Chr. Huygens | Oeuvres XVIII | < Horologium oscillatorium

Tweede uurwerk , Theorema's


[ 361 ] (p. 157)

ornament

H E T   S L I N G E R - U U R W E R K

V I J F D E   D E E L.


Bevattende een andere constructie,
afgeleid van de cirkelbeweging van slingers;
&
Theorema's over de Centrifugale Kracht.


ER is ook een andere soort Slingerbeweging behalve die, welke we tot dusver hebben behandeld. Namelijk een zodanige, waarbij de slinger het gewicht laat rondgaan langs de omtrek van een cirkel. Waaruit we ook een andere uitvinding van een uurwerk hebben afgeleid, ongeveer in dezelfde tijd als die eerste; en zeker eveneens gebaseerd op een principe van gelijkmatigheid; maar waarvan het gebruik minder verbreid is, wegens de enigszins eenvoudigere en gemakkelijkere constructie van het andere uurwerk 1). Toch zijn er ook verscheidene van deze soort waarover we nu spreken gebouwd, en niet zonder succes 2); en bij deze is het bijzondere, dat de laatste wijzer, die de seconden aanduidt, met een continue en gelijkmatige beweging rondgaat; terwijl hij bij ons vorige uurwerk, en bij alle andere, als het ware met sprongetjes gaat. Eveneens ook dit, dat de op deze wijze gebouwde automaten bewegen zonder lawaai, en zonder enig geluid; hoewel voor sterrenkundige waarnemingen een geluid, dat elke seconde wordt herhaald, niet zonder nut is.
En ik had wel besloten de beschrijving van deze uurwerken pas uit te geven samen met hetgene dat betrekking heeft op de cirkelbeweging en de Centrifugale Kracht, want zo wil ik deze noemen; over welk onderwerp ik meer te zeggen heb, dan wat ik nu kan behandelen. Maar opdat degenen die zich op deze dingen toeleggen eerder het genot hebben van deze nieuwe en niet nutteloze speculatie, en opdat er niet iets tussenkomt, heb ik anders besloten en ook dit deel bij de overige gevoegd; waarin de vervaardiging van dit toestel kort wordt uiteengezet, en tegelijk Theorema's worden gegeven betreffende de Centrifugale Kracht; terwijl het bewijs is uitgesteld tot een andere tijd {Zie de Opera posthuma van de schrijver, p. 401 e.v.} 3).

Constructie van het tweede Uurwerk.

    Het leek me niet nodig dat ik hier de opstelling van de raderen zou tonen, waaruit het inwendige van het uurwerk bestaat, aangezien die door vakmensen gemakkelijk kan worden ingericht, en op verschillende manieren veranderd;


    1)  Zie p. 242-243 van T. XVI en p. 88-91, 153 en 353 (noot 2) van T. XVII.
    2)  Zie Aanhangsel II bij deel 5 hierna.
    3)  Zie behalve noot 2 van p. 353 van T.XVII ook p. 237-238 van T. XVI. De kanttekening (vergelijk p. 238-239 van T. XVI) is toegevoegd door 's Gravesande.

[ 363 ]   BESCHRIJVING  VAN  EEN  TWEEDE  UURWERK.   (p. 158)

maar het leek me voldoende dat gedeelte uit te leggen, dat op een bepaalde manier de beweging ervan regelt. En van dit gedeelte is hier een figuur afgedrukt [Fig. 118] 1).

    Aangenomen moet worden dat de as DH loodrecht op de horizon is opgericht, en op de twee uiteinden beweegbaar is. Hieraan is bij A een blad vastgemaakt, dat enige breedte heeft, en gebogen is volgens de lijn AB; welke die paraboloïde is waarvan we in Propos. 8 van deel 3 hebben aangetoond, dat door afwikkeling ervan, nadat er een bepaalde rechte mee is verbonden, een parabool wordt beschreven. Deze rechte is hier AE; en de parabool, door afwikkeling van de hele BAE beschreven, wordt weergegeven door de lijn EF. De draad die tegen de kromme BA is gelegd, waarvan het uiterste punt de parabool beschrijft, is BGF. Eraan vastgemaakt is het gewicht F.
Terwijl nu de as DG om zichzelf draait, voert de draad BGF, in een rechte lijn uitgestrekt, het bolletje F mee in het rond, zo dat het met de horizon evenwijdige cirkels doorloopt; die groter of kleiner zullen zijn, naargelang de as DH met een grotere of kleinere kracht wordt aangedreven door de raderen van het uurwerk die ingrijpen op het trommeltje K; maar zo, dat alle cirkels op het oppervlak van een parabolische conoïde worden gehouden. En ook zullen er hierdoor steeds gelijke omlooptijden uitkomen, zoals zal blijken uit wat we hierna over deze beweging zullen zeggen.   (p. 159)

[Fig. 118.]
kegelslinger

    En als we willen dat elke omloop een halve seconde aangeeft, moet het latus rectum van de parabool EF 4½ duim zijn van onze Uurvoet, dat is de helft van de lengte van een slinger, waarvan elke slingering een halve seconde zou duren. En van het latus rectum van de parabool hangt af de grootte van het latus rectum van de paraboloïde AB, dat immers 27/16 van dat eerste omvat; en evenzo de lengte AE, die de helft is van het latus rectum van de parabool. Maar als we verlangen dat elke omloop een seconde bedraagt, moet het viervoudige van de vorige worden genomen, zowel bij elk latus rectum, als bij de lijn AE.
    1)  Vergelijk de figuren van p. 153 van T. XVII [en p. 314 van T. VII].

[ 365 ]   BESCHRIJVING  VAN  EEN  TWEEDE  UURWERK.

    Verder, ook al hebben we de draad BGF tot dusver als een enkele en enkelvoudig aangeduid, het is te weten dat het toch veel beter is dat het bovenste gedeelte dubbel is, en dan naar F samenloopt in een hoek van 20 of 30 graden. Daartoe moet ook de breedte van het blad AB bij B zo groot zijn, als voldoende is voor dit uiteenspreiden van de draden, of het is ook zo te maken dat het zelf in tweeën gespleten is. Op deze wijze wordt immers de cirkelbeweging van het gewicht F zonder enig ander hulpmiddel voortgezet, en ook spant het beide draden die eraan zijn vastgeknoopt in een rechte lijn; wat het niet zou doen als het door slechts een enkele draad werd vastgehouden.
Waarbij evenwel te weten is dat voor de voortzetting van deze cirkelbeweging die kracht vereist is, afkomstig van de raderen van het uurwerk, die worden bewogen door een gewicht, of een andere macht. Deze kracht bereikt namelijk via het trommeltje K de as KH, en onderhoudt met een heel klein zetje de eenmaal gegeven beweging van bol F.

    En opdat dit des te gemakkelijker kan, moet de omwenteling van de as KH heel vrij zijn. Wat op geen enkele manier beter gedaan kan worden, naar bevonden is, dan wanneer hij met zijn onderste gedeelte uit gehard staal bestaat, en een vlak oppervlak van diamant eronder geplaatst krijgt; waarvan elk kleinste stukje hier voldoende is, dat onder een doorboord plaatje is te zetten.

    Overigens zal het mogelijk zijn in plaats van de draad BGF, aan de kant waar deze op de kromme AB gelegd moet worden, een dun kettinkje toe te passen van goud of een ander metaal, waardoor de lengte beter onveranderd behouden zal blijven. En dit hebben we ook geprobeerd bij het eerste uurwerk, waarbij de slinger tussen cycloïden hangt. Maar daar belemmert de voortdurende buiging van het kettinkje, door wrijving van de schakels (ook al is deze zeer klein), het vrij heen en weer gaan van de slinger in niet geringe mate.




[ XVI, 315 ]   OVER  DE  CENTRIFUGALE  KRACHT.


O V E R   D E   C E N T R I F U G A L E   K R A C H T

door cirkelvormige beweging, Theorema's. 1)


I.

ALs twee gelijke voorwerpen in gelijke tijden ongelijke cirkelomtrekken doorlopen, zal de centrifugale kracht op de grootste omtrek zijn tot die op de kleinste, zoals de omtrekken zelf tot elkaar, of hun middellijnen. 2)   (p. 160)

II.

Als twee gelijke voorwerpen met gelijke snelheid op ongelijke cirkelomtrekken bewegen, zullen hun centrifugale krachten omgekeerd evenredig zijn met de middellijnen. 3)

III.

Als twee gelijke voorwerpen op gelijke cirkelomtrekken bewegen, met ongelijke snelheid, maar beide met eenparige beweging, zoals we willen dat in al deze theorema's wordt aangenomen, zal de centrifugale kracht van het snellere zijn tot de kracht van het langzamere, als de kwadratische verhouding van de snelheden. 4)


    1)  Op p. 366-368 van T. XVIII staat alleen de Franse vertaling van de dertien theorema's, aangezien de Latijnse tekst al is gepubliceerd op p. 315-318 van T. XVI [de volgende noten zijn daaruit overgenomen].
    Het is niet mogelijk te zeggen wanneer Huygens deze theorema's opstelde; ze staan alle (soms iets anders geformuleerd) in de verhandeling 'De vi centrifuga' zoals gepubliceerd door de Volder en Fullenius [Opuscula postuma, 1703, Ned.]. Vergelijk de noten 2 van p. 267 [nummering en volgorde zijn van de uitgevers] en 4 van p. 281.
    2)  Zie p. 267, Prop. I; en p. 312, Th. 4.
    3)  Zie p. 271, Prop. III; en p. 312, Th. 2.
    4)  Zie p. 269, Prop. II; en p. 312, Th. 3.   [Deze noten in T. XVI.]

[ XVI, 316 ]   OVER  DE  CENTRIFUGALE  KRACHT.

IV.

Als twee gelijke voorwerpen, ronddraaiend op ongelijke cirkelomtrekken, de centrifugale kracht gelijk hebben, zal de omlooptijd op de grootste cirkelomtrek zijn tot de omlooptijd op de kleinste, als de verhouding van de tweedemachtswortels van de middellijnen. 1)

V.

Als een voorwerp op de omtrek van een cirkel beweegt, met de snelheid die het verkrijgt door te vallen van een hoogte die een vierde deel is van de middellijn, zal het een centrifugale kracht hebben gelijk aan zijn zwaarte; dat wil zeggen, het zal het touw waarmee het in het middelpunt wordt vastgehouden, met dezelfde kracht spannen, als wanneer het eraan is opgehangen. 2)

VI.

Op het holle oppervlak van een parabolische conoïde, die een volgens de loodlijn opgerichte as heeft, zullen alle omlopen van een voorwerp, dat omtrekken evenwijdig aan de horizon doorloopt, of ze nu klein zijn of groot, voltooid worden in gelijke tijden; welke tijden elk gelijk zijn aan de dubbele slingering van een slinger, waarvan de lengte de helft is van het latus rectum van de genererende parabool. 3)

VII.

Als twee voorwerpen, hangend aan ongelijke draden, zo ronddraaien dat ze met de horizon evenwijdige omtrekken doorlopen, terwijl het andere uiteinde van de draad onbeweeglijk blijft, en als van de kegels waarvan de draden bij deze beweging het oppervlak beschrijven de hoogtes gelijk zijn, zullen ook de omwlooptijden gelijk zijn. 4)


    1)  Zie p. 273, Prop. IV; en p. 312, Th. 5.   [Deze noten in T. XVI.]
    2)  Zie p. 275, Prop. V; en p. 312, Th. 1.
    3)  Zie p. 281, Prop. VII (toegevoegd door de uitgevers); en p. 314, Th. 12.
    4)  Zie p. 285, Prop. VIII; en p. 313, Th. 6.

[ XVI, 317 ]   OVER  DE  CENTRIFUGALE  KRACHT.   (p. 161)

VIII.

Als twee voorwerpen, zoals hiervoor, met een kegelbeweging ronddraaien, hangend aan gelijke of ongelijke draden, en van de kegels zijn de hoogtes ongelijk, dan zullen de omwentelingstijden zijn in de verhouding van de tweedemachtswortels van deze hoogtes. 5)

IX.

Als een slinger, in kegelbeweging gebracht, zeer kleine omlopen maakt, heeft elk van de tijden ervan tot de tijd van een loodrechte val vanaf de dubbele hoogte van de slinger, de verhouding van de cirkelomtrek tot de middellijn; en daarom zijn ze gelijk aan de tijd van twee heel kleine zijwaartse slingeringen van dezelfde slinger. 6)

X.

Als een voorwerp op een cirkelomtrek beweegt, en afzonderlijke omlopen voltooit in de tijd waarin een slinger, die een lengte heeft van de halve middellijn van die omtrek, met een kegelbeweging een heel kleine omloop zou voltooien, of een heel kleine dubbele zijwaartse slingering, zal het een centrifugale kracht hebben gelijk aan zijn zwaarte. 7)

XI.

Van een willekeurige slinger, in kegelbeweging gebracht, zullen de omlooptijden gelijk zijn aan de tijd van een loodrechte val van een hoogte gelijk aan de slingerdraad, wanneer de hellingshoek ten opzichte van een horizontaal vlak is 2 graden en 54 minuten ten naaste bij. En precies, als de sinus van de genoemde hoek tot de straal is, zoals het in een cirkel ingeschreven vierkant tot het kwadraat van de omtrek ervan. 8)


    5)  Zie p. 287, Prop. X; en p. 313, Th. 7.   [Deze noten in T. XVI.]
    6)  Zie p. 289, Prop. XII (toegevoegd door de uitgevers); en p. 313, Th. 10.
    7)  Zie p. 291, Prop. XIII (toegevoegd door de uitgevers).
    8)  Zie p. 293, Prop. XIV (toegevoegd door de uitgevers); en p. 313, Th. 11, tweede alinea.

[ XVI, 318 ]   OVER  DE  CENTRIFUGALE  KRACHT.

XII.

Als twee slingers, met gelijk gewicht, maar ongelijke draadlengte, met een kegelbeweging ronddraaien, en de hoogtes van de kegels zijn gelijk, zullen de krachten waarmee ze hun draden spannen in dezelfde verhouding zijn als de draadlengte. 1)

XIII.

Als een enkelvoudige slinger met de grootste zijwaartse slingering heen en weer gaat, dat is, als hij over een heel cirkelkwadrant daalt, zal hij bij het bereiken van het laagste punt van de omtrek met een driemaal zo grote kracht aan zijn draad trekken, als wanneer hij daaraan gewoon zou hangen. 2)


E I N D E.



    1)  Zie p. 295, Prop. XV (toegevoegd door de uitgevers). In plaats van "longitudinis" is te lezen "longitudinum" [i.p.v. 'lengte': 'lengten'].
    2)  Zie p. 295, Prop. XVI.  [Tot zover de noten in T. XVI.  Noot in T. XVIII, p. 368:]  Vergelijk p. 45 van het Voorbericht hiervoor.

    [ Nu kunnen we theorema XIII makkelijk controleren (uit het hoofd):
potentiële energie mgh wordt omgezet in kinetische energie ½ mv²,   de centrifugale kracht is mv²/r,   h = r; de centrifugale kracht in het laagste punt wordt dus 2 mg,  de zwaartekracht is mg, dus de spankracht moet 3 mg zijn.]


    [ De verhandeling 'De vi centrifuga' (Ned.) is door Huygens geschreven en bewerkt vanaf 1659, zie het Voorbericht daarbij.]





Home | Huygens | XVIII | < Het slingeruurwerk, 1673 - deel 5 (top)