Overzicht , Inleiding , zwaartepunt , werklieden , peert , snaphaen , steerten , Almachtich , Noten
Stevins WeeghdaetEr zijn 43 bladzijden, hier verdeeld in vier stukken:
Zie deel 1 van Principal Works voor een facsimile van De Weeghdaet. Origineel bij Google (UvA). Ander ex. (BSB) heeft het gedicht 'Om de weeghconst' van Jan de Groot, en de 'Uytspraeck' over de taal; dan Weeghdaet, Weeghconst, Waterwicht.
InleidingUit de onderwerpen blijkt: een 'weeghdaet' is niet alleen een meting van de zwaarte van iets, met een "waegh" (balans) of "onsel" (ongelijkarmige balans met weeghaak) 1. Het gaat ook over tillen en torsen, duwen en trekken, zoals de tekeningen duidelijk laten zien. Uitgangspunt is hierbij het eerste voorstel uit het eerste boek der Beghinselen, de 'hefboomwet': Wesende twee evestaltwichtighe swaerheden, de swaerste heeft sulcken reden tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten.In onze woorden: als aan een hefboom twee gewichten elkaar in evenwicht houden is de verhouding van zwaarste tot lichtste gelijk aan die van langste arm tot kortste. Maar de praktijk is nog wat anders dan de theorie, er is altijd wrijving (beletsel). Om iets op gang te krijgen is er meer nodig dan voor evenwicht. In Anden Leser staat het zo: dat de Weeghconst ons alleenlick leert, het roerende ter evestaltwichticheyt brenghen mettet teroeren. Angaende t'ghewicht ofte de macht, die t'roerende boven dien noch behouft, om het teroeren ter roerlicke daet te crygen (welck ghewicht ofte macht, overwinnen moet des teroeren beletsel [...]) de Weeghconst en leert dat ghewicht ofte die macht niet Wisconstlick vinden, d'oirsaeck is dattet een gheroerde ende siin beletsel niet everednich en is mettet ander gheroerde ende siin beletsel.De extra-kracht valt niet te berekenen, want de wrijving is niet evenredig met het te bewegen voorwerp. Ook andere 'beghinselen' komen aan de orde. Stevin legt op heldere manier uit, vaak met tekeningen, hoe je ze toepast in praktische situaties. *) J. G. Doppelmayr, Historische Nachricht von den Nürnbergischen Mathematicis und Künstlern (1730). Zwaartepunt
Laet AB een leere [ladder] wesen, op t'een einde swaerder als op t'ander soo sy ghemeenlick sijn, welcke ghedreghen moet worden van twee mannen, alsoo dat d'een soo veel ghewicht draghe als d'ander, dat is elck den helft [...]Hoe elk de helft van de ladder krijgt te dragen laat hij zien met tekeningen van het dragen op de schouder, of aan de hand. En dan veralgemeent hij: "yder lichaem", "ende dat de selue mannen eenen berch ofte hoochde opsteghen". Door deze bladzijden kan veler ervaring in het torsen van zware lasten verrijkt zijn (en worden) met inzicht. WerkliedenOmdat "veler wercklieden gheleghentheyt niet en is die voorstellen te leeren" laat Stevin ook zien hoe zij natuurkunde kunnen bedrijven in het vrije veld, zodat ze "wat ooghenschijnelicx saghen, waer duer sijt gheloofden": die mueghen nemen een rechten gheschickten, ofte crommen ongheschickten stock, soot valt [...] Aanwijzingen bij het maken van een balans ("waegh"): Maer soot den Waeghmakers te moeylick viel die plaets van t'scherp des dweersas, metgaders de ghenaeckselen der haecken ende des balcx, altijt soo puntelick te treffen, sy mueghen t'ghene gheseyt is houden als voor hun wit, dat soo naer commende als sy willen oft connen;Het woord 'wit' in de betekenis van 'doel' kennen we nog in 'doelwit'. Ende so sy van t'volmaecste yet souden begheeren te verschillen, mueghen ghedachtich sijn t'naecsel der haecken ende des balcx liever te stellen een haerken beneden de rechte lini AB, dan daer boven, want daer boven ghestelt sijnde, alles keert omme [...]De haken, waaraan de schalen hangen, kunnen de balk beter raken onder de horizontale lijn door het zwaartepunt; anders ontstaat een labiel geheel. Angaende dat de ermen des balcx evelanck moeten wesen, dat is kennelick, want soo d'eene een honderste deel des erms langher waer als d'ander, dat soude een bedriechlicke waegh sijn, overmidts t'ghene evewichtich schene, soude een ten hondert verschillen [...] T'ghebeurt dickmael dat d'een waegh veel stegher gaet als d'ander, sonder datmen weet waer an het liecht, want t'scherp des dweersas is van d'een soo bequaem als van d'ander, ende inde reste en openbaert hem niet ooghenschynelicx daermen de reden duer bemercken can: Afbeelding: TU Delft De ene balans gaat stugger dan de andere: er is meer gewicht nodig voor een zelfde uitslag. Het verband tussen gewicht en uitslag wordt als volgt gevonden:E is het ophangpunt van de balk, F het zwaartepunt van balk met 'tong' (wijzer), I het midden van de lijn tussen de ophangpunten van de schalen (links G), K het midden van FI (genomen dat de schalen met koorden en haken even zwaar zijn als balk met tong). Dan is K het punt waar de balans bij elke stand in evenwicht is, oftewel het zwaartepunt van het geheel. Als M het snijpunt is van KG met de vertikaal EL (L onderaan) geldt de verhouding: Paardhoe veel ghewichts een peert in een waghen ghespannen, meer treckt een hoochde op styghende, dan opt plat landt. [...] Daerom t'gareel oft riem oft sulcx alst waer, druckt t'peert soo stijf voor den borst L, als een pack van 500 lb op sijn rugghe duwen soude, ende dat (wel verstaende alst voortgaet) bouen het duytsel dattet lijdt op t'plat landt treckende.Een 'duytsel' is een ingedrukt merkteken, vergelijk: duit. De ervaring van de gewone man wordt verklaard met de theorie: als het paard de wagen trekt op het platte land is het bevorderlijk de 'strengen' niet horizontaal te doen, maar achter wat lager. Waarom is dat zo? op eenen oneffenen hobbelighen ende sandighen [wech], so voorderet de strijnghen achter wat leegher te doen dan vooren.Meer over het paard in de Byvough: de Toomprang. De afbeelding werd kennelijk gebruikt voor de titelpagina van G. van Aelst, Theoremata mathematica. Scientiae staticae, 1624. [>] De naam Stevinus komt daar voor (met eronder de 'clootcrans') in de figuur bij nr. 7. Vergelijk ook de voorlaatste figuur (nr. 19) met die van Weeghdaet, p. 25: 2 mannen die een last een helling op dragen. De afbeelding staat gespiegeld in: Georg Philipp Harsdörffer, Delitiae philosophicae et mathematicae ... Erquickstunden, 3, Neurenberg 1653, p. 396. SnaphaanEen voorbeeld is te vinden op blz 21, waar eerst de krachten berekend worden bij het dragen van een lans op de schouder: |
Maer so den man A waer een Snaphaen, met een ghesnapten haen I an K hanghende, weghende 3 lb, [...] tis kennelick dat den buyt sijn handt van 9 lb meer verswaren [...] soude.Het woord 'snaphaan' betekende: rover 2, maar Stevin neemt het letterlijk: de man heeft een haan 'gesnapt'. De buit voelt lekker zwaar, maar dat komt door de grote afstand tot zijn schouder. Devreese & Vanden Berghe (2003, p. 176): de tekening is in spiegelbeeld, sabel rechts i.p.v. links. Nooit maakt Stevin iemand anders belachelijk, niet als het gaat over de "aerbeyders", en ook niet als hij met ervaringen uit de praktijk enkele dwaze uitspraken van geleerden bestrijdt. Oude dwalingen worden in de Anhang verworpen op een sobere manier: inde plaets van veel besonder dwalinghen, alleen haer ghemeene oirspronckOver de "strijtredens" van de geleerden spreekt hij zijn "mishaghen" uit. SteertenSiende de menschen datmen met langher steerten een merckelicker grooter ghewelt dede dan met de corter, sy hebben veel ghemeene reetschappen tot hueren grooten dienste ende voordele daer duer ter daet ghebrocht:Stevin laat zien hoe je een nieuwe situatie in verband brengt met een bekende, en hij geeft weer zo'n tip voor de werklieden die het echt willen snappen: maak zelf een tekening! Wy hebben tot hier de ghedaente verclaert alwaer twee steerten sijn, over elcke sijde des vastpunts een; Wy sullen nu een voorbeelt gheven vanden steert alleenlick over een sijde. |
T' W E R C K. [ ... ] Men sal dan an B soo grooten ghewelt moeten doen om met de reste evestaltwichtich te sijn, als oftmen 280 lb ophielde. Ick treck de lini IK, beteeckenende den steert AB van 10 voeten, ende overmits AH twee voeten was, ende H swaerheyts middelpunt, ick teecken L, alsoo dat IL beteecken 2 voeten van IK 10, hanghende M 1400 lb an L, treckende daer naer IN even an IK, ende houdende I voor vastpunt, ick sie wat ghewicht an N sal moeten hanghen, op dattet met M evestaltwichtich sy [...]En dan komt hij voor de 'steert' AB weer uit op: hy moet 280 lb lichten an B, om met de rest evestaltwichtich te wesen. AlmachtichP L V T A R C H V S ende ander, schrijven dat Hiero Koninck van Sicilien, dede bauwen een schip van uytnemender grootheyt ende constigher form, om te schencken an Ptolemeus Koninck van Egypten; T'welck, doent [toen het] volmaeckt was, de burgheren van Syracusa om sijn swaerheyt in zee niet crijghen en conden, maer doen Archimedes daer an ghestelt had sijn reetschap die de Griecken Charistion noemen, Hiero heeft het daer duer selfs alleen metter handt vertrocken.Dit is uit 1586, in de latere uitgave van de 'Weeghconst', van 1605, is de formulering iets anders 3. Dan volgt een uitvoerige beschrijving, en een gebruiksvoorbeeld: Maer om de ghebruyck dese Almachtichs te verclaren, wy sullen een voorbeelt gheven daer alle d'ander ghenouch duer sullen bekent sijn, te weten van schepen daer mede over dammen of dijcken te trecken, want dat den cleynsten dienst niet en schijnt, die dese landen hier in ghedaen mach worden, voornamelick Hollandt.Een schip werd toen over een dam getrokken met een windas. Die had een vaste overbrengingsverhouding. Het Almachtich is beter, omdat de tandwielen makkelijk zijn in te stellen op een grote of kleine kracht: want om een cleyne lichte schuyt, ghebruycktmen duer windassen, t'ghene een veel grooter cracht vermach, t'welck den tijdt langher doet anloopen.Om een licht schuitje over de dam te trekken gebruikt men met een windas iets dat een veel grotere kracht vermag, en dat duurt te lang. |
Berekening: De man weegt 150 pond, en kan (onder F, verhouding 1 : 6) een kracht van 900 pond aan het touw geven. Die kracht wordt voorgesteld door het lijnstukje OM, als NM loodrecht op de helling is, en ON het gewicht van het schip. OM : ON = 1 : 3, dus het schip weegt 2700 pond (3/4 last). (Dit geldt alleen bij evenwicht, zonder wrijving.) Een dergelijke figuur staat bij een vraagstuk in: Dirck Rembrantz van Nierop, Mathematische calculatie (1659), p. 164, met dezelfde (nu wel rechthoekig getekende) driehoek MNO. Als het schip te zwaar is voor de windas kan het beschadigd worden, door een groot aantal ('menichte') mensen of paarden die met horten en stoten het schip van zijn plaats krijgen: Maer is het tetreckenwicht swaerder dan daer duer bequamelick can ghedaen worden, soo moetmen daer toe nemen groote menichte van menschen ofte peerden, welcke met grooten arbeydt altemet voortgaen, altemet stilstaen, ende daer duer den tijt verlanghen;Het Almachtich wordt verder behandeld in hoofdstukken met berekening van verhoudingen, en van benodigde tijd:
Aan het eind van de Weeghdaet moet Stevin toch nog even 'spieghelen'. In een hoofdstuk "Verclaring van t'ghene vooren belooft is" fantaseert hij over de "oneindelicke cracht" van zijn hijsinstrument. Eerst vergelijkt hij: Maer om vande oneindelicke cracht te segghen, het is te weten datmen met de kruc [...] soo veel vermach alsmen soude met een windas diens radts middellini van 324 voeten waerTerloops wordt dus toch nog een voordeel vermeld van de windas met looprad: je laat de zwaartekracht het werk doen (maar je moet wel steeds klimmen). |
Laet ons nu ande kruck (stekende anden leeghsten as van soodanighen Almachtich) een kindeken stellen, wat meer macht daer an doende dan een hanghende pondt, t'selve soude op den hoochsten as een ghewicht winden van 100000000000000000000000000000000 lb (maer ghedenckt dat dien hoochsten as op den eersten dach gheen heelen keeren doen en soude) dat is een ghewicht swaerder dan vierduysent mael t'eertrijck met al datter in is
Wel had hij al gezegd: "machtelick welverstaende, niet daetlick" (niet echt te doen; over de 'beletselen' zegt hij verder niets). Hij geeft de eer aan zijn grote voorbeeld uit de Oudheid: 4
Daerom doen Archimedes seyde, soomen hem een vaste plaets leverde buyten t'eertrijck daer hy sijn Charistion mocht stellen, hy soude t'eertrijck uyt sijn plaets trecken, hoe vreemt het luyt, tis nochtans de reden lijckformich, want by aldien het soo niet en waer, de swaerste swaerheyt en soude niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten, t'welck duer het Ie voorstel des Ien boucx onmueghelick is.Maar het gaat wel langzaam: Ghenomen dat de Charistion ofte t'Almachtich op soodanighen plaets stonde, [...] ende dat een man met yder keer [omwenteling] der kruck 100 lb drie voeten hoogh trocke, ende op yder uyr 4000 keeren dede, ende dat gheduerende thien iaren lanck, rekenende t'iaer 365 daghen, tis openbaer dat hy t'eertrijck op dien tijdt [...] bycans 1 / 2400000000000000 voets, uyt sijn plaets vertrecken soude, t'welck wel is waer een onsienlicke langde is, maer wy moesten de oneindelicke cracht verclaren, die machtelick hier in bestaet. Het slot van de Weegdaet wijst weer naar toepassingen van het Almachtich: als dat een schip in hem sal connen hebben een seer cleen reetschap van gheringhen cost, nochtans seer crachtich, hem dienende voor Craen om te laden ende ontladen: Om groote anckers op te winden, Voort om perssen te maken, als lakenperssen ende dierghelijcke, gheweldigher druckende dan noyt perssen en dructen: Om in groote ghebauwen sware steenen op te trecken, ende meer ander daermen groote ghewelt behouft [...].Het is goed dat Stevin ons laat beseffen dat voor het bereiken van een 'gouden eeuw' wel krachtig gereedschap nodig was. 5
Noten |
Olim Monachi nihil aliud eramus quam purior pars laicorum. Et hoc intererat inter Monachum et alium laicum, quod nunc interest inter frugalem et probum virum suis manibus alentem familiam, et inter Snaphanum ex praedationum reditu iactantem sese.De XXXV t'Samen-sprekinge, Ptochoplousii Franciscani, De kap maekt de man niet (1664), p. 406:
Eertijts en waren wy Moniken anders niet dan het suyverste deel der Leken, en dit onderscheyt was daer tussen een Monik en een ander Leek, dat hedensdaegs is tussen een gematigd' vroom Man, die met zijn handen zijn huysgesin onderhoud, en tussen een opsnapper, die hem van de inkomst zijner roverijen beroemt.Zie: A. H. Wesseling, 'Dutch Proverbs and Expressions in Erasmus' Adages, Colloquies, and Letters', in Renaissance Quarterly, 2002; 55 (1), 81-147. En eventueel het daar genoemde pamflet tegen roverbaronnen, met de titel: Schnaphan (1523) "fürt eyn armes reüter leben" (p. 1); het gaat om Franz von Sickingen (p. 2). «
T' M A E C K S E L ende de eyghenschappen des Almachtichs te verclaren.Het Almachtig werktuig was kennelijk niet zo'n doorslaand succes geworden als Stevin gehoopt had. De inleiding verwijst nu naar een tekening ervan, als een voorbeeld om krachten uit te leggen (p. 112):Ghedaenten en omstandigen der oneyndelicke crachten te verclaren.
De menschen maecken verscheyden reetschappen om cracht met te doen, waer in sy de ghewelt altijt connen vermeerderen sonder eynde, welcke wy daerom int ghemeen oneyndelicke crachten noemen.En dan volgt wat in de eerste versie op blz 34 stond.
Om te verclaren de ghedaenten en omstandighen der selfde; Als wat doende ghewelt in sulcken voorghestelden tuych evestaltwichtich sal sijn teghen het vertreckelick ghewicht: Hoe langhe tijt datter sal behouven om t'selve een seker verheyt te beweghen, en dierghelijcke, daer toe sal ick een form teyckenen van eenvoudighe gedaente, doch sulcx dat icker mijn voorghenomen verclaring bequamelick me sal connen te kennen gheven, eerst wat geseyt hebbende van Archimedes oneyndelicke cracht, daer Plutarchus en ander af schrijven. Te weten dat Hiero [...]
[...] inde bouckamer {Bibliotheca.} des Kuenincx van Vranckrijck) had assen met vijsen, draeyende inde canten van ettelicke raeyers:[...] inde bouckas des Coninx van Vranckrijk) hadde assen met oneyndelicke schrouven:
Verder wordt de naam 'Almachtich' gebruikt zoals eerst. Maar wel consequent:Wy hebben hier vooren int t'beghin deses voorstels belooft, dattet Almachtich soude sijn stercker werck [...]Stevin is nu ouder en wijzer: de belofte van "stercker werck" is er niet meer!Ick heb hier vooren in t'begin deses voorstels gheseyt dat dese oneyndelicke cracht mijns bedunckens soude sijn stercker werck [...]
Het Almachtige was misschien de 'inventie' waarop in 1584 octrooi verleend werd, om schepen "over dammen te voeren" (zie Principal Works deel 5, blz 11, 26). Kennelijk was een praktische uitvoering met de bestaande technieken nog niet mogelijk.
Besson's afbeelding komt voor in:
Wolfgang Lefèvre, Jürgen Renn, Urs Schoepflin, The power of images in early modern science, 2003.Over het woord 'charistion' zie:
- E.J. Dijksterhuis, 'Het leven van Archimedes', in Euclides, 11-4 (1934/35) 171-173. Over het schip: p. 168-170.
- René Dugas, A history of mechanics (1955/2012), p. 37: "Liber Charastonis is the Latin version of an arabic text due to the geometer Thâbit ibn Kurrah (836-901). The original greek version remains unknown, and the question of whether Karaston (in Arabic - karstûn) refers merely to the roman balance or to the name of the greek geometer Charistion (a contemporary of Philon of Byzantium in the IInd Century B.C.) has been the subject of much scholarly debate."
- F. de Gandt, p. 111 in J. Barnes e.a. (ed.), Science and Speculation (1982/2005): het is niet zeker of het woord 'charistion' komt van het Armeens-Perzische 'qarastun', en de Griekse meetkundige Charistion is imaginair.
- Jessica Wolfe, Humanism, machinery, and Renaissance literature (2004), p. 54: 'grace machine', van het Griekse 'charis' - welgevallen (zoals in charisma). Misschien was het gewoon de hefboom (Engl. lever).
- M. Abattouy, 'An Arabic science of weights', in A shared legacy (Barcelona 2008), p. 86: "qarastun or steelyard" (unster).
Principal works 1, p. 355, 371. Pierre Duhem, The Origins of Statics (1991), o. a. p. 67 (Fr. 1905).
«
Afbeelding: IMSS.
In hetzelfde jaar laat Paolo Casati het 'Pancratium' of 'Glossocomum'*) van Archimedes bespreken door Galileï, Guldin en Mersenne, in: Terra machinis mota (1658), p. 3-13.
Met dit kunstmiddel hebben, zoals Aristoteles ook vermeldt, de Ouden de standbeelden van hun goden toegerust, met binnenin verborgen wielen, zodat terwijl door heimelijk draaien aan het ene de andere zouden gaan bewegen, en daardoor verschillende bewegingen van de standbeelden zouden ontstaan het onwetende volk ertoe gebracht zou worden het aan een wonder toe te schrijven, omdat het niet wist dat het op natuurlijke wijze gebeurde.De index in Magia geeft aan dat de term 'Glossocomum' voorkomt op: