| [ ] | [ v ] |
WILEBRORDI SNELLII
A P O L L O N I U S B A T A V U S,
Seu,
Exsuscitata APOLLONII PERGAEI
Π Ε Ρ Ι Δ Ι Ω Ρ Ι Σ Μ Ε Ν Η Σ Τ Ο Μ Η Σ,
Geometria.
LUGODUNI,
Excudebat Iohannes a Dorp, 1608,
Prostant apud Iohannem Maire.
| [ ] | [ v ] |
| [ ] | [ v ] |
| Lara Mathematici fax Luminis, ortus ad illa Litora, Pamphyli quae ferit ira sali, Evocor in lucem tenebris excitur ab imis, Dum me S N E L L I A C I luminis aura fovet. Vita fuit brevior, mihi quam, mea Perga, dedisti. Æterna est, quam nunc SNELLIVS ipse dedit. Ios. Scal. Iul. Caes. F. |
Grieks, met Hermodotos, in: Neue Jahrbücher für Philologie und Pädagogik, 14e Jahrgang, 40e Band, 4e Heft (Leipzig 1844), p. 423, met 'kosmei ton logon ta pragmata', en erbij: "Allein das sind Verse des Menander nach Append. Flor. p. 12, 2". De twee Griekse verzen staan ook in: A Dictionary of Classical Greek Quotations, nr. 146, "Not by excessive praise is art improved; Art is adornment in itself", Fragment 1095 (Kock). Theodor Kock, Comicorum Atticorum fragmenta (Lips. 1888), p. 266, onder Menander, met "Floril. 60, 3 'Hermodotou' L." Stobaei Florilegium, vol. 4 (Lips. 1824), p. 125: Titulus LX. Pro Artibus. 3. Hermodotus.
Hermodotus met deze vertaling ook al in: Dicta poetarum quae apud Jo. Stobaeum exstant (ed. Hugo Grotius), Par. 1623, p. 228-229: |
| [ 3 ] | [ v ] |
 Nimverò quocunque mentis meae oculos & aciem converto, nullus est ad quem potius irem, quam ad te; nullus, cui hoc nostrum opus debeatur, praeter te; qui in tot iam problematis per te ipsum solutis, Archimedeum illud 'heurèka', Sirenem, inquam , illam Archimedeam toties sis expertus. atque ideo, si hujus inventionis gaudio, ac laetitia perfusus, liberius paulò exultarem, à te, Princeps Illustrissime, facilè veniam me impetraturum confidebam. Neque enim post homines natos cujusquam memoria extat, qui artes mathematicas cum ipsarum usu tam felici eventu copularit unquam, aut conjunxerit. cujusque gloria, non exiguis Europae finibus contineatur: sed ipsius terrarum orbis regionibus definiatur.
*) Naar Ovidius, Fasti, 3, 1 (hier met "Dux" i.p.v. "Mars"). "Come, warlike Mars; lay down thy shield and spear for a brief space, and from thy helmet loose thy glistering locks", transl. G. J. Frazer, Loeb 1959, p. 121. °) In 1608 kwamen er ambassadeurs uit Siam (Thailand) naar Den Haag. Zie Henk Zoomers, 'The Netherlands, Siam and the telescope', in The origins of the telescope, Amst. 2010, p. 301-320, m.n. 303. |
| [ 4 ] | [ v ] |
|
quaecunque enim harum artium subsidio vel praeclarè, vel feliciter à te gesta, ea iam tum sparsa sunt ac disseminata in posteritatis memoriam sempiternam. Vulgò autem factum est ut ij, qui neque solem neque pulverem ferunt, qui se non tantum sub dio, sed ne in Xystis quidem exercent, factum, inquam, est, ut umbratici isti Philosophi in scholasticis umbraculis 'logôn rhètores, ou praktores ergôn', cum mathematicarum corpus solidum, & bene habitum à majoribus suis accepissent, pro vero, umbraticum & 'monogrammon'; pro activo, otiosum, Epicureorum 'logotheôrètôn' deorum instar, tantum reliquerint: dum usum, hoc est succum & sanguinem, ab artem tanquam alienissimum, sejungunt. Verè enim illud Vitruvii, non in Architectonica solum, sed in omni arte locum habet: Qui ratiocinationibus & literis solis confisi fuerint, umbram, non rem persecuti videntur.*) Ea calamitas latissimè pervagata prope totius philosophiae fundos vastavit, ea nobis haec 'deutera stoicheia', quorum partem hanc ab ultimo interitu revocatam a te, Princeps illustrissime, nunc affero, penè eripuit, hancque ipsam mathematum medullam pessundidit; dum nimium securè alieno labore partis abutuntur: imò verò dum ea, quae à summis viris congesta fueruant, intelligere aut non curant, aut non possunt. Quo quidem magis dubito, tibine plus laudis, an illis vetuperationis esse tribuendum statuam; cum tu bellica administratione, & Belgici imperij gubernatione districtus,
*) Vitruvius, De architectura libri decem, 1, 1.2. |
| [ 5 ] | [ v ] |
|
tantam vim rerum cognitionemque comprehenderis. Sed, ut id quod sentio dicam, puto multorum monumenta (quod ille*) de imperio Romano canebat) mole sua corruisse, dum multa transponunt, iterant, etiam aliena infarcuint. Neque tamen hoc eò dico, quod non satis magnam tribuam primis illis inventoribus gratiam, sed quod videam quà plurimos tanta rerum varietate deterreri, ac perturbari. cum enim non sit tam acris acies in naturis hominum & ingenijs, ut tantas res quisquam, nisi monstratas posset videre; ideo pervidendi sunt primum fontes, ut quotiescunque opus sit, ex ijs tantum, quantum res petet, hauriamus: elegantissima enim & admirabilis huius disciplinae est compositio, incredibilisque rerum ordo. Atque eam ob causam ego quoque Delphici oraculi admonitu, quo iubemur 'chronoupheidesthai'°), hanc 'diôrismenèn tomèn' iam diu obsoletam & extinctam denuo suscitavi: non quidem illa demonstrationum copia aut 'periergeiai', quam illi usurparunt, id enim & insuave & inutile foret: quin potius artis quam concepi & summam, & utilitatem eodem cursu, resque ipsas suis verbis dimensus sum. Demonstrationum enim mathematicarum omne bonum convenientiâ & concinnitate iudicatur: nec plura paucioribus, nec longiora brevioribus anteponuntur: Mathematicus enim in demonstrando rerum & casuum varietate locuples, oratione fit licet ieiunior. Nam cum artes omnes plurima, eaque
*) Misschien Vergilius, Aen. 6, 781 e.v. Engl. Zie ook Wikipedia Aeneid, 6, 'Underworld'. °) 'Chronou pheidou', "Use time sparingly", is nr. 39 in '147 maxims of Stobaeus', bij Pythia. |
| [ 6 ] | [ v ] |
|
homogenea suo ambitu complectantur, ita maximè Mathematicae; quaeque ideo ratione constituendae sunt ac viâ: quare in istis demonstrationum varietatibus, & labyrinthis ingenium suum ostentare velle, puerile est; planè autem, & perspicuè expedire posse, docti & intelligentis viri. atque ideo, cum opus erit, consectaria me brevia & acuta delectant; quae, ut perspicua sint, ita longa esse non debent. ista enim omnibus mathematicis tuenda sententia est. Nam qui tanta demonstrationum ubertate laborant, squalidius mihi demonstrare videntur: breviter & enucleatè omnia nobis dicenda sunt. verùm quia haec res plurimae commentationis & exercitationis indiget, videmus inter recentiores unum aut alterum hoc genus sequi; caeteri aut noluerunt, aut non potuerunt, certè reliquerunt. Caeterum quem fructum, aut quam utilitatem petentes, hunc librum vulgemus, magni Platonis verbis, in re haud multum dissimili, explicabo. Benè concinnéque in mathematicis aliquid inveniendi componendique, 'houtos hodos, hautè trophè, tautèi poreuteon'.*) Attamen tum demum solidus verusque huius usus & fructus mihi caeterisque 'philomathesi' constabit, si opus hoc tuo calculo probatum, & commendatum in hominum manus prodeat. Te igitur, Princeps Illustrissime, qui etiam in acie, & media inter praelia harum artium dignitatem utilitatemque, vel solus, vel maximè
*) Plato, 'Epinomis', in: Platonis Omnia opera (Bas. 1534/56), p. 642, r. 15: 'outos ho tropos, autè trophè, tauta mathèmata. ei te chalepa ei te rhadia, tautè poreuteon.' Bij Perseus, Gr.: Platonis Opera (ed. John Burnet) 1925, 992a. Engl.: Plato in Twelve Volumes, Vol. 9 (transl. W.R.M. Lamb) 1925, 992a, "this is the way, this the nurture, these the studies, whether difficult or easy, this the path to pursue". |
| [ 7 ] | [ v ] |
|
recognoscis, neque earum curam ex animo depuis [deputis?] unquam, rogo ut libellum hunc, mole exiguum, utilitate (ut spero) permagnum, inspicere non graveris. Ego enim (quod olim Eratosthenes faciebat*)) anathema hoc à me suscitatum, in tuae laudis & gloriae delubro suspendo, tuoque nomini inscribo, tu modo Princeps Illustrissime ne aspernere: quin potius Cuspidis, invenies & quod inermis agas. °)
*) MacTutor: "Eratosthenes erected a column at Alexandria with an epigram inscribed on it relating to his own mechanical solution to the problem of doubling the cube ... 'This is the gift of Eratosthenes of Cyrene'." Grieks in: 'Aratou Soleôs ... Eratosthenous Katasterismoi' ... (ed. J. Fell), 1672, p. 35. En in: E. Hiller, Eratosthenis Carminum reliquiae, Lips. 1872, p. 130. °) Ovidius, Fasti, 3, 7 (met "ponendae"). Na het citaat van p. 3 hierboven. "After the pattern of Pallas take a time to put aside the lance. Thou shalt find something to do unarmed.", transl. G. J. Frazer, 1959, p. 121. |
| [ 8 ] | [ v ] |
| Id est: His (de spatij & rationis desectione libris) deinceps succedunt de sectione determinatâ libri duo, quos, ut antecedentes, unâ propositionè disjunctâ complecti licet. |
| [ 9 ] | [ v ] |
|
Datam rectam infinitam uno secare puncto, ut è rectis ad puncta in eâ data absumptis, vel quadratum unius, vel quod sub duabus continetur rectangulum datam habet rationem; ad id, quod sub unâ absumptarum, datâque externâ, vel ad id quod sub duabus absumptis comprehenditur*). atque id quidem à quâcunque datorum punctorum parte opus sit. Hujus autem propositionis, ut pote quae bis disjuncta & subdivisa sit, & determinationes habeat refractarias demonstrationem per plura fieri necesse est. Demonstrat verò hanc Apollonius per nudas lineas rectas trito & vulgari modo, quem in secundo primorum elementorum°) libro Euclides quoque usurpavit. Sed eadem rursum arti convenientius, & magis scitè rettulit per semicirculos. Habet autem liber primus problemata sex, epitagmata#) sedecim, determinationes quinque; atque ex ijs maximas quidem quatuor, minimam verò unam. suntque maximae ad secundum secundi, & tertium tertij problematis epitagma. Secundus autem determinatae sectionis liber habet problemata tria, epitagmata novem, determinationes tres. è quibus minimae sunt ad tertium primi & secundi, maxima autem ad tertium tertij problem. epitagma. Primus porrò liber habet lemmata XXVII, secundus etiam XXIV. Theoremata duorum determinatae sectionis librorum sunt LXXXIII. Siccine Pappe divinissime? itane tandem tamque commodè 'analuomenos topos' partitus tibi est? ut 'peri logou kai chôriou apotomès' libris priorem locum assignes? 'tèi de diôrismenèi tomèi' posteriorem? scita & lepida hercules dispositio, tanquam in logicis iudicandi leges priores facerem inventionis & 'tès topikès' praeceptis. Neque verò iam miror in istâ ordinis 'anatropèi', tantam tamque multiplicem extitisse 'tautologian'. Arrige aures Analytice, & quod dicam considera: te enim solum hujus causae arbitrum & judicem deposco. In omni proposito problemate fons reperiendus
*) Andere versie: John Lawson, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning determinate section, as they have been restored by Willebrordus Snellius, London 1772, p. iii: "... rationem, vel ad contentum sub aliâ unâ interceptâ & datâ quâdum [quâdam]; vel etiam ad contentum sub duabus aliis interceptis". °) Noot in Lawson 1772: "From hence it appears that Euclid's were called the first Elements, and that the other Analytical Tracts, recited by Pappus, were called th second Elements". #) In Lawson 1772 is hier ingevoegd: "sive Disposiones punctorum". |
| [ 10 ] | [ v ] |
|
est, in quo sunt prima lineamenta, quo invento omnis ab eo quasi capite solutio quaesiti deducatur: atque ita resolventi praecipua dictorum librorum problemata ad primum secundumque hujus libri problema devolventur. Quarè apage sis cum istâ 'husterologia', unde illa damnosa & infinita 'tautologias' hydra semper nova suppullulet. Meritò igtur me referam ad ipsos fontes, unde simplicior & purior doctrina promanet. Vobis verò ô sectatores Platonis, purioris matheseos soboles, promo & dono priorem 'tôn deuterôn stoicheiôn' partem, claram, puram, perspicuam, sentibus, & infinito obscuritatis, 'husterologias' ac 'tautologias' lolio expurgato. infinitam lemmatum segetem unico lemmate succidimus, immensam obscuritatis abyssum altero lemmate explicavimus; lucem & solem pro caligine & nebulis reducimus: primorum duorum problematum usum editis de rationis & spatij sectione libellis ostendimus*). potuimus quoque in alijs, & quidem varijs: sed ea demum ad commendationem digna est mihi visa materia, in quâ veterum industria esset versata & exercita. Novissimorum etiam duorum problematum usum in problemate subtiliore & magis arduo dare potui, & cujus materia ab antecedentibus ferè derivetur. à quo propterea tantum Apollonium manus abstinuisse crediderim, quia maxima tautologiae caligo consuetas resolvendi vias tentanti fuisset objecta, cujus solutionem si ad hujus libri retulisset problemata, facilis fuisset explicatio. 'Diôrismenè' igitur haec 'tomè', quam ego ab interitu suscitatam, tanquam novus Æsculapius°) hic affero, ea in rectae lineae ad datos in ipsa terminos sectione tota occupatur, quae prout lemmatum & theorematum numerus argumento sunt, fusissimè olim ab Apollonio fuit exposita: attamen fundum hunc nostrum culturâ sedulâ excultum, fertilitate amplissimis aliorum latifundijs nihilo inferiorem fore speramus. Fuit profectò magna magni illius ingenij vis, quâ, tanquam flumen quoddam extra alveum
*) Zie 'Peri logou apotomès kai peri chôriou apotomès' resuscitata Geometria (1607), p. 19, 22, en ook p. 7 ('Ad Lectorem'). °) Irritatie over de grootspraak van Snellius is niet uitgebleven, zie Carlo Renaldini, Artis analyticae mathematum Pars secunda (Pat. 1669), 'De loco resoluto', p. 64: "... de determinata sectione ... Conatur autem hanc Geometriae partem restituere Snellius .... qui se magnum iactat Geometram parum admodum esse in ipsa Geometria versatum, cùum artem Analyticam nec à primo limine salutaverit; putat se Apollonium alterum, & tamen magnifacit solutionem trium problematum satis vulgarium". |
| [ 11 ] | [ v ] |
|
suum exundans, vicinos quosque mathematum campos irrigavit, atque eâ quoque, tanquam Nilus aliquis, hunc agellum non alluit modo, sed etiam foecundavit: neque enim leve est, quod ex tota antiquitate é mathematicis Magni cognomentum solus meruerit. de cujus tanta tamque multiplici eruditione apud Pappum utilissimorum & subtilissimorum librorum argumenta duntaxat extant,
Qui ut ad posteritatis memoriam traderentur non merebantur solum; sed etiam universae mathesios intererat: atqui haec omnia quia optima erant damnosa dies & edax tempus absumpsere. Quamobrem ite nunc mortales & magnis cogitationibus pectora vestra implete, Non cum vitae tempore esse demittendam commemorationem nominis nostri, sed cum omni posteritate ad adaequandam. verum enimvero ut quod propositum est agam, ad argumentum & libri titulum me recipio. 'Diôrismenè tomè' ex adjuncto determinationis levissimo nomen sortita est, iste siquidem casuum & factionis 'diorismos' alijs quoque multis geometricis effectionibus communis est. Porrò autem, quia in hujus libri problematis vel recta insuper datur, vel ad datos terminos intercipienda tantum sub involucris exponitur; illa ubi recta signatè datur factionem habent faciliorem, & quidem priorem alteris ubi recta nulla datur praeter eas, quae ad terminos assignatos pertinent: cum haec per illa efficiantur. & quia circulorum rotundationes concinnitatis nescio quid rotunditatisque Pappo habere visae sunt, nobis quoque modus iste perplacuit, ac quamvis utroque modo proposita problemata explicassemus, hunc solum altero repudiato retinuimus. Sed ad rem. Cum recta externa insuper datur reliquae vel ad duos, vel ad tres datos terminos erunt absumendae. itaque cum duo tantum dabuntur problema existet hujusmodi.
*) Naar Lucanus, Belli civili liber primus, 135. Engl.: "shadow of a mighty name. As when some oak ... With feeble roots still clings". |
| [ 12 ] | [ v ] |
|
Datam rectam lineam infinitam unico [puncto] secare, ut è rectis ad data duo puncta absumptis, unius quadratum, ad rectangulum sub reliquâ & datâ externâ comprehensum rationem habeat datam. In datâ rectâ infinitâ duo assignentur termini a e, eademque tertio termino secanda esto in o, ut quadratum quod fit à segmento oa, ad rectangulum quod fit sub reliquo segmento oe & datâ quâcunque externâ au rationem habeat datam, quam R ad S. seu ai ad au. Datae igitur au analoga ai ab altero termino (videlicet ab a) in quem sua coëfficiens (hoc est quae cum ipsâ datâ externâ au quaesitum spatium continere debet) non terminatur, in utramque placebit partem versetur; sivè in easdem partes quâ e jacet didatur; sive in oppositam plagam avertatur.  tumque ab a & i perpendiculares excitentur lineae ay ir, aequales ipsis ae ai: & quidem in partes easdem si e i eodem abeant ab a; at si a inter eos sit intermedius, in partes oppositas, quarum vertices iungat yr. peripheria ad hanc diametrum decircinata secabit subjectam ai, (& tum problema erit 'dipathes' ['diplathes']) aut demum tanget: is igitur terminus sit o, & connectantur rectae yo or. Cum itaque angulus, |
| [ 13 ] | [ v ] |
|
roy in semicirculo rectus sit, duo anguli roi yoi uni recto quoque aequabuntur: sed & duo anguli ayo aoy in rectangulo triangulo yao uni recto aequales sunt, sublato igitur communi yoa, reliqui ior oya aequales, triangulaque rectangula rio oay similia erunt, lateraque ay, id esr ae, ao, oi, ir id est ia proportionalia: atque dividendo, vel componendo erit eo, ad ao, sicut ao ad ai; quadratumque ab ao aequale ei quod fit sub eo in ai. Sed ut ai in eo, hoc est quadratum ab ao, ad au in eo, sic ai ad au, quae ratio eadem est expositae R ad S. factum igitur est quod oportuit. Similis planè & ratio, & demonstratio ipsi v, alteri sectionis termino quoque congruet. Porrò autem partium ratio quam decebit, opusvè exiget, habebitur hoc modo. Ut recta coëfficiens eo pars sit illius ao cujus quadratum quaeritur. Oportebit autem ipsam ai, cui in datâ ratione analoga est au, esse non minorem quam sit quadrupla ipsius ae inter exposita puncta interiectae. |
|
Ponatur ae pars ipsius ai, hoc est ejiciatur ai ab a in partes e; atque ideo usurpentur perpendiculares eâdem parte, quae factio nobis dicitur 'homotagès; tum enim termini quaesiti a i ita incidunt, ut oe pars sit ipsius ao. Ut contra recta ao cujus quadratum quaeritur pars sit coëfficientis: vel etiam, ut neutra alteram includat; id enim unâ eâdemque factione praestatur. |
| [ 14 ] | [ v ] |
|
Ipsa ai, cui in datâ ratione analoga est au, avertatur ab a in plagam ipsi ae oppositam; atque ideo usurpentur perpendiculares in adversas partes excitatae, qua factio 'antitagès' nobis dicitur: tum enim circunferentia circuli excurret ultra i in v, eritque av pars ipsius ev. Vel ao & oe tantum in directum jacebunt, eruntque segmenta expositae linea ae. id enim ex ipsa demonstratione manifestum est. Si in rectam aliquam perpendiculares à diametri terminis cadant, perpendicularium segmenta ab eâdem rectae parte ad similes circuli curvaturas sunt aequalia. Rectaeque inter perpendiculares & similes curvaturas erunt aequales. Theoremation istud & quod sequitur ad aliquam generaliorem Geometriam ab hoc peculiari fundo ableganda erant: sed quia nondum in communem Geometriae civilatatem adscripta sunt, nec erat unde studiosi ea petere possent, hunc locum tantisper precario obtineant: ita tamen ut sua nota insigniantur, hoc est extrinsecus assumptarum propositionum, quae LEMMATA vocant, appellatione indigitentur. In expositam rectam rs, ab e i terminis diametri ei perpendiculares cadant iu eo, ajo ipsarum segmenta ab eâdem espositae rectae parte ad similes circuli curvaturas esse aequalia, ut hic oy ui, vel eo lu. connexâ enim yi erit angulus eyi in semicirculo rectus, atque you ex thesi rectus, itaque yi ou parallelae |
| [ 15 ] | [ v ] |
|
erunt, & yo ui inter se sunt parallelae, quia perpendiculares sunt in rs, parallelae igitur conterminant parallelas, oppositaque latera yo iu inter se aequalia erunt. Simillima demonstratio est rectas eo ul inter se aequari. Secunda pars rectas or & us, item ur os inter se aequari ita demonstratur, cum enim eoy rectangulo sor, item eoy, hoc est per demonstrata, lui ipsi rus aequale sit, erit ros rectangulum aequale rus, atque ideo segmenta ro us segmentis us or [ur os] aequalia erunt. Si è quatuor proportionalibus coëfficientes duae reliquis sint maiores, eae sunt maxima & minima. Conversum est quasi eius quos in elementis demonstratur: Maximam & minimam reliquis esse majores.*)  Duae coëfficientes, hoc est, in analogis extremae ambae, vel ambae mediae constituant lineam ae maiorem, quam io, cuius segmenta sint iu uo. & ae fiat diameter circuli, in quem oi minor, ideoque adiametros, inscribatur, diameter igitur ae per u punctum acta, secabitur in eadem segmenta à quibus composita est. Et quia u non est centrum, ue erit minima, ua maxima ab u puncto eductarum; & ui uo inter eas quantitate mediae. Idem de tribus continuè proportionalibus intelligas, quia media tum bis sumitur. Si è quatuor proportionalibus duarum coëfficientium differentia reliquarum differentia maior sit, eae sunt maxima & minima.  Duarum coëfficientium au ue differentia sit ae, maior quam io differentia coëfficientium ou ui, cumque sit au ad ou, ut ui ad ue circulus per quatuor puncta a e i o poterit educi: sed ae maior est quam io, ideoque centro vicinior: quare tota au maior erit, quam uo; & ue minor quam ui.
*) Zie Euclides V, prop. 25. |
| [ 16 ] | [ v ] |
|
Datam rectam lineam infinitam unico puncto secare, ut è rectis ad data tria puncta absumptis, quod sub una ipsarum & data externa, ad id quod sub duabus reliquis comprehenditur rationem habeat datam. In rectâ lineâ infinitâ exponantur termini tres a e i, eademque quarto termino ita secanda sit in o, ut quod fit sub datâ quâcunque R, in ipsam ao, quae ab inveniendo termino o ad assignatum |
| [ 17 ] | [ v ] |
|
è tribus aliquem (ut a) interjacet, ad rectangulum sub duabus reliquis ad propositos terminos absumptis io oe comprehensum, imperatam teneat rationem quam R ad S {marge: hoc est un:} aut si non detur ad hanc speciem tamen revocetur. Recta ai ab i continuetur aequaliter ipsi ae in u si assignatus terminus datorum sit extremus: aut multetur eâdem si intermedius. Et ab u ejiciatur retrorsum versus expositum terminum a linea un aequalis analogae S. Hinc ex a & n perpendiculares excitentur ipsis ae ai aequales; atque illic quidem, ubi ai ae continuantur, in partes easdem; hic autem, ubi multatur, in oppositas, ut sunt ay nm: quarum vertices jungat ym peripheria ad hanc diametrum decircinata, rectam subjectam ai duobus in punctis secabit (atque isto casu problema erit 'dipathes') aut demum tanget: is igitur terminus sit o, Ajo o terminum esse quaesitum. Enimvero quod fit sub ao in on aequale est ei quod fit sub mn nj, hoc est propter primo loco praemissum lemma in ay, id est, propter fabricam, quod sub ai in ae. ponatur autem ipsi ai aequalis nl in partes adversas ab n, quâ a discedit ab i, ex demonstratis ergo ai, id est nl on, oa ae proportionales erunt. ideoque etiam vel componendo, vel dividendo, vel per inversionem rationum ol on, oe ae, & alternè ol oe, on ae: Atqui ut on ad ae sic ostendimus quoque esse ai ad ao {marge: Nam ao in on aequatur ipsi ai in ae.}: & aequeordinatè igitur ol ad oe, ut ai ad ao. Sed le est aequalis nu: cum ex constructione nl aequalis sit posita recta ai atque iu ipsi ae. Quod igitur fit sub le primo proportionis termino, seu ipsi aequali nu in ao novissimum aequale erit ei, quod fit sub oe oi medijs. Atqui ut R ad S analogam, id est ad un ipsi aequalem, sic (sumpta communi altitudine ao) id quod fit sub R in ao, ad un in ao, hoc est, oe in oi. jacet autem ao inter inventum terminum o & datum a: & sic oe oi ab eodem o ad reliquos duos e i terminos pertinent, atque ipsa rectangula sunt in ratione imperata. Quare factum est quod oportuit. Quia verò assignatus terminus vel est alter extremorum, vel est intermedius, ideò, quî effectionem praestemus |
| [ 18 ] | [ v ] |
|
parabiliorem, operis exegesin in duo tribuemus 'epitagmata'. ut in singulis casus commodius evolvamus: quae enim Apollonio 'epitagmata' fuere, nobis aliquando casus sunt; & quaedam Problemata tantum 'epitagmata', ut sic demonstratio generalis illustrior esset, & simul Pappi quaternarum hic retinerem. Quamobrem ita habebitur partium ratio, quam opus exiget, ipsarumvè inter ipsas symmetria admittet. 1 Casus, * 'adioristos'. { * Determinationi non obnoxius.} Ut quaesitus casus inter assignatum a & ei proximum e cadat: Quam comitatur ille, qui ultra i remotissimum, seu tertium, excurrit.  Usurpetur factio 'homotagès', quae ipsam analogam S, seu un ejicit ab u prorsum. cum enim ao ae, ai on proportionales sint; sintque ao on maiores, quam ae & ai, hoc est quam au, erit an composita è maximâ & minimâ, per Lemma 2, atque ao minor erit quam ae: on autem, id est, per primo loco premissum lemma, av maior quam ai. Ut quaesitus terminus inter reliquos duos praeter assignatum cadat. Oportebit autem datae in datâ ratione analogam, esse non maiorem, quam differentiam summae rectarum ab assignato ad reliquos terminos interiacentium, & eius, quae potest quod sub ijs quadruplum. Usurpetur factio 'homotagès', quae ipsam analogam S. seu un rejecit |
| [ 19 ] | [ v ] |
| retrorsum versus caput a. Cum enim ao ae, ai on proportionales sint, sintque ao, & on minores quam ae ai, hoc est quam |
|
au, erit au, composita è maxima & minima, per 2 lemma: eritque ao major quam ae. atque ita de reliquo. Oportebit autem datae in data ratione analogam esse non minorem, quam summam linearum ab assignato ad reliquos terminos interiacentium, & eius quae potest quod sub ijs quadruplum.  Usurpetur factio 'homotagès', quae ipsam analogam S. seu aequalem un rejicit retrorsum versus caput a, tumque o (vel etiam v) cis a manifesto cadet. 4 Casus, 'adioristos'. Ut quaesitus terminus inter assignatum medium, & aliquem extremorum cadat: quem comitatur casus iste, qui ultra reliquum excurrit. |
| [ 20 ] | [ v ] |
|
Terminus medius a, extremus e quos inter quaesitus o debeat cadere. Usurpetur factio 'antitagès', & cum eu posueris aequalem 
ipsi ai porrigitur un in directum, tumque o cadet inter a & e, item v ultra i. Nam cum ao ae, ai, id est eu, on proportionales sint, differentia autem coëfficientium ao on, hoc est linea an major sit quam au, quae est differentia coëfficientium ae eu, erit ao omnium minima; atque adeo o punctum cadet inter a & e. Similiter v, ultra i cadere ex analogia patet nam av ae, ai vn proportionales erunt, atque cum jam ae major sit quam ao, hoc est quam vn, etiam av major erit quam ai, atque v ultra i excurret. Itaque, si sit data ratio at ad ti, vel ae ad ep altrinsecus, vel etiam cuicunque lineae minori quam ae analoga sit ep, o terminus inter p & e, item v terminus inter t & i cadet, cum v ultra i excurrit. Nam cum np & pe aequentur ep & ai, v autem cadat ultra i, o quoque ultra p cadet, sed ex hypothesi quoque intra e, ergo e inter p & o cadet. 
Secundo etiam v inter t & i. nam cum ponamus esse at ad ti, ut ae ad ep, & dividendo at ad ai, ut ae ad ap, quare rectangulum at in ap, aequatur ipsi iae, itaque at in ao majus est quam iae, sed vao aequatur ipsi iae; ergo va minor est quam ta, cadit autem v etiam ex hypothesi ultra i, ergo inter t & i intercidet. |
| [ 21 ] | [ v ] |
|
Itaque, si datis tribus terminis i a e quartus o cadat inter a & i, 
ut rectangulum pe in ao, ad ioe habeat rationem datam al ad li, ajo e etiam ultra l cadere. Fingamus enim o coincidere cum l, erit igitur, per hypothesin al ad li, ut ep in al ad il in el, & per interpretationem, al ad al, ut li in ep, ad li in le; hoc est rejecta communi altitudine li, ut ep ad el; quare ep pars aequabitur toti el, quod absurdum per se manifestum est. 1 LEMMA, ad interpretationem. Si sit ut recta ad rectam, ita parallelogrammum ad parallelogrammum, erit quoque id, quod fit sub prima recta in latitudinem secundi parallelogrammi, ad id quod fit sub secunda recta in latitudinem primi parallelogrammi, ut longitudo primi ad longitudinem secundi. Linea ae sit ad io, ut un ad sl. Ajo id quod fit sub ae in rl, ad id quod fit sub io in yn. hoc est paralallelogrammum af ad id esse sicut uy ad sr.  Applicetur parallelogrammum un ad ae, & existat latitudo R: item sl ad io & existat S. Quamobrem erit ae in R, ad io in S, sicut un ad sl. (sunt enim alterna aequalia) sed ita quoque est ae ad io, quae sunt tanquam bases: ideoque R & S altitudines aequales erunt. Caeterum ratio uy ad sr sumpta media R, componitur è ratione uy ad R, & ratione R ad sr. sed quemadmodum |
| [ 22 ] | [ v ] |
|
S, hoc est ipsa R ad sr, sic propter fabricam lr ad io, & quemadmodum uy ad R, sic ae ad ny. Itaque ratio uy ad sr composita est è ratione ae ad ry, & lr ad oi: sed ratio hinc composita est parallelogrammi sub ae & lr, hoc est af comprehensi, ad parallelogrammum sub io, ny hoc est id. Itaque ratio uy ad sr eadem est quae parallelogrammi af ad id. Quod erat demonstrandum. Scitulum theorema, quodque suo loco adhibitum demonstrationes dimidio breviores, apprimè planas & perspicuas efficiat. quod in Archimede, Apollonio, Pappo ipsi tibi experiri licebit: praecipuè verò ubi suam illam rationum compositionem frequentabunt. Odi sanè Leviani doctoris invidiosum illud 'skotison'*), cum quidam pro clarissima luce utuntur alienissimis demonstrationum anfractibus & involucris. Enimverò,°)  2 LEMMA, ad proportionis enallagen. Si linea recta duobus punctis intersecetur, quod fit sub alternis sectae segmentis, aequale est ijs quod sub tota & intersegmento, quodque sub externis segmentis comprehenditur. Recta ao intersecetur duobus locis in e & i. alterna igitur puncta a i, e o, inter quae lineas interjectas voco segmenta alterna, illud igitur quod fit sub ai in eo dico aequari ei, quod sub tota ao & intersegmento ei; atque insimul ei quod fit sub ae in io. 
Enimverò ai in ie, & ei in io aequantur ipsi ao in ie; at ei in io simul cum ae in io, sunt ai in io: denique ai in io cum ai in ie reducuntur ad unum ai in eo: quare quod fit sub ai in eo aequale est ijs, quae sub ao in ei, itemque ae in io comprehenditur. Quod demonstrasse oportebat.
*) Quintilianus, The Institutio Oratoria of Quintilian (transl. H. E. Butler), vol. 3, 1959, p. 206-7 (ii.18): "neque id novum vitium est, cum iam apud Titum Livium inveniam fuisse praeceptorem aliquem qui discipulos obscurare quae dicerent iuberet, Graeco verbo utensskotison. Unde illa scilicet egregia laudatio: Tanto melior; ne ego quidem intellexi". "which, by the way, is nothing new: for I learn from the pages of Livy that there was one, a teacher, who instructed his pupils to make all they said obscure, using the Greek word skotison ('darken it'). It was this same habit that gave rise to the famous words of praise, 'So much the better: even I could not understand you'." °) Grieks van Theognis van Megara, zie Mnemosyne, Nova series, vol. 8 (Leiden 1880), 'Ad Theognidem', p. 309, en: Wisdom Discourse in the Ancient World, ed. Sara De Martin, Anna Lucia Furlan, 2025, "The servant and messenger of the Muses, if he should have any exceptional knowledge, must not be stinting of his wisdom". |
| [ 23 ] | [ v ] |
|
Datam rectam lineam infinitam uno puncto sedare, ut è rectis a data in ipsa tria puncta absumptis, rectangulum sub duabus comprehensum ad reliquae quadratum rationem habeat datam. In datâ rectâ assignentur tres termini a e i, eademque quarto termino secanda est in o, ut id quod fit sub rectis oa oe inter inventum o & duos expositos terminos e a interjectis, ad quadratum rectae oi ab eodem o ad reliquum i (sive is extremus datorum, sive medius sit) terminum pertingentis, rationem teneat imperatum, |
|
quam el ad li, aut si ita ratio exposita non detur, ad hanc tamen speciem perpetuò revocetur: Caeterum perinde est quocunque loco l punctum cadat, inter a e, seu inter a i, ultra a, ultra i nihil inquam refert. * Et ad tres terminos e l i & rectam ai inveniatur per secundum problema quartus o, ut quod fit sub ipsa ai in eo, ad id quod fit sub oi in ol rationem habeat quam ei ad il. Sed è secundo problemate factio eligatur, quae, prout ao pars est ai, vel ipsam ai continebit,
[Marge:] * Anomalos casus, in quibus 2 Problema non usurpatur. vide Epitagmate 7 & 8 [p. 27]. |
| [ 24 ] | [ v ] |
|
ita quoque (propter secundo loco praemissum lemma) ad quatuor puncta e o i l: contenta rectangula, io in ei pars sit ipsius ei in ol vel ipsa major sit contineatque. Cum igitur, inquam, eâ lege electa erit factio ex 2 problemate idonea aliqua, erit ai in oe ad oi in ol. quemadmodum ei ad il, & per interpretationem lemmatis primi, ol in ie ad il in eo, ut ai ad io. ideoque componendo vel dividendo vel per inversionem rationum ol in io ad il in eo, ut ao ad oi: sunt enim hic quatuor puncta o l e i, quorum duo extrema, duoque sunt media, pro quorum situs inter se commutatione, è tribus rectangulis li in eo, ie in lo, le in io unum reliquis per secundo loco praemissum lemma equale est. Itaque etiam per primi lemmatis interpretationem erit ao in eo ad quadratum oi, ut el ad il. Verum enimverò quia expositi termini a e i variè inter se commutari possint, ut assignatus i ad quem linea illa oi pertinet cujus quadratum quaeritur, modò vero etiam extremus sit, ratioque data sit variae inaequalitatis, duo hinc existent ternarij, quorum 'epitagmata' ita sigillatim persequi operae videtur pretium, ut commodius inveniatur partium ratio, quam opus exiget, aut ipsarum inter ipsas symmetria admittet. Quamobrem esto cujus quadratum quaeritur, assignabitur extremus. {Datur ratio el ad li.} 1 'EPITAGMA, adioriston'. Ut data ratione inaequalitatis maioris terminus optatus assignatum & proximum intercidat: Quem comitatur casus ille, qui ultra assignatum excurrit.  Contineat el ipsam il, & usurpetur 2 problematis casus 1. Atque tum o punctum incidere subjectam inter e & i: itemque v ultra l, ideoque longè ultra i, ex citato casu manifestum est. |
| [ 25 ] | [ v ] |
|
Ut data ratione minoris inaequalitatis optatus intercidat assignatum & proximum: Quem comitatur casus ille, qui ultra remotissimum excurrit.  Sit el pars ipsius il, & usurpetur 2 problematis casus 4. qui incidit subjectam in o inter e & i; tumque item v ultra a excurrere ex citato casu & ipsius demonstrations contextu manifesum est. Ut optatus terminus eos intercidat ad quos duae efficientes lineae pertinent. Oportebit autem ipsi ai analogam in ratione ei ad il non minorem esse, quam summam rectarum ie el, & eius, quae potest, quod sub ijsdem quadruplum.  Continuentur el il ut ipsarum, adgregatum constituat ei, & usurpetur 2 problematis casus 3. determinationis & casus ratio ex citato loco manifesta sunt. Sunt igitur hujus ejusdem casus solutiones duae cum circulus subjectam secabit. cuius quadratum quaeritur, assignabitur medius. {Datur ratio al ad el.} 4 'EPITAGMA, adioriston'. Ut optatus terminus inter assignatum & reliquos utrimque intercidat: id enim unâ eâdem factione praestatur. |
| [ 26 ] | [ v ] |
Continuentur el li ut ipsarum adgregatum constituat ei, & usurpetur 2 problematis casus 1. atque tum o punctum cadere inter e & i ex ipso citato casu manifestum est. Sed & v inter a & i cadere ex opere erit manifestum, maximè quidem si ie eligatur illa è duabus ai ei quae sit minima, alias lemmatio opus esset. Ut data ratione inaequalitatis minoris optatus terminus ultra extremis utrimque cadat: id enim unâ eâdemque factione praestatur.  Sit el pars ipsius il, & usurpetur 2 problematis casus 4, qui secet subjectam inter e & l; ergo ultra e cadet: caeterum etiam ultra a reliquum extremum excurrere evidens erit ex citati casus fabrica,, si ei distantia sumatur ea, quae non minor sit quam ai. secus lemmatio opus fuisset ad hijus confirmationem. Ut datâ ratione inaequalitatis maioris optatus terminus ultra extremorum alterutrum cadat. Oportebit autem ipsi ai analogam in ratione ei ad il non minorem esse, quam summam rectarum ei el, & eius, quae potest, quod sub ijsdem quadruplum.  Contineat el ipsam il, & usurpetur 2 problematis casus 3, ac tum o (vel etiam v) ultra e cadere ex citato casu, & determinationis quoque ratione est manifestum. |
| [ 27 ] | [ v ] |
|
Quae in 5 & 6 epitagmate in ratione aequalitatis majoris ac minoris expediuntur hic in ratione aequalitatis pecul[i]arem operis exegesin & demonstrationem desiderant, hoc pacto. Sunto dati termini a i e, ut i sit medius, a e extremi, inveniendus est o terminus ultra e ut aoe rectangulum quadrato oi aequale sit. Oportet autem ie minorem esse semisse totius ae. 
Super diametro ae decircinetur circulus aye, ad eandemque ae altera diameter ys normalis sit, & recta ab s ad i connexa occurrat peripheriae in r, sitque ab r contingens ro. Erit igitur per fabricam ao ad or, ut or ad oe, sed or & oi aequantur, nam cum triangula siu syr sint similia, erit angulus uis angulo syr hoc est rio aequalis, sed sro angulus secantis & contiguae aequalis quoque est angulo syr in opposita sectione, quare rio & iro anguli inter se aequales erunt, cruraque re io aequalia. atque ideo quadratum io aequale quoque fuerit rectangulo aoe, quod facere oportuit. Quae in primo & secundo epitagmate in ratione inaequalitatis expediuntur, ea hic in aequalitatis ratione peculiarem factionem desiderant.  Sunto tres termini a e i ut e sit medius, a i extremi, inveniendus est o terminus inter e & i, ut aoe rectangulum aequale sit quadrato oi. demonstratio & fabrica 7 epitagmatis ad hujus diagrammatis characteres omnino congruunt, itaque eas huc advoca. |
| [ 28 ] | [ v ] |
|
Datam rectam lineam infinitam uno puncto secare, ut è rectis ad data in ipsâ quatuor puncta absumptis, rectangulum sub duabus optatis comprehensum, ad rectangulum sub reliquis rationem habeat datm. Exponantur in rectâ lineâ infinita termini quatuor a e i u, eadem quinto secanda est in o, ut id quod fit sub duabus lineis ('eph' hopotera chrèitôn dotheutôn sèmeiôn' à quâcunque datorum punctorum parte tandem optentur) quas hic per oa & ou ubique expressimus, ad id quod fit sub reliquis oe oi, quae ab eodem puncto o ad reliquos terminos e i interjacent, 
Caeterum inquam perinde est, quocunque loco l punctum cadat, citra a ultra e, inter a & e, nihil, |
| [ 29 ] | [ v ] |
|
inquam, omnino refert. * Et ad tres terminos e l u & rectam ui inveniatur per 2 problema quartus o, ut quod fit sub ipsa ui in eo, ad id quod fit sub ou in ol rationem habeat, quam ae ad al: sed ea è secundo problemate factio eligatur, quae prout uo pars erit ui, vel ipsam ui continebit, vel earum adgregatum constituet oi; ita quoque propter secundo loco praemissum lemma, ad quatuor puncta e o a l contenta rectangula eo in al pars sit ipsius ol in ae, vel eâ major, vel denique cum ipso constituat ao in el. Cum igitur, inquam, eâ lege electa erit factio ex 2 problemate idonea aliqua, erit quoque inversè uo in ol, ad ui in eo, quemadmodum al ad ae, |
|
& per 1 lemmatis 3 problemati praemissi interpretationem uo ad ui, ut al in oe ad ae in ol: ideoque componendo vel dividendo, vel per inversionem rationum, uo ad oi, ut eo in al ad ao in el: sunt enim hic quatuor puncta a o e l, quorum duo extrema duoque media sunt, pro quorum situs commutatione inter se, è tribus rectangulis eo in al, ol in ae, ao in le unum reliquis aequale erit, per lemma 2 tertio problemati praefixum: quae propter fabricam in summa vel differentia sequuntur leges rectarum uo, eu, oi. jtaque etiam per primi lemmatis interpretationem erit uo in ao, ad eo in io, sicut al ad el.
[Marge:] * Anomalos casus qui 2. problema non usurpent. vide epitagmate 12. |
| [ 30 ] | [ v ] |
|
Verumenimvero quia expositi termini a e i u variè inter se commutari possunt, ut assignati a u sint proximi circa finem, modo extremi utrimque, modo etiam alternis intervallis disjuncti, tres hinc existent classes positionum, & singulorum sua epitagmata, quae ideo sigillatim persequi opere videtur pretium, ut commodius inveniatur partium ratio, quam opus exiget, aut ipsarum inter ipsas symmetria admittet. Quamobrem esto alteruter, reliquus autem medius ipsi alternus, ut hic a u. {Datur ratio al ad el.} 1 'epitagma, adioriston.' Ut optatus inter asssignatum primum & proximum intercidat: 
Quem comitatur iste casus, qui inter assignatum secundum & ordine novissimum cadit. Continuetur al le ut adgregatum ipsarum constituat ae, & usurpetur 2 problematis casus 4, ut o inter e & l cadat; ac tum v quoque ultra u cadere ex citato casu manifetum est, sed & citra i consectario 1 problematis 2 erit perspicuum. Ut datâ ratione inaequalitatis minoris optatus cadat inter assignatum secundum & secundum ordine: 
Quem comitatur casus ille qui ultra primum excurrit.
Sit al pars ipsius el, & usurpetur 2 problematis casus 4, ut o inter e & u cadat. tumque v ultra l, atque etiam multò magis ultra a cadere, ex citati problematis dicto casu manifestum est. |
| [ 31 ] | [ v ] |
|
Ut data ratione inaequalitatis maioris terminus optatus cadat inter assignatum secundum & secundum ordine: Quem comitatur casus iste, qui ultra novissimum excurrit. 
Contineat al ipsam el, & usurpetur 2 problematis casus 1. Atque tum o incidere inter e & l, vel inter e & u prout vel l vel u propius aberit ab e manifestum est ex casu citato. Caeterum v quoque ultra i novissimum terminum excurrere citati casus fabricam hoc loco bene intuenti maifestum est. extremus, ut hic a & u. {Datur ratio al ad el.} 4 'Epitagma, adioriston.' Ut optatus inter asssignatum primum & proximum intercidat:  Quem comitatur casus iste, qui inter assignatum secundum & ordine penultimum cadit. Continuentur al le, ut ipsarum aggregatum constituat ae, & usurpetur 2 problematis casus 3, ut o ultra l cadat, atque tum ipsum o inter a & e, itemque v inter u & i intercidere ex 1 consectario 2 problematis perspicuum est. Ut datâ ratione inaequalitatis maioris terminus optatus cadat inter secundum & tertium ordine. determinatio petatur ex lemmate 2 sequenti. |
| [ 32 ] | [ v ] |
|
|
| [ 33 ] | [ v ] |
|
|
| [ 34 ] | [ v ] |
|
|
| [ 35 ] | [ v ] |
|
|
| [ 36 ] | [ v ] |
|
|
| [ 37 ] | [ v ] |
|
Christiaan Huygens noemt dit werk in een brief aan Frans van Schooten, 6 dec. 1656, OCCH 1, p. 523: "Nec sane videtur mihi W. Snellius hoc considerasse in restitutione Apollonij de Sectione determinata" (bij Probl. 4: over het snijden van een rechte met vier gegeven punten, zodanig dat twee rechthoeken op afgesneden lijnstukken gelijk zijn). John Lawson, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning determinate section, as they have been restored by Willebrordus Snellius, London 1772. Idem, The two Books of Apollonius Pergaeus concerning tangencies, as they have been restored by Franciscus Vieta and Marinus Ghetaldus, 2e ed. London 1771. Zie de lijst bij: Université de Fribourg, Bureau du Mercure, Personne, Apollonius de Perga. Liesbeth de Wreede, Willebrord Snellius (1580 - 1626), a Humanist Reshaping the Mathematical Sciences, 2007, p. 53-63. |