No 133. Christiaan Huygens aan A. Tacquet. 4 november 1652.  (Concept.) a) A. Tacquet.     De heer Seghers stuurde mij drie exemplaren van uw Stellingen [<] zeer geachte heer, die werkelijk geleerd zijn en in overeenstemming met de pracht waarmee ze zijn gedrukt; die ik terstond heb uitgedeeld zoals bevolen was. En ziehier het antwoord van onze van Schooten, dat zojuist hier is gebracht.

Doch ik wilde niet dat dit onbegeleid van hier naar u werd verzonden, maar ik heb gemeend dat het nodig was tegelijk zowel de voor uw geschenk verschuldige dank te betuigen, als me te verontschuldigen voor de dunheid van mijn boekje [<], dat u enige tijd geleden via dezelfde tussenpersoon heeft bereikt, en dat het niet verdiende na zoveel tijd nog in uw herinnering te zijn. Ik heb weliswaar vernomen uit de brief die u toen aan pater Seghers had geschreven 1), dat u er geen spijt van had gehad de tijd te besteden om mijn bladzijden door te nemen; doch hoe uw oordeel daarover was heb ik niet geheel vernomen, behalve dat u verklaarde enige goede hoop te hebben over de schrijver, en ik hoop daaraan te zijner tijd te voldoen.

Niet velen lijken mij het laatste deel van het boekje te beoordelen, en als u één van hen bent, geachte heer, zal ik gaarne horen wat uw mening is. Over van Gutschoven had ik van iemand anders begrepen, dat hij mijn Exetasis [onderzoek] van de Kwadratuur van Gregorius heeft goedgekeurd. En met dat doel heb ik de hierbij ingesloten brief 2) aan hem gestuurd, opdat hij mij zelf bevestigt wat ik van anderen te weten ben gekomen.

Enkele maanden zijn voorbijgegaan sinds ik bij pater Gregorius op bezoek was, en we hebben inderdaad veel besproken. Daarbij was de goede man over het meeste onzeker, en ondertussen gaf hij als reden op dat het gehele werk niet door hem maar door leerlingen was samengesteld, eenmaal scheen hij althans in de eerste kwadratuur een fout te bekennen maar zo dat hij hoop had bij de overige. Doch voorzover uit zijn woorden was op te maken, zal de verwachting van een antwoord laat vervuld worden; en als het tenslotte verschijnt, van welk gewicht het zal zijn kan, naar ik meen, iedereen voorspellen die mijn argumenten afweegt. Het ga u goed.     4 Nov. 1652.     a)  Met een brief van van Schooten (Christiaan Huygens).     1)  Zie brief No. 120.             2)  Brief No. 135.     [ H. Bosmans, 'Le jésuite mathématicien Anversois André Tacquet (1612-1660)', in De Gulden Passer, 3 (1925) 63-87.]

[ 190 ]

No 134. Christiaan Huygens aan A. Tacquet. Aanhangsel bij No. 133.  (Concept.)     Eén ding is er in uw Stellingen, zeer geachte heer, waarover ik van Schooten heb ondervraagd hoe dat zou zijn, namelijk dat u beweert dat uit iets onwaars rechtstreeks iets waars te voorschijn kan worden gehaald. Doch toen hij mij hierover uitvoerig terugschreef [<] stelde hij de Regula falsi als voorbeeld en ook de algebra zelf. Daarna de van elkaar verschillende hypotheses van de Astronomen en een of ander dialectisch Syllogisme waarmee uit onware voorafgaande beweringen een ware conclusie wordt getrokken.

Daar dit alles mij niet met het voorgestelde te maken leek te hebben — wat ik besloten heb hem ook voor te houden — verlang ik zeer dat u mij op dit punt zelf overtuigt, en dat u tegelijk met tenminste één ding uit de Meetkunde laat zien, dat plaats vindt wat u hebt gesteld. Ik ben zeker van een geheel andere mening, en ik heb nooit zo iets kunnen opmerken. Maar daar u zich langer met deze Wetenschap hebt bezig gehouden is het niet te verwonderen als u veel dingen aan het licht hebt gebracht, vooral met dat oordeel alles onderzoekend, zoals in uw geschriften overal scherp en zeer helder in het oog valt. Dus zult u, wat u gemakkelijk kunt, hier aan mijn wens voldoen, zeer geachte heer, en het ga u goed.

[ 194 ]

No 137. A. Tacquet aan Christiaan Huygens. 2 december 1652. Zeer geachte heer     Op uw zeer vriendelijke brief, die mij zeer welkom was, heb ik tot nu toe niet geantwoord, belemmerd door allerlei zaken. Nu er wat meer vrije tijd is ontstaan, doe ik het met groot genoegen. Voor het geringe en dunne geschenkje was er zeker geen reden waarom u dank zou betuigen, aangezien het om zo te zeggen rechtens toekwam aan degenen die van deze dingen houden en er ervaren in zijn.

Wat de kwadratuur betreft, al vanaf die tijd toen het voor het eerst verscheen, heb ik verscheidene moeilijkheden over de proposities 5, 6, 7, 8, 12 en 39 van de eerste kwadratuur, en ook over zijn overige kwadraturen, eerst persoonlijk en later schriftelijk aan de schrijver voorgelegd, en daar hij me nooit tevreden heeft gesteld heb ik geoordeeld dat hij de kwadratuur niet heeft gegeven. Niettemin heb ik de rest van het werk steeds bewonderd en buitengewoon opgehemeld, en de schrijver zelf steeds voor een der voornaamste Meetkundigen gehouden. En ik denk dat niemand die dit werk heeft gelezen het daarmee oneens zal zijn.

Verder heb ik uw 'Exetasis' al lang geleden zorgvuldig gelezen, en met veel bijval. Terecht dringt u er bij de schrijver op aan dat hij laat zien hoe vaak de eerste verhouding de tweede bevat, en de tweede de derde. Als hij deze immers niet levert, zal hij de derde die onbekend is nooit uitleggen en daarom de kwadratuur niet geven, die afhangt van het bekend zijn van die derde verhouding. Maar als die verhoudingen incommensurabel zijn, zal langs die weg niets bereikt worden. Dezelfde moeilijkheid viel me ook eens in, toen ik de kritiek had gelezen van Marin Mersenne 1) die hij heeft in zijn Wiskundige bespiegelingen, waar hij ditzelfde aanroert, maar zeer duister. En daarom meen ik dat het u niet onwelkom is als ik hier bijschrijf wat mij daarna van deze aard in gedachten kwam.     Bij getallen noem ik de priemverhouding die welke met geen getallenverhouding wordt gemeten*), of liever tussen     1)  Zie het werk dat is aangehaald in noot 5 van brief No. 85.  [Novarum observationum ... Tomus III (1647), p. 72: "quippe non solas rationes similes, sed etiam dissimiles inter se comparet" — hij vergelijkt immers niet alleen gelijksoortige verhoudingen maar ook ongelijksoortige. Vgl. 'Exetasis' in T. XI, 327, Ned.]

[ 195 ]

de termen waarvan geen middelevenredige getallen kunnen vallen, hetzij geheel, hetzij gebroken.     Incommensurabele verhoudingen, bij getallen, noem ik die, welke met geen getallenverhouding of rationale verhouding als gemeenschappelijke maat zijn te meten.     Absoluut incommensurabele verhoudingen zijn die, welke door geen verhouding, hetzij rationaal hetzij irrationaal, als gemeenschappelijke maat zijn te meten. Hulpstelling.     Een priemgetal kan in geen enkele vanaf de eenheid doorlopende reeks van evenredigen een andere plaats hebben dan het dichtst bij de eenheid.     Laat a) het namelijk een andere hebben, als het mogelijk is, in de reeks 1, a, b, c, d, e, zo dat d het priemgetal is, dan zal dus volgens 11, 9 2) elk van de voorgaande a, b, c het priemgetal d meten, wat absurd is tegen de hypothese. Theorema.     Bij getallen is een priemverhouding die, waarin tenminste één van beide termen die onderling priem zijn een priemgetal is.     Want tussen twee getallen x en z die onderling priem zijn, waarvan tenminste één, stel x, priemgetal is, zijn geen gebroken of gehele middelevenredigen te vinden; wat ik als volgt aantoon.   b) 3 10 x a b c z d g e h f k 1 c) 3 10 a c e x - - - z b d f d) o l m n s - - - - - p p p p p       Laat b) namelijk, als het mogelijk is, tussen x en z eerst de middelevenredige gehele getallen a, b, c vallen. Omdat dus x en z onderling priem zijn geldt: zoveel middel­evenredigen als er tussen deze vallen, evenzoveel zullen er ook tussen elk van deze en de eenheid vallen, de middelevenredigen d, e, f en g, h, k, volgens 9, 8. Dus in de reeks van evenredigen 1, f, e, d, x neemt het priemgetal x een andere plaats in dan het dichtst bij de eenheid, wat in strijd is met de hulpstelling.     Laat c) vervolgens tussen x en z gebroken middelevenredigen vallen, als het mogelijk is, a/b, c/d, e/f; en laat alle getallen, zowel x en z als de breuken d), onder eenzelfde noemer worden gebracht o/p, l/p, m/p, n/p, s/p, dan zullen dus ook deze continu evenredig zijn. Aangezien ze echter alle dezelfde noemer p hebben, zullen de noemers o, l, m, n, s continu evenredig zijn met de breuken, en zo zullen ook o, l, m, n, s zelf continu evenredig zijn. Dus tussen de uitersten o en s vallen de middelevenredige gehele getallen l, m, n. Omdat nu door constructie x en z gelijk zijn aan o/p en s/p, zal x tot z staan als o/p tot s/p, dat is als o tot s. Dus daar tussen o en s de middelevenredigen l, m, n vallen, zullen ook tussen x en z evenzoveel middelevenredigen vallen volgens 8, 8. Wat in strijd is met het eerste deel. Het voorgestelde is dus duidelijk. Theorema 2.     Gegeven getallenverhoudingen zijn incommensurabel.   e) 3 10 x z v y 5 21       Want als volgens het voorgaande theorema twee priem­verhoudingen e) worden geleverd, x tot z, en v tot y, is er geen getallenverhouding die één van deze meet. Dus is er ook geen getallenverhouding die     [ *)  Vgl. Definitiones in A. Tacquet, Arithmeticae theoria et praxis, 1656/65/82/83.  Def. 2 zegt: Een getal meet een getal als het kleinste enkele malen genomen gelijk is aan het grootste.]     a)  In de marge: 1, a, b, c, d, e (Tacquet) [de volgende kanttekeningen zijn ook van hem].     2)  Prop. 11 van boek 9 van de Elementen van Euclides. Tacquet haalt hem vaak op deze manier aan.

[ 196 ]

beide als gemeenschappelijke maat meet. Dus zullen ze volgens de definitie incommensurabel zijn.     Dus uit het bewezene concluderen we, dat de verhoudingen die zijn aangevoerd door u, zeergeachte heer, getalsmatig incommensurabel zijn, namelijk de verhoudingen 203 tot 53 en 11 tot 5. Want 203 en 53 zijn getallen die onderling priem zijn, en de ene daarvan 203, ja zelfs ook de andere 53, zijn absoluut priemgetallen; evenzo zijn 11 en 5 absoluut priemgetallen, en dus ook onderling priem. Die beide verhoudingen zijn dus priemverhoudingen, dat wil zeggen dat ze geen getallenverhouding hebben die hen meet, volgens theorema 1. Dus volgens theorema 2 zijn ze incommensurabel, dat wil zeggen dat er geen getallenverhouding is die ze beide tegelijk meet. Dus zal Gregorius nooit zeggen, als hij tenminste bij getallen blijft, hoe vaak de eerste verhouding de tweede bevat.     Maar als hij de getallen opgeeft en zich richt op grootheden, zal het betoog langs een andere weg moeten worden opgesteld. In de eerste plaats kan er geen verhouding van grootheden, ook niet van commensurabele, worden gevonden die een priemverhouding is, of die door geen verhouding wordt gemeten, daar tussen willekeurige grootheden een middelevenredige kan worden aangetroffen, ja zelfs hoeveel middelevenredigen ook; en derhalve kan een willekeurige verhouding van grootheden worden verdeeld in een aantal gelijke, hoeveel ook, en zo meet ze hiervan een willekeurige verhouding die als eerste gesteld wordt. En daarom, daar er geen priemverhoudingen van grootheden worden gegeven, zal kunnen worden betwijfeld of er verhoudingen van grootheden zijn te vinden die onderling incommensurabel zijn.     Er moet dus zijn een Theorema.     Laat bij grootheden gegeven worden verhoudingen die onderling absoluut incommensurabel zijn.     Gegeven de hyperbool CFK, met de asymptoten BA en AL. Tussen de hyperbool en asymptoot LA worden rechte lijnen DE, FG en HI gezet, evenwijdig aan de andere asymptoot AB. Als de vlakken DFGE en HFGI commensurabel zijn, zal gelden: het aantal malen dat vlak DFGE is van vlak HFGI, zoveel malen is de verhouding DE tot FG van de verhouding FG tot HI. Maar als die vlakken incommensurabel zijn, zullen ook de verhoudingen DE tot FG en FG tot HI onderling absoluut incommensurabel zijn. Het eerste wordt bewezen door Gregorius in boek 6 propositie 125. Het andere in propositie 129. En deze gehele bespiegeling over asymptotische oppervlakken is het zeker volkomen waard dat de Meetkundigen haar bewonderen en lezen.     Dus als van deze drie verhoudingen, die Gregorius voorstelt in de proposities 12 en 39, absoluut incommensurabel zijn òf alleen de eerste en de tweede, òf alleen de tweede en de derde, zullen de proposities 12 en 39 onwaar zijn; maar indien, terwijl de eerste en tweede incommensurabel blijken, ook de tweede en derde incommensurabel zijn, zal hij niet kunnen aangeven hoeveel maal de tweede verhouding de derde onbekende bevat, en daarom zal dit langs deze weg nooit bekend worden. Gregorius zal dus, om deze derde onbekende verhouding bekend te maken, moeten bewijzen dat de door hem voorgestelde verhoudingen alle onderling commensurabel zijn, en de verhouding zelf die de gemeenschappelijke maat is, met rechte lijnen geven, en

[ 197 ]

bovendien aantonen hoeveel maal deze maat gaat in de eerste en tweede verhouding, dan wordt immers bekend hoeveel malen de eerste of welke dan ook, de tweede bevat.     Dit is, zeergeachte heer, wat over deze zaak bij mij opkwam. En ook al laten we dit alles buiten beschouwing, toch zal de eerste kwadratuur evenmin stand houden, daar ik duidelijk en zeker heb bevonden dat proposities 12 en 39 absoluut onwaar zijn. De kwadraturen 2, 3 en 4 zijn mijns inziens niet sterker dan de eerste. Overigens bevalt uw zeer geleerde Exetasis buitengewoon; en ik heb me erover verwonderd toen ik het las, dat u de gedachten van de man, die in dit gedeelte nogal ineengevlochten zijn, zo duidelijk hebt begrepen. Wat het eerste gedeelte van uw werkje betreft, er is zeker reden u te feliciteren, omdat u dingen daarin hebt gevonden, waarvan ik vind dat ze kunnen worden beschouwd als behorende onder de beroemde meetkundige vondsten.     Ik kom tot het andere gedeelte van uw brief, waarin u vraagt "Of ook op de een of andere manier uit iets onwaars rechtstreeks iets waars te voorschijn kan worden gehaald". Een beroemd voorbeeld van deze redeneerwijze verschaft Euclides in stelling 12 van boek 9 en Theodosius 3) in boek 1 van de Sphaerica, stelling 12. Cardanus 4) heeft ook in boek 5 over verhoudingen, stelling 201, een dergelijke bewijsvoering gebruikt. Ook wij hebben herhaaldelijk op die manier verscheidene dingen bewezen. Ik geef er één, waarop ik kwam toen ik een of ander theorema bij breking onderzocht. Hulpstelling.     Gegeven het vierkant IC, waarvan twee zijden worden verlengd tot B en G, zo dat AB en HG de helften van de zijden zijn; en BG wordt getrokken die de zijden van het vierkant snijdt in L en K. Dan wordt BG doormidden gedeeld in F, en BC wordt getrokken.     1o  De zijden AC en HC zullen doormidden gedeeld zijn in L en K.     2o  BK zal gelijk zijn aan de diameter van het vierkant.     3o  Het vierkant op BF tweemaal genomen zal gelijk zijn aan de vierkanten op BC en CH.     De eerste twee zijn duidelijk. De derde wordt als volgt aangetoond. Het vierkant op BG is gelijk aan de vierkanten op BI en IG. Dus de helften ervan, namelijk het vierkant op BF, tweemaal genomen, is gelijk aan het vierkant op BI. Maar vierkant BI is het vierkant op IA en AB en de rechthoek IAB tweemaal. Dus vierkant BF tweemaal, is gelijk aan de vierkanten IA en AB en IAB tweemaal. Maar tweemaal IAB is vierkant IA. Dus vierkant BF tweemaal is gelijk aan vierkant IA tweemaal met vierkant AB, dat is aan de vierkanten BC en CH.     3)  Chr. Clavius, Theodosii Tripolitae Sphaericorum Libri III, Rome 1586.  [In het Scholium erbij: "Hic vides mirabilem sane argumentandi modum" — hier ziet u een zeker verbazende bewijsmethode. Hij noemt Euclides 9-12 en Cardanus, de Proport. 5-201.]     4)  Hier. Cardanus, Opus Novum de proportionibus numerorum, motuum, ponderum, sonorum, ..., Basel [1570]. Uit een ander werk blijkt dat het in 1578 is verschenen. [ In het Scholium erbij: "velut si quis demonstraret quod Socrates est albus quia est niger, & non posset demonstrare aliter" — alsof iemand bewees dat Socrates wit is omdat hij zwart is, en het niet anders kon bewijzen.]

[ 198 ]

Theorema.     Met hetzelfde gesteld zeg ik dat de rechte BG groter is dan de rechten BC en CH. f)     Als u zegt dat de eerste niet groter is: laat met middelpunt B een cirkel gaan door C die BG snijdt in F 5). Aangezien gesteld wordt dat BG niet groter is dan BCH, en BE gelijk is aan BC, is duidelijk dat BE groter is dan de helft van die BG. Daar immers BC groter is dan de helft van BCH, zal ook BC, dat is BE, groter zijn dan de helft van die BG die niet groter is dan BCH. Aangenomen wordt dus dat BF de helft is van BG. Aangezien dan BG doormidden is gesneden in F en anders in E, zullen de vierkanten BE en EG volgens 9.2 gelijk zijn aan vierkant BF tweemaal (dat is volgens de hulpstelling aan de vierkanten BC en CH) en vierkant FE ook tweemaal. Dus de vierkanten BE en EG samen zijn groter dan de vierkanten BC en CH samen. En daarom: als de gelijke vierkanten BC en BE worden weggelaten, zal vierkant EG groter blijven dan vierkant CH. Dus de rechte EG is groter dan de rechte CH. Maar BE en BC zijn gelijk. Dus de hele BG is groter dan de twee BC en CH.     En zo hebben we uit de veronderstelling dat BG niet groter was dan de twee BC en CH rechtstreeks geconcludeerd dat BG groter is dan de twee BC en CH. En het zal niet moeilijk zijn, naar ik meen, de grond van dit soort van redeneerwijze, die bij de meesten verbazing wekt, hier in het voorbijgaan bekend te maken. Het is eigen aan een onware propositie, dat daaruit tegenstrijdige dingen kunnen worden afgeleid, die daarna in het midden worden gelaten of als virtueel beschouwd. Nu, al zijn die tegenstrijdige dingen meestal in beide gevallen verschillend van de propositie zelf, toch gebeurt het dikwijls dat het ene ervan de onware propositie zelf is, en het andere de ontkenning van de onware propositie. En wanneer dit er uitkomt, dan kan inderdaad uit dat onware zelf de ontkenning te voorschijn worden gebracht, dat wil zeggen het ware; want de ontkenning van het onware is het ware. En verder is dit althans met de aard van het onware geheel in overeenstemming, en het is niet verwonderlijker dat uit iets onwaars iets waars te voorschijn kan worden gebracht, dan dat het onware tegenstrijdige dingen bevat, waarvan het ene het onware zelf is en het andere de ontkenning van ditzelfde onware.     Met een dergelijke vorm van bewijs heb ik aangetoond dat het kleinste deel, dat van een driehoek wordt afgesneden door een daarin gegeven punt, niet een trapezium is, maar een driehoek. Ik heb me er namelijk eens op toegelegd een volledige oplossing te geven voor dat probleem, waarin wordt gevraagd een driehoek door een gegeven punt in een gegeven verhouding te snijden, omdat daarin, vooral wanneer het punt wordt gegeven binnen de driehoek, een niet geringe moeilijkheid zit, en noch door Stevin 6), noch door Giambattista Benedetti 7) of iemand anders, die ik heb mogen zien, was een passende oplossing gegeven.     f)  In de marge: Tijdens het schrijven is het bewijs veranderd, de twee eerste zijn overbodig.     5)  Lees: E.     6)  Simon Stevin, Problematum Geometricorum ... Libri V, Antv. (1583).  [Probl, III: met punt op zijde.  Zie ook: V. M. Segui and A. Flores, 'The rule of false position and geometric problems', Loci, July 2010.] [ Vgl. 'Meetdaet' (1605), p. 150 en p. 144 en Huygens OC XI, 27, nr. 8.]     7)  G. B. Benedetti (1530-1590), leerling van Tartaglia. Tacquet heeft het over zijn werk Resolutio omnium Euclidis Problematum ..., Ven. 1553.

[ 199 ]

Toen ik dat dus langs een andere weg probeerde heb ik inderdaad bereikt wat ik me had voorgesteld; maar tegelijk diende zich een niet onplezierige beschouwing aan over grootste en kleinste driehoeken die gesneden kunnen worden door een punt in de driehoek, en ook dat wat ik pas heb genoemd, als een soort hulpstelling bij de overige. Van het opschrijven van een bewijs hiervan zie ik echter af (hoewel ik het zonder moeite op deze manier zou kunnen geven, maar ook meer), omdat ik meen dat door wat ik hierboven heb geschreven aan uw twijfel is voldaan. Verder komt me nu, terwijl ik wil eindigen, in gedachten wat is gezegd in het voorwoord bij uw zeer mooie theorema over de hyperbool, door u inderdaad (zoals u schrijft) voor alle anderen het eerst doorzien, op de tweede pagina [^], en het spoort mij aan er nog iets aan toe te voegen dat u misschien niet onwelkom is; dat namelijk door mij is gevonden een of andere verhouding van de cirkel tot de hyperbool, en wel die, welke het misschien aannemelijk zal maken dat bij de hyperbool ook een dergelijke bepaling als die van Archimedes bij de parabool kan worden gevonden. U moet dan weten dat de verhouding van een cirkel tot een begrensde hyperbool samengesteld is uit drie verhoudingen: de verhouding van de cirkelomtrek tot 2/3 van de middellijn, de verhouding van een derde deel van het in de cirkel ingeschreven vierkant tot de grootste in de hyperbool ingeschreven driehoek, en de verhouding van dezelfde driehoek tot de hyperbool. Het bewijs ervan leid ik gemakkelijk af uit onze boeken over cilinders en ringen 8), u wellicht al bekend. Dus als niet tenminste de kwadratuur van de hyperbool gegeven is, zal de verhouding ervan tot de cirkel niet in rechte lijnen worden gegeven, en derhalve ook niet de kwadratuur van de cirkel. En daarom, ofschoon de kwadratuur van de cirkel niet lijkt te worden geïmpliceerd door de kwadratuur van de hyperbool, als de laatste niet onmogelijk is kan het lijken alsof ook de eerste het is. Dit vermoeden van mij wordt bevestigd door Bartholomaeus Soverus 9) aan het eind van het voorwoord bij boek 5 van 'De verhouding van kromme en rechte verder gebracht' 10); waar hij beweert dat door hem gevonden is de afmeting en de kwadratuur van de hyperbool, maar dat hij die afzonderlijk wil uitgeven, opdat de nieuwe vondst de aandacht van de lezers richt op grotere bewondering voor hem. Maar (geloof ik) wat hij had besloten kon hij door zijn voortijdige dood niet uitvoeren. Meer doe ik er niet bij opdat er eens een eind aan komt.     Neemt u dit aan met die gezindheid waarmee ik het geschreven heb, namelijk alleen gedreven door de wens u van dienst te zijn. Overigens bid ik ijverig dat (opdat ik woorden van een Goddelijk dichter gebruik) die Heer der wetenschappen*), aangezien hij heeft gewild dat u zo'n talent hebt voor elke subtiliteit, niet duldt dat u onbekend blijft met iets van die

[ 200 ]

dingen, waarin onze eeuwige zaligheid en behoudenis ligt. Het ga u goed, en als er enkele doorhalingen uit de haastige pen zijn gevallen, vergeef me. Tuus in Christo Servus                 Lovanij 2 Decemb. 1652. Andreas Tacquet e societate Jesu.      8)  Zie noot 5 van brief No. 102.  [Cylindricorum et annularium libri IV, Antw. 1651.]      9)  Bartolomeo Sovero (1577-1629) was hoogleraar wiskunde te Venetië.     10)  Curvi ac recti proportio, Patav. 1630 [p. 276].     [ *)  Lat. 'scientiarum Dominus': zie Bijbel, 1 Kon. 2, v. 3.]  [^]

[ 201 ]

No 139. Christiaan Huygens aan A. Tacquet. 10 1) december 1652.  (Concept.) Aan pater Tacquet.     Ik was al begonnen me ervan te overtuigen dat mijn brief u niet had bereikt, zeergeachte heer, maar door een of ander voorval verloren was gegaan, toen uw antwoord me daar opeens werd gebracht terwijl ik het niet verwachtte, en mij met een opvallende opgewektheid opmerkzaam maakte. U hebt wel zeer veel rente betaald over niet zoveel tijd, en ik ben me er niet van bewust dat u mij zoveel schuldig was, ook al ben ik in dergelijke zaken heel inhalig. Daar ik geloof dat ook u wat dit betreft evenzo gestemd bent als ik, was ik er niet bang voor dat u mijn uitvoerigheid afkeurt, als ik nogal breedsprakig antwoord op enige hoofdzaken van uw brief. Vooraf echter: ik ben u dankbaar dat u te kennen hebt gegeven een zo gunstige mening te hebben over mijn vondst omtrent de kwadratuur van de Hyperbool, daar ik toch oordeel dat het uit zuiver welwillendheid voortkomt dat de voortbrengselen van mijn eerste werkzaamheid u zo mooi lijken en ver boven verdienste in de hoogte gestoken worden. Verder heb ik met groot genoegen gezien dat mijn betoog tegen de pogingen tot Cirkelmeting van pater Gregorius door uw berekening wordt ondersteund; ik heb er in mijn Exetasis naar gestreefd hem op de best mogelijke wijze tot het absurde te leiden. U raakt inderdaad precies de oorsprong van de fout wanneer u de onjuistheid van proposities 39 en 12 bewijst; ik had ook ontdekt dat die gebrekkig zijn, maar ik meende dat hij in duistere zaken gemakkelijker en met meer zelfvertrouwen zou tegenspreken.*)     1)  In het concept lijkt er te staan '16', maar de Adversaria en het antwoord van Tacquet wijzen naar '10'.     [ *)  Zie 'Exetasis', T. XI, p. 318: "... bevreesd dat voor ons hieruit een ingewikkeld en uitvoerig betoog zou ontstaan ...".]

[ 202 ]

Maar ik meen dat het overbodig is hierover meer te bespreken, daar over het voornaamste van de zaak tussen ons overeenstemming bestaat. Daarom ga ik over naar uw these, die u leek te bevestigen met voorbeelden van u en van anderen. Terwijl ik eerder de ware betekenis ervan niet kende, begrijp ik nu inderdaad volkomen wat u stelt, en toch kan ik het niet met u eens zijn. En u zult zich naar ik vertrouw niet zonder genoegen laten welgevallen, zeergeachte heer, dat voor u een dispuut hernieuwd wordt dat u ongetwijfeld al lang geleden met veel lof ten einde hebt gebracht. Mij lijkt dan dat het bewijs dat u voorlegde niet rechtstreeks is, maar van de soort van bewijzen die tot het absurde leiden, doch omdat het een vermelding van het absurde mist blijft het daarin onvolmaakt. Ik zou namelijk zeggen dat na uw conclusie, die is "Dus de hele BG is groter dan de twee BC en CH" [<], dit moet worden toegevoegd: maar gesteld werd dat dezelfde BG niet groter is dan de twee BC en CH, Dus hij zal tegelijk groter en niet groter zijn, wat absurd is. En daarom zal hetgene waaruit dit volgt onwaar zijn; en derhalve is BG groter dan de twee BC en CH. Ik zie dat Euclides het zo heeft gedaan in propositie 12 van boek 9, door u aangehaald, evenzo Archimedes in de proposities 8, 9 en 10 van het boek over Conoïden en Sferoïden 2). Het boek van Cardano heb ik nooit opengeslagen, en het bewijs van Theodosius, boek 1 van de Sferica, propositie 12 heb ik slechts in een bewerking gezien, namelijk die welke Herigone 3) geeft 4). Doch misschien lijkt het u overbodig verder te gaan, nadat u hetgene dat     2)  Archimedis opera nonnulla ... Commandino, Ven. 1558 [2e ex.; zie p. 32].     3)  Pierre Herigone (1580-1644) woonde in Parijs in 1634 en 1644 en was meester in de wiskunde. Hij had een polemiek met J. B. Morin over het probleem van de lengtevinding     4)  Het bewijs staat in T. V, p. 235 van: Cursus mathematicus ... Cours mathematique, 1634 .. 1644.

[ 203 ]

waar is met een direct bewijs hebt bereikt, namelijk dat BG groter is dan de twee BC en CH. Maar er moet nog geheel onderzocht worden of het juist bewezen was dat dit zo is. Wat namelijk als iemand stelt, dat elke vlakke figuur door een rechthoek omvat, en die daarmee gelijke basis en hoogte heeft, tweederde 5) van deze rechthoek is, en dan daarmee bewijst dat een parabool vierderde 6) van de grootste ingeschreven driehoek is? Zowel dat bewijs als de conclusie zal wel waar zijn, maar toch zal het mij geen vertrouwen geven, als ik niet ergens anders de kwadratuur van de parabool heb geleerd. En de reden waarom ik niet wordt overtuigd door dit soort bewijsvoering, is alleen deze dat ik weet dat er iets in de premissen zit dat onwaar is. Inderdaad, in degene die u besloot aan te voeren blijkt althans niet iets gesteld te worden dat in beginsel onwaar is, maar toch is er twijfel, daar niet vaststaat of BG groter is of niet groter dan de twee BC en CH. Hoe kan het dan dat niet alles wat daaruit volgt even betwijfelbaar is? Dus meen ik het geheel zo te moeten aanhouden, dat in een direct bewijs alles waaruit de argumentatie wordt afgeleid zeker moet zijn; doch wanneer er geen zekere dingen zijn maar hetzij twijfelachtige hetzij apert onware, dan kan het wel zijn dat men tot een ware conclusie komt, maar of deze waar is of onwaar, is uit dat bewijs geenszins op te maken, voorzover het direct is. En als u de zaak goed onderzoekt, zult u zonder twijfel zien dat uw eigen bewijs u niet kan overtuigen (als u doet alsof u het niet weet), dat BG groter is dan de twee BC en CH; tenzij u althans in gedachten de clausule over het absurde toevoegt die ik even hiervoor formuleerde. Toch blijven bewijzen van deze soort echt verwonderlijk, en wel des te wonderlijker naarmate de argumentatie uitgaat van dat onware of twijfelachtige gestelde. Het bewijs van Euclides heeft tot aan het einde het onwaar gestelde ingevlochten. In het uwe echter is juist in het begin gemaakt dat het nuttig zou zijn voor het aantonen dat BG ongelijk verdeeld wordt in E, wanneer BE gelijk aan BC wordt genomen; want dit zou ook op een andere manier gemakkelijk kunnen worden aangetoond, en zo zou het bewijs direct geweest zijn. Archimedes gebruikt in de boven aangehaalde proposities zijn gestelde niet bij het bewijs, en daarom wekt het geen verbazing, en hij zou even goed met een willekeurig op de ellips genomen punt hebben kunnen aantonen, dat dit op het oppervlak van de kegel of cilinder zou liggen en dat met een directe argumentatie. Ik ontdek dat ik die soort heb gebruikt als ik het niet op een ander manier kon bewijzen.     Dat in een driehoek het punt van waaruit de allerkortste rechten naar de drie hoeken worden getrokken,     5)  [Lat.: subsesquialtera - het omgekeerde van anderhalf]  = 2 : 3.     6)  [Lat.: sesquitertia]  = 4 : 3.

[ 204 ]

dat punt is waarin gelijksoortige bogen van binnen op de zijden beschreven elkaar snijden, die elk een derde van de omtrek zijn; en dat daarom zo'n punt niet kan worden gegeven in een stomphoekige driehoek met een stompe hoek groter dan 120 graden maar dat het in zekere zin valt in het punt van de stompe hoek zelf.     U schrijft dat het aangevoerde bewijs zich aan u heeft voorgedaan bij het onderzoeken van een of ander Theorema bij breking, wat ik niet zonder enig gevoel van genoegen heb opgemerkt, namelijk dat ook u in die materie bezig was of in ieder geval geweest was, die mij nu geheel in beslag neemt. Ik hunker ernaar te weten wat u voor nieuws hebt gevonden. Ik heb al wel twee boeken over deze zaak vrijwel geheel opgeschreven, waar ook nog een derde bij zal komen [>]; het eerste gaat over de breking door vlakke en bolvormige oppervlakken, en door lenzen, het andere over de schijnbare vergroting of afname van dingen die met de breking worden gezien. Hierin is het voor­naamste, dat ik heb laten zien, bij gegeven positie en vorm van één, twee of hoeveel lenzen ook, een object en een oog, met welke vergroting of verkleining dat moet worden gezien, evenzo of het rechtop staat of onderste­boven. En met dezelfde gegevens, of het zicht daarop duidelijk zal zijn of vaag. Bovendien heb ik laten zien hoe we stralen die op een gegeven punt zijn gericht naar een ander gegeven punt kunnen verzamelen met behulp van een bolvormig oppervlak, en dit precies, zoals Descartes met zijn kromme lijnen*) heeft teweeggebracht. En zijn principes volg ik bij het meten van de breking. Toen ik over deze vondst aan onze van Schooten had geschreven 7) heeft hij daarin geen geloof gevonden 8), hij dacht namelijk dat dit voor Descartes niet verborgen heeft kunnen blijven, tenzij het geheel en al onmogelijk was; en ook nu nog heeft hij deze mening, want ik heb nog geen bewijs gegeven, in afwachting tot hij hierheen komt. Overigens wil ik u een voorbeeld hiervan geven, daar u mij zo ruimhartig uw uitstekende Theorema's hebt doen toekomen. Hoe bij een lens met ongelijke bolle oppervlakken het punt van samenkomst van evenwijdige stralen kan worden gevonden, heeft Kepler tevergeefs gezocht°). Doch ik doe dit langs deze weg: Gegeven een lens CD, die hetzij gelijk hetzij ongelijk bol is, en A is het middelpunt van oppervlak C, en B van oppervlak D; trek AB, en verleng deze aan beide kanten zodat zowel CE tot EA, als DL tot LB de brekingsverhouding heeft (deze nu is in glas ongeveeer anderhalf, maar iets groter, want door die zorgvuldig te meten heb ik bevonden dat ze is als 600 tot 397), vervolgens zoals EL tot LB is, zo moet ED tot DO zijn x). En O zal het gezochte punt van samenkomst zijn, namelijk zo dat van geen enkele straal de samenkomst met de as gebeurt voorbij het punt O.     [ *)  R. Descartes, La Geometrie (1637), p. 352; Ned. (1659), p. 362.]     7)  Zie brief No. 130.             8)  Zie brief No. 131.             [ °)  Dioptrice (1611), p. 14-15.]     [ x)  Links ontbreekt O: het ligt onder L.  Vgl. XIII, 87, punt N.]

[ 205 ]

Daar echter het bewijs ervan afhangt van verscheidene Theorema's, schrijf ik het er niet bij, en ik zou ook niet denken dat u het nu verlangt. Dus zou ik nu afscheid van u nemen, zeer voortreffelijke heer, als er niet nog iets te zeggen was over uw vondst van de verhouding van de Cirkel tot de Hyperbool. Die is wel zeer juist, maar heeft het helemaal niet nodig bewezen te worden op grond van uw zeer scherpzinnige boeken over ringen. Inderdaad, daar de verhouding van de omtrek tot 2/3 van de middellijn dezelfde is als van de cirkel tot een derde deel van het ingeschreven vierkant, blijkt dat u dit zegt. Wat betreft namelijk de verhouding van de cirkel tot de hyperbool, die wordt samengesteld uit de verhouding van de cirkel tot 1/3 van het ingeschreven vierkant, en uit de genoemde verhouding van het derde deel van het vierkant tot de grootste in de hyperbool ingeschreven driehoek, en uit de verhouding van deze driehoek tot de hyperbool. Wat zeker vanzelf duidelijk is, omdat wanneer een aantal grootheden gesteld is, de verhouding van de eerste tot de laatste wordt samengesteld uit de verhouding van de eerste tot de tweede en van de tweede tot de derde en zo achtereenvolgens totdat de verhouding te voorschijn komt. Zodanig dat uw Theorema evenzeer betrekking heeft op de hyperbool als op elk ander oppervlak. Wat u echter toevoegt over de kwadratuur van de Hyperbool, dat die de kwadratuur van de Cirkel niet lijkt te impliceren, dat ben ik met u eens, maar toch ben ik van mening dat elk van beide een bijna gelijke moeilijkheid heeft, zodat Soverus — een zeer geleerd en uitstekend Meetkundige zoals ik onlangs te weten ben gekomen uit het werkje dat u aanhaalde — ook al had het lot het mogelijk gemaakt dat hij zijn belofte was nagekomen, mijns inziens toch niet de volledige kwadratuur van de Hyperbool zou hebben gegeven. U ziet mij met Bataafse vrijmoedigheid niets verhullen van wat ik vind, zeergeachte heer, en u tegenspreken waar het me goed leek; en ik hoop dat u het niet euvel zult duiden, ja laat ik geloven niet anders dan wanneer ik zal zien dat het met evenveel recht tegen mij wordt gebruikt. Het ga u goed.     [16] Dec. 1652.     [ 10 Dec., zie noot 1.]

[ 206 ]

No 141. A. Tacquet aan Christiaan Huygens. 18 december 1652. Zeer geachte heer!     Ik was blij met uw brief, die mij wel daarom zeer welkom is, omdat u vrijmoedig schrijft wat u meent. Terecht hebt u opgemerkt dat die eigenschap niet eigen is aan de hyperbool en het niet nodig heeft uit onze cilinders te worden bewezen. Ik had een enigszins geïmproviseerde vondst, daar ik zag dat die uit een propositie van ons gemakkelijk was af te leiden, zonder verder onderzoek erbij geschreven naar aanleiding van wat u in het voorwoord over de hyperbool had besproken. Wat u over onze these beredeneert, hetzelfde was mij al eerder ingevallen. U betoogt dus wel op geleerde wijze, maar toch bestrijdt u de these niet; aangezien die een geheel andere betekenis heeft dan die welke u zich voorstelde. De bewering nu is als volgt: Dat uit iets onwaars iets waars kan worden afgeleid door legitieme en directe gevolgtrekkingen. Hier behoort echter niet bij, of met deze afleiding absolute kennis van het gevraagde wordt verkregen, of niet. Deze betekenis kunt u ook opmaken uit de filosofische redenering die ik onlangs heb opgegeven. Verder, omdat dit voor veel geleerden verwonderlijk, voor sommigen ook onmogelijk zal lijken, besloot ik hierover een these te poneren, niet om de Meetkundigen te onderwijzen, voor wie dit zeer bekend is zoals ik wist, maar om onervaren Wiskundigen van dienst te zijn. Bij diezelfde theses zijn de meeste andere zodanig, dat ze eerder zijn voorgesteld ter oefening van jongeren, dan om meer ervarenen te onderrichten. Overigens, ofschoon ik het in de theses niet behandel, lijkt ook absolute kennis van het gezochte te worden voortgebracht, zonder enige afleiding naar het onmogelijke, wanneer uit de tegenspraak

[ 207 ]

van een bewering tot de bewering besloten wordt, als maar een redenering wordt gevormd op deze manier: Ik wil bewijzen dat A gelijk is aan B. Ik betoog als volgt: A is ofwel gelijk aan B, of niet gelijk; Als u zegt dat A gelijk is aan B, houdt het voorgestelde stand; Als u zegt dat A niet gelijk is aan B, wordt besloten dat A gelijk is aan B. Dus A is gelijk aan B. Deze gevolgtrekking lijkt ware kennis te verschaffen, zonder dat verder een afleiding tot in het absurde is gemaakt; omdat met het licht der natuur bekend is dat uit beide leden van de tegenspraak volgt dat het waar is. Laat dit geschreven zijn tot vollediger onderzoek, niet met de bedoeling de theses te verklaren, dat heb ik hierboven gedaan.     In de dioptrica heb ik althans nu niets dat zeer nieuw is. Uw vondst is schitterend, als u (wat ik aanneem) het bewijs ervan hebt. Met de zeergeleerde van Schooten ben ik het hier niet eens. Ofschoon ik namelijk èn aan zijn oordeel veel waarde hecht, èn Descartes zelf zeer hoog schat, acht ik toch niet dat hij in de stof die hij heeft behandeld, alles zo heeft doorzien dat hij voor anderen niets heeft overgelaten om te vinden of te verbeteren. Moge God bij het vermaarde onderwerp uw uitstekende pogingen begunstigen, opdat wij zo spoedig mogelijk dat wat u gelukkig en scherpzinnig zult vinden, in het licht zien verschijnen. Het ga u goed. Tuus in Christo servus             Lovanij 18 Dec. 1652. Andreas Tacquet, Societatis Jesu. Aan de geleerde en weledele heer, de heer Christiaan Huygens C.z. Den Haag.         No 142. Christiaan Huygens aan A. Tacquet. December 1652.  (Concept.) Christianus Hugenius ... S. D. *)     Uit de brief die u mij onlangs stuurde ben ik pas te weten gekomen dat uw These door mij verkeerd was begrepen. Doch dat ik die zo uitlegde kwam zowel door dat bewijs van u dat u als voorbeeld had gegeven, waarvan ik meende dat u aannam dat dit zo goed als volmaakt en in alle opzichten absoluut was; als omdat ik me erop toelegde iets zonderlings bij uw bewering te verzinnen. Want ik vond dat nogal alledaags en aan de dialectici zeer bekend hoe uit iets onwaars iets waars kan worden afgeleid ook met een legitieme en directe bewijsvoering; zoals wanneer we zeggen: elke steen is een levend wezen, elk mens is een steen, dus elk mens is een levend wezen. En opnieuw: elk levend wezen is met de rede begiftigd, elk mens is een levend wezen, dus elk mens is met de rede begiftigd. Daar uw These als waar bewezen wordt met dit soort voorbeelden die ook in de Meetkunde overal voorkomen, weet ik niet hoe ze aan geleerde mensen onmogelijk zou kunnen toeschijnen (zoals u schrijft) en verwonderlijk. Maar laten we deze nu als afgedaan beschouwen°), en liever vragen stellen over het ware dat te voorschijn is te brengen uit iets waars, en dat     [ *)  S. D.: salutem dicit, brengt een groet.]     [ °)  Vgl. D. Lipstorp, Specimina Philosophiae Cartesianae (1653), p. 208-220: 'Num ex falsis possit directè verum elici?' (hij vindt dat "waar uit onwaar" niet kan).  Zie nog voor een voorbeeld: Henk J. M. Bos, 'Recognition and wonder' (1993, orig. 1987), p. 4, over Poncelet (1822) — op p. 5: 'Huygens and the tractrix' (>) — en p. 9: 'Legitimation'.] [ A. Tacquet, Elementa geometriae planae ac solidae, Antw. 1654, p. 351: 'Appendix. Qua demonstratur ex falso posse directè deduci verum', Lipstorp genoemd.]

[ 208 ]

buiten elke discussie staat. Ontelbare zaken zijn er immers in de wiskundige wetenschappen waarvan de bespreking, ofschoon ze elke controverse mist, tegelijk veel meer nut en genoegen meebrengt. Boven de overige steekt uit de beschouwing omtrent het vinden van maxima en minima, waarvan u had gebruik gemaakt, zoals u in uw vorige brief schreef, in het probleem van de Snijding van een driehoek door een gegeven punt [<]. Van dit probleem het geval wanneer het punt binnen de driehoek is gegeven: omdat er een bepaling is zou ik heel graag willen zien hoe deze door u wordt voorgesteld, want ik bevind dat ze door allen die ik heb gelezen over het hoofd is gezien.*)     [ *)  Zie noot en opmerking bij nr. 8 in T. XI, p. 27.]