W I L L E B R O R D S N E L L I U S
R. F.
Over Afsnijding van een Verhouding
en
Over Afsnijding van een Oppervlak
weer gewekte Meetkunde.
LUGODUNI,
Ex Officina Plantiniana Raphelengij,
Impensis
HERMANNI MULLERI.
M. D. CVII.
|
Het werk behandelt twee problemen van Apollonius, besproken door Pappus, waarvan het eerste is opgedragen aan vader Rudolph Snellius. In het begin van de opdrachtbrief aan Simon Stevin wordt een probleem genoemd waarvan Stevin dacht dat het bij de Grieken niet bekend was geweest: "vant snyen der platten ... de snijding deur een punt soo wel ghegheven buyten den omtreck, als daer binnen", zie 'Meetdaet 5', p. 144. Titel: 'Peri logou apotomès kai peri chôriou apotomès' resuscitata Geometria. (Met Snellius' voornaam als: 'Wilebrordi'.) 'The revived geometry of Cutting off of a ratio and Cutting off of an area', volgens Liesbeth de Wreede, Willebrord Snellius (1580 - 1626), 2007, p. 53. Zie p. 8: 'apotomès tou logou' - "de rationis desectione", p. 17: 'apotomès tou choriou' - "de spatij desectione". Over Apollonius bij Pappus zie Dictionary of Scientific Biography, Apollonius (zoek 'reconstructions'). Een verhouding afsnijden gaat als volgt: Gegeven een verhouding van 2 lijnstukken, 2 lijnen met op elk een punt, een punt A erbuiten; gevraagd een lijn te trekken door A die van de 2 lijnen stukken afsnijdt, tot elk gegeven punt erop, met de gegeven verhouding. NB. De opgegeven titel De sermonis abscissione bij Google van BSB, is niet juist: 'logos' en sermo hebben wel allebei de betekenis 'rede', maar 'logos' betekent ook 'reden' in de zin van 'verhouding'. (Ander ex.: UB Leiden.) Geschreven op het titelblad van dit exemplaar (BSB): "'Chôrion', kleine plaats. Bij de meetkundigen gaat dit over de ruimte, die bevat wordt tussen snijdende lijnen van figuren; die ook oppervlak wordt genoemd. Er moet een Wiskundig Lexicon worden gemaakt. Rijkdom aan zaken moet worden onderscheiden van rijkdom aan woorden." Op de achterkant ervan: "{Geometria Theorica, Practica: de figurarum (Genesi, Analysi.)}" Na het eind (p. 23): 2 tekeningen en een magisch vierkant. |
|
R O D O L P H S N E L L I U S, PROFESSOR IN DE WISKUNDE, en indertijd aan de Leidse Academie RECTOR MAGNIFICUS, zeer hoogachtbare vader. S. P. D.  A A R O M dit boekje naar u gaat, beste vader: omdat mijn gestamel en gebrek aan welsprekendheid me belet het te zeggen, zal ik via een tolk spreken, en met woorden van een ander uitleggen, wat ik met de mijne niet kan, Ja, van u ontving ik zowel het zijn, als het welzijn. Uw Theodoretus brengt me tot spreken. Neemt u dus dit werk aan, en tegelijk de reden voor het geschrift, met dezelfde blik als waarmee u gewend bent mij op te nemen. Aangezien u me vanaf het begin van mijn leven had aangespoord tot oprecht en blijvend filosoferen, en me een zetje had gegeven als ik aarzelde, was niets belangrijker voor mij dan op uw voorschriften, als regel en norm, van de ouden te onderzoeken de subtiliteit, helderheid en kortheid van bewijs. Omdat uw Apollo dit nadrukkelijk adviseerde in zijn inleiding in de wiskunde*). En intussen, terwijl ik me bezig houd met deze oefening, heb ik de aandacht gericht op de analytische kunst van goed vinden in de wiskunde. Deze heeft Plato als eerste gevonden,
*) Volgens De Wreede 2007, p. 59: Petrus Ramus, in Proœmium mathematicum, Paris 1567. |
|
Leon*) heeft die uitgebreid, Apollonius heeft haar voltooid, en nagelaten met een kunstvaardigheid en zo geregeld, dat het niet nodig was over deze zaken steeds maar te herhalen dat het zo moet. En het eerste deel ervan, dat de vlakke plaats behandelde, heeft hij uitgegeven als eigen werk, waaraan hij de titel Bepaalde snijding gaf, welk boek met andere nagelaten geschriften van dezelfde soort verloren is gegaan in de zeer duistere tijd van de periode daarna, tot grote schade van de wiskunde. Toen ik dit (als een van degenen die worden geleid door bewondering van die dingen, die door de ouden zijn gevonden, of aangetrokken door het opsporen van iets nieuws) van Pappus had geleerd, richtte ik tegelijk de ogen en de aandacht op het hernieuwen van de bepaalde snijding. En toen ik de bij Pappus geplaatste sporen zorgvuldiger herlas, schrikte de grote opsplitsing in veel problemen me af. Zodat ik genoeg kreeg van het al begonnen werk, wegens teveel gebeuzel in de afzonderlijke problemen (hoewel ik merkte dat hetzelfde was gedaan door Apollonius). Wat moest ik doen? Veel van het werk was al achter de rug. Doch nog meer bleef voor ogen. Toen ik beide nog eens overdacht, heeft de hardnekkigheid om te overwinnen het gewonnen. Van nature is er immers een onverzadigbaar verlangen in ons denken, het ware te zien, en in deze fijnzinnige studies en wetenschappen zitten prikkels, waardoor de aandacht wordt getrokken naar leren en te weten komen. Vervolgens zag ik ook dat de al opgespoorde en onderzochte problemen heel veel materie aanvoerden voor kennis van verborgen zaken. Daarom zette ik me weer aan hetzelfde werk. En ik had al opnieuw een heel grote hoop verschillende theorema's en problemen bijeengebracht, toen ik opeens weer ontevreden werd over het zo akelige werk.
*) James Grew, A Short History of Greek Mathematics (1884), p. 183: "Leon wrote an improved 'Elements' and treated particularly of diorismus." (onderscheiding, bepaling). Proclus, In primum Euclidis Elementorum librum ..., Patavii 1560 (ed. Fr. Barocius), , p. 38: "Plato ... Leodamas ... Neoclides ... Leon heeft ook de Elementen nauwkeuriger gemaakt ... en bepalingen gevonden, namelijk wanneer een gezocht probleem mogelijk is, en wanneer onmogelijk." |
|
Zo zat ik daar met mezelf. Werk van een bouwer wordt goedgekeurd als de kosten het nut niet te boven gaan. En? Denk je dat er iemand te vinden is die zo gek is, of zo kwistig met vrije tijd, om dit vele, zo ongeordende te lezen? goed te keuren? Het nut is minder dan de kosten. Nee, deze weg moet je niet bewandelen (geloof me). Dus roep ik in gedachten weer een meer integere beraadslaging op. Daarbij zijn juist uw hulpmiddelen mij bevallen, eerbare vader, en ik heb de talloze tautologieën die mij onbekend waren gebleven wegens de verscheidenheid van onderverdelingen en rangschikkingen, met toepassing van inductie en andere hulpmiddelen van de meer zuivere logica, tot één hoofdstuk teruggebracht, en met behulp daarvan wel acht, tien, twaalf problemen samengevat in telkens één. Zo zijn de principes van alle zaken gering, maar bij voortgang worden ze door gebruik vermeerderd. Door gebruik, zeg ik. Want ik heb me niet hierop toegelegd omdat ik alles wilde weten, en van welke aard het zou zijn, of omdat het met de problemen een of andere soort zou doen uitkomen; want dat is voor nieuwsgierigen. Maar ik heb me dit alleen voorgenomen, omdat door overweging van grotere dingen, tot volmaking van de wetenschap, hieruit immers gebruik en voordeel in andere wetenschappen zou kunnen voortvloeien. Want ik herinner me, eerbiedwaardige heer, die uitdrukking afgezien van het nut ervan, zal ook door de bewijzen zelf de waarde aanvaard worden, deze uitdrukking, zeg ik, al is die vroeger door de grootste wiskundigen verworpen, en die voor u en de grootste mannen een filosoof toch onwaardig leek. Want zelfs wijsheid, die te beschouwen is als levenskunst, zou niet begeerd worden, als ze niets teweeg zou brengen, zegt de redenaar*). En daarom bied ik in het openbaar deze voorproeven aan van mijn teweegbrengende of verschaffende kunst, Over het afsnijden van een verhouding en van een oppervlak. als een schilderij van Apelles, waarin
*) Cicero, 'De finibus', 1.42. |
| iedereen vrijelijk kan berispen wat hem niet bevalt (als het maar naar waarheid is). of als hij in dit schilderij niets te plukken vindt, dat hij zich dan duidelijk uitspreekt voor het uitgeven van het werk Over bepaald snijden. Want wetenschap is er altijd door het nut, en de vinder krijgt bijval. |
 POLLONIUS van Perga had alle theorema's en problemen, die van enig belang leken te zijn voor de analyse van meer duistere problemen, in één geschrift bijeengebracht. En daaraan had hij een titel gegeven naar de uitvoering: Op te lossen. Onder de geletterden ging rond dat het niet verloren was gegaan. Want veel van wat nu in de wiskunde als onmogelijk voorkomt, of althans moeilijk op te lossen, zou makkelijk oplosbaar en beschikbaar zijn geweest. Van dit werk is echter, behalve de boeken over Kegelsneden (die eigenlijk gaan over het ruimtelijke) ons zeker niets in handen gekomen. En die eerste bijna voor de helft verminkt; want in plaats van acht boeken over Kegelsneden bezitten we er slechts vier in goede staat. Het gerucht gaat dat de overige, overgezet in de Arabische taal, nog worden bewaard in het Vaticaan. Van de overige boeken, die betrekking hebben op vlakke meetkunde, verschijnt niet het minste spoor anders, dan dat er bij Pappus nog enige tekeningen zijn van het zo goddelijke werk, dat in de oudheid zelf vrijwel verdwenen is. Want in het zevende boek van de Wiskundige verzameling heeft hij de bewijzen van afzonderlijke plaatsen weergegeven. Hierdoor aangespoord heeft een heldere Muzenstem, François Viète, de Meetkunde van Apollonius Over raaklijnen opgebouwd*). En wat van Apollonius (die om de scherpte van zijn verstand algemeen bekend stond als de grote meetkundige) in meer dan 90 proposities was verstrooid, heeft hij in heel weinig problemen zodanig samengevat, dat er twijfel is of hij die nu korter of duidelijker heeft bewezen. Diens studie heben wij ook nagevolgd, en we publiceren de boeken van Apollonius die hij had betiteld als Over het afsnijden van een verhouding, en van een oppervlak, met ons werk weer opgebouwd, ter gebruik van leergierigen. En wat door hem in een wonderlijk labyrint van veel proposities was behandeld, hebben we geprobeerd met heel weinig problemen algemener uit te drukken en te bewijzen. Het onderwerp ervan nu, en wel ten eerste Over het afsnijden van een verhouding, stellen we voor ogen zoals het is overgeschreven uit een manuscript°), dat we hebben kunnen gebruiken door de welwilendheid en vrijgevigheid van de doorluchtige heer Josephus Scaliger.
*) Apollonius Gallus, Paris 1600. °) De Wreede 2007, p. 55. Grieks in oude druk: Wikipedia, Greek ligatures. Ed. Commandino (Latijn): Pappi Alexandrini Mathematicae collectiones (Pisauri 1588), p. 158. Idem, Commentaria in octo mathematicarum collectionum Pappi (Pisauri 1602), p. 158. Ed. Hultsch (Gr.-Lat.): Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt, vol. 2 (Berolini 1877), p. 641. |
|
Dat is: Hoewel er twee boeken zijn over het afsnijden van een verhouding, is er toch één propositie, en deze is onderverdeeld. Daarom kan deze enkele propositie zo worden uitgedrukt: Door een gegeven punt een rechte te trekken, die van twee rechten met gegeven positie, tot daarop gegeven punten segmenten afneemt in een opgegeven verhouding. Nu bestaan er verschillende figuren, in veelvoud wegens de onderverdeling; en deze |
|
ontstaat deels door de stand van gegeven rechten ten opzichte van elkaar, en de plaatsing van een verschillend gegeven punt; en deels door de oplossing en samenstelling zowel van de problemen zelf, als ook van hun bepalingen. Nu heeft het eerste boek over het afsnijden van een verhouding zeven plaatsen, vierentwintig gevallen, en vijf bepalingen, waarvan drie heel groot, en twee heel klein zijn. En de grootste is bij het derde geval van de vijfde plaats; en de kleinste zijn bij het tweede geval van de zesde plaats, en het tweede van de zevende plaats. En heel grote weer bij de vierde gevallen van de zesde en zevende plaats. Het tweede boek over het afsnijden van een verhouding heeft veertien plaatsen, 63 gevallen; de bepalingen zijn echter uit het eerste boek. Het wordt namelijk geheel daartoe herleid. Overigens hebben de twee boeken over het afsnijden van een verhouding 20 hulpstellingen en 181 theorema's. Maar volgens Pericles ook meer.*) De bewijsvoering gaat als volgt. Laten we het dus doen met liniaal en passer; en ondervinden hoe groot in deze materie onze straal afgemeten kan worden. Het geplaatste punt waardoor de snijdende rechte getrokken moet worden, ligt hetzij op die lijnen die voorgesteld worden, hetzij erbuiten. Als het erop ligt, vereist de zaak geen uitwerking. 
Inderdaad: de gegeven lijnen moeten zijn ay en iu, de uiteinden tot waar de af te nemen lijnstukken zich uitstrekken y en u, en het punt waardoor een lijn zodanig getrokken moet worden, dat de segmenten de gegeven verhouding van R tot S hebben, moet a zijn, op één van de geplaatste lijnen. Dan komt er dus: zoals R tot S, zo is ay tot ui, en van a naar i wordt de rechte ai toegevoegd. Het bewijs is duidelijk uit de elementen. Als nu echter het gegeven punt buiten de gegeven lijnen ligt, zullen de uiteinden tot waar de af te nemen segmenten zich uitstrekken hetzij in principe, hetzij in werkelijkheid, dubbel zijn. In principe, wanneer namelijk één uiteinde wordt gegeven in het snijpunt van twee rechten die naar elkaar toelopen. Daarom vat ik in dit geval het probleem als volgt op, en ik bewijs het. G E G E V E N twee rechten die naar elkaar toelopen, door een gegeven punt erbuiten een rechte te trekken, die tot het snijpunt ervan segmenten onderschept in een opgegeven verhouding.  G E P L A A T S T worden de twee naar elkaar toelopende lijnen ae en ue, en een punt o dat er niet op ligt. Hierdoor moet een rechte oi getrokken worden, die de verhouding van de segmenten ae en ei dezelfde maakt als een gegeven verhouding van R tot S.
*) Tot hier ongeveer zoals in ed. Commandino, 1588 en 1602, met 'Pericles' (158v). Ook bij Carlo Renaldini, Artis analyticae mathematum Pars secunda (Pat. 1669), p. 63; Snellius wordt genoemd op p. 62. |
Laat dus ou evenwijdig zijn met één van de geplaatste lijnen ae. En er komt: zoals R tot S, zo is ou tot ui. De oneindige rechte getrokken door o en i zal het probleem afmaken. Want R tot S is als ou tot ui, maar zoals ou tot ui, zo is ae tot ei. en derhalve zal dus ae tot ei zijn zoals R tot S. Dit probleem was niet heel bewerkelijk, en zelfs duidelijk uit de elementen zelf. Wat is dit imeers anders dan: bij drie gegeven rechten een vierde evenredige te vinden? De uiteinden kunnen zich in werkelijkheid dubbel vertonen hetzij bij onderling evenwijdige rechten, hetzij bij lijnen die naar elkaar toelopen. Het handwerk bij evenwijdige lijnen kan, omdat het eenvoudiger uit te werken is, ook het vorige zijn. D O O R een gegeven buitenpunt een rechte te trekken, die tot twee einden op gegeven.evenwijdige rechten segmenten onderschept in een gegeven verhouding. 
G E P L A A T S T kunnen worden de evenwijdige rechten ae en io, met daarop gegeven de einden u en y, en het gegeven punt l op geen van beide evenwijdige, waardoor een rechte lh moet worden getrokken, die de verhouding van de segmenten mu en hy deelfde maakt als die van R tot S. 
Laat de rechte uy de geplaatste einden verbinden, en laat deze zodanig gesneden worden in t, dat de verhouding van de segmenten ut tot ty dezelfde is als die van R tot S. En laat de van l naar t getrokken rechte de evenwijdige ontmoeten in m en in h. Dan zullen dus de driehoeken mut en hyt gelijkvormig zijn, en daarom de zijden mu en hy evenredig met ut en ty, want bij gelijke hoeken. Maar zoals tu tot ty, zo verhoudt zich volgens constructie R tot S. En evenzo zal dus mu tot hy zijn, zoals R ad S. Daarom onderschept de uit l getrokken rechte de lijnen mu en hy, naar de gegeven einden u en y, in de opgegeven verhouding. |
|
A L S vanuit een hoek van een parallellogram twee rechten worden getrokken die beide benen (ook na verlenging) tegenover de hoek snijden, zal gelden: zoals het tussensegment van het ene been tussen de getrokken rechten, tot het tussensegment van het andere, zo is het segment van het eerste been tussen een getrokkene en het been van de eerste hoek, tot het segment van het andere been, onderschept tussen de andere getrokkene en het andere been van de eerste hoek. |
|
P A R A L L E L O G R A M iuqo zij het voorgestelde, door hoekpunt o waarvan twee rechten ay en tp worden getrokken, die beide benen (ook na verlenging) qu en ui snijden. Ik zeg dat yt, het tussensegment van het ene been (en wel uq, ook na verlenging) tot pa, het tussensegment van het andere been, dezelfde verhouding heeft, als tq tot ai, waarbij - tq het segment is van het eerste been, onderschept tussen de ene getrokkene pt, en oq, been van de eerste hoek, - ai het segment is van het andere been, ingesloten tussen de andere getrokkene ay, en oi, het andere been van de eerste hoek. Daar immers oi evenwijdig is met ty, en oq met up, en de driehoeken tqo en oip daarom gelijkvormig zijn, zal gelden: zoals pi tot io, zo is oq tot qt. maar zoals io tot ia, zo is yq tot qo. Dus volgens veranderde verhouding*): zoals pi tot ia, zo is yq tot qt. En door samenstellen of verdelen°): zoals pa tot ai, zo is yt tot tq en ook: ty tot pa, zoals tq tot ai.
*) Lat. "ex aequatione igitur perturbata", zie Euclides, Elementen, V, def. 18. °) Lat.: "componendo, vel dividendo", zie Euclides, V, prop. 17. |
|
B I J twee gegeven rechten door een gegeven punt daarbuiten een rechte te trekken, die van de geplaatste rechten naar twee gegeven einden daarop segmenten onderschept in een opgegeven verhouding.
G E P L A A T S T kunnen worden de rechten yq en ip, de gegeven einden daarop kunnen zijn t en u, waarnaar met een rechte, aangelegd door een punt o (dat op geen van beide geplaatste ligt), de segmenten ty en au moeten worden genomen, in een gegeven verhouding, die kan zijn van R tot S. L A A T het al gedaan zijn, en stel die rechte is oa: dan moet ty zich verhouden tot au, zoals R tot S. En laat dan op het gegeven punt o verbinden met eind p. Nu wordt evenwijdig met pu aangelegd oq, die ty snijdt in q; en oi evenwijdig met tq, die pu snijdt in i. En maak: zoals R tot S, zo is tq tot G. Aangezien dus de twee door hoekpunt o van parallellogram qi getrokken rechten op en oa de overige zijden snijden, tegenover de benen van de hoek, zal volgens de hulpstelling gelden: pa staat tot yt, zoals ai tot tq. Maar zoals yt tot au, zo is volgens constructie tq tot G. En eveneens dus: pa tot au, zoals ai tot G. |
| Dus het product van G en pa is gelijk aan dat van au en ai. Gegeven is nu G en de drie einden u, i en p. Dus het is afgeleid tot een bepaalde snijding, |
|
namelijk: bij drie gegeven einden u, i en p en een G erbuiten, de lijn uip zodanig te snijden in een punt a, dat het product van G en de lijn die ligt vanaf het te vinden eind a tot een van de gegeven punten u, i, p (namelijk p), tot het product van de twee lijnen ai en au (daar vandaan onderschept tot de overige twee einden u en i), de verhouding heeft van gelijke tot gelijke. En dit staat duidelijk vast. Want het is door ons bewezen in het boek Apollonius Batavus, of Over de bepaalde snijding*). Gegeven is dus punt a. En daarom zal de positie van de rechte oa gegeven zijn. En zo dus ook het punt y. Daarom zal het voorgaande probleem als volgt gesteld worden. Laat gelden: zoals R tot S (dat is de gegeven verhouding), zo is tq tot G. En wanneer de rechte, vanaf het gegeven eind t door punt o aangelegd, de andere ui ontmoet, dan zal het punt van ontmoeting verschillend zijn van het gegeven punt u, of hetzelfde. Als het verschillend is, zoals hier p, wordt dit: En up zal zodanig gesneden worden in a, dat het product van ap en G gelijk is aan dat van ai en au. En dit hebben we geleerd in ons boek Apollonius Batavus, probleem 2. Ik zeg dat de oneindige rechte ao, die de geplaatste yq snijdt in y, het probleem afmaakt. Want nu zal volgens de voorgaamde hulpstelling gelden: yt is tot pa, zoals tq tot ai, en zo ook is yt tot tq zoals pa tot ai. Maar volgens constructie: pa is tot ai, zoals au tot G (want de rechthoeken op pa en G, en op ai en au zijn gelijk). En evenzo is dus yt tot au, zoals tq tot G, dat wil zeggen zoals R tot S, wat de gegeven verhouding is. Maar dan, afhankelijk van de verscheidenheid van gegeven einden van delen, zal de methode die het werk vereist, en de onderlinge symmetrie ervan, gevonden worden uit de problemen van bepaalde snijding, die worden genomen om uit te werken; en daarmee wordt duidelijk hoeveel oplossingen ieder mogelijk geval toelaat. 
*) W. Snellius, Apollonius Batavus, Seu, Exsuscitata Apollonii Pergaei 'Peri diôrismenès tomès' Geometria, Lugodini 1608. |
|
gelijk aan de gevonden G, zal de rechte aoy het ermee verbonden probleem afmaken. Want uit de hulpstelling volgt: zoals yt tot au, zo is tq tot ai. Maar zo is door constructie R en S. Dus geldt zo ook: yt is tot au zoals R tot S, dat is in de gegeven verhouding. Maar als tenslotte elk van beide evenwijdige rechten valt op gegeven einden (want als slechts de ene wordt gekozen zal het andere eind geschikt zijn voor de uitwerking, en komt de zaak neer op een van beide bovenstaande afdelingen), zal het handwerk als volgt zijn. Geplaatst kunnen worden de rechten te en eu, en de gegeven einden kunnen zijn zoals eerst t en u, waarin de evenwijdige rechten vanuit o vallen. Laat het zo zijn dat zoals R tot S (wat de gegeven verhouding is), zo is uo tot G. En laat de middelevenredige tussen G en eu zijn ua, deze kan aan beide richtingen vanaf u geplaatst worden. Ik zeg dat de oneindige rechte ao het probleem afmaakt. 
Want het product van eu en ou is tot dat van G en eu, zoals uo tot G, dat wil zeggen door constructie: zoals R tot S. Dus zoals R tot S, zo verhoudt zich het product van eu en uo tot dat van eu en G, dat wil zeggen door constructie: tot het kwadraat van au. Maar zoals uo tot au zo is ts tot to, dat wil zeggen tot eu (daarom is het product van eu en uo gelijk aan dat van au en ts). Dus zoals R tot S, zo is het product van au en ts tot het kwadraat van au; dat is, met weglating van het gemeenschappelijke: zoals ts tot au. Wat gedaan moest worden.
|
|
SIMON STEVIN,
 EER beroemde heer. Dat de indeling van rechtlijnige figuren door de ouden ordelijk en methodisch beschreven is, en dat in het bijzonder de snijding, door een gegeven punt binnen of buiten een driehoek, bij hen volstrekt niet onbeproefd of onbekend was (ik herinner me dat dit door u ergens*) is vermeld) is niet te betwijfelen. Want er was een aanhangseltje van dit Over afsnijding van een oppervlak, zoals uit Pappus is op te maken. En daarom heb ik ook dit gevolgtrekkinkje hier hersteld. Want ik dacht dat het beter was dit uit de bronnen te putten, dan het in beekjes na te gaan; en des te meer omdat ik zag dat dit probleem, over het snijden van een driehoek vanuit een erbuiten gegeven punt, niet zo lang geleden erbarmelijk behandeld is. Er is inderdaad een of andere Stamelaar°) die, hoewel hij dat bewijs ergens vandaan had overgeschreven, toch niet ophoudt met stamelen, en niet duidelijk het algemene durft of kan zeggen. Want het doet er niet toe waar dan ook het gegeven punt ligt (als het maar buiten de driehoek is); het vereist immers geen andere uitleg bij de ene plaats, dan bij een andere. Het zal dus toch niet op zijn plaats geweest zijn, datgene waarvan de natuur heeft gewild dat het één geheel zou zijn, op te splitsen en te verstrooien in heel kleine delen, tegen de voorschriften van de wetenschap in? Daarom heb ik moeite gedaan om de snijding, niet alleen vanuit een gegeven punt buiten, maar ook binnen de driehoek, op te lossen met een enkel probleem, want ik heb de eenvoudigste analytische gevolgd volgens de orde van de natuur#). En die kleine verschilletjes moeten, omdat ze in de wetenschap behouden worden tegen de wetenschap in, tot een eenheid worden teruggebracht. Zoals we geleerd hebben dat de ouden het gedaan hebben in een en dezelfde propositie, die van geval tot geval verschilt. Zij werden genoemd de Grote Meetkundigen, en om de goddelijkheid van hun verstand zijn ze zelfs boven de sterren geplaatst. Deze zaak heeft mij toch verder aan het denken gezet, over wat dan de oorzaken zouden zijn van de zo grote duisternnis van deze tijd, en waarom een zo onbetekenend probleempje door zo verschillende mensen behandeld, een zo benauwend voorwerp van zorg, en met zoveel inspanning bewerkt zou zijn geweest. Maar voor mij geldt in elk geval: al lijken die ouden, met iets groters in gedachten, ook veel meer gezien te hebben dan wat met de scherpte van onze verstanden beschouwd kan worden; ik lijk toch naar waarheid ook dit te moeten zeggen: dat zij, die bezig zijn geweest met hun meest vrije studies en theorieën, maar een zeer klein gedeelte hebben besteed aan de invloed, of het nut van de wetenschap. Zodat daarom ook maar heel zelden iemand hierin uitmuntend wordt. Want de mening is, niet alleen van het volk, maar ook van mensen die niet weinig ontwikkeld zijn, dat het meest uitmuntende hier datgene is, wat het verst verwijderd is van het begrip en de gedachtengang van ondeskundigen. Want al te goedgelovige mensen vrezen dat de mechanica en het werktuiglijke het goede van de meetkunde bederven. Hieruit is die scheiding voortgekomen, als het ware van geest en lichaam, absurd inderdaad, en ongeschikt, en af te keuren, dat sommigen ons de theorie zouden leren en anderen de praktijk. Terwijl de Meekunde toch, waar ze ook van pas komt gepaard gaat met onderricht, en met schoonheid; of ze nu de draaipunten van de hemel beschrijft, en voor de vaste sterren
*) Simon Stevin, Wisconstige Gedachtenissen, II (Leiden 1605), 'Meetdaet', boek 5, p. 144. Snellius' vertaling: Hypomnemata Mahematica, II (Leiden 1605), 'De Geometriae Praxi', lib. 5, p. 132. °) Nicolo Fontana Tartaglia (bijnaam: 'stamelaar'). Er was ook een Marcus Fulvius Bambalio (1e eeuw BC) genoemd naar zijn spraakgebrek. #) Zie De Wreede 2007, p. 213 e.v.: Snellius in Cutting off (1607): 'order of nature'. |
|
en dwaalsterren de woningen en verblijven aanwijst; of gebieden van de aarde afmeet op het vaste land, en aan elk azonderlijk de grenzen ervan toewijst, of op het golvende zoute water de zeeën helemaal meet, en gewenste havens en verblijven toont; of ze nu vestingen aanlegt, of belegert; de Meetkunde, zeg ik, meet alle dingen met haar voorschriften en instrumenten, en naar elk afzonderlijk wordt ze verdeeld in beekjes, niet in bronnen. De hoogste top ervan is heel klein, de praktijk heel wijd. En daarom vergissen zij zich mijns inziens zeer, die eraan wanhopen dat ze het geheel ervan kunnen omvatten, en menen dat ze haar gemakkelijker uiteengerukt en zo goed als verstrooid kunnen behandelen; en ze worden weerlegd door Diodorus de Stoïcus, die toen hij blind was de taak van leraar in de Meetkunde op zich nam*). Veel meer ook lijken me uit te glijden en door te slaan degenen, die zich voorstellen dat Meetkunde op papier iets zuiver theoretisch is, tijdverspilling, niets teweegbrengend, en vervallen. Beiden kan ik echter gemakkelijk weerleggen, alleen al doordat Archimedes het tegendeel bewijst, met veel bijval van wiskundigen. Inderdaad, wie is met Archimedes te vergelijken, in rijkdom aan vondsten, subtiliteit van onderzochte zaken, of doorslaggevendheid van bewijzen? Echt een wonder is dit geweest, in verbazende snelheid van denken, en begrip, waarin de natuur zich als weldoener helemaal heeft laten gaan. We kunnen hier wel allen als getuige oproepen, ouden zowl als recenten, ze zullen ver achterblijven bij zijn genie en verstand. Zodat mij lijkt dat deze heel terecht de oogappel der Filosofen is genoemd, en dat diegene de meeste vorderingen in de wiskunde heeft gemaakt, aan wie Archimedes het meest bevallen is, want hij is meer dan anderen spitsvondig in het bewijzen en opsporen, en scherpzinnig. Hij roept de natuur der dingen, zelfs als ze tegenstribbelt, bijna weg van haar grondslagen naar de firmamenten van zijn bewijzen. Hij is subliem, hij is afgerond, hij is kort. En toch, van die ijver (dezelfde die hem het leven gaf en ontnam, helaas) van dat verstand, zeg ik, van die werkplaats waren die werktuigen afkomstig waarmee Syracuse (met bijval van goden en mensen) zo lang verdedigd is tegen het geweld van de Romeinen. Want zoals hij de hoofdprijs heeft gekregen voor scherpzinnigheid van uitvindingen, zo heeft hij zich ook de hoofdprijs toegeëigend voor bruikbaarheid van het vervaardigde. Hij vond namelijk ook niet, dat de wiskunde erdoor werd bezoedeld, maar veeleer hoger verheven, en verrijkt. Ja zelfs leerde hij dat dit gebruik van de wiskunde het sap is, en het bloed, waardoor ze wordt gevoed, waardoor ze leeft; als dit eraan wordt onttokken kan ze niet overleven. Maar wat doe ik? Hier behoeft door mij toch niet de herinnering aan een zekere oude weer opgehaald te worden, is het aandenken niet voldoende uitgelegd en sterk? Laten we de aandacht en de gedachten richten op de tegenwoordige tijd. Kennen we soms niet in deze nieuwste tijd verscheidene mensen die in de Wiskunde uitstekend zijn, zoals de tijd van een aantal eeuwen geleden er grotere heeft voortgebracht? Ja zelfs roep ik juist u hier als mijn getuige op, zeer geleerde Stevin. U, u zeg ik, hebt zowel in geschrifte als metterdaad bewezen dat de praktijk door de theorie en de theorie door de praktijk wordt versterkt°): door uw vernuft zijn zeer grote dingen vaak met weinig kosten tot stand gebracht; van uw ijver spreken tot nu toe ongehoorde & ongeziene werkingen: u hebt die dingen, waarvan de in diepste duisternis gehulde oorzaken verborgen waren, met wiskundige kracht van redenen uitgelegd, onderzocht, opgespoord. Daarom juist, omdat u Euclides met Archimedes hebt verenigd, dat wil zeggen de wetenschap met het gebruik van de wetenschap, heeft uw ijver volgens allen een bewonderenswaardige verdienste gehad, en voor Koningen en Prinsen ook (zowel onder de wapenen, als in tijd van vrede) een zeer welkom nut bewezen.
*) Cicero, 'Tusculanarum disputationum', lib. 5, XXIX:
Willebrord Snellius in Eratosthenes Batavus (Leiden 1617), p. 239: "doctissimus Stevinus", in verband met Zeilstreken. |
| Dat is: Er zijn wel twee boeken over het afsnijden van een oppervlak, doch ook hierin is een enkel probleem dat in tweeën verdeeld is, waarvan het ene een propositie is, en het andere is weliswaar gelijkend aan het vorige, doch in dit ene ongelijk, dat in het eerste de twee afgenomen lijnen geplaatst moeten worden in een gegeven verhouding, in het andere echter zodanig dat ze een gegeven oppervlak omvatten. En het zal als volgt worden uitgedrukt. |
|
Door een gegeven punt een rechte te trekken, die van twee in positie gegeven rechten tot gegeven punten daarop segmenten afneemt die een oppervlak omvatten, gelijk aan een gegeven oppervlak. En wegens oorzaken gelijk aan die van bovenstaand probleem heeft het een verscheidenheid aan figuren. En het eerste boek over de snijding van een oppervlak heeft VII plaatsen, XXIV gevallen, VII bepalingen, waarvan vier heel groot en drie heel klein. De grootste zijn wel bij het tweede geval van de eerste plaats, en bij het eerste en tweede van de vierde plaats, en bij het derde van de zesde plaats. En de kleinste bij het derde van de derde, bij het vierde van de vierde, en bij het eerste van de zesde plaats. En het tweede boek over de snijding van een oppervlak heeft XIII plaatsen, VII gevallen, de bepalingen echter uit het eerste boek, want het wordt geheel daartoe herleid. En het eerste boek heeft XLVIII problemen, het tweede LXXVI.*) Gegeven twee rechten, een rechte te trekken door een gegeven punt op één van beide, die tot gegeven einden op de geplaatste rechten, segmenten afneemt die een gegeven oppervlak omvatten. Of de gegeven rechten naar elkaar toelopen of evenwijdig zijn is van geen belang. Laat dus daarop de einden y en u worden gegeven, en het punt a waardoor aangelegd moet worden ai,
die op ay en iu een rechthoek maakt, gelijk aan een gegeven oppervlak R. Dan kan het gegeven oppervlak R worden gezet op ay, en laat de opgaande breedte zijn ui, en trek ai. Duidelijk is dus dat het gegeven oppervlak R wordt omvat door ay en ui. Als nu de gegeven einden zijn op de manier van een dubbele lijn, en in positie inderdaad hetzelfde, 
zoals wanneer het snijpunt van de lijnen punt e is, zal de zaak geheel hetzelfde zijn. Want wanneer je het gegeven oppervlak op ae hebt gezet, en wat hiervan opstaat gelijk hebt gesteld aan ei, heb je de zaak afgedaan. Maar als het gegeven punt waarnaar de snijdende rechte gericht moet zijn, helemaal niet op die geplaatste rechten ligt, wordt het probleem drievoudig. Laat het eerste zijn: als de einden liggen in het snijpunt van naar elkaar toelopende rechten.
*) Tot hier toe ongeveer zoals in ed. Commandino, 1588 en 1602 (vergelijk p. 9 hiervoor). Zie ook Renaldini 1669. |
|
Gegeven twee lijnen, door een gegeven punt een rechte te trekken, die tot hun snijpunt segmenten onderschept die een gegeven oppervlak omvatten. Laat de naar elkaar toelopende rechten zijn qe en ae, die bij e een hoek maken, het gegeven punter buiten o. Hier vandaan zij oi evenwijdig met qe, 
en de door o aan te leggen rechte zij ao, die de segmenten ye en ea (neem hetzelfde aan voor Ye en eA) moet afnemen, die een gegeven oppervlak omvatten, bevat in het product van oi en eu. Of als het zo niet gegeven is, kan het toch in deze soort worden ondergebracht. Als nu gegeven zijn de twee punten e en u kan de rechte ei gesneden worden in a volgens het eerste probleem van Apollonius Batavus, zodanig dat het kwadraat van ae gelijk gemaakt wordt aan het product van ue en ai. Dus zal gelden: zoals ue tot ae, zo is ae tot ai, maar zoals ae tot ai zo is ye tot oi. En volgens deze gelijke verhoudingen: zoals ue tot ae zo is ye tot oi. En zo dan ook: het product van de uitersten ue en oi, wordt gelijk gesteld aan het product van de middelste ae en ye, dat zijn de segmenten van de gegeven lijnen, onderschept tot hun snijpunt. Het probleem genomen uit Bepaalde snijding zal een verscheidenheid aan gevallen bepalen. Een Driehoek kan dus in een gegeven verhouding gesneden worden vanuit een punt hetzij erbuiten, hetzij erbinnen.*) 
Kijk, ik richt de vinger op de bron, want ik vind dat het veel meer voldoening geeft uit bronnen te putten, dan het in beekjes na te gaan. Gegeven driehoek aei, die gesneden moet worden vanuit een punt u (of dit nu buiten of binnen de driehoek ligt) in een verhouding van R tot S. Laat met die verhouding de basis ei worden gesneden in r en laat aan de rechthoek op ai en ir gelijk gemaakt worden aan het product van yi en io, volgens het voorgaande probleem. Dan zullen de driehoeken air en yio wederkerig zijn
*) Zie De Wreede 2007, p. 233-248: Snellius over 'The triangle division problem'. |
|
in de benen van de gemeenschappelijke hoek i, dat wil zeggen: yi is tot ia zoals ri tot io; en daarom zijn ze onderling gelijk. De methode zal hetzelfde zijn als je een driehoek van een bepaalde grootte wilt afnemem. Want dan moeten rechten worden afgenomen die het dubbele van het gegeven oppervlak omvatten bij deze hoek. Iets dergelijks heeft Pappus geleerd in boek 7, prop. 164. Van twee gegeven evenwijdige lijnen met een rechte, aangelegd door een punt dat op geen van beide ligt, tot daarop gegeven einden segmenten af te nemen die een gegeven oppervlak omvatten. Laat op geplaatste parallelle lijnen gegeven zijn de einden e en i, en het punt a dat op geen van de evenwijdige ligt. 
Nu: als de rechte, vanaf het punt a verbonden naar eind e, ook valt in het andere eind i, zodat de drie punten a, e, i op eenzelfde rechte liggen. Laat de rechthoek op eo en iu gelijk zijn aan de gegeven R, en vergeleken worden met wat wordt omvat door ia op ae.
Daarom volgens constructie: zoals ae tot eo, zo is ai tot iu; dus zal de rechte ao na verlenging terechtkomen in punt u. En a, o, u, zullen op dezelfde rechte liggen, en het product van eo en iu wordt gelijk gesteld aan de gegeven rechthoek. Maar als de rechte, vanaf punt a verbonden met eind e, niet ook op het andere eind i valt, zodat de drie punten a, e, i niet op eenzelfde rechte liggen, dan |
|
kan vanaf a naar i toegevoegd worden de rechte ai, die de dichtstbijzijnde evenwijdige snijdt in r. Het gegeven oppervlak zij het product van ai en ty (of als het zo niet gegeven is, kan het toch tot bij deze soort worden ondergebracht). Nu zal bij de twee gegeven punten r en e die rechte gesneden worden, volgens het eerste probleem van Apollonius Batavus, in o, zodat het product van ro en re gelijk is aan dat van ar en iy. Dus zal gelden: eo tot iy is als ar tot ro, en zo is ook ai tot iu. En insgelijks dus: eo tot yi zoals ai tot iu. Daarom is het product van eo en iu gelijk aan de gegeven rechthoek op ai en iy. Gedaan is dus, wat gedaan moest worden. Van twee rechten die naar elkaar toelopen, door een gegeven punt daarbuiten een rechte te trekken, die tot daarop gegeven einden segmenten afneemt die een gegeven oppervlak omvatten. Geplaatst zijn de naar elkaar toelopende lijnen tq en ai, en op tq wordt t als eind aangewezen, en op ai u. Nu wordt opgedragen: door het gegeven punt o, dat op geen van beide ligt, een rechte te trekken zodanig, dat de tussensegmenten van de geplaatste lijnen, onderschept tot de gegeven einden, een gegeven oppevlak omvatten; en dat moet zijn het product van R en S. |
| Laat de rechte vanuit het andere eind t door punt o aangelegd die ai snijden in p, en laat vanuit o de twee oi en oq evenwijdig zijn met de gegeven tq en ai. En aan het product van R en S, dat is het gegeven oppervlak, wordt gelijk gesteld het product van tq en G. Hiermee, met gegeven deze drie einden i, p, u op de rechte lijn en de uitwendige rechte G, moet ui gesneden worden in a, |
|
volgens het 2e probleem van Apollonius Batavus, of Bepaalde snijding, zodat het product van G en ai gelijk is aan dat van au en ap; en zodat de rechte, die gaat door het gevonden punt a en het gegeven punt o, tq snijdt in y. Dus zal gelden volgens de hulpstelling geplaatst in het vorige boekje Over het afsnijden van een verhouding: pa is tot ai zoals yt tot tq. Maar door constructie geldt: zoals pa tot ai, zo is G tot au. En insgelijks zal dus gelden: G is tot au zoals yt tot tq. Daarom zal het product van au en ty gelijk zijn aan dat van G en tq, dat is het gegeven oppervlak van R op S. Als de rechte ot valt in u, en zoals hiervoor de gegeven rechthoek het product is van tq en G, dan moet bij de twee gegeven einden u en i op de rechte lijn en de uitwendige G, ui gesneden worden in a, volgens |
|
|
Maar wat als beide evenwijdige rechten op de einden vallen? Deze plaats
Want laat de einden weer zijn t en u, waarin vanuit o twee aangelegde evenwijdige lijnen os en ou vallen. 
Ik zeg dat elke rechte die wordt getrokken vanuit o, een gegeven oppervlak omvat, dat wil zeggen, slechts één en hetzelfde. Laat de eerste zijn oya, de tweede ors, dan zullen au, ou en ot, ty evenredig zijn. En ook ru, uo en ot, ts. Dus kunnen ru en ts hetzelfde oppervlak omvatten als au en ty, want ze zijn gelijk aan dezelfde rechthoek, die het product is van ou en ot.°)
*) Commandino 1588, p. 173. Friedrich Hultsch, Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt, vol. 2 (Berolini 1877), Lib. VII, p. 702, r. 31. C. J. Gerhardt, Die Sammlung des Pappus von Alexandrien, Griechisch und Deutsch herausgegeben, 2 vols. (Halle, 1871), vol. 2, p. 54. °) au : ou = ot : ty , dus: au × ty = ou × ot , ru : ou = ot : ts , dus: ru × ts = ou × ot . Federico Commandino, De superficierum divisionibus liber Machometo Bagdedino ascriptus, Pisauri 1570: verdeling van een driehoek, vierhoek, vijfhoek met een lijn, in een bepaalde verhouding; p. 54-76: Commandino: rechtlijnige figuur verdelen. F. J. Dijksterhuis, 'The Mutual Making of Sciences and Humanities: Willebrord Snellius, Jacob Golius, and the Early Modern Entanglement of Mathematics and Philology', in: R. Bod, J. Maat, T. Weststeijn (eds.), The making of the humanities, vol II (Amst. 2012), p. 73-92. Genoemd in n. 41 (bij p. 80): Edmond Halley, Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duo ex Arabico MSto. Latine versi ... de sectione spatii ... (Oxonii 1706). In Praefatio: "Willibrordus Snellius". |
