Voorbericht   In het voorgaande Voorbericht (p. 189-200) hebben we herhaaldelijk gesproken over de door Huygens in de loop van zijn leven geuite ideeën over de cirkelbeweging en de cerntifugale kracht, in verband met zijn opvatting van de wereld en van de ruimte. Men heeft gezien, zowel in dat Voorbericht als in de bladzijden die Huygens zelf heeft geschreven tegen het einde van zijn leven (p. 213-233 van dit deel), dat de verschillende filosofen die belang stelden in kosmische kwesties, verschillende opvattingen hadden over de aard van beweging, absoluut of relatief. We hadden kunnen toevoegen dat discussies over de aard van de ruimte en hiermee verbonden kwesties werden voortgezet na de dood van Huygens 1), dat nog heden ten dage, in de eerste helft van de twintigste eeuw, hevig is gedebatteerd over de kwestie van het al of niet bestaan van absolute beweging en dat in dit debat meespeelt het probleem van de aard van de centrifugale kracht die b.v. oorzaak is van de afplatting van de aarde en het niet overal gelijk zijn van de zwaartekracht op haar oppervlak. Deze laatste   1)  Zie b.v. enkele geschriften van Leibniz enerzijds en van Clarke, vriend van Newton, anderzijds in Des Maizeaux (ed.), Recueil de diverses Pièces, sur la Philosophie, la Religion naturelle, l'Histoire, les Mathématiques &c., 2e ed. Amst. 1740 [Engl. 1717]. Maar hier is de discussie, al gaat ze deels over 'absolute beweging', niet uitsluitend wetenschappelijk.

[ 238 ]

kwestie heeft Huygens' belangstelling gehouden vanaf 1659 tot aan het eind van zijn leven. In het Manuscript 'De Vi Centrifuga'*) wordt de verandering van de zwaartekracht ten gevolge van de draaiing van de aarde een enkele keer genoemd, in § 4 (Aanhangsel I, p. 304); onder de laatste Aanhangsels zal men er ook een vinden (Aanhangsel VI, p. 323-326), waar dit onderwerp wordt aangevat; nauwkeuriger onderzoek over dit onderwerp is bestemd voor een van de volgende delen.°)   Deze Verhandeling, al in 1659 geschreven, is door Huygens nooit gepubliceerd; ze is pas verschenen in 1703, acht jaar na zijn dood, in de Opuscula postuma, verzorgd door de professoren de Volder en Fullenius, aan wie Huygens deze taak in zijn testament legateerde. Weliswaar had hij als te publiceren werken alleen bij name genoemd de 'Dioptrica', de verhandeling 'De motu corpoprum ex percussione' en de verhandeling 'De formandis poliendisque vitris', maar de genoemde uitgevers van de Opuscula postuma zeggen terecht, op de tweede bladzijde van hun voorwoord, dat ze gemeend hebben in de geest van de schrijver te handelen door er enkele andere verhandelingen aan toe te voegen, waaronder 'De vi centrifuga'.   De uitgevers hebben de volgorde van de proposities omgezet en in de verhandeling opgenomen enkele van die, gepubliceerd door Huygens in 1673 aan het eind van zijn Horologium oscillatorium 1), met door henzelf opgestelde bewijzen. Eén propositie, de zeventiende en laatste (p. 299), is door hen opgesteld, maar het bewijs is van Huygens. We vonden het gepast aan de verhandeling de vorm te laten die de uitgevers eraan hebben gegeven, maar we hebben hun toevoegingen aan de oorspronkelijke verhandeling tussen haken gezet. De noten geven bovendien de oorspronkelijke tekst waar de uitgevers wijzigingen hebben aangebracht, overigens weinig belangrijke.   Hier is de volledige lijst van toevoegingen: De woorden 'Propositie I', Propositie II', enz. tot aan de laatste 'Propositie XVII'; De woorden "Lemma I' en 'Lemma II' voorafgaand aan Prop. VII; De bewoordingen van elk van de zes Proposities VII, XII, XIII, XIV, XV en XVI, ontleend aan Horologium oscillatorium, en het bewijs, opgesteld door de uitgevers, van elk van deze proposities, uitgezonderd de laatste. De bewoordingen van Prop. XVII.   [ *)  HUG 26, 003r-017v.]     [ °)  T. XXI, 383 e.v.]   1)  We hebben de dertien Proposities van Horologium oscillatorium weergegeven in het hierna volgende Aanhangsel III (p. 315-318) [Ned.].

[ 239 ]

Het Manuscript van Huygens (zie p. 254, noot 1) begint met de paragrafen die we hebben samengebracht in Aanhangsel I (p. 302-311). Al deze paragrafen ontbreken in de Verhandeling zoals gepubliceerd door de uitgevers, behalve § 9 die ze hebben ingevoegd onder de naam 'Lemma I' voorafgaand aan Prop. VII (p. 281).   De omzetting van de volgorde der proposities door de uitgevers had als doel, zoals zij in hun voorwoord zeggen, de Verhandeling meer in overeenstemming te brengen met de Proposities gepubliceerd in Horologium oscillatorium. Zoals de noten op p. 315-318 aanduiden, zijn inderdaad alle proposities van Horologium oscillatorium in dezelfde volgorde terug te vinden in de verhandeling 'De vi centrifuga' (soms is evenwel de inkleding wat verschillend); behalve in het geval van Prop. II en III die van plaats verwisseld zijn. De verhandeling bevat bovendien Prop. VI, IX, XI en XVII.   Het schijnt dat de uitgevers zich in hun bewijzen van Prop. VII, XII, XIII, XIV en XV hebben laten inspireren door de redeneringen van Huygens die staan in Manuscript A [HUG 10]; zie hierover p. 320, noot 1, p. 321, vierde en vijfde alinea van noot 4 van p. 320, en p. 325, noot 6. Misschien maken ze in hun voorwoord een toespeling op de pagina's die uit Manuscript A zijn gehaald, wanneer ze zeggen dat zij de proposities bewezen hebben zie genoemd zijn 'volgens de fundamenten gelegd door de illustere Huygens'. Maar, zoals men kan zien in Aanhangsel V (p. 320) voor het geval van het bewijs van propositie XII — het enige van de bewijzen die Manuscript A bevatte, waarvan een deel bewaard is gebleven — ze hebben aan deze bewijzen de vorm gegeven die hun geschikt leek: ze hebben het bewijs van propositie XII minder uitsluitend meetkundig weergegeven door er de uitdrukking 4√ 2 te introduceren. Hun bewijzen van Prop. XIII en XV hebben eveneens een half meekundig, half algebraïsch karakter, terwijl alle bewijzen van Huygens die de Verhandeling bevat uitsluitend meetkundig zijn 2).   Waar heeft Huygens het idee vandaan de aard van de cirkelbeweging grondig te onderzoeken? Traditie, waarneming en praktische mechanica hebben hem ertoe gebracht.   2)  In § 15 van het Manuscript (zie p. 309) heeft de redenering van Huygens een algebraïsche vorm. Deze § was dus waarschijnlijk niet bestemd om in deze vorm te worden gepubliceerd.

[ 240 ]

De schijnbare draaiing van het hemelgewelf 1) heeft sinds Plato en Aristoteles, en al ver vóór hen, de denkers ertoe geleid in de eenparige cirkelbeweging iets heel opmerkelijks te zien. Hoewel Huygens, dankzij Archimedes, Descartes, Galilei en zijn hele opvoeding evenals zijn positieve instelling, ver verwijderd is van elke verering van scholastische ideeën, zijn er toch voor hem zoals voor Aristoteles weinig anders dan twee soorten natuurlijke bewegingen: de rechtlijnige beweging en de cirkelbeweging 2). Dientengevolge is een onderzoek van de aard van rechtlijnige beweging en van cirkelbeweging om zo te zeggen een algemeen onderzoek naar de aard van beweging. Ook Galilei, die toch de parabolische aard heeft ontdekt van de kromme beschreven door een voorwerp dat in de lucht wordt geworpen, spreekt niet over kromlijnige beweging in het algemeen en beperkt zich bijna altijd tot het beschouwen van de rechtlijnige beweging en de eenparige cirkelbeweging: men heeft opgemerkt dat hij het vermijdt melding te maken van de elliptische aard van de planeetbanen, ontdekt door Kepler, ofschoon hij heel goed diens werken kent en ofschoon zijn leerlingen zich niet dezelfde beperking opleggen 3). Het zijn vooral Galilei en Descartes die, voor Huygens, juiste en vruchtbare ideeën over draaiing hebben geuit. Eerder weerlegt Kepler in zijn Epitome Astronomiae Copernicanae kort de mening van degenen die denken dat, als de aarde draaide, beweegbare voorwerpen in de lucht geworpen zouden worden: hij zegt dat er tussen een draaiende aarde en een draaiend wiel dit verschil is, dat in het eerste geval de voorwerpen om zo te zeggen vastzitten aan de aarde door een aantrekkende werking 4), maar hij probeert niet de grootte te bepalen   1)  Wanneer men slechts denkt aan tijdmeting, een onderwerp dat Huygens al enkele jaren voor 1659 bezighield, is er geen merkbaar verschil tussen een cirkelbeweging van het hemelgewelf enerzijds en de draaiing van de aarde anderzijds. Toen hij de in noot 5 van p. 194 aangehaalde woorden opschreef ["... wat dat toch is: Of de aarde stilstaat of de sterrenhemel."] dacht Huygens misschien vooral aan tijdmeting.   2)  In 'Discours de la Cause de la Pesanteur', gepubliceerd in 1690, schrijft Huygens: "Als we eenvoudig de lichamen beschouwen, zonder deze hoedanigheid die men zwaarte noemt, is hun beweging van nature hetzij rechtlijnig, hetzij cirkelvormig ..." [vervolg]. Laten we, om elk misverstand te vermijden, eraan toevoegen dat Huygens er geenszins aan denkt om, zoals Aristoteles, onderscheid te maken tussen natuurlijke en opgedrongen of tegennatuurlijke bewegingen; bij Huygens slaat de term 'rechtlijnige beweging' trouwens op de eenparig rechtlijnige beweging, terwijl bij Aristoteles de versnelde rechtlijnige beweging van vallende lichamen een natuurlijke beweging is.   3)  L. Olschki, Galilei und sein Zeit, Halle (Saale), Max Niemeyer Verlag, 1927, p. 354-357.   4)  J. Kepler, Epitome Astronomiae Copernicanae [1635], Lib. I, § 7, p. 137 van de editie genoemd op p. 192, noot 1: "Stenen zijn door een aantrekkende werking aan de aarde gebonden".

[ 241 ]

van de centrifugale werking ['virtus'] ten gevolge van de draaiing. Galilei gaat verder. Zoals Kepler gaat hij uit van een beschouwing van de draaiende aarde, en hij onderwijst dat het heel goed zo kan zijn dat de grote lineaire snelheid, die een voorwerp op het oppervlak van de aardbol krijgt door de dagelijkse beweging, niet groot genoeg is om dit voorwerp in de lucht te werpen, omdat de oorzaak van dit wegslingeren ("causa della proiezione" of "dello scagliamento") minder wordt, voor eenzelfde lineaire snelheid, naar gelang de straal van de beschreven cirkelomtrek toeneemt 5). De figuur van Galilei [links] die men vindt in de 'Giornata secunda' van de Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo 6) lijkt veel op Fig. 4 [rechts] van p. 306 van dit deel. Galilei beschouwt, zoals Huygens in § 8 op de genoemde pagina, twee voorwerpen die concentrische cirkels beschrijven met gelijke lineaire snelheden; en hij geeft in de figuur voor elk van de twee voorwerpen aan (wat eveneens had moeten worden aangegeven in de figuur van Huygens) de afwijking van de raaklijn overeenkomend met de beschreven kromme in een bepaalde vrij korte tijd 7). Vervolgens verzekert hij dat de (centripetale) krachten die de voorwerpen van de raaklijn weg doen gaan des te groter zijn naarmate de afwijkingen van de raaklijn aanmerkelijker zijn 8). Dit stemt volkomen overeen met de theorie van Huygens. Galilei is zo ver gegaan als men kon gaan zonder een precieze definitie te geven van de centripetale [mddelpuntzoekende] of centrifugale [middelpuntvliedende] 'forza' 9).   Na Galilei spreekt Descartes, door Huygens in dit verband genoemd in zijn 'Discours de la Cause de la Pesanteur' (zie de noot 4 die begint op p. 327) herhaaldelijk over de beweging van een steen in een werpslinger. Na te hebben   5)  Edizione Nazionale, VII, p. 238.       6)  Edizione Nazionale, VII, p. 242  [1632, 211].   7)  In Fig. 11 van p. 275 van dit deel is FE de 'afwijking van de raaklijn'. Het op de cirkelomtrek draaiende voorwerp doorloopt de boog BF in dezelfde tijd waarin het (afgezien van zwaarte) de rechte BE zou hebben doorlopen wanneer het de omtrek in punt B had verlaten. Punt E kan strikt genomen slechts worden beschouwd als liggend op het verlengde van de straal AF indien boog BF en lengte BE, die eraan gelijk is, oneindig klein zijn.   8)  Edizione Nationale, VII, p. 243: "... om een beweeglijk lichaam van een beweging te doen afwijken waarvoor het de impetus bezit, is daarvoor niet een grotere of kleinere kracht nodig, al naar gelang de afwijking groter of kleiner is? Dat wil dus zeggen al naar gelang het lichaam in die afwijking een langere of kortere afstand moet afleggen in dezelfde tijd?" [vertaling van Hans van den Berg, 2012].   Even verderop (p. 244) vindt men echter de onjuiste mening dat voor twee wielen met ongelijke straal die met dezelfde hoeksnelheid draaien, de centrifugale krachten gelijk zijn [? r. 12: non più]. Dit is ongetwijfeld de fout waarnaar Huygens verwijst in de woorden, geciteerd in noot 3 van p. 251 hierna.   9)  Huygens beschouwt vooral de centrifugale kracht, Galilei daarentegen de centripetale kracht (zonder deze term te gebruiken; vergelijk de vorige noot). Zie over dit onderwerp het vervolg van dit Voorbericht (p. 246 e.v.).

[ 242 ]

vastgesteld "de eerste natuurwet: Dat elk ding in de toestand blijft waarin het is, zolang niets het verandert", zegt Descartes: "De tweede wet die ik in de natuur opmerk, is dat elk deel van de materie op zichzelf nooit geneigd is te blijven bewegen langs kromme lijnen, maar langs rechte lijnen ... elk lichaam dat in het rond wordt bewogen, is zonder ophouden geneigd zich te verwijderen van de cirkel die het beschrijft. En we kunnen het zelfs met de hand voelen, enz." 1). Verderop beschouwt hij ook een figuur analoog aan de genoemde figuur van Galilei en hij zegt over de draaiende steen dat "als we, inplaats van de hele kracht van zijn slingering te beschouwen, alleen letten op het ene deel waarvan de uitwerking wordt belet door de slinger 2), en we onderscheiden dit van het andere deel, waarvan de uitwerking zo niet wordt belet", zullen we zeggen dat de steen "alleen probeert zich te verwijderen van het middelpunt" langs het verlengde van de straal 3). Hier is het duidelijk de centrifugale kracht waarvan sprake is. Elders drukt hij zich als volgt uit: "wetend dat het ene deel van zijn neiging, te weten datgene dat het langs de cirkel laat gaan ... helemaal niet wordt belet door deze slinger, zult u wel inzien dat hij slechts weerstand ondervindt wat betreft het andere deel ... en dientengevolge, dat hij slechts geneigd is, dat wil zeggen slechts probeert, zich recht van het middelpunt te verwijderen" 4). Hier wordt de centripetale kacht ook genoemd, onder de naam 'weerstand'. En zeggen dat de steen "het touw doet spannen" 5), is dat niet ook aanduiden dat er een kracht is in elk van de twee richtingen?   Maar het is niet alleen dankzij de waarneming van de dagelijkse beweging en de geschriften van zijn voorgangers over de mechanica van hemel of aarde, dat Huygens belangstelling heeft voor de cirkelbeweging; al voor de samenstelling van de verhandeling 'De vi centrifuga' denkt hij al na over de bouw van uurwerken met een kegelslinger. Zijn uitvinding van het gewone slingeruurwerk is geoctrooieerd in 1657 6). In Manuscript A is een plan te vinden voor een uurwerk met kegelslinger daterend van 5 oktober 1659 7);   1)  Les Principes de la Philosophie [1647], II, §§ 37 en 39 (ed. van Adam en Tannery, T. IX, p. 84 en p. 86).   2)  [In het Frans:] Fonde (Lat. funda), een oude vorm van het woord 'fronde'.   3)  Zelfde werk, III, § 57 [fig.] (T. IX van ed. Adam en Tannery, p. 131).   4)  Le Monde [1664, 189], hoofdstuk XIII (T. XI van dezelfde editie, p. 85).   5)  Zelfde werk, hoofdstuk VII [1664, 95] (zelfde deel, p. 44).   6)  Zie p. 237 van T. II.   7)  Manuscript A, p. 175 [HUG 10, 88r]: "Uitgevonden op 5 Oct. 1659". In een brief aan zijn vader (T. VII, p. 391) zegt Huygens het uurwerk met kegelslinger te hebben uitgevonden in 1658 ["kort na het andere"; zie ook T. XVII, 87-91].

[ 243 ]

weliswaar wijst niets erop (wat evenwel niet onmogelijk is 8)) dat de bedenker van dit plan de gang van zo'n slinger als de getekende in oktober 1659 9) heeft waargenomen; niettemin is het zeker dat Huygens ook belang stelde in de cirkelbeweging als man van de praktijk, uitvinder van instrumenten die de tijd het zo nauwkeurig mogelijk kunnen meten.   Laten we nu kort de inhoud samenvatten van de Verhandeling zoals die in 1703 is gepubliceerd door de uitgevers de Volder en Fullenius en heruitgegeven, eerst door 's Gravesande in de Opera reliqua, vol. II, van 1728, vervolgens door ons; zonder evenwel bij dit korte overzicht uit te sluiten het gedeelte van Manuscript A, door ons gepubliceerd in Aanhangsel I.   Het experiment laat enerzijds zien dat vrije lichamen vallen met een eenparig versnelde beweging, anderzijds dat een een aan een draad opgehangen lichaam een trekkracht uitoefent op deze draad en op de hand die hem vasthoudt. Men kan dus zeggen dat een lichaam een trekkracht of kracht uitoefent op een draad die het in bedwang houdt als dit lichaam geneigd is te gaan bewegen in de richting van het verlengde van de draad, met een eenparig versnelde beweging; en men kan aannemen dat de uitgeoefende kracht dezelfde is voor gelijke lichamen 10) die geneigd zijn te gaan bewegen met dezelfde versnelling 11), al was het maar gedurende een oneindig korte tijd 12).   Wat nu de spanning van de draad bepaalt en de kracht, ondervonden door degene die hem vasthoudt, is niet noodzakelijkerwijze de neiging tot de hele beweging die het voorwerp zou krijgen als het van elke belemmering bevrijd werd; van belang is de neiging tot versnelde beweging ten opzichte van de gespannen draad. Bijvoorbeeld in het geval van een voorwerp geplaatst op een hellend vlak (volkomen glad) en tegengehouden door een draad evenwijdig aan dit vlak 13),   8)  Vergelijk noten 2 en 5 van Aanhangsel IV hierna (p. 319): op 15 nov. 1659 zegt Huygens de waarde van de constante g te hebben bepaald "uit de beweging van een kegelslinger" [T. XVII, 281].   9)  In de 'Briefwisseling' van Huygens (T. I-X) wordt de bouw van een uurwerk met kegelslinger pas eind 1667 genoemd. Op 4 dec. 1667 (zie p. 167 van T. VI) schrijft Huygens aan zijn broer Lodewijk: "Ik laat nu een ander soort uurwerk bouwen, of zelfs twee andere, de ene met een slinger die ronddraait" en op 12 okt. 1668 (p. 267 van T. VI) aan broer Constantijn: "Ik heb er hier een met de cirkelbeweging dat ik pas heb uitgevonden, dat vrij goed loopt, en zonder geluid".   10)  "Mobilia aequalia"; zie b.v. Prop. I op p. 267.       11)  P. 259, eerste alinea.   12)  Huygens spreekt in het algemeen over een zeer korte tijd of over een willekeurig korte tijd, en evenzo, als het van pas komt, over een zeer kleine of willekeurig kleine afstand. Eén enkele keer evenwel (p. 277, r. 20) vindt men de modernere uitdrukking "oneindig klein".   13)  P. 305, § 5.

[ 244 ]

is de versnelde beweging waarom het gaat die, welke het voorwerp zou krijgen als de draad gebroken was maar het vlak op zijn plaats zou blijven; als de versnelling van deze beweging langs het vlak b.v. een kwart is van die van een vertikaal vallend lichaam, zou de hand die de draad vasthoudt een kracht ondervinden gelijk aan een kwart van het gewicht van het lichaam. Evenzo: de grootte van de kracht ondervonden door iemand die vaststaat op een draaiend wiel dichtbij de rand 1) en die een heel korte draad in de hand houdt waaraan een lichaam is vastgemaakt, zal afhangen van de eenparig versnelde beweging 2) die het lichaam zou verkrijgen op het allereerste moment in de richting van de draad, als de draad gebroken was (in dit laatste geval ziet men af van de zwaartekracht). Weliswaar is de richting van de draad niet onveranderlijk voor een toeschouwer die niet deelneemt aan de draaiing, maar voor de man op het wiel wordt de draad voortdurend gericht langs het verlengde van de straal die overeenkomt met de plaats die hij op het wiel inneemt, en wanneer de draad is gebroken ziet hij op het allereerste moment het voorwerp zich verwijderen met een versnelde beweging blijvend op het verlengde van de straal 2); het is dus wel in de richting van dit verlengde dat hij een trekkracht moet voelen als de draad nog niet gebroken is 3). Dezelfde redenering is van toepassing op het geval waarin het draaiende voorwerp met een draad is vastgemaakt niet aan een punt dichtbij de rand van het wiel, maar aan het draaiingsmiddelpunt zelf. Nu weet men dat de in gelijke tijden doorlopen afstanden zich tot elkaar verhouden als de versnellingen; de verhouding van de centrifugale kracht tot de zwaartekracht zal dus gelijk zijn aan die van de zeer kleine of liever oneindig kleine afwijking van de raaklijn tot de weg, in dezelfde tijd door het lichaam doorlopen als het vrij valt 4). Dan is de absolute grootte van de centrifugale kracht bekend. Bij vergelijking van de verschillende afwijkingen van de raaklijn voor verschillende voorwerpen in gelijke tijden, vindt men de verhoudingen van de overeenkomstige centrifugale krachten, wat men zelfs kan doen alvorens de absolute grootte van één ervan te hebben bepaald 5).   1)  P. 261, r. 4.   2)  Deze beweging kan op het allereerste moment inderdaad beschouwd worden als eenparig versneld; zie de derde alinea van p. 265.   3)  Tweede alinea van p. 265.   4)  Zie op p. 275 Prop. V, volgens welke de centrifugale kracht (vgl. noot 1, van p. 274) gelijk is aan de zwaartekracht, als de afwijking van de raaklijk (FE) gelijk is aan de afstand die het lichaam zou doorlopen bij vrije val (met beginsnelheid nul natuurlijk) in dezelfde tijd waarin het de boog BF doorloopt die behoort bij de afwijking FE.   5)  Prop. I-IV (p. 267-275), en §§ 5-8 (p. 305-306). In het gedeelte van het Manuscript gepubliceerd in Aanhangsel I hierna, wordt de grootte van de centrifugale kracht aangeduid in § 1 (p. 303) die voorafgaat aan de bepaling van de verhouding van centrifugale krachten in speciale gevallen. Deze § 1 is, anders dan Prop. V, een uitspraak zonder bewijs.

[ 245 ]

Bij het lezen van de uitspraken van Prop. V (p. 275) en van § 1 (p. 303) zal men zien dat Huygens niet de bedoeling heeft gehad de grootte van de centrifugale kracht te bepalen met een algebraïsche formule, maar dat onze formule F = mv² / r (zie noot 8 van p. 303) met zijn uitspraken overeenkomt, als men ermee instemt de uitdrukking mg te nemen voor de gravitatiekracht, d.w.z. m de verhouding te noemen van deze kracht tot de versnelling van de zwaartekracht.   Prop. VI (p. 277) is te zien als een toepassing van de vorige propositie.   Prop. VII (p. 281) beschouwt het isochronisme van de omwentelingen van een bewegend voorwerp dat verschillende horizontale cirkelomtrekken doorloopt binnen een parabolische conoïde, of omwentelingsparaboloïde, met vertikale as 6).   In Prop. IX-XV (p. 287-295) beschouwen Huygens en de uitgevers de beweging van kegelslingers.   Tenslotte behandelen Prop. XVI en XVII (p. 295-301) de spanning die de draad van een enkelvoudige slinger ondervindt gedurende de beweging ten gevolge van het bestaan van de centrifugale kracht.   Onnodig te zeggen dat al deze proposities gemakkelijker kunnen worden bewezen met als uitgangspunt de formule F = mv²/r.   Hoewel Huygens zich heel helder uitdrukt is zijn terminologie niet absoluut constant. Het woord 'gravitas' duidt soms de zwaartekracht aan (het gewicht), b.v. in Lemma I van p. 281, soms ook de 'quantitas solida' (de massa), b.v. op p. 267, r. 13. Een kracht wordt niet alleen genoemd 'vis', maar ook 'potentia' (b.v. in Lemma II van p. 281); hij spreekt van de 'impetus circulationis', vaart van het rondgaan (p. 307, r. 19), van de 'conatus centrifugus', centrifugale neiging (b.v. p. 297, voorlaatste regel). In het algemeen oefent een lichaam een kracht uit wanneer het een neiging heeft   6)  Huygens heeft ongetwijfeld de voorwaarden voor isochronisme van de cirkelbeweging gezocht met het doel er een toepassing van te maken bij de bouw van uurwerken met een kegelslinger; vgl. ook § 14 van p. 308 [met de hier weergegeven figuur].

[ 246 ]

('conatus', drang) tot beweging, terwijl een draad of andere belemmering het verhindert te gaan bewegen in de richting van deze neiging. Huygens zegt verscheidene malen dat de centrifugale kracht of neiging van dezelfde soort is als de zwaartekracht of -neiging (b.v. p. 297, r. 7 van onder "proinde similem", daarom gelijksoortig; p. 277, r. 25 "aequalem plane", volkomen gelijk; in dit laatste geval zijn, anders dan in het eerste, de grootten van de beide krachten dezelfde). Zoals de 'gravitas' (gewicht), wordt de 'conatus' (drang) in het algemeen dus beschouwd als een grootheid evenredig met de 'quantitas solida' (massa). Zoals we hebben gezegd moet de 'conatus centrifugus' of 'vis centrifuga' (centrifugale drang/kracht) genomen worden voor een om een middelpunt draaiend voorwerp (of stoffelijk punt) 'respectu radii in quo situs est' (p. 265, r. 5), ten opzchte van de straal waarop het zich bevindt.   De redeneringen van Huygens (en van de uitgevers) in de verhandeling 'De vi centrifuga' schijnen zo onberispelijk te zijn dat men na lezing van de verhandeling geneigd is zich af te vragen hoe het mogelijk is dat verscheidene schrijvers in modernere tijden een logische moeilijkheid hebben gezien in het onderwerp dat ons bezighoudt. Daarom geven we het woord aan H. Hertz voor een uiteenzetting van deze moeilijkheid, die er toch echt wel is.

We slingeren een steen aan een touw in het rond; we oefenen daarbij met opzet een kracht uit op de steen; deze kracht brengt de steen voortdurend van de rechte baan af ... Nu verlangt echter de derde wet [van Newton: actie is gelijk aan reactie 1)] een tegenkracht bij de kracht, die door onze hand op de steen wordt uitgeoefend. Op de vraag naar deze tegenkracht luidt het voor ieder gewone antwoord: de steen werkt terug op de hand ten gevolge van de middelpuntvliedende kracht, en deze middelpuntvliedende kracht is inderdaad precies tegengesteld gelijk aan de door ons uitgeoefende kracht. Is nu deze wijze van uitdrukking toelaatbaar? ... In onze bewegingswetten [die Huygens nog niet kende] was de kracht de oorzaak die voor de beweging voorhanden was [dat is inderdaad de opvatting van Newton, uitgedrukt in de twee eerste wetten]. Mogen we, zonder onze begrippen te verwarren, nu opeens

1)  De drie "Axioma's of Bewegingswetten" van Newton zijn (tekst van de originele uitgave) [1687, p. 12, vertaling]:     1.  Dat elk lichaam volhardt in zijn toestand van rust of eenparig rechtlijnige beweging, zolang het maar niet door erop uitgeoefende krachten wordt gedwongen die toestand te veranderen.     2.  Dat de verandering van beweging evenredig is aan de uitgeoefende beweegkracht, en gebeurt volgens de rechte lijn waarlangs deze kracht wordt uitgeoefend.     3.  Dat er bij een actie altijd een tegengestelde en gelijke reactie is; oftewel dat de acties van twee lichamen op elkaar altijd gelijk zijn en tegengesteld gericht.

[ 247 ]

spreken van krachten, die pas door de beweging ontstaan, die een gevolg zijn van de beweging? [dat is de opvatting van Galilei, Descartes en Huygens, ouder dan de Principia van Newton] ... er blijft ons niets anders over dan te verklaren: de aanduiding van de middelpuntlviedende kracht als een kracht is een oneigenlijke aanduiding ... Maar waar blijven dan de eisen van de derde wet, welke een kracht verlangt, die de dode steen op de hand uitoefent en waaraan voldaan moet worden door een werkelijke kracht, niet alleen maar door een naam? 2)

Men ziet dat deze logische moeilijkheid niet bestond toen Huygens zijn verhandeling schreef. Ze wordt zichtbaar als men uitgaat van de wetten van Newton. Het is waar dat deze moeilijkheid ons niet moet verhinderen het stelsel van Newton te gebruiken. Hertz zelf voegt er aan toe 3):

We hebben in deze uiteenzettingen de toelaatbaarheid van het beschouwde beeld zo sterk in verdenking gebracht, dat het moet schijnen alsof het onze bedoeling was de toelaatbaarheid te bestrijden en tenslotte af te wijzen. Zo ver gaat nochtans onze bedoeling en onze overtuiging niet.

Toch ziet hij daarin "logische vaagheden" die "werkelijk bestaan" 3).   De klassieke theorie van de centrifugale kracht kan worden gepresenteerd in velerlei vormen, die eigenlijk weinig verschillen. Men kan verdedigen dat, volgens het principe van d'Alembert, elk dynamica-probleem kan worden herleid tot een statica-probleem door er fictieve krachten bij in te voeren. Op een fietser die in schuine stand door een bocht van het stadion rijdt, werken zogezegd twee krachten: de zwaartekracht en de kracht van de grond. De resultante van deze twee krachten is een centripetale (middelpuntzoekende) kracht. Geen andere kracht werkt op de fietser: hij is niet in evenwicht. Maar dit reële geval kan worden herleid tot een evenwichtsprobleem door een fictieve derde kracht toe te voegen aan de twee reële; deze fictieve kracht is de 'centrifugale kracht'.   Wat ook de waarde is van deze opvatting, het is niet de opvatting van Huygens, voor wie zoals gezegd de centrifugale kracht een kracht is van dezelfde soort als de zwaartekracht.   Kan men Huygens en 'd'Alembert' overeenbrengen? 4) Dat lijkt op het eerste gezicht moeilijk,   2)  Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt, von Heinrich Hertz, Leipzig 1894. J.A. Barth, p. 6-7. [Maar zie Newton, 1687, p. 2, Def. III: "Materiae vis insita ... vis inertiae": Ingewortelde kracht van de materie ... traagheidskracht.]   3)  Pagina 9.   4)  Noch Newton noch d'Alembert gebruikt de uitdrukking 'fictieve kracht', die moderner is. We vinden deze term voor het eerst op p. 46 e.v. van Traité de la Mécanique des corps solides et du Calcul de l'effet des machines van G. Coriolis, Parijs, Carilian-Goeury et V. Dalmont, 1844 [op p. 42: 'vitesse fictive']. Coriolis neemt absolute beweging aan.

[ 248 ]

en toch is de zaak in principe heel eenvoudig. Een kracht kan tegelijkertijd reëel zijn en fictief, reëel voor een waarnemer, fictief voor een andere waarnemer in andere omstandigheden. Door te zeggen dat de centrifugale kracht een fictieve kracht is, hebben we het gezichtspunt ingenomen van de toeschouwer die niet aan de beweging deelneemt. Maar voor de toeschouwer van Huygens, vast op het draaiende wiel, is de centrifugale kracht een reële kracht. Het is ongeveer wat Einstein zegt met de volgende woorden:

Een excentrisch op de draaischijf ... zittende waarnemer ondervindt een kracht, die in radiale richting naar buiten werkt, en die door iemand die in rust is ten opzichte van het oorspronkelijke referentielichaam [ten opzichte waarvan de schijf draait] wordt uitgelegd als traagheidswerking (centrifugale kracht) 1).

In de dagen van Galilei, Descartes, Huygens en Newton, en zelfs in die van d'Alembert en Lagrange, had nog niemand duidelijk gezegd dat men, om zonder dubbelzinnigheid te spreken over bewegingen van lichamen en over de krachten die ermee vergezeld gaan, moet beginnen met te zeggen welke beweging de toeschouwer heeft die de beweging van lichamen waarneemt, ten opzichte van deze lichamen. Men heeft evenwel opgemerkt (een of twee jaar voor de verschijning van het moderne relativisme 2), een detail niet zonder belang, aangezien na de verschijning van deze theorie elke poging om relativistische ideeën van enige waarde aan Huygens toe te schrijven te verklaren zou zijn met een zekere partijdigheid voor het moderne relativisme — en geen fout is ernstiger voor een historicus, noch moeilijker te vermijden, dan die van het toeschrijven aan oude schrijvers van moderne iedeeën waarvan zij geen kennis hadden) men heeft opgemerkt, zeggen we, dat Huygens in zijn verhandeling 'De vi centrifuga' om zo te zeggen geleid is door het principe van de relativiteit van beweging; dat wordt uitgedrukt door F Hausdorff, uitgever van de Duitse vertaling van de verhandeling 'De vi centrifuga' (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 138, Leipzig, W. Engelmann, 1903) in de volgende termen:   1)  Sammlung Vieweg, Heft 38, Ueber die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie, gemein­verständlich, von A. Einstein, F. Vieweg & Sohn, Braunschweig (Zwölfte Auflage, 1921), p. 54 [5e ed. 1920].   2)  Dat echter talrijke voorlopers had. Zie b.v. het werk van J. M. C. Duhamel [1870], aangehaald op p. 215 n.4, op p. 225 n.3, op p. 230 n.3 en op p. 233 n.4.

[ 249 ]

Huygens laat zich ook 3) hier*) leiden door het principe van de relatieve beweging, en het schijnt dat de centrifugale kracht bij deze opvatting vrij blijft van de duisterheden, die er herhaaldelijk (b.v. door Hertz 4), Die Prinzipien der Mechanik, p. 7) aan toegekend worden. Het gaat om de relatieve beweging van de op de raaklijn verder vliegende kogel ten opzichte van de waarnemer die met constante snelheid verder draait op de schijf ... 5).

Inderdaad is de verhandeling 'De vi centrifuga' op zichzelf beschouwd "frei von Dunkelheiten" — niemand heeft ooit naar we weten het tegengestelde gezegd.   Is het verbazend als Huygens later (zie de voorgaande stukken, p. 213-233) — na lange tijd de draaiing te hebben beschouwd als een 'echte' of 'absolute' beweging — met nadruk terugkomt op de relativiteit van beweging 6) (hoewel zonder ook maar in het minst een consequent relativistisch systeem te kunnen ontwikkelen)?   Over publicatie van het bewijs van de dertien Theorema's over de centrifugale kracht, gedrukt aan het eind van zijn Horologium oscillatorium, volstaat Huygens met te zeggen (p. 157 van de oorspronkelijke uitgave) dat dit bewijs is uitgesteld tot een andere tijd, "in aliud tempus dialata". Newton, aan wie Huygens een exemplaar van Horologium oscillatorium had gegeven, schreef aan Oldenburg: "I am glad, we are to exspect another discours of ye Vis centrifuga, wch speculation may prove of good use in natural Philosophy and Astronomy, as well as Mechanicks" 7). Zoals gezegd is de verhandeling echter gedurende Huygens' leven onuitgegeven gebleven 8).   3)  Dat wil zeggen: zoals in de verhandeling 'De motu corporum ex percussione' [Ned.].   *)  Het gaat om de laatste zin van de eerste alinea van p. 261 van dit deel: "unde hunc conatum inesse plumbo rectè dicemus", zodat we terecht kunnen zeggen dat deze neiging in het lood zit.   4)  We merken op dat Hertz waarschijnlijk niet 'De vi centrifuga' van Huygens heeft gelezen. In genoemd werk maakt hij slechts melding (op p. 5) van Archimedes, Galilei, Newton, d'Alembert en Lagrange.   5)  P. 73 van de genoemde uitgave.   6)  Daarbij geeft ook hij de naam 'ware beweging' aan relatieve beweging.   7)  Brief van Newton aan Oldenburg van 3 juli 1673; zie p. 326 van Tome VII.   8)  Al in 1667 had Huygens in een brief aan prins Leopoldo de Medicis zijn voornemen gemeld zijn botsingswetten "te zijner tijd" te laten verschijnen "zoals ook wat ermee verwant is over de kracht waardoor dingen die rondgedraaid worden van het middelpunt af neigen, waarover dezelfde zeergeleerde [Borelli] heeft gehandeld in Theoricis Mediceorum" (T. VI, p. 162). Zie over het werk van Borelli noot 2 van p. 251. In 1669 stuurt Huygens aan Oldenburg de anagrammen van enkele proposities over de centrifugale kracht "om bewaard te worden in de Acten van de Royal Society" (T. VI, p. 487) [486: brief, Ned.].

[ 250 ]

Ondanks het ontbreken van de verhandeling hebben de dertien Theorema's, hoewel niet voorzien van bewijzen, een opmerkelijke invloed gehad: met deze Theorema's, zo lijkt het, heeft Newton de exacte grootte van de centrifugale kracht leren kennen 1). Ziehier wat Huygens zelf over dit onderwerp opmerkt op p. 28 van Manuscript G [HUG 7, 28r] (we citeren deze passage geheel):

Ik verbaas me erover dat Mr. Newton zich de moeite heeft gegeven op een zo weinig waarschijnlijke en zo gewaagde hypothese zoveel Theorema's te bouwen en zo goed als een hele theorie van de werkingen der hemellichamen. Ik bedoel zijn hypothese die zegt dat alle kleine deeltjes van de verschillende lichamen elkaar wederzijds aantrekken, en dit in omgekeerde kwadratische verhouding van de afstanden. Hij kan tot zijn theorie van elliptische banen zijn gebracht door het boek van Borelli over de beweging van de satellieten van Jupiter, die ook beschouwt de vermindering van zwaarte bij vergroting van de afstand (hoewel hij niet de verhouding ervan opmerkt) en de elliptische banen tracht te vinden met de centrifugale kracht die de zwaarte opheft 2), maar hij heeft niet kunnen doordringen tot de echte fundamenten zoals Newton, die het voordeel heeft gehad de grootte van de centrifugale kracht te kennen uit de Theorema's die ik erover heb gegeven 3).

Newton zelf maakt melding van de betreffende Theorema's in het Scholium dat volgt op Prop. IV,   1)  Zie hierover p. 69-73, Anmerkung 16, van het werk van J. Bosscha: 'Christian Huygens. Rede am 200sten Gedächtnistage seines Lebensendes', aus dem Holländischen übersetzt von Th.H.W. Engelmann (Leipzig, W. Engelmann, 1895) [Ned. 1895], en p. 118-129 van het boek van F. Rosenberger: Isaac Newton und seine physikalischen Principien, ein Hauptstück aus der Entwickelungsgeschichte der modernen Physik (Leipzig, J.A. Barth, 1895). Fl. Cajori in zijn artikel: 'Newton's Twenty Years Delay in Announcing the Law of Gravitation' in de verzameling Sir Isaac Newton 1727-1927, a Bicentenary Evaluation of His Work (Baltimore, The Williams & Wilkins Company, 1928) komt tot de conclusie (p. 186) dat "Newton's delay of about twenty years in announcing the law of gravitation was due to theoretical difficulties involved in the earth-moon test", maar hij vermeldt niet het historische probleem van de ontdekking van de exacte grootte van de centrifugale kracht en stelt dus niet de vraag of Newton in zijn berekening van 1666 in dit verband moeilijkheden moet hebben gehad, zoals Bosscha en Rosenberger denken. Het is duidelijk dat om precies de aantrekking te kunnen berekenen uitgeoefend door de aarde op de maan, met de beweging van de laatste bekend, in haar ongeveer cirkelvormige baan, Newton de theoretische kennis over beweging had moeten hebben die neerkomt op kennis van de absolute waarde van de centrifugale kracht. G.D. Birkhoff in zijn artikel 'Newton's Philosophy of Gravitation, etc.' (dezelfde verzameling, p. 59) kent een beslissende invloed toe aan de theorema's van Huygens van 1673 op de ontdekking van de universele gravitatiewet.

[ 251 ]

Theor. IV, op p. 43 van de oorspronkelijke uitgave van Philosophiae naturalis Principia mathematica.   In de Manuscripten zijn verscheidene berekeningen te vinden die Huygens heeft uitgevoerd na de verschijning van de Principia van Newton, over de grootte van de centrifugale kracht op het oppervlak van de zon of van de planeet Jupiter, vergeleken met de grootte van de zwaartekracht op die plaatsen. Ze zullen een plaats krijgen in een van de volgende delen.*)   2)  G. A. Borelli, Theoricae mediceorum planetarum [1666] (zie p. 226, n.2 laatste alinea), p. 47:

... in de veronderstelling van datgene, wat niet lijkt te kunnen worden ontkend, te weten dat planeten een of ander natuurlijk streven hebben zich te verenigen met de wereldbol, waar ze omheen draaien, en dat ze inderdaad uit alle macht proberen deze te naderen, namelijk de planeten de zon, en de Mediceïsche sterretjes Jupiter. Bovendien is het zeker dat een cirkelbeweging aan een voorwerp een vaart geeft om weg te gaan van het middelpunt van zo'n draaiing, zoals we ervaren bij de cirkelbaan van een wiel, of van een werpslinger, waarmee een steen vaart krijgt om weg te gaan van het middelpunt van zijn draaiing; laten we dus veronderstellen dat een planeet tracht de Zon zelf te naderen, aangezien hij ondertussen wegens de cirkelbeweging vaart krijgt om zichzelf te verwijderen van dit zelfde zonsmiddelpunt, dan volgt hieruit, dat mits de tegengestelde krachten gelijk uitkomen (de ene wordt immers door de andere opgeheven) het niet dichterbij, en niet verder van de Zon zelf kan gebeuren buiten een zekere en bepaalde afstand, en daarom zal de planeet in evenwicht lijken, enz.

Voor Borelli had Plutarchus gezegd (zie op p. 260, n.8 van p. 259 van ons deel X): "... de maan beweegt zich niet volgens de beweging van haar zwaarte, daar haar neiging wordt afgewezen en verhinderd door de hevigheid van de cirkelvormige draaiing" (Franse vertaling van Amyot) [1572, p. 615v, H]. [ 'On the Face in the Moon', vertaling van Harold Cherniss in Plutarch's Moralia, vol. XII, 1957, p. 59: "... the moon is not governed by its weight: the weight has its influence frustrated by the rotatory motion." Met daaraan voorafgaand: "the moon is saved from falling by its very motion and the rapidity of its revolution, just as missiles placed in slings are kept from falling by being whirled around in a circle. For each thing is governed by its natural motion unless it be diverted by something else." Noot 48: "Plutarch himself in Lysander, XII.3-4 .. ascribes to Anaxagoras the notion that the heavenly bodies are kept from falling by the speed of their circular motion."]   3)  Op p. 2 van de verzameling 'Anecdota' [HUG 50:1] (zie over dit Mauscript noot 4 van p. 8 van ons T. XV) schrijft Huygens nog naar aanleiding van deze Theorema's: "Die over de centrifugale kracht zijn verschenen, maar niet bewezen ... Galilei heeft zich vergist" (vergelijk de tweede alinea van noot 8 van p. 241). "Newton heeft ze succesvol toegepast op de elliptische bewegingen van de Planeten. Hieruit blijkt hoe belangrijk deze kennis van de centrifugale kracht is".   [ *)  T. XXI, p. 411-412.]