Stevin | Deursichtighe | Woordenlijst

Overzicht , Inleiding , Perspectief , glas , bepalingen , ander schaeu , werkstukken , strijding
Spiegels , keerpunt , verschil , holle spiegel , gedwaald , Noten



Stevins Deursichtighe

Wisconstige Gedachtenissen

  1. Vande Deursichtighe (1605), 108 blz

    1. Vande Verschaeuwing
    2. Vande Beghinselen der Spieghelschaeuwen
      • blz 92: Anden Leser, Cortbegryp, Bepalingen, Voorstel 1 t/m 9, Anhang



Inleiding

Het woord 'Deursichtige' is Stevins vertaling van het Latijnse woord 'perspectiva', dat bij ons nu juist andere associaties wekt. Maar ons woord 'perspex' maakt de betekenis weer doorzichtig.

Het onderwerp van de Deursichtighe is de optica, zoals ook blijkt uit de titel L'Optique in de Franse vertaling van Stevins werken door Albert Girard (1634). In bepaling 1 noemt Stevin als onderdelen van het vakgebied:

Spieghelschaeuwen {Catoptrica), Breeckschaeuwen {Vmbræ refractæ.}, Platclooten {Planisphæria.}, Sonwijsers {Scioterica.}, Verschaeuwing, en meer ander die met malcander inde deursiening eenighe ghemeenschap hebben
Spiegelbeelden, lichtbreking, hoekmeting met een astrolabium ('platcloot'), de schaduw (G: skia) van de Zon, het hoort er allemaal bij. Betekende het woord 'schaeu' voor Stevin ook 'schaduw' (umbra)? Meestal wordt het gebruikt in de zin van 'dat wat je ziet' (schouw).
Verschaeuwing is Scenographia (beschrijving van het toneel), en bepaling 1 definieert:
Verschaeuwing is der verheven dingen plat namaecksel verheven schijnende.
Dit noemen we nu het 'perspectief'  1 . Bepaling 4 zegt:
T'verschaeulick noemen wy daer de verschaeuwing na ghedaen wort: En die ghedaen verschaeuwing haer schaeu.
In het tweede boek staat "schaeu {Simulacrum Imago.}", daar gaat het om het 'beeld' in een spiegel van een "verschaeulickpunt {Spectatum.}".

Niet alle onderwerpen uit de optica komen aan bod:

alsoo heur daden {Effecta.} tot verscheyden eynden strecken, en vervolghens verscheyden manier van wercking behouven, soo wort elcke afcomst {Species.} als besonder const met onderscheyt ghenoemt, en oirdentlick beschreven.
Het Cortbegryp der Deursichtighe noemt drie boeken:
T'eerste vande Verschaeuwing {Perspectivis.}: Het tweede vande Beginselen der Spieghelschaeuwen {Elementis catoptricis.}: Het derde vande Wanschaeuwing. {Refractione.}
Merkwaardig dat Perspectivis nu naast Verschaeuwing staat (is het een fout van de drukker, en moest het er boven staan bij de titel?).

Het eerste boek is een gedegen studie van het perspectief. Het tweede een korte verhandeling over spiegelbeelden in vlakke, bolle en holle spiegels. Het is vooral interessant om de foute conclusies die Stevin trekt uit enkele mooi beschreven proeven met 'clootspiegels'.

Het derde boek ontbreekt. De 'wanschaeuwing' komt even aan de orde in het eerste boek in begeerte 1, en wordt genoemd in de Hemelloop (1608), als beschreven wordt dat Willem Barentsz en de zijnen op Nova Zembla de Zon zagen terwijl die onder de horizon was. Het onderwerp 'Breeckschaeuwen' vereiste duidelijk meer studie. Heeft Willebrord Snellius nog iets van Stevin geleerd waardoor hij de brekingswet kon vinden? Bij het vertalen van de Wisconstige Gedachtenissen in het Latijn zal hij er minstens even over nagedacht hebben.

Aan het eind van het boek over spiegels (blz 108) noemt Stevin een onderwerp,

daer af wy een andermael inde spiegheldaet misschien handelen sullen
Na de theorie (beginselen) moet de praktijk (daet) komen, maar bij dit onderwerp is het er niet van gekomen. Wel op het gebied van de 'vrie wisconsten', de fundamentele wetenschappen die gaan over "Ghetal Grootheyt ende Ghewicht":
-   Stevins boek over de Telconst (L'Arithmetique) bevat een deel met de titel: La Pratique d'Arithmetique (met o.a. de Tafelen van Interest, en de Thiende),
-   na de Meetconst (in de Driehouckhandel) volgde de Meetdaet,
-   na de Beginselen der Weeghconst volgde de Weeghdaet.
De optica was volgens Stevin niet een 'vrije wiskunde', maar een afgeleide van de meetkunde.


1: Perspectief

Tekenen

In een tijd zonder fotografie was het een hele kunst om de werkelijkheid af te beelden met een goede gelijkenis. Een vak apart was de 'scenografie' (letterlijk: beschrijving van het toneel), waarvan Stevin een studie had gemaakt in verband met zijn 'Huysbau', een boek in wording.  2  In De Sterctenbouwing, uit 1594, staan twee ruimtelijke tekeningen (blz 26 en 32) met nog te veel evenwijdige lijnen.
Prins Maurits wilde nu het vak ook beheersen. Anden Leser begint met:
Alsoo sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  hem dickwils oeffende in te trecken grontteyckeninghen {Ichnographias. Plans.}, en stantteyckeninghen {Orthographias. Profils.} van sterckten, die hy veroirdende inde Landen sijnder regiering, heeft oirboir bevonden hem oock te oeffenen inde derde afcomst der teyckening te weten het verschaeuwen of schilderen {Scenographiam, seu Sciographiam.}, en dat voornamelick van Lantschappen, met steden, stroomen, weghen, en bosschen daer in gheleghen, om daer deur anderen sijn meyning, alst de saeck vereyscht, lichtelicker te verclaren:
bolwerk, bovenaanzicht en zijaanzicht Met goede tekeningen kun je de bedoeling duidelijk maken, en Zijn Vorstelijke Genade wilde meer "kennis der oirsaken" hebben dan "de bequaemste meesters in schilderie" hem konden geven.
Hij bereikte zijn doel, blijkens een voorbeeld op blz 9 waar gezegd wordt dat hij:
van wille was te verschaeuwen een seker bolwerck heel met eerde ghevult, op een rechte gordine, stelde sich voor de grontteyckening hier achter A, wiens verheven wercken, als wallen en bortsweeren daer op commende, anghewesen sijn mette stantteyckening B, voort bediet C de voet, waer op een lini verdocht als siendermaet even an CD, en rechthouckich op de vloer, dats hier opt plat des blats, t'eynde dier lini was de plaets des ooghs inde locht, van daer hy dat bolwerck wilde ghesien hebben, en volghende dat ghestelde, dede daer af de volghende verschaeuwing, welcke uyt sijn teyckening in hout ghesneen wiert, en ghedruckt alsmen hier achter siet.
(De tekeningen in het boek zijn groter.)

bolwerk, perspectieftekening


Een perspectivische tekening maak je met plattegrond en doorsnede. Eenvoudiger kan ook, zoals bij bepaling 1 staat:

ghenomen dat ymant saghe eenich ghesticht [gebouw], deur een suver even plat claer glas, daermen alle dinghen deur siet ghelijckse sijn, sonder verandering, en datmen op die verschijnende form dieder eyghentlick int glas niet en is, teyckende soodanighen form dieder bleve: De selve afgheteyckende platte form verheven schijnende, soude de ware verschaeuwing sijn van dat ghesticht, ghesien van op die plaets.
Stevin heeft zoiets gelezen bij Albrecht Durer. Diens houtsnede 'Tekenaar van een zittende man' laat zien hoe dat toegaat: met het oog op een vast punt (Leonardo da Vinci kende het principe ook). Zo'n toestel met een glas werd in opdracht van de prins gemaakt, toestel met glas en plaats voor oog
waer me sijn  V O R S T E L I C K E  G E N A D E  schaeuwen teyckende so van menschen als anders, sulcx dat schijnt mette waerheyt te meughen gheseyt worden, dat standen van menschen niet meugelick en sijn uyter oogh sonder glas, soo volcomelick gheteyckent te worden
Door het werken met dit glas kon Zijne Vorstelijke Genade "ettelicke onvolcomentheden" verbeteren in een eerste versie van Stevins verhandeling.  3
Maar het kan niet altijd op deze manier. Het blijft behelpen, zie ook Dürers 'Tekenaar van de kan' (touw nodig, oogpunt te ver van scherm). De andere praktische methode is: projectie met een lens in een donkere kamer, beschreven door Giambattista della Porta. Stevin schijnt deze methode niet gekend te hebben, want bij zijn behandeling van de holle spiegel blijkt (zie hier onder) dat hij niet geloofde in de realiteit van een beeld dat in de lucht schijnt te hangen.

Daadwerkelijk aftekenen is niet altijd mogelijk, omdat:

de ghestichten of saken diemen afteyckenen wil, somwijlen niet wesentlick voor t'ghesicht en staen, maer alleenelick int ghedacht, soo sijnder seker reghelen gevonden
Met die regels van het perspectief, die Stevin gaat beschrijven, zijn de verkortingen en verlengingen op een gewenste schaal te tekenen.


Bepalingen

Na de bovengenoemde termen 'verschaeuwing', 'gront-, stantteyckening' definieert Stevin (blz 12):
  1. T'verschaeulick noemen wy daer de verschaeuwing na ghedaen wort: En die ghedaen verschaeuwing haer schaeu.

  2. Vloer is het plat daer een verschaeulicke form boven staet of op light.

  3. Oogh is een punt datmen neemt des ooghs sienlick werck te doen.

  4. Sienderlijn is een rechte rechte vant oogh totte vloer, en haer uyterste inde vloer heet voet.

  5. Siendermaet is een lini even ande sienderlijn.

    datmen [...] op de blaren der boucken als vloer ghenomen, linien soude moeten teyckenen, die verheven stonden opt plat der selve blaren,
    [...] noodich, de langde van sulcke lini opt plat des blats te teyckenen

Daarna: glas: een "oneyndelick plat" tussen oog en wat bekeken wordt ('bedocht' in plaats van het bovengenoemde echte glas), strael: "de rechte lini die uyt het oogh comt", saempunt (verdwijnpunt), en andere.
Opvallend is dat Stevin de straal uit het oog laat komen (zie 7). Dit lijkt op de voorstelling van Euclides en Ptolemaeus: als we naar iets kijken, grijpen we het als het ware met het oog. Maar Stevin had wel Alhazen bestudeerd (zie 2), die uitlegde dat we een voorwerp zien doordat iets daarvandaan in ons oog komt. Een toelichting vond hij kennelijk niet nodig. Ook in het tweede boek, over spiegels, is een straal steeds een rechte lijn tussen twee punten.
De optica was inderdaad een soort meetkunde (het woord 'licht' wordt in boek 2 alleen gebruikt bij een kaarsvlam in "een camer sonder ander licht").


Ander schaeu

Dan volgt in de eerste begeerte een kostelijk stukje dat enkele simpele proefjes beschrijft (opgenomen in het stuk over de taal, zie toelichting daar). Begeerd wordt dat de 'schaeu' van een punt ligt op de rechte lijn tussen dat punt en het oog. Dit is niet altijd waar:
Ymant duwende ter sijden an sijn oogh, doet het ghene hy siet, verre wycken vande plaets daer hyt sonder duwen sach:

[...] dat veel onghedude vrye ooghen, de schaeu tot een ander plaets sien dan daer de wesentlicke saeck is, als de ooghen van schele lien die twee voor een sien

[...] een ander schaeu deur t'water veroirsaeckt.
Ende soo gadet oock mette hemelsche lichten

[...] deur t'vier, deur cromme glasen, en in blinckende spieghelachtighe stoffen


Wercksticken

Met zes 'vertoogen' en acht 'wercksticken' behandelt Stevin op 65 bladzijden de meetkunde van het perspectief.
Eerst het vinden der 'schaeu', dus het platte namaaksel. De lezer wordt aangespoord aktief mee te doen. Bijvoorbeeld op blz 19, als het gaat over het 'saempunt' van evenwijdige lijnen (verdwijnpunt):
Soo ymant metter daet wilde sien, ghelijck sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  self ghedaen heeft, het inhoudt des voorgaenden vertoochs, die mach aldus doen: Hy sal trecken twee evewijdeghe linien met crijt, of ghespannen coorden, of dierghelijcke, op een effen sichteinderschen {Horizontale.} solder of vloer, dat is die, ghelijckmen ghemeenlick seght, op waterpas light: [...]

Voort soo staender twee rechte houte reghels op de evewijdeghe [...] cruycende malcander int punt I [...] in sulcken hooghde boven de vloer, als het oogh

De proef is ook te doen met een boek dat voor je ligt: houd twee linialen zo dat ze langs de zijkanten van het boek schijnen te lopen, en ze kruisen elkaar op ooghoogte.
T'welckmen alsoo bevint hoe recht of scheef datmen die twee reghels oock stelt:
Het verdwijnpunt van horizontale evenwijdige lijnen is even hoog als het oog.
Op blz 39:
ghenomen dat ymant als Verschaeuwer, stonde op een berch, hoogher met sijn voeten dan een ghesticht dat hy verschaeuwen wil, en naem voor vloer t'plat daer hy op staet, t'is kennelick dat de ghegheven verschaeulicke form dan onder de vloer soude commen. Maer ick segh dat hy in sulcken ghevalle mach bedencken een ander vloer deur t'leeghste des ghestichts, nemende daer na de lini van sijn oogh tot die vloer voor sienderlijn
Een tweede gedeelte 'Vande Cortheden en Sekerheden opt Werck', geeft voorbeelden ter oplossing van problemen, in zes leden:
  1. Tis oirboir datmen int verschaeuwen eens verschaeulicker forms, sich int ghegheven altijt voorstelt, dattet glas streckt deur het voorste deel als plat, lini, of punt, der verschaeulicke form
Dan kan dit voorste deel alvast getekend worden op het 'glas'. Maar dat is niet goed mogelijk bij een gebouw (blz 40):
soo souden de linien van 100 en 300 palmen [...] te lanck sijn, mocht ymant segghen, om met bequaemheyt op papier dadelick ghetrocken te worden: Hoe salmen dan hier me leven?
De oplossing is "een cleene lichamelicke bots", een schaalmodel.
  1. cortheyt [...] int vinden der schaeuwen van ettelicke rechte linien die mette vloer evewijdich sijn
Lidt 3 is het meest uitgebreid. Vanaf voorbeeld 10 handelt het over "lichamelicke rechthoucken": kubussen in perspectief
  1. cortheyt en sekerheyt int werck met te ghedencken dat verschaeulicke evewijdeghe linien die mettet glas evewijdich sijn, hun schaeuwen oock evewijdich hebben [...]
    Maer verschaeulicke evewijdeghe die mettet glas onevewijdich sijn, datse haer schaeuwen oock onevewijdich hebben, en voortghetrocken sijnde in een punt versamen

  2. cortheyt int verschaeuwen van verschaeulicke evewijdeghe linien die onevewijdich sijn mette vloer, en oock mettet glas [blz 56]

  3. dat de rechte lini tusschen twee schaeuwen van verschaeulicke punten, schaeu is der verschaeulicke rechte lini tusschen de selve twee verschaeulicke punten

  4. Int verschaeuwen van ettelicke verschaeulicke ronden can ook cortheydt vallen
En hier, op blz 59, maakt Stevin een fout die in het oog springt: cirkel i.p.v. ellips op zijkant van kubus
tis kennelick dat die twee vierhoucken mette ronden daer in, schaeu sijn van een verschaeulicke teerlinck, hebbende op elcke sijde een rondt beschreven, vande welcke men (het oogh ter behoirlicke plaets gestelt) twee sijden siet.
Als je schuin tegen een cirkel aankijkt zie je toch een 'lanckrondt'?


Het derde gedeelte van de 'Verschaeuwing' gaat over het vinden van het oog, wat ook van belang is in de kunst:

tis kennelick datmen schilderyen maeckt, welcke van vooren gesien seer mismaeckt schijnen, niet ghelijckende t'ghene sy beteyckenen moeten, maer de selve schilderie van ter sijden gesien deur een seker gaetken daer toe veroirdent, anwijsende de plaets des ooghs, sy ghelaten seer hupsch:
Deze mismaking, of 'anamorfose', werd in 1568 nog genoemd: het geheime deel van het perspectief.  4
Nu soo an alle schilderyen of schaeuwen sulcken gaetken ghestelt wierde, men soude dat niet behouven te soucken: Maer t'selve inde ghebruyck niet sijnde, wy sullen schrijven t'ghene ons van dies nu te vooren comt
Geduldig legt Stevin de moeilijke materie duidelijk uit, voor een aantal bijzondere gevallen. Aan het eind staat een stuk dat misschien beter als inleiding had kunnen fungeren, omdat het gaat over simpele gevallen. Merck 2 (blz 77):
Want ymant dencken mocht, waerom hier int vinden des ooghs niet begost en wiert met voorbeelden wesende de schaeu een punt, lini, of driehouck, soo sullen wy daer af de reden verclaren, welcke int ghemeen gheseyt, is, datse gheen seker eenich besluyt, maer oneyndelicke besluyten hebben.
Meestal is de oorspronkelijke plaats van het oog niet te vinden, omdat er meer mogelijkheden zijn.


Op blz 82 staat een handig overzicht van fouten die kunnen voorkomen,

welcke kennis soo wel dient om int verschaeuwen sich daer voor te wachten, als om van gemaeckte schaeuwen wel te oirdeelen
Er zijn vijf regels om snel te zien of een "verschaeuwing qualick ghedaen" is.


Strijding

In de Anhang, "om leering met gheen strijding te verduysteren", staan acht hoofdstukken over diverse zaken waarover de meningen verschillen. Bij voorbeeld over de vraag of je de regels altijd precies moet volgen (h. 6):
Ettelicke meesters in dadelick verschaeuwen, houdent daer voor, datmen int verschaeuwen niet heel volcomelick en moet navolghen de reghelen deser const, maer somwijllen wat behaghelicker voor t'oogh stellen dat teghen de reghel gaet:

[...] pylaren al evewijt van malcander setten

Tis wel soo datmen somwijlen schaeuwen siet, als van menschen, gedierten, en derghelijcke, die deur een vrye hanttreck behaechlicker ghedaen sijn als ander deur moeylicke teyckening nae reghelen der verschaeuwing ghewrocht;

[...] of een peert sijn voet een duym hoogher of leegher opheft, of dat een mensch een duym meer of min boct [bukt], daer en valt soo seker oirdeel niet op hoet eyghentlick wesen moet.

Opmerkelijk is nog dat prins Maurits bedacht dat een perspectieftekening ook is te berekenen:
Soo sullen wy, om dattet tot dese stof {Materiam.} dient, en mijns wetens een onghehoorde nieuwe manier van rekening is, eenige voorbeelden beschrijven by sijne  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  berekent
Hij zal dit wel niet zonder hulp van Stevin gedaan hebben, maar de berekening (blz 90) geeft aan hoe ver de prins ging met zijn wiskundige belangstelling. Elders in de Wisconstige Gedachtenissen zijn veel van zulke voorbeelden te vinden.



2: Spiegels

Catoptrica

Stevin was al langer bekend met problemen uit de optica. Dit blijkt uit een opmerking in de opdracht van L'Arithmetique (1585):
AV TRESDOCTE ET VERTVEVX SEIGNEVR Monsr IEHAN CORNETS DE GROOT.

[...] Car, quelle partie de la Philosophie se pourroit il rencontrer, que vous n'y soiez versé; non pas selon le vulgaire; mais par solide intelligence des causes? Certes les disciplines Mathematiques m'en sont en partie tesmoinage; veu qu'entre autres les subtilz Problemes & Theoremes Catoptriques d'Alhazene, Vitelle, & d'Euclide, ne vous pouuoient contenter, sans veoir par l'experience leurs rares effects, preparant, & faisant preparer en toute diligence, les appareils y necessaires.

De vader van Hugo de Groot las de klassieke werken over de optica.  5
En dat niet alleen, hij deed ook de beschreven proeven! In het Latijnse lofdicht dat Jan de Groot schreef voor de Weeghconst (1586) roemde hij Alhazen om zijn verklaring van de regenboog.

Een werk over Catoptrica wordt aangekondigd in de Bewysconst (1595), Tsamespraeck blz 158:

P I E T E R.   [...] wat is t'voornaemste eynde der Keghelsneen? [...]
I A N.   Het sijn onder anderen de fondamenten der begravener Spieghelconst. {Vulgo Catoptrica.}
P I E T E R.   Wat segdy! Maer liever weet ghyder oock wat af?
I A N.   En vraecht my niet meer, maer verwacht den tijt
In zijn boek over spiegels noemt Stevin nu, 20 jaar later, weer dezelfde klassieken (Alhazen ook in de Damphooghde). Hij heeft niet alleen de bekende proeven gedaan, maar ook zelf nieuwe bedacht. En op een belangrijk punt kwam hij tot een andere conclusie dan zijn beroemde voorgangers.

Bepalingen 1, 2:

Beginselen der spieghelschaeuwen sijn die, welcke de redenen verclaren vande formen der schaeuwen, veroirsaeckt deur der lichamen teghenwoordicheyt voor spieghels.

Alle wisconstighe vlacken in welcke men sich voorstelt al ofter spieghelicke ghedaente in bestonde, heeten wy spieghels.

3 spiegels

[...] laet in elck deser drie formen de linien AB spieghels beteyckenen, d'eerste plat, overcant ghesien, de tweede een bolle clootspieghel, te weten bol over de sijde C; en de derde een holle clootspieghel
C is het 'verschaeulickpunt', D de 'schaeu' (het beeldpunt). Het 'oogh' E is weer gedefinieerd als "t'punt datmen neemt des oogs sienlick werck te doen".
Maar wat is dàt nu? In de laatste twee tekeningen zien we hetzelfde beeldpunt als bij de vlakke spiegel. Dit kan niet juist zijn.


Keerpunt

Hoe kwam Stevin nu bij zo'n foute beeldvorming in de bolle en holle spiegel?
De kern van het probleem wordt misschien het best onthuld in een mooie vergelijking in bepaling 7:
Ghelijck een bal gheworpen sijnde van C af, teghen de spieghel AB opt punt F, weerom can botten en te rugh keeren tot E, Also schijnt het verschaeulickpunt C, int ansien des ooghs E, sijn schaeu te worpen opt punt F, en van daer te keeren tottet oogh E:
Punt F heet daarom het 'keerpunt'. En bij Stevin bepaalt dat keerpunt de beeldvorming, er is verder niets voor nodig:
de wechdoening van al de rest des spieghels, en belettet oogh niet deur [F] t'punt [D] te sien:
Dit staat in voorstel 3, over de vlakke spiegel. En het klopt: het spiegelbeeld van de Zon kun je zien in een waterplas en in een klein spiegeltje.
Bij de kromme spiegels is in het keerpunt F steeds de raaklijn getekend, en deze stelt dan een vlakke spiegel voor. Voorstel 5 met een voorwerpspunt op de as, zegt expliciet:
De schaeu in die lijn [raaklijn], en t'verschaeulickpunt, sijn evewijt vande clootspieghel.
{Teghen het 21 voorstel des I boucx ? van Euclides en sijn navolghers.}
Want in dat ene punt, het keerpunt, zijn kromme lijn en raaklijn hetzelfde. Voorwerpspunt en keerpunt zijn "alleenlick des schaeus oirsaeck".
(Eerste boek ? Wist Stevin niet meer welk boek het was, Optica of Catoptrica?)
In voorstel 7, met voorwerpspunt buiten de as:
t'keerpunt [..] des platspieghels [..], is oock t'keerpunt des clootspieghels [..], daerom valt de schaeu van d'een en d'ander spieghel op een selve plaets, want by aldient op een ander viel, soo soude de stof des clootspieghels buyten [t'keerpunt] daer af d'oirsaeck moeten wesen; t'welck onmeughelick is, overmidts die tot de saeck en gheeft noch en neemt.
Het vinden van het keerpunt bij een bolvormige spiegel (voorstel 6) staat bekend als het probleem van Alhazen. Ook Stevin kon het niet algemeen wiskundig oplossen:
Alsoo my hier af alsnu gheen wisconstighe manier te vooren en comt, wy sullent tuychwerckelick {Mechanicè.} doen
Gewoon proberen maar, "soo menichmael doen" totdat de hoeken gelijk zijn. Leonardo da Vinci had er een instrument voor ontworpen.


Verschil

Zoals steeds wordt ook hier het geschilpunt behandeld in een Anhang, met verwijzing naar de bedoeling. Het gaat niet om de triomf 'ik weet het beter', maar om:
by ghedachtenis te stellen, soo voor sijn  V O R S T E L I C K E  G H E N A D E  en my selven, als voor anderen dieder begheerich toe mochten wesen, de oirsaeck des verschils
[...]
ghemerckt ick die Schrijvers voor sulcke houde, daer ick danckbaerheyt an schuldich ben voor t'ghene ick van hemlien in dese stof gheleert hebbe, oock voor soodanige, dat ick my niet schamen en soude, in desen self meerder fauten begaen te hebben dan sy:
Verschuldigde hoogachting voor de bekritiseerden en eigen feilbaarheid staan voorop. En dat is maar goed ook, want hier is de kritiek van Stevin "ghemist"!
De vraag is: waar is de plaats van het spiegelbeeld in een "onplatte" spiegel (hol of bol)?
D'ervaring die hun bedrooch wort by voorbeelt aldus verclaert: [...]
men sal nemen een cristalijnen platspiegel, hebbende inde canten van achter cleyne ronde putkens, die van vooren clootspieghelkens ghelaten:
[...] alsmen siet na de schaeu sijns nuespunts int clootspieghelken, men ghevoelt daetlick datmen scheel siet

[...] datter in d'ervaring, overmidts sy teghen de Wisconstighe beginselen strijt, bedroch is, t'welck aldus ontdeckt wort:
Alsmen met beyde d'ooghen in een clootspieghel eenighe schaeu siet, ick neem de schaeu des voornoemden nuespunts inde ghestalt alsvooren, yder oogh siet deur een besonder keerpunt een eyghen nuespunts schaeu [...] die eyghentlick verder van d'ooghen staen, dan de ghemeen sne der stralen, ende nochtans in die sne der stralen een selfde schaeu schijnen te wesen.

Een putje in de achterkant van een vlakke spiegel werkt als bol spiegeltje. Je ziet je neuspunt daarin dichterbij (en kleiner) dan in de vlakke spiegel. Uit zulke waarnemingen was opgemaakt dat het spiegelbeeld in een bolle spiegel dichterbij is dan in een vlakke spiegel. Maar Stevin denkt dat elk oog een ander spiegelbeeld ziet. bolle spiegel, lichtstralen

De tekening (later, op blz 107) maakt het duidelijk:

F is de neuspunt, D en E zijn de ogen,

G en H zijn de 'keerpunten' voor de stralen.
M is het spiegelbeeld van F volgens de klassieke schrijvers.

Stevin zegt:
NO is eigenlijk de spiegel voor het linkeroog, en P het spiegelbeeld daarin. Evenzo ziet het rechteroog spiegelbeeld L in IK.

Wij zeggen nu:
Beeldpunt is een punt waar de stralen vandaan lijken te komen, snijpunt van meer stralen.
Hier dus wel degelijk het punt M.

Merkwaardig is dat Stevin hier niet van toepassing vindt wat in begeerte 1 staat, de methode om de afstand te meten tot het beeld in een 'platspieghel':

de verheyt des schaeus meten deur twee standen, ghelijck men de ongherakelicke langden meet na de manier des 2 voorstels vant 2 bouck der Meetdaet
Iets dat onbereikbaar ver weg is moet je bekijken vanuit twee standen, met driehoeksmeting.  6

Holle spiegel

Een holle spiegel kan een reëel beeld maken, als het ware in de lucht hangend. Dat wist Stevin best, zie blz 108, waar hij voorstellen van Alhazen en Vitello (Witelo) noemt:
welcke altemael gedwaelde beginselen sijn daer een groote menichte van ghedwaelde voorstellen uyt ghesproten is, als onder anderen de ghene die daer handelen van schaeuwen buyten de spiegels inde locht, t'welck door ander bekende oirsaken ghebeurt dan sy stellen, daer af wy een andermael inde spiegheldaet misschien handelen sullen.
Bekende oorzaken: dat elk oog een ander beeld zou zien. Het is jammer dat die 'Spiegheldaet' niet is verschenen, misschien hadden we dan kunnen lezen dat Stevin tot andere gedachten was gekomen.
Hierna zegt hij over de 'schaeu' in de holle spiegel die 'bedriechlick' tussen oog en spiegel schijnt te staan:
alsmen na t'inhout haerder voorstellen de schaeu met een oogh siet, soo is sulck bedriechlick ghelaet gheweert. Ende oftmen al schoon met twee ooghen saghe, soo en can sulck ghelaet van schaeu achter t'gesicht niet sijn
Inderdaad, het beeld kan niet achter je hoofd zijn. Stevin heeft kennelijk nooit het reële beeld opgevangen op een papiertje. Het probleem was waarschijnlijk dat er geen goede holle spiegel beschikbaar was.
Toch blijkt in de Weeghconst dat Stevin bekend was met het fenomeen van een reëel beeld:
dat wy t'woort Parabola, ofte Rectanguli coni sectio, beteeckenen met Brantsne: Ende Conoidale Rectangulum, met Brander;  Reden, dat dier formen daet {Effectus.} voornamelicxt bestaet int ontsteken ofte branden.
Bij een stelling over het zwaartepunt van een parabool stond:
Archimedes [...] lichamelicke brantsneen makende, tot het formen sijnder brandtspieghels
De holle spiegel kan werken als een brandspiegel doordat het beeld van de Zon voor de spiegel komt, en niet er achter.  7


Gedwaald

Stevin ging zelf uit van 'gedwaelde beginselen', namelijk:
- het voorwerp werpt een beeld naar het keerpunt, en dit werpt het terug onder een zelfde hoek,
- een beeldpunt in een holle of bolle spiegel is te vinden met een keerpunt en zijn raaklijn.
Zo kreeg hij bij elk keerpunt een ander beeldpunt.

Maar die beginselen waren niet ver afgedwaald van de 'ervaring': bolle spiegel, voorwerpspunt, 2 ogen

Int ghene hier gheseyt is sijn twee saken t'anmercken, d'een datter twee schaeuwen sijn in verscheyden plaetsen, d'ander datse inde gemeen sne der stralen een selfde schaeu schijnen te wesen. T'eerste blijckt daetlick aldus:
De proef staat beschreven op blz 106. De ogen C en D zien in de bolle spiegel twee beelden van de (lager geplaatste) kaars B. Dat klopt, maar het is te wijten aan de grote hoek die de stralen maken met de as AB (sferische aberratie).

Het tweede punt, schijnbaar één beeld, blijkt in deze proef: tafel, 2 kaarsen, 2 boeken (bovenaanzicht)
Men sal opt eynde eens tafels twee evenhooghe brandende keersen stellen, ontrent een duym of twee lanck, in een camer sonder licht. [...] A, B:

[...] C, D, van malcander soo wijt als des ondersouckers ghesichten d'een van d'ander staen,

[...] men sal in die ghemeen sne E een spelt of naelde recht overeynde steken, stellende inden houck AEC eenich schutsel, ick neem een bouck F over eynde staende

[...] beyde de vlammen A, B, schijnen een selfde vlam, ende dat segh ick ter plaets van E

Ja, maar wel onscherp, want je moet je ogen accommoderen op het punt E.

Kortom: op het gebied van de spiegeling (Catoptrica) heeft Stevin wel onderzoek gedaan waarmee nieuwe vragen te stellen waren, maar hij heeft te stellig het resultaat van illustere voorgangers afgewezen:
Waer uyt men besluyt dat de schaeu des nuespunts inde clootspieghel naerder heur spieghelvlack is dan de schaeu in de platspieghel, deur het 21 voorstel des I boucx [Catoptrica] van Euclides. Nu want hem dit dus uyterlick gheliet, hebben t'ghene soo scheen besloten soo te wesen.
Maer wy van t'een en t'ander beter voorsien, connen metter oirsaken kennis daer in voortvaren
Het laatste was in dit geval niet waar.  8
Maar met het eerste boek, de Verschaeuwing, verrichtte Stevin op het gebied van perspectieftekenen "a considerable amount of original work" (Struik, PW IIB, 785). Dijksterhuis noemt het (PW I, 17):
a textbook [...] which is remarkable for the care with which all the terms to be used are defined, for the writer's inventiveness in coining Dutch scientific words, and for some personal contributions (constructions of a perspective drawing on a picture plane not perpendicular to the ground plate, and solution of the so-called inverse problem of Perspective: given an object and a perspective drawing of it, to determine the place of the observer's eye).



Noten

  1. In de definities vertaalt Girard (Les oeuvres mathematiques de Simon Stevin, 1634) het woord 'verschaeuwing' met 'ombragement', en het woord 'schaeuw' met 'ombre' (p. 522, 524). In boek 2 gebruikt hij 'image' (567). In de Latijnse vertaling van Willebrord Snellius (Hypomnemata mathematica, 1605) staat er 'sciagraphia', 'umbra', resp. 'imago' (II, dl. 3, p. 7, 12, 89).
    Girard gaf ook uit van Marolois: Opera mathematica, met La Perspective, Ned. 1630/62 (vert. Ezechiel de Decker): De Perspective ofte de Doorsichtighe.

    Kirsti Anderson, 'Stevin's theory on perspective', in Tractrix, 2 (1990) 25-62.
    De meetkundige technieken van de perspectiefleer worden aan de hand van enkele beroemde schilderijen en tekeningen behandeld in:
    A. Verweij en M. Kindt - Perspectief, hoe moet je dat zien? (Epsilon, Utrecht, 1999).
    Een zeer uitgebreide studie over de geschiedenis van het onderwerp is:
    Kim H. Veltman - The Sources and Literature of Perspective.
    Stevins werk over het perspectief wordt genoemd door Christiaan Huygens (VI, 216).   «

  2. De 'Huysbau' wordt genoemd bij de Gemengde Stoffen maar het ontbreekt. Later zijn gedeelten gevonden in het Journaal van Isaac Beeckman [>], zie Dijksterhuis 1943, en:
    C. Van den Heuvel, 'De Huysbou' A reconstruction of an unfinished treatise on architecture, town planning and civil engineering by Simon Stevin (KNAW 2005).   «

  3. Stevin kwam na studie van "verscheyden Schrijvers" (blz 4) tot uitwerking van zijn eerste aantekeningen over het perspectief in de 'Huysbau', "over eenighe jaren, voor my self beschreven". Op blz 89 heeft hij het over: "mijn eerste begrijp deser verschaeuwing" en dit is kennelijk die uitwerking (bestudeerd door Maurits).
    Volgens Veltman (App. 4) was er een vroege versie, "cited by Danti in Rome in 1583". Heeft deze de eerste aantekeningen gelezen? Het was omstreeks de tijd van Stevins samenwerking met Jan de Groot, die zich ook in de optica verdiept had.
    Nog een vraag die open staat: heeft Stevin het werk uit 1600, over het perspectief, van Guidobaldo Del Monte gelezen? Hij noemt wel een ander boek van hem in de Meetdaet.   «

  4. Daniele Barbaro - La pratica della perspettiva, geciteerd door Veltman (h 3, n39).   «

  5. Nomenclator, de Leidse bibliotheekcatalogus vermeldt in 1595:
    Vitellionis ... Peri optikès, Norimb. 1535;  Opticae thesaurus Alhazeni ... Vitellionis. Bas. 1572.
    Euclides schreef een Optica, en van een werk Catoptrica werd gedacht dat het van hem was.   «

  6. In Eertclootschrift - Damphooghde beschrijft Stevin hoe de hoogte van een wolk te meten is.
    Bekend was ook: de afstand tot een ster is te meten als er verschil te zien is tijdens de omloop van de Aarde om de Zon (jaarlijkse parallax). Omdat het verschil niet waargenomen was kon Stevin in zijn Hemelloop zeggen (blz 259) dat zelfs de baan van Saturnus om de Zon te beschouwen is als een punt ten opzichte van de sterrenhemel.
    Girard merkt op (p. 568, bij 1e Begheerte):
    ... maar bij gekromde spiegels verandert het beeld van plaats met het oog, en daardoor kan men de plaats ervan niet te weten komen met twee standpunten, zoals bij vlakke spiegels; gezien het feit dat het beeld van plaats verandert bij verandering van standpunt. Dus bij gekromde spiegels zullen verschillende personen het beeld op verschillende plaatsen zien, ofwel verschillende beelden van eenzelfde voorwerp tegelijkertijd.   «
  7. Het verhaal over de brandspiegels van Archimedes komt van Anthemius (Byzantium, 6e eeuw), zie:
    Hélène Bellosta, 'Burning Instruments: From Diocles to Ibn Sahl' (essay-review over werken van R. Rashed), Arabic Sciences and Philosophy, vol. 12 (2002) 285 - 303.
    Giambattista della Porta, een tijdgenoot van Stevin, beschreef in zijn Magiæ Naturalis allerlei proeven met spiegels en lenzen, ook de projectie van een beeld op een scherm. Zie boek 17 in de Engelse vertaling Natural Magick (1658). Hij bedacht ook toepassingen, van bioscoop tot ... letters schrijven op de Maan!
    Zie ook J. P. van Cappelle, 'Verhandeling over den Brandspiegel van Archimedes', in Natuurkundige Verhandelingen, 7-2 (1814).   «

  8. Boek 2 staat niet in 'Principal Works'. Girard heeft het wel opgenomen (1634, 567-), en ondanks enkele opmerkingen en aanvullingen in orde bevonden: "de mening van de schrijver is goed, hoewel in strijd met Euclides, Alhazen en Vitello" (572). En Girard stelde een aparte verhandeling over de optica in het vooruitzicht, "zonder de breking te vergeten, die de schrijver hier achterwege heeft gelaten"; maar hij was al overleden toen zijn vertaling van Stevins werk verscheen.



Simon Stevin | Deursichtighe (top) | Verschaeuwing