WILLEBRORD SNELLIUS
A P O L L O N I U S B A T A V U S,
Of,
Herwekt van APOLLONIUS van PERGA
Meetkunde,
O V E R B E P A A L D E S N I J D I N G.
LEIDEN,
Gedrukt door Johannes van Dorp, 1608,
Voorradig bij Jan le Maire.
| klare toorts, Wiskundig licht, geboren aan die Pamphylische kust, geraakt door woede van zee, Men roept me in het licht, gewekt uit het diepe duister, Terwijl mij de gunst van SNELLIAANS licht verkwikt. Wel kort was het leven, mijn Perga, dat u mij hebt gegeven. Maar eeuwig, dat nu me gaf die SNELLIUS. Ios. Scal. Iul. Caes. F. |
| Hermodotos. |
| 'Ouch ho logos auxei tèn technèn perissos ôn. Alla auta kosmei tèn technèn ta pragmata.' |
|
Het gedicht van Scaliger komt niet voor in: Josephi Scaligeri ... Poemata omnia, Leiden 1615, 'Encomia Librorum' (p. 47). Wel in: Joh. Meursius, Athenae Batavae, Leiden 1625, p. 299, met een correctie: 'excitus' i.p.v. 'excitur', zoals ook in: Liesbeth de Wreede, Willebrord Snellius (1580 - 1626), a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, 2007, p. 56. Grieks, met Hermodotos, in: Neue Jahrbücher für Philologie und Pädagogik, 14e Jahrgang, 40e Band, 4e Heft (Leipzig 1844), p. 423, met 'kosmei ton logon ta pragmata', en erbij: "Allein das sind Verse des Menander nach Append. Flor. p. 12, 2". De twee Griekse verzen staan ook in: A Dictionary of Classical Greek Quotations, nr. 146, vertaald als: "Not by excessive praise is art improved; Art is adornment in itself", Fragment 1095 (Kock). Theodor Kock, Comicorum Atticorum fragmenta (Lips. 1888), p. 266, onder Menander, met "Floril. 60, 3 'Hermodotou' L." Stobaei Florilegium, vol. 4 (Lips. 1824), p. 125: Titulus LX. Pro Artibus. 3. Hermodotus.
Hermodotus met deze vertaling ook al in: Dicta poetarum quae apud Jo. Stobaeum exstant (ed. Hugo Grotius), Par. 1623, p. 228-229: |
 nderdaad, waarheen ik ook de ogen en scherpte van mijn verstand richt, er is niemand naar wie ik liever zou gaan dan naar u; niemand aan wie dit werk van ons kan toekomen, behalve u; die al bij zoveel door uzelf opgeloste problemen, dat Archimedische heurèka, die Archimedische
Sirene bedoel ik, zo dikwijls hebt meegemaakt. En daarom, als ik door de vreugde van deze vondst, en vervuld van blijdschap, wat te vrijmoedig zou jubelen, vertrouwde ik erop dat ik van u, Doorluchtigste Prins, gemakkelijk vergiffenis zou krijgen. Want sinds mensenheugenis bestaat er geen herinnering aan iemand, die ooit met zo'n gelukkige uitkomst de wiskundige wetenschappen heeft gekoppeld of verbonden met hun toepassing. En wiens roem niet kan worden omvat door de krappe grenzen van Europa, maar moet worden begrensd door gebieden van de hele aarde.°)
*) Naar Ovidius, Fasti, 3, 1 (hier met "Dux" i.p.v. "Mars"). "Come, warlike Mars; lay down thy shield and spear for a brief space, and from thy helmet loose thy glistering locks", transl. G. J. Frazer, Loeb 1959, p. 121. °) In 1608 kwamen er ambassadeurs uit Siam (Thailand) naar Den Haag. Zie Henk Zoomers, 'The Netherlands, Siam and the telescope', in The origins of the telescope, Amst. 2010, p. 301-320, m.n. 303. |
|
Want alles wat met behulp van deze wetenschappen door u is verricht, hetzij zeer duidelijk, hetzij voorspoedig, dat is toen al in het onvergankelijke geheugen van het nageslacht verstrooid en verbreid. En algemeen wordt aangenomen dat zij, die niet te voorschijn komen, die zich niet alleen onder de blote hemel niet oefenen, maar zelfs niet in de Xystos, wordt aangenomen, zeg ik, dat deze in de schaduw blijvende filosofen in hun scholastische studeerkamers, redenaars van woorden, niet uitvoerders van daden, toen ze het stevige en goed onderhouden wiskundige corpus hadden overgenomen van het voorgeslacht, als waar slechts hebben nagelaten wat uit de studeerkamer kwam, en de grote lijnen; en als actief, voor tijdverdrijf, het verstandelijke van de Epicureeërs, als van de goden. Terwijl ze de toepassing, dat is het sap en het bloed, scheiden van de wetenschap als iets heel anders. Inderdaad verdient die uitspraak van Vitruvius een plaats in niet alleen de Architectuur, maar in elke wetenschap:
Waar ik wel meer aan twijfel is, of ik wil stellen dat aan u meer lof moet worden toegekend, of aan hen meer blaam; daar u, in beslag genomen door leiding in de oorlog, en bestuur van het rijk der Nederlanden,
*) Vitruvius, De architectura libri decem, 1, 1.2. Ned. uit: Handboek bouwkunde, Vertaald door Ton Peters, Amst. 1999, p. 28. °) Vervolg op: 'Peri logou apotomès kai peri chôriou apotomès' resuscitata Geometria (1607), Ned. |
|
zoveel macht en kennis van zaken hebt samengevoegd. Maar om te zeggen wat ik denk: ik meen dat gedenkstukken van velen (wat de dichter*) bezong over het Romeinse rijk) onder hun eigen gewicht zijn ingestort, zolang men er veel vertaalt, nog eens verhaalt, en ook volstopt met vreemde zaken. En toch zeg ik dit niet daarom, omdat ik niet genoeg dank zou toekennen aan die eerste vinders, maar omdat ik zie door welke zo grote verscheidenheid van zaken de meesten worden afgeschrikt, en in verwarring gebracht. Want aangezien er van nature niet een zodanig scherpe blik is in het verstand van een mens, dat iemand zoveel zaken kan zien, tenzij ze worden aangewezen; daarom moeten eerst de bronnen worden doorzien, opdat we zo dikwijls als nodig is, slechts daaruit putten, zoveel als de zaak vereist. Want de samenstelling van dit vak is heel elegant en bewonderenswaardig, en de regelmatigheid is ongelooflijk. En om deze reden heb ik, ook door de aansporing van het orakel van Delphi, dat ons opdraagt tijd te besparen°), deze allang verouderde en in vergetelheid geraakte bepaalde snijding opnieuw opgebouwd. Weliswaar niet met die rijkdom aan bewijzen of overdrevenheid, die zij hebben toegepast, want dat zou onaangenaam zijn en zonder nut; maar liever heb ik van het werk dat ik heb genomen de hoofdzaak afgemeten, in combinatie met de bruikbaarheid, en de zaken zelf in hun woorden. Van wiskundige bewijzen wordt immers al het goede beoordeeld op overeenstemming en kunstige verbinding; en meer wordt niet boven minder gesteld, en langer niet boven korter. Een Wiskundige is immers bij het bewijzen goed uitgerust met een variëtiet aan zaken en gevallen, al gaat het met minder woorden. Want terwijl alle wetenschappen zeer veel
*) Misschien Vergilius, Aen. 6, 781 e.v. Engl. Zie ook Wikipedia Aeneid, 6, 'Underworld'. °) 'Chronou pheidou', "Use time sparingly", is nr. 39 in '147 maxims of Stobaeus', bij Pythia. Zie: Otto Hense, Ioannis Stobaei Anthologii librl duo posteriores, vol. 1, Berol. 1894, p. 126. |
|
gelijksoortige dingen omvatten, is het vooral zo bij de Wiskunde; en daarom moeten die met rede en methode worden opgesteld. Daarom, als iemand in die verscheidenheden en doolhoven van bewijzen zijn scherpzinnigheid ten toon wil spreiden, is het kinderachtig; doch het helemaal helder kunnen ontwarren, dat is werk van een geleerd en verstandig iemand. En daarom, wanneer het nodig is, ben ik blij met korte en scherpe gevolgtrekkingen; die niet zo lang behoeven te zijn om helder te zijn. Dat hiervoor gezorgd moet worden is namelijk de mening van alle wiskundigen. Want wie met zo'n overvloed aan bewijzen te kampen heeft lijkt mij te bewijzen in een wat onverzorgde vorm: alles moet kort en netjes door ons gezegd worden. Maar omdat deze zaak heel veel voorbereidende studie en oefening vergt, zien we onder recenteren dat óf de ene óf de andere soort wordt gevolgd; de overigen hebben het niet gewild, of niet gekund, in elke geval hebben ze het nagelaten. Overigens, welke opbrengst, of welke bruikbaarheid we nastreven, nu we dit boek willen publiceren, zal ik uitleggen met woorden van de grote Plato, bij een dergelijke zaak. Als in de wiskunde iets goed en elegant wordt gevonden en samengesteld: dit is de weg, dit is voedsel, ga zo verder*). Maar toch zal voor mij en andere liefhebbers van wiskunde een stevige en betrouwbare bruikbaarheid en opbrengst pas dan vaststaan, als dit werk volgens uw berekening goedgekeurd en aanbevolen bij mensen in handen komt. Aan u dus, Doorluchtigste Prins, die ook in de slaglinie, en temidden van gevechten, de waarde en bruikbaarheid van deze wetenschappen als enige, of het meest
*) Plato, 'Epinomis', in: Platonis Omnia opera (Bas. 1534/56), p. 642, r. 15: 'outos ho tropos, autè trophè, tauta mathèmata. ei te chalepa ei te rhadia, tautè poreuteon.' Bij Perseus, Gr.: Platonis Opera (ed. John Burnet) 1925, 992a. Engl.: Plato in Twelve Volumes, Vol. 9 (transl. W.R.M. Lamb) 1925, 992a, "this is the way, this the nurture, these the studies, whether difficult or easy, this the path to pursue". |
|
erkent, en de zorg ervoor altijd in gedachten houdt, aan u vraag ik, zo goed te willen zijn dit boekje in te zien, het is klein van omvang, maar naar ik hoop van heel veel nut. Want ik breng dit gedenkteken (zoals Eratosthenes vroeger deed*)), door mij opgebouwd, in de tempel van uw roem en glorie, en schrijf uw naam erin, als u het tenminste niet afwijst. Of anders liever: van de lans; ook ongewapend zult u iets te doen vinden. °)
*) MacTutor: "Eratosthenes erected a column at Alexandria with an epigram inscribed on it relating to his own mechanical solution to the problem of doubling the cube ... 'This is the gift of Eratosthenes of Cyrene'." Grieks in: 'Aratou Soleôs ... Eratosthenous Katasterismoi' ... (ed. J. Fell), 1672, p. 35. En in: E. Hiller, Eratosthenis Carminum reliquiae, Lips. 1872, p. 130. °) Ovidius, Fasti, 3, 7. Na het citaat van p. 3 hierboven. "After the pattern of Pallas take a time to put aside the lance. Thou shalt find something to do unarmed", transl. G. J. Frazer, 1959, p. 121. |
| Dat wil zeggen: Na deze (boeken over afsnijden van een oppervlak en van een verhouding) volgen nog twee boeken over bepaalde snijding, die, zoals de voorgaande, kunnen worden samengevat in één propositie met aparte onderdelen. |
|
Een oneindige rechte te snijden in één punt, zodanig dat van de rechten, genomen naar daarop gegeven punten, óf het vierkant van de ene, of de rechthoek op de twee, een gegeven verhouding heeft tot de rechthoek op één afgenomen rechte en een externe gegeven rechte, of tot de rechthoek op twee afgenomen rechten*); en dat dan wel aan de kant die nodig is van de gegeven punten. En van deze propositie, als zijnde tweemaal gescheiden en onderverdeeld, en met wat onhandelbare bepalingen, is het noodzakelijk dat het bewijs meervoudig is. Apollonius bewijst het echter met enkel rechte lijnen op de gebruikelijke en gewone manier, die Euclides in het tweede boek van de eerste Elementen°) ook heeft gebruikt. Maar hetzelfde heeft hij meer in overeenstemming met de regels en geschikter weer opnieuw gedaan met halve cirkels. Nu heeft het eerste boek zes problemen, zestien afdelingen#), vijf bepalingen; en hiervan zijn er wel vier de grootste, en één is de kleinste. De grootste zijn bij de tweede van het tweede, en de derde afdeling van het derde probleem. En het tweede boek over bepaalde snijding heeft drie problemen, negen afdelingen, drie bepalingen; waarvan de kleinste zijn bij de derde van het eerste en van het tweede, en de grootste bij de derde afdeling van het derde probleem. Verder heeft het eerste boek 27 hulpstellingen, het tweede ook nog 24. Het aantal theorema's van de twee boeken over bepaalde snijding is 83. Is het werkelijk zo, goddelijkste Pappus? Is een op te lossen plaats op die manier door u tenslotte behoorlijk verdeeld? Zodat u aan de boeken over snijding van een verhouding en van een oppervlak de eerste plaats toekent? En aan de bepaalde snijding de laatste? Echt wel een mooie en grappige plaatsing, alsof ik in de logica de eerste regels van beoordeling zou maken met de voorschriften van het vinden, en van het plaatselijke. Maar toch verbaast het me nu niet dat er in deze omverwerping van de volgorde een zo grote en zo veelvoudige tautologie was. Spits de oren, Analyticus, en overweeg wat ik wil zeggen; want ik verlang dat u als enige de scheidsrechter en beoordelaar bent in deze zaak. Bij elk voorgesteld probleem moet de bron teruggevonden worden,
*) Andere versie: John Lawson, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning determinate section, as they have been restored by Willebrordus Snellius, London 1772, p. iii: "... verhouding heeft óf tot de rechthoek op een andere onderschepte en een of andere gegeven rechte; of ook tot de rechthoek op twee andere onderschepte rechten". °) Noot in Lawson 1772: "From hence it appears that Euclid's were called the first Elements, and that the other Analytical Tracts, recited by Pappus, were called th second Elements". #) In Lawson 1772 is hier ingevoegd: "of plaatsingen van punten". |
|
waarin de eerste schetsen staan, en als die gevonden is kan elke oplossing van het gevraagde daaruit worden afgeleid, als uit het begin. En zo zullen voor degene die het oplost de voornaamste problemen van de genoemde boeken neerkomen op het eerste en tweede probleem van dit boek. Daarom, weg met deze omkering, waardoor die verderfelijke en eindeloze hydra van tautologie altijd weer als nieuw uitgroeit. Ik kan dus beter teruggaan naar die bronnen, waaruit de theorie eenvoudiger en zuiverder te voorschijn kan komen. Voor u echter, navolgers van Plato, telgen van een meer zuivere wiskunde, breng ik aan het licht en geef ik het eerste deel van de tweede Elementen, helder, zuiver, doorzichtig, ontdaan van doornen, en eindeloos veel onkruid van duisterheid, omkering en tautologie. We hebben een eindeloos gewas van hulpstellingen afgesneden met één enkele hulpstelling, een onmetelijke afgrond van duisternis uitgelegd met een andere huplstelling; licht en zon teruggebracht in plaats van mist en wolken. Van de twee eerste problemen hebben we de bruikbaarheid laten zien in de boeken over snijding van een verhouding en van een oppervlak*). Dat hadden we ook bij andere kunnen doen, en inderdaad verscheidene; maar mij leek pas aanbevelenswaard die materie, waarin de werkzaamheid van de ouden bedreven en geoefend was. Ook van de laatste twee problemen heb ik de bruikbaarheid kunnen geven in een probleem dat subtieler en moeilijker is, en waarvan de materie bijna geheel wordt afgeleid uit de voorgaande. Waarbij ik alleen daarom zou geloven dat Apollonius er niet de hand in heeft gehad, omdat een heel dichte mist van tautologie de gewone oplossingswegen had versperd voor iemand die het probeert, en als hij de oplossing ervan naar de problemen van dit boek had overgebracht, zou de uitleg gemakkelijk zijn geweest. Deze Bepaalde snijding dus, die ik uit de dood heb opgewekt, als een nieuwe Asclepius°), bied ik hier aan; het werk wordt geheel in beslag genomen door de snijding van een rechte lijn tot daarop gegeven merkpunten, die, als het aantal hulpstellingen en theorema's een argument is, vroeger door Apollonius heel breedvoerig is uiteengezet. Maar toch hopen we, nu deze grond door ons met gedienstige bebouwing is bewerkt, dat die in vruchbaarheid niet onder zal doen voor de grootste landerijen van anderen. De kracht was werkelijk groot van zijn grote scherpzinnigheid, waarmee hij, als een rivier die buiten zijn bedding
*) Zie 'Peri logou apotomès ...' (1607), Ned.: p. 19, 22, en ook p. 7 ('Aan de Lezer'). °) Irritatie over de grootspraak van Snellius is niet uitgebleven, zie Carlo Renaldini, Artis analyticae mathematum Pars secunda (Pat. 1669), 'De loco resoluto', p. 64: "... over bepaalde snijding ... En Snellius probeert dit deel van de Meetkunde te herstellen ... dat wie zich opwerpt als een groot Meetkundige zeer weinig ervaring heeft met de Meetkunde zelf, wanneer hij in de Analytica zelfs niet over de eerste drempel is gegaan; hij meent dat hij een andere Apollonius is, en toch hecht hij veel waarde aan de oplossing van drie vrij alledaagse problemen". |
|
overstroomt, ook de naburige wiskundige velden heeft bevloeid, en op die manier ook, als een andere Nijl, dit akkertje niet alleen heeft bespoeld, maar ook vruchtbaar gemaakt. En het is ook niet gering, dat hij als enige uit de gehele oudheid onder de wiskundigen de bijnaam de Grote heeft verdiend. Over wiens zo grote en zo veelvoudige geleerdheid bij Pappus tenminste bewijzen in het oog vallen van heel bruikbare en heel subtiele boeken,
Dat deze in de herinnering van het nageslacht zouden worden overgedragen verdienden ze niet alleen, maar was ook van belang voor de gehele wiskunde. Maar toch, dat dit alles heel goed was is na verloop van de slijtende tijd verloren gegaan. Daarom, komaan stervelingen en verzadig uw verstand met grote gedachten; niet om de nagedachtenis van onze naam bij tijd van leven ter harte te nemen, maar ter vergelijking met het hele nageslacht. Laat ik nu echter inderdaad doen wat was voorgenomen, en terugkeren naar het onderwerp en de titel van dit boek. Bepaalde snijding is een naam, afkomstig van een heel streng toevoegsel van bepaling, zoals deze bepaling of definitie, van gevallen en manier van doen, ook in veel andere meetkundige bewerkingen algemeen voorkomt. En verder, omdat in de problemen van dit boek een rechte hetzij erbij gegeven wordt, hetzij als te onderscheppen rechte tot gegeven merkpunten slechts impliciet gesteld is, zijn die gemakkelijker te doen wanneer de rechte in een tekening wordt gegeven, en zeker het eerste boven de andere, waar geen rechte wordt gegeven behalve die, welke behoren bij de toegekende merkpunten. Daar deze laatste worden gedaan met behulp van dat eerste, en omdat het lijkt dat er bij Pappus rondingen van cirkels zijn, ik weet niet hoe gemaakt en met welke rondheid, is deze manier ons ook het best bevallen, en hoewel we de voorgelegde problemen op beide manieren hebben uitgelegd, hebben we alleen deze behouden en de andere verworpen. Maar ter zake. Wanneer er een externe rechte bij gegeven is, moeten de overige hetzij tot twee, hetzij tot drie gegeven merkpunten worden afgenomen. Dus wanneer er slechts twee gegeven zijn is het probleem als volgt.
*) Naar Lucanus, Belli civili liber primus, 135. Engl.: "shadow of a mighty name. As when some oak ... With feeble roots still clings". |
|
Een gegeven oneindige rechte in één punt zodanig te snijden, dat van de rechten afgenomen tot twee gegeven punten, het vierkant van de ene, tot de rechthoek op de andere en een gegeven externe, een gegeven verhouding heeft. Laat op een gegeven oneindige rechte twee merkpunten toegekend worden, a en e, en laat deze gesneden moeten worden in een derde merkpunt o, zodanig dat het vierkant dat ontstaat uit het segment oa, tot de rechthoek die er komt onder het andere segment oe en een of andere gegeven externe rechte au, een gegeven verhouding heeft, zoals van R tot S, of ai tot au. De aan de dus gegeven au analoge ai kan vanaf het andere merkpunt (namelijk vanaf a), waar zijn coëfficiënt — dat is die waarmee die externe rechte au een gevraagd oppervlak moet bevatten — niet eindigt, zich aan elk van beide kanten bevinden, of hij nu wordt uitgespreid aan dezelfde kant waar e ligt, of in de andere richting wordt gekeerd. 
En dan worden vanuit a en i opgericht de loodlijnen ay en ir, gelijk aan die ae en ai. En wel naar dezelfde kant als e en i aan dezelfde kan van a liggen; maar als a er tussen ligt, naar tegengstelde kanten; de toppen ervan worden verbonden door yr. De omtrek op deze diameter beschreven zal de eronder liggende ai snijden (en dan zal het probleem tweeledig zijn) of juist raken. Dit moet dus het merkpunt o zijn, en getrokken kunnen worden de rechten yo en or. Daar dus de hoek roy |
|
op de halve cirkel een rechte hoek is, zullen de twee hoeken roi en yoi ook gelijk zijn aan een rechte hoek. Maar ook de twee hoeken ayo en aoy zijn gelijk aan een rechte hoek in driehoek yao, dus als wordt weggelaten de gemeenschappelijke yoa, zullen de overblijvende ior en oya gelijk, en de rechthoekige driehoeken rio en oay gelijkvormig zijn, en de zijden ay (dat is ae), ao, oi, ir (dat is ia) evenredig. En door verdelen of samenstellen zal gelden: eo is tot ao, zoals ao tot ai. En het kwadraat van ao zal gelijk zijn aan het product van eo en ai. Maar zoals het product van ai en eo, dat is het kwadraat van ao, tot het product van au en eo, zo is ai tot au, welke verhouding dezelfde is als de gestelde R tot S. Gedaan is dus wat behoorde gedaan te worden. Geheel gelijk komt dus ook de verhouding overeen, en het bewijs, voor dat punt v, het andere merkpunt van de snijding. En verder zal een verhouding van de delen die passend is, of die het werk vereist, verkregen worden op de volgende manier. Dat de rechte, coëënteo, deel uitmaakt van die ao waarvan het kwadraat gevraagd wordt. Nu zal die ai, waarmee in de gegeven verhouding analoog is au, niet kleiner mogen zijn dat het viervoudige van die ae die tussen de gestelde punten ligt. |
|
Laat ae gesteld worden als deel van die ai, dat wil zeggen laat ai vanaf a gelegd worden naar de kant van e; en daarom zullen de loodlijnen dan naar dezelfde kant genomen worden, welke manier van doen door ons genoemd wordt gelijklopend; dan vallen de gevraagde merkpunten a en i immers zo, dat oe deel is van die ao. |
|
Die ai, waaraan in de gegeven verhouding au analoog is, wordt van a afgekeerd in tegengestelde richting van ae; en daarom worden de loodlijnen naar verschillende kanten opgericht, welke manier van doen door ons wordt genoemd tegenlopend. Dan zal immers de omtrek van de cirkel buiten i door v lopen. en av een deel zijn van die ev. Wel zullen ao en oe slechts in dezelfde richting liggen, en ze zullen segmenten zijn van de gestelde lijn ae. Dit is immers duidelijk uit het bewijs zelf. Als op een of andere rechte loodlijnen vallen vanuit de eindpunten van een diameter, zijn de segmenten van de loodlijnen aan dezelfde kant van de rechte, tot gelijke krommingen van de cirkel, gelijk. En de rechten tussen de loodlijnen en gelijke krommingen zullen gelijk zijn. Dit theorema en wat volgt zouden in een andere, algemenere Meetkunde van deze bijzondere grondslag ondergebracht moeten worden. Maar omdat ze nog niet zijn beschreven in de gewone Meetkunde, en er niets was waaruit studerenden die kunnen halen, moeten ze ondertussen tijdelijk deze plaats krijgen. Echter zodanig dat ze met een opschrift in het oog vallen, dat wil zeggen dat ze buiten de opgenomen proposities met de benaming HULPSTELLING worden aangeduid. Laat op de gestelde rechte rs vanuit e en i, de eindpunten van een diameter ei, de loodlijnen iu en eo vallen. Ik zeg dat de segmenten ervan, aan dezelfde kant van de gegeven rechte, tot gelijke gelijke krommingen van de cirkel, gelijk zijn, zoals hier oy en ui, of eo en lu. Want als y met i verbonden wordt zal de hoek eyi in een halve cirkel recht zijn, en you is gesteld als rechte hoek, dus zullen yi en ou evenwijdig zijn, |
|
en ook yo en ui zijn onderling evenwijdig, omdat ze loodlijnen zijn op rs. Dus evenwijdigen beëindigen evenwijdigen, en de tegenovergestelde zijden yo en iu zullen onderling gelijk zijn. Geheel gelijk is het bewijs dat de rechten eo en ul onderling gelijk zijn. Het tweede deel, dat de rechten or en us, en evenzo ur en os onderling gelijk zijn wordt als volgt bewezen: Daar immers aan rechthoek eoy gelijk is sor, en eveneens eoy, dat is lui zoals bewezen, gelijk aan rus, zal rechthoek ros gelijk zijn aan rus, en daarom zullen de segmenten ro en us gelijk zijn aan de segmenten or en us. Als van vier evenredigen twee coëfficiënten groter zijn dan de twee overige, zijn die de grootste en de kleinste. Het is zo goed als het omgekeerde van wat wordt bewezen in de Elementen: dat de grootste en de kleinste groter zijn dan de overige.*)  Laat twee coëfficiënten, dat wil zeggen beide uiterste bij analoge rechten, of beide middelste, de lijn ae vormen, groter dan io, waarvan de segmenten zijn iu en uo. En laat ae de diameter van een cirkel zijn, waarin de kleinere oi, daarom geen diameter, wordt beschreven. Dan zal diameter ae, gevoerd door het punt u, gesneden worden in die segmenten waaruit hij is samengesteld. En omdat u niet het middelpunt is, zal ue de kleinste zijn, ua de grootste van de vanuit u getrokken rechten; ui en uo daartussen zijn de middelste in grootte. Hetzelfde kun je begrijpen bij drie continu evenredigen, omdat de middelste dan tweemaal genomen wordt. Als van vier evenredigen het verschil van twee coëfficiënten groter is dan het verschil van de overige coëfficiënten, zijn die de grootste en de kleinste.  Laat van de twee coëfficiënten au en ue het verschil zijn ae, groter dan io, het verschil van de coëfficiënten ou en ui. En aangezien au is tot ou, zoals ui tot ue, zal er een cirkel kunnen worden getrokken dooe de vier puntn a, e, i, o. Maar ae is groter dan io, en daarom dichter bij het middelpunt. Derhalve zal de hele au groter zijn dan uo, en ue kleiner dan ui.
*) Zie Euclides V, prop. 25. |
|
Een gegeven oneindige rechte in één punt zodanig te snijden, dat van de rechten afgenomen tot drie gegeven punten, de rechthoek op één ervan en een gegeven externe, tot de rechthoek op de twee overige een gegeven verhouding heeft. Laat op de oneindige rechte lijn gesteld worden drie merkpunten a, e, i, en laat die in een vierde merkpunt in o zodanig gesneden moeten worden, dat de rechthoek op een gegeven R, en ao, die ligt tussen het te vinden merkpunt o en |
|
een van de drie toegekende merkpunten (zoals a), tot de rechthoek op de twee overige tot de merkpunten afgenomen rechten io en ae, een opgegeven verhouding heeft van R tot S {marge: dat is un.}; of als de verhouding niet zo gegeven wordt kan die toch tot deze soort worden teruggebracht. De rechte ai zal vanaf i doorlopen gelijk aan ae naar u, als het toegekende merkpunt een uiterste is van de gegevene; of bij het middelste verkort worden met dezelfde. En vanaf u wordt naar achter, in de richting van het gestelde merkpunt a, gelegd de lijn un, gelijk aan de analoge S. Hierna moeten vanuit a en n loodlijnen worden opgericht, gelijk aan die ae en ai. En wel in het eerste geval, waar ai en ae verlengd worden, naar dezelfde kant; doch in het laatste geval, waar ze verkort worden, naar tegengestelde kanten; zoals ay en nm loodlijnen zijn. De toppen ervan worden verbonden door ym, en de omtrek op deze diameter beschreven zal de rechte ai eronder in twee punten snijden (en in dat geval zal het probleem tweeledig zijn) of slechts raken. Dit kan dus het merkpunt o zijn. Ik zeg dat o het gevraagde merkpunt is. Inderdaad is het product van ao en on gelijk aan dat van mn en nj, dat is ay volgens de voorgaande hulpstelling op de eerste plaats, dat is volgens constructie het product van ai en ae. En laat aan die ai gelijk gesteld worden nl, aan tegengestelde kanten van n, zover als a vanaf i ligt. Uit wat bewezen is volgt dus dat ai (dat is nl) on, oa ae evenredig zullen zijn. En daarom ook, door samenstellen, of verdelen, of door omkering van verhoudingen, ol on, oe ae, en nog weer anders ol oe, on ae. Zoals echter on tot ae is, zo hebben we laten zien dat ook ai tot ao is {marge: Want ao maal on is gelijk aan ai maal ae}. En insgelijks is dus ol tot oe, zoals ai tot ao. Maar le is gelijk aan nu, aangezien door constructie nl gelijk gesteld is aan de rechte oi en ook iu aan ae. Dus het product van le, eerste term van een evenredigheid, of de eraan gelijke nu, en ao als laatste term, zal gelijk zijn aan het product van oe en oi, de middelste termen. Zoals echter R tot de analoge S is, dat is tot de eraan gelijke un, zo is (met ao als gemeenschappelijke hoogte genomen) het product van R en ao, tot dat van un en ao, dat is van oe en oi. Nu ligt ao tussen het gevonden merkpunt o en het gegevene a. En zo hebben oe en oi vanaf hetzelfde punt o betrekking op de overige twee e en i, en dan zijn die rechthoeken in de opgegeven verhouding. Derhalve is gedaan wat gedaan moest worden. En omdat een toegekend merkpunt hetzij een van de uiterste is, hetzij tussenliggend, daarom zullen we, om de uitwerking gemakkelijker |
|
uitvoerbaar te maken, de uitleg van het werk verdelen in twee afdelingen; zodat we die in afzonderlijke gevallen vlotter kunnen ontrollen. Want dingen die bij Apollonius afdelingen zijn geweest, zijn voor ons wel eens gevallen; en sommige Problemen slechts afdelingen, opdat zo het algemene bewijs helderder zou zijn, en ik hier tegelijk dat van de vier van Pappus zou behouden. Daarom zal er zo een manier van delen zijn, die het werk vereist, of die een onderlinge symmetrie toelaat. Geval 1, * onbepaald. { * Niet vatbaar voor bepaling.} Zodat het gevraagde geval tussen het toegekende a en het dichtst bijzijnde e valt. Waarbij behoort het geval het geval, waarin het buiten het verste, of derde i, uitvalt.  Laat gebruikt worden de gelijklopende manier van doen, die de analoge S, of un vanaf u naar voren legt. Want aangezien ao ae en ai on evenredig zijn, en ao en on samen groter dan ae en ai samen, dat wil zeggen dan au, zal an zijn samengesteld uit de grootste en de kleinste, volgens Hulpstelling 2, en dan zal ao kleiner zijn dan ae. Nu is on, dat is volgens de voorgaande hulpstelling op de eerste plaats av, groter dan ai. Zodat het gevraagde merkpunt valt tussen de overige twee, zonder het toegekende. Nu zal het nodig zijn dat de analoge van een gegevene in een gegeven verhouding, niet groter is dan het verschil tussen de som van de rechten die liggen vanaf het toegekende tot de overige merkpunten, en het viervoud van het product daarvan. Laat gebruikt worden de gelijklopende manier van doen, die de analoge S, of un, |
| naar achter legde, in de richting van beginpunt a. Want aangezien ao ae, ao on evenredig zijn, en ao en on samen kleiner dan ae en ai samen, dat wil zeggen |
|
kleiner dan au, zal au zijn samengesteld uit de grootste en de kleinste, volgens hulpstelling 2. En ao zal groter zijn dan ae. En zo met de overige. Nu zal het nodig zijn dat de analoge van een gegevene in een gegeven verhouding, niet kleiner is dan de som van de lijnen die liggen vanaf het toegekende tot de overige merkpunten, en het viervoudige van het product daarvan.  Laat gebruikt worden de gelijklopende manier van doen, die de analoge S, of de eraan gelijke un, legt naar achter in de richting van beginpunt a. En dan zal o (of ook v) aan deze zijde van a vallen. Geval 4, onbepaald. Dat het gevraagde merkpunt valt tussen het toegekende middelste, en een van de uiterste. Waarbij behoort het geval het geval, dat het voorbij het andere uitvalt. |
Het middelste merkpunt zij a en een uiterste e, waartussen het gevraagde o moet vallen. Laat gebruikt worden de tegenlopende manier,
en wanneer je eu gelijk gesteld hebt met ai strekt ai zich in die richting uit, en dan zal o tussen a en e vallen; eveneens v voorbij i. Want aangezien ao ae, ai (dat is eu) on evenredig zijn, en het verschil van de coëfficiënten ao en on (dat is de lijn an) groter is dan au, die het verschil is van de coëfficiënten ae en eu, zal ao de kleinste van alle zijn. En zo zal het punt o juist tussen a en e vallen. Evenzo, dat v voorbij i valt blijkt naar analogie, want av ar, ai vn zullen evenredig zijn, en aangezien ae nu groter is dan ao, dat wil zeggen dan vn, zal av ook groter zijn dan ai, en dan zal v voorbij i terechtkomen. Dus als de gegeven verhouding is van at tot ti, of aan de andere kant van ae tot ep, of welke lijn dan ook, kleiner dan ae, waarmee ep analoog is, zal het merkpunt o tussen pe en e vallen; eveneens merkpunt v tussen t en i, wanneer v voorbij i uitvalt. Want daar np en pe samen gelijk zijn aan ep en ai samen, en v voorbij i valt, zal o ook voorbij p vallen, maar volgens hypothese ook binnen e, dus zal e tussen p en o vallen. 
Ten tweede ligt v ook tussen t en i. Want daar we stellen dat at tot ti is, zoals ae tot ep, en door verdelen: at tot ai, zoals ae tot ap; daarom is rechthoek at op ap gelijk aan iae, dus at op ao is groter dan iae. Maar vao is gelijk aan iae, dus va is kleiner dan ta; nu valt v ook bij hypothese voorbij i, dus zal het tussen t en i vallen. |
|
Dus als bij drie gegeven merkpunten i a e een vierde o valt tussen a en i, zodat de rechthoek pe op ao, tot ioe de gegeven verhouding van al tot li heeft, zeg ik dat e ook buiten l valt. 
Want laten we ons voorstellen dat o samenvalt met l, dan zal volgens hypothese gelden: al is tot li, zoals ep op al tot il op el, en bij uitleg al is tot al, zoals li op ep, tot li op le; dat wil zeggen, met weglating van de gemeenschappelijke hoogte li, zoals ep tot el; daarom zal het deel ep gelijk zijn aan de hele el, wat absurd is, zoals vanzelf duidelijk is. HULPSTELLING 1, voor de uitleg. Als geldt: zoals rechte is tot rechte, zo is parallellogram tot parallellogram, zal ook gelden: de rechthoek op de eerste rechte en de breedte van het tweede parallellogram, is tot de rechthoek op de tweede rechte en de breedte van het eerste parallellogram, zoals de lengte van het eerste tot de lengte van het tweede. De lijn ae zij tot io, zoals un tot sl. Ik zeg dat de rechthoek op ae en rl, tot de rechthoek op io en yn, dat is paralallellogram af tot id, is zoals uy tot sr. |
|
Laat parallellogram un gezet worden op ae, en laat de uitkomst zijn een breedte R; evenzo sl op io met uitkomst S. Daarom zal ae ap R, tot io op S zijn, zoals un tot sl (ze zijn immers afwisselend gelijk). Maar zo is ook ae tot io, die als basis fungeren; en daarom zullen de hoogtes R en S gelijk zijn. Overigens is de verhouding van uy tot sr, met als middelste genomen R, samengesteld uit de verhouding van uy tot R, en de verhouding van R tot sr. Maar zoals |
|
S, dat is R, tot sr is, zo is door constructie lr tot io, en zoals uy tot R is, zo is ae tot ny. Dus de verhouding van uy tot sr is samengesteld uit de verhouding ae tot ry, en lr tot oi. Maar de hieruit samengestelde verhouding is die van het parallellogram op ae en lr, dat is af, tot het parallellogram op io en ny, dat is id. Dus de verhouding uy tot sr is dezelfde als die van parallellogram af tot id. Wat te bewijzen was. Een aardig theorema dat, op zijn plaats toegepast, bewijzen de helft korter maakt, en zeer duidelijk en doorzichtig. Wat je kunt ondervinden bij Archimedes, Apollonius en Pappus zelf; en vooral waar zij die samenstelling van verhoudingen bij hen dikwijls gebruiken. Ik haat zeker dat ergerniswekkende duister maken van de leraar bij Livius*), wanneer sommigen in bewijzen, in plaats van het helderste licht, de vreemdste omwegen en ingewikkeldheden gebruiken. Inderdaad:°) |
|
Als een rechte in twee punten wordt onderverdeeld, is de rechthoek op de afwisselende segmenten, gelijk aan die op het geheel en het tussensegment, en die op de buitenste segmenten. Laat de rechte ao op twee plaatsen worden onderverdeeld, in e en i; de afwisselende punten zijn dan a i, e o, en de lijnen ertussen noem ik de afwisselende segmenten. Ik zeg dat de rechthoek op ai en eo gelijk is aan die op de hele ao en het tussensegment ei, en wel samen met die op ae en io. 
Inderdaad zijn ai op ie, en ei op io gelijk aan ao op ie; maar ei op io samen met ae op io, is ai op io. Verder wordt ai op io met ai op ie herleid tot één: ai op eo. Daarom is de rechthoek op ai en eo gelijk aan die op ao en ei, met die op ae en io. Wat bewezen moest worden.
*) Quintilianus, The Institutio Oratoria of Quintilian (transl. H. E. Butler), vol. 3, 1959, p. 207 (ii.18): "which, by the way, is nothing new: for I learn from the pages of Livy that there was one, a teacher, who instructed his pupils to make all they said obscure, using the Greek word skotison ('darken it'). It was this same habit that gave rise to the famous words of praise, 'So much the better: even I could not understand you'." °) Grieks van Theognis van Megara, zie Mnemosyne, Nova series, vol. 8 (Leiden 1880), 'Ad Theognidem', p. 309, en: Wisdom Discourse in the Ancient World, ed. Sara De Martin, Anna Lucia Furlan, 2025, "The servant and messenger of the Muses, if he should have any exceptional knowledge, must not be stinting [karig zijn] of his wisdom". |
|
Een gegeven oneindige rechte in één punt zodanig te snijden, dat van de rechten afgenomen naar drie gegeven punten, de rechthoek op twee ervan, tot het vierkant op de overige een gegeven verhouding heeft. Laat op de gegeven rechte toegekend worden drie merkpunten a, e, i, en laat die in een vierde merkpunt in o zodanig gesneden moeten worden, dat de rechthoek op de rechten oa oe, die liggen tussen een gevonden o en de twee gestelde merkpunten e a, tot het vierkant op de rechte oi, die zich uitstrekt vanaf hetzelfde o tot het overige merkpunt i (of dit nu een uiterste van de gegevene is, of het middelste), een opgegeven verhouding heeft, |
|
en wel die van el tot li, of als de gestelde verhouding niet zo gegeven wordt, kan die steeds tot deze soort worden teruggebracht. Overigens zeg ik dat het niet uitmaakt op welke plaats punt l valt, tussen a e, of tussen a i, of voorbij a, voorbij i. * En bij drie merkpunten e l i en de rechte ai kan met het tweede probleem het vierde o zodanig worden gevonden, dat de rechthoek op ai en eo, tot die op oi en ol een verhouding heeft van ei tot il. Maar uit het tweede probleem kan een manier van doen gekozen worden, naargelang die ao deel is van ai, of deze ai zal bevatten,
[Marge:] * Voor ongewone gevallen, waarin het 2e Probleem niet gebruikt wordt. zie Afdeling 7 en 8. |
|
zo ook (volgens de voorgaande hulpstelling op de tweede plaats): van de op vier punten e o i l omvatte rechthoeken, kan io op ei deel zijn van ei op ol, of groter zijn en deze bevatten. Wanneer dus, zeg ik, met die regel een of andere geschikte manier van doen is gekozen uit het tweede probleem, zal ai op oe tot oi op ol zijn zoals ei tot il, en met de uitleg van de eerste hulpstelling: ol op ie tot il op eo, zoals ai tot io. En daarom, met samenstellen of verdelen of met omkeren van verhoudingen: ol op io tot il op eo, zoals ao tot oi. Hier zijn immers vier punten o l e i, waarvan twee de uitersten zijn en twee ertussen liggen, en afhankelijk van verwisseling van hun ligging is van de drie rechthoeken li op eo, ie op lo en le op io, er één gelijk aan de overige, volgens de voorgaande hulpstelling op de tweede plaats. Dus zal ook volgens de uitleg van de eerste hulpstelling ao op eo tot het vierkant van oi zijn, zoals el tot il. Maar inderdaad, omdat de gestelde merkpunten a e i op uiteenlopende wijze onderling verwisseld kunnen worden, zodat het toegekende i waarnaar die lijn oi waarvan het vierkant wordt gevraagd zich uitstrekt, ook wel eens een uiterste is, en zodat de gegeven verhouding verschilt in ongelijkheid; daarom komen hieruit twee drietallen te voorschijn, waarvan het de moeite waard lijkt de afdelingen afzonderlijk zo te behandelen, dat gemakkelijker de verhouding van de delen te vinden is, die het werk vereist, of die symmetrie ervan toelaat. Daarom komt er: het gevraagde vierkant gaat, als uiterste wordt toegekend. {Gegeven wordt de verhouding van el tot li.} AFDELING 1, onbepaald. Dat bij de gegeven verhouding het gekozen merkpunt met een grotere ongelijkheid tussen een toegekend merkpunt en het dichtstbijzijnde valt. Waarbij behoort het geval, dat het voorbij het toegekende uitvalt.  Laat el die il bevatten, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 1. En dat dan punt o valt op de lijn eronder tussen e en i, en evenzo v voorbij l, en daarom ver voorbij i, is duidelijk uit het aangehaalde geval. |
|
Dat bij de gegeven verhouding het gekozen merkpunt met een kleinere ongelijkheid tussen een toegekend merkpunt en het dichtstbijzijnde valt. Waarbij hoort het geval, dat het voorbij het verste uitvalt.  Laat el deel zijn van die il, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 4. waarbij het op de lijn eronder valt in o tussen e en i; en dan is evenzo duidelijk dat v voorbij a uitvalt, uit het aangehaalde geval en het bewijs ervan. Dat het gekozen merkpunt valt tussen die, waarnaar twee bewerkende lijnen zich uitstrekken. Nu zal het nodig zijn dat de met die ai analoge in de verhouding van ei tot il, niet kleiner is dan de som van de rechten ie el, en het viervoud van de rechthoek daarop.  Laat el en il samengevoegd worden zodat ze een geheel vormen, ei, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 3. De manier van bepalen en van het geval is duidelijk uit de aangehaalde plaats. Er zijn van ditzelfde geval dus twee oplossingen wanneer de cirkel de onderliggende snijdt. waarvan het vierkant wordt gevraagd, middenin wordt toegekend. {Gegeven wordt de verhouding van al tot el.} AFDELING 4, onbepaald. Dat het gekozen merkpunt valt tussen een toegekend merkpunt en de overige aan weerszijden; dit wordt namelijk verricht met een en dezelfde manier van doen. |
Laat el en li worden samengevoegd zodat ze een geheel vormen, ei, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 1. En dan is duidelijk dat punt o valt tussen e en i, uit het aangehaalde geval. Maar ook zal uit het werk duidelijk zijn dat v tussen a en i valt, en wel vooral als ie wordt gekozen en die de kleinste is van de twee ai en ei, anders zou een hulpstelling nodig zijn. Dat bij een gegeven verhouding het gekozen merkpunt met een kleinere ongelijkheid voorbij de uiterste merkpunten valt; dit wordt namelijk verricht met een en dezelfde manier van doen.  Laat el deel zijn van il, en laat van probleem 2 gebruikt worden geval 4, dat de onderliggende lijn snijdt in e en l; die zal dus voorbij e vallen. Overigens zal ook duidelijk zijn dat het andere uiterste voorbij a uitvalt, uit de constructie van het aangehaalde geval, als ei genomen wordt als een afstand die niet kleiner is dan ai. In het andere geval zou een hulpstelling nodig zijn geweest ter bevestiging. Dat bij een gegeven verhouding het gekozen merkpunt met een grotere ongelijkheid voorbij elk van beide uiterste valt. Nu zal het nodig zijn dat de met die ai analoge in de verhouding van ei tot il niet kleiner is, dan de som van de rechten ei el, en het viervoud van de rechthoek daarop.  Laat el die il bevatten, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 3, en dan is duidelijk dat o (of ook v) voorbij e valt, uit het aangehaalde geval en ook uit de manier van bepalen. |
|
waarin probleem 2 niet wordt gebruikt. Wat in afdeling 5 en 6 wordt ontward met een verhouding van grotere en kleinere gelijkheid, vraagt hier in een verhouding van gelijkheid bijzondere uitleg en bewijs, op de volgende wijze. Laat drie gegeven merkpunten zijn a i e, zodanig dat i het middelste is, a en e de uiterste; gevonden moet worden een vijfde merkpunt o, voorbij e, zodat de rechthoek aoe gelijk is aan het vierkant op oi. Nu moet ie kleiner zijn dan de helft van de hele ae. 
Laat op diameter ae een cirkel aye beschreven worden, en laat op dezelfde ae een andere diameter ys loodrecht staan, en laat de rechte die s met i verbindt de omtrek ontmoeten in r, en vanaf r de raaklijn zijn ro. Dan zal door constructie gelden: ao is tot or, zpals or tot oe; maar or en oi zijn gelijk, want daar de driehoeken siu en syr gelijkvormig zijn, zal hoek uis gelijk zijn aan hoek syr, dat wil zeggen aan rio; maar hoek sro tussen de snijlijn en de raaklijn is ook gelijk aan hoek syr in het overstaande deel van de snijding, en daarom zullen de hoeken rio en iro onderling gelijk zijn, en de benen re en io gelijk. En daarom zal het vierkant op io ook gelijk zijn aan de rechthoek aoe, wat gedaan moest worden. Wat in de eerste en tweede afdeling is ontward met een verhouding van ongelijkheid, dat vraaagt hier in een verhouding van gelijkheid een bijzondere manier van doen.  Laat de drie merkpunten a e i zodanig zijn dat e het middelste is, a en i de uiterste; gevonden moet worden merkpunt o tussen e en i, zodat de rechthoek aoe gelijk is aan het vierkant op oi. Het bewijs en de constructie van de 7e afdeling komen geheel overeen met de kenmerken van deze. Dus haal die hierbij. |
|
Een gegeven oneindige rechte in één punt zodanig te snijden, dat van de rechten afgenomen naar vier gegeven punten, de rechthoek op twee gekozen merkpunten, tot de rechthoek op de overige twee, een gegeven verhouding heeft. Laat op de oneindige rechte lijn gesteld worden vier merkpunten a e i u, en deze moet gesneden worden in een vijfde, o, zodanig dat de rechthoek op de twee lijnen (bij beide gebruikte gegeven merkpunten kunnen ze gekozen worden aan welke kant dan ook van de gegeven punten) die we hier overal uitdrukken met oa en ou, tot de rechthoek op de overige, oe oi, die vanaf hetzelfde punt o naar de overige tussen e en i liggen, 
Overigens zeg ik dat eveneens geldt dat, op welk plaats dan ook punt l valt, aan de kant van a, voorbij e, of tussen a en e, dit helemaal |
|
niets uitmaakt. * En bij drie merkpunten e l u en een rechte ui kan met probleem 2 een vierde o gevonden worden, zodanig dat de rechthoek op ui en eo, tot die op ou en ol de verhouding heeft van ae tot al. Maar die manier van doen kan uit het tweede probleem gekozen worden, naar gelang die uo deel is van ui, of deze ui bevat, of hun geheel oi ermee vormt; zo ook wegens de voorgaande hulpstelling op de tweede plaats, van de op vier punten e o a l bevatte rechthoeken, kan eo op al deel zijn van olop ae, of groter dan deze, of tenslotte daarmee ao op el vormen. Wanneer dus, zeg ik, met die regel uit het 2e probleem een of andere geschikte manier van doen is gekozen, zal ook omgekeerd gelden: uo op ol is tot ui op eo, zoals ol tot ae, |
|
en met de uitleg van de voorgaande hulpstelling 1 voorafgaand aan probleem 3: uo is tot ui, zoals al op oe tot ae op ol; en daarom, door samenstellen of verdelen, of door omkering van verhoudingen: uo is tot oi, zoals eo op al tot ao op el. Hier zijn namelijk vier punten a o e l, waarvan twee de uiterste zijn en twee de middelste, zal naargelang de verandering van hun ligging onderling, uit drie rechthoeken eo op al, ol op ae, en ao op el, er één gelijk zijn aan de overige, volgens hulpstelling 2 voorafgaand aan het derde probleem; door de constructie volgen ze in som en verschil de regels van de rechten uo, eu, oi. Dus zal ook gelden, volgens de uitleg van de eerste hulpstelling: uo op ao is tot eo op io, zoals al tot el.
[Marge:] * Voor abnormale gevallen die probleem 2 niet gebruiken, zie afdeling 11. |
|
Maar inderdaad, omdat de gestelde merkpunten a e i u op uiteenlopende wijze onderling verwisseld kunnen worden, zodat de toegekende a en u nu eens het dichtste bij elkaar zijn bij het eind, dan weer de uiterste aan weerskanten, dan weer ook met wisselende intervallen gescheiden, komen hier drie klassen van plaatsingen tevoorschijn, en van de afzonderlijke nog afdelingen. Het lijkt daarom de moeite waard die stuk voor stuk te behandelen, opdat gemakkelijker wordt gevonden de verhouding van delen, die het werk vereist, of die symmetrie ervan toelaat. Daarom komt er: uiterste wordt toegekend, en als middelste het overige, daarbij afwisselend, zoals hier a en u. {Gegeven wordt de verhouding van al tot el.} Afdeling 1, onbepaald. Dat het gekozen merkpunt valt tussen het eerste toegekende en het dichtstbijzijnde. 
Samen met het geval, waarin het valt tussen het tweede toegekende merkpunt en het laatste in volgorde. Laat al en le doorlopen, zodat ze samen een geheel vormen, ae. En laat gebruikt worden van probleem 2 geval 4, zodat o tussen e en l valt; en dat dan v ook voorbij u valt is duidelijk uit het aangehaalde geval, maar ook aan deze zijde van i, dat zal met gevolgtrekking 1 van probleem 2 helder zijn. Dat bij een gegeven verhouding van kleinere ongelijkheid het gekozen merkpunt valt tussen het toegekende tweede en het tweede in volgorde. 
Samen met het geval waarin het voorbij het eerste uitvalt.
Laat al deel zijn van die el, en laat van probleem 2 geval 4 gebruikt worden, zodat o tussen e en u valt. En dat v dan voorbij l valt, en ook veel verder voorbij a, is duidelijk uit het genoemde geval van het aangehaalde probleem. |
|
Dat bij een gegeven verhouding van grotere ongelijkheid het gekozen merkpunt valt tussen het toegekende tweede en het tweede in volgorde. Samen met het geval waarin het voorbij het laatste uitvalt. 
Laat al die el bevatten, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 1. En dat dan o valt tussen e en l, of tussen e en u naargelang hetzij l hetzij u dichterbij e is, is duidelijk uit het aangehaalde geval. Overigens, dat v ook voorbij i uitvalt, het laatste merkpunt, is duidelijk voor wie de constructie van het aangehaalde geval goed bekijkt. uiterste wordt toegekend, zoals hier a en u. {Gegeven wordt de verhouding van al tot el.} Afdeling 4, onbepaald. Dat het gekozen merkpunt valt tussen het toegekende eerste en het dichtstbijzijnde.  Samen met het geval waarin het valt tussen het tweede toegekende en het voorlaatste in volgorde. Laat al en le doorlopem, zodat ze samen een geheel vormen, ae, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 3, zodat o voorbij l valt; en dat dan o tussen a en e valt, en eveneens v tussen u en i is helder uit gevolgtrekking 1 van probleem 2. Dat bij een gegeven verhouding van grotere ongelijkheid het gekozen merkpunt valt tussen het tweede en derde in volgorde. |
De bepaling wordt gehaald uit de volgende hulpstelling 2. Laat al die el bevatten, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 2. En dat dan o (of ook v) valt tussen e en i is duidelijk uit het aangehaalde geval, en de bepaling van deze afdeling zelf. Dat bij een gegeven verhouding van kleinere ongelijkheid het gekozen merkpunt uitvalt voorbij het tweede toegekende, dat is het laatste in volgorde.  De bepaling wordt gehaald uit de volgende hulpstelling 2. Laat al die el bevatten, hier zal nodig zijn dat l voorbij n uitvalt, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 2. Dan is duidelijk dat o (of ook v) voorbij u valt, volgens het aangehaalde geval. Dat bij een gegeven verhouding van kleinere ongelijkheid het gekozen merkpunt uitvalt voorbij het tweede toegekende, dat is het laatste in volgorde.  Samen met het geval waarin het voorbij het eerste uitvalt. Laat de rechte al worden bevat door el, en laat gebruikt wordn van probleem 2 geval 4, zodat o voorbij u valt. Dan zal v ook voorbij a vallen. De waarheid ervan bewijzen we met gevolgtrekking 2, van probleem 2. |
|
wordt toegekend en het dichtstbijzijnde, zoals hier a en u. {Gegeven wordt de verhouding van al tot el.} Afdeling 8, te bepalen. Dat het gekozen merkpunt valt tussen de toegekende. Nu zal het nodig zijn voor die ui dat de analoge in de verhouding ae tot al, niet groter is dan het verschil van de rechten le & eu samen, en het viervoud van de rechthoek daarop.  Laat al en le doorlopen, zodat ze samen een geheel vormen, ae, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 2. En dat dan o (of ook v) tussen u en l valt, en dus zeker tussen a en u, zal duidelijk zijn uit het aangehaalde geval, en de bepaling van deze afdeling zelf. Dat bij een gegeven verhouding van kleinere ongelijkheid, het gekozen merkpunt valt voorbij het toegekende tweede en het derde in volgorde. 
Samen met het geval waarin het voorbij het eerste uitvalt. Laat al deel zijn van die el, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 1. En dat o dan tussen e en u uitvalt, en evenzo v voorbij l, en dus veel verder voorbij a. is helder uit de aangehaalde plaats. Dat bij een gegeven verhouding van grotere ongelijkheid het gekozen merkpunt valt tussen het toegekende tweede en derde in volgorde. Samen met het geval waarin het voorbij het laatste uitvalt. |
Laat al die el bevatten, en laat gebruikt worden van probleem 2 geval 1, zodat o tussen e en u valt. En dat v dan voorbij i uitvalt is uit de constructie van het genomen geval voor iemand die zorgvuldig kijkt niet duister. Afdeling 11, waarin probleem 2 niet wordt gebruikt. Wat ontward is in afdeling 2 en 3, 6 en 7, en evenzo 9 en 10, alleen bij grotere en kleinere ongelijkheid, dat hebben we hier in een verhouding van gelijkheid omvat, tegelijk met manier en bewijs. Laat dus opgedragen worden een rechthoek aou gelijk te maken aan een rechthoek eoi.  Laat gelden: zoals ui tot ae, zo is uo tot eo; dan zal dus ook voor de verwisselde gelden: uo is tot ui, zoals eo tot ae. En door samenstellen of verdelen: uo is tot oi, zoals oe tot oa. En daarom zal dan rechthoek uoa gelijk zijn aan die ioe. Wat gedaan moest worden. Als twee gelijkvormige rechthoekige driehoeken de basis evenwijdig hebben, overtreft de rechthoek op de grotere zijden de rechthoek op de kleinere met de rechthoek op de basissen. Maar als ze scheefhoekig zijn en beide benen naar dezelfde kant afwijken van de loodlijn, zal hij die overtreffen met de rechthoek op de basis van de ene en de afstand van beide einden van de andere basis tot de loodlijn uit de top. Als ze echter naar verschillende kanten afwijken, met de rechthoek op de ene basis en het verschil van de segmenten van de andere. Laat gesteld worden twee gelijkvormige rechthoekige driehoeken, evenwijdig in de basis, |
aei aou, dan zeg ik dat de rechthoek op de overeenkomstige zijden ea en ao, die op de overige ia en au overtreft, met de rechthoek op de basissen ei en ou. Want omdat de recchten ei ou, ia au, ea ao evenredig zijn, en driehoek eia rechthoekig is, zullen de twee figuren ei op ou en ia op au gelijkvormig zijn en samen gelijk aan ea op ao. Daarom overtreft ea op ao die ia op au, met de rechthoek ei op ou. 
Op de tweede plaats de scheefhoekige driehoeken aei en aou, zodat de zijden au en ao, en eveneens ae en ai naar dezelfde kant afwijken van de loodlijn ay. Volgens het eerte deel zal nu iau gelijk zijn aan iy op us en ya op as; en evenzo eao aan ye op so en ya op as. En met weglating van de gemeenschappelijke ya op as, zal overblijven bij de eerste iy op us; bij de laatste ye op os, dat is ou op ey en su op ey, of su op ei en iy. Bij beide weggelaten su op iy, zal overblijven ei op su, en ey op ou, dat is ei op os; want zoals ey is tot ea, zo is os tot oa, en zoals oa tot ou, zo is ae tot ei. En op dezelfde manier: ye is tot ei, zoals so tot ou. Daarom zal ou op ey gelijk zijn aan ei op os. En derhalve zal eao dan de rechthoek iau overtreffen met die ei op os en op us, namelijk met de afstand van beide einden u en o tot de loodlijn uit de top, as.  Vervolgens tenslotte: laat van de scheefhoekige driehoeken de zijden ae ai zowel als ao au naar verschillende kanten afwijken van de loodlijn ay. En laat ey het grotere, yi het kleinere segment zijn van de basis (want wanneer ze gelijk zijn is dit derde deel niet van toepassing) en laat aan yi gelijk gesteld worden yl aan de andere kant, en aan us de rechte sr. Volgens het tweede deel zal daarom rechthoek eao de rechthoek lar, dat is iau, overtreffen met die op el (het verschil van de segmenten yi en ye) en ey met yl, dat is op de hele ei. Wat moest worden bewezen. |
|
Als de rechte, die de tegenover elkaar liggende toppen van twee loodlijnen op de diameter van een cirkel verbindt, deze snijdt, zal de verhouding van de rechthoek, gemaakt met de rechten daar vandaan naar de einden van de diameter, tot de rechthoek op de rechten, daar vandaan naar de einden van het tussensegment, het kleinst zijn. Als die daarentegen aan dezelfde kant de verbindingslijn de verlengde diameter snijdt, zal de verhouding het grootst zijn. Laat op de diameter au, vanuit de punten e en i, opgericht worden de loodlijnen ev en iy, in tegengestelde richting, en laat de verbindingslijn van de toppen, vy, het tussensegment ei snijden in o. Ik zeg dat de verhouding van de rechthoek op ao en ou, tot die op eo en oi het kleinst is; en dat elk ander punt dat genomen wordt, zoals zeg maar s, de verhouding van asu tot esi groter maakt dan die van aou tot eoi. Laat namelijk lm door s gaan, evenwijdig met vy: dan zal rechthoek lsn zich verhouden tot esi, zoals voy tot eoi, want ls se en vo oe zullen evenredig zijn.  Maar de rechthoek asu, dat is vsr is groter dan lsm, want lv (dat is my) op ni en im dat is ij (we stellen namelijk ij en im gelijk) met vs op sn, zijn volgens de voorgaande hulpstelling samen gelijk aan die lsm. En vs op sn, en ym op nf, dat is (wegens gelijkvormigheid van de driehoeken fnr en svl) vs op nr, zijn gelijk aan vsr. Dus de verhouding van vsr, dat is asu, tot esi, is groter dan de verhouding van lsm tot esi; of dan voy, dat is dan aou, tot eoi. Net zo zal het zijn met de verhouding van een ander willekeurig punt, genomen tussen e en i, en daarom is de verhouding van aou tot eoi het kleinst, en wel slechts op één manier, op zichzelf staand, omdat die een ander merkpunt bij dezelfde verhouding niet toelaat. Als echter de loodlijnen aan dezelfde kant zijn opgericht, en de verbindingslijn van hun toppen buiten de cirkel werpen, zoals hier in o, zal de verhouding |
|
van rechthoek aou tot eoi het grootst zijn; en welk ander punt ook genomen wordt, daarvan verschillend, zoals s, maakt de verhouding van rechthoek aou tot esi kleiner dan de gestelde. Want als door s die lm wordt getrokken, evenwijdig met vy, zal lsm zich verhouden tot esi, zoals voy tot eoi; de vier rechten ls se en vo oe zijn immers evenredig, en daarom zullen ook de gelijkvormige en gelijkvormig daarop geplaatste figuren evenredig zijn. |
|
Maar asu, dat is vsr, is groter dan lsm, want volgens de voorgaande hulpstelling overtreft usv de rechthoek lsm, met vl (dat is my) op ni en mi, of op nj (want we stellen mi en ij gelijk). Nu overtreft nsv ook vsr met vs op nr, dat is (wegens gelijkvormigheid van de driehoeken lsv en fnr) ym op nf. Daarom is vsr groter dan lsm, en de verhouding van vsr, dat is asu, tot esi is kleiner dan lsm tot esi, dat is voy; oftewel kleiner dan aou tot eoi. En zo ook met de overige merkpunten, op welke plaats ze ook genomen worden buiten de diameter. En daarom is die verhouding van aou tot eoi het grootst; en wel slechts op één manier, op zichzelf staand, omdat die een ander merkpunt bij dezelfde verhouding niet verdraagt. Deze bepalingen had ik vanaf hun plaats kunnen halen in ongeveer drie woorden, zoals we in sommige afdelingen hebben gedaan. Toch beviel deze manier hier omdat ik vermoedde, met niet onzekere aanwijzingen, dat deze bepalingen zo door Apollonnius zijn gebruikt. Maar deze zaken, en ook andere die hierop betrekking hebben, zullen door ons gezegd moeten worden op een andere en wel meer passende plaats.
Christiaan Huygens noemt dit werk in een brief aan Frans van Schooten, 6 dec. 1656, OCCH 1, p. 523: "En mij lijkt dat W. Snellius dit niet werkelijk heeft overwogen in het herstel van Apollonius 'de Sectione determinata'" (bij Probl. 4: over het snijden van een rechte met vier gegeven punten, zodanig dat twee rechthoeken op afgesneden lijnstukken gelijk zijn). John Lawson, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning determinate section, as they have been restored by Willebrordus Snellius, London 1772. Idem, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning tangencies, as they have been restored by Franciscus Vieta and Marinus Ghetaldus, 2e ed. London 1771. Zie de lijst bij: Université de Fribourg, Bureau du Mercure, Personne, Apollonius de Perga. Liesbeth de Wreede, Willebrord Snellius (1580 - 1626), a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, 2007, p. 53-63. |