ZWAARTE is de neiging naar beneden gaan 2). Door dus te stellen dat zware dingen die hetzij loodrecht vallen, hetzij op hellende vlakken, met een zodanige versnelling bewegen dat er in gelijke tijden gelijke snelheidsveranderingen bijkomen, kan daarmee heel zeker bewezen worden dat de afstanden die in verschillende tijden vanuit rust zijn afgelegd, zich onderling verhouden als de kwadraten van de tijden. En dit komt exact overeen met de ondervinding. Bijgevolg staat vast dat die aanname juist is. Het exact overeenkomen wordt bevestigd door experimenten van Galilei 3), Riccioli 4) en van ons; behalve dat de luchtweerstand ze een weinig doet afwijken, maar dit is des te minder naarmate lichamen meer zwaarte hebben ten opzichte van de grootte van het oppervlak, en naarmate we de proef doen met kleinere afstanden. Het is daardoor alleszins te geloven dat zonder de hinderende luchtweerstand ook bij enorm   1)  De Latijnse tekst van deze verhandeling is vrijwel conform met die van p. 401-428 van de Opuscula postuma van 1703 (zie noot 1 van p. xii van T. XIII). We bezitten het Manuscript van de hand van Huygens, waaraan deze tekst is ontleend, uitgenomen veranderingen van interpunctie en enkele andere veranderingen, toevoegingen en weglatingen. Deels herstellen we de interpunctie van Huygens en in de noten vermelden we de veranderingen en weglatingen als ze niet geheel onbetekenend zijn; de toevoegingen zijn soms zeer aanzienlijk (zie het Voorbericht, p. 238), we zetten ze tussen haken.   Het genoemde Manuscript van Huygens maakt deel uit van een verzameling losse bladen [HUG 26, 3r-17v] waarvan de pagina's door Huygens zijn genummerd van 1 tot 28. De eerste is door Huygens gedateerd op 21 okt. 1659. We geven de inhoud ervan in Aanhangsel I, evenals die van de andere die niet hier in de verhandeling staan. De theorema's daarin tonen dat de theorie van de centrifugale kracht al zeer ver ontwikkeld was. Ditzelfde wordt bewezen door enkele kanttekeningen in Manuscript A [HUG 10] (zie over dit Manuscript p. 4 van T. XV); meer daarover in Aanhangsel V hierna. We menen dus dat de verhandeling in hoofdzaak dateert van 1659.   Behalve de uitgave van 1703 bestaat er een herdruk in het tweede deel van de Opera reliqua van 1728 (p. 107-134), een werk genoemd op p. ii van het voorwoord van T. I.   2)  Deze zin [op H.12], door een andere hand toegevoegd (evenals het woord 'dus' van de volgende zin), werd ontleend aan een ander blad dan de rest van deze pagina. Men leest er van de hand van Huygens [H.14]: "Zwaarte is de neiging naar beneden te gaan. En zware dingen gaan naar beneden met een versnelde beweging volgens de oneven getallen vanaf de eenheid 1, 3, 5, 7". Waarna Huygens laat volgen: "Dus wanneer iets zwaars", enz. (zie de tweede alinea van p. 257).   3)  Het gaat om de 'Giornata terza' van de Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze van 1638, zie p. 212-213 van T. VIII (1898) vande nationale editie van Le opere di Galileo Galilei [Engl., bij Theorem II, exp. hellend vlak].   4)  Zie p. 381-397 van T. I, Pars Post. Liber IX, Caput XVI van Almagestum novum, werk van 1651, aangehaald in noot 7 van p. 402 van ons T. I [p. 385: toren].

[ 257 ]

grote afstanden dezelfde verhouding heel volkomen zou worden behouden. Maar nu, zoals het daardoor komt dat een bol van kurk in korte tijd het punt bereikt vanaf waar hij blijft vallen met een daarna gelijkblijvende snelheid — wat ook noodzakelijk waar is voor een loden bol, zo klein dat hij naar verhouding van zijn zwaarte een even groot oppervlak heeft als die van kurk, dat wil zeggen, waarvan de middellijn zich verhoudt tot de andere als de soortelijke zwaarte van kurk tot die van lood, zoals ik een keer heb aangetoond 1) — zo denk ik ook bij een loden bol, hoe groot ook, als hij door de lucht blijft vallen, dat hij tenslotte ook tot een gelijkblijvende beweging zal komen, na | 2) {p. 402} een natuurlijk onmetelijk grote afstand te hebben afgelegd. Zodat de versnellings­verhouding hier niet van toepassing zal zijn, en zodat daarom in werkelijkheid nooit de uiterste precisie wordt aangehouden. Maar toch is niet daarom de bespiegeling van Galilei over deze beweging weinig bijzonder of nuttig te noemen, echt niet meer dan elke mechanische bespiegeling die over gewichten gaat, omdat men daarin gewoonlijk aanneemt dat zware dingen geneigd zijn langs onderling evenwijdige lijnen naar beneden te gaan, die in werkelijkheid naar het middelpunt van de aarde zijn gericht. Overigens is het voor het bewijs van wat we hier zullen behandelen voldoende, dat over willekeurig kleine afstanden vanaf het rustpunt het versnellen groeit volgens de oneven getallen 1, 3, 5, 7, zoals Galilei heeft vastgesteld 3).   Dus 4) wanneer iets zwaars aan een draad is opgehangen, wordt daarom aan de draad getrokken, omdat het zware ding met zo'n versnelde beweging tracht weg te gaan langs de lijn van de draad.   Nu kan met een beweging die volgens de genoemde groei wordt versneld, in dezelfde tijd een grotere of kleinere afstand worden afgelegd. Zoals wanneer iets zwaars op een hellend vlak AB op zijn plaats wordt gehouden door een draad CD die evenwijdig is aan dat vlak. Want ook hier tracht het zware ding voort te gaan langs de lijn DC met een op dezelfde manier versnelde beweging, maar niet zodanig dat het evenveel afstand doorloopt in een bepaald stukje tijd, als het zou doorlopen in hetzelfde stukje wanneer het van de loodrechte draad was losgelaten. Vandaar dat hier ook een kleinere neiging wordt gevoeld, die namelijk zoveel maal kleiner is dan die andere loodrechte neiging, als de afstand kleiner is waarover het zware ding op het hellend vlak zou gaan dan op de loodlijn, in dezelfde tijd 5).   1)  Huygens heeft dit bewijs nooit gepubliceerd; het is te vinden op p. 85 van Ms. A en we geven het hierna (p. 384). Zie overigens zijn brief aan Moray van 16 sept. 1661, p. 320-321 van T. III, waar men ziet dat Huygens in 1661 het resultaat van zijn berekening proefondervindelijk had geverifieerd [niet vanaf de Domtoren te Utrecht, zoals Moray suggereerde, p. 318].   2)  Een dergelijke streep betekent, hier en in het vervolg, het einde van een pagina van ed. 1703 van de Opuscula postuma.   3)  Zie (p. 210 van T. VIII van de nationale editite) 'Corollarium I' van Th. II, Prop. II van de 'Giornata terza' in Discorsi. [Engl.]   4)  Vergelijk noot 2 van p. 255.   5)  In het Manuscript leest men nog: "want aangetoond is dat deze bol C op het hellende vlak BA in dezelfde tijd zoveel maal minder afstand zal doorlopen dan op de loodlijn, als hij lichter trekt aan draad CD, dan aan die waardoor hij loodrecht op zijn plaats wordt gehouden".

[ 259 ]

Verder, steeds wanneer twee lichamen van gelijk gewicht elk door een draad worden tegengehouden, als ze de neiging hebben langs het verlengde van de draad weg te gaan met dezelfde versnelde beweging, en waardoor ze gelijke afstanden in dezelfde tijd zullen afleggen: we stellen dat dan ook een gelijke trekking van hun draden zal worden gevoeld, of deze nu omlaag of omhoog worden getrokken of in | {p. 403.} welke richting dan ook. En dat het niet uitmaakt door welke oorzaak zo'n neiging ontstaat, als ze er maar is. Er is dan dezelfde neiging, als er bij beweging hetzelfde gebeurt, wanneer de gelegenheid gegeven wordt of de neiging niet wordt tegengegaan. En dit moet alleen bij het begin van de beweging worden bekeken, in een zo klein mogelijk genomen tijdsdeel. Want bijvoorbeeld als een bol B hangt aan een draad AB, doch raakt aan de zijkant van een hol oppervlak CD, maar zo, dat de lijn vanaf het middelpunt van bol B naar het contactpunt loodrecht staat zowel op draad AB als op de raaklijn aan de kromme 1), dan weten we dat de bol nu helemaal niet wordt omhooggehouden door het oppervlak CD, maar dat hij even hard trekt aan het touw AB als wanneer hij het vlak CD niet zou raken maar vrij was opgehangen. Maar toch, als hij van het touw losraakt en neervalt, zal hij niet op dezelfde manier naar beneden gaan als wanneer hij vrij opgehangen het touw zou kwijtraken, maar hij zal, langs oppervlak CD naar beneden rollend, zeker niet de versnellingsverhouding volgens de oneven getallen 1, 3, 5, 7 nauwkeurig aanhouden. Dus blijkt dat er niet moet worden gelet op wat met het zware ding zal gebeuren enige tijd na het losraken van het touw, maar we moeten een willekeurig klein tijdsdeeltje beschouwen vanaf het begin van de beweging, als we de kracht van de neiging willen bepalen. En hier begint bol B, na het losraken van het touw, zo te bewegen zoals wanneer het loodrecht was neergevallen, aangezien hij aanvankelijk die bewegingsneiging heeft die volgens de rechte AB is, aangezien deze evenwijdig is aan de raaklijn aan de kromme in C. Laten we nu bezien welke en hoeveel neiging er is bij lichamen die zijn vastgemaakt aan een draad of aan een wiel dat ronddraait, om van het middelpunt weg te gaan.

[ 261 ]

waarom de draad AB zo gespannen wordt, terwijl de bol tracht te gaan langs de rechte BH die loodrecht is op AB. Maar op de volgende manier zal alles duidelijk worden. Laten we ons voorstellen dat dit een of ander heel groot wiel is, zodat het gemakkelijk iemand met zich meevoert die erop staat 1), dichtbij de omtrek in B; maar zo vast, dat hij er niet afgeslingerd kan worden; in zijn hand houdt hij een draad met aan de andere kant van de draad een loden kogel vastgebonden 2). Dan zal de draad op dezelfde manier even strak worden gespannen door de draaikracht, of hij nu zo wordt vastgehouden, of dat eenzelfde draad verlengd wordt tot A, en daar wordt vastgebonden; en de reden waarom hij gespannen wordt zal nu duidelijker begrepen kunnen worden. Laten we gelijke bogen BE en EF nemen, klein in verhouding tot de hele omtrek, bijvoorbeeld honderdste of nog kleinere delen. En over deze bogen gaat die genoemde persoon in gelijke tijden, vast op het wiel, maar het lood zou in dezelfde tijden weggaan, als het losgelaten werd, langs de rechten BC en CD, gelijk aan de genoemde bogen, waarvan de uiteinden C en D weliswaar niet precies vallen op die rechten, die vanuit middelpunt A door de punten E en F worden getrokken, maar ze zijn slechts een heel klein stukje in de richting van B van die lijnen verwijderd. Nu blijkt dat, zodra de persoon is aangekomen in E, het lood in C zal zijn, als het in punt B losgelaten zou zijn, en zodra de persoon bij F is aangekomen, is het lood in D. Waaruit volgt dat we terecht kunnen zeggen dat deze neiging in het lood zit 3).

Maar als nu de punten C en D 4) op de doorgetrokken rechten AE en AF zouden liggen, zou het zeker zijn dat het lood tracht weg te gaan van de persoon langs die lijn die vanuit het middelpunt door zijn positie wordt getrokken; en wel zo, dat het in het eerste tijdsdeel van hem weg beweegt over de afstand EC, en in het tweede tijdsdeel over de afstand FD verwijderd is. Nu groeien deze afstanden EC, FD enzovoorts | {p. 405.} achtereenvolgens aan zoals de reeks kwadraten vanaf de eenheid 1, 4, 9, 16 enz. Want ze beantwoorden des te nauwkeuriger aan deze reeks naarmate de stukjes BE en EF kleiner zijn genomen, en daarom zijn ze in het eerste begin te beschouwen als niet verschillend ervan.   1)  In plaats van de laatste twee woorden ["ei insistentem"], ingevoegd door de uitgevers van Opuscula postuma, leest men in het Manuscript: "superstantem".   2)  Men moet zich de lengte van deze draad voorstellen als heel klein, terwijl de hand van de man heel dicht bij de rand van het wiel is.   3)  Te weten de neiging zich achtereenvolgens te verwijderen over de afstanden EC en FD. Om nu deze conclusie nog duidelijker te maken schreef Huygens in de kantlijn: "er moet niet op gelet worden hoe het tracht los te raken van de draad in stand AB, maar hoe het ervan weg zal gaan als het blijft bewegen. Wat duidelijk zal worden met het voorbeeld van een bolletje aan een draad dat iemand met een gelijkmatige horizontale beweging verplaatst; dit zal immers als het in B losraakt van de draad een parabool BC beschrijven, die AB onder rechte hoeken ontmoet. Maar toch voelt de hand de hele zwaarte-neiging. Aangezien het ten opzichte van de hand, die blijft bewegen, naar beneden tracht te gaan langs de verlenging van de draad, want als de hand in E is gekomen, zou de bol van de draad gescheiden zijn over de afstand DC. En hij zou ontegenzeglijk een rechte lijn doorlopen ten opzichte van de bewegende hand, al doorloopt hij ten opzichte van een stilstaande een parabool".   4)  Te weten de eerder gekozen punten, zodat BC = boog BE en BD = boog BF.

[ 263 ]

Dus het staat vast dat deze neiging geheel en al dezelfde zal zijn als die welke wordt gevoeld wanneer de bol hangend aan de draad gehouden wordt, aangezien hij dan ook tracht weg te gaan langs de lijn van deze draad, met een evenzo versnelde beweging; zodat hij namelijk in het eerste tijdsdeel een afstandje 1 afgelegd zal hebben, in twee tijdsdelen 4 afstandjes, in drie 9, enz. Zo zou het dus zijn als de punten C en D op de doorgetrokken rechten AE en AF zouden liggen. Doch nu, omdat ze iets in de richting van B van de genoemde lijnen afwijken, is het daardoor zo dat de bol niet langs een rechte lijn die uit het middelpunt A komt van de persoon weg tracht te gaan, maar langs een of andere kromme die aan deze rechte raakt op de plaats waar de persoon staat. Als namelijk in B aan het wiel raakt een vlak PQ, dat eraan vastzit en samen met het wiel ronddraait, zal de bol B, als hij van het wiel of van het genoemde vlak losraakt, ten opzichte van dit vlak en punt B, die verder blijven bewegen, de kromme BRS beschrijven, die in B raakt aan de meegevoerde en verlengde straal AB. Als we deze kromme willen beschrijven, hoeven we slechts een of andere draad om de omtrek BNM te leggen, en het uiteinde B ervan in de richting van RS te trekken, zodanig dat het gedeelte dat de omtrek BNM verlaat steeds strak blijft staan; door deze beweging zal de draad namelijk, met het uiterste punt ervan, de genoemde lijn BRS beschrijven; wat makkelijk is aan te tonen. Een eigenschap van deze lijn zal nu zijn, dat als aan een willekeurig punt van de cirkelomtrek, zoals N, de raaklijn aan de cirkel wordt getrokken die de kromme ontmoet in R, deze NR gelijk is aan de boog BG; wat is in te zien uit het ontstaan van de kromme. Doch aangetoond moet worden dat de kromme en de rechte AB elkaar raken in punt B. Laat NR een raaklijn zijn aan de cirkelomtrek, | {p. 406.} evenwijdig aan AB. Het staat  1) vast dat het deel BR van de kromme geheel tussen de evenwijdige rechten AB en NR ligt, want als daarop een punt zoals O wordt genomen, waardoor de raaklijn aan de cirkelomtrek VOL wordt getrokken, zal LO gelijk zijn aan boog LB en daarom kleiner dan de raaklijn aan deze boog, welke LV is; waaruit volgt dat punt O noodzakelijkerwijze tussen V en L valt. En hetzelfde kan ook getoond worden voor elk punt dat op BR wordt genomen.   Als nu echter gezegd wordt dat de kromme BR de rechte BV niet raakt in B, dan zal vanuit B een of andere rechte BK kunnen worden getrokken die een zo kleine hoek maakt met BV, dat hij de kromme BR niet snijdt; laat BK deze lijn zijn. Laat de straal AL evenwijdig met BK getrokken worden, en LH loodrecht op dezelfde BK, en daarom op AL. Dan is LH gelijk aan de sinus van boog BL en daarom   1)  Het Manuscript heeft hier nog "nu".

[ 265 ]

kleiner dan deze boog. Nu is aan dezelfde boog gelijk de rechte LHO tussen het contactpunt L en de kromme BR. Dus een deel van de kromme BR waarop het punt O ligt valt binnen de hoek VBK, hoe klein die ook wordt gesteld. Waaruit duidelijk is dat de rechte BK de kromme snijdt, en daarom dat BV deze pas in B raakt 1).   Daar dus een bol, rondgedraaid met een wiel, een kromme tracht te beschrijven ten opzichte van de straal waarop hij ligt, en wel een zodanige die aan de straal raakt, blijkt een draad, waaraan hij is vastgebonden, door deze neiging niet anders te moeten worden gespannen dan wanneer de bol langs het verlengde van die straal tracht te gaan.   Nu zijn ook de afstanden die de bol op de genoemde kromme zou afleggen in gelijkmatig toenemende tijden, zoals de reeks kwadraten vanaf de eenheid 1, 4, 9, 16, enz. als we natuurlijk letten op het begin van de beweging en heel kleine afstanden; wat de onderstaande figuur laat zien, waar gelijke bogen op de omtrek van het wiel zijn genomen: BE, EF, FM; en op de raaklijn BS de rechten BK, KL en LN, gelijk aan de genoemde bogen; en lijnen vanuit het middelpunt zijn EC, FD, MS.

[ 267 ]

punt B kan nemen dat het verschilletje dat er tussen deze rechten en krommen bestaat, een kleinere verhouding heeft tot hun lengte, dan elke denkbare verhouding.   Daarom zijn dus ook de afstanden EK, FL en MN te zien als aangroeiend volgens de reeks kwadraten vanaf de eenheid 1, 4, 9, 16. En zo zal ook de neiging van de op het wiel tegengehouden bol niet anders zijn, dan wanneer hij ernaar zou streven voort te gaan langs de rechte die uit het middelpunt erdoor wordt getrokken, en dit met een versnelde beweging waardoor hij in gelijke tijden afstanden zou doorlopen, aangroeiend volgens de getallen 1, 3, 5, 7, enz. Het is immers voldoende deze voortgang in het begin waar te nemen; want ook al gaat hij later met een andere verhouding of beweging, dit heeft volstrekt niets te maken met de neiging die er is voor de aanvang van de beweging. Nu is deze genoemde neiging geheel en al gelijksoortig aan die, waarmee aan een draad hangende zware dingen trachten naar beneden te gaan. Waaruit we ook opmaken dat de centrifugale krachten van ongelijke voorwerpen, maar op gelijke cirkels met gelijke snelheid meegevoerd, zich onderling verhouden zoals de zwaarten van de voorwerpen, of de hoeveelheden massa. Zoals immers alle zware dingen met dezelfde snelheid naar beneden trachten te vallen en met eenzelfde versnelde beweging — en deze neiging ervan heeft des te meer beweegkracht, naarmate ze groter zijn — zo moet het ook uitkomen bij die dingen, die van een middelpunt weg trachten te gaan, waarvan is aangetoond dat de neiging geheel en al | {p. 408.} gelijksoortig is aan de neiging die komt van de zwaarte. Daar nu van dezelfde bol de neiging naar beneden te gaan altijd hetzelfde is wanneer hij aan een draad wordt opgehangen, en daarentegen van een op een wiel rondgevoerde bol de neiging kleiner of groter is naarmate het wiel langzamer of sneller draait, blijft over dat we de grootte of hoeveelheid van elke neiging moeten onderzoeken bij verschillende snelheden van het wiel. En wel ten eerste zullen we achterhalen, met welke snelheid het voorgestelde wiel moet worden rondgevoerd om ervoor te zorgen dat de bol zijn draad even strak spant, als wanneer hij loodrecht daaraan is opgehangen 1). [Propositie I.] 2)   Als twee gelijke voorwerpen in gelijke tijden ongelijke cirkel­omtrekken doorlopen, zal de centrifugale kracht op de grootste omtrek zijn tot die op de kleinste, zoals de omtrekken zelf tot elkaar, of hun middellijnen. 3)   1)  Het was dus eerst de bedoeling van Huygens onmiddellijk het probleem aan te vatten dat is opgelost in Prop. V (p. 275), maar hij heeft dit niet gedaan en andere proposities ingevoegd.   2)  De nummering van de proposities en de volgorde is van de uitgevers van Opuscula postuma. In het Manuscript ging Prop. II van onze tekst vooraf aan Prop. I. De reden van deze verandering is, zoals de uitgevers zeggen in hun Voorwoord, dat ze meenden er goed aan te doen in de volgorde (en soms zelfs in de redactie) van de proposities zoveel mogelijk de 'Theoremata' over de centrifugale kracht te volgen, door Huygens zonder bewijs toegevoegd aan het eind van zijn Horologium oscillatorium; ze staan in Aanhangsel III hierna (p. 315).   3)  In het Manuscript is deze Propositie als volgt te lezen: "Als hetzelfde voorwerp in gelijke tijden ongelijke cirkels doorloopt, zal de centrifugale kracht op de grootste zijn tot die op de kleinste, zoals de middellijn van de grootste cirkel tot die van de kleinste."  De verandering is aangebracht door de uitgevers van Opuscula postuma; vergelijk noot 2.

[ 269 ]

Laat gegeven zijn cirkels met de stralen AB en AC, waarover twee gelijke voorwerpen in gelijke tijden worden rondgevoerd 1). Op beide worden heel kleine gelijkvormige bogen BD en CE aangenomen, en op de raaklijnen in de punten B en C worden BF en CG elk gelijk aan hun bogen genomen. Het op de cirkel BD rondgevoerde voorwerp heeft dus de neiging van het middelpunt weg te gaan langs het verlengde van zijn draad met een natuurlijke versnelde beweging en bij deze beweging over de afstand DF te gaan, in een bepaald tijdsdeel; doch het op de cirkel CE rondgaande voorwerp heeft wel een dergelijke neiging om van het middelpunt weg te gaan, maar daardoor legt het in datzelfde tijdsdeel de afstand EG af. Dus hoeveel maal zo groot DF is als EG, met een zoveel maal zo grote kracht wordt aan de draad getrokken op de grootste cirkel, als op de kleinste; nu blijkt FD tot GE te zijn zoals BF tot CG, dat wil zeggen zoals BA tot AC. Dan zal de centrifugale kracht op de grootste omtrek, | {p. 409.} tot die op de kleinste, zijn zoals de omtrekken zelf tot elkaar, of hun middellijnen. Wat te bewijzen was 2). [Propositie II.]   Als gelijke voorwerpen op dezelfde of gelijke cirkels of wielen ronddraaien met ongelijke snelheden, maar beide met een gelijkmatige beweging, zal de kracht om van het middelpunt weg te gaan van het snelste tot de kracht van het langzaamste in kwadratische verhouding van de snelheden zijn. Dat wil zeggen: als de draden waarmee ze worden tegengehouden, door het middelpunt van het wiel naar beneden worden getrokken, en gewichten dragen, waarmee de kracht van de bewegende voorwerpen wordt tegengegaan, en precies geëvenaard, zullen deze gewichten tot elkaar zijn als de kwadraten van de snelheden.   Laat gegeven zijn een cirkel met middelpunt A, straal AB, op de omtrek waarvan het eerste voorwerp langzamer 3) wordt meegevoerd met een snelheid, voorgesteld door de lijn N, vervolgens het andere met een grotere snelheid, die O is. Als nu de heel kleine bogen BE en BF worden genomen, die zich tot elkaar verhouden als N tot O, staat vast dat in hetzelfde tijdsdeel, waarin het langzamer voorwerp   1)  Deze zin in de redactie van Huygens: "Laat er cirkels zijn met de stralen AB en AC, waarover eenzelfde voorwerp in gelijke tijden wordt rondgevoerd."   2)  In het Manuscript vindt men i.p.v. de laatste twee zinnen: "Ergo &c."   3)  In het Manuscript: "langzamer voorwerp eerst" i.p.v. "eerste voorwerp langzamer".

[ 271 ]

[ 273 ]

van elk van deze twee zijn, zoals boog CE tot boog BD, dat wil zeggen zoals AC tot AB. Nu zal de centrifugale kracht van het voorwerp dat boog BD doorloopt, tot de kracht van het aangenomen voorwerp, dat in dezelfde tijd boog CE doorloopt, zijn als BA tot AC {Prop. I.}. Maar de centrifugale kracht van het aangenomen voorwerp zal tot de kracht van datgene, dat in dezelfde tijd boog CF doorloopt, in kwadratische verhouding zijn van AC tot AB {Prop. II.}, dat wil zeggen het zal dezelfde zijn als die van AC tot AG, aangezien we hebben laten zien dat hun snelheden zijn als AC tot AB. Na combinatie | {p. 411.} van de verhoudingen zal dus de centrifugale kracht van het voorwerp dat boog BD doorloopt tot de kracht van het voorwerp dat in dezelfde tijd de gelijke boog CF doorloopt, zijn zoals BA tot AG, dat is zoals AC tot AB; wat te bewijzen was. [Propositie IV.]   Als twee gelijke voorwerpen, ronddraaiend op ongelijke cirkelomtrekken, de centrifugale kracht gelijk hebben, zal de omlooptijd op de grootste omtrek tot de omlooptijd op de kleinste in tweedemachts-wortelverhouding zijn van de middellijnen.   Laat gegeven zijn de ongelijke cirkels BE en CF om hetzelfde middelpunt A, waarvan de stralen zijn AB en AC; en op elk van beide draait een voorwerp, zodanig dat de centrifugale kracht voor beide gelijk is; ik zeg dat de tijd waarin cirkelomtrek BE wordt doorlopen, tot de tijd waarin omtrek CF wordt doorlopen, in tweedemachts-wortelverhouding is van AB tot AC, dat wil zeggen zoals BA tot AD die de middelevenredige is tussen AB en AC. Als immers een derde voorwerp wordt aangenomen, gelijk aan die andere twee, dat in dezelfde tijd omtrek CF doorloopt, als waarin het ene de omtrek BE aflegt, zal de centrifugale kracht van het aangenomen voorwerp tot de kracht hiervan zijn als AC tot AB {Prop. I.}. En van de eerste twee voorwerpen worden de centrifugale krachten gelijk gesteld; dus zal de centrifugale kracht van het aangenomen voorwerp ook tot de kracht van het voorwerp dat gesteld wordt op omtrek CF te lopen, zijn zoals AC tot AB; nu zijn centrifugale krachten van voorwerpen die op dezelfde cirkelomtrek bewegen in kwadratische verhouding van de snelheden {Prop. II.}. Dan zal de snelheid van het aangenomen voorwerp tot de snelheid van het voorwerp dat in het begin gesteld is te draaien op omtrek CF, zijn zoals AC tot AD, of als AD tot AB. En de snelheden staan in omgekeerde verhouding met de omlooptijden; dus de omlooptijd | {p. 412.}

[ 275 ]

van het aangenomen voorwerp, waaraan bij hypothese gelijk is de omlooptijd van het voorwerp dat gaat over omtrek BE, zal tot de omlooptijd van het voorwerp waarvan in het begin gezegd is dat het op omtrek CF beweegt, zijn als AB tot AD. Wat te bewijzen was. [Propositie V.]   Als een voorwerp op de omtrek van een cirkel beweegt, met de snelheid die het verkrijgt door te vallen van een hoogte die een vierde deel is van de middellijn, zal het de neiging van het middelpunt weg te gaan gelijk hebben aan zijn zwaarte, dat wil zeggen, het zal even hard trekken aan de draad waardoor het wordt tegengehouden, als wanneer het daaraan is opgehangen 1).   Laat gegeven zijn een cirkel om het middelpunt A met straal AB, evenwijdig aan de horizon, op de omtrek waarvan een voorwerp beweegt met een gelijkmatige beweging, doch met een snelheid zo groot als het zou krijgen door loodrecht te vallen van de hoogte gelijk aan de helft van AB, die we CB noemen; ik zeg dat door de centrifugale kracht even hard zal worden getrokken aan het touw, waarmee het voorwerp wordt tegengehouden, als wanneer het vrij zou zijn opgehangen aan hetzelfde touw.   Laat de raaklijn BD aan de cirkel gelijk zijn aan de straal AB.

[ 277 ]

als we stellen dat de tijd waarin het voorwerp met versnelde beweging over CB valt, wordt voorgesteld door de lijn BD, zal BE zijn | {p. 413.} de tijd van de versnelde beweging over CG. Maar dezelfde BD zal ook de tijd zijn waarin het over die BD zou gaan met een gelijkmatige beweging, en zo snel als bij het lopen op de cirkel; want deze tijd is bij hypothese gelijk aan de tijd van de versnelde beweging over CB. Dus zal BE ook zijn de tijd waarin het over die afstand BE gaat met de snelheid die het heeft van het draaien. Waardoor vaststaat dat in een gelijke tijd de afstand CG wordt afgelegd met de vanuit rust versnelde beweging, en de afstand BE met een gelijkmatige beweging met de snelheid, die het voorwerp lopend op de cirkelomttrek gesteld was te hebben. Verder staat vast dat als het voorwerp wordt losgelaten in B, het met gelijkmatige beweging in E zal aankomen zodra het punt B van de omtrek tot F is gekomen; want de rechte BE is te beschouwen als gelijk aan de boog BF, omdat aangenomen wordt dat BE oneindig klein is. Dus we zullen zeggen dat in het voorwerp een neiging zit om met een natuurlijke (want dit is aangetoond 1)) versnelde beweging weg te gaan van punt B, over de afstand FE, in dezelfde tijd als waarin het met de snelheid van zijn draaiing over de afstand BE zou gaan met een gelijkmatige beweging, dat wil zeggen, in dezelfde tijd waarin het met de vanuit rust versnelde beweging de afstand CG zou doorlopen.

[ 279 ]

en zijn rondgang in eveneens een seconde voltooiend, een centrifugale kracht heeft gelijk aan zijn zwaarte.   Laat gegeven zijn de hoogte AB, waarover een vallend voorwerp daalt vanuit rust in een tijd van bijvoorbeeld een seconde. Laat gelden: zoals een cirkelomtrek is tot zijn middellijn, zo is AB tot de lijn C, en zo is deze tot een derde D. En laat beschreven worden een cirkel EFG met de middellijn gelijk aan die D; ik zeg dat dit de cirkel is die verlangd wordt. Laat namelijk de straal EF in tweeën worden gedeeld in H. Dan zal het voorwerp als het op de cirkel CG loopt met de snelheid die het krijgt bij vallen vanaf de hoogte HF, en met een gelijkmatige beweging, de centrifugale kracht gelijk hebben aan zijn zwaarte {Prop. V.}. En daarom, als we slechts zullen hebben aangetoond dat met de genoemde snelheid de hele cirkelomtrek FG in een seconde doorlopen wordt, zal al vaststaan dat cirkel EFG voldoet aan het voorgestelde. Het staat vast dat het voorwerp bij gelijkmatige beweging en met die snelheid die het gekregen heeft aan het eind van een val over HF, zal gaan over een afstand van tweemaal die HF, in dezelfde tijd waarin het over HF is gevallen. Als het dus met de genoemde verkregen snelheid gelijkmatig beweegt over de omtrek FG, zal de tijd waarin het deze voltooit tot de valtijd over HF zijn zoals omtrek FG tot tweemaal HF of tot EF. En als | {p. 415.} van de grootheden die volgen het dubbele genomen wordt, zal de tijd van de gelijkmatige beweging over omtrek FG tot de dubbele valtijd over HF, dat is tot de valtijd over D (want D is viermaal HF) zijn, zoals omtrek FG tot tweemaal FE of tot D; dat is zoals C tot D (want C moet gelijk zijn aan die omtrek FG), dat is zoals AB tot C. Maar zoals AB tot C, zo is de valtijd over AB, dat is de tijd van een seconde, tot de valtijd over D; aangezien namelijk AB tot D de kwadratische verhouding is van die van AB tot C; dus de genoemde tijd van de gelijkmatige beweging over omtrek FG zal zijn tot de valtijd over D, zoals de tijd van een seconde tot dezelfde valtijd over D. Dan zal de genoemde tijd over omtrek FG gelijk zijn aan de tijd van een seconde. Wat bewezen moest worden.   Daar de berekening 1) leert dat de hoogte waarover een loodrecht vallend voorwerp daalt in een seconde   1)  In plaats van "berekening" had Huygens eerst geschreven "ondervinding". In de kantlijn voegt hij eraan toe: "Ja zelfs de berekening, zoals ik later heb gevonden, nadat de propositie van de loodrechte val tot de val langs een cycloïde of een slingering van de slinger bekend is geworden"; de uitgevers hebben deze opmerking vervangen door een verwijzing (zie p. 281, in de marge) naar Horologium oscillatorium (Parijs 1673). Volgens Prop. XXV van Deel 2 hiervan [zie ook noot 3 op p. 283] zijn enkelvoudige cycloïdale slingeringen van een slinger met lengte l isochroon en worden ze uitgevoerd in de tijd π √(l/g), zodat men g kan berekenen na de duur van een slingering te hebben gemeten. In Deel 4 (Prop. XXVI) zegt Huygens dat men de afstand kan vinden, afgelegd door een vallend lichaam in een bepaalde tijd "als bekend is de lengte van de secondeslinger, zonder experiment, met zeker gevolg."

[ 281 ]

gelijk is aan 15.7½ duim van de Rijnlandse voet {Zie Horol. oscill. p. 155. 1)}, en daar AB tot C is zoals de omtrek tot de middellijn, dat is als 22 tot 7, volgens Archimedes, en ook zo C tot D of tot de middellijn van cirkel FG; zal deze middellijn worden 19 duim 2) ten naaste bij; waarvan de helft is 9 duim, 6 lijn. Dus als een of ander voorwerp in de tijd van een seconde elk van zijn rondgangen voltooit op een omtrek, waarvan de straal is 9½ duim, zal de centrifugale kracht 3) gelijk zijn aan zijn zwaarte. [Lemma I.]   Als een gewicht C op zijn plaats wordt gehouden op een hellend vlak AB door een gewicht D dat vrij hangt, en als het touw CE evenwijdig met de horizon is, zal de zwaarte van D tot die van C zijn zoals de loodlijn BF tot de basis FA. Dit staat in de Mechanica vast. Hieruit volgt: als BF gelijk gesteld wordt aan FA, zal de zwaarte van D gelijk moeten zijn aan die van C. | {p. 416.} [Lemma II.]   Als gelijke gewichten op vlakken die verschillend hellen op hun plaats worden gehouden, tegengehouden langs lijnen die evenwijdig met de horizon zijn, zullen de machten die ze op hun plaats houden tot elkaar zijn zoals de tangensen van de hoeken, waarmee de vlakken hellen ten opzichte van het horizontale vlak. [Propositie VII.] 4)   [Op het kromme 5) oppervlak van een Parabolische conoïde, die een volgens de loodlijn opgerichte as heeft, zullen alle omlopen van een voorwerp, dat omtrekken evenwijdig aan de Horizon doorloopt, of ze nu klein zijn of groot, voltooid worden 6) in gelijke tijden; welke   1)  Volgens Hor. oscill. p. 155 (Deel 4, Prop. XXVI) is ½ g = (14 + 9/12 + 6/144) 'uurvoet' = 355/24 × 881/864 Parijse voet = 355/24 × 881/864 × 144/139 Rijnlandse voet. Berekening geeft ½ g = (15 + 7½/12) Rijnl. voet. In het Ms. [HUG 26, 15v] staat een andere waarde (doorgehaald en onleesbaar) verbeterd in 15 6/10, daarna in 15.7½ duim. Met Rijnl. voet = 0,3139 m geeft dit: g = 9,81 m.   2)  'Uncia' (ons) is hier de Rijnl. duim. Met π = 22/7 komt er: (15 × 12 + 7½) / π² = 18,93.   3)  In het Manuscript: "de centrifugale kracht ervan".   4)  Prop. VII staat niet in het Ms,, evenmin als Prop. XII, XIII, XIV, XV en XVI; maar wel (zonder bewijs) in Hor. osc., p. 159-161 van ed. 1673: nr. 6, 9, 10, 11, 12 en 13; vgl. Aanhangsel III hierna (p. 315). Het bewijs van Prop. VII is van De Volder en Fullenius, evenals die van Prop. XII, XIII, XIV en XV. Vgl. p. 267, n.2.   5)  In Hor. Osc. "holle" in plaats van "kromme".   6)  In Hor. Osc. "peraguntur" i.p.v. "peragentur".

[ 283 ]

tijden elk gelijk zijn aan twee slingeringen van een slinger, waarvan de lengte de helft is van het latus rectum van de genererende Parabool.]   [Laat gegeven zijn een Parabool HDB, waarvan de omwenteling om de as BK, een Parabolische Conoïde maakt. Als op die as wordt genomen BA gelijk aan ¼ van het latus rectum 1), zal de ordinaatsgewijs gelegde AD gelijk zijn aan de helft van het latus rectum. Laat nu gesteld worden dat een lichaam in D om de as wordt rondgevoerd met zodanige snelheid, dat de centrifugale kracht gelijk is aan de zwaarte; welke kracht dan, daar de hoek ADE de helft is van een rechte hoek, het lichaam op zijn plaats zal houden in het punt D {Lemm. I.}. Maar als een lichaam ergens anders draait, zoals in H, met middelpunt K en op een afstand KH, zal de centrifugale kracht, waardoor het in punt H op zijn plaats wordt gehouden, gelijk zijn aan de kracht, waardoor een voorwerp langs de rechte HK, evenwijdig met de Horizon, kan worden vastgehouden op het vlak HF dat raakt aan de Paraboloïde. En deze kracht zal volgens het eerste Lemma zijn tot de kracht van de zwaarte, zoals HG tot GF, of, wegens gelijkvormige driehoeken, aangezien HL loodrecht op HF wordt gesteld, zoals HK tot KL, of zoals HK tot AD, daar volgens de aard van de Parabool | {p. 417.} altijd KL de helft is van het latus rectum. Dus is de centrifugale kracht, waarmee het lichaam door het draaien in H wordt vastgehouden, tot de zwaarte van het lichaam, of tot de centrifugale kracht in D, zoals HK tot DA. Volgens het omgekeerde van de eerste propositie 2) zullen ze daarom hun omtrekken in dezelfde tijd voltooien.   Nu kan de tijd waarin de rondgangen worden afgelegd als volgt bepaald worden. Aangezien we hebben verondersteld dat het lichaam D zodanig draait, dat het de centrifugale kracht gelijk heeft aan de zwaarte, zal het draaien met de snelheid die het zou krijgen door een loodrechte val over de helft van AD {Prop. V.}. Maar met die snelheid zou het in de tijd van dit naar beneden gaan, met een gelijkmatige beweging de lijn DA afleggen. Dus de tijd van een omwenteling is tot de tijd van het naar beneden gaan over de helft van DA, zoals de omtrek van de cirkel tot straal DA. En de tijd van een heel kleine slingering is tot de tijd van een loodrechte val over de helft van de slingerhoogte {Prop XXV. P. 2. Horol. oscil. 3)}, zoals de omtrek van een cirkel tot de middellijn, zodat de tijd van twee heel kleine slingeringen van de slinger DA, is   1)  Als de vergelijking van de parabool is y² = 2px, is 2p het latus rectum.     2)  Zie Prop. I, p. 267.   3)  Prop. XXV van Deel 2 van Horologium oscillatorium (vgl. noot 1 van p. 279): "Op een cycloïde waarvan de as loodrecht is opgericht, en de top omlaag gericht, zijn de daaltijden waarin een voorwerp, losgelaten vanaf welk punt erop dan ook, het onderste punt van de top bereikt, onderling gelijk; en ze hebben tot de tijd van een loodrechte val over de hele as van de cycloïde de verhouding van de halve cirkelomtrek tot de middellijn."   In Prop. VII staat "slingeringen van een slinger"; en in het bewijs hebben de uitgevers het over "heel kleine slingeringen van een slinger". Huygens had waarschijnlijk een cycloïdale slinger op het oog, terwijl de uitgevers spreken over een gewone slinger. Wel komt "heel kleine slingeringen" ook voor in enkele andere van de 'Theoremata' (zie noot 2 van p. 267).   Vergelijk Prop. XXV van Deel 4 van Hor. osc. ("Over een manier om een universele en onveranderlijke maat vast te stellen"), waarin wordt gezegd: "En van heel kleine slingeringen van een slinger die tussen cycloïden hangt, verschillen niet merkbaar heel kleine slingeringen van de enkelvoudige slinger waarvan de lengte hetzelfde is".

[ 285 ]

tot de tijd van een loodrechte val over de helft van hoogte DA, zoals de omtrek van een cirkel tot de straal, dat wil zeggen: zoals de tijd van een hele omwenteling tot de tijd van een loodrechte val over de helft van DA. Dan is de omwentelingstijd op een Parabolische conoïde gelijk aan de tijd, waarin twee slingeringen worden volbracht door een slinger, waarvan de lengte is DA, de helft van het latus rectum van de genererende Parabool. Wat te bewijzen was.] | {p. 418.} [Propositie VIII.]   Als twee voorwerpen, hangend aan ongelijke draden, zo ronddraaien dat ze met de horizon evenwijdige omtrekken doorlopen 1), terwijl het andere uiteinde van de draad onbeweeglijk blijft, en als van de kegels waarvan de draden bij deze beweging het oppervlak beschrijven, de assen of hoogtes gelijk zijn, zullen ook de tijden, waarin elk van beide voorwerpen zijn cirkel doorloopt, gelijk zijn.   Laat de draden AC en AD aan een gemeenschappelijke top zijn vastgebonden, met elk een vastgeknoopt voorwerp, in C en D, die in horizontale cirkels draaien met de stralen BC en BD. Laat verder AB dezelfde as zijn van elk van beide kegels waar de draden AC en AD in hun rondgang omheengaan. Ik zeg dat de omlooptijden onderling gelijk zijn. Laat eerst gesteld worden dat de voorwerpen gelijk zijn; laat DE de loodlijn op AC zijn, en evenzo DF de loodlijn op AD. Dan staat vast dat het de centrifugale kracht van de voorwerpen is die de draden zo schuin uitgestrekt houdt; en daar voorwerp C door zijn zwaarte dezelfde neiging heeft naar beneden te gaan als wanneer het op vlak CE zou gaan liggen; maar de centrifugale kracht (waarmee het weg wil gaan van as AB langs BC) die zwaarteneiging tegengaat; is het noodzakelijk dat de genoemde centrifugale kracht gelijk is aan de macht waardoor voorwerp C op zijn plaats gehouden zou worden op hellend vlak CE, langs lijn BC evenwijdig met de horizon. Om dezelfde reden is het noodzakelijk dat de centrifugale kracht waardoor voorwerp D wordt omhooggehouden, gelijk is aan de macht waardoor ditzelfde voorwerp op zijn plaats gehouden zou worden op vlak DF langs een rechte, eveneens evenwijdig met de horizon. Nu is deze macht tot de vorige, waarvan gezegd is dat hij voorwerp C op zijn plaats houdt, zoals de tangens van hoek BDF tot de tangens van hoek BCE {Lemm. II.}, dat is zoals de tangens van hoek DAB tot de tangens van hoek CAB, dat is zoals DB tot CB; dus zal ook de centrifugale kracht die | {p. 419.} voorwerp D heeft in zijn cirkel, zijn tot de centrifugale kracht van voorwerp C in zijn cirkel, zoals halve middellijn DB tot halve middellijn CB. Zodat uit het omgekeerde van Prop. I 2) volgt dat de omlooptijden gelijk zijn.   1)  In het Manuscript van Huygens [HUG 26, 16v of H.26]: "zo ... dat ze horizontale cirkels beschrijven".   2)  In plaats van "Prop. I" schreef Huygens "6"; in het Manuscipt is dit getal, verwijzend naar § 6 (zie p. 305 hierna), ook geschreven in de marge bij de propositie die de uitgevers hebben genoemd Prop. I. Vergelijk noot 2 van p. 267.

[ 287 ]

Als echter de voorwerpen ongelijk zijn 1), zal deze gelijkheid van de tijden er niettemin blijken te zijn. Want wanneer bijvoorbeeld voorwerp C zwaarder wordt gesteld dan het eerst was, zal het ook een des te grotere macht nodig hebben, naarmate het zwaarder is, om op zijn plaats te worden gehouden op hellend vlak CE langs de lijn evenwijdig met de horizon, en daarom een des te grotere centrifugale kracht vereisen. En om deze te krijgen moet het de cirkel doorlopen in dezelfde tijd als eerst, toen het lichter werd gesteld, zoals blijkt uit wat we hierboven 2) hebben gezegd. Dan staat het voorgestelde vast. [Propositie IX.]   De omlooptijden langs de horizontale cirkels CD en BE zijn, bij dezelfde draaiingshoek CAD, in tweedemachts-wortelverhouding van de draadlengten AC tot AB.   De centrifugale kracht is immers hetzelfde bij elk van zulke omlopen, om dezelfde schuine stand van de draad te houden. En als de genoemde kracht hetzelfde is, dan moet gelden: zoals de kwadraten van de tijden waarin de cirkels worden afgelegd, zo zijn de afstanden vanaf de omloopsas, volgens de omgekeerde IV 3). Dus hier: zoals CF tot BG, dat is zoals AC tot AB, zo zullen de kwadraten van de omlooptijden zijn. [Q.E.D.] | {p. 420.} [Propositie X.]   Als twee willekeurige voorwerpen, hangend aan draden, al draaiend cirkels beschrijven evenwijdig aan de horizon, zullen de omlooptijden zijn in de verhouding van de tweedemachtswortel 4) van de hoogtes van de kegels, waarvan de oppervlakken worden beschreven door de draden.   Laat de draden zijn AC en AD, en laat de daaraan vastgeknoopte voorwerpen C en D horizontale cirkels beschrijven, terwijl de uiteinden van de draden in A onbeweeglijk blijven. En laat C de draad AC trekken volgens het oppervlak van een kegel waarvan AB de as is, D op zijn beurt de draad DA langs het oppervlak van een kegel waarvan AE de as is. Ik zeg dat de omlooptijd van voorwerp C is tot de omlooptijd van voorwerp D in tweedemachts-wortelverhouding is van AB tot AE. We stellen ons namelijk voor dat een ander voorwerp is vastgemaakt aan de draad AF en zijn omloop maakt om de kegel, waarvan de zijde AF is en de as AB. De omlooptijd daarvan is dus gelijk aan de omlooptijd van   1)  In het Manuscript [HUG 26, 17r of H.27]: "Als nu echter ...".   2)  Zie r. 11-13 van p. 267 ["Waaruit we ook opmaken ..."].   3)  I.p.v. "volgens de omgekeerde IV" had Huygens geschreven: "volgens 2", d.w.z. volgens § 2 (zie p. 304 hierna), die overeenkomt met het omgekeerde van Prop. IV. Vergelijk n.2 van p. 285.   4)  In het Manuscript: "subdupla" [i.p.v. "subduplicata"].

[ 289 ]

voorwerp C {Prop. VIII. 1)}. Nu is de omlooptijd van voorwerp F tot de omlooptijd van voorwerp D in tweedemachts-wortelverhouding van AF tot AD {Prop. IX.}, of van AB tot AE. Dus zal ook de omlooptijd van voorwerp C tot de tijd van voorwerp D in tweedemachts-wortelverhouding zijn van AB tot AE. Wat te bewijzen was. [Propositie XI.]   Als een voorwerp, hangend aan een draad met het bovenste eind in rust, met zijn beweging ongelijke cirkels beschrijft, evenwijdig aan de horizon, zullen de omlooptijden over de genoemde cirkels in tweedemachts-wortelverhouding zijn van de sinussen der hoeken, waarmee de draad helt ten opzicht van het horizontale vlak. [Fig. 19.]   Laat de draad AB vastgebonden zijn aan A. En laat een daaraan hangend en horizontaal ronddraaiend voorwerp hem uitstrekken | {p. 421.} eerst langs de rechte AB, en daarna langs de rechte AC; laat aan de horizon evenwijdig worden getrokken BE en CD, die de loodlijn AD ontmoeten in E en D. Omdat AB en AC gelijk zijn, zal dan AE de sinus van hoek ABE weergeven, en AD de sinus van hoek ACD; ik zeg dat nu de omlooptijden langs de cirkels, waarvan de stralen zijn BE en CD, tot elkaar zullen zijn in tweedemachts-wortelverhouding van AE tot AD. Dit blijkt duidelijk uit de voorgaande propositie. [Propositie XII.] 2)   [Als een slinger, in kegelbeweging gebracht, zeer kleine omlopen maakt, heeft elk van de tijden ervan tot de tijd van een loodrechte val vanaf de dubbele hoogte van de slinger, de verhouding van de cirkelomtrek tot de middellijn; en daarom zijn ze gelijk aan de tijd van twee zeer kleine zijwaartse slingeringen van dezelfde slinger.]   [Laat de draad AC zijn vastgebonden aan A [Fig. 20], en laat een daaraan hangend voorwerp al ronddraaiend een horizontale cirkel beschrijven met een straal DC, gelijk aan DA, zodat hoek CAD de helft is van een rechte hoek, dan zal de centrifugale kracht in C gelijk zijn aan de zwaarte van het voorwerp {Lemm. I}, en daarom zal het de omtrek die met straal DC wordt beschreven, doorlopen met de snelheid die het voorwerp zou krijgen door een loodrechte val vanaf een hoogte, die aan de helft van DC of   1)  In het Manuscript: "uit de voorgaande".   2)  Zie over deze propositie en het bewijs ervan noot 4 van p. 281.

[ 291 ]

[Fig. 20.] DA gelijk is {Prop. V.}. Nu is DA tot CA als 1 tot √2, zodat de tijd van een loodrechte val vanaf half DC tot de tijd van een loodrechte val vanaf half CA, welke tijden in wortelverhouding zijn van DC tot CA, zal zijn in de verhouding van 1 tot √√2. Waaruit volgt: de tijd van een loodrechte val vanaf half DC, tot de tijd waarin het valt van dubbel AC, wat het dubbele is van de valtijd vanaf half AC, zal zijn, | {p. 422.} als 1 tot 2√√2, of als een willekeurige straal tot het dubbele van dezelfde straal vermenigvuldigd met √√2.   Nu is de tijd van een loodrechte val vanaf half DC, tot de tijd van een draaiing over de omtrek die met straal DC wordt beschreven, zoals de straal tot de omtrek 1); en de tijd van een draaiing over omtrek DC is tot de tijd van een heel kleine rondgang, in tweedemachts-wortelverhouding van AD tot AC {Prop. X.}. Dientengevolge is de tijd van een loodrechte val vanaf half DC, tot de tijd van een heel kleine rondgang, zoals de straal tot de omtrek vermenigvuldigd met √√2; dus is de tijd van een heel kleine rondgang van de slinger AC tot de tijd van een loodrechte val vanaf de dubbele slingerhoogte, zoals de omtrek vermenigvuldigd met √√2 tot het dubbele van de straal vermenigvuldigd met √√2, of zoals de omtrek tot de middellijn. Daar echter ook de tijd van een heel kleine zijwaartse slingering van slinger AC tot de tijd van een loodrechte val vanaf half AC, of (als van beide het dubbele wordt genomen) de tijd van twee heel kleine zijwaartse slingeringen van slinger AC, tot de tijd van een loodrechte val vanaf tweemaal AC, is zoals de omtrek tot de middellijn 2), zal de tijd van een heel kleine rondgang van slinger AC zijn tot de tijd van een loodrechte val vanaf de dubbele hoogte van slinger AC, zoals de tijd van twee heel kleine zijwaartse slingeringen van slinger AC tot dezelfde tijd van een loodrechte val vanaf tweemaal AC. Dan zal de tijd van een heel kleine rondgang van slinger AC gelijk zijn aan de tijd van twee heel kleine zijwaartse slingeringen van dezelfde slinger AC. Wat te bewijzen was.] | {p. 423.} [Propositie XIII.] 3)   [Als een voorwerp op een cirkelomtrek beweegt, en afzonderlijke omlopen voltooit in de tijd waarin een slinger, die een lengte heeft van de halve middellijn van die omtrek, met een kegelbeweging een heel kleine omloop zou voltooien, of een heel kleine dubbele zijwaartse slingering, zal het een centrifugale kracht hebben gelijk aan zijn zwaarte.]   1)  Omdat volgens de hierboven aangehaalde Prop. V (p. 275) de snelheid verkregen door een val van hoogte ½ CD gelijk is aan de snelheid waarmee voorwerp C zijn omtrek doorloopt en bovendien deze valtijd te vervangen is door de tijd waarin het voorwerp eenparig DC kan doorlopen met de snelheid na deze val.   2)  Vergelijk de zin die begint onderaan p. 283.   3)  Zie over deze propositie en het bewijs ervan noot 4 van p. 281.

[ 293 ]

[Fig. 20.]   [Laat de draad AC [Fig. 20] gelijk zijn aan de straal van de cirkel waarover het voorwerp beweegt, zodat de hoek CAD een halve rechte hoek is; en laat de omlooptijd over CD 1 zijn; dan zal de tijd van een heel kleine omloop van deze slinger zijn √√2 {Prop. XI.}. Hetzelfde is nu bij hypothese de omlooptijd over de cirkelomtrek waarvan de straal AC is; dientengevolge is de omlooptijd over CD tot de omlooptijd over AD, zoals 1 tot √√2; of in tweedemachts-wortelverhouding van CD tot AC, zodat volgens de omgekeerde 4e 1) deze twee voorwerpen, als ze zo rondgaan, de centrifugale kracht gelijk zullen hebben, en daar op CD de centrifugale kracht gelijk is aan de zwaarte 2), zal het ook zo zijn bij draaiing over de cirkel waarvan de straal AC is. Wat te bewijzen was.] [Propositie XIV.] 3)   [Van een willekeurige slinger, in kegelbeweging gebracht, zullen de omlooptijden gelijk zijn aan de tijd van een loodrechte val van een hoogte gelijk aan de slingerdraad, wanneer de hellingshoek ten opzichte van een horizontaal vlak is 2 graden en 54 minuten ten naaste bij. En precies, als de sinus van de genoemde hoek tot de straal is, zoals het in een cirkel ingeschreven vierkant tot het kwadraat van de omtrek ervan.]   [Laat AD = DC [Fig. 20] zijn a, en AE b; een cirkelomtrek tot de straal als c tot r; de tijd van een loodrechte val over | {p. 424.} half CD wordt gesteld als 1, dan zal de valtijd over half AC zijn √√2. Nu is de tijd over half AC tot de tijd over AC, zoals 1 tot √2, dus zal de tijd over AC zijn als √√8. Maar de omlooptijd over CD is tot de valtijd over half CD, zoals c tot r 4). Dus zal gelden: de omlooptijd over CD = c / r. Maar de omlooptijd in C is tot de omlooptijd in een willekeurig punt B, in de tweedemachts-wortelverhouding van AD tot AE, of als √a tot √b 5). Dan zal dus de omlooptijd in B zijn = c/r √b/a; en als nu gesteld wordt dat AE (de sinus van hoek ABE) tot de straal AB is, zoals het in een cirkel ingeschreven vierkant tot het kwadraat van zijn omtrek, zal gelden: zoals b tot a√2, zo is 2 rr tot cc, of: bcc/arr = 2√2, of c/r √b/a = √√8 6); en daar c/r √b/a   1)  Prop. IV, p. 273.     2)  Vergelijk de laatste zin van p. 289.   3)  Zie over deze propositie en het bewijs ervan noot 4 van p. 281.   4)  Vgl. 2e alinea (p. 291) van Prop. XII, bewijs.     5)  Vgl. n. 1 van p. 300 [hier 301].   6)  We hebben "√8" (de Volder en Fullenius) verbeterd in "√√8".

[ 295 ]

de omlooptijd is in B en √√8 de daaltijd over AC, zal deze omlooptijd in B gelijk zijn aan de tijd van een loodrechte val vanaf een hoogte gelijk aan de slingerdraad.   Aangezien nu 2r tot c is als 7 tot 22, zal 4rr tot cc zijn als 49 tot 484, oftewel 2rr tot cc als 49 tot 968. Hiervan zal komen 1): zoals 968 tot 49, zo is a√2 (straal, gelijk aan 100000) tot 5062 (sinus van hoek ABE), dus hoek ABE is 2 gr. 54' ten naaste bij. Wat te bewijzen was.] [Propositie XV.] 2)   [Als twee slingers, met gelijk gewicht, maar ongelijke draadlengte, met een kegelbeweging ronddraaien, en de hoogtes van de kegels zijn gelijk, zullen de krachten waarmee ze hun draden spannen in dezelfde verhouding zijn als de draadlengte 3).]   [Gegeven twee slingers met gelijk gewicht, AB en AC, en verschillende lengte, aan de uiteinden B en C waarvan twee opgehangen gelijke gewichten worden rondgedraaid om de gemeenschappelijke as AD. Ik zeg | {p. 425.} dat de kracht waarmee draad AB wordt gespannen, is tot de kracht waarmee draad AC wordt gespannen, in de verhouding van de draden AB tot AC. Als we immers stellen dat gewicht B in die stand wordt gehouden door een macht in A die aan draad AB trekt, en door een andere macht in G, gelijk aan de centrifugale kracht, die trekt langs de rechte BG, staat volgens de Mechanica vast, als getrokken zijn BH loodrecht op de horizon en HL daarmee evenwijdig: de kracht in A die aan draad AB trekt zal zijn tot de zwaarte van gewicht B, zoals LB tot BH, of als AB tot AD. Evenzo zal de kracht waarmee C zijn draad spant zijn tot de zwaarte van gewicht C, of tot de zwaarte van gewicht B (dat gelijk gesteld is aan dat van C), zoals AC tot AD. Dan zal dus de kracht waarmee bij het ronddraaien de draad AB wordt gespannen, zijn tot de kracht waarmee AC wordt gespannen, zoals AB tot AC. Wat te bewijzen was.] [Propositie XVI.] 4)   [Als een enkelvoudige slinger met de grootste zijwaartse slingering heen en weer gaat, dat is, als hij over een heel cirkelkwadrant daalt,   1)  We hebben "fiat" (d.V en F.) verbeterd in "fiet" ["zal komen" i.p.v. "kome"].   2)  Zie over deze propositie en het bewijs ervan noot 4 van p. 281.   3)  In plaats van "lengte" beter "lengtes".   4)  Zie over deze propositie noot 4 van p. 281. Het bewijs is ontleend aan het Manuscript.

[ 297 ]

zal hij bij het bereiken van het laagste punt van de omtrek met een driemaal zo grote kracht aan zijn draad trekken, als wanneer hij daaraan gewoon zou hangen.]   Als een bol C, aan A vastgebonden met de draad AC, langs een kwadrant van de cirkelomtrek CB naar beneden gaat zal hij, als hij in B is aangekomen, met een driemaal zo grote kracht aan draad AB trekken als wanneer hij met zijn gewone gewicht was opgehangen 1). Ten eerste immers: de snelheid waarmee hij zou doorgaan met bewegen langs de rechte 2) lijn BD, als hij in B de draad zou loslaten, is dezelfde als die welke hij zou hebben in het punt F, wanneer hij loodrecht langs CF was gevallen. En daar zou hij een zo grote snelheid hebben gekregen, dat hij daarmee met een gelijkmatige beweging het dubbele van de afstand van die CF zou afleggen in dezelfde tijd als waarin hij vanuit C naar F is gevallen. Dan heeft de bol dus in B de neiging over de lijn BD te gaan, het dubbele van AB, in dezelfde tijd als waarin hij van A naar B | {p. 426.} zou vallen; natuurlijk afgezien van de kracht van zijn zwaarte, waardoor hij ondertussen ook naar beneden zou gaan en een of andere Parabool zou beschrijven 3).

Laat BGE een Parabool zijn waarvan AB de helft is van het latus rectum, en B de top. Aangezien dus van bol B de verwijderingen van de cirkelomtrek BC, als hij met een gelijkmatige beweging langs de rechte BD gaat, in het begin dichtbij het punt B voor dezelfde te houden zijn als de verwijderingen van de Parabool BGE 4); staat vast dat de centrifugale kracht die de bol in B heeft, alleen ten gevolge van de cirkelbeweging, de neiging is weg te gaan van middelpunt A, of van omtrek BC, met een versnelde beweging volgens de getallen 1, 3, 4, 7, enz. 5) en daarom een dergelijke is als die neiging waarmee lichamen naar beneden trachten te gaan, die we de zwaarte noemen. Nu is die neiging in bol B even groot als in een eraan gelijk lichaam, dat met een versnelde beweging de afstand DE zal afleggen in dezelfde tijd als waarin hij met de gelijkmatige beweging de afstand BD zou afleggen, dat is met een tijd gelijk aan die waarin de bol met een evenzo versnelde beweging zou vallen van A naar B*). Dus omdat DE het dubbele is van BA, is de centrifugale neiging van de bol in B het dubbele van zijn zwaarte. Maar hier komt de andere neiging ten gevolge van de zwaarte er toch nog bij, waarmee bol B (in dezelfde tijd als waarin hij van A naar B   1)  In het Ms.: "als hij in B is aangekomen zal hij harder aan draad AB trekken dan wanneer hij met zijn gewone gewicht was opgehangen. En hoeveel? Driemaal".   2)  In het Ms.: "langs de rechte te bewegen".   3)  In de figuur van het Ms. [HUG 26, 8r of H.9] is deze parabool (BS) aangeduid en Huygens voegt toe: "de kracht van beide neigingen zou ook afgemeten kunnen worden met de lijnen 12, 34, 56, als ook de parabool BS bepaald is". De rechte lijnen 12, 34 en 56 vertrekken uit A en snijden de cirkel en de parabool BS resp. in punten 1, 3, 5 en 2, 4, 6.   4)  De cirkel CHB is de 'osculerende cirkel' van parabool BGE in B.   5)  Vergelijk de tweede alinea van p. 267.   [ *)  Zie Prop. V en Prop. II.]

[ 299 ]

zou vallen) nu ook een even grote afstand met de natuurlijke versnelde beweging naar beneden wil afleggen. Dus met beide neigingen tegelijk wil hij afleggen, met een versnelde beweging volgens 1, 3, 5, 7, een afstand gelijk aan DE en AB samen, dat is het drievoudige van AB; en daarom zal ook de kracht waarmee hij in punt B trekt als hij uit C naar beneden komt, het drievoudige zijn van die ten gevolge van het gewone gewicht van bol B wanneer hij vrij hangt. Wat ook precies overeenstemt met de ondervinding.   Als ik te weten wil komen met welke kracht aan het touw AB wordt getrokken door een langs boog HB naar beneden gaande bol: laat FN gelijk zijn aan de helft van AB, rechthoek BN wordt gemaakt, en HL wordt getrokken 1) evenwijdig met AB. Ik zeg dat de gevraagde trekkracht is tot het gewone gewicht van de hangende bol, zoals HL tot LK. Zodat, als BH een zesde | {p. 427.} deel is van de cirkelomtrek, deze kracht het dubbele zal zijn van dit gewicht; en daarom zal er een dubbele draad nodig zijn om de kracht van dit trekken te verdragen, als een enkele draad van die soort de bol hangend kan houden, enz. [Propositie XVII.] 2)   [Een bol, hangend aan het middelpunt van een cirkel loodrecht op de horizon, kan niet worden rondgedraaid over de omtrek van deze cirkel, als de draad niet het zesvoudige van het aangehangen gewicht kan dragen.]   Laat BCDE een cirkel zijn die loodrecht op de horizon staat, aan het middelpunt A waarvan een bol B is opgehangen. Ik zeg dat om deze te kunnen laten ronddraaien over de omtrek BCDE, nodig is 3) een draad die een aangehangen gewicht kan dragen, zesmaal 4) dat van B.

[ 301 ]

Met deze snelheid in B zal hem altijd, langs welke weg hij ook tot de hoogte D komt, zoveel snelheid overblijven dat hij verder loodrecht, of langs weg dan ook, kan stijgen tot H; dat wil zeggen dat de bol zoveel snelheid over zal houden als hij zou krijgen bij een val van hoogte HD, waarvan we gezegd hebben dat hij deze nodig heeft in D. Verder is de snelheid waarmee hij vanuit B loodrecht tot H kan stijgen, of die hij zou hebben na een val over HB, tot de snelheid | {p. 428.} die hij zou krijgen bij een val over AB, in tweedemachts-wortelverhouding van deze afstanden, dat is van √10 tot 2 1). Nu is in het voorgaande aangetoond dat, als hij ronddraait op de omtrek met de snelheid die hij krijgt bij een val over AB of over boog EB, de centrifugale kracht alleen het dubbele is van het gewone gewicht van de bol. En de snelheid waarmee hij hier op dezelfde omtrek draait, is tot de vorige als √10 tot 2, en de centrifugale kracht daarom in kwadratische verhouding, dat is van 10 tot 4 {Prop. II.}, of van 5 tot 2. Dus zal de centrifugale kracht hier zijn tot de zwaarte van de bol als van 5 tot 1. En bij deze centrifugale kracht, wanneer de bol voorbijgaat in B, moet worden opgeteld de kracht van de zwaarte, waarmee hij naar beneden tracht te gaan, waarvan gezegd is dat de verhouding tot de genoemde centrifugale kracht is als van 1 tot 5. Dus dan zal de totale kracht of trekking die de draad zal ondervinen als de bol in B voorbijgaat, het zesvoudige 2) zijn van de zwaarte van de bol.   Hiermee vind ik: als een aan draad AB gebonden bol wordt losgelaten vanuit C, op dezelfde hoogte als het punt A, en AB wordt zo verdeeld in D, dat DB gelijk is aan 2/5 AB, en als in D een spijker wordt geslagen waartegen de draad komt, als de bol uit C valt; dan pas kan zo de bol om spijker D draaien en een cirkel beschrijven; het kan echter niet als de spijker hoger wordt ingeslagen. Want 3) aangezien de snelheid van de bol in B om een hele cirkel te maken moet zijn tot de snelheid die hij zou krijgen bij een val over DB, zoals √10 tot 2, wat zoëven is aangetoond, zullen om deze reden de hoogtes moeten zijn in kwadratische verhouding hiervan, en wel zoals 10 tot 4, of 5 tot 2, om bij het vallen erover deze snelheden te krijgen. Dan is dus AB tot DB zoals 5 tot 2. E I N D E.   1)  Men zal hebben opgemerkt dat Huygens, in deze periode, in het algemeen schrijft √l1l2 : l1 of l1 : √l1l2 (en niet √l1 : √l2) voor de 'ratio subduplicata' ['gehalveerde verhouding'] van twee lijnen (zie o.a. op p. 273-275 het bewijs van Prop. IV. Zelfs hier, nu het gaat om een getalsmatige verhouding, schrijft hij √10 : 2 (en niet √5 : √2). Volgens Euclides heeft inderdaad de vierkantswortel van een lijn geen betekenis, terwijl de middelevenredige tussen twee lijnen wel iets betekent. Later (zie de eerste regels van p. 549 van T. XIII) bepaalt Huygens de 'ratio subduplicata' echter als √l1 : √l2; de Volder en Fullenius doen het evenzo (zie p. 293, noot 5). Wallis geeft in 1656 (zie p. 479 van T. I) aan de 'ratio subduplicata' de vorm √l1/l2. In de Franse vertaling hebben we soms de voorkeur gegeven aan de formule √l1 : √l2, en soms aan de formule √l1/l2. Voor de de lezer van de twintigste eeuw zijn deze twee interpretaties van de uitdrukking 'ratio subduplicata' overigens bijna gelijkwaardig.   2)  Huygens schrijft: "sexcupla" [i.p.v. "sextupla"].   3)  In plaats van "Nam" [Want] schrijft Huygens "Dem." (Demonstratio).   [ De tekening in het Manuscript (HUG 26, 9r of H.11) laat twee spijkers zien: ook een bij A.]