Isack Beeckman - kettinglijn

C. de Waard, Journal tenu par Isaac Beeckman de 1604 à 1634

Tome I: 1604 - 1619, Appendice I

[ 354/5 ]

Inleiding

[ Een ketting hangt tussen twee paaltjes. Welke vorm heeft die kromme lijn?

Beeckman kan op het probleem gestuit zijn als volgt:

in 1614 was hij bezig met de aanleg waterleidingen onder de grond, waarbij hij de buizen volgens een bepaalde regel wilde laten hellen zodat lucht kon ontsnappen [<];
hij meende de oplossing gevonden te hebben bij Clavius: de 'kwadratische lijn' (parabool), of aan de hand van Stevins 'Tauwicht': de hangende koorde [<].

Voorafgaand aan de betreffende notitie uit 1614 had hij enkele malen verwezen naar Stevin. Opmerkelijk is ook dat hij in de erop volgende notitie vraagt: hoe gaat water dat horizontaal uit een buis gespoten wordt, en een kogel uit een geweer? Hij antwoordt dat hij het niet weet, maar komt dan wel met zijn 'fondament': "dat eens roert, roert altyt, soot niet belet en wort" [<]. En even later noemt hij de hangende koorde voor de steilte van buizen bij een andere toepassing: luchtkoeling [<].

De onderstaande notitie volgt op een notite uit 1620, maar zal eerder geschreven zijn (zie manuscript): eind 1618 vroeg Beeckman aan Descartes of de hangende koorde een kegelsnede beschrijft, maar deze had geen tijd om het uit te zoeken (zie zijn 'Parnassus'). De figuren waren gebrekkig en werden aangepast door De Waard.
Opmerking: Beeckman heeft het over 'steutende' zonnestralen, kennelijk had hij een brandspiegel in gedachten.]

[ 356/7 ]

Welke lijn een hangend koord beschrijft
Chorda ex duobus tabulati locis dependens, quam lineam describat quaesitum.
Maeckt een koorde DCHHCD ende laet HH en GC even groot zyn ende hanght aen H en C even swaer gewichten, ende treckt de linie AB doort midden van HH, ende treckt CH ende DC voorwaerts tot aen AB.
Ick segge dat de sonnestrale evenwydich vallende met AB, wederomsteuten sal boven de linie CH.
Laet AB recht nederwaerts hangen naer het middelpunt van het aerdtryck, soo sal ECK daert aenhanght, evenwydich syn met AB ende verstrecken voor de sonnestralen. Ist dan dat de linie ECK vallende op DCA den hoeck ECD grooter maeckt dan den hoeck ACB is, soo steut de strale EC boven CH, want sy maeckt int steuten sulck eenen hoeck als int vallen op deselve linie.

Dat den hoeck DCE grooter is dan ACB bewys ick aldus. Treckt van E de lynie ED evenwydigh met CH ende maeckt HG soo groot als CE ende treckt GF oock evenwydigh met CH. Nu gelyck hem heeft de swaerte, die op CE kompt, tot die op GH compt, soo heeft hem CE tot GH; ende wederom: gelyck de swaerte op HG komende, tot die op FG komende, soo heeft hem HG tot FG. Maer de swaerte, die op CE kompt, is soo groot als de swaerte die op HG kompt; soo is dan GF soo groot als GH. Deselve reden heeft oock CE tot GF. Soo syn dan CE ende GH ende GF even groot. Maer dewyle GF in den dryhoeck GHF altyt over den rechthoeck staet, so is GF altyt grooter dan GH, ende daerom oock DE altyt grooter dan CE. Maer den hoeck DCE is soo groot als den hoeck CAB ende BCA gelyck EDC ende den hoeck ECD grooter dan den hoeck CDE; soo is dan oock den hoeck ECD grooter dan den hoeck ACB.

Soo sal dan de strale EC, steutende, eenen grooteren hoeck maecken met CA dan ACB, sal derhalven boven CH wederom steuten in M, twelck is als ghy CM ende AM even groot maeckt te zyn.*)

*) Dus: een zonnestraal komt langs EC, kaatst in C tegen de schuine lijn CH, en komt op de as in M. Hier onder wordt de bedoeling duidelijk (bewijs ontbreekt): alle zonnestralen komen in hetzelfde punt, en dat is een eigenschap van de parabool. [Stevin had voor deze kromme een nieuw woord bedacht: brandsnede.]

[ 358 ]

[ 359 ]

Ut CA ad CE/BE, sic AEC ad EAC/EAB E.*)
Ergo: Ut CE ad EB, aut EL ad ED, sic EAC ad EAB.

Ut GC ad GK, sic IB ad CB, et Ut GC ad GK, sic FE ad EC,
Ergo:
Ut IB ad CB, sic FE ad EC,
Ergo:
Ut FE ad EC, sic IB ad CB,
Ergo:
Ut EC et °) IB ad IB, sic EC et CB ad CB.
At
Ut DB ad IB, sic EC et CB ad CB,
(nam ut EB ad BD, sic GK ad GC, et Ut GK ad GC, sic CB ad BI),
Ergo FE et IB aequalia sunt DB.

[ Woordenlijstje: ut .. ad .. sic - zoals .. tot .. zo; ergo - dus; aut - of; et - en (daarbij); at - maar; nam - want; aequalia sunt - zijn gelijk aan.]

*) De laatste E geeft misschien aan: neem van de hoeken de sinus. De tweede evenredigheid impliceert: AC = AB (wegens gelijke hoeken bij terugkaatsing).
°) Lees voor 'et': en daarbij, vermeerderd met.

Nawoord

[ Beeckman kwam uit op de parabool, evenals Albert Girard, die in zijn Franse vertaling van Stevins werk zegt het omstreeks 1617 bewezen te hebben. Ook Galileï koos voor de parabool (1638). Mersenne vroeg in 1643 aan zijn correspondenten wat voor kromme het toch was. In 1646 schreef Christiaan Huygens hem: geen parabool, en hij kon dat bewijzen (hij was toen 17 jaar). Voor het vervolg, en voor het goede antwoord, zie Catenary bij MacTutor, en Kettinglijn bij Wikipedia.]

[ Albert Girard, Les oeuvres mathematiques de Simon Stevin (Leiden 1634), p. 508.
Galileo Galilei, Discorsi ... (Leiden 1638; Engl. 1914), p. 146.
Christiaan Huygens, brief aan Mersenne nov. 1646, in Oeuvres Complètes, I, 34.
Een parabool is geen kettinglijn: de eerste ontstaat met gelijke gewichten aan een touw als de horizontale afstanden gelijk zijn (zoals Beeckman had); voor de tweede moeten de afstanden langs het touw gelijk zijn.
Zie ook het boekje Christiaan Huygens 1629-1695 (blz. 27) van Museum Boerhaave.]

Home | Isack Beeckman | Kettinglijn (top)