S T E L L I N G 1 1:![]() Zoals de rechterzijde van de driehoek tot de linker, zo is het gewichtseffect van de bol op de linkerzijde, tot het gewichtseffect van de bol op de rechterzijde.
W E S E N D E een driehouc wiens plat {Planum.} rechthouckich op den sichteinder {Horizontem.} is, met sijn grondt daer af evewidich, ende op elck der ander sijden een rollende cloot met malcanderen evewichtich: Ghelijck des driehoucx rechter sijde tot de slincker, also t'staltwicht des cloots op de slincker sijde, tottet staltwicht des cloots op de rechter sijde.
Gegeven:![]() Basis AC is horizontaal. AB is dubbel zo groot als BC. Op AB ligt een bol D, op BC een bol E, met gelijk gewicht en even groot. Te bewijzen:Zoals AB 2 tot BC 1, zo is het gewichtseffect van bol E tot het gewichtseffect van bol D.T G H E G H E V E N. Laet ABC een driehouck wesen diens plat sy rechthouckich op den sichteinder, ende den grondt AC evewydich vanden sichteinder, ende op de sijde AB, die dobbel sy an BC, ligghe een cloot D, ende op de sijde BC een cloot E, evewichtich ende evegroot met den cloot D. T' B E G H E E R D E. Wy moeten bewysen dat ghelijck de sijde AB 2, tot BC I, alsoo t'staltwicht des cloots E, tottet staltwicht des cloots D.
Voorbereiding:Maak rondom de driehoek ABC een krans van veertien bollen, even groot, met gelijk gewicht, en even ver van elkaar.Ze zijn aaneengesnoerd en kunnen draaien om hun middelpunt. Op BC passen twee bollen, op BA vier. S, T en V zijn vaste punten waarover het snoer kan glijden: als je aan de krans trekt, rollen de bollen op AB en BC. T' B E R E Y T S E L. Laet ons maecken rondtom den driehouck ABC eenen crans van veerthien clooten, evegroot, evewichtich, ende evewijt van malcanderen, als E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, D, al ghesnoert an een lini, streckende door haer middelpunten {Centra.}, also dat sy op die middelpunten drayen mueghen; Datter oock twee clooten passen op de sijde BC, ende vier op BA, dat is ghelijck lini tot lini, also clooten tot clooten; laet oock an S, T, V, drie vastpunten staen, over welcke de lini ofte t'snoer der clooten slieren mach, also dat de twee deelen des snoers die boven den driehouck staen, evewydich {Parallela.} sijn vande sijden AB, BC; Inder voughen dat alsmen den crans an d'een ofte d'ander sijde neertrect, soo rollen de clooten op de linien AB, BC.
Bewijs:Als het gewichtseffect der vier bollen op AB niet gelijk is aan dat van de twee op BC, is het ene groter dan het andere.Neem aan dat van de vier op AB. Maar de vier eronder zijn in evenwicht met de vier onder BC. Dan zal de krans links naar beneden gaan en rechts omhoog. T' B E W Y S. Soo t'staltwicht der vier clooten D, R, Q, P, niet even en waer met het staltwicht der twee clooten E, F, t'een of t'ander sal swaerder sijn, latet wesen (soot mueghelick waer) der vier D, R, Q. P; Maer de vier clooten O, N, M, L, sijn evewichtich met de vier clooten G, H, I, K, de sijde dan der acht clooten D, R, Q, P, O, N, M, L, is swaerder na de ghestalt dan de sijde der ses clooten E, F, G, H, I, K: maer want het swaerste altijdt het lichtste overweeght, de acht clooten sullen neerwaert rollen, ende d'ander ses rijsen:
Latet soo wesen, ende D sy ghevallen daer nu O is, ende E, F, G, H, sullen sijn daer nu P, Q, R, D, ende I, K, daer nu E, F, sijn. Maer dit soo wesende, den crans der clooten sal alsulcken ghestalt hebben als sy te vooren dede, ende sullen om de selve redenen de acht clooten ter slincker sijde wederom staltwichtigher sijn dan de ses clooten ter rechter, waer duer de acht clooten wederom neer sullen rollen, ende d'ander ses rijsen, welcke valling ter eender, ende rijsing ter ander, om dat de reden altijdt de selve is, altijdt ghedueren sal, ende de clooten sullen uyt haer selven een eeuwich roersel maken, t'welck valsch is.
Het deel dan des crans D, R, Q, P, O, N, M, L, is evestaltwichtich met het deel E, F, G, H, I, K: Maer van sulke evewichtighe ghetrocken evewichtighe, de resten sijn evewichtich, laet ons dan van dat deel trecken de vier clooten O, N, M, L, ende van dit de vier clooten G, H, I, K, (welcke even sijn ande voornoemde O, N, M, L,) de resten D, R, Q, P, ende E, F, sullen evestaltwichtich sijn, Maer wesende dese twee evestaltwichtich met die vier, E sal tweemael staltswaerder sijn als D. Ghelijck dan de lini BA 2, tot de lini BC I, also t'staltwicht des cloots E, tottet staltwicht des cloots D.
[ Zie ook Wikipedia: Clootcransbewijs.]
Gevolg 1ABC is weer zo'n driehoek, AB = 2 BC.Op AB ligt een bol D, op BC een bol E met het halve gewicht van D. Bij F is een vast punt waarover DFE kan glijden. Er is weer evenwicht, dus AB : BC = D : E. ![]() Gevolg 2Nu is BC vertikaal, AB = 2 BC.Weer is er evenwicht, en AB : BC = D : E. ![]() Daerom ghelijck de lini AB, tot BC, alsoo den cloot D tot den cloot E. ![]() Ende den cloot D die dobbel is an E, sal noch met E evestaltwichtich sijn, want ghelijck AB tot BC, also den cloot D tot den cloot E.
Gevolg 3Bij F zetten we nu een katrol*). E is geen bol meer, maar houdt hetzelde gewicht.Er blijft evenwicht, dus AB : BC = D : E. ![]() Gevolg 4Nu een balkje in plaats van bol D, van gelijk gewicht, met de as GH loodrecht op AB.DF blijft evenwijdig met AB. Nog steeds is AB : BC = D : E. ![]() Daerom ghelijck AB tot BC, alsoo noch den cloot D tottet ghewicht E. ![]() Daerom laet ons weren den cloot, ende stellen in die plaets den pilaer D evewichtich met den cloot, alsoo dat den as GH (diens vastpunt G) rechthouckich sy op AB, ende de scheefheflini tusschen DF noch evewydich van AB, ende sniende de sijde des pilaers in I, Als hier nevens [boven]. Ende is openbaer dat ghelijck AB tot BC, (dat is dobbel als vooren) also den pilaer D tottet t'ghewicht E.
[ *) Hoe een goede katrol gemaakt wordt voor dit soort proeven staat in Weeghdaet, p. 17.]
![]() Laet ons nu ande lini KD voughen t rechthefwicht M met den pilaer evestaltwichtig, t'selve ghewicht M sal met den pilaer evewichtich sijn door het 14e voorstel: Daerom ghelijck LD tot DI, also M tot E. ![]() Ende ghelijck DL tot DO, alsoo t'staltwicht van DL, tottet staltwicht van DO, dat is, also M tot P. Inder voughen dat dese everedenheydt {Proportio.} niet alleen en bestaet inde voorbeelden, alwaer de heflini als DI rechthouckich is op den as, maer op allen houcken.
![]() Maer want LD ende DO binnen t'lichaem des cloots niet bequamelick en connen beschreven worden, so laet ons trecken de hangende CE, ende sullen dan hebben buyten t'lichaem een driehouck CEO, ghelijck anden driehouck LDO, welcker lijckstandighe {Homologa.} sijden sijn LD met CE, ende DO met EO, daerom ghelijck LD tot DO, alsoo CE tot EO, ende vervolghens ghelijck CE tot EO, alsoo t'ghewicht des cloots, tot P. ![]() |
En dit niet alleen bij bollen, maar ook bij andere glijdende of rollende dingen (waarover meer in de Weegdaet) zeggen we dat CE : EO = D : P.
Als AB horizontaal is, vallen CE en CO op eenzelfde lijn, en E valt samen met O.
Zodat alle schepen, wagens, enz. nog niet de kracht van een vlieg nodig hebben om horizontaal te bewegen, afgezien van de wrijving van water, lucht, assen, wielen e.d. ![]() ![]() Waer uyt volght, dat alle swaerheden voortghetrocken langs den sichteinder, als schepen int water, waghens langs t'platte landt, &c. en behouven gheen vlieghesterctens macht tot haer verroersel, meer dan de omstaende verhindernissen en veroirsaecken, als Water, Locht, Naecsel der assen, teghen de bussen, naecsel der rayers teghen de straet, ende dierghelijcke. |