[ 263 ]

---

B R I E F

Van Christiaan Huygens Const.Zn.

Aan

De Zeergel. Heer Fran. Xaver. Ainscom, S.J.

Waarin datgene wordt ontzenuwd waarmee het Onderzoek van de Cirkelmeting
van Gregorius van St. Vincent is bestreden.

---

Den Haag,

Bij Adriaan Vlacq.

1656.

[ 265 ]

Aan de zeergeleerde heer Fr. Xaverius Ainscom een groet van Christiaan Huygens 1)   Dat boek 2), dat uw Apelles Seghers 3) niet zo lang geleden namens u hier naartoe stuurde, was voor mij zo welkom, zeergeleerde Heer, als gewoonlijk alles is, waarvan een langdurig verwachten het verlangen ernaar vergroot 4). Al lang had ik namelijk vernomen dat u de verdediging van de Vincentiaanse Kwadratuur op u had genomen, en zeer onlangs was zowel uit Leuven als uit Rome te kennen gegeven dat dit werk nu door u vrijwel ten einde was gebracht, en dat daarin ook een deel was gewijd aan onze Exetasis 5). Dus heb ik zowel heel uw commentaar gretig gelezen, als nauwkeuriger dan het overige onderzocht wat meer op mij betrekking had. En ik heb besloten kort voor u op te schrijven wat ik ervan vond. Ik ben werkelijk verbaasd dat u, terwijl u mij niet als laatste noemt 6) onder degenen die solider dan de overige zijn bezig geweest met het onderzoek van uw 7) Kwadratuur, daarna toch 8) verklaart dat al mijn opmerkingen en al mijn argumenten zo weinig waard zijn, dat ze zelfs niet raken wat ze trachten te ontwrichten. Ik heb immers gedwaald op de hele weg en over de hele hemel, zoals men zegt*), en degene die ik heb willen weerleggen, diens bedoeling heb ik niet in het minst begrepen. Maar toch hebben Zeergeleerde Heren openlijk verklaard dat ik uw verzinsels geheel en al te gronde heb gericht, en ik meen dat hun oordelen, ook al deelt u ze misschien niet, bij intelligente mensen toch veel meer waard zullen zijn dan die van degenen die u gelukwensen met de gevonden Kwadratuur. Van uw sociëteit heeft de uitnemende Heer A. Tacquet teruggeschreven dat hij onze Exetasis zorgvuldig gelezen had en met veel bijval, en dat ik terecht er op aandring bij de schrijver   1)  Deze openbare brief van Huygens aan Aynscom staat ook in T. I, p. 495-502, met varianten ontleend aan een concept van Huygens' hand. Toch leek deze brief niet te mogen ontbreken onder de gedrukte werken van Huygens, al was het maar om de Franse vertaling die hierbij gaat [p. 264].   2)  Het werk van Aynscom [Expositio ac deductio geometrica, 1656] genoemd op p. 244 van dit deel.   3)  Zie over de Jezuïet pater Daniel Seghers, bekend schilder, noot 1 van brief No. 96, p. 147 van T. I.   4)  Zie hierover p. 242 en 244 van dit deel.   5)  Zie 'Antwoord III. Op Exetasis van Christiaan Huygens', p. 249-261 van dit deel.   6)  Zie voor de betreffende passage noot 18, p. 244 van dit deel.   7)  Dat wil zeggen de kwadratuur van Gregorius, geredigeerd, zoals deze had erkend (zie de derde alinea van p. 242) door zijn leerlingen, onder wie Aynscom ongetwijfeld een belangrijke plaats innam. Dit verklaart het meervoud in het Latijn, hier en vaak in het vervolg.   8)  Het gaat om een passage van 'Antwoord III', zie p. 261 van dit deel.   [ *)  Lat. "totâ viâ, totoque, quod ajunt, coelo erravi" (Aynscom p. 120: "toto differunt caelo"), zie Erasmus, Adagia, 1537, p. 7 of 1643, p. 7 (in Cat.'95, fol. 79); lijst bij Leiden Univ.: 1703, 1.1.48-49.]

[ 267 ]

van de Kwadratuur, te laten zien hoe vaak de eerste verhouding de tweede bevat, en de tweede de derde, en dat als hij deze niet levert, hij de derde die onbekend is nooit zal uitleggen en daarom de kwadratuur niet zal geven, die afhangt van het bekend zijn van die derde verhouding. 9) Een ander, eveneens bij u, is de zeergeleerde van Gutschoven, van wie ik weet dat hij hier en daar heeft verklaard dat de grote inspanningen van pater Gregorius door ons werk geheel zijn ingestort 10). En niet anders meent de veelzijdig Zeergeleerde Heer J. Wallis, Professor in de Wiskunde aan de Academie in Oxford, en hij maakte het algemeen bekend in het onlangs uitgegeven zeer scherpzinnige werk Arithmetica Infinitorum 11). En ik zou ook verscheidene anderen kunnen vermelden die voor mij zouden stemmen, als ik er niet van overtuigd was dat in een Meetkundige zaak meer met redeneringen dan met autoriteit gehandeld moet worden. Ook twijfel ik er namelijk niet aan dat u zult zeggen, dat degenen die voor mij applaudisseren meegevoerd zijn door dezelfde fout als ik, dat zij ook niet beter zijn doorgedrongen in de gedachten van uw schrijver. Daarom zal ik liever ervoor zorg dragen, dat ik deze schuld van hetzij onwetendheid, hetzij onachtzaamheid, ver verwijder van mij en tegelijk ook van hen. Doch ik meen eerst ook op enige andere dingen te moeten antwoorden die u mij tegenwerpt. Door verschillende gissingen op te geven trachtte ik het waarschijnlijk te maken, dat van de vier kwadraturen die uw voorkeur heeft welke als eerste geplaatst wordt. Dit weerlegt u zo 12), dat u wat ik het voornaamste argument had genoemd negeert en eraan voorbijgaat. Heus, wat mij betreft staat het u vrij de eerste kwadratuur te hebben op de plaats die u het beste lijkt. Ik ben van oordeel dat ik meer dan genoeg zal hebben verricht als ik onomstotelijk bewijs dat deze absurd is; en ik denk niet dat iemand voor wie ik dit duidelijk heb gemaakt zal vragen naar een weerlegging van de overige drie, integendeel, als deze wordt aangeboden zal hij haar niet eens lezen. En inderdaad, dat alle op dezelfde beginselen berusten, namelijk op de theorie van Evenredigheden en ook op dat wat gaat over vermenigvuldigingen van een vlak met een vlak, is zo zeker, dat het op geen enkele manier ontkend kan worden. Toch ontkent u dit, en herhaaldelijk benadrukt u 13), dat uw schrijver in deze eerste kwadratuur een beschouwing van evenredigheden niet toepast. Maar ik vraag me af welk gezicht u erbij trekt; aangezien u heel goed weet dat in elk geval propositie 12, 39 & 40 van boek 10   9)  Zie de brief van Tacquet van 2 december 1652, p. 194 van T. I.   10)  Zie zijn brief van 10 februari 1653, p. 219 van T. I [en die van Huygens, 4 nov. 1652, T. I, p. 190].   11)  Ziehier wat te vinden is, naar aanleiding van het werk van Gregorius en de kritiek van Huygens, in de Opdracht van het genoemde werk van Wallis (aangehaald in noot 2, p. 340 van T. I): En iemand van hen [d.w.z. een van de Engelse geleerden aan wie Wallis een probleem had voorgesteld m.b.t. zijn cirkelkwadratuur d.m.v een oneindig produkt] raadde mij aan het Opus Geometricum van Gregorius van St. Vincent te raadplegen (van wie ik tevoren zelfs de naam niet had gehoord), als iemand die in een groot werk dingen van deze aard heeft uiteengezet, die de Kwadratuur van de cirkel betreffen. Aan deze raad gaf ik gehoor; en het boek, hoewel het zo omvangrijk is dat ik geen tijd had het helemaal te lezen, heb ik hoe dan ook doorgenomen; erop lettend of ik hieruit iets zou kunnen halen over onze zaak. En ik vond dat er soms dezelfde beschouwingen van hem voorkwamen als van mij (wat niet verbazend was), al waren we er met verschillende methoden toe gekomen. Bij voorbeeld ... wat hij noemt plani in planum ductum, dit is hetzelfde als wat wij zowel hier als in het Tractatus de Conicis sectionibus (dat hiermee een tweeling vormt, in hetzelfde jaar 1652 bedacht en voor het eerst in vorm gebracht) noemen, ductus rectarum omnium unius plani in alterius respectivas rectas [vermenigvuldiging van alle rechten van het ene vlak met de resp. rechten in het andere] ... En misschien sommige andere dingen ... Maar (hoewel hij veel heeft dat scherpzinnig gevonden is, met een geheel andere methode dan de onze) wat ik bij hem vooral zocht heb ik nergens gevonden, en zo ver had hij namelijk de zaak niet doorgevoerd, en ook bereikt hij in het geheel niet de cirkelkwadratuur, die hij zegt te hebben gevonden, maar toen hij gekomen was bij iets dat niet veel verschilt van onze prop. 136, heeft hij gemeend daarmee de cirkelkwadratuur gevonden te hebben, hij heeft die echter niet bereikt; zoals D. Huygens aantoont in zijn 'Exetasis'.   Wat betreft 'prop. 136': Wallis toont hierin aan dat de kwadratuur van de cirkel afhangt van de kubatuur van het lichaam gemaakt met de bewerking 'ducere planum in planum' [<] op de halve parabolen HXTB en AYVG van de figuur van p. 255 hiervoor, d.w.z. van hetzelfde lichaam waarvan Gregorius gebruik maakte in zijn beweerde kwadratuur.   12)  Zie § 2 en 3 van 'Antwoord III', p. 251 van dit deel.   13)  Zie § 4, p. 251-253 van dit deel.

[ 269 ]

bewezen worden met de 8e 14) van hetzelfde boek, en deze met 114 van boek 8 dat helemaal over Evenredigheden gaat.   Verder zegt u 15) dat ik overbodige moeite nam, toen ik de eerste twee verhoudingen van lichamen in getal gaf, waaruit de derde door u bepaald moest worden; die heeft namelijk de schrijver van het Opus Geometricum, als we het geloven, veel eerder dan ik ze had uitgegeven, ja zelfs dan ik zelf was uitgegeven, al doorgrond en aan anderen laten zien. Ik vraag u, waarom heeft hij het dan niet uitgelegd, en ons van die last bevrijd? Want zeker was het, dat bekendheid daarvan aan het oplossen van de kwadratuur, als die maar opgelost zou kunnen worden, zeer veel moest bijdragen, en volstrekt noodzakelijk was. Maar ik zie dat door u alles, waarvan u zich voorstelt dat het althans op de een of andere manier gekend kan worden, evenzeer bekend wordt genoemd, als datgene wat vast en zeker gevonden is. Dus verwijst u me naar propos. 43 van boek 10, waarin beide verhoudingen bekend worden, naar u beweert. Die verschaft ze echter evenmin 16), als de laatste propositie [53] van hetzelfde boek de verhouding die er is tussen de cirkel en het kwadraat van de middellijn. Sterk lijkt hierop wat u over de Parabolische ungula antwoordt 17). Te weten dat uw schrijver al dertig jaar geleden had uitgemaakt, hoe de verhouding ervan is tot haar cilinder. Zeker heb ik erkend 18) dat die gehaald kan worden uit wat hij al had geleverd; dat hij echter nog niet wist hoe die zou zijn, daarvoor leek een vrij duidelijk argument het feit, dat hij haar niet voor de dag bracht. Men kan ook immers niet geloven dat hij bij een theorema, waarvoor hij achttien proposities 19) had uitgewerkt, dit niet zou opschrijven als zijnde overbodig, als hij hoopte dat het zo moeiteloos gevonden kon worden. Het was van weinig belang of hij dat een propositie waard vond (wat hij niet wilde, naar u zegt), of een slechts een corollarium. Maar ook in het corollarium is die verhouding nergens uitgedrukt. Want in wat u aanvoert is slechts dit te lezen: dat de methode wordt geleverd waarmee de verhouding van de ungula tot de omvattende cilinder kan worden opgespoord, en dat deze bekend zal zijn, als van enkele lichamen de onderlinge verhoudingen zijn gevonden. Maar toch worden zowel de verhoudingen van deze lichamen, als daaruit de evenredigheid die er is tussen de ungula en haar cilinder, aan de lezers overgelaten om uit te zoeken; en dit weet u zelf niet.   14)  Zie de propositie weergegeven in noot 28, p. 257 hiervoor. Men vindt er inderdaad aangehaald 'Prop. 114' van boek 8 (p. 926 van het werk van Gregorius), die is als volgt:   Gegeven zij een willekeurige grootheid AC, hoe dan ook verdeeld in B, en een andere grootheid D. Ik zeg dat de verhouding van AB tot D, samen met de verhouding van BC tot D, gelijk is aan de verhouding van AC tot D.   Het is overigens duidelijk dat het niet uit het gebruik van deze evident juiste propositie is, dat de fout van Gregorius voortkomt, door Huygens in 'Exetasis' (p. 317 van T. XI) toegeschreven aan de weinig gelukkige toepassing van de 'vondsten' van Gregorius "op het gebied van evenredigheden". De argumentatie kan dan ook lijken Huygens niet geheel waardig te zijn; maar laten we opmerken dat het hier van zijn kant er slechts om gaat de onbenullige uitvlucht van Aynscom teniet te doen, die had beweerd dat proposities als 'Prop. 8' en '12' van 'Lib. 10', die Huygens op het oog had, niet behoorden bij het onderwerp evenredigheden dat door Gregorius was behandeld in 'Lib. 8. De Proportionalibus'.   15)  Zie § 7 van 'Antwoord III', p. 255-257 hiervoor.   16)  Inderdaad leidt 'Prop. 43', genoemd op p. 279 van T. XI bij § 8, niet gemakkelijk tot getalwaarden.   17)  Zie de 4e alinea van § 8, p. 259-261 hiervoor [ ungula: hoef, zie figuur].   18)  Zie de 4e alinea van p. 329 van T. XI.   19)  Het gaat om de achttien eerste proposities, p. 1020-1033 van 'Pars quinta' van 'Lib. 9', die voorafgaan aan de negentiende van hetzelfde 'Pars', welke als volgt is: Prop. 99. Laat gevraagd worden een parallelepipedum te geven gelijk aan een ungula van een parabolische cilinder. Dit vijfde deel is inderdaad bijna geheel gewijd aan de kubatuur van de parabolische ungula, maar niet te vinden is er het eenvoudige theorema door Huygens geformuleerd in de voorlaatste alinea van p. 329 van T. XI.

[ 271 ]

Daarom beticht u mij hier niet zo oprecht van geveinsde onwetendheid, waar u zelf het tegendeel lijkt te schreven van wat u denkt.   Maar laten we het nu hebben over de prijsverdienende fout 20), die u mij opdringt. Deze is begaan bij het woord bevatten, doordat dit niet goed begrepen was kwam het namelijk dat, terwijl ik dacht uw Kwadratuur te bestrijden, ik niets minder heb gedaan, en dat evenzo allen verblind zijn geweest die hebben geoordeeld dat ik deze aan het wankelen had gebracht. Ik heb de dubbele betekenis van dit woord aangevoerd die ik in het werk Opus Geometricum had gevonden, en uw interpretatie, die ook die van pater de Sarasa is, heb ik weggelaten 21) aangezien ik deze nog niet kende. Dus deze prijsverdienende is een fout van mij, omdat ik toen noch het boek van pater de Sarasa 22), noch uw Corollarium had gezien. Maar ook al had ik uw uitleg gekend, ik had deze daarom misschien niet het vermelden waard geacht, daar ze de zaak zo weinig helpt, en zo volkomen onnatuurlijk en niet passend is, zoals uit het bijgevoegde voorbeeld zal blijken; en hoeveel verder u dit heb gebracht zal ik daarna uiteenzetten. Propositie 40 van boek 10 is van deze aard: Met hetzelfde gesteld, zeg ik dat de verhouding van het lichaam uit RS met XY tot het lichaam uit TV met Z&, zoveel maal de verhouding bevat van het lichaam uit IK met NO, tot het lichaam uit LM met PQ, als deze verhouding zelf de verhouding bevat van het lichaam uit AB met EF tot het lichaam uit CD met GH. 23) Welke propositie u volgens de bedoeling, naar u zegt, van de schrijver (natuurlijk met slechts de zin veranderd) als volgt aan ons verduidelijkt: Met hetzelfde gesteld, zeg ik dat de verhouding van het lichaam uit RS met XY tot het lichaam uit TV met Z&, samengesteld wordt uit die verhoudingen die zoveel maal de vermenigvuldigden zijn van die verhoudingen waaruit wordt samengesteld de verhouding van het lichaam uit IK met NO tot het lichaam uit LM met PQ, als deze verhoudingen zelf de vermenigvuldigden zijn van die waaruit wordt samengesteld de verhouding van het lichaam uit AB met EF tot het lichaam uit CD met GH.   Inderdaad een mooie verklaring! Omdat ik niet in staat was deze te doorzien, heb ik de betekenis die overeenkomt met uw redeneringen niet begrepen. Maar wie zou dit in gedachten komen, dat een Wiskundige heel iets anders schrijft dan wat hij verlangt dat begrepen wordt? En wie zou een nog ingewikkelder betekenis willen verzinnnen bij theorema's die nu juist te duister zijn? Zeker weet u dat allen die met u in tegenspraak kwamen het woord bevatten niet anders dan ik hebben aangenomen, en dat bij niemand dit is opgekomen, dat wanneer hij las over een verhouding tussen twee grootheden, het zou slaan op deelverhoudingen, waaruit de totale zouden worden samengesteld 24). Zie echter hoe, behalve degenen van wie opmerkingen bij u in handen kwamen, er volkomen dezelfde mening was als de onze, over deze proposities en de betekenis van het woord bevatten, bij de Onvergelijkelijke Descartes, en als u meent 25) dat hij minder een uitstekende Meetkundige dan een Algebrist geweest is, oordeelt u te weinig naar waarheid.   20)  Zie de 2e alinea van § 8, p. 259.     21)  Zie de laatste alinea van § 7, p. 257.       22)  Zie p. 242.   23)  Dit is propositie 40 van Gregorius zoals ze geredigeerd te vinden is op p. 98 van het werk van Aynscom. Dan laat deze volgen, bij wijze van inleiding op de gewijzigde redactie die volgt, de zin: "Dit is volgens de bedoeling van de schrijver".   24)  Raadpleeg over dit deel van Huygens' weerwoord noot 20, p. 255 hiervoor.   25)  Het gaat om een passage op p. 108 van het werk van Aynscom, waar deze om de autoriteit van de Roberval te verminderen, die als getuige was geciteerd door Auzout als iemand die de kritiek van Mersenne goedkeurde, zich beroept op de ongunstige mening van Descartes over de Roberval. Over deze passage had Huygens trouwens zijn afkeuring aan de Roberval te kennen gegeven in zijn brief van 20 juli 1656 (p. 457-458 van T. I) [zie ook T. I, p. 485]; de passage volgt hier:   Weliswaar wil ik niet dat er iets van de roem van deze heer [de Roberval] wordt afgedaan; maar daar geen van zijn werken (als hij er heeft uitgegeven) hier is te zien geweest, zodat ik over zijn kennis in Meetkundige zaken niet kan oordelen, is er hoegenaamd niets waarom ik me aan zijn autoriteit zou moeten houden; verder, volgens het oordeel van hen die de capaciteiten van de man kennen, als de Censor [Auzout] mij wil geloven, kan hij over hem horen, wat een Fransman, & tevens een uitstekend Algebrist, René Descartes, vanuit Zweden aan een vriend heeft geschreven. Zijn woorden zijn letterlijk deze: Maar ik ben nu in een zo ver land, dat ik zelfs niet kan hopen er de geschriften te zien waarover u me spreekt; want behalve dat het moeilijk zou zijn ze hier te brengen, zou ik ook niet genoeg vrije tijd hebben om ze goed te bekijken. Daarom als u aan pater Gregorius à S. Vincent schrijft, verzoek ik u hem te verzekeren van mijn nederige diensten, & hem van mijn kant te laten weten dat, hoewel ik zijn cirkelkwadratuur niet goedkeur, ik niettemin niet geloof dat de Heer Æ. R[oberval] voldoende verstand heeft om haar te weerleggen, & derhalve dat zolang hij geen sterkere tegenstanders heeft dan deze, het hem niet lastig zal zijn zich te verdedigen. Dit laatste fragment van een brief van Descartes aan een onbekende is weergegeven door Adam en Tannery, op p. 465 van T. V van hun recente uitgave van de Œuvres de Descartes.

[ 273 ]

Van een brief van hem aan een vriend 26) is voor mij een kopie gemaakt 27), toen onze exetasis al lang was verschenen 28), en aangezien deze niet alleen bevestigt wat ik heb gezegd, maar bovendien ook geheel betrekking heeft op het Opus Geometricum van pater à St. Vincent, is besloten de ze hier geheel bij te schrijven. In het Frans gaat het als volgt 29). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Waarvan de betekenis in het Latijn [Ned.] is 33):   Ik heb uw boeken wat lang gehouden, omdat ik u bij het terugsturen verslag wilde uitbrengen van de beweerde Kwadratuur van de cirkel, en ik had heel wat moeite te besluiten het hele dikke werk door te bladeren dat erover gaat; tenslotte heb ik er iets van gezien, en het lijkt me genoeg om te kunnen zeggen dat het niets goeds bevat dat niet gemakkelijk is en dat men niet allemaal op één of twee bladzijden zou kunnen opschrijven. De rest is niets anders dan een paralogisme [^] betreffende de kwadratuur van de cirkel, omhuld in talloze proposities die alleen dienen om de materie ingewikkeld te maken, en ze zijn voor het merendeel heel eenvoudig en gemakkelijk, hoewel de manier waarop hij ze behandelt ze een beetje duister laat schijnen. Om zijn Paralogisme te vinden ben ik begonnen bij de 1134e bladzijde waar hij zegt "doch bekend is de verhouding van segment LMNK tot segment EGHF" 30), wat niet waar is, en het bewijs dat hij ervan geeft is gegrond op de 39e propositie op bladzijde 1121 van hetzelfde boek 31), waar een heel duidelijke fout staat die eruit bestaat dat hij op verscheidene grootheden samen wil toepassen wat hij tevoren heeft bewezen voor dezelfde grootheden apart. Want bijvoorbeeld bij de 4 rijen van evenredigen 2, 4, 8 en 2, 8, 32 2, 6, 18, 2, 10, 50 is het wel waar dat 8 tot 32 in de kwadratische verhouding is van wat 4 tot 8 is, en dat 18 ook tot 50 in kwadratische verhouding is van wat 6 tot 10 is, maar het is daarom niet waar dat 8 plus 18, dat wil zeggen 26, tot 32 + 50 dat wil zeggen 82 in kwadratische verhouding is van die tussen 4 + 6 dat wil zeggen 10, en 8 + 10 dat wil zeggen 18. Al zijn redeneringen zijn slechts gegrond op deze fout, en wat hij schrijft over Evenredigheden, en over Vermenigvuldigingen van vlakken 32) dient slechts om hem te hinderen, en schijnt me van geen enkel nut, omdat zonder gevolg met meer dingen wordt gedaan wat met minder kan worden gedaan.*)   26)  De Leidse hoogleraar Frans van Schooten.   27)  Zie brief No. 169 (13 dec. 1653) T. I, p. 258.   28)  Deze verscheen in dec. 1651; zie p. 275 van T. XI.       29)  Zie de Franse versie op p. 272.   30)  Het gaat om prop. 53, zie daarvoor § 1 van p. 277 van T. XI; de genoemde segmenten LMNK en EGHF komen overeen met de daar genoemde oppervlakken CDIH en EFLK.   31)  Zie § 10, p. 280 van T. XI en p. 317 van hetzelfde deel met de noten 6, 7 en 8.   32)  Zie 'Lib. 8' en '7' van Gregorius' werk, en p. 317 [en 277-8, § 3 en 4] van T. XI.   33)  [Bij de Franse vertaling:]  Latijnse versie van de brief: p. 273.   [ *)  In de brief van Descartes (9 april 1649) in het Latijn: "frustra fit per plura quod potest fieri per pauciora", een spreekwoord, toegeschreven aan Willem van Ockham.]

[ 275 ]

U ziet, Uitstekende Man, dat ook Descartes, het Dit is volgens de bedoeling van de schrijver 34) niet herkend zou hebben, maar veeleer zou zeggen, wat het geval is, dat in een opgegeven zaak dit voor u de gezochte uitweg is, opdat uw kwadratuur als een Proteus, door steeds een andere vorm aan te nemen, ontglipt aan degenen die haar willekeurig dicht insnoeren. Maar kom, laten we nu bekijken waaruit u de zaak afleidt, nadat u een nieuwe betekenis van het woord bevatten te voorschijn hebt gehaald, en daarmee oude theorema's zo slim hebt opgeknapt. In het Corollarium van propositie 40 van boek 10, waarop u zich zo dikwijls beroept 35), lijkt u enkel dit gedaan te hebben, door de ene moeilijkheid aan de andere te knopen, dat als iemand verlangt de strekking van uw betoog te volgen, hij afgemat ervan afziet voordat hij het einde heeft bereikt. Ikzelf ben u gevolgd tot die plaats, waar u voorschrijft dat de oppervlakken Y & Z worden genomen; daarna heb ik gemeend niet verder te moeten gaan. Uw constructie lijdt daar immers aan een zo duidelijk gebrek en onmeetkundigheid, dat ik er niet aan kan twijfelen dat het ook voor u zelf een uitgemaakte zaak is; maar aangezien een andere manier om te ontsnappen zich niet voordeed hoopte u, denk ik, dat niemand bij zoveel duisterheid dit makkelijk zou gaan opmerken. U zegt: Laat vervolgens twee Hyperbolische vlakken Y & Z worden aangenomen, ingesloten door rechten evenwijdig aan de ene asymptoot 36). Met geen andere voorzorgsmaatregel worden ze aangenomen dan dat het nodig is dat ze worden ingesloten door rechten evenwijdig aan de ene asymptoot. Over de grootte van elk of de verhouding die ze onderling moeten hebben schrijft u niets voor. Dus elk ervan zal willekeurig groot of klein kunnen worden afgesneden. Toch begint u kort daarna de verhouding van oppervlak Y tot Z met andere verhoudingen te vergelijken, die u eerder volgens een zekere bepaling hebt aangenomen, en u stelt zich voor dat het volgende moet worden bewezen: Dat de totale verhouding van de vlakken X tot T een zodanig veelvoud is van de verhouding van het hele vlak Y tot Z, als de totale verhouding van de lichamen GH tot IK de vermenigvuldigde is van de totale verhouding van lichaam LM tot NO. Wat is er nu absurder, vraag ik, dan iets uit te spreken over de grootte van deze verhouding, die geheel onzeker is en onbestendig? Ik voor mij ben van mening dat hieruit alleen al voldoende blijkt, hoe u tevergeefs hebt geprobeerd de eerste Kwadratuur hulp te verlenen, daar u in hetgene dat u vooral moest uitgeleggen zo opvallend te kort komt. Of u meer geluk hebt gehad in de drie overige, als ik het moet onderzoeken zal ik geen prijs verdienen.   34)  Zie over deze zin noot 23 hierboven.     35)  Het 'Scholium' genoemd in noot 20, p. 255 hiervoor.   36)  De Hollandse Maatschappij der Wetenschappen te Haarlem bezit het exemplaar van Aynscoms werk dat aan Huygens heeft toebehoord. De enige aantekening erin, van Huygens' hand (op p. 102) betreft de hier geciteerde passage. Ze is als volgt: Daar geen grootte hiervan wordt gedefinieerd, ook niet tot elkaar of anders, zullen ze genomen kunnen worden zoals men wenst, bijvaoorbeeld dat Y honderd keer zo groot is als Z, of duizend keer. Dan kan iets over de totale verhouding ervan worden bewezen, namelijk dat de verhouding van de vlakken X tot T een zodanig veelvoud is van de verhouding van de vlakken Y tot Z, als de verh. van lich. GH tot IK de vermenigvuldigde is van de verhouding van lichaam LM tot NO. Terwijl toch eerder de vlakken X en T, zoals ook de lichamen GH, IK, LM en NO een zekere grootte hebben; worden daarna werkelijk Y en Z naar wens genomen? Doch een bepaling ervan heeft de schrijver niet zomaar weggelaten, maar daarom omdat er geen gegeven kan worden zonder in het oog vallende schaamteloosheid.   In werkelijkheid is de enige bepaling van de oppervlakken Y en Z die door Aynscom wordt voorondersteld: "die met ingeschreven figuren geheel zijn verdeeld, op de manier zoals de twee lichamen LM en NO met ingeschreven parallelep. geheel zijn verdeeld"; maar dit kan tot geen enkele uitvoerbare constructie leiden.   Op de titelpagina heeft het genoemde exemplaar de volgende inscriptie, van de hand van Aynscom: "Clarissimo viro domino Christiano Húgenio Auctor D. D."

[ 277 ]

U moet echter weten dat voor altijd een argument tegen u zal zijn, dat u de verhouding van de omtrek tot de middellijn, waarvan u verklaart dat ze gegeven wordt met elke kwadratuur afzonderlijk, met deze toch niet kunt geven; de schrijver van de Kwadratuur zelf niet, en zo veel leerlingen van hem niet, die zich al zo veel jaren erop toeleggen, dat Troje in minder is veroverd. Een verhouding is gegeven, heeft Euclides gedefinieerd, als we een eraan gelijke kunnen vinden 37). Wie zal nu geloven dat dit betrekking heeft op die van u, die gedurende een heel decennium 38) met vergeefse moeite is gezocht? Want als u van mening bent dat het voldoende is als u slechts de weg duidelijk hebt aangewezen, waarlangs men tot het gezochte komt, de obstakels echter, en de ontelbare moeilijkheden waarmee die versperd is, niet wegneemt, zie dan maar eens wie u ervan kunt overtuigen, dat op deze manier de zaak van het tetragonisme 39) door u ten einde is gebracht. Wat u wel lijkt te bereiken is dat u, zolang u niet verder gaat, minder bent blootgesteld aan aanvallen van allen gemeenschappelijk, moeilijker ook wordt bestreden door wie meer terzake kundig is, en beter voorbereid bent op de aftocht. Gemakkelijk immers kunt u hen, die scherper aandringen, omhullen met de duisternissen van uw verhoudingen en evenredigheden, en dan maken dat tenslotte als het ware de nacht de strijd doet ophouden*). Ditzelfde vreesde ik dat mij zou overkomen, toen ik het Onderzoek van de Kwadratuur schreef, en ik heb dan ook mijn best gedaan om ervoor op te passen; dit ene proberend, dat ik, voorzover het gedaan zou kunnen worden, de schrijver naar het absurde zou drijven, namelijk dat hij zou bekennen zijn Kwadratuur òf niet te willen, of niet te kunnen voltooien. Met dit doel heb ik de afmetingen berekend van eerder onbekende en wanstaltige lichamen, en na de verhoudingen van de eerste twee lichamen te hebben geleverd, heb ik gevraagd dat hij daaruit de derde tevoorschijn zou halen, daar hij immers had gezegd dat deze bekend zou zijn als men de eerste was te weten gekomen 40). De aldus in het nauw gedrevene verdedigt u op geen andere manier, dan door bij mij uw beklag in te dienen dat ik me voorstel uw schrijver de manier voor te schrijven om de cirkel te kwadrateren, en tenslotte te bevelen dat ik me herinner wat & aan wie ik schrijf 41). Wat mij betreft echter, hoe een cirkel een vierkant wordt heb ik niet geleerd, en ik schrijf het niet voor; maar ik dring erop aan, dat hij inderdaad bewijst dat die manier die hij verzekert te hebben gevonden nuttig en doeltreffend is. En zo meen ik dat nu wel voldoende voor u vaststaat dat ik heel goed heb geweten wat ik schreef & met welk doel. En aan wie ik schreef, zelfs dit was ik niet vergeten, denk ik. U ziet nu hoezeer op dit punt de brief van Descartes en de lof van de uwen heel verschillend klinken; welk van beide eerder onderschreven moet worden laat ik liever aan het oordeel van anderen over om te beslissen dan het mijne te laten gelden. Toch zou ik willen dat de schrijver van de Kwadratuur weet, dat ik een des te hogere mening over zijn geleerdheid & eerlijkheid zal hebben, naarmate hij spoediger terugkomt van de dwaling.   Afgegeven Den Haag, 2 okt. 1656.   37)  Definitie 2 van de 'Data' van Euclides. Zie het werk [Euclidis Data, Par. 1625, p. 17] van noot 1, p. 138 van T. I.   38)  Dat wil zeggen sedert de publicatie van het werk van Gregorius in 1647.   39)  De herleiding van de cirkel tot een vierkant ('tetragônon').   [ *)  Lat.: "ut tandem veluti nox praelium dirimat", vgl. Plautus, Amphitryon, 1, 1, 99: "proelium tandem diremit nox".]   40)  Zie de 'Demonstratio' van 'Prop. 44', p. 1126 van 'Lib. 10', waar men leest: Dus daar bekend zijn de eerste, & tweede verhouding, ... zal ook bekend zijn de verhouding van het lichaam dat ontstaat uit vermenigvuldiging van oppervlak EHIM met HPFI tot het lichaam ontstaan uit vermenigvuldiging van oppervlak NKLO met KQRI.   Zie nog § 7, p. 279 van T. XI, en bovendien vooral p. 325-327 van T. XI.   41)  Zie de derde alinea van p. 257 van dit deel.