WILLEBRORD SNELLIUS
A P O L L O N I U S B A T A V U S,
Of,
Herwekt van APOLLONIUS van PERGA
Meetkunde,
O V E R B E P A A L D E S N I J D I N G.
LEIDEN,
Gedrukt door Johannes van Dorp, 1608,
Voorradig bij Jan le Maire.
| klare toorts, Wiskundig licht, geboren aan die Pamphylische kust, geraakt door woede van zee, Men roept me in het licht, gewekt uit het diepe duister, Terwijl mij de gunst van SNELLIAANS licht verkwikt. Wel kort was het leven, mijn Perga, dat u mij hebt gegeven. Maar eeuwig, dat nu me gaf die SNELLIUS. Ios. Scal. Iul. Caes. F. |
| Hermodotos. |
| 'Ouch ho logos auxei tèn technèn perissos ôn. Alla auta kosmei tèn technèn ta pragmata.' |
|
Het gedicht van Scaliger komt niet voor in: Josephi Scaligeri ... Poemata omnia, Leiden 1615, 'Encomia Librorum' (p. 47). Wel in: Joh. Meursius, Athenae Batavae, Leiden 1625, p. 299, met een correctie: 'excitus' i.p.v. 'excitur', zoals ook in: Liesbeth de Wreede, Willebrord Snellius (1580 - 1626), a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, 2007, p. 56. Grieks, met Hermodotos, in: Neue Jahrbücher für Philologie und Pädagogik, 14e Jahrgang, 40e Band, 4e Heft (Leipzig 1844), p. 423, met 'kosmei ton logon ta pragmata', en erbij: "Allein das sind Verse des Menander nach Append. Flor. p. 12, 2". De twee Griekse verzen staan ook in: A Dictionary of Classical Greek Quotations, nr. 146, vertaald als: "Not by excessive praise is art improved; Art is adornment in itself", Fragment 1095 (Kock). Theodor Kock, Comicorum Atticorum fragmenta (Lips. 1888), p. 266, onder Menander, met "Floril. 60, 3 'Hermodotou' L." Stobaei Florilegium, vol. 4 (Lips. 1824), p. 125: Titulus LX. Pro Artibus. 3. Hermodotus.
Hermodotus met deze vertaling ook al in: Dicta poetarum quae apud Jo. Stobaeum exstant (ed. Hugo Grotius), Par. 1623, p. 228-229: |
 nderdaad, waarheen ik ook de ogen en scherpte van mijn verstand richt, er is niemand naar wie ik liever zou gaan dan naar u; niemand aan wie dit werk van ons kan toekomen, behalve u; die al bij zoveel door uzelf opgeloste problemen, dat Archimedische heurèka, die Archimedische
Sirene bedoel ik, zo dikwijls hebt meegemaakt. En daarom, als ik door de vreugde van deze vondst, en vervuld van blijdschap, wat te vrijmoedig zou jubelen, vertrouwde ik erop dat ik van u, Doorluchtigste Prins, gemakkelijk vergiffenis zou krijgen. Want sinds mensenheugenis bestaat er geen herinnering aan iemand, die ooit met zo'n gelukkige uitkomst de wiskundige wetenschappen heeft gekoppeld of verbonden met hun toepassing. En wiens roem niet kan worden omvat door de krappe grenzen van Europa, maar moet worden begrensd door gebieden van de hele aarde.°)
*) Naar Ovidius, Fasti, 3, 1 (hier met "Dux" i.p.v. "Mars"). "Come, warlike Mars; lay down thy shield and spear for a brief space, and from thy helmet loose thy glistering locks", transl. G. J. Frazer, Loeb 1959, p. 121. °) In 1608 kwamen er ambassadeurs uit Siam (Thailand) naar Den Haag. Zie Henk Zoomers, 'The Netherlands, Siam and the telescope', in The origins of the telescope, Amst. 2010, p. 301-320, m.n. 303. |
|
Want alles wat met behulp van deze wetenschappen door u is verricht, hetzij zeer duidelijk, hetzij voorspoedig, dat is toen al in het onvergankelijke geheugen van het nageslacht verstrooid en verbreid. En algemeen wordt aangenomen dat zij, die niet te voorschijn komen, die zich niet alleen onder de blote hemel niet oefenen, maar zelfs niet in de Xystos, wordt aangenomen, zeg ik, dat deze in de schaduw blijvende filosofen in hun scholastische studeerkamers, redenaars van woorden, niet uitvoerders van daden, toen ze het stevige en goed onderhouden wiskundige corpus hadden overgenomen van het voorgeslacht, als waar slechts hebben nagelaten wat uit de studeerkamer kwam, en de grote lijnen; en als actief, voor tijdverdrijf, het verstandelijke van de Epicureeërs, als van de goden. Terwijl ze de toepassing, dat is het sap en het bloed, scheiden van de wetenschap als iets heel anders. Inderdaad verdient die uitspraak van Vitruvius een plaats in niet alleen de Architectuur, maar in elke wetenschap:
Waar ik wel meer aan twijfel is, of ik wil stellen dat aan u meer lof moet worden toegekend, of aan hen meer blaam; daar u, in beslag genomen door leiding in de oorlog, en bestuur van het rijk der Nederlanden,
*) Vitruvius, De architectura libri decem, 1, 1.2. Ned. uit: Handboek bouwkunde, Vertaald door Ton Peters, Amst. 1999, p. 28. |
|
zoveel macht en kennis van zaken hebt samengevoegd. Maar om te zeggen wat ik denk: ik meen dat gedenkstukken van velen (wat de dichter*) bezong over het Romeinse rijk) onder hun eigen gewicht zijn ingestort, zolang men er veel vertaalt, nog eens verhaalt, en ook volstopt met vreemde zaken. En toch zeg ik dit niet daarom, omdat ik niet genoeg dank zou toekennen aan die eerste vinders, maar omdat ik zie door welke zo grote verscheidenheid van zaken de meesten worden afgeschrikt, en in verwarring gebracht. Want aangezien er van nature niet een zodanig scherpe blik is in het verstand van een mens, dat iemand zoveel zaken kan zien, tenzij ze worden aangewezen; daarom moeten eerst de bronnen worden doorzien, opdat we zo dikwijls als nodig is, slechts daaruit putten, zoveel als de zaak vereist. Want de samenstelling van dit vak is heel elegant en bewonderenswaardig, en de regelmatigheid is ongelooflijk. En om deze reden heb ik, ook door de aansporing van het orakel van Delphi, dat ons opdraagt tijd te besparen°), deze allang verouderde en in vergetelheid geraakte bepaalde snijding opnieuw opgebouwd. Weliswaar niet met die rijkdom aan bewijzen of overdrevenheid, die zij hebben toegepast, want dat zou onaangenaam zijn en zonder nut; maar liever heb ik van het werk dat ik heb genomen de hoofdzaak afgemeten, in combinatie met de bruikbaarheid, en de zaken zelf in hun woorden. Van wiskundige bewijzen wordt immers al het goede beoordeeld op overeenstemming en kunstige verbinding; en meer wordt niet boven minder gesteld, en langer niet boven korter. Een Wiskundige is immers bij het bewijzen goed uitgerust met een variëtiet aan zaken en gevallen, al gaat het met minder woorden. Want terwijl alle wetenschappen zeer veel
*) Misschien Vergilius, Aen. 6, 781 e.v. Engl. Zie ook Wikipedia Aeneid, 6, 'Underworld'. °) 'Chronou pheidou', "Use time sparingly", is nr. 39 in '147 maxims of Stobaeus', bij Pythia. Zie: Otto Hense, Ioannis Stobaei Anthologii librl duo posteriores, vol. 1, Berol. 1894, p. 126. |
|
gelijksoortige dingen omvatten, is het vooral zo bij de Wiskunde; en daarom moeten die met rede en methode worden opgesteld. Daarom, als iemand in die verscheidenheden en doolhoven van bewijzen zijn scherpzinnigheid ten toon wil spreiden, is het kinderachtig; doch het helemaal helder kunnen ontwarren, dat is werk van een geleerd en verstandig iemand. En daarom, wanneer het nodig is, ben ik blij met korte en scherpe gevolgtrekkingen; die niet zo lang behoeven te zijn om helder te zijn. Dat hiervoor gezorgd moet worden is namelijk de mening van alle wiskundigen. Want wie met zo'n overvloed aan bewijzen te kampen heeft lijkt mij te bewijzen in een wat onverzorgde vorm: alles moet kort en netjes door ons gezegd worden. Maar omdat deze zaak heel veel voorbereidende studie en oefening vergt, zien we onder recenteren dat óf de ene óf de andere soort wordt gevolgd; de overigen hebben het niet gewild, of niet gekund, in elke geval hebben ze het nagelaten. Overigens, welke opbrengst, of welke bruikbaarheid we nastreven, nu we dit boek willen publiceren, zal ik uitleggen met woorden van de grote Plato, bij een dergelijke zaak. Als in de wiskunde iets goed en elegant wordt gevonden en samengesteld: dit is de weg, dit is voedsel, ga zo verder*). Maar toch zal voor mij en andere liefhebbers van wiskunde een stevige en betrouwbare bruikbaarheid en opbrengst pas dan vaststaan, als dit werk volgens uw berekening goedgekeurd en aanbevolen bij mensen in handen komt. Aan u dus, Doorluchtigste Prins, die ook in de slaglinie, en temidden van gevechten, de waarde en bruikbaarheid van deze wetenschappen als enige, of het meest
*) Plato, 'Epinomis', in: Platonis Omnia opera (Bas. 1534/56), p. 642, r. 15: 'outos ho tropos, autè trophè, tauta mathèmata. ei te chalepa ei te rhadia, tautè poreuteon.' Bij Perseus, Gr.: Platonis Opera (ed. John Burnet) 1925, 992a. Engl.: Plato in Twelve Volumes, Vol. 9 (transl. W.R.M. Lamb) 1925, 992a, "this is the way, this the nurture, these the studies, whether difficult or easy, this the path to pursue". |
|
erkent, en de zorg ervoor altijd in gedachten houdt, aan u vraag ik, zo goed te willen zijn dit boekje in te zien, het is klein van omvang, maar naar ik hoop van heel veel nut. Want ik breng dit gedenkteken (zoals Eratosthenes vroeger deed*)), door mij opgebouwd, in de tempel van uw roem en glorie, en schrijf uw naam erin, als u het tenminste niet afwijst. Of anders liever: van de lans; ook ongewapend zult u iets te doen vinden. °)
*) MacTutor: "Eratosthenes erected a column at Alexandria with an epigram inscribed on it relating to his own mechanical solution to the problem of doubling the cube ... 'This is the gift of Eratosthenes of Cyrene'." Grieks in: 'Aratou Soleôs ... Eratosthenous Katasterismoi' ... (ed. J. Fell), 1672, p. 35. En in: E. Hiller, Eratosthenis Carminum reliquiae, Lips. 1872, p. 130. °) Ovidius, Fasti, 3, 7. Na het citaat van p. 3 hierboven. "After the pattern of Pallas take a time to put aside the lance. Thou shalt find something to do unarmed", transl. G. J. Frazer, 1959, p. 121. |
| Dat wil zeggen: Na deze (boeken over afsnijden van een oppervlak en van een verhouding) volgen nog twee boeken over bepaalde snijding, die, zoals de voorgaande, kunnen worden samengevat in één propositie met aparte onderdelen. |
|
Een oneindige rechte te snijden in één punt, zodanig dat van de rechten, genomen naar daarop gegeven punten, óf het vierkant van de ene, of de rechthoek op de twee, een gegeven verhouding heeft tot de rechthoek op één afgenomen rechte en een externe gegeven rechte, of tot de rechthoek op twee afgenomen rechten*); en dat dan wel aan de kant die nodig is van de gegeven punten. En van deze propositie, als zijnde tweemaal gescheiden en onderverdeeld, en met wat onhandelbare bepalingen, is het noodzakelijk dat het bewijs meervoudig is. Apollonius bewijst het echter met enkel rechte lijnen op de gebruikelijke en gewone manier, die Euclides in het tweede boek van de eerste Elementen°) ook heeft gebruikt. Maar hetzelfde heeft hij meer in overeenstemming met de regels en geschikter weer opnieuw gedaan met halve cirkels. Nu heeft het eerste boek zes problemen, zestien afdelingen#), vijf bepalingen; en hiervan zijn er wel vier de grootste, en één is de kleinste. De grootste zijn bij de tweede van het tweede, en de derde afdeling van het derde probleem. En het tweede boek over bepaalde snijding heeft drie problemen, negen afdelingen, drie bepalingen; waarvan de kleinste zijn bij de derde van het eerste en van het tweede, en de grootste bij de derde afdeling van het derde probleem. Verder heeft het eerste boek 27 hulpstellingen, het tweede ook nog 24. Het aantal theorema's van de twee boeken over bepaalde snijding is 83. Is het werkelijk zo, goddelijkste Pappus? Is een op te lossen plaats op die manier door u tenslotte behoorlijk verdeeld? Zodat u aan de boeken over snijding van een verhouding en van een oppervlak de eerste plaats toekent? En aan de bepaalde snijding de laatste? Echt wel een mooie en grappige plaatsing, alsof ik in de logica de eerste regels van beoordeling zou maken met de voorschriften van het vinden, en van het plaatselijke. Maar toch verbaast het me nu niet dat er in deze omverwerping van de volgorde een zo grote en zo veelvoudige tautologie was. Spits de oren, Analyticus, en overweeg wat ik wil zeggen; want ik verlang dat u als enige de scheidsrechter en beoordelaar bent in deze zaak. Bij elk voorgesteld probleem moet de bron teruggevonden worden,
*) Andere versie: John Lawson, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning determinate section, as they have been restored by Willebrordus Snellius, London 1772, p. iii: "... verhouding heeft óf tot de rechthoek op een andere onderschepte en een of andere gegeven rechte; of ook tot de rechthoek op twee andere onderschepte rechten". °) Noot in Lawson 1772: "From hence it appears that Euclid's were called the first Elements, and that the other Analytical Tracts, recited by Pappus, were called th second Elements". #) In Lawson 1772 is hier ingevoegd: "of plaatsingen van punten". |
|
waarin de eerste schetsen staan, en als die gevonden is kan elke oplossing van het gevraagde daaruit worden afgeleid, als uit het begin. En zo zullen voor degene die het oplost de voornaamste problemen van de genoemde boeken neerkomen op het eerste en tweede probleem van dit boek. Daarom, weg met deze omkering, waardoor die verderfelijke en eindeloze hydra van tautologie altijd weer als nieuw uitgroeit. Ik kan dus beter teruggaan naar die bronnen, waaruit de theorie eenvoudiger en zuiverder te voorschijn kan komen. Voor u echter, navolgers van Plato, telgen van een meer zuivere wiskunde, breng ik aan het licht en geef ik het eerste deel van de tweede Elementen, helder, zuiver, doorzichtig, ontdaan van doornen, en eindeloos veel onkruid van duisterheid, omkering en tautologie. We hebben een eindeloos gewas van hulpstellingen afgesneden met één enkele hulpstelling, een onmetelijke afgrond van duisternis uitgelegd met een andere huplstelling; licht en zon teruggebracht in plaats van mist en wolken. Van de twee eerste problemen hebben we de bruikbaarheid laten zien in de boeken over snijding van een verhouding en van een oppervlak*). Dat hadden we ook bij andere kunnen doen, en inderdaad verscheidene; maar mij leek pas aanbevelenswaard die materie, waarin de werkzaamheid van de ouden bedreven en geoefend was. Ook van de laatste twee problemen heb ik de bruikbaarheid kunnen geven in een probleem dat subtieler en moeilijker is, en waarvan de materie bijna geheel wordt afgeleid uit de voorgaande. Waarbij ik alleen daarom zou geloven dat Apollonius er niet de hand in heeft gehad, omdat een heel dichte mist van tautologie de gewone oplossingswegen had versperd voor iemand die het probeert, en als hij de oplossing ervan naar de problemen van dit boek had overgebracht, zou de uitleg gemakkelijk zijn geweest. Deze Bepaalde snijding dus, die ik uit de dood heb opgewekt, als een nieuwe Asclepius°), bied ik hier aan; het werk wordt geheel in beslag genomen door de snijding van een rechte lijn tot daarop gegeven merkpunten, die, als het aantal hulpstellingen en theorema's een argument is, vroeger door Apollonius heel breedvoerig is uiteengezet. Maar toch hopen we, nu deze grond door ons met gedienstige bebouwing is bewerkt, dat die in vruchbaarheid niet onder zal doen voor de grootste landerijen van anderen. De kracht was werkelijk groot van zijn grote scherpzinnigheid, waarmee hij, als een rivier die buiten zijn bedding
*) Zie 'Peri logou apotomès kai peri chôriou apotomès' resuscitata Geometria (1607), Ned.: p. 19, 22, en ook p. 7 ('Aan de Lezer'). °) Irritatie over de grootspraak van Snellius is niet uitgebleven, zie Carlo Renaldini, Artis analyticae mathematum Pars secunda (Pat. 1669), 'De loco resoluto', p. 64: "... over bepaalde snijding ... En Snellius probeert dit deel van de Meetkunde te herstellen ... dat wie zich opwerpt als een groot Meetkundige zeer weinig ervaring heeft met de Meetkunde zelf, wanneer hij in de Analytica zelfs niet over de eerste drempel is gegaan; hij meent dat hij een andere Apollonius is, en toch hecht hij veel waarde aan de oplossing van drie vrij alledaagse problemen". |
|
overstroomt, ook de naburige wiskundige velden heeft bevloeid, en op die manier ook, als een andere Nijl, dit akkertje niet alleen heeft bespoeld, maar ook vruchtbaar gemaakt. En het is ook niet gering, dat hij als enige uit de gehele oudheid onder de wiskundigen de bijnaam de Grote heeft verdiend. Over wiens zo grote en zo veelvoudige geleerdheid bij Pappus tenminste bewijzen in het oog vallen van heel bruikbare en heel subtiele boeken,
Dat deze in de herinnering van het nageslacht zouden worden overgedragen verdienden ze niet alleen, maar was ook van belang voor de gehele wiskunde. Maar toch, dat dit alles heel goed was is na verloop van de slijtende tijd verloren gegaan. Daarom, komaan stervelingen en verzadig uw verstand met grote gedachten; niet om de nagedachtenis van onze naam bij tijd van leven ter harte te nemen, maar ter vergelijking met het hele nageslacht. Laat ik nu echter inderdaad doen wat was voorgenomen, en terugkeren naar het onderwerp en de titel van dit boek. Bepaalde snijding is een naam, afkomstig van een heel streng toevoegsel van bepaling, zoals deze bepaling of definitie, van gevallen en manier van doen, ook in veel andere meetkundige bewerkingen algemeen voorkomt. En verder, omdat in de problemen van dit boek een rechte hetzij erbij gegeven wordt, hetzij als te onderscheppen rechte tot gegeven merkpunten slechts impliciet gesteld is, zijn die gemakkelijker te doen wanneer de rechte in een tekening wordt gegeven, en zeker het eerste boven de andere, waar geen rechte wordt gegeven behalve die, welke behoren bij de toegekende merkpunten. Daar deze laatste worden gedaan met behulp van dat eerste, en omdat het lijkt dat er bij Pappus rondingen van cirkels zijn, ik weet niet hoe gemaakt en met welke rondheid, is deze manier ons ook het best bevallen, en hoewel we de voorgelegde problemen op beide manieren hebben uitgelegd, hebben we alleen deze behouden en de andere verworpen. Maar ter zake. Wanneer er een externe rechte bij gegeven is, moeten de overige hetzij tot twee, hetzij tot drie gegeven merkpunten worden afgenomen. Dus wanneer er slechts twee gegeven zijn is het probleem als volgt.
*) Naar Lucanus, Belli civili liber primus, 135. Engl.: "shadow of a mighty name. As when some oak ... With feeble roots still clings". |
|
Een gegeven oneindige rechte in één punt zodanig te snijden, dat van de rechten afgenomen tot twee gegeven punten, het vierkant van de ene, tot de rechthoek op de andere en een gegeven externe, een gegeven verhouding heeft. Laat op een gegeven oneindige rechte twee merkpunten toegekend worden, a en e, en laat deze gesneden moeten worden in een derde merkpunt o, zodanig dat het vierkant dat ontstaat uit het segment oa, tot de rechthoek die er komt onder het andere segment oe en een of andere gegeven externe rechte au, een gegeven verhouding heeft, zoals van R tot S, of ai tot au. De aan de dus gegeven au analoge ai kan vanaf het andere merkpunt (namelijk vanaf a), waar zijn coëfficiënt — dat is die waarmee die externe rechte au een gevraagd oppervlak moet bevatten — niet eindigt, zich aan elk van beide kanten bevinden, of hij nu wordt uitgespreid aan dezelfde kant waar e ligt, of in de andere richting wordt gekeerd. 
En dan worden vanuit a en i opgericht de loodlijnen ay en ir, gelijk aan die ae en ai. En wel naar dezelfde kant als e en i aan dezelfde kan van a liggen; maar als a er tussen ligt, naar tegengstelde kanten; de toppen ervan worden verbonden door yr. De omtrek op deze diameter beschreven zal de eronder liggende ai snijden (en dan zal het probleem tweeledig zijn) of juist raken. Dit moet dus het merkpunt o zijn, en getrokken kunnen worden de rechten yo en or. Daar dus de hoek roy |
|
op de halve cirkel een rechte hoek is, zullen de twee hoeken roi en yoi ook gelijk zijn aan een rechte hoek. Maar ook de twee hoeken ayo en aoy zijn gelijk aan een rechte hoek in driehoek yao, dus als wordt weggelaten de gemeenschappelijke yoa, zullen de overblijvende ior en oya gelijk, en de rechthoekige driehoeken rio en oay gelijkvormig zijn, en de zijden ay (dat is ae), ao, oi, ir (dat is ia) evenredig. En door verdelen of samenstellen zal gelden: eo is tot ao, zoals ao tot ai. En het kwadraat van ao zal gelijk zijn aan het product van eo en ai. Maar zoals het product van ai en eo, dat is het kwadraat van ao, tot het product van au en eo, zo is ai tot au, welke verhouding dezelfde is als de gestelde R tot S. Gedaan is dus wat behoorde gedaan te worden. Geheel gelijk komt dus ook de verhouding overeen, en het bewijs, voor dat punt v, het andere merkpunt van de snijding. En verder zal een verhouding van de delen die passend is, of die het werk vereist, verkregen worden op de volgende manier. Dat de rechte, coëënteo, deel uitmaakt van die ao waarvan het kwadraat gevraagd wordt. Nu zal die ai, waarmee in de gegeven verhouding analoog is au, niet kleiner mogen zijn dat het viervoudige van die ae die tussen de gestelde punten ligt. |
|
Laat ae gesteld worden als deel van die ai, dat wil zeggen laat ai vanaf a gelegd worden naar de kant van e; en daarom zullen de loodlijnen dan naar dezelfde kant genomen worden, welke manier van doen door ons genoemd wordt gelijklopend; dan vallen de gevraagde merkpunten a en i immers zo, dat oe deel is van die ao. |
|
Die ai, waaraan in de gegeven verhouding au analoog is, wordt van a afgekeerd in tegengestelde richting van ae; en daarom worden de loodlijnen naar verschillende kanten opgericht, welke manier van doen door ons wordt genoemd tegenlopend. Dan zal immers de omtrek van de cirkel buiten i door v lopen. en av een deel zijn van die ev. Wel zullen ao en oe slechts in dezelfde richting liggen, en ze zullen segmenten zijn van de gestelde lijn ae. Dit is immers duidelijk uit het bewijs zelf. Als op een of andere rechte loodlijnen vallen vanuit de eindpunten van een diameter, zijn de segmenten van de loodlijnen aan dezelfde kant van de rechte, tot gelijke krommingen van de cirkel, gelijk. En de rechten tussen de loodlijnen en gelijke krommingen zullen gelijk zijn. Dit theorema en wat volgt zouden in een andere, algemenere Meetkunde van deze bijzondere grondslag ondergebracht moeten worden. Maar omdat ze nog niet zijn beschreven in de gewone Meetkunde, en er niets was waaruit studerenden die kunnen halen, moeten ze ondertussen tijdelijk deze plaats krijgen. Echter zodanig dat ze met een opschrift in het oog vallen, dat wil zeggen dat ze buiten de opgenomen proposities met de benaming HULPSTELLING worden aangeduid. Laat op de gestelde rechte rs vanuit e en i, de eindpunten van een diameter ei, de loodlijnen iu en eo vallen. Ik zeg dat de segmenten ervan, aan dezelfde kant van de gegeven rechte, tot gelijke gelijke krommingen van de cirkel, gelijk zijn, zoals hier oy en ui, of eo en lu. Want als y met i verbonden wordt zal de hoek eyi in een halve cirkel recht zijn, en you is gesteld als rechte hoek, dus zullen yi en ou evenwijdig zijn, |
|
en ook yo en ui zijn onderling evenwijdig, omdat ze loodlijnen zijn op rs. Dus evenwijdigen beëindigen evenwijdigen, en de tegenovergestelde zijden yo en iu zullen onderling gelijk zijn. Geheel gelijk is het bewijs dat de rechten eo en ul onderling gelijk zijn. Het tweede deel, dat de rechten or en us, en evenzo ur en os onderling gelijk zijn wordt als volgt bewezen: Daar immers aan rechthoek eoy gelijk is sor, en eveneens eoy, dat is lui zoals bewezen, gelijk aan rus, zal rechthoek ros gelijk zijn aan rus, en daarom zullen de segmenten ro en us gelijk zijn aan de segmenten or en us. Als van vier evenredigen twee coëfficiënten groter zijn dan de twee overige, zijn die de grootste en de kleinste. Het is zo goed als het omgekeerde van wat wordt bewezen in de Elementen: dat de grootste en de kleinste groter zijn dan de overige.*)  Laat twee coëfficiënten, dat wil zeggen beide uiterste bij analoge rechten, of beide middelste, de lijn ae vormen, groter dan io, waarvan de segmenten zijn iu en uo. En laat ae de diameter van een cirkel zijn, waarin de kleinere oi, daarom geen diameter, wordt beschreven. Dan zal diameter ae, gevoerd door het punt u, gesneden worden in die segmenten waaruit hij is samengesteld. En omdat u niet het middelpunt is, zal ue de kleinste zijn, ua de grootste van de vanuit u getrokken rechten; ui en uo daartussen zijn de middelste in grootte. Hetzelfde kun je begrijpen bij drie continu evenredigen, omdat de middelste dan tweemaal genomen wordt. Als van vier evenredigen het verschil van twee coëfficiënten groter is dan het verschil van de overige coëfficiënten, zijn die de grootste en de kleinste.  Laat van de twee coëfficiënten au en ue het verschil zijn ae, groter dan io, het verschil van de coëfficiënten ou en ui. En aangezien au is tot ou, zoals ui tot ue, zal er een cirkel kunnen worden getrokken dooe de vier puntn a, e, i, o. Maar ae is groter dan io, en daarom dichter bij het middelpunt. Derhalve zal de hele au groter zijn dan uo, en ue kleiner dan ui.
*) Zie Euclides V, prop. 25. |
|
Een gegeven oneindige rechte in één punt zodanig te snijden, dat van de rechten afgenomen tot drie gegeven punten, de rechthoek op één ervan en een gegeven externe, tot de rechthoek op de twee overige een gegeven verhouding heeft. Laat op de oneindige rechte lijn gesteld worden drie merkpunten a, e, i, en die moet in een vierde merkpunt in o zodanig gesneden worden, dat de rechthoek op een gegeven R, en ao, die ligt tussen het te vinden merkpunt o en |
|
een van de drie toegekende merkpunten (zoals a), tot de rechthoek op de twee overige tot de merkpunten afgenomen rechten io en ae, een opgegeven verhouding heeft van R tot S {marge: dat is un.}; of als het zo niet gegeven wordt kan het tot deze soort worden teruggebracht. De rechte ai zal vanaf i doorlopen gelijk aan ae naar u, als het toegekende merkpunt een uiterste is van de gegevene; of bij het middelste verkort worden met dezelfde. En vanaf u wordt naar achter, in de richting van het gestelde merkpunt a, gelegd de lijn un, gelijk aan de analoge S. Hierna moeten vanuit a en n loodlijnen worden opgericht, gelijk aan die ae en ai. En wel in het eerste geval, waar ai en ae verlengd worden, naar dezelfde kant; doch in het laatste geval, waar ze verkort worden, naar tegengestelde kanten; zoals ay en nm loodlijnen zijn. De toppen ervan worden verbonden door ym, en de omtrek op deze diameter beschreven zal de rechte ai eronder in twee punten snijden (en in dat geval zal het probleem tweeledig zijn) of slechts raken. Dit kan dus het merkpunt o zijn. Ik zeg dat o het gevraagde merkpunt is. Inderdaad is het product van ao en on gelijk aan dat van mn en nj, dat is ay volgens de voorgaande hulpstelling op de eerste plaats [<], dat is volgens constructie het product van ai en ae. En laat aan die ai gelijk gesteld worden nl, aan tegengestelde kanten van n, zover als a vanaf i ligt. Uit wat bewezen is volgt dus dat ai (dat is nl) on, oa ae evenredig zullen zijn. En daarom ook, door samenstellen, of verdelen, of door omkering van verhoudingen, ol on, oe ae, en nog weer anders ol oe, on ae. Zoals echter on tot ae is, zo hebben we laten zien dat ook ai tot ao is {marge: Want ao maal on is gelijk aan ai maal ae}. En insgelijks is dus ol tot oe, zoals ai tot ao. Maar le is gelijk aan nu, aangezien door constructie nl gelijk gesteld is aan de rechte oi en ook iu aan ae. Dus het product van le, eerste term van een verhouding, of de eraan gelijke nu, en ao als laatste term, zal gelijk zijn aan het product van oe en oi, de middelste termen. Zoals echter R tot de analoge S is, dat is tot de eraan gelijke un, zo is (met ao als gemeenschappelijke hoogte genomen) het product van R en ao, tot dat van un en ao, dat is van oe en oi. Nu ligt ao tussen het gevonden merkpunt o en het gegevene a. En zo hebben oe en oi vanaf hetzelfde punt o betrekking op de overige twee e en i, en dan zijn die rechthoeken in de opgegeven verhouding. Derhalve is gedaan wat gedaan moest worden. En omdat een toegekend merkpunt hetzij een van de uiterste is, hetzij tussenliggend, daarom zullen we, om de uitwerking gemakkelijker |
|
uitvoerbaar te maken, de uitleg van het werk verdelen in twee afdelingen; zodat we die in afzonderlijke gevallen vlotter kunnen ontrollen. Want dingen die bij Apollonius afdelingen zijn geweest, zijn voor ons wel eens gevallen; en sommige Problemen slechts afdelingen, opdat zo het algemene bewijs helderder zou zijn, en ik hier tegelijk dat van de vier van Pappus zou behouden. Daarom zal er zo een manier van delen zijn, die het werk vereist, of die een onderlinge symmetrie toelaat. Geval 1, * onbepaald. { * Niet vatbaar voor bepaling.} Zodat het gevraagde geval tussen het toegepaste a en het dichtst bijzijnde e valt. Samen met het geval, waarin het buiten het verste, of derde i, terechtkomt.  Laat gebruikt worden de gelijklopende manier van doen, die de analoge S, of un vanaf u naar voren legt. Want aangezien ao ae en ai on evenredig zijn, en ao en on samen groter dan ae en ai samen, dat wil zeggen dan au, zal an zijn samengesteld uit de grootste en de kleinste, volgens Hulpstelling 2 [<], en dan zal ao kleiner zijn dan ae. Nu is on, dat is volgens de voorgaande hulpstelling op de eerste plaats av, groter dan ai. Zodat het gevraagde merkpunt valt tussen de overige twee, zonder het toegepaste. Nu zal het nodig zijn dat de analoge van een gegevene in een gegeven verhouding, niet groter is dan het verschil tussen de som van de rechten die liggen vanaf het toegepaste tot de overige merkpunten, en het viervoud van het product daarvan. Laat gebruikt worden de gelijklopende manier van doen, die de analoge S, of un, |
| naar achter legde, in de richting van beginpunt a. Want aangezien ao ae, ao on evenredig zijn, en ao en on samen kleiner dan ae en ai samen, dat wil zeggen |
|
kleiner dan au, zal au zijn samengesteld uit de grootste en de kleinste, volgens hulpstelling 2. En ao zal groter zijn dan ae. En zo met de overige. Nu zal het nodig zijn dat de analoge van een gegevene in een gegeven verhouding, niet kleiner is dan de som van de lijnen die liggen vanaf het toegepaste tot de overige merkpunten, en het viervoudige van het product daarvan.  Laat gebruikt worden de gelijklopende manier van doen, die de analoge S, of de eraan gelijke un, legt naar achter in de richting van beginpunt a. En dan zal o (of ook v) aan deze zijde van a vallen. Geval 4, onbepaald. Dat het gevraagde merkpunt valt tussen het toegepaste middelste, en een van de uiterste. Samen met het geval, dat het voorbij het andere terechtkomt. |
Het middelste merkpunt zij a en een uiterste e, waartussen het gevraagde o moet vallen. Laat gebruikt worden de tegenlopende manier,
en wanneer je eu gelijk gesteld hebt met ai strekt ai zich in die richting uit, en dan zal o tussen a en e vallen; eveneens v voorbij i. Want aangezien ao ae, ai (dat is eu) on evenredig zijn, en het verschil van de coëfficiënten ao en on (dat is de lijn an) groter is dan au, die het verschil is van de coëfficiënten ae en eu, zal ao de kleinste van alle zijn. En zo zal het punt o juist tussen a en e vallen. Evenzo, dat v voorbij i valt blijkt naar analogie, want av ar, ai vn zullen evenredig zijn, en aangezien ae nu groter is dan ao, dat wil zeggen dan vn, zal av ook groter zijn dan ai, en dan zal v voorbij i terechtkomen. Dus als de gegeven verhouding is van at tot ti, of aan de andere kant van ae tot ep, of welke lijn dan ook, kleiner dan ae, waarmee ep analoog is, zal het merkpunt o tussen pe en e vallen; eveneens merkpunt v tussen t en i, wanneer v voorbij i terechtkomt. Want daar np en pe samen gelijk zijn aan ep en ai samen, en v voorbij i valt, zal o ook voorbij p vallen, maar volgens hypothese ook binnen e, dus zal e tussen p en o vallen. 
Ten tweede ligt v ook tussen t en i. Want daar we stellen dat at tot ti is, zoals ae tot ep, en door verdelen: at tot ai, zoals ae tot ap; daarom is rechthoek at op ap gelijk aan iae, dus at op ao is groter dan iae. Maar vao is gelijk aan iae, dus va is kleiner dan ta; nu valt v ook bij hypothese voorbij i, dus zal het tussen t en i vallen. |
|
Dus als bij drie gegeven merkpunten i a e een vierde o valt tussen a en i, zodat de rechthoek pe op ao, tot ioe de gegeven verhouding van al tot li heeft, zeg ik dat e ook buiten l valt. 
Want laten we ons voorstellen dat o samenvalt met l, dan zal volgens hypothese gelden: al is tot li, zoals ep op al tot il op el, en bij uitleg al is tot al, zoals li op ep, tot li op le; dat wil zeggen, met weglating van de gemeenschappelijke hoogte li, zoals ep tot el; daarom zal het deel ep gelijk zijn aan de hele el, wat absurd is, zoals vanzelf duidelijk is. HULPSTELLING 1, voor de uitleg. Als geldt: zoals rechte is tot rechte, zo is parallellogram tot parallellogram, zal ook gelden: de rechthoek op de eerste rechte en de breedte van het tweede parallellogram, is tot de rechthoek op de tweede rechte en de breedte van het eerste parallellogram, zoals de lengte van het eerste tot de lengte van het tweede. De lijn ae zij tot io, zoals un tot sl. Ik zeg dat de rechthoek op ae en rl, tot de rechthoek op io en yn, dat is paralallellogram af tot id, is zoals uy tot sr.  Laat parallellogram un gezet worden op ae, en laat de uitkomst zijn een breedte R; evenzo sl op io met uitkomst S. Daarom zal ae ap R, tot io op S zijn, zoals un tot sl (ze zijn immers afwisselend gelijk). Maar zo is ook ae tot io, die als basis fungeren; en daarom zullen de hoogtes R en S gelijk zijn. Overigens is de verhouding van uy tot sr, met als middelste genomen R, samengesteld uit de verhouding van uy tot R, en de verhouding van R tot sr. Maar zoals |
|
S, dat is R, tot sr is, zo is door constructie lr tot io, en zoals uy tot R is, zo is ae tot ny. Dus de verhouding van uy tot sr is samengesteld uit de verhouding ae tot ry, en lr tot oi. Maar de hieruit samengestelde verhouding is die van het parallellogram op ae en lr, dat is af, tot het parallellogram op io en ny, dat is id. Dus de verhouding uy tot sr is dezelfde als die van parallellogram af tot id. Wat te bewijzen was. Een aardig theorema dat, op zijn plaats toegepast, bewijzen de helft korter maakt, en zeer duidelijk en doorzichtig. Wat je kunt ondervinden bij Archimedes, Apollonius en Pappus zelf; en vooral waar zij die samenstelling van verhoudingen bij hen dikwijls gebruiken.
|
|
|
|
|
|
|
|
Christiaan Huygens noemt dit werk in een brief aan Frans van Schooten, 6 dec. 1656, OCCH 1, p. 523: "En mij lijkt dat W. Snellius dit niet werkelijk heeft overwogen in het herstel van Apollonius 'de Sectione determinata'" (bij Probl. 4: over het snijden van een rechte met vier gegeven punten, zodanig dat twee rechthoeken op afgesneden lijnstukken gelijk zijn). John Lawson, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning determinate section, as they have been restored by Willebrordus Snellius, London 1772. Idem, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning tangencies, as they have been restored by Franciscus Vieta and Marinus Ghetaldus, 2e ed. London 1771. Zie de lijst bij: Université de Fribourg, Bureau du Mercure, Personne, Apollonius de Perga. Liesbeth de Wreede, Willebrord Snellius (1580 - 1626), a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, 2007, p. 53-63. |