Brief aan Fr. X. Aynscom 1656

[ 241 ]

Voorbericht   Bij het samenstellen van zijn 'Εξετασις Cyclometriae Cl. Viri Gregorii à S. Vincentio' 1) had Huygens gehoopt, door de helderheid van zijn uiteenzetting en de kracht van zijn argumenten, Gregorius zelf te kunnen overtuigen van de ontoereikendheid van zijn kwadratuur van de cirkel 2).   Na de publicatie, in december 1651, werd hij weldra teleurgesteld door de ontwijkende houding van Gregorius die, in weerwil van het meer en meer dringend aanhouden van Huygens, erbij bleef zijn oordeel te bewaren tot de dag waarop hij al zijn tegenstanders tegelijk zou beantwoorden 3). Toen stond Huygens even op het punt zijn geduld te verliezen. Dat was toen hij in de kladversie van een van zijn brieven aan Gregorius onder andere de bekende woorden van Cicero aan hem richtte: "Hoe lang zult u nog misbruik maken van ons geduld!" 4). Maar hij bindt in en stelt zich ermee tevreden in de brief die hij   1)  Zie het werk weergegeven op p. 315-337 van T. XI [Εξετασις , 'Exetasis' - Onderzoek].   2)  Zie T. I, p. 160: "Ik heb veel hoop dat zowel de wijze van behandelen als de doeltreffendheid van de argumenten u volkomen voldoening zal geven", 161 [aan Golius]: "Het was niet zonder tijd voor studie en ook nu nog zal dit niet zo zijn, u zult echter in het vervolg begrijpen uit meningen van anderen, en naar ik hoop uit eigen erkenning van de tegenstander, dat ik hier niets zonder reden heb aangeroerd" en 166 [aan van Gutschoven]: "Ik heb deze weerlegging slechts kort gemaakt, en ik heb erin vooral moeite gedaan om pater Gregorius de noodzaak op te leggen tot een juistere mening over te gaan".   3)  Zie de brieven van Huygens van 26 dec. 1651, 24 jan. en 15 maart 1652, p. 159, 171 en 174 van T. I, en de antwoorden van Gregorius van 6 jan., 18 febr. 1652 (verkeerd geplaatst bij 1651) en 6 april 1652, p. 164, 137, 179 van T. I.   4)  Zie de eerste alinea van stuk No. 122, p. 174-175 van T. I.

[ 242 ]

schrijft pater Gregorius met klem te verzoeken hem althans in drie woorden aan te geven "hoe dikwijls de verhouding van 53 tot 203 de verhouding van 5 tot 11 bevat, volgens de betekenis van uw stelling 44 van boek 10" 5).   Het is inderdaad van het te geven antwoord op deze vraag, dat de herleiding tot het absurde afhangt die het voornaamste deel vormt van de 'Exetasis' 6). Een getalsmatig antwoord zou het hebben mogelijk gemaakt de waarde te berekenen, onder aanname van de juistheid van de kwadratuur van Gregorius, van de verhouding van de cirkelomtrek tot de middellijn en het gebrek aan overeenstemming ervan aan te tonen met de welbekende benaderingswaarde van deze verhouding. In plaats daarvan verwijst Gregorius 7) naar een werk van een van zijn leerlingen, pater de Sarasa 8), waaruit inderdaad volgt dat de betekenis die Gregorius wil geven aan de uitdrukking 'bevatten' dezelfde blijkt te zijn als we hebben gesuggereerd in noot 28 van pagina 280 van Tome XI en volgens welke het aantal keren dat de eerste verhouding de tweede 'bevat' wordt uitgedrukt door de waarde n in de vergelijking 53/203 = (5/11) n. Het antwoord had dus geen gebrek aan precisie zoals men op het eerste gezicht geneigd zou zijn te denken; maar het hield in dat, aangenomen dat alle proposities waar waren die de eerste van zijn beweerde kwadraturen hadden meegebracht, Gregorius niet de cirkelkwadratuur in eigenlijke zin had gegeven maar alleen de herleiding van deze kwadratuur tot die van de hyperbool of tot logaritmen.   Drie maanden later, in juli 1652, had Huygens in Gent een vriendschappelijk onderhoud met Gregorius die hem liet verstaan dat zijn boek was geredigeerd door zijn leerlingen, dat het wel mogelijk was dat er een fout was doorgeslipt in de eerste kwadratuur, de enige die door Huygens rechtstreeks was aangevallen; maar dat hij vertrouwen had in de andere. Bij het weggaan van Gregorius had Huygens de indruk dat het antwoord nog lang niet zou verschijnen en dat het niet veel waard zou zijn 9).   Toch vernam Huygens al in januari 1653 10) dat een weerlegging van zijn 'Exetasis' klaar was, opgesteld door een van de leerlingen van Gregorius, pater Aynscom. Deze verscheen pas in 1656 11). Intussen nam Kinner à Löwenthurn, een   5)  Zie p. 175 van T. I.     6)  Vergelijk p. 327 van T. XI.     7)  Zie p. 180 van T. I.   8)  Het werk geciteerd in noot 7 van p. 156 van T. I [Solutio problematis a R. P. Marino Mersenno Minimo propositi, 1649].   9)  Zie over dit onderhoud de brief van Huygens aan Tacquet van 4 november 1652, p. 189 van T. I.   10)  Zie zijn brief aan van Schooten van 17 januari 1653, p. 219 van T. I.   11)  Over de oorzaak van de vertraging kan men een brief raadplegen van Gregorius aan Huygens, p. 266 van T. I.

[ 243 ]

andere leerling, het op voor zijn oude meester. In zijn brieven aan Huygens van 30 november 1652 en van 18 juli van het volgende jaar 12) sprak hij tegen dat de eerste kwadratuur van Gregorius die was, waaraan de schrijver de voorkeur gaf boven de andere, zoals Huygens had beweerd 13). Integendeel was hij van mening dat de schrijver daarmee veeleer de mogelijkheid van de kwadratuur van de cirkel had willen aantonen dan deze metterdaad uiteenzetten. Het was de tweede kwadratuur die, volgens de mening van Gregorius zelf, het gemakkelijkst was. Hij, Kinner, had haar opgesteld in 35 proposities die hij misschien weldra zou publiceren; wat hij inderdaad deed in zijn werk 'Elucidatio geometrica problematis Austriaci sive Quadratura Circuli feliciter tandem detectae per R.P. Gregorium a S. Vincentio' 14).   Dadelijk na ontvangst van deze 'Elucidatio' probeerde Huygens de ogen van Kinner te openen door hem de precieze plaats aan te wijzen waar zijn kwadratuur in gebreke bleef, zoals Huygens had gevonden 15); maar hij slaagde er niet in hem te overtuigen 16).   12)  Zie p. 193 en 235 van T. I.     13)  Zie de eerste pagina van 'Exetasis', p. 315 van T. XI.   14)  Zie voor de volledige titel noot 3 van p. 252 van T. I. [ Gregorius had de cirkel­kwadratuur genoemd het 'Oostenrijks probleem', zie de titelplaat (figuur) en de opdracht van zijn Opus geometricum, 1647.]   15)  Zie brief No. 184 van 23 maart 1654, p. 278 van T. I.   16)  Zie brief No. 188 van 11 april 1654, p. 282 van T. I. Het werk van Kinner à Löwenthurn is heel zeldzaam. Een exemplaar is in de universiteitsbibliotheek te Praag. Dankzij de welwillendheid van de directie konden we het naar Amsterdam krijgen en de strekking constateren vande fout begaan door Kinner, naar het voorbeeld van Gregorius. [Prop. XXX, "Hoc est ..." op p. 45, r. 8 van onder.]   Laat inderdaad gelden:   a1 : b1 = a2 : b2 = a3 : b3 = . . . = an : bn ,   en bovendien: a1 : c1 = b1 : d1 ,   a2 : c2 = b2 : d2 ,   a3 : c3 = b3 : d3 ,   . . . ,   an : cn = bn : dn , dan verkrijgt men:   Σa : Σc = Σb : Σd.   Dit theorema is aangetoond door Archimedes; het vormt Prop. 2 van het werk De conoidibus et sphaeroidibus, p. 29 van de uitgave [1558] van Commandino (Heiberg [1880], T. I, p. 291, waar ze het nummer 1 heeft). Gregorius en Kinner doen opmerken dat ze geldig blijft als de grootheden a, b, c, d vervangen worden door verhoudingen; wat waar is.   Uit de relaties   p1/q1 : r1/s1 = p2/q2 : r2/s2 = p3/q3 : r3/s3 = . . . = pn/qn : rn/sn samen met   p1/q1 : t1/u1 = r1/s1 : v1/w1 ,   p2/q2 : t2/u2 = r2/s2 : v2/w2 ,   . . . ,  pn/qn : tn/un = rn/sn : vn/wn , kan men dus echt concluderen dat er zal komen:   Σ(p/q) : Σ(t/u) = Σ(r/s) : Σ(v/w) ; maar in de toepassing die volgt, wordt door Huygens gewezen op het Hoc est, in brief No. 184 (p. 278 van T. I), deze relatie wordt behandeld alsof er stond:   Σp/Σq : Σt/Σu = Σr/Σs : Σv/Σw.   Als we eraan toevoegen dat de Σp, Σq, enz. de kubaturen (herleidingen tot een kubus) voorstellen van verschillende lichamen, ontstaan door de bewerking "ducere planum in planum", beschreven op p. 278 [zie vanaf 277, 3] van T. XI, en dat enkele van deze kubaturen afhangen van de kwadratuur van de cirkel, zal men begrijpen hoe deze verkeerde toepassing van de aangehaalde propositie van Archimedes heeft kunnen leiden tot een valse kwadratuur van de cirkel.   Deze opmerkingen zullen voldoende zijn ter verheldering van de aangehaalde brieven, gewisseld tussen Huygens en Kinner. Zoals hij al aangekondigd had in zijn brief van 23 maart 1654 (zie p. 279 van T. I), heeft Huygens, terwijl hij zijn vriendschappelijke briefwisseling met Kinner voortzette, geen weerwoord gegeven op de onbeduidende tegenwerpingen tegen zijn kritiek, bevat in de brief van Kinner van 11 april 1654, p. 283 van T. I.

[ 244 ]

Na deze eerste wapenwisseling met een van de leerlingen van Gregorius, moest Huygens nog meer dan twee jaar wachten voordat hij in juli 1656 het antwoord van pater Aynscom 17) ontving, al zo lang aangekondigd. In dit werk van 182 pagina's in folio, spant de schrijver zich in om alle tegenstanders van de kwadraturen van Gregorius te weerleggen. Hij verdeelt hen in twee klassen: zij die de theorema's over de evenredigheden hebben aangevallen en zij die, deze theorema's terzijde latend of hun juistheid aannemend, zich hebben beziggehouden met de proposities waarvan de kwadraturen meer direct afhangen. Na in zijn voorwoord complimenten te hebben gegeven aan de tegenstanders — onder wie hij aan de jonge Huygens de eerste plaats toekent — die methoden hebben gebruikt die voor meetkundigen passend zijn, hoewel ze hun doel niet hebben bereikt 18), antwoordt hij op die van de eerste klasse met zijn 'Liber primus', dat de 88 eerste pagina's van zijn werk beslaat. Vervolgens begint het tweede boek, in het 'Pars prima' ervan, met een samenvatting van de eerste kwadratuur van Gregorius met authentieke verklaringen volgens de bedoelingen van de schrijver ervan 19); terwijl het 'Pars secunda' tot taak neemt alle tegenstanders van de 'tweede klasse' de een na de ander te weerleggen met evenveel 'Responsiones' 20), waarvan gereproduceerd wordt   17)  Zie het werk aangehaald in noot 6, p. 210 van T. I [Expositio ac deductio geometrica, 1656].   18)  "Waarin solider dan de overige zijn bezig geweest de weledele heer Christiaan Huygens, en de zeergeleerde heren Adrien Auzout, Alexius Sylvius, en Vincent Leotaud S.J. een uitstekend meetkundige; die ook al was het met valse hoop, en hebben zij het doel dat ze bij uitstek in het oog hielden allerminst bereikt, zoals de volgende boeken zullen leren, in elk geval in deze meetkundige zaak bezig zijn geweest met een methode die Meetkundigen past. Zodat hun streven de Schrijver niet alleen niet heeft mishaagd, zodat hij zeer gaarne erkent dat hij veel aan hen te danken heeft; in elk geval zal ik nooit ontkennen dat ik heel dit onderwerp van dit werk aan hen te danken heb; waarin u hetgene, wat ik als het belangrijkste zag, in weinig woorden hier verneemt."   19)  Zie de pagina's 89-104 van het aangehaalde werk.   20)  Zie de pagina's 104-131 van het werk van Aynscom. Inderdaad hebben de tegenstanders van Gregorius zich bijna uitsluitend ertoe beperkt zijn eerste kwadratuur aan te vallen; hetzij dat ze, zoals Huygens, deze hadden beschouwd als door de schrijver verkozen boven de andere, hetzij dat ze niet de moed hebben gehad er verder in door te dringen.

[ 245 ]

hierna 21) de 'Responsio III ad ΕΞΕΤΑΣΙΝ Clariss. D. Christiani Hugenij'. Tenslotte eindigt Aynscom met een derde, vierde, en vijfde Boek die uiteenzettingen bevatten over de drie andere kwadraturen van Gregorius.   Onnodig te zeggen dat pater Aynscom er niet in slaagde de eerste kwadratuur te redden, noch de andere; en elk geval springt één ding heel duidelijk uit zijn uiteenzetting naar voren. We willen het hebben over het gebruik, door Gregorius, van de term 'bevatten' in de 'Demonstratio' van zijn 44e propositie van 'Lib. 10', een propositie waarvan zijn eerste kwadratuur afhangt. Welke betekenis heeft deze term in de zin "dat een gegeven verhouding een aantal malen een andere bevat"? Huygens onderzoekt in zijn 'Exetasis' 22) achtereenvolgens twee verschillende interpretaties. Hij verwerpt de eerste ervan, die welke we hierboven hebben uiteengezet, door op te merken dat de verhouding van 53 tot 203 van de verhouding van 5 tot 11 noch het kwadraat, noch de derde macht of een hogere macht is; vervolgens durft hij met veel terughoudendheid een tweede naar voren te brengen, die leidt naar de reductie tot het absurde die hij laat volgen. Dus lijdt het geen twijfel dat het de eerste interpretatie was die Gregorius op het oog had 23). De door Huygens aangevoerde omstandigheid dat het getal n dat moet voldoen aan de relatie 53/203 = (5/11)n noodzakelijkerwijze een onmeetbaar getal is, vormt er geen beletsel voor, aangezien 'Prop. 129' 24) van 'Lib. 6' van het werk van Gregorius, aangehaald door   21)  [ Met een Franse vertaling.]  Zie p. 249-261 van dit deel.     22)  Zie p. 327 van T. XI.   23)  Dit volgt o.a. uit Prop 34 van Lib. 10 (p. 1117-1118) waar de betreffende uitdrukking wordt gebruikt in de welbepaalde betekenis die we hebben uitgelegd op p. 279-280 van T. XI in § 9.   24)  Hier volgt deze propositie, te vinden op p. 596 van het werk van Gregorius: Laat AB en BC de asymptoten zijn van de hyperbool DFH, & DE, FG en HC evenwijdig aan een asymptoot: en met het vlak DEGF zij onmeetbaar het vlak FGCH. Ik zeg dat de verhouding van DE tot FG zoveel maal de verhouding FG tot HC vermenigvuldigt, als de grootheid DEGF de grootheid FGCH bevat.   Door nu te schrijven xy = k 2 voor de vergelijking van de hyperbool en te stellen DE = a, FG = b, HC= c, DEGF = A, FGHC = B, komt er: A = k 2 log a/b   en   B = k 2 log b/c ,   dus   a/b = (b/c) n   waarin   n = A : B   in het algemeen een onmeetbaar getal is.   Weliswaar wordt de term 'bevatten' hier en overal in het zesde boek gebruikt in een andere betekenis dan in het tiende boek, waarin de 44e propositie staat die we zojuist hebben genoemd; maar in het werk van Gregorius is dit soort verrassingen te verwachten. En het lijdt geen twijfel dat de term "zoveel maal vermenigvuldigen" van boek 6 gelijkwaardig is met het "zoveel maal bevatten door vermenigvuldiging", of eenvoudig "zoveel maal bevatten", van boek 10.   Laten we eraan toevoegen dat de Sarasa in het hierboven genoemde werk [p. 242, n.8], zoals ook Tacquet in zijn brief aan Huygens van 2 dec. 1652, p. 194-197 van T. I, de bedoeling van Gregorius op deze manier hebben begrepen. Allebei, Sarasa op p. 7 van zijn werk, halen ze hierbij deze zelfde 'Prop. 129' aan. En Wallis moet dezelfde mening hebben uitgedrukt in een brief waarvan we slechts het antwoord van Huygens kennen, van 13 juni 1653 (zie p. 332 van T. I).   Raadpleeg overigens over de interpretatie-problemen van de proposities van Gregorius noot 28 op p. 257 van dit deel.

[ 246 ]

Aynscom 25), volkomen gelijkwaardig is met de invoering van onmeetbare exponenten. Toch verandert deze omstandigheid geheel en al de strekking van de beweerde kwadratuur, die, zoals we al hebben opgemerkt, niets anders zou geven dan de reductie van de cirkelkwadratuur tot de bepaling van een getal dat slechts is uit te drukken met behulp van logaritmen 26). Vanuit dit gezichtspunt heeft Huygens gelijk met het verwerpen van deze eerste interpretatie als niet leidend tot een kwadratuur in eigenlijke zin.   Zodra Huygens het werk van Aynscom had ontvangen bereidde hij zijn weerwoord voor. Hij kondigt het aan aan De Roberval 27) en aan Wallis 28) van wie hij zich voorstelt in dit weerwoord te citeren de mening, overeenkomstig aan de zijne, uitgedrukt door Wallis in het voorwoord van zijn 'Arithmetica infinitorum' [^]. Op 25 september stuurt hij het manuscript naar de drukker Elsevier 29). Begin oktober 1656 is het drukken voltooid 30).   Aynscom, die een exemplaar ontving door bemiddeling van pater Seghers 31), heeft nooit geantwoord, ondanks een herinnering die Huygens hem in 1659 deed toekomen via dezelfde pater 32).   25)  Onderaan p. 100 van zijn werk.   26)  Er zou komen   53/203 = (5/11) n   en   5/11 = {(4π – 3√3)/(2π + 3√3)} n ;   dus log {(4π – 3√3)/(2π + 3√3)} = (log 5/11) 2 : log 53/203. We laten de veel te geforceerde uitleg weg die Aynscom geeft van de bedoelingen van Gregorius in het 'Scolium' van 'Prop. 40', waarover men kan raadplegen noot 20 van p. 254-255 van dit deel. Deze uitleg leidt trouwens tot geen enkele te vatten constructie of berekening, en Huygens heeft er pas mee afgerekend op de laatste pagina's van zijn Brief aan Aynscom, p. 276-277 van dit deel.   27)  Zie brief No. 315, van 20 juli 1656, p. 457 van T. I.       28)  Zie brief No. 316, van 21 juli 1656, op p. 459 van T.I.   29)  Het werk werd echter gepubliceerd bij Vlacq; vergelijk p. 490 en 491 van T. I.   30)  Zie de verzendbrieven aan Seghers, van Schooten en van Gutschoven, p. 502, 503 en 511 van T. I.   31)  Zie p. 502 van T. I.     32)  Zie p. 484 van T. II.

[ 247 ]

Zo ging het stof weer liggen dat was opgewaaid door de kwadratuur van de cirkel van Gregorius St. Vincent, de aanvallen van Mersenne 33), Sylvius 34), Meibom 35), Leotaud 36), Auzout 37) en Huygens en de antwoorden van de Sarasa, Kinner à Löwenthurn en Aynscom, en heel deze polemiek, die de geleerde wereld meer dan tien jaar had bezig gehouden, zou heel weinig sporen nagelaten hebben, ware het niet dat alles wat iemand als Huygens aangaat altijd een zekere belangstelling zal blijven wekken.   33)  Zie het werk aangehaald in noot 5 van p. 132 van T. I [Novarum observationum ... Tomus III, 1647, p. 72].   34)  Zie het werk aangehaald in noot 1 van p. 278 van T. I [Lunae circulares periodi ... Examen quarundam propositionum Quadraturae circuli, Lesnae 1651].   35)  Zie het werk aangehaald in noot 5 van p. 409 van T. I [De proportionibus dialogus, Hafniae 1655].   36)  Zie de werken aangehaald in noot 1 van p. 266 en 267 van T. I [Examen circuli quadraturae, 1654; Cyclomathia, 1663].   37)  Onder het pseudoniem A. A. in het werk aangehaald in noot 4 van p. 458 van T. I [Tractatus de Rationibus; zie ook I, 485].

[ 249 ]

[ Uit: Aynscom, Expositio, 1656 1) ] Antwoord III Op 'Exetasis' van Christiaan Huygens   1.  Na uitgelegd te hebben wat op de eerste kwadratuur betrekking leek te hebben 2), wilde ik niet dat deze studie van mij zich zou onttrekken aan U, zeergeleerde Heer, of dat het door anderen zou worden gevraagd, aan wie een stilte van de Schrijver een stilzwijgende erkenning van een fout zou kunnen toeschijnen; & hoe gemakkelijk ook, uit datgene wat in het voorgaande door mij is gezegd, de weerlegging is van wat u in heel uw onderzoek van de cirkelmeting uitvoerig beschrijft, ik heb het toch liever tot deze plaats willen uitstellen, opdat ik uw hele 'Exetasis', samen met het antwoord, ononderbroken voor ogen zou plaatsen.   2.  Als eerste dan, op pag. 25 3) zegt u: vier manieren heeft (de Schrijver) voorgesteld om de cirkel te kwadrateren, en zelfs heeft hij één ervan ook toegepast op de kwadratuur van de hyperbool; dat deze door hem beter dan de andere wordt geacht is uit veel aanwijzingen op te maken. Eén aanwijzing is in het bijzonder, dat hij de kwadraturen van twee verschillende figuren met deze zelfde heeft bewezen, een andere dat deze manier veel duidelijker is dan de overige drie, en daarom minder aan dwaling onderhevig moest lijken. En tenslotte is dit de belangrijkste aanwijzing, dat hij aan het begin van het gehele werk in zijn voorwoord aan de lezer, waarin hij de geschiedenis & de voortgang van zijn uitvinding kort heeft uiteengezet, geen andere dan deze ene heeft vermeld. Doch hij kan ook een andere reden hebben gehad om daar aan de laatste drie kwadraturen stilzwijgend voorbij te gaan, namelijk deze, dat hij wist dat ze alle vier uit dezelfde beginselen waren afgeleid & bewezen.   U vergist zich, zeergeleerde Heer, en uw gissingen zijn zo ver van de waarheid als maar mogelijk is; de beweegreden om die, welke de Schrijver tegelijk op de cirkel & de hyperbool heeft toegepast, voorop te plaatsen was enkel & alleen propositie 50 4):   1)  Het stuk is ontleend aan p. 120-124 van het werk van Aynscom, aangehaald in noot 6, p. 210 van T. I. Om verwijzingen die gemaakt zullen moeten worden te vergemakkelijken, is het verdeeld in paragrafen.   2)  Het gaat om de samenvatting van de eerste kwadratuur van Gregorius, 'Pars prima' van 'Lib. II', p. 89-104 van het werk van Aynscom. Vergelijk p. 244 van het 'Voorbericht' hierboven.   3)  Zie p. 315 van T. XI.   4)  In deze en de volgende propositie toont Gregorius aan dat het volume van de rechte cilinder met als basis figuur CDIH van p. 278 van T. XI en als hoogte AB gelijk is aan het volume van het lichaam dat men krijgt door de oppervlakken GNIH en OPIH de bewerken met 'ducere planum in planum'. Zie voor de betekenis van dit theorema voor de eerste kwadratuur van Gregorius: § 1-3 van het 'Overzicht' van deze kwadratuur, p. 277 van T. XI.

[ 251 ]

daar ze de cilinder herleidt tot een ander niet-cilindrisch lichaam op een bewonderenswaardige manier, en zo fundamenteel was voor alle kwadraturen, en niet zonder verstoring van de volgorde bij andere kon worden ingevoegd, gaf hij aan deze kwadratuur de eerste plaats. Verder, dat alle kwadraturen uit dezelfde beginselen zijn afgeleid & bewezen, is een veel ernstiger fout: want behalve de herleiding van de cirkelcilinder tot een lichaam ontstaan door het over elkaar trekken van parabolen 5), heeft de eerste niets gemeen met de overige; de redenering in beide gevallen, & de vergelijking van lichamen en verhoudingen, verschillen geheel en al. Bij deze is er geen gebruik van evenredigheden, de andere kunnen niet zonder hulp ervan tot stand gebracht worden; bij deze wordt de bewijsvoering, met gelijke vermenigvuldiging van deelverhoudingen 6), op een nieuwe manier opgesteld, bij de andere wordt vermenigvuldiging helemaal niet genoemd.   3.  U gaat daarna verder 7): Maar mij lijkt wel de ene of de andere van deze overwegingen voldoende te zijn, om te overtuigen dat één discussie die de eerste kwadratuur zou weerleggen voor alle zou gelden, de overige meeslepend. Als we namelijk een fout zullen hebben aangetoond in degene die minder duisterheid heeft, zie ik niet om welke reden een beter succes te verwachten is in de drie volgende, die in een zeer dichte nevel zijn gehuld, en die de schrijver zelf wel schijnt achter te stellen bij die ene.   Een dubbele fout komt hier voor in zo weinig regels; de eerste bestaat hieruit, dat u denkt dat één discussie voor alle voldoende is; hoe kan immers één discussie voor alle voldoen, terwijl de drie overige niets gemeen hebben met de eerste? Laat het zo zijn (niets is minder waar) dat uw 'Exetasis' de eerste heeft omgestoten, op de overige heeft die zeker niet meer betrekking dan op de cirkelmeting van Archimedes. Probeer het als u wilt, & u zult terstond zelf uw oordeel herzien. De andere fout daarin is, dat u meent dat de eerste minder duisterheid heeft, en de volgende in een zeer dichte nevel zijn gehuld. Maar de Schrijver oordeelt heel anders daarover, en ik bevind het anders als ik ze afzonderlijk uitleg. Zeker heeft de eerste meer aan complicaties en duisterheid, dan alle overige samen. In deze laatste is zowel de redenering als de herleiding van lichamen gemakkelijk; in de eerste is de nieuwe manier van vergelijken, met gelijke vermenigvuldiging van deelverhoudingen, ingewikkeld, & de herleiding van lichamen talrijk, gevarieerd en heel moeilijk.   4.  Pag. 26 8): Toch kan ik niet nalaten één ding te zeggen: dat de zeergeleerde heer niet voldoende gelukkig is geweest in het toepassen van enkele vondsten op het gebied van evenredigheden op de kwadratuur, en dat hieruit mijns inziens bij hem de oorzaak van de fout is gevolgd. Het eerst van al had ik dit waargenomen in propos. 39 van lib. 10 &c.   Hier komt weer een ernstige fout in voor: noch in 39 namelijk, noch in de hele eerste   5)  Dat wil zeggen met de bewerking 'ducere planum in planum', beschreven in § 4, p. 278 van T. XI, op twee parabolen gelegen zoals de parabolen ANZ en BPY van de figuur op die pagina [hier bij noot 4: de buitenste krommen; de linkerhelft van de figuur wordt loodrecht op de andere gezet].   6)  Zie § 7 en 9 op p. 279 van T. XI, rekening houdend met de gelijkwaardigheid van de termen 'zoveel maal bevatten' en 'zoveel maal vermenigvuldigen', waarover men kan raadplegen noot 24, p. 246 van dit deel [245 hierboven].   7)  Zie p. 315-317 van T. XI.     8)  Zie p. 317 van T. XI.

[ 253 ]

kwadratuur, is er enig gebruik van evenredigheden. Daar het immers heel iets anders is, verhoudingen onderling te vergelijken, volgens gelijke vermenigvuldiging van hun verhoudingen, waaruit ze volgens de achtste van boek 10 worden vastgesteld 9), dan te argumenteren met evenredigheden; lees propos. 39, volgens de bedoeling van de Schrijver uitgelegd 10), en vergelijk deze met propos. 3 van het volgende boek 11), waarvan het bewijs met evenredigheden wordt opgesteld; en terstond zal zich een enorm verschil vertonen. En hoe zou dan de Schrijver enkele vondsten op het gebied van evenredigheden niet zo gelukkig hebben kunnen toepassen op de kwadratuur, terwijl hij noch in propos. 12 12), of 39 13), noch in 40 of 44, noch in 51 of 52 of 53, waarin de hele eerste kwadratuur is bevat, ook maar één propositie aanhaalt of gebruikt die uit het boek over evenredigheden 14) wordt gehaald? Dus kan de oorzaak van een fout van de Schrijver niet daaruit zijn gevolgd.   5.  Pag. 27 15): zal ik de zaak zo ver afleiden dat, aangezien hij zegt dat het niet onmogelijk is zijn kwadratuur ten einde te brengen, en daardoor inderdaad een rechte lijn te vinden die gelijk is aan een cirkel, ik zal laten zien hoe dit in het vervolg heel gemakkelijk wordt bereikt. Daarna zal ik, zijn voetspoor volgend waarop hij ons tot nu toe is voorgegaan, aantonen dat daarmee geenszins tot het gewenste doel kan worden gekomen.   Over de manier die u belooft te zullen geven, waarop de Schrijver in het vervolg heel gemakkelijk een rechte lijn gelijk aan een cirkel kan vinden, dat zal ik hierna bezien, zodra ik eraan toekom. Verder, dat men zijn voetspoor volgend tot het gewenste doel kan komen, zullen dit en de volgende boeken leren 16).   Wat volgt tot aan pag. 32 17) bevat niets anders dan enkele proposities van de Schrijver.   6.  Pag. 32 17): Nu dit zo is vastgesteld, is te weten dat alle hoop & het fundament om de kwadratuur te bereiken voor de zeergeleerde Heer daarin gelegen is, dat hij meent dat de verhouding van lichaam HY 18) tot lichaam XV (en ik heb er al op gewezen dat slechts deze als enige verlangd wordt) gemakkelijk   9)  Vergelijk noot 8 op p. 317 van T. XI waar dezelfde 'Prop. 8' wordt aangehaald. We zullen deze trouwens hierna weergeven in noot 28, p. 257.   10)  Zie over deze prop. 39: § 10 van p. 280 van T. XI en noot 8, p. 317 van hetzelfde deel. Hier gaat het om de uitleg die Aynscom ervan heeft gegeven op p. 97 van 'Lib. II' van zjn werk. Volgens deze uitleg, voorzover te begrijpen, wilde Gregorius het 'zoveel maal bevatten' slechts beweren voor de 'deelverhoudingen'. Onnodig te zeggen dat de propositie dan elk belang verliest dat Gregorius eraan toekent in zijn eerste kwadratuur.   11)  Dat wil zeggen 'Prop. 3' van 'Lib. III', p. 136 van het werk van Aynscom (dat van Gregorius bevat niet meer dan tien boeken), waarin inderdaad het begrip 'zoveel maal bevatten' geen enkele rol speelt.   12)  Deze 'Prop. 12', p. 1105 van het werk van Gregorius luidt: Gegeven vier rijen van vijf evenredigen A B C D E, & F G H I K; vervolgens L M N O P, & Q R S T V, die de laatste grootheden E, K, P, V aan elkaar gelijk hebben. Ik zeg dat de verhouding van de grootheden A F tot L Q, zoveel maal de verhouding van de grootheden C H tot N S bevat, als de verhouding van de grootheden C H tot N S de verhouding van de grootheden D I tot O T bevat. Laten we opmerken dat volgens de voorgaande proposities, waarvan we er twee zullen citeren in noot 28, p. 257, de notaties A F, L Q enz. aanduiden A + F, L + Q, enz. Het theorema is dus onwaar, althans als men aan de woorden hun gewone betekenis toekent. Zie hierover de genoemde noot 28.   13)  Deze propositie en de vijf andere die volgen zijn alle genoemd op p. 277-280 van T. XI.   14)  Het gaat om 'Liber octavus. De Proportionalibus Geometricis', dat p. 865-954 beslaat van Gregorius' werk.   15)  Zie p. 319 van T. XI.   16)  Het gaat om 'Lib. III, IV, V' van het werk van Aynscom, met de drie andere kwadraturen van Gregorius.   17)  Zie p. 325 van T. XI.       18)  Zie de volgende figuur.

[ 255 ]

gevonden kan worden, als bekend zijn deze twee verhoudingen, namelijk de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, en de verhouding van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ. Het volgende zal dan immers worden aangevoerd: Bekend is de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, evenzo de verhouding van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, dus is ook bekend hoe vaak de eerste verhouding de laatste bevat. Doch zo vaak als de eerste de laatste bevat, zo vaak bevat deze zelf, namelijk de verhouding van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, de verhouding van lichaam HY tot XV; dus ook deze verhouding zal bekend zijn.   Hier wijkt u duidelijk af van de bedoeling van de Schrijver; ook al is immers het fundament om de kwadratuur te bereiken daarin gelegen, dat de verhouding van lichaam HY tot lichaam XV bekend wordt gemaakt, toch heeft de Schrijver nooit gemeend dat deze gemakkelijk gevonden kon worden, als bekend zouden zijn twee verhoudingen, namelijk van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ en van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ; deze had hij immers eerder bekend gemaakt in propos. 43 19). Zodat hij ook niet de bewijsvoering die u naar voren brengt zal opstellen, maar die welke ik heb gegeven in het Scholium van prop. 40 20), die geheel en al verschilt van de uwe. Verder, uit twee gegeven of bekende verhoudingen, waarvan de eerste de tweede zoveel maal bevat bij vermenigvuldiging, als deze de derde bevat bij vermenigvuldiging, de derde geheel bekend te willen maken, is hetzelfde als tussen twee gegevene een aantal middelevenredigen te willen leveren 21). Doch het zou onverstandig zijn de kwadratuur te vermengen met het mesolabium, of de laatste veronderstellen om de eerste tot stand te brengen. De Schrijver heeft dus niet gehoopt uit twee bekende verhoudingen, waarvan de eerste de tweede zoveel maal vermenigvuldigt als deze een derde, de laatste bekend te maken 22).   7.  Zelfde p. 32 23): Als ik hem dus zal aangeven welke verhouding er is van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, evenzo welke verhouding er is van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, en als hij zelfs dan niet kan zeggen welke verhouding lichaam HY heeft tot lichaam XV, moet hij inderdaad toegeven dat hij beide kwadraturen, zowel van de cirkel als van de hyperbool, tevergeefs heeft geprobeerd.   19)  Vergelijk § 8, p. 279 van T. XI.   20)  Zie over 'Prop. 40' van 'Lib. 10', § 10 op p. 280 van T. XI. Op p. 98-103 van zijn werk laat Aynscom deze propositie volgen door een uitleg "volgens de bedoeling van de schrijver" en door een breedvoerig en verward 'Scholium'. Hij heeft het er over de uitspraak van Gregorius: dat de verhouding van de lichamen MΞ en ΛΣ (zie de figuur) evenveel maal de verhouding van de lichamen KΘ en ΔΓ moet bevatten als deze de verhouding van de lichamen HY en XV bevat en beweert dat deze uitspraak niet van toepassing is op de 'totale' verhoudingen van de hele lichamen, maar alleen op de 'deelverhoudingen', die de totale vormen, dat wil zeggen op de verhoudingen van oneindig kleine plakjes, waarvoor de uitspraak inderdaad waar is. Vervolgens neemt hij, om deze deelverhoudingen weer te geven, zijn toevlucht tot de hyperbolische oppervlakken die we hebben vermeld in noot 24 op p. 245 van dit deel; maar tenslotte maakt hij juist die fout waarvoor hij de lezer in het begin waarschuwt, door iets toe te passen op de sommen wat hij slechts heeft bewezen voor hun delen. Bovendien maakt hij de verkeerde veronderstelling dat de verhouding van de hyperbolische oppervlakken DEGF en GFHC (zie de figuur van de zojuist aangehaalde noot) rationaal zal zijn wanneer dit zo is met de verhoudingen van de lengten DE, FG en HC. En ondanks dit alles komt hij niet tot een welbepaalde conclusie, waarmee de derde verhouding zou zijn af te leiden van de twee andere, door constructie of door berekening.   21)  Stel dat de drie betreffende verhoudingen zijn  a : b,  c : d en  e : f. Als dan geldt  a : b = (c : d) n en tegelijk c : d = (e : f) n, waarin n een meetbaar getal is, komt de bepaling van de verhouding e : f inderdaad neer op het mesolabium, dat wil zeggen op de constructie van een zeker aantal evenredigen tussen twee gegeven segmenten, mits het althans mogelijk is het getal n te vinden met de eerste relatie, waarin de verhoudingen a : b en c : d bekend verondersteld zijn.   Om dit aan te tonen stellen we e : f = g : d = (c : d) λ : μ. Dan geldt g = d (μ – λ)/μ c λ/μ; het segment g is dan het λ e van de μ – 1 evenredigen die tussen d en c moeten worden geïnterpoleerd.   22)  Hier stijgt de verwarring, niet zonder opzet veroorzaakt naar ons toeschijnt, ten top. Als men werkelijk ontkent dat Gregorius heeft willen aanwijzen hoe de derde verhouding was te bepalen met behulp van de twee andere, dan verdwijnt zijn eerste kwadratuur geheel; aangezien hij geen enkel middel geeft om tot deze derde te komen, waarvan zijn cirkelkwadratuur afhangt.   23)  Zie de vierde alinea van p. 325 van T. XI.

[ 257 ]

Geloof me, u had zich die moeite kunnen besparen; de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, eveneens die van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, was hem bekend, en de Schrijver heeft het aan anderen zowel in Rome als in België laten zien, verscheidene jaren voordat u leven en licht zag; lees propos. 43, boek 10, die beide verhoudingen bekend maakt. Het was dus niet nodig ze de Schrijver aan te geven, hij is de enige aan wie u de kennis ervan hebt ontleend. Maar 24) indien hij met deze twee gegeven verhoudingen hierna de verhouding van lichaam HY tot lichaam XV heeft kunnen vinden, dan kan hij geloven dat hij de cirkel werkelijk heeft gekwadrateerd.   Dit is die manier om de cirkel gemakkelijk te brengen tot een kwadraat, die u op pag. 27 15) beloofd hebt aan de schrijver te zullen geven. Ik vraag u, zeergeleerde Heer, waar u het vandaan hebt, dat met de verhouding van lichaam HY tot lichaam XV bekend de kwadratuur wordt afgehandeld? Zeker niet ergens anders vandaan dan van de Schrijver, en dit kunt u niet ontkennen, als u zou willen; wilt u dan, alsof hij dit niet wist, van wie u het alleen hebt geleerd, de manier van de kwadratuur voorschrijven? Ik zou wensen dat u, toen u deze dingen had geschreven, zich had herinnerd wat en aan wie u had geschreven. Dan 25) zal ik nu zeggen wat die verhoudingen zijn. En wel van de eerste, dat is de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, zeg ik dat deze dezelfde is als die van getal 53 tot 203. En de andere, de verhouding van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, is die van 5 tot 11. En van beide zal ik het hieronder bewijzen &c. Dientengevolge zal het nu op hem neerkomen dit te definiëren: hoe vaak hiervan de eerste verhouding de tweede bevat; dat wil zeggen, hoe vaak de verhouding van 53 tot 203 de verhouding van 5 tot 11 bevat. Maar in welke zin zal hij dan het woord bevatten hier uitleggen? &c.   Dat de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ dezelfde is als die van getal 53 tot 203, en van het andere lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ als die van 5 tot 11, daar heb ik niets tegenin te brengen, daar beide goed bewezen zijn. Hoe vaak echter de eerste verhouding bij vermenigvuldiging de tweede bevat, is gedefinieerd in het scholium bij propos. 40 uit beginselen van de Schrijver alleen. Doch in welke zin het woord bevatten moet worden uitgelegd: zie hetzelfde scholium en propos. 39, 40, hiervoor uitgelegd; waaruit volgt dat het bezijden de waarheid is, wat op pag. 37 26) wordt beweerd, dat er geen andere interpretatie van het woord bevatten in het Opus Geometricum wordt verschaft dan de twee door U aangevoerde; & ik verbaas me er wel over dat die interpretatie door U niet is gezien, daar ze uit prop. 12 27), die berust op de achtste, gemakkelijk kon worden begrepen, vooral met de uitleg daarbij van pater de Sarasa in coroll. 9 28) van de bevestigingen van de kwadratuur, welk boek   24)  Zie de vijfde alinea van p. 325 van T. XI.     15)  Zie p. 319 van T. XI.   25)  Zie p. 325 en 327 van T. XI, vanaf de voorlaatste alinea van p. 325.       26)  Zie p. 329 van T. XI.   27)  Zie noot 12; aangezien de propositie foutief is was het moeilijk de ware betekenis van de term 'bevatten' eruit af te leiden.   28)  In het betreffende corollarium (p. 32 van zijn werk) spant de Sarasa zich in om de genoemde 'Prop. 12' te redden door de vreemde bijbedoelingen uit te leggen die men moet veronderstellen om de strekking te begrijpen van de proposities van Gregorius. Inderdaad zijn deze bijbedoelingen heel geschikt om degene die het werk van Gregorius raadpleegt van de wijs te brengen. Zo staat bij hem de optelling van verhoudingen voor twee verschillende bewerkingen die hij uitgebreid bespreekt in het 'Scholion' bij 'Prop. 6' van 'Lib. 10' (p. 1102-1103 van zijn werk). Op deze manier komt hij ertoe verbazingwekkende proposities te formuleren zoals 'Prop. 8', p. 1104 van hetzelfde 'Lib. 10', die we met het bewijs ervan citeren als model. Laten we eerst zeggen dat A, B, C, D segmenten zijn van rechten van willekeurige lengte en dat AB betekent de som van de segmenten A en B.   Hier is dan deze propositie:   Laat er nu de verhoudingen zijn van AB tot CD, zowel de eerste als de volgende termen verdeeld, en wel de eerste in A & B, en de volgende in C & D. Ik zeg dat de verhouding van AB tot CD dezelfde is als de verhouding van A tot C, B tot C, eveneens van A tot D, B tot D.   Bewijs.  De verhouding van A tot C, opgeteld bij de verhouding van B tot C, is gelijk aan de verhouding van AB tot C (volgens 114 over verhoudingen). Evenzo, daar de verhouding van AB tot C, samen met de verhouding van AB tot D, gelijk is aan de verhouding van AB tot CD volgens het voorgaande, blijkt de verhouding AB tot CD gelijk te zijn aan de verhoudingen van A tot C, B tot C, samen met de verhoudingen van A tot D, & B tot D.   De voorgaande propositie, waarop het bewijs berust, is als volgt:   Propositio VII.  Laat van de verhouding van A tot BC de tweede verdeeld worden in B & C. Ik zeg dat de verhouding van A tot de hele BC dezelfde is als de verhouding van A tot B, & van A tot C.

[ 259 ]

U niet gemist kunt hebben, bij een zo grote nabijheid van de plaatsen, daar het twee jaar voor het uwe is verschenen 29).   8.  Pag. 37 30): hij heeft dus niet een manier meegedeeld om te bepalen hoe vaak de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ de verhouding bevat van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, en dus kon ook niet bepaald worden hoe vaak deze verhouding die van lichaam HY tot lichaam XV bevat. En daarom is helder dat deze verhouding, zelfs als die twee vorige verhoudingen gegeven zijn, niet door de vondsten van de zeergeleerde Heer kunnen worden gekend; en dat hij dus tevergeefs heeft gehoopt op deze wijze de kwadratuur van de cirkel te bereiken.   Hier is een fout begaan die de prijs verdient, die ook laat zien dat U een vreemdeling bent in de leer van de Schrijver: of u namelijk het woord bevatten neemt in de zin door de Schrijver bedoeld & hiervoor door mij uitgelegd, of dat u daaronder verstaat het bevatten bij vermenigvuldiging, elk van beide manieren van bepalen heeft hij overvloedig geleerd, zoals aangetoond in het scholium bij propos. 40 van boek 10 van Opus Geom. 31); waaruit die derde verhouding met de vondsten van de Schrijver bekend kon worden, en zo heeft hij niet tevergeefs gehoopt langs deze weg de kwadratuur van de cirkel te bereiken. Nu 32) blijft slechts over dat ik duidelijk maak wat in het voorgaande is gesteld, ik heb immers gezegd dat ik zou aantonen dat het lichaam MΞ zich tot het lichaam ΛΣ zou verhouden als 53 tot 203; evenzo dat lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ de verhouding van 5 tot 11 zou hebben. Doch aangezien voor het bewijs van het eerste hiervan nodig is dat we bekend hebben, welke verhouding er is van de parabolische ungula [hoef] tot zijn cilinder; daarom zullen we bij het verklaren van deze verhouding de verhandeling van de zeergeleerde Heer, die hij over deze ungula heeft voorgelegd, met één uitstekend Theorema vermeerderd weergeven, en ik verbaas me erover dat hij dit niet heeft gevonden, daar het gemakkelijk wordt afgeleid uit wat hij al had laten zien.   U vergist zich, zeergeleerde Heer, dat Theorema heeft de Schrijver zowel gezien als gevonden, al dertig en meer jaren geleden; maar omdat hij het zo moeiteloos kon afleiden uit wat hij had bewezen, heeft hij dat een corollarium waard geacht, niet een propositie. Zie het corollarium 33) bij propos. 99 van boek 9 in Opus Geom., waarin u deze woorden zult lezen: Hieruit is de manier duidelijk om te onderscheiden de verhouding tussen de parabolische ungula & de cilinder die   29)  Het werk van Sarasa, aangehaald op p. 156, noot 7 van T. I, verscheen te Antwerpen in 1649; bovenaan de pagina's staat het opschrift 'Confirmationes quadraturae'.   30)  Zie de tweede alinea van p. 329 van T. XI.   31)  Het gaat nog steeds om het 'Scholium', toegevoegd door Aynscom aan 'Prop. 40' van 'Lib. 10', die in het werk van Gregorius geen 'Scholium' heeft. Zie noot 20 bij p. 255 hiervoor.   32)  Zie p. 329 van T. XI vanaf de derde alinea.   33)  Dit 'Corollarium' staat op p. 1034 van Gregorius' werk en luidt: Hieruit is de manier duidelijk om te onderscheiden de verhouding tussen de parabolische ungula & de parabolische cilinder die de ungula bevat, of tussen de ungula & de rest die met de parabolische ungula de cilinder vormt. Uit het boek namelijk dat we hiervoor hebben geplaatst over de parabool kan een methode gehaald worden om een parabolische cilinder te herleiden tot een parallelepipedum daaraan gelijk; en aangezien hier in deze propositie in praktijk wordt getoond hoe ook een ungula is te herleiden tot een parallelipipedum dat eraan gelijk is, zal degene die de verhouding van deze parallelepipedums kent ook de verhoudingen kennen, die er zijn tussen een parabolische cilinder en de ungula ervan.

[ 261 ]

de ungula bevat, of tussen de ungula & de rest van de cilinder &c. En ik ben zeer verbaasd dat U dit niet hebt gelezen, of als u het hebt gelezen niets hebt laten blijken.   Overigens hebt u met het hele onderzoek van de Cirkelmeting niets anders gedaan, dan laten zien dat uit twee bekende verhoudingen, waarvan de eerste de tweede even vaak vermenigvuldigt, als deze de derde vermenigvuldigt, met vondsten van de schrijver die hij op de eerste kwadratuur heeft toegepast, de derde niet bekend wordt. Daar de Schrijver echter een geheel andere weg is ingeslagen, zodat hij geenszins de bedoeling had uit twee bekende gelijk vermenigvuldigde verhoudingen de derde bekend te maken, omdat oplossing ervan afhangt van het mesolabium, is het duidelijk dat uw 'Exetasis' de eerste kwadratuur van de Schrijver niet alleen niet omver werpt, maar zelfs niet aanvalt.   Toch is uw poging lofwaardig, waarmee u wel met meer ijver dan succes iets moeilijks hebt geprobeerd 34), Het is niet gering dat U onder zoveel uitnemende meetkundigen, als een van de eersten, deze taak aan Uzelf hebt toevertrouwd. En als u weer tijd hebt u op deze studie toe te leggen, zult u zowle de Schrijver als mij een nieuwe dienst bewijzen.   34)  Toespeling op de volgende zin, door Huygens gebruikt in het voorwoord van het tweelingwerk dat de 'Exetasis' bevat: "begreep ik tenslotte dat dit moeilijk bereikbare met meer scherpzinnigheid dan succes was geprobeerd". Zie p. 287 van T. XI.