal AG en loodrecht daarop SAR, die namelijk gelijk zal zijn aan tweemaal de diagonaal HC. Dus O moet niet kleiner gegeven zijn dan SR. En als hij wel gelijk is, zal gedaan zijn wat werd voorgesteld. Maar maak O groter gegeven dan SR. En maak, na de zijde CA te hebben verlengd, GD waarvan het kwadraat gelijk is aan de kwadraten van O en |
[ 249 ]
|
GA. En beschrijf op AD een omtrek die een hoek omvat gelijk aan CGH. Deze zal de verlengde zijde GH snijden. Dus trek vanaf de snijpunten F en f de rechten FAK en fAk. Ik zeg dat elk van deze beide gelijk is aan de gegeven O. Dat nu de omtrek AfFD de verlengde zijde GH snijdt wordt eerst als volgt aangetoond. Laat GB loodrecht op AC staan en trek ST zo, dat de hoek AST gelijk is aan de hoek CGH of AHS. Dus is driehoek AST gelijkvormig met driehoek AHS, want ze hebben ook de hoeken bij A gelijk; en daarom is driehoek AST ook gelijkbenig. Dan blijkt de lijn GS gelijk te zijn aan BA met de helft van de basis AT; en daarom zal tweemaal GS, dat is viermaal GH of CA gelijk zijn aan tweemaal BA met de hele basis AT. En met als gemeenschappelijke hoogte TA genomen, zal de rechthoek op viermaal AC en AT gelijk zijn aan tweemaal de rechthoek BAT met het kwadraat van AT. En met aan beide toegevoegd het kwadraat van AB, zal de rechthoek CAT viermaal met het kwadraat van AB gelijk zijn aan de rechthoek BAT tweemaal met de kwadraten van AT en AB, dat is het kwadraat van BT. Omdat echter wegens gelijkvormige driehoeken geldt: zoals TA tot AS is, zo is AS tot AH of AC, is de rechthoek CAT gelijk aan het kwadraat van AS, en viermaal genomen aan het kwadraat van SR. Dus is het kwadraat van SR met het kwadraat van AB gelijk aan het kwadraat van BT. Omdat echter het kwadraat van GD gelijk is aan de kwadraten van O en AG, daarom zal, na wegnemen van het gemeenschappelijke kwadraat van BG, het kwadraat van BD gelijk zijn aan de kwadraten van O en AB. Dus is het kwadraat van BD groter dan het kwadraat van BT; want dit is, zoals aangetoond, gelijk aan de kwadraten van SR en AB, waarvan het kwadraat van SR kleiner is dan het kwadraat van O. Dus is BD groter dan BT, en derhalve AD groter dan AT. Als echter op AT een omtrek wordt beschreven die een hoek bevat gelijk aan CGH, dat is AST, zal deze de rechte GF raken in punt S, omdat driehoek AST gelijkbenig is. Dus zal een dergelijke omtrek op AD beschreven, namelijk AfFD, de lijn GF noodzakelijk snijden. Verder zal als volgt bewezen worden dat elk van deze beide FK en fk gelijk is aan de gegeven O. Omdat het kwadraat van GD gelijk is aan de kwadraten van O en AG, en hetzelfde kwadraat van GD gelijk is aan de kwadraten van GA en AD met tweemaal de rechthoek DAB, zal daarom, als van beide het kwadraat van AG is afgenomen, het kwadraat van O gelijk zijn aan het kwadraat van AD met tweemaal de rechthoek DAB, dat is gelijk aan wat omvat wordt door DA met tweemaal AB en door AD. Nu is deze rechthoek tot de rechthoek op DA met tweemaal AB en op AC, als AD tot AC. Dus |
[ 250 ]
|
zoals AD is tot AC, zo is ook het kwadraat van O tot de rechthoek op DA met tweemaal AB en op AC, dat is tot de rechthoek DAC met tweemaal BAC. Nu is aan de rechthoek DAC gelijk de rechthoek FAK, aangezien DA tot AF is zoals KA tot AC, wegens de gelijkvormige driehoeken DAF en KAC; ze hebben immers de hoeken bij A gelijk en hoek AFD gelijk aan ACK. Evenzo is aan tweemaal de rechthoek BAC gelijk het kwadraat van AG; want wegens gelijkvormige driehoeken geldt: zoals SG, dat is tweemaal AC, tot GA, zo is GA tot AB. Dus aan rechthoek DAC met tweemaal rechthoek BAC zijn gelijk rechthoek FAK met het kwadraat van GA. En daarom geldt: zoals DA tot AC is, zo zal het kwadraat van O zijn tot rechthoek FAK met het kwadraat van GA, dat is tot rechthoek KGF; want in driehoek KGF wordt hoek G in twee gelijke delen verdeeld door de lijn GA [^]. En zoals DA tot AC is, zo is rechthoek DAC, dat is rechthoek FAK, tot het kwadraat van AC. Dus zoals het kwadraat van O tot rechthoek KGF is, zo is rechthoek FAK tot het kwadraat van AC. Nu wordt de verhouding van rechthoek FAK tot het kwadraat van AC samengesteld uit de verhouding van KA tot AC, dat is KF tot FG, en uit de verhouding van FA tot AC of AH, dat is de verhouding van FK tot KG. Dus wordt ook de verhouding van het kwadraat van O tot rechthoek KGF samengesteld uit de verhouding van KF tot FG en de verhouding van KF tot KG. Maar uit deze wordt ook samengesteld de verhouding van het kwadraat van KF tot rechthoek KGF. Dus de verhouding van het kwadraat van O tot rechthoek KGF is dezelfde als van het kwadraat van KF tot dezelfde rechthoek KGF; en daarom is het kwadraat van O gelijk aan het kwadraat van KF. En KF aan de gegeven lijn O. Wat te bewijzen was. En het bewijs geldt ook voor de lijn fk. |
|
Als in plaats van de Ruit een Vierkant is gegeven, is bij een buitenhoek wel de Constructie van Pappus*) bekend. Maar bij een binnenhoek zal die dezelfde zijn als de voorgaande, alleen met deze verandering dat aan de kwadraten van O en CG gelijk wordt gesteld het kwadraat van CD. En het bewijs zal kort zijn. Want ten eerste, dat de omtrek op AD, die nu een halve cirkel is, de verlengde zijde GH zal snijden wordt als volgt aangetoond. Omdat O namelijk groter wordt gesteld dan tweemaal de diagonaal HC, zal het kwadraat van O groter zijn dan achtmaal het kwadraat van AC, en daarom het kwadraat van CD groter dan negenmaal het kwadraat van AC. En daarom is CD groter dan driemaal CA, en de helft van AD, die de straal is van de halve cirkel AfFD, is groter dan AC of AH. En daarom snijdt de omtrek noodzakelijk de lijn GF. Voor de rest van het bewijs worden verbonden F met D en D met K. Omdat dus de driehoeken ACK en AFD gelijkvormig zijn, zal ook hoek FDA gelijk zijn aan hoek AKC. En op gelijke afstand |
[ 251 ]
|
staan de lijnen HF en AD, en HA en GK. Dus blijkt FD gelijk te zijn aan AK. Doch volgens de constructie is het kwadraat van CD gelijk aan de kwadraten van O en AC. Dus als aan beide wordt toegevoegd het kwadraat van CK, zal het kwadraat van O met het kwadraat van KA gelijk zijn aan de kwadraten van CD en CK, dat is aan het kwadraat van KD, dat is aan de kwadraten van KF en FD. En met gelijke delen van beide afgenomen, van de laatste het kwadraat van FD, van de eerste het kwadraat van AK, zal het kwadraat van KF gelijk zijn aan het kwadraat van O. Wat te bewijzen was. En hetzelfde bewijs is ook van toepassing in het andere geval dat bij Pappus*) wordt geconstrueerd, zoals te zien is in de bijgevoegde tekening.
[ *) F. Commandino, Commentaria, 1602, p. 206v, prop. 72.] [ Vgl. Marino Ghetaldi, De resolutione & compositione mathematica (Rome 1630), p. 330-336. Huygens noemde Ghetaldi in een brief aan Kinner (9 aug. 1653), zie p. 237.] [ Zie ook T. XI, p. 239-242 en 226, n. 2 en T. XII, p. 5, 19-20, 106-110 en 199, Probl. IV-VII van de 'Problematum quorundam illustrium constructiones' in De circuli magnitudine inventa (1654), p. 56-64. En een brief (19 nov. 1678) van De Vaumesle over hetzelfde probleem, in T. VIII, p. 126.] |
[ 254 ]
Christiaan Huygens aan Fr. van Schooten.10 december 1653.Christ. Hugenius Clarissimo Viro Domino Francisco Schotenio S. Hierbij zend ik u de andere constructie*) die u vroeg van het Probleem van Apollonius, waarin het bewijs korter is dan bij de vorige, en het is een bewijs dat aan beide gevallen is aangepast. Eveneens op welke manier ik uw Methode°) voor het vinden van zwaartepunten zo heb uitgebreid, dat ze ook leidt tot de Kwadratuur van de Parabool en van andere oppervlakken. En laat dus het voorbeeld bij de parabool als volgt zijn. [...] [ *) Zie p. 256; ook deze constructie is gepubliceerd in 1654, p. 65-69; Ned.] [ °) Zie T. XII, p. 87.] |
[ 256 ]
| Nu dit voltooid is zal ik de constructie beschrijven van het probleem van Apollonius, die als volgt is*). Gegeven de ruit ADBC waarvan de zijde DB verlengd is, en de gegeven lijn is G. En we moeten een rechte ANF zo trekken, dat het afgesneden deel NF gelijk is aan de gegeven G. |
|
Trek de diagonaal DB, en maak aan de kwadraten van G en AB gelijk het kwadraat van AH, en trek HE evenwijdig aan BA; en daar naartoe moet vanuit A gemaakt worden AE gelijk aan G, en laat FAN de rechte zijn. Ik zeg dat NF gelijk zal zijn aan de gegeven lijn G. Immers, op het verlengde van BD wordt gemaakt DR, daaraan gelijk; en laat RK evenwijdig zijn aan DA of BC, en deze wordt door FA, BA en HE ontmoet in de punten M, Q en K. Trek RA en verleng hem tot P. Aangezien dus DR gelijk is aan DB, en RM evenwijdig aan DA en BN, zal ook MA gelijk zijn aan AN, en QA gelijk aan AB. Nu is de hoek BAR recht, daar hij in een halve cirkel zit (want DB, DA en DR zijn onderling gelijk), en daarom zullen ook de hoeken bij P recht zijn, want BAQ en HEK zijn onderling evenwijdig; en HP zal gelijk zijn aan PK. Dan is het kwadraat van AH gelijk aan het kwadraat van AE samen met de rechthoek HEK*). Maar hetzelfde kwadraat AH is door constructie gelijk aan de kwadraten van G of AE en van AB. Dus is het kwadraat van AB gelijk aan rechthoek KEH. Daarom zal KE tot AB zijn als AB tot EH. Maar KE tot AB of QA, zo is EM tot EA; en zoals AB tot EH is, zo is AF tot FE, beide wegens gelijkvormige driehoeken. Dus is EM tot MA zoals AF tot FE; en daarom is EA tot AM als AE tot EF. Dus is EF gelijk aan AM, dat is aan AN. En daarom ook FN aan AE, dat is aan de gegeven G. Wat te bewijzen was. Laat vervolgens ACBD een ruit zijn waarvan verlengd zijn de zijden BC en BD. En we moeten trekken de rechte NF die door hoekpunt A gaat en gelijk is aan de gegeven G.
[ *) Euclides, 2, 12: AH2 = AE2 + HE2 + 2.HE.EP . En: HE + 2 EP = HP + EP = KP + EP = EK .] |
[ 257 ]
|
In de bijgevoegde tekening zoals het voorgestelde, zal de constructie en het bewijs hetzelfde zijn als in bovenstaand geval. Hagae. 10 Dec. 1653. |
[ 258 ]
Fr. van Schooten aan Christiaan Huygens.13 december 1653.Fr. à Schooten Clarissimo Viro Domino Christiano Hugenio. Na uw brief aan mij van 10 Dec. te hebben ontvangen, en u ervoor te hebben bedankt, heb ik niet willen tekort schieten in de beloften; namelijk dat ik u deelgenoot zou maken van wat de zeer edele Descartes en de zeer geëerde Bartholinus 1) de moeite waard vonden aan mij te schrijven, elk zijn mening naar voren brengend over de Kwadratuur van de Cirkel van de illustere Gregorius van St. Vincent [<], zoals ik deze aan de eerste zeer had aanbevolen om te onderzoeken. Daarom verzoek ik u dat u niet toelaat dat dit 2) aan anderen meegedeeld gaat worden, aangezien de één zijn gedachten openhartig en tegenover een vriend uiteenzet, en als ze aan anderen werden meegedeeld zouden ze ongetwijfeld de vrede niet weinig verstoren (daar waarheid haat wekt); en de ander kort en goed van mij heeft gevraagd om dat, wat hij uit brieven had getrokken van de weledele heer De Beaune zaliger nagedachtenis, voor mijzelf te willen houden, en niet aan anderen te tonen. Toch heb ik gemeend, hoe het mij ook is opgelegd, dat dit niet zover moest gaan dat het u onbekend zou blijven, maar dat het misschien van nut zou kunnen zijn voor de verdediging van de waarheid, die u begonnen bent te verdedigen. Als u mijn Guldin 3) en andere boeken die ik u heb geleend weinig gebruikt, verzoek ik u ze aan Ducquius [<] te willen toevertrouwen, die ik binnen weinige dagen hier verwacht, en die ze makkelijk mee kan nemen. Overigens vraag ik u te geloven dat ik ben
1) Erasmus Bartholinus (Rasmus Berthelsen, 1625-1698), doctor in de medicijnen, had in Leiden wiskunde gestudeerd. 2) De brief van Descartes, die in 1650 was overleden, staat in Aanhangsel No. 170. Chr. Huygens heeft hem later gepubliceerd, op 2 okt. 1656, in zijn Ad Fr. Xav. Aynscom Epistola. De brief van Bartholin is niet teruggevonden. 3) Waarschijnlijk P. Guldinus, de Centro gravitatis. [<] | ||||||
[ 259 ]
R. Descartes aan Fr. van Schooten.Aanhangsel bij No. 169.9 april 1649. (Kopie) *) Monsieur
Ik heb uw boeken 1) wat lang gehouden, omdat ik u bij het terugsturen verslag wilde uitbrengen van de beweerde Kwadratuur van de cirkel, en ik had heel wat moeite te besluiten het hele dikke werk door te bladeren dat erover gaat; tenslotte heb ik er iets van gezien, en het lijkt me genoeg om te kunnen zeggen dat het niets goeds bevat dat niet gemakkelijk is en dat men niet allemaal op één of twee bladzijden zou kunnen opschrijven. De rest is niets anders dan een paralogisme betreffende de kwadratuur van de cirkel, omhuld in talloze proposities die alleen dienen om de materie ingewikkeld te maken, en ze zijn voor het merendeel heel eenvoudig en gemakkelijk, hoewel de manier waarop hij ze behandelt ze een beetje duister laat schijnen. Om zijn Paralogisme te vinden ben ik begonnen bij de 1134e bladzijde waar hij zegt "doch bekend is de verhouding van segment LMNK tot segment EGHF", wat niet waar is, en het bewijs dat hij ervan geeft is gegrond op de 39e propositie op bladzijde 1121 van hetzelfde boek, waar een heel duidelijke fout staat die eruit bestaat dat hij op verscheidene grootheden samen wil toepassen wat hij tevoren heeft bewezen voor dezelfde grootheden apart. Want bijvoorbeeld bij de 4 rijen van evenredigen
D'Egmont, le 9 Avril, 1649.
[ *) In de brief aan Aynscom (T. XII, p. 272) hetzelfde, afgezien van spelling en interpunctie. Het is een gedeelte uit een brief die in 1667 door Clerselier is gepubliceerd, zie Lettres III, p. 618 en de vertaling van Glasemaaker (1684), p. 376. De formulering is daar anders.] 1) Het gaat hier om het werk van Gregorius à Sancto Vincentio, getiteld: Opus geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni. Zie brief No. 25, noot 6. [En 'Exetasis' (1651) in T. XI, p. 317, noot 6. Van Schooten had op 10 maart ook een ander werk gestuurd: Diogenes Laertius de vitis Philosophorum, zie Lettres III, p. 614.] [ °) Brontekst: "frustra fit per plura quod potest fieri per pauciora", een spreekwoord, toegeschreven aan Willem van Ockham.] |
