Y   hebben in t'eerste bouck tot het beschriuen der wichtighe ghedaenten, ghenomen een pilaer (voldoende aldaer het voornemen) diens swaerheyts middelpunt door ghemeene wetenschap bekent is, maer in veel ander lichamen en ghebueret niet also; wel is waer dattet door een corte ghemeene reghel in allen werckelick te vinden is, so door t'eerste voorstel der Weeghdaet {Praxis.} blijcken sal, maer met de Wisconstighe {Mathematica.} vinding ist anders ghestelt; Daer af heeft eerst gheschreuen Archimedes in platten, ende naer hem Frederic Commandin in lichamen*): Wy sullen tottet een en t'ander (ouermits het een afcoemst {Species.} van beghinselen is, byde voorgaende wel dienende, ende tottet volghende, so wel W A T E R W I C H T , als W E E G H D A E T , seer noodich) het onse voughen, ende alles naer onse oirden verspreyden, daer af beschrijuende der Beghinselen tweede bouck.   Wat de bepalinghen {Definitiones.} belangt vande Meetconstighe formen, die bygheualle hier yemandt begheeren mocht, wy nemen die door t'ghestelde {Per hypothesin.} voor bekent uyt de Meetconst {Geometria.}; Alleenelick dit daer af segghende, dat wy t'woort Parabola, ofte Rectanguli coni sectio, beteeckenen met Brantsne:  Ende Conoidale Rectangulum, met Brander;  Reden, dat dier formen daet {Effectus.} voornamelicxt bestaet int ontsteken ofte branden.   [ *)  Liber de centro gravitatis solidorum, Bon. 1565.] E E R S T   V A N D E   V I N D I N G   D E R S W A E R H E Y T S   M I D D E L P V N T E N V A N D E   P L A T T E N.   {Planis.} Y  aldien de platten eenich ghewicht hadden, ende datmen toeliete die te wesen inde reden haerder grootheden, wy souden eyghentlick mueghen spreken van haer Swaerheydt, Swaerheyts middelpunt, Swaerheyts middellini, &c.

Maer anghesien in t'plat gheen ghewicht en is, soo en isser eyghentlick sprekende gheen Swaerheydt, Swaerheydts middelpunt, noch Swaerheyts middellini in;  Daerom moetmen dit alles lijckspreucklick  {Metaphoricè.} verstaen, ende nemen als door t'ghestelde, dat der platten ghewichten inde reden haerder grootheden sijn, want T'valsche wort toeghelaten, op datmen t'waerachtighe daer duer leere. I.   V E R T O O C H.           I.   V O O R S T E L.   Y D E R  plats middelpunt der form, is oock sijn swaerheyts middelpunt. Ie   V O O R B E E L T.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABC een euesijdich driehouck wesen, diens formens middelpunt sy D.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat D oock het swaerheyts middelpunt is des driehoucx ABC.     T' B E R E Y T S E L.   Laet ghetrocken worden van A tot int middel van BC, de lini AE, sghelijcx van C tot int middel van AB, de lini CF.   T' B E W Y S.   Wesende de driehouck ABC opghehanghen byde lini AE, het deel AEC sal euewichtich hanghen teghen AEB, want sy sijn euen groot, ghelijck, ende van ghelijcker ghestalt; AE dan is swaerheyts middellini des driehoucx ABC, Ende om de selue reden sal FC oock des driehoucx swaerheyts middellini sijn, maer dese snien malcanderen in des formens middelpunt D, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan D. I Ie   V O O R B E E L T.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een euewydich vierhouck sijn, diens formens middelpunt E.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat E oock het swaerheyts middelpunt is.

T' B E R E Y T S E L.   Laet ghetrocken worden FG, tusschen de middelpunten van AD ende BC, insghelijcx HI, tusschen de middelpunten van AB ende DC.   T' B E W Y S.   Wesende den vierhouck opghehanghen byde lini HI, Het deel HIDA sal euewichtich hanghen teghen HICB, want sy sijn euegroot ghelijck ende van ghelijcker ghestalt; HI dan is swaerheyts middellini des vierhoucx ABCD, Ende om de selue reden sal FG oock des vierhoucx swaerehyts middellini sijn, maer dese doorsnien malcanderen in E, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan E. I I Ie   V O O R B E E L T.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een gheschickt ofte inschriuelick vijfhouck wesen, diens formens middelpunt F sy.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat F oock het swaerheyts middelpunt is.   T' B E R E Y T S E L.   Laet ghetrocken worden van A tot int middel van DC, de lini AG; sghelijcx van B tot int middel van ED, de lini BH.     T' B E W Y S.   Wesende den vijfhouck opghehanghen byde lini AG, het deel AGDE sal euewichtich hanghen teghen het deel AGCB, want sy sijn euegroot, ghelijck, ende van ghelijcker ghestalt: AG dan is swaerheyts middellini des vijfhoucx, ende om de selue reden sal BH oock des selfden vijfhoucx swaerehyts middellini wesen; maer dese doorsnien malcanderen in des formens middelpunt F, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan F.   Sghelijcx sal oock t'bewys sijn in allen anderen hebbende een formens middelpunt als Seshoucken, Ronden, Scheefronden, &c.   T' B E S L V Y T.   Yder plats middelpunt der form dan, is oock sijn swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten. I I.   V E R T O O C H.           I I.   V O O R S T E L.   Y D E R  driehoucx swaerheydts middelpunt, is inde lini ghetrocken vanden houck tot int middel der sijde.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABC een driehouck sijn van form soot valt, waer in vanden houck A tot in D middel vande sijde BC, ghetrocken is de lini AD.

T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat des driehoucx swaerheyts middelpunt inde lini AD is.   T' B E R E Y T S E L.   Laet ons trecken EF, GH, IK, euewydighe van BC, sniende AD in L, M, N, daer naer EO, GP, IQ, KR, HS, FT, euewydighe met AD.     T' B E W Y S.   Ouermits EF euewydighe is van BC, ende EO, FT met LD, soo sal EFTO, euewydich vierhouck sijn, wiens EL euen is met LF, oock met OD ende DT, waer duer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx EFTO in DL is, duer het Ie voorstel deses boucx. Ende om de selue reden sal het swaerheyts middelpunt des euewydichs vierhoucx GHSP wesen in LM, ende van IKRQ in MN, ende vervolghens het swaerheyts middelpunt der form IKRHSFTOEPGQ ghemaect vande voornoemde drie vierhoucken, sal wesen inde lini ND, ofte AD. Nu ghelijck hier in beschreuen sijn drie vierhoucken, also canmender oneindelicke sulcke vierhoucken in beschrijuen, ende des binneschreuens formen swaerheyts middelpunt, sal altijt sijn (om de redenen als vooren) inde lini AD. Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer sijn, hoe dat den driehouck ABC min verschilt vande binneschreuen form der vierhoucken; want treckende linien euewydich van BC door de middelen van AN, NM, ML, LD, t'verschil des laetsten ghestalts, sal effen den helft sijn van t'verschil des voorgaenden ghestalts. Wy connen dan door dat oneindelick naerderen sulck een form binnen den driehouck stellen, dattet verschil tusschen haer ende den driehouck, minder sal wesen dan eenich ghegheuen plat hoe cleen het sy: Waer uyt volght, dat stellende AD als swaerheydts middellini, so sal t'staltwicht des deels ADC, min verschillen van t'staltwicht des deels ADB, dan eenich plat datmen soude connen gheuen hoe cleen het sy, waer uyt ick aldus strie. A.   Neuen alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheydt ghestelt worden minder dan haer verschil ; O.   Neuen dese staltswaerheden ADC ende ADB, en can gheen swaerheydt ghestelt worden minder dan haer verschil ; O.   Dese staltswaerheden dan ADC ende ADB en verschillen niet.   Daerom AD is swaerheyts middellini, ende vervolghens t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC is in haer.   T' B E S L V Y T.   Yder driehoucx swaerheydts middelpunt dan is inde lini ghetrocken vanden houck tot int middel der sijde, t'welck wy bewysen moesten.

I.   E Y S C H.           I I I.   V O O R S T E L.   W E S E N D E  ghegheuen een driehouck: Sijn swaerheyts middelpunt te vinden.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABC een driehouck wesen.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten sijn swaerheytds middelpunt vinden.     T' W E R C K.   Men sal van A tot int middel van BC, trecken de lini AD, sghelijcx van C tot int middel van AB, de lini CE, sniende AD in F: Ick seg dat F t'begheerde swaerheydts middelpunt is.   T' B E W Y S.   T'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC, is inde lini AD, ende oock in CE, duer het 2e voorstel, tis dan F, t'welck wy bewysen moesten.   T' B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen een driehouck: Wy hebben sijn swaerheydts middelpunt gheuonden naer den eysch. I I I.   V E R T O O C H.           I I I I.   V O O R S T E L.   H E T  swaerheydts middelpunt eens driehoucx deelt de lini vanden houck tot int middel der sijde alsoo, dattet stick naer den houck, dobbel is an t'ander.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABC een driehouck sijn, ende vanden houck B een lini ghetrocken worden tot D int middel van AC, sghelicx van C tot E int middel van AB, sniende BD in F voor swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC.      T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat CF dobbel is an FE.   T' B E W Y S.   Ghetrocken de reden EB 1 tot BA 2, vande reden CD 1 tot DA 1 (dat is Reden 1/2 van Reden 1/1) {Door t'verkeerde des 12 cap. I lib. Almag. Ptolem.*)} daer rest de reden van CF tot FE, maer treckende Reden 1/2 van Reden 1/1 daer blijft Reden 2/1. CF dan is tot FE, als van 2 tot 1.   T' B E S L V Y T.   Het swaerheyts middelpunt dan eens driehoucx deelt de lini vande houck tot int middel der sijde alsoo, dattet stick naer den houck dobbel is an t'ander. t'welck wy bewysen moesten.   [ *)  Almagestum, Ven 1515, fol. 9v;  Bas. 1538, f. 18 (Gr.);  Bas. 1551, p. 18;  Engl. (transl. G. J. Toomer) 1984: h.13, p. 64.]

I I I I.   V E R T O O C H.           V.   V O O R S T E L.   W E S E N D E  twee sijden eens driehoucx elck ghedeelt in drie euen deelen: De lini tusschen de twee punten der deeling naest de derde sijde, streckt door des driehoucx swaerheyts middelpunt.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABC een driehouck wesen, van t'welck yder sijde AB ende BC [AC] ghedeelt sy in drie euen deelen, met de punten D, E, F, G, ende tusschen de punten E, G, naest de derde sijde BC, sy ghetrocken de lini EG.      T' B E G H E E R D E.   Wy moeten bewysen dat EG duer des driehoucx ABC swaerheyts middelpunt streckt   T' B E R E Y T S E L.   Laet ons trecken van A tot int middel van BC, de lini AH, sniende EG in I.   T' B E W Y S.   Ouermits {2. v. 6. B. E.} AE sulcken reden heeft tot EB, als AG tot GC, soo is EG euewydighe met BC, ende veruolghens EI is euewydighe met BH, daerom ghelijck AE tot EB, alsoo AI tot IH, maer AE is dobbel tot EB door t'ghegheuen, daerom AI is dobbel tot IH, maer wesende AI dobbel tot IH, soo is I t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ABC door het 4e voorstel, daerom EG streckt door des ghegheuen driehoucx swaerheyts middelpunt.   T' B E S L V Y T.   Wesende dan twee sijden eens driehoucx elck ghedeelt in drie euen deelen, de lini tusschen de twee punten der deeling naest de derde sijde, streckt door des driehoucx swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewysen moesten. I I.   E Y S C H.           V I.   V O O R S T E L.   W E S E N D E  ghegheuen een rechtlinich plat {Planum rectilineum.} : Sijn swaerheyts middelpunt te vinden. Ie   V O O R B E E L T.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een ongheschict vierhouck wesen.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.

T' W E R C K.   Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken met de lini AC, ende vinden het swaerheyts middelpunt van elck driehouck, duer het 3e voorstel, dat van ACB sy E, ende van ACD sy F, ende de lini EF sal balck wesen. Daer naer salmen maken {Doorhe45.v.I.B.E.} twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoogde, als GHIK, euen anden driehouck ACD, ende GHLM, euen anden driehouck ACB, daer naer deelende den balck {Door het 10.v.6.B.E.} FE in N, alsoo dat den erm NE, sulcken reden hebbe tot den erm NF, als HI tot HL; Ick seg dat N t'begheerde swaerheyts middelpunt is. I Ie   V O O R B E E L T.     T' G H E G H E V E N.   Laet ABCDE een ongheschickt vijfhouck sijn.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.   T' W E R C K.   Men sal trecken AC, ende vinden t'swaerheyts middelpunt des driehoucx ACB door het 3e voorstel, t'welck F sy, ende vanden vierhouck ACDE duer t'voorgaende Ie voorbeelt, t'welck G sy, ende de lini FG sal balck wesen, daer naer salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoochde, als HIKL euen anden vierhouck ACDE, ende HIMN euen anden driehouck ACB, deelende den balck GF in O, alsoo dat den erm OF, sulcken reden hebbe tot den erm OG, als IK tot IM; Ick seg dat O t'begheerde swaerheyts middelpunt is. I I Ie   V O O R B E E L T.     T' G H E G H E V E N.   Laet ABCDEF een ongheschickt seshouck sijn.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.   T' W E R C K.   Men sal trecken AC, ende vinden t'swaerheydts middelpunt des driehoucx ACB duer het 3e voorstel, t'welck G sy, ende vanden vijfhouck ACDEF, duer het voorgaende 2e voorbeelt, t'welck H sy, ende de lini GH sal balck wesen. Daer naer salmen maken twee euewydighe vierhoucken van een selfde hoochde, als IKLM, euen anden vijfhouck ACDEF, ende IKNO euen anden driehouck ACB,

[ 72 ]

deelende den balck HG in P, alsoo dat den erm PG, sulcken reden hebbe tot den erm PH, als de lini KM tot KN; Ick seg dat P t'begheerde swaerheyts middelpunt is. Welcke maniere van wercking in allen anderen veelsijdeghe platten ghelijck sal sijn ande voorgaende. M E R C K T.   Wy heben hier bouen voorbeelden beschreuen alwaer t'ghegheuen plat verkeert wort in euenhooghe ende euewydighe vierhoucken, wy connen t'selfde oock doen sonder soodanighe verkeering, daer af wy verscheyden voorbeelden beschrijuen sullen als volght. I I I Ie   V O O R B E E L T.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABCD een ongheschickt vierhouck wesen.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden.     T' W E R C K.   Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken, met de lini AC, ende vinden t'swaerheydts middelpunt van elcken driehouck door het 3e voorstel, dat van ACB sy E, ende vanden driehouck ACD sy F, de lini dan EF is balck. Daer naer salmen trecken DG ende BH, beyde rechthouckich op AC, deylende den balck FE en I, alsoo dat den erm IE, sulcken reden hebbe tot den erm IF, als DG tot BH; Ick seg dat I t'begheerde swaerheyts middelpunt is. Ve   V O O R B E E L T.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABCDE een ongheschickt vijfhouck sijn.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden.     T' W E R C K.   Men sal den vijfhouck deelen in drie driehoucken, met eenighe linien als AD, AC, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx ACDE duer het 4e voorbeelt, t'welck F sy, ende des driehoucx ACB duer het 3e voorstel, t'welck G sy, ende de lini FG, is balck, Daer naer ghetrocken BH rechthouckich op AC; Ende CI met EK rechthouckich op AD, men sal der drie linien AD, AC, HB, vinden de vierde euerednighe {Proportionalis.}, welcke sy LM, deelende den balck {Door het 12. v. 6. B. E.} FG in N, alsoo dat den erm NG sulcken reden hebbe tot den erm NF, ghelijck CI met EK, tot LM; Ick seg dat N het begheerde swaerheydts middelpunt is.

[ 73 ]

VIe   V O O R B E E L T.   T' G H E G H E V E N.   Laet ABCDEF een ongheschickt seshouck sijn.   T' B E G H E E R D E.   Wy moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden.     T' W E R C K.   Men sal den seshouck deelen in vier driehoucken, met eenighe linien als AC, AD, FD, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx ADCB door het 4e voorbeelt, t'welck G sy, ende des vierhoucx ADEF, t'welck H sy, ende de lini HG is balck. Daernaer ghetrocken BI ende DK rechthouckich op AC, insghelijcx AL ende EM beyde rechthouckich op FD, men sal der drie linien welcker eerste FD, de tweede AC, de derde BI met KD, vinden de vierde euerednighe, welcke NO sy, deelende den balck HG in P, also dat den erm PG, sulcken reden hebbe tot den erm PH, ghelijck AL met EM, tot NO; Ick seg dat P het begheerde swaerheyts middelpunt is. Ende soo salmen voort mueghen varen met ander veelhouckeghe platten. [ Figuren ingevoegd.]     T' B E W Y S.   Ghelijck int eerste voorbeelt HI tot HL, alsoo den erm NE tot den erm NF, maer {I. v. 6. B. E.} ghelijck HI tot HL, alsoo den vierhouck GHIK, tot den vierhouck GHLM, ghelijck dan GHIK tot GHLM, also NE tot NF, maer GHIK is euen an den driehouck ACD, ende GHLM anden driehouck ACB door t'werck, ghelijck dan den driehouck ACD tot ACB, alsoo den erm NE tot NF. Het punt dan N is (door het Ie voorstel des Ien boucx) des vierhoucx swaerheyts middelpunt. Sghelijcx sal oock bewijs sijn des 2e ende 3en voorbeelts.   T'vierde voorbeelt is openbaer als wy bewesen hebben dat ghelijck DG, tot HB, alsoo den driehouck ACD, tot ACB in deser voughen: Nemende AC voor hoochde, ende DG ende HB voor gronden, soo heeft den rechthouck begrepen onder AC ende DG, sulcken reden tot den rechthouck onder AC ende HB, ghelijck DG tot HB {I. v. 6. B. E.}; Maer ghelijck dien rechthouck tot desen, alsoo den driehouck ACD tot ACB, want elck driehouck is sijn rechthoucx helft {41. v. I. B. E.}, ghelijck dan DG tot HB, alsoo den driehouck ACD tot ACB.     Des 5en voorbeelts bewys sal oock claer sijn als wy bewesen hebben, dat ghelijck EK met IC tot LM, alsoo den vierhouck ACDE tot den driehouck ACB, aldus: Anghesien LM vierde euerednighe is der drie AD, AC, HB, de rechthouck begrepen onder AD ende LM, sal euen sijn {16. v. 6. B. E.} an den rechthouck begrepen onder AC ende HB, Laet ons nu EK, IC, LM, ansien voor gronden, wiens ghemeene hoochde AD;

[ 74 ]

Maer {I. v. 6. B. E.} ghelijck die gronden tot malcanderen, alsoo de rechthoucken begrepen onder haer ende hare ghemeene hoochde, daerom oock ghelijck de twee gronden EK, IC, tot den grondt LM, alsoo dier gronden rechthoucken tot deses grondts rechthouck; maer die twee rechthoucken sijn elck het dobbel haers driehoucx; Ghelijck dan EK met IC tot LM, also het dobbel vanden vierhouck ACDE tot den rechthouck begrepen onder AD ende LM: Maer desen is euen an den rechthouck begrepen onder AC ende HB als vooren betoocht is, ende de selue rechthouck begrepen onder AC ende HB is het dobbel des driehoucx ACB, daerom ghelijck EK met IC tot LM, alsoo het dobbel des vierhoucx ACDE tot het dobbel des driehoucx ACB, ende veruolghens ghelijck EK met IC tot LM, alsoo den vierhouck ACDE tot den driehouck ACB, waer uyt de reste openbaer is. T'bewys van het 6e voorbeelt is duer dit oock kennelick ghenouch.   T' B E S L V Y T.   Wesende dan ghegheuen een rechthouckich plat: Wy hebben sijn swaerheydts middelpunt gheuonden naer den eysch. M E R C K T.   M Y  is onder het drucken ter handt ghecomen, Fredric Commandins verclaring ouer de viercanting der Brantsne van Archimedes {Commentarius in quadraturam paraboles.}*), alwaer hy onder het 6e voorstel de manier beschrijft, om t'swaerheyts middelpunt te vinden van yder rechtlinich plat, ende dat op een ander wijse als de twee voorgaende. So ymant tottet ouersien der selue begheerich waer, salse daer vinden.   [ *)  In Archimedis Opera non nulla, Ven. 1558, fol. 22v.]