Stevin | < Weeghdaet >

8: Ghedreghen swaerheden , 9: Windassen , Ghetrocken swaerheden


S . S T E V I N S       W E E G H D A E T.
[ 23 ]
...
V I I I.   V O O R S T E L.

    T E  ondersoucken de ghedaenten der ghedreghen swaerheden.


    T' G H E G H E V E N.   Laet AB een leere wesen, op t'een einde swaerder als op t'ander soo sy ghemeenlick sijn, welcke ghedreghen moet worden van twee mannen, alsoo dat d'een soo veel ghewicht draghe als d'ander, dat is elck den helft, ende haer middellini CD sal int draghen euewydich vanden sichteinder {Horizonte.} blijuen.
    T' W E R C K.   Men sal de leere op eenighen scherpen cant legghen, die vertreckende voorwaert ende achterwaert, tot datmen bemercke de euestaltwichticheyt ghetroffen te sijne, t'welck ick neem in E te wesen, ende sosy dicwils moet verdreghen sijn van d'een plaets ten anderen, men mach an E een kerfken stellen; Laet daernaer ghetrocken worden de hanghende EF, sniende CD in F, daernaer salmen teeckenen eenighe twee punten euewijt van EF, als G, H, ende die an G draecht sal euen soo veel draghen als die an H.

2 mannen dragen een ladder, op de schouder, en aan de hand
    Maer soomen dien noch soo veel ghewichts wilde doen draghen als desen, men sal desens langde tusschem hem ende EF, dobbel maken an diens. Als HE dobbel sijnde an EI, die an I droughe soude noch soo veel ghewicht draghen als die an H. Ende alsoo salmen de reden des ghewichts vanden eenen tot den anderen, connen stellen naer de begheerte.
[ 24 ]
T G H E N E  bouen gheseyt is vande leere sal hem alsoo verstaen op yder lichaem, als by voorbeelt, de form hier onder, ghedenckende dat der ongheschicter lichamen linien door haer swaerheyts middelpunt lijdende als CD, gheuonden worden door het Ie voorstel deses boucx, oock dat de hanghende linien door G en H, eueuerre sijn vande linien EF.
4 manieren om met 2 personen een langwerpig gewicht te dragen
W Y  hebben hier voorbeelden ghestelt alwaer de lini CD ghenomen is euewydich vanden sichteinder, maer soo sy daer af oneuewydich waer, ende dat de selue mannen eenen berch ofte hoochde opsteghen, de reden vande ghewichten soude veranderen, doch bekent blijuen. Laet tot meerder claerheyt de voornoemde mannen een hoochde opgaen als hier onder, die an G vooren gaende d'ander achter.
[ 25 ]

4 manieren om met 2 personen een langwerpig gewicht te dragen, een helling op

    N V  ghetrocken hanghende linien {Perpendiculares.} door de punten G, H, sniende CD in K en L, so en sal dan elck niet euen veel draghen als in d'eerste ghestalt, want FK inde twee opperste forme[n] is meerder dan FL, en[de] inde onderste formen minder: Ende ghelijck FK tot FL, alsoo t'ghewicht des draghers an H, tot het ghewicht des draghers an G. Alwaer oock blijckt dat als de vastpunten G, H, onder de lini CD sijn, soo draecht den voorsten minst, maer die vastpunten bouen de lini CD wesende, soo draecht den voorsten meest.
Tis oock kennelick dat de vastpunten G, H, inde lini CD sijnde, dat alsdan elck oueral altijt sijn selfde ghewicht sal draghen, soo wel een berch opstighende, als langs den sichteinder. van alle welcke bewysen openbaer sijn door de 14e 15e 16e 17e 18e 27e 28e voorstellen des Ien boucx. Maer want veler wercklieden gheleghentheyt niet en is die voorstellen te leeren, noch hemlieden daer in te oeffenen,
[ 26 ]

tak met gewichten

ende nochtans gheerne wat ooghenschijnelicx saghen, waer duer sijt gheloofden, die mueghen nemen een rechten gheschickten, ofte crommen ongheschickten stock, soot valt, als AB, hem hanghende tot eenigher plaets als C, an een coorde CD.
Daer naer hanghende anden stock euen ghewichten als E, F, alsoo dat haer coorden GH, IK, eueverre sijn vande lini CD neerwaert ghetrocken, te weten dat HL euen sy an LK, den stock sal haer eerste stant houden, t'selue sal sy oock doen soomen E weerde, ende datmen anhinghe t'ghewicht M, dobbel an F, ende also dat LK oock dobbel sy an LN, ende soo met allen anderen, waer uyt sy de nootsaeclicheyt van t'ghene bouen gheseyt is, lichtelick gheuoelen sullen.
met 2 personen een langwerpig gewicht te dragen, schuin omhoog trekken

D E  linien daer mede de mannen inde voorgaende formen t'lichaem draghen, sijn rechthouckich op den sichteinder ghestelt, maer soo sy daer op scheefhouckich waren, als hier neuen, sy sullen t'samen meerder ghewelt moeten doen, dan de eyghen swaerheydt des lichaems is.
Maer om te weten hoe veel yeghelick draecht, men sal trecken de hanghende linien {Perpendiculares.} IM, ende NO, segghende, ghelijck MI tot IG, alsoo diens rechthefwicht tot t'ghewicht dat den man an G treckt, wederom ghelijck ON tot NH, alsoo diens rechthefwicht tot t'ghewicht dat den man an H treckt, duer het 27e voorstel des Ien boucx der beghinselen, ende yders macht wort bekent door het 22e voorstel des selfden boucx.
[ 27 ]
    Wy souden meer verscheyden voorbeelden vande wichtighe ghedaenten der ghedreghen lichamen mueghen beschrijuen, maer wy latent eensdeels om de cortheyt, ten anderen dat sy duer t'voorgaende kennelick ghenouch schijnen.



I X.   V O O R S T E L.

    T E  ondersoucken de ghedaenten der windassen, ende der ghetrocken swaerheden.


    H E T  treckendwicht ende ghetrockenwicht des windas, sijn euerednich {Proportionales.} met de halfmiddellini {Semidiameter.} des as, ende de halfmiddellini des radts, maer om alles oirdentlicker te beschrijuen, wy sullender een Vertooch {Theorema.} af maken soodanich.


V E R T O O C H.

    W E S E N D E  een windas an diens as een ghewicht hangt, euestaltwichtich teghen t'ghewicht an t'einde des radts middellini die euewydich is vanden sichteinder { Horizonte. }: Ghelijck dan de halfmiddellini des radts, tot de halfmiddellini des rondts vanden as, alsoo t'ghewicht anden as, tottet ghewicht an t'radt.

    T G H E G H E V E N.   Laet ABCDEFG een windas sijn, diens as EFG, wiens rondts middellini EF, ende middelpunt H sy, ende I een ghewicht anden as hanghende, ende ABCD sy het radt, diens middellini euewydich vanden sichteinder, sy AC, an wiens einde A een ghewicht K hangt, euestaltwichtich teghen I, ende L sy t'onderste ghenaecsel des as teghen t'ghene daer sy op rust.

    T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat ghelijck HA tot HF, alsoo I tot K.

    T' B E W Y S.   Laet ons t'radt ABCD ansien als voor balck eens waeghs, diens hanthaef LB, inder voughen dat de sijde des radts BDA, de ghewichten K, L, gheweert sijnde, euewichtich hangt teghen de sijde BDC.

[ 28 ]

windas: groot gewicht aan as, klein gewicht aan groot rad

Laet ons nu nemen dattet ghewicht I hanghe an t'punt F (want het daer vande selue macht soude sijn, diet t'sijnder plaets is) ende K t'sijnder plaets an A. Dit so wesende, ghelijck den langsten erm HA, tot den cortsten HF, alsoo de swaerste swaerheyt I, tot de lichtste K, duer het Ie voorstel des Ien boucx der beghinselen. Daerom by aldien HA sesvoudich waer teghen HF, soo sal I sesvoudich wesen teghen K, dat is, weghende I ses hondert pont, K salder hondert weghen, daerom een man treckende an A, so stijf als ho[n]dert ponden neerdrucken, die soude teghen I 600 lb euestaltwichtich sijn, en[de] om I te doen rijsen soude (om t'ghenaecsel des as, &c.) wat stijuer moeten trecken dan 100 lb neerdrucken.


I I   V O O R B E E L T.

    D E  ghedaenten der cranen ende der ghelijcke raeyers daer menschen in gaen sijn duer t'voorgaende oock openbaer.

[ 29 ]
man in tredmolen
Laet tot voorbeelt ABCD een radt wesen, diens middellini {Diameter.} AC, euewydich sy vanden sichteinder {Horizonte.}, ende t'rondt des as sy EF, wiens middelpunt G, ende t'ghewicht anden as sy H, ende I sy een man in tradt euestaltwichtich teghen H, diens swaerheyts middellini rechthouckich op AC sy IK. Ende is kennelick dat ghelijck GK tot GF, alsoo t'ghewicht H tot het ghewicht des mans I, ghenomen dan dat GK viervoudich sy teghen GF, so sal t'ghewicht H viervoudich sijn teghen t'ghewicht des mans, daerom soo den man woughe 150 lb, soo sal H weghen 600 lb. Oock en sal den man op die plaets de swaerheyt H niet connen opwinden, ouermidts hy aldaer maer euestaltwichtich teghen H en staet; Maer by aldien hy voortgaet naer A, soo sal H rijsen, want de reden vande lini GK tot GF, soude dan grooter wesen dan sy nu is. Maer alsser meer menschen int radt gaen dan een, die naest A sijn doen t'meeste ghewelt, ende de reden van haer altsamen ende van yder int besonder tot t'ghewicht H, is openbaer duer het 3e voorstel des Ien boucx.


I I I.   V O O R B E E L T.

    D I T  heeft hem alsoo met de ghewichten die recht op ghetrocken worden, als packen ende vaten diemen duer cranen uyt schepen windt, ende dier ghelijcke; Maer de ghewichten die scheef opwaert commen, als onder anderen de schepen diemen in Neerlandt tot veel plaetsen ouer dammen windt, tis met de eueredenheyt {Proportione.} van dien wat anders ghestelt.
Laet tot voorbeelt A een dam wesen, ende B een schuyt die daer ouer ghetrocken moet worden, ende CD het radt, wiens middellini euewydich vanden sichteinder {Horizonte.} sy CD, ende daer in een man teghen de schuyt B euestaltwichtich, wiens swaerheyts middellini FE, ende de coorde sy GH, ende des assens rondt sy IK, ende haer middelpunt {Centrum.} L: Laet oock ghetrocken sijn NM, rechthouckich op t'plat des dams, ende M inde coorde GH; Daernaer de hanghende {Perpendicularis.} ON;

[ 30 ]

windas: man in tredmolen
Laet nu LF sesvoudich sijn tot LK, ende NO drievoudich tot OM, ende den man weghen 150 lb. Dit soo sijnde ghelijck LF tot LK, alsoo t'ghewicht dat ande coorde HG rechtneer soude hanghen, tot t'ghewicht des mans van 150 lb, duer t'voorgaende vertooch, maer LF is duer t'ghestelde sesvoudich an LK, t'ghewicht dan dat ande coorde HG rechtneer hinghe, soude sesvoudich sijn an 150 lb, dat is 900 lb; den man dan doet in t'radt soo veel ghewelts ande schuyt B, als ofter met de scheefwaegh 900 lb an hinghen. T'welck so sijnde t'ghewicht der schuyt B, heeft sulcken reden tot die 900 lb, als NO tot OM duer het 20e voorstel des Ien boucx; Maer NO is drievoudich an OM duer t'ghestelde, de schuyt dan weeght driemael 900 lb, dat is 2700 lb, dat is achtienmael den man.
T'welck hem soo vertsaet wesende de schuyt in die ghestalt, maer als sy hoogher comt, soo sal de coorde GH steylder sijn (ten waer men die ande schuyt versette) ende veruolghens de lini als MO sal wat meerder reden hebben tot ON, dan sy nu doet, waer duer oock het euestaltwicht teghen de schuyt alsdan meerder soude sijn dan 900 lb; Daerom yemant willende een radt ende as van pas bauwen, niet te groot noch te cleen, mach sijn rekening maken naer de ghestalt daer in een der swaerste schuyten ofte schepen de meeste ghewelt behouft.

Tis oock te ghedencken dat den man E in tradt de meeste ghewelt doet, als de coorde GH euewydich is van t'plat des dams PN, duer het 24e voorstel des Ien boucx der beghinselen; want dan is HG rechthouckich op den as (op dat ickse soo noem) der schuyt, dat is op de lini duer t'swaerheyts middelpunt der schuyt, ende rechthouckich op t'plat PN: Daerom hoe dat GH ende PN de euewydicheyt naerder sijn, hoe lichter werck, ende hoe verder, hoe swaerder.

[ 31 ]
I I I Ie  V O O R B E E L T.

    U Y T  het voorgaende is oock kennelick, hoe veel ghewichts een peert in een waghen ghespannen, meer treckt een hoochde op styghende, dan opt plat landt. Laet by voorbeelt AB t'plat sijn eens berghs, ende CD een waghen, weghende met datter op is al tsamen 2000 lb, ende EF (inde plaets der strijnghen) sy de coorde, ende G sy t'peert, evestaltwichtich teghen den waghen. Laet oock ghetrocken sijn de hanghende {Perpendicularis.} HI, ende IK, rechthouckich op t'plat AB, ende laet IH viervoudich sijn tot HK, ende is kennelick duer het 20 voorstel des Ien boucx der beghinselen, dat ghelijck KH tot HI, alsoo t'ghewicht der scheefwaegh sooder een waer (in diens plaets nu t'peert is) tottet ghewicht des waghens, maer KH is t'vierendeel van HI duer t'ghestelde; des scheefwaeghs wicht dan soude van 500 lb sijn, te weten t'vierendeel van t'ghewicht des waghens; Daerom t'gareel oft riem oft sulcx alst waer, druckt t'peert soo stijf voor den borst L, als een pack van 500 lb op sijn rugghe duwen soude, ende dat (wel verstaende alst voortgaet) bouen het duytsel dattet lijdt op t'plat landt treckende.

paard en wagen op helling

    T I S  oock openbaer duer het 24e voorstel des Ie boucx, ende duer t'ghene wy hier vooren vande schuyt gheseyt hebben, dat als de strijngen euewydich sijn vande wech daer de waghen ouer vaert, dat de peerden dan de meesten ghewelt ande waghe[n] doen, wel verstaende op eenen harden gantsch effenen wech, maer op eenen oneffenen hobbelighen en[de] sandighen, so voorderet de strijnghen achter wat leegher te doen dan vooren. T'welck den Hollantschen voerlien duer deruaring niet onbekent en is, diens waghens daer naer ghemackt sijnde, doen de strijnghen, langs t'zeestrant varende, ende in derghelijcke euen harde weghen, achter hoogher, dan inde oneuen ende sandighe.
[ 32 ]
Reden is dese, dat wesende de strijnghen euewydich vanden sichteinder, so en sijnse niet euewydich met die oneuen verhefselen, t'welck int ouertrecken nootsakelick meerder last anbrengt, dan als de strijnghen achter leegher sijn, ouermidts sy dan de euewydicheyt met die verhefselen naerder sijn. Inde sandighe daer de waghen diep insinckt, daer drucken de raeyers dieper ende moeylicker duer t'sant, wesende de strynghen euewydich vanden sichteinder, dan als sy achter wat leegher sijn.


M E R C K T.

    Y E M A N T  mocht ons nu twee saken voorworpen; Ten eersten, warom wy hier bouen gheseyt hebben: Ghelijck KH tot HI, alsoo t'ghewicht der scheefwaegh sooder een waer (in diens plaets nu t'peert is) tottet ghewicht des waghens, Achtende datmen niet en behoort te segghen tottet ghewicht des waghens, maer, tottet rechthefwicht van t'ghewicht des waghens.

wagen op helling, aan touw over katrol
    Ten tweeden waerom wy gheen onderscheyt beschreuen en hebben vande plaets der coorde EF, t'wyfelende dat de selue voortghetrocken ende lydende duer t'swaerheyts middelpunt des waghens, een ander ghewicht voor t'peert mocht veroirsaken, dan als sy daer bouen of daer onder comt.
Om op t'welck te verantwoorden, ende Wisconstlick {Mathematicè.} te bewysen dat de boue[n]schreuen eueredenheyt volcommen is: so laet ABC een waghen sijn, al van wisconstighe linien ghemaeckt, wiens raeyers sijn D, E, ende den wech daer hy op rust sy FG, ende de coorde des toecom[m]enden scheeffhewichts sy AH.

L A E T  ons nu op desen waghen legghen een pilaer IK als hier onder, alsoo dat HA voortghetrocken comme in des pilaers swaerheyts middelpunt L, en[de] laet het scheefhefwicht M teghen den pilaer euestaltwichtich sijn; Laet oock an L gheuoucht worden t'rechthefwicht N, met den pilaer euestaltwichtich:

[ 33 ]

wagen met pilaar op helling, touw over katrol (gewicht eraan), hefboom

Laet ons oock trecken de hanghende {Perpendicularem.} BO, sniende AH in O, t'welck so sijnde, wy segghen duer het 20e voorstel des Ien boucx, dat ghelijck AO tot OB, alsoo M tot t'rechthefwicht N;
Maer anghesien N gheuoucht is an t'swaerheyts middelpunt L, des pilaers IK, soo sal N euewichtich sijn met den pilaer duer het 14 voorstel des Ien boucx; Daerom mueghen wy segghen ghelijck AO tot OB, also M tot den pilaer, waer uyt d'eerste voorgheworpen saeck openbaer is als AH comt uyt het swaerheyts middelpunt L.

idem, pilaar hoger op wagen
    M A E R   om nu het tweede voorgeworpen te bewysen, dat is de selue eueredenheydt dus ooc te bestaen al en co[m]t AH niet uyt het swaerheyts middelpunt L, so laet ons den pilaer IK rechtopwaert uyt de[n] waghen trecken, rustende op de hanghende lini {Perpendicularem.} LP, als hier neuen: Ende duer de 3 Begheerte, sy en brengt op den waghen ABC, gheen meerder swaerheyt dan in d'eerste ghestalt, en[de] vervolghens M en heeft niet meer te trecken dan sy te vooren en dede: Maer HA voortghetrocken comt nu onder t'swaerheyts middelpunt L.
[ 34 ]
Commende dan de voortghetrocken HA onder t'swaerheyts middelpunt L, soo treckt M t'selfde ghewicht dat sy track doen HA in t'swaerheyts middelpunt quam. T'selue salmen oock alsoo bethoonen commende de voortghetrocken lini HA bouen t'swaerheyts middelpunt L, dat is treckende de pilaer IK rechtneerwaert onder den waghen. Vyt het welcke t'voornemen openbaer ende bewesen is.



Simon Stevin | Weeghdaet | Voorstel 8, 9 (top) | 10