Inleiding , opdracht , wiskunde , mechanica , lengtevinding , voorlopers ; edities
[ 29 ]
|
Nymfen van Scheveningen, wonend in reine golven, u die deze aanliggende landen beschermt 1), die genot geeft aan strandwandelaars, bemind door Phoebus, bekoorlijke en wijze geesten, wilt u mij helpen en mijn zang inspireren. Dat daarentegen Pan en zijn lelijke Faunen nooit bij deze plaatsen in de buurt kunnen komen en bezoedelen de blankheid van uw schuimende zee 2). U die beroemd bent tot zelfs boven de hemel, verwaardig u, Huygens, het oor te lenen aan dit gedicht geschreven tot uw eer, de eer van uw vader, en ook van uw broers en van uw hele geslacht |
1) Latijn (manuscript): "Finitimûm tutela". Aangezien de zee het zand aanbrengt dat de duinen vormt, kan men zeggen dat zijzelf de kust en zijn bewoners beschermt. De duinen zijn te zien op de tekening van Scheveningen door Christiaan Huygens waarmee T. XVII begint. 2) Zie noot 6 van p. 31. De woorden "bemind door Phoebus" (Latijn: "Dilectae Phoebo") roepen een beeld op van het zonovergoten strand. |
[ 30 ]
Men vergeve het ons dat we dit Voorbericht beginnen met een vertaling, uit noodzaak niet letterlijk, van het begin van het 'Herdersgedicht Daphnis van Hadrianus Vallius voor Christiaan Huygens van Zuylichem, zoon van Constantijn' dat Huygens overeenkomstig het voornemen van Vallius 2) in zijn werk van 1673 heeft laten drukken 3). Onze voorouders van de zeventiende eeuw genoten meer dan wij van imitaties van de klassieke bucolica 4). Volgens veel commentatoren roemt Vergilius Julius Caesar onder het mom van de held Daphnis; evenzo neemt bij Vallius of van der Wall de figuur van Daphnis meer en meer de trekken van Huygens aan. Het is echter niet alleen bij Vergilius of andere Latijnse schrijvers dat van der Wall inspiratie heeft gezocht: hij noemt ook de dichter Aratus (vol van de wijsheid van Eudoxus en Theophrastus), wiens 'Verschijnselen en hemeltekens', zeer bekend in de zeventiende eeuw, voor het grootste deel zijn gewijd aan het beschrijven van sterrenbeelden 5).
1) Latijn: "praeclara reperta". De uitdrukking 'subliem' lijkt ons niet te sterk. In Siècle de Louis XIV, h. XXXI, spreekt Voltaire van de "sublieme meetkunde" van Huygens: "Aan Huygens heeft men te danken, zo niet de uitvinding van het slingeruurwerk [vgl. noot 4 van p. 13 van T. XVII en p. 60 hierna], dan tenminste de ware principes van de regelmaat van hun beweging, principes die hij afleidde uit een sublieme meetkunde". Viviani spreekt in een brief van juli 1673 (T. VII, p. 286) naar aanleiding van het uurwerk van Huygens van de "sublimiteit van zijn vindingrijkheid". 2) Zie zijn brief van maart 1665, T. V, p. 291. Voor Vallius (van der Wal, Wall, Walle) zie noot 8 van p. 234 van T. II. Huygens stuurde hem in 1654 zijn De circuli magnitudine inventa (T. I, p. 287, noot 4). [ Zie ook Add. p. 698-9: Adrianus van der Walle werd in 1641 in Leiden ingeschreven als student in de rechten. "Mr. Adriaan van der Wal" werd op 25 maart 1684 begraven in de oude gereformeerde kerk in Delft. Zijn bibliotheek, in Delft door Huygens bezocht volgens het begin van zijn Reisjournaal van 1660-1661, werd op 23 oktober en volgende dagen openbaar verkocht in Leiden bij P. vander Meerssche (zie T. VIII, 543, 549, 552). De Catalogus .. bibliothecae .. Adriani vander Walle, Lugd. Bat. 1684 (in Cat.'95, 4to.216) noemt hem "doctor in beide rechten". De bibliotheek bevatte 467 juridische boeken, 950 wiskundige etc., 689 medische, 1284 theologische en 3848 van gemengd onderwerpen. "Hadr. Van der Wal" leverde een kopie (1682) van een verklaring over de uitvinding van de telescoop: T. XIII, p. 591.] 3) We hebben dit gedicht uit 1665 [geschreven ter gelegenheid van de kometen van 1664 en 1665] al gepubliceerd in T. V (p. 292-299), waar ook de correcties te vinden zijn die v.d. Wall in 1673 aanbracht volgens de wens van Huygens (wiens brief we niet hebben, zie het antwoord van v.d. Wall van maart 1673 op p. 257 van T.VII). Van de drie in 1673 ingelaste verzen ter ere van Frankrijk en Lodewijk XIV (zie p. 34 hierna) staat er slechts één in het manuscript van v.d. Wall: het lijkt dus waarschijnlijk dat deze van Huygens zijn. In de vertaling hebben we de verzen 4-5 weggelaten, waar wordt gemeld dat het gedicht grotendeels bestaat uit een vertoog, uitgeproken door de zeeman Ancon. Terwijl de namen Thestylis en Corydon zijn ontleend aan Vergilius, is Ancon misschien een omschrijving van Vallius: het woord 'agkos' betekent vallei. 4) Zie b.v. noot 1 van p. 34. [De Herders-Sangen van Virgilius Maro, 1682; Virgilius Herderszangen, 1859, 5: Daphnis.] 5) De naam Aratos komt niet voor in het gedicht, maar de schrijver heeft het (v. 12) over de "Solensische verdichtsels". Soli was de geboorteplaats van Aratos. [Hugo Grotius, Syntagma Arateorum, 1600 (afbeeldingen bij Germanicus); John Fell, Phainomena kai Diosèmeia, 1672. |
[ 31 ]
Wat ons treft in het beschouwde gedicht — en het is de reden waarom we aan de hier [in het Frans] vertaalde eerste verzen een ereplaats geven — is dat de schrijver bij het zingen van Huygens' lof hem schaart aan de kant van Phoebus Apollo 6) tegenover Pan: dat wil zeggen dat hij hem roemt als een intellectuele held die in de eerste plaats de zuivere wetenschap onderzoekt, wetenschap in de hoogste zin van het woord. 
Aangezien Horologium oscillatorium een van de meesterwerken is van Huygens, is het inderdaad passend te laten uitkomen, zoals we het ook kort hebben gedaan bij andere gelegenheden 7), dat het hoogste doel dat hij zich stelt ten eerste is de rationele studie van de meetkunde — op p. 77 hierna zeer juist genoemd "het uitnemendste deel" van het werk van 1673 — en vervolgens het "door ondervinding en rede" 8) doorgronden van de structuur van het universum. Men kan zeggen dat deze twee studies er eigenlijk één zijn: voor Huygens en zijn tijdgenoten is de overeenstemming van de euclidische meetkunde met de werkelijke ruimte en de objecten erin boven elke verdenking verheven 9). Huygens voelt zich 'kosmotheoros', om het woord te gebruiken dat hij tegen het einde van zijn leven heeft gesmeed. Het is om de structuur van het universum beter te leren kennen dat hij lenzen slijpt, dat hij de loop van lichtstralen in lenzen berekent, dat hij zich erop toelegt uurwerken te vervolmaken. Praktische kwesties hebben hun belang en waarneming is onmisbaar. Het is daarom niet minder waar dat we ook, dat we zelfs vóór alles 10) de ogen van het verstand nodig hebben, zowel voor ontdekkingen als voor uitvindingen; we hebben deze shakespeariaanse uitdrukking aangehaald in noot 14 van p. 343 van T. XVII; we komen haar tegen bij Huygens zelf in 1686 of 1687: op p. 259 van Manuscript F [HUG 1], als hij het heeft over de afgeplatte sferoïdale vorm die de aarde moet hebben ten gevolge van haar rotatie, zegt hij: "Hiernaar heffen de meesten de ogen van het verstand op, pijnlijk en alsof ze omfloerst zijn, ongeveer zoals naar lichtstralen degenen die uit een langdurige duisternis tevoorschijn zijn gekomen". Dit doet niet alleen denken aan Shakespeare, maar vooral aan de vermaarde grot van Plato 11).
6) Apollo is de god van de zon en het woord 'phoibos' betekent rein. 7) B.v. op p. 353 van T. XVII. 8) Regel 28 van p. 197 van T. III ["experientia ac ratione"; iets dergelijks komt voor in Hor. osc., p. 14 (laatste alinea): "cum ratio postulat, tum experientia quoque" (hier op p. 111); zie ook T. III, p. 444, waar Huygens het in het Nederlands zegt]. 9) Vergelijk de eerste alinea van p. 39 hierna. 10) Vergelijk noot 17 van p. 345 van T. XVII. 11) Het is weinig waarschijnlijk dat het hier om een toevallige overeenkomst gaat: Huygens citeert weliswaar nergens Plato of Shakespeare, maar de uitdrukking "het oog van het verstand" komt voor (h. 13) in boek 7 van Plato's 'Politeia', die begint met het beeld van de grot [Engl.: "the mind's eye"]. |
[ 32 ]
|
In zijn opdracht aan Lodewijk XIV — waarvan al sprake was in februari 1665 1) — laat Huygens zijn liefde voor de zuivere wetenschap uitkomen. Terwijl hij tegelijkertijd de nadruk legt op het algemene nut van nauwkeurige uurwerken 2) drukt hij ongetwijfeld een gedachte uit die geschikt is om zijn werk op prijs te laten stellen door de stichters van de Académie des Sciences, maar daarvoor behoeft hij helemaal niet zijn aard te verloochenen: hij zag heel goed de praktische noodzaak om zeelieden te helpen bij de lengtevinding 3). Laten we er ook aan herinneren dat het handwerk, de bouw van instrumenten, hem sedert zijn kindertijd genoegen gaf 4). Het is voor een mens niet mogelijk uitsluitend op de toppen van de Olympus te leven. Door tegelijk interesse te hebben voor zuivere wiskunde, sterrenkunde, natuurkunde en techniek en door de wetenschappen (of kunsten) niet te beschouwen als van elkaar gescheiden door dikke wanden, werd Huygens één van de grondleggers van de theoretische sterrenkunde en van de wiskundige en de toegepaste natuurkunde, en tegelijkertijd bevorderdaar van het dikwijls nauwe contact dat tegenwoordig bestaat tussen wetenschap en techniek. Al in de zestiende en zeventiende eeuw vinden we in de persoon van Jost Bürgi een uurwerkmaker die tevens wiskundige is. Huygens is evenwel een wiskundige die tevens uurwerkmaker is. Zijn uitvindingen van een vrij opgehangen slinger als regelaar 5), de cycloïdale boogjes 6), het verschuifbare gewichtje 7), waarvan de eerste een gelukkige vondst was terwijl de twee andere zuiver wiskundig van aard zijn — ofschoon het idee van een afstelling door verplaatsing van bepaalde gewichten oud was 8) — brachten hem in contact met ambachtslieden en noodzaakten hem met hen om te gaan en daarbij zijn gevoel van overwicht terecht te behouden. Het is beslist niet verbazend dat de erkende meesters van de kunst, in staat uurwerken te bouwen terwijl Huygens alleen maar modellen bouwde 9), en van wie verscheidenen ook vindingrijk waren 10), niet altijd geneigd waren dit overwicht te erkennen.
1) T. V, p. 246. 2) Vergelijk zijn brief van febr. 1665 aan Chapelain (noot 1). 3) T. XVII, p. 8-9. 4) T. XVII, p. 248. 5) T. XVII, p. 9 en noot 4 van p. 13. 6) T. XIV, p. 206, T. XVI, p. 345, T. XVII, p. 95-96. 7) T. XVI, p. 414-433, T. XVII, p. 83 (1e alinea), p. 105-111. 8) T. XVII, p. 28, noot 2. 9) Zie noot 2 van p. 52 van T. XVII, en wat Huygens in 1683 schrijft in Manuscript F [HUG 1] over de "cilindrische slinger met 3 draden" en over de uurwerkmaker van Ceulen; in de 'Additions' wordt verwezen naar p. 532, § 4 [daar naar p. 509]. 10) Vergelijk p. 159 en 182 van T. XVII. |
[ 33 ]
|
Wat we hebben gezegd op p. 8-9 over de relatie tussen Huygens en Thuret laat wel zien hoezeer het waarschijnlijk het was dat deze twee mannen van verdienste er niet altijd in zouden slagen het volledig met elkaar eens te worden 11). Huygens heeft zich erop toegelegd aan het werk van 1673 een monumentaal karakter te geven. We hebben al gesproken 12) over de uiterste zorg die hij besteedde aan het geven van zeer exacte bewijzen, op de manier van Archimedes, van verscheidene theorema's. Zie over dit onderwerp nog de eerste alinea van p. 50 hierna. Het is overigens niet alleen de vorm van zijn bewijzen die ontleend is aan de Griekse wiskundigen. We hebben op p. 369 van T. XVI gezegd, sprekend over de basisformule voor slingerende voorwerpen
dat Huygens deze in Deel 4 van Hor. osc. terecht een prominente plaats geeft. Laten we eraan herinneren dat hij de eerste van deze formules 14) kort voor 10 oktober 1664 15) vond en dat het eveneens in oktober 16) was dat hij vervolgens het theorema opstelde van p. 461 van T. XVI (Prop. XIII van het 4e deel van Hor. osc.) waarvan we op p. 373 van T. XVI hebben gezegd dat men er bovendien een generalisatie van vindt in Hor. osc. (Prop. XVI van deel 4) die hij in 1669 kende 17).
12) T. XVI, p. 349. 13) Waarin l de lengte van de isochrone slinger is, I het traagheidsmoment van het voorwerp ten opzichte van de slingeras, M de massa van het voorwerp en b de afstand van zijn zwaartepunt tot de ophangas. Vergelijk p. 364 van T. XVI, noot 3 ervan over de eerste formule. 14) Zonder echter het teken Σ te gebruiken; noot 3 van p. 372 van T. XVI. 15) T. XVI, p. 462 en 470-472. 16) Zie de regels 4-5 van noot 3 van p. 461 van T. XVI. 17) En waarschijnlijk veel eerder, misschien al in oktober 1664: de mogelijkheid van generalisatie is vrij evident. |
[ 34 ]
|
Wat we niet gezegd hebben in de noten 3 van p. 461 en 3 van p. 462 van T. XVI is: wat Huygens in staat stelde uit de basisformule direct de propositie van p. 461 te halen, was zijn kennis van een theorema van Pappus waarmee hij in 1650 bezig was geweest; zie hierover p. 229 van T. XI. In Hor. osc. vormt dit theorema Prop. XII van deel 4, maar Pappus wordt er niet genoemd. Het is interessant de directe invloed op te merken van de onderzoekingen van de Griekse meetkundigen op de opstelling van de proposities XIII en XIV. Horologium oscillatorium begint (p. 74-81) met de hiervoor genoemde Opdracht aan de koning, waarin Huygens bij dankzegging voor zijn vrijgevigheid (vergelijk noot 5 van p. 4 hiervoor) de gebruikelijke plichtplegingen aan hem richt 1). Zinspelend op zijn geboortegrond en tegelijk op de oorlog in Holland en in het algemeen sprekend over de militaire roem van de regering van Lodewijk XIV, vindt hij zonder af te wijken van de uiterste beleefdheid die de omstandigheden vereisen, de gelegenheid te zeggen dat naar zijn mening de hoogste roem van de regering elders ligt 2). Het is ook de roem van Lodewijk XIV als beschermer van kunsten en wetenschappen die wordt uitgedrukt, met de nodige gezwollenheid, in de drie verzen die door Huygens zijn ingelast (zie noot 3 van p. 30) in het gedicht van Vallius 3):
Vallius heeft dan net gezegd dat de sterrenkunde is beoefend door de Chaldeeërs, Babyloniërs, Grieken, Egyptenaren, Italianen, Arabieren, Spanjaarden en Duitsers — hij had nog kunnen noemen de Polen (Copernicus) en de Denen (Tycho Brahe), maar 1) De Opdracht werd door J. Chapelain goedgekeurd op 4 februari 1673 (T. VII, p. 250). In zijn brief uit Chapelain ook veel lof voor het gedicht van Vallius. 2) Zie enkele opmerkingen van Huygens over de oorlog in Holland van 1672 o.a. p. 144, 181-184 en 191 van T. VII. 3) Na de voorlaatste alinea van p. 296 van T. V. 4) Zie het eind van de voorlaatste alinea van de vijfde pagina van het gedicht van Vallius in de oorspronkelijke uitgave [met 'splendore' i.p.v. 'spendore']. [ Jean Tarde, Borbonia sidera, 1620 en Les astres de Borbon, Paris 1623, 1627.] |
[ 35 ]
|
het is duidelijk dat hij niet de pretentie heeft volledig te zijn. Wat de Duitsers betreft: ".. canit .. Daphnis .. tandem quos consultos Germania misit Astrorum coelique, suae qui sidera terrae" 5), d.w.z. "bezingt ... Daphnis ... tenslotte de sterren- en hemelkundigen die Duitsland heeft gezonden, die de sterren van hun land waren". In deze lijst ontbrak Frankrijk; maar nu Parijs een Observatorium had (vergelijk p. 79 hierna), dat nog niet bestond toen het gedicht werd opgesteld, kon Huygens schrijven:
Naar het voorbeeld van Galilei die de satellieten van Jupiter "sterren van de Medici" noemde, stelde Huygens inderdaad voor 6) de naam "sterren van de Bourbons" te geven aan de satellieten van Saturnus waarvan hij in Den Haag de eerste had ontdekt terwijl de Italiaanse sterrenkundige Cassini — eveneens naar Parijs opgeroepen door vrijgevigheid van de koning, of zo men wil door de grote Colbert, en verbonden aan het Observatorium van Parijs 7) — een tweede had ontdekt tegen het eind van 1671 en weldra daarna een derde. Huygens had trouwens deelgenomen aan de waarnemingen van Cassini 8). 5) Zoals in ed. 1673. Vallius had geschreven (r. 7 van onder op p. 296 van T. V): "suis qui sidera terris", die sterren waren voor hun landen. Deze wijziging wordt niet aangegeven op p. 299 van T. V. 6) Zie p. 258 van T. VII.
8) Zie de noten 11 van p. 115, 6 van p. 117, 1 en 2 van p. 118 van T. XV. 9) Bij A. Colin te Parijs, 1922-1924. |
[ 36 ]
|
Tannery schrijft zeer juist 1): "Het hoofdwerk van Huygens is zijn Horologium oscillatorium, pas in 1673 gepubliceerd; maar zijn ontdekkingen zijn van veel eerder". De rest van de zin: "en waren voor een groot deel meegedeeld aan hetzij de Académie des Sciences, hetzij de Royal Society" moet evenwel met een korreltje zout worden genomen: de stukken van T. XVI en XVII, geschreven in Den Haag voor de oprichting van de Académie des Sciences zijn grotendeels tot nu toe onuitgegeven gebleven en Huygens had maar enkele resultaten zonder bewijzen meegedeeld aan de Royal Society en aan enkele personen in Frankrijk 2). Huygens begon waarschijnlijk pas in september 1669*) met het opstellen van zijn werk, voor of na het zenden van de anagrammen van T. VI 3) aan de Royal Society in het begin van deze maand. Het programma van deel 2 (het is deel B van ons Aanhangsel II bij deel 1) is van de genoemde maand 4), en de stukken die het Aanhangsel bij deel 2 vormen en de Aanhangsels III-V bij deel 4 zijn van januari 1670 5). Hij schijnt dus in 1669 weer het project te hebben opgenomen van 1660 (zie p. 117-118 van T. XVII) waarvan hij in januari 1665 had gezegd het "grotendeels voltooid" te hebben 6). Tegen het eind van 1670 wordt Huygens ziek. Hij werd bezocht door Fr. Vernon die op 25 februari schreef 7) van hem een verzegeld pakket te hebben gekregen dat de oplossing bevatte van de 12 anagrammen van september 1669, d.w.z. van de 12 8) proposities over beweging met hun bewijzen 9). Lodewijk Huygens die zijn broer gezelschap kwam houden stelde in juni 1670 of vroeger G. Mouton 10) op de hoogte van de titel van het boek en van het feit dat het zou verschijnen, volgens de uitdrukking van Mouton, "met de schittering en grootsheid van zijn mooie bewijzen". De opstelling van een deel van de bewijzen van Hor. osc. had kennelijk voor de ziekte plaats gevonden. Er kan inderdaad geen twijfel aan zijn
1) Op p. 414 van deel 6; zijn artikel 'Les sciences en Europe' is er h. 10. 2) Zie o.a. p. 331 en 375 van T. XVI en 241 van T. XVII, evenals de noten 2 van p. 370 van T. XVI en 2 van p. 246 van T. XVII. [ *) T. VI, p. 490: brief aan Estienne (7 sept.), met gedetailleerde tekening van het uurwerk.] 3) T. VI, p. 487-490. 4) Zie de noot bij deel B van het genoemde Aanhangsel. 5) Tenzij Aanhangsel III bij deel 4 al van eind 1669 is (zie noot 1 van de eerste pagina van dit Aanhangsel). 6) T. V, p. 187, ook aangehaald in noot 11 van p. 119 van T. XVII. 7) T. VII, p. 10. 8) Of liever 10, zoals gezegd in noot 17 van p. 10 van T. VII; ofwel 11 door No. 5 tweemaal te tellen; zie p. 487 van T. VI. 9) Van de 11 proposities hebben er 5 betrekking op de centrifugale kracht, waarvan de bewijzen al van 1659 zijn (zie T. XVI), 1 op de cycloïdale beweging, 5 op het slingermiddelpunt, dus op deel 4. 10) Die in april zijn boek aan Huygens had gegeven, genoemd in Prop. XXV van deel 4 van Hor. osc.. Zie over dit boek p. 59 hierna. |
[ 37 ]
|
in het geval van het verzegelde pakket met stukken die pas zijn gepubliceerd in T. XVI 11) aangezien de proposities van de anagrammen nog iets meer bevatten over het "product van afstanden" (T. XVI, p. 373). Ongetwijfeld was het in het huis van zijn vader te Den Haag waar hij verbleef van 9 september 1670 12) tot 12 juni 1671 13) — en misschien in hetzelfde vertrek waar hij de voor 1665 voltooide gedeelten van het werk had opgesteld, zoals hij dit in 1660 voor ogen had, en daarvoor de lange meetkundige bewijzen van de Dioptrica die men in T. XIII vindt — dat Huygens het opstellen van de bewijzen van Hor. osc. voortzette of beëindigde. Gedurende dit werk kan hij dezelfde indruk hebben gehad als in 1663, toen hij in een brief aan J. de Witt (T. IV, p. 311) zei "verbaasd" te zijn "dat wat ik in bijna een moment van nadenken had kunnen begrijpen en afzonderlijk nagaan, zoveel woorden nodig heeft om duidelijk te worden voor iemand die het leest". Op 9 maart 1672 14) is er in een brief van hem al sprake van "ons drukwerk af te maken", hoewel de toestemming om te drukken (zie p. 84 hierna) pas van 30 september 1672 is. Laten we eraan toevoegen dat Huygens het eerste gedrukte vel kort voor deze datum ontving (T. VII, p. 229) en dat het drukken werd beëindigd voor mei 1673 (T. VII, p. 269). In T. XVII hebben we gezegd 15) dat het mogelijk is dat een zo exact mogelijk bewijs van het tautochronisme van de cycloïde er al in 1664 was. Hier past de volgende opmerking: hoeveel moeite Huygens zich ook heeft gegeven om zijn bewijzen onweerlegbaar te maken, dat van het tautochronisme van de cycloïde, of liever één van die met betrekking tot de beweging van een punt met zwaarte langs een cycloïdale of andere stoffelijke kromme in een vertikaal vlak, werd door Newton toch als onvoldoende beoordeeld; zie p. 326-327 van T. VII, waar Newton kritiek heeft op de zin "daar gesteld wordt dat de knik bij B de beweging niets in de weg legt" van r. 35 van p. 145 hierna. De reden waarom deze veronderstelling niet is genoemd onder de basishypothesen van Deel 2 is ongetwijfeld dat Huygens geloofde
11) Het pakket bevatte ongetwijfeld het Manuscript 'De vi centrifuga' [HUG 26]. Misschien ook kladbladen die (later?) in Manuscript B [HUG 4] (T. XVI, p. 374, noot 3) zijn geplakt. 12) T. VII, p. 37, noot 9. 13) T. VII, p. 78, noot 1. 14) T. VII, p. 152. 15) Noot 2 van p. 139. |
[ 38 ]
|
dat deze veronderstelling in werkelijkheid slechts waar is (dit is ook de mening die Newton hem toeschrijft) in het grensgeval waarin de gebroken lijn een kromme wordt. In de basishypothesen had hij ongetwijfeld van deze overtuiging melding kunnen maken; maar was hij in dat geval niet verplicht geweest er ook te spreken over de hypothese van volmaakte stijfheid van stoffelijke krommen die niet vervormen door de beweging van het voorwerp, en had hij dan niet moeten uitweiden over de mogelijkheid om de werkelijke beweging van een klein voorwerp min of meer gelijk te stellen aan die van het punt met zwaarte zonder afmetingen dat het voorwerp is in alle theorema's van Deel 2? Dit soort overwegingen hadden hem vrij ver weggevoerd zonder bij te dragen aan de helderheid van de uiteenzetting, naar het ons lijkt. Toch verdient de opmerking van Newton zeker onze aandacht: ze laat ons goed zien dat een rationele mechanica volmaakt in overeenstemming met de waarneming een hersenschim is. Om onze theorieën van de wiskundige fysica te kunnen toepassen op wat ons de objectieve werkelijkheid lijkt, is het noodzakelijk deze laatste te idealiseren; vergelijk de eerste alinea van p. 256/257 van T. XVI en p. 241 van T. XVII. In Deel 4 komt men eveneens een zin tegen die tot nadenken stemt; Huygens zegt er (Hypoth. II) dat een materiële slinger gelijke bogen doorloopt bij stijgen en dalen en hij voegt eraan toe: "Voor de enkelvoudige slinger is dit bewezen in prop. 9 van 'Over het dalen van wat zwaarte heeft'. En dat ook voor de samengestelde hetzelfde is aan te houden maakt de ondervinding duidelijk". De propositie berust dus op bepaalde principes (de hypothesen van Deel 2) voor de enkelvoudige slinger die een verzinsel is, maar voor de samengestelde slinger, de enige die bestaat, is ze onbewijsbaar en rechtstreeks uit de ondervinding gehaald. Men zou zich kunnen afvragen wat onder deze omstandigheden de reden van bestaan is van het bewijs dat gegeven is voor de enkelvoudige slinger. Laten we evenwel oppassen dat we het werk van Huygens hier niet bekritiseren. We kunnen er zeker van zijn dat hij op deze plaats zichzelf heeft bekritiseerd 1): hij zou ongetwijfeld graag een bewijs hebben gegeven, gebaseerd op evidente hypothesen, van de omkeerbaarheid van beweging van de samengestelde slinger, en het is met tegenzin dat hij zijn toevlucht moest nemen tot de rechtstreekse ondervinding. Overigens is er hier, ondanks zijn wens het aandeel van de zuivere rede zo groot mogelijk te maken 2), geen echte tegenstrijdigheid: de hypothesen van Deel 2, even goed als de
1) De keuze van hypothesen was voor Huygens blijkbaar een zaak van groot belang; zie voor die van de hypothesen van de verhandeling 'Over de beweging van voorwerpen door stoot' de noten 5 van p. 94, 2 en 7 van p. 96, 5 van p. 124 en 5 van p. 221 van T. XVI. 2) Vergelijk noot 1 van p. 279 van T. XVI, waar we aanhaalden de natuurlijk overdreven uitdrukking "zonder experiment" van Prop. XXVI van Deel 4. |
[ 39 ]
|
genoemde hypothese van Deel 4, zijn blijkbaar afkomstig uit de ondervinding, of zo men wil erdoor ingegeven. Wat betreft het geheel meetkundige Deel 3, dit wordt door geen enkele hypothese voorafgegaan: zie wat we hebben gezegd op p. 31 over de als zeker beschouwde overeenstemming van de euclidische meetkunde met de werkelijke ruimte en de objecten die zich daarin bevinden. De andere hypothese, de eerste, van Deel 4 is het beroemde principe — natuurlijk ook ontleend aan de ondervinding — dat door de spontane beweging van een verzameling voorwerpen die vanuit rust vertrekken, hun gemeenschappelijk zwaartepunt niet kan stijgen tot een hoogte boven die welke het in het begin had. Op dit principe zijn we in de vorige delen voldoende ingegaan 3); toch zullen we er verder in dit deel op terug moeten komen naar aanleiding van de 'Controverse' die zich later (en zelfs al voor 1673) over dit onderwerp ontwikkelde. Over deze hypothese van Deel 4 moeten we overigens nog opmerken dat Huygens al in prop. VI van Deel 2 aanneemt dat het zwaartepunt van een voorwerp niet spontaan omhoog kan gaan, maar zonder deze hypothese te hebben uitgesproken aan het begin van Deel 2. Het lijkt ons in het geheel niet nuttig hier een systematische samenvatting te geven van de verhandeling van Huygens, na alles wat we hebben gezegd in T. XIV-XVII. We beperken ons ertoe de aandacht te vestigen op enige bijzonder kwesties. Zuiver wiskundige kwestiesDe drie grote problemen van de oudheid, de verdubbeling van de kubus, de driedeling van de hoek, en de kwadratuur van de cirkel, hebben Huygens sedert zijn jeugd geïnteresseerd 4). Hij is nooit overtuigd geweest van de onmogelijkheid van de kwadratuur van de cirkel en heeft altijd gehoopt dat men deze tenslotte zou vinden 5). In Hor. osc.
3) Zie o.a. p. 21, 56-57 (en 597), 332 (noot 1) en 357-360 van T. XVI en 243 (noot 7) van T. XVII. 4) Zie over dit onderwerp T. XI, XII en XIV. 5) Zie de eerste alinea van p. 398 van T. VI (polemiek van 1669 met J. Gregory), en het begin van de brief van Huygens aan Leibniz van nov. 1674 (T. VII, p. 393). Zie ook de mening van Leibniz (1691) op p. 84 van T. X, evenals noot 1 van p. 33 van het artikel van F. Schuh, ook aangehaald op p. 174 van T. XII: 'Sur quelques formules approximatives pour la circonférence du cercle et sur la cyclométrie de Huygens' (Archives Néerl. 1914). |
[ 40 ]
|
(prop. IX van deel 3) komt men enkele theorema's tegen over de kwadratuur van conoïden en sferoïden die Huygens kon vaststellen als gevolg van zijn onderzoekingen over de kwadratuur van de cirkel; zie de brief van de Sluse van december 1657 aangehaald op p. 211 hierna en die van Huygens aan de Sluse van februari 1658 1). We voegen er nog even aan toe dat het bewijs van deze theorema's door Huygens hier niet is gepubliceerd en ook niet elders; vergelijk de tweede alinea van p. 33 hiervoor. We hebben de bewijzen van Huygens gepubliceerd in T. XIV, waarnaar we de lezer hier, zoals in andere analoge gevallen, in de noten verwijzen. In Hor. osc. geeft Huygens geen uitdrukking meer aan de vage hoop (zie p. 536-539 van T. XVI) dat het onderzoek van de slingermiddelpunten zal kunnen leiden tot de kwadratuur van de cirkel. Vergelijk noot 2 van p. 56 hierna. B. Evoluten en evolventen*). Op p. 105 hierna stelt Huygens de vraag of er behalve de cycloïde nog andere krommen bestaan waarbij men door afwikkeling eenzelfde soort kromme vindt, bij geschikte keuze van de draadlengte vanaf een gegeven punt van de eerste kromme. Tegen eind oktober 1678 ontdekte 2) een zekere Vaumesle (die Hor. osc. had gelezen) "dat door evolutie van de circulaire cycloïde [d.w.z. van de cardioïde, m.a.w. van de epicycloïde die ontstaat in het geval dat de voortbrengende cirkel gelijk is aan de onbeweeglijke cirkel] wordt beschreven een andere circulaire cycloïde driemaal zo groot als de eerste". Dit gaf Huygens aanleiding te bewijzen, voor het eind van hetzelfde jaar, dat door evolutie van een willekeurige epicycloïde een gelijkvormige epicycloïde is te verkrijgen. Zie § 2 en 3 van Aanhangsel III bij deel 3; het is een stuk dat op 3 december 1678 is voorgelezen in de Académie des Sciences en dat ontbreekt in de Registers van de Academie. Jacob Bernoulli publiceerde in mei 1692 3) de propositie dat de logaritmische spiraal dezelfde eigenschap heeft en zelfs een gelijke spiraal kan voortbrengen. Enkele tientallen jaren later werd de kwestie opnieuw opgenomen door Jac. Hermann 4) en door G.W. Krafft die aantoonde, in zijn
1) T. II, p. 134. Vergelijk p. 200 van T. XIV.
[ *) "Langs een kromme a, de 'evoluut', is een koord gespannen, dat er geleidelijk af wordt gewikkeld. Punt P op dat koord beschrijft dan een kromme b, een 'evolvent' van a." In: Christiaan Huygens, 1629-1695 (p. 29), Museum Boerhaave, 2000. Voorbeeld: als garen wordt afgewikkeld van een stilstaand klosje is a een cirkel en b een spiraal. Andere namen: a is de ontwondene, b de ontwindende, in P. van Musschenbroek, Beginselen der natuurkunde (1736), p. 210 en Beginsels ... (1739), p. 207 ("Ontwonde"; fig. 3 in Tab. VIII). Engels: evolute en involute.] 2) T. VIII, p. 117. 3) Zie noot 16 van p. 119 van T. X. Hij zegt (p. 210 van ['Linae cycloidalis, evolutae ...' in] de Acta Eruditorum van 1692) over de eigenschap "door zijn evolutie zichzelf te beschrijven" van de logaritmische spiraal: "wat door mijn broer vroeger ook al is opgemerkt". Men vindt inderdaad hetzelfde op p. 459 van deel 3 van de Opera omnia van Johann Bernoulli, genoemd in noot 7 van p. 43 hierna. 4) Niet uitgegeven werk, aangehaald door G.W. Krafft. |
[ 41 ]
|
artikel van 1727, 'Krommen die afgewikkeld zichzelf voortbrengen' 5), dat de cycloïde en de logaritmische spiraal met een constante hoek van 45° de enige lijnen zijn die gelijke lijnen voortbrengen, terwijl gelijkvormige lijnen alleen kunnen voortkomen uit evolutie van andere logaritmische spiralen en van epi- of hypocycloïden 6). Hij zegt ten onrechte dat het Tschirnhaus was die zich met deze laatste lijnen voor het eerst bezighield (volgens het artikel 'Inventa nova ...' in de Acta Erud. van 1682). Vergelijk het eind van § 1 van genoemd Aanhangsel III. Zie over de relatie van Huygens met Tschirnhaus p. 381 van T. VIII en p. 499 en 511 van T. IX. C. Kromtestraal. Men heeft opgemerkt dat Huygens bij het opstellen van de theorie van evoluten niets zegt over kromming*). Cantor beweert "dat Huygens niet dacht aan krommingsverhoudingen" 7). Weliswaar merkt hij niet op — evenmin als Apollonius in het vijfde boek van zijn "Conica" 8) — dat het snijpunt van twee oneindig dichtbij elkaar liggende normalen het middelpunt is van een kromtecirkel, maar
5) 'De lineis curvis quae evolutae ipse se generant', p. 216-230 van de Commentarii Ac. Sc. Imp. Petrop., T. 2 ad annum 1727, Petropoli Typis Acad. 1729. 6) Na hem behandelde L. Euler hetzelfde onderwerp in zijn 'Investigatio curvarum quae evolutae sui similes producunt', p. 3-52 van de Comm. Ac. Sc. Imp. Petrop., T. XII ad annum 1740, Petr. 1750. Hij generaliseert de kwestie in een tweede artikel van 1775: 'Investigatio curvarum quae similes sint suis evolutis vel primis, vel secundis, vel tertiis, vel adeo ordinis cuiuscunque', p. 75-116 van de Noca Acta Ac. Sc. Imp. Petrop., T. I (Math.), Petr. 1787. [ *) Voor een eenvoudige inleiding zie: 'Hoe krom is een kromme?', in Pythagoras 8-2 (1968-69), p. 39.] 7) M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, III, p. 177 (2e ed. Leipzig, Teubner, 1901). 8) De boeken V, VI en VII van de Conica, waarvan het vijfde gaat over normalen op kegelsneden, werden voor het eerst gepubliceerd in 1661 door Borelli en Abraham Ecchellensis, nadat Borelli in 1658 in Florence de Arabische tekst had teruggevonden (T. II, p. 226, 252). Voor details over dit manuscript zie Correspondance du P. Marin Mersenne (noot 2 van p. 52 hierna). Al lang voor Borelli had Golius hetzelfde werk ondernomen met een andere Arabische tekst maar blijkbaar zonder het af te kunnen maken; Huygens wist het al sinds 1651 (T. I, p. 161) en kennelijk al veel eerder, daar zijn vader er melding van maakt in een brief aan Mersenne (T. II, p. 555) en daar deze laatste erover spreekt op p. 274 van Universae geometriae mixtaeque mathematicae synopsis van 1644; maar niets wijst erop dat hij het manuscript of de vertaling van Golius heeft gezien. Toch past hier de vermelding dat Golius professor Arabisch en wiskunde was aan de universiteit van Leiden toen Huygens er studeerde, en hij kan in deze tijd heel goed met hem over dit onderwerp hebben gesproken (r. 8 van beneden op p. 161 van T. I), temeer aangezien zijn vader Golius al lang kende (zie b.v. p. 549 van T. XVII). We herinneren eraan dat Huygens' evolutentheorie van eind 1659 is (T. XVII, p. 147, noot 2). [ Add. p. 699: zie nog over Apollonius, Golius en Huygens noot 2 van p. 393 — daar: T. III, p. 501.] |
[ 42 ]
|
het begrip kromming was hem geenszins vreemd. Op p. 17-18 van T. XVII is te zien dat alvorens de ware vorm te hebben gevonden van de boogjes van de slinger — en van het maken van deze boogjes is de theorie van evoluten afkomstig 1) — hij in 1657 althans in theorie deze boogjes of "kromme plaatjes" 2) samenstelde uit gedeelten van een cirkelomtrek. Trouwens, zoals we hebben opgemerkt in noot 2 van p. 288 van T. XVII, al in 1654 (toen hij theoretisch bezig was met het slijpen van een elliptische lens) beschouwde hij als een echt krommingsmiddelpunt het punt waar de oneindig dichtbij de rotatie-as liggende normalen deze as snijden, ook al gebruikte hij de term niet 3). In deel B (van 1670) van ons Aanhangsel bij deel 2 van Hor. osc. bepaalt Huygens het verband dat in een bijzonder geval bestaat tussen twee kromtestralen, hier ook zonder deze term te gebruiken. In juni 1686 publiceerde Leibniz in de Acta Eruditorum 4) zijn 'Nieuwe overdenking over de aard van de hoek van contact en osculatie': hij spreekt er van de osculerende cirkel. Zoals Kepler (noot 3) en Huygens in 1654 — hij citeert overigens noch de een noch de ander — laat hij zich min of meer inspireren door de "praktijk van de catoptrica en dioptrica". Leibniz verbleef van 1672 tot 1676 in Parijs en Huygens had toen grote invloed op hem: zie noot 12 van p. 244 van T. VII, waar Leibniz o.a. zegt over Hor. osc. dat hij van Huygens had gekregen: "dit is voor mij het begin geweest van de meer verzorgde meetkunde, of het gunstige moment" 5). In maart 1691 in een stuk dat aan Leibniz is gestuurd 6)
1) T. XVII, p. 144, noot 1. Vergelijk wat Huygens zegt aan het eind van prop. 6 van deel 3 van Hor. osc. over het "oppervlak gebogen volgens een cycloïde". 2) T. XVII, p. 11, r. 6. 3) Huygens kan in 1654 (of eerder) gekend hebben Ad Vitellionem paralipomena van Kepler, waarin deze (prop. 20, h. 3) [p. 75-76] in een analoog geval de uitdrukking "mate van kromming" gebruikt; bij het beschouwen van een parabool heeft hij het over de "cirkel die de mate van kromming voortzet" in een gegeven punt van de kromme. 4) ['Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi', p. 289.] T. X, p. 156. [Osculating circle.] 5) Leibniz' overwegingen van 1686 over de osculerende cirkel missen evenwel exactheid en zijn zelfs beslist verkeerd: hij zegt in het algemeen: "Osculerende cirkels zijn te vinden met vier gelijke wortels, of met twee samenvallende contacten". Jacob Bernoulli wees deze fout aan in zijn artikel van maart 1692 in de Acta eruditorum [p. 110], 'Additamentum ad solutionem curvae causticae fratris Joannis Bernoulli, una cum meditatione de natura evolutarum, & variis osculationum generibus'. Hij zegt daar (p. 116): "We hebben gezien ... dat bij een raking van de eerste graad slechts drie snijpunten samenvallen, niet twee contacten, die gelijkwaardig zijn met vier snijpunten". Leibniz erkende zijn fout in het artikel van september 1692 [p. 440]: 'Generalia de natura linearum, anguloque contactus & osculi ...'. In deze artikelen wordt Huygens vaak genoemd. Bernoulli zegt b.v. op p. 110 dat ook volgens Leibniz "Huygens als eerste de aandacht erop heeft gevestigd, dat de rakingsmiddelpunten van raaklijnen aan krommen voortdurend vallen op die lijnen ... door evolutie waarvan ze worden beschreven". 6) T. X, p. 59. |
[ 43 ]
|
gebruikt Huygens de uitdrukking 'kromtestraal' die hij naar het schijnt niet aan een andere schrijver ontleent. Dezelfde uitdrukking is te vinden in zijn artikel over de kettinglijn van mei 1691 gepubliceerd in de aflevering van juni 1691 van de Acta eruditorum [p. 281]. Zoals zijn broer (noot 5) legt Johann Bernoulli in 1691 of 1692 getuigenis af ten gunste van Huygens 7). In de postume verhandeling 'Methodus fluxionum et serierum infinitarum' spreekt Newton over de 'kromtestraal' en over het 'krommingsmiddelpunt'. Volgens de brieven van december 1671 van J. Collins aan G. A. Borelli en aan F. Vernon 8) was deze verhandeling al in 1671 9) klaar voor de pers, maar ze moet later door de auteur zijn omgewerkt daar, aangezien Cantor opmerkt 10), er proposities in staan die zo sterk doen denken aan bepaalde gedeelten van Hor. osc. dat men moet toegeven dat "Newton deze plaats van de Methodus fluxionum pas heeft geschreven nadat hij Horologium oscillatorium had gelezen" 11). Trouwens, in de twee genoemde brieven geeft Collins veel details over de inhoud van de verhandeling, maar hij zegt niets over kromming of over afwikkeling van krommen, behalve dan dat hij Newton heeft aangespoord om zijn werk spoedig te publiceren aangezien "de heer Huygens al een verhandeling over Dioptrica en over Evolutie van krommen voorbereidt", wat hij
8) P. 81 van ed. 1856 door J.B. Biot en F. Lefort (Paris) van Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de Analysi promota. Ook ed. London 1722 is geraadpleegd; de eerste is van 1712. 9) De verhandeling verscheen in 1736 in het Engels (The method of fluxions and infinite series with its application to the geometry of curved lines, ed. J. Colson, London); geraadpleegd is de Latijnse editie van 1744 (Is. Newtoni .. Opuscula mathematica, philosophica et philologica ... ed. Joh. Castillon, Laus. & Gen.). 10) Vorl. üb. Gesch. d. Math. III, 1901, p. 178. 11) Men vindt op p. 104 van de Opuscula (noot 9) Probl. V: 'De mate van kromming bepalen die een gegeven kromme heeft in een gegeven punt'. Op p. 113 is in Coroll. IV van Exempl. IV [fig.] sprake van een slingerend gewicht opgehangen tussen "omgekeerde trochoïden" dat zich dientengevolge beweegt "op de omtrek van de laagste trochoïde" [d.i. cycloïde], wat duidelijk is ontleend aan Hor. osc.. |
[ 44 ]
|
waarschijnlijk had vernomen van Vernon zelf (zie p. 36 hiervoor). In zijn brief van 24 oktober 1676 aan Leibniz 1) zegt Newton over deze zelfde verhandeling: "doch ik had deze verhandeling van mij niet geheel en al voltooid, toen ik afzag [hij zegt niet wanneer] van wat ik me had voorgenomen; en tot op heden ben ik er niet toe gekomen er iets aan toe te voegen". Het is mogelijk dat Newton — na de aansporing van Collins en alvorens Hor. osc. te hebben ontvangen, en ervan op de hoogte dat Huygens zou handelen "over de Evolutie van krommen" — al in 1672 iets heeft toegevoegd aan zijn verhandeling, aangezien hij in zijn brief van 10 december 1672 aan Collins 2) zegt dat zijn methode niet alleen dient om raaklijnen te trekken, maar ook "ter oplossing van andere meer verborgen soorten problemen over kromming [wij cursiveren], oppervlakten, lengten, zwaartepunten van krommen, etc." (de drie laatste onderwerpen waren al genoemd door Collins in zijn brieven van dec. 1671) en dat "ik deze methode heb vervlochten met die andere, waarmee ik de interpretatie van vergelijkingen begin, door ze te herleiden tot oneindige reeksen". We weten dus niet in welk tijdvak Newton voor het eerst de uitdrukking 'kromtestraal' heeft gebruikt 3). Zoals in onze uitgave van de verhandeling over de Centrifugale kracht (T. XVI) onthouden we ons in die van Hor. osc. in het algemeen van noten die theorema's van Huygens vertalen in meer moderne formules. Noten van deze aard zijn te vinden in de Duitse uitgave van 1913 4). Toch hebben we in een noot bij Prop. XI van deel 3 aangegeven dat de meetkundige redeneringen van Huygens leiden tot de algemene formule voor de kromtestraal. 1) Commercium epistolicum J. Collins, ed. 1856, p. 127. 2) Zelfde werk, p. 84. 3) In de Lectiones opticae ... 1669, 1670 & 1671 ..., London 1729 [Engl. 1728], herdrukt door J. Castillon in het 2e deel van Opuscula (noot 9 hiervoor) spreekt Newton (Lemma IX, p. 164) over "Bij een willekeurige gegeven kromme het samentreffen van de as met de meest nabije loodlijn te bepalen" [Engl. p. 179, fig. 56], maar zonder de term 'kromtestraal' te gebruiken, zoals men zou kunnen denken op grond van het 'Voorwoord van de uitgever' in deel 1 [p. IX] van de Opuscula. [ Zie: Michael Nauenberg, 'Huygens and Newton on curvature and its applications to dynamics', in De zeventiende eeuw 12, 1996.] 4) Chr. Huygens, Die Pendeluhr, A. Heckscher en A. v. Oettingen, Ostwalds Klassiker, Leipzig 1913.
Theoretische mechanicaIn Hor. osc. onthoudt Huygens zich van elke hypothese over de oorzaak van zwaarte waarover hij had gehandeld in 1659 en 1668 5); zie
5) In 1668 had in de Académie des Sciences volgens de Registers een reeks bijeenkomsten over de aard van de zwaarte plaats gevonden (vgl. noot 8 van p. 277 van T. XVII); Huygens had er de theorie (of liever zijn theorie) van de wervels verdedigd. Verscheidene andere leden keurden dit soort hypotheses niet goed. Huygens publiceerde pas in 1690 zijn Discours de la cause de la pesanteur [Ned.] van 1668, zoals ook vermeld op p. 328 van T. XVI. |
[ 45 ]
|
over de beschouwingen van 1658 p. 244 en 276-277 van T. XVII. Hij neemt er genoegen mee te spreken (Hyp. II van deel 2) over de "werking van de zwaarte, waar die ook vandaan komt", zich daarmee plaatsend op het fenomenologische gezichtspunt van Galilei. Vergelijk trouwens noot 4 van p. 277 van T. XVII en merk op dat de berekening van de snelheid √gr (noot 7 en 8 van dezelfde pagina) van een bewegend voorwerp dat een omtrek beschrijft, concentrisch met een grote cirkel van de aarde, onafhankelijk is van elke hypothese over de aard van de zwaarte. Huygens kende al in 1659 de absolute grootte van de centrifugale kracht. Verscheidene van zijn proposities over deze kracht, b.v. de dertiende en laatste, waarmee Hor. osc. eindigt, laten goed zien — en dit verdient het opgemerkt te worden — dat volgens hem 6) de factor m in de formule mg dezelfde is als die van de formule mv²/r 7), een resultaat dat naar het ons lijkt eenvoudigweg kan voortkomen uit de beschouwing van 1659 van het genoemde voorwerp dat de concentrische cirkel [om de aarde] beschrijft 8): de gelijkheid in dit geval van de centripetale versnelling g en de centrifugale versnelling v²/r kan Huygens er op heel natuurlijke wijze toe gebracht hebben ook de gelijkheid aan te nemen van de overeenkomstige krachten (conatus 9)). De laatste alinea van p. 277 van T. XVII, evenals p. 303 en 304 van T. XVI,
6) Vergelijk de verhandeling over de Centrifugale kracht van 1659 (T. XVI) die pas gepubliceerd werd in 1703; zie ook het eind van noot 2 van p. 246 van T. XVII. 7) Zie over de formules mg, mv²/r en √gr, die Huygens' gedachten uitdrukken in moderne vorm, p. 245 en noot 8 van p. 303 (en ook p. 250) van T. XVI. We kunnen eraan toevoegen dat het dezelfde 'massa' is — hoewel het begrip 'massa' als duidelijk onderscheiden van 'gewicht' door hem niet scherp is geformuleerd voor de verschijning van de Principia van Newton in 1687; vergelijk b.v. noot 5 van p. 230 van T. XVI — die volgens hem meespeelt bij botsing van voorwerpen; zie op p. 180 van T. XVI de laatste alinea: "Ik beschouw bij dit alles voorwerpen van eenzelfde stof, oftewel ik bedoel dat hun grootte wordt afgemeten naar het gewicht" (1669). In 1668 (op p. 244 van Manuscript E [HUG 9]) had Huygens op dit punt echter een voorbehoud gemaakt en gezegd: "Of de stootkracht in een hard voorwerp de zwaarte van hetzelfde voorwerp volgt. Het leek wel goed te gaan bij een kleine hoeveelheid, bij een grote niet evenzo". 8) Het is natuurlijk van geen belang dat het bewegende voorwerp in kwestie (in het stuk van 1659) een deeltje is van 'subtiele materie'. 9) P. 276 van T. XVII, r. 3 van beneden. Zie ook de laatste alinea van p. 245 van T. XVI. |
[ 46 ]
|
laten duidelijk zien dat hij de studie van de centrifugale kracht begonnen is met een beschouwing van het geval waarin zwaartekracht en centrifugale kracht elkaar in evenwicht houden. In het begin van deel 2 van Hor. osc. zijn het ideeën en theorema's van Galilei die Huygens preciseert. Hier speelt de corpusculaire filosofie van Descartes, met andere woorden de werveltheorie, geen enkele rol, evenmin als in deel 4 en in de theorema's V-XIII over de centrifugale kracht van deel 5, d.w.z. in alles dat betrekking heeft op beweging van voorwerpen onder invloed van de zwaartekracht. Zie over een onderwerp dat niet wordt behandeld in Hor. osc. p. 247, 285 en 286 van T. XVII. B. Cycloïdale bogen en samengestelde slinger. Cycloïdale bogen zorgen alleen voor gelijke tijden bij de enkelvoudige slinger. Wat moet de vorm van de bogen in theorie zijn bij een samengestelde slinger (als we nog steeds veronderstellen dat het gewicht van de draad verwaarloosbaar is)? Met deze vraag heeft L. Euler zich in 1750 bezig gehouden 1). Huygens is er niet mee begonnen. Hij neemt er genoegen mee te zeggen (prop. XXIV van deel 4) dat de cycloïdale bogen juist zouden zijn als alle punten van het aan een gewichtloze draad opgehangen voorwerp cycloïden beschreven, wat het geval zou zijn als het voorwerp zich zonder enige rotatie verplaatste. Zie over deze kwestie Aanhangsel IV van deel 4. C. Product van slingering of product van afstanden. In 1669 gaf Huygens de naam 'rechthoek van afstanden' aan het product van de afstand van de slingeras tot het zwaartepunt van het slingerende voorwerp, en de afstand van dit zwaartepunt tot het slingermiddelpunt (^). Zoals we hebben gezegd (op p. 373 van T. XVI) had Huygens in 1664 vastgesteld dat dit product voor verschillende onderling evenwijdige slingerassen in twee gevallen constant is: 1. als het voorwerp een oppervlak is dat slingert loodrecht op zijn vlak (T. XVI, p. 508), 2. als het voorwerp een oppervlak is, symmetrisch ten opzichte van een vertikale as, dat slingert in zijn vlak (T. XVI, p. 528). Steeds wordt verondersteld dat het vlak door de twee beschouwde evenwijdige assen gaat door het zwaartepunt van het voorwerp. In Hor. osc. wordt de constantheid van het 'product van afstanden' bewezen voor een willekeurig voorwerp
1) 'De motu tautochrono pendulorum compositorum', Novi Commentarii Ac. Scient. Imp. Petrop. T. III, An. 1750-51, Petrop. 1753, p. 286-306. |
[ 47 ]
|
dat slingert in een bepaald vlak (deel 4, prop. XIX) uitgaande van prop. VI en XVIII van hetzelfde deel. Prop. VI stelt de algemene formule vast:
(zie p. 33 hiervoor) en prop. XVIII leidt tot de formule die eveneens toepasbaar is op een willekeurig voorwerp:
waarin r de afstand is van een punt van het voorwerp tot de slingeras en r' die van hetzelfde punt tot een evenwijdige as die gaat door het zwaartepunt van het voorwerp 2). Daar deze formules kunnen worden geschreven als:
waarin M de massa van het voorwerp is en I en I' de traagheidsmomenten 3) aangeven ten opzichte van de twee genoemde assen, komt de tweede formule voort uit de eerste zodra men heeft vastgesteld de relatie I = I' + Mb² , wat een bekende moderne formule is. Hieruit is duidelijk dat het bewijs van Huygens eigenlijk bestaat uit het vaststellen van deze relatie. En dat van prop. XIX leidt uit de formules:
(eenzelfde voorwerp slingert eerst om de as 1, en daarna om de evenwijdige as 2 gelegen in het vlak door as 1 en het zwaartepunt van het voorwerp) de volgende formule af:
die de constantheid van het 'product van afstanden' uitdrukt.
slechts samen kunnen bestaan als ook geldt:
2) l is de lengte van de isochrone slinger, b de afstand van het zwaartepunt van het voorwerp tot de slingeras, n het aantal samenstellende delen van het voorwerp. 3) Zie p. 378 van T. XVI [Euler, 1765, p. 166]. |
[ 48 ]
|
Als men schrijft
waarin ρ en ρ' de traagheidsstralen aangeven (we blijven accenten gebruiken om grootheden aan te geven met betrekking tot een as door het zwaartepunt), zal de vergelijking
met andere woorden ρ'² of Σr'²/n is identiek met het 'product van afstanden' dat Huygens evenwel in Hor. osc. aanduidt met de term 'rechthoek van slingering' of 'te delen ruimte', d.w.z. oppervlak dat moet worden gedeeld door een lengte (te weten b). Zie b.v. in de berekening van 'Slingermiddelpunt van een rechthoek' van prop. XXI van deel 4 de uitdrukking "spatium applicandum sive rectangulum oscillationis". 1) Men vindt evenzo l = ρ ²/b volgens de formule l = I/Mb. Dit komt overeen met prop. XXI van deel 4, waar de teller die we hier ρ ² noemen, evenals de teller ρ'² in de tekst, een 'bijbehorend oppervlak' vormt. Maar Huygens — en we zullen zijn voorbeeld volgen — reserveert de uitdrukking 'bijbehorend oppervlak' uitsluitend voor de teller die we hier aangeven met ρ'² . 2) Huygens geeft de lengte van de isochrone slinger slechts voor het geval dat de rechthoek is opgehangen in een hoekpunt, maar essentieel was het vinden van 'de rechthoek van slingering', waaruit even gemakkelijk de lengten van isochrone slingers voor willekeurige ophangingen zijn te vinden. |
[ 49 ]
|
zien we hoezeer de wijze van berekenen geleidelijk is vereenvoudigd — zie p. 456 (onbekende methode, zeer moeilijk genoemd), p. 463-469 (methode van herleiding, volgens p. 369, van zijwaartse slingering naar slingering loodrecht op het vlak van de figuur) en p. 520-523 (algemene methode, volgens p. 370, voor symmetrische vlakke oppervlakken slingerend in hun vlak). Het is in de zevende alinea van prop. XXI van deel 4 dat Huygens de rekenmethode kenbaar maakt voor een willekeurig plat oppervlak dat slingert in zijn vlak, en deze kan men vergelijken met die van de laatste alinea van p. 370 van T. XVI. D. Methode van prop. 15 van deel 4. Op p. 371 van T. XVI hebben we gezegd dat deze methode in 1665 aan Huygens bekend was, althans voor het bijzondere geval van omwentelingslichamen. Het lijkt zeer wel mogelijk dat hij haar al in deze tijd heeft bedacht voor willekeurige lichamen met de eigenschappen die hij noemt in prop. XV. Laten we opmerken dat hij er in zijn meetkundige redenering gebruik maakt van de zogenaamde regel van Guldin die in werkelijkheid een regel van Pappus is; ze is te vinden aan het eind van het voorwoord van boek VII van zijn 'Sunagôgè' 3). In prop. XXII zoekt Huygens het slingermiddelpunt van de bol door zich te baseren op prop. XV; vergelijk de laatste alinea van p. 472 van T. XVI. E. Het slingermiddelpunt in enkele bijzondere gevallen. In Hor. osc. beschouwt Huygens enkele bijzondere gevallen die niet zijn te vinden in de Manuscripten B en C [HUG 4 en 3], en ook niet in de kladbladen van 1664, althans in die welke hij bewaard heeft. Het zijn: 1. de regelmatige veelhoek met een willekeurig aantal zijden die slingert in zijn vlak (prop. XXI) 4), 2. de piramide 5), 3. de kegel 6), 4. de cilinder, 5. de halve kegel (prop. XXII van deel 4). Zie over de parabool die in zijn vlak slingert (prop. XXI, niet te vinden in T. XVI), het Aanhangsel II bij deel 4 dat ook gaat over de slingering van een kruis 7). In het stuk dat § 3 vormt van ons Aanhangsel III bij hetzelfde deel beschouwt Huygens het geval van een bolsector.
3) Zie noot 3 van p. 439 van T. XVI. Pappus is al genoemd op p. 34 hiervoor. [Regel: 'Centroid theorem'.] 4) Vergelijk de laatste alinea van de noot op p. 496 van T. XVI. 5) In Aanhangsel III bij deel 4, ontleend aan Manuscript D [HUG 2], schrijft Huygens tegen het eind van de vijfde alinea van § 3: "zoals is aangetoond toen we over de piramide handelden", wat betrekking heeft op een misschien oude berekening die we niet hebben. 6) Zie over de kegel deel D van Aanhangsel II bij deel 4. 7) Deel C van dit Aanhangsel handelt over de slingering van een halve paraboloïde. |
[ 50 ]
Aan het eind van prop. XXI en XXII heeft hij het over scheve figuren, vlakke of ruimtelijke, isochroon met de rechte figuren waaruit ze door verschuiving voortkomen. Om deze isochronie te bewijzen volstaat hij ermee op te merken dat volgens een eerdere propositie de 'zware lijnen' in het eerste geval, de zware vlakken in het tweede, waarin men de gegeven figuren en de scheve figuren kan verdelen, twee aan twee isochroon zijn. Deze redenering lijkt ons wat te kort om overtuigend te zijn. Zou niet liever gezegd moeten worden dat volgens de formule l = Σr²/nb toegepast op isochrone elementen twee aan twee, de gelijkheid van l en van b die van Σr² meebrengt, dat dientengevolge Σr² voor de hele scheve figuur gelijk is aan die van de hele rechte figuur, en dat, daar de b's — d.w.z. de afstanden van de zwaartepunten tot de ophangingsas — ook onderling gelijk zijn voor de twee hele figuren, het evenzo is gesteld met hun l-len — d.w.z. de lengten van hun isochrone enkelvoudige slingers? En zelfs bij dit bewijs zou men de tegenwerping kunnen maken dat het teveel overeenkomt met het denken van Cavalieri. Het is waar dat dezelfde tegenwerping zou kunnen worden gemaakt tegen de bewijzen van prop. VII-XI en XIII-XVIII van deel 4, aangezien de vlakken of lichamen er worden beschouwd als te zijn samengesteld uit zeer kleine gelijke delen die soms voorgesteld worden door vierkanten of middelpunten van vierkanten (prop. IX, XIII enz.), andere keren door zeer kleine prisma's of parallelepipedums waarvan in prop. VII wordt gezegd dat "de hele wig ABD eruit is samengesteld". De strengheid van deze bewijzen doet blijkbaar onder voor die van prop. II-VI, IX, X en XXIV van deel 2, III van deel 3 en IV-V van deel 4, waarin Huygens de oude methode van herleiding tot het absurde toepast door te beginnen met de veronderstelling dat de gelijkheid die aangetoond moet worden niet bestaat. Daarentegen duidelijk minder kunstmatig zijn de bewijzen waarin het beschouwde wiskundige object wordt verondersteld in een zeer groot aantal delen te zijn verdeeld 2).
1) Vergelijk noot 3 van p. 462 van T. XVI. 2) Vergelijk p. 348 en noot 1 van p. 378 van T. XVI.
Lengtevinding en tijdvereffening |
[ 51 ]
|
De continue kromme van onze figuur, berekend door de heer P.P. Bruna volgens de gegevens van de aardbaan van S. Newcomb (1835-1909), geeft de tijdsvereffening voor het jaar 1670. De gestippelde kromme [de buitenste van de twee] toont het resultaat van Huygens' berekeningen vastgelegd in zijn tabel.
Met Huygens nemen we hier voor de vereffening de rechte klimming van de ware zon min die van de middelbare zon, hoewel moderne astronomen de gewoonte hebben het tegengestelde van dit verschil te gebruiken. De tijdvereffening is berekend, voor een rechte klimming van 0°, 10°, 20° enz. van de middelbare zon, volgens de formules van § 494 [p. 349] van T. II van 1892 van het Handbuch der Astronomie door R. Wolff (Zürich, F. Schulthess). De gegevens van p. 9 van T. VI ('Tables of the four inner planets') van de Astronomical papers prepared for the use of the American Ephemeris and Nautical Almanac (Washington, 1898) hebben voor de baanelementen van de zon in 1670 geleid tot de volgende waarden: |
| perigeum van de zonnebaan | 277° 16' 9" |
| excentriciteit van de baan | 0,0168465 |
| helling van de ecliptica op de evenaar | 23° 28' 56",0. |
| Aangezien Huygens geen rekening houdt met schrikkeljaren hebben we eveneens een gemiddelde tabel berekend in plaats van een vierjarige periode te geven aan de vereffening voor een bepaalde dag. Daar onze kromme het best overeenkomt met die van Huygens (berekend vóór 15 februari 1662, onmogelijk te zeggen voor welk jaar) als we aannemen dat de zon het lentepunt bereikt op 21 maart om 12 uur, hebben we de lengte van de zon op dit ogenblik gelijk aan nul genomen. |
| In dit deel van de figuur zijn de verschillen Huygens - Newcomb aangegeven in seconden. Van juli tot december zijn de verschillen positief; van januari tot juni zijn ze negatief. Het grootste positieve verschil is 27", het grootste negatieve verschil 34". |
[ 52 ]
|
Verderop in dit deel zullen we terugkomen op de praktische resultaten van de expedities die door Huygens in deel 1 worden genoemd en tegelijk spreken over de latere expedities. [P. 369 e.v., 499 e.v.] Aangezien een exacte lengtebepaling met behulp van uurwerken niet alleen een perfect regelmatige gang hiervan vereist maar ook het gebruik van een zeer nauwkeurige Tabel van Tijdsvereffening, hebben we ons afgevraagd of de tabel van p. 112-113 1) volkomen juist is. Twijfel is te meer toegestaan omdat het, om aan alle eisen te voldoen, nodig zou zijn geweest tabellen op te stellen voor vier achtereenvolgende jaren met een schrikkeljaar erbij. Op het Observatorium van de Universiteit te Leiden was men zo goed de nodige berekeningen uit te voeren voor het jaar 1670. In de figuur hiervoor is te zien hoeveel de kromme die overeenkomt met de tabel van Huygens afwijkt van de in Leiden berekende.
Voorlopers en concurrenten van HuygensZoals Huygens opmerkt in het stuk dat deel A van ons Aanhangsel bij deel 2 vormt, heeft hij zich bij het algemene bewijs van prop. XV van dit deel laten inspireren door een propositie van Descartes en door het commentaar van van Schooten over dit onderwerp. Daarover kan men raadplegen noot 1 bij het genoemde Aanhangsel. B. Slingermiddelpunt en universele lengtemaat. Aan de beschouwingen van p. 349-353 van T. XVI moeten we enige woorden toevoegen over Honoré Fabri, door Huygens genoemd (met Descartes) in het begin van deel 4 [>]. Op de genoemde plaats hebben we gezegd dat Huygens voor oktober 1664 niet de moeite had genomen nasporingen te doen naar de onderzoekingen van Descartes en de Roberval over het schommelmiddelpunt; vergelijk het eind van de volgende alinea [p. 54]. Het derde deel van Lettres de Descartes, gepubliceerd door Clerselier, dat de brieven van 1646 over dit onderwerp bevat van Descartes aan Mersenne en aan Cavendish 2), evenals opmerkingen van Roberval, verscheen pas in 1667. Omstreeks deze tijd heeft Huygens er blijk van gegeven het te kennen, ofschoon hij het pas in 1687 3) in zijn correspondentie vermeldt, maar hij bespreekt de onjuiste theorie van Descartes noch in Hor. osc.
1) Identiek met die welke is samengesteld vóór 15 februari 1662 van Kort onderwys van 1665 (T. XVII, p. 204, noot 1 en p. 207). [ 15 febr. 1662: brief aan broer Lodewijk, met aanwijzing voor het gebruik van de tabel; 25 mei 1662: brief aan Petit met grondslag van de tabel.] 2) In T. XVI, p. 569 hebben we aan Cavendish de voornaam William gegeven. Volgens p. 371 van T. IV van de uitgave van de Oeuvres de Descartes door Adam en Tannery, en ook volgens p. 654 van de Correspondance du P. Marin Mersenne, gepubliceerd door Mevr. P. Tannery, uitgegeven en geannoteerd door C. de Waard, waarvan T. I is verschenen in 1933 [1932] bij G. Beauchesne te Parijs, gaat het in werkelijkheid om [diens broer] Charles Cavendish. Het was volgens het artikel, aangehaald in noot 6, een Engelse edelman die in Parijs verbleef. 3) T. IX, p. 198. In het begin van deel 4 van Hor. osc. zegt Huygens de brieven van Descartes over dit onderwerp te kennen, "niet lang geleden" gepubliceerd. |
[ 53 ]
|
noch elders. Verder kende hij het Tractatus Physicus "over lokale beweging, waarin alle effecten die betrekking hebben op impetus, natuurlijke, gedwongen en gemengde beweging, worden uitgelegd en op grond van fysische principes worden bewezen. Auteur Petrus Mousnerius, doctor in de medicijnen. Alles als uittreksel uit de colleges van de eerwaarde pater Honoratus Fabry, van de Societeit van Jezus", van 1646 4). Daarin heeft de schrijver, of liever Fabry, "over isochrone slingers gehandeld .. maar het meeste gaf hij onjuist en hij bewees niets" schreef Huygens in een brief van oktober 1664 5); hij kende het al vanaf 1647 zoals we zullen zien. Mersenne legde in 1646 de kwestie van het slingermiddelpunt of liever stootmiddelpunt voor aan Descartes en aan Huygens, maar naar het schijnt had hij zich al vrij lange tijd daarvoor gericht tot Honoré Fabri (toen in Lyon), die hij een "reus in de wetenschap" noemt; diens proposities over dit onderwerp waren hem al bekend voor het verschijnen van het boek van Mousnier 6). Natuurlijk wilde hij dat Chr. Huygens kennis zou maken met dit boek. Over hem — en over het eerdere boek van Fabri over filosofie 7) — spreekt hij in zijn brief aan Const. Huygens van 3 januari 1647 (T. I, p. 48); en niet over de werken van Noel, zoals noot 9 van de aangehaalde pagina veronderstelt. Het werk van Mousnier bevat inderdaad "10 boeken" en "aan het eind een afzonderlijke verhandeling over stootmiddelpunten"; Mersenne zegt dat hij "brandt van verlangen dat Mr. uw zoon deze
4) Lugduni, apud Ioannem Champion, in foro Cambij. [Titelpagina met Constanter; 2e ex., 3e ex.. Zie over het boek ook T. XVI, p. 179, noot 9.] 5) T. V, p. 127. 6) Mersenne deelt ons ook mee dat Mousnier "een van zijn studenten was [van Fabri], doctor in de geneeskunde te Lion". Deze inlichting en die van de tekst zijn ontleend aan het artikel 'Une lettre inédite de Mersenne à Descartes' [ca. 22 maart 1646], gepubliceerd door C. de Waard in Vol. XIII van 1931 van het tijdschrift Archeion [...]. We hebben op p. 351-352 van T. XVI gezegd dat de eerste proeven van Mersenne over het stootmiddelpunt waren van begin 1646 op zijn laatst. C. De Waard (artikel p. 175) merkt op dat zijns inziens Mersenne zich vanaf de lente van 1643 bezighield met dit soort proeven. Op p. 435 van zijn boek van 1646 spreekt Mousnier, na te hebben gehandeld over het stootmiddelpunt, over "bijna talloze experimenten, zowel door de geleerde Mersenne, als door onze filosoof [Fabri]" die bewijzen "dat de lengte van de slinger die isochroon is met een cilinder 2/3 van de cilinder is". 7) Philosophia Universa per propositiones digesta et in breve compendium redacta, Lugduni 1646. [T. V, p. 619: Philosophiae tomus primus.] |
[ 54 ]
|
verhandeling ziet en dat hij die bekijkt, misschien dat het verlangen bij hem opkomt het zelf beter te bewijzen, of op zijn minst kan hij het laten zien aan de heer Descartes, die er al aan gewerkt heeft". Laten we eerst opmerken dat, gezien de data, schijnt te moeten worden aangenomen — en de laatste aangehaalde zin van Mersenne wijst daar eveneens op — dat Fabri zich onafhankelijk van Descartes met de kwestie heeft beziggehouden (Mousnier noemt noch hem noch Roberval). P. Duhem zegt zeker ten onrechte 1):
Daarentegen schijnt Huygens voor 1665, of dec. 1664 3), over de onderzoekingen van Descartes en Roberval (waarvan we menen dat ze wat later zijn dan die van Fabri, hoewel onafhankelijk van de zijne) slechts te hebben vernomen wat Mersenne hem erover schreef. 1) P. Duhem, Etudes sur Léonard de Vinci, ceux qu'il a lus et ceux qui l'ont lu, I, p. 108, Paris, 1906 [1984]. 2) In zijn werk van 1582 [first draft, de ed. is van 1621] In mechanica Aristotelis problemata exercitationes citeert Baldi diverse werken (o.a. de Mechanica van Guido Ubaldi van 1577 [1615]), maar hij vermeldt nergens de manuscripten van L. da Vinci. Het is een hypothese van Duhem dat L. da Vinci een grote invloed heeft gehad op Baldi. Hij zegt (zelfde werk, p. 156) dat "Baldi ... aan Leonardo da Vinci het begrip accidentele zwaarte had ontleend; en dit begrip had was bij Leonardo opgekomen als een natuurlijke voortzetting van de theorie van de impetus, ontwikkeld door natuurkundigen van de 14e eeuw". Bij Mousnier, d.w.z. bij Fabri, speelt de 'impetus'-theorie een grote rol; de conclusie van Duhem: "Evenmin als de Natuur maakt de Wetenschap onverhoedse sprongen" lijkt ons zeer goed; maar dit alles zou zijn te verklaren zonder de manuscripten van da Vinci. 3) Weliswaar kennen we niet de datum van de brief van Thévenot waarop die van Huygens als antwoord dient; maar Huygens kan deze brief niet hebben ontvangen voor 27 november 1664 (zie p. 152 van T. V). In mei 1665 (T. V, p. 355) hoopte hij dat Thévenot hem een "verhandeling van Roberval over isochrone slingers" zou sturen na wat Thévenot hem al had bericht over de resultaten van Roberval. |
[ 55 ]
"de 2 of 3 bladen waar de percussiecentra staan" 3). Nu hebben we kunnen vaststellen dat hij zijn belofte is nagekomen. Daar namelijk geen enkele openbare bibliotheek in Nederland het werk van Mousnier bezit, hebben we het exemplaar aangevraagd van de Bibliotheek van de Universiteit van Göttingen en gebleken is dat op de eerste pagina hiervan is geschreven "Constanter 1647. don. Mar. Mersenni". Het 'Appendix Prima physicomathematica, De Centro percussionis' 4) is door Chr. Huygens gelezen aangezien in de marge enkele opmerkingen van zijn hand te vinden zijn 5). Deze kanttekeningen zijn ongetwijfeld van 1664: men vindt er o.a. (p. 437) de vermenigvuldiging van b + zz/3b met 3/4 waarop we hebben gewezen in noot 1 van p. 456 van T. XVI. Bij Mousnier is sprake van (p. 436-437):
d.w.z. als men een gelijkbenige driehoek, opgehangen aan de top en waarvan de tophoek 150° is, laat slingeren in zijn vlak, zal de lengte van de enkelvoudige slinger met dezelfde slingertijd ongeveer het viervoudige zijn van de hoogte van de driehoek.
Na met de genoemde vermenigvuldiging de lengte van de enkelvoudige isochrone slinger te hebben vastgesteld voor het geval van een gelijkbenige driehoek met hoogte b en basis 2z, stelt Huygens dus 4 b = ¾ b + ¼ zz/b , waaruit hij afleidt √(13 bb) = z .
4) Bij Mousnier beslaat dit onderwerp 18 pagina's (p. 420-437). Vergelijk het begin van de brief van Mersenne van 12 januari (T. I, p. 59). 5) Het boek is later zodanig opnieuw gebonden dat in de marge geschreven woorden soms zijn afgekapt. |
[ 56 ]
|
De andere kanttekeningen van Huygens zijn de volgende: 1) Op p. 430, waar Mousnier aangeeft en gelooft te bewijzen:
 "en bovendien uit een wig op de basis EDF die de schrijver is vergeten" 3). [ Op p. 260 staat een interessante kanttekening over een geval van botsing, zie hier.] Op p. 421 schrijft Mousnier over het stootmiddelpunt:
en:
wat wil zeggen: wanneer men door dit middelpunt een rechte trekt evenwijdig aan de beschouwde draaiingsas 5), zal het zo zijn dat de momenten van de 'impetus'-sen, d.w.z. de som (of integraal) van de momenten van alle deel-'impetus'-sen 1) Een deel van de letter m is bewaard gebleven. 2) Huygens zocht nog in 1664 het slingermiddelpunt van de zo opgehangen cirkelsector: zie p. 487-489 van T. XVI. 'Theorema 13' op p. 425-426 van Mousnier is van deze inhoud: "Als een sector wordt gewenteld om een as evenwijdig aan de koorde, kan het stootmiddelpunt worden bepaald, als gegeven is het zwaartepunt van de sector, dat tot nu toe slechts is gevonden uit een veronderstelde kwadratuur van de cirkel". 
3) Het is niet nodig hier een fout van Mousnier aan te nemen. Huygens bedoelt blijkbaar met 'cilindersegment' een segment van een rechte cilinder begrensd door twee evenwijdige vlakken, maar het lijkt evenzeer toegestaan deze uitdrukking te gebruiken als één van de twee vlakken schuin is, in welk geval de 'wig' waarover Huygens het heeft deel uitmaakt van het 'cilindersegment' van Mousnier. [ De wig tussen EFD (in vlak ADE) en het vlak door ED evenwijdig met ABC, zie Tab. 6, fig. 11. NB. De tekening stelt niet voor het omwentelingslichaam van de cirkelsector (draaiend om A, loodrecht op zijn vlak), want dat is een piramide met een bolsegment.] 4) Als het gaat om een figuur die slingert in zijn vlak en als het stootmiddelpunt zich b.v. in punt X van zijn symmetrie-as bevindt, merkt Mousnier op (p. 431) dat, opdat er sprake kan zijn van een stoot in dit punt, "er een of andere gleuf of spleet ingesneden moet worden, die in X moet eindigen". 5) Men kan eveneens beschouwen de stoot voortgebracht door een voorwerp dat evenwijdig aan zichzelf beweegt, zonder enige draaiing. |
[ 57 ]
gelijk is aan beide kanten van deze rechte 6). Hier is duidelijk sprake van een lichaam gevormd uit een plat oppervlak. Laten we eraan toevoegen dat Mousnier slechts homogene lichamen beschouwt. Wat betreft de 'impetus' van de beweging, deze is evenredig met de lineaire snelheid (Th. 6 van p. 423) en met de grootte van het beschouwde element van het lichaam. Het is, kan men zeggen, de hoeveelheid beweging mv. Om de integraal te berekenen van de hoeveelheden beweging van het oppervlak in 'vaste beweging' (zie over deze term p. 376 van T. XVI [beweging loodrecht op het eigen vlak]) stelt Mousnier de snelheden van alle punten voor met normalen op het oppervlak. Hij verkrijgt zo een 'vast lichaam' dat niets anders is dan de 'wig' (of 'tronk') beschouwd door Huygens in het geval van vaste beweging. 
We hebben in noot 2 van p. 458 van T. XVI gezegd dat Huygens (op zoek naar het slingermiddelpunt) met de op die plaats beschouwde redenering overgaat van de 'methode van de parabool' op de 'methode van het nageltje' (of wig). We kunnen er nu aan toevoegen dat, aangezien Huygens met Mersenne en Mousnier de gelijkheid aannam van het slingermiddelpunt met het stootmiddelpunt — wat volgt uit de kanttekeningen die we hebben aangehaald — hij het voordeel had te weten dat het waarschijnlijk het 'subcentrische' punt was van het nageltje (of van de tronk, zie noot 5 van p. 459 [met subcentrisch punt F in fig.] van T. XVI) dat hem de lengte van de slinger zou geven die isochroon is met het oppervlak in vaste beweging. Hij heeft dus zeker geprofiteerd van het lezen van Fabri's boek. Per slot van rekening is in het boek van Fabri, of van Mousnier, de bepaling van het stootmiddelpunt correct voor platte oppervlakken in vaste beweging. Dit erkent Huygens door in prop. XXI van deel 4 van Hor. osc. te zeggen: "Dit ene [te weten: de positie van het slingermiddelpunt in het geval van de genoemde beweging] is door anderen eerder opgemerkt, maar niet aangetoond". Niet aangetoond: inderdaad, zelfs als de redenering van Mousnier, die leidt tot het vastleggen van de plaats van het stootmiddelpunt in dit geval, beschouwd wordt als voldoende, die waarmee hij het gelijk zijn van de twee middelpunten tracht vast te stellen is dit zeker niet 7).
6) Dit is waar, maar het is te betwijfelen of de schrijver bewezen heeft dat zo de "grootste slag wordt toegebracht". Hij zegt dat als zo gestoten wordt "de gehele impetus van het aangestoten voorwerp wordt belemmerd" (p. 421). 7) We hebben gezegd (T. XVI, p. 351) dat voor Mersenne deze gelijkheid een ervaringsfeit was. Mousnier (Theor. 30, p. 435) redeneert als volgt:
Vervolgens spreekt hij over de "talloze experimenten" van Mersenne en Fabri (al hierboven genoemd). In andere gevallen zegt de schrijver: "het wordt op dezelfde manier bewezen". |
[ 58 ]
|
Het past hier op te merken dat Huygens in Hor. osc. in het geheel niet spreekt over het stootmiddelpunt en dat niet blijkt waar zijn (blijkbaar al in 1664 algehele) overtuiging van het gelijk zijn van de twee middelpunten vandaan komt 1). Door zijn bewijs zelf van p. 457-460 van T. XVI was het gelijk zijn van het slingermiddelpunt met het stootmiddelpunt zoals gedefinieerd door Fabri (met de beschouwing van de impetus-momenten) bewezen voor platte oppervlakken in vaste beweging. Maar zijn kanttekening op p. 430 van Mousnier laat zien dat hij ook het gelijk zijn van de twee middelpunten aanneemt voor het geval van een oppervlak dat slingert in zijn vlak. Zoals te zien is aan deze kanttekening leiden de beschouwingen van Mousnier over het stootmiddelpunt in het geval van oppervlakken slingerend in hun vlak — en hetzelfde geldt in het geval van lichamen — niet tot kennis van de positie van het slingermiddelpunt in deze gevallen. Op p. 375 van T. XVI hebben we genoemd het principe van Brouncker voor het geval van oppervlakken in 'vaste' beweging. Dit principe komt volmaakt overeen met de constructiemethode van Fabri; maar Brouncker (p. 144 van T. V) spreekt alleen over het slingermiddelpunt en geeft geen bewijs. Wallis spreekt in 1671 1) in hetzelfde geval van het stootmiddelpunt dat hij vindt door eenzelfde beschouwing te gebruiken als Fabri over momenten van hoeveelheden beweging. Over de universele lengtemaat door middel van slingers hebben we gesproken op p. 353-356 van T. XVI en 120-121 van T. XVII. In weerwil van de tekst op de genoemde p. 120 schijnt het — zie de brief van 1668 van Huygens aan Estienne (T. VI, p. 260) aangehaald in noot 8 van de genoemde p. 121 — dat het idee om met behulp van slingers een universele maat vast te stellen in Engeland openbaar was gemaakt onafhankelijk van Huygens
1) Vergelijk noot 6 van p. 353 van T. XVI. Laten we eraan toevoegen dat Huygens in de daar aangehaalde brief van juli 1690 had kunnen noemen niet alleen Wallis, Mariotte en Dechales, maar ook en vooral Fabri. Het 'centrum virium' (krachtcentrum) van Wallis (noot 2 van p. 461 van T. IX) wordt op dezelfde manier gedefinieerd als het 'centrum percussionis' (stootmiddelpunt) van Fabri. |
[ 59 ]
|
en voor hem. Het is waar dat dit idee pas volkomen praktisch kon lijken vanaf het moment dat de formule was vastgesteld die de exacte plaats van het slingermiddelpunt geeft. Toch toont G. Mouton (vergelijk p. 36 hiervoor), die de nauwkeurige gang van Huygens' uurwerken kende 1), zich al in 1670 een overtuigd verdediger van dit idee dat hij ontwikkelt in het laatste deel (p. 427-448) van zijn boek. Hij stelt er een tientallig stelsel van lengten voor, waarbij de eenheid was ontleend aan de afmeting van de aardbol: hij wil dat de "meetkundige mijl in een graad van een grote cirkel van de aarde er precies zestig bevat". Het duizendste deel van deze 'miliare' wordt genoemd 'virga' [roede] en het tienduizendste deel 'virgula' [stokje], de lengte van dit laatste werd bij benadering gegeven met een lijn van 20,2 cm. Hij constateert dat een enkelvoudige slinger met deze lengte 3959,2 enkele slingeringen zou uitvoeren in een half uur, een gemiddelde waarde berekend uit waargenomen aantallen slingeringen van verschillende slingers die als enkelvoudig konden worden beschouwd; de ene had b.v. een loden bol en een staaf bestaande uit heel dun ijzerdraad, een andere was gemaakt met een ijzeren bol opgehangen aan een haar, enz. De lengte van elk van deze slingers (vergelijk p. 355 van T. XVI) is voor Mouton de afstand van het ophangpunt tot het middelpunt van de bol. C. Uurwerken met slinger vóór dat van Huygens. De welbekende passage van het Voorwoord (p. 91 hierna), waarin Huygens naar voren brengt dat het zeer weinig geloofwaardig is dat er slingeruurwerken zouden zijn voltooid en gebruikt voor die, welke sedert 1657 in den Haag waren gemaakt, verplicht ons om kort terug te komen op dit onderwerp, waarover men kan raadplegen p. 36-39 van T. XVII. We zullen niet de kwestie bespreken van het slingeruurwerk dat sinds 1615 of 1616 zou hebben bestaan te Angoulême bij de Boismorand 2), gezien het feit dat Carcavi, die dit uurwerk niet
1) Hij spreekt over de uurwerken van Huygens in Cap. III: 'Over uurwerken die zeer nauwkeurig zijn, en zeer geschikt voor het tellen van de slingeringen van een schietlood' op p. 433 van zijn werk: Observationes diametrorum Solis et Lunae apparentium [Waarnemingen van de schijnbare middellijnen van Zon en Maan ... over de ongelijkheid der natuurlijke dagen; en over tijdsvereffening. Met een nieuw idee van meetkundige maten, en een nieuwe methode om ze over te brengen, en voor het nageslacht te bewaren zonder verandering], Lyon 1670. Mouton voegt er aan toe dat de gewone uurwerken met onrust "geenszins geschikt zijn voor deze taak, wegens hun veelvuldige anomalie, en inconstantheid van de slingeringen": vergelijk de eerste alinea van p. 28 van T. XVII. 2) Zie de brieven van P. Carcavi van september 1659 (T. II, p. 535) en van maart 1660 (T. III, p. 38). |
[ 60 ]
|
zelf had gezien en dat Huygens hem in Parijs persoonlijk kende, niet schijnt te zijn teruggekomen op dit onderwerp waarover Huygens niets zegt in Hor. osc. 1). De ontwerpen van Leonardo da Vinci 2) die Huygens niet heeft gekend laten zien, zoals we hebben gezegd, dat er al lange tijd sprake was geweest van een 'onrust' in de vorm van een slinger, die echter niet — en dit is een punt van het grootste belang — schijnt te hebben gediend om de gang van het uurwerk te regelen met een min of meer onafhankelijke schommeling (vergelijk noot 5 hierna). Deze opmerking is ook van toepassing op het uurwerk met slinger van een zekere Camerini dat de datum 1656 (!) draagt, voorgesteld op p. 139 van The evolution of clockwork van de heer J. Drummond Robertson 3). Een primitief gevormde slinger beweegt er voor de wijzerplaat. Uurwerken van deze soort, waarvan de geschiedenis zeer weinig bekend is 4), konden natuurlijk geen precisie-instrumenten zijn. Men schijnt het erover eens te zijn als bedrieglijk te beschouwen de passage in de Saggi van 1667 van de Accademia del Cimento waarin het uurwerk van 1649 van Vincenzio Galilei wordt genoemd in termen die de lezer ertoe brengen te geloven (ook al wordt het niet met zoveel woorden gezegd) dat dit uurwerk heeft gelopen en als zodanig kon dienen als model voor de bouw van andere nauwkeurige uurwerken 5). Wat betreft dit uurwerk van Vincenzio Galilei of "uurwerk met slinger, begonnen door Galilei", om de termen van Boulliau 6) te gebruiken, het is zeker dat het niet is voltooid, aangezien Viviani in zijn brief van 20 augustus 1659 aan groothertog
1) Over de uurwerken van Jost Bürgi hebben we gesproken in noot 4 van p. 6 van T. XVII. [Figuur uit: C.A. von Drach, 1894.] 2) T. XVII, p. 38. [Ms. H, Cod. Atl. (model), Ms. II 3) Zie over dit werk [1931] p. 546 van T. XVII. [Camerini-klok: foto.] 4) Vergelijk noot 2 van p. 47 van Geschichte der Räderuhr (1905) van E. Bassermann-Jordan. 5) Saggi di naturali esperienze ... (1667), p. XXII [Engl. 1684, p. 12]:
Deze passage, naar we menen zonder een smet van onnauwkeurigheid in de strikte zin van het woord, neigt ertoe, dankzij een handige inkleding, aan Galilei en zijn zoon theoretische gezichtspunten toe te schrijven die te danken waren aan Huygens: zie p. 66 e.v. van T. XVII (Horologium van 1658) [Ned.]. Huygens zegt met recht (T. VII, p. 280) dat de schrijver (L. Magalotti) "onze inspanning negeert". |
[ 61 ]
Leopoldo de Medici 7) o.a. zegt dat Vincenzio kort voor zijn dood bezig was "het andere tandwiel in te snijden".
De figuur van p. 656 van T. XIX van de Ed. Naz. toont duidelijk dat slechts de helft van het grote wiel is voorzien van tanden. Zonder enige twijfel stelt deze figuur een echt instrument voor aangezien er een tweede figuur van bestaat waarin het onder een andere hoek wordt gezien 6). Maar ook al was het uurwerk niet voltooid, de ontwerper had blijkbaar al de proef genomen met het 'echappement met dubbele komma' dat men er ziet*). Viviani zegt namelijk: "Signor Vincenzio wilde dat ik ... zo met een proef en meer dan eenmaal zou zien, zoals ik ook al bovengenoemd kunststuk [Dom. Balestri] zag, de gekoppelde werking van het contragewicht en de slinger". J. B. Biot die in 1858 partij kiest voor Huygens 8) begaat een vreemde fout (geheel zonder gevolg bij hem) door te zeggen (p. 677) dat Vincenzio G. "hoogstens twee en een halve maand aan dit werk" heeft gewijd. Hij heeft namelijk net gezegd, bij het citeren van de brief van Viviani, dat Vincenzio zijn werk begon in april 1649 en dat hij overleed op 16 mei daarna. Heeft hij willen schrijven: anderhalve maand? Dat zou nog veel te lang zijn, aangezien Viviani zegt dat Vincenzio overleed "op de 22e dag van zijn ziekte". Volgens Viviani werd hij dus op 25 april ziek. Dientengevolge zijn er hoogstens vijfentwintig dagen gewijd aan de bouw van het uurwerk als het verhaal van Viviani, zoals we hier aannemen, volkomen in overeenstemming is met de waarheid 9). De heer Drummond Robertson — aan wie we grote verplichtingen hebben; zie p. 38 en 546 van T. XVII — vermeldt zonder kritiek (p. 96) de "at the most two and a half months" van Biot. Hij is van mening dat Vincenzio in deze tijd meer dan een uurwerk heeft kunnen bouwen. Maar daar het slijpen van tandwielen voor hem een "ongewone inspanning" was, lijkt het weinig waarschijnlijk dat hij in hoogstens vijfentwintig dagen iets anders heeft kunnen maken dan het onvoltooide model waarvan trouwens alleen sprake is bij Viviani. Het is waar dat Viviani eraan toevoegt: "hij meende [cursivering van ons] de slinger te kunnen aanpassen aan het uurwerk in verschillende vorm en met andere bedenksels", en dat de inventaris van zijn weduwe, overleden in 1668, noemt "Een onvoltooid uurwerk van ijzer met slinger, eerste uitvinding van
7) T. III, p. 470 en p. 647 van Vol. XIX van Opere di Galileo, Ed. Naz. [ *) Uurwerk van Galilei, detail van de figuur hierboven: echappement; video: Pendulum movement.]  9) We hebben het hier niet over de varianten die de twee exemplaren geven van de brief, bewaard te Florence en te Parijs; zie hierover p. 470-484 van T. III en p. 283-284 van T. VII, evenals p. 647 van T. XIX van de Ed. Naz. [zie noot 1]. |
[ 62 ]
|
Galilei" 1). De vraag of Vincenzio G. een of meer uurwerken heeft gebouwd zou belangrijk zijn als men zou willen staande houden dat hij de tijd heeft gevonden om, behalve ruwe modellen, een nauwkeurig en goedlopend uurwerk te vervaardigen, wat wij geenszins kunnen aannemen 2). Trouwens, is het 'onvoltooid uurwerk' van de invantaris van de weduwe niet juist het enige model waarover Viviani het heeft? Albéri dacht dit 1), Biot eveneens, en deze hypothese kan op het eerste gezicht bijna zeker lijken. Ze is het echter niet, want (we hebben het gezegd op p. 472 van T. III) "vanaf 1659 was een model, toegeschreven aan Galilei, in het bezit van prins Leopold" en het is van dit model dat hij de figuur aan Boulliau zond 3). Nu komt deze figuur overeen met die van T. XIX van de Ed. Naz. zoals we zeiden op p. 61. Aan de andere kant komt de figuur van T. XIX volkomen overeen met de gedetailleerde beschrijving die voorkomt in de brief van Viviani. Hoewel te Florence deze figuur niet in de brief 4) is gevonden lijkt het dus bijna zeker, zoals men algemeen aanneemt, dat het wel de figuur is van het model waarover Viviani spreekt. Als het zo is, was dit model dus in 1659 in bezit van Leopold.
1) Genoemd door Alberi op p. 340 van het Suppl. [1856] bij T. XIV van zijn uitgave van de Opere di Galileo Galilei (zie p. 38 van T. XVII en p. 472 van T. III). 2) De heer Drummond Robertson laat Viviani als volgt spreken:
Hij voegt eraan toe: "Was it not in a moment of delirium that Vincenzio was drawn to this act of destruction?"
Er is dus, denken we, geen sprake van een delirium of vernieling van instrumenten. Die 'zeer nauwkeurige tijdmeter' kan grammaticaal slechts duiden op het onvoltooide uurwerk, aangezien er net sprake was van dat uurwerk. We geloven dus noch aan de bouw noch aan de vernieling door Vincenzio G. van een voltooid en werkelijk nauwkeurig slingeruurwerk. |
[ 63 ]
|
Men kan het vreemd vinden dat hij het toeschrijft aan Galilei senior (T. III, p. 468), maar dit zou te verklaren zijn met het feit dat de brief aan Boulliau waarin hij het schijnt te zeggen van 22 augustus 1659 is, terwijl de aan hem geadresseerde brief van Viviani van 20 augustus is (T. III, p. 470); hij schreef dus aan Boulliau kort na ontvangst van deze laatste, waarvan de eerste regels spreken over de "wonderbaarlijke tijdmeter met slinger van Galileo Galilei": hij heeft dus op dat moment kunnen denken dat het betreffende instrumentvolgens Viviani afkomstig was van Galilei senior. In zijn brief van augustus trouwens kent hij eigenlijk slechts de uitvinding toe aan Galilei, en de woorden "er is een model vervaardigd van hetzelfde" [en niet: door dezelfde] zeggen niet ronduit dat de bouw zou hebben plaats gevonden door Galilei zelf 5). Daarin zit dus geen moeilijkheid. En het is niet onredelijk te veronderstellen dat hij het model heeft teruggegeven aan de weduwe, van wie hij het ontvangen moet hebben. Hoe het ook zij, dit punt is niet van groot belang: als Vincenzio G. in april 1649 tijd heeft gevonden een tweede onvoltooid model te bouwen, dan heeft hij die des te minder gehad om een uurwerk te bouwen dat voltooid is. Viviani zegt vervolgens dat Philippe Treffler voor prins Leopold een teller met zeer lichte wielen bouwde. Noot 53 van p. 483 van T. III zegt dat deze werktuigbouwkundige zich in 1658 te Florence vestigde, maar we kennen niet de oorsprong van deze blijkbaar onnauwkeurige datum: de heer Drummond Robertson citeert op p. 102 van zijn boek een stuk dat bewijst dat Treffler al in 1656 uurwerkmaker was van zijne hoogheid. Deze teller werd gebouwd naar het schijnt in of rond 1655, aangezien Viviani eraan toevoegt dat in deze tijd, te weten 14 jaar na het moment dat Galilei voorstelde de slinger aan te passen aan uurwerken, Fr. Generini voor de prins een model bouwde van ijzer, waarin "aan de slinger zal zijn gekoppeld het contragewicht". Hij zegt tenslotte "dat de bovengenoemde Filippo de uitvinding aanpast aan een kameruurwerk voor zijne hoogheid" enz.; ongelukkigerwijze zegt hij niet — wat het belangrijke punt is in de kwestie van prioriteit — of deze bouw van slingeruurwerken door Treffler (de eerste lopende uurwerken van deze soort te Florence gebouwd) plaats vond voor- of nadat groothertog Ferdinand, broer van Leopold, in 1657 het uurwerk van Coster had ontvangen, waarvan
5) In maart 1659 (T. III, p. 462) sprak Leopoldo van "een model gemaakt door dezelfde signor Galilei", en het schijnt wel dat hij het over hetzelfde model heeft. Op dit moment was hij helemaal niet op de hoogte van de precieze gang van zaken aangezien hij zich inbeeldde dat Galilei een uurwerk met slinger en aandrijfgewicht had gebouwd voor de Staten van Holland. Juist omdat hij zich niet op de hoogte voelde vroeg hij aan Viviani een precies verslag te schrijven. |
[ 64 ]
|
sprake is in de eerste noot van p. 38 van T. XVII en dat Viviani niet schijnt te hebben gekend, Volgens Leopold's schrijven van mei 1659 (T. III, p. 464) was het voor Ferdinand dat de 'virtuoso' [Treffler?] 'drie jaar geleden' een 'ruw gemaakt uurwerk' bouwde. Over dit uurwerk is ook sprake in de brief van Leopold van maart 1659 (T. III, p. 462); men vindt er eveneens de uitdrukking 'drie jaar geleden'. Als deze uitdrukking letterlijk juist is, had de 'virtuoso' in 1656 voor Ferdinand een slingeruurwerk gebouwd, 'ruw gemaakt', maar dat kon lopen. Men zal ons toestaan eraan toe te voegen dat, zelfs als deze bouw pas had plaats gevonden in de tweede helft van 1657, nadat Ferdinand het uurwerk van Coster had ontvangen, het beslist een jaar eerder zou zijn geweest dan de publicatie van Horologium van Huygens en dan had het kunnen doorgaan voor voor een originele uitvinding, gedaan in Florence, voor degenen die het zagen zonder dat van Coster te kennnen. Laten we nog opmerken dat er geen enkele reden is om aan te nemen dat de uurwerken van Treffler voorzien waren van het 'echappement met dubbele komma' van het model van Vincenzio, aangezien Viviani zegt dat het model van Generini waardoor Treffler zich liet inspireren 1) er een was "met verschillende en zeer ingenieuze applicatie". Leopoldo zegt in mei 1659 (T. III, p. 464), na de figuur van Horologium van 1658 van Huygens te hebben gezien, dat de "virtuoso drie jaar geleden daarvan een simile uitvond" [cursivering van ons] 2). Aan dit woord moet ongetwijfeld niet teveel belang worden toegekend. Maar waarom dan een absolute waarde toekennen aan de uitdrukking 'drie jaar geleden'? Overigens is het niet volkomen onmogelijk dat Leopold met 'drie jaar geleden' bedoelt te spreken over 1657, aangezien 1657, 1658 en 1659 drie jaren zijn; evenals Huygens zegt in het begin van Hor. osc.: "Het is het zestiende jaar ..." hoewel het interval tussen de publicatie van Horologium (sept. 1658) en die van Hor. osc. (april 1673) maar veertien en een half jaar is. Viviani (zie p. 441 hierna) schrijft in 1674 dat Hor. osc. "twee jaar geleden" is verschenen. Daarenboven verdient het te worden opgemerkt dat Leopold in de brief van augustus 1659 (T. III, p. 468) zegt dat men uit Florence aan de koning van Polen, die niet geloofde dat "mijn heer en broeder een dergelijke uitvinding in zijn nabijheid had", een slingeruurwerk zond vervaardigd in Holland, zonder twijfel van Coster of van een van zijn medewerkers 3).
1) Het voltooide uurwerk van Generini, vervaardigd "enige jaren geleden" waarvan Leopold spreekt in augustus 1659 (T. III, p. 468), was blijkbaar iets anders. 2) Volgens Leopold (l.c.) waren het 'simile' en het 'ruw gemaakte uurwerk' twee verschillende objecten. [ Zie Keith Piggott, Johann Philipp Treffler's 1657/8 Pendulum Timepiece, 2011.] 3) T. XVII, noot 2 van p. 12. |
[ 65 ]
|
Per slot van rekening schijnt het onmogelijk tot een onbetwijfelbare conclusie te komen 4). Overigens is deze kwestie van prioriteit niet van enorm belang. Wat zeker lijkt is: als een echt slingeruurwerk is gebouwd voor 1657 door een uurwerkmaker die voor de een of andere groothertog werkte, wist Huygens het niet en zelfs in Italië wist men het niet algemeen 5); vergelijk de eerste alinea van noot 5 van p. 37 van T. XVII 6). Aan de andere kant is het absoluut mogelijk, zoals Viviani zegt, dat Galilei, door blindheid getroffen, kort voor zijn dood het idee heeft gehad de slinger aan te passen aan uurwerken; de tegengestelde bewering van noot 2 van p. 281 van T. VII maakt op ons geen enkele indruk. Wat natuurlijk onzeker blijft is — zoals Biot ook zegt — of het 'echappement met dubbele komma' (op p. 39 van T. XVII aangeduid met de gebruikelijke uitdrukking 'echappement van Galilei') werkelijk door hem is bedacht. Wat betreft de hartroerende opmerking van noot 3 van p. 281 van T. VII over de verdwijning van het model van Vincenzio "dat van een onschatbare waarde zou zijn geweest in de ogen van prins Leopold", we hechten er geen enkele betekenis aan, even weinig als aan de conclusie van dezelfde noot (p. 282): "Viviani heeft zich in de war laten brengen als hij beweert het toestel te hebben zien lopen". Ongetwijfeld liep het model van 1649 niet, maar Viviani volstaat met te zeggen dat hij het heeft zien functioneren "op proef", met een aandrijfgewicht eraan vastgemaakt. Men kan redelijkerwijs niet spreken (T. VII, p. 286) van de "onmogelijkheid van de gang van dit instrument", wat Huygens zelf niet doet (zie zijn brief van januari 1660 op p. 12 van T. III) 7). We hebben gezegd op p. 39 van T. XVII dat het 'echappement van Galilei' beschouwd kan worden als voorloper van het anker-echappement, uitgevonden in Engeland naar het schijnt. Eigenlijk kan de oorsprong van het anker-echappement, zoals van veel
5) Volgens Leopold zelf (brief van mei 1659, T. III, p. 464) waren de twee instrumenten genoemd in noot 2 niet in goede staat kort voordat hij deze brief schreef: het 'ruw gemaakte uurwerk' moet "opnieuw beproefd" worden. 6) Niets wijst er ook op dat het uurwerk met balans in de vorm van een slinger van Camerini met datum 1656 (genoemd op p. 60) algemeen bekend is geweest, hetzij in Italië hetzij elders. Vergelijk noot 4 van p. 13 van T. XVII. 7) Zowel in Florence als in het Science Museum in Londen is een model te zien, gebouwd naar de figuur die overeenkomt met de tekst van Viviani's brief, aangedreven door een spiraalveer en zeer goed lopend. |
[ 66 ]
|
andere uitvindingen, niet met absolute zekerheid worden bepaald. Verderop in dit deel is een kort stuk over dit onderwerp te vinden [p. 605]. Men kan zich nog afvragen, vooral met het oog op een der genoemde ontwerpen van L. da Vinci, of er vóór Huygens openbare slingeruurwerken zijn geweest, iets waarvan naar het schijnt geen enkel bewijs bestaat. De vraag is zelfs voor de Nederlanden te stellen. Men heeft op p. 79 van T. XVII gezien dat we er niet in zijn geslaagd aan te tonen dat het uurwerk van 1652 van de kathedraal van Arnhem geen slinger had. Het schijnt echter uiterst onwaarschijnlijk dat, als er openbare uurwerken van deze soort voor 1658 in Nederland hadden bestaan, de uurwerkmakers die Huygens in dat jaar aanvielen (p. 82-83 van T. XVII) er niets van zouden hebben gezegd. Ze schijnen ook geen enkel openbaar slingeruurwerk in het buitenland te hebben gekend. Het argument 'wie zwijgt stemt toe' is hier heel sterk. D. Uurwerken met kegelslinger. Men heeft beweerd dat het openbare uurwerk van Osnabrück van het einde van de zestiende eeuw waarschijnlijk een uurwerk met een kegelslinger is geweest 1). Dit is onzeker, aangezien we over dit uurwerk geen ander inlichtingen hebben dan die geleverd worden door de in noot 1 geciteerde tekst. Historici noemen, geloven we, geen enkel ander kegelvormig uurwerk dat voor de tijd van Huygens zou zijn gebouwd. R. Hooke toonde in 1666 een uurwerk met kegelslinger in een zitting van de 'Royal Society' (T. VII, p. 304). Zie nog over dit onderwerp noot 13 van p. 337 van T. VII evenals de brief van Huygens aan zijn vader van augustus 1674 (T. VII, p. 390). Te raadplegen is ook Aanhangsel II van deel 4 hierna.
1) Veltman heeft een handgeschreven beschrijving van 1587 gevonden van Jost Bodeker, vicaris van de dom van Osnabrück, van het uurwerk dat voor deze dom is gebouwd; hij heeft deze in 1890 gepubliceerd in T. XV van de Mitteilungen des historischen Vereins zu Osnabrück, in zijn artikel 'Handschriftliche Aufzeichnungen über einige alte, jetzt verschwundene Uhrwerke der Stadt Osnabrück'. Dit werk wordt geciteerd door E. Bassermann-Jordan in zijn Geschichte der Räderuhr van 1905 (p. 43 e.v.). In het manuscript is sprake van een
De balans was niet afwezig, want Bodeker, die de nieuwheid van zijn uitvinding roemt, voegt eraan toe dat men naar believen ofwel de balans kan laten functioneren, ofwel de ster. Veltman spreekt de hypothese uit dat het om een conische slinger gaat en Bassermann-Jordan sluit zich hierbij aan.
|
[ 67 ]
|
Geen enkel uurwerk met kegelslinger van deze tijd is bewaard gebleven, naar we menen. Blijkbaar hebben deze uurwerken niet veel opgang gemaakt.
In de marge geven we de pagina's aan van de oorspronkelijke uitgave van 1673 van Hor. osc.. De Bibliotheek van de Universiteit van Leiden bezit het exemplaar van Huygens*), waarin deze verscheidene drukfouten gecorrigeerd en enkele andere wijzigingen in de tekst ingebracht heeft. 's Gravesande heeft in zijn uitgave van 1724 rekening gehouden met deze opmerkingen, waarvan enkele betrekking hebben op bepaalde figuren met kleine gebreken. We reproduceren hier de figuren van 's Gravesande, die afgezien van deze correcties overeenkomen met de originele figuren; behalve dat ze bij het voorstellen van instrumenten, of algemener voorwerpen, schaduwen hebben in de uitgaven van 1724 en 1751.
*) Vergelijk noot 3 van p. 93 hierna. [Zie UBL, ex. Bijzondere Collecties "Cum emendation. mss. auctoris" (met verbeteringen in handschrift van de schrijver). T. IX, p. 456: bij deel 4.] [ Er is nog een ander Huygens-exemplaar met aantekeningen, zie bij p. 309 hierna. Meer gegevens erover (uit 1971) staan in Posner, 'Collector's file'. Met dank aan Ad Leerintveld en Kees Verduin.] Digitale uitgaven: 1673: Gallica, MPIWG, Posner, Google (Michigan, ook: BSB, Lausanne, Lyon, Rome), e-rara, GWLB, het laatste met Leibniz-marginalia op p. 11, 49, 66, 70, 79, 80, 82, 84, 89, 100, 105, 130, 145 (r. 15), 148 (r. 19) — zie Leibniz, Mathematische schriften, 4 (2008), p. 27. 1724: IMSS, Strasbg, e-rara. 1751: MPIWG. Vertalingen: Die Pendeluhr, ed. A. Heckscher, A. v. Oettingen, Leipzig 1913 — leesbaar, wat vrij en soms verkort, gedegen, met moderne formules. Franse vertaling in T. XVIII, 1934 — uitgebreider geformuleerd, wel precies. Horologium oscillatorium - L'Horloge oscillante, Christian Huyghens; trad. du latin en français avec des notes par Jean Peyroux, 1980. Christiaan Huygens' The pendulum clock or geometrical demonstrations concerning the motion of pendula as applied to clocks, transl. with notes by Richard J. Blackwell; introd. by H. J. M. Bos, Iowa 1986 — zeer leesbaar, vrij, niet foutloos (b.v. p. 28, r. 7-11). 'Christian Huygens : Horologium Oscillatorium', transl. and ann. by Ian Bruce, 2007 — minder goed. Deel 4: 'On the center of oscillation', transl. Michael S. Mahoney, Readings, 1977/95 — betrouwbaar. Jan Aarts, Christiaan Huygens: Het Slingeruurwerk. Een studie, Epsilon 2015. De hier volgende digitale editie in het Nederlands (2013) is opgezet als een zo nauwkeurig mogelijke vertaling die nog leesbaar is; bij elke zin is pas na een eerste eigen vertaling gekeken naar de overeenkomstige zin in de uitgaven van 1913, 1934 en 1986. Op- en aanmerkingen zijn welkom.  H. J. M. Bos in Introd. 1986, p. xxvii:
|
