| [ ] | [ v ] |
W I L E B R O R D I S N E L L I I
R. F.
Π Ε Ρ Ι Λ Ο Γ Ο Υ Α Π Ο Τ Ο Μ Η Σ,
και
ΠΕΡΙ ΧΩΡΙΟΥ ΑΠΟΤΟΜΗΣ
resuscitata Geometria.
LUGODUNI,
Ex Officina Plantiniana Raphelengij,
Impensis
HERMANNI MULLERI.
M. D. CVII.
| [ ] | [ v ] |
|
Het werk behandelt twee problemen van Apollonius, besproken door Pappus, waarvan het eerste is opgedragen aan vader Rudolph Snellius. In het begin van de opdrachtbrief aan Simon Stevin wordt een probleem genoemd waarvan Stevin dacht dat het bij de Grieken niet bekend was geweest: "vant snyen der platten ... de snijding deur een punt soo wel ghegheven buyten den omtreck, als daer binnen", zie 'Meetdaet 5', p. 144. Titel: 'The revived geometry of Cutting off of a ratio and Cutting off of an area', volgens Liesbeth de Wreede, Willebrord Snellius (1580 - 1626), 2007, p. 53. Zie p. 8: 'apotomès tou logou' - "de rationis desectione", p. 17: 'apotomès tou choriou' - "de spatij desectione". Over Apollonius bij Pappus zie Dictionary of Scientific Biography, Apollonius (zoek 'reconstructions'). NB. Snellius' voornaam staat inderdaad als 'Wilebrordi' op de titelpagina. De opgegeven titel De sermonis abscissione bij Google van BSB, is niet juist. (Ander ex.: UB Leiden.) Geschreven op het titelblad van dit exemplaar (BSB): "'Chôrion', parvus locus. Apud geometras est id spatij, quod intra concurrentes lineas figurarum continetur; quod et area dicitur. Concinnandum est Lexicon Mathematicorum. Copia rarum [rerum] distingui debet a copia verborum." Op de achterkant ervan: "{Geometria Theorica, Practica: de figurarum (Genesi, Analysi.)}" Na 'Finis' (p. 23): 2 tekeningen en een magisch vierkant. |
| [ 3 ] | [ v ] |
|
R O D O L P H O S N E L L I O, MATHEMATUM PROFESSORI, & pro tempore Lugodinensis Academiae RECTORI MAGNIFICO, parenti plurimum observando. S. P. D.  U R hic libellus ad te eat, pater optime, pater venerande, quia balbuties & infantia mea me prohibet dicere, loquar per interprete, & alienis verbis explicabo, quod meis non queo. 'hop para sou kai to einai, kai to eu einai elabon'. Theodoretus tuus me facit loquentem. Laborem igitur hunc, & insimul scripti causam eo, quo me soles, accipe vultu. Cum me ab ineunte aetate ad veré solideque philosophandum invitasses, & haesitantem impulisses, nihil mihi fuit antiquius quam ut praeceptis tuis, tanquam regula & norma, veterum in demonstrando subtilitatem, claritatem, brevitatem diligentius examinarem: quia id Apollo tuus in proœmio suo mathematico obnixé suaderet*). Interim veró, dum in hâc palaestrâ me exerceo, ad 'analutikèn', artem bené inveniendi in mathematicis animum adjeci. hanc Plato primus invenit,
*) Volgens De Wreede 2007, p. 59: Petrus Ramus, in Proœmium mathematicum, Paris 1567. |
| [ 4 ] | [ v ] |
|
auxit Leontius*), perfecit Apollonius, eamque artificio & via descriptam reliquit, ne necesse esset iisdem de rebus semper, quasi dictata decantare, primamque ejus partem, quae 'epipedon topon' tractabat, peculiari opere vulgavit, cui 'diorismenès tomès' titulum fecit, qui liber cum reliquis ejusdem generis monumentis tenebricosissimo superioris aevi tempore magno mathematum damno intercidit. Hoc cum ego (unus aliquis ex eorum numero, qui ducuntur admiratione earum rerum, quae sunt ab antiquis repertae, vel delectantur investigatione novarum) á Pappo essem edoctus, simul oculos animumque ad 'diorismenèn tomèn' instaurandam applico. dumque vestigia apud Pappum posita diligentius relego, magna multorum problematum 'poluschidia' animum meum terruit: ut jam coepti operis, propter nimiam in singulis problematis 'leptoleschian' (quanquam idem ab Apollonio factitatum animadverterem) toederet. Quid facerem? multum operis post terga erat relictum: ante oculos autem plus adhuc restabat. dum utrumque animo remetior, vicit pertinacia vincendi. etenim naturâ inest mentibus nostris insatiabilis quaedam cupiditas veri videndi, & in ipsis ingenuis studiis, atque artibus insunt invitamenta, quibus ad discendum cognoscendumque animus moveatur. deinde videbam quoque explorata jam & investigata problemata maximam materiam ad rerum occultarum cognitionem afferre. quamobrem ad eundem laborem me recipio. & iam denuo maximum variorum theorematum problematumque cumulum congesseram, cum ecce rursum tam informis operis me poeniteret. ibi
*) James Grew, A Short History of Greek Mathematics (1884), p. 183: "Leon wrote an improved 'Elements' and treated particularly of diorismus." Proclus, In primum Euclidis Elementorum librum ..., Patavii 1560 (ed. Fr. Barocius), , p. 38: "Plato ... Leodamas ... Neoclides ... Leon Elementa quoque construxerit accuratius ... & determinationem invenerit, quando scilicet quod quaeritur problema possibile sit, & quando impossibile." |
| [ 5 ] | [ v ] |
|
ego ita mecum. Architecti opera probatur utilitatem haud superante impensâ. Hem? tunc censes adeó invenustum, aut otij prodigum quemquam inveniri, qui ista tam multa, tam sparsa legat? probet? utilitas infra impensam est. non est, non est (mihi crede) hâc tibi grassandum viâ. itaque rursum concilium sanctius in pectus advoco. ibi demum tua mihi placuere instrumenta pater honorande, & innumerabiles tautologias, quae me ob 'epitagmatôn ptôseônte' varietatem latuerant, adhibita 'epagôgèi', reliquisque purioris logicae instrumentis ad unum caput revocavi, illorumque ope problemata octo, decem, viginti in singula contraxi. ita omnium rerum principia parva sunt, sed suis progressionibus usu augentur. usu inquam: non enim in hanc curam incubui, quod omnia scire, cujusque modi essent, aut quia problematis speciem aliquam prae se ferrent, cuperem, id enim curiosorum est: sed quod ducerer majorum rerum contemplatione, ad artis perfectionem, usus enim & fructus, qui inde in alias artes dimanare posset, mihi hic solummodo propositus fuit. memini enim, 'sebasmiôtatè kephalè, vocem istam 'chôris de toiautès euchrèstias, kai di autas tas apodeixeis axia estai apodochès', vocem, inquam. istam, licet á summis olim mathematicis jactatam, & tibi & summis viris indignam tamen philosopho esse visam. nam ne ipsa quidem sapientia, quae ars vivendi putanda est, expeteretur, si nihil efficeret, ait orator*). Ideoque artis effectricis, seu 'poristikès' meae propono in publicum haec 'peri logou kai chôriou apotomès' praetentamina, tanquam Apellis quandam tabulam, in
*) Cicero, 'De finibus', 1.42. |
| [ 6 ] | [ v ] |
| qua quisque quod sibi displiceat liberé (modo veré) reprehendat: aut si in tabella hac, quod carpat non inveniat, ut tum ore ac lingua faveat edendo 'peri diorismenès tomès' operi. utilitate enim semper ars est, & inventor probatus. |
| [ 7 ] | [ v ] |
 POLLONIUS Pergaeus theoremata & problemata omnia, quae ad analysin obscuriorum problematum aliquid momenti allatura videbantur, in unum volumen congesserat: eique ab effectu 'analuomenou topou' titulum fecerat. quod non interiisse reipublicae literariae intererat. multa enim, quae nunc tanquam 'adunata', vel saltem 'dusluta' occurrunt in mathematicis, solutu facilia & in promptu forent. operis quidem certé illius, praeter Conicorum libros (qui 'stereon topon' proprié spectant,) nihil ad manus nostras devenit: iidemque sui semisse propemodum mutilati. nam pro octo Conicorum libris quatuor duntaxat sartos tectos possidemus: reliquos in Arabicam linguam conversos Romae in Vaticano adhuc adservari rumor est. Caeterúm liborum, qui ad 'epipedon topon' perinent, nec vola neque vestigium ullum apparet aliud, quám quód apud Pappum quaedam lineamenta tam divini operis ipsa vetustate pené abolita adhuc exstent. rettulit enim 'Sunagôgès mathèmatikès' septimo singulorum locorum argumenta. His excitatus 'mousaôn kapuron stoma' Fr. Vieta 'peri epaphôn' Apollonij Geometriam suscitavit*). & quae de Apollonio (qui ob acumen ingenij 'ho megas geômetrès' vulgó cluebat) propositionibus plus quam 90 erant discerpta, in paucissima problemata ita contraxit, ut dubium sit utrum illa breviús, an clariús demonstrarit. Cujus studium nos quoque aemulati libros Apollonij, quos 'peri logiu, kai chôriou apotomès' inscripserat, nostra opera resuscitatos in usum 'philomathôn' vulgamus. quaeque ab eo multarum propositionum mirabili labyrintho tractata fuerant, pauculis problematis 'katholikoteron' efferre & demonstrare conati sumus. Horum igitur argumentum, & primum quidem 'peri logou apotomès', ex codice manuscripto (quem liberalitate & munificentia Ill. viri Iosephi Scaligeri usurpavimus) descriptum ante oculos ponimus.°)
*) Apollonius Gallus, Paris 1600. °) Voor de oude Griekse drukletters zie: Wikipedia, Greek ligatures. Ed. Commandino (Latijn): Pappi Alexandrini Mathematicae collectiones (Pisauri 1588), p. 158. Idem, Commentaria in octo mathematicarum collectionum Pappi (Pisauri 1602), p. 158. Ed. Hultsch (Gr.-Lat.): Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt, vol. 2 (Berolini 1877), p. 641. |
| [ 8 ] | [ v ] |
|
Id est: Quamvis de rationis defectione libri sint duo, propositio tamen una est, eaque dubdivisa: quamobrem unicam propositionem ita enunciare licet. Per datum punctum rectam educere, quae á duabus rectis positione datis ad data in istis puncta absumat segmenta in ratione imperata. Figurae autem variae existunt & multiplices ob subdivisionem, quae partim |
| [ 9 ] | [ v ] |
|
oritur á mutuo datarum rectarum situ, & dati puncti diverso positu; partim á resolutione & compositione tum problematum ipsorum, tum etiam suarum determinationum. Habet autem primus liber de rationis desectione locos septem, casus quatuor & viginti, determinationes quinque, quarum tres maximae, duo veró minimae sunt. estque maxima ad casum tertium loci quinti: minimae veró ad secundum sexti, eundemque septimi loci: & maximae rursum ad quartos casus sexti & septimi loci. Secundus autem liber de rationis desectione habet locos quatuordecim, casus 63, determinationes veró ex primo. totus enim ad eum reducitur. Caeterúm duo libri de rationis sectione habent lemmata 20. & theoremata 181. at secundum Periclem etiam plura.*) Argumentum ita habet. Age igitur regulam ac circinum expediamus; &, quantum in isto pulvere radius noster dimetiri valeat, experiamur. Punctum expositum per quod recta sectrix educenda est, vel in ipsis, quae proponuntur lineis consistit, vel extra eas. Si in ipsas; res factione haud indiget. 
Enimveró datae lineae sunto ay & iu termini ad quos pertinent lineae absumendae y u, punctum autem per quod linea educenda est ut segmenta habeant datam rationem R ad S, sit a in expositarum linearum altera. Fiat igitur ut R ad S sic ay ad ui, & ab a ad i adjungatur recta ai. demonstratio ex elementis palam est. Iam vero si datum punctum extra datas lineas consistat, termini ad quos pertinent segmenta absumenda vel ratione, vel re erunt gemini. ratione, cúm scilicet unus dabitur terminus in duarum annuentium rectarum concursu. quamobrem eo casu problema ita concipio, & demonstro. D A T I S duabus rectis annuentibus per datum extra ipsas punctum rectam educere, quae ad earum concursum intercipiat segmenta in ratione imperata.  E X P O N A N T U R rectae annuentes ae ue, & punctum quod in ipsis non sit o. per id recta oi exigenda est, quae faciat rationem segmentorum ae ei eandem datae R ad S. Sit igitur ou parallela contra
*) Tot hier ongeveer zoals in ed. Commandino, 1588 en 1602, met 'Pericles' (158v). Ook bij Carlo Renaldini, Artis analyticae mathematum Pars secunda (Pat. 1669), p. 63; Snellius wordt genoemd op p. 62. |
| [ 10 ] | [ v ] |
expositarum alteram ae. & fiat ut R ad S sic ou ad ui. recta infinita per o & i acta efficiet problema. erit namque R ad S ut ou ad ui, sed quemadmodum ou ad ui, sic ae ad ei. & aequeordinaté igitur erit ae ad ei ut R ad C. Problema istud fuit haud valdé operosum, atque adeó ex ipsis elementis manifestum. quid enim hoc sit alius, quám datis tribus rectis invenire quartam proportionalem? Termini re ipsa gemini vel in lineis inter se parallelis, vel in annuentibus exhiberi possunt. Parallelarum 'cheirurgia' quia simplicior factione, ordine quoque prior esto. P E R datum extra punctum rectam educere, quae ad duos terminos in rectis parallelis datos intercipiat segmenta in ratione data. 
E X P O N A N T U R parallelae ae & io, dati in ipsis termini u & y, punctum datum l in neutra parallelarum sed extra ipsas sit, per quod recta lh educi debet, quae faciat rationem segmentorum mu hy eandem datae rationi R ad S. 
Iungat expositos terminos recta uy, eademque ita secetur in t, ut segmentorum ut ad ty ratio sit eadem quae R ad S. rectaque ab l ad t educta occurrat parallelis in m & h. Erunt itaque mut hyt triangula similia, ideoque latera mu hy, ut ty circa aequales angulos proportionalia. sed ut tu ad ty, sic per fabricam se habet R ad S. Et ex aequo igitur erit mu ad hy, sicut R ad S. Quare recta per l educta intercipit lineas mu hy, ad datos terminos u y in ratione imperata. |
| [ 11 ] | [ v ] |
|
S I ab angulo parallelogrammi duae rectae utrumque oppositi anguli crus (etiam continuatum) intersecantes educantur, erit ut intersegmentum cruris unius inter eductas ad intersegmentum alterius, ita segmentum prioris inter eductam & crus anguli primi, ad segmentum alterius in reliquam eductam & crus reliquum ejusdem anguli interceptum. |
|
P A R A L L E L O G R A M M U M propositum esto iuqo, per cujus angulum o duae rectae ay tp educantur, quae oppositi anguli u crus utrumque (etiam continuatum) qu ui intersecent. Ajo yt intersegmentum cruris unius (utpote uq, etiam continuati) ad pa intersegmentum cruris alterius, eam habere rationem, quam tq (segmentum primi cruris inter alteram eductarum pt, & oq crus primi anguli ioq interceptum) ad ai, segmentum reliqui cruris inter reliquam eductarum ay, & oi crus alterum primi anguli inclusum. cúm enim oi parallela sit contra ty, & oq contra up, triangulaque tqo oip ideó similia: erit ut pi ad io, sic oq ad qt. sed ut io ad ia, sic yq ad qo. ex aequatione igitur perturbata*), ut pi ad ia, sic yq ad qt. & componendo, vel dividendo°), ut pa ad ai, sic yt ad tq & alterné erit ty ad pa, sicut tq ad ai.
*) Euclides, Elements, V, def. 18. °) Euclides, V, prop. 17. |
| [ 12 ] | [ v ] |
|
|
| [ 13 ] | [ v ] |
|
|
| [ 14 ] | [ v ] |
|
|
| [ 15 ] | [ v ] |
|
S I M O N I S T E V I N O,
 I R Clarissime, Tributionem figurarum rectilinearum à veteribus ordine & viâ descriptam: atque adeó sectionem, á dato intra vel extra triangulum puncto, neutiquam illis intentatam, aut ignoratam (quod aliubi*) tibi quoque notatum memini) non est dubium. Fuit enim appendicula huius 'peri chôriou apotomès', quemadmodum ex Pappo coniicere est. ideóque etiam consectariolum illud huc revocavi: satius enim credidi ista ex fontibus haurire, quám in rivulis consectari. idque eo magis, quód problema hoc, de sectione trianguli abs dato externo puncto, miseré non ita pridem tractatum viderem. enimveró Bambalio°) quidam, cúm demonstrationem illam alicunde descripsisset, balbutire tamen non desinit, nec aperté audet, aut novit dicere 'to katholikon'. nam nihil interest datum punctum (si modo extra triangulum sit) ubi ubi sit: neque enim aliam operis exegesin hoc situ, quám illo postulat. annon igitur, quod natura unum esse voluit, illud 'poluschidein', inque minutias discerpere contra artis praecepta 'atopon' fuerit? Quamobrem dedi operam ut sectionem, non solúm á dato extra, sed etiam intra triangulum puncto unico problemate absolverem; simplicissimam enim 'analutikèn' secundum ordinem naturae#), secutus sum. istiusmodi veró distinctiuncula, quia in arte contra artem retinentur, ad unitatem revocandae sunt: quod veteres in una eademque propositione, casibus differente, factitasse didicimus. qui ob enuntiationes 'katholikôteras' Magni Geometrae audiebant, & ob ingenij divinitatem supra ipsa astra collocati sunt. Hac res tamen me ad ulteriorem cogitationem impulit, quaenam tantae essent caliginis hoc saeculo causae, & cur tam leviculum 'problèmation' á tam varijs agitatum, & curis anxium, & laboribus exercitum fuisset. At mihi quidem; quamvis veteres illi majus quiddam animo complexi, plus multó etiam vidisse videantur, quám quantum nostrorum ingeniorum acies intueri potest, tamen veré hoc quoque videor dicturus; quód ij, qui harum artium studiis liberalissimis sunt doctrinisque versati, minimam partem artis effectui, aut usui dederint: ut ideo quoque perraró aliquis oriatur in his excellens. Nam opinio ea est, non modó vulgi, sed etiam hominum non leviter eruditorum, id hic maximé excellere, quod longissimé sit ab imperitorum intelligentia sensuque disjunctum. verentur enim homines nimis creduli mechanicam & organicam 'to tès geômetrikas agathon diaphtheirein'. Hinc dissidium illud extitit, quasi animi & corporis, absurdum sané, & inutile, & reprehendendum, ut alij nos theoriam, alij usum docerent. cum tamen Geometria quocunque incedat eodem sit instructu, ornatuque comitata, sive coeli cardines describat, sideribusque fixis
*) Simon Stevin, Wisconstige Gedachtenissen, II (Leiden 1605), 'Meetdaet', boek 5, p. 144. Snellius' vertaling: Hypomnemata Mahematica, II (Leiden 1605), 'De Geometriae Praxi', lib. 5, p. 132. °) Nicolo Tartaglia ('stammerer', stamelaar). Er was ook een Marcus Fulvius Bambalio (1e eeuw BC) genoemd naar zijn spraakgebrek. #) Zie De Wreede 2007, p. 213 e.v.: Snellius in Cutting off (1607): 'order of nature'. |
| [ 16 ] | [ v ] |
|
ac vagis domicilia ac sedes designet; seu terrae regiones emetiatur in solido solo, singulisque suos assignet limites, seu in fluctuante salo maria permetiatur, portusque ac sedes optatas ostendat, sive castra muniat, seu oppugnet; Geometria, inquam, omnia suis mensurat praeceptis & instrumentis, & ad singula ista rivis diducta venit, non fontibus: cujus summum caput perexiguum, usus amplissimus: ideóque qui totam complecti se posse desperant, & divulsam facilius, ac quasi discerptam contrectare se arbitrantur, longé, meâ quidem sententiâ, falluntur, & á Diodoro Stoico, qui caecus doctoris Geometrae munus obibat*), refelluntur. Longé etiam magis ij labi & hallucinari mihi videantur, qui Geometriam in papiro 'logotheôrèten', otiosam, nihil molientem, ac mortuam effingunt. utroque veró, vel solo Archimede contrarium maximo mathematum plausu probante, facilé refutaverim. Enimveró quis Archimedi inventorum copia, investigatarum rerum subtilitate, aut demonstrationum momentis comparandus? 'Teras, teras' hoc fuit mirabili mentis celeritate, & intelligentia, in quod natura parens sese totam effudit: omnes huc advocemus licet, veteres juxta & novos, longé infra ejus genium, ingeniumque subsistent. ut mihi quidem ocellus ille Philosophorum verissimé dixisse videatur, illum plurimum profecisse in mathematicis, cui Archimedes placeret plurimum, in demonstrando enim & investigando praeter caeteros argutus est, & subtilis. ille ipsam rerum naturam vel invitam, sedibus pené suis ad demonstrationum suarum firmamenta evocat, ille sublimis, ille rotundus, ille brevis. & tamen ab illa industria (quae eadem, proh dolor, vitam ei dedit & abstulit) ab illo, inquam, ingenio, ab illa officina machinae istae, quibus Syracusae (dis hominibusque plaudentibus) á Romanorum vi tam diu defensae; ut enim inventionum subtilitate primas tenuit, ita machinationum utilitate primas sibi quoque vindicavit: neque enim credidit mathemata istis inquinari, sed multó magis altius extolli, & condecorari. imó docuit illum mathematum usum succum esse, & sanguinem, quo alantur, quo vivant, quo subducto superstites esse non queant. Sed quid ago? numnam mihi hîc repetenda est veteris cujusdam memoria non satis, forté, explicata recordatio? ad praesens tempus animum cogitationémque convertamus. annon novissima hac aetate plures in Mathematicis excellentes cognovimus, quám aliquot retro seculis aetas majorum tulit? Imó veró tete hîc mihi testem, doctissime Stevine, advoco. Tu, tu inquam usum arte, artem usu firmari non magis scriptis, quám factis probasti°): á tuo ingenio res maximae exigua impensa saepé perfectae; tuam industriam loquuntur effectiones ante hac inauditae, & invisae: tu res eas, quarum causae altissimis tenebris involutae latebant, mathematicis rationum mominibus explicasti, investigasti, eruisti. Ideóque demum, quód Euclidem cum Archimede, hoc est, artem cum artis usu copulasses, industria tua apud omnes admirabilem habuit dignitatem, & Regibus ac Principibus quoque (tam in armis, quám in toga) pergratam probavit utilitatem.
*) Cicero, 'Tusculanarum disputationum', lib. 5, XXIX:
Willebrord Snellius in Eratosthenes Batavus (Leiden 1617), p. 239: "doctissimus Stevinus", in verband met Zeilstreken. |
| [ 17 ] | [ v ] |
| Id est: Libri de spatij desectione duo quidem sunt, problema autem in his quoque unicum bis subdivisum, quorum una est propositio, & caetera quidem superiori simile, hoc autem uno absimile, quód in illa oportéat duas absumptas lineas constituere in ratione data, hic veró spatium datum comprehendentes. enuntiabitur autem hoc modo. |
| [ 18 ] | [ v ] |
...