1.  Als twee gelijke lichamen die volmaakt hard zijn, even snel in tegengestelde richting bewegend op elkaar zouden botsen, zou elk teruggekaatst worden in de richting vanwaar het kwam, zonder iets van de snelheid te hebben verloren 4).   [  5)  Als B het dubbele van A zou zijn en als ze, even snel bewegend in tegengestelde richting, in botsing komen, zal B in rust blijven, maar A zal naar links bewegen, met het dubbele van de vorige snelheid.]  fout 6).   [ Als immers de helft van lichaam B, lichaam A tegenkomt, wordt deze teruggekaatst naar rechts met de snelheid waarmee hij aankwam, maar de andere helft van lichaam B tracht met dezelfde snelheid door te gaan naar links. Dus het hele lichaam B zal noodzakelijkerwijze noch in deze, noch in de andere richting bewegen. En lichaam A zal de dubbele snelheid krijgen; want als het door een aan zich gelijk lichaam, dat is door de helft van B, wordt getroffen krijgt het dezelfde snelheid bij het naar links gaan als waarmee het naar rechts bewoog. Maar nu wordt het getroffen door een tweemaal zo groot lichaam. Of zo: Wanneer twee lichaam elkaar tegenkomen, is de snelheid van hun uiteengaan dezelfde als die van het naderen 7), (want er moet alleen gelet worden op dit ene, hoe groot de kracht van de botsing is) dus daar B na de botsing zonder beweging blijft, is het noodzakelijk dat A tweemaal zo snel teruggaat als hij was aangekomen, opdat in gelijke tijd het uiteengaan en naderen gelijk wordt.]   1)  Dit Aanhangsel bevat, in elf 'Delen', de eerste onderzoekingen van Huygens over de botsingswetten. Ze staan op losse bladen. Later werd een pagina-nummering aangebracht door Huygens zelf [hierna: H.1 enz.], die ze had bijeengebracht met twee omslagen waarop te lezen is "adversaria ad tractatum de motu per impulsum omnium prima" [allereerste aantekeningen voor een verhandeling over beweging door stoot] en "de motu per impulsum adversaria priora" [eerdere aantekeningen over beweging door stoot].   Hoewel het zeker is dat de volgorde van de paginering van Huygens niet altijd samenvalt met de chronologische volgorde, volgen we, bij gebrek aan beter, die van de paginering, behalve echter in de gevallen waarin dit ons zou noodzaken delen te scheiden die elkaar duidelijk opvolgen; zie de noten 2, p. 104; 7, p. 107; 1, p. 108 en 8, p. 125.   2)  Dit eerste Deel is ontleend aan H.1 [HUG 26 A, 9bis. Franse vertaling in: F. Chareix, 'La découverte des lois du choc par Christiaan Huygens', in Revue d'histoire des sciences, 56 (2003) 15-58, zie p. 48] *).   3)  Zie voor de datum van de eerste drie Delen p. 6 en 7 van het Voorbericht.   4)  Het is de eerste van de botsingsregels van Descartes, die hij als volgt formuleert in 'Pars secunda' van zijn Principia philosophiae [1644, p. 60]: "Ten eerste, als die twee lichamen, neem B en C, geheel gelijk zouden zijn, en even snel zouden bewegen, B van rechts naar links, en C er naartoe van links naar rechts, zouden ze, als elkaar zouden tegenkomen, teruggekaatst worden en daarna blijven bewegen, B naar rechts en C naar links, zonder iets van hun snelheid te hebben verloren." (Zie p. 68 van T. VIII, 1905, van de nationale uitgave van de Oeuvres de Descartes).   Men vindt deze regel terug in de tweede van de uitgesproken hypothesen (zie p. 31 van dit deel) in de verhandeling 'Over beweging van lichamen na een stoot', die we in het vervolg zullen vermelden als: verhandeling 'Over beweging'.   5)  We zetten tussen haken de zinnen die door Huygens zijn geschrapt.   6)  Huygens slaat hier inderdaad een verkeerde weg in met dit theorema en het bewijs dat volgt. Hij merkt het en kiest snel een heel andere weg.   7)  De cursieve zin werd door Huygens onderstreept. Het schijnt dus dat hij al in het begin van zijn onderzoek dit principe aannam, dat later Prop. IV vormt van de verhandeling 'Over beweging', maar dat hij dan van een bewijs zal voorzien.

[ *)  Het blad 9bis begint met een raadselachtig opschrift (elders nog niet genoemd). Het eerste woord is Grieks 'bi..rthaô', verder lijkt er te staan "ineo hoste caffetorij". Koffiehuis en bi.. (werkwoord) boven botsingsproeven, dat doet wel denken aan biljarten. En op p. 107 hierna noemt Huygens dit spel ook. Misschien staat er wel: Ik ga biljarten, terwijl ik geen liefhebber ben van het koffiehuis. Het derde teken lijkt wel wat op en dit kan staan voor 'αρ', zodat er komt 'biarrthaô'. Zie W. Wallace, 'An index of Greek ligatures and contractions', in The journal of Hellenic studies 43-2 (1923), 183-193; p. 186, kolom i, 24. Maar waar heeft hij het vandaan? Het 'αρ' zou een afkorting kunnen zijn van 'arithmos', als onbekend getal (onze 'x'), waarvoor ook is gebruikt in een Diophantus-manuscript, zie T. Heath, A history of Greek mathematics, vol. 2 (Oxford 1921), p. 456-457; dit lijkt de Russische Ч ('Tsj' of 'Che'), verwant met de Cyrillische Koppa Ҁ en de oud-Griekse Qoppa Ϙ.]

[ 93 ]

2.  Als A en B gelijk zijn, maar A in rust is, en B ernaar toegaat, zal B zonder beweging op de plaats van de botsing blijven, en A zal naar links bewegen met een zo grote snelheid als B eerst had 8).   De kracht van de botsing zal hetzelfde zijn als wanneer B met de helft van de snelheid die het heeft naar links bewegend, lichaam A tegenkomt, dat met eenzelfde helft van de snelheid naar rechts beweegt. Laten we ons dus voorstellen dat dit zo gebeurt in een ruimte CDEF. Maar dat deze zelf ondertussen naar links gaat met diezelfde genoemde halve snelheid van lichaam B; waardoor het zo zal zijn dat ten opzichte van wie buiten de ruimte CDEF staat, zoals H, het lijkt alsof A in rust is en B beweegt, zoals   8)  Dit is Prop. I (p. 33) van de verhandeling 'Over beweging' en het bewijs dat volgt verschilt niet wezenlijk van dat in de verhandeling.

[ 94 ]

het voor beide in het begin gesteld is. Dus na de botsing zal het voor degenen die met de ruimte 1) CDEF zouden meegaan lijken of B naar rechts is teruggekaatst, A naar links, en beide met de helft van de snelheid die we aan lichaam B hebben toegekend ten opzichte van H. Maar omdat gesteld is dat het schip met dezelfde halve snelheid naar links gaat, zal het voor iemand die vanuit H kijkt, lijken of B in rust is en A naar links beweegt met die snelheid waarmee eerst B bewoog.   3.  Axioma. [De kracht die aan een lichaam in rust een bepaalde snelheid geeft, is in staat aan een lichaam dat het dubbele is van het vorige, de helft van die snelheid te geven. 2)]   Als A in rust is en B er tegenaan stoot, en als B willekeurig groter is, zal het aan lichaam A niet een snelheid geven die het dubbele is van de zijne, maar altijd een kleinere 3).   Het is immers noodzakelijk dat de lichamen A en B na de botsing even snel van elkaar weggaan als ze ervoor naar elkaar toegingen. (En dit zal blijken als men zich voorstelt dat B in rust is, en A naar B beweegt: lichaam B zal immers slechts een beetje bewegen naar rechts, maar A zal terugspringen met bijna dezelfde snelheid als waarmee het aankwam.) Maar B verliest bij tegenkomen van lichaam A slechts weinig van zijn snelheid en gaat door met bewegen naar links, dus zal A noodzakelijkerwijze naar links moeten bewegen met weinig minder dan de dubbele snelheid, van die van B in het begin. Zodat namelijk de snelheid van uiteengaan na de botsing van de twee lichamen, dezelfde is als die van het naderen. [Tweede Deel] 4) [1652]   Ax. 1. [De snelheid van uiteengaan na het samentreffen van twee lichamen is dezelfde als die van het naderen. 2)] 5)   Met de aanname van een groot en een klein lichaam; toon eerst aan dat de snelheid van uiteengaan altijd dezelfde is, wanneer die van het naar elkaar toegaan dezelfde is. Daarmee kan immers in het geval van twee gelijke lichamen het gevondene worden bewezen. 6).   1)  Boven dit woord 'ruimte' schreef Huygens: 'schip'.   2)  Door Huygens geschrapte zinnen zetten we tussen haken.   3)  Dit is Prop. VII (p. 51) van de verhandeling 'Over beweging' en de bewijzen verschillen in principe niet.   4)  Dit tweede Deel moet niet worden beschouwd als vervolg van het eerste, maar veeleer als een nieuw begin. Het is ontleend aan de pagina die door Huygens is genummerd als 2 [HUG 26A, 9bisv]; een facsimile staat achterin dit deel.   5)  Huygens heeft dit axioma geschrapt, niet omdat hij eraan twijfelde, maar omdat hij net een ander axioma had ontdekt (zie p. 96, cursief), dat hem plausibeler leek en waaruit hij het geschrapte axioma kon afleiden, met een bewijs dat aan het eind van dit tweede Deel is te vinden.   6)  Deze alinea werd ingevoegd, kleiner geschreven, nadat het voorgaande axioma was geschrapt. Huygens verwijst er in de tweede zin naar het bewijs waarvan in de vorige noot sprake was. Met de derde wil Huygens waarschijnlijk aanduiden dat de hypothese die in de eerste alinea van p. 92 geformuleerd staat zou kunnen worden afgeleid uit de gelijkheid van de snelheden van uiteengaan en naderen door de volmaakte symmetrie van het betreffende geval te beschouwen met betrekking tot de twee lichamen. Vergelijk de vierde alinea van p. 102.

[ 95 ]

[ax. 1 2)]  Voor degenen die in een schip zijn dat voortgaat, lijkt de beweging van lichamen die elkaar in het schip tegenkomen niet anders dan wanneer het schip stil zou liggen, of wanneer die lichamen met hen buiten het schip zouden zijn. Hetzelfde over de beweging van de aarde. Hiermee wordt bewezen 7) dat als het twee gelijke lichamen zijn, het ene in rust, het andere er tegen aanstotend, alle beweging zal overgaan naar het lichaam dat in rust was, en het lichaam dat bewoog zal op de plaats van samentreffen zonder beweging blijven staan.   Door hetzelfde lichaam met dezelfde snelheid aangestoten, krijgt een groter lichaam in rust een kleinere snelheid dan een kleiner lichaam 8).   Hieruit kan worden bewezen dat er na een botsing van twee lichamen niet altijd evenveel beweging overblijft als er tevoren was, in die zin namelijk, dat de grootten van de lichamen vermenigvuldigd met de snelheden, hetzelfde getal zouden geven dat ze eerst gaven 9).   [ax. 2 2)]  Maar het is noodzakelijk dat de kwadraten van de snelheden vermenigvuldigd met de grootte van de lichamen altijd hetzelfde getal geven 10). Hiermee en met het eerste axioma 11) wordt een regel gemaakt 12).   7)  Te weten uitgaande van het axioma geformuleerd in de eerste alinea van het Eerste Deel. Dit bewijs is te vinden in Prop. I van de verhandeling 'Over beweging' op p. 33-35.   8)  Vergelijk noot 5 van p. 43   9)  Vgl. Prop. VI en het bewijs ervan (p. 49-51).   10)  Dit is Prop. XI (p. 73) van de verhandeling 'Over beweging'; maar volgens welke redenering is Huygens al in het begin tot deze veronderstelling gekomen? Ongetwijfeld niet die in de verhandeling, aangezien hij erin veronderstelt dat dat de botsingswetten al volledig bekend zijn; maar veeleer een redenering analoog aan die welke ten grondslag ligt aan het bewijs van Prop. VIII (zie o.a. p. 53-57). Inderdaad, als men aanneemt 1° de omkeerbaarheid van de botsing van lichamen, 2° het principe, toegepast in het genoemde bewijs, dat het gemeenschappelijke zwaartepunt van de lichamen niet kan stijgen door de werking van de zwaartekracht alleen, leidt men er gemakkelijk de betreffende veronderstelling uit af door, naar het voorbeeld van Huygens, de horizontale snelheden om te zetten in vertikale en door de lichamen zo hoog te laten stijgen als overeenkomt met hun snelheden voor en na de botsing.   11)  Dat wil zeggen het geschrapte axioma dat aan het begin van dit Tweede Deel staat.   12)  Vergelijk het elfde Deel van dit Aanhangsel op p. 132-133.

[ 96 ]

Als een lichaam 2 met snelheid 3 tegen een lichaam 1 in rust is gestoten, moet worden toegegeven dat het daaraan de snelheid 4 geeft en voor zich de snelheid 1 behoudt in dezelfde richting. Aangetoond kan worden dat een lichaam 1 dat met snelheid 3 is gestoten tegen een lichaam 2 in rust, daaraan een snelheid 2 zal geven, en voor zich een snelheid 1 zal behouden maar terugspringend in tegengestelde richting 1).   [ax. 3. 2)]  Als een groter lichaam A een kleiner B tegenkomt, maar de snelheid in B is tot de snelheid in A als het omgekeerde van de grootte van A tot B, dan zal elk terugspringen met dezelfde snelheid als waarmee het gekomen was 3).   Als dit is toegegeven kan alles bewezen worden 4). En Descartes wordt gedwongen het toe te geven 5).   Maar bezien moet worden of het bewezen kan worden met iets dat meer bekend is.   Axioma. Als twee lichamen elkaar tegenkomen uit tegengestelde richtingen, en één ervan gaat, zonder iets van zijn beweging te verliezen, terug met dezelfde snelheid als waarmee het aankwam, zal ook het andere terugspringen met die snelheid waarmee het aankwam 6).

Axioma op HUG 26A, 9bis en 9r

Twee lichamen die elkaar uit tegengestelde richtingen tegenkomen gaan uiteen met een snelheid gelijk aan die waarmee ze elkaar naderen 7).   Gegeven twee lichamen A en B die elkaar uit tegengestelde richtingen tegenkomen in het punt C; gesteld wordt dat ze daar in een tijd D zijn gekomen vanaf de plaatsen A en B; en dat ze na de ontmoeting bij C weer in de tijd D zijn teruggekomen naar E en F 8). Ik zeg dat de afstand FE gelijk is aan AB. Laten we namelijk stellen dat de lichamen A en B, afgezien van die bewegingen die we al eraan hebben toegekend, tegelijk nog onderhevig zijn aan een andere beweging waardoor ze in de richting van B gaan, in de tijd D over een afstand gelijk aan GB, dat is aan de helft van EB.   1)  Tel bij de snelheden van het eerste geval de snelheid −3 op, zodat lichaam 2 in rust is.   2)  Door Huygens geschrapt, een ander basis-axioma volgt, door ons gecursiveerd.   3)  Dit is Prop. VIII (p. 53) van de verhandeling 'Over beweging'.   4)  Zo is Prop. IX (p. 65), die de volledige oplossing bevat van het probleem van de centrale botsing van harde lichamen, afgeleid van Prop. VIII en het Relativiteits­principe.   5)  Vergelijk de derde alinea van p. 95 en noot 2 van p. 49.   6)  In het manuscript is deze alinea omkaderd om het belang ervan te markeren (zie het facsimile achterin dit deel). Het axioma vormt Hypothese V (p. 41 van de verhandeling.   7)  Het eerste geschrapte axioma van dit Tweede Deel, nu als theorema; het bewijs volgt.   8)  De door ons gecursiveerde zin werd door Huygens onderstreept.

[ 97 ]

Of laten we ons voorstellen dat de beweging van de lichamen A en B die we er eerst aan hebben gegeven, op een boot hebben plaats gevonden die naar rechts gaat met de snelheid GB 9). Dan 10) lijkt ten opzichte van degenen voor wie de boot zo beweegt, het lichaam [B] in de tijd D een afstand te hebben doorlopen gelijk aan GC; en teruggestoten, terwijl het binnen de boot in de tijd D naar rechts gaat over de afstand CE, zal het voor hen die buiten de boot zijn lijken te bewegen over een afstand gelijk aan CG, aangezien de boot ondertussen ook naar rechts is doorgegaan over een afstand gelijk aan EG. Dus voor hen die buiten de boot staan lijkt lichaam B voor en na de ontmoeting te bewegen met gelijke snelheid. Daarom zal ook lichaam A voor en na de ontmoeting even snel moeten lijken te bewegen, volgens het axioma. Maar noodzakelijkerwijze werd lichaam A voor de ontmoeting door hen gezien te bewegen met de snelheid HC (gesteld namelijk 11) dat AH gelijk is aan EG of GB). Dat wil zeggen dat het gezien werd in de tijd D over een afstand HC te gaan, dus ook terugspringend zal het hun lijken te bewegen over een afstand gelijk aan HC in de tijd D. En daarom moet het in de boot over een afstand zijn gegaan gelijk aan de twee HC en HA of EG. Maar gesteld is dat het op de boot over de afstand FC is gegaan; dus FC is gelijk aan HC en GB. En daarom is HF = GB, maar ook HA. Dus FA = EB; en als de gemeenschappelijke AE erbij wordt opgeteld zal FE gelijk zijn aan AB. Wat te bewijzen was.   9)  De boot beweegt dan met de snelheid − ½ (vB + v'B), waarin vB en v'B voorstellen de algebraïsche waarden van de snelheden van B ten opzichte van de boot voor en na de botsing.   10)  Ziehier in algebraïsche vorm de redenering die volgt. Ten opzichte van de oever waren de snelheden van de lichamen A en B dus voor de botsing resp.: vA − ½ (vB + v'B)  en  ½ (vB − v'B),  en na de botsing:  v'A − ½ (vB + v'B)  en  ½ (v'B − vB); die van lichaam B is dus door de botsing niet veranderd in absolute waarde. Dan moet volgens het axioma hetzelfde het geval zijn met de snelheid van A. Dus men heeft: v'A − ½ (vB + v'B)  =  − vA + ½ (vB + v'B),  waaruit makkelijk is af te leiden:  v'A − v'B  =  − vA − vB;  wat te bewijzen was.   11)  Lees: "videlicet" [voor "vl."]

[ 98 ]

bx + ay  =  ac   2)
y  =  c −	bx
	a

acc − 2bcx +	bbxx	+ bxx  =  acc   3)
	a
2ca  =  bx + ax
	2ca	=  x
	b + a

1)  Dit Derde Deel bevindt zich op dezelfde pagina als het Tweede, maar om het te lezen moet het manuscript worden omgedraaid. Dan vindt men bovenaan op de pagina de berekeningen die we weergeven. Vervolgens komen twee regels behorend bij het Tweede Deel en daarna het concept van een brief aan van Schooten, dat we ook weergeven. Zie facsimile   2)  Hier stellen a en b de massa's voor van twee lichamen A en B. Voor de botsing beweegt A met snelheid c en B is dan in rust. Hun snelheden na de botsing zijn resp. y (voor A) en x (voor B). Huygens past het principe van behoud van hoeveelheid beweging toe. Vergelijk in het Voorbericht de alinea die begint onderaan p. 7 en vooral noot 2 van p. 8.  [Huygens gebruikte voor het gelijkteken: .] [ C. D. Andriesse in Titan kan niet slapen, 1994, p. 99: Naar alle waarschijnlijkheid zijn deze formules die hij neerschreef de eerste natuurkundige formules die ooit geschreven werden ... Zie T. XXII, p. 459 en 'De uitvinding van de natuurkundige formule', door D. Burger en J. A. Vollgraff, in Faraday, jun. 1948 en N.T.v.G. 92, I, 7, p. 506. Voor meer formules zie hieronder het Elfde deel.]   3)  Toepassing van het principe van behoud van 'levende kracht' [kinetische energie].   4)  Deze berekening is slechts een herhaling van de eerste. Alleen is nu lichaam A in rust voor de botsing en bovendien is x nu de snelheid van A voor de botsing, y van B.   5)  Huygens begint hier met het principe van behoud van 'levende krachten' zonder de berekening af te maken. Behalve de hier gereproduceerde bevatten de pagina's 1 en 2 nog andere berekeningen die niet af zijn, geschrapt en deels weinig begrijpelijk.

[ 99 ]

Uw boek over meetkundige vlakke plaatsen dat ik al lang verlang door te nemen: als het uitkomt zou ik willen dat u het me nu stuurt, of als u tijd hebt voor een uitstapje hierheen dat u het zelf brengt, er zijn namelijk enige zaken die ik u op mijn beurt persoonlijk wil laten zien van mijn vondsten en ik heb niet weinig te vertellen over de reis naar Gent vanwaar ik eerst nu terug ben. Lang heb ik met pater Gregorius gepraat, wiens kwadratuur — al heb ik hem niet voldoende een bekentenis kunnen afdwingen — van Gutschoven veroordeelde en hij zei dat ze door mijn werk geheel en al omver was geworpen. Zo deelde ook de heer Edelheer, vertegenwoordiger van de Antwerpenaren, het ons mee. Het ga u goed. 6) [Vierde Deel] 7) [1654]   Subtiel onderzoek en verheugend. En des te meer noodzakelijk omdat het de aard en de macht van een stoot verklaart, niets is immers vaker in gebruik en machtiger in uitwerking, maar van niets zijn de grondslagen zo onbekend. Door filosofen uit de Oudheid is voorzover ik weet niets van de zaak gezien. Wel velen van latere tijden. Galilei heeft, ofschoon hij heel veel over beweging heeft verklaard 8),   6)  Dit is ongetwijfeld het concept van een brief aan van Schooten die deze beantwoordde op 28 juli 1652; zie T. I, p. 183-184. We zullen dit concept later publiceren ... [T. XXII, p. 61]. ...   7)  Dit deel is ontleend aan een apart blad met de door Huygens genummerde pagina's 7-10 [HUG 26A, 13r-14v]; vgl. p. 92, n. 1.  Pag. 10 bevat het concept van een brief aan van Schooten van 7 okt. 1654, zie T. III, p. 458-459.   (Op p. 3-6 [nu in HUG 45] staan Huygens' briefconcepten van 5 en 7 nov. 1652 aan dezelfde, zie T. III, p. 454-458 en niets anders over botsingen.)   8)  Het gaat om Discorsi e Dimostrazioni matematiche ... [1638, p. 264]:

En mijn twijfel en verbazing bestaat eruit dat ik niet begrijp waaruit afgeleid kan worden, en van welk principe afhankelijk kan zijn, de energie en onmetelijke kracht die er blijkt te zijn bij een stoot, als we zien dat met de simpele slag van een hamer, die een gewicht heeft van niet meer dan 8 of 10 pond, een weerstand wordt overwonnen die niet zal wijken voor een gewicht dat, zonder slag, daarop geweld uitoefent door alleen te persen en te drukken, hoewel de zwaarte ervan vele honderden ponden te boven gaat. Ik zou ook een manier willen vinden om de kracht van zo'n stoot te meten; ik denk toch niet dat deze oneindig is, eerder ben ik van mening dat er een grens aan is om te kunnen worden geëvenaard en tenslotte gelijkgemaakt aan andere krachten van drukkende zwaartes, of van hefbomen of schroeven of andere mechanische instrumenten, waarbij ik voldoende begrijp van hun kracht­vermenigvuldiging.

Galilei laat Salviati antwoorden [Engl., 1914, 271]:

U bent niet de enige met verwondering over de uitwerking en met onduidelijkheid over de oorzaak van een zo verbazende gebeurtenis. Ik heb enige tijd tevergeefs daarover nagedacht, terwijl de verwarring steeds groter werd totdat ik tenslotte bij een ontmoeting met onze Academicus [Galilei zelf] van hem een dubbele troost ontving: ten eerste door te horen hoe hij nog lange tijd in dezelfde duisternis had verkeerd; en verder doordat hij me zei dat hij, na in zijn leven vele duizenden uren te hebben besteed aan het speculeren en filosoferen erover, enig begrip ervan had gekregen ver van onze eerste opvattingen af, het is echter nieuw en door de nieuwheid bewonderenswaardig. En omdat ik inmiddels weet dat u nieuwsgierig bent en graag die gedachten hoort omdat ze zich ver van onzekerheid verwijderen, zal ik uw verzoek niet afwachten, maar ik geef mijn woord: zodra we de lezing van deze verhandeling over projectielen zullen hebben afgerond, zal ik u uitleg geven van al deze fantasieën, of zo u wilt buitensporigheden, die mij van de uiteenzettingen van de Academicus in het geheugen zijn gebleven.

[ 100 ]

toch niets bepaald wat tot ons is gekomen 1) behalve dat hij heeft gezegd dat de macht van een stoot onmetelijk is. Het is de moeite waard zijn woorden te vertalen [>] omdat ze tegelijk zijn mening over de moeilijkheid van deze beschouwing aan het licht brengen en getuigen van de door hem betoonde zorgvuldigheid. Zoals ook het moment 2). Woorden van Galilei. En na hem hebben ook anderen 3) regels van impuls gegeven maar slechts weinige overeenstemmend met de werkelijkheid die ze door experimenten geleerd hebben en ze hebben ze toch ook niet met enige duidelijke redenering bewezen. Descartes echter waagde het tegenover het geloof in experimenten nieuwe regels 4) vast te stellen die geen bewijs nodig hadden, zei hij, voor degenen die zijn principes begrepen 5). En ik zie dat sommigen zijn mening hebben aanvaard 6). Maar daar hij in de meeste afwijkt van de waarheid: hoe groter de autoriteit is van degene die het zegt, des te nuttiger is het dat de fout wordt weerlegd. En niet daarom zullen we ernaar streven dat onze mening hierover voorrang krijgt boven zijn mening, omdat de onze nauwkeurig overeenstemt met alle experimenten, terwijl de zijne er onmiskenbaar strijdig mee is. Maar we zullen voor het eerst alles met duidelijke bewijzen bekrachtigen; en als ze door ondervinding bevestigd worden dan zullen we geloven dat ook dit onomstotelijk bewezen is, dat sommige lichamen niet geheel onbruikbaar zijn door gebrek aan hardheid, en dat hun beweging niet zodanig wordt belemmerd door de omgevende lucht, dat ze niet aan experimenten voldoen. Want deze oorzaak voert hij aan waardoor de waarheid van zijn Theorema's niet aan het licht gebracht kan worden 7).   1)  Toespeling op de belofte van Salviati, zie vorige noot [eind]. De belofte werd niet vervuld tijdens het leven van Galilei. Maar in Le opere di Galileo Galilei, T. VIII, p. 319-346 staat 'Della forze della percossa' (Giornata sesta), voor het eerst gepubliceerd in 1718 in T. II (p. 693-710) van Opere di Galileo Galilei.  Hoewel hierin interessante beschouwingen staan over de kracht van een stoot, is er geen bevredigende oplossing van de door Sagredo gestelde problemen in te vinden.   2)  Dit woord werd door Huygens geschrapt. De pagina's genummerd 7-10 zijn overigens vol doorhalingen en onregelmatigheden, maar Huygens heeft zelf met tekens aangewezen in welke volgorde hij wil dat ze gelezen worden en we hebben deze aanwijzingen opgevolgd [rechts: H.8].   3)  In de briefwisseling van Huygens tot en met 1654 vindt men hierover behalve de Proncipia philosophiae van Descartes slechts werken van Marci genoemd (T. I, p. 252, 260, 263, 290, 307 en 308) en van de Raei (T. III, p. 458-459).   4)  Het gaat om de zeven botsingsregels ... [<]   5)  In een brief aan van Gutschoven zegt Huygens, jan. 1652 (T. I, p. 167): "Want hoewel ze [de bewegingsregels van lichamen die elkaar tegenkomen] voor de schrijver zelf zo duidelijk worden genoemd dat ze geen bewijs nodig hebben". Nu wordt dit niet helemaal verklaard met de manier waarop Descartes zijn regels invoert in de eerste uitgave van de Principia, en ook niet in de Franse vertaling. Misschien gaat het om een mededeling van van Schooten, die toen veel contact had met Descartes. In een brief van deze aan Huygens van 25 okt. 1654 (T. I, p. 301) staat inderdaad: "Vooral daar de genoemde regels door hem [Descartes] zo doorgrond waren, dat hij meer dan eens heeft verklaard dat het hem verbazend toescheen, hoe iemand onzeker kon zijn over de waarheid ervan."   6)  O.a. van Gutschoven, van Schooten en de Raei; zie T. I, p. 166, 301 en T. III, p. 459.   7)  Dit is de bettreffende passage: "Maar omdat er in de wereld geen lichamen zo gescheiden van de andere kunnen zijn, en er bij ons gewoonlijk geen volkomen harde zijn, daarom kan er veel moeilijker begonnen worden aan een berekening, om te bepalen hoeveel de beweging van elk lichaam veranderd wordt door het tegenkomen van andere. Tegelijk moet immers rekenening gehouden worden met al die andere, die dit aan alle kanten raken, en die hebben hierop sterk verschillende uitwerkingen, naargelang ze hard zijn of vloeibaar. Daarom moet hier onderzocht worden waaruit hun verschil bestaat" (p. 70 van T. VIII van de uitgave van Adam en Tannery van Oeuvres de Descartes) [1644, p. 62].

[ 101 ]

Doch het is nodig enkele principes te kiezen die passen bij de aard van beweging en die niet moeilijk geloof vinden. Als deze zijn aangenomen moet er geen twijfel overblijven over de andere bewijzen. En we zullen ze wel bijna hetzelfde als Descartes stellen maar toch op enkele punten afwijkend 8).   Dus ten eerste stellen we ons voor dat de lichamen die elkaar tegenkomen volstrekt hard zijn, vervolgens daar gelanceerd waar omgevende lichamen hun beweging in het geheel niet vertragen of helpen 9). Waar tenslotte zwaarte ze niet omhoog en lichtheid ze niet   8)  Naast deze alinea, in de marge: "dat lucht de beweging niet remt. pag. 142. Gal. Syst.". Het gaat waarschijnlijk om Systema cosmicum ... van Galilei, Augustae Treboc. [Straatsburg] 1635. Daarin staat op p. 142 inderdaad een discussie tussen Simplicio en Salviati over de rol van de lucht of van de verkregen snelheid bij de val van een steen van boven uit de mast van een bewegend schip. Vgl. Le opere di Galileo Galilei, T. VII (1897), p. 175 [174]-176. [Engl. 1661, p. 130; Ned. (vert. Hans van den Berg) 2012, p. 226-.]   9)  Vergelijk T. VIII, p. 67 laatste alinea, van Oeuvres de Descartes, ed. Adam & Tannery.

[ 102 ]

omlaag doet gaan. Hierbij dat een lichaam in beweging doorgaat met dezelfde snelheid te bewegen langs een rechte lijn, totdat het door een ander wordt belemmerd.   Maar ook dit zullen we met hem stellen, dat dezelfde hoeveelheid beweging bewaard blijft voor de lichamen na de stoot, niet altijd bij elk afzonderlijk maar samen genomen 1). Dit principe namelijk zullen we, daar het niet in alle gevallen op dezelfde manier moet of kan worden toegepast, eerst betrekken op die gevallen waarin het geen twijfel lijdt, en dan zullen we hieruit datgene opmaken, waarmee later bewezen zal worden dat dit principe niet overal op dezelfde manier uitgelegd moet worden, maar soms heel anders toegepast dan meestal door Descartes wordt gedaan 2). [ H.9 ]   Eerst zullen we het volgende stellen. Als een lichaam langs een rechte lijn beweegt, enz. Vervolgens dat de beweging van lichamen niet verloren gaat door hun onderlinge botsing, ook niet toeneemt, maar moet blijven bestaan, zodat als er iets afgaat van het ene dit bij het andere komt. Dat dit zo gebeurt zullen we echter, aangezien het niet altijd duidelijk blijkt, slechts stellen in de volgende voor de hand liggende gevallen.   Ten eerste als twee gelijke lichamen met even grote snelheid uit tegengestelde richtingen elkaar ontmoeten dat alle beweging door hen behouden wordt, en dat daarom elk met dezelfde behouden snelheid terugkeert 3). Daar beide immers gelijk zijn en met gelijke snelheid aankomen, kan hun terugkaatsing niet ongelijk zijn. Nu alles over gelijke 4).   Vervolgens, als een groter lichaam een kleiner tegenkomt dat in rust is, dat het zowel enige beweging hieraan geeft, als zijn beweging of althans iets van zijn beweging derhalve verliest 5).   Tenslotte dat als na een botsing van twee lichamen het ene ervan al zijn beweging behoudt, ook het andere niets verliest. Bij gelijke is het gebleken. Maar dat het ook bij ongelijke gebeurt heb ik laten zien 6) *). [ H.8 ]   Harde lichamen. Geen belemmering van lucht en geen zwaarte-aantrekking. Dan de volgende [pagina H.9]. Vervolgens wat betrekking heeft op de aard van beweging. Dit stellen we met hem vast, dat een lichaam op een rechte lijn bewegend daarop blijft bewegen met steeds dezelfde snelheid totdat het door een ander wordt belemmerd.   1)  Vergelijk noot 2 van p. 49.   2)  Huygens bedoelt hier de verbetering die hij dus al in 1654 kon aanbrengen in het principe van Descartes van het behoud van de hoeveelheid beweging. Deze verbetering formuleerde hij in het Journal des Sçavans van 18 maart 1669 [p. 23] als volgt: "De hoeveelheid beweging die twee lichamen hebben, kan toenemen of afnemen door hun ontmoeting, maar er blijft altijd dezelfde hoeveelheid naar dezelfde kant, als men de tegengestelde hoeveelheid beweging aftrekt". Het is wel vreemd dat hij in de verhandeling 'Over beweging' niet deze verbeterde regel gaf, maar zich beperkte tot het tegenspreken van Descartes; zie Prop. VI (p. 49-51) en in het Voorbericht de alinea die begint onderaan p. 12.   3)  Dit is Hypothese II van de verhandeling (p. 31). Vgl. de eerste alinea van p. 92.   4)  Vergelijk de twee eerste proposities (p. 33-39) van de verhandeling.   5)  Dit is Hypothese IV van de verhandeling (p. 39).   6)  Dit is Hypothese V, p. 41.   [ *)  O.C.: "fieri esse [sic]"; op p. H.9 kan gelezen worden: "fieri osten", tegen de rand.]

[ 103 ]

Wat beweegt wordt nu begrepen te bewegen ten opzichte van andere lichamen zodat het de afstand of de positie verandert. En evenzo wat in rust is, in rust te zijn ten opzichte daarvan zodat het de afstand en de positie hetzelfde houdt. Want als iemand ernaar streeft de aard van beweging in één lichaam op te sporen zonder andere in overweging te nemen, zal hij vinden dat hij vergeefse moeite doet.   Dus wanneer enkele lichamen bewegen kunnen we hun beweging beoordelen ten opzichte van een willekeurig ander lichaam dat we als in rust beschouwen. Er kan immers ook niet een of ander lichaam of punt in het heelal worden aangewezen waarnaar de beweging van alle andere noodzakelijk afgemeten moet worden. Dus wanneer twee lichamen ten opzichte van delen van de aarde bewegen en elkaar tegenkomen en volgens een vaste wet terugkaatsen, staat in elk geval vast dat dit op gelijke wijze moet gebeuren en dat alles op dezelfde manier gaat, of iemand nu denkt dat de aarde stilstaat of weet dat ze aan andere bewegingen onderhevig is.   Evenzo in een boot die met een gelijkmatige beweging voortvaart, wanneer twee lichamen in tegengestelde richting bewegen ten opzichte van delen van deze boot en elkaar dan tegenkomen, is het zeker dat het na de stoot net zo moet zijn met de beweging van elk ten opzichte van dezelfde boot, als wanneer dit alles zou zijn gebeurd op een stil liggende boot. En de ondervinding bewijst dit ook, of bolletjes nu tegen elkaar aanlopen 7) op een in de boot stilstaande tafel, of dat ze elkaar ontmoeten na in de lucht te zijn gegooid door de varende persoon. Als ze namelijk gelijk zouden zijn en met gelijke snelheid in beweging gebracht, zal elk afzonderlijk met dezelfde snelheid terugspringen 3).   Eerder 8) over de boot in het algemeen 9), dan een voorbeeld met gelijke bollen 10). Dan of er iemand betwijfelt of dit zo moet gebeuren, te bewijzen met het voorbeeld van de aarde. Diens twijfel door het vooroordeel dat hij eerder denkt dat de aarde stilstaat dan de boot. Maar Descartes zegt terecht dat de aarde niet stiller staat dan een schip dat op een rivier met de stroom meegaat 11). [ H.9 ]   Dat een groter lichaam een kleiner niet onmiddellijk blijft volgen; maar dat de snelheid van uiteengaan dezelfde is als die van het aankomen 12).

Daarna dat dit altijd gebeurt. Onwaar dus bij Descartes 13). Dan dat een groter door een kleiner in beweging wordt gebracht.   7)  Het woord "concurrant" is onderstreept en erboven staat "impellantur" [stoten].   8)  Hier [in de marge] een begin van het geplande overzicht van de verhandeling.   9)  Zie Hypothese III, p. 33 ven de verhandeling 'Over beweging'.   10)  Zie Prop. I en II (33-39); maar vooral ook p. 109-111 die volgen, waar dit gedeelte van het geschetste plan voor het eerst wordt uitgevoerd.   11)  Principia philosophiae artikel XXVI van 'Pars tertia' (1644, p. 79; ed. AT, p. 89-90): "Maar we moeten niet denken dat dit verhindert [nl. dat de aarde in zijn hemelsfeer in rust is], dat ze door die hemelsfeer wordt meegevoerd, en de bewegingen ervan onveranderlijk volgt. Zoals een schip, door geen wind of riemen voortgedreven, en aan geen ankers vastgebonden, midden op zee in rust is, ook al is het soms zo dat een enorme massa water, met een verborgen stroming, het met zich mee draagt."   12)  Vergelijk Prop. IV, p. 43.   13)  Het gaat om de vierde regel, zie noot 1 van p. 38/39.

[ 104 ]

Dat het zelfs ook terugkaatst als het dit tegenkomt.   Hierna dat niet altijd dezelfde hoeveelheid beweging behouden wordt 1).   Dat ze altijd toeneemt als een kleiner lichaam een groter in rust ontmoet 1).   Dat ze altijd afneemt als na de stoot het grootste in rust is 1). [Vijfde Deel] 2) [1654]   De regels van stoot heeft niemand juist gegeven, enkele uitgezonderd die de ondervinding leert. Zoals dat gelijke bollen van harde materie met gelijke snelheid elkaar ontmoetend enz. 3)  Evenzo hebben ze zich dit afgevraagd: hoe het komt dat een bol die wordt gestoten tegen een eraan gelijke bol in rust enz. 4)  Maar een bewijs dat dit noodzakelijkerwijze moet gebeuren, niemand enz. Maar over ongelijke, en ook met ongelijke snelheid bewegende is niets goed bepaald. *)   Dat door een stoot beweging wordt voortgeplant. En dat dit op een bepaalde manier moet gebeuren naargelang de grootte en de snelheid van de lichamen. Over gelijke. Met één in rust. Over een groot stotend tegen een kleiner en [dat daaraan] een snellere beweging geeft dan het zelf heeft 5). Wie dit ziet heeft [het] begrepen 6). Aangezien hierbij door verschillende mensen allerlei regels zijn gegeven die niet met elkaar overeenstemden en waarvan er geen de waarheid van de zaak achterhaalde, heeft de moeilijkheid ervan mij ook aangespoord te proberen of ik iets zou kunnen vinden dat zeker is. Het onderzoek is zeer de moeite waard°) en ook niet weinig van belang daar de macht van een slag van zoveel nut is. Met geen ander werktuig 7) wordt bevonden dat de doeltreffendheid zo goed is als het profijt van de hamer. Zonder deze zouden geen gebouwen kunnen worden gebouwd, geen wig of spijker ingedreven, bijna geen enkele arbeid verricht. Daar men deze kracht­vermenigvuldiging dus voor zoveel werken aanwendt, is het redelijk en nuttig dat men met een zekere methode kan beoordelen met welke kracht iets in beweging gebracht moet worden. En in de eerste plaats is het wel de moeite waard de oneindige macht van een stoot te begrijpen,   1)  Vergelijk Prop. IV (p. 49) van de verhandeling 'Over beweging'.   2)  Ontleend aan H.11, 12, 19, 20 [HUG 26A, 18r-19v]. Vergelijk p. 92, n.1.   3)  Hypothese II, p. 31.   4)  Prop. I, p. 33.   [ *)  Verwijzingsteken, zie p. 150.]   5)  Deze propositie staat niet expliciet in de verhandeling, maar volgt uit de regel die begint op p. 65. In de notaties van n.1 van p. 67 vindt als mA > mB en vB = 0 voor de snelheid van B na de botsing: v'B  =  2 mAvA / (mA + mB)  >  vA.   6)  De zinnen vanaf "Over gelijke" tot hier zijn later ingevoegd. De laatste lijkt niet af.   [ °)  De woorden "operae pretium" zijn doorgestreept maar staan ook in de marge, HUG 26A, 18r.]   7)  Onleesbaar woord [aliâ machinarum unâ?].

[ 105 ]

zozeer dat als gegeven wordt een bol, wel gelijk aan de hele aarde, één mens die met een stoot van een hamer van zijn plaats zal kunnen wegduwen. Ik geloof dat dit door sommigen op het eerste gezicht absurd gevonden gaat worden, en toch denk ik dat onze bewijzen duidelijk genoeg zijn om, als ze begrepen zijn, hen er zeker van te maken dat het niet anders kan zijn 8). En we hebben niet als eerste zo geoordeeld, maar eerder schijnt de zeer scherpzinnige Galilei het te hebben geweten, al is hierover geen bewijs ven hem voorhanden 9). In de dialogen die tot dusver alleen in het Italiaans in omloop zijn, heeft hij een zin meegedeeld, waaruit behalve de genoemde mening van hem ook een ophanden zijnde studie over deze zaak op te maken zal zijn 10), en zo ook de moeilijkheid en de waarde van zijn overweging. Zo laat hij dan Sagredo zeggen enz. 11)   Tot zover Galilei en elders niet iets over stoot of impuls. Doch de aard van beweging heeft hij op meer plaatsen beschouwd in het Systema 12). En dit alles overwogen te hebben is nuttig geweest voor deze dingen die we zullen uitzoeken, aangezien ze het denken bevrijden van diep ingewortelde vooroordelen 13). Maar ook vooral wat door de illustere Descartes over beweging is geleverd in de Principia philosophiae 14). Want ofschoon we hier dingen zullen leveren die daarmee in strijd zijn, niettemin enz. En we bekennen dat hij veel dingen heel duidelijk heeft uitgelegd en dat we veel aan hem verschuldigd zijn. [ H.12 ]   Het principe van Descartes dat ons lange tijd waarschijnlijk 15) toescheen 16). Is later onwaar bevonden.   Met het principe lijkt hij terecht in het oog te hebben gehouden 17) dat hij zich een volmaakte hardheid voorstelde van de lichaam die op elkaar stoten, en dat deze bewegen in een zo goed als lege ruimte waarin geen andere lichamen hun beweging zouden kunnen bevorderen of verminderen. Dus dit zullen wij ook veronderstellen, maar daarbij zullen we ons verbeelden dat ze niet naar beneden getrokken kunnen worden door de eigenschap 18) zwaarte, of omhoog gebracht door lichtheid.   Verder zullen we stellen dat elk lichaam van nature langs een rechte lijn gaat, en dat het met de snelheid waarmee het eenmaal in beweging is gebracht zal blijven bewegen tenzij het door een ander wordt belemmerd; wat behalve Descartes 19) ook Galilei 20) en anderen hebben gezegd.   8)  Boven "non aliter fieri posse" staat "id necessario fieri" [dit noodzakelijk gebeurt].   9)  Vgl. p. 99, n. 8.   10)  Boven het eind [van licebit] "bit" staat "at" [kan zijn].   11)  Zie p. 112.     12)  Systema cosmicum, genoemd in n. 8 van p. 101.   13)  Boven "praejudiciis" staat: "erroribus" [fouten].   14)  Genoemd in n. 1 van p. 38/39.   15)  Boven "verisimile" staat: "certissimum" en "vali[di]ssimum" [heel zeker, sterk].   16)  Zie Voorbericht, p. 4.   17)  Zie p. 101, n. 7.   18)  Boven "proprietate" staat: "vi" [kracht].   19)  Art. 37 en 39 van 'Pars 2', Principia philosophiae, p. 62, 63 in T. 8 van ed. A & T [1644, p. 54 e.v.].   20)  Zoals Huygens hier doet, heeft men algemeen aan Galilei de exacte kennis toegekend van het traagheidsprincipe, ongetwijfeld uitgaande van teksten zoals het begin van de 'Vierde dag' (over de parabolische baan van projectielen) van de Discorsi [1638; Engl. 1914]; zie Le opere (1898) vol. 8, p. 268.   Dat dit onjuist is en dat Galilei het principe nooit heeft vermeld in de vorm die het later kreeg is aangetoond door Wohlwill, in 'Die Entdeckung des Beharrungsgesetzes', in Zeitschrift für Völkerpsychologie und Sprachwissenschaft, XV, 1884, p. 96-135. Zie ook E. J. Dijksterhuis, Val en worp, Gron. 1924, p. 264-271.

[ 106 ]

Verder, als we letten op de hardheid van lichamen en de eigenschap van beweging, zullen we stellen dat door de wederzijdse ontmoeting van twee lichamen hun beweging althans niet geheel wordt afgenomen en tot niets wordt teruggebracht, maar dat er nog beweging overblijft. Maar in welke hoeveelheid zullen we nog niet bepalen, behalve slechts in de volgende duidelijke gevallen. Namelijk als het gebeurt dat het ene ervan al zijn snelheid behoudt na de stoot, dat dan ook van de snelheid van het andere niets afgaat 1). En als twee gelijke lichamen elkaar met gelijke snelheid ontmoeten, dat dan elk met die snelheid terugkeert 2). Hierbij dat steeds als een groter lichaam een kleiner ontmoet dat in rust is, het daaraan enige beweging overdraagt, en daarom iets van zijn snelheid verliest 3). Tenslotte verlangen we dat men het ermee eens is dat wanneer een lichaam met kleinere massa een groter ontmoet dat in rust is, het daaraan een snelheid geeft die kleiner is dan zijn eigen snelheid 4); tenminste als eerder met het voorgaande is bewezen dat het er enige snelheid aan geeft. Deze leken het ons te verdienen dat men ermee instemt, en ze zijn niet in strijd met de Principia of regels van Descartes. Overigens moet er over de aard van beweging nog één overweging aan voorafgaan, hierbij verreweg van het grootste belang, die niemand er tot dusver op heeft toegepast 5), voorzover ik weet. En daarvan hangt af wat door velen is opgemerkt over de samengestelde beweging. Het staat namelijk vast, dat voor wie op een boot staat, die gelijkmatig voortgaat, alle bewegingen evenzo gebeuren als op een boot die stilligt, of voor wie zich aan land bevindt 6), en dat dit door iedereen ondervonden kan worden ligt voor de hand. We zien immers dat een loden bolletje dat bovenin een mast wordt losgelaten, naar de voet van de mast neervalt en niet achterblijft. En als iemand die op de achtersteven staat datzelfde bolletje gooit naar iemand die op de voorsteven staat, moet er niet een grotere kracht op worden uiteoefend, dan wanneer een ander dit naar hem wil teruggooien; geheel zoals wanneer het op een stilligende boot 7) zou gebeuren, zodat op de boot zelf op geen enkele manier 8) onderscheiden kan worden of de boot beweegt of stilligt, behalve als we naar het land kijken.   En dit is wel uitvoeriger uitgelegd door Galilei in Systema Mundi 9), en met een redenering bevestigd.   En om nu te komen tot datgene wat we ons hebben voorgesteld te verklaren, laten we ons voorstellen   1)  Hypothese V (p. 41) van de verhandeling 'Over beweging'.   2)  Hypothese II (p. 31). In de marge: "id primum" [dit eerst]   3)  Hypothese IV (p. 39).   4)  Niet in de verhandeling (is overbodig). Het volgt uit:  v'B  =  2 mAvA / (mA + mB);  vgl. p. 104, n.1.   5)  Erboven: "in mentem venit" [in gedachten gekomen].     6)  Vgl. Hyp. III (p. 33).   7)  Hier eindigt p. H.12 en begint H.19. Zie p. 92, n.1.   8)  Erboven: "re" [door niets].   9)  Het werk van p. 101, n.8. Het gaat om 'Giornata seconda', zie Le opere, vol. VII (1897), p. 273-280. [Engl. 1661, p. 223; Ned. 2012, p. 361-.]

[ 107 ]

dat binnen een schip, dat zoals gezegd met een gelijkmatige beweging voortgaat, dat spel wordt beoefend waarbij op een vlakke tafel die waterpas is, ivoren bolletjes met van hetzelfde materiaal gemaakte nageltjes*) worden gestoten 10). Ik ben stellig van mening dat niemand eraan twijfelt of alles hier voor de spelers even gemakkelijk zal lukken, als wanneer het schip zou stilliggen of wanneer ze de tafel thuis hadden opgesteld. En als het er twee zijn van wie de een aan de kant van de tafel staat die naar de voorsteven gericht is, de ander aan de andere kant, en ze tegelijk twee ballen aanstoten zodanig dat deze elkaar midden op de tafel treffen, is het zeker dat elke bal ook tegelijk bij zijn speler zal terugkomen, en dat ze niets van hun snelheid zullen verliezen, als ze volmaakt 11) hard zouden zijn, en onderling gelijk, en het oppervlak van de tafel zonder enige oneffenheid of ruwheid, en met een waterpas zorgvuldig horizontaal gezet. Bovendien weten we dat dit alles op dezelfde wijze zal uitkomen, als de tafel op het dek van het schip wordt geplaatst. Maar wat als door een krachtiger stoot, zoals vaak gebeurt, de ballen zich boven het vlak van de tafel verheffen, na zoals gezegd aan weerskanten op gelijke wijze in beweging te zijn gebracht? Inderdaad, als ze zo wel recht op elkaar afgaan zullen ze ook op gelijke wijze terugkaatsen als tevoren. Want ook al raakten ze eerst steeds het tafelvlak, het is toch zeker dat dit aan de beweging van de ballen niets bijdraagt en deze niet hindert, behalve voorzover het ruw en oneffen is. Dus ook als de tafel wordt weggehaald, als die ballen slechts vanaf de voorsteven en achtersteven gegooid worden met even grote kracht, zodat ze elkaar boven het midden van het schip in de lucht ontmoeten, zullen ze ook met even grote snelheid terugkaatsen.   En hieruit begrijpen we verder gemakkelijk het volgende: ook als ze niet waren gegooid door degenen die op voor- en achtersteven stonden, maar als het op een andere manier zou gebeuren dat ze uit tegengestelde richting op elkaar terecht zouden komen, met even grote snelheid ten opzichte van iemand die op het schip zit, dan zal er toch hetzelfde uitkomen, namelijk dat ze ten opzichte van deze persoon ook met even grote snelheid zullen terugspringen.   [ *)  Lat. 'claviculis'. In de beschrijving van 'Tafelkolf', ca. 1695 vinden we: "De gekromde stokken werden Billards (kolven) genoemd. De slof was van been of ivoor." Voor de kenners dus: 'slofjes'.]   10)  Het gaat natuurlijk om het biljartspel. In de 17e eeuw verschilde dit wel van het huidige. De rechte keu is een veel recentere uitvinding. Zie Encyclopédie, T. 2, 1751, p. 253: "Biljart wordt ook gebruikt voor de massa of de kromme stok waarmee men de ballen stoot. Deze is gewoonlijk van pokhout of sorbenhout, aan het dikke uiteinde voorzien van ivoor of gewoon been. Men kan dit zelfs weglaten. Men houdt dit instrument vast bij het dunne uiteinde en men stoot de bal met het andere uiteinde."   Zie ook plaat V in deel VIII, 1771 [tekst].   11)  Boven dit woord: "planè" [volkomen]. [ Biljart was vanaf 1636 examenvak aan de 'Académie Royale pour la noblesse' onder Richelieu. De afbeelding (rechts) staat in: J. M. Marci, De proportione motus, 1639 (bij prop. 40), een werk dat Huygens waarschijnlijk in 1654 ontving, zie T. I, p. 290 en 307. Het woord 'biljart', of een aanduiding van het spel, is er niet in gevonden. WNT heeft nog: trokspel (vanaf 1639), trok en troktafel. Const. Huygens noemt in 1638 de 'Boll Tafel' in Dagh-werck, zie ed. 1973, p. 154.       Tafelkolf, 1626   Zie ook de afbeeldingen van 'Tafelkolf' 1626 (links) en ca. 1694 en van 'Beugelen op tafel', 1704, in: NGA Early Golf Webmuseum, 1450-1700. Biljarten wordt later {>} nog genoemd in HUG 7A, 33r: "si quis tudiculario ludo in navi ludat", als iemand het biljartspel op een schip speelt ('tudicula' - olijfstamper; grote lepel). Philibert Monet, Invantaire des deus langues, 1635, p. 132: "Billart ...: Tudicularius ludus" en p. 524: "Mail ... Ieu de billart: Lusus tudicularis pilae minoris. Palaestra tudicularis pilae mensariae."  Kolf ... Biljartspel: Lepelspel met de kleine bal. Lepelspelzaal met de tafelbal.]

[ 108 ]

[Zesde Deel] 1) [1654]   Ik vrees dat degenen die niet gewend zijn deze dingen te overwegen, moeite zullen hebben het te begrijpen 2).   Over de aard van beweging begrijpen we dat de onderlinge posities van lichamen erdoor worden veranderd, en dat ze geheel gebeurt in de tijd. En wanneer we zeggen dat iets beweegt, moet dit noodakelijk worden begrepen ten opzichte van een ander lichaam. En dit lichaam kan dan gezien worden als in rust, of als bewegend ... 3)   Dat er beweging van lichamen is nemen we wel stellig waar, maar rust vinden we nergens met zekerheid. Overal waar immers twee lichamen hun onderlinge afstand veranderen maken we op dat er een beweging optreedt, maar een lichaam in rust kunnen we niet duidelijk aanwijzen en we kunnen ook niet verzekeren dat zo'n lichaam bestaat. Maar rust is alleen te bepalen ten opzichte van andere lichamen. Toch kunnen we een of meer lichamen of punten zien als in rust, ten opzichte waarvan we de beweging herleiden van dingen die bewegen. Het is zelfs noodzakelijk dat dit wordt gedaan als we ons hebben voorgenomen de hoeveelheid beweging aan een berekening te onderwerpen.   Ik zal vragen, wanneer ten opzichte van iemand die op de aarde staat twee [gelijke] 4) lichamen elkaar tegenkomen, het ene gaande naar het oosten, het andere naar het westen 5), of ze niet volgens de regels van Descartes na de wederzijdse stoot zullen teruggaan ten opzichte van die persoon, namelijk als ze volmaakt hard zijn en als gesteld wordt dat de omringende lucht geen weerstand biedt. Hij zal het ermee eens zijn, denk ik, en niemand zal zeggen dat de overige bewegingen van die lichamen, die ze met de aarde gemeen hebben, het verhinderen; ze zeggen immers dat aan de experimenten slechts dit ontbreekt, dat de lichamen niet volmaakt hard zijn, enz. Verder, als iemand op een varende boot zit en kijkt naar twee lichamen zoals hiervoor, die naar elkaar toegaan met gelijke snelheid ten opzichte van hem en van de boot, het ene vanaf de achtersteven, het andere vanaf de voorsteven, of ook deze zich na de stoot aan de genoemde wet zullen houden.   1)  Dit deel is ontleeend aan p. H.13-18 [HUG 26A, 21r-23v]. Vergelijk. p. 92, n.1.   2)  Deze aantekening bovenaan de pagina, los van de tekst, is misschien van later datum.   3)  De zin werd niet afgemaakt.   4)  Dit woord werd geschrapt; toch denken we dat het gaat over het geval van de 1e regel van Descartes (zie p. 93, n.4) en dat 'gelijke' er moet staan.   5)  Huygens heeft onderstreept wat hier gecursiveerd is.

[ 109 ]

De redenering is geheel dezelfde als bij het voorbeeld hierboven, en de overige bewegingen van deze lichamen, die ze met de boot gemeen hebben, zullen deze redenering geenszins verstoren. Maar de ondervinding leert dit ook als je [ 6) immers twee ballen van ivoor of harder materiaal] die op de boot hangen aan touwtjes, of op een andere manier, laat botsen, zul je merken dat ze niet anders tegen elkaar stoten dan wanneer de boot zou stilliggen.   Al kan dit een makkelijke beschouwing lijken, toch bevat ze de hele grondslag van stoot.   Elk lichaam wordt gezegd in rust te zijn ten opzichte van de lichamen waarmee het dezelfde afstand en positie behoudt. En te bewegen ten opzichte van de lichamen waarmee het de afstand of positie niet behoudt. Zo is de achtersteven wel in rust ten opzichte van de voorsteven, hoe de boot ook beweegt. Maar als deze vaart beweegt hij ten opzichte van de aarde; en daarentegen is hij in rust ten opzichte van degenen die erop zitten. Zodat eenzelfde lichaam kan bewegen en in rust zijn, als namelijk gelet wordt op verschillende andere lichamen.

[ 110 ]

recht achter het punt F is gekomen en de afstand EF heeft afgelegd, gelijk aan die CE, kan het niet anders zijn dan dat lichaam D, na de stoot in E, op dezelfde plaats E stilstaat ten opzichte van G; en dat het lichaam E komt tot in B, zodat de afstand EB gelijk wordt aan die ED. [ H.15 ]   Het blijkt dus dat als ten opzichte van de persoon G het lichaam E in rust is en door het gelijke lichaam D wordt aangestoten, het daarvan alle beweging zal ontvangen, en dat het dit lichaam D zonder beweging ter plaatse van E zal achterlaten.   En hiermee is verder gemakkelijk alles te bepalen wat betrekking heeft op de ontmoeting van gelijke lichamen. En ten eerste, als men wil weten wat er zal gebeuren als ze elkaar ontmoeten met ongelijke snelheid, is makkelijk te bewijzen dat ze terug zullen gaan met onderling verwisselde snelheden, dat wil zeggen dat het lichaam dat sneller gaat al zijn beweging overdraagt aan het langzamere en andersom alle beweging van het langzamere in zich opneemt 1).   Laat namelijk de gelijke lichamen A en B uit tegengestelde richtingen komen, maar met de snelheid van lichaam A tot de snelheid van lichaam B in de verhouding van AE tot EB ten opzichte van de toeschouwer die in G blijft. Dan zullen ze in E samenkomen, want als lichaam A in een seconde over de afstand AE gaat zal B in dezelfde tijd over de afstand BE gaan. Ik zeg dus dat na de ontmoeting in E, lichaam A in nog een seconde vanaf E de afstand EL zal afleggen en B de afstand EK, zodat EL gelijk is aan EB en EK aan EA. Laat namelijk EL doormidden gedeeld worden in M en laat C het punt zijn recht tegenover M en laat CF en FH elk gelijk aan EM genomen worden. Dus degene die in de boot zit en voorbijvaart met de snelheid CF, terwijl lichaam A met snelheid AE gaat en B met snelheid BE, moet noodzakelijkerwijze zien dat beide lichamen met gelijke snelheid, namelijk AM, naar de ontmoeting in E snellen 2) die zal gebeuren wanneer C in F is aangekomen. En daarom zullen ze ten opzichte van dezelfde toeschouwer ook met gelijke snelheid teruggaan.   1)  Vergelijk Prop. II (p. 37). In wat volgt wil Huygens een bewijs geven in de vorm van de propositie die hem ongetwijfeld al in 1652 bekend was. Toch vergist hij zich. Het bewijs is fout, hoewel de propositie waar is.   2)  Hier gaat het fout. Neem AE = p en EB = q, zodat de snelheid van A gelijk te stellen is aan p, die van B aan q, en die van de boot CF gelijk aan ME = ½LE = ½EB = ½q. Dan wordt de snelheid voor de botsing van A t.o.v. de boot: AM = p − ½q; maar die van B t.o.v. de boot: − MB = − 3/2 q. Dit speciale geval is getekend in de figuur, met AE = 2EB, waardoor Huygens zijn fout over het hoofd moet hebben gezien. Hij had natuurlijk aan de boot niet de snelheid ½LE moeten geven, maar ½AL = ½(p − q).

[ 111 ]

Wat wel niet anders kan gebeuren dan zodanig dat in de volgende seconde, waarin de varende toekijker in H komt, lichaam B de afstand EK aflegt en A de afstand EL.   Degenen die geloven dat de aarde in rust is beschouwen gewoonlijk lichamen die ten opzichte daarvan in rust zijn alsof ze echt in rust zijn, en ze herleiden de beweging van andere ertoe.   Maar laten we het er hier over eens zijn dat twee lichamen die elkaar ontmoeten, ook wanneer elk tegelijk bovendien aan de andere beweging 3) onderhevig is 4), elkaar niet anders zullen terugstoten ten opzichte van iemand die ook dezelfde beweging volgt 5), dan wanneer deze andere 6) beweging voor allen afwezig zou zijn.   Wat beweegt gaat door met zo bewegen tenzij het door iets anders wordt belemmerd.   Doch te weten is dat we het slechts hebben over die bewegingen die langs een rechte lijn gaan en gelijkmatig zijn. [ H.16 ]   Verder, dat een of ander lichaam afzonderlijk en niet ten opzichte van enig ander lichaam beschouwd, beweegt ofwel in rust is.   Want zij die de beweging van een lichaam definiëren als verandering van plaats, geloven een zekere plaats te kunnen definiëren ten opzichte van het heelal. Als ze dus zeggen dat de aarde echt in rust is, zal ik vragen wat dat is, echt in rust zijn, dan zullen ze zeggen: voortdurend dezelfde plaats innemen. Dus de definitie van de plaats die de aarde houdt hangt af van enige punten van de hemel 7) of van een oppervlak dat echt in rust is. Maar hiervan blijkt het in rust zijn weer met iets anders of met de aarde zelf te moeten worden gedefinieerd.   Wat dat toch is in lichamen, rust of beweging, lijkt niet te kunnen worden begrepen behalve ten opzichte van andere lichamen. We kunnen ons immers niets anders voorstellen dan dat de onderlinge afstand en de opstelling van lichamen verandert. Dus een lichaam dat beweegt moet gezegd worden te bewegen ten opzichte van andere lichamen waarmee het van positie verandert, en in rust te zijn ten opzichte van die waarmee het de positie behoudt. En laat het voor ons niet nodig zijn te vragen of iets in dit heelal echt in rust is of wat dat toch 8) is. Of de aarde stilstaat of de sterrenhemel.   3)  Boven "alteri praeterea motui": "de alio adhuc motu", aan nog een andere beweging.   4)  Boven "obnoxium sit": "participet", deelneemt.   5)  Boven "eundem ... motum sequitur": "eidem ... motui obnoxius est", aan dezelfde beweging onderhevig is.   6)  Boven "alter": "adventitius", bijkomende.   7)  Lees "caeli" [voor "celi"].   8)  Boven "quidnam": "ubinam", waar dan ook.

[ 112 ]

Maar zowel hier als overal elders wordt bij twee of meer lichamen gelet op het eerste het beste ervan dat beschouwd kan worden als in rust, en wel ten opzichte van een ander lichaam waarmee het in dezelfde positie blijft.   Kennis hebben over de stoot van lichamen is nuttig, want dan worden tegelijk ook de slagkrachten bekend. En het is zeker dat deze van het grootste belang zijn voor mechanische werken, en het lijkt niet minder noodzakelijk de wetten ervan te begrijpen dan de verhoudingen van gewichten. Ze worden immers bij alle handwerken evenzeer toegepast en vaak 1) bewerken we met een stoot, wat we niet met gewichten ten uitvoer kunnen brengen.   Doch de beschouwing ervan is daarom zo moeilijk omdat de aard van beweging ingewikkeld is, en heel duister voor degenen die niet gewend zijn aan beschouwen. Galilei verwijst in de dialogen over plaatselijke beweging naar de moeilijkheid van de zaak en hij schrijft van die dingen waaruit opgemaakt kan worden dat hij daarin iets heeft gezien. Het leek me de moeite waard zijn woorden te vertalen en hier te laten volgen. Hij voert namelijk de gespreks­deelnemer Sagredo als volgt in, sprekend in de 4e dialoog voor prop. 5 2):

De vermelding 3) van die stoot en van de slagen doet me weer denken aan een Probleem, of liever een vraag in de Mechanica, waarbij ik nog niemand heb gevonden die het heeft uitgelegd, of die iets heeft geleverd waardoor hij óf mijn verwondering wegneemt, óf mij tenminste met enige redenering tevreden stelt. En mijn twijfel en verbazing ontstaan hierdoor, dat ik helemaal niet begrijp wat de oorsprong of oorzaak is van deze werkzaamheid en geweldige kracht die bij een stoot wordt waargenomen 4). Daar we toch zien dat tegen één slag van een hamer, waarvan de zwaarte 8 of 10 pond niet te boven gaat, dingen geen weerstand kunnen bieden die niet wijken voor een opgelegde, slechts drukkende zwaarte als geen slag wordt toegebracht, ook als deze gelijk is aan enige honderden ponden. Ik zou alleen willen dat iemand me leerde op welke manier ik de kracht van zo'n klap zou kunnen meten, die zeker niet oneindig is naar ik meen, maar binnen een bepaalde grens is bevat 5) zodat die ook geëvenaard kan worden, en vergeleken met andere krachten, van drukkende gewichten of van een hefboom of schroef, waarvan mij heel goed duidelijk is hoeveel maal de uitwerkingen worden vermenigvuldigd. Salviati.  Niet alleen bij u wekt de beschouwing van een zo verbazend effect verwondering en niet alleen voor u is de oorzaak ervan duister. Want ook zelf heb ik hiermee enige tijd doorgebracht, en wel tevergeefs, terwijl de ingewikkeldheid ervan van dag tot dag dag toenam. Totdat ik toevallig bij een ontmoeting met onze Academicus (te weten Galilei) een dubbele troost ontving. Ten eerste namelijk dat hij zei 6) dat met mij ook hijzelf lang in dezelfde duisternis had verkeerd; verder voegde hij er dit aan toe,

1)  Lees: saepe [i.p.v. sepe].   2)  Discorsi, zie Le opere, VIII, p. 292-293 [Engl. 1914; vgl. p. 99, n.8].   3)  Huygens' vertaling, getrouw maar heel vrij, is gecursiveerd [door de uitgevers van O.C.].   4)  Boven "cernitur": "animadvertitur", bemerkt.   5)  Boven "contineri": "definiri", bepaald.   6)  Boven "dicebat": "fatebatur", bekende.

[ 113 ]

dat hij na vele duizenden uren aan deze beschouwing te hebben besteed, tenslotte enige dingen doorgrond 7) had, heel verschillend van wat gewoonlijk op het eerste gezicht wordt gezien, en dat ze ook geheel nieuw zijn, en daardoor meer uitzonderlijk. Enz.

En aan het eind van de dialoog, waar ze vaststellen dat de uiteenzetting van deze zaak moet worden uitgesteld tot een ander tijdstip, zegt Sagredo 8):

Ik ben het inderdaad gaarne met u eens, want ik herinner me 9) dikwijls ook van bekenden van onze Academicus te hebben gehoord, dat deze behandeling van Stoot zeer duister is, dat namelijk tot dusver niemand van degenen die hebben ondernomen deze uit te leggen, heeft kunnen doordringen tot de binnenste schuilhoeken, die immers door dichte duisterheden versperd zijn en volstrekt anders dan wat het menselijk verstand gewend is zich voor te stellen. En naast andere uitspraken herinner ik me dat deze ene werd geciteerd, een echt wonderlijke, namelijk dat de kracht van Stoot onbegrensd is, om niet te zeggen oneindig.

Dit zei Galilei, en tot hoever hij in deze materie is doorgedrongen staat voor mij niet vast 10). Wat hij vermeldt over de geweldige macht van de stoot komt bijzonder goed overeen met onze bewijzen, we zullen namelijk aantonen dat ook het grootste lichaam door de stoot van het kleinste lichaam in beweging wordt gebracht 11).   Experimenten kunnen we niet goed toepassen voor een bewijs, en daarom zal alles met principes [>] aannemelijk gemaakt moeten worden; en toch lijkt het niet gering dat alle experimenten bij de regels van Descartes het tegengestelde laten zien, maar met de onze nauwkeurig overeenstemmen.   Want wat hij zegt 12) dat de onvolmaakte hardheid van alle mogelijke lichamen en bovendien de omringende lucht er de schuld van zijn dat de waarheid van zijn Theorema's niet kan worden getoond, dit is geenszins waarschijnlijk. Als die immers zoveel belemmering geven en onze Theorema's bovendien fout zijn, zou het wonderlijk zijn dat een afwijking steeds zó door een andere afwijking of materiaalgebrek gecompenseerd 13) zou worden, dat uitkomt wat we hebben voorspeld dat er uit zou komen bij de ontmoeting van lichamen. Maar toch 14), ook wij stellen ons een volmaakte hardheid van lichamen voor en we nemen aan dat ze zijn weggeslingerd in ruimtes waarin hun beweging door omringende lichamen noch belemmerd, noch geholpen wordt.   7)  Boven "aliqua perspexisse": "aliquid percepisse", iets begrepen.   8)  Zie p. 312-313 van Le opere.   9)  Boven "id audivisse memini": "ita accepisse recordor", zo denk ik te hebben vernomen.   10)  Vergelijk p. 100, n.1.   11)  Vgl. Prop. III (p. 39).   12)  Vgl. p. 100, n.7.   13)  Boven "compensari": "restituetur" en "[restitue]re", hersteld. (Voor het eerste is "si" ingevoegd tussen "esset" en "ita".)   14)  Boven "Attamen": "Caeterum", Overigens.

[ 114 ]

[Zevende Deel] 1) [1654]   Als er geen principe wordt gesteld kan niets worden bewezen. [<]   Als dus met een gelijkmatige beweging met de halve snelheid van die welke het had op het laatste tijdstip van AB 2), in dezelfde tijd meer is afgelegd, dan heeft het dus in een kortere tijd hetzelfde afgelegd, zoals in de tijd AD. Laat de tijd AB verdeeld worden in zoveel gelijke delen dat één ervan kleiner is dan het overschot DB. Dus in de tijd AG heeft het met de gelijkmatige beweging meer afgelegd dan met de versnelde in AB. En laat er evenveel lijnen zijn die elkaar gelijkelijk overschrijden, zodat de overschrijding gelijk is aan de kleinste ervan. E F O enz. 3) evenzo de andere 4). En laat gesteld worden dat het voorwerp aan het eind van de tijdsduur AN die graad van snelheid heeft verkregen, waarmee het gelijkmatig bewegend in de tijd NM gelijk aan die AN de afstand E 5) zou kunnen afleggen. Dus wanneer het op tijdstip M de dubbele snelheid heeft verkregen van die in N, zal het gelijkmatig bewegend met die snelheid die het heeft in M de dubbele afstand E[ι] afleggen, dat is F[κ] en gelijkmatig bewegend met de snelheid die het heeft iop tijdstip L de afstand O[λ] afleggen, enzovoorts.

Zodat het tenslotte op het laatste tijdstip B die snelheid zal hebben verkregen waarmee het gelijkmatig bewegend, in een tijdsduur gelijk aan die AN de afstand Tθ kan doorlopen. Dus met de helft van deze snelheid zal het in de tijd AN gaan over de afstand Tδ, dat is EV, en in de tijd NM over FX, en in de hele tijd AG over EV, FX, OY, PZ, Qα, Rβ, Sγ 6). En aan deze alle zijn gelijk de overschrijdende afstanden Eι, Sη met de tussenliggende. Maar in de tijd NM legt het voorwerp met de versnelde beweging een afstand af die groter is dan Fκ; en in de tijd LK groter dan Oλ, en in de tijd KI groter dan PZ; en in IH dan Qε en in HG dan Rζ, en in GB dan Sη.   1)  In dit Deel geven we blz H.21 en H.22 (vergelijk noot 1 van p. 92). Huygens bewijst eerst, met herleiding tot het absurde: de afgelegde weg bij een eenparige versnelde beweging van een lichaam dat in rust was, is gelijk aan die bij een eenparige beweging met snelheid gelijk aan de helft van de eindsnelheid van de eerste. Dit theorema is te vinden in de 'Derde dag' van Discorsi (1638) van Galilei; zie p. 208 van Le opere, VIII (1898) [Engl. 1914]. Blijkbaar wil Huygens een strenger bewijs geven (met dezelfde meetkundige weergave als Galilei).   Daarna keert Huygens terug naar de regels van stoot.   2)  In de figuur is te lezen, links "sic spatia aequalia dispon.tur" (de gelijke afstanden zo opgesteld) en iets naar rechts "sic crescentia" (zo de groeiende). Sommige delen dienen niet voor het bewijs.   3)  Zie de lijnen Eι, Fκ, Oλ, PZ, Qε, Rζ, Sη, Tθ.   4)  Later ingevoegd. Ze zullen wel de letters PQRST aanduiden.   5)  Lees Eι, enz.   6)  Er geldt dus EV = FX = OY = PZ = Qα = Rβ = Sγ = Tδ = ½ Tθ.

Dus in de hele tijd AB legt het met de versnelde beweging een grotere afstand af dan alle overschrijdende samen, Eι, Sη met de tussenliggende, dat is groter dan xb 7). Dan is wat het in de tijd AG heeft afgelegd met een gelijkmatige snelheid, die de helft is van de maximale, tegelijk groter en kleiner dan wat het in de tijd AB met de versnelde beweging heeft gedaan; wat absurd is. Nu nog: als het kan gebeuren dat het met een gelijkmatige snelheid, de helft van de maximale, in de tijd AB een kleinere afstand zou doorlopen; dan zal het in een langere tijd een gelijke doorlopen, enz.   Dat verschillende bewegingen van één voorwerp apart beschouwd mogen worden.   Dat in een gelijke tijd dezelfde snelheid erbij wordt verkregen door twee lichamen, waarvan het ene vanuit rust begint te bewegen, het andere met een willekeurige beweging.   Als een voorwerp voor een deel eerst met een gelijkmatige beweging gaat, en daarna ook aan de natuurlijke versnelling onderhevig begint te zijn, moeten de twee bewegingen hierbij afzonderlijk worden beschouwd, de gelijkmatige die doorgaat in dezelfde zin als eerst, en de versnelde zoals ze wordt bekeken bij een voorwerp dat vanuit rust begon te bewegen.   Met dit bewezen of gesteld, dat de afgelegde afstanden in verdubbelde verhouding zijn met de tijden, en er bijgenomen het andere dat bewezen is, namelijk dat wanneer twee harde lichamen elkaar uit tegengestelde richting ontmoeten, de snelheid van hun uiteengaan dezelfde is als die van het naderen 8), kan bewezen worden dat wanneer twee lichamen elkaar ontmoeten terwijl de snelheid van het ene tot de snelheid van het andere is als de grootte van het laatste tot de grootte van het eerste, elk met dezelfde snelheid zal terugspringen als waarmee het aankwam 9).   7)  Zie de meest linkse lijn in de figuur.   8)  Vergelijk p. 93, n.7 van en p. 94, n.5.   9)  Zie Prop. VIII (p. 53) van de verhandeling.

[ 116 ]

En met dit alleen kan ook bewezen worden dat fout is wat Descartes meent; namelijk dat er altijd dezelfde hoeveelheid beweging blijft in de natuur 1), in de betekenis dat er evenveel beweging wordt aangenomen in een lichaam dat met twee snelheidsgraden beweegt, als in een dubbel lichaam dat beweegt met één snelheidsgraad. Want als dit waar is, volgt daaruit die gelijke snelheid van de afzonderlijke lichamen bij het uiteengaan en naar elkaar toegaan, namelijk wanneer de snelheden van de ontmoetende lichamen in omgekeerde verhouding zijn met hun grootten. Maar met dit gestelde, als verder de beschouwing toegepast wordt van een uitwendige beweging zoals van een boot, wordt weer bevonden dat wat hij als principe heeft gesteld fout is 2).   Onze bewijzen kunnen ook op een andere manier gaan, met dit gestelde, namelijk dat een lichaam wordt verondersteld zo ver ergens heen te bewegen, als zijn zwaartepunt beweegt. Dat dan twee of meer lichamen beschouwd kunnen worden als één dat daaruit is samengesteld. En dat wat beweegt, doorgaat met bewegen naar dezelfde kant met dezelfde snelheid totdat het door een ander wordt belemmerd, of (met de berekening van beweging volgens de opvatting van Descartes) dat er altijd evenveel beweging naar dezelfde kant blijft als er tevoren was 3).   Een lichaam dat snelheid toedeelt aan een lichaam verliest iets van de zijne.   En de volgende dingen zullen bewezen worden.   Een lichaam, hoe groot het ook is, kan door een willekeurig klein lichaam in beweging gebracht worden, ook al is het in rust 4).   De snelheid van naderen is bij lichamen die elkaar ontmoeten hetzelfde als die van uiteengaan. Doch dit is al bewezen 5).   Dan dat geeelte over lichamen die terugkomen met de snelheid waarmee ze na de botsing zijn teruggesprongen 6).   En dat over de gelijke aankomst en teruggang bij elk afzonderlijk 7).   Evenzo dat een lichaam, hoe groot ook, aan een ander dat kleiner is en in rust nooit een snelheid toedeelt die het dubbele is van de zijne 8).   Dat een lichaam aan een eraan gelijk lichaam al zijn beweging overdraagt en geheel die ontvangt welke het andere had, als het die had 9).   Een groter lichaam dat een kleiner ontmoet dal al in dezelfde richting beweegt, zal daaraan een kleinere snelheid geven dan wanneer het dit zou ontmoeten als het in rust was 10).   1)  Vergelijk p. 49, n.2.   2)  Met mA en mB als massa's, vA en vB als snelheden t.o.v. de boot, en v < vA < vB als snelheid van de boot in de richting waarin A beweegt, is er voor de botsing:  mA(vA + v) + mB(vB − v),  en na de botsing:  mA(vA − v) + mB(vB + v).  Het verschil:  2 (mA − mB) v  is alleen nul als mA = mB, terwijl slechts verondersteld was mAvA = mBvB.   3)  Hier is dus de wet van behoud van beweging van het gemeenschappelijke zwaartepunt, door Huygens gepubliccerd in het Journal des Sçavans, 18 maart 1669 [p. 23]: "Overigens heb ik een bewonderenswaardige wet van de Natuur opgemerkt, die ik kan bewijzen voor wat betreft Bolvormige lichamen, en die algemeen lijkt te zijn bij alle andere, zowel harde als zachte, of de ontmoeting nu centraal is of schuin. Die is dat het gemeenschappelijke zwaartepunt van twee of drie lichamen, of zoveel men wil, altijd gelijkmatig voortgaat langs een rechte lijn naar dezelfde kant, voor en na hun ontmoeting".   4)  Vergelijk Prop. III (p. 39).   5)  Zie p. 96-97.   6)  Zie Prop. V (p. 47).   7)  Huygens bedoelt Prop. VIII, p. 53.   8)  Zie Prop. VII (p. 51).   9)  Zie Prop. II (p. 37).   10)  Dit staat niet in de verhandeling, maar is eruit af te leiden. De snelheidstoename van het 2e lichaam hangt volgens het Relativiteits­principe slechts af van de relatieve snelheid, en is gelijk aan 2mA(vA − vB) / (mA + mB), en de voorwaarde mA > mB is zelfs overbodig. Deze opmerking en een van de volgende (3e alinea van p. 117) waren bedoeld om verder door te dringen in de aard van de stootkracht.

[ 117 ]

Verscheidene gevallen bij ongelijke lichamen 11).   Evenzo problemen 12).   Dat wanneer twee verschillende lichamen, bewegend met verschillende snelheid, eenzelfde lichaam in rust op dezelfde manier in beweging brengen, ze een ander lichaam niet evenzeer in beweging zullen brengen 13).   Dat de kwadraten van de snelheden vermenigvuldigd met de grootten van de lichamen altijd dezelfde som voortbrengen voor en na de ontmoeting van de lichamen 14).   Over de niet centrale ontmoeting van bollen. Laat A een bol zijn die het dubbele is van R die hij, terwijl deze in rust is, ontmoet in B. Laat getrokken worden CBRF door de middelpunten van elk en de loodlijn AC daarop; en als BF is 4/3 BC, zal F de plaats zijn van bol R na een tijd vanaf de botsing die gelijk is aan de tijd waarin A vanuit A in B is gekomen. Neem BD = 1/3 CB of 1/4 BF, en de loodlijn DN gelijk aan AC,   11)  Zie Prop. IX (p. 49, 65) van de verhandeling..   12)  Huygens heeft in zijn verhandeling geen problemen toegevoegd zoals bij 'Spelen van geluck' van 1657; zie T. XIV, p. 89-91. Zie p. 133-135 voor drie van deze problemen en p. 155, n.3.   13)  Volgens de 2e formule van p. 67, n.1 is de voorwaarde dat A en B dezelfde snelheid geven aan C in rust:  2mAvA / (mA + mC)  =  2mBvB / (mB + mC) ,   of:   vA/vB  =  mB(mA + mC) / mA(mB + mC).   Voor een lichaam D in rust, dat C vervangt, is dezelfde voorwaarde: vA/vB  =  mB(mA + mD) / mA(mB + mD),   en ze zijn alleen gelijk als mC = mD, of mA = mB.   14)  Zie Prop. XI (p. 73) van de verhandeling 'Over beweging'.

[ 118 ]

dan zal N de plaats zijn van bol A, tegelijk als R in F is, en BN is de overgang van B naar N 1). Om dit te bewijzen kan ook de beschouwing over uitwendige beweging worden toegepast 2). Het blijkt dat ook NF en AB gelijk zijn 3), want ND is gelijk aan AC en DF is gelijk aan CB, en de driehoeken zijn rechthoekig 4). HBG liever een rechte lijn, driehoek BGF gelijkbenig 5).   Over de niet centrale ontmoeting wanneer beide bewegen, hetzij in tegengestelde richting, hetzij in dezelfde richting. En centrale of niet centrale in tegengestelde of dezelfde richting, dat wil zeggen op evenwijdige of niet evenwijdige lijnen 6).   Waarom een bol, op een tafel aangestoten door een gelijke, niet in rust is: de oorzaak is een beweging om het middelpunt. 7)   1)  Blijkbaar gaat Huygens ervan uit dat de wrijving tijdens de botsing kan worden verwaarloosd, want hij neemt DN = AC en laat bol R niet afwijken van de lijn CF. Bovendien doet hij alsof de botsing op CF plaats vindt tussen A met snelheid CB en R in rust, terwijl mA = 2mB. Dan geldt volgens de formules van p. 67, n.1:  v'A = BD = 1/3 vA = 1/3 CB  en v'B = BF = 4/3 vA = 4/3 CB.   Deze resultaten komen overeen met de moderne theorie van botsing zonder wrijving van harde lichamen. Ze geeft DN = AC en omdat de algebraïsche som van de hoeveelheden beweging in de richting CF constant is en bovendien de component van de relatieve snelheid in deze richting moet veranderen van teken en niet van grootte (volgens een heel algemeen theorema; zie p. 26 van het Voorbericht), zijn de snelheids­componenten langs CF te berekenen alsof die loodrecht hierop niet bestonden.   2)  Zo kan het algemene geval van schuine botsing worden herleid tot dat met één lichaam in rust.   3)  De snelheid van uiteengaan is gelijk aan die van naderen. Een algemene eigenschap van de schuine botsing zonder wrijving van harde lichamen waarvan het middelpunt samenvalt met het zwaartepunt.   Bewijs: van de componenten van de relatieve snelheid in de richting AB [CF in de figuur], en in die loodrecht daarop, verandert de laatste niet en de eerste alleen van teken. De resultante verandert dus van richting maar niet van grootte.   4)  Te weten ABC en NDF.   5)  BAC en FND congruent, ∠NFD = ∠ CBA = ∠ GBF.   6)  De schuine botsing staat niet in de verhandeling.   7)  De figuur stelt kennelijk een biljartbal voor, maar de betekenis is onduidelijk. Vgl. p. 107, n.10. [Achtste Deel] 8) [1654]   Gebruik dit voor verbetering in volgende. Maar ik denk niet dat dit zelf nodig is 9).   Als twee lichamen op dezelfde rechte lijn in tegengestelde richting gaan, zal het ene ten opzichte van het andere bewegen met een snelheid die uit de snelheden van beide is samengesteld; en als ze in dezelfde richting gaan, zal het ene ten opzichte van het andere bewegen met de snelheid waarmee de snelheid van het snellere de snelheid van het langzamere te boven gaat.   Figuur die aan het eind van dit blad staat 10). Op dezelfde rechte bewegen lichaam A met snelheid AE en B met snelheid BH; en wel eerst in tegengestelde richting 11).   Daar dus in de tijd waarin A de afstand AE aflegt en B de afstand BH, hun afstand AB in dezelfde tijd afneemt of toeneemt

[ 119 ]

met de afstand samengesteld uit beide, AE en BH, is het duidelijk dat de lijn gelijk aan AE en BH samen, een maat is voor de snelheid waarmee de lichamen A en B ten opzichte van elkaar gaan, doordat namelijk de lijn AE de snelheid aanduidt van lichaam A en BH van lichaam B. Maar als de lichamen in dezelfde richting gaan 12) — aangezien dan in de tijd waarin lichaam A gaat over de afstand AE en B over afstand BH, in dezelfde tijd de afstand van de lichamen A en B weer afneemt of toeneemt met de afstand die gelijk is aan het verschil van de twee AE en BH — is duidelijk dat ditzelfde verschil een maat is voor de snelheid waarmee de lichamen ten opzichte van elkaar bewegen, doordat AE en BH de maat weergeven van de snelheden in de lichamen A en B.   De snelheid van een of ander lichaam, ten opzichte van een ander lichaam dat op dezelfde rechte lijn beweegt, wordt beoordeeld volgens de toename of afname van de afstand die er is tussen beide.   12)  Zie de gedeelten 3 en 4 in de figuur.

[ 120 ]

Of liever, laat gezegd worden dat ze even snel bewegen ten opzichte van andere, als ze in dezelfde of gelijke tijd ook een gelijke afstand van andere weggaan of ernaar toegaan.   Ook wanneer het ene dat lichaam waarnaar het afgemeten wordt nadert, het andere ervan weggaat. Zoals met de lichamen A, B en C op dezelfde rechte geplaatst. Als in een gelijk tijdsinterval lichaam B de afstand BD aflegt bij het naar A toegaan, en lichaam C de daaraan gelijke afstand CE, maar van A weggaand, wordt toch gezegd dat de lichamen B en C ten opzichte van A met gelijke snelheid bewegen. Theorema   Als twee lichamen op dezelfde rechte met ongelijke snelheid gaan, en als ze maar beide gelijkmatig bewegen, zal ook het ene ten opzichte van het andere met een gelijkmatige beweging voortgaan.   Laat gesteld worden de lichamen A en C 1), die op dezelfde rechte met gelijkmatige beweging gaan. A in de richting van E en B in de richting van H.   Er zijn dan vier gevallen 2); want óf de beweging gebeurt in tegengestelde richtingen, en dit naar elkaar toegaand of van elkaar weggaand. Of in dezelfde richting, waarbij er weer het verschil is, dat het vooropgaande lichaam of langzamer beweegt dan het volgende, of sneller.

We zeggen dus dat in willekeurige gelijke tijdsintervallen de afstand tussen de lichamen A en B ook met gelijke lengtes afneemt of toeneemt. Laat genomen worden een willekeurige tijdsduur waarin lichaam A over de lengte AC is gegaan, en lichaam B over de lengte BD. Dan zal in de volgende tijdsduur die gelijk is aan de vorige, A de lengte CE afleggen, gelijk aan AC, aangezien het gelijkmatig beweegt, en evenzo ook lichaam B de lengte DH gelijk aan BD. Waaruit blijkt dat in gelijke tijden, althans in het eerste geval, gelijke delen van de afstand tussen de lichamen A en B zijn afgegaan, namelijk zoveel als ze samen afleggen, AC en BD. En in het volgende geval dat in de afzonderlijke tijden bij de afstand AB evenveel is bijgekomen.   In het derde geval daarentegen neemt deze afstand in de afzonderlijke tijden zoveel af als het verschil is van de twee AC en BD. Tenslotte is in het laatste geval hetzelfde verschil er bijgekomen in de afzonderlijke tijden.   1)  Lees: B.   2)  Zie de delen 1, 2, 3, 4 in de figuur.

[ 121 ]

[Negende Deel] 3) [1654]   Onverdroten en laat mij in beslag genomen worden door de studie, al is die nog zo streng, Theorema 1.   Als een lichaam in rust ontmoet wordt door een ander dat eraan gelijk is, zal dit na de ontmoeting in rust zijn, en alle beweging zal aan het andere worden gegeven. 4)   Laat lichaam A, dat in rust is, ontmoet worden door een gelijk lichaam B; ik zeg dat dit na de ontmoeting in rust moet zijn, en de snelheid waarmee het aankwam geheel moet overdragen aan lichaam A. Daarom, als het B één tijdsdeel heeft gekost om van B naar A te gaan, zal het A een daaraan gelijk tijdsdeel kosten om de lengte AC te doorlopen, gelijk aan AB. Laat namelijk elk van beide afstanden BA en AC doormidden gedeeld worden in H en K en laat DF getrokken worden evenwijdig met BA, met de punten D, E en F recht tegenover de punten H, A en K. Als dus iemand*) langs de lijn DF wordt meegevoerd door een schip, met een gelijkmatige beweging en met de helft van de snelheid van lichaam B, zal deze juist terwijl B naar A komt de lengte DE afleggen, de helft van de afstand AB. En dan zullen ten opzichte van hem de lichamen A en B elkaar met gelijke snelheid ontmoeten. Dus aangezien ze ook in massa gelijk zijn zullen ze, ten opzichte van dezelfde toeschouwer, beide moeten terugkeren met de snelheid waarmee ze gekomen zijn 5). En daarom, als het ze één tijdsdeel heeft gekost voordat ze elkaar raakten, zal elk na nog zo'n tijdsdeel op zijn vorige plaats teruggekeerd moeten zijn, namelijk ten opzichte van de genoemde toeschouwer die ondertussen over de lengte EF gelijk aan DE is gegaan. Wat zeker niet anders kan gebeuren dan wanneer het lichaam A de lengte AC gelijk aan BA heeft afgelegd en B tot stilstand is gekomen bij de ontmoeting met lichaam A. Zoals immers de toeschouwer ter plaatse van D tegenover het punt H was, midden tussen de lichamen B en A, zo is hij weer in F tegenover het punt K, dat het midden is tussen het bij de ontmoeting met A stilstaande 6) lichaam B en lichaam A dat in C is terecht gekomen. Dus het is noodzakelijk dat het zo gebeurt als voorgesteld was.   Omdat verder de hele kracht van ook de volgende bewijzen bestaat uit een herleiding op deze manier   3)  Dit Deel is ontleend aan blz H.25-28 [HUG 26A, 30r-31v].   4)  Vergelijk Prop. I (p. 33) van de verhandeling.   [ *)  "Si quis" voor "Igitur", HUG 26A, 30r.]   5)  Zie Hypothese II (p. 31) van de verhandeling.   6)  Lees: restans [i.p.v. restantis].

[ 122 ]

van beweging tot verschillende lichamen, daarom lijkt het bewijs van dit eerste theorema wat duidelijker voor ogen gesteld te moeten worden. Laat dan HK een boot zijn die met gelijkmatige beweging naar rechts gaat. En daarin zit een opvarende tegenover het punt D. Ten opzichte van deze worden twee gelijke lichamen B en A met gelijke snelheid naar elkaar toegebracht. Die zullen dan, als de lengtes DB en DA gelijk zijn, elkaar tegenkomen in D ten opzichte van de opvarende, en na wederzijdse stoot, ten opzichte van dezelfde, weer met gelijke snelheid uiteengaan.

[ 123 ]

Theorema 2.   Als twee gelijke lichamen met ongelijke snelheid bewegen en ze botsen tegen elkaar, óf komend uit tegengestelde richtingen, óf zo dat ze beide in dezelfde richting gaan en het langzamere dat vooropgaat door het volgende wordt voortgedreven, zullen ze met onderling verwisselde snelheid verder gaan. 1)   Laat de gelijke lichamen A en B eerst in tegengestelde richtingen gaan. En A met de snelheid AC, B evenwel met de kleinere snelheid BC. Ze zullen elkaar dan in C ontmoeten. Ik zeg dat lichaam A vandaar zal terugkeren met de snelheid CD gelijk aan die BC, en B met de snelheid CE gelijk aan AC. Dat wil zeggen: als de lichamen in het eerste tijdsdeel in C gekomen zijn, zal na nog een tijdsdeel gelijk aan het vorige, lichaam A gevonden worden in D, en B in E. Laat namelijk de afstand AB doormidden worden gedeeld in H, en neem CG gelijk aan CH, en als KM getrokken is evenwijdig aan AB moeten de punten K, L en M recht tegenover de punten H, C en G liggen. Wie dan voorbijgaat met de snelheid KL 2), terwijl A met snelheid AC gaat en B met snelheid BC 3), die zal in L aankomen wanneer beide lichamen in C zijn aangekomen, en ten opzichte van hem gaan de lichamen A en B met gelijke snelheid voort; daar immers elk van beide lichamen eerst een gelijke lengte van hem verwijderd was, is elk in dezelfde tijd uit tegengestelde richting voor hem gevorderd tot C 4). Maar in massa zijn de lichamen ook gelijk, dus het is noodzakelijk dat ze weer met gelijke snelheid van elkaar afgaan, ten opzichte van de genoemde persoon 5). En daarom, als het ze één tijdsdeel heeft gekost voordat ze elkaar raakten, zullen ze vanaf de ontmoeting na nog zo'n tijdsdeel elk teruggekeerd moeten zijn naar hun vorige plaats, ten opzichte van de genoemde toeschouwer, die ondertussen de lengte LM heeft afgelegd. En dit kan niet anders gebeuren dan dat lichaam A over de lengte CD is gegaan, en B over de lengte CE. De afstand DE is immers gelijk aan AB, aangezien elk afzonderlijk, CD en CE, gelijk is aan elk afzonderlijk CB en CA. Maar ook is CG gelijk aan CH; dus is ook de hele GD gelijk aan HB. Maar HB is de helft van AB, dus is GD ook de helft van DE; en daarom wordt de afstand DE doormidden gedeeld in G. Waaruit duidelijk is dat de positie van de lichamen in D en E, ten opzichte van de toeschouwer in M, recht tegenover punt G, dezelfde is als die van de lichamen in A en B toen deze zich in K bevond.   1)  Vergelijk Prop. II (p. 37) van de verhandeling.   2)  Stel AC = vA, BC = vB en er komt (lettend op de richtingen): AH = ½(vA − vB)  en dus:  KL = HC = AC − AH = vA − ½(vA − vB) = ½(vA + vB).   3)  Wat volgt tot "Sed mole" (Maar in massa) is door veranderingen moeilijk te ontcijferen.   4)  In de marge: AC = CE, GE = HA of HB, DC = CB, AH = GD = HB of HA.   5)  Zie nog steeds Hypothese II (p. 31).

[ 124 ]

Maar laten we ons nu voorstellen dat elk van beide lichamen in dezelfde richting beweegt, B met snelheid BC, en A met snelheid AC; dit zal dan lichaam BC 1) raken in het punt C. Ik zeg nu dat elk van beide in dezelfde richting zal gaan zoals eerder, maar met de snelheid onderling verwisseld, zodat A met snelheid CD gaat gelijk aan BC; en B met snelheid CE gelijk aan AC, namelijk zoveel als lichaam A eerst had.

[ 125 ]

in dezelfde verhouding zijn als de snelheden, daarom meten we de verhouding van de snelheden af naar de verhouding van de lengtes die in dezelfde of gelijke tijden zijn doorlopen. Zoals wanneer gezegd wordt dat tegelijk lichaam A beweegt met snelheid AC, en lichaam B met snelheid BC, moet begrepen worden dat in hetzelfde tijdsinterval lichaam A de lengte AC heeft doorlopen en lichaam B de lengte BC. De snelheden houden tot elkaar dezelfde verhouding als die van de lijnen AC tot BC.   Bovendien kan uit de volgorde waarin we de uiteinden van de lijnen zullen noemen, worden begrepen in welke richting de beweging gebeurt. Zoals wanneer wordt gezegd dat een lichaam A beweegt met de snelheid AC, zal dit betekenen dat het in een zeker tijdsinterval met een gelijkmatige beweging van A naar C is gekomen, niet van C naar A. Evenzo wanneer gezegd wordt dat het daarna gaat met de snelheid CD, wordt bedoeld dat het in een ander tijdsdeel, gelijk aan het vorige, uit C in D is gekomen. Opdat immers de verhouding van lijn AC tot CD de verhouding van de snelheden kan aanduiden, moeten de lengtes AC en CD in gelijke tijden zijn doorlopen. [Tiende Deel] 8) [1654] Algemeen 9)   Als een groter lichaam tegen een kleiner in rust aanstoot gaan de lichamen met dezelfde snelheid uit elkaar, als waarmee het grootste bewoog. 10)   Laat lichaam A met snelheid AB gaan naar lichaam B dat in rust is en kleiner is dan A. Ik zeg dat de lichamen na de stoot van elkaar zullen weggaan met dezelfde snelheid AB. Dat wil zeggen, als A in één tijdsdeel over de lengte AB is gegaan, dat na een ander gelijk tijdsdeel de lichamen weer door een tussenruimte gelijk aan AB gescheiden zijn.   8)  Dit Deel is ontleend aan blz H.29-32 [HUG 26A, 33r-34v] en, tegen het eind aan H.20 [HUG 26A, 19v], ondersteboven; zie p. 131, n.11.   9)  Dit woord werd door Huygens op een onbekend tijdstip boven aan de pagina geschreven.   10)  Uit deze minder algemene propositie volgt (zie p. 127) Prop. IV (p. 43) van de verhandeling.

[ 126 ]

Opdat dit duidelijk wordt is in de eerste plaats te weten dat lichaam B inderdaad door het grotere A wordt voortgedreven 1); en dat voor A zelf één van de drie moet gebeuren: dat het na de stoot of geheel in rust is, of teruggaat, of tenslotte dat het blijft vooruitgaan. Waarvan dit laatste altijd waar is, zoals in het volgende zal worden aangetoond 2), maar voor het ogenblik zullen we het voorgestelde als waar bewijzen, welk van de drie ook gesteld wordt.   Ten eerste stellen we dan dat het lichaam A na het aanstoten van B toch in dezelfde richting blijft bewegen. En omdat het beweging heeft gegeven aan lichaam B, heeft het iets van zijn snelheid opgegeven 1). Dus wanneer het in de eerste tijd de lengte AB heeft afgelegd, wordt het verondersteld in de tweede tijd lengte BC, kleiner dan AB, te hebben afgelegd. Ik zeg dat lichaam B in dezelfde tweede tijd de lengte BD heeft doorlopen, zodat de afstand CD gelijk is aan AB. Laat namelijk AC doormidden worden gedeeld in E, en laat de punten H, K en L liggen tegenover de punten A, E en C op een lijn evenwijdig met AB. Als iemand dan voorbijgaat met snelheid HK, terwijl lichaam A met snelheid AB gaat, zal in de eerste tijd het lichaam A de lengte EB meer afleggen dan hij, en in de volgende, precies op het tijdstip dat hij in L is aangekomen, zal lichaam A weer tegenover hem zijn, het komt immers in C aan. Dus ten opzichte van degene die zo voorbijgaat heeft lichaam A dezelfde snelheid voor en na de stoot. En daarom mag ook lichaam B niets van zijn beweging of snelheid hebben verloren 3). En ten opzichte van de genoemde toeschouwer die ging met snelheid HK, had lichaam B in de eerste tijd toen het in rust was diezelfde snelheid HK. Dus is het noodzakelijk dat het ook zoveel heeft behouden in de tweede tijd. Dus het heeft alle snelheid behouden of in dezelfde, of in de tegengestelde richting, namelijk ten opzichte van de toeschouwer. Maar niet in dezelfde richting, omdat het dan steeds in B in rust had moeten blijven, en dat dit niet gebeurt, is al aan het begin gezegd 4). Dus in tegengestelde richting. Daar het dus in de eerste tijd de toeschouwer naderde met snelheid HK, moet het in de volgende tijd met gelijke snelheid van hem weggaan. En daarom, aangezien lichaam B aan het begin van de eerste tijd vóór was op de zich in H bevindende toeschouwer, met de lengte AB, moet het in de tweede tijd precies als hij zich in L bevindt, hem voor zijn met de gelijke lengte CD. Dus staat het voorgestelde vast.   1)  Zie Hypothese IV (p. 39) van de verhandeling.   2)  Vgl de voorlaatste alinea van p. 129. De propositie staat niet zo in de verhandeling. Zie overigens de 1e formule van p. 67, n.1 voor het geval vB = 0.   3)  Zie Hypothese V, (p. 41).   4)  Huygens onderstreepte de hier gecursiveerde zin en noteerde in de marge, blijkbaar als verbetering: "wat absurd is daar het zo door lichaam A heen had moeten gaan".

[ 127 ]

Laat nu gezegd worden dat lichaam A, na B te hebben aangestoten die in rust was, teruggaat, met de snelheid BC, die wel kleiner zal zijn dan de snelheid AB waarmee het aankwam 1), omdat het wat aan lichaam B heeft overgedragen.   Daar dus precies op het tweede tijdstip lichaam A in C is aangekomen, zeg ik dat lichaam B in D zal zijn, zodat de afstand CD gelijk is aan AB. En het bewijs is hetzelfde als in het voorgaande geval.   Tenslotte stellen we ons voor dat lichaam A na B te hebben aangestoten in rust is. Ik zeg dat het noodzakelijk is dat lichaam B loopt met de snelheid BD gelijk aan AB. Ook hier is de redenering van het bewijs niet anders, terwijl de punten B en C samenvallen.   Steeds wanneer twee lichamen tegen elkaar botsen, is hun snelheid bij het uiteengaan, ten opzichte van elkaar, dezelfde als bij het naar elkaar toegaan. 5)   Dat dit gebeurt bij gelijke lichamen is al eerder bewezen 6). Maar ook bij ongelijke in het geval dat het kleinste in rust is. Zodat er nog vier gevallen over zijn 7). Want óf het grootste van de twee is in rust, of ze gaan vanuit tegengestelde richtingen naar elkaar, of het kleinste volgt met een grotere snelheid het grootste, of andersom. Deze zullen we allemaal tegelijk voorstellen en bewijzen. Laat dus lichaam A kleiner zijn dan B. En A gaat met snelheid AC, en B is geheel in rust, of heeft snelheid BC. Daar de lichamen dan voor de wederzijdse ontmoeting de snelheid AB hadden zeg ik dat ze ook na de ontmoeting ten opzichte van elkaar die gelijke snelheid AB zullen hebben. Dat wil zeggen, als er één tijdsdeel is verlopen voordat

[ 128 ]

de lichamen A en B bijeenkwamen in C, zeg ik dat ze precies na het volgende gelijke tijdsdeel weer gescheiden zullen zijn door een tussenruimte die gelijk is aan AB. Als immers iemand voorbijgaat met snelheid DE gelijk aan die AC waarmee lichaam A gaat, is A ten opzichte van hem in rust, en alleen B beweegt met snelheid BA. Nu is A kleiner dan B. Dus volgens het voorgaande 1) zullen de lichamen na de ontmoeting ten opzichte van dezelfde voorbijgaande persoon met dezelfde snelheid AB van elkaar weggaan, zodat ze na afloop van een gelijke tijd na de stoot, wanneer hij een lengte EH heeft afgelegd gelijk aan DE, weer van elkaar af zijn met een tussenruimte gelijk aan AB. En dit kan niet gebeuren als ze niet werkelijk en ten opzichte van ieder ander met die lengte van elkaar af zijn. Dus het gebeurt zoals het is voorgesteld. Theorema.   Elk lichaam in rust wordt in beweging gebracht door een willekeurig klein lichaam en met een willekeurige snelheid aangestoten.   Laat een lichaam A in rust zijn, en laat een lichaam B dat kleiner is dan A dit met een willekeurige snelheid ontmoeten. Ik zeg dat dit daardoor in beweging wordt gebracht.   AK wordt gelijk genomen aan AB en de punten C, D en E liggen tegenover de punten B, A en K op een lijn evenwijdig met BA. Als dus iemand voorbijgaat met die snelheid waarmee lichaam B gaat, zodat deze in de tijd waarin B de lengte BA aflegt, een gelijke lengte CD doorloopt,   1)  Zie p. 125, begin van dit Tiende Deel.   2)  Zie Prop. III (p. 39) van de verhandeling.

[ 129 ]

is lichaam B ten opzichte van hem in rust, en wordt deze hele snelheid toegekend 3) aan lichaam A. En daarom moet na de stoot, ten opzichte van dezelfde toeschouwer die in een tweede tijdsdeel gelijk aan het vorige de lengte DE aflegt, lichaam B bewegen, en A moet iets van zijn snelheid hebben verloren, of de hele snelheid. 4) En geen van beide kan anders gebeuren dan wanneer het een zekere lengte doorloopt vanaf A in de richting van K, neem aan de lengte AH. Want als het in A in rust zou blijven, dan zou het ten opzichte van de genoemde toeschouwer niets van zijn snelheid hebben verloren, wat niet zo kan zijn. Dus heeft lichaam A beweging ontvangen door de ontmoeting met het kleinere lichaam B. Overigens, dat de lengte AH kleiner moet zijn dan AB of AK is duidelijk, omdat A een kleinere snelheid van lichaam B heeft gekregen dan B zelf had.   Dat de regels van Descartes behalve de eerste alle fout zijn is hieruit en uit de voorgaande voorstellen 5) duidelijk. Want zeker hierbij stelde hij duidelijk het tegenovergestelde, namelijk dat een groter lichaam in rust door geen slag van een ook maar iets kleiner lichaam in beweging kan worden gebracht 6).   Een axioma moet zijn, dat een kleiner lichaam bij de ontmoeting van een groter in rust hieraan een kleinere snelheid zal geven dan het zelf heeft 7), want dat het er iets van overdraagt zal worden bewezen op grond wat hier eerder gesteld is 8).   Een lichaam in rust, door afzonderlijke lichamen van verschillende grootte apart aangestoten, krijgt een grotere snelheid van een groter dan van een kleiner lichaam als ze het ontmoeten met dezelfde snelheid 9).   Daaruit dat een groter lichaam dat een kleiner in rust ontmoet zijn beweging voortzet in dezelfde richting 10).   Dan het theorema op het begin van het het blad 11): Als een groter, enz. 12)   3)  Boven "attribuitur": "cedit", valt ten deel.   4)  Zie Hypothese IV (p. 39).   5)  We weten niet welke proposities Huygens hier op het oog heeft.   6)  Zie p. 38/39, n.1. Deze alinea werd geschrapt; in de marge: "non delendum", niet weg.   7)  Dit Axioma staat niet bij de Hypothesen van de verhandeling.   8)  Zie b.v. het bewijs van het Theorema van p. 128.   9)  Niet in de verhandeling. De alinea werd geschrapt, maar in de marge: "hoc retinend.", dit behouden.   10)  Om dit af te leiden moet in het 'axioma' een gemeenschappelijke beweging worden opgeteld.   11)  Lees: "philyrae" [i.p.v. "phylirae"], lindebast.   12)  Zie het begin van dit tiende deel, p. 125; dit deel is geheel geschreven op 1 blad ("philyra") van 4 bladzijden, behalve de laatste vier alinea's [p. 131 vanaf "Contra vero"].

[ 130 ]

Dan het volgende 1). Dan dat een kleiner van een groter terugspringt 2), als het niet anders kan.   Dat een groter lichaam aan een kleiner in rust een snelheid geeft kleiner dan het dubbele van de zijne 3).   Tot zover is bewezen dat niet alleen een kleiner door een groter lichaam in beweging kan worden gebracht, maar ook een groter door een kleiner 4). Eveneens is alles uitgelegd wat gaat over de stoot van gelijke lichamen 5). Als nu van ongelijke lichamen de grootte en snelheid gegeven is: opdat bepaald kan worden in hoeverre deze verandert door een wederzijdse stoot, en ook overgaat van het ene op het andere, moet behalve wat we in het voorgaande hebben toegepast nog iets anders worden gevonden over de aard van beweging, dat als principe is aan te houden. Gewoonlijk leek me hierbij het enige en minst twijfelachtige 6) te zijn datgene wat door Descartes allereerst is beschouwd, namelijk dat in de lichamen samen dezelfde hoeveelheid beweging behouden wordt na de stoot, als er eerst was. 7). Met de hoeveelheid zo berekend dat een gelijke snelheid een grotere hoeveelheid beweging tot stand zou brengen in een groter lichaam dan in een kleiner, en dit naar verhouding van de massa 8). Zoals wanneer lichaam A tweemaal lichaam B zou zijn, en dit, terwijl het in rust was, zou ontmoeten met drie snelheidsdelen, dan zei hij dat elk van beide daarna met twee snelheidsdelen naar dezelfde kant zou bewegen; en dat er op die manier niets zou afgaan van de hoeveelheid beweging, aangezien ook voor lichaam A twee snelheidsdelen over zouden zijn, en evenveel door lichaam B verkregen, die hier echter niet een grotere hoeveelheid beweging zouden teweegbrengen, dan één snelheidsdeel in het tweemaal zo grote lichaam A, [Ik vond dit zeker niet waarschijnlijk, dat de lichamen na de stoot met elkaar verenigd blijven, zoals hier noodzakelijk gebeurt, aangezien ze met gelijke snelheid de beweging voortzetten naar dezelfde kant. Toch zag ik dat met handhaving van dit axioma juistere dingen opgediept konden worden, die geen afbreuk zouden doen aan onze wetten. Zoals in het voorgestelde geval wanneer gezegd wordt dat lichaam B vier snelheidsdelen opneemt, en A een enkel deel behoudt waarmee het lichaam B volgt, dat voorop gaat.   1)  Zie p. 127, 4e alinea.     2)  Niet expliciet in de verhandeling.   3)  Vgl. Prop. VII (p. 51).   4)  Zie p. 128, Theorema.   5)  Zie p. 123-124.   6)  Boven "unicum hic videri minimeque dubium", dat hij onderstreepte, schreef Huygens: "apprime rationi consentaneum", heel goed overeenstemmend met de rede.   7)  Zie p. 49, n.2.       8)  In de marge: "Ook al kon ik noch deze noch zijn overige regels bewijzen, daar ze immers door het voorgaande van ons weerlegd werden, zo meende ik".

[ 131 ]

Zo immers gaan ze ook met drie snelheidsdelen van elkaar weg zoals ze naar elkaar toegingen, volgens Theorema ... 1), en daar de beweging met de hele hoeveelheid volledig behouden wordt is het genoemde axioma niet geschonden. En dat inderdaad in dit geval de definitie juist is zullen we later aantonen 9)] 10). En toch kan het genoemde axioma daardoor niet met des te meer reden worden toegelaten. Om dit duidelijk te maken: laten we stellen dat lichaam A in rust is, en zoals tevoren tweemaal zo groot als B, dat er tegenaan loopt. B zal dan A in beweging brengen en er ook enige snelheid in drukken 4). Laat dit deel zo klein zijn als je maar wilt, b.v. een tiende van de snelheid van B zelf, zodat als dit tien snelheidsdelen heeft, A er één aanneemt. Opdat de lichamen dan met dezelfde snelheid uit elkaar gaan als ze naar elkaar toegingen, is het noodzakelijk dat lichaam B wordt teruggedreven met negen snelheidsdelen; en één snelheidsdeel in het tweemaal zo grote lichaam A verschaft evenveel hoeveelheid beweging als twee delen in lichaam B. Dus na de stoot bestaat nu een hoeveelheid beweging zoveel als elf snelheidsdelen in lichaam B verschaffen, terwijl er eerder maar tien waren. Hier is dus de hoeveelheid beweging toegenomen, in strijd met het principe van Descartes, en dit moet noodzakelijkerwijze steeds gebeuren wanneer een groter lichaam in rust door een kleiner wordt aangestoten 11).   En ik zou kunnen aantonen dat daarentegen de hoeveelheid beweging in andere gevallen afneemt 12), maar dit zou overbodig zijn aangezien de zwakte en onmogelijkheid van zijn Principe voldoende duidelijk is, alleen al uit hetgene dat hier nu gezegd is. Maar toch kan dit verbazend lijken dat de hoeveelheid beweging met die berekening wordt vergroot en dan weer verkleind, en het heeft mij althans lange tijd in onzekerheid gehouden, zodat ik niets zekers vond om vast te stellen.   Eindelijk echter                          13) en wel dat dit principe niet geheel verworpen, maar met een geschikte interpretatie verbeterd moet worden. De natuur wil namelijk dezelfde hoeveelheid beweging bewaren, maar ook in dezelfde richting, en dit is als volgt te begrijpen 14).   Laat er lichamen zijn. Laat dit gebeuren in overeenstemming met de natuur, die een uiteenlopende bepaling van afzonderlijke lichamen wel heeft moeten toestaan om niet te vergaan 15). Maar bij de bepaling van een hoeveelheid beweging, dat wil zeggen van een die in de som van lichamen zou zitten terwijl er niets belemmerends is, past veranderen volstrekt niet 16); elk lichaam blijft immers zoals het is totdat enz., zoals Descartes juist heeft uiteengezet 17), en met deze bepaling van samengenomen lichamen is   9)  Vergelijk Prop. IX (p. 65-69) met de uitleg ervan en vooral p. 67, n.1.   10)  De zinnen tussen haken werden geschrapt; toch zijn ze nuttig vooor het begrip.   11)  Zie Prop. VI (p. 49-51. Dit is het eind van H.32 en het begin van H.20 ondersteboven; zie p. 125, n.8.   12)  Zie Prop. VI (p. 49).       13)  Huygens liet ruimte voor 6 of 7 woorden.   14)  Vgl. de 2e alinea van p. 102.   15)  Merkwaardig, maar niet anders te lezen.   16)  Behoud van hoeveelheid beweging; zie p. 49, n.2.   17)  Zie p. 105, n.19.

[ 132 ]

niets in strijd, vooral nadat bewezen is dat een groter lichaam evenzeer door een kleiner in beweging wordt gebracht als het laatste door het eerste 1).   Vermeld moet nog worden dat, volgens wat we gezegd hebben, het zwaartepunt van samengenomen lichamen altijd met een gelijkmatige beweging naar dezelfde kant blijft doorgaan, en dat het dit door geen enkele stoot van de lichamen opgeeft 2).   1)  Wat in strijd is met de 4e regel van Descartes, vergelijk p. 38/39, n.1.   2)  Vergelijk p. 116, noot 3.

[Elfde Deel] ³)

[1654]

		c + d − x c + d − x		a groter lichaam. 4) b kleiner. 5) AC = c duidt de snelheid van A aan. CB = d de snelheid van B. Laat CE = x zijn de door B verkregen snelheid nna de ontmoeting in C. CF de snelheid in lichaam A 6)
		cc + 2cd + dd − 2 cx − 2dx + xx   a
acc + bdd  =	acc + 2cda + add − 2acx − 2adx + axx + bxx  7)

2acx + 2adx − add + bdd − 2acd	=  xx
a + b

3)  Dit deel is ontleend aan H.33-34 [HUG 26A, 26r-v]; zie p. 92, n.1.   4)  De berekeningen bij deze figuur bevatten de oplossing van het meest algemene probleem van de centrale botsing van harde lichamen met twee Principes: behoud van 'levende kracht' [kinetische energie], en gelijkheid van de snelheid van verwijderen en naderen. Zie de laatste zin op p. 95. Wel volgt uit deze principes naast de ware oplossing (die van p. 67, n.1) ook een foute: v'A = − vA, v'B = − vB .   5)  a en b duiden de massa's aan van A en B.   6)  Volgens het 2e principe van noot 4.   7)  Toepassing van het 1e principe van n.4.

[ 133 ]

2ac − bd + ad	=  x    8)
a + b

Een gegeven een lichaam in rust door een ander gegeven lichaam in beweging te brengen zodat het een snelheid verkrijgt gelijk aan een gegeven snelheid. 10)   Gegeven een lichaam a in rust en een ander b, en een snelheid c.   Zoals tweemaal lichaam b tot b en a samen, zo moet c zijn tot d, dan zal d de gevraagde snelheid zijn in lichaam b waarmee het, als het tegen lichaam a is gestoten, hieraan de snelheid c zal geven 11).

b + a  [tot]  b  [als]  2x  [tot]	2bx	=  c    12)
	a + b

Verbazend is dat een groot lichaam in rust sneller in beweging wordt gebracht door een klein lichaam met tussengeplaatste lichamen die naar verhouding zijn, dan wanneer het onmiddellijk door het kleine zou zijn aangestoten 13).   8)  Onduidelijke berekeningen tonen dat Huygens inderdaad deze oplossing van de kwadratische vergelijking heeft gevonden. Te vinden is de vermenigvuldiging van  − add + bdd − 2acd  met  a + b  en de vergelijking:  √{(aacc + bbdd − 2abcd) / (aa + 2ab + bb)}  =  (ac − bd) / (a + b). De foute oplossing, genoemd in noot 4, valt weg door de keuze van het teken van de wortel. Deze zou hebben gegeven: CE = x = d, en dus CF = c.   9)  Huygens past hier het gewijzigde principe van Descartes toe (zie p. 102, n.2) en komt tot hetzelfde resultaat als met het principe van behoud van 'levende kracht', dat hem blijkbaar zekerder leek.   10)  Dit is ongetwijfeld een van de problemen die Huygens wilde toevoegen; zie p. 117, n.12.   11)  Resultaat verkregen met de berekening die volgt. [Eerste formules hierboven, Derde deel.]   12)  De gezochte snelheid is x. Vergelijk de voorlaatste alinea van p. 69.   13)  Zie Prop. XII (p. 81) en XIII (p. 87)

[ 134 ]

Bezien moet worden tot hoe ver dit uitgebreid kan worden, want als er meer tussen worden genomen, geeft dit meer beweging aan het lichaam dan wanneer er minder worden genomen; en toch zal het aan het grotere lichaam nooit zoveel beweging geven als het zelf heeft 1).   2) aaa + bbb  =  bxx + a3 + 2aab + bba − 2aax + axx − 2abx

2abx + 2aax + b3 − 2aab − bba	=  xx
a + b

2ax + bb − 2ab  =  xx   3) bb − 2ab  =  xx − 2ax   bb − 2ab + aa  =  xx − 2ax + aa  b − a  =  x − a      b  =  x  bon  4)   1)  De opmerking is juist voor de snelheid, niet voor de hoeveelheid beweging. Bij elke botsing is de door het grotere lichaam verkregen snelheid kleiner, maar de hoeveelheid beweging groter, dan die van het kleinere lichaam; dit volgt uit de 1e formule van p. 70/71, n.2.   In het limietgeval (van steeds meer lichamen ertussen) zijn de snelheden van het grootste lichaam na de laatste botsing en van het kleinste voor de eerste botsing omgekeerd evenredig, en de hoeveelheden beweging evenredig, met de vierkantswortels van hun massa's; vergelijk p. 89, n.1.   2)  De berekening bij deze figuur gaat over het probleem: Als twee harde lichamen met massa a, b, elkaar in C ontmoeten met snelheden aC en bC, evenredig met hun massa, welke snelheden zijn er dan na de botsing? Zie nog p. 133, n.10.   3)  Uitkomst van de deling door  a + b.   4)  Dit is het Franse woord "bon", goed. Het resultaat is echter niet juist. Het is de foute oplossing genoemd in noot 4 op p. 132. Om de echte oplossing te vinden had Huygens i.p.v. de voorlaatste vergelijking moeten schrijven:  a − b  =  x − a,  dan komt er  2a − b  voor de snelheid van lichaam a na de botsing in de richting ba.   Opmerking: de figuur doet denken aan het geval waarin de snelheden omgekeerd evenredig zijn met de massa's; zie Prop. VIII (p. 53). Misschien heeft dit te maken met de fout.

[ 135 ]

  ⁵)

---

5)  De berekeningen bij deze figuur bevatten de oplossing van het probleem: Als de massa's van 3 lichamen in continue verhouding zijn, en gegeven is de massa a van het 1e, en ook de snelheid c, wat moet dan de massa zijn van het 2e in rust, opdat de door het 3e (eveneens in rust) verkregen snelheden, resp. met of zondere tussenplaatsen van het 2e, de verhouding 3 : 2 hebben? Zie p. 133, n.10. [Latijn: "ad", tot; "ut", zoals.]   6)  Snelheid verkregen door het 3e lichaam zonder dat het 2e er is. Deze berekening en de volgende gaan met de verhouding  mA + mB : mA = 2vA : v'B.  Zie over deze verhouding p. 133, n.12.   7)  Snelheid verkregen door het tussengeplaatste lichaam.   8)  Snelheid van het 3e lichaam verkregen als het 2e is tussengeplaatst.   9)  In moderne notatie: ±.   [Ons gelijkteken is bij Huygens: .]   10)  Snelheid verkregen door het lichaam G, eerst in rust, als lichaam E, zonder dat F er is, ertegen botst met snelheidsgraad 1 ["dup. gr. ve." betekent: 2 snelheidsgraden]. Deze berekening en de volgende zijn gemaakt met de verhouding genoemd in noot 6.   11)  Snelheid verkregen door het tussengeplaatste F [interp.to].   12)  Snelheid van G.

[ 136 ]

met alle tussengeplaatste 2 4 8 &c. 4) zal het aan lichaam G geven  5).   Hieruit 6) lijkt het dat, als we met één tussengeplaatst lichaam de maximale beweging willen verschaffen aan een groot lichaam, het nodig zal zijn dat als middelevenredige te nemen tussen het kleinste en het grootste 7). Eén tussengeplaatst lichaam kan niet het dubbele geven van de onmiddelijke botsing hoe klein ook de verhouding is van het kleinste tot het grootste 8); meer tussengeplaatste echter niet alleen het dubbele maar het achtvoudige, en tienvoudige en onbegrensd veelvoudige van de onmiddellijke botsing 9). Twee tussengeplaatste kunnen niet het viervoudige geven van de onmiddellijke. 1 zal aan 1000 geven, met 100 tussengeplaatste, weinig meer dan het drievoudige van de onmiddellijke botsing 10).   1)  Snelheid verkregen door een tussengeplaatste massa 12.   2)  Snelheid van G.   3)  Snelheid verkregen door een tussengeplaatste gelijkmassa 6.   4)  Voeg toe 16 en 32.   5)  Vergelijk de formule van p. 89, n.1. Hier is ε = 64 [= mG : mE] en n = 5. De berekeningen staan niet in het Manuscript maar het resultaat is juist.   6)  Zie de voorgaande resultaten behalve het eerste.   7)  Vergelijk de tweede en laatste zin van Prop. XII (p. 81).   8)  De opmerking staat niet in de verhandeling. Dat ze juist is blijkt als we achtereenvolgens n = 0 en n = 1 stellen in de formule van p. 89, n.1, dan komt er voor de betreffende verhouding [van de snelheden van eerste en laatste na de botsing]: 2 (1 + ε) / (1 + √ε)²  =  2 (1 + ε) / (1 + ε + 2√ε)  <  2. Zie nog de vier laatste regels van p. 153 en vooral noot 8 op die pagina.   9)  Voor n lichamen ertussen is de verhouding:    of    en dit is alijd kleiner dan 2n maar kan er oneindig dichtbij komen voor heel grote of heel kleine ε [massa­verhouding van eerste en laatste]. De minimale waarde is 1, bij gelijke lichamen.   10)  We vinden voor deze verhouding:  De berekening van Huygens ontbreekt. [ Over de ongerijmdheid van de nadering naar een onbegrensd grote snelheidsverhouding (2100 is 1030) zie de toegevoegde noot bij het voorbeeld (beweging eerst bij het grootste) op p. 91.]