Bijvoegsel. E nige tijd nadat ik het voorgaande schrijven had afgerond, ontving en bestudeerde ik het journaal van de reis die op last van de heren bewindhebbers van de Oost-Indische Compagnie gemaakt is, met onze slingeruurwerken  | 153 |  naar de Kaap de Goede Hoop; en sindsdien heb ik nog gelezen het zeer geleerde werk van de heer Newton, met de titel Wiskundige beginselen van de natuurfilosofie*); een en ander leverde mij stof om deze verhandeling verder uit te breiden. En ten eerste, wat betreft de verschillende lengtes van slingers in verschillende streken (waarover hij ook heeft gehandeld) meen ik, door middel van deze uurwerken, niet alleen een duidelijke bevestiging te hebben van dit effect van de beweging van de aarde, maar ook van de meting van deze lengtes, die zeer goed overeenstemt met de berekening die ik er even hiervoor van heb gegeven. Want na correctie en verbetering volgens deze berekening, van de lengtegraden die men met deze uurwerken gemeten had op de terugreis van de Kaap de Goede Hoop naar Texel in Holland (want op de heenreis hadden ze geen dienst gedaan) heb ik gevonden dat de route van het schip daarmee veel beter   *)  Isaac Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica (1687); het gaat in dit bijvoegsel om boek 3, Prop. XIX en XX [Engl. (1846, naar 3e ed. 1726), p. 405: "To find the proportion of the axis of a planet to the diameter, perpendicular thereto", 409: "To find and compare together the weights of bodies in the different regions of our earth"].

[ 467 ]

op de kaart werd aangegeven dan zonder deze correctie; en zo goed, dat er bij aankomst in deze haven geen fout van 5 of 6 mijl was in deze aldus verbeterde lengtegraad. Hierbij neem ik aan dat die van de genoemde Kaap goed opgenomen was door de paters Jezuïeten, toen zij er langs kwamen in het jaar 1685, op weg naar Siam*); en dat deze 18 graden oostelijk is van die van Parijs; waarvan ik overigens weet dat het niet ver bezijden de waarheid is°). Bijzonderheden van deze zaak zijn uitvoerig uiteengezet in het Rapport dat ik betreffende deze reis met de uurwerken heb uitgebracht aan de genoemde heren bewindhebbers. En op grond van dit rapport, dat ze hebben laten bestuderen door ter zake kundige personen, heeft het hun behaagd te verordonneren dat men een tweede proef zou doen, om door meer experimenten zich te verzekeren van de deugdelijkheid van deze vinding. Te bezien valt wat het succes zal zijn van deze andere reis, en in het bijzonder ten aanzien van de variatie van de slingers; daar het zeker is dat, om deze goed te leren kennen, deze uurwerken door hun voor- en achterlopen een betrouwbaarder middel geven dan door daadwerkelijk de lengte van de secondeslinger te meten in verschillende landen. Nochtans,  | 154 |  omdat bij de proefneming waarover ik het zojuist had, de ondervinding zo goed is overeengekomen met wat ik gevonden had door redeneren, heb ik er voldoende vertrouwen in om deze bespiegeling te willen voortzetten, ten eerste op zoek naar wat dan wel de vorm van de aarde is, aangezien het (zoals gezegd is) niet de bolvorm is.   Daartoe is het goed de aarde te beschouwen als geheel bedekt met water, of alsof alle massa ervan niet anders was dan water. En dan blijkt, door wat hierboven uitgelegd is, dat het oppervlak zodanig moet zijn dat, op welke plaats het ook zij, de draad waaraan een lood hangt er onder een rechte hoek naar toe gaat; als we letten op de zwaarte tezamen, en op de middelpuntvliedende kracht, die de draad doet afwijken van de richting naar het middelpunt. Omdat als de draad niet onder een rechte hoek naar het oppervlak toeging, hij niet zou kunnen blijven in de stand waarin hij is.

Als dan dezelfde zaken worden verondersteld, als in de laatste figuur [<] van het voorafgaande betoog, en ook wat erover uitgelegd is; maar als we de vorm van de aarde naar de polen toe wat geminderd en afgeplat maken, zodat de as PQ korter is dan de middellijn EA — trek BDSR evenwijdig met KH, EA en PQ snijdend in S en R. Aangezien de draad KH die het lood draagt, of liever zijn evenwijdige BD,   *)  [ Cf. Histoire de l'Académie royale des sciences, 1729 (T. 7.2), 611-3, 'Observation pour la Longitude du Cap de Bonne-Esperance' (2-4 juni 1685).]   °)  Het verschil met Parijs is 16°. Cf. XVIII, 631-652 ['Résultats de quelques expéditions maritimes'].

[ 468 ]

onder een rechte hoek naar het oppervlak van de zee moet gaan, en aangezien deze draad op zo'n manier hangt dat KD tot DH is (of DC tot  | 155 |  CS), als de zwaarte op zich tot de middelpuntvliedende kracht in D — welke verhouding is samengesteld uit die van de zwaarte op zich, tot de middelpuntvliedende kracht in E (die 289 tot 1 is), en die van van deze kracht tot de middelpuntvliedende kracht in D (dat is als EC tot DO) — blijkt dat de aard van de kromme lijn EDP bepaald wordt door de eigenschap van de loodlijn erop, zoals DR; dat wil zeggen dat bij het trekken van een dergelijke loodlijn altijd de verhouding van DC tot CS samengesteld moet zijn uit een gegeven verhouding en die van EC tot DO. Ofwel, zoals men er gemakkelijk uit kan opmaken, dat de verhouding van DO tot CS, of van OR tot RC, samengesteld moet zijn uit de genoemde gegeven verhouding en die van EC tot CD.   Nu is het moeilijk kromme lijnen op deze wijze te vinden, met de gegeven eigenschap van hun loodlijnen, of (wat hetzelfde is) met de eigenschap van hun raaklijnen. Maar er is een vrij handig middel voor deze kromme hier, die gebaseerd is op het evenwicht van bepaalde kanalen, waarvan de heer Newton de eerste voorstelling gegeven heeft.   Het kanaal dat hij veronderstelt wordt in onze figuur voorgesteld door ECP, een rechte hoek makend in het middelpunt van de aarde. Men moet het opvatten als hebbende enige holte, en met water gevuld. Als dit zo is, is het zeker dat de twee benen EC en CP elkaar in evenwicht moeten houden, als men veronderstelt dat de aarde, geheel bestaand uit water, een vorm aanneemt waarvan de middellijnen EA en PQ zijn; omdat anders dit water van het kanaal evenmin in zijn stand zou blijven als wanneer we het zonder kanaal opvatten, in strijd met wat we veronderstellen. Waaruit gemakkelijk de verhouding te vinden is van EA tot PQ. Want als we stellen EC = a,  CP = b, en als we de zwaarte op zich voorstellen met een lijnstuk p, en de middelpuntvliedende kracht in E met een lijnstuk n, is het gewicht van het kanaal PC gelijk aan pb, te weten wat er komt bij vermenigvuldiging van alle delen van dit kanaal met lijnstuk p. Maar het gewicht van kanaal EC, dat  | 156 |  pa zou zijn, wordt verminderd met de middelpuntvliedende kracht van al zijn delen, waarvan het hoogste (in E) de kracht n heeft; en alle andere delen hebben deze naar verhouding van deze, volgens hun afstanden van het middelpunt D. Wat maakt ½ na voor de gehele middelpuntvliedende kracht van het water van kanaal EC, en als deze afgetrokken wordt van het gewicht pa ervan, blijft over pa – ½ na; wat gelijk moet zijn aan pb, het gewicht van kanaal PC. Waaruit blijkt dat a tot b is als p tot p – ½ n. Dat wil zeggen dat de middellijn EA van de aarde, tot haar as PQ is, als 289 tot 288½, of als 578 tot 577; want de verhouding van p tot n was als 289 tot 1.   Om vervolgens te vinden welke kromme lijn EDP is, stel ik me het kanaal ECD vol met water voor, ik trek DO als loodlijn op de as PC, en ik maak CO = x, en OD = y;

[ 469 ]

terwijl de andere lijnstukken genoemd worden zoals eerst. Het is zeker dat het water van EC en dat van DC weer tegen elkaar moeten opwegen. En dit moet zelfs gebeuren op welke manier men ook bedenkt dat het kanaal gemaakt wordt, mits het aan beide kanten maar aan het oppervlak uitkomt; zoals bijvoorbeeld als het zou lopen volgens DOCE, of DOP, of DCP. Nu is de middelpuntvliedende kracht van al het water in CD gelijk aan die van het water dat het kanaal OD zou vullen, van dezelfde breedte verondersteld; wat gemakkelijk te zien is met de mechanica van het hellend vlak. Maar zoals EC = a, tot DO = y, zo is de middelpuntvliedende kracht in E, die n was, tot de middelpuntvliedende kracht in D;  | 157 |  die dus ny/a zal zijn. En de helft hiervan, vermenigvuldigd met de inhoud van kanaal DO = y, maakt de middelpuntvliedende kracht van dit kanaal gelijk aan ½ nyy/a, wat dus ook de middelpuntvliedende kracht is van kanaal CD. Maar de zwaarte van dit kanaal CD, naar het middelpunt C, is p √(xx + yy). Dus de druk ervan die overblijft naar C zal zijn p √(xx + yy) – ½ nyy/a; wat gelijk moet zijn aan pa – ½ an, de druk van kanaal EC, eerder gevonden.   Deze vergelijking komt neer op de volgende, als we stellen ap/n = f: y4   4 ffyy – 4 aaff + 4 ffxx – 4 afyy + 4 a3f   + 2 aayy – a4 En deze laat zien dat de kromme lijn EDP niet een kegelsnede is, behalve wanneer p en n gelijk zijn; dat wil zeggen wanneer de middelpuntvliedende kracht van een lichaam, geplaatst in E, gelijk verondersteld wordt aan zijn zwaarte naar het middelpunt C. Want dan blijkt dat f gelijk is aan a, en de vergelijking wordt y4 = 2 aayy – a4 + 4 ffxx; ofwel y4 – 2 aayy + a4 = 4 ffxx. En tenslotte yy – aa = 2 ax. Wat aangeeft dat in dit geval EDP een

[ 470 ]

parabool is, zoals in deze figuur; met P als top, de as PC gelijk aan de helft van CE, en de parameter het dubbele van dezelfde CE.   Zodanig dat, als de aarde, met de diameter EA van de grootte zoals deze is, om haar as PQ draaide 17 keer zo snel als ze doet (want dan zou de middelpuntvliedende kracht in E gelijk zijn aan de zwaarte naar het middelpunt, volgens het bewijs dat in dit betoog staat), ze de vorm zou hebben van het lichaam gemaakt door deze twee halve parabolen tegenover elkaar, PEC en QEC, draaiend om de as PQ. En men ziet dat er dan de grootste middelpuntvliedende kracht is die men kan veronderstellen; omdat, als men deze groter maakte dan de zwaarte, lichamen die in E geplaatst werden in de lucht zouden vliegen.   Buiten dit geval hebben we, als we in de gevonden vergelijking stellen yy = az, met z als onbepaald lijnstuk:

En als we d zetten voor ff/a – f, komt er   z = a + 2 d – √(4 dd + 4 ffxx/aa)

Waardoor ik weet, omdat CO = x: als de loodlijn OT z genoemd wordt, zal het punt T op een hyperbool liggen, waarvan de aan CE toegevoegde as 4 d zal zijn. En dat zoals 4 ff tot aa, zo de as tot de parameter zal zijn; en deze zal dus zijn aad/ff, dat wil zeggen a – na/p, als we de waarden van d en van f invullen. En omdat yy gelijk was aan az, volgt dat DO = y middelevenredige zal zijn tussen OT en EC. Waaruit de punten te vinden zijn waar de kromme lijn EDP doorheen moet gaan.   Nu voldoet deze lijn ook aan wat vereist was, naar ik gezegd heb, te weten dat als we DR trekken, die er een rechte hoek mee maakt,

[ 471 ]

de verhouding  | 159 |  OR tot RC samengesteld zal zijn uit de verhouding van p tot n, en die van EC tot CD, zoals te bewijzen is door algebraïsche berekening.   Bij deze hele redenering heb ik verondersteld dat de zwaarte binnen de Aarde hetzelfde is als aan haar oppervlak; wat mij zeer waarschijnlijk lijkt, niettegenstaande de reden die men kan hebben eraan te twijfelen, waarover ik het hierna zal hebben. Maar wanneer het anders zou zijn*), zou dat bijna niets veranderen aan wat gevonden is over de vorm van de Aarde; maar wel wanneer de middelpuntvliedende kracht een aanzienlijk gedeelte uitmaakt van de zwaarte, of wanneer ze eraan gelijk is, zoals in het geval van de parabolische vorm, die dan heel anders zou worden. Overigens, wanneer de middelpuntvliedende kracht in E zeer klein is ten opzichte van de zwaarte, zoals ze hier op aarde is, benadert de hyperbool ETP, door de grote verwijdering van het middelpunt, zeer sterk de parabool, en dientengevolge verschilt EDP nauwelijks van de ellips; en ook nauwelijks van de cirkel, omdat EC dan CP heel weinig te boven gaat; zoals even eerder gevonden is dat dit overschot maar 1/578 is van EC, de halve middellijn van de Aarde.   De heer Newton vindt 1/231 van EC, en dat zo de vorm van de Aarde wel meer van de bolvorm verschilt; hij bedient zich daarbij van een geheel andere berekening. Deze zal ik hier niet onderzoeken, omdat ik het ook niet eens ben met een beginsel dat hij veronderstelt in de berekening en elders; en wel, dat alle kleine delen, die men zich kan voorstellen in twee of meer verchillende lichamen, elkaar aantrekken of de neiging hebben naar elkaar toe te gaan. Wat ik niet zou kunnen aannemen, omdat ik duidelijk meen te zien dat de oorzaak van een dergelijke aantrekking niet te verklaren is met enig beginsel van de mechanica, of van de bewegingsregels. Zoals ik ook niet overtuigd ben van de noodzaak van wederzijdse aantrekking van de hele lichamen; daar ik heb laten zien dat, wanneer er geen Aarde was, de lichamen toch naar een middelpunt zouden gaan, door wat men noemt hun zwaarte.   [ *)  Denis Papin had een vraag hierover (i.v.m. de centrifugale kracht), zie brief No. 2595.]

[ 472 ]

| 160 |  Ik heb dus niets tegen de middelpuntzoekende kracht, zoals de heer Newton die noemt, waarmee hij de Planeten naar de Zon laat wegen, en de Maan naar de Aarde, maar ik blijf het er zonder probleem mee eens; omdat men niet alleen door ondervinding weet dat er een dergelijke manier van aantrekking of aanstoting is in de natuur, maar omdat deze ook te verklaren is met de bewegingswetten, zoals men gezien heeft in wat ik hierboven over de zwaarte geschreven heb. Want niets verhindert dat de oorzaak van deze middelpuntzoekende kracht naar de Zon overeenkomstig is met die, welke lichamen die men zwaar noemt ertoe brengt naar de Aarde te dalen. Het was lang geleden dat ik me had voorgesteld dat de bolvorm van de Zon veroorzaakt kon zijn door hetzelfde dat volgens mij het bol zijn van de Aarde veroorzaakt; maar ik had de werking van de zwaarte niet uitgestrekt tot zo grote afstanden als van de Zon tot de Planeten, of van de Aarde tot de Maan; omdat de wervels van de heer Descartes, die me eertijds heel waarschijnlijk hadden geleken, en die ik nog in gedachten had, in de weg zaten. Ik had ook niet gedacht aan die regelmatige vermindering van de zwaarte, te weten dat ze in omgekeerde verhouding is met de kwadraten van de afstanden tot het middelpunt; wat een nieuwe en heel opmerkelijke eigenschap is van de zwaarte, waarvan het wel de moeite waard is naar de reden te zoeken. Maar nu ik door de bewijzen van de heer Newton zie dat, als we een dergelijke zwaarte naar de Zon veronderstellen, die vermindert volgens de genoemde verhouding, deze zo goed opweegt tegen de middelpuntvliedende krachten van de Planeten, en precies het effect geeft van de elliptische beweging die Kepler geraden had, en door de waarnemingen bevestigd, kan ik nauwelijks betwijfelen dat deze hypothesen over de zwaarte waar zijn, of dat het systeem van de heer Newton, voorzover het daarop berust, dit evenzeer is. En het moet des te meer waarschijnlijk lijken omdat men er de oplossing in vindt van verscheidene moeilijkheden, die een probleem waren bij de veronderstelde wervels  | 161 |  van Descartes. Men ziet nu hoe de excentriciteiten van de Planeten voortdurend dezelfde kunnen blijven; waarom hun baanvlakken niet samenvallen, maar hun verschillende hellingen houden ten opzichte van het eclipticavlak, en waarom al deze baanvlakken noodzakelijk door de Zon gaan. Hoe de bewegingen van de Planeten kunnen versnellen en vertragen in de mate zoals men waarneemt; wat bezwaarlijk zo zou kunnen zijn als ze in een wervel om de Zon zouden drijven.

[ 473 ]

Men ziet er tenslotte in hoe Kometen ons stelsel kunnen doorkruisen. Want sinds men weet dat ze vaak het gebied van de Planeten binnenkomen, heeft men het moeilijk gevonden te bedenken hoe ze soms konden lopen met een beweging tegengesteld aan die van de wervel, die voldoende kracht had om de Planeten mee te slepen. Maar met de leer van de heer Newton is ook dit bezwaar weggenomen; aangezien niets erin verhindert dat Kometen elliptische banen doorlopen rond de Zon, zoals de Planeten, maar meer uitgestrekte banen, van een vorm die meer van de cirkel verschilt; en dat aldus deze lichamen periodiek terugkeren, zoals sommige oude en moderne filosofen en sterrenkundigen zich hadden voorgesteld.   Er is alleen deze moeilijkheid, dat de heer Newton bij het verwerpen van de wervels van Descartes beweert dat het hemelruim slechts een zeer ijle materie bevat, opdat Planeten en Kometen in hun loop minder hindernissen tegenkomen. En als deze ijlheid gesteld wordt, schijnt het niet mogelijk de werking van de zwaarte te verklaren, en ook niet die van het licht, tenminste langs wegen waarvan ik me bediend heb. Om dit punt dan te onderzoeken, zeg ik dat de etherische materie op twee manieren ijl geacht kan worden, te weten hetzij dat de deeltjes ervan ver van elkaar zijn, met veel leegte ertussen, hetzij dat ze elkaar raken, maar dat ze elk een ijle structuur hebben, met  | 162 |  veel kleine lege ruimten erin. Wat betreft het vacuüum, ik neem dat zonder moeite aan, en ik geloof zelfs dat het noodzakelijk is voor de onderlinge beweging van de kleine deeltjes. Ik ben het niet eens met de heer Descartes, die beweert dat alleen uitgestrektheid de essentie van lichamen uitmaakt; maar hij voegt er volkomen hardheid aan toe, die het ondoordringbaar maakt, en zonder mogelijkheid dat het gebroken of beschadigd wordt. Als ik ijlheid evenwel op de eerste manier beschouw, zie ik niet hoe men dan rekenschap zou kunnen geven van de zwaarte; en wat betreft het licht, het lijkt me totaal onmogelijk, met zulke lege ruimtes, de wonderbaarlijke snelheid ervan te verklaren, die zeshonderdduizend maal zo groot moet zijn als die van geluid, volgens het bewijs van de heer Rømer, dat ik heb aangehaald in Traité de la Lumiere [p. 7]. Daarom houd ik stand dat een dergelijke ijlheid niet zou kunnen passen bij het hemelruim.   Het lijkt er meer op dat we ijlheid op de andere manier moeten opvatten; omdat de deeltjes daarbij aan elkaar kunnen raken, zoals ik ze verondersteld heb in genoemd Traité [14], en toch door hun lichte structuur heel weinig weerstand bieden aan de beweging van de planeten. Want wat weet men ervan tot hoever de natuur kan gaan bij het samenstellen van harde lichamen met weinig materie; vooral of zeer dunne en fijne, of zelfs holle deeltjes, oneindig sterk kunnen zijn.

[ 474 ]

Maar ik geloof dat, afgezien van de ijlheid, de grote beroering van de etherische materie veel kan bijdragen tot de doordringbaarheid ervan. Want als de geringe beweging van deeltjes van water dit vloeibaar kan maken, met veel minder weerstand voor lichamen die erin drijven dan zand of een of ander fijn poeder, moet dan een meer subtiele materie, die oneindig veel meer in beroering is, niet ook des te gemakkelijker te doordringen zijn?   Hoe het ook zij, we zien dat het de natuur niet ontbreekt aan bekwaamheid, om te maken dat er ruimten zijn waarin lichamen met heel weinig weerstand bewegen; want dat blijkt  | 163 |  uit wat onze handen voelen in lucht, en nog meer uit de experimenten die men doet in glazen vaten waaraan men alle lucht onttrokken heeft; daarin daalt het lichtste veertje met dezelfde snelheid als een loden kogel. En als men zou willen volhouden dat dit voortkomt uit de grote ijlheid van de materie die in dit luchtledige overblijft, zou ik er tegenin aanvoeren dat men er het effect ziet van een materie die zeer aanzienlijk weegt, zoals men gezien heeft in het experiment dat hierboven is verhaald.   Wat betreft de redenering van de heer Newton in Prop. 6 [Engl.] van boek 3 om de extreme ijlheid van de ether te bewijzen, te weten dat de zwaarten van lichamen zijn als de hoeveelheden materie die ze bevatten; en als dit zo is, en als de ruimten van lucht of ether even vol met materie waren als goud of zilver, dat deze metalen er dan niet in omlaag zouden gaan — omdat een vast lichaam zonder grotere soortelijke zwaarte dan een vloeistof daar niet in zou kunnen wegzinken — ik zeg dat ik het ermee eens ben dat de zwaarten van lichamen de hoeveelheden van hun materie volgen; en ik heb het zelfs aangetoond in dit betoog. Maar ik heb ook laten zien, dat aan deze lichamen die we zwaar noemen de zwaarte heel goed opgelegd kan worden door de middelpuntvliedende kracht van een materie die zelf helemaal niet naar het middelpunt van de aarde weegt, door de zeer snelle cirkelbeweging ervan, maar die de neiging heeft zich ervan te verwijderen. Deze materie kan dus heel goed alle ruimte rond de aarde vullen die andere deeltjes niet bezetten, zonder dat dit het dalen verhindert van lichamen die men zwaar noemt; integendeel, het is de enige oorzaak die ze ertoe dwingt. Het zou iets anders zijn als men veronderstelde dat de zwaarte een aanklevende hoedanigheid van lichamelijke materie was. Maar hiermee stemt de heer Newton niet in, naar ik meen, omdat een dergelijke hypothese ons ver van de beginselen van de wiskunde of de mechanica zou verwijderen.   Hij zal me misschien zeggen dat, als men het met mij eens zou zijn  | 164 |  dat de etherische materie bestaat uit deeltjes die elkaar raken, om het licht door te geven, men

[ 475 ]

toch niet zou zien dat het zich aan die regel zou houden, zich slechts in een rechte lijn uit te breiden, zoals het doet; omdat dit ingaat tegen zijn Prop. 42 [Engl.] van het 2e boek, die zegt dat een beweging die zich verspreidt in een vloeibare materie, niet alleen rechtdoor gaat vanaf de oorsprong ervan, na een opening gepasseerd te zijn, maar dat ze ook zijdelings afwijkt. Waarop ik bij voorbaat antwoord, dat wat ik heb aangevoerd om te bewijzen dat het licht zich slechts regelrecht uitbreidt (behalve bij terugkaatsing of breking), van kracht blijft ondanks de genoemde propositie. Omdat ik niet ontken dat, wanneer de zon door een venster schijnt, er zich beweging verspreidt naast de verlichte ruimte; maar ik zeg dat deze afgeleide golven te zwak zijn om licht op te leveren. En hoewel hij beweert dat de verstrooiing van geluid bewijst dat deze zijdelingse overloop merkbaar is, houd ik voor zeker dat die veeleer het tegendeel bewijst. Want als het geluid, na door een opening gegaan te zijn, zich ook zijdelings zou uitbreiden (zoals de heer Newton beweert), zou het zich bij een echo niet zo precies houden aan gelijkheid van de hoeken van inval en terugkaatsing; zodanig dat, wanneer men staat op een plaats waarvandaan geen loodlijn kan vallen op het terugkaatsende vlak van een niet zo verre muur, men de echo niet hoort antwoorden op het geluid dat men maakt op deze plaats, zoals ik heel vaak met een proef heb vastgesteld. Ik twijfel er ook niet aan dat het experiment dat hij aanvoert van het geluid dat men zou horen ondanks een huis dat in de weg staat, heel anders zou uitvallen als dit huis maar zou staan in het midden van een grote watervlakte, of zo dat er niets omheen was dat door weerkaatsing een pakketje geluid zou kunnen terugzenden.   En over wat hij zegt dat, waar men ook staat in een kamer waarvan het venster open is, men er het geluid van buiten hoort, niet door weerkaatsing van de muren, maar  | 165 |  rechtstreeks van het venster komend: men ziet hoe gemakkelijk het is zich erin te vergissen, door de veelheid van herhaalde terugkaatsingen, die in een ogenblik gebeuren; zodanig dat geluid dat gehoord wordt alsof het onmiddellijk van het open venster komt, na een dubbele weerkaatsing daarvandaan kan komen, of van plaatsen er heel dichtbij. Ik erken dus dat voor wat betreft de golvingen of cirkels die ontstaan op een wateroppervlak, de zaak ongeveer zo gaat als de heer Newton zegt; dat wil zeggen dat een golf, na de opening gepasseerd te zijn, zich vervolgens verbreedt aan beide kanten, en in elk geval daar zwakker dan in het midden. Maar bij geluid zeg ik dat die verstrooiingen aan de kanten bijna onwaarneembaar zijn voor het oor; en wat het licht aangaat, daarbij hebben ze geen enkel effect op de ogen.   Ik heb gemeend te moeten vooruitlopen op die tegenwerpingen die het boek van de heer Newton kon ingeven, met het oog op de grote achting die men heeft voor dit werk, en met reden; omdat men immers niets zou kunnen tegenkomen dat meer doordacht is in deze materie, of van een

[ 476 ]

grotere scherpzinnigheid getuigt. Er blijven mij nog twee dingen over om op te merken bij zijn systeem, die mij heel mooi toeschijnen, en die me gelegenheid zullen geven tot enige bespiegeling. Daarna zal ik toevoegen wat ik onder mijn papieren gevonden heb aangaande de beweging van lichamen door lucht, of een ander medium met weerstand; over deze beweging handelt hij uitgebreid in boek 2.   Men heeft gezien hoe in het systeem van de heer Newton de zwaarten, zowel van planeten naar de zon, als van de satellieten naar hun planeten, verondersteld worden omgekeerd evenredig te zijn met de kwadraten van hun afstanden tot het middelpunt van hun banen. Wat fraai bevestigd wordt door wat hij bewijst betreffende de maan; te weten dat zijn middelpuntvliedende kracht, die zijn beweging hem geeft, precies gelijk is aan zijn zwaarte naar de aarde, en dat aldus twee tegengestelde krachten hem houden daar waar hij is. Want daar de  | 166 |  afstand van hier tot de maan 60 halve middellijnen van de aarde is, en bijgevolg de zwaarte in zijn gebied 1/3600 van degene die wij voelen, moest de middelpuntvliedende kracht van een lichaam dat zou bewegen zoals de maan, eveneens gelijk zijn aan 1/3600 van het gewicht dat het zou hebben op het oppervlak van de aarde. Wat in werkelijkheid zo bevonden wordt, en berekening ervan is makkelijk te doen, omdat men immers al weet dat de middelpuntvliedende kracht op de evenaar 1/289 is van onze zwaarte hier beneden.   Maar aangezien dit voorbeeld van de maan zo goed de vermindering van gewicht bewijst, volgens de omgekeerde verhouding van de kwadraten van de afstanden tot het middelpunt van de aarde, zou men zich kunnen afvragen of er bij de slinger niet een andere ongelijkheid is, behalve degene die veroorzaakt wordt door de dagelijkse beweging. Want als de aarde niet bolvormig is, maar bij benadering een sferoïde, en als een punt op de evenaar verder van het middelpunt is dan een punt op de pool, in de verhouding van 578 tot 577 (zoals hiervoor gezegd is), en met de zwaarten op deze plaatsen in omgekeerde verhouding van de kwadraten van deze afstanden, zou de slinger op de evenaar ook korter moeten zijn dan op de pool, volgens deze omgekeerde verhouding. Dat wil zeggen dat deze slingers zouden zijn als van 288 tot 289, of dat de slinger op de evenaar 1/289 korter zou zijn dan op de pool. Wat juist datzelfde verschil is dat hierboven voortkwam uit de dagelijkse beweging, of uit de middelpuntvliedende kracht. Zodat een uurwerk met dezelfde slingerlengte op de evenaar langzamer zou gaan dan op de pool met het dubbele van wat het achterliep door de beweging van de aarde; en zo zou dit dagelijkse verschil op de evenaar bijna 5 minuten zijn. En op andere breedtegraden zou men overal meer dan het dubbele vinden van wat het voorheen was. Maar ik betwijfel sterk dat de ondervinding deze grote variatie bevestigt, daar ik gezien heb dat bij de reis

[ 477 ]

waarvan ik melding gemaakt heb, de eerste vereffening alleen al voldoende is, en dat meer dan de dubbele  | 167 |  halverwege de reis teveel verschil zou geven tussen de route van het schip, berekend met de slinger, en die welke het naar gissing van de stuurlieden aanhield. En om te verklaren waarom de tweede variatie er niet zou zijn, zeg ik dat het niet vreemd zou zijn als de zwaarte, dichtbij het oppervlak van de aarde, niet precies de vermindering zou volgen (zoals in hogere regionen) die de verschillende afstanden tot het middelpunt geven; omdat het mogelijk is dat de beweging van de materie die de zwaarte veroorzaakt enigszins veranderd wordt in de nabijheid van de aarde. Zoals blijkbaar het geval is in het binnenste, aangezien men anders zou moeten zeggen dat de zwaarte, naar het middelpunt gaande, tot in het oneindige zou toenemen; wat niet waarschijnlijk is. Integendeel, volgens de heer Newton vermindert de zwaarte binnenin de aarde naar gelang lichamen het middelpunt naderen; maar om het te bewijzen bedient hij zich van het beginsel waarvan ik gezegd heb dat ik het er niet mee eens ben.   Wat mij overblijft op te merken over zijn systeem, en wat me zeer is bevallen, is dat hij een middel vindt, door de afstand van hier tot de zon bekend te veronderstellen, te bepalen wat de zwaarte is die bewoners van Saturnus en van Jupiter zouden voelen, vergeleken met de onze hier op aarde, en ook hoe groot ze is op het oppervlak van de zon. Zaken die op het eerste gezicht zeer ver buiten onze kennis lijken te liggen, en die toch een gevolg zijn van de beginselen die ik even eerder heb verhaald.   Deze bepaling is van toepassing bij planeten die één of meer satellieten hebben, omdat de perioden ervan, en hun afstanden tot de planeten die zij vergezellen, in de berekening moeten voorkomen. Daarmee vindt de heer Newton de zwaarte op het oppervlak van de zon, van Jupiter, van Saturnus, en van de aarde, in de verhouding van deze getallen: 10000, 804½, 536, 805½. Het is waar dat er enige onzekerheid is wegens de afstand tot de zon, die niet zeer goed bekend is, en die in deze berekening genomen is als ongeveer 5000 middellijnen van de aarde, terwijl  | 168 |  het er volgens de meting van de heer Cassini ongeveer 10000 zijn, wat vrij goed benadert wat ik eertijds gevonden heb (uit waarschijnlijke verhoudingen) in mijn Systeem van Saturnus, te weten 12000*). Ik heb ook enig verschil in de middellijnen van de Planeten. Zodat met mijn berekening de zwaarte op Jupiter, in verhouding tot die welke we hier op aarde hebben, bevonden wordt als 13 tot 10, terwijl de heer Newton ze gelijk maakt, of niet merkbaar verschillend. Maar de zwaarte op de zon, die met de getallen die we zojuist gezien hebben ongeveer 12 keer zo groot was als de onze op aarde, vind ik 26 keer zo groot. Waaruit volgt, met de verklaring van de zwaarte op de manier zoals ik gedaan heb, dat de fluïde materie   [ *)  Systema Saturnium, p. 80 (Ned.): 12543.]

[ 478 ]

dichtbij de zon een snelheid moet hebben die 49 keer zo groot is als die, welke we gevonden hebben bij de aarde; en die was al 17 keer zo groot als de snelheid van een punt op de evenaar. Dat is dus wel een ijzingwekkende gezwindheid, die bij mij de gedachte opwierp of deze niet soms de oorzaak kon zijn van het felle licht van de zon, verondersteld dat licht voortgebracht wordt zoals ik het verklaar in wat ik er over geschreven heb; te weten dat zonnedeeltjes, zwevend in een materie die subtieler is, en in uiterste beroering, tegen de omringende etherdeeltjes stoten. Want als de beroering van een dergelijke materie, met de beweging die ze hier op aarde heeft, de helderheid van een kaarsvlam kan veroorzaken, of van brandende kamfer, hoeveel groter zal ze dan deze helderheid maken met een beweging die 49 keer vlugger en heviger is?   Ik heb met genoegen gezien wat de heer Newton schrijft over de val en de worp van zware lichamen in lucht, of in een ander medium dat aan de beweging weerstand biedt; daar ik me vroeger op hetzelfde onderzoek heb toegelegd. En aangezien deze materie voor een gedeelte behoort bij die van de zwaarte, meen ik hier te kunnen verhalen wat ik er toen van ontdekte. Dat zal ik echter slechts in een paar woorden doen  | 169 |  en zonder de bewijzen eraan toe te voegen; ik heb namelijk verzuimd die af te maken, omdat deze bespiegeling me niet van voldoende nut of gevolg leek, naar verhouding van de moeilijkheid die zich voordoet.   Ik onderzocht in de eerste plaats deze bewegingen met de veronderstelling dat de weerstandskrachten zijn als de snelheden van de lichamen, wat me toen heel waarschijnlijk leek. Maar na verkregen te hebben wat ik zocht, leerde ik bijna tegelijkertijd (door experimenten die we deden te Parijs in de Academie des Sciences) dat de weerstand van lucht, en van water, in verhouding was met de kwadraten van de snelheden*). En de reden is vrij gemakkelijk te bedenken: omdat een lichaam dat bijvoorbeeld met dubbele snelheid gaat, twee keer zo vaak ontmoet wordt door lucht- of waterdeeltjes, en met dubbele snelheid. Aldus zag ik mijn nieuwe theorie verworpen, of tenminste nutteloos. Waarna ik ook wilde zoeken naar wat er gebeurt, wanneer men uitgaat van deze ware oorzaak van weerstand; en ik zag daarbij dat de zaak veel moeilijker was, en vooral wat aangaat de kromme lijn die lichamen bij een schuine worp doorlopen.   In de eerste veronderstelling, waarbij de weerstanden als de snelheden zijn, merkte ik op dat, om de in bepaalde tijden afgelegde wegen te vinden, wanneer lichamen vallen of loodrecht omhoog gaan, en om de snelheden aan het eind van deze tijden te weten te komen, er een kromme lijn was die ik lange tijd tevoren had onderzocht, namelijk de logaritmische of logistieke kromme, want ik zie niet dat men hem al een naam gegeven heeft, ofschoon   *)  Zie de experimenten [met tekeningen] in XIX, 120-127.

[ 479 ]

anderen hem hiervoor al beschouwd hebben*). Als deze oneindige lijn ABC is, heeft hij een rechte lijn als asymptoot, zoals DE; en als men hierop gelijke delen neemt die elkaar opvolgen, zoals DG en GF, en als men vanuit de punten D, G en F loodlijnen trekt naar de kromme, te weten  | 170 |  DA, GH en FB, zullen deze lijnen een opvolgende evenredigheid vormen.

Waaruit men ziet dat het gemakkelijk is zoveel punten te vinden als men wil op deze kromme; waarover ik hierna nog enige eigenschappen zal vermelden die de aandacht verdienen. Om uit te leggen hoe het zit met de valbeweging herhaal ik hier in de eerste plaats wat ik geschreven heb aan het eind van de verhandeling over het middelpunt van schommeling°), te weten dat een lichaam bij het vallen door de lucht voortdurend zijn snelheid vermeerdert, maar steeds zodanig dat het nooit een bepaalde waarde kan overschrijden, of zelfs bereiken; dat is de snelheid die lucht zou moeten hebben, bij blazen van beneden naar boven, om het lichaam zwevend te houden zonder dat het kan dalen; want dan is de kracht van de lucht tegen dit lichaam gelijk aan de zwaarte hiervan. Ik noem deze snelheid van elk lichaam de grenssnelheid +).   *)  Huygens had deze kromme al in 1661 beschouwd (XIV, 429-) [Ned.]. Op p. 179 noemt hij Gregorius van St. Vincent (Opus Geometricum, 1647); zie ook XX, 294).   °)  XVIII, 359 [Ned.]. Huygens heeft het over het vierde deel van Horologium oscillatorium van 1673 [p. 156;  Engl.].   +)  [ Isack Beeckman had het al in 1618 over een (merkwaardig gedefinieerd) 'gelijkheidspunt' bij het vallen, en hij liet zien hoe het te vinden was (I, 267).]

[ 480 ]

Als dus een zwaar lichaam loodrecht omhoog wordt gegooid, met een snelheid waarvan de verhouding tot de grenssnelheid gegeven is, bijvoorbeeld als het gedeelte AK tot KD op de ordinaat AD, loodrecht op de asymptoot DE, dan trekken we KB evenwijdig met deze asymptoot, en laat dan de kromme in punt B geraakt worden door de rechte BO, die DE ontmoet in O, en DA in Q. Deze raaklijn is te vinden door FO, vanaf de ordinaat  | 171 |  BF, gelijk te nemen aan een bepaalde lengte, die voor alle raaklijnen dezelfde is, en die ik hierna zal definiëren. Laat verder AC aan deze raaklijn evenwijdig zijn, en het verlengde van KB snijden in P; en laat vanuit het punt C (waar deze lijn de kromme ontmoet) getrokken worden CLM, evenwijdig met AD, het verlengde van KB snijdend in het punt L, en AM (evenwijdig aan de asymptoot) in M. Nu verhoudt zich de tijd die het lichaam erover doet te stijgen tot de hoogte waar het kan komen, tot de tijd voor het dalen vanaf deze zelfde hoogte, als lijnstuk KB tot BL.   En de tijd die het nodig heeft voor het stijgen door lucht (als het zo geworpen is als gezegd is) verhoudt zich tot de tijd die het nodig zou hebben zonder weerstand te ontmoeten, als KB tot KP.   En de hoogte die het zal bereiken in lucht, tot die welke het zou bereiken zonder weerstand, als het oppervlak ABK tot driehoek APK, of als QA tot AX, die ik veronderstel te zijn de helft van een derde evenredige bij de lijnen DK en KA.   En zijn snelheid bij het begin van het stijgen, tot degene die het heeft bij het terugvallen op de grond, als ML tot LC.   Men vindt bovendien, met deze zelfde lijn, welke kromme een lichaam doorloopt bij een schuine worp. Want als in dezelfde figuur de hoek van de worp met de horizontale lijn LMR is, bij een gegeven snelheid, waarvan de beweging omhoog

[ 481 ]

zich tot de grenssnelheid verhoudt als AK tot KD, herhalen we de voorgaande constructie, en laat dan de rechte AS, die de kromme ABC in A raakt, KB ontmoeten in S. Laat verder zoals SP tot PB ook zijn RL tot LT, en laat op MC als basis een figuur opgericht worden evenredig met het segment ABCP, zodanig dat wat evenwijdig met, en even ver van de asymptoot DE is, in beide figuren overal dezelfde verhouding van BP tot TL heeft. Dan zal de kromme MTC de vereiste vorm aangeven van de worp.   En omdat de stijghoogte met weerstand tot de hoogte van de vrije worp was als QA tot AX geldt: als men maakt dat TL deze zelfde verhouding heeft tot een andere lijn VZ, zal dit de hoogte zijn  | 172 |  van de parabool MV die deze vrije worp beschrijft, als deze begonnen is in M

met dezelfde kracht, en in dezelfde richting MR als de andere worp had. Zodanig dat, als men in de hoek LMR de loodlijn YZ op MC opricht, gelijk aan het dubbele van VZ, men de top van deze parabool heeft in V, midden op YZ, en de halve basis of het halve bereik als MZ.   Opmerkelijk is dat men hier steeds hetzelfde bereik MC vindt, wat ook de stijghoek LMR is, mits de vertikale snelheid hetzelfde blijft. Maar men moet erop letten dat men op deze manier alleen de vorm van de worp vindt, en

[ 482 ]

niet de hoogte en het bereik bij vergelijking van verschillende worpen. Want ze moeten alle dezelfde hoogte hebben, wanneer de vertikale  | 173 |  snelheid dezelfde is. Daarom moet dan elke worpvorm die zo gevonden is herleid worden tot een evenredige vorm van gelijke hoogte, als men wil weten hoe de bereiken en de hoogten zich bij verschillende worpen tot elkaar verhouden.   Ik voeg hier nog aan toe, dat de logaritmische lijn niet slechts dient om de worpkrommen te vinden, maar dat hij in één geval deze kromme zelf is, te weten wanneer men een lichaam zodanig schuin omlaag gooit, dat wat er aan loodrechte daling is, gelijk is aan de grenssnelheid. Want dan zal dit lichaam precies de kromming van een dergelijke lijn volgen, steeds naderend tot de asymptoot, zonder deze te kunnen bereiken. En wat de aard van deze lijn bepaalt, is dat zijn subtangens (zo zal ik het lijnstuk FO noemen, dat voor alle raaklijnen hetzelfde is) het dubbele is van de hoogte tot waar de grenssnelheid het lichaam kan doen stijgen, zonder weerstand van het medium.   Dit zijn de dingen die ik vond met de veronderstelling dat de weerstand evenredig is met de snelheid, maar daar deze hele theorie (zoals ik heb gezegd) gebaseerd is op een beginsel dat de natuur niet aanhoudt op het punt van de weerstand van lucht en van water, liet ik deze geheel ongebruikt; en pas naar aanleiding van de verhandeling van de heer Newton heb ik me er weer mee bezig gehouden, om te zien of datgene, dat we langs heel verschillende wegen hadden gezocht, naar behoren met elkaar overeenstemde. Wat het geval blijkt te zijn, want de constructie voor de worplijn die hij geeft in Propos. 4 [Engl.] van boek 2, hoewel heel anders dan de mijne, en moeilijker, geeft toch dezelfde kromme, zoals te bewijzen valt.   Bij het onderzoeken van de ware*) hypothese voor de weerstand, namelijk de kwadratische verhouding van de snelheid, had ik alleen dit bijzondere geval bepaald,   *)  Zie over deze uitdrukking: XIX. 85-86 [met tekening parachute].

[ 483 ]

van een lichaam dat omhoog gegooid wordt met de grenssnelheid; te weten dat de tijd van heel zijn stijging in de lucht, zich verhoudt tot de tijd die het nodig zou hebben omhoog te gaan tot zover  | 174 |  als het kan zonder weerstand, als de cirkel tot zijn omgeschreven vierkant. En dat de hoogte van de eerste worp tot de hoogte van de andere is, als het oppervlak tussen een hyperbool en zijn asymptoot, begrensd door twee aan de andere asymptoot evenwijdige lijnen die in verhouding 2 op 1 zijn, tot de rechthoek of het parallelogram van dezelfde hyperbool. Dat wil zeggen zoals in de volgende figuur het oppervlak AMDK tot het vierkant AC. Ik had niet de andere gevallen onderzocht die in het algemeen zijn inbegrepen in Prop. 9 [Engl.] van het 2e boek van de heer Newton, die heel mooi is; wat me ervan afhield was, dat ik langs de weg die ik volgde niet de afmetingen vond voor het dalen van de lichamen, tenzij ik de kwadratuur stelde van een bepaalde kromme lijn, waarvan ik niet wist dat deze afhankelijk was van de kwadratuur van de hyperbool. Ik herleidde de afmeting van het oppervlak van deze kromme tot een oneindige reeks: a + 1/3 a3 + 1/5 a5 + 1/7 a7 enz. Niet wetend dat de zelfde reeks ook de afmeting gaf van de hyperboolsector; dit heb ik later gezien, bij het vergelijken van het bewijs van de heer Newton met wat ik gevonden had.

Maar omdat deze reeks voor de meting van de hyperbool nog niet opgemerkt is, voorzover ik weet, wil ik hier uitleggen hoe hij daarvoor dient. Laat AB een hyperbool zijn, waarvan de asymptoten DC en CE een rechte hoek maken; de halve as is CA, loodrecht op DAE die aan de hyperbool raakt; en ACB is een sector, waarbij CB de lijn AD snijdt in F. Als men nu AC of AD als eenheid neemt, en AF a noemt (die is een fractie kleiner dan de eenheid, wanneer AF en AD onderling meetbaar zijn), zeg ik dat, zoals de som van de oneindige reeksa + 1/3 a3 + 1/5 a5 + 1/7 a7 enz. tot 1 is, zo zal sector ACB tot driehoek ACD zijn. Of als men de loodlijnen AK en BL op de asymptoot trekt, kan men hetzelfde zeggen van het oppervlak ABLK, dat gelijk is aan deze sector, zoals men gemakkelijk ziet met de gelijkheid van de driehoeken CAK en CBL. Zodat deze reeks  | 175 |  voor de hyperbool overeenkomt met die, welke de heer Leibniz gegeven heeft voor de cirkel*); waardoor — als de cirkelsector ACG is, met straal AC, en CG snijdt AE in H; AH wordt genoemd   *)  Zie noot 13 bij IX, 535 [brief van Leibniz, nov. 1690].

[ 484 ]

a, en AE is gelijk aan 1 — de som van de reeks a – 1/3 a3 + 1/5 a5 – 1/7 a7 enz. tot 1 is, als sector ACG tot driehoek ACE, of als de boog AG tot de rechte AE.   Wat betreft de lijn van de schuine worp: als het voldoende was bij deze manier van weerstand de horizontale en vertikale beweging van een lichaam te kennen, om er de schuine beweging uit samen te stellen (zoals bij de eerste hypothese), zou het mogelijk zijn punten te bepalen waardoor deze lijn moet gaan; en dezelfde logaritmische lijn zou daarbij van nut zijn, zodanig gedraaid dat zijn asymptoot evenwijdig zou zijn aan de horizon; en zelf zou hij opnieuw de worpkromme zijn in het geval waarvan ik eerder gezegd heb dat hij dienst deed. Maar daar deze samenstelling van beweging hier niet van toepassing is — omdat de verkleining van de vertraagde beweging, op de diagonaal van een rechthoek, niet evenredig is met de verkleining van de zijden — is het uiterst moeilijk, zo niet geheel onmogelijk, dit probleem op te lossen.   De horizontale beweging apart beschouwd (zoals van een bol die op een effen vloer zou rollen) heeft hier dit opmerkelijke, dat ze ver naar het oneindige zou gaan, niettegenstaande de weerstand  | 176 |  van het medium, terwijl ze beperkt is, en nooit een bepaalde grens bereikt, wanneer de weerstand is als de snelheid. En deze oneindigheid is gemakkelijk te bewijzen met Propos. 5 [Engl.] van het 2e boek van de verhandeling van de heer Newton, omdat het oppervlak bevat tussen de hyperbool en zijn asymptoten een oneindige grootte heeft. D e eigenschappen van de logistieke lijn, die ik beloofd heb uiteen te zetten, en waarvan er enkele gediend hebben bij het vinden van wat ik heb opgemerkt aangaande bewegingen door de lucht, zijn de volgende; behalve de eerste (die ik al heb aangegeven) van de evenredigheid van de ordinaten naar de asymptoten, wanneer ze even ver van elkaar zijn, waarmee men op deze lijn punten vindt.   1.  Dat de oppervlakken bevat tussen twee ordinaten naar de asymptoot zich verhouden als de verschillen van deze ordinaten. Zoals in deze figuur, waarin AVD de logistieke kromme is, BO de asymptoot ervan, en de ordinaten AB, VC en DQ; waarvan deze laatste bij verlenging AK (evenwijdig aan de asymptoot) ontmoeten in E en K: de oppervlakken ABCV en ABDQ verhouden zich als de rechten EV en KD.   2.  Dat met hetzelfde gestelde, en AO als raaklijn in punt A, die CE snijdt in I, en QK in G, de oppervlakken AVE en ADK zich tot elkaar verhouden als de rechten VI en DG.

[ 485 ]

3.  Dat het oppervlak bevat tussen twee ordinaten zich verhoudt tot het oneindige oppervlak dat zich vanaf de kleinste van deze ordinaten uitstrekt tussen de logistieke lijn en zijn asymptoot, als het verschil  | 177 |  van dezelfde ordinaten is tot de kleinste. Wanneer ik zeg dat het oneindige oppervlak een bepaalde verhouding heeft tot een eindig oppervlak, betekent dit dat het zo dicht de grootte van een gegeven oppervlak nadert dat deze verhouding heeft tot het eindige oppervlak, dat het verschil kleiner dan enig gegeven oppervlak kan worden. In de voorgaande figuur is het oppervlak ABQD tot het oneindige oppervlak dat zich uitstrekt tussen de kromme en de asymptoot, als KD tot DQ.   4.  Dat de subtangens, zoals BO in dezelfde figuur, altijd eenzelfde lengte heeft, bij welk punt van de logistieke lijn de raaklijn ook behoort.   5.  Dat deze lengte te vinden is door benadering, en dat ze zich verhoudt tot het gedeelte van de asymptoot tussen ordinaten met verhouding 2, als 434294481903251804 tot 301029995663981195; of vrijwel als 13 tot 9.   6.  Dat als er drie ordinaten zijn, zoals in deze figuur AD, HG en BF, en als men vanaf het punt van de kromme dat behoort bij de kleinste, een lijn trekt evenwijdig met de asymptoot, die de twee andere ordinaten snijdt in R en K, en een raaklijn BQ, die ze snijdt in N en Q, de oppervlakken ABK en HBR zich tot elkaar verhouden als de gedeelten van de ordinaten tussen de kromme en de raaklijn, te weten als AQ tot HN. | 178 |  7.  Dat het oneindige oppervlak tussen een ordinaat, de logistieke lijn, en zijn asymptoot, aan de kant waar deze twee laatste elkaar gaan naderen, het dubbele is van de driehoek, gevormd door de ordinaat, de raaklijn getrokken door hetzelfde punt als de ordinaat, en de subtangens. Zoals in dezelfde figuur het oneindige oppervlak vanaf de ordinaat BF, het dubbele is van de driehoek BFO.

[ 486 ]

8.  Dat het oppervlak, bevat tussen twee ordinaten, gelijk is aan het product van de subtangens en van het verschil van dezelfde ordinaten. Zoals in dezelfde figuur het oppervlak ADFB gelijk is aan het product van de subtangens FO en van KA.   9.  Dat het lichaam, gevormd door het oneindige oppervlak vanaf een ordinaat, bij omwenteling rondom de asymptoot, anderhalf maal de kegel is, waarvan de hoogte gelijk is aan de subtangens, en de halve middellijn van de basis gelijk aan dezelfde ordinaat. Zoals het lichaam, gevormd door het oneindig oppervlak BFOC bij omwenteling om FO, anderhalf maal de kegel is, gevormd door de driehoek BFO bij omwenteling om dezelfde FO.   10.  Dat het lichaam, voortgebracht door hetzelfde oneindige oppervlak bij omwenteling om de ordinaat BF, waar het begint, zesmaal de kegel is, gevormd door de driehoek BFO bij omkering om BF. En uit deze afmetingen van lichamen volgt:   11.  Dat het zwaartepunt van het oneindige oppervlak, vanaf een ordinaat, tot deze ordinaat een afstand heeft van de lengte van de subtangens.   12.  Dat dit zelfde zwaartepunt een afstand heeft tot de asymptoot van een kwart van de ordinaat.   13.  Ik had ook gevonden dat het zwaartepunt van het eerste van de genoemde oneindige lichamen, tot zijn basis een afstand heeft van de helft van de subtangens.   14.  En dat het zwaartepunt van het andere lichaam tot zijn oneindige basis een afstand heeft van een achtste van zijn as.   15.  Het is voldoende bekend dat deze logistieke lijn dienst doet bij de kwadratuur  | 179 |  van de hyperbool, sinds de bewijzen van pater Gregorius van St. Vincent, betreffende hyperbolische oppervlakken bevat tussen twee ordinaten op één van de asymptoten. En dat bij twee van dergelijke oppervlakken, waarvan de ordinaten van het ene zijn als AD tot HG in de laatste figuur, en de ordinaten van het andere als BF tot CE, de oppervlakken zich tot elkaar zullen verhouden als de lijnstukken DG tot FE.

[ 487 ]

Maar men heeft niet opgemerkt, voorzover ik weet, dat deze zelfde oppervlakken bij de hyperbool zich verhouden tot het parallelogram van de hyperbool (zo noem ik het parallelogram met als zijden de twee ordinaten op de asymptoten, getrokken uit eenzelfde punt van de snede) als elk van de lijnen DG en FE tot de subtangens FO. Zodat, als het parallelogram van de hyperbool gesteld wordt op 0,4342944819 delen, elk oppervlak bij de hyperbool, bevat tussen twee ordinaten op een van de asymptoten, tot dit parallelogram zal zijn als de logaritme van de verhouding van dezelfde ordinaten (dat wil zeggen als het verschil der logaritmen van de getallen die de verhouding der ordinaten uitdrukken) tot het getal 0,4342944819; als we logaritmen nemen van 10 cijfers buiten de karakteristiek*).   *)  De subtangens of 'latus rectum' van de logaritmische kromme is log e = 0,4342944819; zie XIV, 464. Vergelijk XIV 434 - 435 en 474 - 477. Huygens' berekening is van 1661.

[ 488 ]

| 180 |  En hiermee is het gemakkelijk de kwadratuur van de hyperbool te verifiëren, die ik gegeven heb in de verhandeling over de evolutie van kromme lijnen, die in mijn Horologium Oscillatorium staat*). E   I   N   D   E .   *)  XVIII, 218 - 221 [Ned.;  1673, p. 77 - 79], waarbij 0,3622156887 = – log log e.  [Engl.] [ Cf. Guido Grandi, Geometrica demonstratio theorematum Hugenianorum circa logisticam (1701), herdrukt in Christiani Hugenii ... Opera reliqua (1728), zie XIV, 473n.]